MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रायिकता Important Questions

प्रायिकता वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक थैले में 5 भूरे तथा 4 सफेद मोजे रखे हैं। एक पुरुष थैले में से दो मोजे निकालता है। दोनों का एक ही रंग होने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{108}\)
(b) \(\frac{18}{108}\)
(c) \(\frac{30}{108}\)
(d) \(\frac{48}{108}\)

प्रश्न 2.
एक पासे को तीन बार फेंका गया। प्रत्येक बार पूर्व प्राप्त संख्या से बड़ी संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{5}{72}\)
(b) \(\frac{5}{34}\)
(c) \(\frac{13}{216}\)
(d) \(\frac{1}{18}\)

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प्रश्न 3.
यह दिया है कि घटनाएँ A तथा B ऐसी हैं कि P(A) = \(\frac{1}{4}\), P( \(\frac{A}{B}\) )  \(\frac{1}{2}\) तथा P( \(\frac{B}{A}\) ) =
\(\frac{2}{3}\) तो P(B) का मान है –
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{6}\)

प्रश्न 4.
एक सिक्का 4 बार उछाला गया है। कम से कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता है –
(a) \(\frac{1}{16}\)
(b) \(\frac{2}{16}\)
(c) \(\frac{14}{16}\)
(d) \(\frac{15}{16}\)

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प्रश्न 5.
A के सत्य बोलने की प्रायिकता है \(\frac{4}{5}\) तथा B के सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है। एक ही तथ्य के पूछने पर उनके एक-दूसरे के विरोधी उत्तर देने की प्रायिकता है –
उत्तर:
(a) \(\frac{3}{10}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{7}{20}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

  1. P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{C}\right)\)  + ………………………
  2. P(A∩B) = …………….. था ………………………..
  3. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P(A∩B) = ……………………..
  4. A और B दो स्वतंत्र घटनाएँ हों, तो P\(\left(\frac{A}{C}\right)\) = …………………………….
  5. यदि यादृच्छिक चर x के संगत प्रायिकता P(X) हो, तो घटना E का X का माध्य E(X) = ……………………….. होगा।
  6. यदि यादृच्छिक चर X के संगत P(X) हो, तो X का प्रसरण Var (X) = ……………………….. होगा।

उत्तर:

  1. P \(\left(\frac{B}{C}\right)\) – P \(\left(\frac{A \cup B}{C}\right)\)
  2. P(B).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  या P(A).P \(\left(\frac{A}{B}\right)\) = या P(A).P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)
  3. P(A).P(B)
  4. P(A), P(B) ≠ 0
  5. ΣX.P(X)
  6. ΣX2.P(X)- [ΣX.P(X)]2.

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प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

  1. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A – B) = P(A) – P (A∩B)
  2. यदि A और B कोई दो घटनाएँ हों तब P(A∪B) – P(A∩B) = P(A) + P(B).
  3. P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  =  \(\frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
  4. यदि A और B प्रतिदर्श समष्टि S की कोई दो घटनाएँ हैं और F एक अन्य घटना इस प्रकार है कि P(F) ≠ 0, तब P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)  = P \(\left(\frac{A}{F}\right)\)  + P \(\left(\frac{B}{F}\right)\)  – P \(\left(\frac{A \cup B}{F}\right)\)
  5. किन्ही दो घटनाओं A और B के लिए P(A∪B) = P(A∩B) + P( \(\bar { A } \)∩B) + P(A∩\(\bar { B } \))

उत्तर:

  1. सत्य
  2. असत्य
  3. असत्य
  4. सत्य
  5. सत्य।

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प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

  1. एक लीप वर्ष में 53 शुक्रवार आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
  2. एक सिक्का 4 बार उछाला गया है कम-से-कम एक शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
  3. A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं जहाँ, P(A) = \(\frac{1}{4}\), P \(\left(\frac{A}{B}\right)\)  = \(\frac{1}{2}\) तथा P \(\left(\frac{B}{A}\right)\)  = \(\frac{2}{3}\), तो P(B) का मान ज्ञात कीजिए।
  4. 5 पत्र तथा 5 पते लिखे लिफाफे हैं। यदि यादृच्छया पत्रों को लिफाफे में रखा जाए, तो 3 पत्रों को सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता क्या होगी?
  5. गणित की एक समस्या को तीन विद्यार्थियों द्वारा हल करने की संभावनाएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) हैं। समस्या हल हो जाने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर:

  1. \(\frac{2}{7}\)
  2. \(\frac{15}{16}\)
  3. \(\frac{1}{3}\)
  4. \(\frac{1}{12}\)
  5. \(\frac{3}{4}\)

प्रायिकता लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
(A) दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं। योगफल 8 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
दो पासे एक साथ एक बार उछाले जाते हैं
∴ n(S) = 62 = 36
योगफल 8 आने की घटना
A = {(2,6); (6,2); (5,3); (3,5); (4,4)}
∴ n(A) = 5
∴ योगफल 8 आने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{5}{36}\)

(B) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

(C) दो पासे एक साथ उछाले जाते हैं। ऊपरी फलक पर योगफल 7 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 1 (A) की भाँति हल करें।

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प्रश्न 2.
एक घटना का प्रतिकूल संयोगानुपात 3 : 4 है, तो उसके न घटने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात = 3 : 4
∵ घटना के न घटने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{b}{a+b}\)
⇒ P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\)

प्रश्न 3.
52 ताश के पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता यदृच्छया निकाला जाता है, तो उसके चेहरे वाला पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ, प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 52
∵ चेहरे वाले पत्ते = 4 गुलाम + 4 बेगम + 4 बादशाह
∴ n(A) = 4 + 4 + 4 = 12
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{12}{52}\) = \(\frac{3}{13}\)

प्रश्न 4.
यदि किसी लीप वर्ष को यदृच्छया चुन लिया जाये तो उस वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
लीप वर्ष में 366 दिन होते हैं अर्थात् 52 सप्ताह और 2 दिन। अब शेष दो दिन बचे जिनकी सम्भावना इस प्रकार है:
(रविवार, सोमवार), (सोमवार, मंगलवार), (मंगलवार, बुधवार); (बुधवार, गुरुवार), (गुरुवार, शुक्रवार), (शुक्रवार, शनिवार), (शनिवार, रविवार)
प्रतिदर्श समष्टि n(S) = 7
यदि रविवार की घटना E है, तो n(E) = 2
अतः 53 रविवार होने की प्रायिकता = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{2}{7}\).

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प्रश्न 5.
घोड़े A के किसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) तथा घोड़े B के उसी दौड़ में जीतने की प्रायिकता \(\frac{1}{8}\) है, तो इनमें से किसी एक के जीतने की प्रायिकता क्या है?
हल:
घोड़े A के जीतने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{4}\)
घोड़े B के जीतने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{8}\)
∵ A और B परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, अत: P(A∩B) = 0
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) = \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{2+1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 6.
(A) 52 पत्तों की ताश की गड्डी से यदृच्छया एक पत्ता खींचने पर उसके बादशाह या हुकुम का पत्ता होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बादशाह खींचने की घटना A तथा हुकुम का पत्ता खींचने की घटना B है, तो
n(S) = 52, n(A)= 4, n(B) = 13, n(A∩B) =1
[क्योंकि ताश की गड्डी में चार बादशाह होते हैं; 13 हुकुम के पत्ते होते हैं तथा एक हुकुम का बादशाह होता है।]
∴P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{52}\), P(B) = \(\frac { n(B) }{ n(S) } \) = \(\frac{13}{52}\)
P(A∩B) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\) = \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\).

(B) ताश की गड्डी में से एक पत्ता खींचा जाता है, प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि यह न तो इक्की है न ही बादशाह।
हल:
कुल बादशाह = 4, कुल इक्का = 4
8 पत्तों में से कोई एक पत्ता प्राप्त करने की प्रायिकता = 8C1
52 पत्तों में से कोई एक पत्ता खींचने की प्रायिकता = 52C1
∴ P(A) = \(\frac { ^{ 8 }C_{ 1 } }{ ^{ 52 }C_{ 1 } } \) = \(\frac{8}{52}\) = \(\frac{2}{13}\)
इनमें से कोई पत्ता न होने की प्रायिकता = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{2}{13}\) = \(\frac{11}{13}\).

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प्रश्न 7.
(A) एक पासे को एक बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सम अंक या 5 से कम अंक प्राप्त हो।
हल:
एक पासे को एक बार उछालने पर प्राप्त प्रतिदर्श समष्टि
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E1 = {2, 4, 6} ∴ n(E1) = 3
E2 = {1, 2, 3, 4} ∴ n(E2) = 4
E1∩E2 = {2, 4} ∴ n(E1∩E2) = 2
∴ अभीष्ट प्रायिकता
P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
= \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) – \(\frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } \)
= \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{4}{6}\) – \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{7-2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\)

(B) पासे के एक युग्म को फेंकने पर योग 9 या 11 न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
एक पासे के युग्म को एक साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
अतः n(S) = 36
माना कि E योग 9 या 11 न आने की घटना है।
∴ E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6), (5,1), (5, 2), (5,3), (5,5), (6,1), (6,2), (6,4), (6,6)}
∴ n(E) = 30
अतः अभीष्ट प्रायिकता P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{30}{36}\) = \(\frac{5}{6}\)

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प्रश्न 8.
यदि तीन सिक्के एक साथ उछाले जायें, तो घटना में कम-से-कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
तीन सिक्के एक साथ उछाले जाने पर प्रतिदर्श समष्टि की संख्या n(S) = 23 = 8
माना एक की शीर्ष न होने की घटना \(\bar { A } \) हो, तो
\(\bar { A } \) = {(T, T, T)}
∴ n( \(\bar { A } \) ) = 1
अतः एक की शीर्ष न होने की प्रायिकता
P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) = \(\frac{1}{8}\)
∴ कम – से – कम एक शीर्ष प्राप्त करने की प्रायिकता P(A) = 1 – P( \(\bar { A } \) )
= 1 – \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)

प्रश्न 9.
एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार शीर्ष आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना पहली बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E1 तथा दूसरी बार उछालने में शीर्ष आने की घटना E2 है।
∴ P(E1) = \(\frac{1}{2}\) तथा P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
ये दोनों घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
∴ P(E1∩E2) = P(E1) × P(E2)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{4}\).

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प्रश्न 10.
किसी दौड़ में A, B तथा C घोड़े के जीतने के अनुकूल संयोगानुपात क्रमश: 1 : 2, 1 : 3 तथा 1 : 4 हैं, तो किसी एक के जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
P (E1) = प्रथम घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+2}\) = \(\frac{1}{3}\)
P (E2) = द्वितीय घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{1+3}\) = \(\frac{1}{4}\)
P(E3) = \(\frac{1}{1+4}\) = \(\frac{1}{5}\)
अतः किसी एक घोड़े के विजयी होने की प्रायिकता = P(E1) + P(E2) + P(E3)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{20+15+12}{60}\) = \(\frac{47}{60}\).

प्रश्न 11.
गणित का एक प्रश्न तीन छात्रों A, B और C को हल करने के लिए दिया जाता है, जिसके हल करने की प्रायिकताएँ क्रमश: 1/2, 1/3 और 1/4 हैं। प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि तीन छात्रों A, B और C द्वारा प्रश्न के हल होने की प्रायिकता क्रमश: P(A), P(B) व P(C) हो, तो
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{3}\), P(C) = \(\frac{1}{4}\)
∴ P( \(\bar { A } \) ) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
और P( \(\bar { C } \) ) = 1 – P(C) = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः प्रश्न के हल न होने की प्रायिकता = P( \(\bar { A } \) ) P( \(\bar { B } \) ) P( \(\bar { C } \) )
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)

प्रायिकता दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
रायपुर में 20% व्यक्ति अंग्रेजी का अखबार पढ़ते हैं, 40% व्यक्ति हिन्दी तथा 5% व्यक्ति दोनों प्रकार के अखबार पढ़ते हैं। कितने प्रतिशत व्यक्ति कोई भी अखबार नहीं पढ़ते हैं?
हल:
P(A) = अंग्रेजी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(B) = हिन्दी अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{40}{100}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(A∩B) = दोनों भाषाओं के अखबार पढ़ने वाले व्यक्ति
= \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
दोनों भाषाओं के अखबार नहीं पढ़ने वाले व्यक्ति = P( \(\bar { A } \)∩\(\bar { B } \) )
= 1 – P(A∪B)
= 1 – [P(A) + P(B) – P(A∩B)]
= 1 – [ \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{2}{5}\) – \(\frac{1}{20}\) ] = 1 – \(\frac{3}{5}\) + \(\frac{1}{20}\)
= \(\frac{20-12+1}{20}\) = \(\frac{9}{20}\).

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प्रश्न 2.
A, प्रकरणों में 75% सत्य बोलता है और B, 80% सत्य बोलता है। यदि दोनों में एक ही प्रकरण पर विरोधाभास हो, तो इसका क्या प्रतिशत होगा? अथवा मोहन 75% प्रकरणों में तथा सोहन 80% प्रकरणों में सच बोलता है। इस घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिये जबकि मोहन सच तथा सोहन झूठ बोलता है।
हल:
A के सत्य बोलने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
B के सत्य बोलने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
A के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { A } \) ) = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
B के सत्य न बोलने की प्रायिकता P( \(\bar { B } \) ) = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(A और B में विरोधाभास है) = P (A सत्य बोलता है और B असत्य बोलता है) या P(A असत्य बोलता है और B सत्य बोलता है)
= P(A)P( \(\bar { B } \) ) + P( \(\bar { A } \) )P(B)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{7}{20}\)
अतः विरोधाभास का प्रतिशत = \(\frac{7}{20}\) × 100 = 35%

प्रश्न 3.
सिद्ध क्रीजिए कि
P(A) + P(not A) = I.
हल:
माना प्रतिदर्श समुच्चय S है तथा घटना A, S का उपसमुच्चय है। तब,
S के सापेक्ष (A’) = A का पूरक
= not A
स्पष्ट है कि A और A’ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, क्योंकि
A∩A’ = ϕ
समुच्चय सिद्धान्त से किन्हीं दो समुच्चयों A और B के लिये,
n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
अब B के स्थान पर A’ लिखने पर,
n(A∪A’) = n(A) + n(A’) – n(A∩A’)
⇒ n(S) = n(A) + n(A’) – n(ϕ),
∴ n(S) = n(A) + n(A’) – 0
∴ 1 = \(\frac { n(\bar { A } ) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(\bar { A’ } ) }{ n(S) } \)
था 1 = P(A) + P(A’)
अतः P(A) + P(not A) = 1. यही सिद्ध करना था।

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प्रश्न 4.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\) हो, तो निम्न के मान ज्ञात कीजिए –
हल:
दिया है:
P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) तथा P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\)
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प्रश्न 5.
10 बच्चों के एक समूह में जिसमें 6 लड़के और 4 लड़कियाँ हैं, 3 बच्चे यदृच्छया चुने जाते है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए –
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो।
(ii) कम – से – कम 1 लड़की रखता हो।
हल: 10 बच्चों में से 3 बच्चे चुनने के तरीके 10C3 = \(\frac { 10! }{ 7!3! } \) = \(\frac{10×9×8×7!}{7!×3×2}\) = 120
(i) कोई लड़की नहीं रखता हो –
6 लड़कों में से 3 लड़के चुनने के तरीके 6C3 = 20
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{20}{120}\) = \(\frac{1}{6}\)
(ii) कम – से – कम एक लड़की रखता हो –
2 लड़का + 1 लड़की चुनने के तरीके = 6C2, × 4C1 = 15 × 4 = 60
1 लड़का + 2 लड़की चुनने के तरीके = 6C1 × 4C2
= 6 × 6 = 36
3 लड़की चुनने के तरीके = 4C3 = 4
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{60+36+4}{120}\) = \(\frac{100}{120}\) = \(\frac{5}{6}\).

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प्रश्न 6.
ताश की गड्डी फेंटते समय एक-एक करके 4 ताश गिर पड़ते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक ताश पान का, दूसरा ईंट का, तीसरा हुकुम का तथा चौथा चिड़ी का होगा।
हल:
ताश के कुल पत्तों की संख्या = 52
पहला पत्ता 52 प्रकार से गिर सकता है।
पहले पत्ते के पान का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 51
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के ईंट का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{51}\)
शेष पत्ते = 52 – 1 = 50
इनमें से एक पत्ता 51 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के हुकुम का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴प्रायिकता = \(\frac{13}{50}\)
शेष पत्ते = 50 – 1 = 49
इनमें से एक पत्ता 49 प्रकार से गिर सकता है।
इस पत्ते के चिड़ी का पत्ता होने के अनुकूल प्रकारों की संख्या = 13
∴ प्रायिकता = \(\frac{13}{49}\)
अतः मिश्र प्रायिकता के सिद्धान्त से अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{13}{51}\) × \(\frac{13}{50}\) × \(\frac{13}{49}\).

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प्रश्न 7.
गणित का एक प्रश्न तीन विद्यार्थियों को हल करने के लिए दिया गया। उसके हल करने की प्रायिकता \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) और \(\frac{1}{4}\) हैं। यदि वे सभी हल करने का प्रयत्न करें तो किसी एक के प्रश्न हल किये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
गणित का प्रश्न तीन विद्यार्थियों द्वारा हल किये जाने की प्रायिकता माना क्रमशः P1, P2, और P3, हैं।
अतः P1 = \(\frac{1}{2}\), P2 = \(\frac{1}{3}\), P3 = \(\frac{1}{4}\)
प्रश्न को उन तीनों के द्वारा हल न किये जाने की प्रायिकता क्रमशः
q1 = 1 – P1 = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
q2 = 1 – P2 = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
q3 = 1 – P3 = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
अतः तीनों के द्वारा साथ-साथ प्रश्न हल न किये जाने की प्रायिकता = q1 .q2.q3
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
अतः प्रश्न के हल किये जाने की प्रायिकता = कम-से-कम एक विद्यार्थी के प्रश्न को हल कर सकने की
प्रायिकता = 1 – q1.q2.q3 = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\).

प्रश्न 8.
एक थैले में 6 काली गेंदें, 5 सफेद गेंदें और 2 नीली गेंदें हैं। उनमें से दो गेंदें यदृच्छया बाहर निकाली जाती हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों गेंदें सफेद हों।
हल:
दिया है:
काली गेंद = 6, सफेद गेंद = 5, नीली गेंद = 2
∴ कुल गेंद = (6 + 5 + 2) = 13
अतः n(S) = 13C2
माना सफेद गेंद निकलने की घटना A है, तब
n(A) = 5C2
∴ सूत्र, P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac { ^{ 5 }C_{ 2 } }{ ^{ 13 }C_{ 2 } } \)
P(A) = \(\frac { 5!/3!.2! }{ 13!/11!.2! } \) = \(\frac { \frac { 5\times 4 }{ 2\times 1 } }{ \frac { 13\times 12 }{ 2\times 1 } } \) = \(\frac { 5\times 4 }{ 13\times 12 } \) = \(\frac{5}{39}\).

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 प्रायिकता

प्रश्न 9.
एक थैले में 6 लाल, 4 सफेद और 5 नीली गेंदें हैं। यदि थैले में से एक-एक करके गेंद निकाली जाये तथा उन्हें वापस न रखा जाये तो पहले के लाल, दूसरे के सफेद और तीसरे के नीले होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
एक थैले में 6 लाल (R), 4 सफेद (W) और 5 नीली (B) गेंदें हैं।
इस प्रकार कुल गेंदों की संख्या = 6 + 4 + 5 = 15
∴ पहली गेंद के लाल होने की प्रायिकता P(R) = \(\frac{6}{15}\)
अब थैले में कुल 15 – 1 = 14 गेंदें हैं
∴ दूसरे गेंद के सफेद होने की प्रायिकता P(W) = 4.
इसके बाद थैले में कुल 14 – 1 = 13 गेंदें हैं।
∴ तीसरे गेंद के नीली होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{5}{13}\)
अत: अभीष्ट (मिश्र) प्रायिकता = \(\frac{6}{15}\) × \(\frac{4}{14}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{2}{5}\) × \(\frac{2}{7}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{4×1}{91}\) = \(\frac{4}{91}\).

प्रश्न 10.
दो घनाकार पासे एक साथ फेंके जाते हैं। पहले पासे पर सम संख्या अथवा दोनों का योगफल 9 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो घनाकार पासों को साथ-साथ उछालने के तरीके = 6 × 6 = 36
∴ n(S) = 36
मानलो E1 = पहले पासे पर सम संख्या आने की घटना
तथा E2 = योग 9 प्राप्त करने की घटना
∴ E1 = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2,5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4,5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6,5), (6, 6)}
∴ n(E1) = 18
E2 = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(E2) = 4
(E1∩E2) = {(4, 5), (6, 3)}
∴ n(E1∩E2) = 2
अत: P(E1) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{18}{36}\)
P(E2) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{36}\)
तथा
P(E1∩E2) = \frac { n(E_{ 1 }∩E_{ 2 }) }{ n(S) } = \(\frac{2}{36}\)
∴ P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
= \(\frac{18}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) – \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{20}{36}\)
⇒ P(E1∪E2) = \(\frac{5}{9}\).

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प्रश्न 11.
दो थैलों में से एक में 3 काली और 4लाल गेंदें हैं और दूसरे में 8 काली और 10 लाल गेंदें हैं। यदि किसी एक थैले को चुनकर उसमें से एक गेंद निकाली जाये तो उसके लाल होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल: I थैला
3B + 4R = 7 कुल गेंद
दो थैले में से 1 थैला चुनने की प्रायिकता है = \(\frac{1}{2}\)
1 थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{4}{7}\)
अतः I थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P1 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{7}\) = \(\frac{2}{7}\)
पुनः यदि II थैला चुना गया तो, इसकी प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
II थैले से 1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{10}{18}\) = \(\frac{5}{9}\)
अतः II थैला चुनना तथा इसी थैले से,
1 लाल गेंद निकालने की प्रायिकता P2 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{5}{18}\)
उपर्युक्त दोनों घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं। इनमें से एक ही घटना घटेगी।
अतः अभीष्ट प्रायिकता P = P1 + P2 = \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{5}{18}\) = \(\frac{36+35}{126}\) = \(\frac{71}{126}\)

प्रश्न 12.
दो थैलों में एक में 5 लाल और 7 सफेद गेंदें हैं और दूसरे में 3 लाल और 12 सफेद गेंदें हैं। दोनों थैलों में से किसी एक से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह गेंद लाल है।
हलः
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर:
\(\frac{37}{120}\)

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प्रश्न 13.
एक थैले में 50 बोल्ट तथा 150 नट हैं। आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं। यदि यदृच्छया एक नट थैले से निकाला जाये तो इसके जंग लगे हुये या बोल्ट होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्रतिदर्श समष्टि S हैं। तब,
n (S) = 200, (∵ 50 बोल्ट + 150 नट = 200)
प्रश्नानुसार,
आधे बोल्ट और आधे नट जंग लगे हैं
इनकी संख्या = 25 + 75 = 100
∴ E1: जंग लगी वस्तु निकलने की घटना
तब P(E1) = \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{100}{200}\)
E2: बोल्ट निकलने की घटना
तब P(E2) = \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) = \(\frac{50}{200}\)
उक्त दोनों घटनाओं E1 और E2 में 25 जंग लगे बोल्ट उभयनिष्ठ है।
∴ n(E1∩E2) = 25
∴ P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) – P(E1∩E2)
= \(\frac{100}{200}\) + \(\frac{50}{200}\) – \(\frac{25}{200}\) = \(\frac{125}{200}\) = \(\frac{5}{8}\).

प्रश्न 14.
A किसी लक्ष्य को 5 बार में से 4 बार भेद सकता है। B, 4 में से 3 बार और C, 3 बार में से 2 बार। वे एक साथ निशाना लगाते हैं। कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये।
हल:
A द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\)
B द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{3}{4}\)
C द्वारा निशाना लगाये जाने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
कम-से-कम दो व्यक्तियों द्वारा निशाना लगाये जाने के निम्न प्रकार होंगे –
(i) जब A, B, C तीनों निशाना लगा लें जिसकी प्रायिकता = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{24}{60}\)
(ii) जब B, C के निशाने लग जाये पर A का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= (1 – \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{6}{60}\)
(iii) जब C, A के निशाने लग जाये पर B का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × (1 – \(\frac{3}{4}\) ) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{8}{60}\)
(iv) A, B के निशाने लग जाये पर C का निशाना न लगे, इसकी प्रायिकता
= \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × (1 – \(\frac{2}{3}\) ) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{12}{60}\)
सभी घटनायें परस्पर अपवर्जी हैं अतः अभीष्ट प्रायिकता
= \(\frac{24}{60}\) + \(\frac{6}{60}\) + \(\frac{8}{60}\) + \(\frac{12}{60}\) = \(\frac{50}{60}\) = \(\frac{5}{6}\)

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प्रश्न 15.
एक कक्षा में 30% विद्यार्थी भौतिकी में, 25% गणित तथा 10% दोनों में फेल होते हैं। एक छात्र यदृच्छया चुना जाता है तो प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि वह
(i) गणित में फेल होता है यदि भौतिकी में फेल है
(ii) भौतिकी में फेल होता है जबकि वह गणित में फेल है
हलः
भौतिकी में फेल होने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{30}{100}\)
गणित में फेल होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{25}{100}\)
भौतिकी और गणित दोनों में फेल होने की प्रायिकता P(A∩B) = \(\frac{10}{100}\)
(i) P( \(\frac{B}{A}\) ) = \(\frac { P(B∩A) }{ P(A) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 30 }{ 100 } } \) = \(\frac{1}{3}\)
(ii) P( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac { P(A∩B) }{ P(B) } \) = \(\frac { \frac { 10 }{ 100 } }{ \frac { 25 }{ 100 } } \) = \(\frac{10}{25}\) = \(\frac{2}{5}\).

प्रश्न 16.
दो थैले A और B में क्रमशः 8 हरी और 9 सफेद और 5 हरी और 4 सफेद गेंदें रखी हैं। किसी एक थैले में से यादृच्छया एक गेंद निकाली गई है जो कि हरे रंग की है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह गेंद थैले B से निकाली गई है। (NCERT)
हल:
माना E1: थैले A के चयन होने की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (1)
E2: थैले B के चयन होने की घटना
P(E2) = \(\frac{1}{2}\) ………………… (2)
पुनः माना C : थैले से एक हरे रंग की गेंद निकालने की घटना
∴ सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से,
P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले A से निकालना)
P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = P(एक हरे रंग की गेंद थैले B से निकालना)
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{8}{8+9}\) = \(\frac{8}{17}\) [∴ थैले A में 8 हरी और 9 सफेद]
⇒ P( \(\frac { C }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{5}{5+4}\) = \(\frac{5}{9}\)
अब अभीष्ट प्रायिकता अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

प्रश्न 17.
एक कंपनी दो फैक्टरी में साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी 60% और दूसरी फैक्टरी 40% साईकिल बनाती है। पहली फैक्टरी से 80% साईकिल उच्च स्तर की और 90% साईकिल दूसरी फैक्टरी उच्च स्तर की बनायी जाती है। एक साईकिल यादृच्छया उच्च स्तर की चुनी जाती है उसके दूसरी फैक्टरी से होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। [CBSE 2003]
हल:
माना E1: एक साईकिल पहली फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{60}{100}\)
माना E2: एक साईकिल दूसरी फैक्टरी से चुने जाने की घटना
∴ P(E2) = \(\frac{40}{100}\)
पुनः माना E उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की घटना है, तब
P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ P( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{80}{100}\), [दिया है 80%]
P( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = उच्च स्तर की एक साईकिल चुने जाने की प्रायिकता जो दूसरी फैक्टरी से बनाई गयी है।
⇒ p( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{90}{100}\), [दिया है 90%]
∴ अब अभीष्ट प्रायिकता (अर्थात् थैले B से एक गेंद निकालने की प्रायिकता, जबकि यह ज्ञात है कि वह हरे रंग की है।

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प्रश्न 18.
एक टी. वी. (T. V.) बनाने के कारखाने में मशीनें ( यंत्र) A, B और C कुल उत्पादन का क्रमश: 30%, 20% और 50% टी. वी. (T. V.) बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः 7%, 5% और 2% टी. वी. खराब (त्रुटिपूर्ण ) पायी जाती हैं। टी. वी. के कुल उत्पादन में से एक टी. वी. यादृच्छया जाँच के लिए निकाला गया है और वह खराब (त्रुटिपूर्ण) पाया गया। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है। (CBSE)
हल:
माना कि घटनाएँ T1, T2, और T3, निम्नानुसार हैं –
घटना T1 : टी. वी. मशीन A द्वारा बनाया गया है।
घटना T2 : टी. वी. मशीन B द्वारा बनाया गया है।
घटना T3 : टी. वी. मशीन C द्वारा बनाया गया है।
यहाँ ध्यान देने योग्य बात यह है कि घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं।
पुनः माना E : टी. वी. (T. V.) खराब होने की घटना है।
दिया है: P(T1) = 30% = \(\frac{30}{100}\)
P(T2) = 20% = \(\frac{20}{100}\)
और P(T3) = 50% = \(\frac{50}{100}\)
पुनः P( \(\frac { E }{ T_{ 1 } } \) ) = 7% = \(\frac{7}{100}\)
P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता जबकि वह मशीन A द्वारा बनाया गया है।
⇒ P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = 5% = \(\frac{5}{100}\)
इसी प्रकार
P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = 2% = \(\frac{2}{100}\)
अब बेज़ प्रमेय (Baye’s Theorem) से,
P( \(\frac { T_{ 1 } }{ E } \) ) = मशीन A द्वारा बनाये गये टी. वी. के खराब होने की प्रायिकता

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प्रश्न 19.
मोहन द्वारा झूठ बोलने की प्रायिकता = है। एक सिक्का उछालने पर मोहन द्वारा चित (Head) बताया जाता है; इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सिक्का उछालने पर वास्तव में चित आता (NCERT)
हल:
माना A: एक सिक्का उछालने पर चित आने की घटना
∴ P(A) = \(\frac{1}{2}\)
B: एक सिक्का चित नहीं आने की घटना है
∴ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना E: मोहन द्वारा एक सिक्का के एक फेंक में यह बताने कि एक सिक्का के एक फेंक में चित आने की घटना है।
अब P( \(\frac{E}{A}\) ) = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
अब बेज़ प्रमेय (Bayes’ theorem) से
P( \(\frac{A}{E}\) ) = मोहन द्वारा यह बताने पर कि सिक्का के एक फेंक में चित आया है।

प्रश्न 20.
बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें और बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं। इन थैलों से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और वह लाल पायी गयी। बैग B से इस गेंद के निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E1 = बैग A के चुनाव की घटना
E2 = बैग B के चुनाव की घटना
∴ P(E1) = \(\frac{1}{2}\); P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E1) = P(E2) = \(\frac{1}{2}\)
पुनः माना एक एक एक गंद लाल होने की घटना
अब प्रश्नानुसार,
P ( \(\frac { R }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\) चूँकि बैग A में 3 सफेद और 4 लाल गेंदें हैं।]
P ( \(\frac { R }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{6}{5+6}\) = \(\frac{6}{11}\) [चूँकि बैग B में 5 सफेद और 6 लाल गेंदें हैं।]
अब बेज़-प्रमेय (Bayes’ theorem) से,
P ( \(\frac { E_{ 2 } }{ R } \) ) = एक गेंद बैग B से चुने जाने की प्रायिकता जबकि वह लाल हो

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प्रश्न 21.
तीन अभिन्न थैले A, B और C दिए गए हैं, प्रत्येक में दो-दो पुस्तकें हैं। थैले A में दोनों गणित की पुस्तकें हैं, थैले B में दोनों रसायन की पुस्तकें हैं और थैले C में एक गणित और एक रसायन की पुस्तक है। एक विद्यार्थी यादृच्छया एक थैला चुनता है और उसमें से यादृच्छया एक पुस्तक निकालता है। यदि पुस्तक गणित की है, तो दूसरी पुस्तक भी थैले A से गणित की निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना कि E1, E2 और E3 क्रमशः थैले A, B और C के चयन को दर्शाता है तो उनके चयन की प्रायिकता
P(E1) = P(E2) = P(E3) = \(\frac{1}{3}\) ……… (1)
D: गणित की पुस्तक निकलने की घटना तब सप्रतिबंधी प्रायिकता की परिभाषा से
P( \(\frac { D }{ E_{ 1 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले A से निकलना)
= \(\frac{2}{2}\) = 1 ……….. (2)
P( \(\frac { D }{ E_{ 2 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले B से निकलना)
= \(\frac{0}{2}\) = 0 ………. (3) [∵ प्रश्नानुसार थैले B में दोनों रसायन की पुस्तक हैं।]
P( \(\frac { D }{ E_{ 3 } } \) ) = P (एक गणित की पुस्तक थैले C से निकलना)
= \(\frac{1}{2}\) ………. (4)
अब अभीष्ट प्रायिकता (थैले A से गणित की पुस्तक निकलने की प्रायिकता)
P ( \(\frac { E_{ 1 } }{ D } \) )
अब बेज़-प्रमेय से,

प्रश्न 22.
एक विद्यार्थी के बारे में जाँच किया जाता है कि वह 5 में से 2 बार सत्य बोलता है। वह एक पासे को फेंकता है और रिपोर्ट करता है कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर सही में संख्या 6 आयी है।
हल:
माना E: उस विद्यार्थी द्वारा पासे के फेंक में यह बताने की घटना कि पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है।
A: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 आने की घटना
B: पासे के ऊपरी फलक पर संख्या 6 नहीं आने की घटना …………. (1)
∴ P(A) = \(\frac{1}{6}\)
P(B) = P(नहीं A) = P( \(\bar { A } \) )
⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{6}\) ………… (2)
⇒ P(B) = \(\frac{5}{6}\)
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने पर कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 है जबकि पासे पर वास्तव में संख्या 6 नहीं आयी है।
P( \(\frac{E}{A}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता = \(\frac{2}{5}\) ………… (3)
अब
P ( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है।
P( \(\frac{E}{B}\) ) = विद्यार्थी द्वारा सत्य नहीं (झूठ) बोलने की प्रायिकता
P( \(\frac{E}{B}\) ) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
अब बेज़-प्रमेय से,
P( \(\frac{A}{E}\) ) = विद्यार्थी द्वारा यह बताने की प्रायिकता कि पासे के एक फेंक में उसके ऊपरी फलक पर संख्या 6 आयी है, जबकि वास्तव में संख्या 6 आयी है

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