MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि सारणिक

हल:

= x(-x² – 1) – sin θ (-xsin θ – cos θ) + cos θ(-sin θ + xcosθ)
= -x(x² + 1) + xsin²θ + sinθcos θ – sin θcos θ + xcos²θ
= -x(x² + 1) + x (sin²θ + cos²θ)
= -x(x² + 1) + x = -x[x² + 1 – 1] = -x³
जो कि θ से स्वतन्त्र है।

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि

हल:

प्रश्न 3.

का नाम ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 4.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों और सारणिक

हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है|
हल:


[R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁]
= 2(a + b + c)[1{(b – c)(c – b) – (c – a)(b – a)} – (c + a){0 – 0} + (a + b){0 – 0}]
= 2(a + b + c)[-{(b – c)}² – (bc – ac – ab + a²)]
= 2(a + b + c)[-b² – c² + 2bc – bx + ac + ab – a²]
= 2(a + b + c)[-b² – c² + bc + ac + ab – a²]
= 2(a + b + c)[a² + b² + c² – ab – bc – ca]
= -(a + b + c)[2a² + 2b² + 2c² – 2ab -2bc – 2ca]
= -(a + b + c)[(a – b) + (b – c) + (c – a)²
अब ∆ = 0 ⇒ a + b + c = 0 या a = b = c

प्रश्न 5.
यदि a ≠ 0 हो तो समीकरण

हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि

हल:


∆ = 2a²b²c[(a+ c)(1 – 0) – 1(a + b – b – c)]
= 2a²b²c[a + c – a + c] = 2a²b²c
2c = 4a²b²c²

प्रश्न 7.
यदि A^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}{3} & {-1} & {1} \\ {-15} & {6} & {-5} \\ {5} & {-2} & {2}\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-2} \\ {-1} & {3} & {0} \\ {0} & {-2} & {1}\end{array}\right]\) हो तो (AB)^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-2} & {1} \\ {-2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {5}\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि
(i) [adj A]^-1 = adj (A^-1)
(ii) (A^-1)^-1 = A
हल:

प्रश्न 9.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित 11 से 15 तक प्रश्नों को सिद्ध कीजिए
प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

[R₁ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁]
= (a + b + c)[1{(2b + a)+ (2c + a) – (a – b)(a – c)}]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a² – (a² – ac – ab + bc)]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a² – a² + ac + ab – bc]
= (a + b + c)(3bc + 3ab + 3ac]
= 3 (a + b + c) (ab + bc + ca) = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.
निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए

हल:

निम्नलिखित प्रश्नों 17 से 19 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 17.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हों तो सारणिक

(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) 2x
हल:

प्रश्न 18.
यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{lll}{\boldsymbol{x}} & {\mathbf{0}} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\boldsymbol{y}} & {\mathbf{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} & {z}\end{array}\right]\) का व्युत्क्रम है-

हल:

प्रश्न 19.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {\sin \theta} & {1} \\ {-\sin \theta} & {1} & {\sin \theta} \\ {-1} & {-\sin \theta} & {1}\end{array}\right]\), जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2 हो तो-
(A) det (A) = 0
(B) det (A) ϵ (2, ∞)
(C) det (A) ϵ (2, 4)
(D) det (A) ϵ [2, 4]
हल: