Class 11

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 6 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 6.1

प्रश्न 1.
हल कीजिए 24x < 100, जब
(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii) x एक पूर्णांक है।
हल:
24x < 100
24 से दोनों पक्षों में भाग करने पर
x < \(\frac{30}{-12}\) अर्थात x < \(-\frac{5}{2}\) (i) यदि x एक प्राकृत संख्या है तो हल {1, 2, 3, 4} है। (ii) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {……. – 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. प्रश्न 2. हल कीजिए : 12x > 30, जब
(i) x एक प्राकृत संख्या है।
(ii)x एक पूर्णांक है।
हल:
– 12x > 30
– 12 से दोनों पक्षों में भाग करने पर,
\(x<\frac{100}{24}\) अर्थात \(x<\frac{25}{6}\)
(i) यदि x प्राकृत संख्या है तो कोई हल नहीं है।
(ii) यदि x पूर्णाक संख्या है तो हल {…..-5, -4 ,-3} है।

प्रश्न 3.
हल कीजिए : 5x – 3 < 7, जब
(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
5x – 3 < 7
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर,
5x < 10
5 से भाग देने पर .
x < \(\frac{10}{5}\) अर्थात x < 2 (i) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {….-2, –1, 0, 1}. (ii) यदि x एक वास्तविक संख्या है तो हल x ϵ (- ∞, 2). प्रश्न 4. हल कीजिए : 3x + 8 > 2, जब
(i) x एक पूर्णांक है।
(ii) x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
3x + 8 > 2
3x > 2 – 8 या 3x > – 6
3 से भाग करने पर
x > – \(\frac{6}{3}\) या x> – 2
(i) यदि x एक पूर्णांक संख्या है तो हल {-1, 0, 1, 2 ,….}.
(ii) यदि x एक वास्तविक संख्या है तो हल x ϵ (-2, ∞).

प्रश्न 5.
हल कीजिए : 4x + 3 < 6x + 7.
हल :
4x + 3 < 6x + 7
6x को बाएँ पक्ष में तथा 3 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
4x – 6x < 7 – 3
या – 2x < 4 – 2 से भाग देने पर, \(x>\frac{4}{-2}\) या x > – 2
दी हुई असमिका का हल है : x ϵ (- 2, ∞).

प्रश्न 6.
हल कीजिए :
3x – 7 > 5x – 1.
हल:
3x – 7 > 5x – 1
5x का बाएँ पक्ष में और 7 को दाएँ पक्ष मे रखने पर,
3x – 5x > – 1 + 7
– 2x > 6
– 2 से भाग देने पर
x < – 3
∴ दी हुई असमिका का हल है x ϵ (- ∞, – 3).

प्रश्न 7.
हल कीजिए : 3(x – 1) ≤ 2 (x – 3).
हल:
असमिका
3(x – 1) ≤ 2 (x – 3)
3x – 3 ≤ 2x – 6
2x को बाएँ पक्ष में और 3 को दाएँ पक्ष में रखने पर,
3x – 2x ≤ 3 – 6
या x ≤ – 3
∴ हल है : x ϵ (- ∞, – 3].

प्रश्न 8.
हल कीजिए:
3(2 –x) ≥ 2 (1 –x).
हल:
दी हुई असमिका
3(2 – x) ≥ 2 (1 – x)
6 – 3x ≥ 2 – 2x
2x को बायीं ओर तथा 6 को दायीं ओर रखने पर,
2x – 3x ≥ 2 – 6.
या – x ≥ – 4 या x ≤ 4
∴ हल है : x ϵ (- ∞, 4].

प्रश्न 9.
हल कीजिए : x + \(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\) < 11
हल:

प्रश्न 10. हल कीजिए: \(\frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1\)
हल:
दी हुई असमिका \(\frac{x}{3}>\frac{x}{2}+1\)

प्रश्न 11.
हल कीजिए: \(\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}\)
हल:
दी हुई असमिका है : \(\frac{3(x-2)}{5} \leq \frac{5(2-x)}{3}\)
दोनों ओर 15 से गुणा करने पर
9(x – 2) ≤ 5 (2 –x)
या 9x – 18 ≤ 50 – 25x
25x को बायीं ओर तथा 18 को दायीं ओर रखने पर,
9x + 25x ≤ 50 + 18
या 34x ≤ 68
या x ≤ 2
∴ दी हुई असमिका का हल है x ϵ (- ∞, 2].

प्रश्न 12 .
हल कीजिए: \(\frac{1}{2}\left(\frac{3 x}{5}+4\right) \geq \frac{1}{3}(x-6)\)
हल:
दी हुई असमिका

प्रश्न 13.
हल कीजिए :
2(2x + 3) – 10 < 6 (x – 2).
हल:
दी हुई असमिका
2(2x + 3) – 10 < 6(x – 2)
4x + 6 – 10 < 6x – 12
6x को बायीं ओर तथा — 4 को दायीं ओर रखने पर,
4x – 6x < – 12 +4
या – 2x < – 8 (- 1) से गुणा करने पर, x > 4
∴ हल है : x ϵ (4, ∞)

प्रश्न 14.
हल कीजिए: 37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8(x – 3).
हल:
दी हुई असमिका
37 – (3x + 5) ≥ 9x – 8(x – 3)
37 – 3x-5 ≥ 9x – 8x + 24
– 3x + 32 ≥ x + 24
x को बायीं ओर तथा 32 को दायीं ओर रखने पर
– 3x – x ≥ 24 – 32
या – 4x ≥ – 8
(- 1) से गुणा करने पर तथा 4 से भाग देने पर
x ≤ \(\frac{8}{4}\) या x ≤ 2
∴ हल है : x ϵ (- ∞, 2].

प्रश्न 15.
हल कीजिए : \(\frac{x}{4}<\frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5}\)
हल : दी हुई असमिका \(\frac{x}{4}<\frac{5 x-2}{3}-\frac{7 x-3}{5}\)
60 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर ।
15x < 20(5x – 2) – 12 (7x – 3)
या 15x < 100x – 40 – 84x + 36
या 15x < 16x – 4
16x को बायीं ओर लाने पर,
15x – 16x < – 4
या – X < – 4 – 1 से गुणा करने पर x > 4
∴ हल है :
x ϵ (4, ∞)

प्रश्न 16.
हल कीजिए : \(\frac{2 x-1}{3} \geq \frac{3 x-2}{4}-\frac{2-x}{5}\)
हल:
दी हुई असमिका \(\frac{2 x-1}{3} \geq \frac{3 x-2}{4}-\frac{2-x}{5}\)
60 से गुणा करने पर,
20(2x – 1 ) ≥ 15(3x – 2) – 12(2 –x)
या 40x – 20 ≥ 45x – 30 – 24 + 12x
या 40x – 20 ≥ 57x – 54
57x को बायीं ओर तथा 20 को दायीं ओर रखने पर,
40x – 57x ≥ – 54 + 20
– 17x ≥ – 34
– 17 से भाग देने पर
x ≤ 2
∴ हल है :
x ϵ (- ∞, 2].

प्रश्न 17.
से 20 तक की असमिकाओं का हल ज्ञात कीजिए तथा उन्हें संख्या रेखा पर आलेखित कीजिए।
प्रश्न 17.
3x – 2 < 2x + 1.
हल:
दी हुई असमिका 3x – 2 < 2x + 1
2x को बायीं ओर तथा 2 को दायीं ओर रखने पर,
3x – 2x < 1 + 2
या x <3
∴ हल है :
x ϵ (- ∞, 3].

प्रश्न 18.
5x – 3 ≥ 3x -5.
हल:
दी हुई असमिका 5x – 3 ≥ 3x – 5
3x को बायीं ओर तथा 3 को दायीं ओर रखने पर,
5x – 3x ≥ – 5 +3
या 2x ≥ – 2
2 से भाग देने पर
x ≥ – 1
∴ हल है x = [- 1, ∞).

प्रश्न 19.
3(1 – x) < 2 (x + 4)
हल:
दी हुई असमिका
3(1 – x) < 2 (x + 4)
3 – 3x < 2x +8
2x को बायीं ओर तथा 3 को दायीं ओर रखने पर,
– 3x – 2x < 8 – 3
या – 5x < 5 – 5 से भाग देने पर x > – 1
∴ हल है :
x ϵ (- 1, ∞)

प्रश्न 20.
\(\frac{x}{2}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}\)
हल:
दी हुई असमिका \(\frac{x}{2}<\frac{(5 x-2)}{3}-\frac{(7 x-3)}{5}\)
30 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
15x < 10 (5x – 2) – 6(7x – 3)
या 15x < 50x – 20 – 42x + 18
या 15x < 8x – 2
8x को बायीं ओर रखने पर,
15x – 8x < – 2
या 7x < – 2
∴ x < – \(\frac{2}{7}\)
∴ हल है : \(\left(-\infty,-\frac{2}{7}\right)\)

प्रश्न 21.
रवि ने पहली दो एकक परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए हैं। वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए, जिसे वह तीसरी एकक परीक्षा में पाकर 60 अंक का न्यूनतम औसत प्राप्त कर सके।
हल:
मान लीजिए तीसरे एकक परीक्षा में x अंक प्राप्त किए।
रवि द्वारा प्राप्त अंकों का औसत = \(\frac{70+75+x}{3}\)

3 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर,
145 + x ≥ 180
या x ≥ 180 – 145
या x ≥ 35
अतः रवि को तीसरी परीक्षा में 35 से अधिक या उसके बराबर अंक प्राप्त करने हैं।

प्रश्न 22.
किसी पाठ्यक्रम में ग्रेड A पाने के लिए एक व्यक्ति को सभी पाँच परीक्षाओं (प्रत्येक 100 अंकों में से) में 90 अंक या अधिक अंक का औसत प्राप्त करना चाहिए यदि सुनीता के प्रथम चार परीक्षाओं के प्राप्तांक 87,92, 94 और 95 हों तो वह न्यूनतम अंक ज्ञात कीजिए जिसे पांचवीं परीक्षा में प्राप्त करके सुनीता उस पाठ्यक्रम में ग्रेड A पाएगी।
हल:
मान लीजिए सुनीता ने पांचवीं परीक्षा में x अंक प्राप्त किए।
पाँच परीक्षाओं के प्राप्त अंकों का औसत = \(\frac{87+92+94+95+x}{5}\)
= \(\frac{368+x}{5}\)
प्रश्नानुसार
∴ \(\frac{368+x}{5}\) ≥ 90
5 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
368 + x ≥ 5 x 90
या 368 + x ≥ 450
या x ≥ 450 – 368
∴ x ≥ 82
अतः सुनीता को पाँचवीं परीक्षा में 82 से अधिक या उसके बराबर अंक प्राप्त करने चाहिए।

प्रश्न 23.
10 से कम क्रमागत विषम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनके योगफल 11 से अधिक हों।
हल:
मान लीजिए x और x + 2 दो विषम परिमेय संख्याएँ हैं।
x तथा x + 2 दोनों ही 10 से कम हैं।
⇒ x < 10 और x + 2 < 10 या x < 8 दोनों का योग 11 से अधिक है। ∴ x + (x + 2) > 11
या 2x + 2 > 11 या 2x > 11 – 2
∴ 2x > 9 या x > \(\frac{9}{2}\), या x > 4 \(\frac{1}{2}\)
अर्थात् यदि x = 5 हो, तब दूसरी संख्या = x + 2 = 7
इसी प्रकार यदि x = 7, तो x + 2 = 9
∴ दूसरा युग्म (7, 9)
x = 9 नहीं हो सकता क्योंकि x + 2 = 11 > 10
अत: वांछित युग्म है (5, 7), (7, 9).

प्रश्न 24.
क्रमागत सम संख्याओं के ऐसे युग्म ज्ञात कीजिए जिनमें से प्रत्येक 5 से बड़े हों, तथा उनका योगफल 23 से कम हो।
हल:
मान लीजिए x और x + 2 दो सम संख्याएँ हैं।
x और x + 2 दोनों ही 5 से बड़ी है।
⇒ x > 5
और x + (x + 2) < 23
∴ 2x + 2 < 23
या 2x < 23 – 2 = 21
∴ 2x < 21 या x < \(\frac{21}{2}\)
यदि x = 10, x + 2 = 12 ⇒ x + (x + 2) < 23
इसी प्रकार (6, 8), (8, 10) युग्म भी दी हुई शर्त पूरी करते हैं।
वांछित युग्म (6, 8), (8, 10), (10, 12).

प्रश्न 25.
एक त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा सबसे छोटी भुजा की तीन गुनी है तथा त्रिभुज की तीसरी भुजा सबसे बड़ी भुजा से 2 सेमी कम है। तीसरी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए जबकि त्रिभुज का परिमाप न्यूनतम 61 सेमी है।
हल:
मान लीजिए त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा = x सेमी
सबसे बड़ी भुजा = 3x सेमी
तीसरी भुजा = 3x – 2 सेमी
प्रश्नानुसार
x + 3x + (3x – 2) ≥ 61
7x – 2 ≥ 61
7x ≥ 61 + 2 = 63
⇒ x ≥ 9
∴ सबसे छोटी भुजा 9 सेमी है।

प्रश्न 26.
एक व्यक्ति 91 सेमी लंबे बोर्ड में से तीन लंबाईयाँ काटना चाहता है। दूसरी लंबाई सबसे छोटो लंबाई से 3 सेमी अधिक और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई की दूनी है। सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाई क्या है, यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम 5 सेमी अधिक लंबा हो ?
हल:
मान लीजिए कटे हुए सबसे छोटे बोर्ड की लंबाई = x सेमी.
दूसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई = x + 3
तीसरे कटे हुए बोर्ड की लम्बाई = 2x सेमी
दिया है कि
x + (x + 3) + 2x ≤ 91
या 4x + 3 ≤ 91
या 4x + 3 ≤ 91 – 3
या 4x ≤ 88
x ≤ 22 …(1)
∴ यह भी दिया गया है कि 2x ≥ (x + 3) +5
2x ≥ x +8
x ≥ 8
∴ सबसे छोटे बोर्ड की लम्बाई कम से कम 8 सेमी हो और अधिक से अधिक 22 सेमी हो। …(2)

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
\(\left[i^{18}+\left(\frac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

= (- 2 + 3i – i)
= – (- 2 + 2i) = 2 – 2i.

प्रश्न 2.
किन्हीं दो सम्मिश्र संख्याओं z₁ और z₂ के लिए सिद्ध कीजिए:
Re(z₁z₂) = Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
हल:
मान लीजिए z₁ = a + ib, z₂ = c + id
∴ z₁z₂ = (a + ib)(c + id)
= ac + adi + bci + i²bd
= (ac – ba) + (ad + bc) i [∴ i² = – 1]
Re (z₁z₂) का वास्तविक भाग = ac – bd
= Rez₁ Rez₂ – Imz₁ Imz₂
यहाँ पर Rez₁ का वास्तविक भाग = a, इसी प्रकार Rez₂ = c
Imz₁ = z₁ का काल्पनिक भाग = b
इसी प्रकार Imz₂ = d.

प्रश्न 3.
\(\left(\frac{1}{1-4 i}-\frac{2}{1+i}\right)\left(\frac{3-4 i}{5+i}\right)\) को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
यदि x – iy = \(\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}\), तो सिद्ध कीजिए x² + y² = \(\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}\)
हल:
x – iy = \(\sqrt{\frac{a-i b}{c-i d}}\) ….(1)

प्रश्न 5.
निम्नलिखित को ध्रुवीय रूप में परिवर्तित कीजिए:
(1) = \(\frac{1+7 i}{(2-i)^{2}}\)
(2) = \(\frac{1+3 i}{1-2 i}\)
इल:
(i) माना.

∴ r cos θ = -1, r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने करने पर r² cos²θ + r^{2 2}θ = 1 + 1
या r²(cos²θ + sin²θ ) = 2 या r² = 2 या r = \(\sqrt{2}\)
cos θ = ऋणात्मक, sin θ = धनात्मक
∴ 0 दूसरे चतुर्थांश में है।

(ii) \(\frac{1+3 i}{1-2 i}\)
हल:
मान लिया

प्रश्न 6 से 9 में दिए गए प्रत्येक समीकरण को हल कीजिए:
प्रश्न 6.
3x² 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0.
हल:
3x² 4x + \(\frac{20}{3}\) = 0 को 3 से गुणा करने पर
9x² – 12x + 20 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 9, b = – 12, c = 20

प्रश्न 7.
x² – 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0.
हत्त:
x² – 2x + \(\frac{3}{2}\) = 0, इसे 2 से गुणा करने पर .
2x² – 4x + 3 = 0
ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

प्रश्न 8.
27x² – 10x + 1 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण 27x² – 10 x + 1 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर a = 27, b = -10, c = 1

प्रश्न 9.
21x² – 28x + 10 = 0.
हल:
21x² – 28x + 10 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = 21, b = – 28, c = 10

प्रश्न 10.
यदि z₁ = 2 -i, z₂ = 1 + i, \(\left|\frac{z_{1}+z_{2}+1}{z_{1}-z_{2}+i}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 11.
यदि a + ib = \(\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}\), सिद्ध कीजिए कि a² + b² = \(\frac{\left(x^{2}+1\right)^{2}}{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}}\).
हल :
a + ib = \(\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}\) …..(1)
i के स्थान पर – i रखने से
a – ib = \(\frac{(x+i)^{2}}{2 x^{2}+1}\) …..(2)
समी. (1) और (2) का गुणा करने पर

प्रश्न 12.
यदि z₁ = 2 – i, z₂ = – 2 + i, निम्न का मान ज्ञात कीजिए :
(1) Re \(\left(\frac{z_{1} z_{2}}{\overline{z}_{1}}\right)\)
(2) Im \(\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z}_{1}}\right)\)
हल:
(i)

(ii) Im \(\left(\frac{1}{z_{1} \overline{z}_{1}}\right)\)
हल:
\(\frac{1}{z_{1} z_{1}}=\frac{1}{(2-i) \overline{(2-i)}}=\frac{1}{(2-i)(2+i)}\)

प्रश्न 13.
सम्मिश्र संख्या \(\frac{1+2 i}{1-3 i}\) का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,
⇒ r cosθ = – \(\frac{1}{2}\), r sinθ = \(\frac{1}{2}\)
वर्ग करके जोड़ने पर,


प्रश्न 14.
यदि \((x-i y)(3+5 i),-6-24 i\) की संयुग्मी है तो वास्तविक संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\overline{-6-24 i}\)= – 6 + 24i ….(1)
(x – iy) (3 + 5i) = (3x – 5yi<sup.2 + 5xi – 3yi)
= 3x + 5y + (5x – 3y)i ……(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x + 5y + (5x – 3y)i = – 6 + 24i
वास्तविक व काल्पनिक संख्याओं को समान लिखते हुए
3x + 5y = – 6 …..(3)
5x – 3y = 24 ……(4)
समी. (3) को 3 से और समी. (4) को 5 से गुणा करने पर
9x + 15y = – 18 ….(5)
25x – 15y = 120 ….(6)
समी. (5) और समी (6) को जोड़ने पर,
34x = 102 या x = \(\frac{102}{34}\) = 3
x का मान समी. (3) में रखने पर,
9+ 5y = – 6 या 5y = – 15, या y = – 3
अतः x = 3, y = – 3.

प्रश्न 15.
\(\frac{1+i}{1-i}-\frac{1-i}{1+i}\) का मापांक ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
यदि (x + iy)³ = u + iv, तो दर्शाइए कि \(\frac{u}{x}+\frac{v}{y}=4\left(x^{2}-y^{2}\right)\).
हल:

प्रश्न 17.
यदि α और β भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ \(|\boldsymbol{\beta}|\) = 1, तब \(\left|\frac{\boldsymbol{\beta}-\boldsymbol{\alpha}}{1-\overline{\boldsymbol{\sigma}} \boldsymbol{\beta}}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए ।
हल:

प्रश्न 18.
समीकरण \(|1-i|^{x}=2^{x}\) के शून्येत्तर पूर्णांक मूलों की संख्या ज्ञात कीजिए:
हल:

इस समीकरण का 0 के अतिरिक्त और कोई हल नहीं हो सकता।

प्रश्न 19.
यदि (a + ib)(c + id) (e + if)(g + ih) = A+iB है तो दर्शाइए कि (a² + b²) (c² + d²) (e² + f²) (g² + h²) = A² + B².
हल:
(a + ib) (c + id) (e + if)(g + ih) = A + iB ….(1)
i के स्थान पर – i रखने पर,
(a – ib) (c – id) (e – if)(g – ih) = A – iB …..(2)
समी (1) और (2) को गुणा करने पर,
[(a + ib) (a – ib)] [(c + id) (c – id)] [(e + if)(e – if)][(g + ih)(g – ih)] = (A + iB)(A – iB)

प्रश्न 20.
यदि \(\left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{m}\) = 1, तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
11 1111
= 1+2+21
हल:

⇒ m संख्या 4 का गुणज है।
∴ m की कम से कम मूल्य = 4.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.2

प्रश्न 1 से 2 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का मापांक और कोणांक ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
z = -1 – i\( \sqrt{{3}} \).
हल:
मान लीजिए : = – 1 – i\( \sqrt{{3}} \) = r(cos θ + i sin θ)
अर्थात् r cos θ = -1, r sin θ = – \( \sqrt{{3}} \)
वर्ग करके जोड़ने पर, r² = 1 + 3 = 4 या r = 2
z का मापांक = 2
अब cosθ = \(-\frac{1}{2}\) = – cos \(\frac{\pi}{3}\)

प्रश्न 2.
–\( \sqrt{{3}} \) + i
हल:
मान लीजिए x = –\( \sqrt{{3}} \) + i = r (cos θ + i sin θ)
D r cos θ = –\( \sqrt{{3}} \), r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²(cos²θ + sin²θ) = 3 + 1 = 4 ,
∴ r² = 4 या r = 2

प्रश्न 3 से 8 तक सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को ध्रुवीय रूप में रूपांतरित कीजिए :
प्रश्न 3.
1 – i.
हल:
मान लीजिए z = 1 – i = r(cos θ + i sinθ)
∴ r cos θ = 1 तथा rsin θ = -1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r² cos² θ + r² sin²θ = 1 + 1 = 2
या r² (cos²θ + sin²θ) = 2
या r² = 2 या r = –\( \sqrt{{2}} \)
अब cos θ धनात्मक है और sin θ ऋणात्मक है।
∴ θ चौथे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 4.
-1 + i.
हल:
मान लीजिए z = -1 + i = r(cos θ + isin θ)
⇒ r cosθ = – 1 और r sin θ = 1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 1
या (cos² θ + sin²θ) = 1
r² = 2 या r = \( \sqrt{{2}} \)
यहाँ cos θ ऋणात्मक तथा sin θ धनात्मक है
⇒ θ दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 5.
-1 – i
हल:
मान लीजिए z = – 1 – i = r(cos θ + i sin θ)
∴ rcos θ = – 1, r sin θ = -1
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r² cos²θ + r² sin² θ = 1 + 1 = 2
या r²(cos² θ + sin²θ) = 2
∴ r² = 2 या r = \( \sqrt{{2}} \)
यहाँ cos θ और sin θ दोनों ही ऋणात्मक हैं।
∴ θ तीसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 6.
-3.
हल:
मान लीजिए z = – 3 = r (cos θ + sin θ)
∴ r cos θ = – 3, r sin θ = 0
इनका वर्ग करके जोड़ने पर,
∴ r²cos²θ + r² sin² θ = 9
r² (cos²θ + sin² θ) = r² = 9 या r = 3
अब \(\frac{r \sin \theta}{r \cos \theta}=\frac{0}{-3}=0\) परन्तु r cos θ ऋणात्मक है।
∴ θ = π
∴ z का ध्रुवीय रूप = 3(cos π + i sin π).

प्रश्न 7.
\( \sqrt{{3}} \) + i.
हल:
मान लीजिए z = \( \sqrt{{3}} \) + i = r(cos θ + i sin θ)
∴ rcos θ = \( \sqrt{{3}} \), r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r² cos² θ + r² sin² θ = 3 + 1 = 4
या r²(cos² θ + sin² θ) = 4
r² = 4 या r = 2
∴ cos² = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) और sin θ = \(\frac{1}{2}\)
sin θ और cos θ दोनों ही धनात्मक है।
∴ θ पहले चतुर्थांश में है।

प्रश्न 8.
i.
हल:
मान लीजिए z = i = r(cos θ + i sin θ)
⇒ r cos θ = 0 और r sin θ = 1
वर्ग करके जोड़ने पर,
r²cos²θ + r² sin²θ = 0 + 1
या r²(sin²θ + cos²θ) = 1 .
या r² = 1 या r = 1

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.3

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को हल कीजिए :

प्रश्न 1.
x² + 3 = 0.
हल:
x² + 3 = 0 या x 2 = – 3 या x = ± [/latex]\sqrt{-3}[/latex] = ± \(\sqrt{3}\)i.

प्रश्न 2.
2x² + x + 1 = 0.
हल:
दिया गया है : 2x² + x + 1 = 0,
समीकरण ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,

प्रश्न 3.
x + 3x + 9 = 0.
हल:
दिए गए समीकरण x² + 3x + 9 = 0 की ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, a = 1, b = 3, c = 9 .

प्रश्न 4.
-x² + x – 2 = 0.
हल:
दिया गया है :
– x² + x – 2 = 0,
– 1 से दोनों पक्षों में गुणा करने पर
x² x + 2 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
a = 1, b = – 1, c = 2

प्रश्न 5.
x² + 3x + 5 = 0.
हल:
दिया गया है:
x² + 3x + 5 = 0 इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर, a = 1, b = 3, c = 5
x = \(\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)

प्रश्न 6.
x² – x + 2 = 0
हल:
दिया है :
x²x + 2 = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर,
∴ a = 1, b = – 1, c = 2

प्रश्न 7.
\(\sqrt{2}\) x² + x + \(\sqrt{2}\) = 0.
हल:
दिया है:
\(\sqrt{2}\) x² + x + \(\sqrt{2}\) = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

प्रश्न 8.
\(\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}\) = 0
हल:
दिया है :
\(\sqrt{3} x^{2}-\sqrt{2} x+3 \sqrt{3}\) = 0
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a= \(\sqrt{3}\), b = – \(\sqrt{2}\), c = 3\(\sqrt{3}\)

प्रश्न 9.
x² + x + \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = 0.
हल:
दिया है:
दोनों पक्षों में \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर,
\(\sqrt{2}\)x² + \(\sqrt{2}\)x + 1 = 0.
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर
a = \(\sqrt{2}\) , b = \(\sqrt{2}\), c = 1

प्रश्न 10.
\(x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1\) = 0.
हल:
दिया है: \(x^{2}+\frac{x}{\sqrt{2}}+1\) = 0.
दोनों पक्षों में \(\sqrt{2}\) से गुणा करने पर
\(\sqrt{2} x^{2}+x+\sqrt{2}\) = 0 .
इसकी ax² + bx + c = 0 से तुलना करने पर

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 5 सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण Ex 5.1

प्रश्न 1 से 10 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए।
प्रश्न 1.
\((5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right)\)
हलः
\((5 i)\left(-\frac{3}{5} i\right)\) = -5 × \(\frac{3}{5}\) × i × i
= -3i² = 3 [∵ i² = i]

प्रश्न 2.
i⁹ + i¹⁹
हल:
i⁹ + i¹⁹ = i⁸.i + i¹⁸.i.
= [i²]⁴.i + [i²]⁹. i
= (-1)⁹ i + (-1)⁹ i = i – i = 0.

प्रश्न 3.
i^-39
हल:

प्रश्न 4.
3(7 + i7) + i (7 + i7).
हल:
3(7 + i7) + i (7 + i7) = 21 + 21i + 7i + 7i²
= 21 + 28i + 7(-1) [∵ i² = -1]
= 21 – 7 + 28i
= 14 + 28i.

प्रश्न 5.
(1 – i) – (-1 + i6).
हल:
(1 – i) – (-1 + i6) = (1 – i) + (1 – 6i)
= 1 – i + 1 – 6i
= 2 – 7i.

प्रश्न 6.
\(\left(\frac{1}{5}+i \frac{2}{5}\right)-\left(4+i \frac{5}{2}\right)\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\left[\left(\frac{1}{3}+i \frac{7}{3}\right)+\left(4+i \frac{1}{3}\right)\right]-\left(-\frac{4}{3}+i\right)\)
हल:

प्रश्न 8.
(1 – i)⁴.
हल:
(1 – i)² = [(1 – i)²]²
= [1 – 2i + i²]²
= [1 – 2i – 1]²2 [∵ i² = -1]
= (- 2i)²
= – 2i × -2i
= 4i² = 4(-1) = -4.

प्रश्न 9.
\(\left(\frac{1}{3}+3 i\right)^{3}\).
हल:

प्रश्न 10.
\(\left(-2-\frac{1}{3} i\right)^{3}\)
हल:

प्रश्न 11 से 13 तक की सम्मिश्र संख्याओं में प्रत्येक का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
हल:

प्रश्न 12.
\( \sqrt{{5}} \) + 3i.
हल:
\( \sqrt{{5}} \) + 3i का गुणात्मक प्रतिलोम

प्रश्न 13.
– i.
हल:
– i का गुणात्मक प्रतिलोम
= \(\frac{1}{-i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=-\frac{i}{i^{2}}=-\frac{i}{-1}\) = -i

प्रश्न 14.
निम्नलिखित व्यंजक को a + ib के रूप में व्यक्त कीजिए :

हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1

सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
प्रश्न 1.
1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\).
हल:
माना दिया हुआ कथन P(n) है।
∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
n = 1 रखने पर, ∴ बायाँ पक्ष P(n) = 1

∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
यह कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।
⇒ जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।

प्रश्न 2.
1³ + 2³ + 3³ + …………….. + n³ = \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\).
हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.

प्रश्न 3.

हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
1.2.3 + 2.3.4 +…..+ n(n + 1)(n + 2) = \(\frac{\left.n(n+1\right)(n+2)(n+3)}{4}\).
हल:
मान लीजिए



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n= k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
1.3 + 2.3² + 3.3³ + ……. + n. 3ⁿ = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\).
हल:
माना
P(n) : 1.3 + 2.3² + 3.3³ + ……. + n. 3ⁿ = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\)
यदि n = 1, P(n) का बायाँ पक्ष = 1.3 = 3

इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 6.
1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\).
हल:
माना
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=\frac{1.2 .3}{3}\) = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है

∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 7.
1.3 + 3.5 + 5.7 + …….. + (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
हल:
मान लीजिए
P(n) : 1.3 + 3.5 + 5.7 +….+ (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.3 = 3


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 8.
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2.
हल:
माना
P(n) : 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2 .
दायाँ पक्ष = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……… + k.2^k = (k – 1).2^k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2^k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……….. + k.2^k + (k + 1).2^k+1 = (k – 1).2^k+1 + 2 + (k + 1).2^k+1
= (k – 1 + k + 1).2^k+1 + 2
= 2k.2^k+1 + 2 = k.2^k+2 + 2
= \((\overline{k+1}-1), 2^{\overline{k+1}}+1+2\)
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 9.

हल:

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 10.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

पश्न 11.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 12.
a + ar + ar² + …….. + ar^n-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\).
हल:
मान लीजिए P(n) = a + ar + ar² + …….. + ar^n-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = a
दायाँ पक्ष = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\) = a
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 13.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 14.

हल:

इससे सिद्ध होता है कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 15.
1² + 3² + 5² + ……..+ (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\).
हल:
माना
P(n) : 1² + 3² + 5² + ……..+ (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1² = 1
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}=\frac{1.1 .3}{3}\) = 1
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 16.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 17.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 18.
1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)².
हल:
माना P(n) 1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1


⇒ P(n) , n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 19.
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का गुणज है
n = 1 के लिए n(n + 1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
k(k + 1)(k + 5) = 3m
या 3 + 6k² + 5k = 3m
k के स्थान पर k + 1 रखने पर।
(k + 1)³ + 6(k + 1)² + 5(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + 6(k² + 2k + 1) + 5k + 5
= k³ + 9k² + 20k + 12
= (k³ + 6k² + 5k) + (3k² + 15k + 12)
= 3m + 3(k² + 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
10^2n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
हल:
माना P(n) : 10^2n-1 + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।
n = 1, के लिए 10^2n-1 + 1 = 10² – 1 + 1 = 11
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 10^2k-1 + 1, संख्या 11 से विभाजित होती है।
या 10^2k-1 + 11m (माना)
k को k + 1 से बदलने पर
10^2(k+1)-1 + 1 = 10^2k+1 + 1
= 10².10^2k-1 + 1
= 10²(10^2k-1 + 1) – 100 + 1.
= 100.11m – 99
= 11 (100m – 9)
इससे सिद्ध हुआ कि 10^2k+1 + 1 भी 11 से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 21.
x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : x²ⁿ – y²ⁿ, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x² – y² = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x^2k – y^2k, x + y से विभक्त होता है।
या x²⁶ – y^2k = m(x + y)
या x^2k = m(x + y) + y^2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x^2(k+1) – y^2(k+1) = x². x^2k – y^2k+2
= x²[m(x + y) + y^2k] – y^2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x² + x²y^2k – y^2k+2
= m(x + y)x² + y^2k(x² – y²)
= (x + y) [mx² + y^2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 22.
3²ⁿ⁺² – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 3²ⁿ⁺² – 8n – 9 संख्या 8 से विभक्त होती है।
n = 1 के लिए,
3ⁿ⁺² – 8n – 9 = 3²⁺² – 8.1 – 9
= 3⁴ – 8 – 9
= 81 – 17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात
3^2k+2 – 8k – 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या 3^2k+2 – 8k – 9 = 8m.
3^2k+2 = 8m + 8k + 9
k को k+ 1 से बदलने पर
3^2(k+1)+2 – 8 (k + 1) – 9 = 3².3^2k+2 – 8(k + 1) – 9.
= 9(8m + 8k + 9) – 8k – 17
= 9(8m + 8k) + 81 – 8k – 17
= 72m + 64k + 64
= 8(9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 23.
41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का गुणज है।
n = 1 के लिए, 41ⁿ – 14ⁿ = 41 – 14 = 27
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना, P(n), n =k के लिए सत्य है।
⇒ 41^k – 14^k = 27m
⇒ 41^k = 27m + 14^k
k के स्थान पर k + 1 रखने पर
41^k+1 – 14^k+1 = 41. 41^k – 14^k+1 [41^k = 27m + 14^k रखने से]
= 41[27m + 14^k] – 14^k+1
= 27. 41m + 41. 14^k – 14^k+1
= 27. 41m + 14^k.27
= 27[41m +14^k]
जो कि 27 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 24.
(2n + 7) < (n+ 3)².
हल:
मान लीजिए P(n) = (2n + 7) < (n + 3)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 2 × 1 + 7 = 9
दायाँ पक्ष = (n + 3)²
= (1 + 3)² = 4² = 16
9 < 16
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 2k + 7 < (k + 3)²
या 2(k + 1) + 7 < (k + 3)² + 2. [दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]
⇒ 2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 ….(1)
k को k + 1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k + 5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 + 2k + 5
< k² + 8k + 16
< (k + 4)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos\(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos\(\frac{5 \pi}{13}\) = 0.
हल:
बायाँ पक्ष =
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos\(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos\(\frac{5 \pi}{13}\)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए : (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0.
हल:
बायाँ पक्ष = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cosx
= sin 3x sin x + sin²x + cos 3x cos x – cos²x
= (cos 3x cos x + sin 3x sin x) – (cos² x – sin²x)
= cos 2x – cos 2x
= 0 [∵ cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए : (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 cos²\(\frac{x+y}{2}\).
हल:
बायाँ पक्ष = (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए : (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 sin\(\frac{x-y}{2}\).
हल:
बायाँ पक्ष = (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए : sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)


= 4 sin 4x cos 2x cos x
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए : sin 3x + sin 2x – sin x = 4 sin cos \(\frac{x}{2}\) cos \(\frac{3x}{2}\)
हल:
बायाँ पक्ष = sin 3x + (sin 2x – sin x)

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\), और tan \(\frac{x}{2}\), ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8.
tan x = –\(\frac{4}{3}\), x द्वितीय चतुर्थाश में हैं।
हल:
∵ x दूसरे चतुर्थांश में है, ∴ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थांश में है इसलिए sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\), और tan \(\frac{x}{2}\), धनात्मक होंगे।

प्रश्न 9.
cos x = \(-\frac{1}{3}\), x तीसरे चतुर्थांश में है।
हल:
x, तीसरे चतुर्थांश में है।
अर्थात 180° < x < 270°
90° < \(\frac{x}{2}\) < 135
⇒ \(\frac{x}{2}\) दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 10.
sin x = \(\frac{1}{4}\) द्वितीय चतुर्थाश में है।
हल:
x, दूसरे चतुर्थांश में है।
⇒ 90° < \(\frac{x}{2}\) < 180°
2 से भाग देने पर 45° < \(\frac{x}{2}\) < 90°
⇒ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थाश में है

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
cos x = \(-\frac{1}{2}\), x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
∆OAB में,

प्रश्न 2.
sin x = \(\frac{3}{5}\), x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(\frac{3}{4}\), x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल:
cot x = \(\frac{3}{4}\)
यहाँ OA = 3 इकाई
∴ AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = \(\frac{13}{5}\), चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

यहाँ OB = 13 इकाई
∴ OA = 5 इकाई

प्रश्न 5.
tan x = \(-\frac{5}{12}\), x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
tan x = \(-\frac{5}{12}\)
∆OAB में, tan x = \(\frac{A B}{O A}\)

यहाँ AB = 5 इकाई
∴ OA = 12 इकाई
∴ OB = \(\) = 13
OA = -12 (∵ OX’ दिशा में है)
AB = 5 (∵ OY’ दिशा में है)
OB = 13

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 6.
sin 765°.
हल:
sin 765° = sin (2 × 360 + 45°)
= sin 45 [∵ – sin (360 + θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°.
हल:
cosec (-1410) = -cosec 1410 [∵ cosec (-θ) = – cosec θ]
= – cosec (4 × 360 – 30)
= – cosec (-30)° [∵ cosec (360 + θ) = cosec θ]
= cosec 30° [∵ cosec (-θ) = cosec θ]
= 2. [∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)]

प्रश्न 8.
tan \(\frac{19 \pi}{3}\)
हल:
tan \(\frac{19 \pi}{3}\) = tan \(\left(6 \pi+\frac{\pi}{3}\right)\)
= tan \(\frac{\pi}{3}\) [∵ tan (6π + θ) = tan θ]
= tan 60 = \( \sqrt{{3}} \). [∵ tan (π – θ)= – tan θ]

प्रश्न 9.
sin \(\left(\frac{-11 \pi}{3}\right)\).
हल:
\(\sin \left(\frac{-11 \pi}{3}\right)=-\sin \frac{11 \pi}{3}\) [∵ sin (-θ) = – sin θ]

प्रश्न 10.
cot \(\left(\frac{-15 \pi}{4}\right)\)
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक) :
प्रश्न 1.
tan x = \( \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 2.
secx = 2.
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(– \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 4.
cosecx = – 2.
हल:

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हल:
cos 4x = cos 2x
या cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cosx – cos 2x = 0.
हल:
cos 3x + cos x – cos 2x = 0

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.
हल:
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0 [∴ sin 2x = 2 sin x cos x]
या cos x (2 sin x + 1) = 0
(i) जब cos x = 0, x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x.
हल:
sec² 2x = 1 – tan 2x
या 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x [∵ sec²A = 1 + tan² A]
या tan² 2x + tan 2x = 0
या tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0, y tan 2x + 1 = 0

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
हल:
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
या \(2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}\) + sin 3x = 0 [∵ sin C + sin D = 2 \(\frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\)]
या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3 x (2 cos 2 x + 1) = 0
⇒ sin 3x = 0
या 2 cos 2x + 1 = 0

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए : cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\) = \(-\sqrt{2}\)sinx
हल:
बायाँ पक्ष = cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin²6x – sin²4x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin² 6x – sin²4x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin²6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x = 4 cos² x sin 4x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\)
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\) (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin² x cos²x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos²A – 1)
= 2 cos² 2x – 1
= 2[2 cos² x – 1]² – 1
= 2 [4cos⁴ x – 4 cos²x + 1] – 1
= 8 cos⁴x – 8 cos²x + 1
= 1 + 8 cos⁴ x – 8 cos²x
= 1 + 8 cos² x (cos² x – 1)
= 1 – 8 cos²x sin²x [∵ 1 – cos² x = sin² x]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos² A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos²A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A (1 – cos² A) [∵sin² A = 1 – cos²A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos³ A
= 4 cos³ A – 3 cos A
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos² x – 1)³ – 3 (2 cos²x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos²x – 1)
= 4[8 cos⁶ x – 12 cos⁴ x + 6 cos²x – 1)] – (6 cos²x – 3)
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴x + 18 cos² x – 1
= दायाँ पक्ष।

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