MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखंडज E (adjoint) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A =|A|. I है।
प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:


प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {7} \\ {2} & {5}\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ll}{6} & {8} \\ {7} & {9}\end{array}\right]\) है तो सत्यापति कीजिए कि (AB)^-1 = B^-1A^-1 है|
हल:

प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{3} & {1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\) है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {2} \\ {1} & {1}\end{array}\right]\) के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 हो।
हल:

संगत अवयवों की तुलना करने पर
8 + 2a = 0 ⇒ a = -4
11 + 3a + b = 0 ⇒ b = -11 + 12 = 1
अतः a = -4, b = 1

प्रश्न 15.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-3} \\ {2} & {-1} & {3}\end{array}\right]\) के लिए दर्शाइए कि A³ – 6A² + 5A + 11I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:


अब A^-1 ज्ञात करने के लिए गणना
∵ A³ – 6A² + 5A + 11I = 0
दोनों और A^-1 से गुणा करने पर
(A^-1A)A² – 6(A¹ A)A + 5A^-1 A + 11A^-1I = 0
⇒ IA² – 6IA + 51 + 11A^-1 = 0
⇒ A² – 6A + 5I + 11A^-1 = 0
⇒ 11A^-1 = -A² + 6A – 5I

प्रश्न 16.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{2} & {-1} & {1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2}\end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि A³ – 6A² + 9A – 4I =0 है तथा इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो | adj A | का मान है
(A)|4|
(B)| A|²
(C)|A}³
(D) 3| A|
हल:
adj A = | A|^n-1, यहाँ n =3
∴ | adj A = | A²
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि 2 का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A^-1) बराबर है
(A) det(A)
(B) \(\frac { 1 }{ det\left( A \right) } \)
(C) 1
(D) 0
हल:
A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है ⇒ |A | ≠ 0
∴ AA^-1 = I या |AA^-1| = |I| = 1
या |A || A^-1| = 1
|A^-1| = \(\frac{1}{|A|}\)
⇒ det (A^-1) = \(\frac { 1 }{ det\left( A \right) } \)
अतः विकल्प (B) सही है।