MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7a समाकलन
समाकलन Important Questions
समाकलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न
प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –
1. ∫ \(\frac { sec^{ 2 }x }{ 1+tanx } \) का मान है –
(a) loge (1 + tan x) + c
(b) tan x + c
(c) – cot x + c
(d) loge x + c.
उत्तर:
(a) loge (1 + tan x) + c
प्रश्न 2.
∫ \(\frac { x }{ 4+x^{ 4 } } \) dx का मान है –
(a) \(\frac{1}{4}\) tan-1 x2 + c
(b) \(\frac{1}{4}\) tan-1 ( \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) )
(b) \(\frac{1}{2}\) tan-1 ( \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{4}\) tan-1 x2 + c
प्रश्न 3.
यदि ∫ \(\frac { 2^{ 1/x } }{ x^{ 2 } } \) dx = k(2)1/x + c हो, तो k का मान है –
(a) \(\frac { -1 }{ log_{ e }2 } \)
(b) – loge2
(c) – 1
(d) \(\frac{1}{2}\)
उत्तर:
(a) \(\frac { -1 }{ log_{ e }2 } \)
प्रश्न 4.
∫ \(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx का मान है –
(a) 2loge cos(xex) + c
(b) sec(xex) + c
(c) tan(xex) + c
(d) tan(x + ex) + c
उत्तर:
(c) tan(xex) + c
प्रश्न 5.
यदि ∫ x sin x dx = – x cos x + α हो, तो α का मान होगा –
(a) sin x + c
(b) cos x + c
(c) c
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) sin x + c
प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –
उत्तर:
- \(\frac{1}{a}\) tan-1 ( \(\frac{x}{a}\) ) + c
- log [x + \(\sqrt { x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) ] + c
- log [x + \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) ] + c
- \(\frac{x}{2}\) \(\sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) + \(\frac { a^{ 2 } }{ 2 } \) sin-1( \(\frac{x}{a}\) ) + c
- log(sec x + tan x) + c
- sin-1 x + \(\sqrt { 1-x } \) + c
- tan x + sec x
प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –
उत्तर:
- सत्य
- सत्य
- असत्य
- सत्य
- असत्य
- असत्य।
प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –
उत्तर:
- (a)
- (d)
- (e)
- (b)
- (c)
- (f).
प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –
- ∫ ex(sin x + cos x) dx का मान क्या है?
- ∫ \(\frac { cotx }{ log(sinx) } \) dx का मान क्या है?
- ∫ \(\frac { dx }{ sin^{ 2 }x+4cos^{ 2 }x } \) का मान क्या है?
- ∫ cosec x dx का मान क्या है?
- ∫ log x dx का मान क्या है?
- ∫ \(\frac { dx }{ \sqrt { 4-x^{ 2 } } } \)
उत्तर:
- ex sin x
- log log sin x
- \(\frac{1}{2}\) tan-1 ( \(\frac { tanx }{ 2 } \) )
- log tan \(\frac{x}{2}\)
- x(log x + 1)
- sin-1 \(\frac{x}{2}\)
समाकलन अति लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 1.
∫ \(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
etan-1x + c
प्रश्न 2.
∫elog(sinx) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
– cos x + c
प्रश्न 3.
∫2 sin x cos x dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
sin2 x + c
प्रश्न 4.
∫\(\frac { dx }{ a^{ 2 }-x^{ 2 } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{2a}\) log \(\frac{a+x}{a-x}\)
प्रश्न 5.
∫\(\frac { dx }{ x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{2a}\) log \(\frac{x-a}{x+a}\)
प्रश्न 6.
∫ex ( \(\frac{1}{x}\) – \(\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { e^{ x } }{ x } \) + c
प्रश्न 7.
∫\(\frac { 1 }{ log_{ x }e } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
x log \(\frac{x}{e}\) + c
प्रश्न 8.
यदि ∫\(\frac { dx }{ (1+x)\sqrt { x } } \) = f (x) + c, जहाँ c एक स्वेच्छ अचर है, तब फलन f (x) क्या है?
उत्तर:
2 tan-1 x
प्रश्न 9.
∫\(\frac { 1+logx }{ x } \) dx का मान ज्ञात करने में कौन-सा प्रतिस्थापन उचित रहेगा?
उत्तर:
1 + log x = t
प्रश्न 10.
यदि ∫\(\frac { 1 }{ 1+xsinx } \) dx = tan ( \(\frac{x}{2}\) + a) + b है, तब a और b क्या होंगे?
उत्तर:
a = – \(\frac { \pi }{ 4 } \), b = 3
प्रश्न 11.
∫\(\frac { sin\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx का मान ज्ञात करने के लिये उचित प्रतिस्थापन क्या होगा?
उत्तर:
x = t2
प्रश्न 12.
∫sin(ax + b) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
– \(\frac{1}{a}\) cos(ax + b)
प्रश्न 13.
∫\(\frac{1}{ax+b}\) का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac{1}{a}\) log(ax + b)
प्रश्न 14.
∫tan2 x dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
tan x – x + c
प्रश्न 15.
\(\frac { 1 }{ \sqrt { a^{ 2 }-x^{ 2 } } } \) का मान लिखिये।
उत्तर:
sin-1 ( \(\frac{x}{a}\) ) + c
प्रश्न 16.
∫elogex2 dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \) + c
प्रश्न 17.
∫elogx dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c
प्रश्न 18.
∫ex [f (x) + f'(x)] dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
ex f (x) + c
प्रश्न 19.
∫(1 + x + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2! } \) + ………………..) dx का मान कितना है?
उत्तर:
ex
प्रश्न 20.
∫ex (log x + \(\frac{1}{x}\) ) dx का मान ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
ex log x + c
समाकलन लघु उत्तरीय प्रश्न
पश्न 1.
मूल्यांकन कीजिये –
∫\(\frac { cos2x+2sin^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \) dx (CBSE 2018)
हल:
∫\(\frac { cos2x+2sin^{ 2 }x }{ cos^{ 2 }x } \) dx
प्रश्न 2.
∫\(\frac { 1-sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫\(\frac { 1-sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx
प्रश्न 3.
∫\(\frac { 2-3sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫\(\frac { 2-3sinx }{ cos^{ 2 }x } \) dx
प्रश्न 4.
∫sin-1(cos x) dx का मान ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना I = ∫sin-1(cos x) dx
प्रश्न 5.
∫\(\frac { dx }{ 1+cos2x } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { dx }{ 1+cos2x } \)
प्रश्न 6.
∫tan-1 xdx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫tan-1 x. 1 dx
प्रश्न 7.
∫sin2x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 8.
∫\(\frac { cosx }{ cos(x-a) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { cosx }{ cos(x-a) } \) dx
x – α = t ⇒ x = t + α
dx = dt
= cos α ∫dt – sin α ∫ tan t dt = cos α.t – sin α. log sec t + c
= cos α. (x – a) – sin α log sec (x – a) + c
प्रश्न 9.
(A) ∫\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+cosx } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1+cosx } } \) dx
(B)∫\(\sqrt { 1+sin2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\sqrt { 1+sin2x } \) dx
(C) ∫\(\sqrt { 1+cos2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 9 (B) की भाँति हल करें।
(D) ∫\(\sqrt { 1-sin2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर:
प्रश्न क्र. 9 (B) की भाँति हल करें।
प्रश्न 10.
(A) ∫\(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ x }(1+x) }{ cos^{ 2 }(xe^{ x }) } \) dx
माना xex = t ⇒ ex (1 + x) dx = dt
∴ I = ∫\(\frac { dt }{ cos^{ 2 }t } \) = ∫sec2 t dt = tan t = tan(xex)
(B)
∫\(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ tan-1x } }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
= ∫ex dt, [माना tan-1 x = t, \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) dx = dt]
= et = etan-1x.
प्रश्न 11.
∫\(\frac { dx }{ 1-sinx } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 12.
∫\(\frac{logx}{x}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac{logx}{x}\) dx
माना log x = t ⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫t dt = \(\frac { t^{ 2 } }{ 2 } \) + c = \(\frac { (logx)^{ 2 } }{ 2 } \) + c
प्रश्न 13.
(A) ∫\(\frac{dx}{1-cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
(B) ∫\(\frac{dx}{1+cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 14.
∫\(\frac { dx }{ 1+sinx } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 15.
∫\(\frac { cos\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
∫\(\frac { cos\sqrt { x } }{ \sqrt { x } } \) dx
माना \(\sqrt{x}\) = t ⇒ \(\frac { dx }{ 2\sqrt { x } } \) = dt ⇒ \(\frac { dx }{ \sqrt { x } } \) = 2dt
∴ I = ∫cos t(2dt)
= 2∫cos t dt = 2 sin t + c = 2 sin \(\sqrt{x}\) + c
प्रश्न 16.
∫\(\frac { 1-cos2x }{ 1+cos2x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
= tan x – x + c
प्रश्न 17.
\(\frac { x^{ 4 } }{ x^{ 2 }+1 } \) का समाकलन x के सापेक्ष कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 18.
∫\(\frac { sec^{ 2 }(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { sec^{ 2 }(logx) }{ x } \) dx
log x = t रखने पर,
⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫sec2 tdt
⇒ I = tan t + c
⇒ I = tan(log x) + c
प्रश्न 19.
∫\(\frac { sin(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
log x = t रखने पर,
⇒ \(\frac{1}{x}\) dx = dt
∴ I = ∫sin t dt = – cos t + c
⇒ I = – cos(log x) + c
प्रश्न 20.
∫\(\frac { cos(logx) }{ x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति हल करें।
प्रश्न 21.
(A) मान ज्ञात कीजिए – ∫tan2 x dx?
हल:
I = ∫tan2 x dx = ∫(sec2 x – 1) dx
= ∫sec2 x dx – ∫1dx = tan x – x
(B)
मान ज्ञात कीजिए – ∫cot2 x dx?
हलः
I = ∫cot2 x dx = ∫(cosec2 x – 1 dx
= ∫cosec2 x dx – ∫1. dx = – cot x – x
प्रश्न 22.
∫\(\frac { sinx }{ 1+cosx } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
I = ∫\(\frac { sinx }{ 1+cosx } \) dx
= ∫\(\frac{1}{t}\) dt, (1 + cos x = t रखने पर sin x dx = dt)
= log t
= log (1 + cos x)
प्रश्न 23.
∫\(\frac { sin^{ =1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
I = \(\frac { sin^{ =1 }x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx
= ∫t dt (sin-1 x = t रखने पर ⇒ \(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) dx = dt)
= \(\frac { t^{ 2 } }{ 2 } \)
= \(\frac{1}{2}\) (sin-1 x)2
समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I
प्रश्न 1.
∫\(\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\sqrt { \frac { a+x }{ a-x } } \)
पुनः माना x = a cos θ ⇒ dx = – a sinθ dθ
प्रश्न 2.
मान ज्ञात कीजिए –
∫[ \(\frac { 1 }{ (logx)^{ 2 } } \) – \(\frac { 2 }{ (logx)^{ 3 } } \) ] dx?
हल:
माना
I = ∫[ \(\frac { 1 }{ (logx)^{ 2 } } \) – \(\frac { 2 }{ (logx)^{ 3 } } \) ] dx
पुनः माना log x = t ⇒ x = et ⇒ dx = et dt
प्रश्न 3.
∫sin-1 x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
पुनः माना 1 – x2 = t ⇒ -2x dx = dt
प्रश्न 4.
∫cos-1 x dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
I = ∫cos-1 x dx
प्रश्न 5.
(A)
∫\(\frac { x^{ 2 } }{ 1+x } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
(B) ∫\(\frac { x }{ 1+x^{ 4 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 6.
∫\(\frac { 1 }{ sinx-cosx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 7.
∫\(\frac { dx }{ e^{ x }+1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 8.
∫sec3 xdx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫sec3 xdx = ∫secx. sec2 xdx
= sec x ∫sec2 xdx – ∫ [ \(\frac{d}{dx}\) sec x ∫sec2 xdx] dx, [खण्डशः समाकलन द्वारा]
= sec x tan x – ∫sec x tan x tan x dx
= sec x tan x – ∫sec x tan2 x dx
= sec x tan x – ∫sec x(sec2 x – 1)dx
= sec x tan x – ∫sec3 x dx + ∫sec x dx
⇒ I = sec x tan x – I + log(sec x + tan x)
⇒ 2I = sec x tan x + log(sec x + tan x)
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) [sec x tan x + log(sec x + tan x)]
प्रश्न 9.
∫\(\frac { dx }{ x^{ 2 }-a^{ 2 } } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 10.
∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) = \(\frac { A }{ x-2 } \) + \(\frac { B }{ x+1 } \) ……………….. (1)
⇒ \(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) = \(\frac { A(x+1)+B(x-2) }{ (x-2)(x+1) } \)
⇒ 3x = A(x + 1) + B(x – 2)
⇒ 3x = (A + B)x + (A – 2B) …………………. (2)
समी. (2) के दोनों पक्षों में x के गुणांकों तथा अचर पदों की तुलना करने पर,
3 = A + B
0 = A – 2B
3 = 3B
⇒ B = 1
तथा A = 2B = 2
∴ ∫\(\frac { 3x }{ (x-2)(x+1) } \) dx = ∫\(\frac { 2 }{ x-2 } \) dx + ∫\(\frac { dx }{ x+1 } \)
= 2 log(x – 2) + log(x + 1) + c
प्रश्न 11.
∫\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 4 }-x^{ 2 }+1 } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 12.
∫\(\frac { x^{ 2 }+1 }{ x^{ 4 }+x^{ 2 }+1 } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 की भाँति हल करें।
उत्तर: \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) tan-1 ( \(\frac { x^{ 2 }-1 }{ \sqrt { 3.x } } \) ) + c
प्रश्न 13.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac { dx }{ \sqrt { x^{ 2 }+2x+3 } } \)?
हल:
माना
प्रश्न 14.
फलन \(\frac { 1 }{ 1+sin^{ 2 } } \) का x सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 1 }{ 1+sin^{ 2 } } \) dx
प्रश्न 15.
∫\(\frac { cos2x }{ (cosx+sinx)^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { cos2x }{ (cosx+sinx)^{ 2 } } \) dx
cos x + sin x = रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) (cos x + sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (-sin x + cos x) dx = dt
∴ t = ∫\(\frac{dt}{t}\)
⇒ I = log t + c
अतः I = log(cos x + sin x) + c
प्रश्न 16.
∫\(\frac { 1+tanx }{ x+logsecx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { 1+tanx }{ x+logsecx } \) dx
x + log sec x = t रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) [x + log(sec x)] = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ \(\frac{d}{dx}\) x + \(\frac{d}{dx}\) log(sec x) = \(\frac{dt}{dx}\)
sec x = u रकने पर
1 + \(\frac{d}{dx}\) log u = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{d}{du}\) log u \(\frac{du}{dx}\) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{1}{u}\)\(\frac{d}{dx}\) sec x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 1 + \(\frac{1}{secx}\) × sec x tan x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (1 + tan x)dx = dt
∴ I = ∫\(\frac{dt}{t}\)
⇒ I = log t + c
अतः I = log(x + log sec x) + c
प्रश्न 17.
∫\(\frac { cotx }{ log(sinx) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
log(sin x) = t रकने पर
\(\frac{d}{dx}\) log (sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
sin x = u रकने पर
प्रश्न 18.
∫\(\frac { 2cosx-3sinx }{ 6cosx+4sinx } \) dx का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 2cosx-3sinx }{ 6cosx+4sinx } \) dx
6 cos x + 4 sin x = t रखने पर,
\(\frac{d}{dx}\) (6 cos x + 4 sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ – 6 sin x + cos x = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ 2(2 cos x – 3 sin x) = \(\frac{dt}{dx}\)
⇒ (2 cos x – 3 sin x)dx = \(\frac{1}{2}\) dt
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) ∫dt
⇒ I = \(\frac{1}{2}\) log t + c
अतः I = \(\frac{1}{2}\) log(6 cos x + 4 sin x) + c
प्रश्न 19.
∫e3logx (x4 + 1)-1 dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
x4 + 1 = t रखने पर,
प्रश्न 20.
∫\(\frac { dx }{ x-\sqrt { x } } \) का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
\(\sqrt{x}\) – 1 = t रखने पर,
प्रश्न 21.
∫\(\frac { dx }{ 1+3sin^{ 2 }x } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { dx }{ 1+3sin^{ 2 }x } \)
समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II
प्रश्न 1.
∫sin-1 ( \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) ) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫sin-1 ( \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) ) dx
पुनः माना x = tan θ ⇒ dx = sec2θ dθ
प्रश्न 2.
फलन \(\frac { e^{ mtan-1x } }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) का x के सापेक्ष समाकलन कीजिए।
हल:
माना tan-1 x = t ⇒ x = tan t
∴ dx = sec2 t dt
प्रश्न 3.
∫\(\frac { x^{ 2 }tan^{ -1 }x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना I = ∫\(\frac { x^{ 2 }tan^{ -1 }x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
माना x = tan θ ⇒ θ = tan-1 x
⇒ dx = sec2 θ dθ
प्रश्न 4.
मान ज्ञात कीजिए – ∫tan-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx?
हल:
माना
I = ∫tan-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) dx
माना x = tan θ ⇒ dx = sec2 θ dθ
प्रश्न 5.
∫\(\frac { xtan^{ -1 }x }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) dx मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { xtan^{ -1 }x }{ (1+x^{ 2 })^{ 3/2 } } \) dx
पुनः माना x = tan θ ⇒ dx = sec2 θ dθ
प्रश्न 6.
∫\(\frac{dx}{3+2cosx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac{dx}{3+2cosx}\)
प्रश्न 7.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac{dx}{4+5cosx}\)?
हल:
प्रश्न का. 6 की बीत हल करे।
प्रश्न 8.
मान ज्ञात कीजिए –
∫\(\frac{dx}{5-3cosx}\)?
हल:
प्रश्न क्र. 6 की भाँति हल करें।
प्रश्न 9.
∫\(\frac{1}{4+5sinx}\) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
माना tan\(\frac{x}{2}\) = t ⇒ sec2 \(\frac{x}{2}\).\(\frac{1}{2}\) dx = dt
प्रश्न 10.
∫\(\frac { e^{ x }(1+sinx) }{ (1+cosx) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { e^{ x }(1+sinx) }{ (1+cosx) } \) dx
प्रश्न 11.
∫\(\frac { xe^{ x } }{ (1+x)^{ 2 } } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
प्रश्न 12.
∫\(\frac { 2cosx }{ (1-sinx)(1+sin^{ 2 }) } \) dx का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
I = ∫\(\frac { 2cosx }{ (1-sinx)(1+sin^{ 2 }) } \) dx
sin x = t रखने पर, cos x dx = dt
⇒ 2 = A(1 + t2) + (1 – t)(Bt + 1)
⇒ 2 = A + A2 + Bt – Bt2 + 1 – t
⇒ 2 = (A – B)t2 + (B – 1)t + (A + 1)
गुणांकों की तुलना करने पर,
∴ A – B = 0
B – 1 = 0
तथा A + 1 = 2
B = 1, A = 1
प्रश्न 13.
∫\(\frac { dx }{ e^{ x }-1 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
I = ∫\(\frac { dx }{ e^{ x }-1 } \) = \(\frac { e^{ x }dx }{ e^{ x }(e^{ x }-1) } \)
माना ex = t, तब exdx = dt
प्रश्न 14.
∫\(\frac { dx }{ x(x^{ n }+1) } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
xn = t रखने पर,
A और B के मान समी. (1) में रखने पर,
प्रश्न 15.
∫( \(\sqrt{tanx}\) + \(\sqrt{cotx}\) ) dx का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना
पुनः माना sin x – cosx = t
(cos x + sin x)dx = dt
चूंकि (sin x – cos x)2 = t2
sin2 x + cos2 x – 2 sin x cos x = t2
⇒ 1 – sin 2x = t2
⇒ sin 2x = 1 – t2
I = \(\sqrt{2}\) ∫\(\frac { dt }{ \sqrt { 1-t^{ 2 } } } \)
= \(\sqrt{2}\) .sin-1t
= \(\sqrt{2}\).sin-1(sin x – cos x)