MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.2

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.2

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि दिक् कोसाइन \(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\) \(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} ; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}\) वाली तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत्
हल:
माना
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अतः तीनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, – 1, 2), (3, 4, – 2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।
हल:
बिन्दुओं (1, – 1, 2) तथा (3, 4, – 2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 3 – 1, 4 + 1, – 2, – 2 या 2, 5, – 4
माना a1 = – 2, b1 = 5 तथा C1 = – 4
अब बिन्दु (0, 3, 2) तथा (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4
अब a1 a2 + b1 b2 + c1 c2
= 2 x 3 + 5 x 2 + (- 4) x 4
= 6 + 10 – 16 = 0
∴ रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (4, 7, 8) (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (- 1, – 2, 1), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समांतर है।
हल:
बिन्दुओं (4, 7, 9), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 2, – 4, 3 – 7, 4 – 8 या – 2, – 4, – 4
माना a1 = – 2, b1 = – 4 तथा c1= – 4
अब बिन्दुओं (- 1, – 2, 1) (1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 या 2, 4, 4
माना a1 = 2, b2 = 4, C2 = 4
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∴ रेखाएँ परस्पर समांतर हैं।

प्रश्न 4.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश \(3 \hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}-2 \hat{\mathbf{k}}\) के समांतर है।
हल:
दिया है
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यही रेखा के समी० का कार्तीय रूप है।

प्रश्न 5.
बिन्दु जिसकी स्थिति सदिश \(2 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}\) से गुजरने व सदिश \(\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\) की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है
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यही रेखा के समी०का कार्तीय रूप हैं।

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (- 2, 4, – 5) से जाती है और \(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}\) के समांतर हैं।
हल:
बिन्दु (- 2, 4, – 5 ) से होकर जाने वालों और रेखा
\(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}\) के समांतर रेखा के समीकरण का
कार्तीय समीकरण
\(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+5}{6}\) हैं।

प्रश्न 7.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण \(\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात 37 2 कीजिए।
हल:
दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण
\(\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\)
इससे स्पष्ट होता है कि रेखा बिन्दु A (+ 5, – 4, 6) से होकर जाती है तथा यह सदिश \(\vec{a}=3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k}\) के समांतर है। तथा A का स्थिति सदिश \(\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\)
∴ रेखा का सदिश समी० \(\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}\)
या \(\vec{r}=(5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k})+l(3 \hat{i}+7 \hat{j}+\hat{2} \hat{k})\)

प्रश्न 8.
मूल बिन्दु और (5, – 2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O(0, 0,0) तथा A (5, – 2, 3) दो बिन्दु है।
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जोकि रेखा का कार्तीय रूप है।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, – 2, – 5) और (3, – 2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना P(3, – 2, – 5) और Q(3, – 2, 6) दो बिन्दु स्थिति सदिश हैं।
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यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

प्रश्न 10.
निम्न रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए–
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हल:
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(ii) माना \(\overline{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j} \times 2 \hat{k}\), \(\overline{b}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k}\) तथा दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ है इसलिए
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प्रश्न 11.
निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
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हल:
(i) पहली रेखा के दिक् अनुपात 2, 5, – 3 तथा दूसरी रेखा के दिक् अनुपात – 1, 8, 4 हैं।
माना इनके बीच का कोण θ है, तब
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या θ = \(\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\)

प्रश्न 12.
p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखायें \(\frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}\) परस्पर लम्ब हों।
हल:
समी० को व्यापक रूप में लिखने पर
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प्रश्न 13.
दिखाइये कि रेखाएँ \(\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)
हल:
पहली व दूसरी रेखा के दिक् अनुपात 7, – 5, 1 तथा 1, 2, 3 हैं।
तब a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 = 7 · 1 + 2 · – 5 + 3 · 1
= 7 – 10 + 3 = 10 – 10 = 0
अतः रेखायें परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 14.
रेखाओं \(\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) और \(\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}=\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ-
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रेखाओं के बीच की दूरी
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प्रश्न 15.
रेखाओं \(\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}\) और \(\)\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1} के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
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प्रश्न 16.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
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हल:
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प्रश्न 17.
रेखाएँ जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
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हल:
पहली रेखा का समीकरण
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इसका मान (1) में रखने पर
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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2

प्रश्न 1.
यदि P (A) = \(\frac{3}{5}\), P (B) = \(\frac{1}{5}\) और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P (ARB) ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं
∴ P(A ∩ B) = P (A)x P (B)
= \(\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{3}{25}\)

प्रश्न 2.
52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पत्तों की कुल संख्या = 52
गड्डी में काले पत्तों की कुल संख्या = 26
∴ एक पत्ता यादृच्छया खींचने पर काले पत्ते की प्रायिकता
= \(\frac{26}{52}\)
P(E1) = \(\frac{1}{2}\)
एक पत्ता खींचने पर शेष पत्तों की संख्या = 52 – 1 = 51
तथा काले पत्तों की संख्या = 26 – 1 = 25
∴ दूसरा काला पत्ता होने की प्रायिकता F2 = \(\frac{25}{51}\)
अतः दोनों पत्ते काले रंग के होने की प्रायिकता
= E1 x E2
= \(\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}=\frac{25}{102}\)

प्रश्न 3.
संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिनमें से 12 अच्छे व 3 खराब संतरे हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
डिब्बा जिसमें 12 अच्छे और 3 खराब सन्तरे हैं।
12 संतरों में से 3 अच्छे संतरे निकालने के प्रकार = 12C3
15 सन्तरों में से 3 सन्तरे निकालने के प्रकार = 15C3
स्वीकृत होने की प्रायिकता =3 अच्छे सन्तरों को चुनने की प्रायिकता
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प्रश्न 4.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना ‘सिक्के पर चित प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर सख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं या नहीं?
हल:
घटना A पर, चित आने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{2}\)
घटना B पर 3 प्रकट होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{6}\) जब पासे और सिक्के को उछाला जाता है, तब कुल संख्या
= [HI, H2, H3. H4, Hz, H6 ]
= [TI,T2,T3,TA,TH,T6]
अब H3 का प्रकट होना एक ही तरीके से हो सकता है।
3 और चित आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{12}\)
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अतः A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।

प्रश्न 5.
एक पासे पर 1,2,3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लेंA घटना ‘संख्या सम है’ और Bघटना संख्या लाल रंग से लिखी गई है’ को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतन्त्र हैं?
हल:
पासे पर सम संख्याएँ 2, 4, 6 हैं।
घटना A पर सम संख्या आने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
पासे पर दो रंग लाल और हरा है।
घटना (B) पर लाल रंग आने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{2}\)
लाल रंग में सम संख्या 2 है।
लाल रंग और सम संख्याएँ होने की प्रायिकता
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
≠P(A ∩ B)
A और B स्वतन्त्र घटना नहीं है।

प्रश्न 6.
मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E) = \(\frac{3}{5}\), P(F) = \(\frac{3}{10}\) और P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\) तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं।
हल:
∵ P(E) = \(\frac{3}{5}\) तथा P(F) = \(\frac{3}{10}\) तथा P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\)
∴ P(E) x P(F) = \(\frac{3}{5} \times \frac{3}{10}=\frac{9}{50}\)
∵ P(E ∩ F) ≠ P(E) x P(F)
अतः E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 7.
A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A)= \(\frac{1}{2}\), P(AUB) = \(\frac{3}{5}\) तथा P(B) = P
p का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं
(ii) घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
हल:
माना P(A ∩ B) =x
अब P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\), P(B) = P
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
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(i) जब घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं x = 0
∴ P = \(\frac{1}{10}\)
(ii) जब घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
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प्रश्न 8.
मान लें A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4 तब .
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A U B)
(iii) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iv) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है :
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4
जब A और B स्वतन्त्र घटना है
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
= 0.3 x 0.4 = 0.12
(ii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.4 – 0.12
= 0.7 – 0.12 = 0.57
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= \(\frac{0.12}{0.3}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\)

प्रश्न 9.
दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) =\(\frac{1}{2}\) और P(A ∩ B) = तब P(A – नहीं और B – नहीं) ज्ञात कीजिए।
हल:
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अत: P(A – नहीं और B – नहीं) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 10.
मान लें A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं और P(A) = \(\frac{1}{2}\) तथा P(B) = \(\frac{7}{12}\) और P(A – नहीं और B – नहीं) = \(\frac{1}{4}\) क्या A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?
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A और B स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 11.
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P (B)= 0.6 तो
(i) P(A और B)
(ii) P(A और B – नहीं)
(iii) P(A या B)
(iv) P(A और B में कोई भी नहीं ) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं
(i) ∴ P (A और B) = P(A ∩ B)
=P(A) × P (B) [∵P (A)= 0.3, P (B)= 0.6]
= 0.3 x 0.6 = 0.18
(ii) P (A और B नहीं)
=P(A ∩ \(\overline{\mathbf{B}}\))
= P(A) – P(A ∩ B)
= 0.3 – 0.18 [∵ P(A ∩ B) = 0.18]
= 0.12
(iii) यहाँ P (A) = 0.3, P (B) = 0.6,
P (A ∩ B) = 0.18
∴ P(A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= 0.3 + 0.6 – 0.18
= 0.72
⇒ P(A या B) = 0.72
(iv) P(A और B में कोई नहीं) = P(\(\overline{\mathbf{A}}\) ∩ \(\overline{\mathbf{B}}\))
= P(\(\overline{\mathbf{A}}\))x P (\(\overline{\mathbf{B}}\))
∴ P(\(\overline{\mathbf{A}}\) ∩ \(\overline{\mathbf{B}}\)) = P (\(\overline{\mathbf{A}}\)) x P(\(\overline{\mathbf{B}}\))
= [1 – P (A)] x [1 – P (B)]
=[1 – 0.3] x [1 – 0.6]
= 0.7 x 0.4
= 0.28

प्रश्न 12.
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम-से-कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
तथा सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
इसलिए पासे को तीन बार उछालने पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
अतः पासे को तीन बार उछालने पर कम से कम 1 बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)

प्रश्न 13.
दो गेंद एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए-(i) दोनों गेंदें लाल हों, (i) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो, (iii) एक काली तथा दूसरी लाल
हो।
हल:
(i) प्रथम गेंद लाल होने की प्रायिकता
= \(\frac{C_{1}}{^{18} C_{1}}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
दूसरी गेंद भी लाल प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{4}{9}\)
दोनों गेंद लाल प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\)
(ii) प्रथम गेंद काली प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{10}{18} C_{1}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\)
दूसरी गेंद लाल प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{^{8} C_{1}}{^{18} C_{1}}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
प्रथम काली एवं दूसरी लाल गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}\)
(iii) प्रथम गेंद काली और दूसरी लाल प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{10}{18} \times \frac{8}{18}=\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}\)
प्रथम गेंद लाल औ दूसरी गेंद काली प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{8}{18} \times \frac{10}{18}=\frac{4}{9} \times \frac{5}{9}=\frac{20}{81}\)
∴ एक काली तथा दूसरी लाल गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{20}{81}+\frac{20}{81}=\frac{40}{81}\)

प्रश्न 14.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –
(i) समस्या हल हो जाती है।
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
हल:
(i) A द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता =\(\frac{1}{2}\) = P(A)
∴ A के द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) = P(A)
तथा B के द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{3}\) =P(B)
∴ समस्या हल न करने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) = P(B)
स्वतन्त्र रूप से प्रश्न हल नहीं होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)
इसलिए समस्या हल हो जाने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
अत: दोनों द्वारा समस्या हल होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
(ii) उनमें से तथ्यत: कोई एक प्रश्न हल करने की प्रायिकता
= P(A\(\overline{B}\)) + P(\(\overline{A}\)B)
= P(A).P(\(\overline{B}\)) + P(\(\overline{A}\)).P(B) (∵A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 15.
ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतन्त्र हैं?
(i) E : ‘निकाला गया पत्ता हुकुम का है’
F : ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’
(ii) E : ‘निकाला गया पत्ता काले रंग का है’
F : ‘निकाला गया पत्ता एक बादशाह है’
(iii)E : ‘निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है’
F: “निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है’
हल:
ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी है।
(i) हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
∴ निकाले गए हुकुम के पत्ते की प्रायिकता
= \(\frac{13}{52} \frac{C_{1}}{C_{1}}=\frac{13}{52}\)
∴ P (E) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
ताशों की एक गड्डी में चार इक्के हैं।
निकाला गया पत्ता इक्का की प्रायिकता
= \(\frac{^{4} C_{1}}{^{52} C_{1}}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
⇒ P(F) = \(\frac{1}{13}\)
केवल एक पत्ता है जिसमें हुकुम का एक इक्का है।
निकाला गया हुकुम का इक्का की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(E ∩ F) = \(\frac{1}{52}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{13}\)
= P(E) x P(F)
⇒ P(E ∩ F) = P(E) x P(F)
E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
(ii) ताश के 52 पत्तों की गड्डी में 26 काले रंग के पत्ते हैं।
एक काला पत्ता खींचने की प्रयिकता = \(\frac{26}{52} \frac{C_{1}}{C_{1}}=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)
∴ P(E) = \(\frac{1}{2}\)
ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी में 4 पत्ते बादशाह हैं।
∴ एक बादशाह खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{4} C_{1}}{^{52} C_{1}}=\frac{4}{51}=\frac{1}{13}\)
∴ P(F) = \(\frac{1}{13}\)
यहाँ काले रंग में दो बादशाह हैं।
∴ काले रंग की एक बादशाह खींचने की प्रायिकता
= P(E ∩ F) = \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)
अब, P(E) x P(F) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{13}=\frac{1}{26}\)
= P(E ∩ F)
अतः P(E ∩ F) = P(E) x P(F)
⇒ E और F स्वतन्त्रघटनाएँ हैं।
(iii) यहाँ 4 बेगम और 4 बादशाह के पत्ते हैं।
∴ एक बादशाह या एक बेगम खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{8} C_{1}}{^{52} C_{1}}\)
= \(\frac{8}{52}=\frac{2}{13}\)
∴ P(E) = \(\frac{2}{13}\)
यहाँ 4 बेगम और 4 गुलाम के पत्ते हैं।
∴ एक बेगम या एक गुलाम की प्रायिकता = \(\frac{8}{52}=\frac{2}{13}\)
यहाँ दोनों ही दशाओं में 4 बेगम उभयनिष्ठ हैं।
∴ एक बेगम का पत्ता खींचने की प्रायिकता = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
= P(E ∩ F)
P(E) x P(F) = \(\frac{2}{13} \times \frac{2}{13}\)
= \(\frac{4}{169}\) ≠ P(E ∩ F)
अतः E और F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 16.
एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छया चुना जाता है।
(a) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) माना छात्रों के हिन्दी और अंग्रेजी के अखबार पढ़ने की घटनाओं को क्रमश: H और E से निरूपित करते हैं।
P(H) = 60% = \(\frac{60}{100}\) =0.6
P(E) = 40% = \(\frac{10}{100}\) = 0.4
P(H ∩ E) = 20% = \(\frac{20}{100}\) = 0.2
छात्रों के कम से कम एक अखबार पढ़ने की प्रायिकता
=P(H U E)
P(H) = 0.6, P(E) = 0.4, P(H U E) = 0.2
∴ P(H U E) = 0.6 + 0.4 – 0.2
=1 – 0.2 = 0.8
∴ छात्रों के न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता
=1 – P(H U E) = 1 – 0.8
= 0.2 = 20%
स्पष्ट है कि 20% विद्यार्थी अखबार नहीं पढ़ते
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसमें अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2 img 8
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी | का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2 img 9

प्रश्न 17.
यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है?
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{12}\)
(D) \(\frac{1}{36}\)
हल:
यहाँ समअभाज्य संख्या केवल 2 है। जब पासा उछाला जाता है तब सम अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
जब पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तब समअभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\)
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 18.
दो घटनाओंA और B को परस्पर स्वतन्त्र कहते हैं, यदि
(A) A और B परस्पर अपवर्जी हैं
(B) P (A’B’ ) = [1 – P(A)][1 – P(B)]
(C) P (A) = P(B)
(D) (A) + P(B)=1
हल:
दो घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
यदि P(A ∩ B) = P(A)x P(B)
या P(A’ ∩ B’) = P(A’). P(B’)
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
अतः विकल्प (B) सही है।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1

प्रश्न 1.
यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, P (F) == 0.3 और P(E ∩F) = 0.2, तो \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{E}}{\boldsymbol{F}}\right)\) और \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{F}}{\boldsymbol{E}}\right)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
ज्ञात है
P(E) = 0.6
P(F) =03
तथा P(EMF) = 0.2
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 1

प्रश्न 2.
\(P\left(\frac{A}{B}\right)\) ज्ञात कीजिए, यदि P (B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32
हल:
∵ P(B) =0.5
तथा P (A ∩ B) =0.32
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 2

प्रश्न 3.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) = 0.4 ज्ञात कीजिए।
(i) P (A ∩ B)
(ii) P\(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iii) P(AUB)
हल:
दिया है :
P(A) = 0.8, P(B) = 0.5
और \(P\left(\frac{B}{A}\right)\)=0.4
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 3
(iii) ∵ P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
=1.3 – 0.32
= 0.98

प्रश्न 4.
P (AUB) ज्ञात कीजिए यदि 2P (A) = P(B) = \(\frac{5}{13}\) और \(P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{2}{5}\)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 4
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 25

प्रश्न 5.
यदि P(A) = \(\frac{6}{11}\) P (B) = \(\frac{5}{11}\) और P(AUB) = \(\frac{7}{11}\) तो ज्ञात कीजिए
(i) P (A∩B)
(ii) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 5

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक \(P\left(\frac{E}{F}\right)\) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है-
(i) E : तीसरे उछाल पर चित F : पहली दोनों उछालों पर चित।
(ii) E : न्यूतनम दो चित F : अधिकतम एक चित।
(iii) E : अधिकतम दो पट F : न्यूनतम एक पट।
हल:
सम्भावित परिणाम =8
(i) E = {HHH, HTH, THH, TTH}
तथा F = {HHH, HHT}
E∩F = {HHH}
⇒P(E∩F) = \(\frac{1}{8}\) , P(F) = \(\frac{1}{4}\)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 6
(ii) ∵ E : न्यूनतम दो चित
∴ E = {HHH, HTH, THH, HHT}
F: अधिकतम दो चित
∴ F = {TTT, HTT, THT, HTT, HHT, HTH,THH}
∴ E ∩ F = {HHT, HTH, THH}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 7
(iii) E : अधिकतम दो पट
∴ E = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH,THH, HHH}
F : न्यूनतम दो पट
F = {THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}
∴ E ∩ F = {HTT,THT,TTH,THH, HTH, HHT}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 8

प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है –
(i) E : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii)E : कोई पट प्रकट नहीं होता F: कोई चित प्रकट नहीं होता है।
हल : (i) E = एक सिक्के पर पट प्रकट होता है।
= {TH, HT}
F = एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
= {HT, TH}
∴ E ∩F = {TH, HT}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 9
(ii) E = कोई पट प्रकट नहीं होता है
= {H, H}
F = कोई चित प्रकट नहीं होता है
= {TT}
∴ E ∩ F=ϕ
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 10

प्रश्न 8.
एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E : तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F : पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।
हल:
E = तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
= (1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), …(1, 6, 4)
=(2, 1, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 4), …(2, 6, 4)
= (3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), …(3, 6, 4)
= (4,1, 4), (4, 2, 4), (4, 3, 4), …(4, 6, 4)
= (5, 1, 4), (5, 2, 4), (5, 3, 4), …(5, 6, 4)
=(6, 1, 4), (6, 2, 4), (6, 3, 4), … (6, 6, 4)
= 36 परिणाम
F = पहली दो उछालों पर क्रमश: 6 तथा 5 प्रकट होना
= {(6, 5, 1), (6, 5, 2), ( 6, 5, 3), ( 6, 5, 4), ( 6, 5, 5), (6, 5, 6)} = 6 परिणाम
∴ E ∩ F = {6, 5, 4}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 11

प्रश्न 9.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र या यादृच्छया खड़ें हैं –
E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है F : पिता मध्य में खड़े हैं।
हल:
माना पुत्र (s), पिता (f) तथा माता (m) यादृच्छया खड़े है।
E = पुत्र एक सिरे पर खड़ा है।
= {smf, sfm, fms, mfs}
तथा F : पिता मध्य में खड़े हैं।
∴ F = { mfs, sin}
⇒ E ∩ F = {mfs, sfm}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 11

प्रश्न 10.
एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया हैं –
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
हल:
(a) जब दो पासे उछाले जाएँ तो उनका योग 9 से अधिक हो
A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
B = काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
= {(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
A∩B = {(5, 5), (5, 6)}
P(A∩B) = \(\frac{2}{36}\)= \(\frac{1}{18}\)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 13
(b) A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 है।
= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
B = लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
A ∩ B = {(2, 6), (3, 5)}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 14

प्रश्न 11.
एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} और G = {2, 3, 4,5} के लिए
निम्नलिखित ज्ञात कीजिए –
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 15
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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 16
(iii) E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, G = {2, 3, 4, 5}
⇒E ∩ G = {3, 5} E ∩ G = {2, 3},
(E ∩ F) ∩ G = {3}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 17

प्रश्न 12.
मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल:
माना पहले तथा दूसरे बच्चे, लड़कियाँ G1,G2, तथा लड़के B1, B2 हैं।
∴ S = {(G1.G2), (G1, B2), (G2, B1), (B1, B2)}
माना A = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं।
= {G1G2}
B = सबसे छोटा बच्चा लड़की है।
= {G1G2. B1G2}
C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
= {G1B2,G1G2, B1G2}
A ∩ B = {G1G2}, A ∩ C = {G1G2}
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 18

प्रश्न 13.
एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहुविकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहुविकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है तो एक आसान प्रश्न की बहुविकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
दिए गए आँकड़ों की टेबिल निम्न प्रकार है –
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 19
माना E = सरल प्रश्न, D = कठिन प्रश्न, T = सत्य/असत्य प्रश्न, M = बहुविकल्पीय प्रश्न
सरल बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या = 500
कुल प्रश्नों की संख्या = 1400
P(E ∩ M) = आसन और बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता
\( = \frac{500}{1400} = \frac{5}{14}\)
बहुविकल्पीय प्रश्नों की कुल संख्या = 500 + 400 = 900
P(M) = एक बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 20

प्रश्न 14.
यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो पासों को फेंकने से प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम
= 6 x 6 =36
माना A = दो संख्याओं का योग 4
= [(1,3), (2, 2), (3,1)]
दो पासों को फेंकने पर समान संख्या वाले परिणाम
= {(1, 1), (2, 2), (3,3),(4, 4) (5,5), (6, 6)}
B = जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम
=36 – 6 = 30
A∩B = [(1, 3), (3, 1)]
P(A∩B) = \(\frac{2}{36}\),
P(B) =\(\frac{30}{36}\)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 21

प्रश्न 15.
एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना’ दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने’ की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना यहाँ 3 का गुणज प्रत्येक समय n बार फेंका गया।
एक उछाल में 3 के गुणज की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
n उछालों में 3 के गुणज की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\)
एक उछाल में 6 की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\frac{1}{6}\)
∴ n उछालों में 6 की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\)
⇒n उछालों में कम-से-कम 3 की प्रायिकता प्राप्त होगी
= \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}-\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\)
∴ (n +1)th उछाल में 1, 2, 3, 4, 5 (3 का गुणज नहीं है) की प्रायिकता प्राप्त होगी
=\(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
अगली उछाल में एक सिक्का उछाला गया और पट आया।
∴ पट आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अन्त में (n + 2)th उछाल में कम-से-कम 3 और पट प्राप्त होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 27
यदि n→∞; एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना, दिया गया है तो सिक्के पर पट होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता
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निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।

प्रश्न 16.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = 0 तब \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) है –
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) परिभाषित नहीं
(D) 1
हल:
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 23

प्रश्न 17.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}\right)^{\prime}=\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) ≠ 0 तब
(A) A ⊂ B
(B) A = B
(C) A ∩B = ϕ
(D) P(A)=P(B)
हल:
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1 img 24

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0.
p\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) ज्ञात कीजिए यदि
(i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है।
(ii) A ∩ B = ϕ
हल:
(i) B का उपसमुच्चय A है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 1

प्रश्न 2.
एक दम्पति के दो बच्चे हैं–
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
हल:
(i) माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {MM}
B = कम-से-कम एक बच्चा लड़का है
={MF, FM, MM }
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 2

प्रश्न 3.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
हल:
माना घटना E1 – पुरुष का होना तथा घटना
E2 – महिला का होना
तथा घटना A – सफेद बाल का होना
∴ 1 पुरुष चुनने की प्रायिकता = P (E1) = \(\frac{1}{2}\)
1 महिला चुनने की प्रायिकता = P (E2) = \(\frac{1}{2}\)
5% पुरुषों के बाल सफेद हैं
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 5% = 0.05
∵ 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.25% = 0.0025
इसलिए सफेद बालों वाला पुरुष होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 3

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
हल : 90% लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं।
p = \(\frac{9}{10}\)
10% लोग बायें हाथ से काम करते हैं।
q = \(\frac{1}{10}\), n = 10
P (अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों)
= p(O) + p (1) +…+ p (6)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 4

प्रश्न 5.
एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह ‘x’ अंकित है और शेष 15 पर चिन्ह ‘Y’ अंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिन्ह को नोट (लिख) करके उसे कलश में तिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें नेकाली जाती हों तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
(i) सभी पर चिन्ह ‘X’ अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिन्ह ‘Y’ नहीं अंकित हो।
(iii) कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह ‘Y’ अंकित हो।
(iv) ‘x’ तथा ‘x’ चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ नमान हों।
हल:
गेंदों की कुल संख्या = 25
X अंकित गेंदों की संख्या =10
माना X अंकित गेंदों की घटना X से व्यक्त करते हैं।
Y = Y गेंद की घटना
∴ P(X) = \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) = P
∴ P(Y) = \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) = q
अब 6 गेंद खींचते हैं।
(i) P (सभी पर चिन्ह X अंकित हो) = \(\left(\frac{2}{5}\right)^{6}\)
(ii) P (2 0से अधिक पर चिन्ह Y नहीं अंकित हो)
= P (6) + P (5) + P (4)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 5
= \(\left(\frac{2}{5}\right)^{4}\left[\frac{175}{25}\right]=7\left(\frac{2}{5}\right)^{4}\)
(iii) P (कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह Y अंकित हो)
= 1 – (चिन्ह Y अंकित न हो)
= 1 – P (सभी गेंदों पर x अंकित हो)
= 1 – \(\left(\frac{2}{5}\right)^{6}\)
(iv) P(X तथा Y चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 6

प्रश्न 6.
एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर \(\frac{5}{6}\) लेगा है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?
हल:
दौड़ प्रतियोगिता में कुल बाधाएँ = 10
∵ बाधा को पार करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
∴ बाधा को पार न करने की प्रायिकता = \(1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\)
अतः 2 से कम बाधाओं को गिराने की प्रायिकता
= P (10) + P (2)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 7

प्रश्न 7.
एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
हल:
एक पासे को बार-बार उछाला जाता है।
एक उछाल में 6 का अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
एक उछाल में 6 का अंक न आने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
पासे पर 5 उछालों पर 2. बार 6 और 3 बार 6 न आने की प्रायिकता
= 5C2
छठी बार उछालने में 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
∴ पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त प्रायिकता
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प्रश्न 8.
यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे।
हल:
∵ एक लीप वर्ष में होते हैं = 366 दिन
अर्थात् 52 सप्ताह तथा 2 दिन (अलग से)
अतिरिक्त दो दिन हो सकते हैं
= (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun), (Sun, Mon)
सम्भावित परिणाम = 7
अनुकूल परिणाम = 2 (Mon, Tue) (Tue, Wed)
अतः 53 मंगलवार होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{7}\)

प्रश्न 9.
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
हल:
माना सफल होने की प्रायिकता p तथा असफल होने की प्रायिकता q है।
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है।
⇒ p = 2q = 2 (1 – p) = 2 – 2p
∴ 3p = 2 या p = \(\frac{2}{3}\)
∴ q = \(\frac{1}{3}\)
अगले छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होने की प्रायिकता
= P(4) + P(5) + P(6)
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प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम-से-कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो?
हल:
माना सिक्के को x बार उछाला गया है।
चित आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
तथा चित न आने की प्रायिकता = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
∴ कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता = \(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
इसलिए हम कम-से-कम एक चित की प्रायिकता ज्ञात करेंगे जो कि 90% (0.9) से अधिक हो।
अतः कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता > 0.9
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अतः एक न्याय्य सिक्के को कम-से-कम 4 बार उछालना पड़ेगा।

प्रश्न 11.
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे को उछालते हैं, तब 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6}\) = p (माना)
∴ q = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
(i) छ: प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
(ii) पहली उछाल में 6 प्रकट न हो किन्तु दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\)
पहली दो उछाल में 6 न प्रकट होने की तथा तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}\)
तीनों उछालों में 6 न प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{125}{216}\)
पहली उछाल में 6 प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है।
दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर (1 – 1) रुपये = 0 रुपये मिलते हैं।
तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर प्राप्त होता है
= ( – 1 – 1 + 1) रुपये
=( – 1) Rs. = 1 रुपया कम
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प्रश्न 12.
मान लीजिए हमारे पास A, B, Cऔर D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A; बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?
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हल:
माना एक बॉक्स चुने जाने की घटना F है और लाल गेंद चुनने की घटना A है।
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प्रश्न 13.
मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान ओर योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E1 = ध्यान और योग विधि का इलाज
E2 = दवा द्वारा खतरे को कम किए जाने का इलाज
A = दिल के दौरे से रोगी
P(E1) =\(\frac{1}{2}\), P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
माना P(A) = 40% = 0.40
दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का 25% खतरा कम हो जाता है।
⇒ दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने से खतरा 75% है।
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प्रश्न 14.
यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हों तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है। (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतन्त्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता 1 है।)
हल:
यहाँ 2 कोटि के सारणिक में चार अवयव हैं।
∴ सारणिकों द्वारा बनाई गई संख्या = 24 =16
सारणिक का मान धनात्मक है।
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सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{16}\)

प्रश्न 15.
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं
P(A के असफल होने की) = 0.2
P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15
P(A और B के असफल होने की) = 0.15
तो, निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए
(i) P(A असफल / B असफल हो चुकी हो)
(ii) P(A के अकेले असफल होने की)
हल:
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= 0.20 – 0.15 = 0.05

प्रश्न 16.
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला 1 से थैला II में स्थानान्तरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानान्तरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं।
थैला II में 4 लाल तथा 5 काली गेंदें हैं।
माना E1 = थैला I में लाल गेंद निकालने की घटना।
E2 = थैला I में काली गेंद निकालने की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{3}{7}\), P(E2) = \(\frac{4}{7}\)
माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।
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निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए-
प्रश्न 17.
यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = 1, तब
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = ϕ
(D) A = ϕ
हल:
P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = 1v
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प्रश्न 18.
यदि P\(\left(\frac{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}\right)\) > P(A), तब निम्न में से कौन सही है।
(A) P \(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P (A). P (B) (C) P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) > P(B)
(D) P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = P(B)
हल:
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 24
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P (B) – P(A और B) = P(A), तब
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हल:
P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = P (A)
⇒ P(B) – P (A ∩ B) = 0
या P(A ∩ B) = P (B)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 26
अतः विकल्प (B) सही है।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4

प्रश्न 1.
बताइए कि निम्नलिखित प्रायिकता बंटनों में कौन-से एक यादृच्छिक चर के लिए संभव नहीं है। अपना उत्तर कारण सहित लिखिए।
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हल:
(i) प्रायिकताओं का योग
= 0.4 + 0.4 + 0.2 = 1
यह बंटन प्रायिकता बंटन है।
(ii) एक की प्रायिकता – 0.1 ऋणात्मक है।
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iii) प्रायिकताओं का योग
= 0.6 + 0.1+ 0.2 = 0.9 ≠ 1 है।
∴ दिया गया बंटन, प्रायिकता बंटन नहीं है।
(iv) प्रायिकताओं का योग
= 0.3 + 0.2 + 0.4 + 0.1 + 0.05
= 1.05 >1
∴ यह प्रायिकता बंटन नहीं है।

प्रश्न 2.
एक कलश में 5 लाल और 2 काली गेंद हैं। दो गेंद यादृच्छया निकाली गईं। मान लीजिए x काली गेंदों की संख्या को व्यक्त करता है। X के संभावित मान क्या हैं? क्या x यादृच्छिक चर है?
हल:
एक कलश से, दो गेंदें निकाली गईं RR, RB, BR, BB जहाँ लाल गेंद को R से तथा काली गेंद को B से व्यक्त करते है।
X चर के मान 0, 1, 2
यहाँ कोई काली गेंद नहीं, एक काली गेंद या दोनों गेंदें काली है।
∴ हाँ, X यादृच्छिक है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए x चितों की संख्या और पटों की संख्या में अन्तर को व्यक्त करता है, जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है। X के संभावित मूल्य क्या हैं?
हल:
जब एक सिक्के को 6 बार उछाला जाता है, हम चित और पटों की संख्या निम्न प्रकार व्यक्त करते हैं-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 2

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए-
(i) एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या का
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक बार उछालने पर पटों की संख्या का
(iii) एक सिक्के की चार उछालों में चितों की संख्या का
हल :
(i) जब एक सिक्के की दो उछालों में चितों की संख्या
S = {IT, TH, HT, HH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मानते हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 3
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 4
(ii) तीन सिक्कों को एक साथ एक-बार उछालने पर पटों की संख्या
S = {TIT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH}
X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1, 2 3 मानते हैं। अब, P(X = 0) = P (पट नहीं) = सभी चित [HHH]
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∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 6
(iii) जब एक सिक्के को चार बार उछाला जायX एक यादृच्छिक चर है, जो 0, 1, 2, 3, 4 मानते हैं।
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प्रश्न 5.
एक पासा दो बार उछालने पर सफलता की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए जहाँ
(i) ‘4’ से बड़ी संख्या’ को एक सफलता माना गया है
(ii) ‘पासे पर संख्या 6 का प्रकट होना’ को एक सफलता माना गया है।
हल:
(i) यदि प्रत्येक पासे पर 1, 2, 3, 4 संख्या है
∴ सम्भव परिणाम = {(1,1), (1,2)…(2,1), (2, 2) …(4,4)} = 16 परिणाम
तथा प्रतिदर्श समष्टि में परिणामों की कुल संख्या
= 6 x 6 =36
P(X = 0) = \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)
P(X = 1) = \(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)
P(X = 2) = दोनों पासे 5 या 6
= (5, 6),(6,5), (5,5), (6,6)
= \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)
∴ X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 9
(ii) पासे पर 6 अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा पासे पर 6 अंक न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
0
तथा दो पासों पर 6 न आने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6}=\frac{25}{36}\)
इसलिए दो पासों पर कम-से-कम एक 6 आने की प्रायिकता
= \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\)
अतः X का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
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प्रश्न 6.
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। 4 बल्बों का एक नमूना (प्रतिदर्श) यादृच्छया बिना प्रतिस्थापना के निकाला जाता है। खराब बल्बों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
30 बल्बों के एक ढेर से जिसमें 6 बल्ब खराब हैं। खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = \(\frac{6}{30}=\frac{1}{5}\)
अच्छे बल्ब निकालने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
माना 4 बल्बों के नमूने में खराब बल्बों का बंटन x से व्यक्त करते हैं।
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∴ खराब बल्बों की प्रायिकता बंटन निम्नवत् है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 12

प्रश्न 7.
एक सिक्का समसर्वय सन्तुलित नहीं है जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है। यदि सिक्का दो बार उछाला जाता है तो पटों की संख्या का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए।
हल:
जब सिक्का उछाला जाता है, जिसमें चित प्रकट होने की संभावना पट प्रकट होने की संभावना की तीन गुनी है।
माना पट x बार आए।
∴ चित 3x बार आएगा।
परिणामों की कुल संख्या = x + 3x = 4x
∴ चित प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{3 x}{4 x}=\frac{3}{4}\)
∴ पट प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{x}{4 x}=\frac{1}{4}\)
जब पट की सम्भावना नहीं है तब प्रायिकता होगी
{HH} = \(\frac{3}{4} \times \frac{3}{4}=\frac{9}{16}\)
∴ P(X = 0) = \(\frac{9}{16}\)
जब एक पट और 1 चित की संभावना हो–
p (X =1) = P (H) P (T) + P (T) P (H)
= \(\frac{3}{4} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \times \frac{3}{4}\)
दोनों पटों की प्रायिकता
P(X = 2) = \(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}=\frac{1}{16}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
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प्रश्न 8.
एक यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन नीचे दिया गया है।
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ज्ञात कीजिए–
(i) k
(ii) P (X <3) (iii) P(X >6)
(iv) P(0 < X <3)
हल:
(i) प्रायिकताओं का योग =1
0 + k + 2k + 2k + 3k + k2 + 2x2 + 7k2 + k =1
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∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
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प्रश्न 9.
एक यादृच्छिक चर X का प्रायिकता फलन (x) निम्न प्रकार से है जहाँ k कोई संख्या है।
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(b) (i) P(X < 2) = P(0) + P(1)
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प्रश्न 10.
एक न्याय्य सिक्के की तीन उछालों पर प्राप्त चितों की संख्या का माध्य ज्ञात कीजिए।
हल:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछालने पर प्रतिदर्श समष्टि
= [TTT, TTH, THT, HTT, THH, HTH, HHT, HHH]
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∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
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= \(\frac{3}{2}=1 \frac{1}{2}\)

प्रश्न 11.
दो पासों को युग्मत उछाला गया है। यदि x छक्कों की संख्या को व्यक्त करता है तो X की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
छक्कों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। एक पासा उछालने से प्रतिदर्श समष्टि = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
एक पासे पर छक्का प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
एक पासे पर 1, 2, 3, 4, 5 प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
जब दो पासे उछाले जाते हैं n(s) =36.
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∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 23

प्रश्न 12.
प्रथम छः धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गईं। मान लें X दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या को व्यक्त करता है। E(X) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ छ: धन पूर्णांक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं।
एक अंक 6 तरीकों से चुना जा सकता है।
जब 1 संख्या को चुना जाता है तब 5 संख्याएँ छोड़ते हैं।
प्रथम छ: धन पूर्णांकों में से दो संख्याएँ यादृच्छया या (बिना प्रतिस्थापन) चुनी गई संख्या = 6 x 5 = 30
अब, P(X = 2)
= P {(1, 2), (2, 1}} = \(\frac{2}{30}\)
P(X = 3)
= P {(1, 3), (2, 3), (3, 1), (3, 2)} = \(\frac{4}{30}\)
P(X = 4)
=P {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} = \(\frac{6}{30}\)
= P(X = 5)
=P {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 1, (5, 2), (5, 3), (5, 4)} = \(\frac{8}{30}\)
P(X = 6)
= P {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)}= \(\frac{10}{30}\)
x का प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
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प्रश्न 13.
मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को x से व्यक्त किया गया है। x का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
हल: जब दो पासे फेंके जाते हैं, तब परिणामों की संख्या
= 6 x 6 = 36
P(X = 2) = P {(1,1)} = \(\frac{1}{36}\)
P(X = 3) = P {(1, 2), (2,1)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X = 4) = P {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X = 5) = P {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4,1)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X = 6) = P {(1, 5), (2, 4), (3, 3),(4, 2), (5, 1) = \(\frac{5}{36}\)
P(X = 7) = P {{1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6,1)} = \(\frac{6}{36}\)
P(X =8). = P {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} = \(\frac{5}{36}\)
P(X =9) = P {(3, 6) (4, 5), (5, 4), (6, 3)} = \(\frac{4}{36}\)
P(X =10) = P {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} = \(\frac{3}{36}\)
P(X =11) = P {(5, 6), (6, 5)} = \(\frac{2}{36}\)
P(X =12) = P(6, 6) = \(\frac{1}{36}\)
अतः प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
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X का मानक विचलन = \(\sqrt{5.83}\) = 2.4 (लगभग)

प्रश्न 14.
एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष है। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर x का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
एक कक्षा में 15 छात्र हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है।
प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता = \(\frac{1}{15}\)
प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 27
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 28
मालक विचलन = \(\sqrt{4.78}\) = 2.19

प्रश्न 15.
एक बैठक में 70% सदस्यों ने किसी प्रस्ताव का अनुमोदन किया और 30% सदस्यों ने विरोध किया। एक सदस्य को यादृच्छया चुना गया और, यदि उस सदस्य ने प्रस्ताव का विरोध किया हो तो x = 0लिया गया, जबकि यदि उसने प्रस्ताव का अनुमोदन किया हो तो x = 1 लिया गया। E(X) और var (X)ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ चर मान 1 और 0 है।
किसी प्रस्ताव का अनुमोदन करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=70% = 0.70
किसी प्रस्ताव का विरोध करने वाले सदस्यों की प्रायिकता
=30% = 0.30
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 29

निम्नलिखित में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।
प्रश्न 16.
ऐसे पासे, जिनके तीन फलकों पर 1 अन्य तीन पर 2 और एक फलक पर 5 लिखा गया है, को उछालने पर प्राप्त संख्याओं का माध्य है-
(A) 1
(B) 2
(C) 5
(D) \(\frac{8}{3}\)
हल:
चर राशि 2 और 5 है।
3 फलक पर 1 लिखा गया है।
∴ 1 प्राप्त करने की प्रायिकता P(1) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
दो फलक पर 2 लिखा गया है।
∴ 2 प्राप्त करने की प्रायिकता P(2) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
1 फलक पर 5 लिखा गया है।
∴ 5 प्राप्त करने की प्रायिकता P(5) = \(\frac{1}{6}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 30
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए ताश की एक गड्डी से यादृच्छया दो पत्ते निकाले जाते हैं। मान लीजिए X इक्कों की संख्या प्रकट करता है। तब E(X) का मान है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 31
हल :
(i) जब दो पत्ते खींचे जाते हैं।
दो पत्ते इक्के नहीं खींचे जा सकते हैं।
= \(^{48} C_{2}=\frac{48 \times 47}{2}\) =1128
दो पत्ते खींचे जा सकते हैं 52 पत्तों में से = 52C2
= \(\frac{52 \times 51}{2}\) = 26 x 51 =1326
∴ इक्का न खींचने की प्रायिकता = \(\frac{1128}{1326}\)
(ii) \(^{4} C_{1} \times^{48} C_{1}\) में एक इक्का और एक इक्का न खींचे जा सकते हैं
= 4 x 48 = 192
एक इक्का और एक इक्का न होने की प्रायिकता = \(\frac{192}{1326}\)
(iii) दो इक्कों को खींचने की संख्या = 6
2 इक्कों की संख्या प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{6}{1326}\)
∴ प्रायिकता बंटन निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.4 img 32
अतः विकल्प (D) सही है।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5

प्रश्न 1.
एक पासे को 6 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासे पर सम संख्या प्राप्त होना एक सफलता है तो निम्नलिखित की प्रायिकताएँ क्या होंगी?
(i) तथ्यतः 5 सफलताएँ?
(ii) न्यूनतम 5 सफलताएँ?
(iii) अधिकतम 5 सफलताएँ?
हल:
एक पासे पर 3 सम संख्या हैं।
∴ एक पासे पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 1
= \(\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\) = (6 + 1)
= \(\frac{7}{64}\)
(iii) P (अधिकतम 5 सफलताएँ)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(O) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)] – P(6)
= 1 – P(6) =1 – \(\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\)
=1 – \(\frac{1}{64}=\frac{63}{64}\)

प्रश्न 2.
पासों के एक जोड़े को 4 बार उछाला जाता है। यदि ‘पासों पर प्राप्त अंकों का दिक होना’ एक सफलता मानी जाती है तो 2 सफलताओं की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे के एक जोड़े को उछाला जाता है, तब n(s) =36
पासों पर प्राप्त अंकों का दिक् प्राप्त होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 2

प्रश्न 3.
वस्तुओं के एक ढेर से 5%त्रुटियुक्त वस्तुएँ हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि 10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी?
हल:
एक त्रुटियुक्त वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता
= 5% = \(\frac{5}{100}=\frac{1}{20}\)
एक अच्छी वस्तु प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{20}=\frac{19}{20}\)
10 वस्तुओं के एक प्रतिदर्श में एक से अधिक त्रुटियुक्त वस्तुएँ नहीं होंगी।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 3

प्रश्न 4.
52 ताश के पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से 5 पत्ते उत्तरोतर प्रतिस्थापना सहित निकाले जाते हैं। इनकी क्या प्रायिकता है कि–
(i) सभी 5 पत्ते हुकुम के हों?
(ii) केवल 3 पत्ते हुकुम के हों?
(iii) एक भी पत्ता हुकुम का नहीं हो?
हल:
ताश की गड्डी में कुल पत्तों की संख्या =52
तथा हुकुम के पत्तों की संख्या =13
∴ 1 पत्ता खींचने पर हुकुम का पत्ता आने की प्रायिकता
= \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
∴ हुकुम का पत्ता न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
(i) पाँच पत्ते खींचने पर सभी हुकुम के पत्ते आने की | प्रायिकता = \(\left(\frac{1}{4}\right)^{5}=\frac{1}{1024}\)
(ii) पाँच पत्तों में से 3 पत्ते हुकुम के आने की प्रायिकता
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प्रश्न 5.
किसी फैक्टरी में बने एक बल्ब की 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज होने की प्रायिकता 0.05 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस प्रकार के 5 बल्बों में से
(i) एक भी नहीं
(ii) एक से अधिक नहीं
(iii) एक से अधिक
(iv) कम-से-कम एक, 150 दिनों के उपयोग के बाद फ्यूज हो जाएँगें।
हल:
∵ 150 दिनों के उपयोग होने के बाद फ्यूज की प्रायिकता = 0.05
∴ फ्यूज न होने की प्रायिकता =1 – 0.05 = 0.95
(i) 5 बल्बों में से 150 दिनों के उपयोग होने के बाद फ्यूज न होने की प्रायिकता
= (0.95)5 = 0.7738 = 0.77
(ii) एक से अधिक बल्ब फ्यूज नहीं होने की प्रायिकता
= P(0) + P(1)
= (0.95)5 + 5C1 x (0.95)4 x (0.05)
= (0.95)4 (0.95 + 5 x 0.05)
= (0.95)4 (0.95 + 0.25)
=(0.95)4 x 1.2 = 9.5
(iii) एक से अधिक फ्यूज होने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= [P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(O) + P(1)]
= 1 – [P(0) + P(1)]
= 1 – (0.95)4 x 1.2
= 1 – 0.52 = 0.43
(iv) कम से कम 1 बल्ब फ्यूज होने की प्रायिकता
= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5)
= P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) – P(0)
=1 – P(0)
=1 – (0.95)5 = 1 – 0.77
= 0.23

प्रश्न 6.
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिनमें से प्रत्येक पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है। यदि थैले से 4 गेंदे उत्तरोत्तर पुन: वापस रखते हुए निकाली जाती हैं तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा हो?
हल:
एक थैले में 10 गेंदें हैं जिन पर 0 से 9 तक के अंकों में से एक अंक लिखा है।
0 अंक वाली एक गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{10}\) = 0.1
गेंद पर 0 न लिखा होने की प्रायिकता
= 1 – 0.1 = 0.9
अब 4 गेंदें निकाली गईं।
उनमें से किसी भी गेंद पर अंक 0 न लिखा होने की प्रायिकता
=(0.9)4 = \(\left(\frac{9}{10}\right)^{4}\)

प्रश्न 7.
एक सत्य-असत्य प्रकार के 20 प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो तो वह प्रश्न का उत्तर ‘सत्य’ देता है और यदि पट प्रकट हो तो ‘असत्य’ लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम-से-कम 2 प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
हल:
P (सिक्का उछालने पर चित आता है) = \(\frac{1}{2}\)
P (सिक्का उछालने पर चित नहीं आता है)
= \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
सत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
असत्य उत्तर लिखने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
P (कम-से-कम 2 प्रश्नों के उत्तर सत्य हैं)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 5

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि x का बंटन बंटन है। दर्शाइए कि x =3 अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।
हल:
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 6
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 7
अतः X = 3 पर अधिकतम प्रायिकता वाला परिणाम है।

प्रश्न 9.
एक बहुविकल्पीय परीक्षा में 5 प्रश्न हैं जिनमें प्रत्येक के तीन संभावित उत्तर हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक विद्यार्थी केवल अनुमान लगाकर चार या अधिक प्रश्नों का सही उत्तर दे देगा।
हल:
∵ 1 प्रश्न के तीन सम्भावित उत्तर हैं।
∴ सही उत्तर की प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\)
P = \(\frac{1}{3}\)
तथा गलत उत्तर देने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
q = \(\frac{2}{3}\)
इसलिए पाँच प्रश्नों में से चार या अधिक सही उत्तरों की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 8

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक लॉटरी के 50 टिकट खरीदता है, जिसमें उसके प्रत्येक में जीतने की प्रायिकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह
(a) न्यूनतम एक बार
(b) तथ्यतः एक बार
(c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीत लेगा।
हल:
1 टिकट पर जीतने की प्रायिकता = \(\frac{1}{100}\)
न जीतने की प्रायिकता = 1 – \(\frac{1}{100}\) = \(\frac{99}{100}\)
(a) ∴ 50 मिनट लेने पर न्यूनतम 1 बार इनाम जीतने की
प्रायिकता = 1 – \(\left(\frac{99}{100}\right)^{50}\)
= 1 – (0.99),sup>50
(b) तथ्यतः एक बार इनाम जीतने की प्रायिकता
= \(^{50} C_{1}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\left(\frac{1}{100}\right)^{1}\)
= \(\frac{1}{2}\left(\frac{99}{100}\right)^{49}\)
(c) न्यूनतम दो बार, इनाम जीतने की प्रायिकता
= P(2) + P(3) +…P(50)
= P(0) + P(1) +…P(50) – [P(0) + P(1)] = 1 – [P(O) + P(1)]
=1 – [P(0) + P(1)]
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 9

प्रश्न 11.
एक पासे को सात बार उछालने पर तथ्यतः दो बार 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को 1 बार उछालने पर 5 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा 5 न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
इसलिए पासे को सात बार उछालने पर दो बार 5 आने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 10

प्रश्न 12.
एक पासे को छः बार उछालने पर अधिकतम 2 बार 6 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को 1 बार उछालने पर 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
तथा 6 न आने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
अत: पासे को 6 बार उछालने पर अधिकतम दो बार 6 आने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 11

प्रश्न 13.
यह ज्ञात है कि किसी विशेष प्रकार की निर्मित वस्तुओं की संख्या में 10% खराब हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि इस प्रकार की 12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब हों?
हल:
निर्मित वस्तुओं में खराब वस्तुओं के चुनने की प्रायिकता
= 10% = \(\frac{1}{10}\)
अच्छी वस्तुओं को चुनने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
12 वस्तुओं के यादृच्छिक प्रतिदर्श में से 9 खराब होने की प्रायिकता
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 12

प्रश्न 14.
एक बॉक्स में 100 बल्ब हैं। जिसमें 10 त्रुटियुक्त हैं। 5 बल्ब के नमूने में से, किसी भी बल्ब के त्रुटियुक्त न होने की प्रायिकता है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 13
हल:
बॉक्स में बल्बों की संख्या =100
खराब बल्बों की संख्या =10
खराब बल्ब होने की प्रायिकता = \(\frac{10}{100}=\frac{1}{10}\)
अच्छे बल्ब होने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\)
अतः 5 बल्बों के नमूने में से, किसी भी बल्ब की त्रुटि युक्त न होने की प्रायिकता = \(\left(\frac{9}{10}\right)^{5}\)
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 15.
एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता है। तब 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.5 img 14
हल: छात्रों की कुल संख्या = 5
एक छात्र की तैराक न होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{5}\)
∴ एक छात्र की तैराक होने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}\)
∴ छात्रों का प्रायिकता बंटन जो तैराक है = \(\left(\frac{1}{4}+\frac{4}{5}\right)^{5}\)
इसलिए 5 छात्रों में से 4 छात्रों की तैराक होने की प्रायिकता
= \(^{5} C_{4}\left(\frac{4}{5}\right)^{4} \frac{1}{5}\)
अतः विकल्प (A) सही है।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1

प्रश्न 1.
यदि एक रेखा x, y और अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135°, 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए
हल:
माना x, y और 2 के साथ रेखा के दिक् कोसाइन l, m, n हैं तथा दिया है α = 90°, β=135° तथा γ = 45° तब
l = cos α = cos 90° = 0
m = cos β = cos 135° = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
n = cos γ = cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

प्रश्न 2.
एक रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशांकों के साथ समान कोण बनाती है। हल : माना रेखा अक्षों के साथ समान कोण ए बनाती है
α = β = γ = 0 (माना)
अतः दिक् कोसाइन cos α , cos β, cos γ होंगे
परन्तु cos2α + cos2β +cos2γ = 1
⇒ cos2θ + cos2q + cos2θ = 1 (∵ α = β = γ = θ)
⇒ 3 cos2θ = \(\frac{1}{3}\)
⇒ cos2θ = \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ अभीष्ट दिक् कोसाइन \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) . \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) . \(\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\) है।

प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात- 18, 12, – 4 हैं तो इसके दिक् कोसाइन क्या हैं?
हल:
माना दिक् कोसाइन l, m तथा n हैं, तथा a = – 18, b = 12, c = – 4 तब
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1 1
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1 2

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), 5, 8,7) संरेख हैं।
हल:
माना बिन्दु A(2, 3, 4) B (-1, -2, 1), C (5, 8, 7) हैं।
∴ A और B को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
– 1 – 2, – 2 – 3, 1 – 4 हैं।
या – 3, – 5, – 3 हैं।
तथा B और C को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1 अर्थात् 6, 10, 6 हैं।
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं,
अत: AB और BC समान्तर हैं परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ हैं। अतः A, B, C संरेख बिन्दु हैं।

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, – 4), (- 1, 1, 2) और (- 5, – 5, – 2) हैं।
हल:
माना त्रिभुज के शीर्ष बिन्दु (3, 5, – 4), B (- 1, 1, 2) था C (- 5, – 5, 2) हैं।
AB के दिक् अनुपात – 1 – 3, 1 – 5, 2 + 4 या – 4, – 4, 6
∴ AB के दिक् कोसाइन
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1 3
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.1 4

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2

प्रश्न 1.
रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों। भोज्य P की लागत Rs 60/kg और भोज्य ए की लागत Rs 80/kg है। भोज्य P में 3 मात्रक/kg विटामिन A और 5 मात्रक/kg विटामिन B है जबकि भोज्य में 4 मात्रक/kg विटामिन A और 2 मात्रक/kg विटामिन है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
हल:
माना मिश्रण में भोज्य पदार्थ P की मात्रा x kg और Q की मात्रा y kg है।
स्पष्टतः x ≥ 0, y ≥ 0
प्रदत्त आंकड़ों से निम्नलिखित सारणी बनाते हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 1
∴ मिश्रण में विटामिन A के 8 मात्रक और विटामिन B के 11 मात्रक होने चाहिए अतः निम्न अवरोध प्राप्त होते हैं।
3x + 4 ≤ 8
5x + 2y ≥ 11
भोज्य P के x kg और Q के y kg खरीदने का कुल मूल्य z है तब
Z = 60x + 80y
अतः समस्या का गणितीय समीकरण निम्नलिखित है।
निम्न व्यवरोधों के अन्तर्गत
3x + 4y ≥ 8 …(i)
5x + 2y ≥ 11 …(ii)
x, y ≥ 0 …(iii)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 2
असमीकरणों
(i) व
(iii) तक के आलेखों द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र X APDY हैं तथा सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है।
P\(\left(2, \frac{1}{2}\right)\) प्रतिच्छेदत बिन्दु हैं।
AB: 3x + 4y = 8
और 5x + 2y = 11
Z के मान की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 3
स्पष्ट है कि 2 का न्यूनतम मान 160 है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिवद्ध है।
अब हमें असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा।
60x + 80y < 160
या 3x + 4y < 8
यह रेखा के बीच का क्षेत्र प्रदर्शित करता है।
AB: 3x + 4y = 8
आलेख से ज्ञात होता है कि यह क्षेत्र तथा सुसंगत क्षेत्रों के बीच कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः z का न्यूनतम मूल्य 160 रु० है, जो कि \(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\) और \(\left(2, \frac{1}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखाखण्ड के सभी बिन्दुओं पर न्यूनतम

प्रश्न 2:
एक प्रकार के केक को 200 g आटा तथा 25g वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 g आटा तथा 50g वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।
हल:
माना पहली प्रकार के केक x तथा दूसरी प्रकार के केक y हैं।
∴ कुल केकों की संख्या z =x+y
St 200x + 100y ≤ 5000 (आटा)
25x + 50y ≤ 1000 (वसा)
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न हैं-
उच्च अवरोधों के अन्तर्गत
z = x + y
या 2x + y ≤ 50
x + 2y ≤ 40 और x,y ≥ 0
असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OAEB प्राप्त होता है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 4
रेखाओं AB: 2x + y = 50 और CD: x +2y = 40 के प्रतिच्छेद बिन्दु E (20,10) हैं।
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 5
अतः केकों की अधिकतम संस्था = 30 एक प्रकार की तथा 10 अन्य प्रकार की हैं।

प्रश्न 3.
एक कारखाने में टेनिस के रैकेट तथा क्रिकेट के बल्ले बनते हैं। एक टेनिस रैकेट बनाने के लिए 1.5 घंटा यांत्रिक समय तथा 3 घंटे शिल्पकार का समय लगता है। एक क्रिकेट बल्ले को तैयार करने में 3 घंटे यांत्रिक समय तथा 1 घंटा शिल्पकार का समय लगता है। एक दिन में कारखाने में विभिन्न यंत्रों पर उपलब्ध यांत्रिक समय के 42 घंटे और शिल्पकार समय के 24 घंटे से अधिक नहीं हैं।
(i) रैकेटों और बल्लों को कितनी संख्या में बनाया जाए ताकि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे?
(ii) यदि रैकेट और बल्ले पर लाभ क्रमश: Rs 20 तथा Rs 10 हों तो कारखाने का अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए यदि कारखाना पूरी क्षमता से कार्य करे।
हल:
माना रैकेटों की संख्या = x तथा बल्लों की संख्या = y
(i) अधिकतम
z = x + y
St 15x + 3y ≤ 42
3x + y ≤ 24
x, y ≥ 0
असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC है तथा रेखाओं x +2y = 28 तथा 3x +y = 24 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(4,12) है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 6
अब र की प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर गणना करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 7
∵ 2 का अधिकतम मात्रा 16 है,
∵ 4 रैकेट तथा 12 बल्ले।
(ii) लाभ z = 20x + 10y
At D(0, 0), z = 0
At A(8, 0), z = 160
At B(4, 12), z = 200
At C(0, 14), z = 14
∴ अधिकतम लाभ 200 रु० हैं।

प्रश्न 4.
एक निर्माणकर्ता नट और बोल्ट का निर्माण करता है। एक पैकेट नटों के निर्माण में मशीन A पर एक घंटा और मशीन B पर 3 घंटे काम करना पड़ता है, जबकि एक पैकेट बोल्ट के निर्माण में 3 घंटे मशीन A पर और 1 घंटा मशीन B पर काम करना पड़ता है। वह नटों से Rs 17.50 प्रति पैकेट और बोल्टों पर Rs 7.00 प्रति पैकेट लाभ कमाता है। यदि प्रतिदिन मशीनों का अधिकतम उपयोग 12 घंटे किया जाए तो प्रत्येक (नट और बोल्ट) के कितने पैकेट उत्पादित किए जाएँ ताकि अधिकतम लाभ कमाया जा सके।
हल:
माना बोल्ट के पैकिट = x तथा y पैकेट नटों का निर्माण हुआ
तब दिये गये अवरोध का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है-
अधिकतम z = 17.50x + 7y
या x + 3y ≤ 12
3x + y ≤ 12
x, y ≥ 0
अब असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है
रेखाओं x + 3y = 12 और 3x + y = 12 का प्रतिच्छेद बिन्दु B(3,3) हैं।
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अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 9
अतः नट के तीन पैकेट तथा बोल्ट के तीन पैकेट और अधिकतम लाभः = 73.50 रु० हैं।

प्रश्न 5.
एक कारखाने में दो प्रकार के पेंच A और B बनते हैं। प्रत्येक के निर्माण में दो मशीनों के प्रयोग की आवश्यकता होती है, जिसमें एक स्वचालित और दूसरी हस्तचालित है। एक पैकेट पेंच A के निर्माण में 4 मिनट स्वचालित और 6 मिनट हस्तचालित मशीन, तथा एक पैकेट पेंच B के निर्माण में 6 मिनट स्वचालित और 3 मिनट हस्तचालित मशीन का कार्य होता है। प्रत्येक मशीन किसी भी दिन के लिए अधिकतम 4घंटे काम के लिए उपलब्ध है। निर्माता पेंच के प्रत्येक पैकेट पर Rs7 और पेंच B के प्रत्येक पैकेट पर Rs 10 का लाभ कमाता है। यह मानते हुए कि कारखाने में निर्मित सभी पेंचों के पैकेट बिक जाते हैं, ज्ञात कीजिए कि प्रतिदिन कितने पैकेट विभिन्न पेंचों के बनाए जाएँ जिससे लाभ अधिकतम हो तथा
अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x पैकेट पेंच A के तथा y पैकेट पेंच B के उत्पादित होने चाहिए।
इसलिए गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित होगा-
अधिकतम : z = 7x + 10y (लाभ)
St 4x + 6y ≤ 240 (स्वचालित मशीन)
2x + 3y ≤ 120
6x + 3y ≤ 240 (हस्तचालित मशीन)
x, y ≥ 0
2x + y ≤ 80
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 10
अब असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है।
रेखाओं 2x + 3y = 120 और 2x + y = 80 का प्रतिच्छेद बिन्दु B (30, 20) है।
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 11
इसलिए 30 पैकिट A प्रकार के पेंच तथा 20 पैकेट B प्रकार के पेंचों के तथा अधिकतम लाभ = 410 रु० है।

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग निर्माता पैडेस्टल लैंप और लकड़ी के शेड बनाता है। प्रत्येक के निर्माण में एक रगड़ने/काटने और एक स्प्रेयर की आवश्यकता पड़ती है। एक लैंप के निर्माण में 2 घंटे रगड़ने/काटने और 3 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है, जबकि एक शेड के निर्माण में 1 घंटा रगड़ने/काटने और 2 घंटे स्प्रेयर की आवश्यकता होती है। स्प्रेयर की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 20 घंटे और रंगड़ने/काटने की मशीन प्रतिदिन अधिकतम 12 घंटे के लिए उपलब्ध है। एक लैंप की बिक्री पर Rs 5 और एक शेड की बिक्री पर Rs 3 का लाभ होता है। यह मानते हुए कि सभी निर्मित लैंप और शेड बिक जाते हैं, तो बताइए वह निर्माण की प्रतिदिन कैसी योजना बनाए कि लाभ अधिकतम हो?
हल:
माना x लैंप तथा y लकड़ी के शेड उत्पादित होते हैं। इस समस्या को गणितीय सूत्रीकरण करने पर अधिकतम
लाभ
z = 5x + 3y
St 2x + y ≤ 12 (रगड़ना/काटना)
3x + 2y ≤ 20 (स्प्रेयर)
x, y ≥ 20
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OAPD प्राप्त होता है।
रेखाओं 2x + y = 12 तथा 3x + 2y = 20 का प्रतिच्छेद बिन्दु P(4,4) है।
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अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर कोणीय बिन्दु
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 13
इसलिए 4 लैंप तथा 4 लकड़ी के शेड तथा अधिकतम लाभ = 32 रु० है।

प्रश्न 7.
एक कंपनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के लिए कुल समय 3 घंटे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घंटे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कंपनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?
हल:
माना A प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या x तथा B प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या y हैं।
दी गई समस्या का गणितीय समीकरण करने पर
अधिकतम = 5x + 6y (लाभ)
St 5x + 8y ≤ 200 (कटिंग)
10x + 8y ≤ 240 (जोड़ना)
x, y ≥ 0
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होते हैं।
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अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
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क्योंकि B(8, 20) पर 2 का मान अधिकतम है अत: A प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या 8 तथा B प्रकार के स्मृति चिह्नों की संख्या 20 है तथा अधिकतम लाभ 160 रु० है।

प्रश्न 8.
एक सौदागर दो प्रकार के निजी कंप्यूटर-एक डेस्कटॉप नमूना और दूसरा पोर्टेबल नमूना, जिनकी कीमतें क्रमश: Rs 25,000 और Rs 40,000 होगी, बेचने की योजना बनाता है। वह अनुमान लगाता है कि कंप्यूटरों की कुल मासिक माँग 250 नगों से अधिक नहीं होगी। प्रत्येक प्रकार के कंप्यूटरों के नगों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसे सौदागर अधिकतम लाभ प्राप्त करने के लिए संग्रह करें यदि उसके पास निवेश के लिए Rs 70 लाख से अधिक नहीं है और यदिडेस्कटॉप नमूने पर उसका लाभ Rs 4500 और पोर्टेबल नमूने पर Rs 5000 लाभ हो।
हल:
माना डेस्कटॉप की संख्या x तथा पोर्टेबल की संख्या y है। तब समस्या का गणितीय समीकरण करने पर
अधिकतम z = 4500x + 5000y (लाभ)
25000x + 40000y ≤ 70,00,000 (लागत मूल्य)
5x + 8y ≤ 1400
x + y ≤ 250 (माँग)
x, y ≥ 0
अब समस्या का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र OABC प्राप्त होता है जहाँ कोणीय बिन्दुओं 0,A, B, C के निर्देशांक
क्रमशः (0,0), (250,0), (200,50) और (0,175) हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 15
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 16
अत: डेस्कटोंपों के नमूनों की संख्या 200 तथा पोर्टेबल नमूनों की संख्या 50 है तथा अधिकतम लाभ = 1150,000 रु० हैं।

प्रश्न 9.
एक भोज्य पदार्थ में कम से कम 80 मात्रक विटामिन A और 100 मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य F1 और F2 उपलब्ध हैं। भोज्य F1 की लागत Rs 4 प्रति मात्रक और F2 की लागत Rs 5 प्रति मात्रक है। भोज्य F1 की एक इकाई में कम से कम 3 मात्रक विटामिन A और 4 मात्रक खनिज है। F2की प्रति इकाई में कम से कम 6 मात्रक विटामिन A और 3 मात्रक खनिज हैं। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्त्व हैं।
हल:
माना x मात्रक भोज्य पदार्थ F1 के तथा y मात्रक भोज्य पदार्थ F2 के हैं। तब गणितीय सूत्रीकरण करने पर
न्यूनतम z = 4x + 6y
St 3x + 6y ≥ 80 (लागत)
4x + 3y ≥ 100 (विटामिन A)
x, y ≥ 0 (विटामिन B)
अब आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र X AEDY प्राप्त होता है जो कि अपरिवद्ध है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 17
कोणीय बिन्दु A, E तथा D के निर्देशांक क्रमशः
\(\left(\frac{80}{3}, 0\right)\left(24, \frac{4}{3}\right)\) तथा \(\left(0, \frac{100}{3}\right)\) हैं।
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 18
सारणी से स्पष्ट है कि – का न्यूनतम मान 104 है अतः न्यूनतम मूल्य = 104 रु०।

प्रश्न 10.
दो प्रकार के उर्वरक F1 और F2 हैं। F1 में 10% नाइट्रोजन और 6% फास्फोरिक अम्ल है। तथा F2 में 5% नाइट्रोजन तथा 10% फास्फोरिक अम्ल है। मिट्टी की स्थितियों का परीक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए 14 kg नाइट्रोजन और 14 kg फास्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि F1 की कीमत Rs. 6/kg और F2 की कीमत Rs. 5/kg है, प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है?
हल:
माना मिश्रण में x kg F1 के तथा y kg F2 के मिश्रित है।
तब न्यूनतम z = 6x + 5y (लागत)
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 19
x, y ≥ 0 या न्यूनतम z = 6x +5y
St 2x + y ≥ 280
3x + 5y ≥ 2700
x, y ≥ 0
अब असमीकरणों का आलेख बनाने पर सुसंगत क्षेत्र Y ABCX प्राप्त है जो अपरिबद्ध है।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 20
अब z की गणना प्रत्येक कोणीय बिन्दु पर करने पर कोणीय बिन्दु
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता Ex 12.2 img 21
इसलिए सारणी से z का निम्नतम मान 1000 है तथा बिन्दु B(100, 80) पर है, परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है इसलिए असमीकरण 6x + 5y < 1000 लेने पर।
क्योंकि यहाँ पर कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नहीं है। अतः उर्वरक F1 के 100 kg तथा उर्वरक F2 के 80 kg मात्रा है, और न्यूनतम मूल्य 1000 रु० है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित असमीकरण निकाय : 2x + y ≤ 10, x+3y ≤ 15, x, y ≥ 0 से निर्धारित सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिन्दु (0,0), (5,0), (3,4) और (0, 5) हैं। माना कि Z = px + qy, जहाँ p, q>0, p तथा q के लिए निम्नलिखित में कौन प्रतिबन्ध उचित है ताकि Z का अधिकतम (3, 4) और (0, 5) दोनों पर घटित होता है।
(A) p = q
(B) p = 2q
(C) p = 3q
(D) q = 3p
हल:
दिया है : Z = px + qy
बिन्दु (3, 4) पर, Z = 3p + 4q
बिन्दु (0, 5) पर, Z = 0 + 5q = 5q
∴ 3p + 4q=5q
⇒ 3p = 5q – 4q
⇒ 3p = q
अतः विकल्प (D) सही है।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए।आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
माना x पैकेट भोज्य A के और y पैकेट भोज्य B के खरीदे गए।
दिया है:
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उद्देश्य फलन : Z = 6x + 3y
अवरोध : 12x + 3y ≥ 240, 4x + 20y ≥ 460, 6x + 4y ≤ 300, x, y ≥ 0
या 4x + y ≥ 80, x + 5y ≥ 115, 3x + 2y ≤ 150, x, y ≥ 0
(1) 4x + y ≥ 80 का आलेखन
रेखा 4x + y = 80, बिन्दु A(20,0), B(0, 80) से होकर जाती है।
4x + y ≥ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 80 जो सत्य नहीं है।
⇒ 4x + y ≥ 80 रेखा AB पर तथा उसके ऊपर का क्षेत्र है।
(2) रेखा x + 5y = 115, बिन्दु C(115, 0), D (0, 23) से गुजरती है।
∴ x + 5y ≥ 115 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 115 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 5y ≥ 115 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर हैं।
(3) रेखा 3x + 2y = 150, बिन्दु E (50, 0), F (0,75) से होकर जाती है।
∴ 3x + 2y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 150 जो सत्य है।
⇒ 3x + 2y ≤ 150 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा EF है या उसके नीचे है।
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(4) x ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर है और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: 4x + y = 80 तथा CD: x + 5y = 115 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(15, 20) हैं।
(7) रेखा CD: x + 5y = 115 तथा EF = 3x + 2y = 150 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(40, 15) हैं।
(8) रेखा AB : 4x + y = 80 तथा EF : 3x + 2y = 150 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(2, 72) है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQR है।
अब, उद्देश्य फलन : Z = 6x + 3y
बिन्दु P (2, 72) पर,
Z = 12 + 3 x 72 =12 + 216 = 228
बिन्दु Q (15, 20) पर,
Z = 6 x 15 + 3 x 20 = 90 + 60 = 150
बिन्दु R(40, 15) पर,
Z = 6 x 40 +3 x 15 = 240 + 45 = 285
इस प्रकार विटामिन की अधिकतम मात्रा 285 मात्रक है जब भोज्य P के 40 पैकेट और भोज्य के 15 पैकेट खरीदे जाते हैं।

प्रश्न 2.
एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य Rs. 250 प्रति थैला जो कि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि ए प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs. 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो। मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
हल:
माना x थैले P प्रकार के चारे के और y थैले Q प्रकार के चारे के मिलाये जाते हैं।
दिया है :
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उद्देश्य फलन : Z = 250x + 200y
अवरोध : 3x + 1.5y ≥ 18, 2.5x + 11.25y ≥ 45, 2x + 3y ≥ 24 और x, y ≥ 0
या 2x + y ≥ 12, 2x + 9y ≥ 36, 2x + 3y ≥ 24 तथा x, y ≥ 0
(1) 2x + y ≥ 12 का आरेख
रेखा 2x + y =12 बिन्दु A(6,0), B(0, 12) से गुजरती है।
∴ 2x + y ≥ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 12 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + y ≥ 12 का क्षेत्र AB या उसके ऊपर है।
(2) 2x + 9y ≥ 36 का आरेख
रेखा 2x + 9y = 36 में, बिन्दु C(18, 0) तथा D (0, 4) से गुजरती है।
∴ 2x + 9y ≥ 36 में x = 0, y= 0 रखने पर,
0 ≥ 36 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + 9y = 36 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा CD पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(3) 2x + 3y ≥ 24 का आरेख
रेखा 2x + 3y = 24, बिन्दु E(12, 0) तथा F(0, 8) से गुजरती है।
∴ 2x+3y ≥ 24 में x – 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 24 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + 3y ≥ 24 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB : 2x + y =12 और EF: 2x + 3y = 24 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(3, 6) हैं।
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 4
(7) रेखा CD : 2x + 9y = 36 और EF : 2x + 3y = 24 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(9, 2) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र BPRC है।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 250x + 200y
बिन्दु B(0, 12) पर,
Z = 0 + 200 x 12 = 2400
बिन्दु P(3, 6) पर,
Z = 250 x 3 + 200 x 6
= 750 + 1200 = 1950
बिन्दु R(9, 2) पर,
Z = 250 x 9 + 200×2
= 2250 + 400 = 2650
बिन्दु C(18, 0) पर,
Z = 250 x 18 + 0 = 4500
∴ Z की न्यूनतम मान 1950 है। सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
असमिका 250x + 200y < 1950 या 5x + 4y < 39, यह रेखा \(\left(\frac{39}{4}, 0\right)\left(0, \frac{39}{4}\right)\) से गुजरती है और बिन्दु (3, 6) पर स्थित है।
इस प्रकार x = 0, y = 0 रखने पर, 0 < 39 जो सत्य है।
5x + 4y < 39 के क्षेत्र बिन्दु रेखा 5x + 4y = 39 के नीचे है जिसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
∴ Z का न्यूनतम मान 1950 तथा P प्रकार के 3 और 0 प्रकार के 6 थैले मिलाये जाते हैं।

प्रश्न 3.
एक आहारविद्दो प्रकार के भोज्यों x और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A की कम-से-कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम-से-कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों। 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है।
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भोज्य x के 1 kg का मूल्य Rs. 16 और भोज्य के 1kg का मूल्य Rs.20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x kg भोज्य X और y kg भोज्य Y का मिश्रण बनाया जाता है।
भोज्य X का मूल्य = 160 रु० प्रति kg
और भोज्य Y का मूल्य = 20 रु० प्रति kg
अतः मिश्रण का मूल्य = (16x + 20y) रु०
अब, उद्देश्य फलन : Z = 16x + 20y
और अवरोध : x + 2y ≥ 10, 2x + 2y ≥ 12 या x + y ≥ 6 3x + y ≥ 8 और x, y ≥ 0
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 6
(1) x + 2y ≥ 10 का आरेख
रेखा x + 2y = 10, बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से गुजरती है।
∴ x + 2y ≥ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 10, जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 2y ≥ 10 रेखा AB पर है या उसके ऊपर है।
(2) x +y ≥ 6 का आरेख:
रेखा x + y = 6, बिन्दु C (6, 0) तथा D (0, 6) से गुजरती है।
∴ x +y ≥ 6 में, x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6, जो सत्य नहीं है।
⇒ x+y ≥ 6 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर है।
(3) 3x + y ≥ 8 का आरेख:
रेखा 3x + y = 8, बिन्दु E\(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\) तथा F(0, 8) से गुजरती है।
∴ 3x + y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 8 जो सत्य नहीं है।
⇒ 3x + y ≥ 8 के क्षेत्र बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके ऊपर है।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5)y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा CD: x + y = 6 और EF: 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(1, 5) हैं।
(7) रेखा AB: x + 2y = 10 और CD: x + y = 6 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(2, 4) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र FPOA है।
अब, उद्देश्य फलन: Z = 16x + 20y
बिन्दु F(0, 8) पर,
Z = 0 + 20 x 8 = 160
बिन्दु P(1,5) पर,
Z = 16 x 1 + 20 x 5 = 16 + 100 = 116
बिन्दु Q(2, 4) पर,
Z = 16 x 2 + 20 x 4 = 32 + 80 = 112
बिन्दु A(10, 0) पर,
Z = 16 x 10 + 0 = 160
Z का न्यूनतम मान 112 रु० है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
∴ 16x + 20y < 112 पर विचार करते हैं।
इसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
इसलिए Z का न्यूनतम मान Rs. 112 है जिसके लिए भोज्य X का 2 kg और भोज्य Y का 4kg मिश्रण बनाना चाहिए।

प्रश्न 4.
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में ) निम्नलिखित है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 7
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घण्टे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs. 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs. 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने निर्मित होने चाहिएँ।
हल:
माना A प्रकार के x और B प्रकार के y खिलौने बनाए जाते हैं।
उद्देश्य फलन : Z = 7.5x + 5y का अधिकतमीकरण करना।
अवरोध : 12x + 6y ≤ 360, 18x ≤ 360, 6x + 9y ≤ 360, x, y ≥ 0
या 2x + y ≤ 60, x ≤ 20, 2x + 3y ≤ 120, x, y ≥ 0
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(1) रेखा 2x + y = 60, बिन्दु A(30, 0) , B(0, 60) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 60 जो सत्य है।
⇒ 2x + y ≥ 60 रेखा AB पर है या उसके नीचे है।
(2) x ≤ 20 के बिन्दु x =0 और x = 20 के बीच में स्थित हैं।
(3) रेखा 2x + 3y = 8, बिन्दु C (60, 0), D (0, 40) से होकर जाती है।
2x +3y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 120, जो सत्य है।
⇒ 2x + 3y ≤ 120 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर हैं या उसके नीचे हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB तथा CD क्रमश: 2x + y = 60, 2x + 3y = 120 बिन्दु P(15, 30) पर मिलती हैं।
(7) रेखा x = 20, रेखा AB, 2x + y = 60 और बिन्दु Q(20, 20) पर मिलती है।
समस्या के सुसंगत क्षेत्र ODPQR छायांकित किया जाता
उद्देश्य फलन : Z = 7.5x + 5y
बिन्दु D(0, 40) पर,
Z = 7.5 x 0 + 5 x 40 = 200
बिन्दु P(15, 30) पर,
Z = 7.5 x 15 + 5 x 30 = 112.5 + 150 = 262.50
बिन्दु Q(20, 20) पर,
Z=7.5 x 20 + 5 x 20 = 150 +100 = 250
बिन्दु R(20,0) पर,
Z = 7.5 x 20 + 0 = 150
इसलिए अधिकतम लाभ 262.50 रु० तब होगा। यदि 15 खिलौने A प्रकार के और 30 खिलौने B प्रकार के बनाए जाएँ।

प्रश्न 5.
एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर Rs. 1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर Rs. 600 का लाभ कमाया जा सकता है। यद्यपि एयरलाइन कम-से-कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम-से-कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
हल:
माना प्रत्येक श्रेणी के x यात्री और सस्ती श्रेणी के y यात्री यात्रा करते हैं।
प्रथम श्रेणी के एक यात्री से Rs. 1000 का और सस्ती श्रेणी के एक यात्री से 600 रु० का लाभ होता है।
अब उद्देश्य फलन :
Z = 1000x + 600y
तथा अवरोध : x ≥ 20, x + y ≥ 200, y ≥ 4x, x, y ≥ 0
(1) x + y ≤ 200 का आरेख :
रेखा x + y = 200, बिन्दु (200, 0), (0, 200) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 200 में, x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 200 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 200 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 200 पर और उसके नीचे है।
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(2) x ≥ 20 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 20 पर और उसके दायीं ओर हैं।
(3) y ≥ 4x का आरेख :
रेखा y = 4x, मूल बिन्दु 0 (0, 0) और B (40, 160) से होकर गुजरती है।
y – 4x ≥ 0 में x = 0, y = 40 रखने पर 40 20 जो सत्य है।
⇒ y – 4x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु OB पर और उसके ऊपर हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दाईं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा x = 20 और y = 4x बिन्दु C(20, 80) पर मिलती हैं।
(7) रेखा y = 4x और x + y = 200 बिन्दु B(40, 160) पर मिलती हैं।
(8) रेखा x = 20 और x + y = 200 बिन्दु A(20,180) पर मिलती हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्रABC है जिसे छायांकित किया गया है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 1000x + 600y
बिन्दु A (20,180) पर,
Z = 1000 x 20 + 600 x 180
= 20000 + 108000 = 128000
बिन्दु B (40,160) पर,
Z = 1000 x 40 + 600 x 160
= 40000 + 96000 = 136000
बिन्दु C (20, 80) पर,
Z = 1000 x 20 + 600 x 80
= 20000 + 48000 = 68000
इसलिए अधिकतम लाभ Rs. 136000 पाने के लिए 40 यात्री प्रथम श्रेणी और 160 सस्ती श्रेणी में होने चाहिए।

प्रश्न 6.
दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमश: 100 क्विटल और 50 क्विटल हैं। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है। जिनकी आवश्यकताएँ क्रमश: 60, 50 और 40 क्विटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है-
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परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
हल:
माना भंडारण A से D दुकान पर x क्विटल भंडार और E को y क्विटल भंडार भेजा जाता है। भंडार A में कुल 100 क्विटल की भंडारण क्षमता है।
∵ A से F दुकान को भंडार भेजा जाता है
= 100 – (x + y) क्विटल
D दुकान में कुल भंडार = 60 क्विटल
भंडार B से D दुकान को भंडार भेजा जाता है
= 60 – x क्विटल
इसी प्रकार, B से दुकान E को भंडार भेजा जाता है
= 50 – y क्विटल
भंडार B में कुल भंडारण क्षमता = 50 क्विटल
⇒ B से दुकान F में भंडार भेजा जाता है।
= 50 – (60 – x + 50 – y) = x + y – 60 क्विटल
भंडार A और B में दुकान D, E, F को भेजा गया भंडार
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अवरोध : x ≥ 0, y ≥ 0, 100 – x – y ≥ 0, x + y ≥ 100, 600 – x ≥ 0
या x ≤ 60, 50 – y ≥ 0 या y ≤ 50
x + y – 60 ≥ 0 या x + y ≥ 60
कुल परिवहन व्यय
= 6x + 3y + 2.5 (100 – x – y) + 4 (60 – x) + 2 (50 – y) + 3 (x + y – 60)
= 6x + 3y + 250 – 2.5x – 2.5y + 250 – 4x + 100 – 2y + 3x + 3y – 180
= 2.5x + 1.5y + 410
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(1) x ≥ 0क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और उसकी दायीं ओर है।
(2) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(3) x + y ≤ 100 का आरेख :
रेखा x + y = 100 बिन्दु (100, 0) और (0, 100) से होकर जाती है।
∴ x + y ≤ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 5100 जो सत्य
→ x + y ≤ 100 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 100 पर या इसके नीचे हैं।
(4) x ≤ 60 का क्षेत्र x = 60 पर और इसके बायीं ओर है।
(5) y ≤ 50 के क्षेत्र बिन्दु y = 50 पर और उसके नीचे हैं।
(6) x + y ≥ 60 का आरेख :
रेखा x + y = 60, बिन्दु (60,0) और (0, 60) से गुजरती है।
∴ x + y ≥ 60 में x = 0 और y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + y ≥ 60 के क्षेत्र बिन्दु x + y = 60 पर और उसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABCD है।
(i) रेखा AB : y = 50 और AD: x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु A(10, 50) हैं।
(ii) रेखा BC : x + y = 100 और AB: = 50 के प्रतिच्छेद बिन्दु B(50, 50) हैं।
(iii) रेखा BC : x + y = 100 और AD : x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु C(60, 40) हैं।
(iv) रेखा CD: x = 60 और AD: x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु D (60, 0) हैं।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 2.5x + 1.5y + 410
बिन्दु A(10, 50) पर,
Z = 2.5 x 10 + 1.5 x 50 + 410
= 25 + 75 + 410 = 510
बिन्दु B(50, 50) पर,
Z = 2.5 x 50 + 1.5 x 50 + 410
= 125 + 75 + 410 = 610
बिन्दु C(60, 40) पर,
Z = 2.5 x 60 + 1.5 x 40 + 410
= 150 + 60 + 410 = 620
बिन्दु D(60, 0) पर,
Z = 2.5 x 60 + 0 + 410
= 150 + 410 = 560
इस प्रकार Z का न्यूनतम मान 100 रु० है। जब भंडार A से दुकान D पर 10 क्विटल और दुकान E को 50 क्विटल भंडार भेजा जाता है।
अतः भंडार A से दुकान D, E, F को क्रमशः 10, 50, 40 क्विटल और भंडार B से दुकान D, E, F को क्रमशः 50, 0, 0 क्विटल भंडार भेजने से न्यूनतम परिवहन व्यय 100 रु० होगा।

प्रश्न 7.
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लीटर और 4000 लीटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लीटर, 3000 लीटर और 3500 लीटर की हैं। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार हैं-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 13
यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है। ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
हल:
माना डिपो A से D पेट्रोल पम्प को x लीटर और E पेट्रोल पम्प के y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
∴ डिपो A की कुल क्षमता = 7000 लीटर
⇒ डिपो A पेट्रोल पम्प F को तेल की आपूर्ति करता है
= 7000 – (x + y) लीटर
⇒ 7000 – (x + y) ≥ 0
∴ x+ y ≤ 7000 …(1)
पेट्रोल पम्प D की माँग = 4500 लीटर
∴ डिपो B से तेल की आपूर्ति = (4500 – x) लीटर 3
⇒ 4500 – x ≥ 0
या x ≤ 4500 …(2)
पेट्रोल पम्प E को तेल की आवश्यकता = 3000 लीटर
⇒ डिपो B पेट्रोल पम्प E को तेल-आपूर्ति करता है
= (3000-y) लीटर
⇒ 3000 – y ≥ 0
या y ≤ 3000 …(3)
पेट्रोल F को तेल की आवश्यकता है = 3500 लीटर
F को डिपो A द्वारा आपूर्ति हो चुकी है = 7000 – (x + y)
⇒ डिपो B द्वारा पेट्रोल पम्प F को तेल की आपूर्ति होती है
= 3500 – (7000 – x – y)
= – 3500 + x + y
या x + y ≥ 3500 …(4)
∴ अवरोध : x + y ≤ 7000, x ≤ 4500, y ≤ 3000, x + y ≥ 3500, y ≥ 0
∵ परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर प्रति किलोमीटर = 1रुपया
∴ परिवहन व्यय प्रति लीटर प्रति किलोमीटर = 0.1 रुपया
परिवहन व्यय की सारणी निम्नवत् है-
MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली img 14
परिवहन व्यय :
Z = 0.7x + 0.6y + 0.3 (7000 – x – y) + 0.3 (4500 – x) + 0.4 (3000 – y) + 0.2 (x + y – 3500)
= 0.3x + 0.1y + 3940
अब उद्देश्य फलन Z का न्यूनतमीकरण करते हैं।
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(1) x + y ≤ 7000 का आरेख :
रेखा x + y =7000, बिन्दु (7000, 0) तथा (0, 7000) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 7000 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 7000 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 7000 रेखा x + y = 7000 पर और उसके नीचे का क्षेत्र है।
(2) x ≤ 4500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 4500 पर और उसके बायीं ओर स्थित हैं।
(3) y ≤ 3000 के क्षेत्र बिन्दु रेखा y = 3000 पर और उसके नीचे हैं।
(4) रेखा x + y = 3500 बिन्दु (3500, 0) (0, 35000) से होकर जाती हैं।
x + y ≥ 3500 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 3500 जो सत्य नहीं है।
या x + y ≥ 3500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 3500 पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(5) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर दायीं ओर हैं।
(6) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष तथा उसके ऊपर हैं।
(7) x + y = 3500 रेखा y = 0 और y = 3000 से क्रमश: B(3500, 0) और A(500, 3000) पर मिलती हैं।
(8) x + y = 7000 रेखा x + 4500 और y = 3000 से
क्रमशः बिन्दु C (4500, 2500) और D (4000, 3000) पर मिलती हैं।
(9) रेखा x = 4500, x- अक्ष पर बिन्दु E (4500, 0) पर मिलती है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABECD है।
उद्देश्य फलन :
Z = 0.3x + 0.1y + 3950
बिन्दु A(500, 3000) पर,
Z = 0.3 x 500 + 0.1 x 3000 + 3950 = 4400
बिन्दु B(3500, 0) पर,
Z = 0.3 x 3500 + 0 + 3950 = 5000
बिन्दु E (4500, 0) पर,
Z = 0.3 x 4500 + 0 + 3950 = 5300
बिन्दु C (4500, 2500) पर,
Z = 0.3 + 4500 + 0.1 x 2500 + 3950 =5550
बिन्दु D (4000, 3000) पर,
Z = 0.3 x 4000 + 0.1 x 3000 + 3950 = 5450
∴ परिवहन व्यय 4400 रु० न्यूनतम होगा जब डिपो A पेट्रोल पम्प D, E, F को क्रमश: 500, 3000, 3500 लीटर तेल की आपूर्ति करते हैं और डिपो B पेट्रोल पम्प D, E, F को 4000,0, 0 लीटर के लिए तेल की सप्लाई करते हैं।

प्रश्न 8.
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड़ और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फॉस्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में ) सारणी में दिया गया है। परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम-से-कम 240 kg फॉस्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 kg की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तब प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
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हल:
माना ब्रांड P के x थैले और ब्रांड Q के y थैले मिलाए जाते हैं।
थैलों की नाइट्रोजन की मात्रा
= 3x + 3.5y
उद्देश्य : Z = 3x + 3.5y का मान न्यूनतम हो।
मिश्रण में फॉस्फोरिक अम्ल की मात्रा
= (x +2y) kg
⇒ x + 2y ≥ 240
मिश्रण में पोटाश की मात्रा
= 3x + 1.5y
⇒ 3x + 1.5y ≥ 270
मिश्रण में क्लोरीन की मात्रा = 1.5x + 2y
= 1.5x + 2y ≤ 310
अवरोध : x + 2y ≥ 240, 3x + 1.5y ≥ 270, 1.5x + 2y ≤ 310, x, y ≥ 0
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(1) x + 2y ≥ 240 का आरेख :
रेखा x + 2y = 240, बिन्दु A(0,120), B(240, 0) से गुजरती है।
∴ x + 2y ≥ 240 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 240 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 2y ≥ 240 के क्षेत्र बिन्दु AB पर और उसके ऊपर
(2) 3x + 1.5y ≥ 270 का आरेख :
रेखा 3x+ 1.5y = 270, बिन्दु C (90,0) और D (0,180) से गुजरती है।
∴ 3x +1.5y ≥ 270 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 270 जो सत्य नहीं है।
⇒ 3x + 1.5y ≥ 270 के क्षेत्र के बिन्दु CD पर या उसके ऊपर है।
(3) 1.5x + 2y ≤ 310 का आरेख :
रेखा 1.5x + 2y ≤ 310 बिन्दु E \(\left(206 \frac{2}{3}, 0\right)\) और F(0, 155) से होकर जाती है।
∴ 1.5x + 2y ≤ 310 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 310 जो सत्य है।
⇒ 1.5x + 2y ≤ 310 के क्षेत्र के बिन्दु EF पर या इसके नीचे हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा y- अक्ष पर हैं या उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x- अक्ष पर या उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: x + 2y = 240 और CD: 3x + 1.5y = 260 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(40, 100) हैं।
(7) रेखा AB: x + 2y = 240 तथा EF = 1.5x + 2y = 310 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(140, 50) हैं।
(8) रेखा CD: 3x + 1.5y = 270 और EF = 1.5x + 2y = 310 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(20, 140) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज POR है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 3x + 3.5y
बिन्दु P(20, 140) पर,
Z = 3 x 20 + 3.5 x 140= 60 + 490 = 550
बिन्दु Q(40, 100) पर,
Z = 3 x 40 + 3.5 x 100 = 120 + 350 = 470
बिन्दु R(140, 50) पर,
Z = 3 x 140 + 3.5 x 50 = 420 + 175 = 595
∴ x + 40, y =100 पर Z का मान न्यूनतम है।
अतः ब्रांड P के 40 थैले तथा ब्रांड Q के 100 थैले मिलाए जाने चाहिए।
∴ नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा 470 kg है।

प्रश्न 9.
उपर्युक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
प्रश्न 8 के हल से देखें,
Z = 3x + 3.5y
बिन्दु R (140, 50) पर Z अधिकतम है।
नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 kg है जब 140 थैले ब्रांड P के और 50 थैले ब्रांड एके मिलाए जाने चाहिए।

प्रश्न 10.
एक खिलौना कम्पनी A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक-से-अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों से आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कम्पनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमश: Rs. 12 और Rs. 16 का लाभ कमाती है। लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए?
हल:
माना कम्पनी A प्रकार की x तथा B प्रकार की y गुड़ियों का उत्पादन करती है।
∴ कम्पनी को A प्रकार की गुडियों पर लाभ = 12 रु०
और B प्रकार की गुड़ियों पर लाभ = 16 रु०
कुल लाभ =12x + 16y
उद्देश्य फलन : Z = 12x + 16y का अधिकतमीकरण करना है।
दोनों प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन = 1200
∴ x + y ≤ 1200 …(1)
A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन B प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन के 3 गुने से 600 गुड़ियाँ अधिक है।
⇒ x – 3y ≥ 600 …(2)
B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक-से-अधिक A प्रकार की गुड़ियों से आधी है।
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⇒ y ≤ \(\frac{x}{2}\) या 2y – x ≤ 0 …(3)
अवरोध : x + y ≤ 1200, x – 3y ≥ 600, 2y – x ≤ 0, x, y ≥ 0.
(1) x + y ≤ 1200 का आरेख
रेखा x + y = 1200 बिन्दु A(0, 1200) और B (1200, 0) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 1200 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 1200 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 1200 के क्षेत्र के बिन्दु AB पर और उसके नीचे हैं।
(2) x – 3y ≤ 600 का आरेख :
रेखा x – 3y = 600, बिन्दु C(600, 0), D (0, – 200) से गुजरती हैं।
∴ x – 3y ≤ 600 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 600 जो सत्य है।
⇒ x – 3y ≤ 600, CD पर मूल बिन्दु की ओर है अर्थात् CD के ऊपर है।
(3) 2y – x ≤ 0 का आरेख :
रेखा 2y – x = 0 मूल बिन्दु 0 और E (800, 400) से होकर गुजरती है।
∴ 2y – x ≤ 0 में x = 200, y = 0 रखने पर, – 200 ≤ 0 जो सत्य है।
⇒ 2y – x ≤ 0 क्षेत्र बिन्दु OP पर और OP के नीचे बिन्दु (200, 0) की ओर है।
∴ इसका क्षेत्र OP के नीचे है।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर हैं और उसके दायीं ओर
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: x + y = 1200 और x = 2y के प्रतिच्छेद बिन्दु P(800, 400) हैं।
(7) रेखा CD: x – 3y = 600 और AB : X + y =1200 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(1050, 150) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र OPQC है।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 12x +16y
बिन्दु P (800, 400) पर,
Z = 12 x 800 +16 x 400
= 9600 + 6400 =16000
बिन्दु Q (1050,150) पर,
Z = 12 x 1050 + 16 x 150
= 12600 + 2400
= 15000
बिन्दु C (600, 0) पर,
Z = 12 x 600 + 16 x 0
= 7200 + 0 = 7200
∴ x = 800, y = 400 पर अधिकतम लाभ 16000 रु० है।
इस प्रकार अधिकतम लाभ 16000 रु० पाने के लिए A प्रकार की 800 और B प्रकार की 400 गुड़ियों का उत्पादन करना चाहिए।

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2, 1, 1) मिलाने वाली रेखा, बिन्दुओं (3, 5, -1 ) और (4, 3, – 1)से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दु A(2, 1, 1) और मूल बिन्दु B (0, 0, 0) से जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात 2 – 0, 1 – 0 या 2, 1, 1
बिन्दु C (3, 5, – 1) और D (4, 3, – 1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात 4 – 3, 3 – 5, – 1 + 1 या 1, – 2, 0 हैं।
AB और CD लम्ब हैं यदि
a1a2 + b1b2+ c1c2 = 0
अब a1a2 + b1b2+ c1c2
= 2 x 1 + 1 x (- 2) + 1 x 0
= 2 – 2 + 0 = 0
अतः AB और CD परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक्-कोसाइन l1, m1, n1, और l2, m2, n2 हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर
लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m1n2 – m2n1 – n1l2 – n2l1, l1m2 – l2m1 हैं।
हल:
माना दो रेखाएँ AB और CD जिसकी दिक्-कोसाइन क्रमश: l1, m1, n1 और l2, m2, n2 हैं
जो परस्पर लम्ब हैं।
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
l1, m1, n1 और l2, m2, n2 दिक्-कोसाइन है तो
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प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं।
हल:
माना रेखाओं के मध्य का कोण θ है तब
cos θ = \(\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \cdot \sqrt{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}}\)
cos θ = 0
⇒ θ =90°

प्रश्न 4.
x- अक्ष के समांतर तथा मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
x- अक्ष के दिक् कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
∴ x अक्ष के समांतर रेखा के दिक् कोसाइन भी 1, 0, 0 होंगे
अतः रेखा का समी० जो मूल बिन्दु से जाती है जिसमें दिक कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
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प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7) (- 4, 3, – 6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात 4 – 1, 5 – 2, 7 – 3
या 3, 3, 4
इसी प्रकार CD के दिक् अनुपात 2 + 4, 9 – 3, 2 + 6
या 6, 6, 8 हैं।
यह दिक् अनुपात समानुपाती हैं इस प्रकार \(\frac{3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}\)
इसलिए रेखाओं AB और CD के बीच का कोण 0° हैं।
अतः रेखाएँ समांतर हैं।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\) परस्पर लंब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात – 3, 2k, 2 और 3k, 1, – 5 हैं।
∵ रेखाएँ परस्पर लंब है तब a1a2 + b1b2+ c1c2 = 0
∴ – 3.3k + 2k.1+ 2.(- 5) = 0
⇒ 9k + 2k – 10 = 0
– 7k = 10
k = \(\frac{-10}{7}\)

प्रश्न 7.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल \(\vec{r}=(\vec{i}+2 \vec{j}-5 \vec{k})\) + 9 = 0 पर लंबवत् रेखा का सदिश समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल का समी०
\(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+9\) = 0
∴ समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात 1, 2, – 5 होंगे।
∴ बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण होगा।
\(\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+l(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})\)

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 2 के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये तल के समांतर तल का समी०
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प्रश्न 9.
रेखाओं \(\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})\) और \(\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि दो बिन्दु , a2 रेखा पर और b1 और 22 उनकी direction तब उनके बीच न्यूनतम दूरी
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प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
हल:
बिन्दु (x1, y1, z1 ) और (x1, y1, z1) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण
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प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX- तल को काटती है।
हल:
यहाँ बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा
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प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, – 4, – 5) और (2, – 3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
दो बिन्दु (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ।
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प्रश्न 13.
बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y+ c = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण :
a (x + 1) + b(y – 3) + c (z – 2) …(1)
यह समतल x + 2y + 37 = 5 पर लम्ब है।
a + 2b +3c =0 …2
समी० (1) 3x + 3y + x = 0 के अनुलम्ब है।
3a + 3b + c = 0 …(3)
समी० (2) और (3) से,
\(\frac{a}{2-9}=\frac{b}{9-1}=\frac{c}{3-6}\)
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प्रश्न 14.
यदि बिन्दु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल 7.(3i +4j -12k) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
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20 – 12p = ± 8
धनात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = 8
12p = 20 – 8 = 12
∴ p=1
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = – 8
12p = 20 +8 = 28
p = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
अतः p=1, \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 15.
समतलों \(\vec{r}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 1 और \(\vec{r}(2 \hat{i}+3 \hat{j}\)\(-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो समतल [Latex]\overrightarrow{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}})[/latex] – 1 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले 3
समतल का समीकरण
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अतः यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
यदि मूल बिन्दु 0 तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2, – 3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत्तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ बिन्दु O(0, 0, 0) और P(1, 2, –3) से होकर जाने वाली रेखा का दिक्-अनुपात OP, 1-0, 2-0, -3 -0 या
1, 2, -3 हैं।
⇒ अभीष्ट समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 2, – 3)
और समतल P(1, 2, – 3) से होकर जाता है।
a (x – x1) + b (y – y1) + c (z – z1) = 0
1.(x – 1) + 2 (y – 2) – 3(z + 3) = 0
⇒ x – 1 + 2y – 4 – 3z -9 = 0
∴ x + 2y – 37 – 14 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 17.
समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})\) – 4 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\) + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल 7 (5i +3j-6k) +8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समतल
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प्रश्न 18.
बिन्दु (- 1,- 5, – 10) से रेखा \(\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})\) और समतल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) = 5 के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ रेखा
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प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})\) = 5 और \(\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण
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समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् हैं।
∴ b1 – b2 + 2b3 = 0
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प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अभीष्ट रेखा
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प्रश्न 21.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a,b,c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि
\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}\)
हल:
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प्रश्न 22 और 23 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 22.
दो समतलों 2x + 3y + 4z =4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है-
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D)\(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई।
हल:
समतलों का समीकरण
2x + 3y + 4z = 4 …(1)
4x + 6y + 8z = 12 …(2)
समी० (2) में 2 से भाग करने पर,
2x + 3y + 4z = 6 …(3)
समतलों के बीच की दूरी
ax + by + cz = d1, और ax + by + cz = d2
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अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 23.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं-
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं
(D) बिन्दु \(\left(0,0, \frac{5}{4}\right)\) से गुजरते हैं।
हल:
समतलों के समीकरण
2x – y + 4z = 5 …(1)
5x – 2.5y + 10z = 6 …(2)
x, y, z के गुणांकों की तुलना करने पर
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(1) व (2) समान्तर हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।