Class 10

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 12.35 में ABCD एक आयत है, जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm है। BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : एक आयत जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm
तथा एक अर्द्धवृत्त जिसका व्यास 14 cm, दिया है
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
आयत का क्षेत्रफल = 21 x 14 = 294 cm²
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(7)^{2}\)
= 77 cm²
चूँकि ar (छायांकित भाग) = ar (आयत) – ar (अर्द्धवृत्त)
ar (छायांकित भाग) = 294 – 77 = 217 cm²
छायांकित भाग की परिमाप = AB + DC + AD + πr
छायांकित भाग की परिमाप = 21 + 21 + 14 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7
= 21 + 21 + 14 + 22
= 78 cm
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 217 cm² एवं अभीष्ट परिमाप = 78 cm है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 12.36 में O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 21 cm एवं 42 cm है यदि ∠AOB = 60° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi=\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बाह्य वृत्त की त्रिज्या r1 = 42 cm एवं आन्तरिक वृत्त की त्रिज्या r2 = 21 cm. छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ2 = 360° – 60° = 300° तथा बड़े वृत्त के त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ1 = 60° है।
∵ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{\theta_{2}}{360^{\circ}} \times \pi r_{2}^{2}\)
⇒ ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times(21)^{2}\)
= 5 x 11 x 21
= 1155 cm²
∵ ar (बड़े वृत्त का त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{\theta_{1}}{360^{\circ}} \times \pi\left(r_{1}\right)^{2}\)
= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times(42)^{2}=924 \mathrm{cm}^{2}\)
= 924 cm²
∵ बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{1}^{2}=\frac{22}{7} \times(42)^{2}\)
⇒ ar (दीर्घ वृत्त) = 5544 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (दीर्घ वृत्त) – ar (छोटे वृत्त का दीर्घ त्रिज्यखण्ड) – ar (छोटे वृत्त का लघु त्रिज्यखण्ड)
⇒ ar (छायांकित भाग) = 5544 – 1155 – 924
= 5544 – 2079
= 3465 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 3465 cm² है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, प्रत्येक 3 cm व्यास के तीन अर्द्धवृत्त, 4.5 cm त्रिज्या का एक अर्द्धवृत्त बनाए गए है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि 4.5 cm त्रिज्या के अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

चूँकि 4.5 cm व्यास अर्थात् \(\frac { 9 }{ 4 }\) cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{891}{56} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि 3 cm व्यास अर्थात् \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या के एक अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

कुल क्षेत्रफल = ar ( \(\frac { 9 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त ) + ar (\(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)
कुल क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = ar(\(\frac { 9 }{ 4 }\) cm त्रिज्या का वृत्त) + 2 x ar (\(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)

ar (छायांकित भाग) = कुल क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 12.375 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में केन्द्र वाले वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड OAP दर्शाया गया है जिसका केन्द्र पर अन्तरित कोण θ है। AB वृत्त की त्रिज्या OA पर लम्ब है जो OP को बढ़ाने पर बिन्दु B पर काटता है। सिद्ध कीजिए कि रेखांकित भाग का परिमाप \(r\left[\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1\right]\) है।
हल :

समकोण ∆OAB में,
tan θ = \(\frac { AB }{ r }\) ⇒ AB = r tan θ …(1)
एवं sec θ = \(\frac { OB }{ r }\) ⇒ OB = r sec θ …(2)
तथा चाप \(AP=\frac{\theta}{180^{\circ}} \pi r\) …(3)
चूँकि छायांकित भाग की परिमाप = AB + PB + चाप AP
= AB + (OB – OP) + चाप AP

अत: अभीष्ट परिमाप = \(r\left[\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1\right]\) है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 12:39 में दो संकेन्द्रीय वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएँ 7 cm तथा 14 cm है, के बीच घिरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि ∠AOC = 40° है। (\(\pi=\frac{22}{7}\) लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बड़े वृत्त की त्रिज्या r1 = 14 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या r2 = 7 cm तथा त्रिज्यखण्ड AOC का शीर्ष कोण θ1 = 40° है। छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण θ2 = 360° – 40° = 320°
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल

छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

बड़े वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल + लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल
= 616 – 205.33
= 410.67 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 410.67 cm² है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 12.40 में O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB = 13 cm है तथा AC = 12 cm है। BC को मिलाया गया है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : ∆ACB में ∠C समकोण है (चूँकि अर्द्धवृत्त का कोण है), विकर्ण AB = 13 cm तथा AC = 12 cm, वृत्त का व्यास AB = 13 cm तो त्रिज्या r = \(\frac { 13 }{ 2 }\) cm
या समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से

समकोण ∆ACB का क्षेत्रफल

अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (अर्द्धवृत्त) – ar (ABC)
= 66.33 – 30
= 36.33 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 36.33 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में PQRS एक वर्गाकार लॉन है जिसकी भुजा PQ = 42 m है। दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ भुजा PS तथा QR पर हैं जिनका केन्द्र इस वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिन्दु O है। दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है PQRS एक वर्गाकार लॉन जिसकी भुजा PQ = 42 m है अर्थात् PS = PQ = QR = RS = 42 m. हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए OP = r वृत्त की त्रिज्या है। समकोण ∆SOP में पाइथागोरस प्रमेय से,
OP² + OS² = PS²
⇒ r² + r² = (42)²
⇒ 2r² = 42 x 42
⇒ r² = 21 x 42

ar (छायांकित वृत्तखण्ड) = ar (त्रिज्यखण्ड) – ar (POS)
= 693 – 441
= 252 m²
कुल छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 2 x 252
= 504 m²
अतः दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = 504 m² है।

प्रश्न 8.
14 cm त्रिज्या वाले उस लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केन्द्रीय कोण 60° है। संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (\(\pi=\frac{22}{7}\) लीजिए)।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या r = OA = OB = 14 cm तथा OA और OB के बीच केन्द्र पर बना कोण (लघु वृत्तखण्ड का केन्द्रीय कोण) θ = 60° दिया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज होगा जिसकी भुजा a = OA = AB = OB = 14 cm है।
∵त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

∵समबाहु ∆OAB का क्षेत्रफल

∵वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{7(44-21 \sqrt{3})}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।
∵वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (14)²
= 22 x 28
= 616 cm²
∵दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \(\frac{7(220+21 \sqrt{3})}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 22176 m² है। इसकी चारदीवारी लगवाने का खर्च कितना होगा यदि दर Rs 50 प्रति मीटर हो।
हल :
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल = πr² = 22176
\(\frac { 22 }{ 7 }\) r² = 22176
r² = \(\frac { 22176 \times 7 }{ 22 }\) = 7056
r = √7056
= 84 m
वृत्ताकार मैदान की परिधि = 2πr = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 84
= 528 m
चार दीवार लगवाने का व्यय = दर x परिधि
= 50 x 528
= Rs 26,400
अतः वृत्ताकार खेल के मैदान की चारदीवारी लगवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 26,400 होगा।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 15 m, 16 m एवं 17 m हैं। मैदान के कोनों में एक गाय, एक भैंस एवं एक घोड़ा अलग-अलग 7 m लम्बे रस्से से प्रत्येक को घास चरने के लिए बाँधा गया है। मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसको चरा नहीं गया है।

हल :
मान लीजिए त्रिभुजाकार मैदान ABC की भुजाएँ AB = 15 m, BC = 16 m एवं CA = 17 m हैं। शीर्ष A, B एवं C से 7 m लम्बे रस्से में क्रमशः गाय, भैंस एवं घोड़ा बाँधा गया है जो 7 m त्रिज्या वाले तथा शीर्ष कोण क्रमश: ∠A, ∠B, ∠C वाले त्रिज्यखण्डों से घास चर सकेंगे तथा छायांकित भाग मैदान का वह भाग होगा जहाँ से घास नहीं चरी जा सकेगी।

तीनों पशुओं द्वारा चरे गए मैदान के भाग का क्षेत्रफल

चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m²
अतः चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m² है।

प्रश्न 11.
12 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत त्रिज्यखण्ड का केन्द्र पर बना कोण 60° है। (π = 3.14 का प्रयोग करें।)
हल :

मान लीजिए OA = OB = 12 cm त्रिज्या तथा O केन्द्र वाला एक वृत्त है जिसका त्रिज्यखण्ड OADB तथा संगत वृत्तखण्ड ADB है। त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ = ∠AOB = 60°
∠O = ∠A = ∠B = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा a = 12 cm है।

ar (छायांकित भाग) = 75.36 – 62.35
ar (ADB) = 13.01 cm²
अतः वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 13.01 cm² है।

प्रश्न 12.
एक वृत्ताकर पोखर (तालाब) का व्यास 17.5 m है। यह 2 m चौड़े रास्ते से घिरा हुआ है। Rs 25 प्रति m² की दर से रास्ते को बनवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्ताकार तालाब का व्यास d = 2r1 = 17.5 m
r1 = 8.75 m = \(\frac { 35 }{ 4 }\) = m
इसके चारों ओर 2 m चौड़ा रास्ता है।
बाह्य वृत्त की त्रिज्या r2 = 8.75 + 2 = 10.75 m = \(\frac { 43 }{ 4 }\)m

रास्ते का क्षेत्रफल = ar (O, r2) – ar (O, r1)

रास्ते के बनवाने का कुल व्यय = दर x क्षेत्रफल
= Rs 25 x \(\frac { 858 }{ 7 }\)
= \(\frac { 21450 }{ 7 }\)
= Rs 3064.29
अतः रास्ते को बनवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 3064.29 है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.46 में ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के बीच दूरी = 14 cm है। यदि A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर क्रमशः 7 cm की त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के मध्य दूरी = 14 cm. शीर्ष A, B,C एवं D से 7 cm त्रिज्या के चाप काटे हैं।
समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (AB + DC) x बीच की दूरी
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (18+32) x 14 cm²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 50 x 14 = 350 cm²
अब शीर्षों पर बने त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल,

ar (छायांकित भाग) = ar (ABCD) – ar (चारों त्रिज्यखण्ड)
= 350 – 154
= 196 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 196 cm² है।

प्रश्न 14.
3.5 cm प्रत्येक त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष दो वृत्तों को बाह्यतः स्पर्श करे। इन वृत्तों से बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए r = 3.5 cm = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm त्रिज्या वाले तीन वृत्त जिनके केन्द्र P, Q एवं R है। संलग्न आकृति 12.47 के अनुसार खींचे गए हैं। उनसे घिरे छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूँकि ∆PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई a = \(\frac{7}{2}+\frac{7}{2}\) = 7 cm है तथा इसके अन्तर्गत प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm एवं केन्द्रीय कोण θ = 60° है।

ar (छायांकित भाग) = ar (PQR) – 3 ar (त्रिज्यखण्ड)
= 21.217 – 19.25
= 1.967 cm²
अतः छायांकित भाग अर्थात् वृत्तों के मध्य घिरे हुए क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल =1.967 cm² है।

प्रश्न 15.
5 सेमी त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लम्बाई 3.5 cm है।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र का एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या r = 5 cm है तथा, चाप \(\widehat{P R Q}\) की लम्बाई 3.5 cm है केन्द्र पर θ कोण अन्तरित करता है। इसका संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ है।

चूँकि त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल

अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 8.75 cm² है।

प्रश्न 16.
7 cm त्रिज्या वाले 4 वृत्ताकार समान कार्ड बोर्ड के टुकड़े आपस में सटाकर एक कागज पर इस प्रकार रखे हैं कि प्रत्येक शेष तीन वृत्तों में से दो को स्पर्श करता है। इन चारों के बीच घेरे हुए कागज के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 17.
784 cm² क्षेत्रफल वाले एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड पर चार समान (सर्वांगसम) अधिकतम माप की वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक शेष में से दो को बाह्यतः स्पर्श करें तथा वर्ग की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों की स्पर्श रेखा हो, तो A. इन प्लेटों से अनाच्छादित कार्ड बोर्ड के रिक्त क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

मान लीजिए एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड ABCD है जिसका क्षेत्रफल 784 cm² है। आकृति के अनुसार चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें P, Q, R एवं S रखी हैं। चूँकि दो प्लेटें परस्पर स्पर्श कर रही हैं ।

कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित क्षेत्र का क्षेत्रफल
ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (ABCD) – 4ar (वृत्त)
= 784 – 616 [∵ ar (ABCD) = 784 दिया है।]
= 168 cm²
अतः कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित रिक्त क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 168 cm² है।

प्रश्न 18.
एक वृत्त के केन्द्रीय कोण 200° वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 770 cm² है। इस त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त (O, r) है जिसका θ = 200° केन्द्रीय कोण वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQRP है तथा संगत चाप QRP है तथा ar (OQRP) = 770 cm² (दिया है)। चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल


अतः चाप की अभीष्ट माप = \(73\frac { 1 }{ 3 }\) cm है।

प्रश्न 19.
7 cm एवं 21 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्रमशः केन्द्रीय कोण 120° एवं 40° वाले त्रिज्यखण्ड हैं। दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल तथा उनके संगत चापों के माप ज्ञात कीजिए। आप क्या प्रेक्षित करते है?
हल :

मान लीजिए O एवं x केन्द्र वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 7 cm एवं r2 = 21 cm है तथा केन्द्रीय कोण θ1 = 120° एवं θ2 = 40° वाले त्रिज्यखण्ड क्रमशः OPRQ एवं xytz हैं
जिनके संगत चाप क्रमशः \(\widehat{P R Q}\) एवं \(\widehat{y t z}\) है।

अत: दोनों त्रिज्यखण्डों के अभीष्ट क्षेत्रफल क्रमश: \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² एवं 154 cm² हैं तथा संगत चापों की माप क्रमशः \(\frac { 44 }{ 3 }\) cm एवं \(\frac { 44 }{ 3 }\) cm हैं जो बराबर हैं। इस प्रकार हम प्रेक्षित करते हैं कि चाप बराबर होते हुए भी उनके संगत त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल अलग-अलग हैं।

प्रश्न 20.
एक वृत्ताकार पहिए द्वारा 176 m दूरी तय करने में लगाए गए चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि उसका क्षेत्रफल = 1.54 m².
हल :
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
\(\frac { 22 }{ 7 }\) r² = 1.54
r² = \(\frac { 1.54 \times 7 }{ 22 }\)
= 0.49
चूँकि वृत्त की परिधि (एक चक्कर में चली गई दूरी) = 2πr
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 0.7 = 4.4 m

अतः चक्करों की अभीष्ट संख्या = 40 चक्कर है।

प्रश्न 21.
केन्द्र पर 90° का कोण अन्तरित करने वाले तथा 5 cm लम्बाई की जीवा द्वारा किसी वृत्त को विभाजित करने पर बने दोनों वृत्तखण्डों के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

वृत्त (O,r) की जीवा PQ द्वारा केन्द्र O पर ∠POQ = 90° अन्तरित किया गया है, जहाँ जीवा PQ, ∆POQ का कर्ण है, तो समकोण ∆POQ में,
OP² + OQ² = PQ²
2r² = (5)² = 25
r² = \(\frac { 25 }{ 2 }\) …(1)
लघु त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP का क्षेत्रफल = \(\frac{360^{\circ}-\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल = ar (OPRQ) – ar (OPQ)

अतः दोनों वृत्तखण्डों का अभीष्ट अन्तर = \(\left(\frac{25}{4} \pi+\frac{25}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 22.
21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्रीय कोण 120° वाले त्रिज्यखण्ड का उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए r = 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त (O, r) का केन्द्रीय कोण θ1 = 120° वाला एक त्रिज्यखण्ड OPRQ तथा इसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP है जिसका केन्द्रीय कोण θ2 = 360° – 120° = 240° है।


ar (OQSP) – ar (OPRQ) = 924 – 462
= 462 cm²
अतः दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अन्तर = 462 cm² है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 15 cm एवं 18 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है।
हल :
मान लीजिए कि वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = r हो तो प्रश्नानुसार,
2πr = 2π (15) + 2π (18)
2πr = 2π (15 + 18)
r = 15 + 18
= 33 cm
अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 33 cm है।

प्रश्न 2.
28 cm त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्रीय शीर्ष कोण 45° हो।
हल :
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

= 308 cm²
अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 3.
एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 cm है। वह 1 मिनट में कितने चक्कर लगाएगा जबकि उसकी चाल 66 km/h हो।
हल :
मोटर साइकिल द्वारा 1 मिनट में चली गयी दूरी
= चाल x समय = 66 km/h x \(\frac { 1 }{ 60 }\) h = 1.1 km
= 1100 m
= 110000 cm.
पहिये की परिधि = 2πr = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 35 = 220 cm

अतः मोटरसाइकिल का पहिया 500 चक्कर लगायेगा।

प्रश्न 4.
एक गाय 14 m लम्बी रस्सी से एक आयत के शीर्ष से बधी है जिसकी विमाएँ 20 m x 16 m है। गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
गाय एक 14 m त्रिज्या के चतुर्थांश की घास को चर पायेगी
⇒ चरे जाने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(14)^{2}\)
= 154 m²
अतः गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 154 m² है।

प्रश्न 5.
एक 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि उसके संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण 60° है।
हल :
वृत्त (O, r) की त्रिज्या r = 14 cm तथा अवधा PRQ के संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ का शीर्ष कोण θ = ∠POQ = 60° है तो त्रिभुज समबाहु ∆ होगा जिसकी भुजा a = r = 14 cm त्रिज्यखण्ड का

अत: लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा a = 12 cm जिसमें उसके शीर्षों A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर इस प्रकार चाप खींचे गए हैं कि ये चाप वर्ग की भुजाओं AB, BC, CD और DA को उनके मध्य-बिन्दुओं क्रमशः P, Q, R और S पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र PORS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

वृत्त के चार चतुर्थांश ASP, BPQ, CQR एवं DRS हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm है। वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = ar (ABCD) = a² = 12² = 144 cm²
चारों वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल = 4 x \(\frac { 1 }{ 4 }\) πR²
= 4 x \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (6)
= 113.04 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= 144 – 113.04
= 30.96 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 30.96 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में 10 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B एवं C को लेकर चाप खींचे गए है जो भुजाओं BC, CA एवं AB को उनके मध्य बिन्दुओं क्रमशः D, E एवं F पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन सर्वांसगम त्रिज्यखण्डों से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm तथा केन्द्रीय शीर्ष कोण θ = 60° (समबाहु ∆ के कोण) है।
ar (छायांकित क्षेत्र)

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 39.25 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में ∆POR के शीर्षों P, Q एवं R को केन्द्र लेकर 14 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन त्रिज्यखण्डों के योग से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 14 cm दी है तथा मान लीजिए उनके शीर्ष कोण क्रमशः ∠P, ∠Q और ∠R हैं तो
छायांकित भाग का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकर पार्क चारों ओर से एक 21 m चौड़ी सड़क से घिरा है। यदि पार्क की त्रिज्या 105 m हो, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

सड़क एक वृत्ताकार वलय है जिसकी आन्तरिक त्रिज्या r1 = 105 m दी है तथा इसकी बाह्य त्रिज्या r2 = 105 m + 21 m = 126 m है।
सड़क का क्षेत्रफल = π (R₂² – R₁²)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x [(126)² – (105)²]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (126 + 105) (126 – 105)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 231 x 21
= 15246 m²
अतः सड़क का अभीष्ट क्षेत्रफल = 15246 m² है।

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 12.59 में चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर 21 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चारों शीर्षों पर चार त्रिज्यखण्ड बने हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 21 cm तथा शीर्ष केन्द्रीय कोण ∠A, ∠B, ∠C एवं ∠D हैं।

[∴ ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 360° चतुर्भुज के शीर्ष कोणों का योग]
= πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (21)²
= 22 x 63
= 1386 cm² .
अतः छायांकित क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1386 cm² है।

प्रश्न 11.
20 cm लम्बा एक तार का टुकड़ा एक वृत्त की चाप की शक्ल में मोड़ा गया है, जो वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
चाप की लम्बाई = 20 cm तथा केन्द्र पर कोण θ = 60° अन्तरित है।
चूँकि

अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = \(\frac{60}{\pi}\) cm है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या एक वर्ग जिसकी भुजा a cm है के अन्तर्वृत्त का क्षेत्रफल πa² cm होगी? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल :
नहीं हो सकता, क्योंकि इसकी त्रिज्या \(\frac { a }{ 2 }\) होगी तथा क्षेत्रफल \(\frac{1}{4} \pi a^{2} \mathrm{cm}^{2}\).

प्रश्न 2.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वर्ग की परिमाप जो a cm त्रिज्या वाले वृत्त का परिगत है, 8a cm होगी। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, यह कथन सत्य है, क्योंकि वर्ग की भुजा 2a cm है।

प्रश्न 3.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल से कम है? और क्यों?
हल :
यह सदैव सत्य नहीं। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड क्षेत्रफल-संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
क्या यह सत्य है कि किसी d cm व्यास वाले पहिए द्वारा एक चक्कर में चली गयी दूरी 2πd cm होगी? और क्यों?
हल :
नहीं क्योंकि यह πd cm होगी।

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले किसी पहिए द्वारा s m की दूरी तय करने में उसे \(\frac{\boldsymbol{S}}{2 \pi \boldsymbol{r}}\) चक्कर लगाने पड़ेंगे। क्या यह कथन सत्य हैं? और क्यों?
हल :
हाँ कथन सत्य है क्योंकि 1 चक्कर में चली गयी दूरी = 2πr m.

प्रश्न 7.
किसी वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसकी परिधि के संख्यात्मक मान के बराबर होगा। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि वह त्रिज्या r के मान पर निर्भर करेगा और जब r का मान 2 मात्रक होगा तभी यह सत्य होगा।

प्रश्न 8.
किसी r मात्रक त्रिज्या के वृत्त का चाप दूसरे 2r मात्रक त्रिज्या के वृत्त के चाप के बराबर है। तो प्रथम वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष (केन्द्रीय) कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड के शीर्ष (केन्द्रीय) कोण का दूना होगा। क्या यह कथन असत्य है? और क्यों?
हल :
नहीं, कथन सत्य है, क्योंकि चाप = कोण x त्रिज्या।

प्रश्न 9.
दो भिन्न वृत्तों के समान संगत चापों द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल समान होंगे। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है क्योंकि यह केवल समान वृत्तों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 10.
दो विभिन्न वृत्तों के त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल यदि समान हों, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके संगत चापों की लम्बाई समान होगी? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल समान वृत्तों के चापों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 11.
क्या a cm लम्बाई एवं b cm चौड़ाई वाले आयत (जहाँ a > b) के अन्तर्गत खींचे गए। बड़े-से-बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πb² cm² होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या b/2 होगी।

प्रश्न 12.
दो भिन्न वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनकी परिधियाँ की बराबर होंगी? और क्यों?
हल :
हाँ, क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 13.
दो वृत्तों की परिधियाँ बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके क्षेत्रफल भी बराबर होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 14.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वृत्त के अन्तर्गत बने वर्ग का क्षेत्रफल p² cm² होगा यदि वृत्त का व्यास p cm हो? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वर्ग का विकर्ण p cm होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वृत्त का चाप, वृत्त की त्रिज्या और चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण में क्या सम्बन्ध है :
(a) कोण = चाप x त्रिज्या
(b) चाप = कोण x त्रिज्या
(c) त्रिज्या = चाप x कोण
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) चाप = कोण x त्रिज्या

प्रश्न 2.
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो इसकी परिमाप होगी :
(a) 11 cm
(b) 22 cm
(c) 44 cm
(d) 55 cm.
उत्तर:
(c) 44 cm

प्रश्न 3.
त्रिज्या के वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ(डिग्री में) है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा:

उत्तर:
\(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)

प्रश्न 4.
यदि त्रिज्याओं R₁ एवं R₂ वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁² + R₂² = R²
(c) R₁ + R₂ < R
(d) R₁² + R₁² < R².
उत्तर:
(b) R₁² + R₂² = R²

प्रश्न 5.
यदि त्रिज्याओं R1 एवं R2 वाले वृत्तों की परिधियों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁ + R₂ > R
(c) R₁ + R₂ < R
(d) नहीं कह सकते।
उत्तर:
(a) R₁ + R₂ = R

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे गए बड़े-से-बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(a) r² वर्ग मात्रक
(b) \(\frac { 1 }{ 2 }\) r² वर्ग मात्रक
(c) 2r² वर्ग मात्रक
(d) √2 r² वर्ग मात्रक।
उत्तर:
(a) r² वर्ग मात्रक

प्रश्न 7.
एक वृत्त की परिधि एक वर्ग की परिमाप के बराबर हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(a) 22 : 7
(b) 14 : 11
(c) 7 : 22
(d) 11 : 14.
उत्तर:
(b) 14 : 11

प्रश्न 8.
एक एकल वृत्ताकार पार्क बनाना प्रस्तावित है जिसका क्षेत्रफल दो छोटे वृत्ताकार पार्कों के क्षेत्रफल के योगफल के बराबर है। यदि छोटे पार्कों के व्यास क्रमश: 16 m एवं 12 m हों, तो नए पार्क की त्रिज्या होगी :
(a) 10 m
(b) 15 m
(c) 20 m
(d) 24 m.
उत्तर:
(a) 10 m

प्रश्न 9.
6 cm भुजा वाले वर्ग के अन्तर्गत खींचे गए वृत्त का क्षेत्रफल होगा :
(a) 36π cm²
(b) 18π cm²
(c) 12π cm²
(d) 9π cm².
उत्तर:
(d) 9π cm².

प्रश्न 10.
8 cm त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत बनने वाले वर्ग का क्षेत्रफल होगा :
(a) 256 cm²
(b) 128 cm²
(c) 64√2 cm²
(d) 64 cm².
उत्तर:
(b) 128 cm²

प्रश्न 11.
एक वृत्त की परिधि 36 cm एवं 20 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है, तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी:
(a) 56 cm
(b) 42 cm
(c) 28 cm
(d) 16 cm.
उत्तर:
(c) 28 cm

प्रश्न 12.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 24 cm एवं 7 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफल का योग है, तो उस वृत्त का व्यास होगा:
(a) 31 cm
(b) 25 cm
(c) 62 cm
(d) 50 cm.
उत्तर:
(d) 50 cm.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की गई दूरी उस वृत्त की ………… कहलाती है।
2. वृत्त की परिधि के मध्य घिरे हुए क्षेत्र की माप उस वृत्त का ………… कहलाता है।
3. एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो उस वृत्त का एक ………….. कहलाता है।
4. त्रिज्यखण्ड की संगत चाप की माप उस चाप की ………… कहलाती है।
5. वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो जीवा और संगत चाप से परिबद्ध हो उस वृत्त का ………… कहलाता है।
5. कोण θ वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र ………… है। (2019)
उत्तर-
1. परिधि (परिमाप),
2. क्षेत्रफल,
3. त्रिज्यखण्ड,
4. लम्बाई,
5. वृत्तखण्ड,
6. त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

जोड़ी मिलाना

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. सर्वांगसम वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
2. समरूप वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
3. सर्वांगसम वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
4. समरूप वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
5. यदि एक वृत्त की परिधि एवं एक वर्ग की परिमाप बराबर है तो वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक वृत्त के व्यास d एवं परिधि में क्या सम्बन्ध है?
2. एक वृत्त के व्यास d एवं उसके क्षेत्रफल में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर-
1. परिधि = πd,
2. वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi d^{2}\)

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ……………….. होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग………………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी …………… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्याओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ………………. हों, तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ ……………….. हों। (बराबर, समानुपाती)
हल :
(i) समरूप,
(ii) समरूप,
(iii) समबाहु,
(iv) (a) बराबर, (b) समानुपाती।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ,
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल :
(i) (a) सभी वृत्त,
(b) सभी वर्ग।

(ii) (a) सभी चतुर्भुज,
(b) सभी त्रिभुज।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

हल :
नहीं हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3,g (x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x
(iii) P (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
हल:
(i) p (x) = x³ – 3x² + 5x – 3 एवं g (x) = x² – 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x3 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह 3x² + 7x – 3 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।

चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक x² – 2 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है।

(ii) p (x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x यहाँ भाज्य तो भाजक रूप में है, लेकिन भाजक g (x) = x² + 1 – x मानक रूप में नहीं है अत: मानक रूप में व्यवस्थित करने पर भाजक g (x) = x² – x + 1 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य की उच्चत्तम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चत्तम घात वाले पद x² से भाग दीजिए यह x² आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह x³ – 4x² + 4x + 5 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x³ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए जो शेष बचता है वह – 3x² + 3x + 5 है।

चरण 3 : अब भागफल का तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह 8 है।

चरण 4: अब शेष बचे 8 की घात भाजक x² – x + 1 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x² + x – 3 एवं शेषफल = 8 है।

(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
यहाँ भाज्य तो मानक रूप में है लेकिन भाजक g (x)= 2 – x² मानक रूप में नहीं है, इसलिए भाजक को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर g (x) = – x² +2 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए, यह – x² आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह 2x² -5x + 6

चरण 2 : अब भागफल का द्वितीय पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद 2x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए। यह – 2 आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह – 5x + 10 है।

चरण 3 : अब शेष बचे – 5x + 10 की घात भाजक – x² + 2 से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = -x² – 2 एवं शेषफल = -5x + 10 है।

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल:
(i) यहाँ भाजक t² – 3 एवं भाज्य 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) यहाँ भाजक x² + 3x + 1 तथा भाज्य 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(iii) यहाँ भाजक x³ – 3x + 1 एवं भाज्य x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

यहाँ शेषफल 2 आया है, शून्य नहीं है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
और – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल:
चूँकि \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) एवं –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, इसलिए (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))(x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) अर्धात (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) दिए गए बहुपद का एक गुणक होगा। अब विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दिए गए बहुपद एवं (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) के लिए करते हैं :

इसलिए 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 = (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) (3x² + 6x + 3)
अब 3x² + 6x + 3 के गुणनखण्ड 3 (x + 1)² प्राप्त होते हैं इसलिए इसके शून्यक x = -1 एवं x = -1 होंगे।
अतः, दिए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 है।

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपदg (x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं:
g (x).(x – 2) + (-2x + 4) = x³ – 3x² + x + 2
⇒ g (x).(x – 2) x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4
x³ – 3x² + 3x – 2
⇒ g(x) = \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\)
इसलिए g (x) का मान ज्ञात करने के लिए हम बहुपद x³ – 3x² + 3x – 2 को व्यंजक x – 2 से विभाजित करेंगे

अतः,g (x) का अभीष्ट मान x² – x + 1 है।

प्रश्न 5.
बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q(x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(ii) घात r (x) = 0
हल:
(i) p (x) = 2x² – 2x + 14, g (x) = 2,
q(x) = x² – x + 7 एवं r (x) = 0
(ii) p (x) = x³ + x² + x + 1, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 1 एवं r (x) = 2x +2
(iii) p (x) = x³ + 2x² – x + 2, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 2 एवं r (x) = 4
ज्ञातव्य : उपर्युक्त तीनों प्रश्नों (i), (ii) एवं (iii) के अनेक उदाहरण हो सकते हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 590.
हल :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
= 1.
अतः अभीष्ट मान = 1 (एक) है।

(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
= 1
अतः अभीष्ट मान 1 (एक) है।

(iii) cos 48° sin 42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0
अतः अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0
अत: अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 2.
दिखाइए कि:
(i) tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38°. cos 52° – sin 38°. sin 52° = 0.
हल :
(i) L.H.S. = tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67°
= tan (90° – 42°). tan 23°. tan 42°. tan (90° – 23°)
= cot 42°. tan 23°. tan 42°. cot 23°
= \(\frac{\cos 42^{\circ}}{\sin 42^{\circ}} \cdot \frac{\sin 23^{\circ}}{\cos 23^{\circ}} \cdot \frac{\sin 42^{\circ}}{\cos 42^{\circ}} \cdot \frac{\cos 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}\)
= 1
= R.H.S.
इति सिद्धम्

(ii) L.H.S. = cos 38°.cos 52° – sin 38°. sin 52°
= cos 38°. cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos 38°.sin 38° – sin 38°. cos 38°
= cos 38°.sin 38° – cos 38°.sin 38°
= 0
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि tan 2A = cot (A – 18°) (दिया हुआ है)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
90° – 2A = A – 18°
3A = 90° + 18° = 108°
A = \(\frac { 108 }{ 3 }\)
= 36°
अतः A का अभीष्ट मान = 36° है।

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A+ B = 90°.
हल :
चूँकि
⇒ tan A = cot B (दिया है)
⇒ tan A = tan (90° – B)
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A – 20°) जहाँ 4A एक न्यनूकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि sec 4A = cosec (A – 20°) (दिया है)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 4A + A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = \(\frac { 110 }{ 5 }\) = 22°
अतः A का अभीष्ट मान = 22° है।

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तः कोण हों, तो दिखाइए कि
\(\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}\)
हल :
चूंकि
A + B + C = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोण हैं)

= cos \(\frac { A }{ 2 }\)
= RHS
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय अनुपात के पद cos 23° + sin 15°.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

उपरोक्त बंटन को एक ‘कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन’ में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडीकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

उपरोक्त आँकड़ों के लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट तोरण :

अतः अभीष्ट माध्यक भार का मान 47.5 kg (तोरण के द्वारा प्राप्त) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रत्येक हेक्टेयर (ha) गेहूँ उत्पादन दर्शाते हैं:

इस बंटन को अधिक के प्रकार के’ बंटन में बदलिए और फिर तोरण खींचिए।
हल:

अभीष्ट तोरण :

MP Board Class 10th Maths Solutions

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।” (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि आफताब एवं उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष है, तो
प्रश्नानुसार,
(x – 7) = 7 (y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0 …(1)
एवं (x + 3)= 3 (y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y – 6 = 0 …(2)
यह स्थिति मनोरंजक भी हैतथा गणितीय तथ्यपरक है। इस स्थिति का बीजगणितीय निरूपण है।
x – 7y + 42 = 0 एवं x – 3y – 6 = 0
ग्राफीय निरूपण के लिए :
∵ x – 7y + 42 = 0 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 42+x }{ 7 } \)

चूँकि x – 3y – 6 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 3 } \)

उपर्युक्त आकृति अभीष्ट ग्राफीय निरूपण है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना 1 बल्ले एवं 1 गेंद का मूल्य क्रमशः ₹ x तथा ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 3x + 6y = 3900
⇒ x + 2y = 1300
एवं x + 3y = 1300 अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
x + 2y = 1300 …(1) एवं x + 3y = 1300 …(2)
जहाँ x एवं y क्रमशः 1 बल्ले और 1 गेंद के मूल्य (₹ में) हैं।
ज्ञातव्य – उपर्युक्त स्थितियाँ व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त हैं। ये तभी सम्भव हो सकती हैं जबकि प्रत्येक गेंद मुफ्त में मिल रही हो अथवा मूल्य में परिवर्तन हुआ हो।
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिएः
चूँकि x + 2y = 1300 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 2 } \)

एवं x + 3y = 1300 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 3 } \)

अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

प्रश्न 3.
2 kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 kg सेब और 2 kg अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि 1 किलो सेब एवं 1 किलो अंगूर का मूल्य क्रमश: ₹ x एवं ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 2x + y = 160 ….(1)
एवं 4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150 ….(2)
अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
2x + y = 160 ..(1) 2x + y = 150 …(2)
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिए:
चूँकि 2x + y = 160 ….(1)
⇒ y = 160 – 2x

एवं 2x + y = 150 ….(2)
⇒ y = 150 – 2x

आकृति 3.3
अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5 : 8 अनुपात में विभाजित कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 7.6 cm लम्बा दिया हुआ रेखाखण्ड है जिसे 5 : 8 के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण :

1. AB = 7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. रेखा AB के बिन्दु A पर नीचे की ओर ∠BAX = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण AX खींचिए।
3. रेखा AB के बिन्दु B पर ऊपर की ओर ∠ABY = ∠BAY = θ न्यूनकोण बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. AX एवं BY से क्रमश: AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B7 = B7B8 रेखाखण्ड काटिए।
5. A6B8 रेखाखण्ड को मिलाइए जो AB को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करता है।

अत: AB के अभीष्ट विभाजित खण्ड AC : CB = 5 : 8 है।
एवं AC = 2.9 (लगभग)
तथा BC = 4.7 (लगभग)
उत्तर रचना का औचित्य : ∆CAA5 एवं ∆CBB8 में,
∵ ∠CAA5 = ∠CBB8 [रचना से हैं।
∵ ∠ACA5 = ∠BCB8 [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
⇒ ∆CAA5 ~ ∆CBB8 [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{A C}{B C}=\frac{A A_{5}}{B B_{8}}=\frac{5}{8}\)
⇒ AC : BC = 5 : 8.

प्रश्न 2.
4 cm, 5cm एवं 6 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और इसके समरूप अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 2 }{ 3 }\) गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए कि एक दिए हुए त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ AB = 4 cm, BC = 5 cm और CA = 6 cm हैं तथा इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना दिए हुए स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) के अनुसार करनी है।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 5 cm खींचिए।
2. B को केन्द्र मानकर AB = 4 cm की त्रिज्या एवं C को केन्द्र मानकर CA = 6 cm की त्रिज्या से चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AB एवं AC को मिलाइए। इस प्रकार ∆ABC की रचना होती है।
4. BC रेखाखण्ड के बिन्दु B पर नीचे की ओर ∠CBX = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BX खींचिए।
5. किरण BX से BB1 = B1B2 = B2B3 तीन बराबर रेखाखण्ड खींचिए।
6. B3C को मिलाइए।
7. B2 से B2C’||B3BC एक रेखाखण्ड खींचिए जो BC को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
8. C’ से C’ A’ || CA एक रेखाखण्ड खींचिए जो AB को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः इस प्रकार बना अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है।
रचना का औचित्य : ∆BA’C’ एवं ∆BAC में
∵∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵∠A’C’B = ∠ACB रचना से (संगत कोण है)]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{2}}{B B_{3}}=\frac{2}{3}\) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ]

प्रश्न 3.
5 cm, 6 cm और 7 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 7 }{ 5 }\) गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए ∆ABC की भुजाएँ क्रमश: AB = 5 cm, BC = 6 cm एवं CA = 7 cm की रचना करके एक अन्य ∆A’BC’ समरूप त्रिभुज की रचना करनी है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 7 }{ 5 }\) हैं।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचिए।
2. B को केन्द्र लेकर AB = 5 cm तथा C को केन्द्र लेकर CA = 7 cm की त्रिज्या से चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AB एवं AC को मिलाइए। इस प्रकार ∆ABC की रचना होगी।
4. BC को आगे X तक तथा BA को आगे Y तक बढ़ाइए एवं बिन्दु B पर (नीचे की ओर) < XBZ = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
5. BZ से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B7 रेखाखण्ड काटिए।
6. B5 को C से मिलाइए।
7. B7 से B7C’ || B5C रेखाखण्ड खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
8. C’ से C’A’ || CA रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः इस प्रकार बना अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 7 }{ 5 }\) है।
रचना का औचित्य : ∆A’ BC’ एवं ∆ABC में
∵ ∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵ ∠A’C’B = ∠ACB [रचना से (संगत कोण हैं)]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{B A^{\prime}}{B A}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{7}}{B B_{5}}=\frac{7}{5}\)[समरूप प्रमुख का संगत मुजाए ह]

प्रश्न 4.
आधार 8 cm तथा ऊँचाई 4 cm के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की
\(1\frac { 1 }{ 2 }\), गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज ABC का आधार BC = 8 cm एवं शीर्ष लम्ब (ऊँचाई) AD = 4 cm है तथा AB = AC की रचना करनी है तथा एक अन्य समरूप त्रिभुज A’BC’ की रचना करनी है जिसका स्केल गुणक \(1\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { 3 }{ 2 }\) हैं।
रचना के पदः

1. आधार BC = 8 cm का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. BC का लम्बार्द्धक PQ खींचिए जो आधार BC को बिन्दु M पर समद्विभाजित करता है।
3. MP में से MA = 4 cm का रेखाखण्ड काटिए।
4. AB एवं AC को मिलाइए।
   इस प्रकार अभीष्ट ∆ABC (एक समद्विबाहु त्रिभुज) की रचना होती है।
5. BC, BA को क्रमशः X एवं Y तक बढ़ाइए एवं बिन्दु B पर ∠CBZ = θ एक न्यूनकोण (नीचे की ओर) बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
6. किरण BZ से BB1 = B1B2 = B2B3 रेखाखण्ड काटिए।
7. B2C को मिलाइए।
8. B3C’ || B2C खींचिए जो किरण BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’A’ || CA खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है, जहाँ स्केल गुणक \(\frac { 3 }{ 2 }\) है अर्थात् ∆A’BC’ की भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(1\frac { 1 }{ 2 }\) गुनी है।
रचना का औचित्य : ∆A’BC’ एवं ∆ABC में,
∵ ∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵ ∠A’C’B = ∠ACB [संगत कोण हैं-रचना से]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{B A^{\prime}}{B A}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{3}}{B B_{2}}=\frac{3}{2}\) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं]

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और ∠ABC = 60° हैं। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हों।
हल :

एक दिए हुए ∆ABC की रचना करनी है जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm एवं ∠ABC = 60° है तथा इसके समरूप एक अन्य ∆A’BC’ खींचना है।
जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हो।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचा।
2. BC के बिन्दु B पर ∠CBX = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींची।
3. BX किरण में से BA = 5 cm का एक रेखाखण्ड काटा।
4. AC को मिलाया। इस प्रकार ∆ABC की रचना हुई।
5. BC के बिन्दु B पर ∠CBY = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BY खींची।
6. किरण BY में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 रेखाखण्ड काटे।
7. B4C को मिलाया।
8. बिन्दु B3 से ∠C’B3B = ∠CB4B संगत कोण बनाते हुए C’B3 || CB रेखाखण्ड खींचा जो BC को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
9. बिन्दु C’ से ∠A’C’B = ∠ACB संगत कोण बनाते हुए रेखाखण्ड, A’C’ खींचा जो AB को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : त्रिभुज ABC में A’C’ || AC [रचना से]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C B}{C B}\) …(1) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
एवं ∆BCB4 में C’B3 || CBA [रचना से]
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{3} B}{B_{4} B}=\frac{3}{4}\) ….(2) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{3}{4}\) [समीकरण (1) और (2) से] ।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो, फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हों।
हल :

एक दिए हुए त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45° एवं ∠A = 105°, अतः ∠C = 180° – (45° + 105°) = 180° – 150° = 30° तथा स्केल गुणक \(\frac { 4 }{ 3 }\) वाले समरूप त्रिभुज की रचना करनी है।
रचना के पद :

1. एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BX से BC = 7 cm का एक रेखाखण्ड काटिए।
3. बिन्दु B पर ∠CBY = 45° बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. बिन्दु C पर ∠BCZ = 30° बनाते हुए एक किरण CZ खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करती है। इस प्रकार ∆ABC की रचना होती है।
5. किरण BX के साथ नीचे की ओर ∠XBT = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BT खींचिए।
6. किरण BT में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4. रेखाखण्ड काटिए।
7. B3C को मिलाइए।
8. B4 से B4C’ || B3C खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’ से A’C’ || AC रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है। जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि ∆A’BC’ में AC || A’C’ है।
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}\) …(1)[समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
एवं ∆C’BB4 में CB3 || C’B4 है
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{4} B}{B_{3} B}=\frac{4}{3}\) ….(2) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{4}{3}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 cm तथा 3 cm लम्बाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हों।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए समकोण ∆ABC की रचना करनी है जिसका ∠B समकोण है तथा भुजाएँ AB = 4 cm तथा BC = 3 cm हैं। इसके अतिरिक्त एक अन्य । त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हों।
रचना के चरण :

1. एक किरण BX खींचिए तथा BX में से BC = 3 cm का रेखाखण्ड काटिए।
2. बिन्दु B पर BC के साथ ∠CBY = 90° (समकोण) बनाते हुए किरण BY खींचिए।
3. किरण BY में से BA = 4 cm का रेखाखण्ड काटिए।
4. AC को मिलाइए। इस प्रकार समकोण ∆ABC की रचना होती है।
5. बिन्दु B पर BX के साथ ∠XBZ = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
6. BZ में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 काटिए।
7. B3C को मिलाइए।
8. B5 से B5C’ || B3C रेखाखण्ड खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
9. C’ से C’A’ || CA एक रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही ∆A’BC अभीष्ट समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि ∆A’BC’ में AC || A’C’ [रचना से]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}\) …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं ∆C’BB5 में, CB3 || C’B5 [रचना से]
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{5} B}{B_{3} B}=\frac{5}{3}\) …..(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{5}{3}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शुन्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणाकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 } \),1,-2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना p (x) = 2x³ + x² – 5x +2

अतः, \(\frac { 1 }{ 2 } \),1 एवं – 2 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

(ii) माना p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2 (दिया है)
⇒ p (2) = (2)³ – 4(2)² + 5 (2)-2 .
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
तथा p (1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
इसलिए 2 एवं 1 दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, अतः (x – 2) (x – 1) अर्थात् x² – 3x + 2 इस बहुपद का एक गुणक होगा।

⇒ x³ – 4x² + 5x – 2 = (x² – 3x + 2) (x – 1)
⇒ (x – 1) दिए बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 का एक अन्य गुणक होगा।
⇒ दिए बहुपद का अन्य (तीसरा) शून्यक 1 होगा।
अतः, 2, 1, 1 दिए बहुपद के शून्यक हैं सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लें उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, – 14 हों।
हल:
मान लीजिए त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d है जिसके शून्यक α,β और γ हैं तो हम पाते हैं कि
α + β + γ = –\(\frac { b }{ a } \) = 2
तथा αβ + βγ + yα = \(\frac { c }{ a } \) = -7
एवं αβγ = – \(\frac { d }{ a } \) = – 14
यदि a = 1 तब b = -2, c = -7 एवं d = 14
अतः, अभीष्ट त्रिघात बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14 होगा।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हैं इसलिए a – b + a + a + b = –\(\frac { (-3) }{ 1 } \) = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac { 3 }{ 3 } \) = 1 …(1)
तथा (a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = \(\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
⇒ a² – ab + a² + ab + a² – b² = 1
⇒ 3a² – b² = 1 …(2)
एवं (a – b) (a) (a + b) = –\(\frac { 1 }{ 1 } \) = -1
⇒ a (a² – b²)= – 1 ⇒ a³ – ab² = – 1
अब समीकरण (1) एवं (2) से,
3(1)² – b² = 1 ⇒ 3 – b² = 1
⇒ b² = 3 – 1 = 2 ⇒ b = ± \(\sqrt { 2 }\) …(4)
एवं समीकरण (1) एवं (3) से,
(1)³ – (1) (b²) = – 1 ⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 1 + 1 = 2 ⇒ b= ± \(\sqrt { 2 }\)
अतः, a और b के अभीष्ट मान a = 1 एवं b = ± \(\sqrt { 2 }\) हैं।

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt { 3 }\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 2 ± \(\sqrt { 3 }\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं इसलिए (x – 2 – \(\sqrt { 3 }\) ) (x – 2 + \(\sqrt { 3 }\) ) अर्थात्
[(x – 2)² – (\(\sqrt { 3 }\))²]
अर्थात् (x² – 4x + 4 – 3) अर्थात् (x² – 4x + 1) इस बहुपद का एक गुणक होगा।

इसलिए x² – 2x – 35 भी दिए हुए बहुपद का एक अन्य गुणक होगा। गुणनखण्ड करने पर,
x² – 2x – 35 = x² – (7 – 5) x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5) प्राप्त होता है।
अतः, 7 एवं – 5 दिए बहुपद के दो अन्य अभीष्ट शून्यक होंगे।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए तो शेषफल (x + a) आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:

लेकिन शेषफल = x + a दिया है। इसलिए दोनों शेषफलों की तुलना करने पर हम पाते हैं –
2k – 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 ….(1)
एवं K² – 8k + 10 = a ….(2)
⇒ a = (5)² – 8 (5) + 10 = 25 – 40 + 10 = 35 – 40
⇒ a = -5
अतः, k एवं a के अभीष्ट मान k = 5 एवं a = -5 हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (k + 1, 2k), B (3k, 2k + 3) तथा C (5k – 1, 5k) सरेख हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि A, B एवं C सरेख हैं
⇒ ar (ABC) = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [(k + 1) (2k + 3 – 5k)] + (3k) (5k – 2k) + (5k – 1) (2k – 2k – 3) = 0
⇒ (k + 1) (-3k + 3) + (3k) (3k) + (5k – 1) (-3) = 0
⇒ -3k² + 3k – 3k + 3 + 9k² – 15k + 3 = 0
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
⇒ 2k² – 4k – k + 2 = 0
⇒ 2k (k – 2) – 1 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (2k – 1) = 0
या तो k – 2 = 0 ⇒ k = 2
अथवा 2k – 1 = 0 ⇒ k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: k का अभीष्ट मान 2 या \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 2.
k के मान ज्ञात कीजिए, जिससे (1, -1), (-4, 2k) तथा (-k, -5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।
हल :
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 24 वर्ग इकाई (दिया है)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2k + 5) + (-4) (-5 + 1) + (-k)] (-1 – 2k)] = 24
⇒ [(2k + 5) + (-4) (-4) + (-k) (-2k – 1)] = 48
⇒ 2k + 5 + 16 + 2k² + k = 48
⇒ 2k² + 3k + 21 = 48
⇒ 2k² + 3k – 27 = 0
⇒ 2k² + 9k – 6k – 27 = 0
⇒ k(2k + 9) – 3(2k + 9) = 0
⇒ (2k + 9)(k – 3) = 0
या तो 2k + 9 = 0 ⇒ k = \(-\frac { 9 }{ 2 }\)
अथवा k – 3 = 0 ⇒ k = 3
अत: k के अभीष्ट मान = \(-\frac { 9 }{ 2 }\) अथवा 3 हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) तथा C(7, 2) हैं। एक रेखाखण्ड DE भुजाओं AB तथा AC को क्रमशः बिन्दुओं D तथा E पर इस प्रकार काटता हुआ खींचा गया \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) है
∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा उसकी ∆ABC के क्षेत्रफल से तुलना कीजिए।
हल :

चूँकि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) दिया है। अतः बिन्दु D एवं बिन्दु E रेखाखण्ड AB एवं AC को क्रमशः 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

अत: त्रिभुज ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 5 }{ 6 }\) वर्ग इकाई है।
अब ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (5 – 2) + 1 (2 – 6) + 7 (6 – 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (3) + 1 (-4) + 7 (1)]
⇒ ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 4 + 7]
= \(\frac { 15 }{ 2 }\) वर्ग इकाई …(2)
⇒ \(\frac { ar(ADE) }{ ar(ABC) } =\frac { \frac { 5 }{ 6 } }{ \frac { 15 }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9 } \)
अतः ∆ar (ADE) : ar (ABC) = 1:9 है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y), बिन्दुओं P (2, – 2), तथा Q (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? y का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y) रेखाखण्ड PQ को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो


⇒ 33m + 22 = 24m + 24
⇒ 33m – 24m = 24 – 22
⇒ 9m = 2
⇒ m = \(\frac { 2 }{ 9 }\)
अतः अभीष्ट अनुपात = 2:9
अब

अतः y का अभीष्ट मान = \(\frac { -4 }{ 11 }\)

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु P (x,y) बिन्दुओं A (a + b, b – a) तथा B (a – b, a + b) से समदूरस्थ है तो सिद्ध कीजिए bx = ay.
हल :

चूँकि PA = PB (दिया है)

⇒ (x – a – b)² + (y + a – b)² = (x – a + b)² + (y – a – b)² दोनों ओर वर्ग करने पर।
⇒ x² + a + b² – 2xa + 2ab – 2xb + y² + a² + b² + 2ya – 2ab – 2yb
= x² + a² + b² – 2xa – 2ab + 2xb + y² + a² + b² – 2ya + 2ab – 2yb
⇒ x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax – 2bx + 2ay – 2by
= x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax + 2bx – 2ay – 2by
⇒ 4ay = 4bx
⇒ bx = ay
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9,4) समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं, तथा E रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है, तो ∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9, 4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष दिए हैं तथा E बिन्दु, रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है।
ar (∆ADE) ज्ञात करना है।
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
ar (ABC) = ar (ACD) …(1) [विकर्ण समद्विभाजित करते हैं।
चूँकि AE, ∆ACD की माध्यिका है [E, DC का मध्य-बिन्दु है]
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ACD) ….(2)
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) [समीकरण (1) व (2) से]
ar (ADE) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) [6(2 – 4) + 8 (4 – 1) +9 (1 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [6 (-2) + 8 (3)] + 9 (-1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 24 – 9]

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 21]
= \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई
अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
बिन्दु A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) ∆ABC के शीर्ष हैं, तो
(i) यदि A से खींची गयी माध्यिका BC से बिन्दु D पर मिलती है तो बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AP : PD = 2 : 1.
(iii) माध्यिका BE एवं CF पर बिन्दु Q एवं R इस प्रकार स्थित हैं कि BQ : QE = 2 : 1 तो Q एवं R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(iv) त्रिभुज ABC के केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है ∆ABC की माध्यिकाएँ AD, BE एवं CF क्रमशः रेखाखण्ड BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दुओं क्रमश: D, E एवं F पर मिलती हैं। P, Q एवं R बिन्दु क्रमशः माध्यिकाओं AD, BE एवं CF को क्रमशः AP : PD = 2 : 1, BQ : QE = 2 : 1 एवं CR : RF = 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.23)।
A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) निर्देशांक दिए हैं।
(i) चूँकि बिन्दु D रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\)
अतः बिन्द D के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) हैं।

(ii) चूँकि बिन्दु P बिन्दु A (x₁, y₁) एवं D \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iii) बिन्दु E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है।
E के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु F रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।
F के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु , बिन्दु B (x₂, y₂) एवं E \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु Q के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।
चूँकि बिन्दु R बिन्दु C (x₃, y₃) एवं बिन्दु \(F\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।


अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iv) ∆ABC के शीर्ष A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) हैं
∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) (हम जानते हैं)
अत: ∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (x, y), B (-5, 7) तथा C (-4, 5) सरेखीय हों, तो x तथा y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं ⇒ ar (ABC) = 0
\(\frac { 1 }{ 2 }\) [x (7 – 5) + (-5) (5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
2x + y + 3 = 0
अतः x एवं y में अभीष्ट सम्बन्ध 2x + y + 3 = 0 है।

प्रश्न 2.
बिन्दु A (4, 7), B (p, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिसमें B समकोण है। p का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि त्रिभुज ABC बिन्दु B पर समकोण है।
⇒ AB² + BC² = AC² [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ (p – 4)² + (3 – 7)² + (p – 7)² + (3 – 3)² = (4 – 7)² + (7 – 3)²
⇒ p² – 8p + 16 + 16 + p² – 14p + 49 + 0 = 9 + 16
⇒ 2p² – 22p + 56 = 0
⇒ p² – 11p + 28 = 0
⇒ p² – 4p – 7p + 28 = 0
⇒ p (p – 4) – 7 (p – 4) = 0
⇒ (p – 4) (p – 7) = 0
या तो p – 4 = 0 ⇒ p = 4
अथवा p – 7 = 0 ⇒ p = 7
अतः p का अभीष्ट मान या तो 4 है अथवा 7 है।

प्रश्न 3.
एक रेखा y-अक्ष तथा x-अक्ष को क्रमश: P तथा Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि (2, -5) PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P तथा Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि P, y-अक्ष का तथा Q, x-अक्ष का बिन्दु है तो मान लीजिए P(0, Y) तथा Q(x, 0) हैं।
चूँकि (2,-5) PQ का मध्य-बिन्दु हो, तो
\(\frac { x+0 }{ 2 }\) = 2
⇒ x = 4
⇒ Q (4,0)
एवं
\(\frac { y+0 }{ 2 }\) = -5
⇒ y = -10
⇒ P (0, -10)
अत: P एवं ए के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः P (0, – 10) एवं Q (4, 0) हैं।

प्रश्न 4.
यदि P (x, y) की A (5, 1) तथा B (-1, 5) से दूरियाँ समान हों तो सिद्ध कीजिए कि 3x = 2y.
हल :
चूँकि PA = PB दिया है
(PA)² = (PB)²
(x – 5)² + (y – 1)² = (x + 1)² + (y – 5)²
x² – 10x + 25 + y² – 2y + 1 = x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25
-10x – 2x = – 10y + 2y
-12x = – 8y
3x = 2y.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (3, 0), (6, 4) एवं (-1, 3) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
हल :
मान लीजिए ∆PQR के शीर्ष P (3,0), Q (6, 4) एवं R (-1, 3) दिये हैं तो

PQ = RP = √25
एवं PQ² + RP² = 25 + 25 = 50 = (√50)² = QR²
∆PQR समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः दिया हुआ ∆ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
बिन्दु A (-5, 6), B (-4,- 2) और C (7,5) से बने त्रिभुज का प्रकार (प्रकृति) बतलाइए।
हल :

चैंकि AB ≠ BC ≠ CA
अतः दिया हुआ अभीष्ट ∆ABC विषमबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (7,-4) से 2√5 इकाई की दूरी पर हैं। इस प्रकार से कितने बिन्दु होंगे?
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिन्दु (x, 0) है (x-अक्ष पर y शून्य होता है) तो प्रश्नानुसार,
\(\sqrt{(x-7)^{2}+(0+4)^{2}}=2 \sqrt{5}\)
⇒ x² – 14x + 49 + 16 = 20 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 5x – 9x + 45 = 0
⇒ x (x – 5) – 9 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x – 9) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अतः अभीष्ट दो बिन्दु क्रमशः (5,0) एवं (9,0) होंगे।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दुओं A (-3, -14) एवं B (a, -5) के बीच की दूरी 9 इकाई है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ AB = 9 (दिया है)
⇒ \(\sqrt{(a+3)^{2}+(-5+14)^{2}}=9\)
⇒ a² + 6a + 9 + 81 = 81 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ a² + 6a + 9 = 0
⇒ (a + 3)² = 0
⇒ a + 3 = 0
⇒ a = -3
अतः a का अभीष्ट मान -3 है।

प्रश्न 9.
यदि बिन्दु (5, 1), (-2, -3) एवं (8, 2m) सरेखीय हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि दिए हुए बिन्दु सरेखीय हैं अतः उससे बने क्षेत्र का क्षेत्रफल = 0 शून्य होगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [5 (-3 – 2m) + (-2) (2m – 1) + 8 (1 + 3)] = 0
⇒ – 15 – 10m – 4m + 2 + 32 = 0
⇒ – 14m + 19 = 0
⇒ 14m = +19
⇒ m = \(\frac { 19 }{ 14 }\)
अतः m का अभीष्ट मान = \(\frac { 19 }{ 14 }\) इकाई है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु A (2, -4), बिन्दुओं P (3, 8) एवं Q (-10, v) से बराबर दूरी पर स्थित है, तो v का मान बताइए।
हल :
चूँकि AP = AQ दिया है
\(\sqrt{(2-3)^{2}+(-4-8)^{2}}=\sqrt{(2+10)^{2}+(-4-v)^{2}}\)
⇒ (-1)² + (- 12)² = (12)² + (-4 – v)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 1 + 144 = 144 + 16 + v² + 8v
⇒ v² + 8v + 15 = 0
⇒ v² + 3v + 5v + 15 = 0
⇒ v(v + 3) + 5 (v + 3) = 0
⇒ (v + 3) (v+ 5) = 0
या तो v + 3 = 0 ⇒ v = -3
v + 5 = 0 ⇒ v = -5
अतः v के अभीष्ट मान = -3 अथवा -5 हैं।

प्रश्न 11.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-8, 4), (-6, 6) एवं (-3, 9) हैं।
हल:
क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (6 – 9) + (-6) (9 – 4) + (-3) (4 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (-3) + (-6) (5) + (-3) (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 30 + 6]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [30 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 0
= 0
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 0 है।

प्रश्न 12.
x-अक्ष, बिन्दुओं (-4,-6) एवं (-1, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? उस छेदक बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित छेदक बिन्दु (x, 0) है तथा यह दी गयी रेखाखण्ड को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है तो
\(\frac{m(7)+1(-6)}{m+1}=0\)
7m – 6 = 0
m = \(\frac { 6 }{ 7 }\)
अत: x-अक्ष दिए रेखाखण्ड को 6 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।
अब

\(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: छेदक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक (\(\frac { -34 }{ 13 }\), 0) हैं।

प्रश्न 13.
यदि P (9a – 2,- b) बिन्दुओं A (3a + 1, -3) एवं B (8a, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

⇒ 36a – 8 = 27a + 1
⇒ 36a – 27a = 1 + 8
⇒ 9a = 9
⇒ a = \(\frac { 9 }{ 9 }\) = 1

⇒ b = -3
अतः a एवं b के अभीष्ट मान क्रमशः 1 एवं -3 हैं।

प्रश्न 14.
यदि (a, b), बिन्दुओं A (10, -6) एवं B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है तथा a – 2b = 18 तोk का मान तथा AB दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,

a – 2b = 18 (दिया है) …..(3)
a – 2 (-1) = 18
a = 16 ….(4) [समीकरण (2) एवं (3) से]
k + 10 = 2 x 16 = 32 [समीकरण (1) एवं (4) से]
k= 32 – 10 = 22
अतः k का अभीष्ट मान = 22 है।

अत: AB का अभीष्ट मान = 2√61 इकाई है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P (- 1, 3) एवं Q (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर इस प्रकार स्थित बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि PR = \(\frac { 3 }{ 5 }\) PQ.
हल :

माना R के निर्देशांक (x, y) हैं और यह PQ को इस प्रकार विभाजित करता है कि PR : PQ = \(\frac { 3 }{ 5 }\)
PR : PQ = 3 : 5
PR : RQ = 3 : 2

अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{4}{5}, \frac{21}{5}\right)\) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

[बताइए निम्न कथन सत्य हैं या असत्य अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
बिन्दु A (-1,0), B (3, 1), C (2, 2) एवं D (-2, 1) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) तथा BD का मध्य-बिन्दु भी (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) है जो समान हैं तथा समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दु (4, 5), (7, 6) एवं (6, 3) संरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बिन्दुओं से निर्मित त्रिभुजकार क्षेत्र का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (6 – 3) + 7 (3 – 5) + 6 (5 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (12 – 14 – 6)
= – 4 ≠ 0.

प्रश्न 3.
बिन्दु P (0, – 7), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 0) तथा B (7, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब अर्द्धक पर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि P (0, – 7) y-अक्ष पर है तथा

अर्थात् PA = PB जो AB के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रश्न 4.
शीर्ष A (-2, 0), B (2, 0) एवं C (0, 2) वाला त्रिभुज ABC एवं शीर्ष D (-4,0), E (4,0) एवं F (0, 4) वाला त्रिभुज DEF समरूप हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

प्रश्न 5.
बिन्दु P(-4, 2), बिन्दुओं A (-4, 6) एवं B (-4, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों बिन्दु x = – 4 रेखा पर स्थित हैं।

प्रश्न 6.
बिन्दु (0, 5), (0, – 9) एवं (3, 6) सरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्रथम दो बिन्दु }-अक्ष पर स्थित हैं जबकि तीसरा बिन्दु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 7.
बिन्दु P (0, 2), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 1) तथा B (3, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि \(P A=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) एवं \(P B=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) है अर्थात् PA ≠ PB.

प्रश्न 8.
बिन्दु A (3, 1), B (12, – 2) एवं C (0, 2) किसी त्रिभुज के शीर्ष नहीं हो सकते।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [3 (-2 – 2) + 12 (2 – 1) + 0 (1 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 12 + 0]
= 0.

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 3), B (6, 4), C (5,-6) एवं D (-3, 5) किसी समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)\) तथा BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\) है
अर्थात् विकर्ण परस्पर समद्विभाजित नहीं करते।

प्रश्न 10.
एक वृत्त का केन्द्र O मूलबिन्दु है। बिन्दु P (5, 0) इस पर स्थित है तथा बिन्दु Q(6, 8) वृत्त के बाहर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है,क्योंकि OP = √(5)² = 5 एवं \(O Q=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) है
अर्थात् OQ > r (OP).

प्रश्न 11.
बिन्दु A (2, 7), बिन्दुओं P (6, 5) एवं Q (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि \(A P=\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\) एवं \(A Q=\sqrt{(2)^{2}+(11)^{2}}\) \(=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5 \sqrt{5}\) अर्थात् AP ≠ AQ.

प्रश्न 12.
बिन्दु P (5, – 3), दो बिन्दुओं A (7, – 2) एवं B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले दो बिन्दुओं में से एक है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि \(\frac{1(1)+2(7)}{1+2}=\frac{15}{3}=5\) एवं \(\frac{1(-5)+2(-2)}{1+2}=\frac{-5-4}{3}=\frac{-9}{3}\)
= – 3 अर्थात् बिन्दु P, AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 13.
बिन्दु A (-6, 10), B (-4, 6) एवं C (3,-8) सरेखीय बिन्दु हैं इस प्रकार कि \(AB=\frac { 2 }{ 9 }AC\)
हल :
कथन सत्य है. क्योंकि

B, AC को 2 : 7 की अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात् AB = \(\frac { 2 }{ 9 }\) AC.

प्रश्न 14.
बिन्दु P(-2, 4), त्रिज्या 6 एवं केन्द्र (3, 5) वाले वृत्त पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि

प्रश्न 15.
बिन्दु A (-1,- 2), B (4, 3), C (2, 5) एवं D (-3, 0) क्रम में एक आयत का निर्माण करते हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) एवं BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) है।

अर्थात् विकर्ण AC = BD = √58 एवं विकर्ण परस्पर बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) पर समद्विभाजित करते हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष से बिन्दु P (2, 3) की दूरी है :
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 5.
उत्तर:
(b) 3

प्रश्न 2.
बिन्दु A (0, 6) एवं B (0, – 2) के बीच दूरी है :
(a) 6
(b) 8
(c) 4
(d) 2.
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 3.
मूल बिन्दु से बिन्दु P(-6, 8) की दूरी है :
(a) 8
(b) 2√7
(c) 10
(d) 6.
उत्तर:
(c) 10

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, 5) एवं (-5, 0) के बीच दूरी है :
(a) 5
(b) 5√2
(c) 2√5
(d) 10.
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 5.
AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष हैं A (0, 3), 0 (0, 0) एवं B (5,0); इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(a) 5
(b) 3
(c) √34
(d) 4.
उत्तर:
(c) √34

प्रश्न 6.
त्रिभुज की परिमाप जिसके शीर्ष (0, 4), (0, 0) एवं (3, 0) हैं, है :
(a) 5
(b) 12
(c) 11
(d) 7 + √5.
उत्तर:
(b) 12

प्रश्न 7.
शीर्ष A (3,0), B (7,0) एवं C (8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(a) 14
(b) 28
(c) 8
(d) 6.
उत्तर:
(c) 8

प्रश्न 8.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) एवं (0, 3) शीर्ष हैं :
(a) समकोण त्रिभुज के
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के
(c) समबाहु त्रिभुज के
(d) विषमबाहु त्रिभुज के।
उत्तर:
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के

प्रश्न 9.
बिन्दु A (-2, -5) एवं B (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित बिन्द
(a) (0,0)
(b) (0, 2)
(c) (2,0)
(d) (-2,0).
उत्तर:
(a) (0,0)

प्रश्न 10.
बिन्दुओं A (-2, 8) एवं B (-6,-4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है :
(a) (-4,-6)
(b) (2,6)
(c) (-4, 2)
(d) (4, 2).
उत्तर:
(c) (-4, 2)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी ………. कहलाती है।
2. किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी ……….. कहलाती है।
3. (0, y) एवं (x, 0) के मध्य दूरी ………… होती है।
4. (2a, 0) एवं (0, 2b) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ……….. हैं।
5. तीन सरेखीय बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ………… है।
उत्तर-
1.x-निर्देशांक या भुज,
2. y-निर्देशांक या कोटि
3. \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
4. (a, b),
5. शून्य (0)।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. (3, 0) एवं (0, 4) के बीच की दूरी 5 इकाई होती है।
2. (-4, 6) एवं (4,-6) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक (4, 6) हैं।
3. (4,0) एवं (0, 3) के बीच दूरी 5 इकाई है।
4. (0, 0), (3, 0), (0, 4) द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 इकाई है।
5. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) शीर्ष वाले त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. बिन्दु (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
2. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य दूरी क्या होगी?
3. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) को मिलाने वाली रेखा को m₁ : m₂ के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
4. बिन्दु (x₁, y₁), (x₂, y₂) एवं (x₃, y₃) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल लिखिए।
5. मूलबिन्दु से बिन्दु (x, y) के बीच दूरी क्या होगी?
उत्तर-

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
4 पैन एवं 4 पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹ 100 है। एक पैन का तीन गुना मूल्य एक पेंसिल बॉक्स . के मूल्य से ₹ 15 अधिक है। रैखिक युगपत समीकरण युग्म बनाइए तथा एक पैन एवं एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए एक पैन का मूल्य ₹x एवं एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹y हैं तो प्रश्नानुसार,
4x +4y = 100 ⇒ x + y = 25 ….(1)
एवं 3x = y + 15 ⇒ 3x – y = 15 ….(2)
⇒ 4x = 40 [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 40 }{ 4 } \) = 10
अब x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
10 + y = 25 ⇒ y = 25 – 10 = 15
अतः एक पैन का अभीष्ट मूल्य ₹ 10 एवं एक पेंसिल बॉक्स का अभीष्ट मूल्य ₹ 15 है।

प्रश्न 2.
5 संतरे और 3 सेबों का मूल्य ₹ 35 है तथा 2 संतरे और 4 सेबों का मूल्य ₹ 28 है तब एक संतरा तथा 1 सेब का मूल्य ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
(निर्देश : उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।)
[उत्तर: एक संतरे का अभीष्ट मूल्य = ₹4 एवं एक सेब का मूल्य = ₹ 5]

प्रश्न 3.
अंकित अपने घर के लिए 14 किलोमीटर की दूरी आंशिक रूप से रिक्शे के द्वारा एवं आंशिक रूप से बस के द्वारा तय करती है। वह 2 km रिक्शा के द्वारा तथा शेष दूरी बस के द्वारा तय ‘ करने में आधा घण्टा लेता है। दूसरी ओर यदि उसने 4 km दूरी रिक्शा से तथा शेष दूरी बस से तय की होती तो उसे 9 मिनट अधिक लगते। रिक्शा एवं बस की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रिक्शा की चाल x km/hr एवं बस की चाल y km/hr हो तो प्रश्नानुसार,

समीकरण (2) एवं (3) में \(\frac { 1 }{ x } \) = p एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = q रखने पर,
4p + 10q = \(\frac { 13 }{ 20 } \) ….(4)
4p + 24q = 1 ….(5)
⇒ 14q = 1 – \(\frac { 13 }{ 20 } \) = \(\frac { 7 }{ 20 } \) [समीकरण (5)- समीकरण (4) से]
\(\Rightarrow \quad \quad q=\frac{7}{14 \times 20}=\frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{y}=q=\frac{1}{40} \Rightarrow y=40 \mathrm{km} / \mathrm{hr}\)
q का मान समीकरण (4) में रखने पर,
\(4 p+10 \times \frac{1}{40}=\frac{13}{20} \Rightarrow 4 p=\frac{13}{20}-\frac{1}{4}=\frac{8}{20}\)
\(p=\frac{8}{4 \times 20}=\frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{x}=p=\frac{1}{10} \Rightarrow x=10 \mathrm{km} / \mathrm{hr}\)
अतः रिक्शा एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 10 km/hr एवं 40 km/hr है।

प्रश्न 4.
एक मोटर वोट 30 km की दूरी जल धारा के विरुद्ध एवं 28 km की दूरी धारा की दिशा में तय करने में 7 घण्टे का समय लेती है। यह 21 km की दूरी धारा के विपरीत जाने एवं धारा की दिशा में वापस आने में कुल समय 5 घटे में तय कर सकती है। स्थिर जल में नाव की चाल एवं जल धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना लीजिए स्थिर जल में नाव की चाल x km/hr एवं जल धारा की चाल y km/hr है, तो प्रश्नानुसार,

30p + 28q = 7 ….(3) × 3
एवं 21p + 21q = 5 …(4) × 4
⇒ 90p + 84q = 21 …(5)
एवं 84p + 84q = 20 ….(6)
⇒ 6p = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (6) से]

x का मान समीकरण (8) में रखने पर,
10 + y = 14 ⇒ y = 14 – 10 = 4
अतः स्थिर जल में नाव की अभीष्ट चाल 10 km/hr एवं जल धारा की अभीष्ट चाल 4 km/hr है।

प्रश्न 5.
दो वर्ष पूर्व सलीम की उम्र उसकी पुत्री की उम्र की तीन गुनी थी और 6 वर्ष पश्चात् उसकी उम्र उसकी पुत्री की उम्र के दूने से 4 वर्ष अधिक हो जाएगी। दोनों की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सलीम की वर्तमान उम्र x वर्ष एवं उसकी पुत्री की वर्तमान उम्र y वर्ष है। तो प्रश्नानुसार,
x – 2 = 3 (y – 2)
⇒ x – 3 y = -4 ….(1)
एवं (x + 6) = 2 (y + 6) + 4
⇒ x – 2y = 12 + 4 – 6 = 10
⇒ y = 14 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x – 2 × 14 = 10
⇒ x – 28 = 10
⇒ x = 28 + 10 = 38
अतः सलीम की अभीष्ट वर्तमान उम्र 38 वर्ष एवं उसकी पुत्री की अभीष्ट वर्तमान उम्र 14 वर्ष है।

प्रश्न 6.
एक पिता की उम्र अपने दोनों पुत्रों की उम्र के योग की दो गुनी है। 20 वर्ष बाद उसकी उम्र अपने दोनों पुत्रों की उम्र के योग के बराबर हो जाएगी। पिता की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए पिता की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसके दोनों पुत्रों की उम्र का योग y वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
x = 2y ⇒ x – 2y = 0 ….(1)
चूँकि 20 वर्ष बाद पिता की उम्र में तो 20 वर्ष की वृद्धि होगी जबकि दोनों पुत्रों की उम्र के योग में 20 + 20 = 40 वर्ष की वृद्धि होगी अतः
x + 20 = y + 40
⇒ x – y = 40 – 20 = 20 ….(2)
⇒ y = 20 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x – 2 × 20 = 0 ⇒ x – 40 = 0
⇒ x = 40
अतः पिता की अभीष्ट उम्र 40 वर्ष है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं का अनुपात 5 : 6 है यदि प्रत्येक में से 8 घटा दिया जाए तो उनका अनुपात 4 : 5 हो जाएगा। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि वे संख्याएँ x एवं y है, तो प्रश्नानुसार

समीकरण (1) को 4 से एवं समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर,
24x – 20y = 0 ….(3)
एवं 25x – 20y = 40 ….(4)
⇒ x = 40 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
6 × 40 – 5y = 0
⇒ 240 – 5y = 0
⇒ 5y = 240
⇒ y = \(\frac { 240 }{ 5 } \) = 48
अत: अभीष्ट संख्याएँ 40 एवं 48 हैं।

प्रश्न 8.
दो परीक्षा कक्षों A एवं B में कुछ छात्र हैं यदि कक्ष A से 10 छात्र कक्ष B में स्थानान्तरित कर दिए जाएँ तो दोनों कक्षों में छात्र संख्या बराबर हो जायेगी। लेकिन यदि 20 छात्र कक्ष B से कक्ष A में स्थानान्तरित कर दिए जाएँ तो कक्षA की छात्र संख्या कक्ष B की छात्र संख्या की दूनी हो जाएगी। दोनों कक्षों में छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कक्ष A में छात्र संख्या x एवं कक्ष B में छात्र संख्या y है। तो प्रश्नानुसार,
(x – 10) = (y + 10)
⇒ x – y = 20 ….(1)
एवं (x + 20) = 2 (y – 20)
⇒ x + 20 = 2y – 40
⇒ x – 2y = – 40 – 20 = – 60 ….(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
y = 20 + 60 = 80
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x – 80 = 20 ⇒ x = 80 + 20 = 100
अतः परीक्षा कक्ष A में अभीष्ट छात्र संख्या 100 एवं परीक्षा कक्ष B में अभीष्ट छात्र संख्या 80 है।

प्रश्न 9.
एक दुकानदार किराए पर पुस्तक पढ़ने को देती है। वह प्रथम दो दिन के लिए एक निश्चित किराया तथा अतिरिक्त दिनों के लिए प्रतिदिन के हिसाब से अतिरिक्त किराया वसूल करती है। लतिका ने 6 दिन के लिए पुस्तक ली जिसके लिए उसे ₹ 22 देने पड़े तथा आनन्द ने पुस्तक को 4 दिन तक रखा और उसने ₹16 का भुगतान किया। नियत (निश्चित) किराया एवं प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
माम लीजिए प्रथम दो दिन का नियत किराया ₹x एवं अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदिन किराया ₹y है, तो प्रश्नानुसार,
x + 4y = 22 …(1) [अतिरिक्त 6 – 2 = 4 दिन]
एवं x + 2y = 16 ….(2) [अतिरिक्त 4 – 2 = 2 दिन]
⇒ 2y = 6 [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + 4 × 3 = 22
⇒ x + 12 = 22
⇒ x = 22 – 12 = 10
अतः पुस्तकों का नियत अभीष्ट किराया ₹ 10 एवं अतिरिक्त दिनों के लिए प्रतिदिन अभीष्ट किराया ₹3 है।

प्रश्न 10.
एक प्रतियोगी परीक्षा में प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक मिलता है लेकिन प्रत्येक गलत उत्तर के लिए \(\frac { 1 }{ 2 } \) अंक काट लिया जाता है। जयन्ती ने 120 प्रश्नों के उत्तर दिए और कुल 90 अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए ?
हल:
मान लीजिए कि जयन्ती ने x प्रश्नों के सही उत्तर तथा y प्रश्नों के गलत उत्तर दिए।
तो प्रश्नानुसार,
x + y = 120 ….(1)
एवं x – \(\frac { 1 }{ 2 } \) y = 90
⇒2x – y = 180 ….(2)
समीकरण (2) में समीकरण (1) को जोड़ने पर,
3x = 300 ⇒ x = \(\frac { 300 }{ 3 } \) = 100
अतः जयन्ती ने अभीष्ट 100 प्रश्नों के सही उत्तर दिए।

प्रश्न 11.
ग्राफीय (ज्यामितीय) विधि से ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक युगपद समीकरण युग्म संगत हैं या अंसगत/अगर संगत है तो उनको हल कीजिए:
(i) 3x + y + 4 = 0;6x – 2y + 4 = 0
(ii) x – 2y = 6; 3x – 6y = 0
(iii) x + y = 3; 3x + 3y = 9
हल:
(i) 3x + y + 4 = 0
⇒ y = – 3x – 4
जब x = 0 ⇒ y = -4
और जब x = – 2
⇒ y = -3(-2)-4
= 6 – 4 = 2

एवं 6x – 2y + 4 = 0 ….(2)
⇒ 3x – y + 2 = 0
⇒ y = 3x + 2
जब x = 0 ⇒ y = 2
और जब x = -1 ⇒ y = 3 (-1)+ 2 = – 3 + 2 = – 1

आकृति : 3.12

चूँकि ग्राफ परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म संगत हैं तथा अभीष्ट हल x = -1 एवं y = -1 है।

(ii) x – 2y = 6
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 2 } \)
जब x = 0 ⇒ y = -3
और जब x = 2
⇒ y = \(\frac { 2-6 }{ 2 } \) = \(\frac { -4 }{ 2 } \) = -2

एवं 3x – 6y = 0
⇒ 6y = 3x
⇒ y = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x
जब x = 0 ⇒ y = 0
और जब x = 4 ⇒ y = 2

आकृति : 3.13
चूँकि ग्राफ परस्पर प्रतिच्छेद नहीं करते अर्थात् समानान्तर हैं।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म असंगत है।
(iii) x + y = 3 …(1)
⇒ y = 3 – x
जब x = 0 तब y = 3 – 0 = 3

और जब x = 3 तब y = 3 – 3 = 0
एवं 3x +3y = 9 …(2)
x+ y = 3 .
y = 3 – x
जब x = 0 ⇒ y = 3 – 0 = 3
और जब x = 3 ⇒y = 3 = 0

आकृति : 3.14
चूँकि ग्राफ संपाती हैं तथा y = 3 -x से y का मान x के मान पर आश्रित है।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म आश्रित संगत है तथा इसके अनन्तशः अनेक हल होंगे।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
λ के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म λx + y = λ² एवं x + λy = 1
(i) का कोई भी हल नहीं है?
(ii) अनन्तशः अनेक हल हैं?
(iii) एक अद्वितीय हल है?
हल:
(i) कोई हल नहीं होने के लिए:

अत: λ का अभीष्ट मान-1 है।

(ii) अनन्तशः अनेक हल के लिए:

अत: λ का अभीष्ट मान 1 है।

(iii) एक अद्वितीय हल होने के लिए:

अतः ± 1 को छोड़कर का मान प्रत्येक वास्तविक संख्या होगी।

प्रश्न 2.
k के किस मान के लिए समीकरण युग्म kx + 3y = k – 3 एवं 12x + ky = k का कोई हल नहीं होगा?
हल:
kx + 3y = k – 3 ….(1)
12x + ky = k …..(2)
अतः k का अभीष्ट मान -6 है।

प्रश्न 3.
a एवं b के किस मान के लिए निम्न समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे :
x + 2y = 1 एवं (a – b) x + (a + b)y = a + b – 2
हल:
x + 2y = 1 ….(1)
(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2 ….(2)
अनन्तशः अनेक हल होने के लिए,
\(\frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a+b-2}\)
⇒ a + b = 2a – 2b ⇒ a – 3b = 0 ….(3)
एवं 2a + 2b – 4 = a + b → a + b = 4 ….(4)
⇒ 4b = 4 ⇒ b = \(\frac { 4 }{ 4 } \) = 1 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
b का मान समीकरण (4) में रखने पर,
a + 1 = 4 ⇒ a = 4 – 1 = 3
अत: a एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 3 एवं 1 हैं।

प्रश्न 4.
निम्न प्रश्न क्रमांक (i) से (iv) में p का मान तथा (v) में p एवं के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 3x – y – 5 = 0 एवं 6x – 2y – p = 0. यदि इन समीकरणों से प्रदर्शित रेखाएँ परस्पर समानान्तर हों।
(ii) -x + py = 1 एवं px – y = 1, यदि समीकरण युग्म का कोई हल न हो।
(iii) – 3x + 5y = 7 एवं 2px -3y = 1, यदि इस समीकरण युग्म से प्रदर्शित रेखाएँ परस्पर एक अद्वितीय बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हों।
(iv) 2x + 3y – 5 = 0 एवं px – 6y – 8 = 0 यदि समीकरण युग्म का अद्वितीय हल हो।
(v) 2x + 3y = 7 एवं 2px + py = 28 – qy, यदि समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल हों।
हल:
(i) 3x – y – 5 = 0 ….(1)
6x – 2y – p = 0 …..(2)
समीकरण युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ समानान्तर होंगी,
यदि \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ≠ \(\frac { 5 }{ p } \)
⇒ p ≠ 10
अतः p का अभीष्ट मान कोई भी वास्तविक संख्या होगी केवल 10 को छोड़कर।

(ii) -x + py = 1 ….(1)
px – y = 1 ….(2)
समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा यदि
\(\frac{-1}{p}=\frac{p}{-1} \neq \frac{1}{1}\)
⇒ p² = 1 ⇒ p = ± 1 लेकिन p ≠ -1
अतः p का अभीष्ट मान 1 होगा।

(iii) -3x + 5y = 7 ….(1)
2px – 3y = 1 ….(2)
समीकरण युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ एक अद्वितीय बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करेंगी यदि
\(\frac{-3}{2 p} \neq \frac{5}{-3} \Rightarrow 10 p \neq 9 \Rightarrow p \neq \frac{9}{10}\)
अतः \(\frac { 9 }{ 10 } \) को छोड़कर p का कोई भी वास्तविक मान अभीष्ट होगा।s

(iv) 2x + 3y – 5 = 0 ….(1)
px – 6y – 8 = 0 ….(2)
समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा यदि
\(\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6} \Rightarrow 3 p \neq-12 \Rightarrow p \neq-4\)
अतः -4 को छोड़कर p का कोई भी वास्तविक मान अभीष्ट होगा।

(v) 2x + 3y = 7 …(1)
2px + py = 28 – qy
⇒ 2px + (p + q) y = 28 …(2)
समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे

अतः p एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 8 है।

प्रश्न 5.
दो सीधे रास्ते समीकरण युग्म x-3y = 2 एवं- 2x + 6y = 5 के द्वारा प्रदर्शित किए हैं। जाँच कीजिए कि ये रास्ते एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं।
हल:
चूँकि x – 3y = 2 ….(1)
एवं -2x + 6y = 5 ….(2)

अतः दोनों रास्ते परस्पर समान्तर होंगे और परस्पर किसी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।

प्रश्न 6.
निम्न आयत में x एवं के मान ज्ञात कीजिए :

हल:
चूँकि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं इसलिए
x + 3y = 13 ….(1)
3x + y = 7 ….(2)
समीकरण (2) को (3) से गुणा करने पर,
9x + 3y = 21 ….(3)
⇒ 8x = 8 [समीकरण (3) – समीकरण (1) से]
⇒ x = \(\frac { 8 }{ 8 } \) = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
1 + 3y = 13 ⇒ 3y = 13 – 1 = 12
⇒ y = \(\frac { 12 }{ 3 } \) = 4
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 1 एवं 4 हैं।

प्रश्न 7.
निम्न समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
(i) x + y = 3.3; \(\frac { 0.6 }{ 3x-2y } \) = -1; जहाँ 3x – 2y ≠ 0
(ii) \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 4 } \) = 4; \(\frac { 5x }{ 6 } \) – \(\frac { y }{ 8 } \) = 4
(iii) 4x + \(\frac { 6 }{ y } \) = 15; 6x – \(\frac { 8 }{ y } \) = 14, जहाँ y ≠ 0
(iv) \(\frac { 1 }{ 2x } \) – \(\frac { 1 }{ y } \) = -1; \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = 8, जहाँ x,y ≠ 0
(v) \(\frac { 2xy }{ x+y } \) = \(\frac { 3 }{ 2 } \); \(\frac { xy }{ 2x-y } \) = \(\frac { -3 }{ 10 } \) जहाँ x + y ≠ 0, 2x – y ≠ 0
हल:
(i) चूंकि x + y = 3.3 …..(1)
एवं \(\frac{0 \cdot 6}{3 x-2 y}=-1 \Rightarrow 3 x-2 y=-0 \cdot 6\) …..(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 6.6 …..(3)
⇒ 5x = 6 [समीकरण (3) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 6 }{ 5 } \) = 1.2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
1.2 + y = 3.3 ⇒ y = 3.3 – 1.2 = 2.1
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 1.2 एवं 2.1 हैं।

(ii) चूंकि \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 4 } \) = 4 ⇒ 4x + 3y = 48 ….(1)
एवं \(\frac { 5x }{ 6 } \) – \(\frac { y }{ 8 } \) = 4 ⇒ 20x – 3y = 96 ….(2)
⇒ 24x = 144 [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 144 }{ 24 } \) = 6
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
4 × 6 + 3y = 48 ⇒ 24 + 3y = 48
⇒ 3y = 48 – 24 = 24 ⇒ y = \(\frac { 24 }{ 3 } \) = 8
अतः x एवं y के अभीष्ट मान = 6 एवं 8 हैं।

समीकरण (3) को 4 से तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर,
16x + 24z = 60 …..(5)
18x – 24z = 42 …..(6)
⇒ 34x = 102
⇒ x = \(\frac { 102 }{ 34 } \) = 3
x का मान समीकरण (3) में रखने पर,
4 × 3 + 6z = 15 ⇒ 12 + 3z = 15
⇒ 6z = 15 – 12 = 3 ⇒ z \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
z = \(\frac { 1 }{ y } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अतः x एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 3 एवं 2 हैं।

समीकरण (3) को 2 से गुणा करने पर,
2p – 4q = -4 …(5)
⇒ 5q = 20 [समीकरण (4)- समीकरण (5) से]

अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 1 }{ 6 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

q का मान समीकरण (4) में रखने पर,
3p – 6(-\(\frac { 2 }{ 3 } \)) = 10 ⇒ 3p + 4 = 10
⇒ 3p = 10 – 4 = 6 ⇒ p = \(\frac { 6 }{ 3 } \) = \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 3 }{ 2 } \) हैं।

प्रश्न 8.
समीकरण युग्म \(\frac { x }{ 10 } \) + \(\frac { y }{ 5 } \) -1 = 0 एवं \(\frac { x }{ 8 } \) + \(\frac { y }{ 6 } \) = 15 को हल कीजिए और यदि y = λx + 5 तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूंकि \(\frac { x }{ 10 } \) + \(\frac { y }{ 5 } \) – 1 = 0 ⇒ x + 2y = 10 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ 8 } \) + \(\frac { y }{ 6 } \) = 15 ⇒ 3x + 4y = 360 ….(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 4y = 20 …(3)
⇒ x = 340 [समीकरण (2)- समीकरण (3) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
340 + 2y = 10 ⇒ 2y = 10 – 340 = -330
⇒ y = \(\frac { -330 }{ 2 } \) = -165
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः 340 और – 165 हैं।
अब y = λx + 5 में x और y के मान रखने पर,
– 165 = λ × 340 + 5
⇒ 340λ = – 165 – 5 = – 170
⇒ λ = \(\frac { -170 }{ 340 } \) = – \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः λ का अभीष्ट मान –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या निम्न रैखिक समीकरण युग्मों का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) 2x + 4y = 3; 12y + 6x = 6
(ii) x = 2y; y = 2x
(iii) 3x + y – 3 = 0; 2x + \(\frac { 2 }{ 3 } \) y = 2
हल:
(i) चूंकि 2x + 4y = 3 ….(1)
एवं 12y + 6x = 6
⇒ 6x + 12y = 6

अतः हाँ, समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं है।

(ii) चूंकि x = 2y ⇒ x – 2y = 0 ….(1)
एवं y = 2x ⇒ 2x – y = 0 ….(2)

अत: नहीं, क्योंकि समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।

अत: नहीं, क्योंकि समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

प्रश्न 2.
क्या निम्नलिखित समीकरण युग्म सम्पाती रेखाओं को प्रदर्शित करती हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) 3x + \(\frac { 1 }{ 7 } \)y = 3; 7x + 3y = 7
(ii) -2x – 3y = 1; 6y + 4x = -2
(iii) \(\frac { x }{ 2 } \) + y + \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 0 ; 4x + 8y + \(\frac { 5 }{ 16 } \) = 0
हल:

अतः नहीं, क्योंकि यह समीकरण युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं को प्रदर्शित करता है।
(ii) चूंकि -2x – 3y = 1 ⇒ 2x + 3y = – 1 ….(1)
एवं 6y + 4x = -2 = 4x + 6y = -2 ….(2)

अतः हाँ, यह समीकरण युग्म सम्पाती रेखाओं को प्रदर्शित करता है।
(iii) चूंकि \(\frac { x }{ 2 } \) + y + \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 0 ⇒ 5x + 10y + 4 = 0 ….(1)

एवं 4x + 8y + \(\frac { 5 }{ 16 } \) ⇒ 64x + 128y + 5 = 0 …..(2)

अतः नहीं, क्योंकि यह समीकरण युग्म समान्तर रेखाओं को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 3.
क्या निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) – 3x – 4y = 12; 4y + 3x = 12
(ii) \(\frac { 3 }{ 5 } \) x – y = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ;\(\frac { 1 }{ 5 } \) x – 3y = \(\frac { 1 }{ 6 } \)
(iii) 2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0
(iv) x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22
हल:
(i) चूंकि – 3x – 4y = 12 ⇒ 3x + 4y = – 12 ….(1)
एवं 4y + 3x = 12 = 3x + 4y = 12 ……(2)

अतः नहीं, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं।

अतः हाँ, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।
(iii) चूंकि 2ax + by = a ….(1)
4ax + 2by – 2a = 0
⇒ 4ax + 2by = 2a ….(2)

अत: हाँ, यह रैखिक समीकरण युग्म आश्रित संगत है और इसके अनन्तशः अनेक हल हैं।
(iv) चूंकि x + 3y = 11 ….(1)
एवं 2(2x + 6y) = 22 ⇒ 2x + 6y = 11 ….(2)

अतः नहीं, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

प्रश्न 4.
“समीकरण युग्म λx + 3y =-7; 2x + 6y =14 के अनन्तशः अनेक हल होंगे के लिए का मान 1 होना चाहिए,” क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
हल:
चूंकि λx + 3y = -7 ….(1)
एवं 2x + 6y = 14 ….(2)


अतः कथन असत्य हैं, क्योकि λ = 1 पर रैखिक समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा।

प्रश्न 5.
c के सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरण युग्म x – 2y = 8; 5x – 10y = c का एक अद्वितीय हल होगा। प्रमाणित कीजिए कि कथन सत्य है या असत्य।
हल:
चूँकि x – 2y = 8 ….(1)
एवं 5x – 10y = c ….(2)
एवं \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{5}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-10}=\frac{1}{5}\) एवं \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{c}\)
⇒ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\)
अतः कथन असत्य है, क्योंकि के किसी भी मान के लिए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल नहीं होगा।

प्रश्न 6.
“समीकरण x = 7 के द्वारा प्रदर्शित रेखा x – अक्ष के समान्तर होगी।” पुष्टि कीजिए कि उक्त कथन सत्य है या नहीं:
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि x = 7 y – अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण है जो x – अक्ष पर लम्ब होती है। अत: इस पर समान्तर नहीं हो सकती।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
समीकरण युग्म 6x – 3y + 10 = 0 एवं 2x – y + 9 = 0 ग्राफ पर दो रेखाएँ प्रदर्शित करती हैं जो :
(a) एक निश्चित बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं
(b) दो निश्चित बिन्दुओं पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं
(c) सम्पाती होती हैं
(d) समान्तर होती हैं।
उत्तर:
(a) एक निश्चित बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं

प्रश्न 2.
समीकरण युग्म x + 2y + 5 = 0 एवं -3x – 6y + 1 = 0 के होंगे:
(a) एक अद्वितीय हल
(b) दो निश्चित हल
(c) अनन्तशः अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(d) कोई हल नहीं।

प्रश्न 3.
यदि एक समीकरण युग्म संगत है तो रेखाएँ होंगी :
(a) समान्तर
(b) सदैव सम्पाती
(c) प्रतिच्छेदी या सम्पाती
(d) सदैव प्रतिच्छेदी।
उत्तर:
(c) प्रतिच्छेदी या सम्पाती

प्रश्न 4.
समीकरण युग्म y = 0 और y = -7 के होंगे :
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अनन्तश: अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(d) कोई हल नहीं।

प्रश्न 5.
समीकरण युग्म x = a एवं y = b ग्राफीय रूप से रेखाएँ प्रदर्शित करता है जो होती हैं :
(a) समान्तर
(b) (b, a) पर प्रतिच्छेदी
(c) सम्पाती
(d) (a, b) पर प्रतिच्छेदी।
उत्तर:
(d) (a, b) पर प्रतिच्छेदी।

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = -16 सम्पाती रेखाएँ प्रदर्शित करेगा?
(a) \(\frac { 1 }{ 2 } \)
(b) – \(\frac { 1 }{ 2 } \)
(c) 2
(d) -2
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 7.
समीकरण 3x + 2ky = 2 एवं 2x + 5y + 1 = 0 रेखाएँ समान्तर हैं तो k का मान होगा :
(a) – \(\frac { 5 }{ 4 } \)
(b) \(\frac { 2 }{ 5 } \)
(c) \(\frac { 15 }{ 4 } \)
(d) \(\frac { 3 }{ 2 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { 15 }{ 4 } \)

प्रश्न 8.
c का मान जिसके लिए समीकरण युग्म cx – y = 2 एवं 6x – 2y = 4 के अनन्तशः अनेक हल होंगे:
(a) 3
(b) -3
(c) -12
(d) कोई मान नहीं।
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 9.
आश्रित रैखिक समीकरण युग्म में से एक समीकरण -5x + 7y = 2 है, तो दूसरा समीकरण होगा:
(a) 10x + 14y + 4 = 0
(b) – 10x – 14y + 4 = 0
(c) – 10x + 14y + 4 = 0
(d) 10x – 14y = -4.
उत्तर:
(d) 10x – 14y = -4.

प्रश्न 10.
एक रैखिक समीकरण यग्म जिसका अद्वितीय हल x = 2. y = -3 है, होगा :
(a) x + y = – 1; 2x – 3y = -5
(b) 2x + 5y = – 11; 4x + 10 y = 22
(c) 2x – y = 1; 3x + 2y = 0
(d) x – 4y – 14 = 0; 5x – y – 13 = 0
उत्तर:
(d) x – 4y – 14 = 0; 5x – y – 13 = 0

प्रश्न 11.
यदि x = a, y = b समीकरण युग्म x – y = 2 एवं x + y = 4 तब a और b के मान होंगे क्रमशः:
(a) 3 और 5
(b) 5 और 3
(c) 3 और 1
(d) -1 और -3
उत्तर:
(c) 3 और 1

प्रश्न 12.
अन्ना के पास केवल ₹1 और ₹ 2 के सिक्के हैं। यदि सिक्कों की कुल संख्या जो उसके पास हैं, 50 है जिनका कुल मूल्य ₹75 है तब ₹1 और ₹2 के सिक्कों की संख्या होगी क्रमशः:
(a) 35 और 15
(b) 35 और 20
(c) 15 और 35
(d) 25 और 25
उत्तर:
(d) 25 और 25

प्रश्न 13.
एक पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र से 6 गुनी है। चार वर्ष बाद पिता की उम्र अपने पुत्र की उम्र से चार गुनी हो जाएगी। पुत्र एवं पिता की वर्तमान उम्र (वर्षों में) क्रमशः है:
(a) 4 और 24
(b) 5 और 30
(c) 6 और 36
(d) 3 और 18
उत्तर:
(c) 6 और 36

प्रश्न 14.
समीकरण युग्म 5x – 15y = 8 और 3x – 9y = \(\frac { 24 }{ 5 } \) के होंगे :
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अनन्तशः अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(c) अनन्तशः अनेक हल

प्रश्न 15.
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि इसमें 27 जोड़ दिया जाए तो संख्या के अंक उलट जाते हैं। यह संख्या है –
(a) 25
(b) 72
(c) 63
(d) 36
उत्तर:
(d) 36

प्रश्न 16.
जब \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) हो. तो समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0: (2019)
(a) के दो हल होंगे
(b) को कोई हल नहीं होगा
(c) के अनंत अनेक हल होंगे
(d) का अद्वितीय हल होगा।
उत्तर:
(b) को कोई हल नहीं होगा

प्रश्न 17.
x – 2y = 0 और 2x + 4y – 20 = 0 रेखाएँ:(2019)
(a) प्रतिच्छेद करती हैं
(b) संपाती हैं
(c) समान्तर हैं
(d) इनमे से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) प्रतिच्छेद करती हैं

रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
एक ऐसा समीकरण, जिसका आलेख एक सरल रेखा होता है ………….. समीकरण कहलाता है।
उत्तर:
रैखिक

प्रश्न 2.
रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का आलेख एक ………….. रेखा है।
उत्तर:
सरल

प्रश्न 3.
x एवं’ का मान युग्म (x, y) जो दिए हुए समीकरण ax + by + c = 0 को सन्तुष्ट करता है, उस समीकरण का ………….. कहलाता है।
उत्तर:
हल

प्रश्न 4.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई हल होता है, तब निकाय ………….. निकाय कहलाता है।
उत्तर:
संगत

प्रश्न 5.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई भी हल नहीं होता, तब निकाय ………….. निकाय कहलाता है।
उत्तर:
असंगत।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

1. समीकरण x + 2y = 5 में यदि x = 1, तो y = 2 होगा।
2. वर्ग समीकरण का आरेख एक सरल रेखा होती है।
3. रैखिक समीकरण युग्म के कोई हल नहीं हो सकते या एक अद्वितीय हल हो सकता है अथवा अनन्तशः अनेक हल भी हो सकते हैं।
4. समीकरण युग्म x = a एवं y = b दो समान्तर रेखाओं को निरूपित करते हैं।
5. ax + by + c = 0 प्रकार के समीकरण रैखिक युगपद समीकरण होते हैं।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
वह समीकरण निकाय क्या कहलाता है, जिसका कोई हल न हो?
उत्तर:
असंगत

प्रश्न 2.
वह समीकरण निकाय क्या कहलाता है जिसका कोई हल होता है।
उत्तर:
संगत

प्रश्न 3.
जिस समीकरण का आलेख एक सरल रेखा हो, वह क्या कहलाता है?
उत्तर:
रैखिक समीकरण

प्रश्न 4.
जब किसी समीकरण निकाय के अनन्तशः अनेक हल हों, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
सम्पाती रेखाएँ

प्रश्न 5.
जब किसी समकरण निकाय का कोई अद्वितीय हल हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
प्रतिच्छेदी रेखाएँ

प्रश्न 6.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई हल न हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
समान्तर रेखाएँ

प्रश्न 7.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
अद्वितीय हल

प्रश्न 8.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\), तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
कोई हल नहीं

प्रश्न 9.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
अनन्ततः अनेक हल।