MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
cosx. cos 2x. cos3x
हल:
माना y = cosx. cos 2x. cos3x
दोनों ओर log लेने पर
logy = log [cos x. cos 2x. cos3x]
= log cosx + log cos 2x + log cos3x
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
हल:

माना y = (log x)^{cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2sin x
हल:
माना y = x^x – 2sinx
= u – v (माना)
जबकि u = x, v = 2sinx
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log u = log x^x = xlogx
x के सापेक्ष दोनों अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
हल:
माना = (x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)² . (x + 4)³ (x + 5)⁴]
log y = log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
[∵ log mn = log m + log n]
log y = 2log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5) [∵ log mⁿ = n log m]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7
(log x)^x + x ^{log x}
हल:
माना y = (log x)^x + x ^{log x}
= u + v (माना)

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1 \( \sqrt{{x}} \)
हल:
माना y = (sin x)^x + sin^-1 \( \sqrt{{x}} \)
= u + v (माना)
∴ u = (sin x)^x
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log u = log (sin x)^x = x log sin x
दोनों तरफ अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
हल:
माना y = x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
माना u = x^{sin x} …(i)
तथा v = (sin x)^cosx …(ii)
∴ y = u + v …(iii)
समी० (i) व (ii) में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
log u = sin x log x तथा log v = cos x log sin x

प्रश्न 10.
x^xcosx + \(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\)
हल:

प्रश्न 11.
(x cos x)^{sin x} + (x sin x)^1/x
हल:
माना y = (x cos x)^{sin x} + (x sin x)^1/x
= u + v (माना)

प्रश्न 12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल:
x^y + y^x = 1
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
y log x + x log y = 0 [∵log 1 0)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल:
y = x दोनों ओर लघुगणक लेने पर
logy^x = log x^y
⇒ x log y = y log x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cosx)^y = (cos y)^x
हल:
(cosx)^y = (cos y)^x
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
ylog (cos.x) = x log (cos y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
हल:
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर,
logxy = loge^x-y
⇒ log x + log y = (x – y) loge
⇒ logx + logy = x – y (∵ log e = 1)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f(1) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
∴ log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log (1 + x⁴) + log (1 + x⁸)
दोनों ओर का अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए-
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान है।
हल:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग
माना = (x² – 5x + 8).(x³ + 7x + 9)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि u, v तथा w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि

हल: