Class 10

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.1

Unless stated otherwise, use π = \(\frac{22}{7}\).

Question 1.
The radii of two circles are 19 cm and 9 cm respectively. Find the radius of the circle which has circumference equal to the sum of the circumferences of the two circles.
Solution:
We have, r₁ = 19 cm and r₂ = 9 cm
∴ Circumference of circle – I = 2πr₁ = 2π(19) cm
and circumference of circle – II = 2πr₂ = 2π(9) cm
Sum of the circumferences of circle-I and circle-II
= 2π(19) cm + 2π(9) cm
= 2π(19 + 9) cm
= 2π(28) cm
Let R be the radius of the circle – III.
∴ Circumference of circle – III = 2πR
According to the condition, 2πR = 2π(28)
⇒ R = \(\frac{2 \pi(28)}{2 \pi}\) = 28 cm
Thus, the radius of the new circle = 28 cm.

Question 2.
The radii of two circles are 8 cm and 6 cm respectively. Find the radius of the circle having area equal to the sum of the areas of the two circles.
Solution:
We have,
Radius of circle – I, r₁ = 8 cm
Radius of circle – II, r₂ = 6 cm
∴ Area of circle – I = πr₁² = π(8)² cm²
Area of circle-II = πr₂² = π(6)² cm²
Let the radius of the circle – III be R cm.
∴ Area of circle-III = πR²
Now, according to the condition,
πr₁² + πr₂² = πR²
⇒ π(8)² + π(6)² = πR²
⇒ π(8² + 6²) = πR²
⇒ 8² + 6² = R²
⇒ 64 + 36 = R²
⇒ 100 = R²
⇒ 10² = R² ⇒R = 10
Thus, the radius of the new circle = 10 cm.

Question 3.
The given figure depicts an archery target marked with its five scoring regions from the centre outwards as Gold, Red, Blue, Black and White. The diameter of the region representing Gold score is 21 cm and each of the other bands is 10.5 cm wide. Find the area of each of the five scoring regions.

Solution:
Diameter of the innermost (Gold scoring) region = 21 cm
Radius of the innermost (Gold scoring) region = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 cm
∴ Area of Gold scoring region = π(10.5)² cm²
= \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{105}{10}\right)^{2} \mathrm{cm}^{2}=\frac{22}{7} \times \frac{105}{10} \times \frac{105}{10} \mathrm{cm}^{2}\)
= \(\frac{22 \times 15 \times 105}{100}\) cm² = 346.50 cm²
Since, each band is 10.5 cm wide.
∴ Radius of Red scoring region
= 10.5 cm + 10.5 cm
= 21 cm
Area of Red scoring region
= π(10.5 + 10.5)² cm² – π(10.5)² cm²
= [π(21)² – π(10.5)²] cm²
= π[(21)² – (10.5)²] cm²

Area of White scoring region
= π[(42 + 10.5)² – (42)²] cm²
= π[(52.5)² – (42)²] cm²
= π[(52.5 + 42)(52.5 – 42)] cm²
= \(\frac{22}{7}\) × 94.5 × 10.5 = 22 × \(\frac{945}{10} \times \frac{15}{10}\)
= 3118.5 cm²

Question 4.
The wheels of a car are of diameter 80 cm each. How many complete revolutions does each wheel make in 10 minutes when the car is travelling at a speed of 66 km per hour?
Solution:
Diameter of a wheel = 80 cm
∴ Radius of the wheel = \(\frac{80}{2}\) cm = 40 cm
So, circumference of the wheel
= 2πr = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 40 cm
⇒ Distance covered by a wheel in one revolution = \(\frac{2 \times 22 \times 40}{7}\) cm
Distance travelled by the car in 1 hour (i.e., in 60 mins)
= 66 km = 66 × 1000 × 100 cm
∴ Distance travelled in 10 minutes

Thus, the required number of revolutions = 4375

Question 5.
Tick the correct answer in the following and justify your choice: If the perimeter and the area of a circle are numerically equal, then the radius of the circle is
(A) 2 units
(B) π units
(C) 4 units
(D) 7 units
Solution:
(A): We have
Numerical area of the circle
= Numerical circumference of the circle
⇒ πr² = 2πr
⇒ πr² – 2πr = 0
⇒ r² – 2r = 0
⇒ r(r – 2) = 0
⇒ r = 0 or   r = 2
But r cannot be zero
∴ r = 2
Thus, the radius of circle is 2 units.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.4

Question 1.
The following distribution gives the daily income of 50 workers of a factory.

Convert the distribution above to a less than type cumulative frequency distribution, and draw its ogive.
Solution:
We have the cumulative frequency distribution as follows:

Now, we plot the points corresponding to the ordered pair (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) and (200, 50) on a graph paper and join them by a free hand to get a smooth curve as shown below:

The curve so obtained is called the less than ogive.

Question 2.
During the medical check-up of 35 students of a class, their weights were recorded as follows:

Draw a less than type ogive for the given data. Hence obtain the median weight from the graph and verify the result by using the formula.
Solution:
Here, the values 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 and 52 are the upper limits of the respective class-intervals.
We plot the points (ordered pairs) (38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46,14), (48, 28), (50, 32) and (52, 35) on a graph paper and join them by a free hand to get a smooth curve.
The curve so obtained is the less than type ogive.

∵ N = 35
∴ \(\frac{N}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5
The point 17.5 is on y-axis.
From this point (i.e., from 17.5) we draw a line parallel to the x-axis which cuts the curve at P. From this point P, draw a perpendicular to the x-axis, meeting the x-axis at Question The point Q represents the median of the data which is 47.5.
Verification:
To verify the result, let us make the following table in order to find median using the formula :

Thus, the median = 46.5 kg is approximately

Question 3.
The following table gives production yield per hectare of wheat of 100 farms of a village

Change the distribution to a more than type distribution, and draw its ogive.
Solution:
For more than type distribution, we have

Now, we plot the points (50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54) and (75, 16) and join the points with a free hand to get a smooth curve.
The curve so obtained is the ‘more than type ogive’.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.6 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.6

Question 1.
Solve the following pairs of equations by reducing them to a pair of linear equations:


Solution:
(i) we have


Equations (1) and (2) becomes,
2u + 3v = 2 ⇒ 2u + 3v – 2 = 0 … (3)
4u – 9v = -1 ⇒ 4u – 9v + 1 = 0 … (4)

(iii)

The equations (1) and (2) becomes,
4p + 3y = 14 ⇒ 4y + 3y -14 = 0 …. (3)
3p – 4y = 23 ⇒ 3p – 4y – 23 = 0 …. (4)
Here, a₁ = 4, b₁= 3, c₁ = —14, a₂ = 3, b₂ = – 4, c₂ = -23
Solving (3) and (4) by cross multiplication method, we get

(iv)

Equations (1) and (2) can be expressed
5u + v = 2 ⇒ 5u + v – 2 = 0 …. (3)
6u – 3v = 1 ⇒ 6u – 3v – 1 = 0 …. (4)

Thus, the required solution is x = 4, y = 5

(v)

∴ Equation (3)and (4)can be expressed as:
7q – 2p – 5 = 0 … (5)
8q + 7p -15 = 0 … (6)

Thus, the required solution is x = 1, y = 1

(vi) We have, 6x + 3y = 6xy …. (1)
2x + 4y = 5xy … (2)
From (1) , we get

2q + 4p = 5 ….(6)
Multiply (6) by 3, we get
6q +12p = 15 … (7)
Subtracting (5) from (7) , we get
6q + 12p – 6q – 3p = 15 – 6
9p = 9 ⇒ p = 1
Now, Substituting, p = 1 in (5) , we get
6q + 3(1) = 6

∴ Equations (1) and (2) can be expressed as :
10p + 2q = 4 = ⇒ 10p + 2q – 4 = 0 …(3)
15p – 5q = -2 ⇒ 15p – 5q + 2 = 0 … (4)

⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
Now, substituting the value of x in equation (5) , we get
3 + y = 5 ⇒ y = 2
Thus, the required solution is x = 3, y = 2

(viii)

Question 2.
Formulate the following problems as a pair of equations, and hence find their solutions:
(i) Ritu can row downstream 20 km in 2 hours, and upstream 4 km in 2 hours. Find her speed of rowing in still water and the speed of the current.
(ii) 2 women and 5 men can together finish an embroidery work in 4 days, while 3 women and 6 men can finish it in 3 days. Find the time taken by 1 woman alone to finish the work, and also that taken by 1 man alone.
(iii) Roohi travels 300 km to her home partly by train and partly by bus. She takes 4 hours if she travels 60 km by train and the remaining by bus. If she travels 100 km by train and the remaining by bus, she takes 10 minutes longer. Find the speed of the train and the bus separately.
Solution:
(i) Let the speed of Ritu in still water = x km/hr
and the speed of the current = y km/hr
∴ Downstream speed = (x + y) km/hr
Upstream speed = (x – y)km/hr

Substituting the value of x in equation (1), we get
6 + y = 10 ⇒ y = 10 – 6 = 4
Thus, speed of rowing in still water = 6 km/hr, speed of current = 4 km/hr

(ii) Let the time taken to finish the task by one woman alone = x days
and the time taken to finish the task by one man alone = y days


∴ 1 man can finish the work in 36 days and 1 woman can finish the work in 18 days,

(iii) Let the speed of the train = x km/hr
and the speed of the bus = y km/hr

Case I: Total journey = 300 km
Distance travelled by train = 60 km
Distance travelled by bus = (300 – 60)km
= 240 km
∵ Total time taken = 4 hours

Case II: Distance travelled by train = 100 km
Distance travelled by bus = (300 – 100)km
= 200 km
Total time = 4 hrs 10 mins

Thus, speed of the train = 60 km/hr
and speed of the bus = 80 km/hr

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.6 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.6

Question 1.
In the figure, PS is the bisector of ∠QPR of ∆PQR. Prove that \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\).

Solution:
We have, ∆PQR in which PS is the bisector of ∠QPR.
∴ ∠QPS = ∠RPS
Let us draw RT || PS to meet QP produced at T, such that
∠1 = ∠RPS [Alternate angles]
Also, ∠3 = ∠QPS [Corresponding angles]

But ∠RPS = ∠QPS [Given]
∴ ∠1 = ∠3
∴ PT = PR
Now, in ∆QRT, PS || RT [By construction]
∴ Using the Basic Proportionality Theorem, we have

Question 2.
In the figure, D is a point on hypotenuse AC of ∆ABC, such that BD ⊥ AC, DM ⊥ BC and DN ⊥ AB. Prove that
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN

Solution:

Question 3.
In the figure, ABC is a triangle in which ∠ABC > 90° and AD ⊥ CB produced. Prove that AC² – AB² + BC² + 2BC.BD

Solution:
∆ABC is a triangle in which ∠ABC > 90° and AD ⊥ CB produced.
∵ In ∆ADB, ∠D = 90°
∴ Using Pythgoras Theorem, we have
AB² = AD² + DB² ….. (1)
In right ∆ADC, ∠D = 90°
∴ Using Pythagoras Theorem, we have
AC² = AD² + DC²
= AD² + [BD + BC]²
= AD² + [BD² + BC² + 2BD.BC]
⇒ AC² = [AD² + DB²] + BC² + 2BC – BD
⇒ AC² = AB² + BC² + 2BC – BD [From (1)] Thus, AC² = AB² + BC² + 2 BC.BD

Question 4.
In the figure, ABC is a triangle in which ∠ABC < 90° and AD ⊥ BC. Prove that AC² = AB² + BC² – 2BC.BD.

Solution:
We have ∆ABC in which ∠ABC < 90°
and AD ⊥ BC
In right ∆ADB, ∠D = 90°
Using Pythagoras Theorem, we have
AB² = AD² + BD² …… (1)
Also in right ∆ADC, ∠D = 90°
Using Pythagoras Theorem, we have AC² = AD² + DC²
= AD² + [BC – BD]² = AD² + [BC² + BD² – 2BC.BD]
= [AD² + BD²] + BC² – 2BC.BD = AB² + BC² – 2BC.BD [From (1)]
Thus, AC² = AB² + BC² – 2BC.BD, which is the required relation.

Question 5.
In the figure, AD is a median of triangle ABC and AM ⊥ BC. Prove that


Solution:

Question 6.
Prove that the sum of the squares of the diagonals of parallelogram is equal to the sum of the squares of its sides.
Solution:
We have a parallelogram ABCD.

AC and BD are the diagonals of parallelogram ABCD.
∵ Diagonals of a parallelogram bisect each other.
∴ O is the mid-point of AC and BD.
Now, in ∆ABC, BO is a median.

Question 7.
In the figure, two chords AB and CD intersect each other at the point P. Prove that:
(i) ∆APC – ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP

Solution:
We have two chords AB and CD of a circle. AB and CD intersect at P.
(i) In ∆APC and ∆DPB,
∴ ∠APC = ∠DPB ….. (1)
[Vertically opp. angles]
∠CAP = ∠BDP …… (2)
[Angles in the same segment]
From (1) and (2) and using AA similarity, we have
∆APC ~ ∆DPB

(ii) Since, ∆APC ~ ∆DPB [As proved above]
∴ Their corresponding sides are proportional,

⇒ AP.BP = CP.DP, which is the required relation.

Question 8.
In the figure, two chords AB and CD of a circle intersect each other at the point P (when produced) outside the circle. Prove that
(i) ∆PAC – ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD

Solution:
We have two chords AB and CD when produced meet outside the circle at P.
(i) Since in a cyclic quadrilateral, the exterior angle is equal to the interior opposite angle,

Question 9.
In the figure, D is a point on side BC of ∆ABC such that \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\). Prove that AD is the bisector of ∠BAC.

Solution:
Let us produce BA to E such that AE = AC
Join EC.

Question 10.
Nazima is fly fishing in a stream. The tip of her fishing rod is 1.8 m above the surface of the water and the fly at the end of the string rests on the water 3.6 m away and 2.4 m from a point directly under the tip of the rod. Assuming that her string (from the tip of her rod to the fly) is taut, how much string does she have out (see figure)? If she pulls in the string at the rate of 5 cm per second, what will be the horizontal distance of the fly from her after 12 seconds ?

Solution:
Let us find the length of the string that Nazima has out.
In right ∆OAB, OB² = OA² + AB²
∴ OB² = (2.4)² + (1.8)²
⇒ OB² = 5.76 + 3.24 = 9.00
\(\Rightarrow \quad O B=\sqrt{9.00}=3 \mathrm{m}\)
i.e., Length of string she has out = 3 m

Since, the string is pulled in at the rate of 5 cm/sec,
∴ Length of the string pulled in 12 seconds

In the ∆PBC, let PB be the required horizontal distance of fly.
Since, PB² = PC² – BC² [By Pythagoras theorem]
∴ PB² = (2.4)² – (1.8)² = 5.76 – 3.24 = 2.52

Thus, the horizontal distance of the fly from Nazima after 12 seconds
= (1.59 + 1.2) m (approximately)
= 2.79 m (approximately)

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
(i) – \(\frac { 8 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { 21 }{ 8 } \) , \(\frac { 5 }{ 16 } \)
(iii) -2\(\sqrt { 3 }\),-9
(iv) \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}},-\frac{1}{2}\)
हल:
(i) यहाँ शून्यकों का योग –\(\frac { 8 }{ 3 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 4 }{ 3 } \) है।
∵ चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (- \(\frac { 8 }{ 3 } \)) x + \(\frac { 4 }{ 3 } \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4)
अब \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 6x + 2x + 4)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) [3x (x + 2) + 2 (x + 2)] = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट द्विधात बहुपद \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \) हैं।

(ii) यहाँ शून्यकों का योग \(\frac { 21 }{ 8 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 5 }{ 16 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac { 1 }{ 16 } \) (16x² – 42x+ 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(\frac { 5 }{ 2 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 8 } \) हैं।

(iii) यहाँ शून्यकों का योग -2\(\sqrt { 3 }\) एवं गुणन -9 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (-2\(\sqrt { 3 }\)) x + (-9)
= x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9
अब x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 = x2 + 3 \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 3 }\) x – 9
= x (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (x + 3 \(\sqrt { 3 }\))
= (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) (x – \(\sqrt { 3 }\))
⇒ शून्यक क्रमशः-3\(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

(iv) यहाँ शून्यकों का योग \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}}\) एवं गुणन –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac{1}{2 \sqrt{5}}\left(2 \sqrt{5} x^{2}+3 x-\sqrt{5}\right)\) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
\(-\frac{\sqrt{5}}{2}\) एवं \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) हैं।

प्रश्न 2.
\(\sqrt { 2 }\) घन (त्रिघात) बहुपद 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4 \(\sqrt { 2 }\) का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि \(\sqrt { 2 }\) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – \(\sqrt { 2 }\)) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

⇒ 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4\(\sqrt { 2 }\) = (x – \(\sqrt { 2 }\)) (6x² + 7 \(\sqrt { 2 }\)x + 4)
अब 6x² + 7\(\sqrt { 2 }\) x + 4 = 6x² + 4\(\sqrt { 2 }\) x + 3\(\sqrt { 2 }\) x + 4
= 2x (3x + 2\(\sqrt { 2 }\)) + \(\sqrt { 2 }\) (3x + 2\(\sqrt { 2 }\))
= (3x + 2\(\sqrt { 2 }\) ) (2x + \(\sqrt { 2 }\))
⇒ अन्य शून्यक \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) = हैं।

प्रश्न 3.
(x – \(\sqrt { 5 }\)) एक त्रिघात बहुपद x³ – 3 \(\sqrt { 5 }\) x² + 13x – 3\(\sqrt { 5 }\) का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (x – \(\sqrt { 5 }\)) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है


अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः \(\sqrt { 5 }\), (\(\sqrt { 5 }\) + \(\sqrt { 2 }\)) एवं (\(\sqrt { 5 }\)  – \(\sqrt { 2 }\)) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक ज्ञात कीजिए एवं उनके तथा बहुपद के गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए :
(1) 4x² – 3x – 1
(2) 3x² + 4x – 4
(3) 5t² + 12t + 7
(4) t³ – 2t² – 15t
(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \) x + \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(6) 4x² + 5 \(\sqrt { 2 }\) x – 3
(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\) ) s + \(\sqrt { 2 }\)
(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15
(9) y² + \(\frac { 3 }{ 2 } \) \(\sqrt { 5 }\) y – 5,
(10) 7y² – \(\frac { 11 }{ 3 } \) y – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
हल:
(1) 4x² – 3x – 1 = 4x² – 4x + x – 1
= 4x (x – 1)+ 1 (x – 1)
= (x – 1) (4x + 1)
जब x – 1 = 0 ⇒ x = 1 एवं जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक 1 एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(2) 3x² + 4x – 4 = 3x² + 6x – 2x – 4
= 3x (x + 2) -2 (x + 2)
= (x + 2) (3x – 2)
जब x + 2 = 0 ⇒ x = -2 एवं जब 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2 एवं \(\frac { 2 }{ 3 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(3) 5t² + 12t + 7 = 5t² + 5t + 7t + 7
= 5t (t + 1) + 7 (t + 1)
= (t + 1) (5t + 7)
जब t + 1 = 0 ⇒ t = -1 एवं जब 5t + 7 = 0 ⇒ t = –\(\frac { 7 }{ 5 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक -1 एवं –\(\frac { 7 }{ 5 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(4) t³ – 2t² – 15t = t [t² – 2t – 15]
= t [t² – 5t + 3t – 15]
= t [t (t – 5) + 3 (t – 5)]
= t (t – 5) (t + 3)
t = 0, जब t – 5 = 0 ⇒ t = 5 और जब t + 3 = 0 ⇒ t = -3.
अतः, अभीष्ट शून्यक 0, 5 एवं -3 हैं।
यदि शून्यक α = 0, β = 5 एवं γ = – 3 मान हों तो

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \)x + \(\frac { 3 }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 14x + 3) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 12x + 2x + 3)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) [4x (2x + 3) + 1 (2x + 3)]
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) (2x + 3) (4x + 1)
जब 2x + 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { -3 }{ 2 } \) और जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = \(\frac { -1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक –\(\frac { 3 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता हैं।

(6) 4x² + 5\(\sqrt { 2 }\) x – 3 = 4x² + 6\(\sqrt { 2 }\) x –\(\sqrt { 2 }\) x – 3
= 2\(\sqrt { 2 }\) x (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) – 1 (\(\sqrt { 2 }\)x + 3)
= (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) (2\(\sqrt { 2 }\) x – 1)

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\))s + \(\sqrt { 2 }\) = 2s² – s – 2\(\sqrt { 2 }\) s + \(\sqrt { 2 }\)
= s (2 s – 1) – \(\sqrt { 2 }\) (2 s – 1)
= (2 s – 1) (s – \(\sqrt { 2 }\))
जब 2s – 1 = 0 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं ज़ब s – \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ s = \(\sqrt { 2 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं \(\sqrt { 2 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15 = u² + 5\(\sqrt { 3 }\) u – \(\sqrt { 3 }\) u – 15
= u(u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (u + 5 \(\sqrt { 3 }\))
= (u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) (u – \(\sqrt { 3 }\))
जब u + 5 \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं जब u – \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(9)

अतः, अभीष्ट शून्यक – 2\(\sqrt { 5 }\) एवं \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(10)

जब 3y – 2 = 0 ⇒ y = \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं जब 7y + 1 = 0 ⇒ y = – \(\frac { 1 }{ 7 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 7 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए तथा पुष्टि कीजिए :
(i) 5 घातांक वाले x के बहुपद द्वारा x⁶ + 2x³ + x – 1 को विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल हो सकता है, क्या?
(ii) क्या द्विघात बहुपद x² + kx + k के किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए बराबर शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं हो सकता क्योंकि यहाँ भागफल एवं भाजक के गुणनफल का घातांक भाज्य बहुपद के घातांक 6 से अधिक हो रहा है जो असम्भव है।
(ii) नहीं हो सकते, क्योंकि बराबर शून्यक के लिए k² – 4k = 0 ⇒ k(k -4) = 0 होना चाहिए, जहाँ या तो k = 0 अथवा k = 4 होगा जो विषम पूर्णांक k > 1 नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं अथवा असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) यदि किसी बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक तब a,b एवं c सभी के चिह्न समान होंगे।
(ii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे तो यह बहुपद द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
(iii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो यह जरूरी नहीं कि यह द्विघात बहुपद हो।
(iv) यदि किसी घन बहुपद के दो शून्यक शून्य हों तब इसमें कोई रेखीय एवं स्थिरांक पद नहीं होगा।
(v) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों तो उसके सभी गुणांकों के चिन्ह समान होंगे।
(vi) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक धनात्मक हों तो a, b और c में से कम-से-कम एक तो ऋणात्मक होगा।
(vii) k का एक मात्र मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx² + x + k समान शून्यक रखता हो, \(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
उत्तर:
(i) कथन असत्य है, क्योंकि दोनों धनात्मक शून्यकों के लिए x का गुणांक b ऋणात्मक होगा।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि यदि द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होंगे तो उसका ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा।
(iii) कथन सत्य है, क्योंकि यह त्रिघात बहुपद भी हो सकता है, यदि इसके दो शून्यक समान हों।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वह त्रिधात (घन) बहुपद ar3 ± bx2 प्रकार का होगा।
(v) कथन सत्य है, क्योंकि यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β एवं γ हैं जो ऋणात्मक है तो α + β + γ = – \(\frac { b }{ a } \) ऋणात्मक होगा जब b एवं a दोनों के चिह्न समान हों।
αβ + βγ + γα = \(\frac { c }{ a } \) धनात्मक होगा जबकि c एवं a के चिन्ह समान हो तथा αβγ = \(\frac { -d }{ a } \)
ऋणात्मक होगा जबकि d एवं a के चिह्न समान हैं।
अतः a, b,c एवं d के चिह्न समान हों तभी सम्भव हैं।
(vi) कथन अ सत्य है, क्योंकि यहाँ a, b एवं c तीनों ऋणात्मक होंगे।
(vii) द्विघात बहुपद kx² + x + k के शून्यक समान होंगे यदि
(1)² – 4k² = 0 ⇒ k² = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ k = ± \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, कथन असत्य है क्योंकि k का मान \(\frac { 1 }{ 2 } \) या \(\frac { -1 }{ 2 } \) हो सकता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा :
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(b) – \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(d) – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा :
(a) x² – x + 12
(b) x² + x + 12
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(d) 2x² + 2x -24.
उत्तर:
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि किसी द्विघात बहुपद x² + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो :
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6
उत्तर:
(d) a = 0, b = – 6

प्रश्न 4.
-2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक
उत्तर:
(d) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
एक त्रिघात (घन) बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) –\(\frac { c }{ a } \)
(b) \(\frac { c }{ a } \)
(c) 0
(d) – \(\frac { b }{ a } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 6.
यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1
उत्तर:
(a) b – a + 1

प्रश्न 7.
एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।
उत्तर:
(b) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।
उत्तर:
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा: (2019)
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c
उत्तर:
(a) c/a

प्रश्न 10.
बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे: (2019)
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9
उत्तर:
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
2. दो बहुपद का योग …………………… होता है।
3. ar² + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण है।
4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है …………………… कहलाता
5. रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:

1. 1,2
2. एक बहुपद
3. द्विघात
4. शून्यक
5. एक।

जोडी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
\(\sqrt { x }\) + 2 एक बहुपद है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.
उत्तर:
सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
उत्तर:
एक

प्रश्न 2.
p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?
उत्तर:
विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?
उत्तर:
– \(\frac { b }{ a } \)

प्रश्न 4.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?
उत्तर:
\(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
तीन।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना,
बेलन की ऊँचाई = h cm है, तो प्रश्नानुसार,
बेलन का आयतन = गोले का आयतन

अतः, बेलन की अभीष्ट ऊँचाई = 2.744 cm है।

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बड़े गोले की त्रिज्या = R cm है, तो प्रश्नानुसार,
बड़े गोले का आयतन = तीन छोटे गोलों के आयतनों का योग

R³ = (6)³ + (8) + (10)³
R³ = 216 + 512 + 1000
= 1728
= (12)³
R = 12 cm
अतः, बड़े गोले की अभीष्ट त्रिज्या = 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप में फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया जाता है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि कुएँ का व्यास 2r = 7m ⇒ r = \(\frac { 7 }{ 2 }\)m है एवं कुएँ की गहराई d = 20 m मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई hm है, तो प्रश्नानुसार, चबूतरे की मिट्टी की आयतन = कुएँ का आयतन
22 m x 14 m x hm = \(\pi r^{2} d=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 20\)
\(h=\frac{22 \times 49 \times 20}{7 \times 4 \times 22 \times 14}=\frac{5}{2} \mathrm{m}\)
= 2.5 m
अतः, चबूतरे की अभीष्ट ऊँचाई = 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (Ring) बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बाँध की ऊँचाई = x m है।
कुएँ का व्यास d = 2r₁ = 3 m ⇒ r₁ = \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 1.5 m तथा गहराई h = 14 m
बाँध की चौड़ाई = 4 m
⇒ बाँध की बाह्य त्रिज्या r₂ = 4 + 1.5 = 5.5 m
∴ वलयाकार बाँध का आयतन = π(r₂² – r₁²)x,
V = π[(5.5)² – (1.5)²] × x
= πx(30.25 – 2.25)
= 28πx m³
∴ कुएँ का आन्तरिक आयतन = πr₁²h
V = π(1.5)² × 14
= 31.5 π
बाँध का आयतन = कुएँ का आन्तरिक आयतन
⇒ 28π x = 31.5 π
⇒ x = \(\frac { 31.5 }{ 28 }\) = 1.125 m
अतः, बाँध की अभीष्ट ऊँचाई = 1.125 m है।

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। इन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

मान लीजिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h = 15 cm तथा व्यास d = 2r = 12 cm (दिया है)
त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm
शंक की ऊँचाई h’ = 12 cm
शंकु का व्यास = अर्द्धगोले का व्यास
d’ = 2r’ = 6 cm (दिया है)
r’ = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 cm
बेलन का आयतन V = πr²h
= π(6)² x 15
= 540π cm³
एवं शंकु का कुल आयतन = V’ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)π(r’)²h’ + \(\frac { 2 }{ 3 }\) π(r’)³
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(r’)² (h’ + 2r’)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(3)² (12 + 2 x 3)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π x 9 x 18
= 54 π cm³

अतः, आइसक्रीम शंकुओं की अभीष्ट संख्या = 10 है।

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
हल :
माना सिक्कों की संख्या = n है दिया है। घनाभ की विमाएँ 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm तथा सिक्कों की मोटाई x = 2 mm = 0.2 cm एवं व्यास d = 2r = 1.75 cm
r = \(\frac { 1.75 }{ 2 }\) cm दिया है।
घनाभ का आयतन = 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm = 192.5 cm³.
n सिक्कों का कुल आयतन = n × πr²x
= \(n \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 75}{2}\right)^{2} \times 0 \cdot 2=\frac{13 \cdot 475}{28} n\)
चूँकि सिक्कों का कुल आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, सिक्कों की अभीष्ट संख्या = 400 है।

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदिशंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

माना लीजिए बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई h = 32 cm तथा त्रिज्या r = 18 cm दी गयी है तथा इसको भरे हुए रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनानी है जिसकी ऊँचाई h’ = 24 cm है। पुनः मान लीजिए कि शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या = r’ cm एवं तिर्यक ऊँचाई = l cm है, तो प्रश्नानुसार,
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन


अतः, शंक्वाकार ढेरी की अभीष्ट त्रिज्या = 36 cm एवं उसकी अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है।

प्रश्न 8.
6m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h चाल से बह रहा है। 30 मिनट में यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पायेगी जबकि ऊँचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल :
मान लीजिए नहर एक घनाभ के आकार की है जिसकी चौड़ाई b = 6 m और गहराई h = 1.5m जिसमें 10 km/h की चाल से पानी बह रहा है। पुनः मान लीजिए यह 30 मिनट में x वर्ग मीटर क्षेत्रफल की सिंचाई करेगा जिसमें पानी की गराई d = 8 cm = 0.08 m है।
30 मिनट में जल धारा की लम्बाई = \(\frac { 30 }{ 60 }h\) x 10 km/h = 5 km
l = 5000 m
जल धारा का 30 मिनट में आयतन = lbh = 5000 x 6 x 1.5 m³
V = 45000 m³.
प्रश्नानुसार,
x × 0.08 = 45000
x = \(\frac{45000}{0.08}=\frac{45000 \times 100}{8} \mathrm{m}^{2}\)
x = 562500 m²
= 56.25 हेक्टेअर
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल = 562500 m² अथवा 56.25 हेक्टेअर है।

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जायेगी?
हल :
बेलनाकार टंकी की गहराई h = 2 m तथा व्यास d = 2r = 10 m
r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 m दिया है।
पाइप का आन्तरिक व्यास d’ = 2r’ = 20 cm = 0.2 m
r’ = 0.1 m है।
जल धारा की पाइप में 1 घण्टे में लम्बाई 3 km = 3000 m होगी।
टंकी का आयतन = πr²h
= π(5)² x 2
= 50π m³
1 घण्टे में नल से प्राप्त जल का आयतन = π(r’)²l
= π(0.1)² x 3000 m³
= 30π m³.

अतः, टंकी को भरने में लगा अभीष्ट समय = 100 मिनट है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल :

∠RPQ = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण है)
समकोण ∆RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
चूँकि QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
= (25)²
⇒ OR = 25
⇒ 2r = 25
⇒ \(r=\frac { 25 }{ 2 }\) [∵ QR वृत्त का व्यास है] .
चूँकि अर्द्धवृत्त RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
⇒ ar (अर्द्धवृत्त RPQ) = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{11 \times 625}{28}=\frac{6875}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x RP x PQ
⇒ ar (∆RPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 7 x 24 = 84 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (अर्द्धवृत्त RPQ) – ar (∆RPQ)
⇒ ar (छायांकित भाग) = \(\frac{6875}{28}-84=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

मान लीजिए संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 14 cm एवं r2 = 7 cm तथा ∠θ = ∠AOC = ∠BOD = 40°

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल :

ज्ञात है : वर्ग की भुजा a = 14 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास 2r = 14 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्त एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
चूँकि छायांकित भाग का क्षेत्रफल, ar (छायांकित भाग) = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – m²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा
गया है।
हल :

चित्रानुसार छायांकित भाग में एक a = 12 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज तथा एक 6 cm त्रिज्या का कोण θ = 360° – 60° = 300° वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड सम्मिलित है।
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) + ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{660}{7}+36 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि a = 4 cm भुजा वाले एक वर्ग ABCD के बीच में व्यास 2 cm अर्थात् 1 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त तथा 1 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के 4 चतुर्थांश चारों कोनों में से काटे गए हैं। इस प्रकार वर्ग से 1 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त काटे गए हैं।
छायांकित (वृत्त के शेष) भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 2 x वृत्त का क्षेत्रफल
ar (छायांकित मान) = a² – 2 x πr²
= (4)² – 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)²
= \(16-\frac{44}{7}=\frac{112-44}{7}=\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः वर्ग के शेष भाग (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\) हैं।

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दिया हुआ वृत्त दिए हुए समबाहु त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है जिसका केन्द्र O त्रिभुज की माध्यिका AD पर स्थित है तथा AO = r = 32 cm तथा OD = \(\frac{r}{2}=\frac{32}{2}\) = 16 cm (O के माध्यिका B को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है)
⇒ AD = 32 + 16 = 48 cm
समकोण ∆ADB में पाइथागोरस एक प्रमेस से,
a² – \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) = (AD)² = (48)²

अत: डिजाइन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
ज्ञात है कि सिरे के दोनों अर्धवृत्ताकार मार्ग एक वृत्ताकार वलय का निर्माण करते हैं तथा समानान्तर रेखाखण्ड दो b = 10 m चौड़े तथा l = 106 m लम्बे आयताकार खण्डों का निर्माण करते हैं। वृत्त की आन्तरिक त्रिज्या r₂ = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30 m तथा बाह्य त्रिज्या r₁ = 30 + 10 = 40 m है।
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक चक्कर लगाने में चली गयी दूरी
= वृत्त की आन्तरिक परिधि + 2 x समानान्तर रेखाखण्ड की लम्बाई
= 2πr₂ + 2l
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 30 + 2 x 106
= \(\frac { 1320 }{ 7 }\) + 212
= \(\frac { 1320+1484 }{ 7 }\)
= \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m
अत: एक चक्कर लगाने में चली गयी अभीष्ट दूरी = \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m है।

(ii) पथ का क्षेत्रफल = वृत्त के वलय का क्षेत्रफल + 2 x आयताकार खण्ड का क्षेत्रफल
= π (r₁² – r₂²) + 2 x l x b
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [(40)² – (30)²] + 2 x 106 x 10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (1600 – 900) + 2120
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 700 + 2120
= 2200 + 2120
= 4320 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4320 m² है।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार बड़े वृत्त की त्रिज्या r₁ = OA = 7 cm (दिया है) = OB = OC = OD छोटे वृत्त का व्यास d = OD = OA = 7 cm
⇒ छोटे वृत्त की त्रिज्या \(r_{2}=\frac{d}{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
त्रिभुज ABC का आधार AB = OA + OB
= 7 + 7
= 14 cm
तथा उसका शीर्षलम्ब OC = OA = 7 cm
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल [देखिए संलग्न आकृति]
⇒ ar (छायांकित भाग)

= 38.5 + 77 – 49
= 115.5 – 49
= 66.5 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल= 66.5 cm² है।

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए संलग्न आकृति 12.24) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a cm है तो

∵ वृत्त के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 100 cm एवं केन्द्र पर बना कोण θ = 60° (समबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण)
∵ तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \(3 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)
= 3 x \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x (100)²
3ar (त्रिज्यखण्ड) = 1.57 x 10000
= 15700 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (ABC) – 3ar (त्रिज्यखण्ड)
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm².
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1620.5 cm² है।

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए संलग्न आकृति 12.25) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : क वर्गाकार रूमाल पर 9 समान वृत्ताकार डिजाइन जिनमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 7 cm है।
⇒ वर्ग की भुजा a = 6 x 7 cm
= 42 cm (चित्रानुसार)
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = a² = (42)²
= 1764 cm²
एवं 9 वृत्ताकार डिजायनों के क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 1386 cm²
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² है।

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।
हल :

चूँकि OB = OA = 3.5 cm = r वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या दी हुई है।
OD = 2 cm (दिया है)
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
ar (OACB) = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(3 \cdot 5)^{2}=\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: चतुर्थांश OACB का अभीष् क्षेत्रफल \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।

(ii) समकोण ADOB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BO x OD
ar (DOB) = \(\frac{1}{2} \times 3 \cdot 5 \times 2=3 \cdot 5 \mathrm{cm}^{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (OACB) – ar (DOB)
= \(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}=\frac{77-28}{8}=\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.27 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।) हल :

दिया है : चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत बना वर्ग OABC जिसकी
भुजा a = OA = 20 cm दी है।
चूँकि चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या r = OB है जो वर्ग OABC का विकर्ण है।
r = a√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश का क्षेत्रफल

वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (20)² = 400 cm²
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 628 – 400 = 228 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 228 cm² है।

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए संलग्न आकृति 12.28)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या r1 = 21 cm एवं शीर्ष कोण θ = 30°
एवं त्रिज्यखण्ड OCD की त्रिज्या r2 = 7 cm एवं कोण θ = 30° है।

ar (OCD) = \(\frac { 77 }{ 6 }\) cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) – ar (OCD)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 308 }{ 3 }\) cm² है।

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति 12.29 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार समकोण समद्विबाहु त्रिभुज BAC में ∠A = 90°,
भुजा a = AB = AC = वृत्त की त्रिज्या = r1 = 14 cm
समकोण ∆BAC में,

= अर्द्ध वृत्त का व्यास

ar (छायांकित भाग) = ar (BAC) + ar (अर्द्धवृत्त) – ar (चतुर्थांश)
= 98 + 154 – 154
= 98 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 98 cm² है।

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति 12.30 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :

प्रथम विधि-आकृति के अनुसार छायांकित भाग दो चतुर्थांशों की अवधाओं से मिलकर बना है। चतुर्थांश की त्रिज्या r = 8 cm है तथा समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ = 8 cm जो कि P वृत्त की त्रिज्या है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}=\frac{352}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
एवं संगत समकोण ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 x 8 = 32 cm
⇒ संगत अवधा का क्षेत्रफल

ar (छायांकित भाग) = 2 x अवधा का क्षेत्रफल
= 2 x \(\frac { 128 }{ 7 }\)
= \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm² है।
द्वितीय विधि (वैकल्पिक विधि)-
दी हुई आकृति के अनुसार छायांकित डिजायन दो समान चतुर्थांशों के योग में से वर्ग को घटाकर बनाया गया है।
चूँकि 2 x ar (चतुर्थांश) = \(2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}\)
= \(\frac{704}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि ar (वर्ग) = (8)² = 64 cm²
चूँकि ar (छायांकित डिजायन) = 2 x ar (चतुर्थांश) – ar (वर्ग)
= \(\frac{704}{7}-64=\frac{704-448}{7}=\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः छायांकित डिजायन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A,
(ii) sin C, cos C
हल :
∵ समकोण ∆ABC में,

∠B = समकोण AC² = AB² + BC²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
AC = √625 = 25

(i) अब \(\sin A=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\) एवं \(\cos A=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\)
अतः sin A एवं cos 4 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 24 }{ 25 }\) हैं।

(ii) \(\sin C=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\) एवं \(\cos C=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\)
अत: sin C एवं cos C के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 24 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 7 }{ 25 }\) हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 8.3 में tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆PQR में ∠Q समकोण है,

QR² = PR² – PQ²
= (13)² – (12)²
= 169 – 144
= 25
QR = √25 = 5
अब

अत: tan P – cot R का अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\), तो cos A और tan A का परिकलन कीजिए। (2019)
हल :
मान लीजिए ∆ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\) (दिया है)

अतः cos A एवं tan A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) एवं \(\frac{3}{\sqrt{7}}\) है।

प्रश्न 4.
15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि 15 cot A = 8

अतः sin A एवं sec A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 15 }{ 17 }\) एवं \(\frac { 17 }{ 8 }\) है।

प्रश्न 5.
यदि \(\sec \theta=\frac{13}{12}\) हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल :
मान लीजिए ∆ABC त्रिभुज का ∠B = समकोण है तथा ∠C = θ है

अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय (अन्य) अनुपात होंगे :

प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए ∠A = ∠B.
हल :
ACB एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠A और ∠B न्यूनकोण हैं।
cos A = cos B (दिया है)

[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं] इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
\(\cot \theta=\frac{7}{8}\) तो
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot² θ के मान निकालिए।
हल :
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)

अत: अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।

(ii) cot² θ = (cot θ)² = (7/8)²
= 49/64
अतः अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।

प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं।
हल :
मान लीजिए ∆ABC में, ∠B पर समकोण है।
चूँकि 3 cot A = 4 (दिया है)

चूँकि सिद्ध करना है कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं

L.H.S. = R.H.S.
अतः \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है।

प्रश्न 9.
∆ABC में जिसका कोण B समकोण है, यदि \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल :
∆ABC का ∠B समकोण दिया है (देखिए आकृति 8.9) और \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

अतः अभीष्ट मान = 1 है।

अतः अभीष्ट मान = 0 है।

प्रश्न 10.
∆POR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + OR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∆POR का ∠Q समकोण दिया है और
PR + QR = 25 cm …(1)
तथा PQ = 5 cm …(2)
दिये हैं। PR² – QR² = PQ²
(PR + QR) (PR – QR) = PQ²
25 (PR – QR) = (5)² = 25
PR – QR = \(\frac { 25 }{ 25 }\) = 1 …(3)
2PR = 26 [समीकरण (1) + (3) से]
PR = \(\frac { 26 }{ 2 }\) = 13
PR = 13 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
13 + QR = 25
QR = 25 – 13 = 12

अतः अभीष्ट मान sin P = \(\frac { 12 }{ 13 }\), cos P = \(\frac { 5 }{ 13 }\) एवं tan P = \(\frac { 12 }{ 5 }\) है।

प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \(\frac { 12 }{ 5 }\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \(\frac { 4 }{ 3 }\).
हल :
(i) कथन असत्य है, क्योंकि tan A का मान θ से अनन्त तक हो सकता है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sec A का मान सदैव 1 से अधिक होता है।
(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप होता है।
(iv) कथन असत्य है, क्योंकि cot A, cot एवं A का गुणनफल नहीं बल्कि cot A, कोण A का एक त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।
(v) कथन असत्य है, क्योंकि sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि संलग्न आकृति 6.13 में दिए हुए त्रिभुजों के युग्मों के कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए, जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल :
(i) ∵ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q एवं ∠C = ∠R
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

(ii) ∵

∆ABC ~ ∆QPR [SSS समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆QRP समरूप त्रिभुज हैं।

(iii) ∵

अतः अभीष्ट ∆LMP ≠ ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(iv) ∵

जो समानुपाती हैं तथा बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।
∆MNL ~ ∆PQR [SAS समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆MNL ~ ∆POR समरूप त्रिभुज हैं।

(v) ∵

एवं ∠A = ∠F = 80°
यहाँ ∠F तो अन्तर्गत है, लेकिन ∠A अन्तर्गत नहीं है।
अत: ∆ABC एवं ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(vi) ∵ ∆DEF में, ∠F = 180° – (70° + 80°) = 180° – 150° = 30°
एवं ∆PQR में, ∠P = 180° – (80° + 30°) = 180° – 110° = 70°
अतः ∠D = ∠P = 70°, ∠E = ∠Q = 80° एवं ∠F = ∠R = 30°
∆DEF ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆DEF ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 6.14 में ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° हैं। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ ∠DOC + ∠COB = 180° [रैखिक युग्म हैं।]
∵∠DOC = 180° – ∠COB
= 180° – 125° = 55°
[∵∠COB = 125° दिया है।]
∵∠DCO + ∠CDO = ∠COB [∠COB बहिष्कोण है।]
⇒∠DCO + 70° = 125° [∵ ∠CDO = 70° एवं ∠COB = 70° दिए हैं।]
⇒∠DCO = 125° – 70° = 55°
∵∆ODC ~ ∆OBA
⇒∠OAB = ∠OCD = ∠DCO = 55° [संगतकोण हैं]
अतः अभीष्ट ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° एवं ∠OAB = 55°.

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\) है।
हल :

ज्ञातहैः एकसमलम्बचतुर्भुज ABCD जिसकीभुजाएँ AB||DC एवं जिसके विकर्ण AC एवं BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.10)
रचना : एक रेखा EF || AB || DC खींचिए।
अब चूँकि ∆ADC में, EF || DC (रचना से)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ….(1) [प्रमेय : 6.1 से]
चूँकि ∆DAB में, EF || AB (रचना से)

वैकिल्पक विधि:
समलम्ब ₹ ABCD में AB || DC एवं विकर्ण AC एवं BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (देखिए संलग्न आकृति 6.11)

चूँकि AB || DC (दिया है)
एवं AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि AB || DC (दिया है) एवं BD तिर्यक रेखा है।
∠OBA = ∠ODC ….(2) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि ∠AOB = ∠DOC …(3) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AOB एवं ∆COD के तीनों संगत कोण बराबर हैं। [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
∆AOB ~ ∆COD [AAA समरूपता]
\(\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{C O}\)
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.15 में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR
हल :

∵ ∆PQR में, ∠O = ∠R
[∵ ∆PQR में, ∠PQR = 21 एवं ∠PRQ = ∠2 एवं ∠1 = ∠2 दिया है]
PQ = PR …(1) [बराबर कोणों को सम्मुख भुजाएँ हैं|

अब ∆PQS एवं ∆TQR में,
चूँकि ∠PQS = ∠TOR = ∠Q
\(\frac{Q S}{Q P}=\frac{Q R}{Q T}\) [समीकरण (3) से]
[जो कि उपरोक्त उभयनिष्ठ कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
∆PQS ~ ∆TQR. SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
त्रिभुज PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्द S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS.
हल :

मान लीजिए कि ∆PQR की भुजाओं PR और QR पर बिन्दु S और T इस प्रकार दिए हैं कि ∠P = ∠RTS
अब ∆RPQ और ∆RTS में,
∠RPQ = ∠RTS [दिया है।]
∠QRP= ∠SRT [चित्रानुसार उभयनिष्ठ है]
∆PQR ~ ∆RTS [AA समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.17 में यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC.
हल :

∵ ∆ABE ≅ ∆ACD दिया है
⇒ AB = AC …(1) [CPCT]
AE = AD …(2) [CPCT]
⇒ \(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) …(3)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
अब ∆ADE और ∆ABC में,
∵∠DAE = ∠BAC [उभयनिष्ठ है]
∵\(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) [समीकरण (3) से]
[ये भुजाएँ बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
⇒∆ADE ~ ∆ABC.
[SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.18 में शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC.
हल:

∠D = ∠E
[∵ AD ⊥ BC एवं CE ⊥ AB, दिया है]
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠E = ∠D [दिया है]
∠APE = ∠CPD शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∆AEP ~ ∆CDP. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ABD = ∠CBE [चित्रानुसार उभयनिष्ट है]
∠D = ∠E [दिया है।]
∆ABD ~ ∆CBE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠EAP = ∠DAB [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∠E = ∠D [दिया है]
∆AEP ~ ∆ADB. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠D = ∠E [दिया है]
∠PCD = ∠BCE [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆PDC ~ ∆BEC. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB है।
हल :

ABCD एक दिया हुआ समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढ़ी हुई भुजा AD पर E कोई बिन्दु है। BE, CD को बिन्दु F पर प्रतिच्छेद करती है।
∆ABE और ∆CFB में,
∵∠A = ∠C [समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
∵∠ABE = ∠CFB [एकान्तर कोण हैं।]
[∵ AB || DC एवं BE तिर्यक रेखा है।]
∆ABE ~ ∆CFB.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति 6.20 में ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
हल :

(i) ∆ABC और ∆AMP में,
∠B = ∠M = 90° [समकोण दिए हैं।]
∠CAB = ∠PAM [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆AMR. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP [सिद्ध कर चुके हैं]
\(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
[क्योंकि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित है। यदि ∆ABC ~ ∆FEG, तो दर्शाइए कि:
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
हल :
दिया है : ∆ABC ~ ∆FEG, CD एवं GH क्रमशः कोण ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि D और H क्रमश: ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

∆ABC ~ ∆FEG [दिया है]
∠A = ∠F, ∠B = ∠E एवं ∠C = ∠G …(1)
\(\frac{A B}{F E}=\frac{B C}{E G}=\frac{C A}{G F}\) …(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∠ACD = ∠BCD = ∠EGH = ∠FGH [बराबर कोणों ∠C एवं ∠G के आधे हैं।]

(i) ∆ACD और ∆FGH में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆ACD ~ ∆FGH [AA समरूपता]
\(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

(ii) ∆DCB और ∆HGE में,
चूँकि ∠B = ∠E [समीकरण (1) से]
एवं ∠BCD = ∠EGH [समीकरण (3) से]
∆DCB ~ ∆HGE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA और ∆HGF में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
एवं ∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆DCA ~ ∆HGF.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.22 में AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।
हल :

∆ABD और ∆ECF में,
चूँकि ∠B = ∠C
[AB = AC के सम्मुख एवं कोण हैं।]
∠D = ∠F [AD ⊥ BC, EF ⊥ AC]
∆ABD ~ ∆ECE [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है [देखिए संलग्न आकृति 6.23] । दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।

हल :
दिया है

[चूँकि AD एवं PM माध्यिकाएँ]
अब ∆ABD और ∆PQM में,
∵ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (1) एवं (2) में]
⇒ ∆ABD ~ ∆PQM [SSS समरूपता]
⇒ ∠B = ∠Q …(3) [समरूपता त्रिभुजों के प्रगुण]
अब ∆ABC और ∆PQR में,
चूँकि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) [समीकरण (1) से]
एवं ∠B = ∠C [समीकरण (3) से]
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR. [SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
हल :

∆ABC की भुजा BC पर कोई बिन्दु D इस प्रकार दिया है कि :
∠ADC = ∠BAC [देखिए संलग्न आकृति 6.24]
∆ABC और ∆DAC में,
‘चूंकि ∠BAC = ∠ADC [दिया है]
∠ACB = ∠DCA [उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆DAC [AA समरूपता]
\(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
CA.CA = CB.CD
⇒ CA² = CB.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल :

दो त्रिभुज ∆ABC एवं ∆PQR दिए हैं जिनकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD एवं PM हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.25) जिसमें दिया है : \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}=k\)
(मान लीजिए) …(1)
AB = kPQ, AC = kPR एवं AD = kPM …….(2)
∵∆ABC में AD माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
AB² + AC² = 2AD² + 2BD² …(3)
k²PQ² + K²PR² = 2k²PM² + 2BD² [समीकरण (2) एवं (3) से]
k²(PQ² + PR² – 2PM²) = 2BD²
∆PQR में PM माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
PQ² + PR² = 2PM² + 2QM²
PQ² + PR² – 2PM² = 2QM²…(5)
k²(2QM²) = 2BD² [समीकरण (4) एवं (5) से]

प्रश्न 15.
लम्बाई 6 मीटर वाले एक स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 6 cm लम्बा एक स्तम्भ है जिसकी छाया BC की लम्बाई 4 m है एवं ∠ABC = 90° तथा ∠C = x° है। आकृति 6.26(a) एवं PQ = h m (मान लीजिए) कि ‘मीनार की छाया QR की लम्बाई 28 m है एवं ∠PQR = 90° तथा ∠R = x° है।
∠C = ∠R = x° (सूर्य का उन्नयन कोण) एवं ∠B = ∠Q = 90°
∆ABC ~ ∆PQR [AA समरूपता]

अत: मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 42 cm है।

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुओं ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।
हल :

दिया है : AD और PM क्रमशः ∆ABC एवं ∆PQR की माध्यिकाएँ हैं और ∆ABC ~ ∆PQR [देखिए संलग्न आकृति 6.27]
चूँकि
∆ABC ~ ∆PQR (दिया है)
∠B = ∠Q …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
लेकिन BC = 2BD एवं QR = 2QM [D, BC का और M, QR का मध्यबिन्दु है]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ….(2)
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (2) से]
AABD ~ APQM [SAS समरूपता]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। (2019)
हल :
ज्ञात है : r = 6 cm एवं θ° = 60°
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times(6)^{2}\)
= \(\frac{132}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{132}{7} \mathrm{cm}^{2}\)

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।
हल :
चूंकि परिधि = 2πr
2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x r = 22
\(r=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
चूँकि चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right)\)
= \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः चतुर्थांश का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि मिनट सुई 1 घण्टे में (60 मिनट में) वृत्त का एक चक्कर लगाती है।
इसलिए 5 मिनट में \(\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\) वृत्त को रचेगी।
इस वृत्त की त्रिज्या r = सुई की लम्बाई = 14 cm
वृत्त के अंश का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{154}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 4.
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड।
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :

दिया है : r = 10 cm एवं θ = 90°
(i) चूँकि लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360} \pi r^{2}\)
ar (OAPB) = \(\frac { 90 }{ 360 }\) x 3.14 x (10)²
= \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x 100
ar (OAPB) = 78.5 cm²
ar (∆OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) OA x OB
ar (OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 x 10 = 50 cm² …(2)
चूँकि संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 78.5 – 50 = 28.5 cm² [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः संगत लघु वृत्त खण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28.5 cm² है।

(ii) चूँकि संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{360-\theta}{360} \pi r^{2}\)

अतः संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 235.5 cm² है।

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लम्बाई (2019)
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (2019)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चूंकि चाप की लम्बाई = \(\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r\)
चाप की लम्बाई = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21\)
चाप (APB) = \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 22 x 6 = 22 cm
अतः चाप की अभीष्ट लम्बाई = 22 cm

(ii) चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
ar (OAPB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 22 x 3 x 21 = 231 cm²
अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 231 cm² है।

(iii) चूँकि ∆OAB में ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA
तथा ∠OAB + ∠OBA = 180° – 60° = 120°
∠OAB = ∠OBA = \(\frac { 120 }{ 2 }\) = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा = 21 cm
चूँकि समबाहु ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
ar(OAB) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}(21)^{2}=\frac{441 \sqrt{3}}{4} \mathrm{cm}^{2}\)
और चूँकि वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= \(\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{cm}^{2}\)
अतः संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : वृत्त की त्रिज्या OA = OB = 15 cm
एवं ∠AOB = 60°
∠OAB + ∠OBA = 180° – 60°
= 120° …(1)
और ∠OAB = ∠OBA …(2) [∵ OA = OB]
∠OAB = ∠OBA
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120° = 60°[समीकरण (1) एवं (2) से]
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 15 cm
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
ar (OAPB) = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x 15 x 15
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 3.14 x 15 x 15
= 1.57 x 75
ar (OAPB) = 117.75 cm² …(3)
चूँकि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
ar (OAB) = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 15 \times 15=\frac{225 \sqrt{3}}{4}\)
ar (OAB) = \(\frac{225 \times 1 \cdot 73}{4}\) = 97.31 cm² [लगभग] …(4)
चूँकि लघु वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 117.75 – 97.31
= 20.44 cm² …(5)
[समीकरण (3) एवं (4) से मान रखने पर ]
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 x 15 x 15
= 706.5 cm² …(6)
चूँकि दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (AQB) = 706.5 – 20.44
= 686.06 cm² (लगभग)
अतः लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20.44 cm² (लगभग) एवं दीर्घ वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 686.06 cm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : केन्द्र O वाला वृत्त जिसकी त्रिज्या 12 cm है तथा एक जीवा AB केन्द्र O पर ∠AOB = 120° का कोण बनाती है।
O से OM ⊥ AB खींचिए जो AB को M पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज OAB में OM शीर्ष लम्ब है।
इसलिए यह ∠AOB = 120° को समद्विभाजित करेगी
अर्थात्
∠AOM = ∠BON = \(\frac { 120 }{ 2 }\) = 60°
एवं AM = BM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB.
अब समकोण ∆OMA में,

AM = 6 √3 = 6 x 1.73 = 10.38 cm
[∵ sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ]
AB = 2 AM = 2 x 10.38 = 20.76 cm
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x AB x OM
ar (OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 20.76 x 6 = 62.28 cm² …(1)
चूँकि त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac { 120 }{ 360 }\) x 3.14 x (12)²
ar (OAPB) = 3.14 x 48 = 150.72 cm² ….(2)
चूँकि वृत्तखण्ड APB = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 150.72 – 62.28
[समीकरण (1) एवं (2) से मान रखने पर]
ar (APB) = 88.44 cm²
अतः संगत वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 88.44 cm² है।

प्रश्न 8.
15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति 12.8) ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

(i) घोड़े द्वारा घास चरे जा सकने वाला मैदान एक वृत्त का चतुर्थांश होगा जिसकी त्रिज्या 5 m है।
मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (5)²
\(A_{1}=\frac{78 \cdot 50}{4}\)
= 19.625 m²
अतः घास के मैदान का अभीष्ट क्षेत्रफल = 19.625 m² है।

(ii) अब घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले घास का मैदान 10 m त्रिज्या के वृत्त का चतुर्थांश होगा
मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (10)²
A2 = 78.5 m²
घास के मैदान में वृद्धि = A2 – A1 = 78.5 – 19.625
= 58.875 m²
अतः घास के मैदान में अभीष्ट वृद्धि = 58.875 m² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार बूच (brough) को चाँदी के तार से बनाया जाता है, जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति 12.9 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) बूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चाँदी के तार से वृत्त की परिमाप एवं पाँच व्यास बनाने हैं। व्यास = 35 mm दिया है।
वृत्त की परिमाप (परिधि) = πd = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 35 = 110 mm
पाँच व्यासों की लम्बाई = 5 x d = 5 x 35 = 175 mm
तार की कुल लम्बाई = 110 mm + 175 mm = 285 mm
अतः वांछित चाँदी के तार की अभीष्ट लम्बाई = 285 mm है।

(ii) पाँच व्यासों द्वारा वृत्त 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित हो रहा है।
इसलिए प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}\)
= \(\frac{11 \times 35}{4}=\frac{385}{4}\)
अतः प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{385}{4} \mathrm{mm}^{2}\) है।

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 12.10)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमांगत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

बराबर दूरी पर लगी आठ तानें वृत्त को आठ बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त करती हैं जिसकी त्रिज्या 45 cm दी है।
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दो तानों के बीच अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{22275}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wiper) हैं, परस्पर कभी भी अच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों
की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रत्येक वाइपर 25 cm की त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल साफ करता है जिसकी त्रिज्याओं के बीच कोण θ = 115° है।
दोनो वाइपरों द्वारा कुल साफ किया गया क्षेत्रफल (एक बार में)

अतः दोनों वाइपरों द्वारा प्रत्येक बुहार में साफ किया गया अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{158125}{126}\) है।

प्रश्न 12.
जहाजों को समुद्र में जल स्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (Light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिससे जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :

लाइट हाउस द्वारा जहाजों को दी जाने वाली चेतावनी के लिए क्षेत्रफल एक त्रिज्यखण्ड होगा जिसकी त्रिज्याएँ r = 16.5 km एवं त्रिज्याओं के बीच का कोण θ = 80° होगा।
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360} \pi r^{2}\)
समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x 16.5 x 16.5 .
= 6.28 x 5.5 x 5.5
= 189.97 km²
अतः समुद्र के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 189.97 km² है।

प्रश्न 13.
एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 12.12 में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है, तो Rs 0.35 प्रतिवर्ग सेण्टीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

मेजपोश कुल छः बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त है जिनकी त्रिज्या 28 cm तथा त्रिज्याओं के बीच कोण \(\frac { 360 }{ 6 }\) = 60° होगा।
मान लीजिए कि एक त्रिज्यखण्ड OAPB संलग्न आकृति 12.13 में दिखाया गया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।
[क्योंकि ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA = 60°]
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) x (28)²
ar (OAB) = 333.2 cm² …(1)
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)

ar (OAPH) = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}(28 \times 28)\)
= \(\frac{22 \times 56}{3} \mathrm{cm}^{2}\)
= 410.67 cm²
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 410.67 – 333.2
= 77.47
6 वृत्तखण्डों का कुल क्षेत्रफल = 6 x 77.47 = 464.82 cm²
डिजाइन बनाने की लागत = दर x कुल क्षेत्रफल
= 0.35 x 464.82
= Rs 162.68
अत: अभीष्ट लागत = Rs 162.68 है।

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है, निम्नलिखित है :

उत्तर-
(D) \(\frac{P}{720} \times 2 \pi R^{2}\)