MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
(i) माना एक लाल गेंद निकाली जाती है।
∴ लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
अब दो लाल गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
⇒ कलश में 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{7}{12}\)
(ii) माना पहले काली गेंद निकाली जाती है।
काली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
फिर दो काली गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
अब कलश में 5 लाल और 7 काली गेंदें हैं।
एक लाल गेंद होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{12}\)
दूसरी लाल गेंद होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}+\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}\)
= \(\frac{7}{24}+\frac{5}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से 1 गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
हल:
माना पहले थैले चुनने की घटना E₁ व दूसरे थैले को चुनना E₂ है
∴1 थैले चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E₁) = P(EE₂) = \(\frac{1}{2}\)
∵ पहले थैले में 4 लाल व 4 काली गेंद हैं
∴ इनमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
माना लाल गेंद R से प्रदर्शित है
∴ \(P\left(\frac{R}{E_{1}}\right)=\frac{1}{2}\)
चूँकि दूसरे थैले में 2 लाल व 6 काली गेंद हैं।
∴ इसमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता

अतः पडले शैले से लाल गोट निकाले जाने की परिकता

अतः पडले शैले से लाल गोट निकाले की परिकता
= \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 3.
यह ज्ञात है कि महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A- ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A- ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
हल:
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की घटनाएँ क्रमश: E₁ तथा E₁ हैं।
छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 60% = 0.6
छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 40% = 0.4
A- ग्रेड छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 30%
= 0.3 = P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\)
A- ग्रेड छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता
P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 20% = 0.2
A- ग्रेड छात्रावास में रहने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\)है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
हल:
माना घटनाएँ
E₁ = विद्यार्थी के उत्तर जानने की
E₂ = वह अनुमान लगाता है।
P(E₁) = \(\frac{3}{4}\), P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
माना A उत्तर सही होने की घटना है।
यदि विद्यार्थी उत्तर जातना है
⇒ उत्तर सही है।
\(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1
जब अनुमान लगाता है, P\(P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ इस बात की प्रायिकता कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है —

प्रश्न 5.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
हल:
माना घटनाएँ E = रोग से ग्रस्त व्यक्ति
E’ = रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति
A = रक्त की जाँच में रोग
रोग से ग्रस्त व्यक्ति की प्रायिकता
P(E) = 0.1% = 0.001
रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति की प्रायिकता
P(E’) =1 – P(E)
=1 – 0.001 = 0.999
उन व्यक्तियों की प्रायिकता जो रोगी तथा रक्त की जाँच में रोग हो
P\(\left(\frac{A}{E}\right)\) = 99% = 0.99
किसी स्वस्थ व्यक्ति के रक्त की जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता हैं यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बताने की प्रायिकता
P\(\left(\frac{A}{E^{\prime}}\right)\) = 0.005
कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में पाये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 6.
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
हल:
कुल सिक्कों की संख्या = 3
∴ तीनों सिक्कों में से 1 सिक्का चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\)
माना तीनों सिक्कों की घटनाएँ E₁, E₂ व E₃ हैं तथा चित आने की घटना A है
∴ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
∵ एक सिक्के के दोनों और चित है
∴ P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1
∵ दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 1
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.75% = \(\frac{3}{4}\)
तथा तीसरा सिक्का अनभिनत है।
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 7.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 हैं। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना
E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना
E₂ = कार चालक का बीमा होना
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों 4000 चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
कुल चालकों की संख्या
= 2000 + 4000 + 6000 = 12000
माना स्कूटर चालकों के होने की प्रायिकता
=P(E₁) = \(\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6}\)
कार चालकों के होने की प्रायिकता
= P(E₂) = \(\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3}\)
ट्रक चालकों के होने की प्रायिकता
= P(E₃) = \(\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}\)
स्कूटर चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01 (जहाँ दुर्घटाओं की घटना A से प्रदर्शित है।)
कार चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
=P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.03
ट्रक चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
=P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.15
बीमाकृत चालकों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक कारखाने में A और B दो मशीने लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो तो इस वस्तु के ‘मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
माना मशीन A द्वारा उत्पादन की घटना = E₁
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की घटना = E₂
माना C खराब उत्पादन को प्रदर्शित करते हैं
∴ मशीन A द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
P(E₁) = 60%
= 0.6
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
= 0.4
तथा मशीन A द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता
P\(\left(\frac{c}{E_{1}}\right)\) = 2% = 0.02
तथा मशीन B द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता
P\(\left(\frac{c}{E_{1}}\right)\) =1% = 0.01
∵ कुल उत्पादन के ढेर से निकाली खराब वस्तु के मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता

प्रश्न 9.
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरा दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
हल:
माना
E₁ = पहले दल के जीतने की घटना
E₂ = दूसरे दल के जीतने की घटना
A/E₁ = पहला दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
A/E₂ = दूसरा दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₁) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₂) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता
=P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.7
दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता
=P \(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.3
i.e., P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4
अब नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किए गए, की प्रायिकता

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितों’ की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1,2,3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘चित’ या ‘पट’ प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
P(E₁) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
1, 2, 3, 4 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
P(E₂) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
जब वह 5 या 6 प्राप्त करती है, तब वह सिक्का तीन बार उछालती है।
∴ [HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
एक चित प्राप्त होने के तरीके [HTT, THT, TTH] यानी तीन तरीके
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
∴ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{3}{8}\)
जब वह 1, 2, 3, 4 प्राप्त करती है तब वह एक सिक्के को एक बार उछालती है।
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
i.e., P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{2}\)
यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासों पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमश: 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ E₁, E₂, E₃ घटती हैं।
P(E₁) =50% = 0.5,
P(E₂) =30% = 0.3,
P(E₃) = 20% = 0.2
माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=0.01\)
दूसरा ऑपरेटर 5% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=0.05\)
तीसरा ऑपरेटर 7% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)=0.07\)
इस प्रकार, P(E₁) = 0.5,
P(E₂) = 0.3,
P(E₃) = 0.2
P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01,
P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.05,
P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.07
यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता

प्रश्न 12.
52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
E₁ = खो गए पत्ते ईंट की घटना है।
E₂ = खो गए पत्ते ईंट न होने की घटना है।
यहाँ 52 ताशों की गड्डी में से 13 पत्ते ईंट के हैं।
P(E₁) = \(\frac{13}{52} \mathrm{C}_{1}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
यहाँ 39 पत्ते हैं जिसमें ईंट के पत्ते नहीं हैं।
P(E₂) = \(\frac{39}{52}=\frac{3}{4}\)
(i) जब ईंट का पत्ता खो गया हो तब 51 पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जाएंगे।
P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{^{12} C_{2}}{^{51} C_{2}}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}
यहाँ A खो गए पत्तों को प्रदर्शित करता है।
जब ईट के पत्ते खोए नहीं हैं, तब यहाँ 13 ईंट के पत्ते हैं।
दो ईंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{13} C_{2}}{^{51} C_{2}}=\frac{13 \times 12}{51 \times 50}\)
खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है –
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{5}\)
(D) \(\frac{2}{5}\)
हल:
माना E₁ = A सत्य बोलने की घटना
E₂ = A सत्य न बोलने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{4}{5}\) (दिया है)
∴ P(E₂) =1 – P(E₁)
= \(1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
चित प्रदर्शित होने की घटना A है।
∴ P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
जब A सत्य नहीं बोलता, तब यह चित है।
चित प्रकट होने की प्रायिकता
P \(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 14.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A⊂B तथा P(B) ≠ 0 तो निम्न में से कौन ठीक है –
(A) \(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(B)}{P(A)}\)
(B) \(P\left(\frac{A}{B}\right)<P(A)\)
(C) \(P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A)\)
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
A ⊂ B ⇒ A ∩B = A

अत: विकल्प (C) सही है।