MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) – 6y = log x
इस अवकल समी० में उच्चतम अवकलज कोटि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\)
अतः समीकरण की कोटि 2 है व घात 1 है।
(ii) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) + 7y = sin x
इस समी० की कोटि 1 व घात 3 है।
(iii) \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-\sin \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)\) = 0
समी० की कोटि 4घात के लिए परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल:

प्रश्न 3.
(x – a)² + 2y² = a² द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समी० निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।
हल:
वक्र का समी०
(x – a)² + 2y² = a²
x² – 2ax + 2y² = 0 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x² – y² = c (x² + y²)² जहाँ c एक प्राचल है, अवकल समीकरण (x³ – 3xy²)dx = (y³ – 3x²y) dy का व्यापक हल है।
हल:
अवकल समीकरण
(x -3xy²) dx = (y³ – 3x²y) dy

प्रश्न 5.
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
हल:
वह वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करें
(x – a)² + (y – a)² = a² …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
अवकल समी० \(\frac{d y}{d x}+\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}=0\) जबकि x ≠ 1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0\) का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है|
हल:
अवकल समीकरण


∴ अभीष्ट हल है :
x + y + 1 = A(1 – x – y – 2xy)

प्रश्न 8.
बिन्दु (0, \(\frac{\pi}{4}\)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है|
हल:
अवकल समीकरण,
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
cos y cos x से भाग करने पर,

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण (1 + e^2x) dy + (1 + y²)e^x dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 1 यदि x = 0
हल:
अवकल समीकरण :
(1+ e^2x) dy + (1 + y²) e^x dx = 0
(1 + e^2x) (1 + y²) से भाग करने पर,

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण ye^x/ydx = (xe^x/y + y²)dy (y ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : अवकल समीकरण

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x – y)(dx + dy) = dx – dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1, यदि x = 0.
हल:
दिया है : अवकल समीकरण
(x – y) (dx + dy) = dx – dy
(x – y – 1) dx + (x – y + 1) dy = 0

प्रश्न 12.
अवकल समी० \(\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1\) (x ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + y cotx = 4x cosecx (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है : y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
दिया है : अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4x cosecx
रैखिक समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर,

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2e^-y – 1 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0.
हल:
दिया है : अवकल समीकरण,

= log (x + 1) + C
या -logt = log (x + 1) + C
या – log (2 – e^y) = log (x + 1) + C
log (x + 1) + log (2 – e^y) = -C
या log (x + 1) (2 – e^y) = log A
यहाँ C =- log A
∴ (x + 1) (2 – e^y) = A
x = 0, y = 0 रखने पर,
2 – 1 = A = 1
(x + 1) (2 – e^y) = 1

प्रश्न 15.
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
हल:
माना किसी समय t पर गाँव की जनसंख्या y है।

∴ log y = kt + C …(1)
सन् 1999 में मान लिया t = 0, जनसंख्या = 20,000
∴ log 20,000 = 0 + C
⇒ C = log 20,000
C का मान (1) में रखने पर,
log y = kt + log 20,000
या log y – log 20,000 = kt
∴ log \(\frac{y}{20,000}\) = kt …(2)
सन् 2004 में,
∴ \(\log \frac{25,000}{20,000}\) = k × 5
⇒ k = \(\frac{1}{5}\) log \(\frac{5}{4}\)
k का मान समी० (2) में रखने पर,

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}=0\) का व्यापक हल है
(A) xy = C
(B) x = Cy²
(C) y = Cx
(D) y = Cx²
हल:
दिया है : अवकल समीकरण :

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁ के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है-


हल:
दिया है : अवकल समीकरण
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁
जहाँ P₁ और Q₁, y के फलन हैं।

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 18.
अवकल समी० e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है-
(A) xe^y + x² = C
(B) xe^y + y² = C
(C) ye^x + x² = C
(D) ye^y + x² = C
हल:
दिया हुआ समी०
e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0

अतः विकल्प (C) सही है।