MP Board 12th Model Papers 2019-20 English Hindi Medium | MP Board 12th Sample Papers

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Last 5 Years Question Papers of 12th MP Board | MP Board 12th Sample Papers

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MP Board 12th Model Papers 2020 | MP Board Intermediate 12th Sample Papers Download
Board Name Madhya Pradesh Board of School Education
Class Name Inter 2nd Year / 12th Class
Name of Exam Public Exams
Category Board Exam Question Papers
Location Madhya Pradesh
Official Site mpbse.nic.in

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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रायिकता Important Questions

प्रायिकता वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक थैले में 5 भूरे तथा 4 सफेद मोजे रखे हैं। एक पुरुष थैले में से दो मोजे निकालता है। दोनों का एक ही रंग होने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{108}\)
(b) \(\frac{18}{108}\)
(c) \(\frac{30}{108}\)
(d) \(\frac{48}{108}\)

प्रश्न 2.
एक पासे को तीन बार फेंका गया। प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{72}\)
(b) \(\frac{5}{34}\)
(c) \(\frac{13}{216}\)
(d) \(\frac{1}{18}\)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 3.
यह दिया है कि घटनाएँ A तथा B ऐसी हैं कि P(A) = \(\frac{1}{4}\), P( \(\frac{A}{B}\) )  \(\frac{1}{2}\) तथा P( \(\frac{B}{A}\) ) =
\(\frac{2}{3}\) तो P(B) का मान है –
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 4.
एक सिक्का 4 बार उछाला गया है। कम से कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{1}{16}\)
(b) \(\frac{2}{16}\)
(c) \(\frac{14}{16}\)
(d) \(\frac{15}{16}\)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 5.
A के सत्य बोलने की प्रायिकता है \(\frac{4}{5}\) तथा B के सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है। एक ही तथ्य के पूछने पर उनके एक-दूसरे के विरोधी उत्तर देने की प्रायिकता है –
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{10}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{7}{20}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

  1. P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{C}\right)\)  + ………………………
  2. P(A∩B) = …………….. था ………………………..
  3. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P(A∩B) = ……………………..
  4. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P\(\left(\frac{A}{C}\right)\) = …………………………….
  5. यदि यादृच्छिक चर x के संगत प्रायिकता P(X) हो, तो घटना E का X का माध्य E(X) = ……………………….. होगा।
  6. यदि यादृच्छिक चर X के संगत P(X) हो, तो X का प्रसरण Var (X) = ……………………….. होगा।

उत्तर:

  1. P \(\left(\frac{B}{C}\right)\) – P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)
  2. P(B).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  या P(A).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\) = या P(A).P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)
  3. P(A).P(B)
  4. P(A), P(B) ≠ 0
  5. ΣX.P(X)
  6. ΣX2.P(X)- [ΣX.P(X)]2.

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A – B) = P(A) – P (A∩B)
  2. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A∪B) – P(A∩B) = P(A) + P(B).
  3. P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  =  \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
  4. यदि A और B प्रतिदर्श समष्टि S की कोई दो घटनाएँ हैं और F एक अन्य घटना इस प्रकार है कि P(F) ≠ 0, तब P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{F}\right)\)  + P \(\left(\frac{B}{F}\right)\)  – P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)
  5. किन्ही दो घटनाओं A और B के लिए P(A∪B) = P(A∩B) + P( \(\bar { A } \)∩B) + P(A∩\(\bar { B } \))

उत्तर:

  1. सत्य
  2. असत्य
  3. असत्य
  4. सत्य
  5. सत्य।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. एक लीप वर्ष में 53 शुक्रवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
  2. एक सिक्का 4 बार उछाला गया है कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
  3. A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ, P(A) = \(\frac{1}{4}\), P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  = \(\frac{1}{2}\) तथा P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)  = \(\frac{2}{3}\), तो P(B) का मान ज्ञात कीजिए।
  4. 5 पत्र तथा 5 पते लिखे लिफाफे हैं। यदि यादृच्छया पत्रों को लिफाफे में रखा जाए, तो 3 पत्रों को सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता क्या होगी?
  5. गणित की एक समस्या को तीन विद्यार्थियों द्वारा हल करने की संभावनाएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) हैं। समस्या हल हो जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर:

  1. \(\frac{2}{7}\)
  2. \(\frac{15}{16}\)
  3. \(\frac{1}{3}\)
  4. \(\frac{1}{12}\)
  5. \(\frac{3}{4}\)

प्रायिकता लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
(A) दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं। योगफल 8 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं
∴ n(S) = 62 = 36
योगफल 8 आने की घटना
A = {(2,6); (6,2); (5,3); (3,5); (4,4)}
∴ n(A) = 5
∴ योगफल 8 आने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{5}{36}\)

(B) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

(C) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 7 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 2.
एक घटना का प्रतिकूल संयोगानुपात 3 : 4 है, तो उसके न घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात = 3 : 4
∵ घटना के न घटने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{b}{a+b}\)
⇒ P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\)

प्रश्न 3.
52 ताश के पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है, तो उसके चेहरे वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 52
∵ चेहरे वाले पत्ते = 4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह
∴ n(A) = 4 + 4 + 4 = 12
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\)

प्रश्न 4.
यदि किसी लीप वर्ष को यदृच्छया चुन लिया जाये तो उस वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन। अब शेष दो दिन बचे जिनकी सम्भावना इस प्रकार है:
(रविवार, सोमवार), (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार); (बुधवार, गुरुवार), (गुरुवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार)
प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 7
यदि रविवार की घटना E है, तो n(E) = 2
अतः 53 रविवार होने की प्रायिकता = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{2}{7}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 5.
घोड़े A के किसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) तथा घोड़े B के उसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{8}\) है, तो इनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता क्या है?
हल:
घोड़े A के जीतने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{4}\)
घोड़े B के जीतने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{8}\)
∵ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, अत: P(A∩B) = 0
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{2+1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 6.
(A) 52 पत्तों की ताश की गड्डी से यदृच्छया एक पत्ता खींचने पर उसके बादशाह या हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बादशाह खींचने की घटना A तथा हुकुम का पत्ता खींचने की घटना B है, तो
n(S) = 52, n(A)= 4, n(B) = 13, n(A∩B) =1
[क्योंकि ताश की गड्डी में चार बादशाह होते हैं; 13 हुकुम के पत्ते होते हैं तथा एक हुकुम का बादशाह होता है।]
∴P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{52}\), P(B) = \(\frac { n(B) }{ n(S) } \) = \(\frac{13}{52}\)
P(A∩B) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\) = \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\).

(B) ताश की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि यह न तो इक्की है न ही बादशाह।
हल:
कुल बादशाह = 4, कुल इक्का = 4
8 पत्तों में से कोई एक पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता = 8C1
52 पत्तों में से कोई एक पत्ता खींचने की प्रायिकता = 52C1
∴ P(A) = \(\frac { ^{ 8 }C_{ 1 } }{ ^{ 52 }C_{ 1 } } \) = \(\frac{8}{52}\) = \(\frac{2}{13}\)
इनमें से कोई पत्ता न होने की प्रायिकता = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{2}{13}\) = \(\frac{11}{13}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 7.
(A) एक पासे को एक बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सम अंक या 5 से कम अंक प्राप्त हो।
हल:
एक पासे को एक बार उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E1 = {2, 4, 6} ∴ n(E1) = 3
E2 = {1, 2, 3, 4} ∴ n(E2) = 4
E1∩E2 = {2, 4} ∴ n(E1∩E2) = 2
∴ अभीष्ट प्रायिकता
P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
= \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) – \(\frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } \)
= \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{4}{6}\) – \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{7-2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

(B) पासे के एक युग्म को फेंकने पर योग 9 या 11 न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
एक पासे के युग्म को एक साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
अतः n(S) = 36
माना कि E योग 9 या 11 न आने की घटना है।
∴ E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6), (5,1), (5, 2), (5,3), (5,5), (6,1), (6,2), (6,4), (6,6)}
∴ n(E) = 30
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{30}{36}\) = \(\frac{5}{6}\)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 8.
यदि तीन सिक्के एक साथ उछाले जायें, तो घटना में कम-से-कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाने पर प्रतिदर्श समष्टि की संख्या n(S) = 23 = 8
माना एक की शीर्ष न होने की घटना \(\bar { A } \) हो, तो
\(\bar { A } \) = {(T, T, T)}
∴ n( \(\bar { A } \) ) = 1
अतः एक की शीर्ष न होने की प्रायिकता
P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) = \(\frac{1}{8}\)
∴ कम – से – कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता P(A) = 1 – P( \(\bar { A } \) )
= 1 – \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)

प्रश्न 9.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E1 तथा दूसरी बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E2 है।
∴ P(E1) = \(\frac{1}{2}\) तथा P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
ये दोनों घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
∴ P(E1∩E2) = P(E1) × P(E2)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 10.
किसी दौड़ में A, B तथा C घोड़े के जीतने के अनुकूल संयोगानुपात क्रमश: 1 : 2, 1 : 3 तथा 1 : 4 हैं, तो किसी एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
P (E1) = प्रथम घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+2}\) = \(\frac{1}{3}\)
P (E2) = द्वितीय घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+3}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(E3) = \(\frac{1}{1+4}\) = \(\frac{1}{5}\)
अतः किसी एक घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = P(E1) + P(E2) + P(E3)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{20+15+12}{60}\) = \(\frac{47}{60}\).

प्रश्न 11.
गणित का एक प्रश्न तीन छात्रों A, B और C को हल करने के लिए दिया जाता है, जिसके हल करने की प्रायिकताएँ क्रमश: 1/2, 1/3 और 1/4 हैं। प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि तीन छात्रों A, B और C द्वारा प्रश्न के हल होने की प्रायिकता क्रमश: P(A), P(B) व P(C) हो, तो
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\), P(C) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P( \(\bar { A } \) ) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
और P( \(\bar { C } \) ) = 1 – P(C) = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता = P( \(\bar { A } \) ) P( \(\bar { B } \) ) P( \(\bar { C } \) )
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)

प्रायिकता दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
रायपुर में 20% व्यक्ति अंग्रेजी का अखबार पढ़ते हैं, 40% व्यक्ति हिन्दी तथा 5% व्यक्ति दोनों प्रकार के अखबार पढ़ते हैं। कितने प्रतिशत व्यक्ति कोई भी अखबार नहीं पढ़ते हैं?
हल:
P(A) = अंग्रेजी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(B) = हिन्दी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{40}{100}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(A∩B) = दोनों भाषाओं के अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
दोनों भाषाओं के अखबार नहीं पढ़ने वाले व्यक्ति = P( \(\bar { A } \)∩\(\bar { B } \) )
= 1 – P(A∪B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – [ \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{2}{5}\) – \(\frac{1}{20}\) ] = 1 – \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{1}{20}\)
= \(\frac{20-12+1}{20}\) = \(\frac{9}{20}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 2.
A, प्रकरणों में 75% सत्य बोलता है और B, 80% सत्य बोलता है। यदि दोनों में एक ही प्रकरण पर विरोधाभास हो, तो इसका क्या प्रतिशत होगा? अथवा मोहन 75% प्रकरणों में तथा सोहन 80% प्रकरणों में सच बोलता है। इस घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिये जबकि मोहन सच तथा सोहन झूठ बोलता है।
हल:
A के सत्य बोलने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
B के सत्य बोलने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
A के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
B के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(A और B में विरोधाभास है) = P (A सत्य बोलता है और B असत्य बोलता है) या P(A असत्य बोलता है और B सत्य बोलता है)
= P(A)P( \(\bar { B } \) ) + P( \(\bar { A } \) )P(B)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{7}{20}\)
अतः विरोधाभास का प्रतिशत = \(\frac{7}{20}\) × 100 = 35%

प्रश्न 3.
सिद्ध क्रीजिए कि
P(A) + P(not A) = I.
हल:
माना प्रतिदर्श समुच्चय S है तथा घटना A, S का उपसमुच्चय है। तब,
S के सापेक्ष (A’) = A का पूरक
= not A
स्पष्ट है कि A और A’ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, क्योंकि
A∩A’ = ϕ
समुच्चय सिद्धान्त से किन्हीं दो समुच्चयों A और B के लिये,
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
अब B के स्थान पर A’ लिखने पर,
n(A∪A’) = n(A) + n(A’) – n(A∩A’)
⇒ n(S) = n(A) + n(A’) – n(ϕ),
∴ n(S) = n(A) + n(A’) – 0
∴ 1 = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(\bar { A’ } ) }{ n(S) } \)
था 1 = P(A) + P(A’)
अतः P(A) + P(not A) = 1. यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 4.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\) हो, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए –
हल:
दिया है:
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 5.
10 बच्चों के एक समूह में जिसमें 6 लड़के और 4 लड़कियाँ हैं, 3 बच्चे यदृच्छया चुने जाते है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए –
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो।
(ii) कम – से – कम 1 लड़की रखता हो।
हल: 10 बच्चों में से 3 बच्चे चुनने के तरीके 10C3 = \(\frac { 10! }{ 7!3! } \) = \(\frac{10×9×8×7!}{7!×3×2}\) = 120
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो –
6 लड़कों में से 3 लड़के चुनने के तरीके 6C3 = 20
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{20}{120}\) = \(\frac{1}{6}\)
(ii) कम – से – कम एक लड़की रखता हो –
2 लड़का + 1 लड़की चुनने के तरीके = 6C2, × 4C1 = 15 × 4 = 60
1 लड़का + 2 लड़की चुनने के तरीके = 6C1 × 4C2
= 6 × 6 = 36
3 लड़की चुनने के तरीके = 4C3 = 4
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{60+36+4}{120}\) = \(\frac{100}{120}\) = \(\frac{5}{6}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 6.
ताश की गड्डी फेंटते समय एक-एक करके 4 ताश गिर पड़ते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक ताश पान का, दूसरा ईंट का, तीसरा हुकुम का तथा चौथा चिड़ी का होगा।
हल:
ताश के कुल पत्तों की संख्या = 52
पहला पत्ता 52 प्रकार से गिर सकता है।
पहले पत्ते के पान का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 51
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के ईंट का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{51}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 50
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के हुकुम का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴प्रायिकता = \(\frac{13}{50}\)
शेष पत्ते = 50 – 1 = 49
इनमें से एक पत्ता 49 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के चिड़ी का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{49}\)
अतः मिश्र प्रायिकता के सिद्धान्त से अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{13}{51}\) × \(\frac{13}{50}\) × \(\frac{13}{49}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 7.
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों को हल करने के लिए दिया गया। उसके हल करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{1}{4}\) हैं। यदि वे सभी हल करने का प्रयत्न करें तो किसी एक के प्रश्न हल किये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
गणित का प्रश्न तीन विद्यार्थियों द्वारा हल किये जाने की प्रायिकता माना क्रमशः P1, P2, और P3, हैं।
अतः P1 = \(\frac{1}{2}\), P2 = \(\frac{1}{3}\), P3 = \(\frac{1}{4}\)
प्रश्न को उन तीनों के द्वारा हल न किये जाने की प्रायिकता क्रमशः
q1 = 1 – P1 = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
q2 = 1 – P2 = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
q3 = 1 – P3 = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः तीनों के द्वारा साथ-साथ प्रश्न हल न किये जाने की प्रायिकता = q1 .q2.q3
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
अतः प्रश्न के हल किये जाने की प्रायिकता = कम-से-कम एक विद्यार्थी के प्रश्न को हल कर सकने की
प्रायिकता = 1 – q1.q2.q3 = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\).

प्रश्न 8.
एक थैले में 6 काली गेंदें, 5 सफेद गेंदें और 2 नीली गेंदें हैं। उनमें से दो गेंदें यदृच्छया बाहर निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों गेंदें सफेद हों।
हल:
दिया है:
काली गेंद = 6, सफेद गेंद = 5, नीली गेंद = 2
∴ कुल गेंद = (6 + 5 + 2) = 13
अतः n(S) = 13C2
माना सफेद गेंद निकलने की घटना A है, तब
n(A) = 5C2
∴ सूत्र, P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac { ^{ 5 }C_{ 2 } }{ ^{ 13 }C_{ 2 } } \)
P(A) = \(\frac { 5!/3!.2! }{ 13!/11!.2! } \) = \(\frac { \frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } }{ \frac { 13\times 12 }{ 2\times 1 } } \) = \(\frac { 5\times 4 }{ 13\times 12 } \) = \(\frac{5}{39}\).

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प्रश्न 9.
एक थैले में 6 लाल, 4 सफेद और 5 नीली गेंदें हैं। यदि थैले में से एक-एक करके गेंद निकाली जाये तथा उन्हें वापस न रखा जाये तो पहले के लाल, दूसरे के सफेद और तीसरे के नीले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
एक थैले में 6 लाल (R), 4 सफेद (W) और 5 नीली (B) गेंदें हैं।
इस प्रकार कुल गेंदों की संख्या = 6 + 4 + 5 = 15
∴ पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{6}{15}\)
अब थैले में कुल 15 – 1 = 14 गेंदें हैं
∴ दूसरे गेंद के सफेद होने की प्रायिकता P(W) = 4.
इसके बाद थैले में कुल 14 – 1 = 13 गेंदें हैं।
∴ तीसरे गेंद के नीली होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{5}{13}\)
अत: अभीष्ट (मिश्र) प्रायिकता = \(\frac{6}{15}\) × \(\frac{4}{14}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{2}{5}\) × \(\frac{2}{7}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{4×1}{91}\) = \(\frac{4}{91}\).

प्रश्न 10.
दो घनाकार पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पहले पासे पर सम संख्या अथवा दोनों का योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो घनाकार पासों को साथ-साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
∴ n(S) = 36
मानलो E1 = पहले पासे पर सम संख्या आने की घटना
तथा E2 = योग 9 प्राप्त करने की घटना
∴ E1 = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4,5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6,5), (6, 6)}
∴ n(E1) = 18
E2 = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(E2) = 4
(E1∩E2) = {(4, 5), (6, 3)}
∴ n(E1∩E2) = 2
अत: P(E1) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{18}{36}\)
P(E2) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{36}\)
तथा
P(E1∩E2) = \frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } = \(\frac{2}{36}\)
∴ P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
= \(\frac{18}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) – \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{20}{36}\)
⇒ P(E1∪E2) = \(\frac{5}{9}\).

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प्रश्न 11.
दो थैलों में से एक में 3 काली और 4लाल गेंदें हैं और दूसरे में 8 काली और 10 लाल गेंदें हैं। यदि किसी एक थैले को चुनकर उसमें से एक गेंद निकाली जाये तो उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल: I थैला
3B + 4R = 7 कुल गेंद
दो थैले में से 1 थैला चुनने की प्रायिकता है = \(\frac{1}{2}\)
1 थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{4}{7}\)
अतः I थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P1 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{7}\) = \(\frac{2}{7}\)
पुनः यदि II थैला चुना गया तो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
II थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{10}{18}\) = \(\frac{5}{9}\)
अतः II थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P2 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{5}{18}\)
उपर्युक्त दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। इनमें से एक ही घटना घटेगी।
अतः अभीष्ट प्रायिकता P = P1 + P2 = \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{36+35}{126}\) = \(\frac{71}{126}\)

प्रश्न 12.
दो थैलों में एक में 5 लाल और 7 सफेद गेंदें हैं और दूसरे में 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। दोनों थैलों में से किसी एक से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह गेंद लाल है।
हलः
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर:
\(\frac{37}{120}\)

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प्रश्न 13.
एक थैले में 50 बोल्ट तथा 150 नट हैं। आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं। यदि यदृच्छया एक नट थैले से निकाला जाये तो इसके जंग लगे हुये या बोल्ट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रतिदर्श समष्टि S हैं। तब,
n (S) = 200, (∵ 50 बोल्ट + 150 नट = 200)
प्रश्नानुसार,
आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं
इनकी संख्या = 25 + 75 = 100
∴ E1: जंग लगी वस्तु निकलने की घटना
तब P(E1) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{100}{200}\)
E2: बोल्ट निकलने की घटना
तब P(E2) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{50}{200}\)
उक्त दोनों घटनाओं E1 और E2 में 25 जंग लगे बोल्ट उभयनिष्ठ है।
∴ n(E1∩E2) = 25
∴ P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
= \(\frac{100}{200}\) + \(\frac{50}{200}\) – \(\frac{25}{200}\) = \(\frac{125}{200}\) = \(\frac{5}{8}\).

प्रश्न 14.
A किसी लक्ष्य को 5 बार में से 4 बार भेद सकता है। B, 4 में से 3 बार और C, 3 बार में से 2 बार। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
A द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)
B द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)
C द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने के निम्न प्रकार होंगे –
(i) जब A, B, C तीनों निशाना लगा लें जिसकी प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{24}{60}\)
(ii) जब B, C के निशाने लग जाये पर A का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= (1 – \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{6}{60}\)
(iii) जब C, A के निशाने लग जाये पर B का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × (1 – \(\frac{3}{4}\) ) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{8}{60}\)
(iv) A, B के निशाने लग जाये पर C का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × (1 – \(\frac{2}{3}\) ) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{12}{60}\)
सभी घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता
= \(\frac{24}{60}\) + \(\frac{6}{60}\) + \(\frac{8}{60}\) + \(\frac{12}{60}\) = \(\frac{50}{60}\) = \(\frac{5}{6}\)

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प्रश्न 15.
एक कक्षा में 30% विद्यार्थी भौतिकी में, 25% गणित तथा 10% दोनों में फेल होते हैं। एक छात्र यदृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह
(i) गणित में फेल होता है यदि भौतिकी में फेल है
(ii) भौतिकी में फेल होता है जबकि वह गणित में फेल है
हलः
भौतिकी में फेल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{30}{100}\)
गणित में फेल होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{25}{100}\)
भौतिकी और गणित दोनों में फेल होने की प्रायिकता P(A∩B) = \(\frac{10}{100}\)
(i) P( \(\frac{B}{A}\) ) = \(\frac { P(B∩A) }{ P(A) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 30 }{ 100 } } \) = \(\frac{1}{3}\)
(ii) P( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac { P(A∩B) }{ P(B) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 25 }{ 100 } } \) = \(\frac{10}{25}\) = \(\frac{2}{5}\).

प्रश्न 16.
दो थैले A और B में क्रमशः 8 हरी और 9 सफेद और 5 हरी और 4 सफेद गेंदें रखी हैं। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जो कि हरे रंग की है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद थैले B से निकाली गई है। (NCERT)
हल:
माना E1: थैले A के चयन होने की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (1)
E2: थैले B के चयन होने की घटना
P(E2) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (2)
पुनः माना C : थैले से एक हरे रंग की गेंद निकालने की घटना
∴ सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से,
P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले A से निकालना)
P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले B से निकालना)
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{8}{8+9}\) = \(\frac{8}{17}\) [∴ थैले A में 8 हरी और 9 सफेद]
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{5}{5+4}\) = \(\frac{5}{9}\)
अब अभीष्ट प्रायिकता अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

प्रश्न 17.
एक कंपनी दो फैक्टरी में साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी 60% और दूसरी फैक्टरी 40% साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी से 80% साईकिल उच्च स्तर की और 90% साईकिल दूसरी फैक्टरी उच्च स्तर की बनायी जाती है। एक साईकिल यादृच्छया उच्च स्तर की चुनी जाती है उसके दूसरी फैक्टरी से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [CBSE 2003]
हल:
माना E1: एक साईकिल पहली फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{60}{100}\)
माना E2: एक साईकिल दूसरी फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E2) = \(\frac{40}{100}\)
पुनः माना E उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की घटना है, तब
P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{80}{100}\), [दिया है 80%]
P( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ p( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{90}{100}\), [दिया है 90%]
∴ अब अभीष्ट प्रायिकता (अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 18.
एक टी. वी. (T. V.) बनाने के कारखाने में मशीनें ( यंत्र) A, B और C कुल उत्पादन का क्रमश: 30%, 20% और 50% टी. वी. (T. V.) बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः 7%, 5% और 2% टी. वी. खराब (त्रुटिपूर्ण ) पायी जाती हैं। टी. वी. के कुल उत्पादन में से एक टी. वी. यादृच्छया जाँच के लिए निकाला गया है और वह खराब (त्रुटिपूर्ण) पाया गया। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है। (CBSE)
हल:
माना कि घटनाएँ T1, T2, और T3, निम्नानुसार हैं –
घटना T1 : टी. वी. मशीन A द्वारा बनाया गया है।
घटना T2 : टी. वी. मशीन B द्वारा बनाया गया है।
घटना T3 : टी. वी. मशीन C द्वारा बनाया गया है।
यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
पुनः माना E : टी. वी. (T. V.) खराब होने की घटना है।
दिया है: P(T1) = 30% = \(\frac{30}{100}\)
P(T2) = 20% = \(\frac{20}{100}\)
और P(T3) = 50% = \(\frac{50}{100}\)
पुनः P( \(\frac { E }{ T_{ 1 } } \) ) = 7% = \(\frac{7}{100}\)
P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता जबकि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है।
⇒ P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = 5% = \(\frac{5}{100}\)
इसी प्रकार
P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = 2% = \(\frac{2}{100}\)
अब बेज़ प्रमेय (Baye’s Theorem) से,
P( \(\frac { T_{ 1 } }{ E } \) ) = मशीन A द्वारा बनाये गये टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता

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प्रश्न 19.
मोहन द्वारा झूठ बोलने की प्रायिकता = है। एक सिक्का उछालने पर मोहन द्वारा चित (Head) बताया जाता है; इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिक्का उछालने पर वास्तव में चित आता (NCERT)
हल:
माना A: एक सिक्का उछालने पर चित आने की घटना
∴ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
B: एक सिक्का चित नहीं आने की घटना है
∴ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना E: मोहन द्वारा एक सिक्का के एक फेंक में यह बताने कि एक सिक्का के एक फेंक में चित आने की घटना है।
अब P( \(\frac{E}{A}\) ) = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
अब बेज़ प्रमेय (Bayes’ theorem) से
P( \(\frac{A}{E}\) ) = मोहन द्वारा यह बताने पर कि सिक्का के एक फेंक में चित आया है।

प्रश्न 20.
बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें और बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं। इन थैलों से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और वह लाल पायी गयी। बैग B से इस गेंद के निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E1 = बैग A के चुनाव की घटना
E2 = बैग B के चुनाव की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{1}{2}\); P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E1) = P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना एक एक एक गंद लाल होने की घटना
अब प्रश्नानुसार,
P ( \(\frac { R }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\) चूँकि बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं।]
P ( \(\frac { R }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{6}{5+6}\) = \(\frac{6}{11}\) [चूँकि बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं।]
अब बेज़-प्रमेय (Bayes’ theorem) से,
P ( \(\frac { E_{ 2 } }{ R } \) ) = एक गेंद बैग B से चुने जाने की प्रायिकता जबकि वह लाल हो

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 21.
तीन अभिन्न थैले A, B और C दिए गए हैं, प्रत्येक में दो-दो पुस्तकें हैं। थैले A में दोनों गणित की पुस्तकें हैं, थैले B में दोनों रसायन की पुस्तकें हैं और थैले C में एक गणित और एक रसायन की पुस्तक है। एक विद्यार्थी यादृच्छया एक थैला चुनता है और उसमें से यादृच्छया एक पुस्तक निकालता है। यदि पुस्तक गणित की है, तो दूसरी पुस्तक भी थैले A से गणित की निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना कि E1, E2 और E3 क्रमशः थैले A, B और C के चयन को दर्शाता है तो उनके चयन की प्रायिकता
P(E1) = P(E2) = P(E3) = \(\frac{1}{3}\) ……… (1)
D: गणित की पुस्तक निकलने की घटना तब सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से
P( \(\frac { D }{ E_{ 1 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले A से निकलना)
= \(\frac{2}{2}\) = 1 ……….. (2)
P( \(\frac { D }{ E_{ 2 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले B से निकलना)
= \(\frac{0}{2}\) = 0 ………. (3) [∵ प्रश्नानुसार थैले B में दोनों रसायन की पुस्तक हैं।]
P( \(\frac { D }{ E_{ 3 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले C से निकलना)
= \(\frac{1}{2}\) ………. (4)
अब अभीष्ट प्रायिकता (थैले A से गणित की पुस्तक निकलने की प्रायिकता)
P ( \(\frac { E_{ 1 } }{ D } \) )
अब बेज़-प्रमेय से,

प्रश्न 22.
एक विद्यार्थी के बारे में जाँच किया जाता है कि वह 5 में से 2 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को फेंकता है और रिपोर्ट करता है कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर सही में संख्या 6 आयी है।
हल:
माना E: उस विद्यार्थी द्वारा पासे के फेंक में यह बताने की घटना कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है।
A: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आने की घटना
B: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 नहीं आने की घटना …………. (1)
∴ P(A) = \(\frac{1}{6}\)
P(B) = P(नहीं A) = P( \(\bar { A } \) )
⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{6}\) ………… (2)
⇒ P(B) = \(\frac{5}{6}\)
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने पर कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 है जबकि पासे पर वास्तव में संख्या 6 नहीं आयी है।
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता = \(\frac{2}{5}\) ………… (3)
अब
P ( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है।
P( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य नहीं (झूठ) बोलने की प्रायिकता
P( \(\frac{E}{B}\) ) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
अब बेज़-प्रमेय से,
P( \(\frac{A}{E}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

रैखिक Important Questions

रैखिक प्रोग्रामन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दु जिस पर 3x + 2y का प्रतिबंधों x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत अधिकतम मान प्राप्त होता है –
(a) (0, 0)
(b) (1.5, 1.5)
(c) (2,0)
(d) (0, 2).
उत्तर:
(c) (2,0)

प्रश्न 2.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देश्य फलन में चर होते हैं –
(a) ऋणात्मक
(b) शून्य या ऋणात्मक
(c) शून्य
(d) शून्य या धनात्मक।
उत्तर:
(d) शून्य या धनात्मक।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

प्रश्न 3.
असमिकाओं x1 + x2 ≤ 3, 2x1 + 5x2 ≥ 10, x2 ≥ 0, के व्यापक हल में स्थित बिन्दु होगा –
(a) (2,1)
(b) (4, 2)
(c) (2, 2)
(d) (1, 2).
उत्तर:
(d) (1, 2).

प्रश्न 4.
रेखीय व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन का अधिकतम मान होता है –
(a) सुसंगत क्षेत्र के केन्द्र पर
(b) (0,0) पर
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर
(d) (0,0) से अधिकतम दूरी पर स्थित शीर्ष पर।
उत्तर:
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर।

प्रश्न 5.
प्रतिबन्धों x – 2y ≥ 6, x + 2y ≥ 0, x ≤ 6 के अंतर्गत फलन P = 3x + 4y का महत्तम मान है –
(a) 16
(b) 17
(c) 18
(d) 19
उत्तर:
(c) 18.

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

  1. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना हो वह …………………………. कहलाता है।
  2. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को ……………………….. कहते हैं।
  3. x ≥ 0 का ग्राफ …………………………. चतुर्थांश में स्थित है।
  4. एक निश्चित क्रम में विशिष्ट चरणों में सम्पादित प्रक्रिया ………………………….. कहलाती है।
  5. सभी व्यवरोधों और ऋणेत्तर व्यवरोधों x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र, एक रेखीय प्रोगामन समस्या का …………………………… कहलाता है।

उत्तर:

  1. उद्देश्य फलन
  2. इष्टमान फलन
  3. प्रथम एवं चतुर्थ
  4. प्रोग्रामिंग
  5. सुसंगत क्षेत्र।

प्रश्न 3.
सही जोड़ी बनाइए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 1
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 1a

उत्तर:

  1. (b)
  2. (a)
  3. (d)
  4. (c)
  5. (f)
  6. (e)

प्रश्न 4.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. यदि x का मान किन्ही दो निश्चित संख्याओं a और b के बीच होता है, तब {x : a < x < b}, संवृत्त अंतराल कहलाता है।
  2. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना होता है, उसे उद्देश्य फलन कहते हैं।
  3. दी हुई समस्या के सभी प्रतिबंधों का पालन करने वाले चर राशियों के मान ग्राफीय निरुपण के जिस क्षेत्र से संबंधित होता है उस क्षेत्र को सम्भाव्य क्षेत्र कहते हैं।
  4. यदि सम्भाव्य क्षेत्र रिक्त समुच्चय हो, तो समस्या का सीमाबद्ध हल होता है।
  5. दो या दो से अधिक समीकरणों के निकाय को रेखीय असमीकरण निकाय कहते हैं।

उत्तर:

  1. असत्य
  2. सत्य
  3. सत्य
  4. असत्य
  5. असत्य।

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प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. y ≤ -2 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
  2. 2x – 4 ≤ 0 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
  3. x ≥ 0 तथा y ≥ 0 का हल किस चतुर्थांश में है।
  4. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को क्या कहते हैं?
  5. P = 5x + 3y एक उद्देश्य फलन है। सम्भाव्य क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक (3, 0), (12, 0), (0, 6) हैं। उद्देश्य फलन का निम्नतम मान बताइए।

उत्तर:

  1. MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 2
  2. MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 3
  3. प्रथम
  4. इष्टतम मान
  5. 15.

रैखिक प्रोग्रामन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
फलन P = 2x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जबकि प्रतिबन्ध निम्न हैं –
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 2x + y ≤ 14.
हल:
प्रतिबन्धों x ≥ 0 तथा y ≥ 0 के कारण अन्य रेखीय असमीकरणों के ग्राफ केवल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करना है।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 4
x + 2y = 10 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 5
परीक्षण बिन्दु (0, 0) के लिए x + 2y ≤ 10 सत्य है क्योंकि 0 + 2 × 0 ≤ 10. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर है।
2x + y = 14 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 6
मूलबिन्दु (0, 0) के लिए 2x + y ≤ 14 सत्य है क्योंकि 2(0) + 0 ≤ 14. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु को शामिल करता है।
लेखाचित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र रेखांकित है जिसके शीर्षों OABD पर उद्देश्य फलन P = 2x + 3y के मान निम्न सारणी में दर्शाये गये हैं –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 7
∴ P का अधिकतम मान 18 है जो बिन्दु B(6, 2) पर है, जिसके लिए x = 6, y = 2.

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प्रश्न 2.
फलन P = x + y का रेखीय व्यवरोधों 3x + 2y ≥ 12, x + 3y ≥ 11, x ≥ 0, y ≥ 0 के अन्तर्गत न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x ≥ 0, y ≥ 0 के कारण अन्य व्यवरोधों के ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करते हैं। वे हैं:
3x + 2y ≥ 12
x + 3y ≥ 11
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 8
(i) 3x + 2y = 12 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 9
(ii) x + 3y = 11 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 10
परीक्षण बिन्दु (0, 0) से दोनों असमीकरण सन्तुष्ट नहीं होते क्योंकि
3(0) + 2(0) ≥ 12 असत्य है।
0 + 3(0) ≥ 11 असत्य है।
अतएव संभाव्य क्षेत्र खुला क्षेत्र है, जिसके शीर्ष A, B,D हैं। उद्देश्य फलन की गणना मूल बाह्यतम बिन्दु प्रमेय के अनुसार निम्नांकित हैं –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 11
अतः P का न्यूनतम मान 5 है जब x = 2, y = 3.

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प्रश्न 3.
निम्न असमीकरणों द्वारा निर्धारित क्षेत्र को ग्राफ द्वारा दर्शाइए:
x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 16, 2x + y ≤ 8
तथा P = 5x + 4y के अधिकतम मान हेतु x, y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
असमीकरणों 2x + 5y ≤ 16 ……… (1)
एवं 2x + y ≤ 8 ……….. (2)
को निम्नानुसार लिखने पर,
\(\frac{2x}{16}\) + \(\frac{5y}{16}\) ≤ 1 [असमिका (1) से]
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 12
इसी प्रकार,
\(\frac{2x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 [असमिका (2) से]
⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 ………. (4)
क्षेत्र x ≥ 0 एवं y ≥ 0 के लिए असमीकरणों (3) एवं (4) का ग्राफीय निरूपण करने पर:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 13
रेखाएँ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1
एवं \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{(16/5)}\) = 1
एक – दूसरे को बिन्दु B(4, 2) पर प्रतिच्छेदित करती है। अत: OABC रेखाओं द्वारा प्रतिबन्धित क्षेत्र है, जहाँ बिन्दु O, A, B, C के निर्देशांक क्रमशः O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, \(\frac{16}{5}\) ) है।
इन शीर्षों पर P = 5x + 4y का मान निम्नानुसार प्राप्त होगा:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 14
उपर्युक्त सारणी से P का अधिकतम मान बिन्दु B(3, 2) पर 23 प्राप्त होता है। अतः x = 3 एवं y = 2 पर मान अधिकतम है।

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प्रश्न 4.
यदि एक नवयुवक अपनी मोटर साइकिल को 25 किमी प्रति घण्टा की गति से दौड़ाता है, तो उसे पेट्रोल पर 2 रु. प्रति किमी व्यय करना पड़ता है। यदि वह और अधिक तेज गति 40 किमी प्रति घण्टा पर मोटर साइकिल को दौड़ाता है, तो पेट्रोल का खर्च बढ़कर 5 रु. प्रति किमी हो जाता है। उसके पास पेट्रोल पर खर्च करने के लिए 100 रु. है। वह यह ज्ञात करना चाहता है कि 1 घण्टे में वह कितनी अधिकतम दूरी तय कर सकता है। इसे एक रेखीय कार्य-योजना समस्या के रूप में व्यक्त करो तथा फिर इसे हल करो।
हल:
माना कि x किलोमीटर तक 25 किमी/घण्टा की गति से तथा y किलोमीटर तक 40 किमी प्रति घण्टा की गति से मोटर साइकिल दौड़ाता है। तब, x20
तथा x ≥ 0 ……. (1)
y ≥ 0 …….. (2)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 15
पहली स्थिति में पेट्रोल खर्च = 2x रु.
तथा दूसरी स्थिति में पेट्रोल खर्च = 5y रु.
पेट्रोल पर खर्च करने के लिए राशि = 100 रु.
∴ 2x + 5y ≤ 100
पहली स्थिति में दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{x}{25}\) घण्टे,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 16
दूसरी स्थिति में y दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{y}{40}\) घण्टे।
∴ कुल समय 1 घण्टा है,
∴ \(\frac{x}{25}\) + \(\frac{y}{40}\) ≤ 1
था 8x + 5y ≤ 200
दूरी P = x + y
दूरी के मान को अधिकतम करने के लिए प्रतिबंधों (1), (2), (3) और (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 100 तथा 8x + 5y ≤ 200 का आलेखन करते हैं, जिससे सम्भाव्य क्षेत्र ODEC प्राप्त होता है।
क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (25, 0), ( \(\frac{50}{3}\), \(\frac{40}{3}\) ) तथा (0, 20) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 17
अतः अधिकतम दूरी 30 किमी होगी।

प्रश्न 5.
एक उद्योगपति अपनी फैक्टरी में नई मशीन लगाना चाहता है। A प्रकार की मशीन की कीमत 800 रु. है और वह 3 वर्ग मीटर स्थान घेरती है। B प्रकार की मशीन की कीमत 1600 रु. है और वह 1 \(\frac{1}{2}\) वर्ग मीटर स्थान घेरती है। वह 20,000 रु. खर्च कर सकता है और उसके पास उपलब्ध स्थान 30 वर्ग मीटर है। मशीन A का उत्पादन प्रति घण्टा 10 वस्तु और मशीन B का उत्पादन प्रति घण्टा 15 वस्तु है। व्यापार प्रतिबन्ध के अनुसार वह तीन मशीन A प्रकार और चार मशीन B प्रकार की ले सकता है। व्यापारी अधिकतम मशीन किस प्रकार लगा सकता है और कौन-सी व्यवस्था उसे अधिकतम लाभ दे सकती है?
हल:
माना कि व्यापारी A प्रकार की x मशीन तथा B प्रकार की y मशीन खरीदता है।
तब, A प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 800 x रु.
तथा B प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 1600 y रु.
उद्योगपति कुल 20,000 रु. खर्च कर सकता है।
∴ 800x + 1600y ≤ 20000
∴ x + 2y ≤ 25 ………. (1)
अब A प्रकार की x मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= 3x वर्ग मीटर
B प्रकार की y मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= \(\frac{3}{2}\) y वर्ग मीटर
कुल उपलब्ध स्थान = 30 वर्ग मी.
∴ 3x + \(\frac{3}{2}\)y ≤ 30
था 2x + y ≤ 20
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 18
पुनः वह तीन मशीन A प्रकार की तथा चार मशीन B प्रकार की ले सकता है।
∴ x ≥ 3 ……… (3)
तथा y ≥ 4 …….. (4)
कुल मशीनों की संख्या या उद्देश्य फलन
P = x + y ……….. (5)
अतः प्रतिबंधों (1), (2), (3) व (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x + 2y ≤ 25, 2x + y ≤ 20, x ≥ 3, y ≥ 4 का आलेखन करते हैं।
रेखांकित भाग संभाव्य क्षेत्र है जिसके शीर्ष (3, 4), (7, 4), (5, 10) तथा (3, 11) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 19
अत: व्यापारी अधिकतम 15 मशीन खरीद सकता है जिसमें 5 मशीनें A प्रकार तथा 10 मशीनें B प्रकार की होंगी।

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प्रश्न 6.
एक मधुर पेय फर्म के बोतल बनाने के दो संयन्त्र हैं। एक P पर व दूसरा Q पर स्थित है। प्रत्येक संयन्त्र तीन मधुर पेय A, B व C का उत्पादन करता है। दोनों संयन्त्रों की प्रतिदिन बोतल बनाने की संख्या के अनुसार क्षमताएँ निम्नानुसार हैं –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 20
एक बाजार सर्वेक्षण से ज्ञात होता है कि अप्रैल के महीने में, A की 24,000 बोतलों की, B की 16,000 बोतलों की तथा C की 48,000 बोतलों की माँग होगी। कार्यकर P और 0 की प्रतिदिन की कार्यकर लागत क्रमशः 6,000 रु. व 4,000 रु. है। ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए कि फर्म को अप्रैल में प्रत्येक संयन्त्र को कितने दिन कार्य करना चाहिए जिससे कि उत्पादन लागत न्यूनतम आवे जबकि बाजार की मांग पूरी हो जावे?
हल:
मानलो फर्म अप्रैल माह में संयन्त्र P को x दिन तथा संयन्त्र Q को y दिन चलाता है।
संयन्त्र P में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
तथा संयन्त्र ए में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
पेय A के कुल बोतलों की माँग 24000 है।
∴ 3000x + 1000y ≥ 24000
था 3x + y ≥ 24 ……… (1)
इसी तरह, 1000x + 1000y ≥ 16000
था x + y ≥ 16 …….. (2)
तथा 2000x + 6000y ≥ 48000
था x + 3y ≥ 24
पुनः x और y ऋणात्मक नहीं हैं।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अप्रैल माह में P का उत्पादन लागत = 6000 x रु.
तथा इसी माह में Q का उत्पादन लागत = 4000 x रु. .
∴ उद्देश्य फलन या कुल उत्पादन लागत
P = 6000x + 4000y ….. (5)
अतः प्रतिबन्धों (1), (2), (3) और (4) के अन्तर्गत P के मान को न्यूनतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≥ 24, x + y ≥ 16, x + 3y ≥ 24 को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
सम्भाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र प्राप्त होता है जिसके निर्देशांक A (24, 0), B (12, 4), C (4, 12), D (0, 24) हैं। इन शीर्षों में से किसी एक पर P का मान न्यूनतम होगा।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 21
अतः x = 4 तथा y = 12 पर P न्यूनतम है। अत: न्यूनतम उत्पादन लागत के लिए संयन्त्र P को 4 दिनों तक तथा संयन्त्र Q को 12 दिनों तक चलाना चाहिए।
न्यूनतम लागत 72,000 रु. होगी।

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प्रश्न 7.
A और B दो दर्जी प्रतिदिन 150 रु. और 200 रु. कमाते हैं। A प्रतिदिन 6 कमीजें और 4 पैन्टों तथा B प्रतिदिन 10 कमीजों तथा 4 पैन्टों को सील लेता है। कम-से-कम 60 कमीजों तथा 32 पैन्टों में आयी लागत का न्यूनतमीकरण करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सूत्रबद्ध कीजिए। (CBSE 2005)
हल:
माना दर्जी A, x दिन और दर्जी B, y दिन कार्य करता है।
अतः लागत फलन है:
Z = 150x + 200y
प्रश्नानुसार दर्जी A, 6 कमीजें और B, 10 कमीजें प्रतिदिन सील कर कम – से – कम 60 कमीजें सील सकता है।
∴ 6x + 10y ≤ 60
और दर्जी A, 4 पैन्टों और B, 4 पैन्टों को सीलकर कम-से-कम 32 पैन्ट सील सकता है।
∴ 4x + 4y ≤ 32 और x ≥ 0, y ≥ 0
इस प्रकार, लागत फलन Z = 150x + 200y का निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत न्यूनतम होगा –
6x + 10y ≤ 60
4x + 4y ≤ 32.
टीप – व्यवरोधों का ग्राफ 6x + 10y ≤ 60 के लिए 6x + 10y = 60 का ग्राफ खींचेंगे।
\(\frac{6x}{60}\) + \(\frac{10y}{60}\) = 1
\(\frac{x}{10}\) + \(\frac{y}{6}\) = 1 ………. (1)
रेखा (1) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 10 और 6 का अन्त:खण्ड काटती है।
अर्थात् 6x + 10y = 60 सरल रेखा का ग्राफ बिन्दुओं P(10, 0) और Q(0, 6) को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
इसी प्रकार सरल रेखा 4x + 4y = 32 का ग्राफ खींचेंगे।
∴ 4x + 4y = 32
⇒ \(\frac{4x}{32}\) + \(\frac{4y}{32}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1 ………. (2)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 22
रेखा (2) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 8, 8 का अन्त:खण्ड काटता है। अर्थात् 4x + 4y = 32 सरल रेखा का ग्राफ A (8, 0) और B (0, 8) बिन्दुओं को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
(i) x ≥ 0, X – अक्ष और उसके ऊपर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(ii) y ≥ 0, Y – अक्ष और उसके दायीं ओर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(iii) 6x + 10y ≤ 60 के हल समुच्चय हेतु परीक्षण बिन्दु O(0, 0) लेने पर,
6 × 0 + 10 × 0 < 60 ⇒ 0 < 60 सत्य है।
अन्तः रेखा 6x + 10y = 60 पर के प्रत्येक बिन्दु और मूलबिन्दु O के ओर के क्षेत्र 6x + 10y ≤ 60 का हल समुच्चय होगा।
(iv) इसी प्रकार 4x + 4y ≤ 32 के हल समुच्चय मूलबिन्दु की ओर का क्षेत्र और रेखा 4x + 4y = 32 पर के प्रत्येक बिन्दु होंगे।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0, 6x + 10y ≤ 60 और 4x + 4y ≤ 32 के उभयनिष्ठ क्षेत्र उक्त ग्राफ में छायांकित भाग से दिखाया है।
अर्थात् छायांकित क्षेत्र OACQ अभीष्ट क्षेत्र है जिसके किनारे के बिन्दु 0(0, 0), A (8, 0), C (5, 3) और Q (0, 6) हैं।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक img 23
लागत Z = 150x + 200y का न्यूनतम मान 0 और अधिकतम लागत मूल्य 1,350 रु. बिन्दु (5,3) के संगत है।

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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

त्रि-विमीय ज्यामिति Important Questions

त्रि-विमीय ज्यामिति वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (- 2, 4, 7) तथा Q (3,- 5, 8) को मिलाने वाले रेखा खण्ड को YZ समतल किस अनुपात में विभाजित करता है –
(a) 2 : 3
(b) 1 : 2
(c) 2 : 5
(d) 3 : 4.
उत्तर:
(a) 2 : 3

प्रश्न 2.
यदि कोई रेखा X अक्ष व Y अक्ष दोनों की धनात्मक दिशाओं से \(\frac { \pi }{ 4 } \) का कोण बनाये तो वह कोण जो रेखा Z – अक्ष की धनात्मक दिशा से बनाती है। होगी –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
उत्तर:
(d) \(\frac { \pi }{ 2 } \)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

प्रश्न 3.
बिंदुओं (2, 3, 4) तथा (1, -2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा –
(a) \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(b) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(c) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(d) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{1}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)

प्रश्न 4.
समतल x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण है –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 3\pi }{ 2 } \)
(d) π
उत्तर:
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 5.
अक्षों से 2, 3, – 4 के अन्तःखण्ड काटने वाले समतल का समीकरण है –
(a) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 0
(b) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = -1
(c) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 1
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 1

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

  • \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) ( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) एकांक सदिश की दिक् – कोज्याएँ …………………… हैं।
  • X – अक्ष की दिक् – कोज्याएँ …………………………. हैं।
  • घन के विकर्णों के बीच का कोण …………………………. होता है।
  • सरल रेखाओं \(\frac{x}{1}\) = 0 \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{-1}\) तथा \(\frac{x}{3}\) = \(\frac{y}{4}\) = \(\frac{z}{5}\) के बीच का कोण ……………………… है।
  • यदि रेखाएँ \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{k}\) और \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{k}\) समतलीय है, तो k …………………………..
  • यदि एक रेखा अक्षों के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती है, तो cos2α + cos2β + cos2γ = ……………………………….. होगा।
  • समतल 2x + y – z = 5 द्वारा X – अक्ष पर काटा गया अंत: खण्ड ………………………… है।

उत्तर:

  1. \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)
  2. 1, 0, 0
  3. cos-1 ( \(\frac{1}{3}\) )
  4. cos-1 ( \(\frac{-1}{5}\) )
  5. 5
  6. 1
  7. \(\frac{5}{2}\) )

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प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. बिन्दु A (1, 2, 3), B (4, 0, 4) तथा C (-2, 4, 2) संरेख हैं।
  2. रेखाएँ जिनके दिक् – अनुपात (3, 4, 5) और (4, -3, 5) हैं, के बीच का कोण 30° है।
  3. रेखाओं 2x = 3y = -z तथा 6x = -y = -4z के बीच कोण 90° है।
  4. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी सदैव 0 होती है।
  5. सरल रेखा \(\frac{x+1}{3}\) = \(\frac{y+1}{2}\) = \(\frac{z+2}{4}\) तब समताल के बीच का कोण cos-1 ( \(\frac { 4 }{ \sqrt { 406 } } \) ) है।
  6. सरल रेखा \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y+1}{-2}\) = \(\frac{z-4}{1}\) तथा समतल x + 3y + 5z = 4 के समान्तर है।
  7. X – अक्ष के समान्तर समतल का समीकरण ax + by + d = 0

उत्तर:

  1. सत्य
  2. असत्य
  3. सत्य
  4. सत्य
  5. असत्य
  6. सत्य
  7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 1
उत्तर:

  1. (c)
  2. (d)
  3. (a)
  4. (b)
  5. (e).

II.
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 2
उत्तर:
(a) (v)
(b) (iii)
(c) (ii)
(d) (vi)
(e) (iv).

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प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. समतल x + 2y + 3z +4 = 0 के अभिलम्ब के दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए।
  2. समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से इकाई अंत:खण्ड काटता हो।
  3. समतल YOZ पर लम्बवत् समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
  4. समतलों x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
  5. समान्तर समतलों 2x – 2y + z + 3 = 0 और 4x – 4y + 2z + 5 = 0 के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
  6. रेखाओं x = 2 = 2 और = 2 = – के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
  7. यदि कोई रेखा अक्षों की धनात्मक दिशाओं से α, β, γ कोण बनाए तो sin2α + sin2β + sin2γ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

  1. 1, 2, 3
  2. x + y + z = 1
  3. by + cz + d = 0
  4. \(\frac { \pi }{ 3 } \)
  5. \(\frac{1}{6}\)
  6. \(\frac { \pi }{ 3 } \)
  7. 2

त्रि-विमीय ज्यामिति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो बिन्दुओं (-2, 4, -5) और (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये बिन्दु A (-2, 4, -5) तथा B (1, 2, 3) हैं
AB दिक् अनुपात = 1 + 2, 2 – 4, 3 + 5
= 3, -2, 8
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AB की दिक् कोज्यायें
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प्रश्न 2.
एक रेखा X, Y और Z – अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135° और 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिया है:
α = 90°, β = 135°, λ = 45°
cos α = cos 90° = 0
cos β = cos 135° = cos (90° + 45°)
= – sin 45° = – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
cos γ = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
रेखा की दिक् कोसाइन cos α, cos β, cos γ
अर्थात् 0, – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \).

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प्रश्न 3.
एक रेखा OP, X – अक्ष से 120° और Y – अक्ष से 60° का कोण बनाती है। रेखा द्वारा Z – अक्ष से बना कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ α = 120° और β = 60°. माना रेखा Z – अक्ष से कोण γ बनाती है। तब,
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
⇒ cos2 120° + cos2 60° + cos2 γ = 1
⇒ ( \(\frac{1}{2}\) )2 + ( \(\frac{1}{2}\) )2 + cos2 γ = 1
⇒ \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + cos2 γ = 1
⇒ cos2 γ = 1 – \(\frac{1}{2}\) ⇒ cos2 γ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ cos γ = ± \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
⇒ γ = 45°, 135°
अत: अभीष्ट कोण 45° अथवा 1350 है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1) और (5, 8, 7) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना दिये गये बिन्दु A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1) तथा C (5, 8, 7) हैं।
AB के दिक् अनुपात हैं: x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1
अर्थात् -1 – 2, -2 – 3, 1 – 4
अर्थात् -3, -5, -3 = – (3, 5, 3)
BC के दिक् अनुपात हैं: x2 – x1, Y2 – y1, z2 – z1
अर्थात् 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1
अर्थात्
6, 10, 6 = 2 (3, 5, 3)
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं। अत: AB और BC समान्तर हैं। परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ है।
अत: A, B, C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 5.
यदि किसी सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ cos α, cos β, cos γ हों, तो सिद्ध कीजिए कि
cos 2α + cos 2β + cos 2γ = -1. (म.प्र. 2008)
हल:
cos 2α + cos 2β + cos 2γ
= 2 cos2 α – 1 + 2 cos2 β – 1 + 2 cos2 γ – 1
= 2(cos2 α + cos2 β + cos2γ) – 3
= 2 × 1 – 3, [∵ cos2 α + cos2 β + cos2γ = 1]
= – 1 = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के लम्बवत् है। (NCERT)
हल:
बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2
= 2, 5, -4 = a1, b1, C1, (माना)
बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2
= 3, 2, 4
= a2, b2, c2 (माना) यदि रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं तो
⇒ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
⇒ 2.3 + 5.2 – 4.4 = 0
⇒ 16 – 16 = 0
⇒ 0 = 0. यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं।

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प्रश्न 7.
दर्शाइए कि बिन्दुओं A (1, 2, 3) और B (2, 3, 5) से होकर जाने वाली रेखा, बिन्दुओं C (-1, 2, -3) और D (1, 4, 1) से होकर जाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात
= 2 – 1, 3 – 2, 5 – 3
= 1, 1, 2
= a1, b2, c1
रेखा CD के दिक् अनुपात
= 1 + 1, 4 – 2, 1 + 3
= 2, 2, 4
= a2, b2, c2
यहाँ
\(\frac { a_{ 1 } }{ a_{ 2 } } \) = \(\frac { b_{ 1 } }{ b_{ 2 } } \) = \(\frac { c_{ 1 } }{ c_{ 2 } } \)
= \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\) था \(\frac{1}{2}\)
अत: रेखा AB, CD के समान्तर है।

प्रश्न 8.
रेखाओं \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण है –
\(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\)
तथा
\(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\)
a1 = 2, b1 = 2, c1 = 1
a2 = 4, b2 = 1, c2 = 8
माना रेखाओं के बीच का कोण θ है।
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प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ \(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) परस्पर लंब हैं। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण हैं –
\(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) ……………….. (1)
तथा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) ……………………… (2)
यहाँ
a1 = 7, b1 = -5, c1 = 1
a2 = 1, b2 = 2, c2 = 3
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 7(1) + (-5)(2) + 1 × 3
= 10 – 10 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत होंगी। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 10.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4, -5) से जाती है और \(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{8}\) के समान्तर है। (NCERT)
हल:
रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{8}\) ………………………. (1)
रेखा (1) के दिक् अनुपात 3, 5, 8 हैं।
बिन्दु (-2, 4, -5) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x+2}{a}\) = \(\frac{y-4}{b}\) = \(\frac{z+5}{c}\)
रेखा (2) के दिक् अनुपात a, b, c
रेखा (1) और (2) समान्तर है,
∴ \(\frac{a}{3}\) = \(\frac{b}{5}\) = \(\frac{c}{8}\) = k
a = 3k, b = 5k, c = 8k
a, b, c के मान समी. (2) में रखने पर रेखा का अभीष्ट समीकरण होगा –
\(\frac{x+2}{3k}\) = \(\frac{y-4}{5k}\) = \(\frac{z+5}{8k}\)
\(\frac{x+2}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+5}{8}\)

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाती है तथा रेखा \(\frac{x-6}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z+7}{5}\) के समान्तर है।
हल:
बिन्दु (x1, y1, z1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
हल:
बिन्दु (x1, y1, z1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
\(\frac { x-x_{ 1 } }{ a } \) = \(\frac { y-y_{ 1 } }{ b } \) = \(\frac { z-z_{ 1 } }{ c } \)
बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण होगा –
\(\frac{x-1}{a}\) = \(\frac{y-2}{b}\) = \(\frac{z-3}{c}\)
दी गई रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x-6}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z+7}{5}\)
रेखा (2) के दिक् अनुपात हैं – 12, 4, 5
∵ रेखा (1) और (2) समान्तर हैं,
∴ \(\frac{a}{12}\) = \(\frac{b}{4}\) = \(\frac{c}{5}\) = k (माना)
⇒ a = 12k, b = 4k, c = 5k
a, b, c के मान समी. (1) में रखने पर,
\(\frac{x-1}{12k}\) = \(\frac{y-2}{4k}\) = \(\frac{z-3}{5k}\)
⇒ \(\frac{x-1}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z-3}{5}\)
यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

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प्रश्न 12.
रेखाओं \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{3}\) और \(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{z}{0}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाओं के समीकरण हैं:
\(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{3}\) ………………….. (1)
और \(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{z}{0}\) ………………………. (2)
यहाँ a1 = 1, b1 = 0, c1 = 3 तथा a2 = 4, b2 = 5, C2 = 0 ……………….. (2)
माना कि रेखाओं (1) तथा (2) के बीच का कोण है, तब
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अत: अभीष्ट कोण θ = cos-1 ( \(\frac { 4 }{ \sqrt { 410 } } \) )

प्रश्न 13.
प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि रेखाएँ x = ay + b, z = cy + d और x = a’y + b’,z = c’y + d’ परस्पर लम्ब हैं।
हल:
x = ay + b तथा z = cy + d
⇒ \(\frac{x-b}{a}\) = \(\frac{y}{1}\) तथा \(\frac{z-d}{c}\) = \(\frac{y}{1}\)
अतः उपर्युक्त रेखा का समीकरण है:
\(\frac{x-b}{a}\) = \(\frac{y}{1}\) = \(\frac{z-d}{c}\)
पुनः x = a’y + b’ तथा z = c’y + d’ से प्रदर्शित रेखा है:
\(\frac { x-b’ }{ a’ } \) = \(\frac{y}{1}\) = \(\frac { z-d’ }{ c’ } \)
यदि रेखाएँ (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगी, तब
a × a’ + 1 × 1 + c × c’ = 0
⇒ aa’ + cc’ + 1 = 0
यही अभीष्ट प्रतिबन्ध है।

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प्रश्न 14.
(A) सरल रेखाओं \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) + t( \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) + s(2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
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समी. (1) में, \(\overrightarrow{b_{1}}\) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \)
समी. (2) में, \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \)
यदि रेखाओं के बीच का कोण θ है,
तो
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(B) दो सरल रेखाओं \(\vec { r } \) = (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + t(-\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + s( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल करें।

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प्रश्न 15.
दो समतलों 2x – y + z = 6 और x + y + 2z = 7 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समतल के समीकरण हैं:
2x – y + z = 6 ……………………. (1)
और x + y + 2z = 7 ……………………. (2)
समतल (1) के दिक् – अनुपात = 2, – 1, 1 ⇒ A1, B1, C1
समतल (2) के दिक् – अनुपात = 1, 1, 2 ⇒ A2, B2, C2
माना समतलों के बीच का कोण θ है। अतः
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⇒ cos θ = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 16.
(A) यदि तल 3x – 6y – 22 = 7 तथा 2x + y – kz = 5 एक – दूसरे पर लम्ब हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गए समतलों के समीकरण हैं:
3x – 6y – 2z = 7 ……………………… (1)
तथा 2x + y – kz = 5 ………………………… (2)
यहाँ a1 = 3, b1 = -6, c1 = -2 और a2 = 2, b2 = 1, C2 = -k.
समतल (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगे यदि
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
⇒ (3)(2) + (-6)(1) + (-2)(-k) = 0
⇒ 6 – 6 + 2k = 0
⇒ 2k = 0
⇒ k = 0

(B) k के किस मान के लिए समतल 2x + ky + z + 9 = 0 और 5x + 3y – 4z – 6 = 0 पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 16 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: k = -2.

(C) सिद्ध कीजिए कि समतल x + 2y + 3z = 6 और 3x – 3y + x = 1 परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 2y + 3z = 36 ……………….. (1)
तथा 3x – 3y + z = 1 ……………………….. (2)
समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 1, 2, 3 हैं।
समतल (2) के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 3, -3, 1 हैं।
∴ a1a2 + b1b2 + c1c2 = (1)(3) + 2(-3) + (3)(1)
= 3 – 6 + 3 = 0
अतः दिये गये समतल (1) और (2) परस्पर लम्बवत् हैं। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 17.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (2,- 1, 3) है, तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c).
∵ OA = a, OB = b, OC = c
दिया है:
केन्द्रक (2, – 1, 3)
∴ \(\frac { a+0+0 }{ 3 } \) = 2 ⇒ a = 6
⇒ \(\frac { a+0+0 }{ 3 } \) = -1 ⇒ b = -3
तथा \(\frac { 0+0+0 }{ 3 } \) = 3 ⇒ c = 9
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∴ समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{6}\) + \(\frac{y}{-3}\) + \(\frac{z}{9}\) = 1
⇒ \(\frac{27x-54y+18z}{162}\) = 1 ⇒ 3x – 6y + 2z = 18.

प्रश्न 18.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (a, b, c) है। सिद्ध कीजिए कि समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 3 हैं।
हल:
चित्र से OA = α, OB = β, OC = γ
केन्द्रक \(\frac { \alpha +0+0 }{ 3 } \) = a, \(\frac { 0+\beta +0 }{ 3 } \) = b, \(\frac { 0+0+\gamma }{ 3 } \) = c
⇒ α = 3α, β = 3b, γ = 3c
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समतल का समीकरण \(\frac { x }{ \alpha } \) + \(\frac { y }{ \beta } \) + \(\frac { z }{ \gamma } \) = 1
⇒ \(\frac{x}{3a}\) + \(\frac{y}{3b}\) + \(\frac{z}{3c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 3. यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 19.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल 2x + 3y – z = 8 के समान्तर है एवं बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है।
हल:
समतल 2x +3y – z = 8 के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
2x + 3y – z + λ = 0 ………… (1)
चूँकि समतल (1) बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है। अत:
2(1) + 3(2) – 3 + λ = 0
⇒ 2 + 6 – 3 + λ = 0
⇒ λ = -5
अत: समीकरण (1) में λ का मान रखने पर अभीष्ट समीकरण है:
2x + 3y – z – 5 = 0.

प्रश्न 20.
समतल 2x + 4y + 4z – 9 = 0 के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल है:
2x + 4y + 4z – 9 = 0 ……………… (1)
इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात हैं: 2, 4, 4
अतः समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ होंगी:
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⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{3}\).

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प्रश्न 21.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 इकाई तथा इस पर अभिलम्ब की दिक् – कोज्याएँ
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), –\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) है।
हल:
अभिलम्ब रूप में समतल का समीकरण
Ix + my + nz = p ………… (1)
दिया है – l = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), m = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), n = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), p = 5
समी. (1) से,
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)x + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) y – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) z = 5
⇒ x + y – z = 5\(\sqrt{3}\)

प्रश्न 22.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 4तथा जिसकी दिक्-कोज्याएँ 2, -3, 6 के समानुपाती हैं।
हल:
माना समतल का समीकरण
lx + my + nz = p
दिया है – p = 4, a = 2, b = -3, c = 6
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समी. (1) से,
= \(\frac{2}{7}\)x –\(\frac{3}{7}\)y + \(\frac{6}{7}\)z = 4
⇒ 2x – 3y + 6z = 28.

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प्रश्न 23.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 तथा अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 2, 3, 6 हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 22 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 3y + 6z = 35.

प्रश्न 24.
बिन्दु (1,-2, 3) से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो उस सरल रेखा पर लम्ब है जिसके दिक् – अनुपात 2, 1, -1 हैं।
हल:
चूँकि प्रश्नानुसार समतल (1, -2, 3) से होकर जाता है जिसका समीकरण होगा:
a(x – 1) + b(y + 2) + c(2 – 3) = 0 …………. (1)
यह समतल रेखा पर लम्ब है, जिसके दिक्-अनुपात 2, 1, -1 हैं।
अत: समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात a = 2k, b = k, c = -k हैं।
समी. (1) से,
k[2(x – 1) + 1.(y + 2) – 1.(z – 3) ] = 0
∵ k #0
⇒ 2x + y – z – 2 + 2 + 3 = 0
⇒ 2x + y – z + 3 = 0
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प्रश्न 25.
(A) मूलबिन्दु से समतल 6x – 3y + 27 – 14 = 0 की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
6x – 3y + 27 – 14 = 0
मूलबिन्दु (0, 0, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लंबाई
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= |\(\frac{14}{7}\)| = 2 इकाई।

(B) बाह्य बिन्दु (1, 2, 0) से समतल 4x + 3y + 12z + 16 = 0 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
4x + 3y + 12z + 16 = 0 …………. (1)
बिन्दु (1, 2, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई
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= |\(\frac{26}{13}\)| = 2 इकाई।

(C) बिन्दु (7, 14, 5) से समतल 2x + 4y – z = 2 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्रमांक 25 (B) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 3\(\sqrt{21}\) इकाई।

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प्रश्न 26.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है और समतल 3x + 4y – 5z = 52 के समानान्तर है।
हल:
दिये गये समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 5z = 52 ………….. (1)
माना समतल (1) के समानान्तर समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 52 = λ …………. (2)
चूँकि समीकरण (2) बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है।
∴ 3(-1) + 4(2) – 5(3) = λ
⇒ -3 + 8 – 15 = λ
⇒ λ = – 10
समीकरण (2) में 2 का मान रखने पर,
3x + 4y – 5z = – 10
∴ 3x + 41 – 5z + 10 = 0.

प्रश्न 27.
(A) समतल 3x + 4y – 7z = 84 के निर्देशाक्षों पर अन्तःखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल 3x + 4y – 7z = 84
⇒ \(\frac{3x}{84}\) + \(\frac{4y}{84}\) – \(\frac{7z}{84}\) = 1
⇒ \(\frac { x }{ (\frac { 84 }{ 3 } ) } \) + \(\frac { y }{ (\frac { 84 }{ 4 } ) } \) + \(\frac { z }{ (\frac { -84 }{ 7 } ) } \) = 1
⇒ \(\frac{x}{28}\) + \(\frac{y}{21}\) + \(\frac{z}{(-12)}\) = 1
स्पष्ट है कि निर्देशाक्षों पर अन्त:खण्ड 28, 21 एवं -12 है।

(B) समतल 3x + 4y – 6z = 72 द्वारा निर्देशाक्षों से काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 27 (A) की भाँति हल कीजिए।
उत्तर: 24, 18, -12.

(C) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समान्तर है तथा Y एवं z अक्षों से 5 और 7 अन्तः खण्ड काटता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है –
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 ………… (1)
चूँकि समतल (1)X – अक्ष के समान्तर है अत:
a = ∞
परन्तु दिया है b = 5, c = 7
∴ \(\frac { x }{ \infty } \) + \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{7}\) = 1
⇒ \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{7}\) = 1 [ \(\frac { x }{ \infty } \) = 0]
⇒ 7y + 5z = 35.

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प्रश्न 28.
मूलबिन्दु से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न समतलों पर लम्ब हो –
x + 2y – 7 = 1; 3x – 4y + z = -5.
हल:
मूलबिन्दु 0(0, 0, 0) से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:
a(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0)
ax + by + cz = 0 ………….. (1)
समतल (1) दिये गये समतलों
x + 2y – 2 = 1 तथा 3x – 4y + 2 = -5 पर लम्ब है।
a + 2b – c = 0 ………… (2)
3a – 4b + c = 0
प्राप्त सम्बन्धों (2) और (3) को हल करने पर,
∴ \(\frac{a}{2-4}\) = \(\frac{-b}{1+3}\) = \(\frac{c}{-4-6}\)
⇒ \(\frac{a}{-2}\) = \(\frac{-b}{4}\) = \(\frac{c}{-10}\)
⇒ \(\frac{a}{1}\) = \(\frac{b}{2}\) = \(\frac{c}{5}\) = k
∴ a = k, b = 2k, c = 5k जहाँ k ≠ 0
∴ समी. (1) से,
k(x + 2y + 5z) = 0,
∴ x + 2y + 5z = 0 (∵ k ≠ 0).

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प्रश्न 29.
बिन्दुओं (2, 3, -4) एवं (1, -1, 3) से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समानान्तर है।
हल:
X – अक्ष के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
By + Cz + D = 0 ………… (1)
∵ समतल (1), बिन्दु (2, 3, -4) तथा (1, – 1, 3) से होकर जाता है।
∴ 3B – 4C + D = 0 …………. (2)
और -B + 3C + D = 0 ………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
\(\frac{B}{-4-3}\) = \(\frac{C}{-1-3}\) = \(\frac{D}{9-4}\)
⇒ \(\frac{B}{-7}\) = \(\frac{C}{-4}\) = \(\frac{D}{5}\) = k (माना)
⇒ ZB = -7k, C = -4k, D = 5k
अत: B, C व D के मान समी. (1) में रखने पर, समतल का अभीष्ट समीकरण है:
– 7ky – 4kz + 5k = 0
⇒ 7y + 4z – 5 = 0.

प्रश्न 30.
सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर समतलों 2x – 2y + z + 3 = 0 तथा 4x – 4y + 2z + 5 = 0 के बीच की दूरी \(\frac{1}{6}\) है।
हल:
दिये गये समतल 2x – 2y + z + 3 = 0 ……….. (1)
4x – 4y + 2z + 5 = 0 ………. (2)
d1 = (0,0,0) से समतल (1) पर डाले गये लंब की लम्बाई
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d2 से समतल (2) पर डाले गये लंब की लम्बाई
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 18
अभीष्ट दूरी = d1 – d2
= 1 – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\).

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प्रश्न 31.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + y + – 6 = 0 और 2x + 3y + 4x + 5 = 0 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाता है और बिन्दु (1, 1, 1) से होकर गुजरता है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + y + z – 6 = 0 ……….. (1)
और 2x + 3y + 4z + 5 = 0 ………… (2)
समतल (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + y + z – 6) + 2(2x + 3y + 4z + 5) = 0 ………. (3)
चूँकि समतल (3) बिन्दु (1, 1, 1) से होकर जाता है, तो
(1 + 1 + 1 – 6) + λ(2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ -3 + λ(14) = 0
⇒ λ = \(\frac{3}{14}\)
समी. (3) में λ का मान रखने पर,
(x + y + z – 6) + \(\frac{3}{14}\) (2x + 3y + 4z + 5) = 0
20x + 23y + 26z – 69 = 0.

प्रश्न 32.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + 2y + 3x – 5 और 2x – 4y + z = 3 की प्रतिच्छेदी रेखा से गुजरता है तथा बिन्दु (0, 1, 0) से होकर गुजरता है।
हल:
प्रश्न क्रमांक 31 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
3x – 2y + 4z + 2 = 0.

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प्रश्न 33.
(A) उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) से गुजरता है तथा सदिश 6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
( \(\vec { r } \) – \(\vec { a } \) ).\(\vec { n } \) = 0 ………. (1)
यहाँ,
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \)
\(\vec { n } \) = 6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \)
समतल (1) से, ( \(\vec { r } \) – 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) = 0
⇒ \(\vec { r } \).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) – 12 + 2 + 3 = 0
⇒ \(\vec { r } \).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) = 7.

(B) उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिन्दु से 7 इकाई की दूरी पर है तथा सदिश 4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
\(\vec { r } \).\(\hat { n } \) = P ……….. (1)
दिया है:
p = 7, \(\vec { n } \) = 4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
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समतल (1) से,
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⇒ \(\vec { r } \).(4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) = 7\(\sqrt{29}\)

(C) बिन्दु (2, -1, 3) की समतल \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 6\(\hat { k } \) ) + 15 = 0 से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल \(\vec { r } \).\(\vec { n } \) = q से करने पर,
\(\vec { n } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 6\(\hat { k } \) तथा
q = -15
माना बिन्दु \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
हम जानते हैं, बिन्दु \(\vec { a } \) से समतल \(\vec { r } \).\(\vec { n } \) = q की दूरी
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= \(\frac{6-2-18+15}{7}\) = \(\frac{1}{7}\) इकाई।

(D) बिन्दु (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) से \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 12\(\hat { k } \) ) = 19 की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 12\(\hat { k } \) ) = 19
बिन्दु (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) से दूरी = image 21
= \(\frac{-57}{13}\) = \(\frac{57}{13}\) (संख्यात्मक मान)।

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प्रश्न 34.
समतलों \(\vec { r } \). (2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) = 1 तथा \(\vec { r } \).(-\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) = 4 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतलों \(\vec { r } \). (2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) = 1 …………. (1)
\(\vec { r } \).(-\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) = 4 ………….. (2)
यहाँ
\(\vec { n_{ 1 } } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
\(\vec { n_{ 2 } } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \)
माना समतलों (1) व (2) के बीच का कोण θ है, तब
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∴ θ = cos-1 ( \(\frac { -5 }{ \sqrt { 58 } } \) ).

त्रि-विमीय ज्यामिति दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
बिन्दु (1, 6, 3) से रेखा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y-1}{2}\) = \(\frac{z-2}{3}\) की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:
\(\frac{x-0}{1}\) = \(\frac{y-1}{2}\) = \(\frac{z-2}{3}\)
रेखा पर स्थित एक बिन्दु A के निर्देशांक A(0,1, 2) है।
रेखा (1) के दिक् – अनुपात 1, 2, 3
अतः दिक्-कोज्याएँ हैं
\(\frac { 1,2,3 }{ \sqrt { 1+4+9 } } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)
बिन्दु P(1, 6, 3) दी गई है।
∴ AM = AP का रेखा (1) पर डाला गया प्रक्षेप
= (x2 – x1)l + (y2 – y1)m + (z2 – z1)n
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समकोण ∆PAM में,
PM2 = AP2 – AM2
= 27 – 14 = 13
∴ PM = \(\sqrt{13}\) इकाई।

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प्रश्न 2.
समान्तर रेखाओं \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{4}\) = \(\frac{y-3}{6}\) = \(\frac{z-4}{8}\) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:
\(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) ………… (1)
तथा \(\frac{x-2}{4}\) = \(\frac{y-3}{6}\) = \(\frac{z-4}{8}\) ……… (2)
रेखा (1) पर कोई बिन्दु P(1, 2, 3) है। अब हम बिन्दु P(1, 2, 3) से रेखा (2) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई PM ज्ञात करेंगे।
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रेखा (2) बिन्दु A(2, 3, 4) से होकर जाता है।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 26
रेखा PA का रेखा (2) पर प्रक्षेप = AM
∴ AM = (x2 – x1)l + (y2 – y1)m + (z2 – z1)n जहाँ l, m, n रेखा (2) की दिक् – कोज्यायें हैं।
⇒ AM = (2 – 1)l + (3 – 2)m + (4 – 3)n
⇒ AM = l + m + n
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चूँकि रेखा (2) का दिक्-अनुपात 4, 6, 8 है।
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अब ∆APM में,
PM2 = Ap2 – AM2
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 29
⇒ PM2 = \(\frac{87-81}{29}\) = \(\frac{6}{29}\)
∴ PM = \(\sqrt { \frac { 6 }{ 29 } } \)

प्रश्न 3.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{3}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
A(x – α) + B(y – β) + C(2 – γ) = 0
यह रेखा \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{3}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) से जाता है।
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 …………. (1)
समतल बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है:
∴A(-6 – 3) + B(3 + 2) + C(2 – 4) = 0
⇒ -9A + 5B – 2C = 0
⇒ 9A – 5B + 2C = 0 ………… (2)
रेखा के दिक् अनुपात 2, 3, -1 हैं।
समतल पर अभिलम्ब के दिक् अनुपात A, B, C हैं:
∴ 2A + 3B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
9A – 5B + 2C = 0
2A + 3B – C = 0
\(\frac{A}{5-6}\) = \(\frac{B}{4+9}\) = \(\frac{C}{27+10}\)
⇒ \(\frac{A}{-1}\) = \(\frac{B}{13}\) = \(\frac{C}{37}\)
समी. (1) में मान रखने पर,
-1.(x – 3) + 13(y + 2) + 37(z – 4) = 0
⇒ -x + 3 + 13y + 26 + 37z – 148 = 0
⇒ -x + 13y + 37z – 119 = 0
⇒ x – 13y – 37z + 119 = 0.

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प्रश्न 4.
सरल रेखाओं \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।(कार्तीय विधि से)
हल:
दी गयी रेखायें \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) के बीच कि न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) है।
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दिया है,
x1 = 3, y1 = 8, z1 = 3, x2 = -3, y2 = -7, z2 = 6
a1 = 3, b1 = -1, c1 = 1, a2 = -3, b2 = 2, c2 = 4
प्रशानुसार: दी गयी रेखाओं के बीच की नुनथम दूरी
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प्रश्न 5.
रेखाओं \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{5}\) के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) = r
∴ x = 2r + 1, y = 3r + 2, z = 4r + 3
माना यह प्रतिछेद बिंदु है तो यह रेखा \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{5}\) को सन्तुष्ट करेगा।
∴ \(\frac{2r+1-2}{3}\) = \(\frac{3r+2-3}{4}\) = \(\frac{4r+3-4}{5}\)
⇒ \(\frac{2r-1}{3}\) = \(\frac{3r-1}{4}\) = \(\frac{4r-1}{5}\) था \(\frac{2r-1}{3}\) = \(\frac{3r-1}{4}\)
⇒ 8r – 4 = 9r – 3 ⇒ -4 + 3 = 9r – 8r
⇒ r = -1
∴ x = -2 + 1, y = -3 + 2, z = -4 + 3
⇒ x = -1, y = -1, z = -1
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु (-1, -1, -1).

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प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि रेखायें x – 3 = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) और x – 4 = \(\frac{y-5}{3}\) = \(\frac{z+6}{-4}\) एक –
दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) ………… (1)
\(\frac{x-4}{1}\) = \(\frac{y-5}{3}\) = \(\frac{z+6}{-4}\) ……….. (2)
x1 = 3, y1 = -4, z1 = 5, l1 = 1, m1 = -3, n1 = 3
x2 = 4, y2 = -6, l2 = 1, m2 = 3, n2 = -4
रेखायें प्रतिच्छेद करेंगे यदि image 31
⇒ 1(12 – 9) -1 (-36 + 33) + 1(27 – 33) = 0
⇒ 3 + 3 -6 = 0
⇒ 0 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें प्रतिच्छेद करती है।
पुनः समी. (1) से,
\(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) = r
रेखा पर स्थित कोई बिन्दु (r + 3,- 3r – 4, 3r + 5)
समी. (2) में मान रखने पर,
\(\frac{r-1}{1}\) = \(\frac{-3r-9}{3}\) = \(\frac{3r+11}{-4}\)
हल करने पर, r = -1
∴ प्रतिच्छेद बिन्दु = (-1 + 3, 3 – 4, -3 + 5) = (2, -1, 2).

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प्रश्न 7.
रेखाओं \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + s(3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखायें \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
और \(\vec { r } \) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + s(3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
यहाँ \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + \(\overrightarrow{b_{1}}\) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \), \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = (2\(\hat { i } \) – \(\hat { i } \) ) + (4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { j } \) ) + (5\(\hat { k } \) – 3\(\hat { k } \) )
⇒ \(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 32
= \(\hat { i } \)(15 – 16) – \(\hat { j } \)(10 – 12) + \(\hat { k } \)(8 – 9)
∴ \(\overrightarrow{b_{1}}\) × \(\overrightarrow{b_{2}}\) = –\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
अत: अभीष्ट न्यूनतम दूरी (S. D.)
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प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) + λ(3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) ) तथा \(\vec { r } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) + µ(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \) ) प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु को ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाएँ हैं:
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) – λ(3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) ) ……… (1)
तथा \(\vec { r } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) + µ(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \) ) ……….. (2)
यहाँ, \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \); \(\overrightarrow{b_{1}}\) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \)
तथा \(\overrightarrow{a_{2}}\) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) ); \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \)
∴\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = (4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) ) – ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \)
∴ अतः दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
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⇒ 3(-3) + 9 = 0
⇒ 0 = 0
अतः दोनों रेखाएँ करती हैं।
चूँकि प्रतिच्छेदी बिन्दु पर समी. (1) व (2) से प्राप्त \(\vec { r } \) के मान समान होंगे, अतः
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 35
अतः \(\hat { i } \), \(\hat { j } \) व \(\hat { k } \) के गुणांकों की तुलना करने पर,
1 + 3λ = 4 + 2µ ……… (3)
1 – λ = 0 ……… (4)
तथा -1 = 3µ – 1
समी. (4) से 1 – λ = 0 ⇒ λ = 1 ……… (5)
समी. (5) से µ = 0
स्पष्टतः λ और µ के मान समी. (3) को सन्तुष्ट करते हैं। अतः समी. (1) में λ का (अथवा समी. (2) में µ का) मान रखने पर प्रतिच्छेद बिन्दु का स्थिति सदिश 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) या 4\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदी बिन्दु के निर्देशांक (4, 0, – 1) होंगे।

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प्रश्न 9.
(A) दो रेखाएँ जिनके सदिश समीकरण –
\(\vec { r } \) = (3 – t)\(\hat { i } \) + (4 + 2t)\(\hat { j } \) + (t – 2)\(\hat { k } \)
तथा \(\vec { r } \) = (1 + s)\(\hat { i } \) + (3s – 7)\(\hat { j } \) + (2s – 2)\(\hat { k } \) हैं।
उनके बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\vec { r } \) = (3 – t)\(\hat { i } \) + (4 + 2t)\(\hat { j } \) + (t – 2)\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { r } \) = (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + t(-\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) ………… (1)
⇒ \(\vec { r } \) = (1 + s)\(\hat { i } \) + (3s – 7)\(\hat { j } \) + (2s – 2)\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + s( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) ……….. (2)
यहाँ \(\overrightarrow{a_{1}}\) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\overrightarrow{b_{1}}\) = –\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ), \(\overrightarrow{b_{2}}\) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) – (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) = -2\(\hat { i } \) – 11\(\hat { j } \) + 0\(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 36
= \(\hat { i } \) (4 – 3) – \(\hat { j } \) (-2 – 1) + \(\hat { k } \) (-3 – 2) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 5\(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 37

(B) निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए –
\(\vec { r } \) = (λ – 1)\(\hat { i } \) + (λ + 1)\(\hat { j } \) – (1 + λ)\(\hat { k } \)
तथा \(\vec { r } \) = (1 – µ)\(\hat { i } \) + (2µ – 1)\(\hat { j } \) + (µ + 2)\(\hat { k } \)
हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

(C) उन दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये जिनके सदिश समीकरण निम्न हैं –
तथा \(\vec { r } \) = (1 + 2λ)\(\hat { i } \) + (2 + 3λ)\(\hat { j } \) + (3 + 4λ)\(\hat { k } \)
\(\vec { r } \) = (2 + 3µ)\(\hat { i } \) + (3 + 4µ)\(\hat { k } \) + (4 + 5µ)\(\hat { k } \)
हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

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प्रश्न 10.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x + 3y + 4 – 5 = 0 और 3x – 4y + 9x – 10 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाता है तथा समतल x + 2y = 0 पर लम्ब है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 3y + 4z – 5 = 0 …………. (1)
और 3x – 4y + 9z – 10 = 0 ……………. (2)
समतल (1) तथा (2) की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + 3) + 4z – 5) + λ(3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ (1 + 3λ).1 + (3 – 4λ).2 + (4 + 9λ).0 = 0
⇒ 1 + 3λ + 6 – 8λ = 0
⇒ λ = \(\frac{7}{5}\)
समी. (3) में 2 का मान रखने पर,
(x + 3y + 4z – 5) + \(\frac{7}{5}\) (3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ 26x – 13y + 83z = 95.

प्रश्न 11.
उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल x – 2y + 2x = 3 के समान्तर हैं तथा उनकी बिन्दु (1, 2, 3) से लाम्बिक दूरी 1 है।
हल:
समतल x – 2y + 2z = 3 के समान्तर किसी समतल का समीकरण है:
x – 2y + 2z + λ = 0 ………. (1)
उपर्युक्त समतल पर बिन्दु (1, 2, 3) से डाले गये लम्ब की लम्बाई
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 38
प्रश्नानुसार, \(\frac { 3+\lambda }{ 3 } \) = ±1
⇒ λ + 3 = ±3
⇒ λ = 0, -6
अतः λ के मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समतलों के समीकरण हैं:
x – 2y + 2z = 0, x – 2y + 2z = 6.

प्रश्न 12.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2, 4) और (3, -4, 5) से गुजरता है तथा समतल x + y – 27 = 6 के लम्बवत् है।
हल:
बिन्दु (1, -2, 4) से जाने वाले समतल का समीकरण होगा:
A(x – 1) + B(y + 2) + C(z – 4) = 0 ………… (1)
समतल (1), बिन्दु (3, -4, 5) से होकर जाता है, अतः
A(3 – 1) + B(-4 + 2) + C(5 – 4) = 0
⇒ 2A – 2B + C = 0 …………. (2)
दिये गये समतल का समीकरण है:
x + y – 2z = 6 …………… (3)
समतल (1) और (3) लम्बवत् है, इसलिए इनके अभिलम्ब भी लम्बवत् होंगे।
A + B – 2C = 0 ………. (4)
समी. (2) और (4) से,
2A – 2B + C = 0
A + B – 2C = 0
⇒ \(\frac{A}{4-1}\) = \(\frac{B}{1+4}\) = \(\frac{C}{2+2}\) = k,
⇒ \(\frac{A}{3}\) = \(\frac{B}{5}\) = \(\frac{C}{4}\) (माना)
⇒ A = 3k, B = 5k, C = 4k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा:
3k(x – 1) + 5k(y + 2) + 4k(z – 4) = 0
⇒ 3x – 3 + 5y + 10 + 4z – 16 = 0
⇒ 3x + 5y + 42 – 9 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो कि (-1,1,1) तथा (1,-1,1) से जाता है तथा x + 2y + 2x = 9 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 12 (A) की भाँति स्वयं हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 2y – 3z + 3 = 0.

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प्रश्न 13.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 1, -1) से गुजरता है तथा समतलों x + 2y + 3z = 7 तथा 2x – 3y + 4 = 0 पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण
A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0
⇒ A(x – 1) + B(y – 1) + C(z + 1) = 0 ………… (1)
दिये गये समतल
x + 2y + 3z = 7 ……….. (2)
2x-3y + 4z = 0 ………. (3)
समतल (1) समतलों (2) तथा (3) पर लम्ब है
∴ 1.A + 2.B + 3.C = 0
2.A – 3.B + 4.C = 0
\(\frac{A}{8+9}\) = \(\frac{B}{6-4}\) = \(\frac{C}{-3-4}\) = k
⇒ A = 17k, B = 2k, C = -7k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा –
17(x – 1) + 2(y – 1) – 7(z + 1) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – (17 + 2 + 7) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – 26 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 1, 4) से जाता है तथा समतलों 9x – 7y + 6z + 48 = 0 तथा x + y – z = 0 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 13 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: x + 15y + 16z = 81.

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प्रश्न 14.
बिन्दुओं (2, 2, -1), (3, 4, 2) और (7, 0, 6) से जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु (2, 2, -1) से होकर जाने वाले किसी समतल का समीकरण होगा –
A(x – 2) + B(y – 2) + C(z + 1) = 0 ………. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (3, 4, 2) व (7, 0, 6) से होकर जाता है अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(3 – 2) + B(4 – 2) + C(2 + 1) = 0
⇒ A + 2B + 3C = 0 ……….. (2)
तथा A(7 – 2) + B(0 – 2) + C(6 + 1) = 0
⇒ 5A – 2B + 7C = 0 …………. (3)
समी. (2) व (3) को हल करने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 39
⇒ A = 5k, B = 2k, C = -3k
A, B, C के इन मानों को समी. (1) में रखने पर,
5k(x – 2) + 2k(y – 2) + (- 3k)(z + 1) = 0
⇒ 5x + 2y – 3z – 17 = 0.

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिये कि बिन्दु (0, -1, -1), (4, 5, 1), (3, 9, 4) तथा (-4, 4, 4) समतलीय हैं।
हल:
बिन्दु (0, -1, -1) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण होगा –
A(x – 0) + B(y + 1) + C(z + 1) = 0 ………….. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (4, 5, 1) व (3, 9, 4) से होकर जाता है। अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(4 – 0) + B(5 + 1) + C(1 + 1) = 0
⇒ 4A + 6B + 2C = 0
⇒ 2A + 3B + C = 0 ………….. (2)
तथा A(3 – 0) + B(9 + 1) + C(4 + 1) = 0
⇒ 3A + 10B + 5C = 0 …………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 40
⇒ A = -5k, B = -7k, C = 11k
A, B, C के मानों को समी. (1) में रखने पर,
5x – 7(y + 1) + 11(z + 1) = 0
⇒ 5x – 7y + 11z + 4 = 0 ………. (4)
यदि यह समतल (-4, 4, 4) से जाता है तो समी. (4) को सन्तुष्ट करेगा
L.H.S. = 5(-4) – 7(4) + 11(4) + 4
= -20 – 28 + 44 + 4
= 0 = R.H.S.
अतः दिये गये बिन्दु समतलीय हैं। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 16.
एक चर समतल \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 मूलबिन्दु से इकाई दूरी पर है। यह निर्देशांक अक्षों को A, B, C पर काटता है। केन्द्रक (x, y, z) समीकरण \(\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ y^{ 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ z^{ 2 } } \) = k को सन्तुष्ट करता है, तो k का xy मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया समतल
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 ……… (1)
OA = a, OB = b, OC = c
बिन्दुओं A, B, C के निर्देशांक क्रमशः (a, 0, 0), (0, b, 0) तथा (0, 0, c) हैं।
मूलबिन्दु से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई 1 है।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 41
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 41a
दिया है –
x = \(\frac{a}{3}\), y = \(\frac{b}{3}\), z = \(\frac{c}{3}\)
⇒ a = 3x, b = 3y, c = 3z
a, b, c का मान समी. (2) में रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 42
स्पष्ट है कि k = 9.

प्रश्न 17.
समतलों x + 2y + 3x = 4 तथा 2x + y – x + 5 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो समतल 5x + 3y + 62 + 8 = 0 पर लम्ब हो।
हल:
दिया गये समतल
x + 2y + 3z = 4 ……….. (1)
2x + y – z + 5 = 0 ………… (2)
समतलों (1) और (2) के प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
x + 2y + 3z – 4 + λ(2x + y – z + 5) = 0
⇒ (1 + 2λ)x + (2 + λ)y + (3 – λ)z – 4 + 5λ = 0
यह समतल 5x + 3y + 6z + 8 = 0 पर लम्ब है
∴ 5(1 + 2λ) + 3(2 + λ) + 6(3 – λ) = 0
⇒ 10λ + 3λ – 6λ + 5 + 6 + 18 = 0
⇒ 7λ + 29 = 0
⇒ λ = \(\frac{-29}{7}\)
समी. (3) में मान रखने पर,
x + 2y + 3z – 4 – \(\frac{29}{7}\) (2x + y – z + 5) = 0
⇒ 7x + 14y + 21z – 28 – 58x – 29y + 29z – 145 = 0
⇒ -51x – 15y + 50z – 173 = 0
⇒ 51x + 15y – 50z + 173= 0.

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प्रश्न 18.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा, \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{9}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
रेखा बिन्दु (3, -2, 4) से जाती है।
∴ बिन्दु (3, -2, 4) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 ………. (1)
समतल (1) बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है,
-9A + 5B – 2C = 0 …………. (2)
रेखा के दिक्-अनुपात 2, 9, -1 हैं,
2A + 9B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
-9A + 5B – 2C = 10
2A + 9B – C = 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 43
A = k, B = -k, C = -7k
समी. (1) में मान रखने पर,अभीष्ट समतल का समीकरण,
k(x – 3) – k(y + 2) – 7k(z – 4) = 0
⇒ x – y – 7z – 3 – 2 + 28 = 0
⇒ x – y – 7z + 23 = 0.

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प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec { r } \).( \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) = 5 और \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना रेखा का समीकरण है –
\(\vec { r } \) = \(\vec { a } \) + t\(\vec { b } \)
यहाँ \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
माना \(\vec { b } \) = b1\(\hat { i } \) + b2\(\hat { j } \) + b3\(\hat { k } \)
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(b1\(\hat { i } \) + b2\(\hat { j } \) + b3\(\hat { k } \) ………. (1)
समतलों के समीकरण हैं –
\(\vec { r } \).( \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) = 5 ………………. (2)
तथा \(\vec { r } \) (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 6 …………. (3)
रेखा (1) और समतल (2) समान्तर हैं
∴ (b1\(\hat { i } \) + b2\(\hat { j } \) + b3\(\hat { k } \) ). (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 0
b1 – b2 + 2b3 = 0 ………… (4)
रेखा (1) और समतल (3) समान्तर हैं
∴ (b1\(\hat { i } \) + b2\(\hat { j } \) + b3\(\hat { k } \) ). (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 0
3b1 + b2 + b3 = 0 …………. (5)
समी. (4) और समी. (5) से,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 44
\(\vec { b } \) के दिक् अनुपात –3, 5, 4 है।
अतः रेखा का समीकरण होगा –
\(\vec { r } \) = (\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) + t(-3\(\hat { i } \) + 5\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ).

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प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली रेखाओं \(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x-1}{a}\) = \(\frac{y-2}{b}\) = \(\frac{z+4}{c}\) ………. (1)
रेखाओं के समीकरण है:
\(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) ……….. (2)
\(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) ……… (3)
रेखा (1) और (2) लम्बवत् हैं
3a – 16b + 7c = 0 ……… (4)
रेखा (1) और (3) लम्बवत् हैं
3a + 8b – 5c = 0 …….. (5)
समी. (4) और (5) से,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 45
\(\frac{a}{24}\) = \(\frac{b}{36}\) = \(\frac{c}{72}\)
\(\frac{a}{2}\) = \(\frac{b}{3}\) = \(\frac{c}{6}\) = k
a = 2k, b = 3k, c = -6k
बिन्दु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली तथा सदिश 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 6\(\hat { k } \) के समान्तर रेखा का समीकरण होगा –
\(\vec { r } \) = (\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 6\(\hat { k } \) ).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

प्रश्न 21.
एक सरल रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ क्रमश: कोण α, β, γ तथा δ बनाती है। सिद्ध कीजिए कि –
cos2α + cos2β + cos2γ + cos2δ = \(\frac{4}{3}\). (NCERT; म. प्र. 2005, 06)
हल:
a भुजा के घन की तीन संलग्न कोरों OA, OB और OC को निर्देशाक्ष लेने पर घन के शीर्षों के निर्देशांक निम्न प्रकार हैं:
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), R(0, 0, a)
D(a, a, 0), K(a, 0, a), L(0, a, a), P(a, a, a)
विकर्ण OP के दिक् अनुपात a – 0, a – 0, a – 0 अर्थात् a, a, a हैं।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 46
OP की दिक् कोज्याएँ हैं:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 47
अर्थात् \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
इसी प्रकार विक AL, BK तथा RD की दिक् कोज्याएँ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 48
माना OP, BL, AK, CD के साथ क्रमशः α, β, γ, कोण बनने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ l, m, n हैं।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 49
अतः cos2 α + cos2β + cos2δ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति img 50
यही सिद्ध करना था।

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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित Important Questions

सदिश बीजगणित वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
सदिशों 2\(\bar { i } \) + 4\(\bar { j } \) – 5\(\bar { k } \) तथा \(\bar { i } \) + 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) के परिणामी सदिश के समान्तर एकांक सदिश है –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 1
उत्तर:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 2

प्रश्न 2.
यदि \(\bar { OA } \) = a, \(\bar { OB } \) = -b तथा C, AB पर एक ऐसा बिन्दु है कि \(\bar { AC } \) = 3AB, तो सदिश \(\bar { OC } \) बराबर है –
(a) 3\(\bar { a } \) – 2\(\bar { b } \)
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)
(c) 3\(\bar { a } \) – \(\bar { b } \)
(d) 3\(\bar { b } \) – \(\bar { a } \).
उत्तर:
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)

प्रश्न 3.
दो सदिश \(\bar { a } \) और \(\bar { b } \) इस प्रकार है कि |\(\bar { a } \)| = 2, |b| = 1 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = \(\sqrt{3}\) हो तो उनके बीच का कोण होगा –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 7 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

प्रश्न 4.
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संलग्न भुजाएँ \(\bar { i } \) – 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) तथा 2\(\bar { i } \) + \(\bar { j } \) – 4\(\bar { k } \) है, हैं –
(a) 3\(\sqrt{6}\)
(b) 4\(\sqrt{6}\)
(c) 5\(\sqrt{6}\)
(d) 6\(\sqrt{6}\)
उत्तर:
(c) 5\(\sqrt{6}\)

प्रश्न 5.
यदि \(\bar { a } \) = \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) तो \(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) × \(\bar { c } \) ) बराबर है –
(a) 2\(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) )
(b) 0
(c) \(\bar { b } \).( \(\bar { a } \) + \(\bar { c } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

  1. दो सदिशों का योग या अन्तर सदैव एक ……………………… होता है।
  2. सदिशों का योग ……………………….. का पालन करता है।
  3. ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) + \(\vec { c } \) = \(\vec { a } \) + …………………………..
  4. दो सदिशों का योग ………………………. से प्राप्त किया जा सकता है।
  5. बिन्दु (1, 2, 3) का मूलबिन्दु के सापेक्ष स्थिति सदिश ……………………………. होगा।
  6. यदि \(\vec { A } \)C = 3 \(\vec { A } \)B हो, तो बिन्दु A, B, C …………….. होंगे।
  7. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \)समान्तर हों, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) = ……………………. होगा।
  8. सदिश \(\vec { a } \) की दिशा में एकांक सदिश ……………………………. होगा।
  9. सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में प्रक्षेप …………………………. होगा।
  10. यदि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + p\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हों, तो p का मान …………………………….. होगा।
  11. एक बल 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), एक बिन्दु A जिसका स्थिति सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) है, पर कार्य करता है। बल का मूलबिन्दु के सापेक्ष आघूर्ण ……………………………… होगा।
  12. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल …………………. होगा, जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) तथा \(\hat { i } \)
    – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।

उत्तर:

  1. नया सदिश
  2. क्रम विनिमेय नियम और साहचर्य नियम
  3. ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) )
  4. सदिश योग के त्रिभुज – नियम
  5. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
  6. समरेख
  7. \(\vec { O } \)
  8. \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
  9. MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित
  10. -4
  11. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
  12. 5\(\sqrt{3}\) वर्ग इकाई।

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प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. एक त्रिभुज की भुजाओं द्वारा क्रमानुसार निरूपित सदिशों का योग शून्य होता है।
  2. यदि \(\vec { a } \) व \(\vec { b } \) दो असंरेख सदिश हैं तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| ≥ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)
  3. एक सदिश जिसके आदि और अंतिम बिंदु संपातो होते हैं एकांक सदिश कहलाता है।
  4. यदि बिन्दुओं P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) और 5\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हों, तो |\(\vec { P } \)Q| का मान 9\(\sqrt{2}\) होगा!
  5. यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|, तो \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = 0
  6. \(\vec { a } \). ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) का मान शून्य होता है।
  7. सदिश \(\hat { i } \) – λ\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्ब हों तो λ का मान 6 होगा।

उत्तर:

  1. सत्य
  2. असत्य
  3. असत्य
  4. सत्य
  5. असत्य
  6. सत्य
  7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 4
उत्तर:
(a) (iv)
(b) (v)
(c) (i)
(d) (ii)
(e) (iii)
(f) (vii)
(g) (vi).

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प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) किसी ∆ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश हों, तो ∆ABC के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
  2. यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा [ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] का मान ज्ञात कीजिए।
  3. दो सदिशों 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
  4. \(\hat { i } \) × ( \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) × ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) का मान ज्ञात कीजिए।
  5. \(\vec { a } \) का \(\vec { b } \) की दिशा में प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
  6. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्ब सदिश हों तो ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) )2 का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

  1. \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) + \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) + \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \)|
  2. 12
  3. cos-1 \(\frac { 25 }{ \sqrt { 783 } } \)
  4. 0
  5. MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित
  6. |\(\vec { a } \)|2 + |\(\vec { b } \)|2

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सदिश बीजगणित अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT, CBSE 2012)
हल:
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) – 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = -4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| = \(\sqrt { 0+16+1 } \)
= \(\sqrt{17}\)

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प्रश्न 2.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = – \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) के योगफल के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = (2 – 1)\(\hat { i } \) + (-1 + 1)\(\hat { j } \) + (2 + 3)\(\hat { k } \)
= \(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
माना \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = \(\vec { r } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 6

प्रश्न 3.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाण 7 इकाई है। (NCERT)
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)
\(\vec { a } \) के अनुदिश मात्रक सदिश
\(\hat { a } \) = \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
|\(\hat { a } \)| = |\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)|
⇒ |\(\hat { a } \)| = \(\sqrt { (1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 } } \) = \(\sqrt{5}\)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 7
\(\hat { a } \) के अनुदिश 7 परिमाण वाला सदिश
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 8

प्रश्न 4.
दर्शाइये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \) संरेख हैं।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), \(\hat { b } \) = -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \)
अब \(\vec { b } \) = -2(2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
⇒ \(\vec { b } \) = -2\(\vec { a } \)
∵ \(\vec { b } \) = λ\(\vec { a } \) (λ = स्थिरांक)
सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) संरेख हैं।

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प्रश्न 5.
सदिश \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
|\(\vec { r } \)| = \(\sqrt { 1+4+9 } \) = \(\sqrt { 14 } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 9
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { i } \) + \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { j } \) + \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { k } \)
दिक् कोज्यायें = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)

प्रश्न 6.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) है, तो \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 10

प्रश्न 7.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 11

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प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \) हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये गये सदिश परस्पर लम्ब होंगे यदि उनका अदिश गुणन शून्य है।
अर्थात् \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 12

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
माना
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) = 0
L.H.S = – 2 – 3 + 5
= 0 = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
(A) सिद्ध कीजिये कि सदिश 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 9 की भाँति हल करें।

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(B)
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हों, तो p का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
\(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे, यदि \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
4p – 2 + 3 = 0
⇒ 4p = -1
⇒ p = – \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 11.
(A) सदिशों (2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) और (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 13
∴ θ = 90°.

(B) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 6\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C) \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) का अदिश गुणनफल तथा उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 14
यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 15
∴ θ = cos-1 \(\sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \)

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प्रश्न 12.
यदि |\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12 हो, तो |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
|\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12
हम जानते हैं कि |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)|2 = |a|2 |b|2 – ( \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) )2
= 100 × 4 – 144 = 400 – 144 = 256
∴ |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)| = \(\sqrt{256}\) = 16

प्रश्न 13.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 16

प्रश्न 14.
विस्थापन \(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
∴ बल द्वारा किया गया करध
W = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ).(-\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
= -4 + 9 + 10 = 15 इकाई।

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प्रश्न 15.
यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|
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इस प्रकार, अदिश गुणनफल शून्य है। अतः सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 3 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 3, सदिशों \(\vec { a } \) के और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्र. 17 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 17.
यदि |\(\vec { a } \)| = 4, |\(\vec { b } \)| = 4 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 6 हो, तो \(\vec { a } \) सदिशों है और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = |\(\vec { a } \)| |\(\vec { b } \)|
⇒ 6 = 4.4 cos θ
⇒ 6 = 16 cos θ
⇒ cos θ = \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)
∴ θ = cos-1 \(\frac{3}{8}\)

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प्रश्न 18.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 7 तथा \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।।
हल:
माना \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ है।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 17

प्रश्न 19.
सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 18

प्रश्न 20.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी कोरेंनिम्न सदिशों से निरूपित हैं –
2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)?
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समान्तर षट्फलक का आयतन = [a b c]
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 19
= 2(1 – 2) + 3(-1 -4) + 1(1 + 2)
= – 2 – 15 + 3
= -14 घन इकाई।

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प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिये –
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ) + ( \(\hat { i } \) × \(\hat { k } \) ).\(\hat { j } \) = 0।
हल:
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ). \(\hat { j } \) = \(\hat { i } \).\(\hat { i } \) + (-\(\hat { j } \) ).\(\hat { j } \)
= 1 – 1
= 0. यही सिद्ध करना था।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 20

प्रश्न 22.
यदि सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|2 = |\(\vec { a } \)|2 + |\(\vec { b } \)|2
हल:
हम जानते हैं कि
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|2 = |\(\vec { a } \)|2 + |\(\vec { b } \)|2 + 2|\(\vec { a } \) |.|\(\vec { b } \)|
सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं, तब
\(\vec { a } \) .\(\vec { b } \) = 0
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|2 = |\(\vec { a } \)|2 + |\(\vec { b } \)|2 यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 23. सिद्ध कीजिए कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) + \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) = 0
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 21

प्रश्न 24.
विस्थापन \(\vec { d } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
कार्य = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) )
= 6 – 2 + 3 = 7 इकाई।

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प्रश्न 25.
दो सदिशों \(\vec { d } \) तथा \(\vec { b } \) जिनके परिमाण समान हैं में से प्रत्येक का परिणाम ज्ञात कीजिये जबकि उनके बीच का कोण 60° है तथा उनका अदिश गुणनफल \(\frac{9}{2}\) हैं।
हल:
अदिश गुणन की परिभाषा से,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 22

प्रश्न 26.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी दो आसन्न भुजायें सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और
\(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)|
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 23
अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{155}\).

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प्रश्न 27.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { b } \) × \(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 24
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 24a

प्रश्न 28.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { b } \) × 2\(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 25

प्रश्न 29.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 5\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तो \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) पर अदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में अदिश प्रक्षेप
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 26
= \(\frac{10-3+2}{3}\)
= \(\frac{9}{3}\) = 3.

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प्रश्न 30.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 27

सदिश बीजगणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइये कि बिन्दु A(-2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ), B( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) और C(7\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश हैं –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 28
अतः सदिश \(\overrightarrow{A B}\) और \(\overrightarrow{B C}\) समांतर हैं परन्तु B, \(\overrightarrow{A B}\), और \(\overrightarrow{B C}\) का उभयनिष्ठ बिन्दु हैं। अतएव दिए हुए बिन्दु A, B और C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 2.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के स्थिति सदिश क्रमश: 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { k } \), 5\(\hat { i } \) + 3\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), -2\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) हैं, तो सिद्ध कीजिए –
CD||AB और CD = \(\frac{2}{3}\) \(\vec { A } \)B
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 29
⇒ \(\overrightarrow{C D}\), \(\overrightarrow{A B}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{C D}\) = \(\frac{2}{3}\) × \(\overrightarrow{A B}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक G हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
\(\overrightarrow{G A}\) + \(\overrightarrow{G B}\) + \(\overrightarrow{G C}\) = \(\vec { 0 } \).
हल:
माना त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।
∴ केन्द्रक G का स्थिति सदिश
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 30
अब \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = (A का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (B का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (C का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 31
अतः \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = \(\vec { 0 } \). यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 4.
सदिशों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं।
हल:
ABC त्रिभुज की माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF हैं।
माना बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 32
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 32a
अब माध्यिका AD को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने (6) वाले बिन्दु का स्थिति सदिश
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 33
माध्यिका BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 34
माध्यिका CF को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 35
अतः त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिन्दु G पर मिलती है अर्थात् संगामी हैं जिसका स्थिति सदिश \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) है। बिन्दु G को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 5.
एक सदिश \(\overrightarrow{O P}\), OX के साथ 45° और OY के साथ 60° कोण बनाती हैं। \(\overrightarrow{O P}\) के द्वारा OZ के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश \(\overrightarrow{O P}\), अक्षों OX, OY और OZ के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती हैं, तब
α = 45°, β = 60°
∴ l = cos α = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
और n = cos γ
हम जानते हैं कि
l2 + m2 + n2 = 1
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 36
cos γ = \(\frac{1}{2}\) था cos γ = – \(\frac{1}{2}\)
γ = 60° था 120°

प्रश्न 6.
परिमाण 5\(\sqrt{2}\), की एक सदिश \(\vec { a } \) ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 4 } \), Y – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 2 } \) और Z – अक्ष के साथ न्यूनकोण θ बनाती है।
हल:
दिया गया है –
α = \(\frac { \pi }{ 4 } \), β = \(\frac { \pi }{ 2 } \), γ = θ
I = cos \(\frac { \pi }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), m = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) = 0, n = cos θ
हम जानते हैं कि
l2 + m2 + n2 = 1
⇒ ( \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) )2 + 0 + n2 = 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) + n2 = 1
∴ n2 = \(\frac{1}{2}\)
cos2 θ = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
सदिश की दिक् कोज्यायें \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), 0, \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 37

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )2 = a2b2 – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )2
हल:
L.H.S. = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )2 = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
= (absin θ\(\hat { n } \) ).(ab sinθ \(\hat { n } \) ) = a2b2 sin2 θ \(\hat { n } \).\(\hat { n } \)
= a2b2 sin2 θ
= a2b2 – a2b2 cos 2 θ
= a2b2 – (ab cos θ)2
= a2b2 – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )2 = R.H.S यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो तो \(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 38

प्रश्न 9.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी तीन कोरें निम्न सदिशों से निरूपित हैं –
\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
हल:
माना
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 39
= 1(1 – 2) – 1(-1 -2) + 1(1 + 1)
= -1 + 3 + 2
= 4 इकाई।

प्रश्न 10.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो [\(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \)] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 40
= 2(1 – 2) – 1(3 – 1) + 2(- 6 + 1)
= – 2 – 2 – 10 = – 14.

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प्रश्न 11.
यदि \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 8 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 12.
यदि a = \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं।
हल:
यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं, तो उनके अदिश त्रिक गुणन शून्य होना चाहिए अर्थात्
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 41
= 1(15 – 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 – 3)
= 1(3) + 2(-6) + 3(3) = 12 – 12 = 0

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिये 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय हैं तब [ \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) ] = 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 42
L.H.S = 2(10 – 12) -1(-5 + 4) + 3(3 – 2)
= -4 + 1 + 3
= 0 यही सिद्ध करना था।
अतः \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) समतलीय हैं।

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प्रश्न 14.
(A) λ का मान ज्ञात कीजिये यदि सदिश λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
माना \(\vec { a } \) = λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय होंगे यदि
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 43
⇒ λ(8 – 9) – 2 (12 – 6) + 2(9 – 4) = 0
⇒ -λ – 12 + 10 = 0
⇒ λ = -2

(B)
λ का मान ज्ञात कीजिये यदि निम्न सदिश समतलीय हैं –
\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \), λ\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \)।
हल:
प्रश्न क्र. 13 की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

(C)
λ का मान ज्ञात कीजिये जबकि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + λ\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

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प्रश्न 15.
यदि दो इकाई सदिशों \(\bar { a } \) तथा \(\bar { b } \) के बीच का कोण हो, तो सिद्ध कीजिए कि
cos \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\bar { a } \) + \(\bar { b } \)|.
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 44

प्रश्न 16.
दो इकाई सदिश \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ हो, तो सिद्ध कीजिए कि
sin \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|.
हल:
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प्रश्न 17.
किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि
(A) ac cos B – bc cos A = a2 – b2
(B) 2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a2 + b2 + c2.
हल:
माना की \(\overrightarrow{B C}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{C A}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{A B}\) = \(\vec{c}\) तथा \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) के मापांक क्रमश: a, b, c हैं।
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(A) ac cos B – bc cos A = -ac cos (π – B) + bc cos (π – A)

यही सिद्ध करना था।

(B) 2 (bc cos A + ca cos B + ab cos C)

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 18.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि c = a cos B + bcos A.
हल:
∆ ABC में त्रिभुज के योग नियम से,
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\vec { 0 } \)
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⇒ c2 = ac cos B + bc cos A
⇒ c2 = c(a cos B + b cos A)
⇒ c = a cos B + b cos A

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प्रश्न 19.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B.
हल:
हम जानते हैं कि ∆ABC में,
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⇒ b2 = a2 + c2 + 2ac cos (π – B)
∴ b2 = a2 + c2 – 2ac cos B. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 20.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए –
(A) a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
(B) c2 = a2 + b2 – 2ab cos C.
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति स्वयं हल कीजिये।

प्रश्न 21.
(A) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)
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(B)
सदिशों \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C)
सदिशों \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{5 \sqrt{3}}\) ( 5\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 22.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) )

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प्रश्न 23.
उस समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।
हल:
ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण \(\overline{A C}=\bar{d}_{1}\) तथा \(\overline{B D}=\bar{d}_{2}\) हैं।
दिया है:
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 52b
∴ समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
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प्रश्न 24.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
माना OAB एक समकोण त्रिभुज है जिसमें सिद्ध करना है कि AB2 – OA2 + OB2
माना कि मूलबिन्दु O के सापेक्ष A और B के स्थिति सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) हैं।
∵ OA और OB परस्पर लम्बवत् हैं,
∴ \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
अब \(\vec { AB } \) = B का स्थिति सदिश – A का स्थिति सदिश
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प्रश्न 25.
5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) से निरूपित बल बिन्दु 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) पर लगा हुआ है, बिन्दु 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के परितः सदिश आघूर्ण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { F } \) = 5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) = 5\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 1\(\hat { k } \)
O का स्थिति सदिश = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + k
P का स्थिति सदिश = 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\vec { O } \)P = P का स्थिति सदिश – O का स्थिति सदिश
= 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) – (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) )
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बल \(\vec { F } \) का बिंदु P के परितः आधूर्ण = \(\vec { r } \) × \(\vec { F } \)
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प्रश्न 26.
(A) सिद्ध कीजिये कि
\(\hat { i } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { i } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { j } \) ) + \(\hat { k } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { k } \) ) = 2\(\vec { a } \).
हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित img 58

(B) सिद्ध कीजिये कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) = \(\vec { 0 } \).
हल:
चूँकि
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प्रत्येक को जोड़ने पर,
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प्रश्न 27.
सिद्ध कीजिये कि [ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
हल:
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प्रश्न 28.
दो बल \(\vec { P } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) और \(\vec { Q } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) एक कण पर क्रिया करते हैं, जिससे कण बिन्दु A (1, 2, 3) से बिन्दु B (5, 4, 1) तक विस्थापित होता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
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प्रश्न 29.
एक कण पर दो स्थिर बल 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \)) व 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) कार्य करते हैं। वह कण बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) से बिन्दु 5\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) तक विस्थापित हो जाता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बल
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प्रश्न 30.
6 इकाई का बल जो सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के समान्तर कार्य करता है एवं एक कण को बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) से 5\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) तक विस्थापित कर देता है। बल के द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) समान्तर इकाई सदिश
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

प्रश्न 31.
सिद्ध कीजिए कि [ \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) – \(\vec { c } \) \(\vec { c } \) – \(\vec { a } \) ] = 0।
हल:
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा से,
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

अवकल समीकरण Important Questions

अवकल समीकरण वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) + x2 \(\frac{dy}{dx}\) = ex की घात है –
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) अस्तित्व नहीं है।
उत्तर:
(c) 3

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण (1 + x) y dx + (1 – y) x dy = 0 का हल होगा –
(a) log xy + x + y = c
(b) log y + x – y = c
(c) log xy – x – y = c
(d) log xy – x + y = c.
उत्तर:
(b) log y + x – y = c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 3.
उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण जो मूलबिन्दू से गुजरते हैं तथा जिनके केन्द्र X – अक्ष पर स्थित है –
(a) x2 = y2 + xy \(\frac{dy}{dx}\)
(b) x2 = y2 + 3xy \(\frac{dy}{dx}\)
(c) y2 = x2 + 2xy \(\frac{dy}{dx}\)
(d) y2 = x2 – 2xy \(\frac{dy}{dx}\)
उत्तर:
(c) y2 = x2 + 2xy \(\frac{dy}{dx}\)

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y = e-x, y(0) = 0 का हल होगा –
(a) y = e-x (x -1)
(b) y = xex
(c) y = xe-x + 1
(d) y = xe-x
उत्तर:
(d) y = xe-x

प्रश्न 5.
सरल रेखा जो अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = m को संतुष्ट करती हो तथा Y – अक्ष पर धनात्मक दिशा में 3 अन्तःखण्ड काटती हो, है –
(a) y = mx + c
(b) = mx + 3
(c) y = mx – 3
(d) y = – mx + 3
उत्तर:
(b) = mx + 3

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

  1. समीकरण x2 + y2 = a2 के संगत अवकल समीकरण ……………………….. है।
  2. वक्र y = ecx से संबंधित अवकल समीकरण …………………………….. है, जहाँ c स्वेच्छ अचर है।
  3. रेखीय अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q में समाकलन गुणांक …………………………. है।
  4. रेखीय अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q में P और …………………………… हैं।
  5. अवकल समीकरण (x + y + 1) dy = dx ………………………… रूप का है।
  6. अवकल समीकरण e-x+y \(\frac{dy}{dx}\) = 1 का हल हो ……………………… है।

उत्तर:

  1. y \(\frac{dy}{dx}\) + x = 0
  2. x\(\frac{dy}{dx}\) = y log y
  3. epdx
  4. अचर
  5. रेखीय अवकल समीकरण

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प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. अवकल समीकरण y = x ( \(\frac{dy}{dx}\) )2 + \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) की कोटि 2 है।
  2. अवकल समीकरण ( \(\frac { d^{ 3 }y }{ dx^{ 3 } } \) )4/5 – 2 ( \(\frac{dy}{dx}\) ) ( \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) )2 = 0 की घात 5 है।
  3. अवकल समीकरण x \(\frac{dy}{dx}\) – y = 2x2 का समाकलन गुणांक e-x है।
  4. अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल y + cos x – c = 0 है।
  5. अवकल समीकरण ydx + (x – y3) dy = 0 का हल xy = \(\frac { y^{ 4 } }{ 4 } \) + c है।

उत्तर:

  1. सत्य
  2. असत्य
  3. असत्य
  4. सत्य
  5. सत्य।

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प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. अवकल समीकरण (1 + y2) + (2xy – cot y) \(\frac{dy}{dx}\) = 0 का समाकल गुणांक लिखिए।
  2. अवकल समीकरण (1 + x2)dy = (1 + y2) dx का हल ज्ञात कीजिए।
  3. अवकल समीकरण y = x( \(\frac{dy}{dx}\) )2 + \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) की कोटि व घात का योग लिखिए।
  4. अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल y + cos x – c = 0 है।
  5. अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac { e^{ y } }{ x^{ 2 } } \) का हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

  1. 1 + y2
  2. x – y = c (1 + xy)
  3. 3
  4. log x
  5. 2xe-y = cx2 + 1.

अवकल समीकरण अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y = e-x की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
1, 1

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण ( \(\frac{dy}{dx}\) )3 = \(\sqrt { 1+(\frac { dy }{ dx } )^{ 2 } } \) की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
1, 6

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) + \(\sqrt { 1+(\frac { dy }{ dx } )^{ 3 } } \) = 0 की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
2, 2

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प्रश्न 4.
वृत्त के समीकरण x2 + y2 = a2 के संगत अवकल समीकरण क्या होगा?
उत्तर:
y \(\frac{dy}{dx}\) + x = 0

प्रश्न 5.
सरल रेखा y = mx + c के लिये अवकल समीकरण बनाइये।
उत्तर:
\(\frac{dy}{dx}\) = m

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = 4y को हल कीजिये।
उत्तर:
y = c.e4x

प्रश्न 7.
x2 \(\frac{dy}{dx}\) = 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
y = c – \(\frac{2}{x}\)

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प्रश्न 8.
अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
y + cos x = c

प्रश्न 9.
\(\frac{dy}{dx}\) + Px = Q रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
xepdy = ∫Q.epdy.dy + c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण (1 – y2) \(\frac{dy}{dx}\) + yx = ay का समाकल गुणांक ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-y^{ 2 } } } \)

अवकल समीकरण लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण x log x dy – y dx = 0?
हल:
दिया है:
⇒ xlog x dy = y dx
⇒ \(\frac{1}{y}\) \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{xlogx}\) dx
⇒ ∫\(\frac{1}{y}\) \( dy = ∫[latex]\frac{1}{xlogx}\) dx
⇒ log y = ∫\(\frac{1}{t}\) dt (माना log x = t, \(\frac{1}{x}\) \( dx = dt)
⇒ log y = log t + log c
⇒ log y = log log x + log c

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण dy/dx = ex-y + x.e-y को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
[latex]\frac{dy}{dx}\) = ex-y + x.e-y
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = e-y(ex + x)
⇒ ey dy = (ex + x) dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫ey dy = ∫(ex + x) dx
ey = ex + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

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प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि y = 4 sin 3x अवकल समीकरण \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) + 9y = 0 का एक हल है।
हल:
दिया है:
y = 4 sin 3x ……………… (1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = 12 cos 3x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) = -36 sin 3x = -9 × 4 sin 3x
⇒ \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) = -9y, [समी. (1) से]
⇒ \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)+ 9y = 0 यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sec x (sec x + tan x) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\(\frac{dy}{dx}\) = sec x (sec x + tan x)
⇒ dy = (sec2x + sec x tan x) dx
⇒ ∫dy = ∫sec2x dx + ∫sec x tan x dx
∴ y = tan x + sec x + c

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प्रश्न 5.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sec2 x + 3x2 को हल कीजिए।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = sec2 x + 3x2
⇒ dy = (sec2 x + 3x2) dx
⇒ ∫dy = ∫sec2 x dx + 3∫x2 dx
⇒ y = tan x + \(\frac { 3x^{ 3 } }{ 3 } \) + c
⇒ y = tan x + x3 + c

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sec2 x + 2x का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 5 की भाँति हल करें।

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = (3x2 + 2) को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) = (3x2 + 2)
⇒ dy = (3x2 + 2) dx
⇒ ∫dy = ∫(3x2 + 2) dx
⇒ y = 3 × \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \) + 2x + c = x3 + 2x + c

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प्रश्न 8.
अवकल समीकरण x2 \(\frac{dy}{dx}\) = 2 को हल कीजिए।
उत्तर:
x2 \(\frac{dy}{dx}\) = 2
⇒ dy = 2.x-2 dx
⇒ ∫dy = 2∫x-2 dx
⇒ y = 2( \(\frac{-1}{x}\) ) + c

प्रश्न 9.
अवकल समीकर \(\frac{dy}{dx}\) = x3 + sin 4x का हल ज्ञात कीजिये।
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) = x3 + sin 4x
⇒ dy = (x3 + sin 4x) dx
⇒ ∫dy = ∫x3 dx + ∫sin 4x dx
⇒ y = \(\frac { x^{ 4 } }{ 4 } \) + ( \(\frac { -cos4x }{ 4 } \) ) + c
⇒ y = \(\frac { x^{ 4 } }{ 4 } \) – \(\frac{cos4x}{4}\) + c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + 2x = e3x का हल ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) + 2x = e3x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = e3x – 2x
⇒ dy = (e3x – 2x) dx
⇒ ∫dy = ∫e3x dx – 2∫x dx
⇒ y = e3x. \(\frac{1}{3}\) – \(\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } \) + c = \(\frac{1}{3}\) e3x – x2 + c

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { cos^{ 2 }y }{ sin^{ 2 }x } \) का हल ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { cos^{ 2 }y }{ sin^{ 2 }x } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ cos^{ 2 }y } \) dy = \(\frac { 1 }{ sin^{ 2 }x } \) dx
⇒ sec2 ydy = cosec2 xdx
⇒ ∫sec2 ydy = ∫cosec2 xdx
⇒ tan y = – cot x + c

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण (x2 + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1 को हल कीजिये।
हल:
दिया है:
(x2 + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { 1 }{ (1+x^{ 2 }) } \)
⇒ dy = \(\frac { 1 }{ (1+x^{ 2 }) } \) dx
⇒ ∫dy = ∫\(\frac { 1 }{ (1+x^{ 2 }) } \) dx
⇒ y = tan-1 x + c

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प्रश्न 13.
समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sin x sin y को हल कीजिये।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = sin x sin y
⇒ cosec y dy = sin x dx
समाकलन करने पर,
-loge(cosec y + cot y) = – cos x + c
⇒ cos x – loge(cosec y + cot y) = c

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = y sin x को हल कीजिये।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = y sin x
⇒ \(\frac{1}{y}\) \(\frac{dy}{dx}\) = sin x
⇒ ∫\(\frac{1}{y}\) dy = ∫sin x dx
⇒ log y = – cos x + c

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = x cos x को हल कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) = x cos x
⇒ dy = x cos x dx
⇒ ∫dy = ∫x cos x dx
⇒ y = x sin x – ∫1. sin x dx + c
⇒ y = x sin x + cos x + c

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = 1 – x + y – xy को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
\(\frac{dy}{dx}\) = 1 – x + y – xy
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = (1 – x) + y(1 – x)
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = (1 – x) (1 + y)
⇒ \(\frac{dy}{1+y}\) = (1 – x)dx
⇒ ∫\(\frac{dy}{1+y}\) = ∫(1 – x)dx
⇒ loge(1 + y) = x – \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 17.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = (1 + x)(1 + y2) को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\(\frac{dy}{dx}\) = (1 + x)(1 + y2)
⇒ \(\frac { 1 }{ 1+y^{ 2 } } \) dy = (1 + x) dx
समाकलन करने पर,
⇒ tan-1 y = x + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
\(\frac{dy}{dx}\) = cot2x
⇒ dy = cot2 x dx
⇒ ∫dy = ∫cot2 x dx
⇒ y = ∫(cosec2 x – 1) dx
⇒ y = – cot x – x + c

अवकल समीकरण दीर्घ उत्तरीय प्रश्न-I

प्रश्न 1.
(A) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y tan x = sec x को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) + y tan x = sec x ………… (1)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = tan x, Q = sec x
∴ I.F. = ep dx = etan x dx = elog secx
⇒ I.F. = sec x
अतः अवकल समी. (1) का अभीष्ट हल है:
y × (I.F.) = ∫Q × (I.F). dx + c
⇒ y × (sec x) = ∫sec x × (sec x) dx + c
= ∫sec2 xdx + c
⇒ y sec x = tan x + c

(B) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y tan x = sin x को हल कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 1 (A) की भाँति हल करें।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण \(\frac { dy }{ dx } \) = \(\frac { \sqrt { 1-y^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) को हल कीजिए।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { \sqrt { 1-y^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण 3x2dy = (3xy + y2)dx को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
3x2 dy = (3xy + y2) dx
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { 3xy+y^{ 2 } }{ 3x^{ 2 } } \) ……….. (1)
माना y = vx
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = v + x \(\frac{dv}{dx}\)
समी. (1) में मान रखने पर,

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
(1 + x)2 \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = 4x2
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
(1 + x2) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = 4x2
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac { 2xy }{ 1+x^{ 2 } } \) = \(\frac { 4x^{ 2 } }{ 1+x^{ 2 } } \)
इसकी तुलना रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,

अतः अभीष्ट हल होगा:

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (1 + x2) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = cos x को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
(1 + x2) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = cos x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac { 2x }{ (1+x^{ 2 }) } \). y = \(\frac { cosx }{ 1+x^{ 2 } } \) …………. (1)
P = \(\frac { 2x }{ (1+x^{ 2 }) } \), Q = \(\frac { cosx }{ 1+x^{ 2 } } \)

अतः अवकल समी. (1) का अभीष्ट हल है
y.(I.F.) = ∫Q.(I.F.) dx + c
⇒ y(1 + x2) = ∫\(\frac { cosx }{ 1+x^{ 2 } } \) dx + c
⇒ y(1 + x2) = ∫cos x dx + c
⇒ y(1 + x2) = sin x + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 6.
किसी वस्तु के बनाने का सीमांत लागत मूल्य c'(x) = \(\frac{dc}{dx}\) = 2 + 0.15 x समीकरण से दिया जाता है। इस वस्तु के बनाने पर कुल लागत मूल्य c(x) ज्ञात कीजिए। (दिया है: c(0) = 100)
हल:
दिया है:
समीकरण c'(x) = \(\frac{dc}{dx}\) = 2 + 0.15 x
समाकलन करने पर,
∫c'(x) dx = ∫(2 + 0.15 x) dx
c(x) = 2x + 0.15 \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + A ………. (1)
अब यदि x = 0 तो
c(0) = 2 × 0 + \(\frac{0.15}{2}\) × o2 + A
⇒ c(0) = A [∵c(0) = 100]
∴ A = 100,
समी. (1) में मान रखने पर,
c(x) = 2x + 0.075 x2 + 100

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण x\(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) dx + y \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) dy = 0 को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
x\(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) dx + y \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) dy = 0
⇒ \(\frac { y }{ \sqrt { 1+y^{ 2 } } } \) dy = – \(\frac { x }{ \sqrt { 1+x^{ 2 } } } \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac { y }{ \sqrt { 1+y^{ 2 } } } \) dy = -∫\(\frac { x }{ \sqrt { 1+x^{ 2 } } } \) dx + c
⇒ \(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) = – \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) + c
⇒ \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) + \(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) = c

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
(x + y + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1?
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
(x + y + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1
⇒ \(\frac{dx}{dy}\) = x + y + 1
⇒ \(\frac{dx}{dy}\) – x = y + 1
यह y के सापेक्ष x का अवकल समीकरण है।
इसकी तुलना रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{dx}{dy}\) + Px = Q से करने पर,
P = – 1 तथा Q = y + 1

अत: अभीष्ट हल होगा:

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण sec2 x tan y dx + sec2 y tan xdy = 0 को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
sec2 xtan ydx + sec2 ytan xdy = 0
⇒ sec2 tan x dy = -sec2 tan ydx
⇒ \(\frac { sec^{ 2 }y }{ tany } \) dy = \(\frac { sec^{ 2 }x }{ tanx } \) dx
⇒ ∫\(\frac { sec^{ 2 }y }{ tany } \) dy = -∫\(\frac { sec^{ 2 }x }{ tanx } \) dx + c
⇒ log y = – log x + log c
⇒ log x + log y = log c
⇒ log xy = log c
⇒ xy = c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण हल कीजिए।
\(\frac{dy}{dx}\) = y tan x – 2 sin x?
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{dy}{dx}\) – y tan x = -2 sin x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = – tan x, Q = – 2 sin x
अभीष्ट हल y.(I.F.) = ∫Q.I.F.dx + c
⇒ y cos x = -2∫sin x cos x dx + c
⇒ y cos x= -∫sin 2x dx + c
⇒ y cos x = \(\frac{cos 2x}{2}\) + c

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + 2y = 4x को हल कीजिए।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) + 2y = 4x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = 2,Q = 4x

⇒ y = 2x – 1 + c.e-2x

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण cos2x \(\frac{dy}{dx}\) + y = 2 को हल कीजिए।
हल:
cos2 x \(\frac{dy}{dx}\) + y = 2
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + sec2 x.y = 2 sec2 x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = sec2 x, Q = 2 sec2 x

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण cos x \(\frac { dy }{ dx } \) + y = sin x को हल कीजिये।
हल:
cos x \(\frac{dy}{dx}\) + y = sin x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + secx. y = tan x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = sec x, Q = tan x

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (1 + y2) dx = (tan-1 y – x) dy को हल कीजिए। (CBSE 2015)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + y2) dx = (tan-1y – x) dy
\(\frac{dx}{dy}\) + \(\frac { x }{ 1+y^{ 2 } } \) = \(\frac { tan^{ -1 }y }{ 1+y^{ 2 } } \)

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण (1 + y2) + (x – etan-1 y) \(\frac{dy}{dx}\) = 0 को हल कीजिए। (CBSE 2016)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + y2) + (x – etan-1 y) \(\frac{dy}{dx}\) = 0

समी (1) की तुलना \(\frac{dx}{dy}\) + Px = Q से करने पर,

अतः समीकरण का हल होगा –
x.I.F = ∫I.F. × Qdy

tan-1y = t रखने पर,
\(\frac{d}{dy}\) tan-1 y = \(\frac{dt}{dy}\)
⇒ \(\frac { 1 }{ 1+y^{ 2 } } \) dy = dt
∴ x.etan-1 y = ∫et.et dt = ∫e2t dt
⇒ x.etan-1 y = \(\frac{1}{2}\) e2t + c
⇒ x.etan-1 y = \(\frac{1}{2}\) e2 tan-1 y + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण (1 + x2) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) को हल कीजिए, जहाँ y = 0 तथा x = 1(NCERT)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + x2) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \)
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac { 2xy }{ 1+x^{ 2 } } \) = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) )2
समी. (1) की तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
यहाँ P = \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \), Q = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) )2

अतः समीकरण का हल होगा –
y.I.F. = ∫I.F. × Qdx

y = 0 तथा x = 1 रखने पर,
0(1+1)2 = tan-1 + c
⇒ 0 = \(\frac { \pi }{ 4 } \) + c
⇒ c = – \(\frac { \pi }{ 4 } \)
c का मान समी. (2) में रखने पर, अवकल समीकरण का हल होगा
y.(1 + x2) = tan-1 x – \(\frac { \pi }{ 4 } \)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

प्रश्न 17.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + cot x = 4x cosec x का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया गया है कि – y = 0 तथा x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) (NCERT; CBSE 2012)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
\(\frac{dy}{dx}\) + y cot x = 4x cosec x
समी. (1) की तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = cot x, Q = 4x cosecx

अतः समीकरण का हल होगा –
y.I.F. = ∫1.F. × Qdx
⇒ y.sin x = ∫sin x × 4x cosec x dx
⇒ y sin x = 4∫\(\frac { xsinx }{ sinx } \) dx
⇒ y sin x = 4∫xdx
⇒ y sin x = \(\frac { 4x^{ 2 } }{ 2 } \) + c
⇒ y sin x = 2x2 + c
x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) तथा y = 0 रखने पर,
0(sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) ) = 2( \(\frac { \pi }{ 2 } \) )2 + c
⇒ 0 = \(\frac { 2\pi ^{ 2 } }{ 4 } \) + c
∴ c = \(\frac { -\pi ^{ 2 } }{ 2 } \)
c का मान समी. (2) में रखने पर, अवकल समीकरण का अभीष्ट हल होगा –
y.sinx = 2x2 – \(\frac { \pi ^{ 2 } }{ 2 } \)

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

समाकलनों के अनुप्रयोग Important Questions

समाकलनों के अनुप्रयोग वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 2
(a) π
(b) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(d) \(\frac { -\pi }{ 4 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { \pi }{ 4 } \)

प्रश्न 2.
दीर्घवृत्त \(\frac { x^{ 2 } }{ y^{ 2 } } \) + \(\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \) = 1 के प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल होगा –
(a) πab
(b) \(\frac{1}{2}\) πab
(c) \(\frac{1}{4}\) πab
(d) \(\frac{1}{8}\) πab
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{4}\) πab

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 3.
\(\int_{2}^{4} x^{3} d x\) का मान है –
(a) 60
(b) 50
(c) 70
(d) 256.
उत्तर:
(a) 60

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{2 a} f(x) d x=0\) होगा यदि –
(a) f (2a – x) = f (x)
(b) f (2a – x) = – f (x)
(c) f (x) सम फलन हो
(d) f (x) विषम फलन हो
उत्तर:
(b) f (2a – x) = – f (x)

प्रश्न 5.
\(\int_{0}^{2 \pi}|\sin x| d x\) बराबर है –
(a) 2
(b) \(\sqrt{3}\)
(c) 4
(d) 0.
उत्तर:
(c) 4

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 1
उत्तर:

  1. 0
  2. 0
  3. 17
  4. 0
  5. \(\frac { \pi }{ 4 } \)
  6. πa2

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 3
उत्तर:

  1. सत्य
  2. सत्य
  3. असत्य
  4. असत्य
  5. सत्य
  6. सत्य

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 4
उत्तर:

  1. (b)
  2. (a)
  3. (d)
  4. (c)
  5. (f)
  6. (e)

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 5
उत्तर:

  1. 1
  2. \(\frac { -\pi }{ 2 } \) log 2
  3. 2
  4. \(\frac { \pi }{ 2 } \)
  5. -4
  6. \(\frac { \pi }{ 12 } \)

समाकलनों के अनुप्रयोग दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
दो वक्रों x2 = 8y तथा y2 = 8x के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकल विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये हुए परवलयों के समीकरण हैं:
x2 = 8y ………… (1)
तथा y2 = 8x ……………….. (2)
समी. (1) और (2) को हल करने पर,
( \(\frac { x^{ 2 } }{ 8 } \) )2 = 8x
⇒ \(\frac { x^{ 4 } }{ 64 } \) = 8x
⇒ x4 = 64 × 8x = 8 × 8 × 8 × x
⇒ x3 = (8)3 या x = 8
समी. (1) से,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 6
(8)2 = 8y ⇒ y = 8
A के निर्देशांक (8, 8) हैं।
परवलय बिन्दु तथा A पर मिलते हैं।
∴ उभयनिष्ठ क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OBALO – क्षेत्रफल OCALO
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 7

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 2.
चक्र y = cosx, X – अक्ष और x = 0 तथा x = 2π से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
y = f (x) = cos x
जब x ∈ [0, \(\frac { \pi }{ 2 } \) ], cos x ≥ 0;
जब x ∈ [ \(\frac { \pi }{ 2 } \), \(\frac { 3\pi }{ 2 } \) ], cos x ≤ 0
जब x ∈ [ \(\frac { 3\pi }{ 2 } \), 2π], cos x ≥ 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 8
अभीष्ट क्षेत्रफल = OAB का क्षेत्रफल + BCD का क्षेत्रफल + DEF का क्षेत्रफल
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 9

प्रश्न 3.
वक्र y2 = 4x तथा रेखा y = 2x के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (समाकलन विधि से)
हल:
दिया गया वक्र और रेखा है –
y2 = 4x और y = 2x
y2 = 4x में y = 2x रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 10
(2x)2 = 4x
⇒ 4x2 = 4x
⇒ x2 – x = 0
⇒ x(x – 1) = 0
∴ x = 0 या x = 1
तब y = 2x = 0 या y = 2x = 2 × 1 = 2
अत: वक्र y2 = 4x तथा रेखा y = 2x के प्रतिच्छेद बिन्दु O(0, 0) एवं (1, 2) होंगे।
अत: अभीष्ट छायांकित क्षेत्र
= क्षेत्र (OPAMO) – क्षेत्र (OQAMO)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 10a
जहाँ yc = वक्र y2 = 4x तथा ys = रेखा y = 2x के लिए,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 11
= \(\frac{4}{3}\) [1 – 0] – \(\frac{2}{2}\) [1 – 0]
= \(\frac{4}{3}\) – 1 = \(\frac{1}{3}\) वर्ग इकाई।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 4.
समाकलन विधि द्वारा वक्रों x2 = 4y तथा x = 4y – 2 के अंतर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 3 की भाँति हल करें।

प्रश्न 5.
समाकलन विधि से रेखाओं |x| + |y| = a से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं |x| + |y| = a द्वारा निरूपित रेखायें निम्न होंगी –
x + y = a ……………… (1)
– x – y = a ………………. (2)
x – y = a …………….. (3)
– x + y = a …………….. (4)
⇒ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{a}\) = 1, \(\frac{x}{-a}\) + \(\frac{y}{-a}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{-a}\) = 1, \(\frac{x}{-a}\) + \(\frac{y}{a}\) = 1
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 12
उक्त रेखाओं के ग्राफ से स्पष्ट है, कि उक्त रेखाएँ क्रमशः PQ, RS, PS और QR रेखाओं द्वारा निरूपित हैं।
अतः उक्त रेखाओं द्वारा घिरा क्षेत्रफल
= 4 × ∆OPQ का क्षेत्रफल
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 13
= 4 × \(\frac { a^{ 2 } }{ 2 } \) = 2a2 वर्ग इकाई।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 6.
वृत्त x2 + y2 का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
वृत्त x2 + y2 = a2
⇒ y2 = a2 – x2
⇒ y = \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \)
वृत्त X – अक्ष तथा Y – अक्ष के सापेक्ष सममित आकृति है अतः
वृत्त का क्षेत्रफल = 4 × ∆ABC का क्षेत्रफल
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 14

प्रश्न 7.
वृत्त x2 + y2 = 25 का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 6 की भाँति हल करें। [संकेत – a = 5 रखें।]

प्रश्न 8.
वक्रों y2 = 4ax तथा x2 = 4ay, a > 0 के अन्तर्गत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (समाकलन विधि द्वारा)
हल:
दिये हुए परवलयों के समीकरण हैं:
y2 = 4ax ………….. (1)
तथा x2 = 4ay ……………. (2)
समी. (1) और (2) को हल करने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 15
\(\frac { x^{ 4 } }{ 16a^{ 2 } } \) = 4ax
⇒ x4 – 64a3x = 0
⇒ x(x3 – 64a3) = 0
अतः या तो x = 0 अथवा x3 – 64a3 = 0
जब x3 – 64a3 = 0
जब x3 – 64a3 = 0 तो x = 4a
जब x = 0 तो y = 0
और जब x = 4a तो y = 4a
अत: दोनों परवलय बिन्दुओं (0, 0), (4a, 4a) पर मिलते हैं।
∴ उभयनिष्ठ क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OBALO – क्षेत्रफल OCALO
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 16

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 9.
वक्रों y2 = 4x और x2 = 4y के बीच का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए वक्रों के समीकरण हैं:
y2 = 4x ……………… (1)
xc = 4y ………………. (2)
समी. (2) से y का मान समी. (1) में रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 17
⇒ \(\frac { x^{ 4 } }{ 16 } \) = 4x
⇒ x4 – 64x = 0
⇒ x(x3 – 64) = 0
⇒ x = 0 या x3 = 64
⇒ x = 0 या x = 4
∴ बिन्दु 0 पर x = 0 तथा बिन्दु M पर x = 4
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र. OAPBO
= क्षेत्र. OAPMO – क्षेत्र. OBPMO
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 18a

प्रश्न 10.
वक्र y2 = x और x2 = y के बीच का क्षेत्रफल समाकलन विधि से ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 9 की भाँति हल करें।

प्रश्न 11.
दीर्घवृत्त \(\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } \) + \(\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } \) = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (समाकलन विधि द्वारा)
हल:
दिया हुआ वक्र X – अक्ष और Y – अक्ष के सापेक्ष सममित है। अतएव सम्पूर्ण क्षेत्रफल क्षेत्र OAB का 4 गुना होगा।
यहाँ y = \(\frac{b}{a}\) \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \)
वक्र पर बिन्दु P लिया। तब पट्टी PM का क्षेत्रफल ydx होगा।
x का मान O पर शून्य तथा A पर x = a है।
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 19a

प्रश्न 12.
परवलय y2 = 4ax तथा इसकी नाभिलम्ब जीवा से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (समाकलन विधि द्वारा)
हल:
परवलय का समीकरण है:
y2 = 4ax
⇒ y = ± 2\(\sqrt{ax}\)
LSL’ नाभिलम्ब है तथा S(a, 0) और 0(0, 0) है।
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × क्षेत्रफल OSL
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 20

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 13.
परवलय y2 = 4ax और रेखा y = mx के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समी. y2 = 4ax ……………. (1)
रेखा का समी. y = mx …………….. (2)
मूलबिन्दु O(0, 0) है। P परवलय और रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु है। समी. (1) और (2) को हल करने पर,
y2 = 4ax
⇒ (mx)2 = 4ax
⇒ m2x2 – 4ax = 0
⇒ x(m2x – 4a) = 0
∴ x = 0, x = \(\frac { 4a }{ m^{ 2 } } \)
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प्रश्न 14.
प्रथम चतुर्थांश में x2 = 4y, y = 2, y = 4 एवं Y – अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिए गए वक्र का समीकरण है:
x2 = 4y
⇒ x = 2\(\sqrt{y}\)
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = ABCD का क्षेत्रफल
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प्रश्न 15.
छेदक रेखा x = \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } } \) द्वारा वृत्त x2 + y2 = a2 के छोटे भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
वृत्त का समीकरण है:
x2 + y2 = a2
y2 = a2 – x2
y = \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \)
रेखा का समीकरण है –
x = \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } } \)
समी. (1) और (2) को हल करने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 23
( \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } } \) )2 + y2 = a2
y2 = a2 – \(\frac { a^{ 2 } }{ 2 } \) = \(\frac { a^{ 2 } }{ 2 } \)
y = \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } } \)
वृत्त और रेखा का प्रतिच्छेद बिन्दु A( \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } } \), \(\frac { a }{ \sqrt { 2 } } \) ) है।
D के निर्देशांक (a, 0) होंगे।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = ABD का क्षेत्रफल = 2 × ACD का क्षेत्रफल
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग img 24a

प्रश्न 16.
यदि वक्र x = y2 एवं रेखा x = 4 से घिरा हुआ क्षेत्रफल x = a द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित होता है, तो a का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
परवलय का समीकरण है:
x = y2
⇒ y = \(\sqrt{x}\) ………… (1)
परवलय तथा रेखा x = 4 से घिरे क्षेत्रफल को रेखा x = a दो बराबर भागों में विभाजित करती है।
क्षेत्रफल OEC = क्षेत्रफल EFCB
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 17.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x2 + y2 = 4 एवं रेखाओं x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
वृत्त का समीकरण है:
x2 + y2 = 4
⇒ y2 = 4 – x2
⇒ y = \(\sqrt { (2)^{ 2 }-x^{ 2 } } \)
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प्रश्न 18.
प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x2 + y2 = 32 रेखा y = x एवं X – अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (NCERT; CBSE 2018)
हल:
दिए गए वृत्त का समीकरण है:
x2 + y2 = 32
y2 = 32 – x2
वृत्त का समीकरण y = \(\sqrt { 32-x^{ 2 } } \)
रेखा का समीकरण है:
समी. (1) और (2) को हल करने पर,
x2 + x2 = 32
2x2 = 32
x2 = 16
x = 4
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x का मान समी. (2) में रखने पर,
y = 4
रेखा और वृत्त का प्रतिच्छेद बिन्दु O(0,0) तथा A(4, 4) है। B के निर्देशांक (4, 0) तथा C के निर्देशांक (4\(\sqrt{2}\),0) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्रफल OACBO
= क्षेत्रफल OAB + क्षेत्रफल ABC
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग

प्रश्न 19.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल समाकलन द्वारा ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ y = 2x + 1, y = 3x + 1 तथा x = 4 हैं। (NCERT)
हल:
माना कि ∆ABC की भुजाओं AB, AC तथा BC के समीकरण क्रमशः हैं –
y = 2x + 1 ……….. (1)
y = 3x + 1 ……….. (2)
और x = 4 ……….. (3)
समी. (1) और (2) को हल करने पर, बिन्दु A (0, 1)
समी. (1) और (3) को हल करने पर, बिन्दु B (4, 9) और
समी. (2) और (3) को हल करने पर, बिन्दु C (4, 13) हैं।
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन

निशिचत समाकलन Important Questions

निशिचत समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
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हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 2
समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 4
हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 3.
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हल:
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 8

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प्रश्न 4.
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हल:
माना
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प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि
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हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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माना cos x = t ⇒ – sin x dx = dt ⇒ sin x dx = – dt
[जब x = 0, t = cos 0 = 1, जब x = π, t = cos π = -1]
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प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि
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हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए –
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हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि
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हल:
माना
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प्रश्न 9.
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 23
समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 25
हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 11.
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हल:
माना
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मान tan \(\frac { \pi }{ 2 } \) = t
∴ \(\frac{1}{2}\) sec2 \(\frac { \pi }{ 2 } \) dx = dt
जब x = π, तब t = tan 0 = 0
तथा जब x = π, तब t = tan \(\frac { \pi }{ 2 } \) = ∞
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प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 31
हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 34
हल:
माना
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 35a
समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
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प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 37
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 38
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 38a

प्रश्न 15.
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 39
हल:
माना
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समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 41
माना cos x = t, तब – sin x dx = dt
जब x = 0, तब t = 1 तथा जब x = π, तब t = -1
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प्रश्न 16.
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 43
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 44
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन img 44a

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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7A समाकलन

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

समाकलन Important Questions

समाकलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –
1. ∫ \(\frac { sec^{ 2 }x }{ 1+tanx } \) का मान है –
(a) loge (1 + tan x) + c
(b) tan x + c
(c) – cot x + c
(d) loge x + c.
उत्तर:
(a) loge (1 + tan x) + c

प्रश्न 2.
∫ \(\frac { x }{ 4+x^{ 4 } } \) dx का मान है –
(a) \(\frac{1}{4}\) tan-1 x2 + c
(b) \(\frac{1}{4}\) tan-1 ( \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) )
(b) \(\frac{1}{2}\) tan-1 ( \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{4}\) tan-1 x2 + c

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प्रश्न 3.
यदि ∫ \(\frac { 2^{ 1/x } }{ x^{ 2 } } \) dx = k(2)1/x + c हो, तो k का मान है –
(a) \(\frac { -1 }{ log_{ e }2 } \)
(b) – loge2
(c) – 1
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(a) \(\frac { -1 }{ log_{ e }2 } \)

प्रश्न 4.
∫ \(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx का मान है –
(a) 2loge cos(xex) + c
(b) sec(xex) + c
(c) tan(xex) + c
(d) tan(x + ex) + c
उत्तर:
(c) tan(xex) + c

प्रश्न 5.
यदि ∫ x sin x dx = – x cos x + α हो, तो α का मान होगा –
(a) sin x + c
(b) cos x + c
(c) c
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) sin x + c

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 1
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उत्तर:

  1. \(\frac{1}{a}\) tan-1 ( \(\frac{x}{a}\) ) + c
  2. log [x + \(\sqrt { x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) ] + c
  3. log [x + \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) ] + c
  4. \(\frac{x}{2}\) \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) + \(\frac { a^{ 2 } }{ 2 } \) sin-1( \(\frac{x}{a}\) ) + c
  5. log(sec x + tan x) + c
  6. sin-1 x + \(\sqrt { 1-x } \) + c
  7. tan x + sec x

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प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 2
उत्तर:

  1. सत्य
  2. सत्य
  3. असत्य
  4. सत्य
  5. असत्य
  6. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 3
उत्तर:

  1. (a)
  2. (d)
  3. (e)
  4. (b)
  5. (c)
  6. (f).

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प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. ∫ ex(sin x + cos x) dx का मान क्या है?
  2. ∫ \(\frac { cotx }{ log(sinx) } \) dx का मान क्या है?
  3. ∫ \(\frac { dx }{ sin^{ 2 }x+4cos^{ 2 }x } \) का मान क्या है?
  4. ∫ cosec x dx का मान क्या है?
  5. ∫ log x dx का मान क्या है?
  6. ∫ \(\frac { dx }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } } } \)

उत्तर:

  1. ex sin x
  2. log log sin x
  3. \(\frac{1}{2}\) tan-1 ( \(\frac { tanx }{ 2 } \) )
  4. log tan \(\frac{x}{2}\)
  5. x(log x + 1)
  6. sin-1 \(\frac{x}{2}\)

समाकलन अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
∫ \(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
etan-1x + c

प्रश्न 2.
∫elog(sinx) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
– cos x + c

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प्रश्न 3.
∫2 sin x cos x dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
sin2 x + c

प्रश्न 4.
∫\(\frac { dx }{ a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{2a}\) log \(\frac{a+x}{a-x}\)

प्रश्न 5.
∫\(\frac { dx }{ x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{2a}\) log \(\frac{x-a}{x+a}\)

प्रश्न 6.
∫ex ( \(\frac{1}{x}\) – \(\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { e^{ x } }{ x } \) + c

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प्रश्न 7.
∫\(\frac { 1 }{ log_{ x }e } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
x log \(\frac{x}{e}\) + c

प्रश्न 8.
यदि ∫\(\frac { dx }{ (1+x)\sqrt { x } } \) = f (x) + c, जहाँ c एक स्वेच्छ अचर है, तब फलन f (x) क्या है?
उत्तर:
2 tan-1 x

प्रश्न 9.
∫\(\frac { 1+logx }{ x } \) dx का मान ज्ञात करने में कौन-सा प्रतिस्थापन उचित रहेगा?
उत्तर:
1 + log x = t

प्रश्न 10.
यदि ∫\(\frac { 1 }{ 1+xsinx } \) dx = tan ( \(\frac{x}{2}\) + a) + b है, तब a और b क्या होंगे?
उत्तर:
a = – \(\frac { \pi }{ 4 } \), b = 3

प्रश्न 11.
∫\(\frac { sin\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx का मान ज्ञात करने के लिये उचित प्रतिस्थापन क्या होगा?
उत्तर:
x = t2

प्रश्न 12.
∫sin(ax + b) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
– \(\frac{1}{a}\) cos(ax + b)

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प्रश्न 13.
∫\(\frac{1}{ax+b}\) का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{a}\) log(ax + b)

प्रश्न 14.
∫tan2 x dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
tan x – x + c

प्रश्न 15.
\(\frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
sin-1 ( \(\frac{x}{a}\) ) + c

प्रश्न 16.
∫elogex2 dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \) + c

प्रश्न 17.
∫elogx dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

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प्रश्न 18.
∫ex [f (x) + f'(x)] dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
ex f (x) + c

प्रश्न 19.
∫(1 + x + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2! } \) + ………………..) dx का मान कितना है?
उत्तर:
ex

प्रश्न 20.
∫ex (log x + \(\frac{1}{x}\) ) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
ex log x + c

समाकलन लघु उत्तरीय प्रश्न

पश्न 1.
मूल्यांकन कीजिये –
∫\(\frac { cos2x+2sin^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \) dx (CBSE 2018)
हल:
∫\(\frac { cos2x+2sin^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \) dx
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प्रश्न 2.
∫\(\frac { 1-sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫\(\frac { 1-sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx
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प्रश्न 3.
∫\(\frac { 2-3sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫\(\frac { 2-3sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx
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प्रश्न 4.
∫sin-1(cos x) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫sin-1(cos x) dx
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प्रश्न 5.
∫\(\frac { dx }{ 1+cos2x } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { dx }{ 1+cos2x } \)
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प्रश्न 6.
∫tan-1 xdx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫tan-1 x. 1 dx
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प्रश्न 7.
∫sin2x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
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प्रश्न 8.
∫\(\frac { cosx }{ cos(x-a) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { cosx }{ cos(x-a) } \) dx
x – α = t ⇒ x = t + α
dx = dt
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= cos α ∫dt – sin α ∫ tan t dt = cos α.t – sin α. log sec t + c
= cos α. (x – a) – sin α log sec (x – a) + c

प्रश्न 9.
(A) ∫\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+cosx } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+cosx } } \) dx
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(B)∫\(\sqrt { 1+sin2x } \) dx का मान  ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\sqrt { 1+sin2x } \) dx
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(C) ∫\(\sqrt { 1+cos2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 9 (B) की भाँति हल करें।

(D) ∫\(\sqrt { 1-sin2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रश्न क्र. 9 (B) की भाँति हल करें।

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प्रश्न 10.
(A) ∫\(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx
माना xex = t ⇒ ex (1 + x) dx = dt
∴ I = ∫\(\frac { dt }{ cos^{ 2 }t } \) = ∫sec2 t dt = tan t = tan(xex)

(B)
∫\(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
= ∫ex dt, [माना tan-1 x = t, \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) dx = dt]
= et = etan-1x.

प्रश्न 11.
∫\(\frac { dx }{ 1-sinx } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
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प्रश्न 12.
∫\(\frac{logx}{x}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac{logx}{x}\) dx
माना log x = t ⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫t dt = \(\frac { t^{ 2 } }{ 2 } \) + c = \(\frac { (logx)^{ 2 } }{ 2 } \) + c

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प्रश्न 13.
(A) ∫\(\frac{dx}{1-cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 15

(B) ∫\(\frac{dx}{1+cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 16

प्रश्न 14.
∫\(\frac { dx }{ 1+sinx } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 17

प्रश्न 15.
∫\(\frac { cos\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
∫\(\frac { cos\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx
माना \(\sqrt{x}\) = t ⇒ \(\frac { dx }{ 2\sqrt { x } } \) = dt ⇒ \(\frac { dx }{ \sqrt { x } } \) = 2dt
∴ I = ∫cos t(2dt)
= 2∫cos t dt = 2 sin t + c = 2 sin \(\sqrt{x}\) + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 16.
∫\(\frac { 1-cos2x }{ 1+cos2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 18
= tan x – x + c

प्रश्न 17.
\(\frac { x^{ 4 } }{ x^{ 2 }+1 } \) का समाकलन x के सापेक्ष कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 19

प्रश्न 18.
∫\(\frac { sec^{ 2 }(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { sec^{ 2 }(logx) }{ x } \) dx
log x = t रखने पर,
⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫sec2 tdt
⇒ I = tan t + c
⇒ I = tan(log x) + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 19.
∫\(\frac { sin(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
log x = t रखने पर,
⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫sin t dt = – cos t + c
⇒ I = – cos(log x) + c

प्रश्न 20.
∫\(\frac { cos(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति हल करें।

प्रश्न 21.
(A) मान ज्ञात कीजिए – ∫tan2 x dx?
हल:
I = ∫tan2 x dx = ∫(sec2 x – 1) dx
= ∫sec2 x dx – ∫1dx = tan x – x

(B)
मान ज्ञात कीजिए – ∫cot2 x dx?
हलः
I = ∫cot2 x dx = ∫(cosec2 x – 1 dx
= ∫cosec2 x dx – ∫1. dx = – cot x – x

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 22.
∫\(\frac { sinx }{ 1+cosx } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
I = ∫\(\frac { sinx }{ 1+cosx } \) dx
= ∫\(\frac{1}{t}\) dt, (1 + cos x = t रखने पर sin x dx = dt)
= log t
= log (1 + cos x)

प्रश्न 23.
∫\(\frac { sin^{ =1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
I = \(\frac { sin^{ =1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx
= ∫t dt (sin-1 x = t रखने पर ⇒ \(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx = dt)
= \(\frac { t^{ 2 } }{ 2 } \)
= \(\frac{1}{2}\) (sin-1 x)2

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
∫\(\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } \)
पुनः माना x = a cos θ ⇒ dx = – a sinθ dθ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 20
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 20a

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए –
∫[ \(\frac { 1 }{ (logx)^{ 2 } } \) – \(\frac { 2 }{ (logx)^{ 3 } } \) ] dx?
हल:
माना
I = ∫[ \(\frac { 1 }{ (logx)^{ 2 } } \) – \(\frac { 2 }{ (logx)^{ 3 } } \) ] dx
पुनः माना log x = t ⇒ x = et ⇒ dx = et dt
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 21

प्रश्न 3.
∫sin-1 x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 22
पुनः माना 1 – x2 = t ⇒ -2x dx = dt
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 23

प्रश्न 4.
∫cos-1 x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
I = ∫cos-1 x dx
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 24

प्रश्न 5.
(A)
∫\(\frac { x^{ 2 } }{ 1+x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
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(B) ∫\(\frac { x }{ 1+x^{ 4 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 25

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 6.
∫\(\frac { 1 }{ sinx-cosx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
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प्रश्न 7.
∫\(\frac { dx }{ e^{ x }+1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 27

प्रश्न 8.
∫sec3 xdx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫sec3 xdx = ∫secx. sec2 xdx
= sec x ∫sec2 xdx – ∫ [ \(\frac{d}{dx}\) sec x ∫sec2 xdx] dx, [खण्डशः समाकलन द्वारा]
= sec x tan x – ∫sec x tan x tan x dx
= sec x tan x – ∫sec x tan2 x dx
= sec x tan x – ∫sec x(sec2 x – 1)dx
= sec x tan x – ∫sec3 x dx + ∫sec x dx
⇒ I = sec x tan x – I + log(sec x + tan x)
⇒ 2I = sec x tan x + log(sec x + tan x)
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) [sec x tan x + log(sec x + tan x)]

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 9.
∫\(\frac { dx }{ x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
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MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 28a

प्रश्न 10.
∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) = \(\frac { A }{ x-2 } \) + \(\frac { B }{ x+1 } \) ……………….. (1)
⇒ \(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) = \(\frac { A(x+1)+B(x-2) }{ (x-2)(x+1) } \)
⇒ 3x = A(x + 1) + B(x – 2)
⇒ 3x = (A + B)x + (A – 2B) …………………. (2)
समी. (2) के दोनों पक्षों में x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
3 = A + B
0 = A – 2B
3 = 3B
⇒ B = 1
तथा A = 2B = 2
∴ ∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) dx = ∫\(\frac { 2 }{ x-2 } \) dx + ∫\(\frac { dx }{ x+1 } \)
= 2 log(x – 2) + log(x + 1) + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 11.
∫\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 4 }-x^{ 2 }+1 } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 29

प्रश्न 12.
∫\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर: \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) tan-1 ( \(\frac { x^{ 2 }-1 }{ \sqrt { 3.x } } \) ) + c

प्रश्न 13.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac { dx }{ \sqrt { x^{ 2 }+2x+3 } } \)?
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 30
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 30a

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 14.
फलन \(\frac { 1 }{ 1+sin^{ 2 } } \) का x सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 1 }{ 1+sin^{ 2 } } \) dx
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 31

प्रश्न 15.
∫\(\frac { cos2x }{ (cosx+sinx)^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { cos2x }{ (cosx+sinx)^{ 2 } } \) dx
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 32
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 32a
cos x + sin x = रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) (cos x + sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (-sin x + cos x) dx = dt
∴ t = ∫\(\frac{dt}{t}\)
⇒ I = log t + c
अतः I = log(cos x + sin x) + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 16.
∫\(\frac { 1+tanx }{ x+logsecx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { 1+tanx }{ x+logsecx } \) dx
x + log sec x = t रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) [x + log(sec x)] = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ \(\frac{d}{dx}\) x + \(\frac{d}{dx}\) log(sec x) = \(\frac{dt}{dx}\)
sec x = u रकने पर
1 + \(\frac{d}{dx}\) log u = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{d}{du}\) log u \(\frac{du}{dx}\) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{1}{u}\)\(\frac{d}{dx}\) sec x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{1}{secx}\) × sec x tan x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (1 + tan x)dx = dt
∴ I = ∫\(\frac{dt}{t}\)
⇒ I = log t + c
अतः I = log(x + log sec x) + c

प्रश्न 17.
∫\(\frac { cotx }{ log(sinx) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
log(sin x) = t रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) log (sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
sin x = u रकने पर
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 33

प्रश्न 18.
∫\(\frac { 2cosx-3sinx }{ 6cosx+4sinx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 2cosx-3sinx }{ 6cosx+4sinx } \) dx
6 cos x + 4 sin x = t रखने पर,
\(\frac{d}{dx}\) (6 cos x + 4 sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ – 6 sin x + cos x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 2(2 cos x – 3 sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (2 cos x – 3 sin x)dx = \(\frac{1}{2}\) dt
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) ∫dt
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) log t + c
अतः I = \(\frac{1}{2}\) log(6 cos x + 4 sin x) + c

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 19.
∫e3logx (x4 + 1)-1 dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 34
x4 + 1 = t रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 35

प्रश्न 20.
∫\(\frac { dx }{ x-\sqrt { x } } \) का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 36
\(\sqrt{x}\) – 1 = t रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 37
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 37a

प्रश्न 21.
∫\(\frac { dx }{ 1+3sin^{ 2 }x } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { dx }{ 1+3sin^{ 2 }x } \)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 38

समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
∫sin-1 ( \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) ) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫sin-1 ( \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) ) dx
पुनः माना x = tan θ ⇒ dx = sec2θ dθ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 39
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 39a

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 2.
फलन \(\frac { e^{ mtan-1x } }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
माना tan-1 x = t ⇒ x = tan t
∴ dx = sec2 t dt
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 40
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 40a

प्रश्न 3.
∫\(\frac { x^{ 2 }tan^{ -1 }x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { x^{ 2 }tan^{ -1 }x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
माना x = tan θ ⇒ θ = tan-1 x
⇒ dx = sec2 θ dθ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 41

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 4.
मान ज्ञात कीजिए – ∫tan-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx?
हल:
माना
I = ∫tan-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
माना x = tan θ ⇒ dx = sec2 θ dθ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 42
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 42a

प्रश्न 5.
∫\(\frac { xtan^{ -1 }x }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) dx मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { xtan^{ -1 }x }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) dx
पुनः माना x = tan θ ⇒ dx = sec2 θ dθ
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 43

प्रश्न 6.
∫\(\frac{dx}{3+2cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac{dx}{3+2cosx}\)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 44
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 44a
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 44b

प्रश्न 7.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac{dx}{4+5cosx}\)?
हल:
प्रश्न का. 6 की बीत हल करे।

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प्रश्न 8.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac{dx}{5-3cosx}\)?
हल:
प्रश्न क्र. 6 की भाँति हल करें।

प्रश्न 9.
∫\(\frac{1}{4+5sinx}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 45
माना tan\(\frac{x}{2}\) = t ⇒ sec2 \(\frac{x}{2}\).\(\frac{1}{2}\) dx = dt
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 46
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 46a

प्रश्न 10.
∫\(\frac { e^{ x }(1+sinx) }{ (1+cosx) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ x }(1+sinx) }{ (1+cosx) } \) dx
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 47
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 47a

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 11.
∫\(\frac { xe^{ x } }{ (1+x)^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 48

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 12.
∫\(\frac { 2cosx }{ (1-sinx)(1+sin^{ 2 }) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 2cosx }{ (1-sinx)(1+sin^{ 2 }) } \) dx
sin x = t रखने पर, cos x dx = dt
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 49
⇒ 2 = A(1 + t2) + (1 – t)(Bt + 1)
⇒ 2 = A + A2 + Bt – Bt2 + 1 – t
⇒ 2 = (A – B)t2 + (B – 1)t + (A + 1)
गुणांकों की तुलना करने पर,
∴ A – B = 0
B – 1 = 0
तथा A + 1 = 2
B = 1, A = 1
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 50

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 13.
∫\(\frac { dx }{ e^{ x }-1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
I = ∫\(\frac { dx }{ e^{ x }-1 } \) = \(\frac { e^{ x }dx }{ e^{ x }(e^{ x }-1) } \)
माना ex = t, तब exdx = dt
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 51
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 51a

प्रश्न 14.
∫\(\frac { dx }{ x(x^{ n }+1) } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 52
xn = t रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 53
A और B के मान समी. (1) में रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 54

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन

प्रश्न 15.
∫( \(\sqrt{tanx}\) + \(\sqrt{cotx}\) ) dx का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7 समाकलन img 55
पुनः माना sin x – cosx = t
(cos x + sin x)dx = dt
चूंकि (sin x – cos x)2 = t2
sin2 x + cos2 x – 2 sin x cos x = t2
⇒ 1 – sin 2x = t2
⇒ sin 2x = 1 – t2
I = \(\sqrt{2}\) ∫\(\frac { dt }{ \sqrt { 1-t^{ 2 } } } \)
= \(\sqrt{2}\) .sin-1t
= \(\sqrt{2}\).sin-1(sin x – cos x)

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

अवकलज के अनुप्रयोग Important Questions

अवकलज के अनुप्रयोग वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 cm पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है –
(a) 10π
(b) 12π
(c) 8π
(d) 11π
उत्तर:
(b) 12π

प्रश्न 2.
किसी बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y2 = 4x की स्पर्श रेखा है –
(a) (1, 2)
(b) (2, 1)
(c) (1, -2)
(d) (- 1, 2)
उत्तर:
(a) (1, 2)

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

प्रश्न 3.
x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% की वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
(a) 0.03 x3
(b) 0.02 x3
(c) 0.06 x3
(d) 0.09 x3
उत्तर:
(c) 0.06 x3

प्रश्न 4.
वक्र x2 = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है –
(a) (2\(\sqrt{2}\), 4)
(b) (2\(\sqrt{2}\), 0)
(c) (0, 0)
(d) (2, 2)
उत्तर:
(a) (2\(\sqrt{2}\), 4)

प्रश्न 5.
f (x) = x4 – x2 – 2x+6 का न्यूनतम मान होगा –
(a) 6
(b) 4
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 4

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

  1. 0 ≤ x ≤ π के लिए फलन f (x) = cosx ………………….. फलन होगा।
  2. एक वृत्तीय प्लेट की त्रिज्या 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब r = 10 सेमी हो, तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ………………….. है।
  3. फलन y = x(5 – x), x = ………………. पर उच्चिष्ठ है।
  4. 2x + 3y का न्यूनतम मान, जब xy = 6, है ……………………… है।
  5. sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान ……………….. है।
  6. रेखा y = mx + 1 वक्र y2 = 4x की स्पर्श रेखा है, तो m का मान …………………………….
  7. वक्र y = x2 के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ………………………. है।
  8. अवकलों के प्रयोग द्वारा 10.6 का सन्निकटतम मान ………………………. है।

उत्तर:

  1. ह्रासमान
  2. 4π cm2/ sec
  3. \(\frac{5}{2}\)
  4. 12
  5. \(\sqrt{2}\)
  6. 1
  7. 2
  8. 0.8

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. फलन f (x) = ex – e-x, x के सभी वास्तविक मानों के लिए वर्धमान फलन \(\frac{1}{2}\) x2 है।
  2. यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं की लम्बाई x हो, तो उसका महत्तम क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\) x2 होगा।
  3. फलन f (x) = 3x2 – 4x अंतराल (- ∞, \(\frac{2}{3}\) ) में वर्द्धमान है।
  4. फलन f (x) = x – cot x सदैव ह्रासमान है।
  5. वक्र y = ex के बिन्दु (0, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण x + y = 1 है।

उत्तर:

  1. सत्य
  2. सत्य
  3. असत्य
  4. असत्य
  5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. \(\sqrt{49.5}\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
  2. परवलय y2 = 4ax के बिन्दु (x’, y’) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
  3. वक्र y = x2 + 1 के बिन्दु (1, 2) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
  4. फलन sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।
  5. एक बर्फ का गोला चर त्रिज्या रखता है, उसके आयतन में परिवर्तन क्या होगा, जब उसकी त्रिज्या 1 मीटर हो।
  6. किसी वर्ग की एक भुजा में 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से वृद्धि होती है। वर्ग के परिमाप की दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

  1. 7.0357
  2. yy’ = 2a (x + x’)
  3. 3, 3
  4. \(\sqrt{2}\)
  5. 4π घन मीटर/सेकण्ड
  6. 0.8 सेमी/सेकण्ड।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

अवकलज के अनुप्रयोग दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 2 सेमी/सेकण्ड की एकसमान दर से बढ़ रही है। क्षेत्रफल में वृद्धि किस दर से होगी जबकि त्रिज्या 10 सेमी हो?
हल:
दिया है:
\(\frac{dr}{dt}\) = 2 सेमी/सेकण्ड
माना कि वृत्त का क्षेत्रफल A वर्ग सेमी है।
तब [ \(\frac{dA}{dt}\) ]r=10 = ?
∵ वृत्त का क्षेत्रफल A = πr2
∴ \(\frac{dA}{dt}\) = π(2r). \(\frac{dr}{dt}\) = π(2r).(2)
⇒ \(\frac{dA}{dt}\) = 4πr
∴ [ \(\frac{dA}{dt}\) ]r=10 = 4π(10)
= 40π वर्ग सेमी/सेकण्ड
अर्थात् क्षेत्रफल 40π वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

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प्रश्न 2.
एक हवा के बुलबुले की त्रिज्या 1/2 से.मी. प्रति सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब बुलबुले की त्रिज्या 1 से.मी. है तब किस दर से बुलबुले का आयतन बढ़ रहा है?
हल:
बुलबुले की त्रिज्या r हो, तो
∴ आयतन V = \(\frac{4}{3}\) πr3
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 1

प्रश्न 3.
एक गुब्बारे की त्रिज्या 10 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है, जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 सेमी है तब किस दर पर गुब्बारे की सतही क्षेत्रफल बढ़ रहा है?
हल:
माना गुब्बारे की त्रिज्या । है। यदि समय । पर उसकी सतही क्षेत्रफल A हो, तो
A = 4πr 2
समय t के साथ गुब्बारे के त्रिज्या में वृद्धि दर \(\frac{dr}{dt}\) = 10 सेमी/सेकण्ड
समय t के साथ गुब्बारे की क्षेत्रफल में वृद्धि के दर = \(\frac{dA}{dt}\)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 2
अतः जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 सेमी है, तब उसका क्षेत्रफल = 1200π वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 4.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिये जिनमें फलन f (x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1 वर्धमान या ह्रासमान है।
हल:
f (x) = 2x3 – 15x2 + 36x + 1
⇒ f'(x) = 6x2 – 30x + 36
= 6(x2 – 5x + 6)
= 6(x – 2)(x – 3)
फलन f (x) के वर्धमान होने के लिए,
f'(x) > 0 = (x – 2 )(x – 3) > 0
⇒ या तो x – 2 > 0 तथा x – 3 > 0
⇒ x > 2 तथा x > 3
⇒ x > 3 स्पष्ट है फलन, अन्तराल (3, ∞) में वर्धमान होगा।
पुनः (x – 2)(x – 3) > 0
या तो x – 2 < 0 तथा x – 3 < 0
⇒ x < 2 तथा x < 3
⇒ x < 2
स्पष्ट है फलन, अन्तराल (-∞, 2) में वर्धमान होगा।
अतः दिया गया फलन, अन्तराल (-∞, 2)∪(3, ∞) में वर्धमान होगा।
पुनः f (x) के एक ह्रासमान फलन होने के लिए,
f'(x) < 0
⇒ (x – 2)(x – 3) < 0
या तो x – 2 < 0 तथा x – 3 > 0
⇒ x < 2 तथा x > 3, जो असम्भव है।
या x – 2 > 0 तथा x – 3 < 0 ⇒ x > 2 तथा x < 3
⇒ 2 < x < 3
अत: फलन f (x) एक ह्रासमान फलन है, जबकि 2 < x < 3.
अर्थात् फलन f (x) अन्तराल (2, 3) में ह्रासमान होगा।

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प्रश्न 5.
(A) यदि x + y = 8 हो, तो xy का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
P = xy
⇒ x + y = 8
⇒ y = 8 – x
∴ P = x(8 – x) = 8x – x2
⇒ \(\frac{dP}{dx}\) = 8 – 2x
⇒ \(\frac { d^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } \) = -2
महत्तम और न्यूनतम मान के लिए,
8 – 2x = 0
⇒ x = 4
अब x = 4 पर \(\frac { d^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } \) = -2, जो ऋणात्मक है।
∴ x = 4 पर P का मान महत्तम है।
जब x = 4 तब y = 4
P का महत्तम मान = xy, जब x = 4, y = 4
= 4 × 4 = 16.

(B) यदि x + y = 10 हो, तो xy का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 5 (A) की भाँति हल करें।

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प्रश्न 6.
यदि वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है, तब किस दर से वृत्त का क्षेत्रफल बढ़ रहा है?
हल:
माना कि वृत्त की त्रिज्या है।
यदि समय t पर उसका क्षेत्रफल A हो, तो –
A = πr2
समय t के साथ वृत्त की त्रिज्या में वृद्धि की दर = \(\frac{dr}{dt}\) = 3 सेमी/सेकण्ड।
समय t के साथ वृत्त के क्षेत्रफल में वृद्धि की दर = \(\frac{dA}{dt}\)
= \(\frac { d }{ dx } \) (πr2)
= \(\frac { d }{ dr } \) (πr2). \(\frac { dr }{ dt } \)
= π.2r.3 [∵ \(\frac { dr }{ dt } \) = 3]
= 6πr
अतः वृत्त के क्षेत्रफल में अभीष्ट वृद्धि की दर = \(\frac{dA}{dt}\) = 6πr
= 6π × 10,
= 60π [r = 10 पर]
अतः r = 10 सेमी पर वृत्त का क्षेत्रफल 607 वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 7.
एक घन का आयतन 9 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है। यदि इसके कोर की लंबाई 10 सेमी है, तो इसके पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है? (NCERT)
हल:
माना घन का आयतन V है तथा घन की कोर की लंबाई a सेमी है।
घन का आयतन V = a3
∴ \(\frac{dV}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\)a3
दिया है:
\(\frac{dV}{dt}\) = 9 सेमी3/सेकण्ड
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 4
माना घन का पृष्ठ S है।
S = 6a2
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 5
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 5a

प्रश्न 8.
(A) एक आदमी जिसकी ऊँचाई 180 सेमी है, एक बिजली के खम्भे से 1.2 मीटर प्रति सेकण्ड की दर से दूर हट रहा है। यदि बिजली के खम्भे की ऊँचाई 4.5 मीटर है, तो वह दर ज्ञात कीजिए जिस पर उसकी छाया बढ़ रही है।
हल:
AB = बिजली का खम्भा, PQ = आदमी, QC = x = छाया की लम्बाई, माना BQ = y
\(\frac{dy}{dx}\) = 1.2 = वह दर जिससे आदमी दूर हट रहा है।
\(\frac{dx}{dt}\) = वह दर जिससे छाया बढ़ रही है।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 6
0.8 मीटर/सेकण्ड 0.8 मीटर/सेकण्ड छाया बढ़ने की दर होगी।

(B) 2 मीटर ऊँचाई का आदमी 6 मीटर ऊँचे बिजली के खंभे से दूर 5 किमी/घण्टा की समान चाल से चलता है। उसकी छाया की लंबाई की वृद्धि दर ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल: प्रश्न 8 (A) की भाँति हल करें।
[उत्तर: \(\frac{5}{2}\) किमी/घण्टा।]

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प्रश्न 9.
एक सीढ़ी जो 5 मीटर लम्बी है, एक दीवार से झुकी है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से दूर धरातल के सहारे 2 मीटर/सेकण्ड की दर से खींचा जाता है। जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 4 मीटर दूर है, तब किस दर से दीवार पर इसकी ऊँचाई घट रही है? (NCERT)
हल:
माना, किसी समय सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से x मीटर की दूरी पर है तथा इस समय दीवार की ऊँचाई ” मीटर है। तब चित्रानुसार,
x2 + y2 = 25 …………………. (1)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x \(\frac{dx}{dt}\) + 2y\(\frac{dy}{dt}\) = 0
⇒ x\(\frac{dx}{dt}\) + y\(\frac{dy}{dt}\) = 0 …………………….. (2)
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूर खींचे जाने की दर,
\(\frac{dx}{dt}\) = 2 मीटर/सेकण्ड।
∴ x.2 + y\(\frac{dy}{dt}\) = 0
⇒ y\(\frac{dy}{dt}\) = -2x
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = \(\frac{-2x}{y}\)
जब x = 4 मीटर, तब समी. (1) से,
16 + y2 = 25
⇒ y2 = 25 – 16 = 9
⇒ y = 3 मीटर
∴ समी. (3) से,
\(\frac{dy}{dt}\) = –\(\frac { 2\times 4 }{ 3 } \) = –\(\frac{8}{3}\)
अतः दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई 8/3 मीटर/सेकण्ड की दर से घट रही है।
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प्रश्न 10.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन, f (x) = 5x2 + 7x – 13 वर्धमान या ह्रासमान है।
हल:
दिया है:
f (x) = 5x2 + 7x – 13
∴ f'(x) = 10x + 7
फलन f(x) के वर्धमान होने के लिए,
f'(x) > 0
⇒ 10x + 7 > 0
⇒ x > \(\frac{-7}{10}\)
∴ फलन. f (x), अन्तराल ( \(\frac{-7}{10}\), ∞) में एक वर्धमान फलन है।
पुनः फलन f (x) के ह्रासमान होने के लिए,
f'(x) < 0
⇒ 10x + 7 < 0
⇒ x < \(\frac{-7}{10}\)
∴ फलन. f (x), अन्तराल (- ∞, \(\frac{-7}{10}\) ) में एक वर्धमान फलन है।

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प्रश्न 11.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिए, जिनमें फलन f (x) = 2x3 – 24x + 5 वर्धमान या हासमान है।
हल:
दिया गया फलन है:
f (x) = 2x3 – 24x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = 6x2 – 24
⇒ f'(x) = 6(x2 – 4)
⇒ f'(x) = 6(x + 2)(x – 2)

(A) फलन f (x) के वर्धमान होने के लिए शर्त,
f'(x) > 0
6(x + 2)(x – 2) > 0 ⇒ 6(x + 2)(x – 2) < 0
∴ f (x), x ∈ (-2,-2) में वर्धमान है।

(B) फलन f (x) के ह्रासमान होने के लिए शर्त,
f'(x) < 0 ⇒ 6(x + 2)(x – 2) < 0 ∴ f (x), x ∈ (-2, 2) में ह्रासमान है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए x के सभी वास्तविक मानों के लिए फलन f (x) = x – cos x वर्धमान फलन है। हल: दिया गया फलन है: f (x) = X – cos x f'(x) = 1- (- sin x) ⇒ f'(x) = 1 + sin x हम जानते हैं x के सभी वास्तविक मानों के लिए, -1 ≤ sin x ≤ 1 – 1 + 1 ≤ 1 + sin x ≤ 1 + 1 0 ≤ 1 + sin x ≤ 2
अत:
x के सभी वास्तविक मानों के लिए 1 + sin x धनात्मक है स्पष्टतः f'(x) भी धनात्मक होगा। अर्थात् f'(x) > 0. यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 13.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f (x) = x2 + ax + 1 से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है। (NCERT)
हल:
दिया है:
f (x) = x2 + ax + 1
∴ f'(x) = 2x + a
अब, 1 < x < 2
⇒ 2 < 2x < 4
⇒ 2 + a < 2x + a < 4 + a
⇒ 2 + a < f'(x) < 4 + a f (x) के निरंतर वर्धमान होने के लिए हम जानते हैं कि f'(x) > 0
अर्थात् 2 + a > 0 ⇒ a > -2
अत: a का न्यूनतम मान -2 है।

प्रश्न 14.
मान लीजिए [-1, 1] से असंयुक्त एक अन्तराल I हो, तो सिद्ध कीजिए कि f (x) = x + \(\frac{1}{x}\) से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है। (NCERT)
हल:
f (x) = x + \(\frac{1}{x}\)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 8
अन्तराल [-1, 1] असंयुक्त है
यदि x < -1 तब f'(x) > 0
यदि x > 1 तब f'(x) > 0
अतः अन्तराल I में f (x) निरंतर वर्धमान है। यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 15.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिये जिनमें निम्न फलन वर्धमान या ह्रासमान है –
f (x) = x4 – \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \)
हल:
f (x) = x4 – \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \)
⇒ f'(x) = 4x3 – \(\frac { 3.x^{ 2 } }{ 3 } \)
⇒ f'(x) = x2 (4x – 1)
f'(x) = 0 लेने पर,
x2 (4x – 1) = 0
⇒ x = 0 या x = \(\frac{1}{4}\)
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 10
अत: 0 तथा \(\frac{1}{4}\), X अक्ष को तीन असंयुक्त अंतराल में बाँटते है –
(-∞, 0), (0, \(\frac{1}{4}\) ), ( \(\frac{1}{4}\), ∞)
अन्तराल (-∞, 0) मे –
f'(x) = x2 (4x – 1), [∵ x2 = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) < 0
अन्तराल (-∞, 0) मे –
f'(x) = x2 (4x – 1), [∵ x2 = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) < 0
∴ अन्तराल (-∞, 0) मे f (x) हसमान है।
अन्तराल (0, \(\frac{1}{4}\) ) मे –
f'(x) = x2 (4x – 1), [∵ x2 = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) > 0
∴ अन्तराल ( \(\frac{1}{4}\), ∞) मे f (x) वर्धमान है।

प्रश्न 16.
एक आयत का परिमाप 100 सेमी है। अधिकतम क्षेत्रफल के लिए आयत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयत की लम्बाई x और चौड़ाई y है। तब,
आयत का परिमाप = 2(x + y)
⇒ 2x + 2y = 100
⇒ x + y = 50
माना आयत का क्षेत्रफल A है। तब
A = xy = x (50 – x) = 50x – x2, [समी. (1) से]
∴ \(\frac{dA}{dx}\) = 50 – 2x
और \(\frac { d^{ 2 }A }{ dx^{ 2 } } \) = -2
A अधिकतम अथवा न्यूनतम होगा जब
\(\frac{dA}{dx}\) = 0
⇒ 50 – 2x = 0 या x = 25
x के प्रत्येक मान के लिए \(\frac { d^{ 2 }A }{ dx^{ 2 } } \) ऋण है।
∴ x = 25 पर आयत का क्षेत्रफल अधिकतम है।
समी. (1) से,
y = 50 – x = 50 – 25 = 25
अत: आयत की प्रत्येक भुजा 25 सेमी हुई।

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प्रश्न 17.
एक आयत का क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी है, इसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए जबकि इसका परिमाप न्यूनतम हो।
हल:
माना आयत की लम्बाई x व चौड़ाई y इकाई है।
दिया है: आयत का क्षेत्रफल A = 25 वर्ग इकाई
xy = 25 …………………… (1)
आयत का परिमाप
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 14
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिये \(\frac{dP}{dx}\) = 0
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 15
जो x = 5 के लिये + ve है।
∴ न्यूनतम परिमाप के लिये x = 5 सेमी।
y = \(\frac{25}{x}\) = \(\frac{25}{5}\) = 5 सेमी।

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प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान \(\sqrt{2}\) है।
हल:
माना f (x) = sin x + cos x ………………. (1)
∴ f'(x) = cos x – sin x ………………… (2)
तथा f”(x) = – sinx – cox ……………….. (3)
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए,
f”(x) = 0
∴ cos x – sin x = 0
⇒ sin x = cos x
⇒ tan x = 1
∴ x = \(\frac { \pi }{ 4 } \), \(\frac { 3\pi }{ 4 } \), \(\frac { 5\pi }{ 4 } \)
अब समी. (3) में x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) रखने पर,
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 16
चूंकि f”( \(\frac { \pi }{ 4 } \) )ऋणात्मक है। अत: x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) पर दिया गया फलन उच्चिष्ठ है। इसी प्रकार दिया गया फलन x = \(\frac { 3\pi }{ 4 } \), \(\frac { 5\pi }{ 4 } \) ………………. पर भी उच्चिष्ठ होगा।
समी. (1) में x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) रखने पर,
उच्चिष्ठ मान f ( \(\frac { \pi }{ 4 } \) ) = sin \(\frac { \pi }{ 4 } \) + cos \(\frac { \pi }{ 4 } \)
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) = \(\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } } \) = \(\sqrt{2}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
दो धनात्मक संख्याएँ इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि x + y = 60 तथा xy3 उच्चिष्ठ हो। (NCERT)
हल:
दिया हुआ है:
x + y = 60
माना u = xy3
समी. (1) से x का मान समी. (2) में रखने पर,
image 16
∴ u के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मान के लिए \(\frac{du}{dy}\) = 0
∴ 180y2 – 4y3 = 0
⇒ 4y2 (45 – y) = 0
⇒ y = 0, y = 45
⇒ y = 45 (∵ y ≠ 0)
अब y = 45 पर \(\frac { d^{ 2 }u }{ dy^{ 2 } } \) का मान
= 360 × 45 – 12 × 45 × 45
= 12 × 45(30 – 45), (∵y ≠ 0)
जो सप्तस्ततः ऋणात्मक है।
अतिएव y = 45 पर, u उच्चिष्ठ है।
∴ समी. (1) से,
x + 45 = 60
⇒ x = 60 – 45 = 15
अतः अभीष्ट 15 और है 45 है।

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प्रश्न 20.
वक्र y = x3 – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसकाx निर्देशांक 2 है। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = x3 – x + 1
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) (x3 – x + 1)
= \(\frac{d}{dx}\) x3 – \(\frac{d}{dx}\) x + \(\frac{d}{dx}\) 1
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 3x2 – 1 + 0
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 3x2 – 1
x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
( \(\frac{dy}{dx}\) )x=2 = 3(2)2 – 1
= 3 × 4 – 1 = 11

प्रश्न 21.
वक्र y = \(\frac { x-1 }{ x-2 } \), x ≠ 2 के x = 10 परस्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = \(\frac { x-1 }{ x-2 } \)
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) = ( \(\frac { x-1 }{ x-2 } \) )
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 17

प्रश्न 22.
वक्र y = x3 – 3x2 – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा X अक्ष के समान्तर है। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = x3 – 3x2 – 9x + 7
image 18
स्पर्श रेखा X – अक्ष के समान्तर है।
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = 0
3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
जब x = 3 तब y = (3)3 – 3(3)2 – 9 × 3 + 7
y = 27 – 27 – 27 + 7
y = – 20
जब x = -1 तब y = (-1)3 – 3(-1)2 – 9(-1) + 7
y = – 1 – 3 + 9 + 7
y = 12
बिन्दुओं (3, -20) और (-1, 12) पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर होगी।

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प्रश्न 23.
परवलय y2 = 4ax के बिन्दु (at2, 2at) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
परवलय का समीकरण है –
y2 = 4ax
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 18
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग
(x1y1) स्पर्श रेखा का समीकरण है –
y – y1 = \(\frac{dy}{dx}\) (x – x2)
जँहा x1 = at2, y1 = 2at, \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{t}\)
y – 2at = \(\frac{1}{t}\)(x – at2)
⇒ yt – 2at2 = x – at2
⇒ x – ty + at2 = 0.

प्रश्न 24.
वक्र x2/3 + y2/3 = 2 के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
वक्र का समीकरण है –
x2/3 + y2/3 = 2
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 20

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग
(x1y1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है
y – y1 = ( \(\frac{dy}{dx}\) ) (x1y1) (x – x1)
यहाँ x1 = 1, y1 = 1, \(\frac{dy}{dx}\) = -1
y – 1 = -(x – 1)
⇒ y – 1 = -x + 1
⇒ x + y – 2 = 0.

प्रश्न 25.
वक्र 2y + x2 = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है:
2y + x2 = 3
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 21
(x1, y1) पर अभिलम्ब का समीकरण होगा –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 22

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प्रश्न 26.
(A) वक्र x = cost, y = sint के t = = पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
I वक्र का समीकरण है –
x = cos t
\(\frac{dx}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\)cos t
⇒ \(\frac{dx}{dt}\) = – sin t
II वक्र का समीकरण है –
y = sin t
\(\frac{dy}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\) sin t
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = cos t
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 23
(x1, y1) पर अभिलम्ब का समीकरण है –
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 24

(B) वक्र 16x2 + 9y2 = 145 के बिन्दु (x1, y1) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिये, जहाँ x1 = 2 तथा y1 > 0। (CBSE 2018)
हल:
वक्र का समीकरण है –
16x2 + 9y2 = 145
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 25
समी. (1) में x = 2 रखने पर,
16. (2)2 + 9y2 = 145
⇒ 64 + 9y2 = 145
⇒ 9y2 = 145 – 64 = 81
⇒ y2 = 9 [y ≠ -3 ∵y1 > 0]
⇒ y = 3
बिन्दु (2, 3) पर \(\frac{dy}{dx}\) = – \(\frac{16}{9}\).\(\frac{2}{3}\) = – \(\frac{32}{27}\)
बिन्दु (2, 3) पर वक्र (1) की स्पर्श रेखा
y – y1 = \(\frac{dy}{dx}\) (x – x1)
⇒ y – 3 = \(\frac{-32}{7}\) (x – 2)
⇒ 27y – 81 = -32x + 64
⇒ 32x + 27y = 145
बिन्दु (2, 3) पर वक्र (1) का अभिलम्ब
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 26
⇒ 32y – 96 = 27x – 54
⇒ 27x – 32y = 42

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प्रश्न 27.
(25)1/3 का सन्निकट करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x1/3
जहाँ x = 27 और ∆x = -2
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 27
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∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।
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(25)1/3 का सन्निकट मान
= 3 + ∆y
= 3 – 0.074
= 2.926.

प्रश्न 28.
\(\sqrt { 36.6 } \) का सन्निकटन करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए।
हल:
माना y = \(\sqrt{x}\)
जहाँ x = 36 और ∆x = 0.6
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∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।
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\(\sqrt { 36.6 } \) का सन्निकट मान = ∆y + 6
= 0.05 + 6 = 6.05.

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प्रश्न 29.
(15)1/4 का सन्निकट करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x1/4
जहाँ x = 16 और ∆x = -1
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∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।
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(15)1/4 का सन्निकट मान = ∆y + 2 = 2 – 0.031 = 1.969.

प्रश्न 30.
(26)1/3 का सन्निकट करने के लिए अवकलज का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x1/3
जहाँ x = 27 और ∆x = -1
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∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 34
(26)1/3 का सन्निकट मान = ∆y+3
= 3 – 0.037 = 2.963.

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प्रश्न 31.
एक गोले की त्रिज्या 9 सेमी मापी जाती है जिसमें 0.03 सेमी की त्रुटि है। इसके पृष्ठ के क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना गोले की त्रिज्या r तथा त्रिज्या मापन में त्रुटि ∆r है
दिया है:
r = 9 सेमी, ∆r = 0.03 सेमी
गोले का पृष्ठ S = 4πr2
\(\frac{dS}{dr}\) = 4π \(\frac{d}{dr}\)r2
⇒ \(\frac{dS}{dr}\) = 8πr
∆S = ( \(\frac{dS}{dr}\) ) ∆r
= (8πr) × 0.03 = 8π × 9 × 0.03 = 2.16 मी2
पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 2.16 मी2 है।

प्रश्न 32.
एक गोले की त्रिज्या 7 मी मापी जाती है जिसमें 0.02 मी की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना गोले की त्रिज्या r तथा त्रिज्या मापन में त्रुटि ∆r है
दिया है:
r = 7 मी, ∆r = 0.02 मी
गोले का आयतन V = \(\frac{4}{3}\)πr3
MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग img 36
आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 3.9π मी3 है।

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प्रश्न 33.
x मी भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
घन की भुजा x मी है
घन का आयतन V = x3, ∆x = x का 1% = \(\frac{x}{100}\)
\(\frac{dV}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) x3 = 3x2
आयतन में परिवर्तन ∆V = ( \(\frac{dV}{dx}\) ) ∆x
= 3x2 × \(\frac{x}{100}\) = 0.03 x3 मी3
आयतन में सन्निकट परिवर्तन 0.03x3 मी3 है।

प्रश्न 34.
x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
घन की भुजा x मीटर है।
∆x = x का 2% = \(\frac { x\times 2 }{ 100 } \) = 0.02x
घन का आयतन V = x3
\(\frac{dV}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) x3 = 3x2
dV = ( \(\frac{dV}{dx}\) ) ∆x = 3x2 × 0.02x = 0.06 x3 मी3
आयतन में सन्निकट परिवर्तन 0.06x3 मी3 है।

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