MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.3

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 9 अनुक्रम तथा श्रेणी Ex 9.3

प्रश्न 1.
गुणोत्तर श्रेणी \(\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8} \dots\) का 20वाँ तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = \(\frac{5}{2}\)
दूसरा पद = \(\frac{5}{4}\), सार्व अनुपात = \(\frac{1}{2}\)
n वाँ पद = \(a r^{n-1}=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) = \(\frac{5}{2^{n}}\).
n = 20 रखने पर,
20 वाँ पद = \(\frac{5}{2^{20}}\)

प्रश्न 2.
उस गुणोत्तर श्रेणी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 8वाँ पद 192 तथा सार्व अनुपात 2 है।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a
सार्व अनुपात = 2

प्रश्न 3.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का 5वाँ, 8वाँ तथा 11 वाँ पद क्रमशः p, q तथा s हैं, तो दिखाइए कि q² = ps.
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a
सार्व तथा अनुपात =r
5वाँ पद = ar^{5 – 1} = ar⁴ = p
8वाँ पद = ar^{8 – 1} = ar⁷ = q
11वाँ पद = ar^{11 – 1}= ar¹⁰ = s
बायाँ पक्ष = q² = (ar⁷)² = a² . r¹⁴
दायाँ पक्ष = ps = ar⁴ ar¹⁰= a² . r¹⁴
अतः q² = ps.

प्रश्न 4.
किसी गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद उसके दूसरे पद का वर्ग है तथा प्रथम पद – 3 है, तो 7 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = – 3
तथा सार्व-अनुपात = r
चौथा पद = ar^{4 – 1} = ar³ = – 3r³
दूसरा पद = ar = – 3r
दिया है : चौथा पद = (दूसरे पद)²
⇒ – 3r³ = (-3r)² = 9r²
r= – 3
7वाँ पद = \(a r^{7-1}=a r^{6}=(-3)(-3)^{6}\)
= (- 3)⁷ = – 2187.

प्रश्न 5.
अनुक्रमों का कौन सा पद :
(a) 2, 2\(\sqrt{2}\), 4, … ; 128 है ?
(b) \(\sqrt{3}\), 3, 3, …. ; 729 है ?
(c) \(\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}\), ….; 19683 है?
हल:
(a) गुणोत्तर श्रेणी का पहला व दूसरा पद क्रमशः 2 और 2\(\sqrt{2}\)

∴ \(\frac{n-1}{2}\) = 6, n – 1 = 12 या n = 13.

प्रश्न 6.
x के किस मान के लिए संख्याएँ –\(\frac{2}{7}\), x, – \(\frac{7}{2}\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं ?
हल:
संख्याएँ a, b और c गुणोत्तर श्रेणी में है यदि b² = ac
∴ –\(\frac{2}{7}\), x, – \(\frac{7}{2}\) गुणोत्तर श्रेणी में हैं
\(x^{2}=\left(-\frac{2}{7}\right)\left(-\frac{7}{2}\right)\) = 1
x = ± 1.

प्रश्न 7 से 10 तक प्रत्येक गुणोत्तर श्रेणी का योगफल निर्दिष्ट पदों तक ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 7.
0.15, 0.015, 0.0015,…..20 पदों तक।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी 0.15, 0.015, 0.0015
पहला पद, a = 0.15
सार्व अनुपात, r = \(\frac{0.015}{0.15}\) = 0.1

प्रश्न 8.
\(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}\),…..n पदों तक।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी \(\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}\), …….
पहला पद, a = \(\sqrt{7}\) , सार्व अनुपात, r = \(\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\sqrt{3}\)

प्रश्न 9.
1, – a, a², – a³,…. पदों तक (यदि a ≠ – 1).
हल:
गुणोत्तर श्रेणी 1, – a, a, ², – a³,…..
पहला पद, a = 1, सार्व अनुपात, r = \(\frac{-a}{1}\) = – a

प्रश्न 10.
x³, x⁵, x⁷, …..n पदों तक (यदि x ≠ ± 1).
हल:
गुणोत्तर श्रेणी x³, x⁵, x⁷, …..

प्रश्न 11.
मान ज्ञात कीजिए \(\sum_{k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)\).
हल:

प्रश्न 12.
एक गुणोत्तर श्रेणी के तीन पदों का योगफल \(\frac{39}{10}\) है तथा उनका गुणनफल 1 है। सार्व अनुपात तथा पदों को ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद \(\frac{a}{r}\), a तथा ar हैं।

प्रश्न 13.
गुणोत्तर श्रेणी 3,3², 3³,… के कितने पद आवश्यक हैं ताकि उनका योगफल 120 हो जाए।
हल:
मान लो गुणोत्तर श्रेणी के कुल पद = n

या 3(3ⁿ – 1) = 120 × 2 = 240
3 से भाग देने पर
3ⁿ – 1 = \(\frac{240}{3}\) = 80
या 3ⁿ = 80 + 1 = 81 = 3⁴
अत:
n = 4.

प्रश्न 14.
किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम तीन पदों का योगफल 16 है तथा अगले 3 पदों का योग 128 है तो गुणोत्तरं श्रेणी का प्रथम पद, सार्व अनुपात तथा n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar²,…. है।
पहला पद = a, सार्व अनुपात = r
तीन पदों का योगफल = \(\frac{a\left(1-r^{3}\right)}{1-r}\) = 16 …(1)
चौथा पद = a × r^{n – 1} = ar^{4 – 1} = ar³
अगले तीन पदों का योगफल = \(\frac{a r^{3}\left(1-r^{3}\right)}{1-r}\) = 128

प्रश्न 15.
एक गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद a = 729 तथा 7वाँ पद 64 है, तो S⁷ ज्ञात कीजिए।
हल:
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = 729
मान लीजिए सार्व अनुपात = r

प्रश्न 16.
एक गुणोत्तर श्रेणी को ज्ञात कीजिए, जिसके प्रथम दो पदों का योगफल – 4 है तथा 5 वाँ पद तृतीय पद का 4 गुना है।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a
सार्व अनुपात = r
पहले दो पदों का योग = a + ar = – 4 ……(1)
5 वाँ पद = ar⁴, तीसरा पद = ar²
5 वाँ पद = 4 × तीसरा पद
ar⁴ = 4 × ar²
∴ r² = 4 या r = ± 2
समी (1) में r = 2 रखने पर
a (1 + 2) = – 4
∴ a = – latex]\frac{4}{3}[/latex]
∴ गुणोत्तर श्रेणी – 5, 3…. है
और जब r = – 2, ∴ a (1 – 2) = – 4, या a = 4
गुणोत्तर श्रेणी है: 4, – 8, 16, – 32,….

प्रश्न 17.
यदि किसी गुणोत्तर का 4वाँ, 10वाँ तथा 16वाँ पद क्रमशः x, y तथा z हैं, तो सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद = a,
सार्व अनुपात =r

प्रश्न 18.
अनुक्रम 8, 88, 888, …. के n पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए S = 8 + 88 + 888 + … पदों तक
= 8 [1 + 11 + 111 + … n पदों तक]
= \(\frac{8}{9}\)[9 + 99 + 999 +…. पदों तक]

प्रश्न 19.
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32, तथा 128, 32, 8, 2, \(\frac{1}{2}\) के संगत पदों के गुणनफल से बने अनुक्रम का योगफल ज्ञात कीजिए।
हल:
अनुक्रम 2, 4, 8, 16, 32 तथा 128, 32, 8, 2,\(\frac{1}{2}\) के संगत पदों के गुणनफल 2 × 128, 4 × 32, 8 × 8, 16 × 2, 32 × \(\frac{1}{2}\) या 256, 128, 64, 32, 16.
गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद, a = 256

प्रश्न 20.
दिखाइए कि अनुक्रम a, ar, ar²,… ar^{n – 1} तथा A, AR, Ar²,…. AR^{n – 1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम गुणोत्तर श्रेणी होती है तथा सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए। .
हल:
%अनुक्रम a, ar, ar²,….ar^{n – 1} तथा A, AR, AR²,… AR^{n – 1} के संगत पदों के गुणनफल से बना अनुक्रम
या aA, arAR, ar². AR², ….
या aA, aArR, aAr² R², ….
स्पष्ट है कि यह पद गुणोत्तर श्रेणी में है।
इसका पहला पद = aA
सार्व अनुपात = \(\frac{a A r R}{a A}\) = rR.

प्रश्न 21.
ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से 9 अधिक हो, तथा दूसरा पद चौथे पद से 18 अधिक हो।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी a, ar, ar², ar³,… है
तीसरा पद = ar², प्रथम पद = a
∴ ar² – a = 9 …(1)
दूसरा पद = ar, चौथा पद = ar³
ar – ar³ = 18 …(2)
समी (1) को (2) से भाग देने पर,

प्रश्न 22.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का p वाँ, q वाँ तथा वा पद क्रमशः a, b, तथा c हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(a^{q-r} \cdot b^{r-p}-c^{p-q}\) = 1.
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद A और सार्व अनुपात R है
p वाँ पद = AR^{p – 1} = a ….(1)
q वाँ पद = AR^{q – 1} = b ….(2)
r वाँ पद = AR^{r – 1} = c …..(3)
समी. (1) की q – 7, समी (2) की r – p, समी (3) की p – q घात का प्रयोग करने पर,

प्रश्न 23.
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम तथा nवाँ पद a तथा b हैं, एवं P, n पदों का गुणनफल हो, तो सिद्ध कीजिए कि P² = (ab)ⁿ.
हल:
मान लो गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात है।
पहला पद = a, n वाँ पद = ar ^{n – 1} = b
P = n पदों का गुणनफल
= a. ar. ar². ar³ ….ar^{n – 1}
= a ⁿ. r ^{1 + 2 + 3 +…+ (n – 1)} = \(a^{n} r^{\frac{n(n-1)}{2}}\)

प्रश्न 24.
दिखाइए कि एक गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल तथा (n + 1) वें पद से (2n)वें पद तक के पदों के योगफल का अनुपात में है।
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात = \(\frac{1}{r^{n}}\) हों, तब

प्रश्न 25.
यदि a, b, c तथा d गुणोत्तर श्रेणी में हैं तो दिखाइए कि \(\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=(a b+b c+c d)^{2}\).
हल:
मान लीजिए गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात 7 है।

प्रश्न 26.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनको 3 और 81 के बीच रखने पर प्राप्त अनुक्रम एक गुणोत्तर श्रेणी बन जाए।
हल:
मान लीजिए G₁, G₂ ऐसी दो संख्याएँ हैं जिससे 3, G₁, G₂, 81 गुणोत्तर श्रेणी बनाते हैं।
यह कुल चार पद हैं। यदि r सार्व अनुपात हो तो
∴ 81 = 3.r^{4 – 1} = 3 . r³
⇒ r=3
G₁ = 3r = 3 . 3 = 9
G₂ = 3r² = 3.3² = 27
अतः संख्याएँ 9 और 27 हैं।

प्रश्न 27.
n का मान ज्ञात कीजिए ताकि \(\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}\), a तथा b के बीच गुणोत्तर माध्य हो।
हल:
a और b के बीच गुणोत्तर माध्य = \(\sqrt{a b}\)

या \(\left(\frac{a}{b}\right)^{n+\frac{1}{2}}\) = 1 = \(\left(\frac{a}{b}\right)^{0}\)
⇒ n+ \(\frac{1}{2}\) = 0 या n = – \(\frac{1}{2}\).

प्रश्न 28.
दो संख्याओं का योगफल उनके गुणोत्तर माध्य का 6 गुना है तो दिखाइए कि संख्याएँ (3 + 2\(\sqrt{2}\)) : (3 – 2\(\sqrt{2}\)) के अनुपात में हैं। .
हल:
मान लीजिए संख्याएँ a और b हों, तब

प्रश्न 29.
यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध करो कि संख्याएँ \(\mathbf{A} \neq \sqrt{(A+G)(A-G)}\) हैं।
हल:
मान लीजिए संख्याएँ a और b हैं।

प्रश्न 30.
किसी कल्चर में बैक्टीरिया की संख्या प्रत्येक घण्टे के पश्चात् दुगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में उसमें 30 बैक्टीरिया उपस्थित थे, तो बैक्टीरिया की संख्या दूसरे, चौथे तथा nवें घण्टों बाद क्या होगी ?
हल:
प्रारम्भ में बैक्टीरिया की संख्या a = 30
प्रत्येक घण्टे बाद बैक्टीरिया की संख्या दुगुनी हो जाती है
∴ सार्व अनुपात = 2.
दूसरे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = ar² = 30 × 2² = 120
चौथे घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = ar⁴ = 30 × 2⁴ = 480
n वें घण्टे बाद बैक्टीरिया संख्या = arⁿ = 30 × 2ⁿ.

प्रश्न 31.
500 रुपए धनराशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 10 वर्षों बाद क्या हो जाएगी, ज्ञात कीजिए ?
हल:
माना A मिश्रधन, P मूलधन, r% प्रतिवर्ष ब्याज की दर तथा n वर्ष का समय हो, तो
A = \(P\left(1+\frac{r}{100}\right)^{n}\)
दिया है: P = 500, r = 10%, n = 10 वर्ष
A = 500 \(\left(1+\frac{10}{100}\right)\)
= 500 × (1.1)¹⁰.

प्रश्न 32.
यदि किसी द्विघात समीकरण के मूलों के समांतर माध्य एवं गुणोत्तर माध्य क्रमशः 8 तथा 5 हैं, तो द्विघातीय समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए द्विघात समीकरण के मूल α और β हों, तब
\(\frac{\alpha+\beta}{2}\) = 8 ∴ α + β = 16
तथा \(\sqrt{\alpha \beta}\) = 5 ∴ αβ = 25
∴ द्विघातीय समीकरण.
x ² – (α + β) x + αβ = 0
⇒ x ² – 16x + 25 = 0..

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