Class 6

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 12 अनुपात और समानुपात Ex 12.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 279-280

प्रश्न 1.
यदि 7 मी कपड़े का मूल्य Rs 1470 हो, तो 5 मी कपड़े का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ 7 मी कपड़े का मूल्य = Rs 1470
∴ 1 मी कपड़े का मूल्य = Rs \(\frac { 1470 }{ 7 }\) = Rs 210
∴ 5 मी कपड़े का मूल्य = Rs 5 x 210 = Rs 1050
अतः 5 मीटर कपड़े का मूल्य = Rs 1050

प्रश्न 2.
एकता 10 दिन में Rs 3000 अर्जित करती है। 30 दिन में वह कितना अर्जित करेगी?
हल :
∵ एकता 10 दिन में अर्जित करती है = Rs 3000
∴एकता 1 दिन में अर्जित करती है = Rs \(\frac { 3000 }{ 10 }\)
= Rs 300
∴एकता 30 दिन में अर्जित करेगी = Rs 30 x 300
= Rs 9000
अतः एकता 30 दिन में Rs 9000 अर्जित करेगी।

प्रश्न 3.
यदि पिछले 3 दिन में 276 मिमी वर्षा होती है, तो एक सप्ताह (7 दिन) में कितने मिमी वर्षा होगी ? यह मानते हुए कि वर्षा उसी गति से हो रही है।
हल :
∵3 दिन में वर्षा = 276 मिमी
∴1 दिन में वर्षा = \(\frac { 276 }{ 3 }\) = 92 मिमी
∵1 सप्ताह (7 दिन) में वर्षा = 7 x 92 मिमी = 644 मिमी
अतः एक सप्ताह (7 दिन) में 644 मिमी वर्षा होगी।

प्रश्न 4.
5 किलो गेहूँ का मूल्य Rs 91.50 है।
(a) 8 किलो गेहूँ का मूल्य क्या होगा ?
(b) Rs 183 में कितना गेहूँ खरीदा जा सकता है ?
हल :
(a)∵5 किलो गेहूँ का मूल्य = Rs 91.50
∴1 किलो गेहूँ का मूल्य = Rs \(\frac { 91.50 }{ 5 }\) = Rs 18.30
∴8 किलो गेहूँ का मूल्य = Rs 8 x 18.30
= Rs 146.40
अत: 8 किलो गेहूँ का मूल्य = Rs 146.40

(b)∵Rs 18.30 में गेहूँ खरीदा जा सकता है = 1 किलो
∴Rs 183 में गेहूँ खरीदा जा सकता है = \(\frac{1 \times 183}{18 \cdot 30}\) किलो
= 10 किलो
अत: Rs 183 में 10 किलो गेहूँ खरीदा जा सकता है।

प्रश्न 5.
पिछले 30 दिनों में तापमान 15° सेल्सियस गिरता है। यदि तापमान की गिरावट इसी गति से जारी रहे, तो अगले 10 दिनों में तापमान कितने डिग्री गिरेगा?
हल :
∵30 दिन में तापमान गिरता है = 15°C
∴1 दिन में तापमान गिरता है = \(\frac{15}{30}^{\circ} \mathrm{C}=\frac{1}{2}^{\circ} \mathrm{C}\)
अगले 10 दिनों में तापमान गिरेगा = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10°C = 5°C
अतः अगले 10 दिनों में तापमान 5°C गिरेगा

प्रश्न 6.
शाइना 3 महीने का किराया Rs 15000 देती | है। उसे पूरे वर्ष का किराया कितना देना होगा यदि वर्ष भर किराया समान रहे ?
हल :
∵ 3 महीने का किराया = Rs 15000
∴1 महीने का किराया = Rs \(\frac { 15000 }{ 3 }\)
= Rs 5000
∴12 महीने का किराया = Rs 12 x 5000
= Rs 60,000
अतः शाइना को पूरे वर्ष का किराया Rs 60,000 देना होगा।

प्रश्न 7.
4 दर्जन केलों का मूल्य Rs 180 है। Rs 90 में कितने केले खरीदे जा सकते हैं ?
हल :
∵ Rs 180 में खरीदे जा सकते हैं = 4 x 12
= 48 केले
∴Rs 1 में खरीदे जा सकते हैं = \(\frac { 48 }{ 180 }\) केले
∴Rs 90 में खरीदे जा सकते हैं = \(\frac { 48 }{ 180 }\) x 90 केले
= 24 केले
अत: Rs 90 में 24 केले खरीदे जा सकते हैं।

प्रश्न 8.
72 पुस्तकों का भार 9 किग्रा है। ऐसी 40 पुस्तकों का भार कितना होगा ?
हल :
∵72 पुस्तकों का भार = 9 किग्रा
∴1 पुस्तक का भार = \(\frac { 9 }{ 72 }\) किग्रा
= \(\frac { 1 }{ 8 }\) किग्रा
∴40 पुस्तकों का भार = 40 x \(\frac { 1 }{ 8 }\) किग्रा
= 5 किग्रा
अत: 40 पुस्तकों का भार 5 किग्रा होगा।

प्रश्न 9.
एक ट्रक में 594 किमी चलने पर 108 लीटर डीजल लगता है। 1650 किमी की दूरी तय करने में कितने लीटर डीजल लगेगा?
हल :
∵594 किमी चलने पर डीजल लगता है
= 108 लीटर
∴1 किमी चलने पर डीजल लगेगा
= \(\frac { 108 }{ 594 }\) लीटर
= \(\frac { 2 }{ 11 }\) लीटर
∴1650 किमी चलने पर डीजल लगेगा
= 1650 x \(\frac { 2 }{ 11 }\) लीटर
= 300 लीटर
अतः 1650 किमी की दूरी तय करने में 300 लीटर डीजल लगेगा।

प्रश्न 10.
राजू ने Rs 150 में 10 पेन और मनीष ने Rs 84 में 7 पेन खरीदे। ज्ञात कीजिए किसने पेन सस्ते खरीदे?
हल :
∵राजू 10 पेन खरीदता है = Rs 150 में
∴राजू 1 पेन खरीदता है = Rs \(\frac { 150 }{ 10 }\)
= Rs 15 में
∴मनीष 7 पेन खरीदता है = Rs 84 में
∵मनीष 1 पेन खरीदता है = \(\frac { 84 }{ 7 }\) = Rs 12 में
∵Rs 12 < Rs 15
अतः मनीष ने पेन सस्ते खरीदे।

प्रश्न 11.
अनीश ने 6 ओवर में 42 रन बनाए और अनूप ने 7 ओवर में 63 रन बनाए। एक ओवर में किसने अधिक रन बनाए ?
हल :
∵अनीश द्वारा 6 ओवर में बनाए गए रन = 42
∴अनीश द्वारा 1 ओवर में बनाए गए रन = \(\frac { 42 }{ 6 }\) = 7
∵अनूप द्वारा 7 ओवर में बनाए गए रन = 63
∴अनूप द्वारा 1 ओवर में बनाए गए रन = \(\frac { 63 }{ 7 }\) = 9
अतः अनूप ने एक ओवर में अधिक रन बनाए।

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 12 अनुपात और समानुपात Ex 12.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 276

प्रश्न 1.
क्या निम्न राशियाँ समानुपात में हैं
(a) 15, 45, 40, 120
(b) 33, 121, 9, 96
(c) 24, 28, 36, 48
(d) 32, 48, 70, 210
(e) 4, 6, 8, 12
(f) 33, 44, 75, 100.
हल :
(a) ∵ 15 और 45 का अनुपात = \(\frac{15}{45}=\frac{1}{3}\) = 1 : 3
40 और 120 का अनुपात = \(\frac{40}{120}=\frac{1}{3}\) = 1 : 3
∴ 15 : 45 : : 40 : 120 अर्थात् 15, 45, 40 और 120 समानुपात में हैं।

(b) ∵ 33 और 121 का अनुपात = \(\frac{33}{121}=\frac{3}{11}\) = 3 : 11
9 और 96 का अनुपात = \(\frac{9}{96}=\frac{3}{32}\) = 3 : 32
चूँकि 3 : 11 ≠ 3 : 32 अर्थात् 33 : 121 ≠ 9 : 96
∴ 33, 121, 9 और 96 समानुपात में नहीं हैं।

(c) ∵ 24 और 28 का अनुपात = \(\frac{24}{28}=\frac{6}{7}\) = 6 : 7
36 और 48 का अनुपात = \(\frac{36}{48}=\frac{3}{4}\) = 3 : 4
चूँकि 6 : 7 ≠ 3 : 4 अर्थात् 24 : 48 ≠ 36 : 48
∴ 24, 28, 36 और 48 समानुपात में नहीं हैं।

(d) ∵ 32 और 48 का अनुपात = \(\frac{32}{48}=\frac{2}{3}\)
70 और 210 का अनुपात = \(\frac{70}{210}=\frac{1}{3}\)
चूँकि \(\frac{2}{3} \neq \frac{1}{3}\) अर्थात् 32 : 48 ≠ 70 : 210
∴ 32, 48, 70 और 210 समानुपात में नहीं हैं।

(e) ∵ 4 और 6 का अनुपात = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
8 और 12 का अनुपात = \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)
∴ 4 : 6 = 8 : 12
अर्थात् 4, 6, 8, 12 समानुपात में हैं।

(f) ∵ 33 और 44 का अनुपात = \(\frac{33}{44}=\frac{3}{4}\)
75 और 100 का अनुपात = \(\frac{75}{100}=\frac{3}{4}\)
∴ \(\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\) अर्थात् 33 : 44 = 75 : 100
अर्थात् 33, 44, 75, 100 समानुपात में हैं।

प्रश्न 2.
निम्न में से प्रत्येक कथन के आगे सत्य या असत्य लिखिए :
(a) 16 : 24 :: 20 : 30
(b) 21 : 6 :: 35 : 10
(c) 12 : 18 :: 28 : 12
(d) 8 : 9 :: 24 : 27
(e) 5.2 : 3.9 :: 3 : 4
(f) 0.9 : 0.36 : 10 : 4
उत्तर-
(a) सत्य,
(b) सत्य,
(c) असत्य,
(d) सत्य,
(e) असत्य,
(f) सत्य।

प्रश्न 3.
क्या निम्न कथन सही हैं?
(a) 40 व्यक्ति : 200 व्यक्ति = Rs 15 : Rs 75
(b) 7.5 ली : 15 ली = 5 किग्रा : 10 किग्रा
(c) 99 किग्रा : 45 किग्रा = Rs 44 : Rs 20
(d) 32 मी : 4 मी = 6 सेकण्ड : 12 सेकण्ड
(e) 45 किमी : 60 किमी = 12 घण्टे : 15 घण्टे
उत्तर-
(a) सत्य,
(b) सत्य,
(c) सत्य,
(d) असत्य,
(e) असत्य।

प्रश्न 4.
जाँचिए कि क्या निम्न अनुपात, समानुपात बनाते हैं। यदि समानुपात बनता हो, तो मध्य पद और चरम पद भी लिखिए।
(a) 25 सेमी : 1 मी और Rs 40 : Rs 160
(b) 39 ली : 65 ली और 6 बोतल : 10 बोतल
(c) 2 किग्रा : 80 किग्रा और 25 ग्रा: 625 ग्रा
(d) 200 मिली : 2.5 ली और Rs 4: Rs 50
हल :
(a) 25 सेमी : 1 मी

और Rs 40 : Rs 160 = \(\frac{40}{160}=\frac{1}{4}\)
= 1 : 4
∵दोनों अनुपात समान हैं
∴हाँ, ये समानुपात बनाते हैं।
अब, मध्य पद – 1 मी, Rs 40 ; चरम पद = 25 सेमी, Rs 160

(b) 39 ली : 65 ली

और 6 बोतल : 10 बोतल

∵दोनों अनुपात समान हैं।
∴39 ली : 65 ली :: 6 बोतल : 10 बोतल
हाँ, ये समानुपात बनाते हैं।
मध्य पद – 65 ली और 6 बोतल ; चरम पद – 39 ली और 10 बोतल

(c) 2 किग्रा : 80 किग्रा

25 ग्रा : 625

= 1 : 25
∵1 : 40 ≠ 1 : 25
अतः दिए हुए अनुपात, समानुपात नहीं बनाते हैं।

(d) 200 मिली : 2.5 ली

और Rs 4 : Rs 50 = \(\frac{4}{50}=\frac{2}{25}\) = 2 : 25 .
∵दोनों अनुपात समान हैं अर्थात् 200 मिली : 2.5 ली
= Rs 4 : Rs 50
हाँ, ये समानुपात बनाते हैं।
मध्य पद – 2.5 ली और Rs 4; चरम पद – 200 मिली और Rs 50

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 277

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
पाँच ऐसी ही समस्याएँ बनाएँ और अपने मित्रों से हल करवाएँ
पाँच समस्याएँ
(i) 10 मीटर कपड़े का मूल्य Rs 450 है। 1 मीटर कपड़े की कीमत ज्ञात कीजिए।
(i) 120 किमी दूरी जाने में एक स्कूटर में 3 लीटर पेट्रोल की आवश्यकता होती है। 1 किमी की दूरी तय करने में कितने लीटर पेट्रोल की आवश्यकता होगी?
(iii) लोहे की 5 कुर्सियों का वजन 25 किग्रा है। एक कुर्सी का वजन कितना होगा?
(iv) एक मजदूर 5 दिन में Rs 1500 कमाता है। वह 4 दिन में कितना कमाएगा?
(v) एक हवाई जहाज 6 घण्टे में 4500 किमी उड़ता है, तो 4 घण्टे में यह कितना उड़ेगा?
हल :
(i) ∵10 मीटर कपड़े का मूल्य = Rs 450
∴1 मीटर कपड़े का मूल्य = \(\frac { 450 }{ 10 }\)
= Rs 45

(ii)∵120 किमी दूरी जाने में लगा पेट्रोल = 3 ली
∴1 किमी दूरी जाने में लगा पेट्रोल = \(\frac { 3 }{ 120 }\) ली
= \(\frac { 1 }{ 40 }\) ली

(iii)∵5 कुर्सियों का वजन = 25 किग्रा
∴1 कुर्सी का वजन = \(\frac { 25 }{ 5 }\) किग्रा
= 5 किग्रा

(iv)∵मजदूर 5 दिन में कमाता है = Rs 1500
∴मजदूर 1 दिन में कमाएगा = \(\frac { 1500 }{ 5 }\)
= Rs 300
∴मजदूर 4 दिन में कमाएगा = Rs 4 x 300
= Rs 1200

(v)∵हवाई जहाज 6 घण्टे में उड़ता है = 4500 किमी
∴हवाई जहाज 1 घण्टे में उड़ेगा = \(\frac { 4500 }{ 6 }\)
= 750 किमी
∴हवाई जहाज 4 घण्टे में उड़ेगा = 4 x 750 किमी
= 3000 किमी

प्रश्न 2.
निम्न सारणी को पढ़कर पूरा करें।
हल:

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions Surbhi Chapter 16 भोजस्य शिक्षाप्रियता

MP Board Class 6th Sanskrit Chapter 16 अभ्यासः

प्रश्न 1.
एकपदेन उत्तरं लिखत (एक शब्द में उत्तर लिखो)-
(क) धारानगर्याः नृपति कः आसीत्? (धारा नगरी का राजा कौन था?)
उत्तर:
राजा भोजः

(ख) धारानगरी कुत्र अस्ति? (धारा नगरी कहाँ है?)
उत्तर:
मध्यप्रदेशस्य मालव क्षेत्रे

(ग) विप्रस्य हस्ते किम् आसीत्? (ब्राह्मण के हाथ में क्या था?)
उत्तर:
चर्मपात्रं।

प्रश्न 2.
एक वाक्येन उत्तरं लिखत (एक वाक्य में उत्तर लिखो)
(क) भोजस्य नाम केन कारणेन प्रसिद्धम्? (भोज का नाम किस कारण से प्रसिद्ध है?)
उत्तर:
भोजस्य नाम शिक्षाप्रियता कारणेन प्रसिद्धम्। (भोज का नाम शिक्षाप्रियता के कारण प्रसिद्ध है।)

(ख) विप्रम् अति दरिद्रं ज्ञात्वा राजा किम् अपृच्छत्? (ब्राह्मण को अति दरिद्र जानकर राजा ने क्या पूछा?)
उत्तर:
विप्रम् अति दरिद्रं ज्ञात्वा राजा अपृच्छत् “विप्र! चर्मपात्रं किमर्थं हस्ते वहसि?” (ब्राह्मण को अति दरिद्र जानकर राजा ने पूछा, हे ब्राह्मण! चर्मपात्र को हाथ में किसलिए ढो रहे हो (लिए हुए हो)?

प्रश्न 3.
उच्चरयत (उच्चारण करो)
भू + क्त्वा = भूत्वा = होकर।
ज्ञा + क्त्वा = ज्ञात्वा = जानकर।
कृ+ क्त्वा = कृत्वा = करके।
श्रु + क्तवा = श्रुत्वा = सुनकर।
सम् + भू + ल्यप् = सम्भूय = होकर।
वि + ज्ञा + ल्यप् = विज्ञाय = जानकर।
आ + गम् + ल्यप् = आगत्य = आकर।

प्रश्न 4.
कोष्ठकात् उचितानि पदानि चित्वा रिक्त स्थानानि पूरयत (कोष्ठक से उचित शब्द चुनकर रिक्त स्थानों – को पूरा करो)
(क) शिक्षितानां सम्मानं ………….. भोजः प्रसिद्धः अभवत्। (दृष्ट्वा /कृत्वा)
(ख) राजा प्रसन्नो ………… तस्मै पुरस्कारं अयच्छत्। (भूत्वा/ज्ञात्वा)
(ग) लौहशृङ्खलायाः आवश्यकता ……….. कृते अस्ति। (शत्रूणां मूर्खाणां)
उत्तर:
(क) कृत्वा
(ख) भूत्वा
(ग) शत्रूणाम्।।

प्रश्न 5.
पर्यायमेलनं कुरुत (पर्यायवाची शब्दों को मिलाइये)

उत्तर:
(क) → 3
(ख) → 4
(ग) → 5
(घ) → 2
(ङ) → 1

योग्यताविस्तारः

1. पदानां विभक्तिं वचनं च लिखत (शब्दों की विभक्ति और वचन लिखो)
(क) शिक्षिताः
(ख) जनाः
(ग) मार्गे
(घ) भोज
(ङ) प्रदेशस्य
(च) कवये।
उत्तर:

2. ‘कवि’ शब्दस्य रूपाणि लिखत। (कवि शब्द के रूप लिखो)
उत्तर:
‘कवि’ शब्द के रूप

भोजस्य शिक्षाप्रियता हिन्दी अनुवाद

अस्ति मध्यप्रदेशस्य मालवक्षेत्रे धारा नाम नगरी। पुरा अस्याः नगर्याः शासकः नृपतिः भोजः आसीत्। नृपतेः आदेश: आसीत् यत्-

“विप्रोऽपि यो भवेन्मूर्खः, सः पुराद् बहिरस्तु मे।
कुम्भकारोऽपि यो विद्वान् स तिष्ठतु पुरे मम॥”

भोजस्य शिक्षाप्रियताकारणेन शिक्षिताः जनां एव धारानगर्यां वसन्ति स्म। एकदा उद्यानमार्गे विहरन् भोजः कमपि विप्रम् अपश्यत्। तस्य हस्ते चर्ममयं कमण्डलुं दृष्ट्वा तं च अतिदरिद्रं ज्ञात्वा राजा अपृच्छत्-“विप्र ! चर्मपात्रं किमर्थं हस्ते वहसि?” सः च विप्रः मुखशोभया विनम्रप्रश्नेन च तं भोजं मत्वा प्रणम्य अकथयत्-“देव! सम्प्रति लौहस्य ताम्रस्य च अभावः जातः। अत: चर्ममयं पात्रं वहामि।”

अनुवाद :
मध्यप्रदेश के मालव क्षेत्र में धारा नामक नगर है। प्राचीनकाल में इस नगरी का शासक राजा भोज था। राजा का आदेश था कि-“जो ब्राह्मण यदि मूर्ख है, तो वह मेरे इस नगर से बाहर निकल जाये। यदि कुम्हार जो विद्वान है, वह मेरे नगर में ठहरे।”

भोज के शिक्षा-प्रेम के कारण शिक्षित लोग ही धारानगरी में रहा करते थे। एक दिन उद्यान मार्ग पर विहार करते हुए (राजा) भोज ने किसी ब्राह्मण को देख लिया। उसके हाथ में चमड़े के कमण्डल को देखकर और उसे बहुत ही दरिद्र समझकर (जानकर) राजा ने पूछा-हे ब्राह्मण! चमड़े के इस पात्र को व्यर्थ ही क्यों ढो रहे हो। और वह ब्राह्मण मुख शोभा और विनम्र प्रश्न से उसे राजा भोज मानकर प्रणाम करते हुए कहा- “हे देव! अब लोहे और ताँबे का अभाव हो गया है, इसलिए चमड़े का बर्तन ढो रहा हूँ।”

भोजः पुनः अपृच्छत्-“विप्र। कथं लौह-ताम्रयोः अभावः?” तदा विप्रः पद्यं पठति-

“अस्य श्रीभोजराजस्य, द्वयमेव सुदुर्लभम्।
शत्रूणां श्रङ्खलैः लौहं, तानं शासनपत्रकैः॥”

राजा प्रसन्नो भूत्वा तस्मै कवये ताम्रप्रशस्तिपत्रं धनराशि च पुरस्काररूपेण अयच्छत्। शिक्षितानां सम्मानकारणेन भोजस्य नाम अद्यापि भारते प्रसिद्धम्।

अनुवाद :
भोज ने फिर पूछा- “हे ब्राह्मण! लोहे और ताँबे का अभाव क्यों है?” तब ब्राह्मण ने इस पद्य को पढ़ा

“इस राजा भोज के राज्य में दो ही वस्तु बहुत दुर्लभ हैं। शत्रुओं के लिए जंजीरों के कारण लोहा तथा शासन पत्रकों के कारण ताम्र (ताँबा)।”

राजा ने प्रसन्न होकर उस कवि को ताँबे का प्रशस्ति पत्र और धनराशि पुरस्कार के रूप में प्रदान की। शिक्षितों का सम्मान करने के कारण भोज का नाम आज भी भारत में प्रसिद्ध है।

भोजस्य शिक्षाप्रियता शब्दार्थाः.

पुरा = प्राचीन समय में। बहिः = बाहर। ईदृशः = इस प्रकार। चर्ममयं = चमड़े से बना हुआ। कमण्डलुम् = पानी रखने के पात्र को। शृङ्खलैः = जंजीरों से। अस्तु = हो। अयच्छत् = प्रदान किया। वहसि = ले जाते हो। मत्वा = मानकर। विप्रः = ब्राह्मण। सम्प्रति = आजकल। विहरन = घूमते हुए। ताम्रप्रशस्तिपत्रं = ताँबे का प्रशंसापत्र।

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 12 अनुपात और समानुपात Intext Questions

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 265

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक कक्षा में 20 लड़के और 40 लड़कियाँ हैं। लड़कों की संख्या का, लड़कियों की संख्या से क्या अनुपात होगा?
हल :
लड़कों की संख्या = 20,
लड़कियों की संख्या = 40
लड़कों की संख्या का लड़कियों की संख्या के साथ अनुपात

प्रश्न 2.
रवि एक घण्टे में 6 किमी चलता है जबकि रोशन 1 घण्टे में 4 किमी चलता है। रवि द्वारा तय की गई दूरी से रोशन द्वारा तय की गई दूरी का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
रवि द्वारा चली गई दूरी = 6 किमी
रोशन द्वारा चली गई दूरी = 4 किमी
रवि द्वारा चली गई दूरी का रोशन द्वारा चली गई दूसरी से अनुपात

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 267

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
सौरभ घर से स्कूल पहुँचने में 15 मिनट लेता है और सचिन एक घण्टा लेता है। सौरभ द्वारा लिए गए समय और सचिन द्वारा लिए गए समय का अनुपात ज्ञात करो।
हल :
सौरभ द्वारा लिया गया समय = 15 मिनट
सचिन द्वारा लिया गया समय = 1 घण्टा = 60 मिनट
∴सौरभ तथा सचिन द्वारा लिए गये समय का अनुपात

प्रश्न 2.
एक टॉफी का मूल्य 50 पैसे है और एक चॉकलेट का मूल्य Rs 10। टॉफी के मूल्य का चॉकलेट के मूल्य से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
टॉफी का मूल्य = 50 पैसे,
चॉकलेट का मूल्य = Rs 10 = 1000 पैसे
∴अभीष्ट अनुपात

प्रश्न 3.
एक स्कूल में एक वर्ष में 73 छुट्टियाँ बनती हैं। छुट्टियों का वर्ष के कुलं दिनों के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
छुट्टियों की संख्या = 73 दिन
एक साल में दिनों की संख्या = 365 दिन
∴ अभीष्ट अनपात

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 268

कुछ और उदाहरण

प्रश्न 1.
Rs 1250 को अमित और मिलन में 2 : 3 के अनुपात में बाँटिए।
हल :
अनुपातीय राशियों का योग = 2 + 3 = 5
कुल राशि = Rs 1250
∴ अमित का भाग = 1250 x \(\frac { 2 }{ 5 }\) = Rs 500
और मिलन का भाग = 1250 x \(\frac { 3 }{ 5 }\) = Rs 750

प्रश्न 2.
दो संख्याओं का अनुपात 4 : 5 है। यदि संख्याओं का योग 135 है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
अनुपातीय राशियों का योग = 4 + 5 = 9
संख्याओं का योग = 135
∴पहली संख्या = \(\frac { 4 }{ 9 }\) x 135 = 60
और दूसरी संख्या = \(\frac { 5 }{ 9 }\) x 135 = 75

प्रश्न 3.
Rs 5,000 के लाभ को राम और श्याम के बीच 3 : 7 के अनुपात में बाँटिए।
हल :
अनुपातीय राशियों का योग = 3 + 7 = 10
∴राम का भाग = \(\frac { 3 }{ 10 }\) x 5,000
= Rs 1,500
और श्याम का भाग = \(\frac { 7 }{ 10 }\) x 5,000 = Rs 3500

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 268-269

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
अपने बैग में रखी कॉपियों की संख्या का पुस्तकों की संख्या से अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मानाकि बैग में रखी कॉपियों की संख्या = 10 तथा
पुस्तकों की संख्या = 5

प्रश्न 2.
अपनी कक्षा की कुल डैस्कों और कुर्सियों की संख्या का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि कक्षा में डैस्कों की संख्या = 35 तथा
कुर्सियों की संख्या = 45
∴अभीष्ट अनुपात

प्रश्न 3.
अपनी कक्षा में उन छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनकी आयु 12 वर्ष से ऊपर है। अब 12 वर्ष से ऊपर आयु वाले छात्रों की संख्या का कक्षा के बाकी छात्रों की संख्या के साथ अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
माना कि कक्षा में छात्रों की कुल संख्या 48 है।
12 वर्ष से ऊपर आयु के छात्रों की संख्या = 16
शेष छात्रों की संख्या = 48 – 16 = 32
∴अभीष्ट अनुपात

प्रश्न 4.
अपनी कक्षा के दरवाजों की संख्या का खिड़कियों की संख्या से अनुपात निकालिए।
हल :
माना कि कक्षा के दरवाजों की संख्या = 2
और खिड़कियों की संख्या = 6
अभीष्ट अनुपात

प्रश्न 5.
एक आयत बनाइए। उसकी लम्बाई का चौड़ाई से अनुपात निकालिए।
हल :
माना कि आयत की लम्बाई = 5 सेमी तथा चौड़ाई = 2.5 सेमी
अभीष्ट अनपात

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions Surbhi Chapter 15 स्वतन्त्रतादिवसः

MP Board Class 6th Sanskrit Chapter 15 अभ्यासः

प्रश्न 1.
एकपदेन उत्तरं लिखत (एक शब्द में उत्तर लिखो)
(क) कस्मिन् मासे स्वतन्त्रतादिवसः भवति? (किस महीने में स्वतन्त्रता दिवस होता है?)
उत्तर:
अगस्तमासे

(ख) विद्यालये कः ध्वजोत्तोलनं करिष्यति? (विद्यालय में ध्वजारोहण कौन करेगा?)
उत्तर:
प्रधानाध्यापकः

(ग) सुरेशमीनाक्षीकाशीनाथैश्च सह कस्य अभ्यासः करणीयः? (सुरेश, मीनाक्षी, काशीनाथ के साथ किसका अभ्यास करना है?)
उत्तर:
समूहगीतस्य

(घ) भगतसिंहादयः कस्यै प्राणार्पणम् अकुर्वन्? (भगतसिंह आदि ने किसके लिए प्राण अर्पित कर दिए?)
उत्तर:
स्वतन्त्रतायै।

प्रश्न 2.
एकवाक्येन उत्तरं लिखत (एक वाक्य में उत्तर लिखो)
(क) प्रथमस्वतन्त्रतासंग्रामः कदा अभवत्? (पहला स्वतन्त्रता संग्राम कब हुआ?)
उत्तर:
प्रथम स्वतन्त्रता संग्रामः ईसवीय वर्षे १८५७ तमे अभवत्। (प्रथम स्वतन्त्रता संग्राम सन् १८५७ ई. में हुआ था।)

(ख) छात्राः पङ्क्तिबद्धाः कुत्र स्थास्यन्ति? (छात्र पंक्तिबद्ध होकर कहाँ खड़े होंगे?)
उत्तर:
छात्राः पंक्तिबद्धाः ध्वजस्थलस्य समीपे स्थास्यन्ति। (छात्र पंक्तिबद्ध हो, ध्वजस्थल के पास खड़े लागे।)

(ग) के विद्यालये विशेषसज्जां कुर्वन्ति? (विद्यालय में विशेष सजावट कौन करते हैं?)
उत्तर:
वरिष्ठाः छात्राः विद्यालये विशेषसज्जां कुर्वन्ति? (वरिष्ठ छात्र विद्यालय में विशेष सज्जा करते हैं।)

(घ) भारतीयाः कस्यै निरन्तरं प्रयासम् अकुर्वन्? (भारतीयों ने किसके लिए निरन्तर प्रयास किये थे?)
उत्तर:
भारतीयाः स्वतन्त्रतायै निरन्तरं प्रयासम् अकुर्वन् (भारतीयों ने स्वतन्त्रता के लिए निरन्तर प्रयास किये।)

प्रश्न 3.
प्रश्नवाचक शब्दान् प्रयुज्य प्रश्ननिर्माणं कुरुत (प्रश्नवाचक शब्दों का प्रयोग करके प्रश्न निर्माण करो)-
(किम्, के, कस्य, कदा)
(क) छात्राः प्रातः सप्तवादने विद्यालयम् आगमिष्यन्ति।
(ख) ‘क्रान्तिकारीणां कार्यम्’ इति नागेशस्य भाषणस्य विषयः।
(ग) सर्वे समवेतस्वरेण ‘जनगणमन’ इति राष्ट्रगानं गास्यन्ति।
(घ) वरदा संस्कृतमाध्यमेन भाषणं करिष्यति।
उत्तर:
(क) छात्राः प्रातः कदा विद्यालये आगमिष्यन्ति?
(ख) ‘क्रान्तिकारीणां कार्यम्’ इति कस्य भाषणस्यं विषयः?
(ग) के समवेतस्वरेण ‘जनगणमन’ इति राष्ट्रगानं गास्यन्ति?
(घ) वरदा संस्कृतमाध्यमेन किम् करिष्यति?

प्रश्न 4.
निर्देशानुसारं लकारपरिवर्तनं कुरुत (निर्देशानुसार लकार में परिवर्तन करो)
(क) करिष्यन्ति – लङ्लकारे
(ख) स्थास्यन्ति – लट्लकारे
(ग) भविष्यन्ति – लङ्लकारे
(घ) करिष्यन्ति – लट्लकारे
उत्तर:
(क) अकुर्वन्
(ख) तिष्ठन्ति
(ग) अभवन्
(घ) कुर्वन्ति।

प्रश्न 5.
कोष्ठकात् उचितशब्दान् चित्वा रिक्तस्थानानि पूरयत (कोष्ठक से उचित शब्दों को चुनकर रिक्त स्थानों को भरो)
(क) श्व: ……….. पञ्चदशदिनाङ्क भविष्यति। (अगस्तमासं/अगस्तमासस्य)
(ख) ………. छात्राः विशेषसज्जां कुर्वन्ति। (अष्टमकक्षायाः/अष्टमकक्षया)
(ग) इदानीं वयं ………… गच्छामः।, (गृह/गृहस्य)
(घ) भोः ………… (मनधीर/मनधीरः)
उत्तर:
(क) अगस्तमासस्य
(ख) अष्टमकक्षाया
(ग) गृहं
(घ) मनधीर।

प्रश्न 6.
उचितक्रमेण वाक्यानां पुनर्लेखनं कुरुत (उचित क्रम से वाक्यों को पुनः लिखो)
(क) ध्वजस्थलस्य समीपे छात्राः पङ्क्तिबद्धाः स्थास्यन्ति।
(ख) प्रातः सप्तवादने छात्राः विद्यालयम् आगमिष्यन्ति।
(ग) प्रधानाध्यापकः ध्वजोत्तोलनं करिष्यति।
(घ) छात्राः विद्यालये विशेषसज्जां कुर्वन्ति।
(ङ) स्वतन्त्रतादिवसस्य उत्सवः भविष्यति।
उत्तर:
(ङ) स्वतन्त्रतादिवसस्य उत्सवः भविष्यति।
(घ) छात्राः विद्यालये विशेषसज्जां कुर्वन्ति।
(ख) प्रातः सप्तवादने छात्राः विद्यालयम् आगमिष्यन्ति।
(क) ध्वजस्थलस्य समीपे छात्राः पङ्क्तिबद्धाः स्थास्यन्ति।
(ग) प्रधानाध्यापकः ध्वजोत्तोलनं करिष्यति।

योग्यताविस्तारः

शब्दचयनं कृत्वा राष्ट्रध्वजस्य वर्णनं कुरुत (शब्द चुनकर राष्ट्रध्वज का वर्णन करो)
(क) राष्ट्रध्वजे (त्रयः/चत्वारः) वर्णाः सन्ति।
(ख) ध्वजस्य प्रथमपट्टिकायां (हरितः/केसरः) वर्णः वर्तते।
(ग) ध्वजस्य मध्यमपट्टिकायां (कुङ्कमः/श्वेतः) वर्णः वर्तते।
(घ) ध्वजस्य अध:पट्टिकायां (श्वेतः/हरितः) वर्णः वर्तते।
(ङ) ध्वजस्य मध्यपट्टिकायां (सुदर्शनचक्र/अशोकचक्र:) वर्तते।
उत्तर:
(क) राष्ट्र ध्वजे त्रयः वर्णाः सन्ति।
(ख) ध्वजस्य प्रथमपट्टिकायां केसर: वर्ण: वर्तते।
(ग) ध्वजस्य मध्यमपट्टिकायां श्वेतः वर्ण: वर्तते।
(घ) ध्वजस्य अध:पट्टिकायां हरितः वर्ण: वर्तते।
(ङ) ध्वजस्य मध्यपट्टिकायां अशोकचक्रः वर्तते।

स्वतन्त्रतादिवसः हिन्दी अनुवाद

(केचन छात्राः विद्यालयस्य प्राङ्गणे तिष्ठन्ति चर्चा कुर्वन्ति च)

सुरेशः :
भो महेश! पश्य! अष्टमकक्षायाः छात्राः किं कुर्वन्ति?

महेशः :
श्वः अगस्तमासस्य पञ्चदशदिनाङ्कः। अस्माकं स्वतन्त्रादिवसस्य समारोहः भविष्यति। अतः वरिष्ठाः छात्राः विद्यालये विशेषसज्जां कुर्वन्ति।

सुधीरः :
अहं पठितवान् यत् १८५७ तमे वर्षे प्रथमस्वतन्त्रतासंग्रामः अभवत्। ततः भारतीयाः स्वतन्त्रतायै निरन्तरं प्रयासम् अकुर्वन्। ते भीषणकष्टानि असहन्त।।

मनधीरः :
सत्यम्! अनन्तरम् एव १९४७ तमे वर्षे अगस्तमासस्य पञ्चदशदिनाङ्के तेषां प्रयत्नाः सफलाः जाताः। तस्य स्मृत्यर्थम् एव प्रतिवर्ष स्वतन्त्रतादिवसस्य उत्सवः भवति।

वरदा :
पश्य! सुरेश पश्य! अवन्तिका, मीनाक्षी काशीनाथ चः अत्रैव आगच्छन्ति। (सर्वे तत्र आगछन्ति)

मीनाक्षी :
अहो शोभनम्! श्वः समारोहे किं किं भविष्यति?

अनवाद :
(कुछ छात्र विद्यालय के प्राङ्गण में खड़े हुए हैं और चर्चों करते हैं।)

सुरेश :
हे महेश! देखो! आठवीं कक्षा के छात्र क्या करते हैं?

महेश :
कल (आने वाला) अगस्त महीने की पन्द्रहवीं तारीख है। हमारे स्वतन्त्रता दिवस का समारोह (उत्सव) होगा। इसलिए वरिष्ठ छात्र विद्यालय में विशेष सजावट (तैयारी) करते हैं।

सुधीर :
मैंने पढ़ा था कि सन् १८५७ ई. में प्रथम स्वतन्त्रता संग्राम हुआ था। उसके बाद भारतीयों ने स्वतन्त्रता के लिए निरन्तर प्रयास किये। उन्होंने भयंकर कष्टों को सहन किया।

मनधीर :
सत्य है (ठीक है)! बाद में ही सन् १९४७ ई. में अगस्त महीने की पन्द्रहवीं तारीख को उनके प्रयत्न सफल हो गये। उनको स्मरण बनाये रखने के लिए ही प्रत्येक वर्ष स्वतन्त्रता दिवस का उत्सव होता है।

वरदा :
देखो! सुरेश देखो! अवन्तिका, मीनाक्षी और काशीनाथ यहाँ ही आ रहे हैं। (सभी वहाँ आ रहे है)

मीनाक्षी :
अहा! यह कितना सुन्दर है। कल समारोह में क्या-क्या होगा?

सुरेशः :
सर्वे छात्रा: गणवेशे प्रातः सप्तवादने विद्यालयम् आगमिष्यन्ति। ध्वजस्थलस्य समीपे पङ्क्तिबद्धाः स्थास्यन्ति।

सोमदत्त: :
सर्वे शिक्षकाः कर्मचारिणः अपि स्थास्यन्ति। अनन्तरम् अस्माकं प्रधानाध्यापकः ध्वजोत्तोलनं करिष्यति। तत्पश्चात् सर्वे समवेतस्वरेण ‘जनगणमन’ इति राष्ट्रगानं गास्यन्ति। पश्चात् प्रधानाध्यापकमहोदयः उद्बोधनं करिष्यति।

माधवी :
तदनन्तरं छात्रसभायां केचन छात्रा: गीतानि गास्यन्ति केचन च भाषणानि करिष्यन्ति। मिष्ठान्नवितरणेन कार्यक्रमस्य समापनं भविष्यति।

वरदा :
अहं संस्कृतमाध्यमेन तिलकस्य, महात्मागान्धि महोदयस्य, नेहरुमहोदयस्य, सुभाषचन्द्रस्य च महत्कार्यविषये भाषणं करिष्यामि।

नागेश: :
चन्द्रशेखर

आजादः :
अशफाकउल्लाह

खानः :
भगतसिंहादयः स्वतन्त्रतायै प्राणार्पणम् अकुर्वन्। भाषणस्य मम विषयः ‘क्रान्तिकारीणां कार्यम्’ इति अस्ति।

मनधीरः :
शोभनो हि स्वतन्त्रतादिवसः। इदानीं वयं गृहं गच्छामः। मया अपि सुरेशमीनाक्षीकाशीनाथैश्च सह समूहगीतस्य अभ्यासः करणीयः।
“ध्वजो धूयतां भारतीयस्य लोके।”

अनवाद :
सुरेश :
सभी छात्र गणवेश में प्रातः सात बजे विद्यालय में आ जायेंगे। ध्वजस्थल के पास पंक्तिबद्ध खड़े हो जायेंगे।

सोमदत्त :
सभी शिक्षक और कर्मचारी भी खड़े होंगे। इसके बाद हमारे प्रधानाध्यापक ध्वजारोहण करेंगे। उसके बाद, सभी एक स्वर से ‘जनगणमन’ इस राष्ट्रगान को गायेंगे। बाद में, प्रधानाध्यापक महोदय उद्बोधन करेंगे।

माधवी :
उसके बाद छात्रसभा में कुछ छात्र गीत गायेंगे और कुछ भाषण करेंगे। मिष्ठान्न वितरण के साथ ही कार्यक्रम का समापन हो जायेगा।

वरदा :
मैं संस्कृत भाषा के माध्यम से तिलक, महात्मा गांधी महोदय के, नेहरू महोदय के तथा सुभाषचन्द्र के महान कार्यों के विषय में भाषण करूँगी।

नागेश :
चन्द्रशेखर आजादः, अशफाक उल्लाह खान, भगतसिंह आदि ने स्वतन्त्रता के लिए प्राण न्योछावर कर दिए। मेरे भाषण का विषय है ‘क्रान्तिकारियों के कार्य’।

मनधीर :
स्वतन्त्रता दिवस (अति) शोभनीय है। अब हम सब घर चलते हैं। मुझे भी सुरेश, मीनाक्षी और काशीनाथ के साथ समूह गान का अभ्यास करना चाहिए। “भारतीय लोक में ध्वज ऊँचा ही लहराता रहे।”

स्वतन्त्रतादिवसः शब्दार्थाः

प्राङ्गणे = प्राङ्गण में। तिष्ठन्ति = खड़े हैं। श्वः = आने वाला कल। विशेषसज्जां = विशेष सजावट। प्रथमस्वतन्त्रतासङ्ग्रामः = आजादी की पहली लड़ाई। निरन्तरम् = लगातार। भीषण कष्टानि = अत्यधिक कष्टों को। असहन्त = सहन किया। स्मृत्यर्थम् = स्मरण के लिये। धारयित्वा = पहनकर। ध्वज. स्थलस्य = झण्डा फहराने के स्थान के। स्थास्यन्ति = खड़े रहेंगे। ध्वजोत्तोलनं = झण्डा फहराना। समवेतस्वरेण = एक स्वर में। प्राणार्पणम् = बलिदान। अनन्तरम् = उसके बाद। गास्यन्ति = गाएँगे। धूयतां = फहराएँगे। गो

MP Board Class 6th Sanskrit Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 11 बीजगणित Ex 11.2

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 250-251

प्रश्न 1.
एक समबाहु त्रिभुज की भुजा को l से दर्शाया गया है। इस समबाहु त्रिभुज के परिमाप को l का प्रयोग करते हुए व्यक्त कीजिए।
हल :
∵समबाहु त्रिभुज की भुजा = l
∴इसका परिमाप = l + l + l = 3l

प्रश्न 2.
एक समषड्भुज (Regular hexagon) की एक भुजा को l से व्यक्त किया गया है (पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति।) l का प्रयोग करते हुए इस षड्भुज के परिमाप को व्यक्त कीजिए। (संकेत : एक समषड्भुज की सभी 6 भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण बराबर होते हैं।)
हल :
∵ समषड्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
और समषड्भुज की प्रत्येक भुजा = l
∴ इसका परिमाप = l + l + l + l + l + l
= 61

प्रश्न 3.
घन (cube) एक त्रिविमीय (three dimensional) आकृति होती है जैसा कि पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति में दिखाया गया है। इसके 6 फलक होते हैं और ये सभी सर्वसम (identical) वर्ग होते हैं। घन के एक किनारे की लम्बाई l से दी जाती है। घन के किनारों की कुल लम्बाई के लिए एक सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल :
घन के 6 सर्वसम फलक हैं। घन के 12 किनारे हैं।
प्रत्येक किनारे की लम्बाई l समान है।
∴ घन के किनारों की कुल लम्बाई = 12 x l
= 12l

प्रश्न 4.
वृत्त का एक व्यास वह रेखाखण्ड है जो वृत्त पर स्थित दो बिन्दुओं को जोड़ता है और उसके केन्द्र से होकर जाता है। पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृति में AB वृत्त का व्यास है और C उसका केन्द्र है। वृत्त के व्यास (d) को उसकी त्रिज्या (r) के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
वृत्त की त्रिज्या = r तथा व्यास = d
चूँकि वृत्त का व्यास त्रिज्या का दो गुना होता है।
∴व्यास = 2 x त्रिज्या
या d = 2 x r या d = 2r

प्रश्न 5.
तीन संख्याओं 14, 27 और 13 के योग पर विचार कीजिए। हम यह योग दो प्रकार से ज्ञात कर सकते हैं:
(a) हम पहले 14 और 27 को जोड़कर 41 प्राप्त कर सकते हैं और फिर 41 में 13 जोड़कर 54 प्राप्त कर सकते हैं। या
(b) हम पहले 27 और 13 को जोड़कर 40 प्राप्त कर सकते हैं और फिर उसे 14 में जोड़कर कुल योग 54 प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रकार, (14 + 27) + 13 = 14 + (27 + 13) हुआ।
ऐसा किन्हीं भी तीन संख्याओं के लिए किया जा सकता है। यह गुण संख्याओं के योग का साहचर्य (associative) गुण कहलाता है। इस गुण को जिसे हम पूर्ण संख्याओं के अध्याय में पढ़ चुके हैं, चर a, b और c का प्रयोग करते हुए, एक व्यापक रूप में व्यक्त कीजिए।
हल :
माना कि तीन संख्याएँ a, b और c हैं।
∴योग के साहचर्य नियम के अनुसार, हम a, b और c को । निरूपित कर सकते हैं
(a + b) + c = a + (b + c)

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 11 बीजगणित Ex 11.1

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 246-247

प्रश्न 1.
तीलियों से प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम ज्ञात कीजिए। नियम लिखने के लिए एक चर का प्रयोग कीजिए।
(a) अक्षर T का T के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
(b) अक्षर Z का Z के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
(c) अक्षर U का U के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
(d) अक्षर V का V के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
(e) अक्षर E का E के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
(f) अक्षर S का S के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
(g) अक्षर A का A के रूप में तीलियों से प्रतिरूप
हल :
(a)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 2 या 2n
n = 2 के लिए = 4 या 2n
n = 3 के लिए = 6 या 2n
∴नियम : 2n

(b)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 3 या 3n
n = 2 के लिए = 6 या 3n
n = 3 के लिए = 9 या 3n
∴नियम : 3n

(c)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 3 या 3n
n = 2 के लिए = 6 या 3n
n = 3 के लिए = 9 या 3n
∴नियम : 3n

(d)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 2 या 2n
n = 2 के लिए = 4 या 2n
n = 3 के लिए = 6 या 2n
∴नियम : 2n

(e)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 5 या 5n
n = 2 के लिए = 10 या 5n
n = 3 के लिए = 15 या 5n
∴नियम : 5n

(f)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 5 या 5n
n = 2 के लिए = 10 या 5n
n = 3 के लिए = 15 या 5n
∴नियम : 5n

(g)

आवश्यक तीलियों की संख्या
n = 1 के लिए = 6 या 6n
n = 2 के लिए = 12 या 6n
n = 3 के लिए = 18 या 6n
∴नियम : 6n

प्रश्न 2.
हम अक्षर L, C और F के प्रतिरूपों के लिए नियमों को पहले से जानते हैं। ऊपर प्रश्न 1 में दिए कुछ अक्षरों से वही नियम प्राप्त होता है जो L द्वारा प्राप्त हुआ था। ये अक्षर कौन-कौन-से हैं ? ऐसा क्यों होता है ?
हल :
माचिस की तीलियों से संख्या प्राप्त करने के लिए नियम निम्नांकित हैं :
अक्षर L के लिए 2n
अक्षर C के लिए 3n
अक्षर V के लिए 2n
अक्षर U के लिए 3n
अक्षर T के लिए 2n
अक्षर F के लिए 4n
∴यह L, V और T के लिए समान है। इन सभी अक्षरों में माचिस की तीलियों की आवश्यक संख्या 2 है।

प्रश्न 3.
किसी परेड में कैडेट (Cadets) मार्च (march) कर रहे हैं। एक पंक्ति में 5 कैडेट हैं। यदि पंक्तियों की संख्या ज्ञात हो, तो कैडेटों की संख्या ज्ञात करने के लिए क्या नियम हैं ?
(पंक्तियों की संख्या के लिए n का प्रयोग कीजिए।)
हल :
पंक्तियों की संख्या = n
प्रत्येक पंक्ति में कैडेट की संख्या = 5
अतः नियम : परेड में कैडेटों की संख्या = 5n

प्रश्न 4.
एक पेटी में 50 आम हैं। आप पेटियों की संख्या के पदों में आमों की कुल संख्या को किस प्रकार लिखेंगे ? (पेटियों की संख्या के लिए b का प्रयोग कीजिए)।
हल :
एक पेटी में आमों की संख्या = 50
पेटियों की संख्या = b
∴आमों की कुल संख्या = 50b

प्रश्न 5.
शिक्षक प्रत्येक विद्यार्थी को 5 पेन्सिल देता है। विद्याथियों की संख्या ज्ञात होने पर, क्या आप कुल वांछित पेन्सिलों की संख्या बता सकते हैं ? (विद्यार्थियों की संख्या के लिए s का प्रयोग कीजिए।)
हल :
विद्यार्थियों की संख्या = s
प्रत्येक विद्यार्थी को पेन्सिल = 5
∴कुल पेन्सिलों की संख्या = 5s

प्रश्न 6.
एक चिड़िया 1 मिनट में 1 किलोमीटर उड़ती है। क्या आप चिड़िया द्वारा तय की गई दूरी को (मिनटों में) उसके उड़ने के समय के पदों में व्यक्त कर सकते हैं ? (मिनटों में उड़ने के समय के लिए t का प्रयोग कीजिए।)
हल :
चिड़िया 1 मिनट में एक किलोमीटर उड़ती है।
अब माना कि वह t मिनट उड़ती है
∴t मिनट में चिड़िया द्वारा तय की गई कुल दूरी
= 1 x t किलोमीटर
= t किलोमीटर

प्रश्न 7.
राधा बिन्दुओं (Dots) से एक रंगोली बना रही है। (खड़िया के पाउडर की सहायता से बिन्दुओं को जोड़कर रेखाओं का एक सुन्दर प्रतिरूप बनाना, जैसे आकृति में है।) उसके पास एक पंक्ति में 8 बिन्दु हैं। r पंक्तियों की रंगोली में कितने बिन्दु होंगे? यदि 8 पंक्तियाँ हों, तो कितने बिन्दु होंगे? यदि 10 पंक्तियाँ हों, तो कितने बिन्दु होंगे?
हल :
एक पंक्ति में बिन्दु = 8
पंक्तियों की संख्या = r
r पंक्तियों में बिन्दुओं की संख्या = 8r
8 पंक्तियों में बिन्दुओं की संख्या = 8 x 8 = 64
और, 10 पंक्तियों में बिन्दुओं की संख्या = 8 x 10 = 80

प्रश्न 8.
लीला राधा की छोटी बहन है। लीला राधा से 4 वर्ष छोटी है। क्या आप लीला की आयु राधा की आयु के पदों में लिख सकते हैं? राधा की आयु x वर्ष है।
हल :
राधा की आयु = x वर्ष
चूँकि लीला की आयु = राधा की आयु – 4 वर्ष
∴ लीला की आयु = x वर्ष – 4 वर्ष
= (x – 4) वर्ष

प्रश्न 9.
माँ ने लड्डू बनाए हैं। उन्होंने कुछ लड्डू मेहमानों और परिवार के सदस्यों को दिए। फिर भी 5 लड्डू शेष रह गये हैं। यदि माँ ने l लड्डू दे दिए हों, तो उसने कुल कितने लड्डू बनाए थे ?
हल :
शेष रहे लड्डुओं की संख्या = 5
मेहमानों और परिवार के सदस्यों को दिए लड्डूओं की संख्या = l
∴माँ द्वारा बनाए लड्डुओं की संख्या = l + 5

प्रश्न 10.
सन्तरों को बड़ी पेटियों में से छोटी पेटियों में रखा जाना है। जब एक बड़ी पेटी को खाली किया जाता है, तो उसके सन्तरों से दो छोटी पेटियाँ भर जाती हैं और फिर भी 10 सन्तरे शेष रह जाते हैं। यदि एक छोटी पेटी में सन्तरों की संख्या को x लिया जाए तो बड़ी पेटी में सन्तरों की संख्या क्या है?
हल :
बड़ी पेटी में सन्तरों की संख्या = 2 x छोटी पेटी में सन्तरों की संख्या + शेष सन्तरों की संख्या
= 2x + 10

प्रश्न 11.
(a) तीलियों से बने हुए वर्गों के नीचे दिए प्रतिरूपों को देखिए (निम्न आकृति)। ये वर्ग अलग-अलग नहीं हैं। दो संलग्न वर्गों में एक तीली उभयनिष्ठ है। इस प्रतिरूप को देखिए और वह नियम ज्ञात कीजिए जो वर्गों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है। (संकेत : यदि आप अंतिम ऊर्ध्वाधर तीली को हटा दें, तो आपको C का प्रतिरूप प्राप्त हो जाएगा।)

(b) निम्न आकृति तीलियों से बना त्रिभुजों का एक प्रतिरूप दर्शा रही है। उपर्युक्त प्रश्न 11(a) की तरह, वह व्यापक नियम ज्ञात कीजिए जो त्रिभुजों की संख्या के पदों में आवश्यक तीलियों की संख्या देता है।

हल :
माना कि वर्गों की संख्या = n
(a) ∴ जबकि n = 1,
तीलियों की संख्या = 4 या 3 x 1 + 1 = 3n + 1
जबकि n = 2,
तीलियों की संख्या = 7 या 3 x 2 + 1 = 3n + 1
जबकि n = 3,
तीलियों की संख्या = 10 या 3 x 3 + 1 = 3n + 1
जबकि n = 4,
तीलियों की संख्या = 13 या 3 x 4 + 1 = 3n + 1
अत: वांछित नियम : 3n + 1

(b) माना कि त्रिभुजों की संख्या = n
जबकि n = 1,
तीलियों की संख्या = 3 या 2 x 1 + 1 = 2n + 1
जबकि n = 2,
तीलियों की संख्या = 5 या 2 x 2 + 1 = 2n + 1
जबकि n = 3,
तीलियों की संख्या = 7 या 2 x 3 + 1 = 2n + 1
जबकि n = 4,
तीलियों की संख्या = 9 या 2 x 4 + 1 = 2n + 1
अतः वांछित नियम : 2n + 1

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 11 बीजगणित Intext Questions

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 243-244

प्रश्न 1.
क्या आप F के प्रतिरूप बनाने के लिए अब कोई नियम लिख सकते हैं ?
हल :
F का प्रतिरूप बनाने के लिए प्रयुक्त तीलियों की संख्या

यदि F की संख्या को n से व्यक्त करें, तो
n = 1,2,3,………………..
अतः वांछित तीलियों की संख्या = 4n

प्रश्न 2.
तीलियों से बनाए जाने वाले वर्णमाला के अन्य अक्षरों और आकारों के बारे में सोचिए।
उदाहरणार्थ, U (∪), V (V), त्रिभुज (∆), वर्ग (₹) इत्यादि। इनमें से कोई पाँच अक्षर या आकार चुनिए और इनके तीलियों के प्रतिरूप बनाने के लिए आवश्यक तीलियों की संख्या के लिए नियम लिखिए।
हल :
(i) E के लिए

स्पष्ट है कि एक E बनाने के लिए 5 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है।
∴ E के प्रतिरूप बनाने में प्रयुक्त माचिस की तीलियों की संख्या का नियम है
अभीष्ट तीलियों की संख्या = 5n, यहाँ n = 1, 2, 3, ……

(ii) U के लिए

आकृति से स्पष्ट है कि U बनाने के लिए 3 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है।
अतः नियम होगा
माचिस की तीलियों की अभीष्ट संख्या = 3n,
यहाँ n = 1, 2, 3, ……

(iii) V के लिए

आकृति से स्पष्ट है कि V बनाने के लिए 2 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है।
अतः नियम होगा
माचिस की तीलियों की अभीष्ट संख्या = 2n,
यहाँ n = 1, 2, 3, ………

(iv) ∆ के लिए

आकृति से स्पष्ट है कि एक त्रिभुज बनाने के लिए तीन माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है।
अतः नियम होगा
माचिस की तीलियों की अभीष्ट संख्या = 3n,
यहाँ n = 1, 2, 3, ………

(v) ₹ के लिए

आकृति से स्पष्ट है कि एक वर्ग बनाने के लिए 4 माचिस की तीलियों की आवश्यकता होती है।
अतः नियम होगा
माचिस की तीलियों की अभीष्ट संख्या = 4n,
यहाँ n = 1, 2, 3, ……

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 10 क्षेत्रमिति Ex 10.3

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 237

प्रश्न 1.
उन आयतों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ नीचे दी गई हैं
(a) 3 सेमी और 4 सेमी
(b) 12 मी और 21 मी
(c) 2 किमी और 3 किमी
(d) 2 मी और 70 सेमी
हल :
(a) ∵ आयत की लम्बाई = 4 सेमी,
आयत की चौड़ाई = 3 सेमी
∴ आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 सेमी x 3 सेमी
= 12 वर्ग सेमी

(b) ∵आयत की लम्बाई = 21 मी,
आयत की चौड़ाई = 12 मी
∴आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 21 मी x 12 मी
= 252 वर्ग मी

(c)∵आयत की लम्बाई = 3 किमी,
आयत की चौड़ाई = 2 किमी
∴आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 किमी x 2 किमी
= 6 वर्ग किमी

(d)∵आयत की लम्बाई = 2 मी,
आयत की चौड़ाई = 70 सेमी = 0.70 मी
∴आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 2 मी x 0.70 मी
= 1.40 वर्ग मी

प्रश्न 2.
उन वर्गों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिनकी भुजाएँ निम्नलिखित हैं
(a) 10 सेमी
(b) 14 सेमी
(c) 5 मी
हल :
(a) ∵ वर्ग की भुजा = 10 सेमी
∴ वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 10 सेमी x 10 सेमी
= 100 वर्ग सेमी

(b)∵ वर्ग की भुजा = 14 सेमी
∴वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 14 सेमी x 14 सेमी
= 196 वर्ग सेमी

(c)∵वर्ग की भुजा = 5 मी
∴वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा = 5 मी x 5 मी
= 25 वर्ग मीटर

प्रश्न 3.
तीन आयतों की विमाएँ निम्नलिखित हैं
(a) 9 मी और 6 मी
(b) 3 मी और 17 मी
(c) 4 मी और 14 मी।
इनमें किसका क्षेत्रफल सबसे अधिक है किसका सबसे कम ?
हल :
(a) आयत की लम्बाई = 9 मी और चौड़ाई = 6 मी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = 9 मी x 6 मी
= 54 वर्ग मीटर

(b) आयत की लम्बाई = 17 मी और चौड़ाई = 3 मी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = 17 मी x 3 मी
= 51 वर्ग मीटर

(c) आयत की लम्बाई = 14 मी और चौड़ाई = 4 मी
आयत का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई = 14 मी x 4 मी
= 56 वर्ग मीटर
∵56 > 54 > 51
∴आयत (c) का क्षेत्रफल सबसे अधिक और आयत (b) का क्षेत्रफल सबसे कम है।

प्रश्न 4.
50 मी लम्बाई वाले एक आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल 300 वर्ग मीटर है। बगीचे की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार बगीचे का क्षेत्रफल = 300 वर्ग मीटर
आयतकार बगीचे की लम्बाई = 50 मीटर

= 6 मी

प्रश्न 5.
500 मी लम्बाई तथा 200 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखण्ड पर Rs 8 प्रति 100 वर्ग मीटर की दर से टाइल लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 500 मी
भूखण्ड की चौड़ाई = 200 मी
∴भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 500 मी x 200 मी
= 100,000 वर्ग मीटर
100 वर्ग मीटर के लिए टाइल लगाने का व्यय = Rs 8
∴टाइल लगाने का कुल व्यय = Rs \(\frac{100000 \times 8}{100}\)
= Rs 8000

प्रश्न 6.
एक मेज के ऊपरी पृष्ठ की माप 2 मी x 1 मी 50 सेमी है। मेज का क्षेत्रफल वर्ग मीटर में ज्ञात कीजिए।
हल :
मेज के पृष्ठ की लम्बाई = 2 मी.
मेज के पृष्ठ की चौड़ाई = 1 मी 50 सेमी = 1.50 मी
∴मेज के पृष्ठ का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 2 मी x 1.50 मी
= 3.00 वर्ग मी

प्रश्न 7.
एक कमरे की लम्बाई 4 मी तथा चौड़ाई 3 मी 50 सेमी है। कमरे के फर्श को ढकने के लिए कितने वर्ग मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी?
हल :
कमरे की लम्बाई = 4 मी
कमरे की चौड़ाई = 3 मी 50 सेमी = 3.50 मी
∴कमरे के फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 मी x 3.50 मी
= 14.00 वर्ग मी
अतः कमरे के फर्श को ढकने के लिए 14.00 वर्ग मीटर गलीचे की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 8.
एक फर्श की लम्बाई 5 मी और चौड़ाई 4 मी है। 3 मी भुजा वाले एक वर्गाकार गलीचे को फर्श पर बिछाया गया है। फर्श के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिस पर गलीचा नहीं बिछा है। हल :
फर्श का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 5 मी x 4 मी
= 20 वर्गमी
वर्गाकार गलीचे का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 3 मी x 3 मी
= 9 वर्ग मीटर
उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ गलीचा नहीं बिछा है
= फर्श का क्षेत्रफल – गलीचे का क्षेत्रफल
= 20 वर्ग मी – 9 वर्ग मी
= 11 वर्ग मी
अत: उस भाग का क्षेत्रफल जिस पर गलीचा नहीं बिछा है = 11 वर्ग मी

प्रश्न 9.
5 मी. लम्बाई तथा 4 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार भूखण्ड पर 1 मी भुजा वाली वर्गाकार फूलों की 5 क्यारियाँ बनाई जाती हैं। भूखण्ड के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
∵भूखण्ड की लम्बाई = 5 मी
भूखण्ड की चौड़ाई = 4 मी
∴भूखण्ड का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 5 मी x 4 मी
= 20 वर्ग मी
वर्गाकार क्यारी का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 1 मी x 1 मी
= 1 वर्ग मी
∴ वर्गाकार 5 फूलों की क्यारियों का क्षेत्रफल
= 5 x 1 वर्ग मी
= 5 वर्ग मी
∴ भूखण्ड के शेष भाग का क्षेत्रफल
= भूखण्ड का क्षेत्रफल – क्यारियों का क्षेत्रफल
= 20 वर्ग मी – 5 वर्ग मी
= 15 वर्ग मी

प्रश्न 10.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों को आयतों में तोड़िए। इनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है।)
हल :
(a) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 सेमी x 2 सेमी
= 8 वर्ग सेमी

वर्ग (2) का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 3 सेमी x 3 सेमी
= 9 वर्ग सेमी
आयत (3) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 2 सेमी x 1 सेमी
= 2 वर्ग सेमी
वर्ग (4) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 3 सेमी
= 9 वर्ग सेमी
अतः आकृति का कुल क्षेत्रफल = 8 वर्ग सेमी +9 वर्ग सेमी + 2 वर्ग सेमी + 9 वर्ग सेमी
= 28 वर्ग सेमी

(b) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी

आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी
आयत (3) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 3 सेमी x 1 सेमी
= 3 वर्ग सेमी
∴आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 3 वर्ग सेमी + 3 वर्ग सेमी + 3 वर्ग सेमी
= 9 वर्ग सेमी

प्रश्न 11.
पाठ्य-पुस्तक में दी गई आकृतियों को आयतों में तोड़िए और प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (भुजाओं की माप सेमी में दी गई है।)
हल :
(a) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 10 सेमी x 2 सेमी
= 20 वर्ग सेमी

आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 10 सेमी x 2 सेमी
= 20 वर्ग सेमी
∴दी हुई आकृति का कुल क्षेत्रफल = 20 वर्ग सेमी + 20 वर्ग सेमी = 40 वर्ग सेमी

(b) वर्ग (1) का क्षेत्रफल = भुजा x भुजा
= 7 सेमी x 7 सेमी
= 49 वर्ग सेमी

आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 21 सेमी x 7 सेमी
= 147 वर्ग सेमी
वर्ग (3) का क्षेत्रफल = भुजा – भुजा
= 7 सेमी x 7 सेमी
= 49 वर्ग सेमी
∴ दी हुई आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 49 वर्ग सेमी + 147 वर्ग सेमी + 49 वर्ग सेमी
= 245 वर्ग सेमी

(c) आयत (1) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 5 सेमी x 1 सेमी = 5 वर्ग सेमी
आयत (2) का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 4 सेमी x 1 सेमी = 4 वर्ग सेमी

∴ दी हुई आकृति का कुल क्षेत्रफल
= 5 वर्ग सेमी + 4 वर्ग सेमी 1
= 9 वर्ग सेमी

प्रश्न 12.
एक टाइल की माप 5 सेमी x 12 सेमी है। एक क्षेत्र को पूर्णतया ढकने के लिए, ऐसी कितनी टाइलों की आवश्यकता होगी, जिसकी लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः
(a) 144 सेमी और 100 सेमी है।
(b) 70 सेमी और 36 सेमी है।
हल :
आयताकार टाइल का क्षेत्रफल
= लम्बाई x चौड़ाई
= 12 सेमी x 5 सेमी
= 60 वर्ग सेमी

(a) ∵ आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 144 सेमी x 100 सेमी
= 14400 वर्ग सेमी

(b) ∵ आयताकार क्षेत्र का क्षेत्रफल = लम्बाई x चौड़ाई
= 70 सेमी x 36 सेमी
= 2520 वर्ग सेमी

एक चुनौती

प्रश्न 1.
(i) एक सेण्टीमीटर वर्गांकित पेपर पर आप जितने भी आयत बना सकते हैं, बनाइए, जिससे कि आयत का क्षेत्रफल 16 वर्ग सेण्टीमीटर हो जाए। (केवल पूर्ण संख्या की लम्बाई पर ही विचार करना है।)
(a) किस आयत का परिमाप सबसे अधिक है ?
(b) किस आयत का परिमाप सबसे कम है ?
(ii) यदि आप एक ऐसा आयत लें जिसका क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी हो, तो आपके उत्तर क्या होंगे? दिये हुए क्षेत्रफल के लिए, क्या अधिकतम परिमाप के आकार को बताना सम्भव है ? क्या सबसे कम परिमाप के आयत के बारे में बता सकते हैं ? उदाहरण दीजिए और कारण बताइए।
हल :
(i) वर्गांकित पेपर पर निम्न आयत बनाए जा सकते हैं। इनमें प्रत्येक का क्षेत्रफल 16 सेमी है।

(1) 16 सेमी x 1 सेमी
(2) 8 सेमी x 2 सेमी
(3) 4 सेमी x 4 सेमी

(1) का परिमाप = 2 x (16 + 1) सेमी
= 2 x 17 सेमी
= 34 सेमी

(2) का परिमाप = 2 x (8 + 2) सेमी
= 2 x 10 सेमी
= 20 सेमी

(3) का परिमाप = 2 x (4 + 4) सेमी
= 2 x 8 सेमी
= 16 सेमी

(i) (a) आयत (1) का परिमाप सबसे अधिक (34 सेमी) है।
(b) आयत (3) का परिमाप सबसे कम (16 सेमी) है।

(ii) जबकि आयत का क्षेत्रफल 24 वर्ग सेमी है
यहाँ निम्न विमाओं के 4 आयत होंगे
(a) 24 सेमी x 1 सेमी
(b) 12 सेमी x 2 सेमी
(c) 8 सेमी 3 सेमी
(d) 6 सेमी x 4 सेमी

आयत (a) का परिमाप = 2 x (24 + 1) सेमी
= 2 x 25 सेमी
= 50 सेमी

आयत (b) का परिमाप = 2 x (12 + 2) सेमी
= 2 x 14 सेमी
= 28 सेमी

आयत (c) का परिमाप = 2 x (8 + 3) सेमी
= 2 x 11 सेमी
= 22 सेमी

आयत (d) का परिमाप = 2 x (6 + 4) सेमी
= 2 x 10 सेमी
= 20 सेमी

यहाँ आयत (a) का परिमाप जिसकी विमाएँ 24 सेमी x 1 सेमी हैं, सबसे अधिक है।
आयत (d) का परिमाप जिसकी विमाएँ 6 सेमी x 4 सेमी हैं, सबसे कम है।
हाँ, दिए हुए क्षेत्रफल से सबसे बड़े परिमाप वाले और सबसे छोटे परिमाप वाले आयत का आकार बता सकते हैं।

उदाहरण – माना कि आयत का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी है। इससे बनने वाले आयतों की विमाएँ निम्न हैं
(i) 36 सेमी x 1 सेमी
(ii) 18 सेमी x 2 सेमी
(iii) 12 सेमी x 3 सेमी
(iv) 9 सेमी x 4 सेमी
(v) 6 सेमी x 6 सेमी

इनके परिमाप क्रमशः
(i) 74 सेमी
(ii) 40 सेमी,
(iii) 30 सेमी
(iv) 26 सेमी हैं
(v) 24 सेमी हैं।

कारण – इससे स्पष्ट है कि जिस आयत की लम्बाई अधिक है उसका परिमाप अधिक है और जिस आयत की लम्बाई कम है उसका परिमाप भी सबसे कम है।

MP Board Class 6th Maths Solutions

MP Board Class 6th Maths Solutions Chapter 10 क्षेत्रमिति Ex 10.1

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 229-231

प्रश्न 1.
दी हुई आकृतियों का परिमाप ज्ञात कीजिए :


हल :
(a) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 5 सेमी + 4 सेमी + 2 सेमी + 1 सेमी
= 12 सेमी

(b) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 40 सेमी + 35 सेमी + 23 सेमी + 35 सेमी
= 133 सेमी

(c) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 15 सेमी + 15 सेमी + 15 सेमी + 15 सेमी
= 60 सेमी

(d) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 4 सेमी + 4 सेमी + 4 सेमी + 4 सेमी + 4 सेमी
= 20 सेमी

(e) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 4 सेमी + 1 + सेमी + 4 सेमी + 0.5 सेमी + 2.5 सेमी + 2.5 सेमी + 0.5 सेमी
= 15 सेमी

(f) परिमाप = भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी + 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी + 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी + 4 सेमी + 3 सेमी + 2 सेमी + 3 सेमी + 1 सेमी
= 52 सेमी

प्रश्न 2.
40 सेमी लम्बाई और 10 सेमी चौड़ाई वाले एक आयताकार बॉक्स के ढक्कन को चारों ओर से पूरी तरह एक टेप द्वारा बन्द कर दिया जाता है। आवश्यक टेप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
टेप की अभीष्ट लम्बाई
= आयताकार बॉक्स के ढक्कन का परिमाप
= 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (40 सेमी + 10 सेमी)
= 2 x 50 सेमी
= 100 सेमी
= 1 मी

प्रश्न 3.
एक मेज की ऊपरी सतह की दिशाएँ 2 मी 25 सेमी और 1 मी 50 सेमी हैं। मेज की ऊपरी सतह का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
मेज की ऊपरी सतह की लम्बाई
= 2 मी 25 सेमी
= 2.25 मी
मेज की ऊपरी सतह की चौड़ाई = 1 मी 50 सेमी
= 1.50 मी
∴मेज की ऊपरी सतह का परिमाप
= 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (2.25 मी + 1.50 मी)
= 2 x 3.75 मी
= 7.5 मी

प्रश्न 4.
32 सेमी लम्बाई और 21 सेमी चौड़ाई वाले एक फोटो को लकड़ी की पट्टी से फ्रेम करना है। आवश्यक लकड़ी की पट्टी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
फ्रेम की लम्बाई = 32 सेमी, चौड़ाई = 21 सेमी
∴फ्रेम का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2x (32 सेमी + 21 सेमी)
= 2 x 53 सेमी
= 106 सेमी
अतः लकड़ी की पट्टी की अभीष्ट लम्बाई = 106 सेमी

प्रश्न 5.
एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 0.7 किमी और 0.5 किमी है। इसके चारों ओर एक तार से 4 पंक्तियों में बाड़ लगाई जाती है। आवश्यक तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
लम्बाई = 0.7 किमी, चौड़ाई = 0.5 किमी
∴भूखण्ड का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (0.7 किमी + 0.5 किमी)
= 2 x (1.2 किमी)
= 2.4 किमी
∵1 पंक्ति की बाड़ के लिए तार की लम्बाई = 2.4 किमी
∴4 पंक्ति की बाड़ के लिए तार की लम्बाई
= 4 x 2.4 किमी
= 9.6 किमी

प्रश्न 6.
निम्न आकृतियों में प्रत्येक की परिमाप ज्ञात कीजिए
(a) एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी तथा 5 सेमी हैं।
(b) एक समबाहु त्रिभुज जिसकी एक भुजा की लम्बाई 9 सेमी है।
(c) एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसकी प्रत्येक समान भुजा 8 सेमी की हो तथा तीसरी भुजा 6 सेमी हो।
हल :
(a) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 3 सेमी + 4 सेमी + 5 सेमी
= 12 सेमी

(b) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 3 x भुजा की लम्बाई
= 3 x 9 सेमी
= 27 सेमी

(c) परिमाप = भुजा की लम्बाइयों का योग
= 8 सेमी + 8 सेमी + 6 सेमी
= 22 सेमी

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 10 सेमी, 14 सेमी तथा 15 सेमी हैं।
हल :
त्रिभुज की भुजाएँ = 10 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी
∴त्रिभुज का परिमाप = त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 10 सेमी + 14 सेमी + 15 सेमी
= 39 सेमी

प्रश्न 8.
एक समषभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजा की माप 8 मी है।
हल :
∵समषट्भुज का परिमाप = 6 x समषट्भुज की एक भुजा
∴दिए हुए समषट्भुज का परिमाप = 6 x 8 मीटर
= 48 मी.

प्रश्न 9.
एक वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाप 20 मी है।
हल :
∵वर्ग की भुजा

∴वर्ग की भुजा = \(\frac { 20 }{ 4 }\) मी = 5 मी

प्रश्न 10.
एक समपंचभुज का परिमाप 100 सेमी है। प्रत्येक भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
समपंचभुज का परिमाप = 100 सेमी
∵समपंचभुज का परिमाप = 5 x एक भुजा की लम्बाई
∴एक भुजा की लम्बाई

∴प्रत्येक भुजा की अभीष्ट लम्बाई = \(\frac { 100 }{ 5 }\) सेमी
= 20 सेमी

प्रश्न 11.
एक धागे का टुकड़ा 30 सेमी लम्बाई का है। प्रत्येक भुजा की लम्बाई क्या होगी, यदि धागे से बनाया जाता है
(a) एक वर्ग ?
(b) एक समबाहु त्रिभुज ?
(c) एक समषट्भुज ?
हल :
(a) ∵ धागा वर्ग के रूप में है और वर्ग का
परिमाप = 4 x भुजा

= 7.5 सेमी
∴प्रत्येक भुजा की लम्बाई = 7.5 सेमी

(b) ∵धागा एक समबाहु त्रिभुज के रूप में है।
∴परिमाप = 3 x एक भुजा की लम्बाई
या एक भुजा की लम्बाई

= 10 सेमी

(c)∵ धागा एक समषट्भुज के रूप में है और समषट्भुज का परिमाप = 6 x भुजा की लम्बाई
∴6 x भुजा की लम्बाई = 30 सेमी
या भुजा की लम्बाई

= 5 सेमी

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 सेमी तथा 14 सेमी हैं। इस त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है। इसकी तीसरी भुजा की लम्बाई क्या होगी?
हल :
त्रिभुज का परिमाप
= त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयों का योग
= 12 सेमी + 14 सेमी + तीसरी भुजा
= 26 सेमी + तीसरी भुजा
लेकिन परिमाप = 36 सेमी
∴26 सेमी + तीसरी भुजा = 36 सेमी
या तीसरी भुजा की लम्बाई = 36 सेमी – 26 सेमी
= 10 सेमी
अतः त्रिभुज की तीसरी भुजा की लम्बाई = 10 सेमी

प्रश्न 13.
250 मीटर भुजा वाले वर्गाकार बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने का व्यय Rs 20 प्रति मीटर की दर से ज्ञात कीजिए।
हल :
बगीचे की भुजा की लम्बाई = 250 मी
∵बगीचा वर्गाकार है
∴परिमाप = 4 x एक पुजा की लम्बाई
= 4 x 250 मी
= 1000 मी
∵ बाड़ लगाने की दर = Rs 20 प्रति मीटर
∴ बाड़ लगाने का व्यय = Rs 20 x Rs 1,000
= Rs 20,000

प्रश्न 14.
एक आयताकार बगीचा जिसकी लम्बाई 175 मीटर तथा चौड़ाई 125 मीटर है, के चारों ओर Rs 12 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :
बगीचे की लम्बाई = 175 मी बगीचे की चौड़ाई
= 125 मी
∵ बगीचा आयताकार है।
∴ बगीये का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (175 मी + 125 मी)
= 2 x 300 मी
= 600 मी
∵ बाड़ लगाने की दर = Rs 12 प्रति मीटर
∴ बाड़ लगाने का व्यय = Rs 12 x 600
= Rs 7,200

प्रश्न 15.
स्वीटी 75 मी भुजा वाले वर्ग के चारों ओर दौड़ती है और बुलबुल 60 मी लम्बाई और 45 मी चौड़ाई वाले आयत के चारों ओर दौड़ती है। कौन कम दूरी तय करती है ?
हल :
वर्ग की भुजा = 75 मी
∴वर्ग का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 75 मी
= 300 मी
∴स्वीटी द्वारा तय की गई दूरी = 300 मीटर
आयत की लम्बाई = 60 मी, चौड़ाई = 45 मी
आयत का परिमाप – 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (60 मी + 45 मी)
= 2 x 105 मी
= 210 मी
∴बुलबुल द्वारा तय की गई दूरी = 210 मीटर
चूँकि 210 मी < 300 मी
अत: बुलबुल कम दूरी तय करती है।

प्रश्न 16.
निम्न प्रत्येक आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए। आप उत्तर से क्या निष्कर्ष निकालते हैं ?

हल :
(a) वर्ग की भुजा की लम्बाई = 25 सेमी
∴परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x 25 सेमी
= 100 सेमी

(b) आयत की लम्बाई = 40 सेमी, चौड़ाई = 10 सेमी
∴आयत का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (40 सेमी + 10 सेमी)
= 2 x 50 सेमी
= 100 सेमी

(c) आयत की लम्बाई = 30 सेमी, चौड़ाई
= 20 सेमी
∴आयत का परिमाप = 2 x (लम्बाई + चौड़ाई)
= 2 x (30 सेमी + 20 सेमी)
= 2 x 50 सेमी
= 100 सेमी

(d) त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयाँ – 30 सेमी, 40 सेमी और 30 सेमी ।
∴त्रिभुज का परिमाप = त्रिभुज की भुजाओं की लम्बाइयों का योग = 30 सेमी + 40 सेमी + 30 सेमी
= 100 सेमी
उत्तर
यहाँ दी हुई.सभी आकृतियों का परिमाप समान है।

प्रश्न 17.
अवनीत 9 वर्गाकार टाइल खरीदता है, जिसकी प्रत्येक भुजा \(\frac { 1 }{ 2 }\) मी है और वह इन टाइलों को एक वर्ग के रूप में रखता है।

(a) नए वर्ग का परिमाप क्या है [आकृति (a)]?
(b) शैरी को उसके द्वारा टाइलों को रखने की व्यवस्था पसंद नहीं आती है। वह इन टाइलों को एक क्रॉस के रूप में रखवाती है। इस व्यवस्था का परिमाप कितना होगा? [आकृति (b)]?
(c) किसका परिमाप अधिक है?
(d) अवनीत सोचता है, क्या कोई ऐसा भी तरीका है जिससे इनसे भी बड़ा परिमाप प्राप्त किया जा सकता हो? क्या आप ऐसा करने का सुझाव दे सकते हैं ? (टाइलें किनारों से आपस में मिली हुई हों और वे टूटी न हों।)
हल :
(a) अवनीत की व्यवस्था में वर्ग की भुजा की लम्बाई

वर्ग व्यवस्था का परिमाप = 4 x भुजा
= 4 x \(\frac { 3 }{ 2 }\)
= 6 मी

(b) क्रॉस व्यवस्था के रूप में परिमाप

= 10 मी

(c) ∵ 10 मी > 6 मी
∴ क्रॉस व्यवस्था का परिमाप अधिक है।

(d)∵टाइलों की कुल संख्या = 9
हाँ, बड़ा परिमाप ज्ञात करने के लिए निम्न व्यवस्था की जा सकती है

∴परिमाप = \(2 \times\left(\frac{9}{2}+\frac{1}{2}\right)\) मी
= 2 x 5
= 10 मी

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 234

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त में उपस्थित वर्गों की संख्या को गिनकर वृत्ताकार क्षेत्र का अनुमानित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

वृत्त के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 1
वृत्त के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 4
वृत्त के अन्दर आधे से कम घिरे हुए वर्ग = 4
∵1 वर्ग का क्षेत्रफल = 1 x 1
∴ वृत्ताकार क्षेत्र का अनुमानित क्षेत्रफल
= 1 x 1 +4 x 1+ 4 x 0
= 1 + 4
= 5 वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
ग्राफ पेपर पर पत्तियों, फूल की पंखुड़ियों तथा ऐसी ही अन्य वस्तुओं को छायांकित कीजिए और उनका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) पत्ती के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 1
पत्ती के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 6
पत्ती के अन्दर आधे से कम घिरे हुए वर्ग = 5
∴पत्ती का क्षेत्रफल = 1 x 1 + 6 x 1 + 5 x 0
= 1 + 6 + 0
= 7 वर्ग इकाई

(ii) पंखुड़ी के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 0.
पंखुड़ी के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 4
पंखुड़ी के अन्दर आधे से कम घिरे वर्ग = 2
∴पंखुड़ी का क्षेत्रफल = 0 x 1 + 4 x 1 + 2 x 0
= 0 + 4 + 0
= 4 वर्ग इकाई

(iii) फूल के अन्दर पूरे घिरे हुए वर्ग = 1
फूल के अन्दर आधे से अधिक घिरे हुए वर्ग = 4
फूल के अन्दर आधे से कम घिरे हुए वर्ग = 2
∴फूल का क्षेत्रफल = 1 x 1 + 4 x 1 x 2 x 0
= 1 + 4 + 0
= 5 वर्ग इकाई

MP Board Class 6th Maths Solutions