Class 11

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 4 गणितीय आगमन का सिद्धांत Ex 4.1

सभी n ϵ N के लिए गणितीय आगमन सिद्धांत के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि :
प्रश्न 1.
1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\).
हल:
माना दिया हुआ कथन P(n) है।
∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
n = 1 रखने पर, ∴ बायाँ पक्ष P(n) = 1

∴ 1 + 3 + 3² + …. + 3^n-1 = \(\frac{3^{n}-1}{2}\)
यह कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।
⇒ जब भी P(k) सत्य होगा P(k + 1) भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धातं के अनुसार P(n) उन सभी n के मान के लिए सत्य है जो n ϵ N है।

प्रश्न 2.
1³ + 2³ + 3³ + …………….. + n³ = \(\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^{2}\).
हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि यदि P(n) मान n = k के लिए सत्य है तो P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n के सभी मान के लिए सत्य होगा यदि n ϵ N.

प्रश्न 3.

हल:
माना



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
1.2.3 + 2.3.4 +…..+ n(n + 1)(n + 2) = \(\frac{\left.n(n+1\right)(n+2)(n+3)}{4}\).
हल:
मान लीजिए



इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n= k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
1.3 + 2.3² + 3.3³ + ……. + n. 3ⁿ = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\).
हल:
माना
P(n) : 1.3 + 2.3² + 3.3³ + ……. + n. 3ⁿ = \(\frac{(2 n-1) \cdot 3^{n+1}+3}{4}\)
यदि n = 1, P(n) का बायाँ पक्ष = 1.3 = 3

इससे सिद्ध हुआ कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 6.
1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\).
हल:
माना
P(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…. n(n + 1) = \(\left(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}\right)\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(n+1)(n+2)}{3}=\frac{1.2 .3}{3}\) = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है

∴P(n), n = k +1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 7.
1.3 + 3.5 + 5.7 + …….. + (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
हल:
मान लीजिए
P(n) : 1.3 + 3.5 + 5.7 +….+ (2n – 1)(2n + 1) = \(\frac{n\left(4 n^{2}+6 n-1\right)}{3}\)
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.3 = 3


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 8.
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2.
हल:
माना
P(n) : 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ………. + n.2ⁿ = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2
यदि n = 1, बायाँ पक्ष = 1.2 = 2 .
दायाँ पक्ष = (n – 1). 2ⁿ⁺¹ + 2 = 0 + 2 = 2
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……… + k.2^k = (k – 1).2^k+1 + 2
(k + 1) वॉ पद = (k + 1).2^k+1 को दोनों पक्षों में जोड़ने पर,
1.2 + 2.2² + 3.2³ + ……….. + k.2^k + (k + 1).2^k+1 = (k – 1).2^k+1 + 2 + (k + 1).2^k+1
= (k – 1 + k + 1).2^k+1 + 2
= 2k.2^k+1 + 2 = k.2^k+2 + 2
= \((\overline{k+1}-1), 2^{\overline{k+1}}+1+2\)
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार, P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 9.

हल:

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 10.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

पश्न 11.

हल:
माना

⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 12.
a + ar + ar² + …….. + ar^n-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\).
हल:
मान लीजिए P(n) = a + ar + ar² + …….. + ar^n-1 = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = a
दायाँ पक्ष = \(\frac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}\) = a
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k +1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 13.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 14.

हल:

इससे सिद्ध होता है कि P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 15.
1² + 3² + 5² + ……..+ (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\).
हल:
माना
P(n) : 1² + 3² + 5² + ……..+ (2n – 1)² = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}\)
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1² = 1
दायाँ पक्ष = \(\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}=\frac{1.1 .3}{3}\) = 1
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।

⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 16.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P (n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 17.

हल:
माना


⇒ P(n), n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 18.
1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)².
हल:
माना P(n) 1 + 2 + 3 + ………………. + n < \(\frac{1}{8}\)(2n + 1)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 1


⇒ P(n) , n = k + 1 के लिए सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 19.
n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : n(n + 1)(n + 5), संख्या 3 का गुणज है
n = 1 के लिए n(n + 1)(n + 5) = 1.2.6 = 12 जो 3 का गुणज है
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है
k(k + 1)(k + 5) = 3m
या 3 + 6k² + 5k = 3m
k के स्थान पर k + 1 रखने पर।
(k + 1)³ + 6(k + 1)² + 5(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + 6(k² + 2k + 1) + 5k + 5
= k³ + 9k² + 20k + 12
= (k³ + 6k² + 5k) + (3k² + 15k + 12)
= 3m + 3(k² + 5k + 4)
यह 3 का एक गुणज है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
10^2n-1 + 1, संख्या 11 से भाज्य है।
हल:
माना P(n) : 10^2n-1 + 1 संख्या 11 से विभाजित होती है।
n = 1, के लिए 10^2n-1 + 1 = 10² – 1 + 1 = 11
P(n), n = 1 के लिए सत्य है
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 10^2k-1 + 1, संख्या 11 से विभाजित होती है।
या 10^2k-1 + 11m (माना)
k को k + 1 से बदलने पर
10^2(k+1)-1 + 1 = 10^2k+1 + 1
= 10².10^2k-1 + 1
= 10²(10^2k-1 + 1) – 100 + 1.
= 100.11m – 99
= 11 (100m – 9)
इससे सिद्ध हुआ कि 10^2k+1 + 1 भी 11 से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 21.
x²ⁿ – y²ⁿ, (x + y) से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : x²ⁿ – y²ⁿ, x + y से विभाजित होता है।
n = 1 के लिए x² – y² = (x – y) (x + y) जो x + y से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ x^2k – y^2k, x + y से विभक्त होता है।
या x²⁶ – y^2k = m(x + y)
या x^2k = m(x + y) + y^2k …(1)
k के स्थान पर k + 1 रखने पर, सिद्ध करना है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभक्त होता है।
x^2(k+1) – y^2(k+1) = x². x^2k – y^2k+2
= x²[m(x + y) + y^2k] – y^2k+1
(1) से 2k का मान रखने पर,
= m(x + y)x² + x²y^2k – y^2k+2
= m(x + y)x² + y^2k(x² – y²)
= (x + y) [mx² + y^2k(x – y)]
इससे सिद्ध होता है कि x^2(k+1) – y^2(k+1), x + y से विभाजित होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 22.
3²ⁿ⁺² – 8n- 9, संख्या 8 से भाज्य है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 3²ⁿ⁺² – 8n – 9 संख्या 8 से विभक्त होती है।
n = 1 के लिए,
3ⁿ⁺² – 8n – 9 = 3²⁺² – 8.1 – 9
= 3⁴ – 8 – 9
= 81 – 17 = 64
जो 8 से विभाजित है।
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है अर्थात
3^2k+2 – 8k – 9, संख्या 8 से विभक्त होती है।
या 3^2k+2 – 8k – 9 = 8m.
3^2k+2 = 8m + 8k + 9
k को k+ 1 से बदलने पर
3^2(k+1)+2 – 8 (k + 1) – 9 = 3².3^2k+2 – 8(k + 1) – 9.
= 9(8m + 8k + 9) – 8k – 17
= 9(8m + 8k) + 81 – 8k – 17
= 72m + 64k + 64
= 8(9m + 8k + 8)
यह भी 8 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अत: गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 23.
41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का एक गुणज है।
हल:
मान लीजिए P(n) : 41ⁿ – 14ⁿ, संख्या 27 का गुणज है।
n = 1 के लिए, 41ⁿ – 14ⁿ = 41 – 14 = 27
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना, P(n), n =k के लिए सत्य है।
⇒ 41^k – 14^k = 27m
⇒ 41^k = 27m + 14^k
k के स्थान पर k + 1 रखने पर
41^k+1 – 14^k+1 = 41. 41^k – 14^k+1 [41^k = 27m + 14^k रखने से]
= 41[27m + 14^k] – 14^k+1
= 27. 41m + 41. 14^k – 14^k+1
= 27. 41m + 14^k.27
= 27[41m +14^k]
जो कि 27 से विभक्त होता है।
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

प्रश्न 24.
(2n + 7) < (n+ 3)².
हल:
मान लीजिए P(n) = (2n + 7) < (n + 3)²
n = 1 के लिए बायाँ पक्ष = 2 × 1 + 7 = 9
दायाँ पक्ष = (n + 3)²
= (1 + 3)² = 4² = 16
9 < 16
⇒ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
मान लीजिए P(n), n = k के लिए सत्य है।
∴ 2k + 7 < (k + 3)²
या 2(k + 1) + 7 < (k + 3)² + 2. [दोनों पक्षों में 2 जोड़ने से]
⇒ 2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 ….(1)
k को k + 1 रखने पर सिद्ध करना है।
2(k + 1) + 7 < (k + 1 + 3)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
समी. (1) में दाएँ पक्ष में 2k + 5 जोड़ने पर
2(k + 1) + 7 < k² + 6k + 11 + 2k + 5
< k² + 8k + 16
< (k + 4)²
या 2k + 9 < (k + 4)²
⇒ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
अतः गणितीय आगमन सिद्धांत के अनुसार P(n), n ϵ N, n के सभी मानों के लिए सत्य है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos\(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos\(\frac{5 \pi}{13}\) = 0.
हल:
बायाँ पक्ष =
2 cos \(\frac{\pi}{13}\) cos\(\frac{9 \pi}{13}\) + cos\(\frac{3 \pi}{13}\) + cos\(\frac{5 \pi}{13}\)

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए : (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cos x = 0.
हल:
बायाँ पक्ष = (sin 3x + sin x) sin x + (cos 3x – cos x) cosx
= sin 3x sin x + sin²x + cos 3x cos x – cos²x
= (cos 3x cos x + sin 3x sin x) – (cos² x – sin²x)
= cos 2x – cos 2x
= 0 [∵ cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए : (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 cos²\(\frac{x+y}{2}\).
हल:
बायाँ पक्ष = (cos x + cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए : (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)² = 4 sin\(\frac{x-y}{2}\).
हल:
बायाँ पक्ष = (cos x – cos y)² + (sin x – sin y)²

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए : sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x = 4 cos x cos 2x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
= (sin 7x + sin x) + (sin 5x + sin 3x)


= 4 sin 4x cos 2x cos x
= 4 cos x cos 2x sin 4x
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए : sin 3x + sin 2x – sin x = 4 sin cos \(\frac{x}{2}\) cos \(\frac{3x}{2}\)
हल:
बायाँ पक्ष = sin 3x + (sin 2x – sin x)

निम्नलिखित प्रत्येक प्रश्न में sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\), और tan \(\frac{x}{2}\), ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 8.
tan x = –\(\frac{4}{3}\), x द्वितीय चतुर्थाश में हैं।
हल:
∵ x दूसरे चतुर्थांश में है, ∴ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थांश में है इसलिए sin \(\frac{x}{2}\), cos \(\frac{x}{2}\), और tan \(\frac{x}{2}\), धनात्मक होंगे।

प्रश्न 9.
cos x = \(-\frac{1}{3}\), x तीसरे चतुर्थांश में है।
हल:
x, तीसरे चतुर्थांश में है।
अर्थात 180° < x < 270°
90° < \(\frac{x}{2}\) < 135
⇒ \(\frac{x}{2}\) दूसरे चतुर्थांश में है।

प्रश्न 10.
sin x = \(\frac{1}{4}\) द्वितीय चतुर्थाश में है।
हल:
x, दूसरे चतुर्थांश में है।
⇒ 90° < \(\frac{x}{2}\) < 180°
2 से भाग देने पर 45° < \(\frac{x}{2}\) < 90°
⇒ \(\frac{x}{2}\) पहले चतुर्थाश में है

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
cos x = \(-\frac{1}{2}\), x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
∆OAB में,

प्रश्न 2.
sin x = \(\frac{3}{5}\), x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(\frac{3}{4}\), x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल:
cot x = \(\frac{3}{4}\)
यहाँ OA = 3 इकाई
∴ AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = \(\frac{13}{5}\), चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

यहाँ OB = 13 इकाई
∴ OA = 5 इकाई

प्रश्न 5.
tan x = \(-\frac{5}{12}\), x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
tan x = \(-\frac{5}{12}\)
∆OAB में, tan x = \(\frac{A B}{O A}\)

यहाँ AB = 5 इकाई
∴ OA = 12 इकाई
∴ OB = \(\) = 13
OA = -12 (∵ OX’ दिशा में है)
AB = 5 (∵ OY’ दिशा में है)
OB = 13

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 6.
sin 765°.
हल:
sin 765° = sin (2 × 360 + 45°)
= sin 45 [∵ – sin (360 + θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°.
हल:
cosec (-1410) = -cosec 1410 [∵ cosec (-θ) = – cosec θ]
= – cosec (4 × 360 – 30)
= – cosec (-30)° [∵ cosec (360 + θ) = cosec θ]
= cosec 30° [∵ cosec (-θ) = cosec θ]
= 2. [∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)]

प्रश्न 8.
tan \(\frac{19 \pi}{3}\)
हल:
tan \(\frac{19 \pi}{3}\) = tan \(\left(6 \pi+\frac{\pi}{3}\right)\)
= tan \(\frac{\pi}{3}\) [∵ tan (6π + θ) = tan θ]
= tan 60 = \( \sqrt{{3}} \). [∵ tan (π – θ)= – tan θ]

प्रश्न 9.
sin \(\left(\frac{-11 \pi}{3}\right)\).
हल:
\(\sin \left(\frac{-11 \pi}{3}\right)=-\sin \frac{11 \pi}{3}\) [∵ sin (-θ) = – sin θ]

प्रश्न 10.
cot \(\left(\frac{-15 \pi}{4}\right)\)
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक) :
प्रश्न 1.
tan x = \( \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 2.
secx = 2.
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(– \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 4.
cosecx = – 2.
हल:

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हल:
cos 4x = cos 2x
या cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cosx – cos 2x = 0.
हल:
cos 3x + cos x – cos 2x = 0

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.
हल:
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0 [∴ sin 2x = 2 sin x cos x]
या cos x (2 sin x + 1) = 0
(i) जब cos x = 0, x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x.
हल:
sec² 2x = 1 – tan 2x
या 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x [∵ sec²A = 1 + tan² A]
या tan² 2x + tan 2x = 0
या tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0, y tan 2x + 1 = 0

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
हल:
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
या \(2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}\) + sin 3x = 0 [∵ sin C + sin D = 2 \(\frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\)]
या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3 x (2 cos 2 x + 1) = 0
⇒ sin 3x = 0
या 2 cos 2x + 1 = 0

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए : cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\) = \(-\sqrt{2}\)sinx
हल:
बायाँ पक्ष = cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin²6x – sin²4x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin² 6x – sin²4x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin²6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x = 4 cos² x sin 4x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\)
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\) (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin² x cos²x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos²A – 1)
= 2 cos² 2x – 1
= 2[2 cos² x – 1]² – 1
= 2 [4cos⁴ x – 4 cos²x + 1] – 1
= 8 cos⁴x – 8 cos²x + 1
= 1 + 8 cos⁴ x – 8 cos²x
= 1 + 8 cos² x (cos² x – 1)
= 1 – 8 cos²x sin²x [∵ 1 – cos² x = sin² x]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos² A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos²A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A (1 – cos² A) [∵sin² A = 1 – cos²A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos³ A
= 4 cos³ A – 3 cos A
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos² x – 1)³ – 3 (2 cos²x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos²x – 1)
= 4[8 cos⁶ x – 12 cos⁴ x + 6 cos²x – 1)] – (6 cos²x – 3)
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴x + 18 cos² x – 1
= दायाँ पक्ष।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए :
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, 0, u}, B = {a, b, c}
(iii) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है?
(iv) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = ϕ
हल:
(i) X ∪ Y = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}
(ii) A ∪ B = {a, e, i, 0, u}, {a, b, c}
= {a, b, c, e, i, o, u}
(iii) A ∪ B = {3, 6, 9….} ∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}.
(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} अर्थात् {x : 1 < x < 10, x ϵ N}
(v) A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ ϕ = {1, 2, 3}

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि A = {a, b}, B = {a, b, c}. क्या A ⊂ B? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {a, b}, B = {a, b, c}
समुच्चय A के अवयव a, b समुच्चय B में भी है
∴ A ⊂ B = A ∪ B = B
और A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

प्रश्न 3.
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
हल:
A ⊂ B ⇒ समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं।
A ∪ B = B.

प्रश्न 4.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
हल:
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(ii) A ∪ C= {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}.
(iii) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(iv) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(v) A ∪ B ∪ C = ({1, 2, 3, 4, 10} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(vi) A ∪ B ∪ D = ({1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(vii) B ∪ C ∪ D = ({3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 5.
प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए :
हल:
(i) X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3} = {1, 3}.
(ii) A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c} = {a}.
(iii) A ∩ B = {3, 6, 9 …..} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {3}.
(iv) A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 9} = ϕ.
(v) A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ ϕ = ϕ

प्रश्न 6.
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ C
(iii) A ∩ C ∩ D
(iv) A ∩ C
(v) B ∩ D
(vi) A∩ (B ∩ C)
(vii) A ∩ D
(viii) A ∩ (B ∪ D)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
हल:
(i) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13} = {7, 9, 11}.
(ii) B ∩ C = {7, 9, 11, 13} ∩ {11, 13, 15} = {11, 13}.
(iii) A ∩ C ∩ D = ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15}) ∩ {15, 17} .
= {11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(iv) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} = {11}.
(v) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17} = ϕ.
(vi) A ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ! {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}.
(vii) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(viii) A ∩ (B ∪ D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}.
(ix) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}.
(A ∩ B) (B ∪ C) = {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13. 15}
= {7, 9, 11}.
(x) A ∪ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∪ {15, 17}
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}.

प्रश्न 7.
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(vi) C ∩ D
हल:
A = {x : x एक प्राकृत संख्या है} = {1, 2, 3, 4……}
B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} = {2, 4, 6, 8…}
C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है? = {1, 3, 5, 7….}
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है} = {2, 3, 5, 7, 11….}
(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4….} ∩ {2, 4, 6, 8….}
= {2, 4, 6, 8….} = B
(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4……} ∩ {1, 3, 5, 7….}
= {1, 3, 5, 7….} = C
(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4…} ∩ {2, 3, 5, 7…..}
= {2, 3, 5, 7……} = D
(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, 8…} ∩ {1, 3, 5, 7……} = ϕ
(v) B ∩ D = {2, 4, 6, 8…..} ∩ {2, 3, 5, 7…..} = {ϕ}
(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7…..} ∩ {2, 3, 5, 7, 11…….}
= {3, 5, 7, 11, 13….}
= {x : x एक विषम अभाज्य संख्या}.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है, और {x : x एक विषम पूर्णांक है}
हल:
(i) मान लीजिए E = {1, 2, 3, 4}
F = {x : x एक प्राकृत संख्या और 4 ≤ x ≤ 6}
= {4, 5, 6}
अवयव 4, E और F दोनों समुच्चयों में है।
अतः दोनों युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) दिये हुए समुच्चयों में अवयव e उभयनिष्ठ है।
अतः यह असंयुक्त समुच्चय नहीं है।
(ii) मान लीजिए A = {x : x एक सम पूर्णांक हैं} = {….- 4, – 2, 0, 2, 4….}
B = {x : x एक विषम पूर्णांक है} = {….-5, – 3, – 1, 1, 3, 5…..}
A और B समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

प्रश्न 9.
यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A – B
(ii)A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
(xi) C – D
(xii) D – C
हल:
(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
{3, 6, 9, 15, 18, 21}.
(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18. 21}.
(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}.
(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}.
(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}.
(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.
= {5, 10, 20}.
(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}.
(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}.
(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}.
(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}.
(xi) C -D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}.
(xii) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {55 15 20}.

प्रश्न 10.
यदि x = {a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) X – Y
(ii) Y – X
(iii) X ∩ Y
हल:
(i) X – Y= {a, b, c, d} – {f, b, d, g}
= {a, c}.
(ii) Y – X= {f, b, d, g} – {a, b, c, d}
= {f, g}.
(iii) X ∩ Y= {a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g}
= {b, d}.

प्रश्न 11.
यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R – Q क्या होगा?
हल:
R= {x : x एक वास्तविक संख्या है?
Q= {x : x एक परिमेय संख्या है?
R – Q = {x : x एक अपरिमेय संख्या है}
अत: यह अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 12.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल:
(i) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {2, 3, 4, 5} और {3, 6} में अवयव 3 उभयनिष्ठ है।
(ii) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {a, e, i, o, u} और {a, b, c, d} में अवयव a उभयनिष्ठ है।
(iii) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10, 14} और {3, 7, 11, 15} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
(iv) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10} और {3, 7, 11} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
(i) 25°
(ii) – 47° 30′
(iii) 240°
(iv) 520°
हल:
(i) 180° = π रेडियन

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (π = \(\frac{22}{7}\)) का प्रयोग करें :

हल:

प्रश्न 3.
एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
हल:
1 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 21 रेडियन
∴ 360 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 360 × 2π रेडियन
∵ 1 मिनट अर्थात् 60 सेकण्ड में 360 × 2π रेडियन का कोण बनता है।
∴ 1 सेकण्ड में पहिया द्वारा बना कोण = \(\frac{360 \times 2 \pi}{60}\)
= 12π रेडियन।

प्रश्न 4.
एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी? (π = \(\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)
हल:
∵ चाप = त्रिज्या × कोण
जहाँ चाप, l = 22 सेमी
त्रिज्या r = 100 सेमी
22 = 100 × θ

प्रश्न 5.
एक वृत्त जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
व्यास = 40 सेमी
त्रिज्या = 20 सेमी

त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है
∠AOB = 60°
= \(\frac{60 \times \pi}{180}\) रेडियन
= \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन
मान लीजिए चाप AB = l
केन्द्र O पर चाप द्वारा बना कोण, θ = \(\frac{\pi}{3}\)
चाप AB की लम्बाई,
l = rθ = 20 × \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन
= \(\frac{20 \pi}{3}\) रेडियन।

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चाप की लंबाई = l
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ₁ = 60°
= \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन

मान लीजिए इसकी त्रिज्या = r₁
l = r₁θ₁
= r₁ \(\frac{\pi}{3}\)
∴ r₁ = \(\frac{3 l}{\pi}\) …(i)
दूसरे वृत्त के लिए,
माना त्रिज्या = r₂
चाप की लंबाई = l

चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, θ₂ = 75°

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर

प्रश्न 7.
75 सेमी लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैं :
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेम
हल:
त्रिज्या = 75 सेमी
(i) चाप की लम्बाई l₁ = 10 सेमी
यदि चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ रेडियन हो, तो
l₁ – rθ₁
10 = 75θ₂

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.1

प्रश्न 1.
यदि \(\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) तो तथा ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : \(\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\)
दोनों पक्षों के क्रमित अवयवों की तुलना से,

प्रश्न 2.
यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो A × B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
समुच्चय A में 3 अवयव है और समुच्चय B में भी 3 अवयव हैं।
∴ A × B में अवयवों की संख्या = 3 × 3= 9.

प्रश्न 3.
यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G × H तथा H × G ज्ञात कीजिए।
हल:
G = {7, 8}, H = {5, 4, 2}
G × H = {7, 8} × {5, 4, 2}
= {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
तथा H × G = {5, 4, 2} × {7, 8}
= {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m} तो P × Q = {(m, n), (n, m)}.
(ii) यदि A और Bअरिक्त समुच्चय हैं, तो Ax B क्रमित युग्मों (x,y) का एक अरिक्त समुच्यय है इस प्रकार कि x E A तथा y E B.
(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × (B ∩ ϕ) = ϕ.
हल:
(i) दिया है :
P = {m, n} और Q = {n, m }
∴ P × Q = {m, n} × {n, m}
∴ = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
अतः दिया गया P × Q = {(m, n), (n, m),} कथन असत्य है।
(ii) सत्य है क्योंकि A × B क्रमित युग्म (x, y) का अरिक्त समुच्चय है जिसमें
X ϵ A और Y ϵ B
(iii) सत्य है क्योंकि B ϵ ϕ = ϕ, ∴ A × (B ⊂ ϕ) = A × ϕ = ϕ.

प्रश्न 5.
यदि A = {-1, 1}, तो A × A × A ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A = {(-1, 1)}
∴ A × A = {- 1, 1} × {- 1, 1}
= {(- 1, – 1), (- 1, 1), (1, – 1), (1, 1)}
A × A × A = {- 1, 1} × {(-1, – 1), (- 1, 1), (1, – 1), (1, 1)}
= {(-1, – 1, – 1), (-1, – 1, 1), (- 1, 1, – 1), (-1, 1, 1), (1, – 1, – 1), (1, – 1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}.

प्रश्न 6.
यदि A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
हल:
A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}
= {a, b} × {x, y}
अतः A = {a, b}, B = {x, y}.

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8} सत्यापित कीजिए कि
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।
हल:
दिया है : A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}
(i) बायाँ पक्ष = A × (B ∩ C)
= {1, 2} × ({1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6})
= {1, 2} × ϕ = ϕ
दायाँ पक्ष = (A × B) (A × C)
= [{1, 2} × {1, 2, 3, 4}] ∩ [{1, 2} × {5, 6}]
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
= ϕ
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
A × C = {1, 2} × {5, 6} = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B × D = {1, 2, 3, 4} × {5, 6, 7, 8}
= {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
हम पाते हैं कि A × C के सभी अवयव समुच्चय B × D में स्थित हैं।
अतः A × C ⊂ B × D.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}. A × B लिखिए। A × B के कितने उपसमुच्चय होंगें ? उनकी सूची बनाइए।
हल:
A × B = {1, 2} × {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A × B के उपसमुच्चयों की संख्या = 24 = 16
A × B के उपसमुच्चयों के अवयव = h, {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1, 4)}, {(1, 3), (2, 3)},{(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1,4), (2,4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2,4)}.

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n (A) = 3 और n (B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A × B में हैं, तो A और B को ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
हल:
अवयव x, y, z ϵ A अर्थात् A = {x, y, z}
1, 2 ϵ B अर्थात् B = {1, 2}.

प्रश्न 10.
कार्तीय गुणन A × A में 9 अवयव हैं जिनमें (-1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A × A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
हल:
(-1, 0) ϵ A × A ⇒ -1 ϵ A और 0 ϵ A
⇒ -1, 0 ϵ A
और (0, 1) ϵ A ⇒ 0 ϵ A तथा 1 ϵ A
⇒ 0, 1 ϵ A
⇒ – 1, 0, 1 ϵ A
∴ A = {- 1, 0, 1}
∴ A × A = {- 1, 0, 1} × {- 1, 0, 1}
= {(-1, – 1), (-1, 0), (-1, 1), (0, – 1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)}
जिसमें (- 1, 0), (0, 1) सम्मिलित है।
अतः A × A के शेष अवयव = (-1, – 1), (- 1, 1), (0, – 1), (0, 0), (1, – 1), (1, 0), (1, 1).

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए :
A = {x : x ϵ R तथा x² – 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करने वाली सभी वास्तविक संख्याएं x}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8….}, D = {6}.
हल:
A = {x : x ϵ R, x समीकरण x² – 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करता है}
अर्थात् A = {2, 6}
B = {2, 4, 6}
C = {2, 4, 6, 8….}
D = {6}
(i) समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय B में भी हैं।
⇒ A ⊂ B.
(ii) इस प्रकार समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय C में भी है
⇒ A ⊂ C.
(iii) समुच्चय B के अवयव 2, 4, 6 समुच्चय C में हैं।
⇒ B ⊂ C.
(iv) समुच्चय D का अवयव 6, समुच्चय A, B और C तीनों में हैं,
⇒ D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C.

प्रश्न 2.
ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
(i) यदिx ϵ A तथा A ϵ B, तो x ϵ B
(ii) यदि A ⊂ B तथा B ϵ C, तो A ϵ C
(iii) यदि A ⊂ B तथा B ⊂ C, तो A ⊂ C
(iv) यदि A ⊄ B तथा B ⊄ C, तो A ⊄ C
(v) यदि x ϵ A तथा A ⊄ B, तो x ϵ B
(vi) यदि A ⊂ B तथा x ∉ B, तो x ∉ A
हल:
(i) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {{1}, 2}
स्पष्ट है कि 1 ϵ A, A ϵ B परंतु 1 ∉ समुच्चय B क्योंकि 1 B में नहीं है। इस प्रकार दिया हुआ कथन सत्य नहीं
(ii) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {1, 2} और C = {{1, 2}, 3}
समुच्चय A का अवयव समुच्चय B में हैं ∴ A ϵ B
अवयव {1, 2} समुच्चय C में हैं ” B ϵ C
पंरतु A = {1} समुच्चय C में नहीं है।
∴ कथन A ϵ C सत्य नहीं है।
(iii) सत्य : A ⊂ B ⇒ यदि x ϵ A तथा x ϵ B
परंतु B ⊂ C ⇒ यदि x ϵ B तब x ϵ C
∴ यदि x ϵ A तब x ϵ A तब x ϵ C ⇒ A ⊂ C
(iv) असत्य : मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 5}
समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं हैं।
∴ A ⊄ D
समुच्चय B के सभी अवयव 2, 3 समुच्चय C में नहीं हैं।
∴ A ⊂ C
पंरतु समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय C में हैं।
∴ A ⊂ C
इस प्रकार दिया कथन सत्य नहीं है।
(v) समुच्चय A = {1, 2}, B = {2, 3, 4, 5}
समुच्चय A का अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं है
∴ A ⊄ B
समुच्चय A का अवयव 1 समुच्चय B में नहीं हैं
∴ x ⊄ B
इस प्रकार दिया गया कथन सत्य नहीं है।
(vi) सत्य : A ⊂ B = यदि x ϵ A तब x ϵ B यदि x ∉ B तथा x ∉ A
इस प्रकार कथन A ⊂ B, x ∉ B तब x ∉A सत्य हैं।

प्रश्न 3.
मान लीजिए A, B और C ऐसे समुच्चय हैं कि A ∪ B = A ∪ C तथा A ∩ B = A ∩ C, तो दर्शाइए कि B = C.
हल:
दिया है : A ∪ B = A ∪ C
⇒ (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ C
= C
⇒ [(A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = C
⇒ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = C (i) [A ∩ C= A ∩ B = दिया है]
और A ∪ B = A ∪ C
(A ∪ B) ∩ B = (A ∪ C) ∩ B
B = (A ∪ C) ∩ B
= (A ∩ B) (C ∩ B)
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B ….(ii)
(i) और (ii) से B = C प्राप्त होता है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबन्ध तुल्य हैं :
(i) A ⊂ B
(ii) A – B = ϕ
(iii) A ∪ B = B
(iv) A ∩ B = A
हल:
(i) A ⊂ B अर्थात् समुच्चय A के सभी अवयव B में हैं
⇒ A – B = ϕ अर्थात (i) ⇔ (ii)
(ii) A – B = ϕ ⇔ समुच्चय A के सभी अवयव B में हैं
⇔ A ∪ B = B
अर्थात (ii) ⇔ (iii)
(iii) A ∪ B = B ⇔ समुच्चय A के सभी अवयव B में है
समुच्चय A और B मे समुच्चय A के अवयव उभयनिष्ठ है
∴ A ∩ B = A
इससे स्पष्ट है सभी कथन समान हैं।

प्रश्न 5.
दिखाइए कि यदि A ⊂ B तो C – B ⊂ C – A.
हल:
मान लीजिए x ϵ C – B = x ϵ C पंरतु x ∉ B
दिया है : A ⊂ B ⇒ यदि x ∉ B ⇒ x ∉ A
अर्थात x ϵ C और x ∉ A ⇒ x ϵ C – A
यहाँ हम पाते हैं कि
यदि x ϵ C – B तब x ϵ C – A
⇒ C – B ⊂ C – A.

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B.
हल:
मान लीजिए x, समुच्चय A का कोई अवयव है। तब एक उपसमुच्चय X (मान लो) ऐसा होगा जिसमे x ϵ A जिसके अनुसार
∴ X ⊂ A X ϵ P(A)
⇒ X ϵ P(B) [∴ P(A) = P(B)]
∴ X ⊂ B या x ϵ B
अर्थात यदि x ϵ A तब x ϵ B D A ⊂ B
∵ y समुच्चय B का कोई अवयव हो, तब
समुच्चय B का कोई उपसमुच्चय Y (मान लो) होगा जिससे y ϵ Y
तब Y ⊂ B = Y ϵ P(B)
⇒ Y ϵ P(A) [∵ P(A) = P(B)]
⇒ Y ⊂ A
⇒ यदि y ϵ B तब Y ϵ A
⇒ B ⊂ A …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं

प्रश्न 7.
किन्हीं भी समुच्चयों A तथा B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
मान लीजिए
A = {a}, B = {b}, और A ∪ B = {a, b}
P(A) = {ϕ, {a}}, P(B) = {ϕ, {b}}
P(A) ∪ P(B) = {ϕ, {a}, {b}} …(i)
अब A ∪ B = {a, b}
∴ P(A ∪ B) = {ϕ, {a}, {b}, {a, b}} …(ii)
समी (i) और (ii) से हम देखते हैं कि
अतः P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B).

प्रश्न 8.
किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि
A = (A ∩ B) ∪ (A – B) और A ∪ (B – A) = A ∪ B.
हल:
(i) दायाँ पक्ष = (A ∩ B) ∪ (A – B)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) [∴ A – B = A ∩ B’]
= (A ∩ (B ∪ B’) (वितरण गुण से)
= A ∩ U (यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय)
= A .
अतः (A ∩ B) (A – B) = A.
बायाँ पक्ष = A ∪ (B – A)
= A ∪ (B ∩ A’) [∴ B – A = B ∩ A’]
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A) (वितरण गुण से)
= (A ∪ B) ∩ U [यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय]
= A ∪ B
अतः A ∪ (B – A) = A ∪ B.

प्रश्न 9.
समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि
(i) A ∪ (A ∩ B) = A
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A.
हल:
(i) बायाँ पक्ष = A ∪ (A ∩ B)
= (A ∪ A) (A ∪ B) (वितरण गुण से)
= A ∩ (A ∪ B) (∴ A ∪ A = A)
= A [∴ A ⊂ A ∪ B]
∴ A ∪ (A ∩ B) = A.

(ii) बायाँ पक्ष = A ∩ (A ∪ B)
= (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) [वितरण गुण से]
= A ∪ (A ∩ B) [∴ A ∩ A = A]
= A [∴ A ∩ B ⊂ A]
अतः A ∩ (A ∪ B) = A.

प्रश्न 10.
दिखलाइए कि A ∩ B = A ∩ C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता।
हल:
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {1, 7} तथा C = {1, 4} हो, तब
A ∩ B = {1, 2} ∩ {1, 7} = {1}
A ∩ C = {1, 2} ∩ {1, 4} = {1}
⇒ A ∩ B = A ∩ C
परंतु B ≠ C
⇒ यदि A ∩ B = A ∩ C तो आवश्यक नहीं है कि B = C.

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय x के लिए A ∪ X = B ∪ X = ϕ तथा A ∪ X = B ∪ X तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
हल:
दिया है A ∪ X = B ∪ X, जब कि X कोई समुच्चय है।
⇒ A ∩ (A ∪ X) = A ∩ (B ∪ X) [A ⊂ A ∪ X, ∴ A ∩ (A ∪ X) = A]
⇒ A = A ∩ (B ⊂ X)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ A) [वितरण गुण से]
= (A∩ B) U ϕ (∴ दिया है, A ∩ x = ϕ)
= A ∩ B
⇒ A ⊂ B …(i)
पुनः A ∪ X = B ∪ X
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B ∩ (B ∪ X)
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B [∴ B ⊂ B ∪ X]
⇒ (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) = B [वितरण गुण से]
⇒ (B ∩ A) ∪ ϕ = B [दिया है: B ∩ X = ϕ]
⇒ (B ∩ A) = B
⇒ B ⊂ A …..(ii)
समी. (i) और (ii) से, हम पाते हैं कि A = B.

प्रश्न 12.
ऐसे समुच्चय A, B और C ज्ञात कीजिए ताकि A ∩ B, B ∩ C तथा A ∩ C आरिक्त समुच्चय हों और A ∩ B ∩ C = ϕ.
हल:
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}
A ∩ B = {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}
B ∩ C = {2, 3} ∩ {1, 3} = {3}
C ∩ A = {1, 3} ∩ {1, 2} = {1}
अतः A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A रिक्त समुच्चय नहीं हैं।
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C
= {2} ∩ {1, 3} = ϕ.

प्रश्न 13.
किसी विद्यालय के 600 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 150 विद्यार्थी चाय, 225 विद्यार्थी कॉफी तथा 100 विद्यार्थी चाय और कॉफी दोनों पीते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न कॉफी पीते हैं।
हल:
मान लीजिए T और C चाय तथा कॉफी पीने वाले विद्यार्थियों के समुच्चय हों, तब
n(T) = 150, n(C) = 225, n(T ∩ C) = 100
n(T ∪ C) = n(T) + n(C) – n(T ∩ C)
= 150 + 225 – 100
= 275
= उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी पीते हैं या चाय और कॉफी दोनों पीते हैं।
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 600
∴ उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी कुछ भी नहीं पीते
= 600 – 275 = 325.

प्रश्न 14.
विद्यार्थियों के समूह में, 100 विद्यार्थी हिन्दी, 50 विद्यार्थी अंग्रेजी तथा 25 विद्यार्थी दोनों भाषाओं को जानते हैं। विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिन्दी या अंग्रेजी जानता है। समूह में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
हल:
पाना H तथा E क्रमशः हिन्दी और अंग्रेजी जानने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 100, n(E) = 50, n(H ∩ E) = 25
∴ n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
= 100 + 50 – 25
=125
उन विद्यार्थियों की संख्या जो हिन्दी या अंग्रेजी जानते हैं = 125.

प्रश्न 15.
60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H, 26 लोग समाचार पत्र T, 26 लोग समाचार पत्र I, 9 लोग H तथा I दोनों, 11 लोग H तथा T दोनों, 8 लोग T तथा । दोनों और 3 लोग तीनों ही समाचार पत्र पढ़ते हैं, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
(ii) ठीक ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
हल:
कुल लोगों की संख्या जिनका सर्वेक्षण किया गया = 60
H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H) = 25
T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T) = 26
समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (I) = 26

H और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ I) = 9
H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T) = 11
T और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T ∩ I) = 8
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T ∩ I) = 3
H और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा T समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 9 – 3 = 6
H और T समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा I समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 11 – 3 = 8
T और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा H समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 8 – 3 = 5
केवल H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 25 – 8 – 6 – 3 = 8
केवल T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 26 – 8 – 3 – 5 = 10
केवल I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 26 – 6 – 3 – 5 = 12
कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
= केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + केवल दो समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
= (8 + 10 + 12) + (8 + 6 + 5) + 3 = 30 + 19 + 3
= 52
वैकल्पिक विधि :
n(H ∪ T ∪ I) = n(H) + n(T) + n(I) – n(H ∩ T) = n(T ∩ I)- n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)
= 25 + 26 + 26 – 11 – 8 – 9 + 3
= 77 – 28 + 3 = 80 – 28 = 52
(ii) केवल H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 11 – 3 = 8
केवल T औरI समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 8 – 3 = 5
केवल I और H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 9 – 3 = 6
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 3
केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 52 – (8 + 5 + 6 + 3)
= 52 – 22 = 30.

प्रश्न 16.
एक सर्वेक्षण में पाया गया कि 21 लोग उत्पाद A,26 लोग उत्पाद B, 29 लोग उत्पाद पसंद करते हैं। यदि 14 लोग उत्पाद A तथा B, 12 लोग उत्पाद C तथा A, 14 लोग उत्पाद B तथा C और 8 लोग तीनों ही उत्पादों को पसंद करते हैं ज्ञात कीजिए कि कितने लोग केवल उत्पाद C को पसंद करते हैं?
हल:
दिया है n(A) = 21, n(B) = 26
और n(C) = 29
n(A ∩ B) = 14, n(A ∩ C) = 12
n(B ∩ C) = 14, n(A ∩ B ∩ C) = 8
अब n(A ∪ C) = 12, n(A ∩ B ∩ C) = 8

∴ n(केवल A और C) = 12 – 8 = 4
∴ n(केवल B और C) = 14 – 8 = 6
∴ (केवल C) = n(C) – n (केवल A और C) – n (केवल B और C) – n(A ∩ B ∩ C)
= 29 – 4 – 6 – 8 = 29 – 18 = 11.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6

प्रश्न 1.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n(X) = 17, n(Y) = 23 तथा n(X ∪ Y) = 38, तो n(X ∩ Y) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: (A) = 17, n (Y) = 23
और n (X ∪ Y) = 38
∴ n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y)
38 = 17 + 23 – n(X ∩ Y)
= 40 – n (X ∩ Y)
n(X ∩ Y) = 40 – 38 = 2.

प्रश्न 2.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X ∪ Yमें 18, X में 8 और Y में 15 अवयव हों तो X ∩ Y में कितने अवयव होंगे?
हल:
n(X) = 8, n(Y) = 15 और n(X ∪ Y) = 18
हम जानते हैं कि,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
18 = 8 + 15 – n(X ∩ Y)
= 23 – n(X ∩ Y )
या n(X ∩ Y) = 23 – 18 = 5.

प्रश्न 3.
400 व्यक्तियों के समूह में, 250 हिन्दी तथा 200 अंग्रेजी बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए कि H और E क्रमशः हिन्दी व अंग्रेजी बोलने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 250, n(E) = 200
और n(H ∪ E) = 400
अब n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
∴ 400 = 250 + 200 – n(H ∩ E)
= 450 – n(H ∩ E)
∴ n (H ∩ E) = 450 – 400 = 50.

प्रश्न 4.
यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि 5 में 21, T में 32 और S ∩ T में 11 अवयव हों तो S ∪ T में कितने अवयव होंगे?
हल:
यहाँ n(S) = 21, n (T) = 32, n(S ∩ T) = 11
n(S ∪ T) = n(S) + n(T) – n(S ∩ T)
= 21 + 32 – 11 = 53 – 11
= 42.

प्रश्न 5.
यदि और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि x में 40, X ∩ Y में 60 और X ∪ Y में 10 अवयव हों, तो Y में कितने अवयव होंगें?
हल:
n(X) = 40, n(X ∪ Y) = 60, n(X ∩ Y) = 10, n(Y) = ?
अब n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
60 = 40 + n (Y) – 10
n(Y) = 60 – 40 + 10 = 30.

प्रश्न 6.
70 व्यक्तियों के समूह में 37 कॉफी, 52 चाय पसंद करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों मे से कम से कम एक पेय पसंद करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं ?
हल:
मान लिया C, कॉफी पीने वाले लोगों के समुच्चय को और T, चाय पीने वाले लोगों के समुच्चय हों, तब
n(C ∪ T) = 70, n(C) = 37, n(T) = 52
n(C ∩ T) = n (C) + n(T) – n(C ∩ T)
70 = 37 + 52 – n(C ∩ T)
∴ n(C ∩ T) = 37 + 52 – 70
= 89 – 70 = 19.

प्रश्न 7.
65 व्यक्तियों के समूह में, 40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पंसद करते हैं, तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पंसद करते हैं किंतु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पंसद करते हैं?,
हल:
मान लीजिए C, क्रिकेट पंसद करने वाले लोगों का समुच्चय है और T टेनिस पंसद करने वालों का समुच्चय हो, तब
n(C ∪ T) = 65, n(C) = 40, n(C ∩ T) = 10
हम जानते हैं कि n(C ∪ T) = n(C) + n(T) – n(C ∩ T)
65 = 40 + n(T) – 10
= 30 + n(T)
n(T) = 65 – 30 = 35
केवल टेनिस पंसद करने वालो की संख्या = n(T) – n(C ∩ T)
= 35 – 10 = 25.
इस प्रकार टेनिस पंसद करने वालों की संख्या जो क्रिकेट पंसद नहीं करते = 25
अतः टेनिस पंसद करने वाले लोगों की संख्या = 35.

प्रश्न 8.
एक कमेटी में, 50 व्यक्ति फ्रैंच 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रैंच दोनों ही . भाषाओं को बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए फ्रांसीसी बोलने वाले लोगों के समुच्चय को F से तथा स्पैनिश बोलने वाले लोगों के समुच्चय का S से निरुपित किया हो, तब
n(F) = 50, n(S) = 20, n(F ∩ S) = 10
अब n(F ∪ S) = n(F) + n (S) – n (F ∩ S)
= 50 + 20 – 10 = 60
कम से कम एक भाषा बोलने वाले लोगों की संख्या = 60

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