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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.4
प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है?
(i) x + y = 5 और 2x – 3y = 4
(ii) 3x + 4y = 10 और 2x – 2y = 2
(iii) 3x – 5y – 4= 0 और 9x = 2y + 7
(iv) \(\frac { x }{ 2 } \) + \(\frac { 2y }{ 3 } \) = -1 और x – \(\frac { y }{ 3 } \) = 3
हल:
(i) विलोपन विधि :
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac { 19 }{ 5 } \) + y = 5 ⇒ y = 5 – \(\frac { 19 }{ 5 } \) = \(\frac { 25-19 }{ 5 } \) = \(\frac { 6 }{ 5 } \)
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 19 }{ 5 } \) एवं y = \(\frac { 6 }{ 5 } \) है।
प्रतिस्थापान विधि:
समीकरण (1) से y = 5 – x समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं
2x – 3 (5 – x) = 4 ⇒ 2x – 15 + 3x = 4
⇒ 5x = 15 + 4 = 19 ⇒ x = \(\frac { 19 }{ 5 } \)
एवं y = 5 – x = 5 – \(\frac { 19 }{ 5 } \) = \(\frac { 25-19 }{ 5 } \) = \(\frac { 6 }{ 5 } \)
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 19 }{ 5 } \) एवं y = \(\frac { 6 }{ 5 } \) हैं।
(ii) विलोपन विधि :
3x + 4y = 10 ….(1)
एवं 2x – 2y = 2 ….(2)
⇒ 4x – 4y = 4 (3) [समीकरण (2) × 2 से]
⇒ 7x = 14 [समीकरण (1) + समीकरण (3) से]
⇒ x = 14/7 = 2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
2 × 3 + 4y = 10 ⇒ 4y = 10 – 6 = 4
y = 4/4 = 1
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से x = (y + 1) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं –
3 (y + 1) +4y = 10 ⇒ 3y + 3 + 4y = 10
⇒ 7y = 10 – 3 = 7 ⇒ y = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
एवं x = (y + 1) = 1 + 1 = 2
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।
(iii) विलोपन विधि:
3x – 5y – 4 = 0 ⇒ 3x – 5y = 4 ….(1)
एवं 9x = 2y + 7 = 9x – 2y = 7 ….(2)
9x – 15y = 12 ….(3) [समीकरण (1) × 3 से]
⇒ 13y = -5 [समीकरण (2)- समीकरण (3) से]
⇒ y = \(\frac { -5 }{ 13 } \)
समीकरण (1) में y का मान रखने पर हम पाते हैं :
3x – 5 (\(\frac { -5 }{ 13 } \)) = 4
⇒ 39x + 25 = 52 ⇒ 39x = 52 – 25 = 27
⇒ x = \(\frac { 27 }{ 39 } \) = \(\frac { 9 }{ 13 } \)
अतः समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 9 }{ 13 } \) एवं y = \(\frac { -5 }{ 13 } \) है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (1) से x = \(\frac { 5y+4 }{ 3 } \) समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
अत: समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 9 }{ 13 } \) एवं y = \(\frac { -5 }{ 13 } \) है।
(iv) विलोपन विधि:
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = -3 है।
प्रतिस्थापन विधि :
समीकरण (2) से x = \(\frac { y+9 }{ 3 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं :
y का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं :
3x – (-3) = 9 ⇒ 3x = 9 – 3 = 6 ⇒ x = \(\frac { 6 }{ 3 } \) = 2
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = – 3 है।
ज्ञातव्य : कभी-कभी विलोपन विधि प्रतिस्थापन विधि से उपयुक्त एवं सुविधाजनक होती है और कभी-कभी इसका विलोम भी होता है और कभी-कभी कोई भी अन्तर नहीं पड़ता।
प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरण के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए :
(i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें तो यह \(\frac { 1 }{ 2 } \) हो जाती है। वह भिन्न क्या है?
(ii) पाँच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की आयु कितनी है?
(iii) दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना संख्या के अंकों को पलटने से बनी संख्या का दो गुना है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
(iv) मीना ₹ 2000 निकालने के लिए एक बैंक गई। उसने खजांची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹50 और ₹100 के कितने-कितने नोट प्राप्त किए? किराये पर पुस्तक देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तकरखने के लिए ₹ 27 अदा किए जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के लिए ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए अभीष्ट भिन्न का अंश x एवं हर y है, तो भिन्न का स्वरूप होगा \(\frac { x }{ y } \)
प्रश्नानुसार, \(\frac { x+1 }{ y-1 } \) = 1 ⇒ x + 1 = y – 1 ⇒ x – y = – 2 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ y+1 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ 2x = y + 1 ⇒ 2x – y = 1 ….(2)
⇒ [समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
x के मान को समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
3 – y = – 2 ⇒ y = 3 + 2 = 5
अत: अभीष्ट भिन्न \(\frac { 3 }{ 5 } \) होगी।
(ii) मान लीजिए नूरी की आयु x वर्ष एवं सोनू की आयु y वर्ष है।
तो प्रश्नानुसार, (x – 5) = 3 (y – 5) ⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = 5 – 15 = – 10
एवं (x + 10) = 2 (y + 10) ⇒ x + 10 = 2y + 20
⇒ x – 2y = 20 – 10 = 10 ….(2)
⇒ y = 20 [समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर]
एवं y का मान समीकरण (2) में रखने पर हम पाते हैं :
x – 2 (20) = 10 ⇒ x – 40 = 10
⇒ x = 40 + 10 = 50
अतः नूरी एवं सोनू की अभीष्ट वर्तमान आयु क्रमशः 50 वर्ष एवं 20 वर्ष है।
(iii) मान लीजिए संख्या का दहाई का अंक x एवं इकाई का अंक y है तो संख्या का मान होगा 10x + y अब प्रश्नानुसार,
x + y = 9 ….(1)
संख्या के अंकों को पलटने पर बनी नई संख्या का मान होगा 10y + x एवं प्रश्नानुसार अब
9 (10x +y) = 2 (10y +x),
⇒ 90x + 9y = 20y + 2x
⇒ 88x – 11y = 0 ⇒ 8x – y = 0 ….(2)
समीकरण (1) एवं समीकरण (2) को जोड़ने पर हम पाते हैं :
9x = 9 ⇒ x = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर हम पाते हैं :
1 + y = 9 ⇒ y = 9 – 1 = 8
अतः अभीष्ट संख्या का मान = 10x + y = 10 × 1 + 8 = 10 + 8 = 18 है।
(iv) मान लीजिए मीना बैंक से ₹50 के नोट तथा ₹ 100 के नोट प्राप्त करती है, तो प्रश्नानुसार
x + y = 25 ….(1)
एवं 50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 ….(2)
समीकरण (2) से समीकरण (1) को घटाने पर प्राप्त होता है :
y = 40 – 25 = 15
y का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
x + 15 = 25 ⇒ x = 25 – 15 = 10
अत: ₹ 50 एवं ₹ 100 के नोटों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 10 एवं 15 है।
(v) मान लीजिए पुस्तक का प्रथम तीन दिन तक का नियत किराया ₹x एवं शेष दिनों के लिए प्रतिदिन का किराया ₹y है तो प्रश्नानुसार
x + 4y = 27 ….(1)
[∵ अतिरिक्त दिन = 7 – 3 = 4]
एवं x + 2y = 21 ….(2)
[∵ अतिरिक्त दिन = 5 – 3 = 2]
⇒ 2y = 6 [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + 4 (3) = 27 ⇒ x + 12 = 27
⇒ x = 27 – 12 = 15
अतः पुस्तक का प्रथम तीन दिनों तक अभीष्ट नियत किराया = ₹ 15 एवं प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया = ₹ 3.