MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए :
प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) x + 3.
हल:

प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow \pi}\) (x – \(\frac{22}{7}\))
हल:

प्रश्न 3.
\(\lim _{r \rightarrow 1}\)(πr²).
हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

वैकल्पिक विधि : हम जानते हैं :

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}\), a, b, a + b ≠ 0.
हल:

प्रश्न 21.

हल:

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23.

हल:

प्रश्न 24.

हल:

समी (i) और (ii) से,
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\)
∴ अतः x = 1 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 25.

हल:

प्रश्न 26.

हल:

प्रश्न 27.
\(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = |x|- 5.
हल:

प्रश्न 28.
मान लीजिए f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}{a+b x,} & {x<1} \\ {4,} & {x=1} \\ {b-a x,} & {x>1}\end{array}\right.\)
और यदि \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = f(1), तो a और b के संभव मान क्या हैं?
हल:

समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2b = 8 या b = 4
समी (i) में b = 4 रखने पर,
4 + a = 4 या a = 0
अतः a = 0, b = 4.

प्रश्न 29.
मान लीजिए a₁,a₂,…..a_n, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a₁) (x – a₂)…..(x – a_n) से परिभाषित है। \(\lim _{x \rightarrow a_{1}}\) f(x) क्या है? किसी a ≠ a₁,a₂,…..a_n के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का परिकलन कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.

हल:
दिया गया फलन:


अतः सभी a, a ≠ 0 के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का अस्तित्व है।

प्रश्न 31.
यदि फलन f(x), \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{f(x)-2}{x^{2}-1}\) = π को संतुष्ट करता है, तो \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 32.
किन पूर्णांकों m और n के लिए \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) और \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}{m x^{2}+n,} & {x<0} \\ {n x+m,} & {0 \leq x \leq 1} \\ {n x^{3}+m,} & {x>1}\end{array}\right.\)
हल:

अतः \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) के अस्तित्व हेतु m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए; m तथा n के किसी भी पूर्णांक मान के लिए \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का अस्तित्व है।

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