MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.2

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.2

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि दिक् कोसाइन \(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\) \(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13} ; \frac{3}{13}, \frac{-4}{13}, \frac{12}{13}\) वाली तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत्
हल:
माना


अतः तीनों रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, – 1, 2), (3, 4, – 2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लंब है।
हल:
बिन्दुओं (1, – 1, 2) तथा (3, 4, – 2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 3 – 1, 4 + 1, – 2, – 2 या 2, 5, – 4
माना a₁ = – 2, b₁ = 5 तथा C₁ = – 4
अब बिन्दु (0, 3, 2) तथा (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4
अब a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂
= 2 x 3 + 5 x 2 + (- 4) x 4
= 6 + 10 – 16 = 0
∴ रेखाएँ परस्पर लंब हैं।

प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (4, 7, 8) (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (- 1, – 2, 1), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समांतर है।
हल:
बिन्दुओं (4, 7, 9), (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 2, – 4, 3 – 7, 4 – 8 या – 2, – 4, – 4
माना a₁ = – 2, b₁ = – 4 तथा c₁= – 4
अब बिन्दुओं (- 1, – 2, 1) (1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 1 + 1, 2 + 2, 5 – 1 या 2, 4, 4
माना a₁ = 2, b₂ = 4, C₂ = 4

∴ रेखाएँ परस्पर समांतर हैं।

प्रश्न 4.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश \(3 \hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}-2 \hat{\mathbf{k}}\) के समांतर है।
हल:
दिया है

यही रेखा के समी० का कार्तीय रूप है।

प्रश्न 5.
बिन्दु जिसकी स्थिति सदिश \(2 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+4 \hat{\mathbf{k}}\) से गुजरने व सदिश \(\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\) की दिशा में जाने वाली रेखा का सदिश और कार्तीय रूपों में समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है

यही रेखा के समी०का कार्तीय रूप हैं।

प्रश्न 6.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (- 2, 4, – 5) से जाती है और \(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}\) के समांतर हैं।
हल:
बिन्दु (- 2, 4, – 5 ) से होकर जाने वालों और रेखा
\(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}\) के समांतर रेखा के समीकरण का
कार्तीय समीकरण
\(\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+5}{6}\) हैं।

प्रश्न 7.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण \(\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\) है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात 37 2 कीजिए।
हल:
दी गई रेखा का कार्तीय समीकरण
\(\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}\)
इससे स्पष्ट होता है कि रेखा बिन्दु A (+ 5, – 4, 6) से होकर जाती है तथा यह सदिश \(\vec{a}=3 \hat{i}+7 \hat{j}+2 \hat{k}\) के समांतर है। तथा A का स्थिति सदिश \(\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\)
∴ रेखा का सदिश समी० \(\vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b}\)
या \(\vec{r}=(5 \hat{i}-4 \hat{j}+6 \hat{k})+l(3 \hat{i}+7 \hat{j}+\hat{2} \hat{k})\)

प्रश्न 8.
मूल बिन्दु और (5, – 2, 3) से जाने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O(0, 0,0) तथा A (5, – 2, 3) दो बिन्दु है।

जोकि रेखा का कार्तीय रूप है।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, – 2, – 5) और (3, – 2, 6) से गुजरने वाली रेखा का सदिश तथा कार्तीय रूपों में समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना P(3, – 2, – 5) और Q(3, – 2, 6) दो बिन्दु स्थिति सदिश हैं।

यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

प्रश्न 10.
निम्न रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए–

हल:

(ii) माना \(\overline{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j} \times 2 \hat{k}\), \(\overline{b}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-4 \hat{k}\) तथा दोनों रेखाओं के मध्य कोण θ है इसलिए

प्रश्न 11.
निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

हल:
(i) पहली रेखा के दिक् अनुपात 2, 5, – 3 तथा दूसरी रेखा के दिक् अनुपात – 1, 8, 4 हैं।
माना इनके बीच का कोण θ है, तब

या θ = \(\cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\)

प्रश्न 12.
p का मान ज्ञात कीजिए ताकि रेखायें \(\frac{1-x}{3}=\frac{7 y-14}{2 p}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{7-7 x}{3 p}=\frac{y-5}{1}=\frac{6-z}{5}\) परस्पर लम्ब हों।
हल:
समी० को व्यापक रूप में लिखने पर

प्रश्न 13.
दिखाइये कि रेखाएँ \(\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}\)
हल:
पहली व दूसरी रेखा के दिक् अनुपात 7, – 5, 1 तथा 1, 2, 3 हैं।
तब a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 7 · 1 + 2 · – 5 + 3 · 1
= 7 – 10 + 3 = 10 – 10 = 0
अतः रेखायें परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 14.
रेखाओं \(\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) और \(\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}=\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ-

रेखाओं के बीच की दूरी

प्रश्न 15.
रेखाओं \(\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}\) और \(\)\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1} के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रश्न 17.
रेखाएँ जिनकी सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
पहली रेखा का समीकरण


इसका मान (1) में रखने पर