Class 11

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 16 Probability

Probability Important Questions

Probability Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
A leap year is selected at random. Then the probability that this year will contain 53 Sunday is :
(a) \(\frac { 1 }{ 7 }\)
(b) \(\frac { 2 }{ 7 }\)
(c) \(\frac { 3 }{ 7 }\)
(d) \(\frac { 4 }{ 7 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 2 }{ 7 }\)

Question 2.
A and B are two events such that P(A) = 0.4, P(A + B) = 0.7, P(AB) = 0.2, then
P(B) =
(a) 0.1
(b) 0.3
(c) 0.5
(d) 0.2
Answer:
(c) 0.5

Question 3.
Three letters are to be sent to different persons and address on the three envelope are also written. Without looking at the address, the probability that the letters go into right envelope is equal to :
(a) \(\frac { 1 }{ 27 }\)
(b) \(\frac { 1 }{ 9 }\)
(c) \(\frac { 4 }{ 27 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)

Question 4.
If A and B are two events such that P(A ∪B) = \(\frac { 3 }{ 4 }\), P(A ∩ B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(\(\bar { A }\)) = \(\frac { 2 }{ 3 }\), then P(A ∩ B) is:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)

Question 5.
The probability that A speaks truth is \(\frac { 4 }{ 5 }\) while that this probability for B is \(\frac { 3 }{ 4 }\). The probability that they contradict each other when asked to speak on a fact:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)

Question 6.
A player drawn one card from a pack of 52 cards, then the probability that it is not a diamond card :
(a) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
(b) \(\frac { 2 }{ 4 }\)
(c) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 13 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 3 }{ 4 }\)

Question 7.
Probability of getting number greater than 3 when a dice is thrown :
(a) 1
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 8.
A bag contain 6 white, 5 black and 4 yellow balls. The probability of drawing a white or a black ball is :
(a) \(\frac { 6 }{ 11 }\)
(b) \(\frac { 6 }{ 15 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 15 }\)
(d) \(\frac { 11 }{ 15 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 11 }{ 15 }\)

Question 9.
Probability of getting an even number on throwing a dice is :
(a) 1
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 10.
If P(A) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(B) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) and P(A ∩ B) = \(\frac { 1 }{ 8 }\) then P(A’ ∩ B’)=
(a) \(\frac { 1 }{ 8 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 7 }{ 8 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)

(B) Fill in the blanks :

1. a : b is odds in favour of an event A, then probability that it happen ………………..
2. The probability of getting odd number when a cubical dice is thrown ………………..
3. Total number of sample points when three coins are thrown are ………………..
4. It is given that the event A and B such that P(A) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(\(\frac { A }{ B }\)) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) and P(\(\frac { B }{ A }\)) = \(\frac { 2 }{ 3 }\), then P(B) = ………………..
5. If P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A ∩ B) = 0-16, then P(A’ ∩ B’) = ………………..
6. If two events A and B related to a random experiment are not mutually exclusive, then P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = ………………..
7. Probability of happening of an event and not happening are P (A) and P(A) respectively P(A) + P(\(\bar { A }\)) = ………………..
8. The number of sample space when two cubical dice are thrown is ………………..
9. If A and B are two mutually exclusive events and P(B) = 2 P(A) then the value of P(A) will be ………………..
10. If two dice are thrown simultaneously, then the probability of getting sum is 7 will be ………………..

Answer:

1. \(\frac { a }{ a + b }\)
2. \(\frac { 1 }{ 2 }\)
3. 8
4. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
5. 0.26
6. P(A) + P(B)
7. 1
8. 36
9. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
10. \(\frac { 1 }{ 6 }\)

(C) Write true / false :

1. If two coins are tossed together, then the probability of getting atleast one head is \(\frac { 3 }{ 4 }\).
2. From a pack of cards one card is drawn at random then the chance of getting knave \(\frac { 1 }{ 52 }\)
3. If tossing a coin once, then the probability of getting tail on the upper face is \(\frac { 1 }{ 2 }\)
4. If two dice are thrown simultaneously, then the probability of getting product 6 is \(\frac { 1 }{ 9 }\)
5. The odds favour in event is \(\frac { 3 }{ 4 }\), then the probability of happening is \(\frac { 4 }{ 7 }\)

Answer:

1. True
2. False
3. True
4. True
5. False

(D) Write answer in one word / sentence :

1. If two coins are tossed together, then the sample space will be?
2. From a well shuffled pack of 52 cards one card is drawn at random; find the probability it is a king.
3. Two dice are thrown simultaneously, find the probability getting sum is multiple of 3.
4. The odds in favour of an event is 3 : 5, then find the probability of not happening.
5. If A, B and C are three mutually exclusive even, then P(A ∪ B ∪ C) =

Answer:

1. {HT, HH, TH, TT}
2. \(\frac { 1 }{ 13 }\)
3. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
4. \(\frac { 5 }{ 8 }\)
5. P(A) + P(B) + P(C )

Probability Short Answer Type Questions

Question 1.
A coin is tossed twice, what is the probability that at least one tail occurs? (NCERT)
Solution:
Let S is the sample space, then
S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
n(S) = 4
Let E be the event of getting at least one tail, then
E = {(H, T), (T, H), (T, T)}
∴ n(E) = 3
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 3 }{ 4 }\)

Question 2.
There are four men and six women on the city council. If one council member is selected for a committee at random, then how likly is it that it is a woman?
Solution:
Let S is the sample space, then
n (S) = 10
Let E be the event that woman is selected, then
n(E) = 6
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\)
P(E) = \(\frac { 6 }{ 10 }\) = \(\frac { 3 }{ 5 }\)

Question 3.
If \(\frac { 2 }{ 11 }\) is the probability of an event A, then find what is the probability of the event is ‘not A’.
Solution:
Given that :
P(A) = \(\frac { 2 }{ 11 }\)
We know that,
P(A) + P(\(\bar { A }\)) = 1
\(\frac { 2 }{ 11 }\) + P(\(\bar { A }\)) = 1
P(\(\bar { A }\)) = 1 – \(\frac { 2 }{ 11 }\) = \(\frac { 11 – 2 }{ 11 }\)
P(\(\bar { A }\)) = \(\frac { 9 }{ 11 }\).

Question 4.
A box contain 10 red marbles, 20 blue marbles and 30 green marbles. 5 marbles are drawn from the box. What is the probability that: (NCERT)

1. All marbles will be blue.
2. At least one marble will be green.

Solution:
In the box, there are 10 red, 20 blue and 30 green marbles.
The No. of marbles = 10 + 20 + 30 = 60
1. Total ways of choosing 5 marbles out of 60 marbles,
n(S) = ⁶⁰C₅
Let E is the event of choosing blue marbles, then
n(E) = ²⁰C₅
Probability = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac{^{20} C_{5}}{^{60} C_{5}}\)

2. P(At least one green marble)
= 1 – P(No green)
= 1 – \(\frac{^{30} C_{5}}{^{60} C_{5}}\)

Question 5.
4 cards are drawn from a well shuffled deck of 52 cards. What is the probability of obtaining in card of 3 diamond and one spade?
Solution:
Let S is the sample space.
Total number of selecting 4 cards out of 52 cards, n(S) = ⁵²C₄
If E is the event obtaining card of 3 diamond and 2 spade, then
n(E) = ¹³C₃ x ¹³C₁
Probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac{^{13} C_{3} \times^{13} C_{1}}{^{52} C_{4}}\)

Question 6.
Given : P(A) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) and P(B) = \(\frac { 1 }{ 5 }\). If A and B are mutually exclusive events, then find P(A or B). (NCERT)
Solution:
A and B are mutually exclusive events.
∴ P (A or B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) + \(\frac { 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 3 + 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 7.
In a lottery, a person choose six different natural numbers at random from 1 to 20 and if there six numbers match with the six numbers already fixed by lottery committee, he wins the prize, what is the probability of winning the prize in the game? (Hint: Order of the numbers is not important) (NCERT)
Solution:
Let S is the sample space, then
n(S) = ²⁰C₆
= \(\frac { 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 }{ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 }\) = 38760
Only one prize can be win.
∴ n(E) = 1
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 38760 }\)

Question 8.
Two dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a sum 9 in a single throw.
Solution:
Total number of ways in which two dice may be thrown
= 6 x 6 = 36
∴ n(S) = 36
Event of getting sum 9 is A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(A) = 4
∴ Required probability P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 9 }\)

Question 9.
A bag contains 8 black, 6 white and 5 red balls. Find the probability of drawing a black or a white ball from it
Solution:
Total number of balls = 8 + 6 + 5 = 19
∴ n(S) = 19
Event A of drawing 1 black or 1 white ball
n(A) = 8 + 6 = 14
∴ n(A) = 14
∴ Required probability P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) }\) = \(\frac { 14 }{ 19 }\)

Question 10.
From a pack of well shuffled cards two cards drawn simultaneously. Find the probability that both the cards are ace.
Solution:
Total number of ways of drawing two cards out of 52
= ⁵²C₂
Number of ways drawing two ace out of 4 ace
= ⁴C₂
∴ Required Probability

Question 11.
A pair of dice are thrown. Find the probability that the sum is 9 or 11.
Solution:
Let the sample space be S, then
∴ n(S) = 36
Let E be the event that sum is 9 or 11, then
E = {(5, 4), (4, 5), (6, 3), (3, 6), (6, 5), (5, 6)}
∴ n (E) = 6
The probability of getting sum 9 or 11 is
P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 6 }{ 36 }\) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Hence, probability that the sum is not 9 or 11 is
P(\(\bar { E }\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac { 1 }{ 6 }\) = \(\frac { 5 }{ 6 }\)

Question 12.
In a city 20% persons read English newspaper, 40% persons read Hindi newspaper and 5% persons read both, then find the probability that the newspapers are not read.
Solution:
P(E) = The probability that persons read English newspapers = \(\frac { 20 }{ 100 }\)
p(H) = The probability that persons read Hindi newspapers = \(\frac { 40 }{ 100 }\)
P(E ∩ H) = The probability that persons read both the papers = \(\frac { 5 }{ 100 }\)
The probability that the newspapers are not read

Question 13.
In class XI of a school, 40% of the students study Mathematics and 30% study Biology. 10% of the class study both Mathematics and Biology. If a student is selected at random from the class, find the probability that he will be studying Mathematics or Biology. (NCERT)
Solution:
Let M and B denote the students of Mathematics and Biology respectively. Then, as given:
P(M) = 40% = \(\frac { 40 }{ 100 }\)
= P(B) = 30% = \(\frac { 30 }{ 100 }\)
P(M ∩ 5) = 10% = \(\frac { 10 }{ 100 }\)
∴ P(M ∪ B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)
\(\frac { 40 }{ 100 }\) + \(\frac { 30 }{ 100 }\) – \(\frac { 10 }{ 100 }\)
= \(\frac { 60 }{ 100 }\) = 60% = 0.6.

Question 14.
In an entrance test that is graded on the basis of two examinations, the probability of a randomly chosen student passing the first examination is 0.8 and the probability of passing the second examination is 0.7. The probability of passing at least one of them is 0.95. What is the probability of passing both? (NCERT)
Solution:
Let probability of passing in first examination is A and passing in the second examination is B.
P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(A ∪ B) = 0.95, P(A ∩ B) = ?
We know that,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.95 = 0.8 + 0.7 – P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = 1.5 – 0.95
∴ P(A ∩ B) = 0.55.

Probability Long Answer Type Questions

Question 1.
A letter is selected at random from the word ‘ASSASSINATION’. Find the probability that letter is

1. a vowel
2. a consonant

Solution:
Number of letters is 13 in which there are 6 vowels and 7 consonants.
1. Let sample space is S, then
∴ n(S) = 13
E₁ is the event of choosing a vowel, then
n(E₁) = 6
Hence, required probability P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\)
P(E₁) = \(\frac { 6 }{ 13 }\)

2. E₂ is the event of choosing a consonant, then
n(E₁) = 7
Hence, required probability P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\)

Question 2.
Check whether the following probabilities P{A) and P(B) are consistently defined: (NCERT)

1. P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
2. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8.

Solution:
1. Given : P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
If P(A ∩ B) ≤ P(A) and P(A ∩ B) ≤ P(B)
Then, P(A) and P(B) are consistent.
Here

P(A) and P(B) are not consistent.

2. Given : P(A) = 0.5, P(B) = 0 4, P(A ∪ B) = 0.8

∴ P(A) and P(B) are consistent.

Question 3.
In a class of 60 students, 30 opted for NCC, 32 opted for NSS and 24 opted for both NCC and NSS. If one of these students is selected at random, find the probability that:

1. The student opted for NCC or NSS.
2. The student has opted for neither NCC nor NSS.
3. The student has opted NSS but not NCC.

Solution:
Let A and B denote the students in NCC and NSS respectively.
Given : n(A) = 30, n(B) = 32, n(S) = 60, n(A ∩ S) = 24

1. P (Student opted for NCC or NSS)

2. P (Student has opted neither NCC nor NSS)

3. P (The student has opted NSS but not NCC)

Question 4.
From the employees of a company, 5 persons are selected to represent them in managing committee of the company. Particulars of five persons are as follows :

A person is selected at random from this group to act as a spokesperson. What is the probability that the spokesperson will be either male or over 35 years? (NCERT)
Solution:
Let A is the event that selected person is male and B be the event that selected person is over 35 years.

Hence, required probability
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac { 3 }{ 5 }\) + \(\frac { 2 }{ 5 }\) – \(\frac { 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 3 + 2 – 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 5.
A fair coin with 1 marked on one face and 6 on the other and a fair dice are both tossed. Find the probability that the sum of the numbers that turn up is: (NCERT)

1. 3
2. 12.

Solution:
The number of possible cases in coin = 2 Number of possible cases in dice = 6 Let S is the sample space, then
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 12
1. Let E is the event of coming sum of the numbers as 3, then
E = { 1, 2 }
∴ n(E) = 1
Required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 12 }\)

2. Let E’ is the event of coming sum of the numbers as 12, then E’ = (6, 6)
∴ n(E’) = 1
Required probability P(E’) = \(\frac { n(E’) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 12 }\)

Question 6.
In a certain lottery 10,000 tickets are sold and ten equal prizes are awarded. What is the probability of not getting a prize if you buy?

1. One ticket
2. Two tickets
3. 10 tickets.

Solution:
1. Buying one ticket:
Total tickets = 10,000
The tickets getting not prize = 10,000 – 10 = 9,990
Let S is the sample space, then
n(S) = ^10,000C₁ = 10,000
Let E₁ is the event of not getting prize on buying one ticket, then
n(E₁) = ^9,990C₁ = 9,990
∴ Required probability P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 9, 990 }{ 1, 000 }\) = \(\frac { 999 }{ 1, 000 }\)

2. On buying two tickets, then
n(S) = ^10,000C₂
Let E₂ is the event of not getting prize on buying two tickets, then
n(E₂) = ^9,990C₂
∴ Required probability P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 9, 990 }{ 1, 000 }\)

3. On buying 10 tickets, then
n(S) = ^10,000C₁₀
Let E₃ is the event of not getting prize on buying ten tickets, then
n(E₃) = ^9,990C₁₀
∴ Required probability P(E₃) = \(\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}\)

Question 7.
A bag contains 50 bolts and 150 nuts. Half of the bolts and nuts are rusted. If one item is taken out at random. Find out the probability that it is rusted or is a bolt.
Solution:
Let S be the sample space, then
∴ n (S) = 200, [∵ 50 bolt + 150 nuts = 200]
According to the question half of the bolts and nuts are rusted.
∴ Total rusted article = 25 + 75 = 100
Let E₁ is the event of drawing a rusted article.
Then, P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 100 }{ 200 }\)
Let E₂ is the event of drawing nuts.
Then, P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 50 }{ 200 }\)
In both the events E₁, and E₂, 25 rusted bolts are common.

Hence, required probability

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 7 Permutations and Combinations

Permutations and Combinations Important Questions

Permutations and Combinations Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
The correct relation between ⁿP_r and ⁿC_r is :
(a) ⁿC_r = \(\frac{[r}{^{n} P_{r}}\)
(b) ⁿC_r.ⁿP_r= 1
(c) ⁿC_r = \(^{n} P_{r} \times\lfloor r\)
(d) \(^{n} C_{r} \times\left\lfloor r=^{n} P_{r}\right.\)
Answer:
(d) \(^{n} C_{r} \times\left\lfloor r=^{n} P_{r}\right.\)

Question 2.
If ⁿC₂:ⁿC₄ = 2 : 1, then n = …………..
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
Answer:
(c) 5

Question 3.
How many words can be made by the letter of the word ‘COMMITEE’:

Answer:

Question 4.
If ⁿP₄ = 20 x ⁿP₃, then n =
(a) 20
(b) 21
(c) 18
(d) 23
Answer:
(d) 23

Question 5.
The number of different words that can be formed from the letter of the word ‘TRIANGLE’:
(a) 7200
(b) 36000
(c) 144000
(d) 1240.
Answer:
(b) 36000

Question 6.
In how many ways three person can be seated in 4 chairs :
(a) 42
(b) 20
(c) 24
(d) 12.
Answer:
(c) 24

Question 7.
If ¹⁵C_r = ¹⁵C_{r – 3} , then the value of ^rC₆ will be :
(a) 84
(b) 83
(c) 82
(d) 80.
Answer:
(a) 84

Question 8.
⁵C₀ + ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅ = ……………..
(a) 30
(b) 32
(c) 23
(d) 42
Answer:
(b) 32

Question 9.
The value of : \(\frac{1}{\lfloor- 4}\) will be :
(a) 0
(b) ∞
(c) 4
(d) 1.
Answer:
(a) 0

Question 10.
If ¹⁰P_r = 720, then the value of r will be :
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 3
Answer:
(d) 3

(B) Match the following :

Answer:

1. (d)
2. (a)
3. (f)
4. (b)
5. (c)
6. (e)

(C) Fill in the blanks :

1. The number of words can be made by the letters of the word ‘INDIA’ ……………
2. In order to invite 6 friends, the number of ways to send 3 servant is ……………
3. If ²⁰C_r = ²⁰C_y; x ≠ y, then the value of x + y will be ……………
4. The numbers of ways greater than 4000 can be made by the digits 2, 4, 5, 7 is ……………
5. If ¹²P_r = 1320, then r will be ……………
6. The number of ways can 8 friends be seated in a circular table is ……………
7. If ⁿC₈ = ⁿC₁₂, then n will be ……………

Answer:

1. 60
2. 4⁶
3. 20
4. 48
5. 3
6. 5040
7. 20

(D) Write true / false :

1. If ⁿC_r + ⁿC_{r + 1} = ^{n + 1}C_x, then x will be 6.
2. 5 letters be posted in 4 letter boxes in 5⁴ ways.
3. Fruit can be chosen from 5 guavas, 3 apples and 4 mangoes in 60 ways.
4. The number of ways can 8 friends stands in a row is 8.
5. The value of ⁿC_r ÷ ^{n – 1}C_ris \(\frac { n }{ r – 1 }\)

Answer:

1. True
2. False
3. False
4. True
5. False.

(E) Write answer in one word / sentence :

1. How many four digit numbers can be formed with the digits 2, 3, 4, 5 in these number divisible by 2?
2. How many ways can a garland be prepared with 6 flowers?
3. If 2.ⁿC₅ = 9.^{n – 2}C₅, then the value of n will be
4. Five points out of 15 points are collinear. If these points be joined, then how many triangles can be formed?
5. The value of will be?

Answer:

1. 12
2. 60
3. 10
4. 30
5. ⁵⁶C₄

Permutations and Combinations Short Answer Type Questions

Question 1.
If \(\frac{1}{\lfloor6}\) + \(\frac{1}{\lfloor7}\) = \(\frac{x}{\lfloor8}\), then find the value of x.
Solution:

Question 2.
Find the value of

(i) n = 6, r = 2 (ii) n = 9, r = 5
Solution:

Question 3.
If ^n-1P₃ : ⁿP₄ = 1 : 9, then find the value of n.
Solution:

Question 4.
IF ⁿP₅ : 42.ⁿP₃, then find the value of n.
Solution:
IF ⁿP₅ = 42.ⁿP₃, then find the value of n.
Solution:
Given:  ⁿP₅ = 42.ⁿP₃
⇒ n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) = 42n(n – 1)(n – 2)
⇒ (n – 3)(n – 4) = 42
⇒ n² – 7n – 30 = 0
⇒ n² – 10n + 3n – 30 = 00
⇒ (n – 10) (n + 3) = 0
n = 10, n ≠ – 3.

Question 5.
IF \(\frac{^{n} P_{4}}{^{n-1} P_{4}}\) = \(\frac { 5 }{ 3 }\), then find the value of n.
Solution:
Given : \(\frac{^{n} P_{4}}{^{n-1} P_{4}}\) = \(\frac { 5 }{ 3 }\)
⇒ 3.ⁿP₃ = 5.^n-1P₄
⇒ 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) = 5 (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)
⇒ 3n = 5 (n – 4)
⇒ n = 10.

Question 6.
If ⁿC₉ = ⁿC₈, then find the value of ⁿC₁₇.
Solution:

Question 7.
If ⁿP_n-2 = 60, then find the value of n.
Solution:

Question 8.
If ¹²P_r = 1320, then find the value of r.
Solution:

Question 9.
If ⁿC₁₄ = ⁿC₁₆, then find the value of ³²C_n.
Solution:
Given : ⁿC₁₄ = ⁿC₁₆
⇒ ⁿC₁₄ = ⁿC_16-1
⇒ 14 = n – 16
⇒ n = 30
∴ ³²C_n = ³²C₃₀ = ³²C₂
= \(\frac { 32.31 }{ 2 }\) = 496.

Question 10.
If ²⁰C_x = ²⁰C_y, then find the value of x + y.
Solution:
Given :
⇒ ²⁰C_x = ²⁰C_y
⇒ ²⁰C_x = ²⁰C_20-y
⇒ x = 20 – y
⇒ x + y = 20

Question 11.
In how many ways can 8 friends sit around a round table?
Solution:
Total number of ways of sitting 8 friends around table = \(\lfloor 8 – 1\) = \(\lfloor 7\)
= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5040.

Question 12.
In how many ways can a garland be prepared with 6 flowers?
Solution:
Ways of preparing the garlands with 6 flowers = \(\frac { 1 }{ 2 }\) \(\lfloor 6 – 1\)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) \(\lfloor 5\)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\).5.4.3.2.1 = 60.

Question 13.
How many numbers between 100 and 1000 can be formed with the digits 2, 3, 0, 4, 8, 9 if repetition of digits is not allowed in the same number?
Solution:
The numbers between 100 and 1000 are of three digits.
∴Number of three digits made from 6 digits will be ⁶P₃.
In this number which begins with 0 will be ⁵P₂.
∴Required number = ²⁰C_y – ⁵P₂ = 120 – 20 = 100.

Question 14.
How many words, with or without meaning can be formed using all the letters of the word EQUATION? (NCERT)
Solution:

Question 15.
How many chords can be drawn through 21 points on a circle? (NCERT)
Solution:
By joining two points we get one chord.
∴ No. of chords = ²¹C₂
= \(\frac { 21 x 20 }{ 2 x 1 }\)
= 210.

Question 16.
In how many ways can a team of 3 boys and 3 girls can be selected from 5 boys and 4 girls? (NCERT)
Solution:
Number of ways of selecting 3 boys from 5 boys and 3 girls from 4 girls will be
= ⁵C₃ × ⁴C₃
= \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1}\) × \(\frac { 4 × 3 × 2 }{ 3 × 2 × 1 }\)
= 10 x 4 = 40.

Permutations and Combinations Long Answers Type Questions

Question 1.
Find the number of ways of selecting 9 balls from 6 red balls, 5 white balls and 5 blue balls if each selection consists of 3 balls of each colour. (NCERT)
Solution:
Since, 3 red balls out of 6 red balls can be selected
= ⁶C₃ = \(\frac { 6 × 5 × 4 }{ 3 × 2 × 1}\) = 20
3 white balls out of 5 white balls = ⁵C₃ = \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1}\) = 10
and 3 blue balls out of 5 blue balls = ⁵C₃ = \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1}\) = 10
Total number of ways of selecting 9 balls = 20 x 10 x 10

Question 2.
Determine the number of 5 cards combinations out of a deck of 52 cards, if there is exactly one ace in each combination (NCERT)
Solution:
Number of ways of selecting one ace from 4 ace = ⁴C₁
Number of selecting 4 cards from 48 cards = ⁴⁸C₄
= \(\frac { 48 × 47 × 46 × 45 }{ 4 × 3 × 2 × 1}\)
Total number of ways = ⁴C₁ x ⁴⁸C₄
= 4 × = \(\frac { 48 × 47 × 46 × 45 }{ 4 × 3 × 2 × 1}\)
= 7, 78, 320.

Question 3.
In how many ways can one select a cricket team of eleven players from 17 players. In which only 5 players can bowl, if each cricket team of 11 must include exactly 4 bowlers? (NCERT)
Solution:
Out of 17 players, to select 11 players in which 5 bowlers and 12 batsman.
Out of 5 bowlers to select 4 bowlers = ⁵C₄ = 5
Out of 12 batsman to select 7 batsman = ¹²C₇
= \(\frac { 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 }{ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 }\)
= 11 × 9 × 8 = 792
∴ Number of ways selecting 11 players = 5 x 792 = 3960.

Question 4.
A bag contains 5 black and 6 red balls, determine the number of ways in which 2 black and 3 red balls can be selected. (NCERT)
Solution:
There are 5 black and 6 red balls.
Out of 5 black balls, 2 black balls can be =⁵C₂ = \(\frac { 5 × 4 }{ 2 × 1 }\) = 10
Out of 6 red balls, 3 red balls can be = ⁶C₃ = \(\frac { 6 × 5 × 4 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 20
∴ Total No. of ways = 10 x 20 = 200.

Question 5.
In how many ways can a student choose a program of 5 courses, if 9 courses are available and 2 specific courses are compulsory for each students? (NCERT)
Solution:
Number of available courses = 9.
Number of courses to choose = 5.
Compulsory courses = 2.
∴ Required number of ways = ^9-2C_5-2 = ⁷C₃
= \(\frac { 7 × 6 × 5 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 35.

Question 6.
How many words, with or without meaning each of 2 vowels and 3 consonants can be formed from the letters of the word DAUGHTER? (NCERT)
Solution:
There are 3 vowels and 5 consonants in DAUGHTER.
2 vowels out of 3 vowels = ³C₂ = \(\frac { 3! }{ 1!2! }\) = \(\frac { 3 × 2 }{ 2 × 1 }\)
3 consonants out of 5 consonats = ⁵C₃ = \(\frac { 5! }{ 2!3! }\) = \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 10
Arrangement of 2 vowels and 3 consonants = 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Question 7.
How many words, with or without menning can be formed using all the letters of the word EQUATION at a time so that the vowels and consonants occur together?
Solution:
Given word is EQUATION.
Vowels – E, U, A, I, O
Consonants – T, Q, N.
Arrangement of 5 vowels = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Arrangement of 3 consonants = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Arrangements of vowels and consonants = 2!
∴ Total No. of ways = 120 x 6 x 2! = 720 x 2 = 1440.

Question 8.
A committee of 7 members has to be formed from 9 boys and 4 girls. In how many ways can this be done when the committee consists of: (NCERT)

1. Exactly 3 girls
2. At least 3 girls
3. At most 3 girls.

Solution:
Total members in committee = 7
1. Selection of 3 girls and 4 boys in committee
= ⁴C₃ x ⁹C₄
= \(\frac { 4 × 3 × 2 × 1 }{ 3 × 2 × 1 }\) x \(\frac { 9 × 8 × 7 × 6 }{ 4 × 3 × 2 × 1 }\)
= 9 x 8 x 7 = 504.

2. Selection of minimum 3 girls in committee
= ⁴C₃ x ⁹C₄ + ⁴C₄ x ⁹C₃
= 504 + 1 x \(\frac { 9 × 8 × 7 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 504 + 84 = 588.

3. Selection of maximum 3 girls in a committee

Question 9.
How many different words can be formed by using the letters of the word ALLAHABAD, out of which in how many words vowels will come in even places? (NCERT)
Solution:
Total number of letters in ALLAHABAD = 9.
In which A = 4 times, L = 2 times.

= 9.8.7.3.5 = 7560.
Number of even places are = 4 and odd places = 5. Hence we can put A only in 4 places and rest 5 letters L, L, H, B, D in 5 odd places inways.

Question 10.
In how many ways can a cricket team of eleven can be formed from 14 players? Which win always have :

1. Captain is always taken.
2. When two fast bowlers are always taken?

Solution:
1. When captain is always taken (11 – 1) from (14 – 1) players.
= ¹³C₁₀ = ¹³C₃
= \(\frac { 13.12.11 }{ 3.2.1 }\) = 286.

2. When two fast bowlers are always taken = ¹²C₉ = ¹²C₃
= \(\frac { 12.11.10 }{ 3.2.1}\)

Question 11.
In how many ways committee of 5 members can be formed out of 6 men and 4 women ? If the committee has : (i) Only one woman, (ii) At least one woman.
Solution:
(i) Only one woman out of 4 women and 4 men out of 6 men.
No. of ways = ⁶C₄ x ⁴C₁
= ⁶C₂ x 4
= \(\frac { 6 × 5 × 4 }{ 2.1 }\) = 60

(ii) Atleast one woman :

Hence, total No. of ways = 60 + 120 + 60 + 6 = 246.

Question 12.
If ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 12 : 1,then find the value of it. (NCERT)
Solution:

Question 13.
If ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1, then find the value of it. (NCERT)
Solution:

Question 14.
Prove that:

Solution:

Question 15.
Prove that:
²ⁿP_n = 2ⁿ{1.3.5 …………. (2n – 1)}.
Solution:

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 2 वात्सल्य

वात्सल्य अभ्यास

वात्सल्य अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बालक कृष्ण के रुचिकर व्यंजन क्या हैं? (2017)
उत्तर:
बालक कृष्ण के रुचिकर व्यंजन मक्खन, मिश्री, दही एवं बेसन से बने हुए स्वादिष्ट पदार्थ हैं।

प्रश्न 2.
‘मनहुँ नील नीरद बिच सुन्दर चारु तड़ित तनु जोहे’ की उत्प्रेक्षा को लिखिए।
उत्तर:
इस पंक्ति में राम के शरीर की सुन्दरता को नीचे बादल के मध्य चमकने वाली बिजली के सदृश कल्पना कल्पित की गयी है। मनहुँ वाचक शब्द का प्रयोग है।

प्रश्न 3.
माता कौशल्या बालक राम की नजर उतारने के लिए क्या-क्या उपक्रम करती हैं? (2015, 16)
उत्तर:
माता कौशल्या बालक राम की नजर उतारने के लिए दो-दो डिठौने अर्थात् नजर के काले टीके लगाती हैं।

वात्सल्य लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
कृष्ण के बाल रूप को किस प्रकार अलंकृत किया गया है?
उत्तर:
सूरदाज जी ने कृष्ण के बाल रूप का वर्णन मनोवैज्ञानिक एवं स्वाभाविक किया है। उन्होंने बताया है कि बालकृष्ण ने अपने मुख में मिट्टी का लेप कर लिया है। मस्तक पर रोली का तिलक है। उनके बालों की सुन्दर लट लटक रही है। उदाहरण देखें-
“घुटुरुवन चलन रेनु मंडित मुख में लेप किये।
चारु कपोल लोल लोचन छवि-गौरोचन को तिलक दिये।
लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।”

प्रश्न 2.
प्रस्तुत पदों में बाल स्वभाव की कौन-कौन सी प्रवृत्तियाँ प्रकट हुई हैं?
उत्तर:
प्रस्तुत पदों में बाल स्वभाव की विभिन्न मनोवृत्तियों का चित्रण किया गया है-
(1) बाल वृत्तियों का चित्रण-बालक कृष्ण नन्द जी की उँगली पकड़कर चलना सीखते हैं-
“गहे अंगुरिया तात की नन्द चलन सिखावत।”

कभी बालक कृष्ण नन्द जी की गोद में बैठकर भोजन करते हैं। देखें-
“जेंवत श्याम नन्द की कनियाँ।”

उनको कौन-कौन से भोज्य पदार्थ रुचिकर लगते थे और वे उन्हें किस प्रकार खाते थे। देखें-
बरी बरा बेसन बहु भांतिन व्यंजन विविध अनगनियाँ
मिश्री दधि माखन मिश्रित करि मुख नावत छविधनियाँ।

(2) बालक कृष्ण की खीझ का वर्णन :
सूर ने बालक कृष्ण की छोटी-छोटी बातों का सुन्दर वर्णन किया है। बच्चे खेल में परस्पर लड़ते-झगड़ते हैं और एक-दूसरे से रूठ जाने पर अपनी माँ से शिकायत करते हैं। माँ बच्चे की बात सुनती है और उसे समझाती है। तब बालक प्रसन्न हो जाता है। इस पद में देखें कृष्ण नन्द बाबा से बलदाऊ की शिकायत करके कह रहे हैं-
“खेलन अब मोरी जात बलैया।
जबहि मोहि देखत लरिकन संग तबहि खिझत बलभैया।
मोसों कहत पूत वसुदेव को देवकी तेरी मैया।
मोल लियौ कछु दै वसुदेव को करि-करि जतन बटैया॥”

(3) बाल हठ का चित्रण- बच्चों की नासमझी का चित्रण सूरदास ने किया है। बालक अबोध होता है उसे यह नहीं मालूम है कि क्या वस्तु खेलने की है। बालक कृष्ण देखिये किस प्रकार चाँद खेलने के लिए माँग रहे हैं-
“मैया मैं तो चन्द खिलौना लैहों।
जैहों लोटि धरनि पर अबहीं तेरी गोद न ऐहौं।”

जब माँ बालक को प्रलोभन देकर कहती है कि मैं तेरे लिए दुल्हन ला दूंगी तो उस माँग को भी बिना समझे तुरन्त पूरी करने को कहते हैं। देखें-
“तेरी सौं मेरी सनि मैया, अबहिं बियावन जैहों।”

प्रश्न 3.
बालकृष्ण खेलते समय कौन-कौन सी क्रीड़ाएँ करते हैं? (2014)
उत्तर:
बालक कृष्ण खेलते समय अपने मुख पर मिट्टी का लेप लगा लेते हैं। बालक कृष्ण छोटी-छोटी बातों पर चिढ़ जाते हैं। जब बलराम उनसे कहते हैं तू तो मोल का लिया है, तब वे खिसियाकर उठकर चल देते हैं। अपने साथियों से कह देते हैं कि सब मुझे चिढ़ाते हैं, अब मैं कभी नहीं खेलूँगा। उदाहरण देखें-
“ऐसेहि कहि सब मोहि खिझावत तब उठि चलौ सिखैया।”

प्रश्न 4.
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर के अनुसार बालक राघव की छवि का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर ने बालक राघव की छवि का वर्णन इस प्रकार किया है
बालक राम अपनी माँ की गोद में हैं। वे धूल से लिपटे हुए भी बहुत सुन्दर लग रहे हैं। इस उदाहरण में देखें-
“राघव जननी अंक बिराजत।
नख सिख सुभग धूरि धूसर तनु चितइ काम सत लाजत॥”

श्री राम भद्राचार्य गिरिधर ने कहा है कि राम के सौन्दर्य के समक्ष कामदेव फीके पड़ गये, उनका सौन्दर्य पूर्व दिशा में उदित हुए चन्द्रमा के सदृश है। देखें-
प्राची दिशि जनु शरद सुधाकर, पूरन है निकसे।

राघव की प्रशंसा में अन्य उदाहरण देखिये-
“शरद शशांक मनोहर आनन दैतुरिन लखि मन मोहे।
मनहुँ नील नीरद बिच सुन्दर चारु तड़ित तनु जोहे।

इस प्रकार राघव के सौन्दर्य का वर्णन परिवार पर केन्द्रित है। कवि का कथन है ऐसी छवि को निहारने के लिए उसके हृदय रूपी नेत्र आतुर हैं।

प्रश्न 5.
माता कौशल्या की प्रसन्नता को अपने शब्दों में व्यक्त कीजिए। (2009)
उत्तर:
माता कौशल्या राम के सुन्दर रूप को देखकर प्रसन्न होती हैं। जब श्रीराम किलकारी मारकर हँसते हैं। उस समय माँ कौशल्या आँचल की ओट से अपने पुत्र को हँसते हुए देखकर आनन्द का अनुभव करती हैं।

जब श्रीराम की तोतली बोली माँ कौशल्या सुनती हैं तो उनका हृदय पुलकित हो उठता है। श्रीराम जब ठुमक ठुमक कर डगमगाते हुए चलते हैं तब माता कौशल्या चुटकी बजा-बजा कर राम को बुलाती हैं और हँसती हैं तथा अपूर्व आनन्द का अनुभव करती हैं। उदाहरण देखिये-
किलकत चितइ चहूँ दिसि विहँसत तोतरि वचन सुबोलत।
ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत।
निरखि चपल शिशु चुटकी दै दै हँसि हँसि मातु बुलावे।

माँ कौशल्या रंग-बिरंगे खिलौने देती हैं व विभिन्न प्रकार से राम को भोजन कराने का प्रयास करती हैं। इन सभी कार्यों में एक माँ को जो अपूर्व आनन्द का अनुभव होता है, वह अवर्णनीय है। माँ की प्रसन्नता का अन्य उदाहरण देखें-
आँचर ढाँकि बदन विधु सुन्दर थन पय पान करावति।
कहति मल्हाइ खाहु कछु राघव मातु उछाइ बढ़ावति।

इस प्रकार श्री रामभद्राचार्य गिरिधर ने राघव की विभिन्न बाल लीलाओं के द्वारा माँ कौशल्या के हृदय की प्रसन्नता को व्यक्त किया है।

वात्सल्य दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बालक कृष्ण चन्द्र खिलौना लेने के लिए क्या-क्या हठ करते हैं?
उत्तर:
बालक कृष्ण जब चन्द्रमा लेने की हठ करते हैं तो वे माँ यशोदा से कहते हैं कि माँ मैं तो आकाश में दिखने वाले इस चन्द्रमा से ही खेलूँगा। वे चाँद को पाने के लिए मचलने लगते हैं वे माँ यशोदा को धमकी देते हैं, कि यदि वे चाँद खेलने के लिए नहीं देंगी तो वे भूमि पर लोट जायेंगे तथा यशोदा के पुत्र नहीं कहलायेंगे। परन्तु माँ उन्हें चाँद से भी सुन्दर दुलहनियाँ लाकर देने को कहती हैं।

इस बात को सुनते ही बालक कृष्ण विवाह करने के लिए मचल उठते हैं। माँ यशोदा तो बालक को बहलाने का प्रयत्न कर रही थीं लेकिन कृष्ण तो विवाह की तैयारी में लग जाते हैं। माँ के लिए चाँद जैसा खिलौना तो दुर्लभ था अतः वे जल के पात्र में चाँद का प्रतिबिम्ब दिखाकर बालक कृष्ण को बहलाने का प्रयत्न करती हैं।

प्रश्न 2.
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर के पदों में बाल छवि का जो रूप उभरा है, उसे अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तर:
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर ने अपने पदों में बालक श्रीराम की बाल चेष्टाओं का सुन्दर एवं सटीक वर्णन किया है। उन्होंने प्रभु राम के बचपन की सुन्दर झाँकी प्रस्तुत की है। देखिये जब प्रभु राम अपनी माँ कौशल्या की गोद में हैं; वे कितने सुन्दर लग रहे हैं-
राघवजू जननी अंक लसे। प्राची दिशि जनु शरद सुधाकर, पूरन है निकसे।

शारीरिक सौन्दर्य का वर्णन करते समय बताया है कि उनके अंगों पर किस प्रकार के आभूषण हैं। उदाहरण देखें-
“भाल तिलक सोहत श्रुति कुण्डल दृग मनसिज सरसे।

इस प्रकार राम का सौन्दर्य अपूर्व है। माँ कौशल्या को हर पल यह चिन्ता रहती है कि कहीं मेरे पुत्र के अपूर्व सौन्दर्य को किसी की नजर न लग जाये। इसके लिये माँ बार-बार ईश्वर से प्रार्थना करती हैं। वे कहती हैं कि हे ईश्वर मेरे पुत्र दीर्घायु हों। उदाहरण देखें-
“नजर उतारि झिगुनि जनि फेकहुँ हरिहि निहोरि बुलावति।”

उन्हें बुरी नजर से बचाने के लिये दो-दो डिठौने लगाती हैं। वे ईश्वर से अपने पुत्र के लिए आशीष माँगती हैं। माँ कौशल्या प्रभु राम को भाइयों एवं मित्रों के साथ मिलकर खेलने के लिए कहती हैं। उदाहरण देखें-
“खेलहु अनुज सखन्ह मिलि अंगना प्रभुहि उपाय सुझावति।”

वे राम को उत्साहपूर्वक खाद्य पदार्थ खिलाने का प्रयास करती हैं। राम के मना करने पर वे उन्हें विभिन्न प्रकार के प्रलोभन देकर मनाती हैं। वे राम को गोद में लेकर प्यार करती हैं और दुलारते हुए दूध भी पिलाती हैं। राम के इन कार्यों को करके माँ कौशल्या अपूर्व आनन्द का अनुभव करती हैं।

माँ कौशल्या बालक श्रीराम को उनकी रुचि के अनुरूप रंग-बिरंगे खिलौने देकर उन्हें प्रसन्न करने का प्रयत्न करती हैं। वास्तव में श्री राम भद्राचार्य गिरिधर ने चर्म चक्षुओं की अनुपस्थिति के बावजूद भी राम की बाल लीलाओं का सुन्दर एवं हृदयहारी वर्णन किया है। राम के बाल रूप में इतना सुन्दर चित्रण अन्य किसी भी कवि ने करने का प्रयास नहीं किया है।

प्रश्न 3.
वात्सल्य के पदों में बालक राम और बालक कृष्ण की समानताओं पर प्रकाश डालिए।
उत्तर:
वात्सल्य के पदों में बालक राम और बालक कृष्ण के पदों में निम्न समानताएँ हैं-
बाल छवि का समान वर्णन :
जिस प्रकार सूरदास ने बालक कृष्ण की बाल लीला का वर्णन किया है, कि वे घुटनों के बल किस प्रकार चलते हैं। इसका उदाहरण देखें-
घुटुरुवन चलत रेनु मंडित मुख में लेप किये।

इसी प्रकार श्री रामभद्र गिरिधर ने श्रीराम के ठुमककर चलने का वर्णन किया है-
ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत।

इन दोनों के वर्णन में अन्य साम्य इस प्रकार हैं। उदाहरण देखें-
“गहे अंगुरिया तात की नंद चलन सिखावत”

कृष्ण और राम के खाने के वर्णन में समानता है-
“जेंवत श्याम नन्द की कनियाँ”
कछुक खात कछु धरनि गिरावत छवि निरखत नंदरनियाँ।

इस प्रकार राम के खाने का वर्णन है। उदाहरण देखें-
“कहति मल्हाइ खाहु कछु राघव मातु उछाइ बढ़ावति”

इसी प्रकार दोनों के खेलने में भी साम्य है। उदाहरण देखें-
“खेलन अब मेरी जात बलैया।
मैया मैं तो चन्द्र खिलौना लैहों।”

इसी प्रकार श्रीराम के खेलने का वर्णन है-
“खेलहु अनुज सखन्ह मिलि अंगना प्रभुहिं उपाय सुझावति।”

इसी प्रकार बालक कृष्ण की माँ और राम की माँ के हृदय की प्रसन्नता का वर्णन है। देखें-
“नन्द यशोदा बिलसत सोनहि तिहं भुवनियाँ।”

इसी प्रकार राम का वर्णम है-
“राघव निरखि जननि सुख पावति।”
इस प्रकार श्रीराम और कृष्ण के वर्णन में यही समानताएं हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित काव्यांशों की प्रसंग सहित व्याख्या कीजिए
(अ) हँसि समझावति कहति जसोमति नई दलनियाँ देहों।
(आ) खेलन अब मेरी जात बलैया।
जबहि मोहि देखत लरिकन संग तबहि खिझत बलभैया॥
मौसौं कहत पूत वसुदेव को देवकी तेरी मैया।
मोल लियो कछु दे वसुदेव को करि करि जतन बटैया॥
(इ) राघव जननी अंक विराजत।।
नख सिख सुभग धूरि धूसर तनु चितई काम सत लाजत॥
ललित कपोल उपरि अति सोहत द्वैवै असित डिठौना।
जनु रसाल पल्लव पर बिलसत द्वै पिक तनय सलौना॥
उत्तर:
उपर्युक्त पद्यांशों की सप्रसंग व्याख्या सन्दर्भ प्रसंग सहित पद्यांशों की व्याख्या’ भाग में देखें।

वात्सल्य काव्य सौन्दर्य

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों में तत्सम और तद्भव शब्द पहचान कर लिखिए
नवनीत, हिये, लिये, कपोल, अंगुरिया, धरणि, कान्ह, दधि, माखन, भैया, मैया, पूरन, धूरि, गोद, शरद, माल।
उत्तर:
तत्सम शब्द :
नवनीत, लिये, कपोल, धरणि, दधि, गोद, शरद।

तद्भव शब्द :
हिये, अंगुरिया, कान्ह, माखन, भैया, मैया, पूरन, धूरि, माल।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पंक्तियों में अलंकार पहचान कर लिखिए-
(अ) लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।
(आ) बार-बार बकि श्याम सों कछु बोल बकावत।
(इ) जो रस नन्द यशोदा बिलसत सो नहिं तिहं भुवनियाँ।
(ई) मनहुँ इन्दु मण्डल विच अनुपम मन्मध बारिज से।
(उ) ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत।
उत्तर:
(अ) उत्प्रेक्षा अलंकार
(आ) अनुप्रास अलंकार
(इ) अतिशयोक्ति अलंकार
(ई) उत्प्रेक्षा अलंकार
(उ) अनुप्रास अलंकार।

प्रश्न 3.
अधोलिखित काव्यांश में काव्य-सौन्दर्य लिखिए
(अ) है हौं पूत नंद बाबा को तेरो सुत न कहैहों।
आगे आऊ बात सुनि मेरी बलदेवहिं न जनैहों।
(आ) खेलत शिशु लखि मुदित कोसिला झाँकत आँचर से।
यह शिशु छबि लखि लखि नित ‘गिरधर’ हृदय नयन तरसे।
(इ) गोद सखि चुप चारि दुलारति पुनि पालति हलरावति।
आँचर ढाँकि बदन विधु सुन्दर थन पय पान करावति ।।
उत्तर:
(अ) (1) ब्रजभाषा का प्रयोग है।
(2) पुत्र का पिता के प्रति अनुरागमय चित्रण है।
(3) वात्सल्य रस की सजीव झाँकी है।
(4) अनुप्रास अलंकार है क्योंकि-आगे आऊ शब्द में अ’ वर्ण की आवृत्ति है।
(5) गुण-माधुर्य है।

(आ) (1) ब्रजभाषा का प्रयोग है, जैसे-कोकिला, झाँकत, आँचल।
(2) माँ का पुत्र के प्रति अमिट प्रेम अवलोकनीय है। वात्सल्य रस है।
(3) आँचल से झाँकने में मातृ हृदय की मार्मिक झाँकी है।
(4) अनुप्रास अलंकार का प्रयोग है-
लखि-लखि-लखि में ‘ल’ वर्ण की आवृत्ति है।
‘हृदय नयन’ में रूपक अलंकार है।
(5) गुण-माधुर्य है।

(इ) (1) ब्रजभाषा का प्रयोग है, जैसे-चुचुकारि, दुलराति, पुनपालति, हलरावति।
(2) बदन, विधु सुन्दर में उपमा अलंकार है।
(3) पय पान करावति में मातृ हृदय का प्रेम व्यंजित है।
(4) रस वात्सल्य है।

प्रश्न 4.
सूर वात्सल्य रस का कोना-कोना झाँक आए हैं। उदारण देकर समझाइए।
उत्तर:
सूरदास को वात्सल्य रस का सम्राट कहा जाता है। उसका प्रमुख कारण सूर के काव्य में शृंगार रस के साथ-साथ बालक श्रीकृष्ण के अनुपम सौन्दर्य की सुन्दर झाँकी मिलती है।
(1) विस्तृत बाल वर्णन-सूरदास जी ने अपने काव्य में वात्सल्य का विस्तृत चित्रण किया है। उनका यह वर्णन बालक कृष्ण के जन्म के पश्चात् प्रारम्भ हो जाता है। उन्होंने बालक कृष्ण के पालने में झूलने का वर्णन किया है। इसके उपरान्त बालक कृष्ण का घुटनों चलने का, देहली को लाँघने को, बालकों के साथ मक्खन, दही चुराने का सजीव वर्णन है।

इसके अतिरिक्त बाल कृष्ण गाय चराने जाते हैं, ग्वाल-वालों के साथ हँसी मजाक करते हैं। खेलते समय खिसियाकर खेल छोड़कर भाग जाते हैं। इसके अतिरिक्त माँ यशोदा से चाँद खिलौना लेने की हठ करते हैं। सूरदास ने इन्हीं सब बाल वृत्तियों का सुन्दर चित्रण किया है उदाहरण देखें जैसे, यशोदा जब पालने में श्रीकृष्ण को झूला झुलाती है तो वे गाती हैं-
“यशोदा हरि पालने झुलावै”

जब कृष्ण खेलने जाते हैं और बलराम उन्हें यह कहकर खिझाते हैं कि तू तो मोल का लिया है। इस बात को सुनकर वे अपनी माँ यशोदा से इस प्रकार शिकायत करते हैं
“मोसों कहत तात वसुदेव को देवकी तेरी मैया …..”
ऐसेहि कहि सब मोहि खिझावत तब उठि चलौ सिखैया।

(2) बाल लीलाओं का सजीव अंकन :
सूरदास जी ने बाल कृष्ण की बाल लीलाओं का सजीव अंकन किया है। उन्होंने कहा है बाल कृष्ण अपनी माता यशोदा से चाँद खिलौना माँग रहे हैं और वे हठ करते हैं कि यदि वे उन्हें चाँद खेलने के लिये नहीं देंगी तो वे भूमि पर लोट जायेंगे, उनके पुत्र भी नहीं कहायेंगे व दूध भी नहीं पियेंगे। उदाहरण देखें-
“मैया मैं तो चन्द खिलौना लैहों।
जैहौं लेटि धरनि पर अबहीं तेरी गोद न ऐहौं।

इसके अतिरिक्त जब माँ यशोदा कृष्ण से कहती है वे चाँद से भी सुन्दर दुल्हन ला देंगी, तो वे तुरन्त विवाह की हठ इस प्रकार करते हैं-
तेरी सौं मेरी सुनि मैया, अबहि बियावन जैहों।”
इस प्रकार की विभिन्न बाल चेष्टाओं का वात्सल्य रस में वर्णन है।

प्रश्न 5.
“सूर की भाषा में ग्रामीण बोली का माधुर्य है।” सूर की भाषा की विशेषताएँ लिखते हुए इस कथन की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
सूर की भाषा में यथास्थान प्रचलित शब्दों का व ग्रामीण शब्दों का यत्र-तत्र प्रयोग हुआ। सूर की भाषा में प्रसाद तथा माधुर्य गुण की प्रचुरता है। सूरदास जी ने अपनी भाषा में मुहावरे एवं लोकोक्तियों का प्रयोग किया है। उनके सभी पद गेय हैं।

सूरदास जी ने साधारण बोलचाल की भाषा को अपनी सुन्दर भाव भूमि से सजाया, सँवारा एवं साहित्यिक रूप प्रदान किया है। उन्होंने अनुप्रास, यमक, श्लेष, उपमा, रूपक, उत्प्रेक्षा आदि अलंकारों का प्रयोग किया है।

अनुप्रास अलंकार का उदाहरण देखें-
“बार बार बकि श्याम सों कछु बोल बकावत।”

उत्प्रेक्षा का उदाहरण देखें-
“लर लटक मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।”

ग्रामीण भाषा का अन्य उदाहरण देखें-
डारत खाट लेट अपने कर रुचि मानत दधि दनियाँ।
मिश्री दधि माखन मिश्रित करि मुख नावत छवि धनियाँ॥

सूरदास जी ने अपनी भाषा में सरल, सहज एवं स्वाभाविक शब्दों का प्रयोग किया है। उन्होंने तुकबन्दी का भी प्रयोग यथास्थान किया है। उदाहरण देखें-
हँसि समुझावति कहति जसोमति, नई दुलनियाँ दैहों।
तेरी सौं मेरी सुनि मैया, अबहि बियावन जैहों।

इस प्रकार सूरदाज जी की भाषा माधुर्य गुण से परिपूर्ण है। उन्होंने यथास्थान प्रचलित शब्दों का भी प्रयोग किया है। वास्तव में, सूरदास जी ने अपनी भाषा को भावों के अनुरूप ही प्रयोग किया है। सूरदास जी ने वात्सल्य रस का प्रयोग भी किया है।

प्रश्न 6.
संकलित काव्यांश में से एक उदाहरण देकर उसमें निहित रस तथा विभिन्न अंगों को समझाइए।
उत्तर:
सोभित कर नवनीत लिए।
घुटुरुवन चलत रेनु तन मंडित मुख में लेप किए।
चारु कपोल लोल लोचन छवि गौरोचन को तिलक दिए।
लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिए ।।
कठुला के वज्र केहरि नख राजत है सखि रुचिर हिए।
धन्य सूर एकौ पल यह सुख कहा भयो सत कल्प जिए॥

रस – वात्सल्य
स्थायी भाव – स्नेह, अनुराग
संचारी भाव – हर्ष
अनुभाव – घुटनों चलना, लोचनों की चपलता आदि
विभाव-आश्रय – श्रीकृष्ण
आलम्बन – धूल भरा हुआ तन।

प्रश्न 7.
काव्य में माधुर्य गुण की श्रृंगार, वात्सल्य और शांत रस में सुन्दर अभिव्यक्ति हुई है। माधुर्य गुण में मधुर शब्द योजना और सरल प्रवाह देखते ही बनता है। देखिए-कंकन, किंकन, नूपुर, धुनि, सुनि।
इसी प्रकार की सुन्दर, सहज, मधुर शब्द योजना के कुछ अंश इस पाठ से छाँटकर लिखिए।
उत्तर:
(1) लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिए।
(2) बरी बरा बेसन बहु भाँतिन व्यंजन।
(3) ठुमकि ठुमकि रुनझुन धुन सुनि।
(4) शरद शशांक मनोहर आनन।
(5) गोद राखि पुचकारि दुलारति।

कृष्ण की बाल लीलाएँ भाव सारांश

महाकवि सूरदास का भक्तिकालीन कवियों में शीर्ष स्थान है। कवि ने श्रीकृष्ण की बाल लीलाओं को जो झाँकी उतारी है वह हिन्दी काव्य में अन्यत्र मिलना दुर्लभ है। बाल चेष्टाओं का वर्णन भी यत्र-तत्र काव्य के पृष्ठों में अंकित है।
कृष्ण की बाल लीलाओं में घुटनों के बल चलना, मक्खन को मुँह पर मलना, आदि ऐसी चेष्टाएँ हैं जो आनन्ददायक एवं सुख देने वाली हैं। नंद बाबा कृष्ण की उंगली पकड़ कर चलना सिखाते हैं तो कहीं कृष्ण बोलने का प्रयत्न करते हैं। पुत्र को इस प्रकार की चेष्टाओं को निहार कर यशोदा माँ आनन्द से अभिभूत हो जाती हैं।

कृष्ण का सखाओं के साथ खेलना तथा खेलते समय बलदाऊ का उन्हें खिझाना बाल्यकाल के जीवन की मनोरम झाँकी हैं। यह सूर के बालकृष्ण, नन्द एवं यशोदा को अपने अलौकिक क्रिया-कलापों से मंत्र मुग्ध कर देते हैं।

कृष्ण की बाल लीलाएँ संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] शोभित कर नवनीत लिये। घुटुरुवन चलत रेनु मंडित मुख में लेप किये।।
चारु कपोल लोल लोचन छवि गौरोचन को तिलक दिये।
लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।।
कठुला के वज्र केहरि नख राजत है सखि रुचिर हिये।
धन्य ‘सूर’ एकौ पल यह सुख कहा भयो सत कल्प जिये।। (2015)

शब्दार्थ :
कर = हाथ; नवनीत = मक्खन; घुटुरुवन = घुटनों के बल; रेनु = मिट्टी; चारु = सुन्दर; कपोल = गाल; लोचन = नेत्र; मधुप = भौंरा; गौरोचन – रोली का टीका; तिलक = टीका; मत्त = मस्त; वज्र = कठोर; केहरि = केसरी, सिंह; हिये – हृदय; पल = क्षण; सत = सौ; लर = बालों की लट।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्य वात्सल्य’ पाठ के श्रीकृष्ण की बाल लीलाएँ’ शीर्षक से अवतरित है। इसके रचयिता महाकवि सूरदास जी हैं।

प्रसंग :
इस पद में श्रीकृष्ण की बाल लीलाओं की मनोरम झाँकी प्रस्तुत की गई है।

व्याख्या :
बालक श्रीकृष्ण अपने हाथ में मक्खन लिए हुए अत्यन्त ही शोभायमान एवं आकर्षक प्रतीत हो रहे हैं। वह अपने आँगन में घुटनों के बल चल रहे हैं, अपने मुख में मिट्टी का लेप किये हुए हैं। उनके गाल सुन्दर हैं, नेत्र चंचल हैं, गौरोचन (रोली का टीका) मस्तक पर शोभायमान हो रहा है। उनके मुख पर बालों की लटें इस प्रकार सुशोभित हो रही हैं मानो मतवाले भँवरों का समूह उनकी सुन्दरता का रसपान कर रहा है। हे सखि ! उनके सुन्दर हृदय पर कठुला (गले में पड़े धागे में) बज्र के सदृश कठोर सिंह का नाखून शोभित है। सूरदास जी कहते हैं ऐसी सुन्दर छवि को एक पल निहारकर भी जीवन धन्य है। सौ कल्प जीवित रहना भी इसकी अपेक्षा श्रेष्ठ नहीं है।

काव्य सौन्दर्य :

1. श्रीकृष्ण की बाल छवि का सुन्दर वर्णन है।
2. वात्सल्य रस है।
3. अलंकार की छटा दर्शनीय है, जैसे-लोल, लोचन; लर लटकन में अनुप्रास अलंकार है, मानो मत्त मधुप गन में उत्प्रेक्षा अलंकार है।
4. गुण-माधुर्य है।
5. भाषा ब्रजभाषा है।

[2] गहे अंगुरिया तात की नंद चलन सिखावत।
अरबराई गिरि परत हैं कर टेकि उठावत।।
बार बार बकि श्याम सों कछु बोल बकावत।
दुहंधा दोउ दंतुली भई अति मुख छवि पावत।।
कबहुँ कान्ह कर छाड़ि नंद पग द्वै करि धावत।
कबहुँ धरणि कर बैंठ के मन महं कछु गावत।।
कबहुँ उलटि चलै धाम को घुटरुन करि धावत।
‘सूर’ श्याम मुख देखि महर मन हर्ष बढ़ावत।।

शब्दार्थ :
गहे = पकड़कर; अंगुरिया = उँगलियाँ; तात = पिता; गिरि = पर्वत; कर = हाथ; दोउ= दोनों; पग = पैर; धावत = दौड़ना; धाम = गृह, घर; महर = ब्रज में प्रतिष्ठित स्त्रियों के लिए आदरसूचक शब्द; हर्ष = प्रसन्नता; बढ़ावत = बढ़ाते हैं।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्यांश में श्रीकृष्ण का पैरों से चलना सीखने का वर्णन है। नन्द जी श्रीकृष्ण के बाल सौन्दर्य एवं लीलाओं को देखकर प्रसन्नता का अनुभव कर रहे हैं।

व्याख्या :
श्रीकृष्ण जी ने पिता नन्द की उँगली पकड़ी हुई है और श्री नन्द जी बालक श्रीकृष्ण को चलना सिखाते हैं। वे चलते समय डगमगाकर धरती पर गिर जाते हैं। नन्द जी अपने हाथ का सहारा देकर उठाते हैं। वे बार-बार बातें करके श्रीकृष्ण से कुछ न कुछ बुलवाने का प्रयास करते हैं। उनके दुधमुंहे दो दाँतों की पंक्तियाँ मुख में अत्यन्त ही सुशोभित हो रही हैं। कभी श्रीकृष्ण नन्द जी का हाथ छोड़कर दो पग दौड़ने का प्रयास करते हैं। कभी धरती पर बैठ करके मन ही मन कुछ गाते हैं।

कभी उलटी ओर घुटनों के बल घर को दौड़कर जाते हैं। सूरदास जी कहते हैं श्रीकृष्ण के ऐसे सुन्दर मुख को देखकर माँ यशोदा अत्यन्त प्रसन्नता का अनुभव करती हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. बालक कृष्ण की बाल छवि का वर्णन है।
2. बार-बार बकि श्याम-बोल बकावत में अनुप्रास अलंकार है।
3. सिखावत, उठावत, धावत, पावत आदि ब्रजभाषा के शब्दों का प्रयोग है।
4. वात्सल्य रस है।

[3] जेंवत श्याम नंद की कनियाँ।
कछुक खात कछु धरनि गिरावत छवि निरखत नंदरनियाँ।
बरी बरा बेसन बहु भांतिन व्यंजन विविध अनगनियाँ।
डारत खात लेत अपने कर रुचि मानत दधि दनियाँ॥
मिश्री दधि माखन मिश्रित करि मुख नावत लवि धनियाँ।
आपुन खात नन्द मुख नावत सो सुख कहत न बनियाँ।
जो रस नन्द यशोदा बिलसत सो नहि तिहं भुवनियाँ।
भोजन करि नन्द अँचवन कियो माँगत ‘सूर’जुठनियाँ॥

शब्दार्थ :
जेंवत = जीमना, भोजन करना; कनियाँ = गोद में; धरनि = भूमि; निरखत = देखना; बहु भांतिन = अनेक प्रकार के व्यंजन, भोज्य पदार्थ; विविध = अनेक; दधि = दही; दनियाँ = दोनी; आपुन = स्वयं; तिहं भुवनियाँ = तीनों लोक; अँचवन = आचमन; जुठनियाँ = जूठन।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में बालक कृष्ण की बाल-सुलभ चेष्टाओं का अत्यन्त सुन्दर वर्णन है। इसके साथ ही श्रीकृष्ण को जो वस्तुएँ रुचिकर लगती हैं, उनका भी वर्णन किया है।

व्याख्या :
श्रीकृष्ण जी नन्द जी की गोद में बैठकर कुछ खा रहे हैं। खाते समय कुछ भोज्य पदार्थ भूमि पर गिरा रहे हैं। इस बाल छवि को निरखकर (देखकर) नन्द की रानी प्रसन्न्ता का अनुभव कर रही हैं। वे बड़ियों, दही बड़ों तथा बेसन से बने अनेक व्यंजनों का स्वाद ले रहे हैं। वे खाते समय खाद्य वस्तुओं को अपने हाथ से लेकर भूमि पर गिरा रहे हैं। उन्हें दही की दोनी अत्यन्त ही रुचिकर हैं। वे दही, मक्खन एवं मिश्री को मिलाकर अपने मुख में जब डालते हैं तो उनका सौन्दर्य देखते ही बनता है।

स्वयं खाकर उसमें से कुछ भोज्य पदार्थ नन्द जी के मुख में डालते हैं तो उस सुख का वर्णन करते नहीं बनता। बालक श्रीकृष्ण के सौन्दर्य को निहार कर जो सुख नन्द-यशोदा को प्राप्त हो रहा है वह सुख तीनों लोकों में मिलना असम्भव है। भोजन करने के पश्चात् नन्द जी ने कुल्ला कर लिया है। सूरदास जी कहते हैं कि उन्हें यदि कृष्ण की जूठन ही प्राप्त हो जाए तो वे धन्य हो जाएँ।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा का प्रयोग है, अनगनियाँ, दनियाँ, बनियाँ भुवनियाँ, जुठनियाँ आदि शब्दों का प्रयोग है। तुकबन्दी है।
2. वात्सल्य रस तथा गुण माधुर्य है।
3. अतिशयोक्ति, अनुप्रास अलंकार है।

[4] खेलन अब मेरी जात बलैया।
जबहि मोहि देखत लरिकन संग तबहि खिझत बल भैया।
मोसों कहत पूत वसुदेव को देवकी तेरी मैया।
मोल लियो कछु दे वसुदेव को करि करि जतन बटैया॥
अब बाबा कहि कहत नंद को यसुमति को कह मैया।
ऐसेहि कहि सब मोहि खिझावत तब उठि चलौ सिखैया॥ (2011)
पाछे नंद सुनत है ठाढ़े हँसत हँसत उर लैया।
‘सूर’ नंद बलिरामहि धिरयो सुनि मन हरख कन्हैया॥

शब्दार्थ :
लरिकन = लड़कों; संग = साथ; खिझत = चिढ़ाते हैं; बल भैया = बलराम; मोसों = मुझसे; वसुदेव = श्रीकृष्ण के पिता; देवकी = श्रीकृष्ण को जन्म देने वाली माँ; मोल = खरीदना; जतन = यत्न पूर्वक; यसुमति = श्रीकृष्ण को पालने वाली माता यशोदा; ठाढ़े = खड़े; उर = हृदय; हरख = हर्ष; कन्हैया = श्रीकृष्ण का नाम।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
इस पद में श्रीकृष्ण जी के द्वारा बलराम जी की शिकायत का वर्णन किया गया है। खेलते समय कभी-कभी उन्हें बलदाऊ चिढ़ाते हैं तो वे खेलने जाने से मना कर देते हैं और माता यशोदा से कहते हैं।

व्याख्या :
अब खेलने को मेरी बला जायेगी अर्थात् मैं खेलने नहीं जाऊँगा। क्योंकि जब भी बलदाऊ जी उन्हें लड़कों के संग खेलते देखते हैं, तो वे उन्हें चिढ़ाते हैं। श्रीकृष्ण कहते हैं कि वे मुझसे कहते हैं कि तू तो वसुदेव का पुत्र है और देवकी तेरी माता है। तुझे तो कुछ ले-देकर, बड़ी कोशिश कर के वसुदेव जी से खरीदा गया है। इसलिए अब तुम नन्द जी को बाबा कहते हो और यशोदा को मैया कहकर पुकारते हो। इस प्रकार ऐसा कहकर मुझे सभी मित्र खिझाने लगते हैं तो वह सिखाने वाला उठकर चल देता है। कृष्ण की इस बात को पीछे खड़े हुए नन्द बाबा सुन रहे हैं। वे कृष्ण को हँसते हुए अपने हृदय से लगा लेते हैं। सूरदास जी कहते हैं कि तब नन्द बाबा ने बलराम को समझाया एवं डाँट लगाई जिसे सुनकर श्रीकृष्ण जी मन में अत्यन्त प्रसन्न हो रहे हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा का प्रयोग है। जतन, बटैया, मैया, सिखैया आदि शब्दों का प्रयोग है।
2. वात्सल्य रस है। बाल मन का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक और मनोहारी चित्रण किया गया है।

[5] मैया मैं तो चन्द खिलौना लैहौं।
जैहों लोटि धरनि पर अबहीं, तेरी गोद न ऐहौं।
सुरभी कौ पयपान न करहौं, बैनी सिर न गुहैहौं।
हवै हौं पूत नंद बाबा को, तेरो सुत न कहैहौं।
आणु आउ, बात सुनि मेरी बलदेवहिं न जनैहौं।
हँसि समुझावति, कहति जसोमति, नई दुलनियाँ दैहौं।
तेरी सौं मेरी सुनि मैया, अबहिं बियावन जैहौं।
सूरदास है कुटिल बराती गीत सुमंगल गैहौं।

शब्दार्थ :
मैया = माँ; चन्द = चन्द्रमा; लैहौं = लूगाँ; जैहौं = जाऊँगा; धरनि = भूमि, पृथ्वी; ऐहौं = आऊँगा; सुरभी = गाय; पयपान = दुग्ध पीना; बैनी सिर = सिर पर चोटी; गुहैहों = गुँथवाऊँगा; सुत = पुत्र, बेटा; जनैहों = जताना, बताना; दुलनियाँ = दुल्हन, वधू; बियावन = ब्याह करने; अबहिं = अभी; जैहौं = जाऊँगा; सौं = सौगन्ध; गैहौं = गायेंगे।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में बालक श्रीकृष्ण माँ यशोदा से हठकर रहे हैं कि उन्हें खेलने के लिए चन्द्र खिलौना चाहिए।

व्याख्या :
श्रीकृष्ण माँ यशोदा से कह रहे हैं कि माँ मैं तो चाँद का खिलौना लूँगा। यदि तुम चन्द्रमा को खेलने के लिए नहीं दोगी तो मैं अभी भूमि पर लोट जाऊँगा और तेरी गोद में नहीं आऊँगा। मैं गाय का दूध भी नहीं पीऊँगा तथा सिर पर चोटी भी नहीं गुंथवाऊँगा। अब मैं तेरा पुत्र न कहलाकर नन्द बाबा का पुत्र कहलाऊँगा। माँ यशोदा श्रीकृष्ण से कह रही हैं कि तुम मेरे पास आओ और मेरी बात सुनो लेकिन इस बात को बलदेव को नहीं बताना। यशोदा हँसकर श्रीकृष्ण को समझाती है और कहती है कि मैं तेरे लिए नई दुल्हन लाऊँगी। तब श्रीकृष्ण जी कहते हैं कि माँ मैं तेरी सौगन्ध खाकर कहता हूँ कि मैं अभी विवाह करने जाऊँगा। सूरदास जी कहते हैं कि वे श्रीकृष्ण की बारात के कुटिल बराती होकर मंगलाचार के गीत गायेंगे।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा का प्रयोग है।
2. श्रीकृष्ण के बाल हठ का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक वर्णन है।
3. वात्सल्य रस का प्रस्तुतीकरण है।

राम की बाल लीलाएँ भाव सारांश

राम भद्राचार्य गिरिधर ने राम की बाल-लीलाओं का वर्णन करते हुए बताया है कि राम माता कौशल्या की गोद में अत्यन्त सुन्दर लग रहे हैं। उनके माथे पर तिलक है, कानों में कुण्डल हैं तथा नेत्र कामदेव के समान हैं, किलकारी मारने पर उनके दाँत बहुत सुन्दर प्रतीत होते हैं।

धूल से सने हुए उनके शरीर का सौन्दर्य सैकड़ों कामदेव की शोभा लजाने वाला है। कपोलों के ऊपर काला डिठोना (टीका) सुशोभित है। बालक राम तोतली बोली बोलते हैं। ठुमक-ठुमक कर स्वर्ण जड़ित आँगन में विहार कर रहे हैं। माता राम की बाल्यकाल की क्रीड़ाओं को देखकर सुख का अनुभव कर रही हैं। प्रेम से पुलकायमान होकर उन्हें स्नान करा रही हैं। माता उनके दीर्घ जीवन हेतु भगवान से प्रार्थना करती हैं।

राम की बाल लीलाएँ संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] राघवजू जननी अंक लसे।
प्राची दिशि जनु शरद सुधाकर, पूरन है निकसे॥
भाल, तिलक सोहत श्रुति कुण्डल दृग मनसिज सरसे।
मनहुँ इन्दु मण्डल बिच अनुपम, मन्मध बारिज से॥
कल दंत वचन कबहुँ कहुँ किलकत बिलसत दशन हँसे।
दामिनी पटधर मनहुँ नीलधन, प्रेम अमिय बरसे।
खेलत शिशु लखि मुदित, कौसिला झाँकत आँचर से।
यह शिशु छवि लखि नित ‘गिरधर’ हृदय नयन तरसे॥ (2009)

शब्दार्थ :
जननी = माँ; अंक = गोद; प्राची = पूर्व; दिशि = दिशा; सुधाकर = चन्द्रमा; शरद = शीतकाल; पूरन = पूर्ण; निकसे = निकलता; भाल = माथा; तिलक = टीका; सोहत = सुशोभित; श्रुति = कान; कुण्डल = कान में पहनने का आभूषण; दृग = नेत्र; मनसिज = कामदेव; सरसे = प्रसन्न होना; अनुपम = सुन्दर; दंत = दाँत; कबहुँ = कभी; किलकत = किलकारी मारना; दामिनी = बिजली; अमिय = अमृत; शिशु = बालक; मुदित = प्रसन्न; कौसिला = राम की जन्मदात्री माँ (कौशल्या); झाँकत = झाँकते; आँचर = आँचल; छवि = शोभा; नित = प्रतिदिन; नयन = नेत्र; तरसे = तृषित।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश ‘वात्सल्य’ पाठ के ‘राम की बाल लीलाएँ’ से उद्धृत है। इसके रचयिता राम भद्राचार्य गिरिधर हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में कवि ने माता कौशल्या की गोद में सुशोभित बालक राम के बाल्यकालीन अपूर्व सौन्दर्य का वर्णन किया है।

व्याख्या :
रामचन्द्र जी माता कौशल्या की गोद में सुशोभित हो रहे हैं। उनकी सुन्दरता को देखकर प्रतीत हो रहा है। मानो पूर्व दिशा से शरद पूर्णिमा का पूर्ण चन्द्रमा निकल आया हो। श्रीराम के माथे पर तिलक सुशोभित है, कानों में कुण्डल विराजमान हैं और उनकी आँखें कामदेव की सुन्दरता को प्राप्त कर रही है। उन्हें देखकर ऐसा प्रतीत होता है मानो चन्द्रमण्डल के बीच में अत्यन्त सुन्दर कामदेव रूपी कमल विकसित हुआ हो जिसकी कोई उपमा नहीं की जा सकती।

सुन्दर दाँतों से सुशोभित मुख से कभी बोलते हैं, कभी किलकारी भरते हैं और उनके किलकारी भरने से उनके मुख के सुन्दर दाँत दिखाई देते हैं, जिन्हें देखकर ऐसा लगता है मानो नीले बादलों के बीच में बिजली रूपी वस्त्र चमक गया हो जिससे प्रेम की अमृत रूपी धारा बह रही हो। शिशु राम को आँचल के भीतर से बाहर झाँकते और खेलते देखकर कौशल्या का हृदय अत्यन्त प्रसन्नता से भर गया है। गिरिधर कहते हैं कि इस कवि को निरन्तर देखने के लिए उनके नेत्र तरस रहे हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. बाल क्रीड़ाओं, सौन्दर्य और भावों का अत्यन्त मनोहारी और मनोवैज्ञानिक वर्णन किया गया है।
2. उत्प्रेक्षा अलंकार की छटा दर्शनीय है।

[2] राघव जननी अंक बिराजत।
नख सिख सुभग धूरि धूसर तनु चितइ काम सत लाजत।
ललित कपोल उपर अति सोहत द्वै दै असित डिठोना॥
जनु रसाल पल्लव पर बिलसत द्वै पिक तनय सलोना।
शरद शशांक मनोहर आनन दंतुरिन लखि मन मोहे।
मनहुँ नील नीरद बिच सुन्दर चारु तड़ित तनु जोहे॥
किलकत चितई चहूँ दिसि विहँसत तोतरि वचन सुबोलत।
ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत॥
निरखि चपल शिशु चुटकी दै दै हँसि हँसि मातु बुलावे।
यह शिशु रूप राम लाला को ‘गिरधर’ दृगनि लुभावे॥

शब्दार्थ :
राघव = श्रीराम; बिराजत = सुशोभित; सुभग = सुन्दर; धूरि धूसर = धूल से सने; तनु = शरीर; चितइ = चित्त, मन; ललित = सुन्दर; द्वै = दो; डिठोना = नजर का टीका; रसाल = आम; पिक = कोयल; तनय = पुत्र; सलोना = सुन्दर; शशांक = चन्द्रमा; मनोहर = सुन्दर; नील = नीलरंग; नीरद = बादल; बिच = मध्य; चारु = सुन्दर; तड़ित = बिजली; तोतरि = तोतली; वचन = बोली; कनक = सोने; निरखि = देखकर; चपल = चंचल; दृगनि = नेत्रों; लुभावे = प्रसन्न करें।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में माता की गोद में सुशोभित बालक राम के सौन्दर्य का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
शिशु श्रीराम माता की गोदी में शोभायमान हो रहे हैं। नख से शिख तक (सिर से पैर तक) सुन्दर उनका शरीर धूल से भरा हुआ है। इस सुन्दरता को देखकर सैकड़ों कामदेव लज्जित हो जाते हैं अर्थात् धूल से सने हुए राम का शरीर इतना सुन्दर लग रहा है कि सैकड़ों कामदेवों की सुन्दरता भी उनके सामने नगण्य है। उनके गुलाबी रक्ताभ कपोलों (गालों) पर दो-दो काले डिठौने (टीके) शोभित हो रहे हैं। उन्हें देखकर प्रतीत हो रहा है कि मानो आम के पत्ते पर कोयल के दो सुन्दर बच्चे सुशोभित हो रहे हों। उनका मुख शरद पूर्णिमा के चन्द्रमा के समान है, उस पर दाँतों की पंक्तियाँ मन को मोह लेती हैं। ऐसा प्रतीत हो रहा है मानो नीले बादलों के मध्य विद्युत् की सफेद रेखा शोभित हो रही है। रामचन्द्र जी किलकारी मारते हैं, चारों ओर देखते हैं, और हँसते हैं तथा तोतली वाणी में बोलते हैं। वे ठुमक ठुमक कर चलते हैं। उनकी करधनी के घुघरुओं से रुनझुन की ध्वनि सुनाई दे रही है और वे शिशु राम स्वर्णजड़ित आँगन में इधर-उधर डोल रहे हैं। अपने बालक के ये मनोहर, चंचल कार्यकलाप देखकर माता हँसती है और चुटकी बजा-बजा कर उन्हें बुलाती है। गिरिधर जी कहते हैं कि राम का यह सुन्दर शिशु रूप नेत्रों को अत्यन्त मनमोहक लगता है।

काव्य सौन्दर्य :

1. बाल क्रीड़ाओं का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक वर्णन है।
2. उत्प्रेक्षा अलंकार की छटा द्रष्टव्य है।

[3] राघव निरखि जननि सुख पावत।
सँघि माथ रघुनाथ गोद लै प्रेम पुलकि अन्हवावति॥
पोछि बसन पहिराइ विभूषन आशिष वचन सुनावति।
चिर जीवहु मेरे छगन मगन शिशु कहि विधि ईश मनावति॥
धूरि न भरहु शीष पर लालन यों कहि तनय बुझावति।
खेलहु अनुज सखन्ह मिलि अंगना प्रभुहि उपाय सुझावति॥
गोद राखि चुचुकारि दुलारति पुनि पालति हलरावति।
आँचर ढाँकि बदन विधु सुंदर थन पय पान करावति॥
कहति मल्हाइ खाहु कछु राघव मातु उछाइ बढ़ावति।
नजर उतारि झिगुनि जनि फेकहुँ हरिहि निहोरि बुलावति॥
देत रुचिर बहुरंग खिलौना रायहिं अजिर खिलावति।
यह झाँकी रघुवंश तिलक की ‘गिरिधर’ चितहिं चुरावति॥

शब्दार्थ :
जननि = माँ; माथ = माथा, मस्तक; पुलकि = प्रसन्न; बसन = वस्त्र; पहिराइ = पहनाकर; सरस = सुन्दर; आशिष = आशीर्वाद; ईश = भगवान; मनावति = मनाते हैं, प्रसन्न करते है; अनुज = छोटा भाई; उपाय = तरकीब; आँचर = आँचल; विधु = चन्द्रमा; बदन = शरीर; पय = दूध; उछाइ = उत्साह; बढ़ावति = बढ़ाते हैं; निहारि = निहारकर, देखकर; हरिहि = राम को; चितहिं = चित्त, मन; चुरावति = चुराते हैं; रघुवंश तिलक = श्रीराम।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में कवि रामचन्द्र की बाल लीलाओं का वर्णन करते हुए माता कौशल्या के स्नेह का वर्णन कर रहे हैं।

व्याख्या :
बालक राम को देखकर माता कौशल्या को अत्यन्त सुख प्राप्त हो रहा है। वे रघुनाथ जी (राम) का माथा चूमती हैं और उन्हें गोद में लेकर प्रेम से रोमांचित होकर स्नान कराती हैं। फिर उनका शरीर पोंछकर वस्त्र और आभूषण पहनाती हैं तथा उन्हें अनेक आशीर्वाद देती हैं। वे कहती हैं कि हे मेरे छगन मगन (छोटे से छौने) तुम चिरकाल तक जीवित रहो। इस प्रकार कहकर वे ब्रह्मा और शिव से उनकी चिरायु के लिए प्रार्थना करती हैं। वे पुत्र को यह कहकर समझाती हैं कि हे लाल ! तुम अपने सिर पर धूल मत भरो।

अपने छोटे भाइयों और मित्रों के साथ मिलकर आँगन में खेलो। वह इस प्रकार प्रभु राम को उपाय बताती हैं फिर गोद में लेकर पुचकारती हैं, दुलारती हैं फिर पालने में हिलाती हैं तथा पुनः आँचल से उनके सुन्दर चन्द्रमुख को ढककर स्तनपान कराती हैं। माता कहती हैं कि हे राघव ! तुम कुछ खा लो ऐसा कहकर उनका उत्साह बढ़ाती हैं। फिर उनकी नजर उतारती हैं उन्हें निहोरे करके (खुशामद करके) बुलाती हैं और बड़े सुन्दर रंग-बिरंगे खिलौने देती हैं तथा उन्हें आँगन में खिलाती हैं। गिरिधर कहते हैं कि रघुवंश के तिलक स्वरूप बालक राम की बाल क्रीड़ाओं की यह झाँकी हृदय को चुरा लेती है।

काव्य सौन्दर्य :

1. माता के नेह का सूक्ष्म और मनोवैज्ञानिक वर्णन किया गया है।
2. रघुवंश तिलक में रूपक अलंकार का प्रयोग है।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 3 प्रेम और सौन्दर्य

प्रेम और सौन्दर्य अभ्यास

प्रेम और सौन्दर्य अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 2.
पदमाकर की गोपियों को सुबह-शाम और घर-बाहर अच्छा क्यों नहीं लगता है?
उत्तर:
पद्माकर की गोपियों को सुबह-शाम और घर-बाहर अच्छा नहीं लगता क्योंकि उनका मन श्रीकृष्ण से लग गया है। अत: उनके बिना गोपियों को संसार की कोई भी वस्तु अच्छी नहीं लगती है।

प्रश्न 3.
गोप-सुता पार्वती माँ से क्या वरदान माँगती है? (2016)
उत्तर:
गोप-सुता पार्वती माँ से यह वरदान माँगती है कि उसे सुन्दर, साँवला नन्दकुमार (अर्थात् कृष्ण) वर के रूप में चाहिए।

प्रश्न 4.
“वा मुख की मधुराई कहाँ-कहौ ?” में मतिराम ने किस मुख की ओर संकेत किया है?
उत्तर:
उक्त पद में मतिराम ने श्रीकृष्ण के सुन्दर मुख की ओर संकेत किया है।

प्रश्न 5.
श्रीकृष्ण के मुकुट में कौन-सी वस्तु लगी है?
उत्तर:
श्रीकृष्ण के मुकुट में मोर का पंख लगा हुआ है।

प्रेम और सौन्दर्य लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गोपियों पर श्रीकृष्ण की वंशी का क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर:
गोपियाँ श्रीकृष्ण की वंशी के मधुर स्वर को सुनकर अपनी सुध-बुध को भूल गयीं उन्हें अपने बूंघट का भी ध्यान न रहा। वे न तो घाट की रहीं और न अपने घर की।

प्रश्न 2.
‘मान रहोई नहीं मनमोहन मानिनी होय सो मानै मनायो’ का आशय स्पष्ट कीजिए। (2014)
उत्तर:
आशय- यहाँ पर पूर्ण समर्पित रूठी हुई नायिका नायक श्रीकृष्ण के देर से आने पर उन्हें उपालम्भ देती हुई कहती है कि उन्हें कसमें खाने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि वह तो कभी कोई अपराध नहीं करते। उसे तो कोई मानगुमान नहीं है। जो कोई मानिनी हो उसे मनाया जाए, वह तो मानिनी नहीं है। उसका तो मान रह ही नहीं गया इसलिए उसे मनाने की क्या आवश्यकता है।

प्रश्न 3.
मतिराम के शब्दों में श्रीकृष्ण की छवि का मोहक वर्णन कीजिए।
उत्तर:
मतिराम ने श्रीकृष्ण के रंग को सोने से भी अधिक सुन्दर बताया है। उनके मुकुट में मोर का पंख है। गले में सुन्दर माला है। कानों में गोल कुण्डल पहने हैं। जब कुण्डल हिलते हैं तो कृष्ण के गालों की सुन्दरता बढ़ जाती है। उनके नेत्र लाल रंग के हैं। वे सदैव मुस्कराते हैं। अतः हमारे नेत्रों को प्रिय लगते हैं।

प्रेम और सौन्दर्य दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गोपिका श्रीकृष्ण की छवि को नेत्रों से बाहर निकालने में क्यों असमर्थ है? (2009)
उत्तर:
गोपिका श्रीकृष्ण की छवि को नेत्रों से बाहर निकालने में इसलिए असमर्थ है, क्योंकि गोपिका के नेत्रों में गुलाल व नन्दलाल दोनों ही समाए हुए हैं। मैं तो जल द्वारा नेत्रों को धो-धोकर परेशान हो गयी हूँ। मैं कहाँ जाऊँ और किस प्रकार का प्रयास करूं, क्योंकि आँखें बार-बार धोने से मेरी पीड़ा बढ़ रही है। अतः इस कृष्ण को जो कि मेरे नेत्रों में समा गया है, उसे निकालना मेरी सामर्थ्य के परे हैं।

प्रश्न 2.
‘को बिन मोल बिकात नहीं कवि ने ऐसा क्यों कहा है? समझाइए। (2009)
उत्तर:
मतिराम कवि ने श्रीकृष्ण के अनुपम सौन्दर्य का वर्णन किया है। उन्होंने यह बताने का प्रयास किया है कि कृष्ण का रूप मन को प्रसन्न करने वाला है। श्रीकृष्ण का सुन्दर रूप नेत्रों में बस गया है। कुछ वस्तुएँ तो बिकाऊ होती हैं और व्यक्ति उन वस्तुओं का मूल्य चुकाकर उन्हें खरीद सकता है, लेकिन कृष्ण का यह अद्भुत सौन्दर्य बिना मूल्य का है। इसको कभी भी बेचा नहीं जा सकता है, लेकिन फिर भी यह मूल्यवान है। ईश्वर का कोई मूल्य नहीं है। वह तो अनमोल है। इस प्रकार कवि ने ईश्वर की महिमा का वर्णन किया है।

प्रश्न 3.
आशय स्पष्ट कीजिए
(क) कुन्दन को रंग फीको लागै झलकै अति अंगन चारु गुराई।
उत्तर:
आशय-नायिका गौर वर्ण की है। उसका सौन्दर्य अभूतपूर्व है। उसके सौन्दर्य के समक्ष सोना भी तुच्छ प्रतीत होता है। अंग से झलकने वाली सुषमा मन को मोहित करने वाली है।

(ख) एक पग भीतर औ एक देहरी पै धरै।
एक कर कंज, एक कर है किबार पर।।
उत्तर:
आशय-नायिका नायक के लिए प्रतीक्षारत है। वह अपनी सुध-बुध भूलकर नायक की प्रतीक्षा में व्याकुल है। उसका एक पैर घर के भीतर है, दूसरा दरवाजे पर है। उसके एक हाथ में कमल का पुष्प है और दूसरा हाथ किवाड़ पर रखे हुए वह विरह में विदग्धा नायिका खड़ी हुई है।

(ग) नेह सरसावन में मेह बरसावन में,
सावन में झूलियों सुहावनो लगत है।
उत्तर:
आशय-यहाँ नायिका सावन में झूला झूलने के आनन्द का वर्णन करती हुई कहती है कि हृदय में प्रेम रस हिलोरे ले रहा है, मेघ बरस रहे हैं। ऐसे में हे सखी ! झूला झूलना अत्यन्त सुखकर प्रतीत होता है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित काव्यांश की प्रसंग सहित व्याख्या कीजिए
(अ) कैसी करो कहाँ जाऊँ कासौं कहौं कौन सुने,
कोउ तौ निकासौ जाते दरद बढ़े नहीं।
एरी मेरी वीर ! जैसे तैसे इन आँखिन तें
कढ़िगो अबीर पै अहीर तो कढ़े नहीं।
(आ) कुन्दन को रंग फीको लागै, छलके अति अंगन चारु गुराई,
आँखिन में अलसनि चितौन में मंजु विलासन की सरसाई।
को बिन मोल बिकात नहीं, मतिराम लहै मुसकानि मिठाई,
ज्यौं-ज्यौं निहारिए नेरे कै नैनहिं, त्यों-त्यौं खरी निकरै सी निकाई।।
उत्तर:
(अ) सन्दर्भ :
प्रस्तुत छन्द हमारी पाठ्य-पुस्तक के ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘पद्माकर के छन्द’ शीर्षक से अवतरित हैं। इसके रचयिता पद्माकर हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में गोपियों एवं श्रीकृष्ण के फाग (होली) खेलने का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
फाग खेलते समय गुलाल उड़ रहा है। इसके फलस्वरूप श्रीकृष्ण एवं गुलाल चारों ओर धूम मचा रहे हैं। नेत्रों में जो आनन्द भर गया है। वह समा नहीं रहा है। गोपी कह रही है कि हे सखी ! तुम्हारी शपथ खाकर कहती हूँ कि आँखों को धो-धोकर हार गई और अब तो कोई उपाय शेष नहीं बचा है। अब मैं अपनी व्यथा को कैसे दूर करूँ, किस स्थान पर जाऊँ, किससे कहूँ, कोई सुनने वाला भी नहीं है। अब कोई तो मेरी आँखों से इसे निकाले जिससे दर्द नहीं बढ़े। हे मेरी सखी ! मैंने यत्न करके किसी प्रकार आँखों से गुलाल को तो निकाल लिया किन्तु जो आँखों में बसा हुआ अहीर अर्थात् श्रीकृष्ण है वह किसी भाँति नहीं निकल रहा।

(आ) सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्य ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘मतिराम के छन्द’ शीर्षक से उद्धत है। इसके रचयिता मतिराम हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में कवि ने नायिका के शारीरिक सौष्ठव का वर्णन किया है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि नायिका के अंग-अंग में झलकने वाले सौन्दर्य के आगे स्वर्ण (सोने) की छवि भी फीकी लगती है। उसके नेत्र अलसाए हुए हैं और उसकी चितवन में मधुर विलास का सौन्दर्य है। मतिराम कहते हैं कि उसकी मुस्कान इतनी मधुर है कि देखने वाला ऐसा कौन है जो बिना मोल नहीं बिक जाता है अर्थात् जो उसके सौन्दर्य को देखता है वही मोहित हो जाता है। जैसे-जैसे निकट जाकर उसके नेत्रों को निहारो वैसे-वैसे ही उसकी सुन्दरता और अधिक बढ़ती जाती है।

प्रेम और सौन्दर्य काव्य सौन्दर्य

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के तत्सम रूप लिखिए
मोल, नेरे, मूरति, सनेह, घरी, देहरी, किबार, सौंह, घूघट।
उत्तर:
तत्सम शब्द-मूल्य, निकट, मूर्ति, स्नेह, घड़ी, देहली, किबाड़, सौं, चूंघट।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पंक्तियों में प्रयुक्त अलंकार, उनके सामने दिए गए विकल्पों में से छाँटकर लिखिए
(अ) घट की न औघट की, घाट की न घर की। (यमक, श्लेष, अनुमास)
उत्तर:
अनुप्रास।

(आ) छाजत छबीले छिति छहरि हरा के छोर। (अनुप्रास, यमक, श्लेष)
उत्तर:
अनुप्रास।

(इ) ज्यों-ज्यों निहारिए नेरे डै नैनहिं। त्यों-त्यों खरी निकरै सी निकाई। (उपमा, पुनरुक्ति, रूपक)
उत्तर:
पुनरुक्ति।

(ई) एक घरी घन से तन सौं, अँखियान घनो घनसार सौ दैगो। (उपमा, रूपक, उत्प्रेक्षा)
उत्तर:
उपमा।

प्रश्न 3.
काव्य में भाव-सौन्दर्य और शब्द विन्यास का अन्योन्याश्रित सम्बन्ध रहता है, एक के बिना दूसरे की कल्पना करना कठिन हो जाता है। ऐसे स्थल मतिराम जैसे कवियों की रचनाओं में कलात्मक उपलब्धि की दृष्टि से बहुत श्रेष्ठ बन पड़े हैं। ऐसा ही भाव सौन्दर्य और शब्द सौन्दर्य का उदाहरण देखिए-
“मान रहोई नहीं मनमोहन मानिनी होय सो मनायो।”
इस प्रकार के अन्य उदाहरण इस संकलन से चुनकर लिखिए।
उत्तर:
(1) को बिन मोल बिकात नहीं मतिराम लहै मुसकानि मिठाई।
(2) काहे को सौंहे हजार करौ, तुम तो कबहूँ अपराध न ठायो।
सोवन दीजै, न दीजै हमें दु:ख, यों ही कहा रसवाद बढ़ायो।।
(3) लाल विलोचनि कौलनि सौं मुसकाइ इतै अरुझाइ चितैगो।
एक घरी घन से तन सौं अँखियान घनो घनसार सो दैगो।
(4) वा मुख की मधुराई कहा कहाँ ? मीठी लगै अँखियान लुनाई।

प्रश्न 4.
पद्माकर के संकलित छन्दों में से रूप घनाक्षरी छन्द को पहचानकर लिखिए।
उत्तर:
लक्षण-वर्ण संख्या 32 चरण के अन्त में गुरु और लघु (51) तथा यति 16, 16 पद।
भौरन को गुंजन विहार वन कुंजन में,
मंजुल मलहारन को गावनो लगत है।
कहैं ‘पद्माकर’ गुमान हूँ ते मानहूँ ते
प्राण हूँ नैं प्यारो मनभावनो लगत है।
भौरन कौ सोर घनघोर चहुँ ओर न।
हिंडोरन को वृन्द छवि छावनो लगत है।
नेह सरसावन में मेह बरसावन में,
सावन में झूलियों सुहावनो लगत है।।

पद्माकर के छन्द भाव सारांश

प्रस्तुत पदों में पद्माकर ने श्रीकृष्ण और राधा को प्रेमी-प्रेमिका के रूप में चित्रित करके उनकी शृंगारिक चेष्टाओं का हृदयस्पर्शी वर्णन किया है। यहाँ बताया गया है कि श्रीकृष्ण फाग खेलते हैं, राधा वह दृश्य देखती हैं। फाग का अबीर तो झड़ जाता है किन्तु कृष्ण की छवि आँखों से धोए नहीं धुलती। मोहन की बाँसुरी सुनकर राधा सुध-बुध खो बैठती है। सावन के झूलों में राधा-कृष्ण का प्रेम विकसित होता है। पद्माकर ने राधा-कृष्ण के प्रेम की दशा का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक, सूक्ष्म और हृदयग्राही चित्र प्रस्तुत किया है।

पद्माकर के छन्द संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] एकै संग धाय नन्दलाल औ गुलाल दोऊ।
दृगनि गए जुभरि आनन्द मढ़े नहीं।
धो-धोइ हारी पद्माकर, तिहारी सौं।
अब तो उपाय एकौ चित पै चट्टै नहीं।
कैसी करो कहाँ जाऊँ, कासौ कहौं कौन सुने।
कोऊ तो निकासौ जासौ दरद बढ़े नहीं॥
ऐरी मेरी वीर ! जैसे तैसे इन आँखनि तें।
कढिगो अबीर पै अहीर तो कट्टै नहीं। (2010, 13)

शब्दार्थ :
संग = साथ; धाय = दौड़कर; गुलाल = अबीर; दोऊ = दोनों; दुगनि = नेत्रों में, आँखों में; तिहारी = तुम्हारी; कासौ = किससे; कोऊ = कोई; निकासौ = निकाले; जासौ = जिससे; दरद = पीड़ा; कढ़िगो = निकलेगा।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत छन्द हमारी पाठ्य-पुस्तक के ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘पद्माकर के छन्द’ शीर्षक से अवतरित हैं। इसके रचयिता पद्माकर हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में गोपियों एवं श्रीकृष्ण के फाग (होली) खेलने का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
फाग खेलते समय गुलाल उड़ रहा है। इसके फलस्वरूप श्रीकृष्ण एवं गुलाल चारों ओर धूम मचा रहे हैं। नेत्रों में जो आनन्द भर गया है। वह समा नहीं रहा है। गोपी कह रही है कि हे सखी ! तुम्हारी शपथ खाकर कहती हूँ कि आँखों को धो-धोकर हार गई और अब तो कोई उपाय शेष नहीं बचा है। अब मैं अपनी व्यथा को कैसे दूर करूँ, किस स्थान पर जाऊँ, किससे कहूँ, कोई सुनने वाला भी नहीं है। अब कोई तो मेरी आँखों से इसे निकाले जिससे दर्द नहीं बढ़े। हे मेरी सखी ! मैंने यत्न करके किसी प्रकार आँखों से गुलाल को तो निकाल लिया किन्तु जो आँखों में बसा हुआ अहीर अर्थात् श्रीकृष्ण है वह किसी भाँति नहीं निकल रहा।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, ब्रजभाषा, माधुर्य गुण, सरस और ललित शब्दावली का प्रयोग।
2. कैसी करो-पंक्ति में अनुप्रास अलंकार है।

[2] आई संग आलिन के ननद पठाई नीठि।
सोहति सुहाई सीस ईडुरी सुघट की।
कहै पद्माकर गम्भीर, जमुना के तीर।
नीर लागी भरन नवेली नेह अरकी।
ताही समै मोहन सु बाँसुरी बजाई।
तामै मधुर मलार गाई ओर बंसीवट की।
तल लगि लटकी रहीं न सुधि पूंघट की।
घट की न औघट की घाट की न घर की।

शब्दार्थ :
आलिन = सखियों; सोहति = सुन्दर लगती है, सुशोभित होती है; सीस= सिर; ईडुरी= सिर पर रखने की; नीर = जल; नवेली = नई; नेह = स्नेह; ताही = उस; समै = समय, तामै = उसमें; मलार = गीत; सुधि = याद, स्मृति।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ पर कवि ने यमुना तट पर पानी भरने आई गोपिका की कृष्ण की बाँसुरी सुनने के बाद हुई मनोदशा का वर्णन किया है।

व्याख्या :
हे सखी ! मैं सखियों के साथ पनघट पर आई हूँ, मुझे मेरी ननद ने समझा-बुझाकर भेजा है। सिर पर घट रखने की ईडुरी शोभित हो रही है। पद्माकर कहते हैं कि गहरी यमुना के किनारे नई नवेली नवयुवती पानी भरने लगी उसका हृदय कृष्ण के प्रेम से भरा हुआ था। उसी समय श्रीकृष्ण ने मधुर स्वरों में बाँसुरी बजाई। उन्होंने वंशीवट की ओर मुँह करके मधुर मल्हार गाना शुरू किया। तब वह गोपी जैसी स्थिति में थी वैसी ही रह गई। उसने अपने घूघट को भी नहीं सम्भाला, न तो उसे घट भरने की सुध रही, न ही घाट की और न घर का ही ज्ञान रह गया। वह तो बंशी की धुन में मग्न हो गयी।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, माधुर्य गुण, ब्रजभाषा।
2. सोहति सुहाइ………..और घट की न और घर की…………पंक्तियों में अनुप्रास अलंकार है।
3. कोमलकान्त पदावली का प्रयोग है।

[3] भौरन को गुंजन विहार वन कुंजन में।
मंजुल मलहारन को गावनो लगत हैं।
कहै पद्माकर गुमान हूँ तो मानहुँ ते।
प्राण हूँ मैं प्यारो मन भावनों लगत है।
भोरन को सोर घनघोर चहुँ ओरन।
हिंडोरन को वृन्द छवि छावनो लगत है।
नेह सरसावन में मेह बरसावन में।
सावन में झूलियों सुहावनो लगत है।।

शब्दार्थ :
भौरन = भँवरे; गुंजन = आवाज; विहार = विचरण करना; वन कुंजन = उपवन में; मंजुल = सुन्दर; मलहारन = एक प्रकार के गीत; गावनो = गाते हैं; मन भावनों = मन को अच्छा लगने वाला; भोरन = प्रातः; सोर = शोर, कोलाहल; चहुँ = चारों; ओरन = ओर; हिंडोरन = झूले वृन्द= समूह; मेह= वर्षा; सावन = एक माह का नाम; सुहावनो लगतं = सुन्दर लगना, अच्छा लगना।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग:
यहाँ पर कवि ने सावन के माह में गोपियों के झूला झूलने का चित्रण किया है।

व्याख्या :
गोपियाँ कहती हैं कि भौरों का गूंजना, कुञ्जवनों में विहार करना, सुन्दर मधुर मल्हारों को गाना अच्छा लगता है। पद्माकर कहते हैं कि अपने स्वाभिमान अथवा मान-सम्मान की अपेक्षा मनभावन कृष्ण प्यारा लगता है जो प्राणों से भी प्यारा है। भ्रमरों का गुंजन और बादलों का घनघोर गर्जन है। ऐसे मनमोहक वातावरण में झूलों के समूह अत्यधिक सुन्दर प्रतीत हो रहे हैं। सावन के महीने में जबकि स्नेह की वर्षा हो रही हो और मेघों की वर्षा हो रही है, ऐसे समय में झूला-झूलना अत्यन्त सुखकर लगता है।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, माधुर्य गुण, ब्रजभाषा कोमलकान्त पदावली।
2. मंजुल मलहारन में अनुप्रास अलंकार है।
3. प्रिय की मनोदशा का मनोवैज्ञानिक चित्रण है।

[4] घर न सुहात न सुहात वन बाहिर है।
बागन सुहात जो खुसाल सुख बोही सों।
कहै पद्माकर घनेरे धन धाम त्यौं ही।
चैन न सुहात चाँदनी हूँ जोग जोही सों।
साँझ हूँ सुहात न सुहात दिन माँझ कछु।
ब्याही यह बात सो बखानत हो तोही सों।
साँझ हूँ सुहात न सुहात परभात आली।
जब मन लागि जात काई निरमोही सौं।।

शब्दार्थ :
सुहात = अच्छा; बागन = बगीचा; खुसाल = प्रसन्न; सुख बोही = प्रसन्नता से सराबोर; धन = सम्पत्ति; धाम = घर; जोग = योग; बखानत = वर्णन करना; तोही = तुझसे; परभात = प्रातः, आली = सखि; काई = कोई; निरमोही = निष्ठुर।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ पर कवि ने बताया है कि श्रीकृष्ण के प्रेम में गोपियाँ आकण्ठ निमग्न हैं। उनकी मनोदशा इस प्रकार है।

व्याख्या :
गोपियाँ कहती हैं कि श्रीकृष्ण के प्रेम के समक्ष उन्हें न घर, न बाहर, कहीं अच्छा नहीं लगता है। जो बाग पहले प्रसन्नता देते थे जिनमें बहुत सुख प्राप्त होता था वह अब नहीं मिलता। पद्माकर कहते हैं कि इसी प्रकार न तो धन सुहाता है और न आलीशान महल ही सुहाते हैं। चाँदनी में भी सुख का अनुभव नहीं होता है। न संध्या काल रुचिकर लगता है और न दिन अच्छा लगता है। हे सखी ! यह बात मैं तुझसे ही कहती हूँ कि न साँझ सुहाती है, न प्रभात सुहाता है जब मन किसी निष्ठुर से लग जाता है अर्थात् मेरा मन उस निष्ठुर श्रीकृष्ण से लग गया है। अब उसके बिना मुझे संसार की कोई वस्तु अच्छी नहीं लगती है।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस है। माधुर्य गुण तथा ब्रजभाषा के ललित शब्दों का प्रयोग है।
2. साँझ हूँ सुहात न पंक्ति में अनुप्रास अलंकार है।
3. विरह की मनोदशा का मनोवैज्ञानिक चित्रण है।

[5] “आरस सो आरत सम्हारत न सीस-पट,
गजब गुजारति गरीवन की धार पर।
कहें पद्माकर सुरासो सरसार तैसे,
बिथुरि बिराजै बार हीरन के हार पर।
छाजत छबीले छिति छहरि हरा के छोर,
भोर उठि आई केलि-मन्दिर के द्वार पर।
एक पग भीतर औ एक देहरी पै धरै,
एक कर कंज, एक कर है किबार पर।।”

शब्दार्थ :
आरस = आलस्य; आरत = आर्त्त; सीस = सिर; पट = वस्त्र; बिथुरि = बिखरा हुआ; गजब = अनोखा, अद्भुत; गुजारति = व्यतीत करती; हीरन = हीरा एक रत्न; हार = माला, छिति = भूमि; भोर = प्रात:काल; केलि = क्रीड़ा; पग = पाँव; देहरी = देहली; कर = हाथ; किबार = किबाड़।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्। प्रसंग-यहाँ कवि ने नायिका की विरह अवस्था का वर्णन किया है।

व्याख्या :
नायिका नायक के विरह में इतनी व्यग्र है कि उसे अपने तन की सुध-बुध नहीं रही है। दुःख के कारण निढाल हुई नायिका अपने शीश के वस्त्र को नहीं सम्भाल पा रही है। वह बेचारी अपने समय को अत्यन्त दुःखावस्था में व्यतीत करती है। पद्माकर कहते हैं कि नायिका जैसे मद्य के रस में डूबी हुई हो। उसे अपने शरीर का होश नहीं रहा है। उसके बाल बिखरे हुए हैं और हीरे के हार पर अस्त-व्यस्त से पड़े हुए हैं। उसके बाल पृथ्वी के छोर तक पहुंच रहे हैं। वह प्रातः होते ही अपने क्रीड़ा-मन्दिर के द्वार पर आकर खड़ी हो गई है। उसका एक पैर घर के भीतर है और एक देहली पर रखा हुआ है। उसके एक हाथ में कमल का फूल है और दूसरा हाथ उसने किबाड़ पर रखा हुआ है।

काव्य सौन्दर्य :

1. प्रस्तुत पद्य में प्रोषितपतिका नायिका की विदग्धावस्था का मार्मिक और मनोवैज्ञानिक चित्रण किया गया है।
2. ब्रजभाषा है, माधुर्य गुण और शृंगार रस के विरह पक्ष की व्यंजना हुई है।
3. आरस सो आरत, गजब गुजारति, गरीवन, सुरासो सरसार, बिथुरि बिराजै बार, छाजतछबीले, छिति-छहरि आदि में अनुप्रास अलंकार है।

मतिराम के छन्द भाव सारांश

प्रेम और शृंगार के वर्णन में मतिराम अद्वितीय हैं। उन्होंने अपने काव्य में राधा-कृष्ण के प्रेम, सौन्दर्य, शील, चेष्टाओं अनुरागमयी लीलाओं और परस्पर मान-मनुहार का हृदयग्राही चित्र प्रस्तुत किया है। नायक-नायिका के मिलन-वियोग का छवि ने सूक्ष्म और एकान्तिक चित्रण किया है।

मतिराम के छन्द संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] कुन्दन को रंग फीको लागै, झलकै अति अंगन चारु गुराई।
आँखिन में अलसानि चितौन में मंजु बिलासन की सरसाई।।
को बिन मोल बिकात नहीं मतिराम लहै मुसकानि मिठाई।
ज्यों ज्यों निहारिए नेरे है नैनहि, त्यों त्यों खरी निकरै सी निकाई।। (2009, 17)

शब्दार्थ :
कुन्दन = सोना; फीकौ = रंगहीन, प्रभावहीन, कान्तिहीन; झलकै = कुछ आभास होना, दिखलाना; चारु = सुन्दर; गुराई = गोरापन; आँखिन = नेत्रों में; अलसानि = आलस्य होना; चितौन = चितवन, मंजु = सुन्दर; बिलासन = शोभा देना, योग देना; सरसाई = सुन्दरता, शोभा; बिन = बिना; मोल = मूल्य; बिकात = बिक जाना होना; निहारिए = देखिए; नेरे = समीप; नैनहिं = नेत्रों को, निकाई = सुन्दरता, अच्छाई।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्य ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘मतिराम के छन्द’ शीर्षक से उद्धत है। इसके रचयिता मतिराम हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में कवि ने नायिका के शारीरिक सौष्ठव का वर्णन किया है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि नायिका के अंग-अंग में झलकने वाले सौन्दर्य के आगे स्वर्ण (सोने) की छवि भी फीकी लगती है। उसके नेत्र अलसाए हुए हैं और उसकी चितवन में मधुर विलास का सौन्दर्य है। मतिराम कहते हैं कि उसकी मुस्कान इतनी मधुर है कि देखने वाला ऐसा कौन है जो बिना मोल नहीं बिक जाता है अर्थात् जो उसके सौन्दर्य को देखता है वही मोहित हो जाता है। जैसे-जैसे निकट जाकर उसके नेत्रों को निहारो वैसे-वैसे ही उसकी सुन्दरता और अधिक बढ़ती जाती है।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, माधुर्य गुण, ब्रजभाषा है।
2. कुन्दन को रंग फीकौ लगै………में व्यतिरेक अलंकार है।
3. आँखिन अलसान ज्यों-ज्यों, त्यों-त्यों में अनुप्रास अलंकार है।
4. बिन मोल बिकात’ में लोकोक्ति का प्रयोग है।

[2] कोऊ नहीं बरजै मतिराम रहो तितही जितही मन भायो।
काहे कौ सौहे हजार करो, तुम तो कबहूँ अपराध न ठायो।।
सोवन दीजै, न दीजै हमें दुःख, यों ही कहा रसवाद बढ़ायो।
मान रहोई नहीं मनमोहन मानिनी होय सो मानै मनायो।। (2009)

शब्दार्थ :
बरजै = मना करना, रोकना; मन भायो = मन को अच्छा लगना; कबहूँ = कभी; अपराध = अनुचित कार्य; सोवन = सोने का भाव; दीजै = देना; दुःख = अवसाद; मान = मर्यादा; मनमोहन = मन को अच्छा लगना; मानिनी = हठी।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ कवि ने मानिनी नायिका का वर्णन किया है जो श्रीकृष्ण को उपालम्भ दे रही है।

व्याख्या :
मतिराम कहते हैं कि नायिका नायक से कह रही है कि तुम्हें कोई भी नहीं रोक रहा है। तुम्हारी जहाँ इच्छा हो तुम वहीं निवास करो। तुम व्यर्थ में हजारों शपथ क्यों खा रहे हो ? तुमने तो कभी कोई अपराध ही नहीं किया है। आप हमें सोने दीजिए हमें कोई दु:ख मत पहुँचाइए। तुम व्यर्थ में ही प्रेम में विवाद क्यों बढ़ा रहे हो। हे मनमोहन ! जब हमने तुम्हारे प्रेम में समर्पण कर दिया है तो मान तो पहले ही नहीं रहा। ये तो कोई मानिनी हो उसे मनाया जाए। मैं कोई मानिनी नहीं हूँ।

काव्य सौन्दर्य :

1. नायिका की नायक के प्रति खीझ का मनोवैज्ञानिक चित्रण है।
2. मनमोहन मानिनी में अनुप्रास अलंकार है।
3. वक्रोक्ति अलंकार का सुन्दर प्रयोग है।
4. माधुर्य गुण, ब्रजभाषा में कोमलकान्त पदावली का प्रयोग किया है।

[3] मोर-पखा ‘मतिराम’ किरीट मनोहर मूरति सौ मन लैगो।
कुण्डल डोलनि, गोल कपोलनि बोल सनेह के बीज से बैगो।।
लाल बिलोचनि कौलनि सो मुसकाइ इतै अरुझाइ चितैगो।
एक घरी घन से तन सौं अँखियान घनो घनसार सो दैगो।।

शब्दार्थ :
किरीट = मुकुट; मनोहर = सुन्दर; कुण्डल = कान का आभूषण; डोलनि = हिलना; कपोलनि = गालों पर; सनेह = प्रेम; मुसकाइ = मुस्कराना; इतै = यहाँ, अरुझाइ = उलझाना; घरी = घड़ी; घन = मेघ; घनो = गहरा; तन = शरीर; अँखियान = आँखों से।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ नायिका का श्रीकृष्ण के प्रति अनन्य प्रेम का चित्रण है।

व्याख्या :
नायिका कहती है कि वह श्रीकृष्ण जिन के सिर पर मोरपंखी से युक्त मुकुट सुशोभित है, वह मनोहर मूर्ति वाले श्रीकृष्ण मेरा मन ले गये हैं। उनके कानों में कुण्डल हिल रहे हैं, गाल गोलाकार हैं। वे बोलकर मानो स्नेह के बीज बो गये हैं। लाल नेत्रों के विलास से मुस्कराकर वह मेरा चित्त अपने में उलझा गये हैं। एक घड़ी के मिलन से मेघ के सदृश आनन्द देकर वह मेरे नेत्रों को घनघोर वर्षा से पूर्ण कर गये हैं अर्थात् उसके विरह में मेरी आँखें निरन्तर बरसती रहती हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. वियोग शृंगार का वर्णन है। नायिका की विरह व्यथा का भावपूर्ण चित्रण है।
2. ब्रजभाषा सरल, सरस एवं मधुर पदावली से युक्त है।
3. घनो घनसार …….. अनुप्रास अलंकार है।

[4] मोर-पखा ‘मतिराम’ किरीट में कण्ठ बनी वनमाल सुहाई।
मोहन की मुसकानि मनोहर कुण्डल डोलनि मैं छवि छाई।।
लोचन लोल बिसाल बिलोकनि को न बिलोकि भयो बस माई।
वा मुख की मधुराई कहाँ कहौं? मीठी लगै अँखियान लुनाई।। (2008)

शब्दार्थ :
कण्ठ = गले; सुहाई = अच्छी लगी; मोहन = श्रीकृष्ण; मनोहर = सुन्दर; छवि = रूप; छाई = फैली; लोचन = नेत्र; बिसाल = बड़े; बिलोकनि = देखना; मुख = मुँह; वा = उस; मीठी = मधुर।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 12 Introduction to Three Dimensional Geometry

Introduction to Three Dimensional Geometry Important Questions

Introduction to Three Dimensional Geometry Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
Distance of a point (3,4, 5) from origin:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 5\(\sqrt {2}\)
Answer:
(d) 5\(\sqrt {2}\)

Question 2.
The perpendicular distance of the point P (x, y, z) from X – axis is:
(a) \(\sqrt { { x }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)
(b) \(\sqrt { { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)
(c) \(\sqrt { { x }^{ 2 } + { y }^{ 2 } }\)
(d) \(\sqrt { { x }^{ 2 } + { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)
Answer:
(b) \(\sqrt { { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)

Question 3.
Distance of a point (3, 2, 5) from X – axis is:
(a) \(\sqrt {28}\)
(b)\(\sqrt {30}\)
(c) \(\sqrt {29}\)
(d) 3
Answer:
(c) \(\sqrt {29}\)

Question 4.
The YZ – plane divides the line segment joining the points (2, 3, 4) and (3, 5, – 4) in the ratio:
(a) 2 : 3 internally
(b) 1 : 2
(c) 2 : 3 externally
(d) 1 : 3
Answer:
(c) 2 : 3 externally

Question 5.
Distance between the points (1, 2,3) and (1,3, -2) is :
(a) \(\sqrt {- 26}\)
(b) \(\sqrt {26}\)
(c) 26
(d) ± \(\sqrt {24}\)
Answer:
(b) \(\sqrt {26}\)

Question 6.
Coordinate of a point on Z – axis, equidistant from the points (1, 5, 7) and (5, 1, – 4) is :
(a) (0, 0, \(\frac { 3 }{ 2 }\)
(b) (o, \(\frac { 3 }{ 2 }\), 0)
(c) (\(\frac { 3 }{ 2 }\), 0, 0)
(d) (4, – 4, – 11)
Answer:
(a) (0, 0, \(\frac { 3 }{ 2 }\)

Question 7.
Distance of a point (2, 1, 4) from Y – axis is:
(a) \(\sqrt {20}\)
(b) 1
(c) \(\sqrt {12}\)
(d) \(\sqrt {10}\)
Answer:
(a) \(\sqrt {20}\)

(B) Match the following :

Answer:

1. (e)
2. (d)
3. (b)
4. (a)
5. (c)

(C) Fill in the blanks :

1. If the points (- 1, 3, 2), (- 4, 2, – 2) and (5, 5, λ ) are collinear, then value of λ is …………….
2. The perpendicular distance of point P(x, y, z) from YZ – plane is …………….
3. XY – plane divides the line segment joining the points (- 3, 4, 8) and (5, – 6, 4) in the ratio …………….
4. Distance between the points (1, – 3, 4) and (3, 11, – 6) is …………….
5. Perpendicular distance of a point P (3,4, 5) from YZ – plane is …………….

Answer:

1. 10
2. x
3. 2 : 1
4. 10\(\sqrt {3}\)
5. 3

(D) Write true / false :

1. Distance of a point (4, 3, 5) from Y – axis is \(\sqrt {40}\).
2. Distance of a point (5, 12, 13) from YZ – axis is \(\sqrt {313}\).
3. The coordinate of a point where YZ – plane divides the join of the points (3, 5, – 7) and (- 2, 1, 8) are (0, \(\frac { 13 }{ 5 }\), 2).
4. Coordinate of mid point of the line segment joining the points (- 3, 4, – 8) and (5, – 6, 4) are (1, – 1, 2).
5. Points A(1, 2, 3), B(4, 0, 4) and C (- 2, 4, 2) are collinear.

Answer:

1. False
2. True
3. True
4. False
5. True

(E) Write answer in one word / sentence :

1. A point R lies on the line segment joining the points P (2, – 3, 4) and Q(8, 0, 10) whose x coordinate is 4, then the coordinate of R will be.
2. In what ratio does the plane 2x + y – z = 3 divide the line segment joining the points A (2, 1, 3) and 5(4, – 2, 5)?
3. If the origin is the centroid of the triangle ABC with vertices A (a, 1, 3), B (- 2, b, – 5), C (4, 7, c) then write the value of a, b and c.
4. Find the locus of the point, which is equidistant to the points (3, 4, – 5) and (- 2, 1, 4).
5. In which ratio the XY – plane divides the line joining the points (2, 4, 2) and (2, 5, – 4)?

Answer:

1. (4, – 2, 6)
2. 1 : 2 externally
3. – 2, – 8, – 2
4. 10x + 6y – 18z – 29 = 0
5. 1 : 2 internally.

Introduction to Three Dimensional Geometry Very Short Answer Type Questions

Question 1.
A point is on X – axis. What are its y – co – ordinate and z – co – ordinate?
Answer:
y – co – ordinate and z – co – ordinate of point on X – axis is 0, 0 is (x, 0, 0).

Question 2.
A point is in the xz – plane. What can you say about is y – co – ordinate?
Answer:
On xz – plane the y – co – ordinate will be zero.

Question 3.
The X – axis and Y – axis taken together to form a plane, name of the plane is.
Answer:
The plane is known as xy – plane.

Question 4.
Co – ordinate of any point on xy – plane is.
Answer:
The co – ordinate of any point on xy – plane is (x, y, 0).

Question 5.
Length of perpendicular of point P(x, y, z) from X – axis is.
Answer:
Length of perpendicular = \(\sqrt { { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)

Question 6.
Length of perpendicular of point P(x, y, z) from yz – plane is.
Answer:
Length of perpendicular of point P(x, y, z) from yz – plane is x.

Question 7.
Find the distance of point (3, 4, 5) from xz – plane.
Answer:
Distance of point (3, 4, 5) from xz – plane M(3, 0, 5) = \(\sqrt {0 + 16 + 0}\) = 4.

Question 8.
What is the centroid of ∆ABC whose vertices A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, Z₂) and C(x₃, y₃, z₃)?
Answer:
Centroid of ∆ABC is

Question 9.
Find distance between points (2,3, 5) and (4,3,1).
Solution:
Distance between two points A(x₁, y₁, z₁) and B(x₂, y₂, Z₂):

Question 10.
Find the distance between points (- 3, 7, 2) and (2, 4, – 1).
Solution:

Question 11.
Find the distance of the point (3, 2, 5) from X – axis.
Solution:
Point on X – axis (3, 0, 0)

Question 12.
Find the distance of the point (2, 1, 4) from Y – axis.
Solution:
Point on Y – axis (0, 1, 0)

Question 13.
The three dimensional planes divides the space in how many octants?
Answer:
Three dimensional plane divides the space in eight octants.

Introduction to Three Dimensional Geometry Short Answer Type Questions

Question 1.
Prove that the points (- 2, 3, 5) (1, 2, 3) and (7, 0, – 1) are collinear. (NCERT)
Solution:
Given point are A (- 2, 3, 5), B(1, 2, 3) and C (7, 0, – 1).

Hence points A, B, Care collinear.

Question 2.
Find the co – ordinates of the point which divides the line segment joining the points (- 2, 3, 5) and (1, – 4, 6) in the ratio 2 : 3 internally. (NCERT)
Solution:
Required co – ordinates are :

Question 3.
Given that P (3, 2, – 4), Q (5, 4, – 6) and R (9, 8, – 10) are collinear. Find the ratio in which Q divides PR. (NCERT)
Solution:

⇒ 5k + 5 = 9k + 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
Hence, point Q divides PR internally in ratio 1 : 2.

Question 4.
Find the ratio in which the YZ – plane divides the line segment formed by joining the points (- 2, 4, 7) and (3, – 5, 8).
Solution:
Let the point R (0, y, z) on YZ – plane divides the points P (- 2, 4, 7) and Q (3, – 5, 8) in the ratio m : n.
x = \(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}\)
⇒ 0 = \(\frac { m × 3 + n( – 2) }{ m + n }\)
⇒ 3m – 2n = 0
⇒ 3m = 2n
⇒ \(\frac { m }{ n }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
⇒ m : n = 2 : 3
YZ – plane divides the line PQ internally in ratio 2:3.

Question 5.
If the origin is the centroid of the ∆PQR with vertices P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10) and R (8, 14, 2c) then find the value of a, b and c. (NCERT)
Solution:
Centroid of APQR is :
x = \(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}\), y = \(\frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}\), z = \(\frac{z_{1} + z_{2} + z_{3}}{3}\)
Co – ordinate of centroid are (0, 0, 0),

Question 6.
Find the co – ordinates of a point on Y – axis which are at a distance of 5\(\sqrt {2}\) from the point P(3, – 2, 5).
Solution:
Let A (0, y, 0) be any point on Y – axis.
Given : PA = 5\(\sqrt {2}\)
PA² = 50
⇒ (3 – 0)² + (- 2 – y)² + (5 – 0)² = 50
⇒ 9 + 4 + y² + 4y + 25 = 50
⇒ y² + 4y + 38 – 50 = 0
⇒ y² + 4y – 12 = 0
⇒ y² + 6y – 2y – 12 = 0
⇒ y(y + 6) – 2(y + 6) = 0
⇒ (y – 2)(y + 6) = 0
⇒ y = 2, – 6
The co – ordinate on Y – axis is (0, 2, 0) or (0, – 6, 0).

Question 7.
A point R with x co – ordinate 4 lies on the line segment joining the points P (2, – 3, 4) and Q (8, 0, 10). Find the co – ordinate of the point R.
Solution:
Let the point R (x, y, z) divides PQ in ratio m : n.

Co – ordinate of R (4, – 2, 6).

Question 8.
Find the equation of set of points which are equidistant from the points (1, 2, 3) and (3, 2, – 1). (NCERT)
Solution:
Let point P (x, y, z) be equidistant from points A (1, 2, 3) and B (3, 2, – 1).
∴ PA = PB

⇒ PA² = PB²
⇒ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = (x – 3)² + (y – 2)² + (z +1)²
⇒ x² – 2x + 1 + z² – 6z + 9
– 2x – 6z + 10 = – 6x + 2z + 10
⇒ 4x – 8z = 0
⇒ x – 2z = 0.
This is the required equation.

Question 9.
In which ratio the point (1, 1, 1) divides the line joining the points (3, – 2, 4) and (- 1, 4, 2)?
Solution:
Let point R (1,1,1), divides the line joining the points P (3, – 2, 4) and Q(- 1, 4, 2) in ratio λ : 1.
By formula:
x = \(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}\)
Here x₁ = 3, x₂ = – 1, x = 1, m = λ and n = 1.
∴ 1 = \(\frac { λ(- 1) + 1 × 3 }{ λ + 1}\)
⇒ λ + 1 = – λ + 3
⇒ 2λ = 2
∴ λ = 1
Hence, required ratio is 1 : 1.

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 13 Limits and Derivatives

Limits and Derivatives Important Questions

Limits and Derivatives Short Answer Type Questions

Evaluate the following limits :

Question 1.

Solution:

Question 2.

Solution:

Question 3.

Solution:

Question 4.

Solution:

Question 5.

Solution:

Question 6.

Solution:

Question 7.

Solution:

Question 8.

Solution:

Question 9.
If = 405, then find the value of n.
Solution:

Question 10.
Find the value of :

Solution:

Question 11.

Solution:

Question 12.
If y = e^x cos x, then find the value of \(\frac { dy }{ dx }\)
Solution:
y = e^x.cos x
I II
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(e^x.cos x)
= e^x.\(\frac { d }{ dx }\)cos x + cos x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^x( – sin x) + cos x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^x[cos x – sin x].

Question 13.
If y = e^x cos x, then find the value of \(\frac { dy }{ dx }\)
Solution:
y = e^x.sin x
I II
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(e^x.sin x)
= e^x.\(\frac { d }{ dx }\)sin x + sin x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^xcos x + ^x.e^x
= e^x(cos x + sin x).

Question 14.
Differentiate sin(x + a) w.r.t. x.
Solution:
Let y = sin(x + a)
y = sin x cos a + cos x sin a
∴\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(sin x cos a + cos x sin a)
= cos a\(\frac { d }{ dx }\) sin x + sin\(\frac { d }{ dx }\)cos x
= cos a cos x – sin a sin x
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = cos(x + a).

Question 15.
Differentiate cosecx.cotx w.r.t. x.
Solution:
Let y = cosec x. cot x
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[cosec x. cot x]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = cot x\(\frac { d }{ dx }\) cosec x + cosec x\(\frac { d }{ dx }\) cot x
= – cot xcosec x cot x – cosec x.cosec² x
\(\frac { dy }{ dx }\) = – cosec x[cot² x + cosec² x].

Question 16.
Differentiate \(\frac { cos x }{ 1 + sin x }\) w.r.t. x.
Solution:
Let y = \(\frac { cos x }{ 1 + sin x }\)

Question 17.
Differentiate \(\frac { sec c – 1 }{ sec x + 1 }\) w.r.t. x.
Solution:
Let y = \(\frac { sec c – 1 }{ sec x + 1 }\)

Question 18.
Differentiate sinⁿ x w.r.t. x.
Solution:
Let y = sinⁿ x
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(sinⁿ x )
Put sin x = t,
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)tⁿ = \(\frac { d }{ dt }\)tⁿ. \(\frac { dt }{ dx }\) = n sin^{n – 1}\(\frac { d }{ dx }\)(sin x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = n sin^{n – 1}x cos x.

Limits and Derivatives Long Answer Type Questions

Question 1.
Let f(x) =
, then find the value of a and b.
Solution:

Question 2.
Find the value of , where

Solution:

Question 3.
f(x) is defined such that
and is exist x = 2, then find the value of k.
Solution:

Question 4.
If the function f(x) satisfies= π, then find the value of
Solution:

Question 5.
Find the differential coefficient of the following functions by using first principle method :
(i) sin(x + 1), (ii) cos(x – \(\frac { π }{ 8 }\),
Solution:
(i) Let f(x) = sin(x + 1)
∴ f(x + h) = sin[x + h + 1]
By definition of first principle,

By definition of first principle,

Find the differential coefficient of the following functions

Question 6.
(ax² + sin x)(p + q cos x). (NCERT)
Solution:
Let y = (ax² + sin x)(p + q cos x).
∴ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[(ax² + sin x)(p + q cos x)]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (p + q cos x)\(\frac { d }{ dx }\)(ax² + sin x) + (ax² + sin x)\(\frac { d }{ dx }\) (p + q cos x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (p + q cos x)(2a + cos x) + (ax² + sin x)(0 – q sin x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = – q sin x(ax² + sin x) + (p + q cos x)(2a + cos x)

Question 7.
(x + cos x)(x – tan x) (NCERT)
Solution:
Let y = (x + cos x)(x – tan x)
∴ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[(x + cos x)(x – tan x)]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)\(\frac { d }{ dx }\)(x + cos x) + (x + cos x)\(\frac { d }{ dx }\)(x – tan x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)(1 – sinx) + (x + cos x)(1 – sec² x)
= (x – tan x)(1 – sinx) + (x + cos x)(sec² x – 1)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)(1 – sinx) – tan² x(x + cos x)

Question 8.
\(\frac { 4x + 5sin x }{ 3x + 7 cos x}\)
Solution:
Let y = \(\frac { 4x + 5sin x }{ 3x + 7 cos x}\)

Question 9.
\(\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}\)
Solution:
Let y = \(\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}\)

Question 10.
\(\frac { x }{ 1 + tan x}\)
Solution:
Let y = \(\frac { x }{ 1 + tan x}\)

Question 11.
Find the differential coefficient of \(\frac { sec x – 1 }{ sec x + 1}\)
Solution:
Let y = \(\frac { sec x – 1 }{ sec x + 1}\)

Question 12.
If y = \(\frac { x }{ x + 4 }\), then prove that:
x\(\frac { dy }{ dx}\) = y(1 – y)
Solution:
Given : y = \(\frac { x }{ x + 4 }\)

Question 13.
If y = \(\sqrt {x}\) + \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), then prove that : 2x\(\frac { dy }{ dx}\) + y – 2 \(\sqrt {x}\) = 0
Solution:
Given : y = \(\sqrt {x}\) + \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Question 14.
Find the differential coefficient of \(\frac { sin(x + a) }{ cos x }\)
Solution:
Let y = \(\frac { sin(x + a) }{ cos x }\)
⇒ y = \(\frac { sin x + cos a + cos x sin a }{ cos x }\)
⇒ y = \(\frac { sin x + cos a }{ cos x }\) + \(\frac { cos x + sin a }{ cos x }\)
⇒ y = cos a tan x + sin a
∴ \(\frac { dy }{ dx}\) = \(\frac { d }{ dx}\)(cos a tan x + sin a)
= cos a \(\frac { d }{ dx}\) tan x + \(\frac { d }{ dx}\) sin a
= cos a x sec² x + 0
= sec²x. cos a.

Question 15.
If f(x) = \(\frac { { x }^{ 100 } }{ 100 } +\frac { { x }^{ 99 } }{ 100 }\)+……..\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }\) + x +1, then prove that:
f'(1) = 100 f'(0). (NCERT)
Solution:
Put x = 1, we get
f'(1) = 1 + 1 + ………. 1 + 1 (100 times)
f’(1) = 100 …. (1)
Put x = 0, we get
f'(0) = 0 + 0 + ……… 0 + 1
f’(0) = 1 …. (2)
From equation (1) and (2),
f'(1) = 100 f'(0).

Question 16.
Find the differential coefficient of cos x by first principle method. (NCERT)
Solution:
Let f(x) = cosx
∴ f(x + h) = cos(x + h)
By definition of first principle

Question 17.
Find the differential coefficient of f(x) = \(\frac { x + 1 }{ x – 1 }\) by first principle method.
Solution:
Given : f(x) = \(\frac { x + 1 }{ x – 1 }\)
f(x + h) = \(\frac { x + h + 1}{ x + h – 1 }\)
By definition of first principle,

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 3 Trigonometric Functions

Trigonometric Functions Important Questions

Trigonometric Functions Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :
Question 1.
The value of 1 + cosθ is :
(a) 2sin² θ
(b) \(\frac { { sin }^{ 2 }\theta }{ 2 }\)
(c) 2cos² θ
(d) cos² θ
Answer:
(c) 2cos² θ

Question 2.
The value of \(\frac { cos 11° + sin 11° }{ cos 11° – sin 11° }\) is :
(a) cot 56°
(b) cot 34°
(c) tan 34°
(d) tan 56°
Answer:
(d) tan 56°

Question 3.
The value of sin 18° is :

Answer:

Question 4.
The value of cos 1° cos 2° cos 3° ………… cos 179° is :
(a) 0
(b) 1
(c) – 1
(d) None of these
Answer:
(a) 0

Question 5.
The value of \(\frac { 3 π }{ 2 }\) radian in degree.
(a) 120°
(b) 170°
(c) 220°
(d) 270°
Answer:
(d) 270°

Question 6.
The value of cos² (60 + α) + cos² (60 – α) + cos² α = ……………
(a) 3
(b) \(\frac { 3 π }{ 2 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 3 π }{ 2 }\)

Question 7.
Amplitude of the function f(x) = 2 sin x is :
(a) π
(b) 2π
(c) 1
(d) 2
Answer:
(d) 2

Question 8.
Period of the function f(x) = tan x is :
(a) π
(b) 2
(c) \(\frac { π }{ 2 }\)
(d) – π
Answer:
(a) π

Question 9.
Solution of the equation 4 sin²θ = 1 is :
(a) nπ ± \(\frac { π }{ 3 }\), n ∈ I
(b) 2nπ ± \(\frac { π }{ 3 }\), n ∈ I
(c) nπ ± \(\frac { π }{ 6 }\), n ∈ I
(d) 2nπ ± \(\frac { π }{ 6 }\), n ∈ I
Answer:
(c) nπ ± \(\frac { π }{ 6 }\), n ∈ I

Question 10.
Maximum value of 3cosθ + 4sinθ is :
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 7
Answer:
(c) 5

Question 11.
If tanθ = – \(\frac { 4 }{ 3 }\) , then the value of sinθ is :
(a) – \(\frac { 4 }{ 5 }\) but not \(\frac { 4 }{ 5 }\)
(b) \(\frac { 4 }{ 5 }\) but not \(\frac – { 4 }{ 5 }\)
(c) – \(\frac { 4 }{ 5 }\) or \(\frac { 4 }{ 5 }\)
(d) None of these
Answer:
(c) – \(\frac { 4 }{ 5 }\) or \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 12.
The value of tan15° + cot15° is :
(a) 1
(b) 3
(c) 2
(d) 4
Answer:
(d) 4

Question 13.
The value of sin50° + sin70° + sin10° is :
(a) 0
(b) 1
(c) – 1
(d) None of these
Answer:
(a) 0

Question 14.
One value of θ which satisfy the equation cosθ +\/3sinθ = 2 is :
(a) \(\frac { π }{ 2 }\)
(b) \(\frac { π }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 2π }{ 3 }\)
(d) \(\frac { π }{ 4 }\)
Answer:
(b) \(\frac { π }{ 3 }\)

Question 15.
The general value of θ satisfying the equation cosθ = , tanθ = 1is :
(a) 2nπ + \(\frac { 5π }{ 4 }\)
(b) 2nπ – \(\frac { 5π }{ 4 }\)
(c) 2nπ + \(\frac { π }{ 4 }\)
(d) 2nπ – \(\frac { π }{ 4 }\)
Answer:
(a) 2nπ + \(\frac { 5π }{ 4 }\)

(B) Match the following :

Answer:

1. (d)
2. (c)
3. (a)
4. (b)
5. (g)
6. (j)
7. (e)
8. (i)
9. (h)
10. (f)

(C) Fill in the blanks :

1. The value of cos 18° = ……………….
2. The value of sin 75° = ……………….
3. If tan A = \(\frac { 5 }{ 6 }\) and tan B = \(\frac { 1 }{ 3}\), then the value of A + B = ……………….
4. 2π radian is equal to ………………. right angle.
5. If sinθ + cosθ = 1, then the value of sinθ.cosθ = ……………….
6. The value of \(\frac { 3tanA-{ tan }^{ 3 }A }{ 1-3{ tan }^{ 2 }A }\) = ……………….
7. Solution of the equation cos2θ = cos²θ is ……………….
8. Amplitude of 3cosx is ……………….
9. The value of cot 22\(\frac { 1 }{ 2 }\)° is ……………….
10. If tan θ tan 2θ = 1, then the value of θ is ……………….
11. The value of sin(A + B).sin(A – B) = ……………….
12. The length of the arc of a circle of radian 6 cm substending an angle of 30° at the centre of the circle is ……………….

Answer:

1. \(\frac { \sqrt { 10+2\sqrt { 5 } } }{ 4 }\)
2. \(\frac { \sqrt { 3 } + 1 }{ 2\sqrt { 2 } }\)
3. 45°
4. 4
5. 0
6. tan 3A
7. nπ
8. 3
9. \(\sqrt {2}\) + 1
10. (n + \(\frac { 1 }{ 3}\))\(\frac { π }{ 3 }\)
11. sin²A – sin²B
12. πcm

(D) Write true / false :

1. The value of tan 105° is \(\frac { \sqrt { 3 } + 1 }{ 2\sqrt { 2 } }\)
2. The value of sin 3A is 4 sin³ A + 3sinA
3. The value of cos² A – sin²B is cos(A + B) cos (A – B)
4. The value of cos² 48°- sin² 12 is \(\frac { \sqrt { 5 } + 1 }{ 4 }\).
5. The value of cos² (\(\frac { π }{ 6 }\) + θ) + sin² (\(\frac { π }{ 6 }\) – θ) is 0.
6. If x is a real, then the equation sinθ = x + \(\frac { 1 }{ x }\) has unique solution.
7. Solution of tan² θ + cot² θ = 2 is 2nπ + \(\frac { π }{ 6 }\)
8. If f(x) = sin² x, then f(- x) = sin² x
9. The value of sin\(\frac { 5π }{ 12 }\).cos\(\frac { π }{ 12 }\) is \(\frac { \sqrt { 3 } – 2 }{ 4 }\).
10. If A + B = \(\frac { π }{ 3 }\) and cosA + cosB = 1, then cos(A – B) = – \(\frac { 1 }{ 3 }\).

Answer:

1. False
2. False
3. True
4. True
5. False
6. False
7. False
8. True
9. False
10. True

(E) Write answer in one word / sentence :

1. Find the solution of equation cos² θ – sin² θ – \(\frac { 1 }{ 4 }\) = 0
2. The value of tan 1° tan 2° tan 3° ……………. tan 18° is :
3. The value of sin(A + B) + sin(A – B) is :
4. If (1 + tan x) (1 + tan y) = 2, then find the value of (x + y):
5. The value of sin( \(\frac { π }{ 3 }\) + x) – sin(\(\frac { π }{ 4 }\) – x)

Answer:

1. θ = nπ + (-1)ⁿ\(\frac { π }{ 6 }\)
2. 1
3. 2sinA.cosB
4. \(\frac { π }{ 4 }\)
5. \(\sqrt { 2 }\) sinx

Trigonometric Functions Short Answer Type Questions

Question 1.
A wheel makes 360 revolutions in 1 min. then how many radians measure of an angle does it turn in 1 second? (NCERT)
Solution:
In 60 seconds number of revolutions of wheel = 360
∴ In 1 second number of revolutions of wheel = \(\frac { 360 }{ 60 }\)
∴ In one revolution angle made = 360° = 2π
∴ In 6 revolutions angle made = 2π x 6 = 12π radian

Question 2.
Find the degree measure of an angle substended at the centre of a circle of radius 100 cm by an arc of length 22 cm.
Solution:
We know that, θ = \(\frac { 1 }{ r }\), length of arc = l = 22 cm, radius = r = 100 cm, angle made at the centre = θ = ?
Applying formula θ = \(\frac { 1 }{ r }\)

Question 3.
In a circle of diameter 40 cm, the length of chord is 20 cm, then find the length of minor arc of the chord.
Solution:
Radius of circle = OA = OB = \(\frac { 40 }{ 2 }\) = 20 cm, AB = 20 cm

Hence OAB is an equilateral triangle.
∴ θ = \(\frac { 1 }{ r }\)
⇒ 60° = \(\frac { AB }{ 20 }\)
⇒ AB = 60° x 20 = 60 x \(\frac { π }{ 180 }\) x 20
= \(\frac { 20π }{ 3 }\) cm.

Question 4.
If in two circles, arc of the same length substend angles of 60° and 75° at the centre, then find the ratio of their radii. (NCERT)
Solution:

Question 5.
Find value : (i) sin75°, (ii) tan15°
Solution:

Question 6.
Prove that:
sin²\(\frac { π }{ 4 }\) + cos²\(\frac { π }{ 3 }\) = – \(\frac { 1 }{ 2 }\)
Solution:

Question 7.
Prove that:
cos 27°. tan 27°. tan 63°. cosec 63° = 1. (NCERT)
Solution:
L.H.S. = cos 27°. tan 27°.tan 63°. cosec 63°
= cos 27°. tan 27° tan(90° – 27°). cosec (90° – 27°)
= cos 27°. tan 27° cot 27°. sec 27°
= \(\frac { 1 }{ sec 27° }\).\(\frac { 1 }{ cot 27° }\)cot 27°. sec 27° sec 27° cot 27°
= 1 = R.H.S.

Question 8.
Find the general solution of the following equations :

1. sinθ = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\)
2. tanθ = 1
3. \(\sqrt { 3 }\) tanθ + 1 = 0.

Solution:
1. sinθ = \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\)
⇒ sinθ = sin\(\frac { π }{ 3 }\)
∴ θ = nπ + ( – 1)ⁿ\(\frac { π }{ 3 }\) [ ∵ sinθ = sinα ⇒ θ = nπ + (- 1)ⁿα, where n ∈ I]

2. tanθ = 1
⇒ tanθ = tan\(\frac { π }{ 4 }\)
∴ θ = nπ + \(\frac { π }{ 4 }\) [ ∵tanθ = tanα ⇒ θ = nπ + α, where n ∈ I]

3. \(\sqrt { 3 }\) tanθ + 1 = 0.
⇒ tanθ = – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } }\) = – tan\(\frac { π }{ 6 }\)
⇒ tanθ = tan (π – \(\frac { π }{ 6 }\))
⇒ tanθ = tan\(\frac { 5π }{ 6 }\)
∴ θ = nπ + \(\frac { 5π }{ 4 }\) [ ∵tanθ = tanα ⇒ θ = nπ + α, where n ∈ I]

Question 9.
Solve the following equations :
(i) 4 sin² θ = 1
(ii) 3 tan² θ = 1.
Solution:

Question 10.
Find the principal value of x :
tan x = \(\sqrt { 3 }\)
Solution:
tan x =\(\sqrt { 3 }\)
tan x = tan\(\frac { π }{ 3 }\) = tan(π + \(\frac { π }{ 3}\))
⇒ tan x = tan\(\frac { π }{ 3 }\) = tan\(\frac { 4π }{ 3 }\)
⇒ x = \(\frac { π }{ 3 }\) or \(\frac { 4π }{ 3 }\)
Principal value of x = \(\frac { π }{ 3 }\)
∴ tan x = \(\sqrt { 3 }\) ⇒ tanx = tan\(\frac { π }{ 3 }\)
Hence, general solution of x = nπ + \(\frac { π }{ 3 }\), [ ∵tanθ = tanα ⇒ θ = nπ + α, where n ∈ I]

Question 11.
Find the principal value of x :
sec x = 2.
Solution:

Trigonometric Functions Long Answer Type Questions

Question 1.
Prove that:
\(\frac { sinx – siny }{ cosx + cosy }\) = tan\(\frac { x – y }{ 2 }\)
Solution:

Question 2.
Prove that:
\(\frac { sin3x + sinx }{ cos3x + cosx }\) = tan2x.
Solution:

Question 3.
Prove that:
\(\frac { sinx – sin3x }{ { sin }^{ 2 }x – { cos }^{ 2 }x }\) = 2 sinx.
Solution:

Question 4.
Prove that:
\(\frac { cos9x – cos5x }{ sin17x – sin3x }\) = – \(\frac { sin2x}{ cos10x }\)
Solution:

Question 5.
Prove that:
\(\frac { sin5x + sin3x }{ cos5x + cos3x }\) = tan4x.
Solution:

Question 6.
Prove that:
2sin²\(\frac { π }{ 6 }\) + cosec²\(\frac { 7π }{ 6 }\)cos²\(\frac { π }{ 3 }\) = \(\frac { 3 }{ 2 }\)
Solution:

Question 7.
Prove that:
cot²\(\frac { π }{ 6 }\) + cosec\(\frac { 5π }{ 6 }\) + 3tan²\(\frac { π }{ 6 }\) = 6
Solution:

Question 8.
Prove that:
2sin²\(\frac { 3π }{ 4 }\) + 2cos²\(\frac { π }{ 4 }\) + 2sec²\(\frac { π }{ 3 }\) = 10
Solution:

Question 9.
Prove that:
\(\frac { cos11° + sin11° }{ cos11° – sin11° }\) = tan56°
Solution:

Question 10.
Prove that:
tan 3A – tan 2A – tan A = tan 3A. tan 2A. tan A.
Solution:
tan3A – tan2A – tanA – tan3A.tan2A. tanA = 0
⇒ tan3A – tan2A – tanA (l + tan3A.tan2A) = 0
⇒ tan 3A – tan 2A = tan A (1 + tan 3 A. tan 2 A)
⇒ \(\frac { tan 3A – tan 2A}{ 1 + tan 2A.tan 3A }\)
⇒ tan(3A – 2 A) = tan A
⇒ tanA = tan A.

Question 11.
Prove that:
cos(\(\frac { π }{ 4 }\) + x) + cos(\(\frac { π }{ 4 }\) – x) = \(\sqrt {2}\)cosx
Solution:

Question 12.
Prove that:

Solution:

Question 13.
If α + β = \(\frac { π }{ 4 }\), then prove that :
(1 + tanα)(1 + tanβ) = 2.
Solution:
Given α + β = \(\frac { π }{ 4 }\)
tan(α + β) = tan \(\frac { π }{ 4 }\)

⇒ tan α + tan β = 1 – tanα.tan β
⇒ tan α + tan β.tanα.tan β = 1
⇒ tan α + tan β(1 + tanα) = 1
⇒ 1 + tan α + tan β(1 + tanα) = 1 + 1
⇒ ( 1 + tan α)(1 + tan β) = 2

Question 14.
Find the general solution of cos4x = cos 2x.
Solution:
Given equation :
cos4x = cos2x
⇒ cos4x – cos2x = 0
⇒ – 2sin\(\frac { 4x + 2x}{ 2 }\).sin\(\frac { 4x – 2x}{ 2 }\) = 0
⇒ – 2sin3x.sinx = 0
⇒ sinx.sin3x = 0
⇒ sin3x = 0 or sinx = 0
⇒ 3x = nπ or x = nπ
⇒ x = \(\frac { nπ}{ 3 }\) or x = nπ, where n∈I.

Question 15.
Solve the equation tan 2x = cot(x + \(\frac { π }{ 3 }\))
Solution:

Question 16.
Solve the equation sin 3θ = sin 2θ
Solution:
Given equation sin3θ = sin2θ
sin 3θ – sin 2θ = 0

Question 17.
Solve the equation tan2θ = tan\(\frac { 2 }{ θ }\)
Solution:
tan 2θ = tan\(\frac { 2 }{ θ }\)
⇒ 2θ = nπ + \(\frac { 2 }{ θ }\)
⇒ 2θ – \(\frac { 2 }{ θ }\) = nπ + \(\frac { 2 }{ θ }\)
⇒ 2θ – \(\frac { 2 }{ θ }\) = nπ
⇒ 2θ² – 2 = nπθ
⇒ 2θ² – nπθ – 2 = 0

Question 18.
Solve the equation tanθ.tan2θ = 1
Solution:

Question 19.
If sec x = \(\frac { 13 }{ 5 }\) and x is in fourth quadrant, then find the other five trigonometrical functions (NCERT)
Solution:
secx = \(\frac { 13 }{ 5 }\) ,
Given : x is in fourth quadrant,

Question 20.
If tan x = – \(\frac { 5 }{ 12 }\) and x is in second quadrant, then find the other five trigonometrical functions (NCERT)
Solution:
Given : tan x = – \(\frac { 5 }{ 12 }\) ,

∴ x is in second quadrant, ∵ secx is negative.

∵ x is in second quadrant, hence sinx is positive.
sinx = \(\frac { 5 }{ 13 }\)
cosecx = \(\frac { 1 }{ sin x }\) = \(\frac { 1 }{ 5/13 }\) = \(\frac { 13 }{ 5 }\)

Question 21.
Prove that:
cos 20°. cos 40°. cos 60°. cos 80°= \(\frac { 1 }{ 16 }\) .
Solution:
L.H.S. = cos 20° .cos 40°. cos 60°. cos 80°
= cos 20°.cos 40°.\(\frac { 1 }{ 2 }\). cos80°
= \(\frac { 1 }{ 4 }\)(2 cos 20°. cos 40°). cos 80°
= \(\frac { 1 }{ 4 }\)(cos 60° + cos 20°). cos 80°
= \(\frac { 1 }{ 4 }\) cos 60°. cos 80° + \(\frac { 1 }{ 4 }\) cos 20°. cos 80°
= \(\frac { 1 }{ 4 }\). \(\frac { 1 }{ 2}\). cos 80° + \(\frac { 1 }{ 8 }\)(2 cos 20°. cos 80°)
= \(\frac { 1 }{ 8 }\)cos 80° + \(\frac { 1 }{ 8 }\) (cos 100° + cos 60°)
= \(\frac { 1 }{ 8 }\)cos 80°+\(\frac { 1 }{ 8 }\)[cos(180° – 80°) + \(\frac { 1 }{ 2 }\)
= \(\frac { 1 }{ 8 }\)cos80° + \(\frac { 1 }{ 8 }\)(- cos80°) + \(\frac { 1 }{ 16 }\) [∵cos(180° – θ]= – cosθ]
= \(\frac { 1 }{ 8 }\)cos 80° – \(\frac { 1 }{ 8 }\)cos 80°+ \(\frac { 1 }{ 16 }\)
= \(\frac { 1 }{ 16 }\) = R.H.S.

Question 22.
Prove that:
sin 20°.sin40°.sin60°.sin80°=\(\frac { 3 }{ 16 }\).
Solution:

Question 23.
prove that:
(cosx + cosy)²+ (sinx – siny)² = 4cos²\(\frac { x + y }{ 2 }\)
Solution:

Question 24.
prove that:
(cosx – cosy)²+ (sinx – siny)² = 4sin²\(\frac { x – y }{ 2 }\)
Solution:
L.H.S. = (cosx – cosy)²+ (sinx – siny)²
= cos²x + cos²y – 2 cosxcosy + sin²x + sin²y – 2sinx siny
= cos²x + sin²x + cos²y + sin²y – 2[cosx cosy + sinx siny]
= 1 + 1 – 2cos(x – y) = 2 – 2cos(x – y)
= 2[1 – cos(x – y)] = 2 x 2sin²
= 4 sin²\(\frac { x – y }{ 2 }\) = R.H.S.

Question 25.
Prove that:
sinx + sin3x + sin5x + sin7x = 4 cosx cos2x sin4x.
Solution:
L.H.S. = sinx + sin3x + sin5x + sin 7x
= sin7x + sinx + sin5x + sin3x
= 2sin\(\frac { 7x + x }{ 2 }\).cos\(\frac { 7x – x }{ 2 }\) + 2sin\(\frac { 5x + 3x }{ 2 }\).cos\(\frac { 5x – 3x }{ 2 }\)
= 2sin4x.cos3x + 2sin4x.cosx
= 2sin4x[cos3x + cosx]
= 2sin4x[ 2 x cos\(\frac { 3x + x }{ 2 }\).cos\(\frac { 3x – x }{ 2 }\) ]
= 2sin4x[2cos2x.cosx]
= 4sin4x.cos2x.cosx
= R.H.S

Question 26.
Prove that:

Solution:

Question 27.
Solve the equation and find general solution of sec²2x = 1 – tan2x. (NCERT)
Solution:
The given equation is :
sec² 2x = 1 – tan 2x
⇒ 1 + tan²2x = 1 – tan 2x
⇒ tan² 2x = – tan2x
⇒ tan² 2x + tan2x = 0 ⇒ tan2x (tan2x + 1) = 0
⇒ tan2x = 0 tan2x(tan2x + 1) = 0 ⇒ 2x = nπ or tan2x = – 1

Question 28.
Solve the equation 2 cos² x + 3 sin x = 0
Solution:
2 cos² x + 3 sin x = 0
⇒ 2 (1 – sin²  x)+3 sinx = 0
⇒ 2 – 2sin² x+ 3 sinx = 0
⇒ 2 sin² x – 3 sinx – 2 = 0
⇒ 2 sin² x + sinx – 4sinx – 2 = 0
⇒ sinx(2 sinx + 1) – 2(2sinx + 1) = 0
⇒ (2sinx + 1)(sinx – 2) = 0
⇒ 2 sin x +1 = 0 or sinx – 2 = 0
⇒ 2 sin x = – 1 = 0 or sinx = 2
⇒ 2 sin x = – \(\frac { 1 }{ 2 }\)
⇒ sin x = sin(π + \(\frac { π }{ 6 }\)
⇒ sin x = sin\(\frac { 7π }{ 6 }\)
∴ x = nπ + (- 1)ⁿ\(\frac { 7π }{ 6 }\)

Question 29.
Solve the equation tan² θ + (1 – \(\sqrt { 3 }\)) tanθ = \(\sqrt { 3 }\)
Solution:
tan² θ + (1 – \(\sqrt { 3 }\)) tanθ = \(\sqrt { 3 }\)
⇒ tan² θ + (1 – \(\sqrt { 3 }\)) tanθ – \(\sqrt { 3 }\) = 0
⇒ tan² θ + tanθ – \(\sqrt { 3 }\) tanθ – \(\sqrt { 3 }\) = 0
⇒ tanθ(tanθ + 1) – \(\sqrt { 3 }\)(tanθ + 1) = 0
⇒ (tanθ + 1)(tan θ – \(\sqrt { 3 }\)) = 0
⇒ tanθ + 1 = 0 or tan θ – \(\sqrt { 3 }\) = 0
⇒ tanθ = – 1 or tan θ = \(\sqrt { 3 }\)
⇒ tanθ = tan \(\frac { – π }{ 4 }\) = tanθ = tan\(\sqrt { 3 }\)
⇒ tanθ = tan \(\frac { – π }{ 4 }\) = θ = nπ + \(\frac { π }{ 3 }\)
∴ θ = nπ – \(\frac { π }{ 4}\)

Question 30.
Solve the equation \(\sqrt { 2 }\) secθ + tanθ = 1.
Solution:

Question 31.
Find the general solution of the equation sinx + sin5x + sin5x = 0
Solution:

Question 32.
Prove that:
2cos\(\frac { π }{ 13 }\)cos\(\frac { 9π }{ 13 }\) + cos\(\frac { 3π }{ 13 }\) + cos\(\frac { 5π }{ 3 }\) = 0
Solution:

Question 33.
Prove that:

Solution:

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 4 Principle of Mathematical Induction

Principle of Mathematical Induction Important Questions

Principle of Mathematical Induction Long Answer Type Questions

Question 1.
For n > 1, prove that with the help of principle of mathematical induction :
1² + 2² + 3² + 4² + …………. + n² = \(\frac { n(n + 1)(2n + 1) }{ 6 }\). (NCERT)
Solution:

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 2.
For n ≥ 1 prove that :
\(\frac { 1 }{ 1.2 }\) + \(\frac { 1 }{ 2.3 }\) + \(\frac { 1 }{ 3.4 }\) + …………. + \(\frac { 1 }{ n(n + 1) }\) = \(\frac { n }{ n + 1 }\)
Solution:
Let

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.
Instruction:
All questions from 3 to 7 when n∈N prove the statement by using principle of mathematical induction :

Question 3.
1³ + 2³ + 3³ + …………. + n³ = \(\frac { { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 } }{ 4 }\) (NCERT)
Solution:

∴ Given function is true for n = m + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 4.
1 + \(\frac { 1 }{ 1 + 2 }\) + \(\frac { 1 }{ 1 + 2 + 3 }\) + ……….. + \(\frac { 1 }{ 1 + 2 + 3 + ………. + n }\) + …………. + = \(\frac { 2n }{ n + 1 }\).
Solution:
For n = 1, L.H.S = 1
and R.H.S. = \(\frac { 2 x 1 }{ 1 + 1 }\) = 1
The given function is true for n = 1.
Let the function be true for n = m

∴ The Given function is true for n = m + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 5.
1.2 + 2.3 + 3.4 + ………….. + n(n + 1) = \(\frac { n(n + 1)(n + 2) }{ 3 }\)
Solution:
Let p(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ………….. + n(n + 1) = \(\frac { n(n + 1)(n + 2) }{ 3 }\)
If n = 1, L.H.S. = 1.2 = 2
R.H.S = \(\frac { n(n + 1)(n + 2) }{ 3 }\) = \(\frac { 1.2.3 }{ 3 }\) = 2
∴ p(n) is true for n = 1.
Let p(n) be true for n = k

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 6.
\(\frac { 1 }{ 2.5}\) + \(\frac { 1 }{ 5.8 }\) + \(\frac { 1 }{ 8.11}\) + …………. + \(\frac { 1 }{ (3n – 1)(3n + 2) }\) = \(\frac { n }{ 6n + 4 }\)
Solution:
Let p(n) = \(\frac { 1 }{ 2.5}\) + \(\frac { 1 }{ 5.8 }\) + \(\frac { 1 }{ 8.11}\) + …………. + \(\frac { 1 }{ (3n – 1)(3n + 2) }\) = \(\frac { n }{ 6n + 4 }\)
∴ For n = 1, L.H.S = \(\frac { 1 }{ 2.5}\) = \(\frac { 1 }{ 10}\)
and R.H.S = \(\frac { 1 }{ 6.1 + 4}\) = \(\frac { 1 }{ 10}\)
∴ p(n) is true for n = 1.
Let p(n) be true for n = k

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 7.
1.2.3. + 2.3.4 + …………. + n(n+1)(n+2) = \(\frac { n(n + 1)(n + 2)(n + 3) }{ 4 }\). (NCERT)
Solution:
For n = 1, L.H.S = 1.2.3 = 6
And R.H.S. = \(\frac { 1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) }{ 4 }\) = \(\frac { 2.3.4 }{ 4 }\) = 6
∴ Given function is true for n = 1.
Let the function be true for n = k

∴ The given function is true for n = k + 1. Hence the given function is true for all values of n ∈ N.

Question 8.
Prove that (41)ⁿ – (14)ⁿ is a multiple of 27 with the help of principle of mathematical induction. (NCERT)
Solution:
Let P(n) = (41)ⁿ – (14)ⁿ
For n = 1,
P(1) = (41)¹ – (14)¹= 27
Which is multiple of 27.
Let P(ri) be true for n = k.
Then, (41)^k – (14)^k = 27m
Put n = k +1 in P(n)
(41)^k+1 – (14)^k+1 = (41)^k.41 – (14)^k. 14
= (41)^k.41 – 41.(14)^k + 41.(14)^k – (14)^k.14
= 41[(41)^k – (14)^k]+(14)^k [41 – 14]
= 41 x 27m + (14)^k x 27 = 27[41 x m + (14)^k]
Which is multiple of 27.
If the given function P(n) is true for n = k then P(n) will be true for U n = k +1 also.
Hence the given function is true for all values of n ∈ N.

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions गद्य Chapter 12 आदि शंकराचार्य

आदि शंकराचार्य अभ्यास

आदि शंकराचार्य अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
शंकर का जन्म कहाँ हुआ था?
उत्तर:
शंकर का जन्म भारत के केरल प्रान्त में पूर्णा नदी के किनारे बसे एक छोटे से गाँव कालड़ी में हुआ था।

प्रश्न 2.
शंकर के माता-पिता का नाम बताइए।
उत्तर:
शंकर की माताजी का नाम ‘आर्यम्बा’ तथा पिताजी का नाम ‘शिवगुरु’ था।

प्रश्न 3.
ओंकारेश्वर में शंकर ने किससे दीक्षा ली?
उत्तर:
मध्य प्रदेश के प्रसिद्ध तीर्थस्थल ओंकारेश्वर में शंकर ने गौड़पादाचार्य के शिष्य गोविन्दपाद से दीक्षा ली।

प्रश्न 4.
‘तत्वोपदेश’ नामक ग्रन्थ में किसके उपदेश संग्रहीत हैं?
उत्तर:
‘तत्वोपदेश’ नामक ग्रन्थ में शंकराचार्य द्वारा दीक्षा के समय मंडन मिश्र को दिये गये उपदेश संग्रहीत हैं।

प्रश्न 5.
शंकराचार्य और मण्डन मिश्र के बीच हुए शास्त्रार्थ का निर्णायक कौन था?
उत्तर:
शंकराचार्य और मण्डन मिश्र के बीच हुए शास्त्रार्थ का निर्णायक मंडन मिश्र की विदुषी पत्नी उभय भारती थीं।

आदि शंकराचार्य लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
कनकधारा स्त्रोत किसके लिए और क्यों प्रसिद्ध है?
उत्तर:
एक दिन गुरुकुल में अध्ययन के समय ब्रह्मचारी शंकर भिक्षा के लिए निकले। एक झोंपड़ी के सामने पहुँचकर जब उन्होंने भिक्षा की गुहार लगायी तो गृहिणी के पास ब्रह्मचारी को दान में देने के लिए घर में मात्र एक सूखा आंवला था। गृहिणी ने दीनतापूर्वक वह सूखा आंवला शंकर के भिक्षा पात्र में रख दिया। भिक्षा पाकर शंकर को उस घर की दयनीय अवस्था का ज्ञान हो गया। उन्होंने धन और सम्पत्ति की अधिष्ठात्री देवी माँ महालक्ष्मी से प्रार्थना की। लक्ष्मीजी शंकर की स्तुति से प्रसन्न हुईं। कहा जाता है कि आकाश से सोने के आंवलों की वर्षा होने लगी। वह स्तुति कनकधारा स्त्रोत के रूप में प्रसिद्ध है।

प्रश्न 2.
शंकर को संन्यास ग्रहण करने की आज्ञा माँ से कब, किस स्थिति में प्राप्त हुई?
उत्तर:
एक दिन माँ के साथ स्नानादि के लिए शंकर पूर्णा नदी गये थे। माँ स्नान कर किनारे पर खड़ी थी कि उसने शंकर की चीख सुनी। माँ, ने देखा कि कमर तक पानी में डूबे शंकर को कोई अन्दर की ओर खींच रहा है। शंकर ने कहा माँ, मगर मुझे पानी में खींच रहा है, लगता है भगवान मुझे आपसे दूर कर रहे हैं। आप मुझे संन्यास ग्रहण करने की आज्ञा दें, संभव है मगर मेरा पैर छोड़ दे। तब माँ ने शंकर को संन्यास ग्रहण करने की आज्ञा दी।

प्रश्न 3.
अद्वैत का सार लिखिए।
उत्तर:
एक बार योगाचार्य गोविन्दपाद द्वारा शंकर से उसका परिचय पूछने पर शंकर ने उत्तर दिया-“मैं पृथ्वी नहीं हूँ, जल भी नहीं, तेज भी नहीं, न आकाश, न कोई इन्द्रिय अथवा उनका समूह भी। मैं तो इन सबसे अवशिष्ट केवल जो परम तत्व शिव है, वहीं हूँ।” वास्तव में यह मात्र शंकर का परिचय नहीं अपितु अद्वैत का सार ही है।

प्रश्न 4.
शंकर ने ‘मनीषपंचक’ नाम से विख्यात पाँच श्लोकों की रचना किन परिस्थितियों में की थी?
उत्तर:
वाराणसी में एक दिन शंकर से शंकराचार्य बन चुके शंकर अपने शिष्यों के साथ गंगा स्नान को जा रहे थे। अचानक एक चांडाल अपनी पत्नी व चार कुत्तों के साथ सामने से आ रहा था। उसे देखते ही शिष्यों ने उसे एक ओर हट जाने के लिए कहा, ताकि उसका किसी से स्पर्श न हो जाये। यह सुनकर चांडाल सपरिवार वहीं खड़ा हो गया। उसने पूछा-महात्मा आप किसे दूर हटने की आज्ञा दे रहे हैं? मेरे शरीर को या मेरी आत्मा को? शरीर तो नश्वर है, आत्मा सर्वव्यापी है। आप अद्वैत सिद्धान्त में यही उपदेश दे रहे हैं कि ब्राह्मण और चांडाल में कोई अंतर नहीं है। तब आपमें और मुझमें अन्तर कैसा?

शंकराचार्य शांति से चांडाल की बात सुनते रहे। उनको अपने शिष्य की भूल पर बड़ा पश्चाताप हुआ। उसी समय उन्होंने मनीषपंचक नाम से प्रसिद्ध पाँच श्लोकों की रचना की।

प्रश्न 5.
शंकर ने किस विद्वान और विदुषी (पति-पत्नी) से शास्त्रार्थ किया था? उसका क्या परिणाम हुआ?
उत्तर:
शंकर ने माहिष्मति निवासी विश्वनाथ मिश्र उर्फ मंडन मिश्र और उनकी विदुषी पत्नी उभय भारती से शास्त्रार्थ किया। परिणामस्वरूप शंकर से ये दोनों पराजित हो गये और दोनों ने शंकर से संन्यास की दीक्षा ले ली।

आदि शंकराचार्य दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
शंकर ने संन्यास मार्ग अपनाने का निश्चय क्यों किया?
उत्तर:
शंकर के गुरुकुल में अध्ययन करते समय ही उनके पिता शिवगुरु का देहान्त हो गया। पिता की मृत्यु से दुःखी शंकर के मन में विचार आया कि जब एक दिन यह नाशवान शरीर छूटना ही है तो कीड़े-मकोड़ों की तरह साधारण जीवन क्यों जिया जाए क्यों न किसी महान लक्ष्य को लेकर सत्य के मार्ग पर चला जाए। फलस्वरूप सांसारिक बंधनों से मुक्त रहकर शंकर ने समाज जागरण के लिए संन्यास मार्ग पर चलने का निश्चय किया।

प्रश्न 2.
आदि शंकराचार्य द्वारा स्थापित मठों के नाम लिखिए।
उत्तर:
आदि शंकराचार्य ने देश में वेदाध्ययन की परम्परा को पुनः जीवंत करने के उद्देश्य से देश की चारों दिशाओं में चार मठों-काञ्ची, बद्रीनाथ, जगन्नाथपुरी और शारदामठ की स्थापना की। वेदों के प्रचार-प्रसार के निमित्त प्रत्येक मठ को एक वेद के अध्ययन-अध्यापन का दायित्व सौंपा। प्रत्येक मठ का एक देवी-देवता निश्चित किया।

प्रश्न 3.
गोविन्दपाद कौन थे? उन्होंने किसे विधिवत संन्यास की दीक्षा दी थी?
उत्तर:
गुरुकुल में शिक्षा ग्रहण करने के बाद शंकर देश की परिस्थितियों का अवलोकन करते हुए उत्तर दिशा में चल पड़े। पैदल यात्रा करते हुए वह मध्य प्रदेश के सुविख्यात तीर्थस्थल ओंकारेश्वर पहुंचे।

ज्योतिर्लिंग के दर्शन कर वे माँ नर्मदा के घाट पर बैठे थे कि उन्हें सूचना मिली कि समीप ही एक गुफा में गौड़पादाचार्य के परमशिष्य एवं महान संत गोविन्दपाद तपस्यारत हैं। समाधिमग्न गोविन्दपादाचार्य के दर्शन से शंकर को अद्भुत शांति मिली। इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि गोविन्दपाद महान आचार्य गौड़पादाचार्य के शिष्य थे और उन्होंने शंकर की असाधारण प्रतिभा को पहचाना और उन्हें अपना शिष्य स्वीकार कर विधिवत संन्यास की दीक्षा दी।

प्रश्न 4.
शृंगेरीमठ का प्रथम आचार्य किसे नियुक्त किया और क्यों?
उत्तर:
कुमारिलभट्ट के निर्देश पर शंकराचार्य उनके शिष्य मंडन मिश्र से शास्त्रार्थ करने माहिष्मती पहुँचे। वहाँ पर उन्होंने वेदों के प्रकाण्ड पण्डित मंडन मिश्र एवं उनकी विदुषी पत्नी उभय भारती को शास्त्रार्थ में पराजित किया। प्रतिज्ञानुसार पति-पत्नी दोनों ने शंकराचार्य से दीक्षा ली। दीक्षा के बाद मंडन मिश्र का नाम सुरेश्वराचार्य हो गया। शंकराचार्य ने मंडन मिश्र उर्फ सुरेश्वराचार्य की विद्वता के चलते उन्हें काञ्ची पीठ से सम्बद्ध शृंगेरी मठ का प्रथम अधिपति अर्थात् आचार्य नियुक्त किया।

प्रश्न 5.
शंकराचार्य के चरित्र की विशेषताओं का उल्लेख कीजिए।
उत्तर:
शंकराचार्य की प्रमुख चारित्रिक विशेषताएँ निम्नलिखित हैं-
(1) मेधावी शंकर बचपन से ही अत्यन्त अद्भुत मेधा के धनी थे। उनकी इस विलक्षण प्रतिभा से ऐसा प्रतीत होता था कि मानो वे शीघ्र ही ‘होनहार विरवान के होत चीकने पात’ वाली कहावत को चरितार्थ करेंगे। माता-पिता ने उन्हें अध्ययन के लिए गुरुकुल भेजा। वहाँ भी शंकर ने ‘अल्पकाल बहु विद्या पाई’ जैसी उक्ति को चरितार्थ किया। उनके सम्पर्क में आने वाले उनकी प्रतिभा और तेजस्वी व्यक्तित्व को देखते ही हतप्रभ हो जाते थे। मात्र 5 वर्ष की आयु में ही उन्हें वेदों के अध्ययन के लिए गुरुकुल भेजा गया था।

(2) तीव्र स्मरण शक्ति-गुरुकुल में शंकर पढ़ाये गये पाठ इत्यादि को एक बार में समझ जाते थे और उसे लम्बे समय तक स्मृति में अंकित कर लेते थे। वास्तव में, वे श्रुतिधर थे अर्थात कोई भी बात मात्र सनने पर ही उन्हें कण्ठस्थ हो जाती थी।

(3) करुणामयी व्यवहार-एक बार गुरुकुल के दिनों में जब वह भिक्षा प्राप्ति के लिए एक निर्धन की झोंपड़ी के द्वार पर पहुँचे और भिक्षा के लिए गुहार लगाई तो उस झोंपड़ी की गृहिणी ने उन्हें देखा और उन्हें कुछ न कुछ दान देना चाहा। किन्तु निर्धनता के कारण उसके पास एक सूखे आंवले के अतिरिक्त भिक्षा देने के लिए कुछ भी न था। उसने वह सूखा आंवला शंकर के भिक्षा-पात्र में रख दिया। भिक्षा पाकर शंकर को उस घर की दयनीय अवस्था का भान हुआ। वह करुणा से भर उठे। उन्होंने लक्ष्मी से प्रार्थना की ताकि उस झोंपड़ी की निर्धनता दूर हो सके। इस प्रकार यह कह सकते हैं कि उनका मन अत्यंत करुणामयी था।

(4) आज्ञाकारी एवं सेवाकारी सुपुत्र शंकर अपने माता-पिता के आज्ञाकारी सुपुत्र थे। बचपन में ही उनके सिर से उनके पिता का साया उठ गया। पिता की असमय मृत्यु पर विचलित हो बालक शंकर ने सांसारिक बंधनों में न बँधकर समाज के जागरण के लिए संन्यासी बनने की ठानी और इसके लिए उन्होंने अपनी माँ की अनुमति लेना ही श्रेष्ठ माना। संन्यासी जीवन के दौरान जब उन्हें अपनी माँ की अस्वस्थता का पता चला तब वह एक सेवाकारी सुपुत्र की तरह अविलम्ब अपनी माँ के पास लौट आये और अन्तिम समय तक अपनी माँ की सेवा-सुश्रुषा की। माँ के देहान्त होने पर प्रचलित मान्यताओं के विपरीत एक संन्यासी होने के बाद भी उन्होंने अपनी माँ का अन्तिम संस्कार स्वयं किया।

(5) प्रकाण्ड ज्ञानी-शंकर को अत्यन्त छोटी आयु से ही वेदों का पूर्ण ज्ञान हो गया था। उन्होंने गोविन्दपाद को अपना गुरु बनाया और ज्ञान की ज्योति चारों ओर फैलाने के ध्येय के साथ सम्पूर्ण भारतवर्ष की यात्रा की। बड़े-बड़े विद्वान पंडित भी इनकी विद्वता से प्रभावित शंकर से शंकराचार्य के रूप में प्रतिष्ठित हुए। मात्र 12 वर्ष की अल्पायु में ही वे कई नामचीन विद्वानों से शास्त्रार्थ करने लगे थे। इसी क्रम में उन्होंने मंडन मिश्र और उनकी विदुषी पत्नी उभय भारती को शास्त्रार्थ में पराजित किया और दोनों को दीक्षा दी। उज्जैन प्रवास के समय शंकराचार्य ने कापालिकों के अमर्यादित आचरण को देखकर उनसे शास्त्रार्थ किया और उन्हें पराजित किया।

(6) महान वेद-प्रचारक वेदों के प्रचार-प्रसार के लिए उन्होंने देश के चार कोनों में मठों की स्थापना की और स्वयं आदि शंकराचार्य कहलाये। प्रत्येक मठ को एक वेद के अध्ययन-अध्यापन का दायित्व सौंपा गया। प्रत्येक मठ का एक प्रमुख देवी-देवता का निर्धारित किया। उनके शिष्यों की संख्या सहस्त्रों में थी। वे सभी सनातन धर्म के प्रचार के साथ-साथ सम्पूर्ण भारतवर्ष को एकता के सूत्र में बाँधने में रत रहे।

(7) ग्रंथों के रचनाकार-उन्होंने कई महान ग्रन्थों की रचना की और अनेक भक्ति स्त्रोतों को लिखा। इनमें कनकधारा स्त्रोत, मनीषपंचक तत्वोपदेश, प्रस्थान त्रयी भाष्य, नर्मदाष्टकम् इत्यादि प्रमुख हैं।

(8) निरहंकारी तथा विनम्र-एक बार शंकर वाराणसी में जब गंगा स्नान के लिए जा रहे थे तब अचानक एक चांडाल अपनी पत्नी व चार कुत्तों के साथ सामने से आ रहा था। शंकर के शिष्यों ने यह सोचकर कि वह कहीं किसी से छू न जाये, उसे एक ओर हटने के लिए कहा। इस पर शंकर ने अपने शिष्यों के द्वारा किये गये व्यवहार पर खेद प्रकट करते हुए चांडाल को अपना गुरु कहा। वास्तव में, कितना निरहंकारी तथा विनम्र था शंकराचार्य का स्वभाव। वह छोटे-से-छोटे को भी अपनाने को तैयार रहते थे, उससे सीख लेते थे और उसे उचित आदर देते थे।

आदि शंकराचार्य भाषा अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों में से उपसर्ग और प्रत्यय बाँटकर लिखिएअसाधारण, दयनीय, अश्रद्धा, विनम्र, प्रखर, निश्चयी, सांसारिक, अलौकिक।
उत्तर:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पदों में समास पहचान कर लिखिएपति-पत्नी, स्वर्गवास, प्रत्येक।
उत्तर:

प्रश्न 3.
दिए गए शब्दों का संधि-विच्छेद कर संधि का नाम लिखिएवेदाध्ययन, संन्यास, चिंतातुर, संकल्प।
उत्तर:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित मुहावरों का वाक्यों में प्रयोग कीजिए-
हाथ बंटाना, खाली हाथ न लौटना, महासमाधि में लीन होना।
उत्तर:
हाथ बंटाना (सहयोग करना) – प्रत्येक विद्यार्थी को विद्यालय के कार्यों में हाथ बँटाना चाहिए।
खाली हाथ न लौटना (बिना कुछ लिए वापिस न होना) – प्रत्येक सद् गृहस्थ की इच्छा होती है कि याचक उसके घर से खाली हाथ न लौटे।
महासमाधि में लीन होना (प्राणांत) – शंकर अपने शिष्यों को उपदेश देते हुए महासमाधि में लीन हो गए।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित वाक्यांशों के लिए दिए गए विकल्पों में से सही एक शब्द लिखिए-
(अ) जो क्रम के अनुसार हो-
(1) यथाक्रम
(2) क्रमबद्ध
(3) सूची
(4) तालिका।
उत्तर:
(1) यथाक्रम

(ब) आदि से अन्त तक-
(1) अन्तिम
(2) आद्यक्षर
(3) आद्यन्त
(4) आद्यादस्तक।
उत्तर:
(3) आद्यन्त

(स) जो छिपाने योग्य है-
(1) छिद्र
(2) गलती
(3) चरित्र
(4) गोपनीय।
उत्तर:
(4) गोपनीय।

(द) जो किए गए उपकार को नहीं मानता-
(1) कृतज्ञ
(2) कृतघ्न
(3) उपकारी
(4) अनुपकारी।
उत्तर:
(2) कृतघ्न

आदि शंकराचार्य पाठ का सारांश

‘आदि शंकराचार्य’ सुविख्यात साहित्यकार ‘श्रीधर पराड़कर’ की प्रयल लेखनी द्वारा जीवनी विधा में लिखित एक अत्यन्त मार्मिक, प्रेरक एवं प्रभावशाली रचना है। प्रस्तुत आलेख आदि शंकराचार्य और उनके जीवन-दर्शन का प्रतिबिम्ब है।

अनादिकाल से वेद-वेदान्त के प्रख्यात विद्वानों की जन्मस्थली एवं निवास स्थान रहे, भारत के केरल प्रान्त में पूर्णा नदी के किनारे बसे एक छोटे से गाँव कालड़ी’ में शंकर का जन्म हुआ। उनके पिता का नाम शिवगुरु एवं माता का नाम आर्यम्बा था। शंकर के दादाजी विद्याराम नंबूदरी वेदों के धुरंधर विद्वान थे।

शंकर बचपन से ही प्रतिभासम्पन्न एवं मेधावी थे। मात्र 5 वर्ष की बाल्यावस्था में ही उन्हें वेदों के अध्ययन के लिए गुरुकुल भेजा गया। शंकर श्रुतिधर थे। वह एक बार बताने पर ही पाठ समझ लेते थे। उन्होंने गुरुकुल में अल्पकाल में ही बहुत ज्ञान अर्जित कर लिया था। जो भी एक बार उनके सम्पर्क में आता था वह बिना उनसे प्रभावित हुए नहीं रहता था। गुरुकुल में शिक्षा प्राप्त करते हुए ही शंकर यह तथ्य जान चुके थे कि समाज ज्ञान के भण्डार वेदों के अनुसार आचरण नहीं कर रहा है। छोटी आयु में ही उनके पिता का देहान्त हो गया। इससे शंकर बहुत दुःखी हुए। उनके मन में विचार आया कि पिता की तरह उनका भी एक दिन जब यह नश्वर शरीर छूटना ही है तो क्यूँ न इसे किसी महान ध्येय की प्राप्ति के लिए लगाया जाये।

इन्होंने समाज के जागरण के लिए संन्यास मार्ग पर चलने का व्रत लिया। एकाकी जीवन जी रही माता आर्यम्बा से संन्यासी जीवन की अनुमति प्राप्त कर वे योग्य गुरु की खोज में देशाटन पर निकल गये। ओंकारेश्वर में उन्होंने गौड़पादाचार्य के शिष्य गोविन्दपाद को अपना गुरु बनाया और उनसे विधिवत् संन्यास की दीक्षा ली। गुरु गोविन्दपाद ने अपने प्रतिभावान शिष्य को ब्रह्मसूत्र, महावाक्य चतुष्टय एवं वेदान्त धर्म की सांगोपांग शिक्षा प्रदान कर धर्म प्रचार के सर्वथा योग्य बनाया। गुरु ने उन्हें अद्वैत का प्रचार करने की आज्ञा दी। इस बीच उन्हें माता की अस्वस्थता का समाचार ज्ञात हुआ। वे तुरन्त अपने गाँव कालड़ी के लिए चल पड़े। माताजी की अस्वस्थता में सेवा-सुश्रुषा की और उनके स्वर्गवास पर उनका अंतिम संस्कार किया। उन्होंने राष्ट्र कल्याण की भावना से कार्य कर रहे लोगों को संगठित करने का प्रण किया। इसकी शुरुआत के लिए उन्होंने भारत की आत्मा कहे जाने वाले नगर वाराणसी को चुना।

वाराणसी में विद्वान इनकी विद्वता से प्रभावित हुए। वे शंकर से शंकराचार्य के रूप में प्रतिष्ठित हुए। इस समय उनकी आयु मात्र 12 वर्ष की थी। यहीं उन्होंने ‘मनीषपंचक’ नाम से विख्यात पाँच श्लोकों की रचना की। अपनी विद्वता का परिचय देते हुए उन्होंने मंडन मिश्र और उनकी धर्मपत्नी विदुषी उभय भारती को शास्त्रार्थ में हराया। देशाटन करते हुए शंकराचार्य ने प्रमुख तीर्थों के दर्शन किये तथा सर्वस्य अद्वैत मत की विजय पताका फहरायी। शंकराचार्य सम्पूर्ण भारत को एकता के सूत्र में बाँधना चाहते थे। उन्होंने वेदान्त का भक्ति के साथ समन्वय कर अद्भुत कार्य किया।

आदि शंकराचार्य का देश के हृदयस्थल मध्यप्रदेश से गहरा सम्बन्ध रहा। ओंकारेश्वर में उन्होंने प्रस्थान त्रयी’ भाष्य तथा ‘नर्मदाष्टकम्’ स्त्रोत की रचना की। शंकराचार्य ने देश की चारों दिशाओं के कोनों में चार मठों की स्थापना की। अन्त में अपने लक्ष्य की पूर्ति करते हुए वे केदारनाथ पहुंचे और यहीं पर मात्र 32 वर्ष की अल्पायु में महासमाधि में लीन हो गये।

आदि शंकराचार्य कठिन शब्दार्थ

हरित = हरा। शस्य श्यामल = धनधान्य सम्पन्न। तट = किनारे। अनादिकाल = प्राचीन समय। प्रख्यात = प्रसिद्ध। धुरंधर = श्रेष्ठ गुणवान। धर्मनिष्ठ = धर्म में निष्ठा रखने वाले। कामना = इच्छा। मेधावी = बुद्धिमान। आह्लाद = हर्ष। प्रतीति = विश्वास। श्रुतिधर = सुनते ही याद करने वाले। नश्वर = नाशवान। ध्येय = लक्ष्य। ग्रहण = स्वीकार। अनुमति = आज्ञा। देशाटन = भ्रमण। आश्वस्त = विश्वास दिलाना। अवलोकन = देखना। दृष्टिक्षेप = नजर डालना। अवशिष्ट = अवशेष। गहन = गहरी। सांगोपांग = अंग व उपांगों सहित, पूर्ण। भासित = प्रतीत। प्रखर = तीव्र। आकांक्षा = इच्छा। अविलम्ब = शीघ्र ही। प्रतिष्ठित = स्थापित। निरहंकार = अभिमान रहित। दिग्विजय = दिशाएँ जीतने। दग्ध = जला हुआ। विदुषी = ज्ञानवान। अनुगत = अनुयायी। महत् = महान।

आदि शंकराचार्य संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

1. शंकर बचपन से ही मेधावी थे। उसकी प्रतिभा धीरे-धीरे प्रकट होने लगी। आर्यम्बा पुत्र की बुद्धिमत्ता की बातें सुनती तो उसका हृदय आह्वलाद से परिपूर्ण हो जाता। इसकी प्रतीति तब अधिक हुई जब 5 वर्ष का होने पर उन्हें वेदाध्ययन के लिये गुरुकुल भेजा गया। शंकर श्रुतिधर थे। एक बार बताने पर वे पाठ समझ लेते थे।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत गद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक के ‘शंकराचार्य’ नामक पाठ से अवतरित है। इसके रचयिता ‘श्रीधर पराड़कर’ हैं।

प्रसंग :
बाल शंकराचार्य की अकूत प्रतिभा का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
बाल्यावस्था से ही शंकर अत्यन्त प्रतिभाशाली थे। विभिन्न माध्यमों से इस मेधावी बालक के अन्दर छिपी मेधा के दर्शन उनके आसपास रहने वाले लोगों को होने लगे थे। शंकर की माता आर्यम्बा अपने होनहार सुपुत्र की वाहवाही की चर्चा जब सुनतीं तो उनका हृदय प्रसन्नता के भावों से भर उठता था। मात्र 5 वर्ष की अल्पायु में ही जब शंकर को ज्ञान के अनन्त स्त्रोत वेदों का अध्ययन करने के लिये गुरुकुल भेजा गया तो उनके बुद्धि-कौशल एवं प्रतिभा पर सहज विश्वास हुआ। शंकर बचपन से ही तेज मस्तिष्क के थे। वे मात्र एक बार सुनने अथवा बताने पर ही सम्बन्धित पाठ को न सिर्फ समझ लेते थे अपितु उसे स्मरण भी कर लेते थे। इसीलिए उन्हें श्रुतिधर कहा गया है।

विशेष :

1. भाषा सरल, बोधगम्य एवं सहज है।
2. वाक्य विन्यास लघु है।
3. शंकर की विलक्षण प्रतिभा का सुन्दर वर्णन किया गया है।

2. गुरुकुल में शिक्षा प्राप्त करते हुए शंकर जान चुके थे कि उन्होंने जिन वेदों का अध्ययन किया है समाज में उसके अनुसार आचरण नहीं हो रहा है। केवल वेद अध्ययन करने मात्र से कुछ नहीं होगा। वेदों के प्रति समाज की अश्रद्धा को दूर करना होगा।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत गद्यांश में बताया गया है कि शंकर अपने अध्ययन काल में ही समझ चुके थे कि समाज में वेदों के प्रति श्रद्धा का भाव नहीं है, उसे समाप्त करना आवश्यक है।

व्याख्या :
शंकर जब गुरुकुल में पड़ते थे तब ही उन्हें इस बात का अनुभव हो गया था कि जिन वेदों का अध्ययन हम कर रहे हैं, समाज उनके अनुरूप आचरण नहीं करता है। समाज में वेदों के प्रति श्रद्धा का अभाव है। वे समझ गये थे कि वेदों को पढ़ने मात्र से कोई लाभ नहीं होगा। अपितु यह आवश्यक है कि समाज में वेदों के प्रति श्रद्धा भाव जगाया जाए। समाज को वेदों के अनुसार व्यवहार करना सिखाना होगा।

विशेष :

1. समाज में वेदों के प्रति श्रद्धा का जो अभाव है, उसे दूर करना आवश्यक है।
2. सरल, सुबोध भाषा-शैली में समझाया गया है।

3. संन्यास का अर्थ संसार को छोड़कर वन में तपस्या करना नहीं अपितु देश व धर्म के कर्म करना था जो मनुष्य को कर्मबंधन में नहीं बाँधते।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत गद्यांश में संन्यास का वास्तविक अर्थ बताया गया है।

व्याख्या :
सामान्यतः लोग मानते हैं कि संन्यास अर्थ संसार को त्यागकर जंगल में जाकर तपस्या करना है। शंकर ने गुरुकुल में पढ़ते समय ही जान लिया था कि समाज वेदों के अनुसार आचरण नहीं कर रहा है। इसलिए उन्होंने संन्यास ग्रहण का अर्थ संसार छोड़कर वन में तपस्या करना स्वीकार नहीं किया। उन्होंने माना कि संन्यास का अर्थ देश और धर्म के लिए ऐसे कर्म करना है जो मनुष्य को कर्मबंधन में नहीं बाँधते हों। उन्होंने समाज कल्याण के लिए इसी प्रकार का संन्यासी बनना स्वीकार किया।

विशेष :

1. यहाँ संन्यास के वास्तविक अर्थ को स्पष्ट किया गया है।
2. सरल, सुबोध भाषा-शैली का प्रयोग हुआ है।

4. परमगुरु को भी शंकर में अलौकिक प्रतिभा भासित हुई। उससे भी अधिक उन्होंने देखा कि उसके पास अपने देश और धर्म की दशा को देखकर रोने वाला हृदय भी है तथा इसा दशा को दूर करने की एक अत्यन्त प्रखर आकांक्षा भी दिखाई दी।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ पर परमगुरु गौड़पादाचार्य ने जो विशेषताएँ शंकर में देखीं, उनका वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
शंकर को शिक्षा देने के बाद गुरु गोविन्दपादाचार्य शंकर को अपने गुरु गौड़पादाचार्य से मिलाने बदरीनाथ ले गये। परमगुरु गौड़पादाचार्य ने जब शंकर को देखा तो उन्हें इस बात का आभास हुआ कि उस बालक में अद्भुत प्रतिभा विद्यमान है। इसके साथ ही उन्हें उस बालक के पास देश तथा धर्म की दयनीय दशा देखकर दु:खी होने वाला हृदय होने का भी अनुभव हुआ। उन्हें यह भी आभास हुआ कि इस बालक में देश और धर्म की दयनीय स्थिति से छुटकारा दिलाने वाली तीव्र इच्छा भी मौजूद है। उन्हें शंकर में विवेक, संवेदना तथा कार्यक्षमता की विद्यमानता का भी आभास हुआ।

विशेष :

1. इसमें बालक शंकर की असाधारण प्रतिभा, संवेदन की अनुभूति तथा उत्कट कर्मठता पर प्रकाश डाला गया है।
2. सहज, सरल भाषा तथा विवेचनात्मक शैली में विषय को प्रस्तुत किया गया है।

5. वे तो सम्पूर्ण भारतवर्ष को एकता के सूत्र में बाँधना चाहते थे। समाज को अद्वैत का पाठ पढ़ाना चाहते थे। उन्होंने वेदान्त और भक्ति का समन्वय किया। उन्होंने किसी भी देवता का खण्डन नहीं किया, लोगों की श्रद्धा को नष्ट न करते हुए केवल श्रद्धा का केन्द्र बदल दिया।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्। प्रसंग-उपरोक्त गद्यांश में शंकराचार्य जी के कार्यों के बारे में बताया गया है।

व्याख्या :
शंकराचार्य का लक्ष्य महान था। उनकी इच्छा थी कि समस्त भारत एकता के सूत्र में बँधा हो। वे समाज को अद्वैत की दीक्षा देने के इच्छुक थे। उन्होंने इसके लिए बड़ा सहज उपाय खोज निकाला। उन्होंने वेदान्त और भक्ति में समन्वय स्थापित करने का अनूठा कार्य किया। लोग भिन्न देवताओं के पुजारी थे, इसलिए उन्होंने किसी भी देवता का निषेध नहीं किया। सभी देवताओं की पूजा का समर्थन करते हुए लोगों के हृदय में अद्वैत के प्रति श्रद्धा जाग्रत कर दी। इस तरह वे लोगों का श्रद्धा-केन्द्र बदलकर अपने उद्देश्य की प्राप्ति में सफल रहे।

विशेष :

1. इसमें शंकराचार्य द्वारा भारत की एकता, अद्वैत की शिक्षा तथा वेदान्त व भक्ति के समन्वय सम्बन्धी कार्यों को स्पष्ट किया गया है।
2. सरल, सुबोध भाषा तथा विवेचनात्मक शैली में विषय को प्रस्तुत किया गया है।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 11 Conic Sections

Conic Sections Important Questions

Conic Sections Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
Coordinates of the focus of the parabola y = 2x² + x are:
(a) (0, 0)
(b) (\(\frac { 1 }{ 2 }\), \(\frac { 1 }{ 4 }\))
(c) (- \(\frac { 1 }{ 4 }\), 0)
(d) ( – \(\frac { 1 }{ 4 }\), \(\frac { 1 }{ 8 }\))
Answer:
(c) (- \(\frac { 1 }{ 4 }\), 0)

Question 2.
In a ellipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 a > b, the relation between a, b an eccentricity e is:
(a) b² = a²(1 – e²)
(b) b² = a²(e² – 1)
(c) a² = b²(1 – e²)
(d) a² = b²(e² – 1)
Answer:
(a) b² = a²(1 – e²)

Question 3.
The length of latus rectum of ellipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1, represent a circle then its eccentricity will be:
(a) \(\frac { { 2a }^{ 2 } }{ b }\)
(b) \(\frac { { 2b }^{ 2 } }{ a }\)
(c) \(\frac { { a }^{ 2 } }{ b }\)
(d) \(\frac { { b }^{ 2 } }{ a }\)
Answer:
(b) \(\frac { { 2b }^{ 2 } }{ a }\)

Question 4.
The eccentricity of the parabola is:
(a) Less than 1
(b) Greater than 1
(c) 0
(d) 1
Answer:
(d) 1

Question 5.
The eccentricity of the ellipse is:
(a) Less than 1
(b) Greater than 1
(c) 0
(d) 1
Answer:
(a) Less than 1

Question 6.
The eccentricity of the hyperbola is:
(a) Less than 1
(b) Greater than 1
(c) 0
(d) 1
Answer:
(b) Greater than 1

Question 7.
In a ellipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1, represent a circle then its eccentricity will be:
(a) Less than 1
(b) Greater than 1
(c) 0
(d) 1
Answer:
(c) 0

Question 8.
The sum of focal distances from any point on the ellipse is:
(a) Equal to major axis
(b) Equal to minor axis
(c) The distance between two foci
(d) Equal to latus rectum.
Answer:
(a) Equal to major axis

Question 9.
The differecne of the focal distances from any point on the hyperbola is:
(a) Equal to its conjugate axis
(b) Equal to its transverse axis
(c) The distance between two foci
(d) Equal to its latus rectum.
Answer:
(b) Equal to its transverse axis

Question 10.
The value of the eccentricity of ellipse 25x² + 16y² = 400 is:
(a) \(\frac { 3 }{ 5 }\)
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 2 }{ 5 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 5}\)
Answer:
(a) \(\frac { 3 }{ 5 }\)

Question 11.
Equation ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 represent a circle if:
(a) a = b, c = 0
(b) f = g, h = 0
(c) a = b, h = 0
(d) f = g, c = 0
Answer:
(a) a = b, c = 0

Question 12.
Area of triangle whose centre (1,2) and which is passes through the point (4,6) will be:
(a) 5π
(b) 10π
(c) 25π
(d) 25π²
Answer:
(c) 25π

Question 13.
The circle passing through (1, – 2) and touching the X – axis at (3,0), also passes through the point:
(a) (2, – 5)
(b) (5, – 2)
(c) (- 2, 5)
(d) (- 5, 2)
Answer:
(a) (2, – 5)

Question 14.
The length of the diameter of the circle which touches the X – axis at the point (1,0) and passes through the point (2,3) is:
(a) \(\frac { 10 }{ 3 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 5 }\)
(c) \(\frac { 6 }{ 5 }\)
(d) \(\frac { 5 }{ 3 }\)
Answer:
(a) \(\frac { 10 }{ 3 }\)

Question 15.
Eccentricity of the hyperbola 3x² – y² = 4 :
(a) 1
(b) 2
(c) – 2
(d) \(\sqrt {2}\)
Answer:
(b) 2

(B) Match the following :

Answer:

1. (c)
2. (e)
3. (b)
4. (a)
5. (d)
6. (i)
7. (h)
8. (f)
9. (j)
10. (g)

(C) Fill in the blanks :

1. The length of the latus rectum of the parabola y² = 4ax is ……………
2. The centre of the ellipse \(\frac { { (x-1) }^{ 2 } }{ 9 } +\frac { { (y-2) }^{ 2 } }{ 4 }\) = 1 will be ……………
3. The vertex of the parabola (y – 2)² = 4a(x -1) is ……………
4. The lines \(\frac { x }{ a }\) – \(\frac { y }{ b }\) = m and \(\frac { x }{ a }\) + \(\frac { y }{ b }\) = \(\frac { 1 }{ m }\) meets always at ……………
5. If an ellipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1, a > b and its eccentricity is e, then the foci will be
6. Standard form of equation of parabola is ……………
7. Parametric equation of a circle x² + y² = 4 is ……………
8. A line y = x + a\(\sqrt {2}\) touches the circle x² + y² = a² point ……………
9. A line y = mx + c touches the circle x² + y² = a² if c = ……………
10. Vertex of the parabola 3y² + 6y – 4x + 11 = 0 is ……………
11. Equation 2x² + 2y² – 12x – 16y + 4 = 0 represent a point circle if k = ……………
12. Radius of circle 3x² + 3y² – 5x – 6y + 4 = 0 is ……………

Answer:

1. 4a
2. (1, 2)
3. (1, 2)
4. Hyperbola
5. (± ae, 0)
6. y² = 4ax
7. x = 2cosθ
8. (- \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } }\), \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } }\) )
9. ±a\(\sqrt { 1+{ m }^{ 2 } }\)
10. (5, 1)
11. 50, 12
12. \(\sqrt {61}\)

(D) Write true / false :

1. Conic section is a locus of the point whose the ratio between the distance from the fixed point and distance from the fixed line, this ratio is called eccentricity of the conic section.
2. The ellipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 has two directrics, the equation of directrics are x = ± \(\frac { a }{ e }\); Where a > b and y = ± \(\frac { b }{ e }\) ; where b > a.
3. The foci of the ellipse \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 are (0, ± be) where a < b.
4. A circle drawn by taking major axis of the ellipse as diameter is called auxiliary circle of the ellipse.
5. The locus of intersection point of the lines bx + ay = abt and bx – ay = \(\frac { ab}{ t }\) will be a ellipse.
6. The focus of a parabola x² = – 16y will be (0, – 4).
7. Equation x² + y² – 6x + 8y + 50 = 0 represent a circle.
8. Circle x² + y² = 9 and x² + y² + 8y + c = 0 touches externally if c = 15 .
9. Eccentricity of hyperbola is 1.
10. Minimum distance between line y – x = 1 and curve x = y² is \(\frac { 3\sqrt { 2 } }{ 8 }\)

Answer:

1. True
2. True
3. True
4. True
5. False
6. True
7. False
8. True
9. False
10. True

(E) Write answer in one word / sentence :

1. If the circle x² + y² + 2ax + 8y +16 = 0, touches X – axis, then the value of α will be.
2. Coordinate of focus of parabola x² = – 10y will be.
3. Write the equation of a circle whose centre is (2,2) and passes through the point (4, 5).
4. The centre of a circle is (5, 7) and touches Y – axis, then its radius will be.
5. If the radius of a circle x² + y² – 6x + ky – 25 = 0 is \(\sqrt {38}\) the value of k will be.
6. Vertex of the parabola y = x² – 2x + 3 will be.
7. Equation of a parabola whose vertex (0, 0) and focus (0, 3) will be.
8. Length of major axis of ellipse 9x² + 16y² = 144 will be.
9. Eccentricity of an ellipse whose latus rectum in half of its minor axis will be.
10. Equation of hyperbola whose one focus in (4, 0 ) and corresponding equation of directrix x = 1 will be.

Answer:

1. ± 4
2. (0, \(\frac { – 5 }{ 2 }\))
3. x² + y² – 4x – 4y – 5 = 0
4. 7, 5
5. ± 4
6. (1, 2)
7. x² = 12y
8. 6
9. \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 }\)
10. \(\frac { x^{ 2 } }{ 4 } -\frac { y^{ 2 } }{ 12 } \) = 1

Conic Sections Long Answer Type Questions

Question 1.
Find the equation of circle which touches the X – axis at a distance of 4 units in the negative direction and makes intercept of 6 units on positive direction of Y – axis.
Solution:
Here OA = CM = 4, BD = 6.
Length of perpendicular drawn from centre C on BD.
Then, BM = MD = 3
In right angled ∆ CMB,
CB² = CM² + BM²
= 4² + 3²
= 16 + 9 =25
⇒ CB = 5

∴ CA = Radius of circle = CB = 5
∴ Centre of circle (- 4, 5) and radius = 5
Hence, equation of circle :
(x + 4)² + (y – 5)² = 5²
⇒ x² + 8x + 16 + y² – 10y + 25 = 25
⇒ x² + y² + 8x – 10y + 16 = 0

Question 2.
Find the equation of circle which touches Y – axis at a distance of 4 units and makes intercept of 6 units on Y – axis?
Solution:
Given : OP = 4, AB = 6, PC = AC = radius.
CM ⊥ AB ∴ AM = BM = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3
OP = CM = 4
In right angled ∆ AMC,

AC² = AM² + CM²
= (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25
∴ AC = 5
From figure PC – OM= 5 = radius
Centre of circle is (5, 4) and radius = 5.
Hence, required equation of circle :
(x – 5)² + (y – 4)² = (5)²
x² – 10x + 25 + y² – 8y + 16 = 25
x² + y² – 10x – 8y + 16 = 0.

Question 3.
ABCD is a square. Supposing AB and AD as the coordinate axes. Find the equation of the circle circumscribing the square if each side of square is of length l.
Solution:
Taking AB and AD as X – axis and Y – axis respectively
Given : AB = BC = CD = DA = 1
M is mid point of AB.
N is mid point of AD.
AM = \(\frac { l }{ 2 }\), AN = \(\frac { l }{ 2 }\) = OM
In ∆OAM,
OA² = AM² + OM²
= \(\frac { l }{ 2 }\)² + \(\frac { l }{ 2 }\)²
= \(\frac{l^{2}}{4}+\frac{l^{2}}{4} = \frac{l^{2}}{2}\)
∴ Radius = OA = \(\frac{l}{\sqrt{2}}\)
Centre of circle (AM, OM) = ( \(\frac { l }{ 2 }\), \(\frac { l }{ 2 }\) )

Required equation of circle is :
(x – \(\frac { l }{ 2 }\) )² + (y – \(\frac { l }{ 2 }\) )² = \(\frac{l^{2}}{2}\)
Centre of circle (AM, OM) = (\(\frac { l }{ 2 }\), \(\frac { l }{ 2 }\))
Required equation of circle is :
(x – \(\frac { l }{ 2 }\))² + (y – \(\frac { l }{ 2 }\))² = \(\frac{l^{2}}{2}\)
⇒ x² – lx + \(\frac{l^{2}}{4}\) + y² – ly + \(\frac{l^{2}}{4}\) = \(\frac{l^{2}}{2}\)
⇒ x² + y² – l(x + y) = 0
⇒ x² + y² = l(x + y)

Question 4.
Find the equation of the circle passing through the points (4, 1) and (6, 5). Whose centre lies on line 4x + y = 16. (NCERT)
Solution:
Let the equation of circle be
x² + y² + 2gx + 2 fy + c = 0 …. (1)
It passes through points (4, 1) and (6, 5).
∴ 8g + 2f + c + 17 = 0 …. (2)
and 12g + 10f + c + 61 = 0 …. (3)
Centre of circle (1) is (- g, – f) which lies on line 4x + y = 16.
∴ – 4g – f – 16 = 0
⇒ 4g + f + 16 – 0 …. (4)
Subtracting equation (2) from equation (3), we get
4g + 8f + 44 = 0
⇒ g + 2f + 11 = 0 …. (5)
On solving equation (4) and (5), g = – 3, f = – 4
Put g = – 3 and f = – 4 in equation (2),
– 24 – 8 + C + 17 = 0
⇒ c = 15
Put values of g, f and c in equation (1), then required equation of circle is :
x² + y² – 6x – 8y + 15 = 0.

Question 5.
Find the equation of the circle which passes through the points (2, 3) and (- 1, 1) whose centre lies on line x – 3y – 11 = 0. (NCERT)
Solution:
Let the equation of circle is :
x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 …. (1)
∵Points (2, 3) and (- 1, 1) lies on equation (1),
∴ (2)² + (3)² + 2g(2) + 2f(3) + c = 0
⇒ 4 + 9 + 4g + 6f + c + 13 = 0
4g + 6f + c + 13 = 0 …. (2)
and (-1)² + (l)² – 2g + 2f + c = 0
⇒ 1 + 1 – 2g + 2f + c = 0
⇒ – 2g + 2f + c + 2 = 0 …. (3)

Putting the value of g, f and c in equation (1), then required equation of circle will be :
x² + y² + 2(\(\frac { -7 }{ 2 }\))x + 2(\(\frac { 5 }{ 2 }\))y + c = 0 …. (1)
x² + y² – 7x + 5y -14 = 0.

Question 6.
Find the equation of circle whose radius is 5, centre is on Y – axis and which passes through point (2, 3).
Solution:
Centre of circle is on X – axis, so k = 0.
Let the equation of circle be :
(x – h)² + (y – k)² = a²
Here a = 5
(x – h)² + (y – 0)² = (5)²
(x – h)² + y² = 25
Circle (1) passes through point (2, 3),
∴ (2 – h)² + (3)² = 25
⇒ (2 – h)² = 25 – 9 = 16 = (4)²
⇒ 2 – h = ± 4

Question 7.
y = mx is a chord of the circle whose radius is ‘a’ and its diameter is X – axis. Origin is one of the limiting points of the chord. Show that the equation to a circle whose diameter is the given chord is given by the equation (1 + m²) (x² + y² ) – 2a (x + my) = 0. Solution:
Equation of circle whose radius is a and centre is (a, 0) will be
(x – a)² + y² = a²
⇒ x² – 2ax + y² + a² = a²
⇒ x² – 2ax + y² = 0 …. (1)
Equation of given line is :
y = mx …. (2)
Now, equation of circle passing through the intersection of eqns. (1) and (2) will be :
x² + y² – 2ax + λ(y – mx) = 0 … (3)
Centre of co – ordinate of circle (3) are (\(\frac { λm + 2a }{ 2 }\), \(\frac { λ }{ 2 }\))
∵ Centre lies on line y = mx.
∴ – \(\frac { λ }{ 2 }\) = m\(\frac { λm + 2a }{ 2 }\)
⇒ λ = \(\frac{-2 a m}{1+m^{2}}\)

Put the value of λ in Equation (3),
x² + y² – 2ax + \(\frac{-2 a m}{1+m^{2}}\) (y – mx) = 0
⇒ (l + m²)(x² + y²) = 2ax + 2am²x + 2amy – 2am²x
⇒ (l + m²)(x² + y²) = 2a(x + my)
⇒ (l + m²)(x² + y²) – 2a(x + my) = 0
Which is required equation of circle.

Question 8.
If the straight line x cos α + y sin α = p cuts a circle x² + y² = a² in two points M and N, then show that the equation of the circle whose diameter is MN will be x² + y² – a² = 2p(x cos α + y sin α – p).
Solution:
Given : Equation of line is :
x cos α + y sin α = p …. (1)
and Equation of circle is
x² + y² = a² …. (2)
Now, equation of circle passing through the intersection of line (1) and circle (2) at points M and N is :
x² + y² – a² + λ(x cos α + y sin α – p) = 0 …. (3)
If MN is diameter of above circle then centre is :
(- \(\frac { λ }{ 2 }\)cos α, – \(\frac { λ }{ 2 }\)sin α)
Which is lies on line x cos α + y sin α = p.
– ( \(\frac { λ }{ 2 }\)cos α )cos α + (- \(\frac { λ }{ 2 }\)sin α)sin α = p
⇒ – \(\frac { λ }{ 2 }\)[cos² α + sin² α] = p
⇒ λ = – 2p
Put the value of λ in equation (3), then required equation of circle is
x² + y² – a² – 2p(x cos α + y sin α – p) = 0
⇒ x² + y² – a² = 2p(x cos α + y sin α – p)

Question 9.
Find the following equation of parabola : (i) co – ordinates of focus, (ii) axis, (iii) equation of directrix, (iv) length of Iatus rectum. (NCERT)
(A) y² = 12x
Solution:
Equation of parabola : y² = 12x
Comparing with y² = 4 ax,
4a = 12 ⇒ a = 3
∴Co – ordinates of focus (a, 0) = (3, 0).
Axis of parabola = X – axis.
Equation of directrix is x = – a ⇒ x = – 3.
Length of latus rectum = 4a = 4 x 3 = 12.

(B) x² = 6y.
Solution:
Equation of parabola: x² = 6y
Comparing with x² = 4ay
4a = 6 a ⇒ 3/2
∴ Co – ordinate of focus (0, a) = (0, 3/2).
Axis of parabola = Y – axis.
Equation of directrix is y = – a ⇒ y = – 3/2.

(C) y² = – 8x
Solution:
Equation of parabola : y² = – 8x
Comparing with y² = – 4ax
– 4a – = – 8 ⇒ a = 2
∴ Co – ordinates of focus (- a, 0) = (- 2, 0).
Axis of parabola = X – axis.
Equation of directrix is x = a ⇒ x = 2.
Length of latus rectum 4a = 4 x 2 = 8.

(D) x² = – 16y
Solution:
Equation of parabola : x² = – 16y
Comparing with x² = – 4ay
– 4a = – 16 ⇒ a = 4
∴ Co – ordinate of focus (0, – a) = (0, – 4)
Axis of parabola = Y – axis
Equation of directrix is y = a ⇒ y = 4
Length of latus rectum = 4a = 16.

Question 10.
An equilateral triangle inscribed in the parabola y² = 4ax, where one vertex is at the vertex of parabola. Find the length of the side of triangle. (NCERT)
Solution:
Let the equation of parabola is y² = 4ax.
Let APQ be the equilateral triangle whose vertex A(0, 0), P(h, k) and Q(h, – k).
AP² = (h – 0)² + (k – 0)²
= h² + k²
⇒ AP = \(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\)
Similarly, AQ = \(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\)

Again, PQ = \(\sqrt{(h-k)^{2}+(k+h)^{2}}\)
= \(\sqrt{(2k)^{2}}\) = 2k
∴ AP = PQ
⇒ \(\sqrt{h^{2}+k^{2}}\) = 2k
⇒ h² + k² = 4k²
⇒ h² = 3k²
⇒ h = \(\sqrt {3}\).k
∵ Point P(h, k) lies on parabola y² = 4ax.
k² = 4ah = 4a.\(\sqrt {3}\)k
⇒ k = 4a\(\sqrt {3}\), [∵ k ≠ 0]
Hence, length of side PQ = 2k = 2.(4a\(\sqrt {3}\)) = 8a\(\sqrt {3}\).

Question 11.
If a parabola reflector is 20 cm in diameter and 5 cm deep. Find the focus. (NCERT)
Solution:
Taking vertex of parabola reflector at origin and X – axis along the axis of parabola.

Equation of parabola y² = 4ax …. (1)
Given : OS = 5 cm, AB = 20 cm, AS = 10 cm
∴ Co – ordinate of A will be (5, 10).
∴ (10)² = 4a x 5
⇒ 100 = 20a
⇒ a = 5
∴ OS = 5 cm
Co – ordinates of focus S will be (5, 0).

Question 12.
An arch is in the form of a parabola with its vertical axis. The arch is 10 m high and 5 m wide at the base. How wide it is 2 m vertex of the parabola. (NCERT)
Solution:
Let the equation of parabola is :
x² = 4 ay …. (1)
Given : AB = 5 metre
AF = BF = \(\frac { 5 }{ 2 }\) metre
OE = 2 metre
OF = 10 metre
Co – ordinate of A will be (\(\frac { 5 }{ 2 }\), 10)
This point lies on parabola, hence it will be satisfy equation (1),
∴ \(\frac { 5 }{ 2 }\)² = 4a x 10
⇒ \(\frac { 25 }{ 4 }\) = 4 x a x 10
⇒ a = \(\frac { 25 }{ 4 × 4 × 10 }\)
⇒ a = \(\frac { 5 }{ 32 }\)

Put the value of a in Equation (1),
∴ x² = 4 x \(\frac { 5 }{ 32 }\)y
⇒ x² = \(\frac { 5 }{ 8 }\)y
Let EC = k
OE = 2
Co – ordinate of C will be (k, 2) and it will satisfy equation of parabola.
We get k² =\(\frac { 5 }{ 8 }\) x 2
⇒ k² = \(\frac { 5 }{ 4 }\)
⇒ k = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
DE = 2EC
2 x \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) = \(\sqrt {5}\)
= 2.23 metre (approx.)

Question 13.
In each of the following ellipse. Find the co – ordinates of the foci and vertices, the length of major axis and minor axis, the eccentricity and the length of latus rectum of the ellipse. (NCERT)
(A) = \(\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{16}\) = 1.
Solution:
Comparing with standard form of ellipse, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
We get, a² = 36 ⇒ a = 6, b² = 16 ⇒ b = 4
Here a > b.
∴ b² = a²(1 – e²)
⇒ 16 = 36(1 – e²)
⇒ 1 – e² = \(\frac { 16 }{ 36 }\) = \(\frac { 4 }{ 9 }\)
⇒ e² = 1 – \(\frac { 4}{9 }\) = \(\frac { 5 }{ 9 }\)
∴ Eccentricity e = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Foci (± ae, o) = (± 6 × \(\frac{\sqrt{5}}{3}\), o)
= (± 2\(\sqrt {5}\), 0)
Vertices (± a, 0) = (± 6, 0)
Length of major axis = 2a = 2 x 6 = 12.
Length of minor axis = 2b = 2 x 4 = 8.
Length of latus rectum = \(\frac{2 b^{2}}{a}\) = \(\frac { 2 × 16 }{ 6 }\) = \(\frac { 16 }{ 3 }\).

(B) \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}\) = 1.
Solution:
Comparing with standard form of ellipse, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
We get, a² = 36 ⇒ a = 6, b² = 16 ⇒ b = 4
Here a < b.
∴ a² = b²(1 – e²)
⇒ 4 = 25(1 – e²)
⇒ 1 – e² = \(\frac { 4 }{ 25 }\)
⇒ e² = 1 – \(\frac { 4}{25 }\) = \(\frac { 21 }{ 25 }\)
∴ Eccentricity e = \(\frac{\sqrt{21}}{5}\)
Foci (0, ± b) = (0, ± 5 × \(\frac{\sqrt{21}}{5}\))
= (0, ± \(\sqrt {21}\))
Vertices (0, ± b) = (0, ± 5)
Length of major axis = 2b = 2 x 5 = 12.
Length of minor axis = 2a = 2 x 2 = 8.
Length of latus rectum = \(\frac{2 a^{2}}{b}\) = \(\frac{2 \times 2^{2}}{5}\) = \(\frac { 2 × 4 }{ 5 }\) = \(\frac { 8 }{ 5 }\).

Question 14.
Find the equation of hyperbola whose foci is (± 4, 0) and length of latus rectum is 12. (NCERT)
Solution:
Foci of hyperbola (± 4, 0).
Hence equation of hyperbola will be :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
Foci (±ae, 0) = (± 4, 0)
∴ ae = 4
Length of latus rectum = \(\frac{2 b^{2}}{a}\) = 12
⇒ b² = 6a
We know, b² = a²(e² – 1)
⇒ 6a = a²e² – a²
⇒ 6a = 4² – a²
⇒ 6a = 16 – a²
⇒ 6a = 16 – a²
⇒ a² + 6a – 16 = 0
⇒ a² + 8a – 2a – 16 = 0
⇒ a(a – 2)(a + 8) = 0
⇒ a = 2, a = – 8, (∵ a cannot be negative)
∴ a = 2
b² = 6a = 6 x 2 = 12
⇒ b = \(\sqrt {12}\)
Putting values of a and b in equation (1), then required equation of hyperbola will be :
\(\frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{y^{2}}{(\sqrt{12})^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{12}\) = 1
⇒ 3x² – y² = 12.

Question 15.
Find the axis, foci, directrix, eccentricity and the latus rectum of the ellipse 9x² + 4y² = 36.
Solution:
Given equation of ellipse
9x² + 4y² = 36
⇒ \(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}\) = 1
Here, b² > a² or b > a
∴ Major axis = 2.3 = 6
Minor axis = 2.2 = 4
Now,
a² = b²(1 – e²)
(2)² = (3)²(1 – e²)
⇒ 4 = 9(1 – e²)
⇒ \(\frac { 4 }{ 9 }\) = 1 – e²
⇒ e² = 1 – \(\frac { 4 }{ 9 }\) = \(\frac { 9 – 4 }{ 9 }\) = \(\frac { 5 }{ 9 }\)
∴ e = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Co – ordinate of foci = (0, ± be )
= (0, ± 3. \(\frac{\sqrt{5}}{3}\))
= (0, ± \(\sqrt {5}\)).
Co – ordinate of vertex = (0, ± b )
= (0 ± 3 ).
Length of latus rectum = \(\frac{2 a^{2}}{b}\)
= \(\frac { 2.4 }{ 3 }\) = \(\frac { 8 }{ 3 }\).

Question 16.
(A) Find the equation of ellipse whose vertices are (± 5, 0) and foci (± 4, 0).
Solution:
Given : Vertices are (± 5, 0) and foci are (± 4, 0)
∴ a = 5
and ae = 4
⇒ 5e = 4
⇒ e = \(\frac { 4 }{ 5 }\)
Let the equation of ellipse is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1, where a > b …. (1)
∴ From b² = a²(1 – e²),
b² = 5²(1 – (\(\frac { 4 }{ 5 }\))²)
b² = 25(1 – \(\frac { 16 }{ 25 }\))
b² = 25 x \(\frac { 9 }{ 25 }\) = 9
Putting values of a and b in equation (1), the required equation of ellipse will be :
\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}\) = 1
⇒ 9x² + 25y² = 225

(B) Find the equation of ellipse whose vertices are (0, ± 13) and foci is (0, ± 5).
Solution:
Let the equation of ellipse is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1, where a < b …. (1)
Vertices of ellipse = (0, ± b) = (0, ± be)
∴ b = 13
Foci = (0, ± 5) = (0, ± be)
∴ be = 15
⇒ 13 x 3 = 5
⇒ e = \(\frac { 5 }{ 13 }\)
Now, a² = b²(1 – e²)
⇒ a² = 13²[1 – ( \(\frac { 5 }{ 13 }\))² ]
⇒ a² = 169[1 – \(\frac { 25 }{ 169 }\) ]
⇒ a² = 169\(\frac { 169 – 25 }{ 169 }\)
⇒ a² = 144
⇒ a = 12.
Putting values of a and b in equation (1), then required equation of ellipse will be :
\(\frac{x^{2}}{(12)^{2}}-\frac{y^{2}}{(13)^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{144}+\frac{y^{2}}{169}\) = 1

Question 17.
Find the equation of ellipse whose centre is at (0, 0), major axis on the Y – axis passing through the points (3, 2) and (1, 6).
Solution:
Let the equation of ellipse is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1, where a < b …. (1)
∵ Equation (1) passes through points(3, 2) and (1, 6)
∴ \(\frac{9}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\) = 1 …. (2)
and \(\frac{1}{a^{2}}+\frac{36}{b^{2}}\) = 1 …. (3)
Multiply equation (2) by 9, we get

Putting value of a² in equation (2), we get
\(\frac { 9 }{ 10 }\) + \(\frac{4}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{4}{b^{2}}\) 1 – \(\frac { 9 }{ 10 }\)
⇒ \(\frac{4}{b^{2}}\) = \(\frac { 1}{ 10 }\)
⇒ b² = 40
Putting values of a² and b² in equation (1), then required equation of ellipse will be :
\(\frac{x^{2}}{10}+\frac{y^{2}}{40}\) = 1

Question 18.
Find the equation of ellipse whose major axis on the X – axis which passes through the points (4, 3) and (6, 2).
Solution:
Let the equation of ellipse is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 …. (1)
∵ It passes through points(4, 3) and (6, 2)
∴\(\frac{36}{a^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\) = 1 …. (2)
and \(\frac{16}{a^{2}}+\frac{9}{b^{2}}\) = 1 …. (3)
Subtracting equation (3) from equation (2), we get
\(\frac{20}{a^{2}}-\frac{5}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{4}{a^{2}} = \frac{1}{b^{2}}\)
⇒ a² = 4b²
Putting value of a² in equation (2), we get
\(\frac{36}{4b^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\) = 1
⇒ \(\frac{9}{b^{2}}+\frac{4}{b^{2}}\) = 1
⇒ 9 + 4 = b²
⇒ b² = 13
Putting values of a² and b² in equation (1), hence
Required equation of ellipse \(\frac{x^{2}}{52}+\frac{y^{2}}{13}\) = 1

Question 19.
An arch is the form of a semi ellipse. It is 8 m wide and 2 m high of the centre. Find the height of the arch at a point 1-5 m from one end. (NCERT)
Solution:
Let the equation of ellipse is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 …. (1)
Here 2a = 8 ⇒ a = 4, b = 2
Putting the values of a and b, we get

\(\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{2^{2}}\) = 1 …. (1)
\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}\) = 1
Given :
AP = 1.5m, OA = \(\frac { 8 }{ 2 }\) = 4m,
OP = OA – AP = 4 – 1.5 = 2.5m.
Let PQ = k
∴ Co – ordinate of Q will be (2.5, k), which will satisfy ellipse’s equation.
Hence,
\(\frac{(2.5)^{2}}{16}+\frac{k^{2}}{4}\) = 1
⇒ \(\frac { 6.25}{ 16 }\) + \(\frac{k^{2}}{4}\) = 1
⇒ \(\frac{k^{2}}{4}\) = 1 – \(\frac { 6.25 }{ 16 }\)
⇒ \(\frac{k^{2}}{4}\) = \(\frac { 16 – 6.25 }{ 16 }\)
⇒ k² = \(\frac { 9.75 }{ 4 }\)
⇒ k² = 2.437
⇒ k = 1.56metre (approx).

Question 20.
A rod of length 12 cm moves with its ends always touching the co – ordinate axes. Determine the equation of the locus of a point P on the rod, which is 3 cm from the end in contact with the X – axis. (NCERT)
Solution:
Let AB be the rod of length 12 cm which make an angle θ with X – axis.
∴ ∠BAO = θ
AB = 12 cm
AP = 3 cm, then PB = 9 cm

In ∆PNA,
sin θ = \(\frac {PN }{ PA }\) = \(\frac { y }{ 3 }\)
In ∆PMB,
cos θ = \(\frac { PM }{ PB }\) = \(\frac { x }{ 9 }\)
sin²θ + cos²θ = \(\frac { y }{ 3 }\)² + \(\frac { x }{ 9 }\)²
⇒ 1 = \(\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{81}\)
Hence required equation is :
\(\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}\) = 1

Question 21.
Find the eccentricity, co – ordinate of foci, equation of directrix and length of Iatus rectum of ellipse 4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0.
Solution:
4x² + y² – 8x + 2y + 1 = 0
⇒ 4x² – 8x + y² + 2y +1 = 0
⇒ 4x² – 8x + (y + 1)² = 0
⇒ 4(x² – 2x) + (y + 1)² = 0
⇒ 4(x² – 2x + 1) + (y + 1)² = 4
⇒ 4(x² – 2x + 1) + (y + 1)² = 4
⇒ \(\frac{(x-1)^{2}}{1}+\frac{(y+1)^{2}}{4}\) or \(\frac{X^{2}}{1}+\frac{Y^{2}}{4}\) = 1
Here, b > a
a² = b²(1 – e²)
⇒ 1 = (1 – e²)
⇒ \(\frac { 1 }{ 4}\) = 1 – e²
⇒ e² = 1 – \(\frac { 1 }{ 4}\) = \(\frac { 3 }{ 4}\)
⇒ Eccentricity e = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Co – ordinate of foci (0, ± be)
= (0, ±2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
= (0, ± \(\sqrt {3}\) )
Here X = 0, Y = ± \(\sqrt {3}\)
∴ x – 1 = 0, y + 1 = ± \(\sqrt {3}\)
⇒ x = 1, y = – 1 ± \(\sqrt {3}\)
foci = (1 ± \(\sqrt {3}\) – 1)
Equation of directrix Y = ± \(\frac { b }{ e}\)
⇒ Y = ± \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).2
⇒ Y = ± \(\frac{4}{\sqrt{3}}\)
Y + 1 = \(\frac{4}{\sqrt{3}}\), (∵ Y = y+1)
⇒ y = ± \(\frac{4}{\sqrt{3}}\) – 1
Length of latus rectum = \(\frac{2 a^{2}}{b}\)
= 2. \(\frac { 1 }{ 2 }\) = 1.

Question 22.
Find the vertices, co-ordinate of foci, eccentricity and length of latus rectum of hyperbola :
(A) 9y² – 4x² = 36.
Solution:
Given : 9y² – 4x² = 36
⇒ \(\frac{9 y^{2}}{36}-\frac{4 x^{2}}{36}\) = 1
⇒ \(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}\) = 1
Comparing the above equation with the standard form of hyperbola
\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1 …. (1)
b² = 4 ⇒ b = 2, a² = 9 ⇒ a = 3
Let e is the eccentricity of hyperbola.
Then, a² = b²(e² – 1)
⇒ 9 = (e² – 1)
⇒ \(\frac { 9 }{ 4 }\) = e² – 1
⇒ e² = \(\frac { 9 }{ 4 }\) + 1 = \(\frac { 13 }{ 4 }\)
∴ Eccentricity e = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vertices = (0, ± b) = (0, ± 2)
Foci = (0, ± be) = (0, ± 2 x \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = (0, ±\(\sqrt {3}\))
Length of latus rectum = \(\frac{2 a^{2}}{b}\) = \(\frac { 2 x 9 }{ 2 }\) = 9

(B) 16x² – 9y² = 576.
Solution:
Given : 16x² – 9y² = 576
⇒ \(\frac{16 x^{2}}{576}-\frac{9 y^{2}}{576}\) = 1
⇒ \(\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}\) = 1
Comparing the above equation with the standard form of hyperbola
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 …. (1)
Here, a² = 36 ⇒ a = 6, b² = 64 ⇒ b = 3
We Know that, b² = a²(e² – 1)
64 = 36(e² – 1)
⇒ \(\frac { 64 }{ 36 }\) = e² – 1
⇒ \(\frac { 16 }{ 9 }\) = e² – 1
⇒ e² = \(\frac { 16 }{ 9 }\) + 1 = \(\frac { 25 }{ 9 }\)
∴ Eccentricity e = \(\frac{5}{3}\)
Vertices = (± a, 0) = (± 6, 0)
Foci = (± ae, 0) = (± 6 x \(\frac { 5 }{ 3 }\)) = (± 10, 0)
Length of latus rectum = \(\frac{2 b^{2}}{a}\) = \(\frac { 2 x 64 }{ 6 }\) = \(\frac { 64 }{ 3 }\).

(c) 5y² – 9x² = 36.
Solution:
Given : 5y² – 9x² = 36
⇒ \(\frac{5 y^{2}}{36}-\frac{9 x^{2}}{36}\) = 1
\(\frac{y^{2}}{\frac{36}{5}}-\frac{x^{2}}{4}\) = 1
Comparing the above equation with the standard form of hyperbola
\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1 …. (1)
Here b² = \(\frac { 36 }{ 5 }\) ⇒ b = \(\frac{\sqrt{6}}{5}\), a² = 4 ⇒ a = 2
We know that, a² = b²(e² – 1)
⇒ 4 = \(\frac{\sqrt{36}}{5}\)(e² – 1)
⇒ e² – 1 = \(\frac { 20 }{ 36 }\) = \(\frac { 5 }{ 9 }\)
⇒ e² = 1 + \(\frac { 5 }{ 9 }\) = \(\frac { 14 }{ 9 }\)

Question 23.
Find the equation of hyperbola whose foci are (0, ± \(\sqrt {10}\)) and which passes through point (2,3).
Solution:
Foci of hyperbola are (0, ±\(\sqrt {10}\)).
∴Form of hyperbola is :
\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1 …. (1)
Foci (0, ± be) = (0, ± \(\sqrt {10}\))
be = \(\sqrt {10}\)
Equation (1) passes through point (2, 3).
∴ \(\frac{9}{b^{2}}-\frac{4}{a^{2}}\)
⇒ 9a² – 4b² = a²b²
We know that, a² = b² (e² – 1)
⇒ a² = b²e² – b²
a² = ( \(\sqrt {10}\))² – b²
⇒ a² = 10 – b²
⇒ b² = 10 – a²
Putting value of b² in equation (2),
9a² – 4(10 – a²) = a² (10 – a²)
⇒ 9a² – 40 + 4a² = 10a² – a⁴
⇒ 13a² – 40 = 10a² – a⁴
⇒ a⁴ + 13a² – 10a² – 40 = 0
⇒ a⁴ + 3a² – 40 = 0
⇒ a⁴ + 8a² – 5a² – 40 = 0
⇒ a²(a² + 8) – 5(a² + 8) = 0
⇒ (a² – 5)(a² + 8) = 0
a² = 5, a² = – 8
∵ The value of a cannot be negative.
∴ a² = 5
b² = 10 – a²
⇒ b²  = 10 – 5
⇒  b² = 5
Putting values of a² and b² in equation (1), then required equation of hyperbola will be :
\(\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{5}\) = 1
⇒ y² – x² = 5.

Question 24.
Find the equation of hyperbola in which the distance between foci is 8 and distance between directrix is 6.
Solution:
Let the equation of hyperbola is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) … (1)
and Eccentricity of hyperbola is e and foci are (ae, 0) and (- ae, 0) and latus rectum
are x = \(\frac { a }{ e }\) and x = – \(\frac { a }{ e }\)
Distance between foci = 2ae
Distance between latus rectum = \(\frac { 2a }{ e }\)
According to question, 2ae = 8
and \(\frac { 2a }{ e }\) = 6
Multiplying equation (2) and (3),
4a² = 48 ⇒ a² = 12
⇒ a = 2\(\sqrt {3}\)
Putting value of a in equation (2),
2.2\(\sqrt {3}\)e = 8 ⇒ e = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
b² = a²(e² – 1)
= 12( \(\frac { 4 }{ 3 }\) – 1) = 4
Putting values of a² and b² in equation (1), the required equation of hyperbola is :
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\)
⇒ x² – 3y² = 12.

Question 25.
Find the centre, eccentricity, foci and length of latus rectum of hyperbola 9x² – 16y² + 18x + 32y – 151 = 0.
Solution:
Equation of hyperbola is :
9x² – 16y² + 18x + 32y – 151 = 0
⇒ 9x² + 18x – 16y² + 32y = 151
⇒ 9(x² + 2x) – 16(y² – 2y) = 151
⇒ 9(x + 1)² – 16(y – 1)² = 151 – 16 + 9
⇒ 9(x + 1)² – 16(y – 1)² = 144
⇒ \(\frac{9(x+1)^{2}}{144}-\frac{16(y-1)^{2}}{144}\)
⇒ \(\frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{(y-1)^{2}}{9}\) = 1
Let x + 1 = X and y – 1 = Y, then equation of hyperbola is
\(\frac{X^{2}}{16} – \frac{Y^{2}}{9}\) = 1
∴ a² = 16 ⇒ a = 4 and b² = 9 ⇒ b = 3.
∴ Centre is (- 1, 1).
For eccentricity = e
b² = a²(e² – 1)
⇒ 9 = 16(e² – 1)
⇒ \(\frac { 9 }{ 16 }\) = e² – 1
⇒ e² = 1 + \(\frac { 9 }{ 16 }\) = \(\frac { 25 }{ 16 }\)
⇒ e = \(\frac { 5 }{ 4 }\)
For foci, X = ± ae, Y = 0
⇒ x +1 = ± 4 x \(\frac { 5 }{ 4 }\), y – 1 = 0
⇒ x + 1 = ± 5, y = 1
⇒ x = 4, – 6, y = 1
∴ Foci are (4, 1) and (6, 1).
Equation of directrix is X = ± \(\frac { a }{ e }\)
⇒ x +1 = ± \(\frac { 4 }{ 5/4 }\)
⇒ x = ± \(\frac { 16 }{ 5 }\) – 1
⇒ x = ± \(\frac { 11 }{ 5 }\) and x = – \(\frac { 21 }{ 5 }\)
⇒ 5x = 11 and 5x + 21 = 0.

Question 26.
If e and ex are the eccentricity of hyperbola \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) and \(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1, then prove that: \(\frac{1}{e^{2}}+\frac{1}{e_{1}^{2}}\) = 1.
Solution:
Equation of hyperbola is
\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
and
\(\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}\) = 1
For eccentricity e of equation (1),
b² = a²(e² – 1)
⇒ \(\frac{b^{2}}{a^{2}}\) = (e² – 1)
⇒ e ² = 1 + \(\frac{b^{2}}{a^{2}}\) = \(\frac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}}\)
⇒ \(\frac{1}{e_{1}^{2}}\) = \(\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}\)
Again for eccentricity e of equation (2),

Question 27.
On a level plain the crack of the rifle and the thud of the ball striking the target are heard at the same instant, prove that the locus of the hearer is a hyperbola.
Solution:
Let P be the situation of hearer and T be the situation of the rifle and S is target. Let the velocity of the ball be v₁ and the velocity of sound be v₂.

Then,
Time to reach the ball from T to S = \(\frac{T S}{v_{1}}\)
Time to reach the sound from S to P = \(\frac{S P}{v_{2}}\)
and Time to reach the sound from T to P = \(\frac{T P}{v_{2}}\)
∴ The crack of the rifle and the thud of the ball are heard at the same instant.
∴ \(\frac{T S}{v_{1}}\) + \(\frac{S P}{v_{2}}\) = \(\frac{T P}{v_{2}}\)
⇒ \(\frac{T P}{v_{2}}\) – \(\frac{S P}{v_{2}}\) = \(\frac{T S}{v_{1}}\)
⇒ TP – SP = \(\frac{v_{2}}{v_{1}}\)
⇒ PT – PS = A constant (∵ v₂, v₂, TS are constant)
Hence locus of point P is hyperbola whose foci is T and S.

MP Board Class 11th Maths Important Questions