MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 12 त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
समांतर चतुर्भुज के तीन शीर्ष A(3, – 1, 2), B(1, 2, – 4) व C(- 1, 1, 2) हैं। चौथे शीर्ष D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
शीर्ष A और C क्रमशः (3, – 1, 2), (- 1, 1, 2) हैं।
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अतः बिन्दु D के निर्देशांक (1, – 2, 8) हैं।

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प्रश्न 2.
एक त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः 4(0, 0, 6), B(0, 4, 0) तथा C(6, 0, 0) हैं। त्रिभुज की माध्यिकाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु B(0, 4, 0) और C(6, 0, 0) को मिलाने वाला रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु D\(\left(\frac{0+6}{2}, \frac{4+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\) या (3, 2, 0) हैं।
∴ बिन्दु A के निर्देशांक (0, 0, 6) हैं।
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प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज PQR का केन्द्रक मूल बिन्दु है और शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10) और R(8, 14, 2c) हैं तो a, b और c का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
दिया है: त्रिभुज PQR के शीर्ष P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10), R(8, 14, 2c)
∴ ∆PQR का केंद्रक\(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}-z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}\right)\)
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प्रश्न 4.
y-अक्ष पर उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जिसकी बिन्दु P(3, – 2, 5) से दूरी 5\(\sqrt{2}\) है।
हल:
y-अक्ष पर किसी बिन्दु के निर्देशांक A(0, y1, 0) है। A से P(3, – 2, 5) के बीच की दूरी = 5\(\sqrt{2}\)
∴ AP2 = (3 – 0)2 + (- 2 – y1) + (5 – 0)2
∴ = 9 + (- 2 – y1) + 25
= (y1 + 2)2 + 34
AP = \(\sqrt{\left(y_{1}+2\right)^{2}+34}\) = 5\(\sqrt{2}\) (दिया है)
∴ (y1 + 2)2 + 34 = 50
∴ (y1 + 2)2 = 50 – 34 = 16
y1 + 2 = ± 4
+ ve चिन्ह लेने पर, y1 = 4 – 2 = 2
– ve चिन्ह लेने पर, y1 = – 4 – 2 = – 6
∴ y-अक्ष पर अभीष्ट बिन्दु (0, 2, 0) और (0, – 6, 0) है।

प्रश्न 5.
P(2, – 3, 4) और Q(8, 0, 10) को मिलाने वाली रेखाखण्ड पर स्थित एक बिन्दु R का x-निर्देशांक 4 है। बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु R, PQ को k : 1 में विभाजित करता है जबकि P और Q के निर्देशांक P(2, – 3, 4) और ए(8, 0, 10) हैं।
∴ बिन्दु R के निर्देशांक \(\left(\frac{8 k+2}{k+1}, \frac{-3}{k+1}, \frac{10 k+4}{k+1}\right)\)
परन्तु x- निर्देशांक 4 के समान है।
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अतः R के निर्देशांक (4, – 2, 6) हैं।

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प्रश्न 6.
यदि बिन्दु A और B क्रमशः (3, 4, 5) तथा (- 1, 3, – 7) हैं। चर बिन्दु P द्वारा निर्मित समुच्चय से संबंधित समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ PA2 + PB2 = k2 जब कि k अचर है।
हल:
माना बिन्दु P के निर्देशांक (x, y, z) हैं।
बिन्दु A(3, 4, 5) है।
PA2 = (x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 5)2
बिन्दु B(- 1, 3, 7) है।
∴ PB2 = (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z + 7)2
दिया है, PA2 + PB2 = k2
∴ [(x – 3)2 + (y – 4)2 + (z – 5)2] + [(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z + 7)2] = k2
या (x2 + y2 + z2 – 6x – 8y – 10z + 9+ 16 + 25) + (x2 + y2 + z2 + 2x – 6y + 14z + 1 + 9 + 49)
∴ 2(x2 + y2 + z2) – 4x – 14y + 4z + 50 + 59 – k2 = 0
या 2(x2 + y2 + z2) – 4x – 14y + 4z + 109 – k2 = 0 .
या x2 + y2 + z2 – 2x – 7y + 2z = \(\frac{k^{2}-109}{2}\).

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