MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 5A सांतत्य तथा अवकलनीयता

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 5A सांतत्य तथा अवकलनीयता

सांतत्य तथा अवकलनीयता Important Questions

_{सांतत्य तथा अवकलनीयता वस्तुनिष्ठ प्रश्न}

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
यदि x = at², y = 2at है, तो \(\frac{dy}{dx}\) होगा –
(a) t
(b) t²
(c) \(\frac{1}{t}\)
(d) \(\frac { 1 }{ t^{ 2 } } \)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{t}\)

प्रश्न 2.
यदि y = 2 \(\sqrt { cot(x^{ 2 }) } \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) होगा –
(a) \(\frac { -2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
(b) \(\frac { 2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
(c) \(\frac { 2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
(d) \(\frac { 2\sqrt { x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { -2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)

प्रश्न 3.
\(\frac{dy}{dx}\) (x³ + sinx²) का मान है –
(a) 3x² + cos x²
(b) 3x² + x sin²
(c) 3x² + 2x cos x²
(d) 3x² + x cos x²
उत्तर:
(c) 3x² + 2x cos x²

प्रश्न 4.
\(\frac{d}{dx}\) a^x का मान है –
(a) a^x
(b) a^xlog_ae
(c) a^xlog_ea
(d) \(\frac { a^{ x } }{ log_{ e }a } \)
उत्तर:
(c) a^xlog_ea

प्रश्न 5.
यदि y = 500e^7x + 6000e^-7x हो, तो, \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) का मान होगा –
(a) 45 y
(b) 47 y
(c) 49 y
(d) 50 y
(d) 50y.
उत्तर:
(c) 49 y

प्रश्न 2.
(a) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. cosx⁰ का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………….. है।
2. e^{loge a}का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………………..
3. log_e a का a के सापेक्ष अवकल गुणांक ……………………….
4. a^x का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ……………………………… है।
5. sin 3x का 3x के सापेक्ष अवकल गुणांक …………………………… है।
6. यदि y = sin^-1(2x\(\sqrt { 1-x^{ 2 } } \) ) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ……………………… होगा।
7. sin x का cos.x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………… है।
8. \(\frac{d}{dx}\) (log tan x) का मान ………………………… है।
9. log(log sin x) का अवकलन गुणांक ……………………………….. होगा।

उत्तर:

1. – \(\frac { \pi }{ 180 } \) sin x⁰
2. 0
3. 0
4. log_ea.a^x
5. cos x
6. \(\frac { 2 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
7. – cot x
8. cosec 2x
9. \(\frac { cotx }{ logsinx } \)

प्रश्न 2.
(b) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि x = \(\sqrt { 1-y^{ 2 } } \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ………………………. होगा।
2. sin x का n वाँ अवकलज ………………………………. होगा।
3. यदि y = \(\sqrt { x+\sqrt { x+………..\infty } } \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ………………………. होगा।
4. यदि x = r cos θ, y = r sin θ हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ………………………. होगा।
5. e^x का \(\sqrt{x}\) के सापेक्ष अवकलज ………………………………. होगा।

उत्तर:

1. \(\frac { \sqrt { 1-y^{ 2 } } }{ 1-2y^{ 2 } } \)
2. sin ( \(\frac { n\pi }{ 2 } \) + x )
3. \(\frac { 1 }{ 2y-1 } \)
4. -cot θ
5. 2\(\sqrt{x}\) e^x

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. e^{loge x} का अवकल गुणांक \(\frac{1}{x}\) है।
2. यदि f (x) = \(\sqrt{x}\); x > 0 तो f'(2) का मान \(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \) है।
3. कोई फलन f (x) किसी बिन्दु x = a पर अवकलनीय कहलाता है, जब Lf'(a) # Rf (a).
4. sec^-1a का x के सापेक्ष अवकल गुणांक 0 होता है।
5. यदि y = ae^mx + Be^-mx, तो = -m²y है।
6. यदि y = sin^-1 ( \(\frac { x-1 }{ x+1 } \) ) + cos^-1 ( \(\frac { x-1 }{ x+1 } \) ) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = 0 होगा।
7. प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत् होता है।
8. a^2x का अवकल गुणांक a^2xlog a.

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. सत्य
8. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –

उत्तर:

1. (d)
2. (e)
3. (a)
4. (f)
5. (h)
6. (g)
7. (c)
8. (b)

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. \(\frac { 6^{ x } }{ x^{ 6 } } \) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
2. y = e^{loge tanx} का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
3. a^x का n वाँ अवकलज ज्ञात कीजिए।
4. y = sin(ax + b) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
5. यदि x² + y² = sin xy, तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
6. x के सापेक्ष log tan\(\frac{x}{2}\) का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
7. sin^-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
8. e -log_e^x का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. \(\frac { 6^{ x } }{ x^{ 6 } } \) [ [log 6 – \(\frac{6}{x}\) ]
2. sec² x
3. a^x(log a)ⁿ
4. -a² y
5. \(\frac { ycosxy-2x }{ 2y-xcosxy } \)
6. cosec x
7. \(\frac { 2 }{ 1+x^{ 2 } } \)
8. \(\frac { -1 }{ x^{ 2 } } \)

सांतत्य तथा अवकलनीयता लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
फलन के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –

हल:
x < 2 के लिए f (x) = 2x + 3 बहुपदी फलन है।
अत: x < 2 के लिए f (x) संतत फलन है। x > 2 के लिए f (x) = 2x – 3 बहुपदी फलन है।
अतः x > 2 के लिए f (x) संतत है।
अब हम केवल x = 2 पर f (x) की संततता का परीक्षण करेंगे।
x = 2 + h रखने पर
जब x → 2 तब h → 0
\(\underset { x\rightarrow 2^{ + } }{ lim } \) f(x) = \(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) 2(2 + h) – 3
= 2(2 + 0) – 3 = 4 – 3 = 1
x = 2 – h रखने पर
जब x → 2 तब h → 0
\(\underset { x\rightarrow 2^{ – } }{ lim } \) f(x) = \(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) 2(2 – h) + 3
= 2(2 – 0) + 3 = 7
f(2) = 2(2) + 3 = 7
\(\underset { x\rightarrow 2^{ – } }{ lim } \) f(x) = f(2) ≠ \(\underset { x\rightarrow 2^{ + } }{ lim } \) f(x)

प्रश्न 2.
फलन के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –

हल:
x ≠ 0 के लिए f (x) = \(\frac { |x| }{ x } \) संतत फलन है।
अत:
हम केवल x = 0 पर f (x) की संततता का परीक्षण करेंगे।
x = 0 + h रखने पर
जब x → 0 तब h → 0.

x = 0 – h रखने पर
जब x → 0 तब h → 0

दिया है:
f (0) = 0
\(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ lim } \) f (x) ≠ \(\underset { x\rightarrow 0^{ – } }{ lim } \) f (x) ≠ f (0)
अत: दिया गया फलन f(x), x = 0 पर असंतत है।

प्रश्न 3.
बिन्दु x = 0 पर निम्नलिखित फलन f (x) के सातत्य की जाँच कीजिए –

हल:
f (x) = \(\frac { 1-cosx }{ x^{ 2 } } \), जब x ≠ 0
x = 0 + h रखने पर, x → 0 तो h → 0

पुनः x = 0 – h रखने पर, x → 0 तो h → 0

दिया है कि f (x) = \(\frac{1}{2}\) जब x = 0
या f (0) = \(\frac{1}{2}\)
इस प्रकार,
\(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ lim } \) f(x) = \(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ lim } \) f(x) = f(0)
अत: x = 0 पर f (x) संतत है।

प्रश्न 4.
फलन f निम्न प्रकार से परिभाषित है –

दर्शाइये कि बिन्दु x = 4 के अतिरिक्त प्रत्येक बिन्दु पर संतत है।
हल:

स्पष्ट है कि x = 4 के लिये फलन f (x) संतत नहीं है क्योंकि
\(\underset { x\rightarrow 4^{ – } }{ lim } \) f (x) ≠ \(\underset { x\rightarrow 4^{ + } }{ lim } \) तथा f (4) = 0
जब x < 4 तब f (x) = – 1 जो कि एक अचर फलन है। अत: यह संतत फलन है। जब x > 4 तब f (x) = 1 जो कि एक अचर फलन है। अत: यह संतत फलन है।
अतः f (x) बिन्दु x = 4 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर संतत है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन –

बिन्दु x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) + h रखने पर, जब x → \(\frac { \pi }{ 2 } \), तब h → 0

x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) + h रखने पर, जब x → \(\frac { \pi }{ 2 } \) तब h → 0

x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) – h रखने पर, जब x → \(\frac { \pi }{ 2 } \) तब h → 0

दिया है
f ( \(\frac { \pi }{ 2 } \) ) = 3
तथा दिया गया फलन संतत है।

⇒ \(\frac{k}{2}\) = \(\frac{k}{2}\) = 3
⇒ k = 6

प्रश्न 6.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन –

बिन्दु x = 2 पर संतत है।
हल: x = π + h रखने पर,
जब x → 7 तब h → 0

x = π – h रखने पर
जब x → π तब h → 0

दिया गया फलन x = π पर संतत है।

प्रश्न 7.
निम्न फलन बिन्दु x = 0 पर संतत है –

k का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है

दिया है –
f (0) = \(\frac{1}{2}\)
चूँकि फलन f (x) बिन्दु x = 0 पर संतत है –

⇒ \(\frac { k^{ 2 } }{ 2 } \) = \(\frac { k^{ 2 } }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ k² = 1 या k = ± 1

प्रश्न 8.
a और b के बीच संबंध स्थापित कीजिए जिनके लिए –

हल:
दिया है:

x = 3 + h रखने पर,
जब x → 3 तब h → 0

x = 3 – h रखने पर,
जब x → 3 तब h → 0

= a ( 3 – 0) + 1
= 3a + 1
f (3) = 3a + 1
∵ दिया गया पालन x = 3 पर संतत है।

⇒ 3a + 1 = 3b + 3
⇒ 3a = 3b + 2
⇒ a = b + \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f (x) = |x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है। (NCERT)
हल:
दिया है:

x = 1 – h रखने पर, जब x → 1 तब h → 0

x = 1 + h रखने पर, जब x → 1 तब → 0

अतः दिया गया फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि फलन

पर अवकलनीय नहीं है।
हल:
हम जानते हैं,

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि फलन

यही सिद्ध करना था।
x = 0 पर संतत है तथा अवकलनीय भी।
हल: यहाँ f (0) = 0


चूँकि f (0 + 0) = f (0 – 0) = f (0), अतएव x = 0 पर दिया हुआ फलन संतत है।
अब


स्पष्टतः Rf’ (0) = Lf’ (0)
अतः x = 0 पर दिया हुआ फलन अवकलनीय है।
अतः दिया हुआ फलन x = 0 पर संतत है तथा अवकलनीय भी है। यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12 Maths Important Questions