MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
cos^-1(cos\(\frac{13 \pi}{6}\))
हल:
माना y = cos^-1(cos\(\frac{13 \pi}{6}\))
cos^-1 की मुख्य मान शाखा का परिसर [0, π] है।

प्रश्न 2.
tan^-1(tan\(\frac{7 \pi}{6}\))
हल:
माना y = tan^-1(tan\(\frac{7 \pi}{6}\))
tan^-1 की मुख्य मान शाखा का परिसर \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए-
2 sin^-1\(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{24}{7}\)
हल:
2 sin^-1\(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{24}{7}\)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए
sin^-1\(\frac{8}{17}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = tan^-1\(\frac{77}{36}\)
हल:
यहाँ sin^-1\(\frac{8}{17}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = tan^-1\(\frac{77}{36}\)

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए-
cos^-1\(\frac{4}{5}\) + cos^-1\(\frac{12}{13}\) = cos^-1\(\frac{33}{65}\)
हल:
cos^-1\(\frac{4}{5}\) + cos^-1\(\frac{12}{13}\) = cos^-1\(\frac{33}{65}\)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए-
cos^-1\(\frac{12}{13}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = sin^-1\(\frac{56}{65}\)
हल:
cos^-1\(\frac{12}{13}\) + sin^-1\(\frac{3}{5}\) = sin^-1\(\frac{56}{65}\)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए-
tan^-1\(\frac{63}{16}\) = sin^-1\(\frac{5}{13}\) + cos^-1\(\frac{3}{5}\)
हल:
R.H.S. = sin^-1\(\frac{5}{13}\) + cos^-1\(\frac{3}{5}\)

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए-
tan^-1\(\frac{1}{5}\) + tan^-1\(\frac{1}{7}\) + tan^-1\(\frac{1}{3}\) + tan^-1\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{\pi}{4}\)
हल:
L.H.S.
(tan^-1\(\frac{1}{5}\) + tan^-1\(\frac{1}{7}\)) + (tan^-1\(\frac{1}{3}\) + tan^-1\(\frac{1}{8}\))

सिद्ध कीजिए
प्रश्न 9.
tan^-1\( \sqrt{{x}} \) = \(\frac{1}{2} \) cos^-1\(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\), x ϵ [0, 1]
हल:
माना x = tan²θ ⇒ θ = tan^-1\( \sqrt{{x}} \)

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

निम्नलिखित समीकरणों को सरल कीजिए।
प्रश्न 13.
2 tan^-1(cosx) = tan^-1(2cosec x)
हल:
2 tan^-1(cosx) = tan^-1(2 cosecx)

प्रश्न 14.
tan^-1\(\frac{1-x}{1+x}=\frac{1}{2}\)tan^-1 x, (x > 0)
हल:

प्रश्न 15.
sin (tan^-1x), |x| < 1 बराबर होता है-

हल:
sin (tan^-1x)
माना tan^-1x = θ
x = tanθ

प्रश्न 16.
यदि sin^-1(1 – x) – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\), तो x का मान बराबर है-
(A) 0, \(\frac{1}{2}\)
(B) 1, \(\frac{1}{2}\)
(C) 0
(D) \(\frac{1}{2}\)
हल:
sin^-1(1 – x) – 2sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)
हम जानते हैं, \(\frac{\pi}{2}\) = sin^-1(1 – x) + cos^-1(1 – x)
∴ sin^-1 (1 – x) – 2sin^-1 x = sin^-1 (1 – x) + cos^-1 (1 – x)
⇒ -2sin^-1 x = cos^-1 (1 – x) … (1)
माना sin^-1x = θ
∴ x = sin θ
∴ cos 2θ = 1 – 2sin² θ = 1 – 2x²
cos (-2θ) = 1 – 2x²
-2θ = cos^-1 (1 – 2x²)
-2sin^-1 x = cos^-1 (1 – 2x²) …(2)
समीकरण (1) व (2) से,
cos^-1(1 – 2x²) = cos^-1 (1 – x)
1 – 2x² = 1 – x
x² – 2x² = 0
x(1 – 2x²) = 0 = x = 0, x = \(\frac{1}{2}\)
x = \(\frac{1}{2}\) समीकरण को सन्तुष्ट नहीं करता है।
∴ x = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
tan^-1\(\left(\frac{x}{y}\right)\) – tan^-1\(\frac{x-y}{x+y}\) का मान है-

हल: