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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1

प्रश्न 1 से 22 तक निम्नलिखित सीमाओं के मान प्राप्त कीजिए :
प्रश्न 1.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\) x + 3.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 1

प्रश्न 2.
\(\lim _{x \rightarrow \pi}\) (x – \(\frac{22}{7}\))
हल:
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प्रश्न 3.
\(\lim _{r \rightarrow 1}\)(πr2).
हल:
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प्रश्न 4.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 4
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 5

प्रश्न 5.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 6
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 7

प्रश्न 6.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 8
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 9

वैकल्पिक विधि : हम जानते हैं :
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 10

प्रश्न 7.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 11
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 12
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 13

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प्रश्न 8.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 14
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 15

प्रश्न 9.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 16
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 17

प्रश्न 10.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 18
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 19

प्रश्न 11.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 20
हल:
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प्रश्न 12.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 22
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 23

प्रश्न 13.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 24
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 25

प्रश्न 14.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 26
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 27

प्रश्न 15.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 28
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 29

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प्रश्न 16.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 30
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 31

प्रश्न 17.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 32
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 33
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 34

प्रश्न 18.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 35
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 36

प्रश्न 19.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 37
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 38

प्रश्न 20.
\(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x+b x}{a x+\sin b x}\), a, b, a + b ≠ 0.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 39

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प्रश्न 21.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 40
हल:
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प्रश्न 22.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 42
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 43

प्रश्न 23.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 44
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 45
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 46
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 47

प्रश्न 24.
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हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 49
समी (i) और (ii) से,
\(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)\)
∴ अतः x = 1 पर सीमा का अस्तित्व नहीं है।

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प्रश्न 25.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 50
हल:
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प्रश्न 26.
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 52
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 53

प्रश्न 27.
\(\lim _{x \rightarrow 5}\) f(x) ज्ञात कीजिए, जहाँ f(x) = |x|- 5.
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 54
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 55

प्रश्न 28.
मान लीजिए f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}{a+b x,} & {x<1} \\ {4,} & {x=1} \\ {b-a x,} & {x>1}\end{array}\right.\)
और यदि \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) = f(1), तो a और b के संभव मान क्या हैं?
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 56
समी (i) और (ii) को जोड़ने पर,
2b = 8 या b = 4
समी (i) में b = 4 रखने पर,
4 + a = 4 या a = 0
अतः a = 0, b = 4.

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प्रश्न 29.
मान लीजिए a1,a2,…..an, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a1) (x – a2)…..(x – an) से परिभाषित है। \(\lim _{x \rightarrow a_{1}}\) f(x) क्या है? किसी a ≠ a1,a2,…..an के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का परिकलन कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 57

प्रश्न 30.
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हल:
दिया गया फलन:
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अतः सभी a, a ≠ 0 के लिए \(\lim _{x \rightarrow a}\) f(x) का अस्तित्व है।

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प्रश्न 31.
यदि फलन f(x), \(\lim _{x \rightarrow 1}\) \(\frac{f(x)-2}{x^{2}-1}\) = π को संतुष्ट करता है, तो \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 59
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 60

प्रश्न 32.
किन पूर्णांकों m और n के लिए \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) और \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) दोनों का अस्तित्व है, यदि
f(x) = \(\left\{\begin{array}{ll}{m x^{2}+n,} & {x<0} \\ {n x+m,} & {0 \leq x \leq 1} \\ {n x^{3}+m,} & {x>1}\end{array}\right.\)
हल:
MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 13 सीमा और अवकलज Ex 13.1 62
अतः \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) के अस्तित्व हेतु m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए; m तथा n के किसी भी पूर्णांक मान के लिए \(\lim _{x \rightarrow 1}\) f(x) का अस्तित्व है।

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