MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 1 संबंध एवं फलन

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 1 संबंध एवं फलन

संबंध एवं फलन Important Questions

संबंध एवं फलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f (x) = 8x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R फलन है –
(a) f एकैकी आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी आच्छादक है

प्रश्न 2.
फलन f(x) = \(\frac { e^{ x^{ 2 } }-e^{ -x^{ 2 } } }{ e^{ x^{ 2 } }+e^{ -x^{ 2 } } } \) द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है –
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(b) f एकैकी आच्छादक है
(c) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
(d) f बहुएक आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है

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प्रश्न 3.
यदि f : R → R, f(x) = (3 – x3)1/3 द्वारा प्रदत्त है तो fof(x) बराबर हैं –
(a) x1/3
(b) x3
(c) x
(d) (3 – x3)
उत्तर:
(c) x

प्रश्न 4.
a * b = a3 + b3 प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए –
(a) * साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है
(c) * साहचर्य है, किन्तु क्रमविनिमेय नहीं है
(d) * न तो क्रमविनिमेय है और न साहचर्य है।
उत्तर:
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है

प्रश्न 5.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है –
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

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प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

  1. यदि A = {1, 2, 3} हो, तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या ……………………………….. होगी।
  2. यदि f : R → R जहाँ f(x) = 5x – 7, ∀x ∈ R तो f-1(7) का मान ………………………….. होगा।
  3. यदि f : R → R तथा f(x) = x2 – 3x + 2 से परिभाषित है, तो f(f(x)) का मान …………………………….. होगा।
  4. यदि f : R → R; f (x) = 2x + 5 द्वारा परिभाषित है तब f-1(y) का मान …………………………….. होता है।
  5. f(x) = x3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R …………………………. है।

उत्तर:

  1. 2
  2. 0
  3. x4 – 6x3 + 10x2 – 3x
  4. \(\frac{1}{2}\) (y-5)
  5. एकैकी है।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. माना कि समुच्चय A = {1, 2, 3} पर एक सम्बन्ध R= {(1, 3), (3, 1), (3, 3)} है। तब R सममित, संक्रामक है, किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
  2. यदि f : A → B एकैकी आच्छादक फलन हो, तो f का प्रतिलोम f-1 अद्वितीय होता है।
  3. फलनों का संजोयन क्रमविनिमेयी होता है।
  4. प्रत्येक फलन व्युत्क्रमणीय होता है।
  5. माना कि समुच्चय Q+ पर एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = \(\frac{ab}{3}\), ∀a, b ∈ Q+ से परिभाषित है, तब 4 * 6 का प्रतिलोम \(\frac{9}{8}\) है।

उत्तर:

  1. असत्य
  2. सत्य
  3. असत्य
  4. असत्य
  5. सत्य।

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प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. समुच्चय A = {a, b, c} पर तत्समक संबंध लिखिए।
  2. फलन f(x) = \(\frac { \left| x-1 \right| }{ x-1 } \) का परिसर क्या है?
  3. फलन f(x) = \(\sqrt { 25-x^{ 2 } } \) से परिभाषित वास्तविक फलन का प्रान्त लिखिए।
  4. माना कि एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = 3a + 4b – 2 से परिभाषित है तब 4 * 5 ज्ञात कीजिए।
  5. माना कि f.g: R → R क्रमशः f(x) = 2x +1 और g(x) = x2 – 2, ∀x ∈ R से परिभाषित है। तब gof (x) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

  1. {(a, a), (b, b), (c, c)}
  2. {-1, 1}
  3. [-5, 5]
  4. 30
  5. 4x2 + 4x – 1.

संबंध एवं फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय z में R = { (a, b ) : संख्या 2, (a – b) को विभाजित करती है } द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है। (NCERT)
हल: समस्त a ∈ Z के लिए 2,(a – a) को विभाजित करेगा अर्थात् (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ 2, (a – b) को विभाजित करता है
⇒ 2,- (b – a) को विभाजित करता है
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
अत: R, सममित है।
माना (a,b) ∈ R = 2,(a – b) को विभाजित करता है।
(b, c) ∈ R → 2,(b – c) को विभाजित करता है।
a – b तथा b – C, 2 से भाज्य है
a – b + b – c, भी 2 से भाज्य है
अर्थात् a – c भी 2 से भाज्य है
इसलिए (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है। अतः R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अतः यह एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} में R = {(a, b): a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है } द्वारा परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। साथ ही सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय {2, 4, 6} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं। परंतु उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव उपसमुच्चय {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है। (NCERT)
हल: A का दिया गया कोई अवयव a या तो विषम है या सम है अतः (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है।
⇒ b तथा a दोनों ही या तो विषम है या सम है।
(a,b) ∈ D (b, a) ∈ R
अत: R सममित है।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R ⇒ अवयव a, b, c सभी या तो विषम हैं या सम हैं।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R = (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है।
यहाँ R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।
पुनः {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी अवयव विषम हैं।
इसी प्रकार {2, 4, 6} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि ये सभी सम हैं साथ ही उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हो सकता क्योंकि {1, 3, 5, 7} के अवयव विषम हैं जबकि {2, 4, 6} के अवयव सम हैं।

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प्रश्न 3.
माना कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। यदि समुच्चय N × N में परिभाषित एक संबंध R ऐसा हो कि (a, b) R (c, d) यदि ad (b + c) = bc (a + d) तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। (CBSE 2015)
हल: स्वतुल्यता: प्रत्येक (a, b) ∈ N × N के लिए
ab (b + a) = ba (a + b)
⇒ (a, b) R (a, b)
अत: R स्वतुल्य होगा।
सममितता: माना (a, b)(c, d) ∈ N × N
(a, b) R (c, d) ⇒ ab(b + c) = bc(a + d)
⇒ bc (a + d) = ab (b + c)
(a,b) R (c,d) ⇒ (c, d) R (a, b)
अत: R सममित होगा।
उत्तर संक्रमकता: माना (a, b) R (c, d ) तथा (c, d) R (e, f)
⇒ ad ( b + c) = bc (a + d)
तथा cf (d + e) = de (c + f)
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⇒ af (b + e) = bc (a + f)
(a, b) R (c, d) तथा (c, d) R (e, f) ⇒ (a, b) R (e, f)
अत: R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 4.
माना A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = {(a,b): |a – b| 2 से विभाजित है} तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है तथा तुल्यता वर्ग भी बनाइए।
हल: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
R = { (a, b) : |a – b| 2 से विभाजित है }
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1) (5, 1), (4, 2),(5, 3)}
∀ a ∈ A (a,a) ∈ R
इसलिए R स्वतुल्य होगा।
क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ∈ R
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 3) ∈ R
इसलिए R सममित है।
∀ (a, b) ∈ R,(b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
क्योंकि (1, 3)(3, 1) ∈ R = (1, 1) ∈ R
R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है।
यही सिद्ध करना था।
तुल्यता वर्ग
[1] = { a : a तथा 2 |a – 1| से विभाजित है}
[1] = {a : a ∈ A तथा a – 1 = 2 k}
[1] = {1, 3, 5}
[2] = { a : a तथा 2, |a – 2| से विभाजित है}
[2] = {a : a तथा a – 2 = 2k}
[2] = {2, 4}.

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प्रश्न 5.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए।

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बताइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादक है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल: f : N → N में,

यहाँ f (1) = f (2) ⇒ 1 ≠ 2
डोमेन के दो अवयव 1 और 2 का सह – डोमेन में एक ही प्रतिबिम्ब 1 है।
अत: f एकैकी फलन नहीं है।

स्थिति I.
जब n विषम हो
n = 2r + 1, r ∈ N
तब 4r + 1 ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f (4r + 1) = \(\frac { 4r+1+1 }{ 2 } \) = \(\frac { 4r+2 }{ 2 } \) = 2r + 1
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए / आच्छादक फलन है।

स्थिति II.
माना n = 2r (सम संख्या)
तब 4r ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f(4r) = \(\frac{4r}{2}\) = 2r
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन नहीं है।

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प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है। f(x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल:
f : A → B, f (x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \), A = R – {3} तथा B = R – {1}
मान लीजिए x, y∈A इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = \(\frac { y-2 }{ y-3 } \)
⇒ (x – 2) (y – 3) = (y – 2) (x – 3)
⇒ xy – 3x – 2y + 6 = xy – 3y – 2x + 6
⇒ -3x – 2y = -3y – 2x
⇒ 3x – 2x = 3y – 2y
⇒ x = y
यहाँ f (x) = f (y) ⇒ x = y
अतः f एकैकी फलन है।
f आच्छादक फलन होगा यदि x∈A इस प्रकार विद्यमान है कि f(x) = y
\(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = y
⇒ x – 2 = y (x – 3)
⇒ x – 2 = xy – 3y
⇒ xy – x = 3y – 2
⇒ x = \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \)∈A
प्रत्येक y ∈ B के लिए x ∈ A
f (x) = f ( \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \) )

∵ f(x) = y
अतः f अचधक पालन है।
अतः f एकोकी अचधक पालन है।

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प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि नीचे परिभाषित फलन f : N → N एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही।

हल: माना f (x1) = f (x2)
यदि x, विषम तथा x, सम है, तब
x1 + 1 = x2 – 1
X1 – x2 = -2
जो कि असंभव है।
इस प्रकार x1 के सम तथा x2 के विषम होने की संभावना नहीं है।
इसलिए x1 तथा x2, दोनों ही या तो सम होंगे या विषम होंगे।
माना x1, x2 दोनों विषम हैं।
f (x1) = f (x2)
⇒ x1 – 1 = x2 – 1
⇒ x1 = x2
अतः f एकैकी है।
सहप्रांत N की कोई भी विषम संख्या 2r + 1 प्रांत N की संख्या 2r + 2 का प्रतिबिंब है और सहप्रांत N की कोई भी सम संख्या 27, N की संख्या 2r – 1 का प्रतिबिंब है।
अतः f आच्छादक है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
f (x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए? (NCERT)
हल: f : R → R, f (x) = 4x + 3
फलन का डोमेन तथा सह – डोमेन R है।
माना x, y ∈ R इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
4x + 3 = 4y + 3
⇒ 4x = 4y
⇒ x = y
इस प्रकार f (x) = f (y)
⇒ x = y
अतः f एकैकी है।
माना कि सह – डोमेन R का कोई अवयव y है
y = f (x)
y = 4x + 3
⇒ 4x = y – 3
⇒ x = \(\frac { y-3 }{ 4 } \)
∴ f-1(y) = \(\frac { y-3 }{ 4 } \) तथा f-1(x) = \(\frac { x-3 }{ 4 } \)

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प्रश्न 9.
मान लीजिए कि y = {n2 : n ∈ N}⊂N है। फलन f : N → y, जहाँ f (n) = n2 पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि व्युत्क्रमणीय है। का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
y = f(n) = n2
n = \(\sqrt{y}\)
इससे g (y) = \(\sqrt{x}\) द्वारा परिभाषित फलन g : y → N प्राप्त होता है।
gof (n) = g [f (n)]
= g [n2]
= \(\sqrt { n^{ 2 } } \) [g(n) = \(\sqrt{n}\), g(n2) = \(\sqrt { n^{ 2 } } \) = n]
(gof) n = n
तथा
(fog)y = f [g(y)]
= f[ \(\sqrt{y}\) ], [f(n) = n2, f( \(\sqrt{y}\) ) = ( \(\sqrt{y}\) )2 = y]
= y
स्पष्ट है कि gof = In तथा fog = Iy
अतः f व्युत्क्रमणीय है तथा f-1 = g.
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
यदि f : R → R तथा g : R → R फलन क्रमशः f (x) = cosx तथा g(x) = 3x2 द्वारा परिभाषित है, तो gof और fog ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि gof ≠ fog? (NCERT)
हल: दिया है: f(x) = cosx
g (x) = 3x2
(gof) x = g [f (x)]
(gof) x = g [cost]
दिया है:
f (x) = cosx ……………………….. (1)
g (x) = 3x2
g (cosx) = 3 cos2x ……………………………. (2)
समी. (1) और (2) से,
(gof )x = 3cos2x
(fog) x = f [g(x)]
= f [3x2] ………………………………… (3)
दिया है:
g (x) = 3x2
f (x) = cosx
f [3x2] = cos3x2
समी. (3) और (4) से,
(fog) x = cos3x2
x = 0 के लिए
3cos2x ≠ cos3x2
अतः gof ≠ fog. यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 11.
f: {1,2,3} → {a,b,c}, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए-ज्ञात कीजिए ओर सिद्ध कीजिए कि (f-1)-1 = f है। (NCERT)
हल: दिया गया है:
f: {1, 2,3} → { a, b, c}
f(1) = a, f (2) = b, f (3) = c
माना g : { a, b, c } → {1, 2, 3} में
g (a) = 1, g (b) = 2, g (c) = 3
(fog) a = f [g (a)]
= f [1] = a
(fog) b = f [g (b)]
= f (2) = b
(fog) c = f [g (c)]
= f (3) = c
तथा (gof) (1) = g [f (1)]
= g (a) = 1
(gof) (2) = g [f(2)]
= g (b) = 2
(gof) (3) = g [f (3)]
= g (c) = 3
अत: gof = Ix, तथा fog = Iy
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
f का प्रतिलोम विद्यमान है तथा।
तथा f-1 = g
∴ f-1 {a, b, c} → {1, 2, 3} में,
f-1 (a) = 1, f-1(b) = 2, f-1(c) = 3
अतः f-1 का प्रतिलोम अथरिथ का प्रतिलोम जात करेंगे
माना h: {1, 2, 3} → {a, b, c}
h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c
(goh) 1 = g[h(1)] = g(a) = 1
(goh) 2 = g[h(2)] = g(b) = 2
(goh) 3 = g[h(3)] = g(c) = 3
तथा (hog) a = h[g(a)] = h(1) = a
(hog) b = h [ g(b)] = h(2) = b
(hog) c = h[g(c)] = h(3) = c
अत: goh = Ix तथा hog = Iy
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
g का प्रतिलोम विद्यमान है तथा g-1 = h = (f-1)-1 = f
अत: h = f
∴ (f-1)-1 = f यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में R = { (P1, P2 ) : P1 तथा P2 की भुजाओं की संख्या समान है।} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: दिया है:
A = समस्त बहुभुजों का समुच्चय
R = {(P1, P2) : P1, तथा P2 की भुजाओं की संख्या समान है।
प्रत्येक बहुभुज P में भुजाओं की संख्या, बहुभुज P की भुजाओं की संख्या के बराबर है।
∴ (P, P) ∈ R, ∀P∈A
माना (P1,P2)∈R ⇒ बहुभुज P1 तथा P2 मे भुजाओं की संख्या समान हैं।
⇒ बहुभुज P2 तथा बहुभुज P1 में भुजाओं की संख्या समान हैं।
अत: R संक्रमक संबंध है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से वह बहुभुज संबंधित होगा जिसमें भुजाओं की संख्या तीन होगी। इसलिए भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित बहुभुज त्रिभुज है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
यदि f(x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \), x ≠ \(\frac{2}{3}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ \(\frac{2}{3}\) के लिए fof(x) = xहै। f का प्रतिलोम फलन क्या है? (NCERT)
हल:
f (x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \)
fof (x) = f {f (x)}
f{ \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \) }

माना f का प्रतिलोम फलान f-1(x) = y हैं।
तब f (y) = x
∴ \(\frac { 4y+3 }{ 6y-4 } \) = x
⇒ 4y + 3 = 6xy – 4x
⇒ 6xy – 4y = 3 + 4x
⇒ y (6x – 4) = 3 + 4x
⇒ y = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \)
⇒ f-1 (x) = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \) = f(x)
∴ f-1 = f.

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प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \) द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर) का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \)
f : [-1, 1] → R
यहाँ, f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x }{ x+2 } \) = \(\frac { y }{ y+2 } \)
⇒ xy + 2x = xy + 2y
⇒ 2x = 2y
⇒ x = y यही सिद्ध करना था।
∴ f एकैकी है।
माना f-1 (x) = y
∴ f (y) = x
⇒ \(\frac { y }{ y+2 } \) = x
⇒ y = xy + 2x
⇒ y (1 – x) = 2x
∴ y = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)
⇒ f-1(x) = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)

प्रश्न 15.
यदि f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \), ∀ x ∈ R जहाँ -1 < x < 1, तो gof तथा fog ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि fog = gof?
हल: दिया है,
f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \)
g (x) = \(\frac { x }{ 1-|x| } \)
∴ fog (x) = f {g(x)}
= f ( \(\frac { x }{ 1-|x| } \) )

= x ………………….. (2)
fog = gof
यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 16.
तीन फलन f : N → N, g : N → N तथा h : N → R पर विचार कीजिए f (x) = 2x, g (y) = 3y + 4, तथा h (z) = sin z ∀ x, y तथा z ∈ N सिद्ध कीजिये की ho(gof)n = (hog)of? (NCERT)
हल:
ho(gof) x = h[gof(x)]
= h {g[f(x)}
= h (g (2x))
= h [3(2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4) ………………………… (1)
इसी प्रकार ((hog)of) x = (hog) f(x)
= (hog) 2x
= h (g (2x))
= h [3 (2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4)
समी, (1) और (2) से स्पस्ट है की
ho(gof) = (hog)of. यही सिद्ध करना था।

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