Class 10

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MP Board Class 10th Social Science Solutions Chapter 10 Contribution of Madhya Pradesh in Freedom Struggle

MP Board Class 10th Social Science Text Book Exercise

Objective Type Questions

Question 1.
Multiple Choice Questions:
(Choose the correct answer from the following)

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Question (a)
Which freedom fighter of Madhya Pradesh had the honour of becoming President of India:
(a) Dr. Shankar Dayal Sharma
(b) Pt. Sunderlal
(c) Pt. Dwarika Prasad Mishra
(d) Pt. Shambhunath Shukla.
Answer:
(a) Dr. Shankar Dayal Sharma

Question (b)
After which freedom fighter’s name, Bhopal University has been named:
(a) Seth Govinddas
(b) Barkatullah
(c) Harisingh Gaud
(d) Rani Durgavati.
Answer:
(b) Barkatullah

Question (c)
From which city of Madhya Pradesh the ‘Jhanda Satyagraha’ begin: (MP Board 2010)
(a) Indore
(b) Sagar
(c) Jabalpur
(d) Bhopal.
Answer:
(c) Jabalpur

Question 2.
Fill in the blanks:

1. ……………………. (name) lived in village Dhimarpura by the name Harishankar Bhramachari.
2. Rani Avantibai was queen of Ramgarh of ………………….. district.
3. Rani Laxmibai captured Gwalior with the help of ……………………. (name).

Answer:

1. Chandrashekhar Azad
2. Manda
3. Tatya Tope

Question 3.
Match the column:

Answer:

1. (iv)
2. (i)
3. (ii)
4. (iii)

MP Board Class 10th Social Science Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Where was Chandrashekhar Azad born?
Answer:
Village Bhabhra of Jhabua District.

Question 2.
Name the places of organisations set up in Madhya Pradesh?
Answer:
‘Gurukul’ 1929 (Satna), Hindustani Seva Dal 1931, Charkha Sangh (Rewa), Gwalior Rajya Seva Sangh and Harijan Sevak Sangh 1935 (Gwalior), Lok Sevak Sangh 1939, (Khargone), Gram Seva Kutir 1935 (Sendhwa), Seva Samiti (Betul). Seva Samiti (Betul), Seva Mandal (Ratlam) Jnyan Prakash Mandal (Indore) etc.

Question 3.
Which freedom fighter’s name (soldier) of Indian National Army was associated with Shivpur?
Answer:
Colonel Gurbax Singh Dhillon.

MP Board Class 10th Social Science Short Answer Type Questions

Question 1.
Name the newspapers published from Madhya Pradesh to arouse awemess for national awakening? (MP Board 2012)
Answer:
During that period many newspaper like Karmaveer, Ankush, Subodh Sindhu, Nyaya Sudha, Arya Vaibhav, Lokmat, Praja Mandat Patrika, Sarswati Vilas, Saptahik Awaz and Subaha Watan were published, which raised voice against the oppressive and unjust policies of the British. This helped in arousing nationalist feelings.

Question 2.
In what way the people of Madhya Pradesh made their contribution in the Civil Disobedience Movement?
Answer:
The people of Madhya Pradesh made their contribution in the Civil Disobedience Movement in several ways. Some of the main movements are as:

1. The forest struggle (satyagraha) of Turia Jungle.
2. Jungle Satyagraha of Ghodadongri.
3. The Firing Incidence of Charanpaduka.

During the freedom movement many political and social service institutions were set up; their ways of working and policies, though different, their contribution in the movement was remarkable. Thus contribution of the people of Madhya Pradesh was memorable.

Question 3.
What was Jungle Satyagraha? (MP Board 2013)
Answer:
When in 1930 Gandhiji marched to Dandi and led the ‘Namak Satyagraha’, at the time the Congress workers of Seoni, under the leadership of Durga Shankar Mehta carried out the ‘Jungle Satyagraha’. About 9 – 10 kms from Seoni, a movement to cut grass from the Government Sandalwood Gardens, was started.

In continuation of the above movement another movement to cut grass in the jungles of Turia 28 kms from Seoni. It was planned to enter Turia jungle on 9th October, 1930. The police and range officers insulted the freedom fighters and the public who had assembled there in support of the freedom fighters.

The Deputy Commissioner, Seoni ordered police to open fire on them to ‘teach a lesson’. On the spot four tribals viz. Guddobai, Ramabai, Bemabai and Birju Gond died. This incidence is a proof of the fact that the freedom movement spread even among the tribals. The bodies of these martyrs were not handed over to their families.

Question 4.
How did ‘Jhanda Satyagraha’ take place? Explain?
Answer:
During the freedom movement, tricolour with spinning wheal (charkha) in the centre was having the status of national flag. During 1923 an incident with regard to its honour occurred that the whole nation stood for it and even the British administration had to recognize that fact.

This incidence has gone in the history of freedom struggle and is known as ’Jhanda Satyagraha’. The Congress party constituted a committee under the leadership of Hakim Ajmal Khan to assess the extent of mental preparedness of the people in favour of the Non – Cooperation Movement.

The Jabalpur Congress Committee decided to honour Mr. Khan and hoist the tricolour on the building of Jabalpur Municipality. The British Government took this act of honouring Mr. Khan as an insult of the British rule and ordered the police to not only remove the flag but insult is by crushing it under feet. Consequently the people were extremely annoyed. They agitated and this agitation became a national agitation only after few months.

MP Board Class 10th Social Science Long Answer Type Questions

Question 1.
Describe the contribution of freedom fighters of Madhya Pradesh in the freedom struggle of 1857?
Answer:
From every part of Madhya Pradesh fighters took part in the freedom struggle. There was hardly any area where freedom fighters were not there. Everyone from almost all the areas of Madhya Pradesh took part in the struggle. Only because of these people that we are breathing in free atmosphere. Although freedom fighters did not confine themselves to a specific area; they considered the nation above everything.

Central character of struggle for freedom of 1857 was Rani Laxmi Bai, who belonged to Jhansi, fought her important battle in Madhya Pradesh posed challenge to British and won the war. She caputred the Gwalior fort with the help of Tatya Tope. When English capton Hughes approached Gwalior fort, she fought bravely and on 18th June, 1858 near Gwalior she sacrificed her life in the Baba Gangadas Bag.

Tatya Tope, the great, fighter of first freedom struggle helped Rani Laxmi Bai to capture Gwalior. Even after the death of Rani Laxmi Bai, Tatya Tope continued guerilla fighting with the British for two years in Madhya Pradesh and other parts of India. A friend betrayed Tatya Tope and he was imprisoned and later hanged in Shivpuri. Some other main freedom fighters were Virangana Rani Avantibai, Raja Bakhtawar Singh, Raja Shankar Singh and Raghunath Shah, Thakur Ranmat Singh, etc.

Question 2.
What impact ‘Civil Disobedience Movement’ and ‘Quit India Movement’ had on Madhya Pradesh?
Answer:
The trible district Betul was also a centre of freedom struggle and the tribals here also participated in the freedom movement. After the ‘Jungle Movement’ of 1930 the tribal freedom fighters also took the reigns of the freedom movement in their hands under the leadership of Ganjan Singh Korku of Banjari Dhal.

When the police reached Banjari Dhal to arrest Shri Ganjan Singh the local tribals strongly opposed. The police opened fire and in the firing Koma Gond died and became a martyr. Ganjan Singh however escaped. In a place named Jambada a crowd gathered to free the arrested tribals, police opened fire on the crowd, Ramu and Makdu Gond died and became martyrs.

In August 1942 a new chapter in the freedom struggle of India was added, popularly known as ‘Quit India Movement’. The All India Congress Committee passed are solution, in the meeting of Indian Congress Committee held on 8th August, 1942 in Bombay. On the 9th August many big leaders including Mahatma Gandhi were arrested.

In this situation, many big leaders of Madhya Pradesh like Pt. Ravi Shankar Shukla, Dwarka Prasad Mishra returned to Madhya Pradesh to fight against such oppressive activities of the British Rule. People organised themselves in every village, tehsil and town, thus a beginning of the struggle was made. In Betul the struggle assumed serious form and the police opened fire.

In places like Mandla, Sagar, Hosharigabad, Chhindwara Jabalpur etc. people attacked Government offices and burnt Government records, railway, postal and transport services were disrupted. The police took recourse to oppression were disrupted. Seth Govindas was arrested in Jabalpur. As a consequence of this the struggle gathered momentum. The people participated in the struggle with great enthusiasm in places like Khandwa, Khargone, Narsinghpur, Damoh, Balaghat etc.

Question 3.
Write notes on:

1. Barkatullah Bhopali
2. Chandrashekhar Azad
3. Tantya Bhil
4. Kunwar Chain Singh
5. Virangana Avantibai
6. Thakur Ranmat Singh.

1. Barkatullah Bhopali:
Mohammad Barkatullah continuously made efforts of Independence of India, while living in foreign countries. He was made the Prime Minister of the interim Government of India set up in Kabul. Political activities started in Bhopal from the year 1934.

In this very year publication of two weekly papers were started viz. ‘Subahe Watan’ in Urdu by Shakir Ali Khan and ‘Praja Pukar’ by the Hindu Mahasabha of Bhopal State. In 1938 the Hindu and Muslim population together, set up ‘Praja Mandal’.

2. The Great Martyr Chandrashekhar Azad:
He was born in village Bhabhra of Jhabua district (Madhya Pradesh). He joined the Non-cooperation Movement in the early age of 14 years. When he was arrested he told in the court of law, ‘Azad’ as his name, ‘Independence’ as father’s name and ‘Prison’ as his address. Since then suffix ‘Azad’ added to his name.

For the Britishers, Azad’s name was the synonym for terror. The credit or arousing a sense of patriotism and prepare people foi armed revolution and preparing a generation of revolutionaries goes to Azad. Between the year 1926 to 1931, Azad was associated in almost all the revolutionary activities and associated himself in about 100 incidences of fight against the Britishers and became General Officer in Command of the Indian Socialist Republican Party.

He set up his headquarters in a village named Dhimarpura on the Bank of the river Satar in Jhansi. During day hours he used to narrate the story of Lord Ram, arrange for meals for the people and from there used to direct revolutionary activities in Jhansi.

He somehow reached Allahabad, hiding himself from the police and on 27 February, 1931, he was sitting in the Alfred Park. The police rounded him there at 10 a.m. in the morning. Firing started from both the sides, when only one bullet was left in his pistol he shot himself by firing a bullet neaiythe ear.

3. Tantya Bhil:
After the freedom struggle of 1857 Tantya Bhil became a symbol of terror for the Britishers. Dopia and Bijamija, his associates were also his partners in the Revolutionary activities. For years they were living amongst the local people and at the same time conducted revolutionary activities as a result of which they became a big challenge for the Britishers. Tantya Bhil was arrested under a conspiracy and was hanged in the year 1886. Tantya is a hero even today among Bhils.

4. Kunwar Chain Singh:
Prince Chain Singh of Narsinghgarh was insulted by political Agent Maddoc of Sehore Cantonment. Hence Chain Singh started agitation against the British. In 1824 there was a fierce battle between Chain Singh and the British on a sport which is presently known as Tehsil Chouraha. Chain Singh and handful of brave soldiers sacrificed their lives while fighting with British soldiers in Sehore’s Dussehra Bagh.

5. Virangana Rani Avantibai:
The queen of Ramgarh of Mandla district also showed extra ordinary love for her motherland and fought bravely. Ramgarh is a small town in Mandla district. In 1850 after the death of Raja Lakshman Singh his only son Vikramjeet Singh was declaired mentally sick and unfit to rule.

British Government took the regions of administration in their hands and appointed their officer. The royal family was sanctioned annual subsistence allowance. Rani Avantibai (Wife of Raja Laxman Singh) of Ramgarh was very able and intelligent lady who wanted to rule the state in her son’s name but at the time the ’policy of annexation’ (Hadap Neeti) was being strictly implemented.

Rani Avantibai opposed this, fought with the officer who was appointed by the Britisher there and took the reigns of administration in her hands. She contacted the thakurs and malguzars of the district and sought their cooperation. Many Zamindars promised to lend their support.

The Rani used to lead her soldiers in battlefield in soldier’s uniform. In April 1858, the Britishers attacked Ramgarh, the Rani assessed her strength and vacated the fort and went into the adjoining forests. From there she constantly attacked the Britishers but one of these attacks proved to fatal.

When she saw that she is surrounded and will be surely caught, this brave lady instead of courting arrest, got down from the horse, seized sword from her body – guard and pierced it in-her chest and laid her life bravely for her motherland.

6. Thakur Ranmat Singh:
Thakur Ranmat Singh of village Manakhari of Satna district also gave tough fight to the Britishers in the struggle of 1857. The Thakur was unhappy with the activities of the political Agent Maddoc and decided to fight with Britishers. He along with his companions organised an army in the jungles of Chitrakoot and attacked the Residency in Nagod. The resident fleed.

Thakur Ranmat Singh attacked the Naogaon cantonment also, after a few days and a British platoon of Barodha was killed. A prize of Rs. 2000 was declared on the Thakur. After fighting with the Britishers for a long times, he was arrested by the Britishers on day when he was resting in his friend’s house, he was caught unaware and was hanged in the year 1859.

MP Board Class 10th Social Science Additional Important Questions

Objective Type Questions

Question 1.
Multiple Choice Questions:
(Choose the correct answer from the following)
Question (a)
Bundela revolt was started in the period of:
(a) 1740 – 1742
(b) 1840 – 1842
(c) 1892 – 1897
(d) 1940 – 1942.
Answer:
(b) 1840 – 1842

Question (b)
Jhanda Satyagraha was started in the year of:
(a) 1920
(b) 1921
(c) 1922
(d) 1923.
Answer:
(d) 1923.

Question (c)
Chandrashekhar Azad was bom at:
(a) District Jhabua
(b) District Mandsour
(c) District Harda
(d) District Bhopal (MP Board 2009)
Answer:
(a) District Jhabua

Question (d)
Who fought with British by Guerilla system?
(a) Raja Laxman Singh
(b) Bakntawar Singh
(c) Tatya Tope
(d) Ganjan Sing Korku
Answer:
(c) Tatya Tope

Question 2.
Fill in the blanks:

1. Namak Satyagrah was started by …………………….
2. Jungle Satyagrah was the satyagrah of …………………….

Answer:

1. Mahatma Gandhi
2. Triblals.

Question 3.
True and False type questions.

1. Chandrashekhar Azad was bom in Sagar district.
2. In Madhya Pradesh, Quit India Movement was started under the leadership of Mahatma Gandhi.

Answer:

1. False
2. False.

Question 4.
Match the Column:

Answer:

1. (d)
2. (a)
3. (b)
4. (c)

Answer in One – Two Words or One Sentence

Question 1.
What is known as Jalianwala Bagh of M.P.? (MP Board 2009)
Answer:
The firing incidence of Charanpaduka on 14th January 1931.

Question 2.
Who were killed in firing of Madhya Pradesh’s Jalianwala Bagh?
Answer:
Seth Sunderlal, Dharamdas Khirwa, Chirku, Halke Kurmi, Ramlal Kurmi and Raghuraj Singh.

Question 3.
Write the name of queen of Ramagarh of Mandla District? (MP Board 2009)
Answer:
Gondwana queen, Rani Durgavati shah Maravi ruled Mandla province and fought against Akbar in her valiant effort to save her.

Question 4.
What slogan was given by Gandhiji on 8th August 1942?
Answer:
Do or Die.

Question 5.
When was a meeting organised at Talak Bhoomi Talaliya in Jabalpur?
Answer:
On 9th August 1942.

Question 6.
Write the name of main revolutionaries of Jaipur?
Answer:
Raja Shankar Singh and Raghunath Shah.

Question 7.
Name the main centre of revolt?
Answer:
The main centre of revolt were Gwalior, Bhopal and Indore.

MP Board Class 10th Social Science Very Short Answer Type Questions

Question 1.
What do you mean by Bundela revolt?
Answer:
Bundela, Rajput, Gond and Lodhi rulers and landlords revolted against the British and fought against the British rule in Narmada Sagar region of Buridelkhand.

Question 2.
Why did Prince Chain Singh started revolt against the Britishers?
Answer:
Prince Chain Singh of Narsinghgarh was insulted by political Agent Maddoc of Sehore Cantonment. Hence Chain Singh started agitation against the British. In 1824 there was a fierce battle between Chain Singh and the British on a sport which is presently known as Tehsil Chouraha.

Question 3.
Who was the hero of 1857 from Indore?
Answer:
In the freedom struggle of 1857 Sadat Khan and Bhagirath Silawat of Indore played an important role. They gave tough fight to the Britishers but were caught and hanged in Indore. Their sacrifice is also worth mentioning.

Question 4.
Who did plan to loot of Punjab Mail?
Answer:
Three freedom fighters Veer Yashwant Singh, Devnarayan Tiwari and Dalpatrao prepared a plan to loot the rifles and other belonging of the officers who travelled by Pubjab Mail.

MP Board Class 10th Social Science Short Answer Type Questions

Question 1.
What do you mean by Bundela Movement?
Answer:
In the land of Madhya Pradesh second flame of revolt flickered in 1840-1842 when in Narmada Sagar region of Bundelkhand. Bundela, Rajput, Gond and Lodhi rulers and landlords revolted against the British and fought against the British rule. Dhillan Shah of Madanpur, Hirde Shah of Heerapur, Raja Parinit of Jaitpur, Rao Basant Singh of Chirgaon and Deewan Bundela of Jheejhaon were heroes of this agitation, but because of lack of unity and power of British army the revolt could not succeed.

Question 2.
What were the main centres of 1857 in Madhya Pradesh?
Answer:
There was mass intolerance in public and in 1857 the feeling became widespread. Like other parts of India there were many small Riyasats in Madhya Pradesh of the rulers and Nababs were faithful to British but the soldiers of their army after hearing the news of revolt, were eager to help their fellow soldiers.

Main centre of revolt were Gwalior, Bhopal and Indore. The places where the flame of revolt flared were Sagar, Jabalpur, Narsinghpur, Hoshangabad, Nangaon, Gwalior, Jhansi, Shivpuri, Bhopal, Neemuch, Indore, Mahidpur, Mandsaur etc.

Question 3.
When did the Gwalior – Goa conspiracy take place?
Answer:
Gwalior was the seat of the revolutionaries. Gendalal and Chandrashekhar Azad were hiding in various parts of Gwalior. In 1930 an organisation was set up in Gwalior for boycott of foreign textiles. The Gwalior – Goa conspiracy took place in 1932. Under this movement arms were brought from foreign countries and were being made available to the revolutionaries. Those who were punished in this regard were Balkrishna Sharma, Girdharilal the main.

MP Board Class 10th Social Science Long Answer Type Questions

Question 1.
Describe the contribution of Madhya Pradesh in the national movement?
Answer:
All sections of the population of Madhya Pradesh actively participated in the national movement. The tribals played their role, the ruling families and their subjects also participated in the struggle. The peasants also made their contribution in their own way. Thus people of all sections participated in the ‘Non – cooperation movement’, ‘Civil Disobedience’, Salt Movement’, ‘Jungle Satyagrah’ and the movement of 1942.

The centre of activities of the great revolutionary, Chandrashekhar Azad was Orcha. The Red Army of Maganlal Bagdi took lead as an armed revolutionary. The people of Madhya Pradesh participated in the non cooperation movement and took part in the activities like movement against in the activities like movement against consumption of liquor, Tilak Swaraj fund, boycott of foreign cloth, boycott of Government schools and establishment of national educational institutions, handloom industry etc.

The advocates abandoned their practice. Those advocates who went to courts wore Gandhi caps. District committees ignored Government orders and hoisted national flag. The police arrested all the leaders. Pandit Sunderlal was tried in the court of law and imprisoned for six months. All the members of Jabalpur Municipality the leaders Second batch comprising Premchandra, Sitaram Jadhav, Chhigelal Swarnkar and Todermal hoisted flag on the town hall. The ‘Jhanda Movement’ spread in other parts of India including Nagpur.

Question 2.
Discuss the role of Bhils in 1857?
Answer:
The Bhils of Malwa and Nimad area were freedom lovers. To supress them the Britishers had formed an army called the Malwa Bhil Cops. Khajya and Bhima were working in the army in the capacity of ’Nayak1. Against the oppressive policy of the Britishers these two soldiers increased their activities of opposition (associating with the 1857 Freedom Struggle).

Worried by their activities the Britishers launched a campaign to arrest them, Khajya was killed in 1860 (by deception) while Bhima continued his struggle. He was also arrested in 1867. Besides these, the role of Rao Khalak Singh Daua of Sevdha (Datia), Daulat Singh of Raghogarh (Dewas) Waris Mohammad Khan of Bhopal, Nawab Adil Mohammad Khan of Ambapani (Bhopal) and Phajil Mohammad Khan Sohagpur (Shahdol), Garrul Singh etc. was also important in the freedom struggle of 1857.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cosec θ + cot θ = p, तो सिद्ध कीजिए कि \(\cos \theta=\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\)
हल :
\(\frac{p^{2}-1}{p^{2}+1}\)


इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\sec ^{2} \theta+\csc ^{2} \theta}=\tan \theta+\cot \theta\)
हल :
LHS =

= tan θ + cot θ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{1+\sec \theta-\tan \theta}{1+\sec \theta+\tan \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}\)
हल :
LHS =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि \(\frac{\sec \theta+\tan \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\)
हल :
LHS =

LHS = \(\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\) = RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}}=\sec \theta-\tan \theta\)
हल :
LHS =

= secθ – tanθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\csc \theta-\cot \theta\)
हल :
LHS =

= cosecθ – cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}}=\csc \theta+\cot \theta\)
हल :
LHS =

= cosecθ + cotθ
= RHS
LHS = RHS
इति सिद्धम

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{1+\cos A}{\sin A}+\frac{\sin A}{1+\cos A}=\frac{2}{\sin A}=2 \csc A\)
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि : \(\frac{\tan A}{1+\sec A}-\frac{\tan A}{1-\sec A}=2 \csc A\)
हल:
L.H.S. =

LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 3.
यदि tanA = 3/4 तो सिद्ध कीजिए कि sin A cos A = \(\frac { 12 }{ 25 }\)
हल :
चूँकि tan A = 3/4 = p/b
p = 3 एवं b = 4
⇒ \(h=\sqrt{p^{2}+b^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\)
L.H.S. = sin A. cos A = \(\frac{3}{5} \times \frac{4}{5}=\frac{12}{25}\)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि:
(sin α + cos α) (tan α + cot α) = sec α + cosec α.
हल:
L.H.S. = (sin α + cos α) (tan α + cot α)


LHS = RHS
इति सिद्धम

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि : (√3 + 1) (3 – cot 30°) = tan³ 60° – 2 sin 60°.
हल:
L.H.S. = (√3 +1) (3 – cot 30°)
= (√3 + 1) (3 – √3)
= 3 √3 – 3 + 3 – √3
= 2√3
R.H.S. = tan³ 60° – 2 sin 60°
= (√3) – 2 (√3/2)
= 3 √3 – √3
= 2√3
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि :
\(1+\frac{\cot ^{2} \alpha}{1+\csc \alpha}=\csc \alpha\)
हल :
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि : tanθ + tan (90° – θ) = sec θ. sec (90° – θ).
हल :
L.H.S. = tanθ + tan (90° – 0)
= tan θ + cot θ
= sin θ/cos θ + cos θ/sin θ
= \(\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos \theta \sin \theta}\)
= \(\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}\)
= sec θ cosec θ
= sec θ. sec (90° – θ)[ ∵ sec (90° – θ) = cosec θ]
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि √3 tanθ = 1 हो तो sin²θ – cos²θ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ √3 tanθ = 1 ⇒ tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
θ = 30°
तब sin²θ – cos²θ = sin² 30° – cos² 30

अतः sin²θ – cos²θ का अभीष्ट मान = \(-\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 9.
सरल कीजिए :
(1 + tan²θ) (1 – sin θ) (1 + sin θ).
हल :
(1 + tan²θ) (1 – sin θ) (1 + sin θ).

अतः अभीष्ट सरल मान = 1 है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि : \(\frac{\cos ^{2}\left(45^{\circ}+\theta\right)+\cos ^{2}\left(45^{\circ}-\theta\right)}{\tan \left(60^{\circ}+\theta\right) \cdot \tan \left(30^{\circ}-\theta\right)}=1\)
हल:
L.H.S. =

= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि : tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ.
हल :
L.H.S. = tan⁴ + θ + tan² θ = sec⁴ θ – sec² θ
= (sec² θ – 1) (sec² θ) [∴ 1 + tan² θ = sec² θ]
= sec⁴ θ – sec² θ
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए :
sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1.
हल :
हम जानते हैं कि
sin²θ + cos²θ = 1
⇒ (sin²θ + cos²θ)³ = (1)³ = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ (sin²θ + cos²θ) = 1
⇒ sin⁶θ + cos⁶θ + 3 sin²θ cos²θ = 1. [∴ sin² θ + cos² θ = 1]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि :
(sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ = 2
हल:
L.H.S. = (sin⁴θ – cos⁴θ + 1) x cosec²θ
= [(sin²θ + cos²θ) (sin²θ – cos²θ) + 1] x cosec²θ
= (sin²θ – cos²θ + 1) x cosec²θ
= sin²θ cosec²θ – cos²θ cosec²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + cosec²θ)
= (1 – cot²θ + 1 + cot²θ)
= 2 (∵ sin²θ cosec²θ = 1, cos²θ cosec²θ = cot²θ)
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
(secθ + tanθ) (1 – sinθ) को सरल कीजिए।
हल:
(secθ + tanθ) (1 – sinθ)

अत: अभीष्ट मान = cosθ है।

प्रश्न 15.
निम्न सर्वसमिका सिद्ध कीजिए :
\(\frac{\csc A}{\csc A-1}+\frac{\csc A}{\csc A+1}=2 \sec ^{2} A\)
हल:
L.H.S. =

L.H.S. = R.H.S.
इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित कथनों में सत्य/असत्य लिखिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) \(\frac{\tan 47^{\circ}}{\cot 43^{\circ}}=1\)
(ii) (cos² 23° – sin² 67°) का मान धनात्मक है।
(iii) \(\sqrt{\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \sec ^{2} \theta}=\tan \theta\)
(iv) (tanθ + 2) (2 tanθ + 1) = 5 tanθ + sec²θ
(v) sinθ + cosθ का मान सदैव 1 से बड़ा होता है।
(vi) tan θ (θ < 90°) का मान θ के बढ़ने के साथ बढ़ता है।
(vii) θ का मान बढ़ने पर sinθ की अपेक्षा tanθ का मान तेजी से बढ़ता है।
हल :
(i) कथन सत्य है,
क्योंकि

(ii) कथन असत्य है,
क्योंकि
(cos² 23° – sin² 67°) = cos² 23° – cos² 23° = 0.

(iii) कथन सत्य है,
क्योंकि

(iv) कथन असत्य है,
क्योंकि (tan θ + 2) (2 tan θ + 1) = 2 tan²θ + 4 tan θ + tan θ + 2
= 5 tan θ + 2 (1 + tan²θ)
= 5 tan θ + 2 sec²θ
≠ 5 tan θ + sec²θ.

(v) कथन असत्य है, क्योंकि θ = 0° के लिए sin θ + cos θ = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1.

(vi) कथन सत्य है, क्योंकि tan 0 = 0, tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) , tan 45° = 1, tan 60° = √3.

(vii) कथन सत्य है,
क्योंकि
\(\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
जब θ का मान बढ़ता है तो sin θ का मान बढ़ता है लेकिन cos θ का मान घटता है, इसलिए tan θ का मान तेजी से बढ़ता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 8 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि cos A = \(\frac { 4 }{ 5 }\), तो tan A का मान है :
(a) 3/5
(b) 3/4
(c) 4/3
(d) 5/3.
उत्तर:
(b) 3/4

प्रश्न 2.
यदि sin A = \(\frac { 1 }{ 2 }\), तब cot A का मान होगा :
(a) √3
(b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) 1.
उत्तर:
(a) √3

प्रश्न 3.
cosec (75° + θ) – sec (15° – θ)]- tan (55° + θ) + cot (35° – θ) का मान है :
(a) -1
(b) 0
(c) 1
(d) 3/2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 4.
यदि sin θ = \(\frac { a }{ b }\) हो तो cosθ का मान होगा :
(a) \(\frac{b}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
(b) \(\frac { b }{ a }\)
(c) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)
(d) \(\frac{a}{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}\)
उत्तर:
(c) \(\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\)

प्रश्न 5.
यदि cos 9α = sin α एवं 9α. < 90°, तब tan 5α का मान होगा :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(b) √3
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 6.
\(\left(\frac{\sin ^{2} 22^{\circ}+\sin ^{2} 68^{\circ}}{\cos ^{2} 22^{\circ}+\cos ^{2} 68^{\circ}}+\sin ^{2} 63^{\circ}+\cos 63^{\circ} \cdot \sin 27^{\circ}\right)\) का मान होगा :
(a) 3
(b) 2
(c) 1
(d) 0.
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 7.
यदि 4 tanθ = 3 तब \(\left[\frac{4 \sin \theta-\cos \theta}{4 \sin \theta+\cos \theta}\right]\) का मान है :
(a) 2/3
(b) 1/3
(c) 1/2
(d) 3/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 8.
यदि sinθ – cosθ = 0, तब (sin⁴ θ + cos⁴ θ) का मान है :
(a) 1
(b) 3/4
(c) 1/2
(d) 1/4.
उत्तर:
(c) 1/2

प्रश्न 9.
sin (45° + θ) – cos (45° – θ) का मान है :
(a) 2 cosθ.
(b) 0
(c) 2 sinθ
(d) 1.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 10.
(sin 30° + cos 30°)-(sin 60° + cos 60°) का मान है:
(a) -1.
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 11.
tan 30°/ cot 60° का मान है:
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(b) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
(c) √3
(d) 1.
उत्तर:
(d) 1.

प्रश्न 12.
(sin 45° + cos 45°) का मान है :
(a) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(b) √2
(c) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
(d) 1.
उत्तर:
(b) √2

प्रश्न 13.
sin²20° + cos²20° का मान होगा :
(a) 0
(b) 1
(c) tan² 20°
(d) cot² 20°.
उत्तर:
(b) 1

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{\csc ^{2} \theta}+\frac{1}{\sec ^{2} \theta}\) का मान होगा:
(a) 1
(b) 0
(c) sin²θ
(d) cos²θ.
उत्तर:
(a) 1

प्रश्न 15.
sin² 40° + cos² 40° का मान है :
(a) 40
(b) 0
(c) 1
(d) 2.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 16.
\(\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}\) का मान है :
(a) sin θ
(b) cos θ
(c) tan θ
(d) – cos θ.
उत्तर:
(a) sin θ

प्रश्न 17.
tan 45° का मान होगा:
(a) 0
(b) 45
(c) 1
(d) -1.
उत्तर:
(c) 1

प्रश्न 18.
sin (90° – θ) का मान है :
(a) sinθ
(b) cosθ
(c) – cosθ
(d) – sinθ.
उत्तर:
(b) cosθ

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. \(\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}\) का मान ……. होगा।
2. \(\frac{\cot 59^{\circ}}{\tan 31^{\circ}}\) का मान ………….. होगा।
3. (cosec 90° – θ) का मान ………… होगा।
4. \(\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}\) का मान …………. होगा।
5. 1 + tan²θ = …………
6. sec (90° – θ) का मान ………… होता है।
उत्तर-
1. sinθ,
2. 1,
3. sec θ,
4. tan θ,
5. sec²θ,
6. cosec²θ.

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1. →(c),
2. →(d),
3. →(a),
4. →(b).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(e),
5.→(d).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(a),
3.→(b),
4.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(f),
6.→(e).

उत्तर-
1.→(d),
2.→(e),
3.→(a),
4.→(b)
5.→(c).

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a)
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. tan (90° – θ) = cotθ
2. sin² θ + cos² θ = – 1
3. \(\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\sec \theta\)
4. sec²θ – 1 = tan²θ
5. sin 60° + cos 60° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
6. cosec θ = \(\sqrt{1+\cot ^{2} \theta}\)
7. sin 12° cos 78° + cos 12° sin 78° = 2
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. असत्य,
4. सत्य,
5. सत्य
6. सत्य,
7. असत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. 1 + tan²θ का मान लिखिए।
2. 1 + cot²θ का मान लिखिए।
3. sin²θ + cos²θ का मान लिखिए।
4. cos 0° का मान लिखिए।
5. sin (90° – θ) का मान लिखिए।
6. cos (90° – θ) का मान लिखिए।
7. tan (90° – θ) का मान लिखिए।
8. sin θ / cosθ का मान क्या होगा ?
उत्तर-
1. sec²θ,
2. cosec²θ,
3. 1 (एक),
4. 1 (एक),
5. cos θ,
6. sin θ,
7. cote θ
8. tan θ.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255
हल :
(i) चरण – 1 : यहाँ 225 > 135 है, इसलिए हम 225 और 135 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
225 = 135 × 1 + 90
चरण – 2 : चूँकि शेषफल 90 + 0 है, इसलिए हम 135 और 90 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
135 = 90 × 1 + 45
चरण – 3 : चूँकि शेषफल 45 + 0 है, इसलिए हम नए भाजक 90 एवं नए शेषफल 45 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
90 = 45 × 2 + 0
चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 45 है। अत: अभीष्ट HCF (135, 225) = 45
(ii) चरण – 1 : यहाँ 38220 > 196 है, इसलिए हम 38220 और 196 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
38220 = 196 × 195 + 0
चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 196 है। अतः अभीष्ट HCF (196, 38220) = 196
(iii) चरण – 1 : यहाँ 867 > 255 है, इसलिए हम 867 और 255 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
867 = 255 × 3 + 102
चरण – 2 : चूँकि शेषफल 102 ≠ 0, इसलिए हम 255 और 102 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके प्राप्त करते हैं :
255 = 102 × 2 + 51
चरण-3 : चूँकि शेषफल 51 ≠ 0, इसलिए हम नए भाजक 102 एवं नए शेषफल 51 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके प्राप्त करते हैं :
102 = 51 × 2 + 0
चूँकि यहाँ शेषफल 0 (शून्य) आया है और नया भाजक 51 है। अत: HCF (867, 255) = 51

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि कोई धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।
हल :
हम एक धनात्मक विषम पूर्णांक a लेकर प्रश्न को हल करना प्रारम्भ करते हैं। इसके लिए हम a और b = 6 में विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हैं।
चूँकि 0 < r < 6 है, इसलिए सम्भावित शेषफल 0, 1, 2, 3, 4 और 5 होंगे।
अर्थात् a संख्याओं 6q, 6q + 1, 6q + 2, 6q + 3, 6q + 4 और 6q + 5 के रूप का हो सकता है।
चूँकि a एक विषम संख्या है। अत: यह 6q, 6q + 2 एवं 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकता क्योंकि ये संख्याएँ 2 से विभाज्य हैं अर्थात् सम संख्याएँ हैं।
अतः कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैण्ड के पीछे कार्य करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?
हल :
इसे क्रमबद्ध रूप से हल करने के लिए हम HCF (616, 32) ज्ञात करते हैं। इसे ज्ञात करने के लिए
हम यूक्लिड एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके प्राप्त करते हैं :
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
⇒ HCF (616,32) का मान = 8
अतः, स्तम्भों की अभीष्ट अधिकतम संख्या = 8.

प्रश्न 4.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m +1 के रूप का होता है।
हल :
मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तब यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है।
अब (3q)² = 9q² = 3 (3q²) = 3m, जहाँ m = 3q² एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q+ 1)² = 9q² + 6q + 1
= 3q (3q + 2) + 1
= 3m + 1, जहाँ m =q (3q + 2) एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q + 2)² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1
= 3 (3q² + 4q + 1) + 1 = 3 (3q + 1) (q + 1) + 1
= 3m + 1 जहाँ m = (+ 1) (3q + 1) एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णाक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
हल :
मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है, तब यह 34, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है।
अब (34)³ = 27q³ = 9 (3q³) = 9m, जहाँ m = 3q³ एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q + 1)³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1
= 9q (3q² + 3q + 1) + 1
= 9m + 1, जहाँ m = q (3q² + 3q + 1) एक धनात्मक पूर्णांक है।
(3q + 2)³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8
= 9q (3q² + 6q + 4) + 8
= 9m + 8, जहाँ m = q (3q² + 6q + 4) एक धनात्मक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है। इति सिद्धम्

MP Board Class 10th General Hindi पत्र-लेखन

पत्र-लेखन की आवश्यकता-
हम सब अपने निकट संबंधियों, इष्ट मित्रों से बराबर सम्पर्क रखना चाहते हैं। जो हमारे पास में ही रहते हैं, उनसे तो हम मिलते रहते हैं, किंतु जो हमसे दूर दूसरे नगर या गाँव में रहते हैं, उनको तो हम लिखकर ही अपनी कुशल-क्षेम भेज सकते हैं और लिखकर ही उनकी कुशल-क्षेम मँगा सकते हैं। इस प्रकार लिखकर विचारों का जो आदान-प्रदान किया जाता है, उसे पत्र-लेखन कहते हैं। विद्यालय में भी कई अवसरों पर हमें अपने प्राचार्य को प्रार्थना-पत्र लिखने पड़ते हैं। कभी-कभी हम अपने गाँव या नगर के बाहर के किसी पुस्तक विक्रेता से अपनी जरूरत की पुस्तकें भी मँगाते हैं। इसके लिए भी हमें पत्र लिखना पड़ता है। इस तरह हम यह कह सकते हैं कि पत्र व्यवहार हम सबके लिए अनिवार्य हो गया है।

1. अनौपचारिक पत्र (Informal letter)-इस तरह के पत्र अपने सगे-संबंधियों एवं मित्रों को लिखे जाते हैं। जैसे-माता-पिता, भाई-बहन, चाचा-चाची, मित्र आदि के लिए लिखा गया पत्र।
2. औपचारिक पत्र (Formal Letter)-इस तरह के पत्र कार्यालय से संबंधित होते हैं। जैसे-प्रधानाचार्य, अधिकारी, व्यापारिक वर्ग आदि के लिए इस तरह के पत्र लेखन का प्रयोग होता है।

पत्र लेखन संबंधी कुछ आवश्यक बातें-

1. पत्र लिखते समय स्थान (जहां से पत्र लिखा जा रहा है), दिनांक, उचित संबोधन का विशेष ध्यान रखना वाहिए।
2. पत्र की भाषा सरल एवं स्पष्ट होनी चाहिए।
3. पत्र का विषय सुलझा हुआ होना चाहिए।
4. अनावश्यक बातों का प्रयोग नहीं करना चाहिए।
5. कम शब्दों में पत्र के उद्देश्य को अधिक से अधिक स्पष्टता के साथ प्रकट करना चाहिए।
6. भाषा की शालीनता का ध्यान रखना चाहिए।

अनौपचारिक पत्र

1. ‘वार्षिक परीक्षा की तैयारी की सूचना हेतु पिताजी को पत्र’ लिखो।
175, शिवाजी मार्ग
भोपाल
10-5-200…
पूज्य पिताजी!

सादर चरण-स्पर्श,
आपका कृपापत्र हमें 8-5-200… को मिला। पढ़कर मन खुश हुआ। मैं आप सब पूज्य-वृन्दों के आशीर्वाद से सकुशल हूँ। आशा है कि आप सब भी परमात्मा की महाकृपा से ठीक से होंगे।

पूज्य पिताजी! आजकल मैं अपनी वार्षिक परीक्षा की तैयारी में अति व्यस्त हूँ। मेरी वार्षिक परीक्षा 20-5-200… से आरंभ होने वाली है। अब तक मैंने हिंदी, अंग्रेजी, गणित, विज्ञान और सामाजिक विषयों की पूरी तरह से तैयारी कर ली है परीक्षा के दिन तक तो मुझे सारे विषय कंठस्थ हो जाएंगे। इस आधार पर मैं आपको यह विश्वास दिला रहा हूँ कि मैं प्रथम श्रेणी में अवश्य उत्तीर्ण हो जाऊँगा। आशा है कि इससे आप सबको आनंद और उल्लास होगा।

पूज्य माताजी को सादर चरण-स्पर्श और अनुज शशि को शुभाशीर्वाद।

आपका आज्ञाकारी पुत्र
‘रवि’

2. अपने पिताजी को पत्र लिखिए तथा उसमें मासिक जेब खर्च बढ़ाने की मांग कीजिए।
विष्णु गार्डन,
भोपाल
3-3-200…
पूज्य पिताजी,

सादर चरण-स्पर्श
आप सब सकुशल हैं, इसके लिए मैं परमात्मा से सदैव प्रार्थी हूँ, आपके पत्र की प्रतीक्षा करके मैं यह पत्र लिख रहा हूँ। आपको यह ज्ञात हो कि मेरी परीक्षा आगामी माह की 15वीं तारीख से आरंभ होने वाली है। इसके लिए मैंने जी-जान से अध्ययन आरंभ कर दिया है। कुछ पुस्तकें, कापियाँ और कुछ परीक्षोपयोगी आवश्यकताएँ आ गई हैं। इसलिए आप अब 50 रुपये और अधिक भेजते जाइएगा। ऐसा इसलिए कि परीक्षा खर्च के साथ-साथ आवागमन और सम्पर्क हेतु भी पैसे खर्च होंगे। अतएव आप 500 रुपये तो अवश्य बढ़ाकर भेजते रहियेगा। अन्यथा परीक्षा की तैयारी अधूरी रह जाएगी।

माताजी को सादर चरण-स्पर्श, अनुज, दिव्या को शुभाशीर्वाद

आपका आज्ञाकारी पुत्र
‘प्रभाकर’

3. प्रतिदिन समाचार-पत्र पढ़ने से जो लाभ है, उन्हें अवगत कराते हुए अपने मित्र को एक पत्र लिखिए।
2/2, तिलक नगर
ग्वालियर (म.प्र.)
6-6-200…

प्रिय मित्र, रमेश!
मुझे तुम्हारा पत्र कल ही प्राप्त हुआ। तुमने लिखा है कि आजकल क्या कर रहा हूँ। तो मित्र मैं आजकल दिल-दिमाग से समाचार-पत्रों को पढ़ने में जुट गया हूँ। मैं हिंदी-अंग्रेजी दोनों ही समाचार-पत्रों को नियमित रूप से पढ़ रहा हूँ। मुझे इनसे बहुत लाभ मिल रहा है। इस विषय में बता रहा हूँ।

मित्र समाचार-पत्र पढ़ने से लाभ ही लाभ हैं। देश-विदेश की ही नहीं आस-पड़ोस की पूरी खबर घर बैठे ही मिल जाती है। समाचार-पत्र पढ़ने से अच्छा-खासा मनोरंजन हो जाता है, यही नहीं विविध प्रकार के शब्द-अर्थ और भावों-प्रतिक्रियाओं का भी ज्ञान हो जाता है। समाचार-पत्र में छपे समाचारों से अपनी स्थिति का पता लगता है। इससे न केवल वर्तमान अपितु भूत और भविष्य की भी रूप रेखा समझ में आ जाती है। वास्तव में समाचार-पत्र समाज के सभी वर्गों और जीवन के सभी क्षेत्रों के मार्गदर्शन और सच्चे संवाहक हैं। अतएव समाचार-पत्र की उपयोगिता नहीं भूलनी चाहिए।

आशा है मित्र. आप मेरे सझावानसार नियमित रूप से समाचार-पत्र पढकर लाभ उठाओगे। मेरी ओर से माताजी-पिताजी को सादर चरण-स्पर्श, लघु बन्धुओं को शुभाशीर्वाद।

तुम्हारा अभिन्न मित्र
राकेश

4. पिता को पत्र लिखिए, जिसमें 300 रुपये पुस्तकों में और अन्य खर्चे के लिए मनीऑर्डर द्वारा मँगाइए।
15 टी.टी. नगर
भोपाल
दिनांक : 15-1-200………
पूजनीय पिताजी,

सादर चरण-स्पर्शी,
मैं यहाँ सकुशल हूँ। आशा करता हूँ कि आप सब लोग सकुशल होंगे। आपके निर्देशों का मैं पूरी तरह पालन कर रहा हूँ। मेरा ध्यान ठीक चल रहा है। मेरी छ:माही परीक्षाएँ 15 दिसम्बर से हो रही हैं। मुझे कुछ पुस्तकें और स्टेशनरी आदि खरीदनी हैं। पढ़ाई के लिए मैं एक छोटा टेबिल लैंप भी लेना चाहता हूँ। इन सबके लिए लगभग 300 रुपये की आवश्यकता पड़ेगी। अतः कृपया उक्त धनराशि यथाशीघ्र मनीऑर्डर.. द्वारा भेजने का कष्ट करिएगा।

शेष कुशल है। मधु को प्यार और माताजी को चरण-स्पर्श।

आपका आज्ञाकारी पुत्र
अमित

5. वार्षिक परीक्षा में प्रथम श्रेणी में उत्तीर्ण होने पर एक बधाई-पत्र अपने मित्र को लिखिए।
नेहरू. नगर
विलासपुर
26-7-200…

प्रिय मित्र आलोक,
आज माध्यमिक शिक्षा मण्डल भोपाल द्वारा प्रकाशित कक्षा IX के परीक्षा परिणाम में तुम्हारा प्रथम श्रेणी में अनुक्रमांक व नाम देखकर हृदय को बड़ी प्रसन्नता हुई। मेरे माता-पिता भी तुम्हारी सफलता पर बहुत प्रसन्न हैं। यह वास्तव में तुम्हारे कठिन परिश्रम का फल है। तुम्हारी सफलता हम सबके लिए गौरव की बात है। मित्र मैं तुम्हें घर पर आकर बधाई देता। किंतु व्यस्तता के कारण तुम तक पहुँच नहीं पा रहा हूँ। इसलिए पत्र द्वारा मैं तुम्हें हार्दिक बधाई भेज रहा हूँ। बधाई स्वीकार करें। कभी घर पर आकर तुमसे मिठाई खाऊँगा। शेष कुशल है।

तुम्हारा अभिन्न मित्र
‘उमेश’

6. जन्मदिवस समारोह में सम्मिलित होने के लिए अपने मित्र को आमंत्रण पत्र लिखिए।
17/15 तिलक नगर:
ग्वालियर
4 फरवरी, 200…..

प्रिय मोहन,
तुम्हें यह जानकर प्रसन्नता होगी कि मैं दिनांक 6 फरवरी को अपना जन्मदिवस मना रहा हूँ। घर में इसके लिए अच्छी तैयारियाँ की गई हैं। इस अवसर पर चाय तथा संगीत पार्टी का भी आयोजन किया गया है। गत वर्ष तुम इस अवसर पर बीमार होने के कारण नहीं आ सके परंतु इस बार अवश्य आना। तुम्हारे बिना पार्टी का रंग फीका पड़ जाएगा। आशा है तुम समय से पूर्व आकर काम में भी हाथ बँटाओगे।

पूज्य पिताजी और माताजी को मेरा प्रणाम कहना।

तुम्हारा अभिन्न मित्र
रविन्द्र सिंह

औपचारिक पत्र

1. अपने विद्यालय के प्राचार्य को निर्धन छात्र को पुस्तकालय से पुस्तकें प्रदान करने विषयक प्रार्थना पत्र लिखिए। सेवा में,
प्राचार्य
राजकीय उच्चतर माध्यमिक विद्यालय
इन्दौर (म.प्र.)

महोदय,
सविनय निवेदन है कि प्रार्थी आपके विद्यालय की कक्षा 9वीं ‘द’ का एक छात्र प्रतिनिधि है। प्रार्थी की कक्षा का एक छात्र ‘रमेश’ जिसका अनुक्रमांक 30 है। यह छात्र अत्यंत निर्धन है। यह अनाथ है। जिस किसी तरह से हिम्मत बाँधकर यह अपनी ‘पढ़ाई कर रहा है। पढ़ने में तेज है। यह पुस्तकें खरीदने में असमर्थ है। अतः इसे पुस्तकालय से पुस्तकें दिलवाने की कृपा करें।

आपका आज्ञाकारी छात्र
सुरेश
कक्षा 9वीं ‘द’
अनुक्रमांक 23

दिनांक 22-5-200…

2. अवकाश स्वीकृति हेतु प्राचार्य को प्रार्थना-पत्र।
सेवा में,
प्राचार्य
राजकीय उच्चतर माध्यमिक विद्यालय
इंदौर (म.प्र.)

महोदय,
सविनय निवेदन है कि मैं आपके विद्यालय की कक्षा 9वीं ‘स’ का छात्र हूँ। मेरा अनुक्रमांक 23 है, दिनांक 13.5.2004 से मैं मलेरिया-ज्वर से अधिक पीड़ित हूँ। इस कारण मैं विद्यालय आने में असमर्थ हूँ। चिकित्सक के अनुसार मुझे 13-5-2004 से लेकर 16.5.2004 तक स्वस्थ तक स्वस्थ होने में समय लगेगा। अतः आप इतने दिनों तक मुझे अवकाश देने की कृपा करें। सधन्यवाद

आपका आज्ञाकारी छात्र
सुमन
कक्षा 9वीं ‘स’
अनुक्रमांक 23

दिनांक 13.5.2004

3. अपने विद्यालय के प्राचार्य को दो दिन का बीमारी के कारण अवकाश देने के लिए प्रार्थना पत्र लिखिए।
सेवा में,
श्रीमान प्राचार्य महोदय,
शासकीय सुभाष उ.मा.वि.
शिवाजी नगर, भोपाल

महोदय,
निवेदन है कि गत रात्रि से मैं सर्दी और बुखार से पीड़ित हूँ। डॉक्टर ने मुझे दो दिन पूर्ण विश्राम के लिए सलाह दी है। अतः मैं दो दिन विद्यालय में उपस्थित नहीं हो सकूँगा। कृपया दिनांक 8 एवं 9 अगस्त का अवकाश स्वीकृत करने का कष्ट करें।

धन्यवाद!

आपका आज्ञाकारी शिष्य
परसराम पाण्डेय,
कक्षा 9-ब

8-12-2004

4. शाला (विद्यालय छोड़ने का प्रमाण-पत्र प्राप्त करने हेतु प्राचार्य महोदय को एक प्रार्थना-पत्र लिखिए।
विषय-शाला (विद्यालय) छोड़ने का प्रमाण-पत्र हेतु प्राचार्य को प्रार्थना-पत्र।
सेवा में,
प्राचार्य
राजकीय उच्चतर माध्यमिक विद्यालय,
भोपाल (म.प्र.)

सविनय निवेदन है कि प्रार्थी आपके विद्यालय की कक्षा 9वीं ‘अ’ अनुक्रमांक 11 का भूतपूर्व छात्र है। प्रार्थी ने आपके विद्यालय से उपर्युक्त कक्षा को द्वितीय श्रेणी से उत्तीर्ण करके अध्ययन छोड़ दिया है जिसके प्रमाण-पत्र की आज अत्यंत आवश्यकता आ गई है। अतः आपसे प्रार्थना है कि आप उपर्युक्त प्रमाण-पत्र देने की कृपा करें।

प्रार्थी
सुरेन्द्र कुमार
कक्षा 9 ‘अ’
अनुक्रमांक 11

दिनांक 4-4-2002

5. शिक्षक पद हेतु एक आवेदन-पत्र संचालक शिक्षा विभाग के नाम लिखिए।
श्रीमान् संयुक्त संचालक महोदय,
शिक्षा विभाग
संभाग ग्वालियर (म.प्र.)
दिनांक 15-10-200……..
सेवा में,

विषय-शिक्षक पद पर नियुक्ति हेतु आवेदन-पत्र।

महोदय,
सेवा में सविनय निवेदन है कि प्रार्थी को दैनिक-पत्र आचरण व स्वदेश में प्रकाशित एक विज्ञापन से ज्ञात हुआ है कि आपके अधीनस्थ ग्रामीण अंचलों के प्राथमिक एवं माध्यमिक विद्यालयों में शिक्षकों के पद रिक्त हैं। अतः माध्यमिक विद्यालय हेतु शिक्षक पद पर नियुक्ति के लिए मैं अपना आवेदन-पत्र कर रहा हूँ। अतः आपसे अनुरोध है कि मेरी निम्नलिखित योग्यताओं को देखते हुए आप मेरी नियुक्ति शिक्षक पद पर करने की कृपा करें।
मेरी शैक्षणिक योग्यता का विवरण इस प्रकार है-
(1) शैक्षणिक योग्यता-बी.एस.सी.-द्वितीय श्रेणी
(2) प्रशिक्षण योग्यता-बी.एड.-द्वितीय श्रेणी
(3) हायर सेकेण्ड्री परीक्षा-प्रथम श्रेणी उत्तीर्ण
(4) अन्य योग्यता-हॉकी व क्रिकेट खेल में विशेष रुचि
(5) प्रार्थी की जन्मतिथि एवं चरित्र का प्रमाण-पत्र प्रार्थना-पत्र के साथ संलग्न है। अतः श्रीमान् से पुनः निवेदन है कि प्रार्थी को विभाग में सेवा का अवसर प्रदान करें।

पता- प्रार्थी
दर्पण कॉलोनी ठाठीपुर मुरार। कमल किशोर अष्ठाना

6. पाठ्य-पुस्तक निगम भोपाल से निर्धारित पाठ्य पुस्तकें मँगवाने हेतु एक पत्र संचालक के नाम लिखिए।
सुभाष उच्चतर माध्यमिक विद्यालय
रतलाम
दिनांक 7-7-200

श्रीमान् संचालक महोदय,
पाठ्य-पुस्तक महोदय,
भोपाल (म.प्र.)

महोदय,
सेवा में निवेदन है कि पाठ्य-पुस्तक निगम भोपाल (म.प्र.) द्वारा प्रकाशित कक्षा 9 की पुस्तकें हैं हमारे नगर के पुस्तक विक्रेताओं के पास उपलब्ध नहीं हैं। जिन दुकानों पर कुछ पुस्तकें हैं वे दुकानदार अधिक मूल्य पर पुस्तकें बेचना चाहते हैं। अतः आपसे निवेदन है कि निम्नलिखित विषयों की पुस्तकें शासकीय दर पर कमीशन काट कर भेजने की कृपा करें।

(1) विशिष्ट हिंदी – कक्षा XI – 1 प्रति
(2) विशिष्ट अंग्रेजी – कक्षा IX – 1 प्रति
(3) गणित – कक्षा IX – 1 प्रति
(4) भौतिक शास्त्र – कक्षा IX – 1 प्रति
(5) रसायन शास्त्र – कक्षा IX – 1 प्रति

भवदीय
अशोक कुमार गौड़

MP Board Class 10th Hindi Solutions

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए:
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल:
(i) x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2) [गुणनखण्ड करने पर]
चूँकि x² – 2x – 8 का मान शून्य होगा जब या तो x – 4 = 0
⇒ x = 4
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
अतः, x² – 2x – 8 के शून्यक 4 एवं – 2 होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(ii) 4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
चूँकि 4s² – 4s + 1 का मान शून्य होगा जब
25 – 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, 4s² – 4s + 1 के प्रत्येक शून्यक का मान = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iii) 6x² – 3 – 7x = 6x² – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)
चूँकि 6x² – 3 – 7x का मान शून्य होगा जब या तो
2x – 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
अथवा 3x + 1 = 0
⇒ 3x = -1 ⇒ x = –\(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः, 6x² – 3 – 7x के शून्यक \(\frac { 3 }{ 2 } \) और –\(\frac { 1 }{ 3 } \) होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iv) 4u² + 8u = 4u (u + 2)
चूँकि 4u² + 8u का मान शून्य होगा जब या तो u = 0
अथवा u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और -2 होंगे।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2) = -2

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(v) t² – 15 = (t)² – (\(\sqrt { 15 }\))² = (t + \(\sqrt { 15 }\)) (t – \(\sqrt { 15 }\))
चूँकि t² – 15 का मान शून्य होगा जब या तो
t + \(\sqrt { 15 }\) = 0 ⇒ t = – \(\sqrt { 15 }\)
अथवा t – \(\sqrt { 15 }\) = 0
⇒ t = \(\sqrt { 15 }\)
अतः, t² – 15 के शून्यक – \(\sqrt { 15 }\) और \(\sqrt { 15 }\) होंगे।
अब शून्यकों का योग = – \(\sqrt { 15 }\) + \(\sqrt { 15 }\) = 0 = \(\frac { -0 }{ 1 } \)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(vi) 3x² – x – 4 = (3x – 4) (x + 1)
चूँकि 3x² – x – 4 का मान शून्य होगा जब
या तो 3x – 4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = \(\frac { 4 }{ 3 } \)
अथवा x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
अतः, 3x² – x – 4 के शून्यक \(\frac { 4 }{ 3 } \) और -1 होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्या हैं:
(i) \(\frac { 1 }{ 4 } \), -1
(ii) \(\sqrt { 2 }\), \(\frac { 1 }{ 3 } \)
(iii) 0, \(\sqrt { 5 }\)
(iv) 1,1
(v) –\(\frac { 1 }{ 4 } \),\(\frac { 1 }{ 4 } \)
(vi) 4,1
हल:
(i) मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक a एवं B हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = \(\frac { 1 }{ 4 } \) = – \(\frac { b }{ a } \) = \(\frac { -(-1) }{ 4 } \)
और α.β = -1 = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { (-4) }{ 4 } \) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 4 तब b = -1 एवं c = – 4 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² – x – 4 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – x – 4) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(ii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\sqrt{2}=-\frac{(-3 \sqrt{2})}{3}\)
और \(\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a= 3 तब b = – 3 \(\sqrt { 2 }\) एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 3x² – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (3x² – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसमें शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=0=-\frac{0}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\sqrt { 5 }\) = \(=\frac{\sqrt{5}}{1}\)
⇒ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = \(\sqrt { 5 }\) होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x² + 0.x + \(\sqrt { 5 }\) अर्थात् x² + \(\sqrt { 5 }\) है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (x² + \(\sqrt { 5 }\)) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iv) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते ‘हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=1=-\frac{(-1)}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(v) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
⇒ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(vi) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = 4 = – \(\frac { (-4) }{ 1 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = – 4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं,: x² + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2r (x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल:
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 0x + 7 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x
⇒ x² – 4x + 6 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a ≠ 0 तथा a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x² – 2x + x – 2 = x² – x + 3x – 3
⇒ x² – 2 = x² + 2x – 3
⇒ 3x – 1 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं हैं क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह रैखिक समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0. अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ x² – 11x + 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 अतः उक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ 7x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं है, क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह एक रैखिक समीकरण है। अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ – 6x² – 14x – 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण त्रिघात समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण द्विघात समीकरण नहीं हैं।

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विधात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भू-खण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भू-खण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करना है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 साल बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/hr कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) मान लीजिए आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई है x m है, तो प्रश्नानुसार,
लम्बाई = 2 × चौड़ाई + 1 = 2x + 1
तथा क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
⇒ (2x + 1) (x) = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण 2x² + x – 528 = 0 है, जहाँ x आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई (मीटरों में) है।

(ii) मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमशः x और x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
x (x + 1) = 306
⇒ x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण x² + x – 306 = 0 है, जहाँ x एक धनात्मक पूर्णांक है।

(iii) मान लीजिए कि रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है, तो प्रश्नानुसार,
उसकी माँ की वर्तमान आयु = x + 26 वर्ष
एवं (x + 3) (x + 26 + 3) = 360
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² + 32x – 273 = 0 है, जहाँ x = रोहन की वर्तमान आयु (वर्षों में)

(iv) मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr है, तो प्रश्नानुसार,
480 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 480 }{ x } \) hrs
एवं \(\frac { 480 }{ x-8 } \) = \(\frac { 480 }{ x } \) + 3
⇒ \(\frac { 160 }{ x-8 } \) – \(\frac { 160 }{ x } \) = 1
⇒ 160x – 160x + 1280 = x (x – 8)
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² – 8x – 1280 = 0 है, जहाँ x रेलगाड़ी की चाल km/hr में है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

निम्न में से प्रत्येक में रचना का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 cm की दूरी पर स्थिर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हल :

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड OP = 10 cm खींचिए।
2. O की केन्द्र लेकर 6 cm की त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
3. OP का लम्ब अर्द्धक XY खींचिए – जो OP को बिन्दु Q पर समद्विभाजित करता है।
4. Q को केन्द्र लेकर OQ = QP = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को R एवं S बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PR एवं PS को मिलाइए।

अतः यही PR एवं PS अभीष्ट स्पर्श रेखा युग्म है जिनका मापन करने पर प्रत्येक की लम्बाई 8 cm है।
रचना का औचित्य : ∆PRO में चूँकि ∠ORP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो कि त्रिज्या OR के सिरे पर बना कोण है।
अतः PR और इसी प्रकार PS स्पर्श रेखायुग्म है, क्योंकि स्पर्श रेखा और स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या के बीच कोण एक समकोण (90°) होता है।

प्रश्न 2.
4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :

1. O को केन्द्र लेकर दो वृत्त क्रमश: 6 cm एवं 4 cm त्रिज्या के खींचे।
2. 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर कोई बिन्दु P लेकर OP को मिलाइए।
3. OP का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
4. M को केन्द्र लेकर MO = MP के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त को N बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PN को मिलाइए जो बाह्य वृत्त को Q पर प्रतिच्छेद करती है।

यही PN अभीष्ट स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4-4 cm (लगभग) आती है। परिकलन करने पर समकोण ∆ONP में पाइथागोरस प्रमेय से,
PN = \(\sqrt{(O P)^{2}-(O N)^{2}}=\sqrt{(6)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\) = 4.4 cm लगभग
अतः अभीष्ट स्पर्श रेखा PN है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4.4 cm (लगभग) एवं परिकलन करने पर भी 4.4 cm (लगभग)
रचना का औचित्य : चूँकि ∠ONP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो ON त्रिज्या के सिरे पर PN रेखा द्वारा अन्तरित है।
अतः PN, ON त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 3.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल :

1. O को केन्द्र मानकर 3 cm की त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त के एक व्यास MON को दोनों ओर क्रमशः बिन्दु P एवं Q तक इस प्रकार बढ़ाइए कि OP = OQ = 7 cm हो।
3. OP एवं OQ को क्रमशः बिन्दु R और S बिन्दुओं पर समद्विभाजित कीजिए।
4. R एवं S को केन्द्र लेकर क्रमश: RP = RO एवं SQ = SO की त्रिज्याओं से वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को क्रमश: A और B तथा C और D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
5. PA, PB तथा QC, QD को मिलाइए।

अतः यही PA, PB, QC एवं QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि PA, PB, QC एवं QD क्रमशः वृत्त की त्रिज्याओं OA, OB, OC एवं OD के सिरों क्रमश: A, B, C एवं D पर समकोण (90°) बनाते हैं क्योंकि ये अर्द्धवृत्तों के कोण हैं।
अत: PA, PB, QC और QD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हल :

चूँकि हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दुओं से जाने वाली त्रिज्याएँ केन्द्र पर जो कोण बनाती है वह स्पर्श रेखाओं के मध्य बनने वाले कोण का सम्पूरक होता है।
⇒ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्याओं के मध्य कोण = 180° – 60° = 120°
रचना के पद :

1. O को केन्द्र लेकर 5 cm त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त भी एक त्रिज्या OP खींचिए तथा OP के बिन्दु O पर ∠POQ = 120° का कोण बनाती हुई दूसरी त्रिज्या OQ खींचिए।
3. OP एवं OQ के बिन्दु P एवं Q पर क्रमश: ∠OPR = ∠OQR = 90° का कोण बनाते हुए रेखाएँ PR एवं QR खींचिए जो परस्पर बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ RP एवं RQ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : चूँकि RP एवं RQ क्रमशः त्रिज्याओं OP एवं OQ के अन्त्यः बिन्दुओं P एवं Q पर लम्ब हैं (रचना से)। अत: RP एवं RQ स्पर्श रेखाएँ हैं तथा उनके बीच का कोण 60° है (कारण उपरोक्त)।

प्रश्न 5.
8 cm लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त
के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :

रचना के चरण :

1. एक रेखाखण्ड AB = 8 cm खींचिए।
2. A को केन्द्र लेकर 4 cm की त्रिज्या से तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm की त्रिज्या से दो वृत्त खींचिए।
3. AB का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
4. O को केन्द्र लेकर OA = OB की लम्बाई के बराबर त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए जो वृत्तों को क्रमश: P एवं Q तथा R एवं S पर प्रतिच्छेद करता है।
5. BP, BQ, AR एवं AS को मिलाइए।

अत: BP, BQ, AR एवं AS अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : प्रत्येक स्पर्श रेखा संगत वृत्त के स्पर्श बिन्दु पर खींची गयी त्रिज्या पर लम्ब है क्योंकि ये कोण अर्द्धवृत्त के कोण हैं। अतः ये रेखाएँ स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90° हैं। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि ∆ABC एक दिया हुआ समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°, AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा B से AC पर डाला गया लम्ब BD है।
बिन्दुओं B, C, D से होकर एक वृत्त खींचा गया है।
चूँकि वृत्त समकोण ∆BDC का परिवृत्त है, अत: BC •इसका व्यास है और चूँकि AB त्रिज्या OB के बिन्दु B पर लम्ब है इसलिए AB इस वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
A से इस वृत्त पर एक अन्य स्पर्श रेखा खींचनी है और बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती है।
रचना : A को केन्द्र लेकर AB = 6 cm के बराबर त्रिज्या से एक चाप खींचा जो वृत्त को P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है। AP को मिलाइए।
अतः, AB एवं AP अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।
रचना का औचित्य : स्वयं हल में स्पष्ट है।

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (2019)
हल :

रचना के पद :

1. चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का केन्द्र O उचित विधि से ज्ञात PK किया।
3. वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया और OP को मिलाया।
4. OP का लम्ब-अर्द्धक XY खींचा जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
5. M को केन्द्र लेकर MP = MO की त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जो दिए हुए वृत्त को क्रमशः Q और R बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
6. PQ और PR को मिलाइए।

अत: PQ एवं PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : PQ और PR क्रमशः OQ एवं OR त्रिज्याओं के साथ समकोण बनाती हैं क्योंकि अर्द्धवृत्त के कोण हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 6.72 में यदि ∠A = ∠C, AB = 6 cm, BP = 15 cm, AP = 12 cm और CP = 4 cm, तो PD और CD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

∆ABP एवं ∆CDP में,
∠A = ∠C (दिया है)
∠APB = ∠CPD (शीर्षभिमुख कोण हैं)
∆ABP ~ ∆CDP [AA समरूपता]


अतः PD की अभीष्ट लम्बाई = 5 cm एवं CD की अभीष्ट लम्बाई = 2 cm है।

प्रश्न 2.
∆ABC ~ ∆EDF दिए हैं जिनमें AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm एवं DE = 12 cm. त्रिभुजों की शेष बची भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆ABC ~ ∆EDF (दिया है)
\(\frac{A B}{E D}=\frac{B C}{D F}=\frac{A C}{E F}\) ….(1) (समरूप त्रिभुजों के प्रगुण)
AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm एवं ED = DE = 12 cm के दिए हुए मान समीकरण (1) में रखने पर,

अतः शेष बची भुजाओं BC एवं EF की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 6.25 cm एवं 16.8 cm है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
अथवा
यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समानान्तर एक सरल रेखा खींची जाए तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभक्त करती है।
हल :

ज्ञात है : ∆ABC जिसमें रेखा DE || BC और रेखा DE, AB को D पर तथा AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
रचना : D को C से तथा B को E से मिलाइए एवं EF ⊥ AB खींचिए (देखिए आकृति 6.73)।

प्रश्न 4.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर के सहारे इस प्रकार रखी है कि उसका शीर्ष दीवार की 4 m ऊँचाई तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के पाद को दीवार की तरफ 1.6 m विस्थापित कर दिया जाए तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जिससे सीढ़ी का शीर्ष दीवार पर ऊपर की ओर खिसकता है।
हल :

AB = 5 m लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार CA के सहारे खड़ी है जहाँ AC = 4 m है। अब सीढ़ी को दीवार की ओर BB’ = 1.6 m खिसकाने पर नई
स्थिति A’B’ हो जाती है।
अब समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² – AC²
BC² = (5)² – (4)²
= 25 – 16
= 9
BC = √9 = 3 m
एवं समकोण ∆A’CB’ में पाइथागोरस प्रमेय से,
A’C = A’B’² – B’C
लेकिन A’B’ = AB = 5 m
B’C = BC – BB’
= 3 m – 1.6 m
= 1.4 m
A’C² = (5)² – (1.4)²
= 25 – 1.96
= 23.04
A’C = √23.04
= 4.8 m
A’A = A’C – AC = 4.8 – 4 = 0.8 m
अतः दीवार के सहारे सीढ़ी का शीर्ष 0.8 m ऊपर की ओर खिसकेगा।

प्रश्न 5.
किसी शहर A से दूसरे शहर B तक जाने का रास्ता शहर C से होकर जाता है, इस प्रकार कि AC ⊥ CB एवं AC = 2x km तथा CB = 2 (x + 7) km. एक 26 km लम्बा राजमार्ग (हाईवे) बनाना प्रस्तवित है जो शहर A एवं B को सीधा जोड़ेगा। बताइए शहर A से शहर B तक जाने में राजमार्ग बनने पर कितनी दूरी की बचत होगी?
हल :

तीनों सड़कें समकोण त्रिभुज ACB की संरचना करती हैं, जहाँ AB = 26 km, AC = 2x km एवं CB = 2 (x + 7) km है।
अब समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² + BC² = AB²
(2x)² + [2 (x + 7)]² = (26)²
4x² + 4 (x² + 14x + 49) = 676
4x² + 4x² + 56x + 196 = 676
8x² + 56x – 480 = 0
x² + 7x – 60 = 0
x² + 12x – 5x – 60 = 0
x (x + 12) – 5 (x + 12) = 0
(x + 12) (x – 5) = 0
या तो x + 12 = 0 ⇒ x = – 12 km [जो असम्भव है]
अथवा
x – 5 = 0 ⇒ x = 5 km
राजमार्ग बनने से पहले तय की जाने वाली दूरी
= AC + CB = 2x + 2x + 14
= 4x + 14
= 4 × 5 + 14
= 20 + 14
= 34 km
दूरी में अन्तर = 34 km – 26 km = 8 km
अतः तय की गई दूरी में अभीष्ट बचत = 8 km.

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.76 में ABC एक समकोण त्रिभुज है जो B पर समकोण है एवं BD ⊥ AC. यदि AD = 4 cm एवं CD = 5 cm तो BD एवं AB के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण AC पर डाला गया लम्ब BD त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के भी समरूप होते हैं (हम जानते हैं)।
⇒∆ADB ~ ∆BDC ~ ∆ABC [प्रमेय : 6.7 से]
⇒\(\frac{A D}{B D}=\frac{B D}{C D}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒\(\frac{4 \mathrm{cm}}{B D}=\frac{B D}{5 \mathrm{cm}}\)
⇒[∵ AD = 4 cm एवं CD = 5 cm दिया है।]
⇒BD² = 4 x 5 = 20
⇒BD = √20 = 2√5 cm
अब समकोण ∆ADB में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒AB² = AD² + BD² = (4)² + (2√5)²
= 16 + 20
= 36
⇒AB = √36 = 6 cm
अंत: BD एवं AB की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 2√5 cm एवं 6 cm हैं।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.77 में ∆POR एक समकोण त्रिभुज है, जो बिन्दु Q पर समकोण है एवं QS ⊥ PR तथा PQ = 6 cm एवं PS = 4 cm तो QS, RS एवं QR के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ समकोण ∆PSQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
QS² = PQ² – PS² = (6)² – (4)²
[∵ PQ = 6 cm एवं PS = 4 cm दिया है]
QS² = 36 – 16 = 20
QS = √20 = 2√5 cm
∵ समकोण ∆ में समकोण वाले शीर्ष पर डाला गया लम्ब त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभक्त करता है तथा प्रत्येक त्रिभुज मूल त्रिभुज के भी समरूप होता है। (हम जानते हैं)
∆PQS ~ ∆QRS ~ ∆PRQ

[समीकरण (1) में PQ = 6 cm, QS = 2√5 cm एवं RS = 5 cm मान रखने पर]
\(Q R=\frac{6 \times 5}{2 \sqrt{5}}=3 \sqrt{5} \mathrm{cm}\)
अत: QS, RS एवं QR के अभीष्ट मान क्रमश: 2√5 cm, 5 cm एवं 3√5 cm हैं।

प्रश्न 8.
एक चतुर्भुज ABCD में ∠A + ∠D = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि : AC² + BD² = AD² + BC²
हल :

ज्ञात है : चतुर्भुज ABCD जिसमें ∠A + ∠D = 90°
तथा AC एवं BD को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : AC² + BD² = AD² + BC²
रचना : AB एवं DC को बढ़ाइए जो बिन्दु E पर मिलते हैं।
उपपत्ति : चूँकि ∆EAD में ∠A + ∠D = 90° (दिया है)
⇒∆AED, ∆AEC, ∆BEC एवं ∆DEB समकोण ∆ हैं, जिसमें ∠E = 90°
∵ समकोण ∆AEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AE² + CE² …(1)
∵ समकोण ∆DEB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BD² = DE² + BE² …(2)
⇒AC² + BD² = AE² + DE² + BE² + CE² …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
∵ समकोण ∆AED में पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AE² + DE² …(4)
∵ समकोण ∆BEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = BE² + CE² ….(5)
⇒AD² + BC² = AE² + DE² + BE² + CE² …(6)
[समीकरण (4) + (5) से]
⇒AC² + BD² = AD² + BC². [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है के विकर्ण AC एवं BD का प्रतिच्छेद बिन्दु O है। O से होकर AB के समान्तर एक रेखाखण्ड PQ खींचा गया है जो AD को P पर तथा BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए : PO = QO
हल :

∵ AB || DC एवं AB || PQ
PQ || DC अर्थात् OQ|| DC || AB
तथा PO || AB || DC
∵ ∆BDC में, OQ || DC


PO = QO.
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 6.80 में रेखाखण्ड DF, ∆ABC की भुजा AC को बिन्दु E पर इस प्रकार विभाजित करता है कि E बिन्दु भुजा CA का मध्य-बिन्दु है एवं ∠AEF = ∠AFE है तो सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{B D}{C D}=\frac{B F}{C E}\)
हल :

दिया है : रेखाखण्ड DE, ∆ABC की भुजा AC को बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हुए कि E, CA का मध्य-बिन्दु AB पर बिन्दु F पर मिलता है तथा ∠AEF = ∠AFE है। रचना : GC || DF खींचिए जो ∆ABC की भुजा AB के बिन्दु G पर मिलती है। चूँकि E, भुजा AC का मध्य-बिन्दु,
CE = AE (दिया है)
चूँकि ∠AEF = ∠AFE (दिया है)
AE = AF
AE = CE = AF
CG || DF खींचिए जो AB को बिन्दु G पर मिलती है।
∆ACG में, DF || CG

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण ∆ के कर्ण पर बने समाबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल शेष भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण है तथा कर्ण AC पर समबाहु ∆FAC, AB पर बना समबाहु ∆DAB एवं BC पर बना समबाहु त्रिभुज EBC है।
AB = p, BC = b एवं AC = h.
समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² + BC² = AC²
⇒ p² + b² = h² …(1)
ar (DAB) + ar (EBC)

अतः किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
∆PQR में, PD ⊥ QR इस प्रकार है कि D बिन्दु QR पर स्थित है। यदि PQ = a, PR = b, QD = c तथा DR = d तो सिद्ध कीजिए कि : (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d)
हल :

ज्ञात है : ∆PQR जिसमें PD ⊥ QR जहाँ D बिन्दु रेखा QR पर स्थित होगा। PQ = a, PR = b, QD = c एवं DR = d है।
सिद्ध करना है: (a + b)(a – b) = (c + d) (c – d)
अब समकोण ∆PDQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ PD² = PQ² – QD² = a² – c² …(1)
एवं समकोण ∆PDR में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ PD² = PR² – DR² = b² – d² ….(2)
⇒ a² – c² = b² – d² [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ a² – b² = c² – d²
⇒ (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d).
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक बल्ब एक खम्भे पर सड़क के तल से 6 m की ऊँचाई पर लगा है। एक 1.5 m ऊँचाई की स्त्री की छाया 3 m लम्बी पड़ती है। बताइए कि स्त्री खम्भे के आधार से कितनी दूरी पर खड़ी है?
हल :

मान लीजिए एक खम्भा PQ = 6 m ऊँचा है। एक स्त्री AB = 1.5 m ऊँचे खम्भे के आधार Q से QB = x m की दूरी पर खड़ी है जिसकी छाया CB = 3 m लम्बी पड़ती है।
चूँकि AB || PQ (ऊधर्वाधर है)
⇒ ∆ABC ~ ∆PQC [∠C उभयनिष्ठ ∠B = ∠Q = 90°]

⇒ 4.5 + 1.5x = 18
⇒ 1.5x = 18 – 4.5 = 13.5
⇒ x = \(\frac { 13.5 }{ 1.5 }\) = 9m
अतः स्त्री खम्भे के आधार से 9 m की दूरी पर खड़ी है।

प्रश्न 4.
18 m ऊँचे झण्डे के स्तम्भ की छाया 9.6 m लम्बी है। स्तम्भ के शीर्ष की छाया के दूर अन्त्यः बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि PQ = 18 m ऊँचे झण्डे के स्तम्भ की छाया QR = 9.6 m लम्बी पड़ती है।
बिन्दु R से खम्भे के शीर्ष P की दूरी PR = x m है।
समकोण ∆PQR में पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = PQ² + QR²
= (18)² + (9.6)²
= 324 + 92.16
= 416.16
PR = √416.16
= 20.4 m
अतः बिन्दु R से स्तम्भ के शीर्ष की अभीष्ट दूरी = 20.4m है।

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 6.85 में DE || AB तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∆CAB में,
चूँकि DE || AB
⇒ \(\frac{C D}{D A}=\frac{C E}{E B}\) (प्रमेय : 6.1 से)
⇒ \(\frac{x+3}{3 x+19}=\frac{x}{3 x+4}\) (चित्रानुसार)
⇒ 3x² + 19x = 3x² + 4x + 9x + 12
⇒ 19x = 13x + 12
⇒ 6x = 12
⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 2
अतः x का अभीष्ट मान = 2 है।

प्रश्न 6.
समलम्ब चतुर्भुज PQRS के विकर्ण परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहाँ PQ || RS तथा PQ = 3RS, तो त्रिभुज POQ एवं ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है PQRS एक समचतुर्भुज जिसमें PQ || RS एवं PQ = 3RS. इसके विकर्ण PR एवं QS परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब ∆POQ एवं ∆ROS में,
∵ ∠POQ = ∠ROS [शीर्षाभिमुख कोण हैं।]
⇒ ∠RPQ = ∠PRS
[एकान्तर कोण हैं जहाँ PQ || RS एवं RP तिर्यक रेखा है]
⇒ ∆POQ ~ ∆ROS [AA समरूपता]

अतः ∆POQ एवं ∆ROS के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 9:1 है।

प्रश्न 7.
∆ABC ~ ∆DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cm एवं FD = 12 cm. ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि
∆ABC ~ ∆DEF

∆ABC की परिमाप = AB + BC + CA
= 4 cm + 6 cm + 8 cm
= 18 cm
अत: ∆ABC की अभीष्ट परिमाप = 18 cm है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.87 में, यदि DE || BC तो ∆ADE एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

⇒ ∆ADE एवं ∆ABC में
⇒ ∠A = ∠A [उभयनिष्ठ हैं।]
⇒ ∠D = ∠B [संगत कोण हैं]
चूँकि DE || BC एवं AB तिर्यक रेखा है।
⇒ ∆ADE ~ ∆ABC [AA समरूपता]

अत: ∆ADE एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमश: 36 cm² एवं 100 cm² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की कोई भुजा की लम्बाई = 20 cm हो तो छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए छोटी त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई x cm है और हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों में,

अतः छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की अभीष्ट लम्बाई = 12 cm है।

प्रश्न 10.
एक 10 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के आधार से 6 m दूरी पर रखी हुई दीवार के साथ टिकी है। दीवार के उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ पर सीढ़ी का शीर्ष टिका है।
हल :

मान लीजिए एक सीढ़ी AB = 10 m लम्बी है और दीवार AC के आधार C से BC = 6 m की दूरी पर रखी हुई है तथा दीवार के साथ बिन्दु A पर टिकी है। A की ऊँचाई आधार से AC = h है तो समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ AC² = AB² – BC²
⇒ h² = (10)² – (6)²
= 100 – 36
= 64
⇒ h = √64
= 8 m
अतः दीवार के अभीष्ट बिन्दु की ऊँचाई = 8 m

प्रश्न 11.
आकृति 6.89 में ∠P ज्ञात कीजिए।

हल :
∆ABC एवं ∆PQR में,

⇒ ∠A = ∠R, ∠A = ∠Q एवं ∠C = ∠P
लेकिन ∠C + 60° + 80° = 180° [त्रिभुज के अन्त:कोण हैं।]
⇒ ∠C = 180° + 140° = 40°
⇒ ∠P = ∠C = 40°
अतः ∠P का अभीष्ट मान = 40° है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 25 cm, 5 cm और 24 cm हैं, समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि (24)² + (5)² = 576 + 25 = 601 ≠ (25)²

प्रश्न 2.
∆DEF ~ ∆RPQ दिया है। क्या यह कहना सत्य है कि ∠D = ∠R = एवं ∠F = ∠P.
हल :
कथन सत्य नहीं है, क्योंकि ∠F ≠ ∠P बल्कि ∠F = ∠Q.

प्रश्न 3.
किसी ∆POR की भुजाओं PQ एवं PR पर बिन्दु क्रमश: A एवं B इस प्रकार हैं कि PQ= 12.5 cm, PA = 5 cm, BR = 6 cm एवं PB = 4 cm. क्या AB || QR ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ AB || OR. क्योंकि

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.90 में BD एवं CF परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। क्या ∆PBC ~ ∆PDE और क्यों?
हल :

हाँ, ∆PBC ~ ∆PDE,
क्योकि \(\frac{P B}{P D}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \frac{P C}{P E}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)
एवं ∠BPC = ∠DPE [शीर्षाभिमुख कोण]
अर्थात् SAS समरूपता है।

प्रश्न 5.
∆PQR एवं ∆MST में ∠P = 55°, ∠Q = 25°, ∠M = 100° एवं ∠S = 25°, क्या ∆QPR ~ ∆TSM ? क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि ∆QPR ~ ∆STM.

प्रश्न 6.
क्या निम्न कथन सत्य है? और क्यों? “दो चतुर्भुज समरूप हैं अगर उनके संगत कोण बराबर हैं।”
हल :
नहीं, क्योंकि संगत भुजाएँ भी समानुपाती होनी चाहिए।

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज की दो भुजाएँ एवं परिमाप क्रमशः दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और परिमाप का तीन गुना है। क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं? और क्यों?
हल :
हाँ, वे त्रिभुज समरूप हैं, क्योंकि दो संगत भुजाएँ एवं परिमाप समानुपाती हैं तो तीसरी भुजा भी समानुपाती होगी। (SSS समरूपता)

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज का एक न्यूनकोण दूसरे समकोण त्रिभुज के एक न्यूनकोण के बराबर हो तो क्या दोनों त्रिभुज समरूप होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ, समरूप होंगे। (AAA समरूपता)

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्ष लम्बों का अनुपात \(\frac { 3 }{ 5 }\) है तो क्या यह कहना सत्य है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \(\frac { 6 }{ 5 }\) होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, यह कहना असत्य है क्योंकि क्षेत्रफलों का अनुपात \(\frac { 9 }{ 25 }\) होगा।

प्रश्न 10.
∆POR की भुजा QR पर बिन्दु D इस प्रकार है कि PD ⊥ QR, क्या यह कहना सत्य होगा कि ∆PQD ~ ∆RPD ? और क्यों?
हल :
नहीं, यह कहना असत्य है, क्योंकि यह तभी सम्भव है जब ∠P = 90° हो।

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.91 में ∠D = ∠C तो क्या यह कहना सत्य होगा कि ∆ADE ~ ∆ACB ? और क्यों?
हल :

हाँ, कथन सत्य है क्योंकि AA समरूपता है।

प्रश्न 12.
क्या यह कहना सत्य है कि यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो एवं एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों तो त्रिभुज समरूप होंगे? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, कथन असत्य है क्योंकि दो जोड़े समानुपाती भुजाओं के मध्य कोण बराबर होने चाहिए।

प्रश्न 13.
∆ABC में, AB = 24 cm, BC = 10 cm एवं AC = 26 cm. क्या यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, त्रिभुज समकोण त्रिभुज है क्योंकि
AB² + BC² = (24)² + (10)²
= 576 + 100
= 676
= (26)²
= AC²

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज DEF की भुजाओं DE एवं DF पर क्रमशः बिन्दु P एवं Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = 5 cm, DE = 15 cm, DQ = 6 cm एवं DF = 18 cm. क्या PQ || EF ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :

हाँ, क्योंकि

अत: PQ || EF है।

प्रश्न 15.
∆FED ~ ∆STU दिया है क्या \(\frac{D E}{S T}=\frac{E F}{T U}\) और क्यों?
हल :
नहीं, \(\frac{D E}{S T} \neq \frac{E F}{T U}\) क्योंकि \(\frac{D E}{T U}=\frac{E F}{S T}\) संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए।

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो त्रिभुज समरूप होंगे, यदि :
(a) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं,
(b) त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों,
(c) त्रिभुजों के संगत क्षेत्रफल बराबर हों,
(d) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।
उत्तर:
(d) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।

प्रश्न 2.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। इनमें से समकोण त्रिभुज नहीं है :
(a) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी,
(b) 5 सेमी, 8 सेमी, 11 सेमी,
(c) 5 सेमी, 12 सेमी, 13 सेमी,
(d) 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी।
उत्तर:
(b) 5 सेमी, 8 सेमी, 11 सेमी,

प्रश्न 3.
“एक त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।” यह कथन है : (a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(a) थेल्स प्रमेय का,

प्रश्न 4.
“यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।” यह कथन है :
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,

प्रश्न 5.
“एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।” यह कथन है:
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,

प्रश्न 6.
“एक त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर हो, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।” यह कथन है :
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय का विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।

प्रश्न 7.
एक आदमी पूर्व की ओर 150 मीटर जाता है और फिर उत्तर की ओर 200 मीटर जाता है। आदमी की प्रारिम्भक बिन्दु से दूरी होगी :
(a) 150 मीटर,
(b) 25 मीटर,
(c) 15 मीटर,
(d) 250 मीटर।
उत्तर:
(d) 250 मीटर।

प्रश्न 8.
एक व्यक्ति पूर्व की ओर 15 मीटर जाता है और फिर उत्तर की ओर 8 मीटर जाता है। व्यक्ति की प्रारम्भिक बिन्दु से दूरी होगी :
(a) 23 मीटर,
(b) 17 मीटर,
(c) 7 मीटर,
(d) 25 मीटर।
उत्तर:
(b) 17 मीटर,

प्रश्न 9.
एक 25 मीटर लम्बी सीढ़ी एक भवन की जमीन से 20 मीटर ऊँची खिड़की तक जाती है। भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी होगी :
(a) 45 मीटर,
(b) 5 मीटर,
(c) 15 मीटर,
(d) 25 मीटर।
उत्तर:
(c) 15 मीटर,

प्रश्न 10.
एक सीढ़ी इस तरह रखी गई है कि उसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा जमीन से 12 मीटर ऊँची खिड़की तक जाता है। सीढ़ी की लम्बाई होगी :
(a) 7 मीटर,
(b) 17 मीटर,
(c) 25 मीटर,
(d) 13 मीटर।
उत्तर:
(d) 13 मीटर।

प्रश्न 11.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों में 9 : 16 का अनुपात है, तो उनके शीर्ष लम्बों का अनुपात होगा :
(a) 3 : 4,
(b) 4 : 3,
(c) 9 : 1,
(d) 16 : 9.
उत्तर:
(a) 3 : 4,

प्रश्न 12.
समरूपता के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है :
(a), कोण-कोण-कोण समरूपता,
(b) कोण-कोण समरूपता,
(c) भुजा-कोण-भुजा समरूपता,
(d) ये सभी।
उत्तर:
(d) ये सभी।

प्रश्न 13.
एक ∆ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमश: दो बिन्दु एवं E इस प्रकार हैं कि: AD = 2 cm, BD = 3 cm, BC = 7.5 cm एवं DE || BC, तब DE की लम्बाई (cm में) होगी :
(a) 2.5,
(b) 3,
(c) 5,
(d) 6.
उत्तर:
(b) 3,

प्रश्न 14.
किसी समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई 16 cm एवं 12 cm है तो उसकी भुजा की लम्बाई है:
(a) 9 cm,
(b) 10 cm,
(c) 8 cm,
(d) 20 cm.
उत्तर:
(b) 10 cm,

प्रश्न 15.
यदि ∆ABC ~ ∆EDF एवं ∆ABC एवं ∆DEF समरूप नहीं हैं तब निम्न में से कौन सत्य नहीं है?
(a) BC.EF = AC.FD,
(b) AB.EF = AC.DE,
(c) BC.DE = AB. EF
(d) BC.DE = AB.FD.
उत्तर:
(c) BC.DE = AB. EF

प्रश्न 16.
यदि दो त्रिभुजों ABC एवं PQR में
(a) ∆PQR ~ ∆CAB,
(b) ∆PQR ~ ∆ABC,
(c) ∆CBA ~ ∆POR,
(d) ∆BCA ~ ∆POR.
उत्तर:
(a) ∆PQR ~ ∆CAB,

प्रश्न 17.
दो त्रिभुज DEF एवं PQR में ∠D = ∠Q एवं ∠R = ∠E तब निम्न में कौन सही नहीं है?

उत्तर:
(b) \(\frac{D E}{P Q}=\frac{E F}{R P}\)

प्रश्न 18.
∆ABC ~ ∆PQR दिया है एवं \(\frac{B C}{Q R}=\frac{1}{3}\) तब \(\frac{a r(P R Q)}{a r(B C A)}\) बराबर होगा :
(a) 9,
(b) 3,
(c) \(\frac { 1 }{ 3 }\).
(d) \(\frac { 1 }{ 9 }\).
उत्तर:
(a) 9,

प्रश्न 19.
∆ABC एवं ∆DEF में \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\) तब ये दोनों त्रिभज समरूप होंगे जब :
(a) ∠B = ∠E,
(b) ∠A = ∠D,
(c) ∠B = ∠D,
(d) ∠A = ∠E
उत्तर:
(c) ∠B = ∠D,

प्रश्न 20.
यदि ∆ABC ~ ∆QRD एवं \(\frac{a r(A B C)}{a r(P Q R)}=\frac{9}{4}\), AB = 18 cm, BC = 15 cm तब PR बराबर
होगा :
(a) 10 cm,
(b) 12 cm,
(c) \(\frac { 20 }{ 3 }\) cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(a) 10 cm

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों, तो वे त्रिभुज ……… होते हैं।
2. ………. त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
3. सभी वर्ग ……….. होते हैं।
4. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किन्हीं दो संगत भुजाओं के ……….. के अनुपात के बराबर होता है।
5. किसी त्रिभुज के शीर्ष कोण का ………….. सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।
6. यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे त्रिभुज ………… कहलाते हैं।
7. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 के अनुपात में है, तो उन त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात ………… होगा।
उत्तर-
1. समरूप,
2. समबाहु,
3. समरूप,
4. वर्गों,
5. समद्विभाजक,
6. समरूप त्रिभुज
7. 3 : 4

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2. →(d),
3.→(e),
4.→(a),
5. →(f),
6.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है।
2. यदि त्रिभुज की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों, तो वे त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं।
3. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
4. यदि दो त्रिभुज समकोणिक हों तो त्रिभुज समरूप होंगे।
5. यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समानान्तर एक सरल रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दोनों भुजाओं को ___ समान अनुपात में विभक्त करती है।
6. थेल्स प्रमेय का कथन है-“यदि किसी त्रिभुज में कोई सरल रेखा उसकी दो भुजाओं को समान अनुपात __ में विभक्त करे, तो वह तीसरी भुजा के समानान्तर होती है।”
7. सभी वर्ग समरूप होते हैं। (2019)
8. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x आधार x शीर्ष लम्ब होता है। (2019)
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. सत्य,
5. सत्य,
6. असत्य,
7. सत्य,
8. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
2. समकोण त्रिभुज प्रमेय का नाम लिखिए।
3. यदि किसी ∆ABC में AD ⊥ BC एवं AC² = AB² + BC² + 2BC.BD हो, तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
4. यदि किसी ∆ABC में AD ⊥BC एवं AC² = AB² + BC² – 2BC.BD हो, तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
5. यदि किसी ∆ABC की माध्यिका AD हो, तब AB² + AC² = 2 (AD² + BD²), तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
6. आकृतियों का वह गुण जिसमें उनका आकार समान हो तथा विस्तार भिन्न-भिन्न हो, क्या कहलाता है?
7. समरूप त्रिभुज, ∆ABC एवं ∆PQR के क्षेत्रफल एवं भुजाओं में सम्बन्ध लिखिए।
8. दो समरूप त्रिभुजों के शीर्षलम्बों की माप में 2 : 3 का अनुपात हो, तो उनके क्षेत्रफलों में क्या अनुपात होगा?
9. पाइथागोरस प्रमेय का कथन लिखिए।
उत्तर-
1. थेल्स प्रमेय,
2. पाइथागोरस प्रमेय,
3. अधिककोण त्रिभुज प्रमेय,
4. न्यूनकोण त्रिभुज प्रमेय,
5. अपोलोनियसपमेय
6. समरूपता
7.

8. 4 : 9
9.”समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।”

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 3x + 5 = 0 में a = 2, b = – 3 एवं c = 5
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40 = – 31
अत: वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) चूँकि 3x² – 4\(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0 में a = 3, b = – 4 \(\sqrt { 3 }\) एवं c = 4

अत: दोनों मूल बराबर हैं तथा प्रत्येक का मान, \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) एवं \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) है।

(iii) चूँकि 2x² – 6x + 3 = 0 में a = 2, b = 6 एवं c = 3
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-6)² – 4(2) (3)
= 36 – 24 = 12

अत: मूल असमान वास्तविक हैं जिनका मान \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\) है।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2)+ 6 = 0
हल:
(i) चूँकि समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में a = 2, b = k, c = 3.
एवं बराबर मूलों के लिए b² – 4ac = 0
⇒ k² – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k² = 24 ⇒ k = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)
अतः k के अभीष्ट मान = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)

(ii) चूँकि समीकरण kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0 में a = k, b = -2k एवं c = 6
एवं बराबर मूलों के लिए. b² – 4ac = 0
⇒ (-2k)² – 4(k) (6) = 0
⇒ 4k² – 24k = 0 ⇒ k² – 6k = 0
⇒ k (k – 6) = 0
या तो k = 0 तब समीकरण 6 = 0 जो सम्भव नहीं है।
अथवा k – 6 = 0 ⇒ k = 6
अत: k का अभीष्ट मान = 6.

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m- हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आम की बगिया की चौड़ाई = x m
तो उसकी लम्बाई = 2x m
तब प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 2x × x = 800 m²
⇒ 2x² = 800 ⇒ x² = 400
⇒ x = ± \(\sqrt { 400 }\) = ± 20
लेकिन माप ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 20 m
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 m
एवं लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: बगिया बनाना सम्भव है तथा बगिया की अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः 40 m एवं 20 m है।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
मान लीजिए कि एक मित्र की आयु x वर्ष है तो दूसरे मित्र की आयु (20 – x) होगी।
अब प्रश्नानुसार (x – 4) (20 – x – 4) = 48
⇒ (x – 4) (16 – x) = 48
⇒ 16x – x² – 64 + 4x = 48
⇒ x² – 20x + 112 = 0
यहाँ a = 1, b = -20 एवं c = 112
तो b² – 4ac = (-20)² – 4 (1) (112)
= 400 – 448 = – 48
अतः दत्त स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m- के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि पार्क की चौड़ाई = x m

अतः पार्क बनाना सम्भव है और वह वर्गाकार होगा जिसकी प्रत्येक भुजा = 20 m.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन क्रिया किर बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैं :
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \)
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \)
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \)
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \)
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \)
(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)
(viii) \(\frac { 6 }{ 15 } \)
(ix) \(\frac { 35 }{ 50 } \)
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \)
हल:
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \) = \(\frac{13}{5^{5}}\)
चूँकि हर में केवल 5 की धात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \) = \(\frac{17}{2^{3}}\)
चूँकि हर में केवल 2 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \) = \(\frac{64}{5^{1} \times 7^{1} \times 13^{1}}\)
चूँकि हर में 5 के अतिरिक्त 7 एवं 13 की धात हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \) = \(\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}}\) = \(\frac{3}{2^{6} \times 5^{1}}\)
चूँकि हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \) = \(\frac{29}{7^{3}}\)
चूँकि हर में 7 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) \(\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}\) के हर में चूँकि केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(vii) \(\frac{129}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{5}}\)
के हर में चूँकि 2 एवं 5 के अतिरिक्त 7 की घातें भी हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii) चूँकि \(\frac { 6 }{ 15 } \) = \(\frac { 2 }{ 5 } \) के हर में केवल 5 की घात है
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(ix) चूँकि \(\frac { 35 }{ 50 } \) = \(\frac { 7 }{ 10 } \) = \(\frac{7}{2 \times 5}\) के हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \) = \(\frac{11}{2 \times 3 \times 5}\)
चूँकि इसके हर में 2 और 5 के अतिरिक्त 3 की भी घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
हल:
ऊपर दिए गए प्रश्न में निम्न परिमेय संख्याओं के प्रसार सांत हैं :

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000…..
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\)
हल:
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{10^{9}}\) 43123456789 में दशमलव प्रसार सांत है। अत: यह परिमेय संख्या है, जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 ही हैं।
(ii) 0.120120012000120000 …………. का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\) में दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 5 के अतिरिक्त एक अन्य गुणखण्ड है।