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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.3
प्रश्न 1.
वक्र y = 3x4 – 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है वक्र का समीकरण
y = 3x4 – 4x
अतः x = 4 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता 764 है।
प्रश्न 2.
वक्र y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न 3.
वक्र y = x3 – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 2 है।
हल:
वक्र y = x3 – x + 1
अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = 11
प्रश्न 4.
वक्र y = x3 – 3x + 2 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x – निर्देशांक 3 है।
हल:
वक्र y = x3 – 3x + 2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 5.
वक्र x = acos3 θ, y = a sin3 θ के θ = \(\frac{\pi}{4}\) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया वक्र
x = acos3 θ, y = a sin3 θ
प्रश्न 6.
वक्र x = 1 – asin θ, y = b cos2θ के θ = \(\frac{\pi}{2}\) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = 1 – asin θ, y = bcos2 θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 7.
वक्र y = x3 – 3x2 – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र y = x3 – 3x2 – 9x + 7
⇒ 3x2 – 6x – 9 = 0
⇒ 3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
x = 3 पर y = -20
तथा x = -1 पर, y = 12
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, -20) तथा (-1, 12) है।
प्रश्न 8.
वक्र y = (x – 2)2 पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) और (4, 4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण
y = (x – 2)2
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 2)
∴ स्पर्शी की प्रवणता = 2(x – 2)
तथा बिन्दु (2, 0) व (4, 4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
= \(\frac{4-0}{4-2}\) = 2
∵ स्पर्शी (2, 0) व (4, 4) से जाने वाली रेखा के समान्तर है।
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2
⇒ 2(x – 2) = 2
⇒ x = 3
∴ x = 3 पर y = (3 – 2)2
= 1
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, 1) होंगे।
प्रश्न 9.
वक्र y = x3 – 11x + 5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x – 11 है।
हल:
y = x3 – 11x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x2 – 11 …(1)
स्पर्श रेखा y = x – 11 की प्रवणता = 1 …(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x2 – 11 – 1 ⇒ 3x2 = 12 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2
जब x = 2 y = (2)3 -11 × 2 + 5 = 8 – 22 + 5
= 13 – 22 = -9
जब x = -2
y = (-2)3 – 11 × (-2) + 5 = -8 + 22 + 5
= 27 – 8 – 19
∴ (-2, 19) स्पर्श रेखा y = x – 11 पर नहीं है।
∴ बिन्दु (2, -9) पर स्पर्श रेखा y = x – 11है।
प्रश्न 10.
प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x-1}\), x ≠ -1 को स्पर्श करती है।
हल:
दिया गया वक्र y = 1
∴ \(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
परन्तु स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1 (दिया है)
∴ \(-\frac{1}{(x-1)^{2}}\) = 1
⇒ (x – 1)2 = 1
⇒ x2 + 1 – 2x = 1
⇒ x (x – 2) = 0
⇒ x = 0, 2
जब x = 0 तब y = -1
तथा जब x = 2 तब y = 1
अभीष्ट बिन्दु (0, -1) व (2, 1) हैं।
अब बिन्दु (0, -1) पर स्पर्शी का समीकरण
y + 1 = (-1)(x – 0)
y + 1 = -x
⇒ x + y + 1 = 0
तथा बिन्दु (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 1 = (-1) (x – 2)
⇒ y – 1 = -x + 2
⇒ x + y = 3
अतः अभीष्ट समीकरण x + y + 1 = 0 तथा x + y = 3 हैं।
प्रश्न 11.
प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x-3}\), x ≠ 3 को स्पर्श करती है।
हल:
वक्र y = \(\frac{1}{x-3}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
अत: ऐसी कोई स्पर्श रेखा नहीं है जिसकी प्रवणता 2 हो।
प्रश्न 12.
प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x^{2}-2 x+3}\) को स्पर्श करती है।
हल:
प्रश्न 13.
वक्र \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1\) पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ,
(i) x-अक्ष के समान्तर हैं,
(ii) y-अक्ष के समान्तर है।
हल:
दिया गया वक्र
प्रश्न 14.
दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y = x4 – 6x3 + 13x2 -10x + 5 के (0, 5) पर
(ii) y = x4 – 6x3 + 13x2 – 10x + 5 के (1, 3) पर
(iii) y = x3 के (1, 1) पर
(iv) y = x2 के (0, 0) पर
(v) x = cost, y = sint के t = \(\frac{\pi}{4}\) पर
हल:
(i) y = x4 – 6x3 + 13x2 -10x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 15.
वक्र y = x2 – 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
(b) रेखा 5y – 15x = 13 पर लम्ब है।
हल:
दिया गया वक्र
y = x2 – 2x + 7 …(i)
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 2
(a) ∵ स्पर्शी, रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
∴ स्पर्शी की प्रवणता रेखा 2x – y + 9 = 0 की प्रवणता = 2
∴ \(\frac{d x}{d y}\) = 2
⇒ 2x – 2 = 2
⇒ x = 2
जब x = 2 तब (1) से y = 22 – 2(2) + 7 = 7
∴ बिन्दु (2, 7)
∴ स्पर्श रेखा का समी० जो दी गई रेखा के समान्तर है बिन्दु (2, 7) पर,
y – y = 2(x – 2)
⇒ 2x – y + 3 = 0
(b) दी गई रेखा 5y – 15x = 13 की प्रवणता m1 = \(\frac{15}{5}\) = 3 तथा स्पर्शी रेखा की प्रवणता m2 = 2(x – 1)
∵ स्पर्शी व रेखा परस्पर लम्ब है
∴ m1 × m2 = -1
⇒ 3 × 2(x – 1)= -1
⇒ 6x – 6 = -1
⇒ x = 5/6
x = 5/6 समी० (i) में रखने पर,
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x3 + 11 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ x = 2 तथा x = -2 है।
हल:
यहाँ y = 7x3 + 11
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 21x2
जब x = 2, स्पर्श रेखा की प्रवणता
= 21 × 22 = 21 × 4 = 84
जब x = -2, स्पर्श रेखा की प्रवणता = 21 × (-2)2 = 84
x = 2 और x = -2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता समान है।
∴ इन बिन्दुओं पर स्पर्शरेखाएँ समान्तर हैं।
प्रश्न 17.
वक्र y = x3 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y – निर्देशांक के बराबर है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x1, y1) है।
वक्र का समी०
प्रश्न 18.
वक्र y = 4x3 – 2x5, पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं।
हल:
वक्र का समीकरण,
y = 4x3 – 2x5 …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 12×2 – 10×4
(x1, y1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 12x12 – 10x14 …(2)
(x1, y1) वक्र पर भी स्थित है।
∴ y12 = 4x13 – 2x15 …(3)
(x1, y1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – y1 = (12x12 – 10x14)(x – x1)
बिन्दु (0, 0) पर
0 – y1 = (12x12 – 10x14)(0 – x1) – y1 = (12x12 – 10x14)(-x1)
समी० (3) से 1 का मान रखने पर,
(4x13 – 2x15) = x1(12x12 – 10x14)
⇒ x13(4 – 2x12) = x13(12 – 10x12)
⇒ 4 – 2x12 = 12 – 10x12
⇒ -2x12 + 10x12 = 12 – 4
⇒ 8x12 = 8 ⇒ x12 =1 ∴ x = ±1, x1 = 0
वक्र का समीकरण, y = 4x3 – 2x5
जब x1 = 0 y1 = 0
जब x1 = 1, y1 = 4 – 2 = 2
जब x1 = -1, y1 = -4 + 2 = -2
अतः अभीष्ट बिन्दु (0, 0), (1, 2),(-1, -2) है।
प्रश्न 19.
वक्र x2 + y2 – 2x – 3 = 0 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र
x2 + y2 – 2x – 3 = 0
अतः स्पर्श रेखा पर स्थित अभीष्ट बिन्दु (1, ±2) हैं।
प्रश्न 20.
वक्र ay2 = x3 के बिन्दु (am2, am3) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण ay2 = x3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 21.
y = x3 + 2x + 6 के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समान्तर हैं।
हल:
वक्र का समीकरण, y = x3 + 2x + 6
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 22.
परवलय y2 = 4ax के बिन्दु (at2, 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय y2 = 4ax
∴ अभिलम्ब का समीकरण
y – 2at = -t (x -at2)
⇒ y – 2at = -xt + at3
⇒ xt + y = 2at + at3
प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y2 और xy = k एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं, यदि 8k2 = 1 है।
हल:
वक्र x = y2 …(1)
तथा xy = k …(2)
x का मान समी० (2) में रखने पर,
y2. y = k → y3 = k ∴ y = k1/3 तथा x = k2/3
अतः दिए गए वक्र एक-दूसरे को P(k2/3, x1/3) पर काटते हैं।
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
प्रश्न 24.
अतिपरवलय \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के बिन्दु (x0, y0) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
अतिपरवलय का समीकरण
प्रश्न 25.
वक्र y = \(\sqrt{3 x-2}\) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x – 2y + 5 = 0 के समान्तर
हल:
वक्र का समीकरण t = \(\sqrt{3 x-2}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
नोट-प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 26.
वक्र y = 2x2 + 3 sin x के x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है-
(A) 3
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) -3
(D) \(-\frac{1}{3}\)
हल:
वक्र का समीकरण y = 2x2 + 3sin x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 4x + 3cosx
x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 4 × 0 + 3cos 0 = 3
∴ अभिलम्ब की प्रवणता = \(-\frac{1}{m}=-\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प (D) सही है।
प्रश्न 27.
किस बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y2 = 4x की स्पर्श रेखा है?
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (1, -2)
(D) (-1, 2) है।
हल:
वक्र का समीकरण y2 = 4x …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
y का मान समी० (1) में रखने पर,
4 = 4x ∴ x = 1
बिन्दु (1, 2) पर रेखा y = x + 1 स्पर्श रेखा है।
अतः विकल्प (A) सही है।