MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 15 सांख्यिकी विविध प्रश्नावली

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प्रश्न 1.
आठ प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमश: 9 और 9.25 है। यदि इनमें से छः प्रेक्षण 6, 7, 10, 12, 12, और 13 हैं, तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए वे दो संख्याएँ x और y हैं।
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= 62 + 72 + 102 + 122 + 122 + 132 + x2 + y2
722 = 36 + 49 + 100 + 144 + 144 + 169 + x2 + y2.
= 642 + x2 + y2
x2 + y2 = 722 – 642 = 80
∴ x2 + y2 = 80 …(2)
समीकरण (1) और (2) से
या x2 + (12 – x)2 = 80
या 2x2 – 24x + 144 = 80
या x2 – 12x + 32 = 0
(x – 4) (x – 8) = 0
∴ x = 4 या 8
∴ y = 8 या 4
अतः वे दो संख्याएँ 4 और 8 हैं।

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प्रश्न 2.
सात प्रेक्षणों का माध्य तथा प्रसरण क्रमशः 8 और 16 हैं। यदि इनमें से पाँच प्रेक्षण 2, 4, 10, 12, 14 हैं तो शेष दो प्रेक्षण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि वे दो संख्याएँ x और y हैं।
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या 22 + 42 + 102 + 122 + 142 + x2 + y2 = 560
460 + x2 + y2 = 560
x2 + y2 = 560 – 460 = 100 …….(2)
समीकरण (1) और (2) से
x2 + (14 – x)2 = 100
या 2x2 – 28x + 196 – 100 = 0
या x2 – 14x + 48 = 0
∴ (x – 6) (x – 8) = 0
∴ x = 6 या 8
∴ y = 8 या 6
∴ वे दो संख्याएँ 6 और 8 हैं।

प्रश्न 3.
छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:
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प्रश्न 4.
यदि n प्रेक्षणों का माध्य \(\bar{x}\) तथा प्रसरण σ2 है तो सिद्ध कीजिए कि प्रेक्षणों ax1, ax2, ax3, …… axn, का माध्य और प्रसरण क्रमशः a\(\bar{x}\) तथा a2σ2 (a ≠ 0) है।
हल:
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प्रश्न 5.
बीस प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 10 तथा 2 हैं। जांच करने पर यह पाया गया कि प्रेक्षण 8 गलत है। निम्न में से प्रत्येक का सही माध्य तथा मानक विचलन ज्ञात कीजिए यदि
(i) गलत प्रेक्षण हटा दिया जाए।
(ii) उसे 12 से बदल दिया जाए।
हल:
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प्रश्न 6.
एक कक्षा के पचास छात्रों द्वारा तीन विषयों गणित, भौतिक शास्त्र व रसायन शास्त्र में प्राप्तांकों का माध्य व मानक विचलन नीचे दिए गए हैं :
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किस विषय में सबसे अधिक विचलन है तथा किसमें सबसे कम विचलन है?
हल:
विचरण गुणांक = \(\frac{\sigma}{\bar{x}}\) × 100
गणित विषय में विचरण गुणांक = \(\frac{12}{42}\) × 100 = 28.57
भौतिक विषय में विचरण गुणांक = \(\frac{15}{32}\) × 100 = 46.875
रसायन विषय में विचरण गुणांक =\(\frac{20}{40.9}\) × 100 = 48.9
अतः रसायन विषय में सबसे अधिक विचर तथा गणित में सबसे कम विचलन है।

प्रश्न 7.
100 प्रेक्षणों का माध्य और मानक विचलन क्रमशः 20 और 3 हैं। बाद में यह पाया गया कि तीन प्रेश्च 21, 21 तथा 18 गलत थे। यदि गलत प्रेक्षणों को हटा दिया जाए तो माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\bar{x}\) = \(\frac{\Sigma x_{i}}{n}\)
∴ Exi = n\(\bar{x}\)
= 100 × 20 = 2000
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