MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1
प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंद में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2019)
हल :
चौका न मारने की घटना E = 30 – 6 = 24
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 24 }{ 30 }\) अर्थात् \(\frac { 4 }{ 5 }\)
प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया और निम्नलिखित आँकड़े लिख लिए गए हैं : (2019)
| परिवार में लड़कियों की संख्या | 2 | 1 | 0 |
| परिवारों की संख्या | 475 | 814 | 211 |
यदृच्छया चुने गए परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों
(ii) एक लड़की हो
(iii) कोई लड़की न हो। साथ ही यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
हल :
(i) चूँकि E1 = 475 एवं n = 1500
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{475}{1500}=\frac{19}{60}\)
अत: दो लड़कियाँ होने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 19 }{ 60 }\)
(ii) चूँकि E2 = 814 एवं n= 1500
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{814}{1500}=\frac{407}{750}\)
अत: एक लड़की होने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 407 }{ 750 }\).
(iii) चूँकि E3 = 211 एवं n = 1500
अतः एक भी लड़की न होने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 211 }{ 1500 }\)
अब \(\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500}=\frac{475+814+211}{1500}=\frac{1500}{1500}=1\)
अतः प्रायिकताओं का योगफल 1 है।
प्रश्न 3.
नवीं कक्षा के 40 विद्यार्थियों से उनके जन्म का महीना बताने के लिए कहा गया। इस प्रकार प्राप्त आकड़ों से निम्नलिखित आलेख बनाया गया :
कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : n = 40 एवं आलेखानुसार E = 6.
\(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\)
अत: एक छात्र के अगस्त में जन्म लेने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 3 }{ 20 }\).
प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारम्बारताएँ ये हैं :
| परिणाम | 3 चित | 2 चित | 1 चित | कोई भी चित नहीं |
| बारम्बारता | 23 | 72 | 77 | 28 |
यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि E = 72 एवं n = 200 (प्रश्नानुसार दिया है)
\(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{72}{200}=\frac{9}{25}\)
अत: दो चित आने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 9 }{ 25 }\)
प्रश्न 5.
एक कम्पनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच सम्बन्ध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आँकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं :
| मासिक आय (Rs में) | प्रति परिवार वाहनों की संख्या | |||
| 0 | 1 | 2 | 2 से अधिक | |
| 7,000 से कम 7,000 से 10,000 10,000 से 13,000 13,000 से 16,000 16,000 या अधिक |
10 0 1 2 1 |
160 305 535 469 579 |
25 27 29 59 82 |
0 2 1 25 88 |
मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार :
(i) की आय Rs 10,000 से Rs 13,000 प्रतिमाह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।
(ii) की आय प्रतिमाह Rs 16,000 या इससे अधिक है और उसके पास ठीक एक वाहन है।
(iii) की आय Rs 7,000 प्रतिमाह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय Rs 13,000 से Rs 16,000 प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन हैं।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं हैं।
हल :
(i) चूँकि n = 2,400 एवं E1 = 29 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{29}{2,400}\)
अतः अभीष्ट प्रायकिता = \(\frac { 29 }{ 2400 }\)
(ii) चूँकि n = 2,400 एवं E2 = 579 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{579}{2,400}=\frac{193}{800}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 579 }{ 2400 }\) अथात् \(\frac { 193 }{ 800 }\)
(iii) चूँकि n = 2400 एवं E3 = 10 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{E_{3}}{n}=\frac{10}{2,400}=\frac{1}{240}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 240 }\)
(iv) चूँकि n = 2,400 एवं E4 = 25 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{4}\right)=\frac{E_{4}}{n}=\frac{25}{2,400}=\frac{1}{96}\)
(v) चूँकि जिनके पास एक से अधिक वाहन नहीं हैं। उनके पास या तो 1 वाहन है अथवा एक भी वाहन नहीं अर्थात् शून्य है।
शून्य वाहन वाले परिवार = 10 + 0 + 1 + 2 + 1 = 14
एवं 1 वाहन वाले परिवार = 160 + 305 + 535 + 469 + 579 = 2,048
⇒ उन परिवारों की संख्या जिनके पास 1 से अधिक वाहन नहीं हैं = E5 = 2048 + 14 = 2,062
\(P\left(E_{5}\right)=\frac{E_{5}}{n}=\frac{2,062}{2,400}=\frac{1031}{1,200}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1031 }{ 1200 }\)
प्रश्न 6.
100 अंक की गणित की परीक्षा में विद्यार्थियों ने निम्न प्रकार अंक प्राप्त किए :
| अंक | 0-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 | 60-70 | 70 और अधिक | कुल योग |
| विद्यार्थियों की संख्या | 7 | 10 | 10 | 20 | 20 | 15 | 8 | 90 |
(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% से कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) जब विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) चूँकि E1 = 7 एवं n = 90 (दी गई सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{7}{90}\)
अत: अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 90 }\)
(ii) चूँकि E2 = 15 + 8 = 23 एवं n = 90 (दी गई सारणी से)
प्रायिकता \(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{23}{90}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 23 }{ 90 }\)
प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है : (2018, 19)
| मत | पसन्द करते हैं | पसन्द नहीं करते हैं |
| विद्यार्थियों की संख्या | 135 | 65 |
प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छिक चुना गया एक विद्यार्थी :
(i) सांख्यिकी पसन्द करता है।
(ii) सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है।
हल :
(i) चूँकि E1 = 135 एवं n = 200 (प्रश्नानुसार)
प्रायिकता = \(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{135}{200}=\frac{27}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 27 }{ 40 }\)
(ii) चूँकि E2 = 65 एवं n = 200 (प्रश्नानुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{65}{200}=\frac{13}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 13 }{ 40 }\)
प्रश्न 8.
40 इन्जीनियरों की उनके आवास से कार्य (स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :
इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इन्जीनियर :
(i) अपने कार्य स्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है।
(ii) अपने कार्य स्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है।
(iii) अपने कार्य स्थल से \(\frac { 1 }{ 2 }\) km या इससे कम दूरी पर रहती है।
हल :
(i) चूँकि E1 = 9 एवं n = 40 (सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{9}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 9 }{ 40 }\)
(ii) चूँकि E2 = 31 एवं n = 40 (सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{31}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 31 }{ 40 }\)
(iii) चूँकि E3 = 0 एवं n = 40 (सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{3}\right)=\frac{E_{3}}{n}=\frac{0}{40}=0\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0.
प्रश्न 9.
अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय अन्तराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारम्बारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
(निर्देश : छात्र उक्त क्रियाकलाप स्वयं करें और अभीष्ट प्रायिकता का परिकलन करें।)
प्रश्न 10.
आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक तीन अंकों वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है ? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से भाज्य हो।
हल :
(निर्देश : छात्र इस क्रियाकलाप को स्वयं करें और अभीष्ट प्रायिकता का परिकलन करें।)
प्रश्न 11.
आटे की उन 11 थैलियों में जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैं:
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00.
यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल :
चूँकि E = 5 kg से अधिक आटे वाले थैलियों की संख्या = 7 एवं कुल थैलियों की संख्या n = 11
प्रायिकता \(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{7}{11}\)
अत: अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 11 }\)
प्रश्न 12.
एक नगर की वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन (ppm) में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त आँकड़े ये हैं :
इनमें से किसी एक दिन अन्तराल (0.12 – 0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड के सान्द्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि वर्ग अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड की दो सान्द्रताएँ 0.12 एवं 0.13 हैं।
इसलिए E = 2 एवं n = 30 (दिया है)
प्रायिकता \(P(E)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 15 }\).
प्रश्न 13.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O
A, AB, O, A, A, O, O AB, B, A, O, B, A, B, O.
रक्त समूह से सम्बन्धित बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए तथा हम सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
| रक्त समूह | A | B | O | AB | कुल योग |
| छात्रों की संख्या | 9 | 6 | 12 | 3 | 30 |
सारणी के अनुसार E = 3 एवं n = 30
प्रायिकता \(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 10 }\)