Class 9

MP Board Class 9th Science Solutions Chapter 8 गति

MP Board Class 9th Science Chapter 8 पाठ के अन्तर्गत के प्रश्नोत्तर

प्रश्न श्रृंखला-1 # पृष्ठ संख्या 110

प्रश्न 1.
एक वस्तु के द्वारा कुछ दूरी तय की गयी। क्या इसका विस्थापन शून्य हो सकता है? अगर हाँ, तो अपने उत्तर को उदाहरण के द्वारा समझाइए।
उत्तर:
हाँ, विस्थापन शून्य हो सकता है।
उदाहरण:
वृत्ताकार मार्ग पर गति करता हुआ कोई पिण्ड एक चक्कर लगाता है तो उसकी प्रारम्भिक एवं अन्तिम स्थिति एक ही है अतः विस्थापन शून्य है।

प्रश्न 2.
एक किसान 10 m की भुजा वाले एक वर्गाकार खेत की सीमा पर 40 s में चक्कर लगाता है। 2 मिनट 20 सेकण्ड के बाद किसान के विस्थापन का परिमाण क्या होगा?
हल:
1 चक्कर में लगा समय = 40 s (दिया है)
कुल समय 2 मिनट 20 से. = 120 + 20 = 140 s

अर्थात् यदि किसान चित्रानुसार A से गति प्रारम्भ करता है, तो C पर यात्रा समाप्त करेगा अर्थात् विस्थापन AC कर्ण होगा।
जिसका मान = वर्ग की भुजा x √2 = 10√2 मीटर = 14.14 मीटर
अतः अभीष्ट विस्थापन = 14.14 मीटर।

प्रश्न 3.
विस्थापन के लिए निम्न में कौन सही है –
(a) यह शून्य नहीं हो सकता।
(b) इसका परिमाण वस्तु के द्वारा तय की गई दूरी से अधिक है।
उत्तर:
उपर्युक्त कोई भी कथन सत्य नहीं है।

प्रश्न श्रृंखला-2 # पृष्ठ संख्या 112

प्रश्न 1.
चाल एवं वेग में अन्तर बताइए। (2018, 19)
उत्तर:
चाल और वेग में अन्तर:

प्रश्न 2.
किस अवस्था में किसी वस्तु के औसत वेग का परिमाण उसकी औसत चाल के बराबर होगा?
उत्तर:
जब वस्तु की गति एक निश्चित दिशा में सरल रेखीय होगी।

प्रश्न 3.
एक गाड़ी का ओडोमीटर क्या मापता है?
उत्तर:
गाड़ी द्वारा तय की गई दूरी।

प्रश्न 4.
जब वस्तु एकसमान गति में होती है तब इसका मार्ग कैसा दिखाई देता है?
उत्तर:
एक सरल रेखा।

प्रश्न 5.
एक प्रयोग के दौरान अन्तरिक्ष यान से एक सिग्नल को पृथ्वी पर पहुँचने में 5 मिनट का समय लगता है। पृथ्वी पर स्थित स्टेशन से इस अन्तरिक्ष यान की दूरी क्या है? (जबकि सिग्नल की चाल = प्रकाश की चाल = 3 x 108 m s^-1)
हल:
दिया है:
सिग्नल की चाल = प्रकाश की चाल = 3 x 10⁸ m s^-1
सिग्नल पहुँचने में लगा समय = 5 मिनट = 5 x 60 = 300 सेकण्ड
अन्तरिक्ष यान की दूरी = सिग्नल की चाल x समय
= 3 x 10⁸ x 300 = 9 x 10¹⁰ m = 9 x 10⁷ km
अतः अन्तरिक्ष यान की अभीष्ट दूरी = 9 x 10¹⁰ m अर्थात् 9 x 10⁷ km.

प्रश्न शृंखला-3 # पृष्ठ संख्या 114

प्रश्न 1.
आप किसी वस्तु के बारे में कब कहेंगे कि –
1. वह एकसमान त्वरण से गति में है।
2. वह असमान त्वरण से गति में है।
उत्तर:

1. जब वस्तु के वेग में परिवर्तन की दर समान हो।
2. जब वस्तु के वेग में परिवर्तन मीटर असमान हो।

प्रश्न 2.
एक बस की गति 5 s में 80 km h^-1 से घटकर 60 km h^-1 हो जाती है। बस का त्वरण ज्ञात कीजिए।
हल :
ज्ञात है:

समय t = 5 s.
चूँकि हम जानते हैं कि v = u + at

अत: अभीष्ट त्वरण \(=-\frac{10}{9} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}\). (मंदन)

प्रश्न 3.
एक रेलगाड़ी स्टेशन से चलना प्रारम्भ करती है और एक समान त्वरण के साथ चलते हुए 10 मिनट में 40 km h^-1 की चाल प्राप्त करती है। इसका त्वरण ज्ञात कीजिए।
हल:
ज्ञात है:
रेलगाड़ी का प्रारम्भिक वेग u = 0 m s^-1
रेलगाड़ी का अन्तिम वेग y= 40 km/h
\(=40 \times \frac{5}{18}=\frac{100}{9} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\)
समय t = 10 मिनट = 10 x 6 = 600 s
चूँकि हम जानते हैं कि:
v = u + at

अतः अभीष्ट त्वरण \(=\frac{1}{54} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}\).

प्रश्न शृंखला 4 # पृष्ठ संख्या 118

प्रश्न 1.
किसी वस्तु के एकसमान व असमान गति के लिए समय-दूरी ग्राफ की प्रकृति क्या होती है?
उत्तर:
किसी वस्तु के एकसमान गति के लिए समय-दूरी ग्राफ एक सरल रेखा होगी, जबकि असमान गति के लिए समय-दूरी ग्राफ एक वक्र होगा।

प्रश्न 2.
किसी वस्तु की गति के विषय में आप क्या कह सकते हैं जिसका दूरी-समय ग्राफ समय अक्ष के समानान्तर एक सरल रेखा है?
उत्तर:
वस्तु स्थिर है।

प्रश्न 3.
किसी वस्तु की गति के विषय में आप क्या कह सकते हैं जिसका चाल-समय ग्राफ समय अक्ष के समानान्तर एक सरल रेखा है?
उत्तर:
वस्तु समान वेग से गति कर रही है।

प्रश्न 4.
वेग-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्र से मापी गई राशि क्या होती है?
उत्तर:
चली गई दूरी।

प्रश्न शृंखला 5 # पृष्ठ संख्या 121

प्रश्न 1.
कोई बस विरामावस्था से चलना प्रारम्भ करती है तथा 2 मिनट तक 0.1 ms^-2 के एकसमान त्वरण से चलती है। परिकलन कीजिए –
(a) प्राप्त की गई चाल
(b) तय की गई दूरी।
हल:
ज्ञात है :
बस की प्रारम्भिक चाल u = 0 m s^-1 = 12 m s^-1.
बस का त्वरण a = 0.1 m s^-2
यात्रा का समय = 2 मिनट = 120 s
ज्ञात करना है:
(a) प्राप्त की गई चाल v = ?
(b) तय की गई दूरी s = ?
(a)
∵ v = u + at
v = 0 + 0.1 x 120
v = 12 m s^-1
अतः अभीष्ट चाल = 12 m s^-1

= 720 m
अत: अभीष्ट दूरी = 720 m.

प्रश्न 2.
कोई रेलगाड़ी 90 km h^-1 की चाल में चल रही है। ब्रेक लगाए जाने पर वह -0.5 m s^-2 का एकसमान त्वरण उत्पन्न करती है। रेलगाड़ी विरामावस्था में आने के पहले कितनी दूरी तय करेगी?
हल:
ज्ञात है:
रेलगाड़ी की प्रारभिक चाल u = 90 km h^-1
u = 90 x \(\frac{5}{18}\) = 25 m s^-1
रेलगाड़ी की अन्तिम चाल v = 0 ms^-1
त्वरण a = -0.5 m s^-2
ज्ञात करना है:
तय की गयी दूरी s = ?
∵ 2as = v² – u²
⇒ 2 (-0.5) s = (0)² – (25)²
⇒ – s = 0 – 625
⇒ s = 625 m
अतः तय की गई अभीष्ट दूरी = 625 m.

प्रश्न 3.
एक ट्रॉली एक आनत तल पर 2 m s^-2 के त्वरण से नीचे जा रही है। गति प्रारम्भ करने के 3 s के पश्चात् उसका वेग क्या होगा?
हल:
ज्ञात है:
त्वरण a = 2 m s^-2
प्रारम्भिक वेग u = 0 m s^-1
समय अन्तराल t = 3 s
ज्ञात करना है:
अन्तिम वेग v = ?
∵ v = u + at
⇒ v = 0 + 2 x 3
⇒ v = 0 + 6 = 6 m s^-1
अतः अभीष्ट अन्तिम वेग = 6 ms^-1.

प्रश्न 4.
एक रेसिंग कार का एकसमान त्वरण 4 ms^-2 है। गति आरम्भ करने के 10 s पश्चात् उसका वेग क्या होगा?
हल:
ज्ञात है:
त्वरण a = 4 m s^-2
प्रारम्भिक वेग u = 0 m s^-1
समयान्तराल t = 10 s
ज्ञात करना है:
अन्तिम वेग v = ?
⇒ v = u + at
⇒ v = 0 + 4 x 10
⇒ v = 0 + 40 = 40 m s^-1
अतः अभीष्ट अन्तिम वेग = 40 ms^-1.

प्रश्न 5.
किसी पत्थर को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर 5 ms^-1 के वेग से फेंका जाता है। यदि गति के दौरान पत्थर का नीचे की ओर दिष्ट त्वरण 10 ms^-2 है, तो पत्थर के द्वारा कितनी ऊँचाई प्राप्त की गयी तथा उसे वहाँ पहुँचने में कितना समय लगा?
हल:
ज्ञात है:
पत्थर का प्रारम्भिक वेग = 5 m s^-1
नीचे की ओर दिष्ट त्वरण = -a = 10 ms^-2
⇒ a = – 10 m s^-2
पत्थर का अन्तिम वेग v = 0 m s^-1
ज्ञात करना है:
प्राप्त ऊँचाई s = ?
लगा समय t = ?
अतः प्राप्त अभीष्ट ऊँचाई = 1.25 m एवं पहुँचने में लगा समय = 0.5 s.
∵ 2as = v² – u²
⇒ 2 (-10) s = (0)² – (5)²
⇒ – 20 s = – 25
⇒ s = \(\frac{25}{20}\) = 1.25 m
एवं v = u + at
⇒ 0 = 5 + (- 10) t
⇒ 10 t = 5 ⇒ t = \(\frac{5}{10}\) = 0.55

MP Board Class 9th Science Chapter 8 पाठान्त अभ्यास के प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
एक एथलीट वृत्तीय पथ, जिसका व्यास 200 m है, का एक चक्कर 40 s में लगाता है। 2 मिनट 20 सेकण्ड के बाद वह कितनी दूरी तय करेगा? और उसका विस्थापन क्या होगा?
हल:
ज्ञात है:
वृत्ताकार मार्ग का व्यास d = 200 m
एक चक्कर में लगा समय t₁ = 40 s
कुल समय = 2 min 20 s = 140 s
ज्ञात करना है:
दूरी = ?
विस्थापन = ?
एक चक्कर में चली दूरी = πd

चूँकि एथलीट \(3 \frac{1}{2}\) चक्कर लगाता है अतः उसकी अन्तिम स्थिति उसकी प्रारम्भिक स्थिति से वृत्ताकार मार्ग के व्यास के बराबर होगी।
इसलिए विस्थापन = व्यास की लम्बाई = 200 m
अतः अभीष्ट दूरी = 2200 m एवं अभीष्ट बिस्थापन = 200 m

प्रश्न 2.
300 m सीधे रास्ते पर जोसेफ जागिंग करता हुआ 2 min 30 s में एक सिरे A से B पर पहुँचता है और घूमकर 1 min में 100 m पीछे बिन्दु C पर पहुँचता है। जोसेफ की औसत चाल और औसत वेग क्या होंगे?
(a) सिरे A से सिरे B तक, तथा
(b) सिरे A से सिरे C तक।
हुल:

(a)
सिरे A से सिरे B तक कुल चली गई दूरी s₁ = 300 m
A से B तक लगा कुल समय = 2 min 30 s = 120 + 30 = 150 s
सिरे A और B के बीच विस्थापन s = s₁ = 300 m

अत: अभीष्ट औसत चाल = 2 ms^-1 एवं अभीष्ट औसत वेग = 2 ms^-1.
(b)
सिरे A से C तक चली कुल दूरी = s₁ + S₂ = 300 + 100 = 400 m
A से C तक विस्थापन = s₁ – S₂ = 300 – 100 = 200 m
A से C तक यात्रा में लगा कुल समय = t₁ + t₂ = 2 min 30 s + 1 min
= 3 min 30 s = 180 + 30 = 210 s

अतः अभीष्ट औसत चाल = 1.9 m s^-1 एवं अभीष्ट औसत वेग = 0.952 m s^-1.

प्रश्न 3.
अब्दुल गाड़ी से स्कूल जाने के क्रम में औसत चाल को 20 km h-1 पाता है। उसी रास्ते से लौटने के समय वहाँ भीड़ कम है और औसत चाल 30 km h^-1 है। अब्दुल की इस पूरी यात्रा में उसकी औसत चाल क्या है?
हल:
मान लीजिए कि स्कूल की दूरी = x km

अत: अभीष्ट औसत चाल = 24 km h^-1

प्रश्न 4.
कोई मोटर बोट झील में विरामावस्था से सरल रेखीय पथ पर 3.0 m s^-2 के नियत त्वरण से 8.0 s तक चलती है। इस समय अन्तराल में मोटर बोट कितनी दूरी चलेगी?
हल:
ज्ञात है:
मोटर बोट की प्रारम्भिक चाल u = 0 ms^-1
त्वरण a = 3.0 m s^-2
समय अन्तराल t = 8.0 s
ज्ञात करना है:
चली गई दूरी s = ?
हम जानते हैं कि:
s = ut + \(\frac{1}{2}\) at
⇒ s = o x 8 + \(\frac{1}{2}\) (3.0) x (8.0)²
⇒ s = 0 + \(\frac{1}{2}\) x 3 x 64
⇒ s = 3 x 32 = 96 m
अतः चली गयी अभीष्ट दूरी = 96 m.

प्रश्न 5.
किसी गाड़ी का चालक 52 km h^-1 की गति से चल रही कार में ब्रेक लगाता है तथा कार विपरीत दिशा में एकसमान दर से त्वरित होती है। कार 5 5 में रुक जाती है। दूसरा चालक 30 km h^-1 की गति से चलती हुई दूसरी कार पर धीमे-धीमे ब्रेक लगाता है तथा 10 s में कार रुक जाती है। एक ही ग्राफ पेपर पर दोनों कारों के लिए चाल-समय ग्राफ आलेखित करें। ब्रेक लगाने के पश्चात् दोनों में से कौन-सी कार अधिक दूरी तक जायेगी ?
हल:
दोनों कारों का अभीष्ट चाल-समय ग्राफ –

कार ‘A’ द्वारा चली गयी दूरी S_A = पहले त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल

एवं कार ‘B’ द्वारा चली गयी दूरी S_B = दूसरे त्रिभुज COD का क्षेत्रफल
\(=\frac{1}{2} \times 30 \times \frac{5}{18} \times 10=\frac{375}{9} \mathrm{m}\)
अतः दूसरी कार अधिक दूरी तक जाएगी।

प्रश्न 6.
संलग्न चित्र में तीन वस्तुओं A, B और C का दूरी-समय ग्राफ प्रदर्शित है। ग्राफ का अध्ययन करके निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए –
1. तीनों में से कौन सबसे तीव्र गति से गतिमान है?
2. क्या ये तीनों किसी भी समय सड़क के एक ही बिन्दु पर होंगे?
3. जिस समय B,A से गुजरती है उस समय तक C कितनी दूरी तय कर लेती है?
4. जिस समय B, C से गुजरती है उस समय तक यह कितनी दूरी तय कर लेती है?

उत्तर:

1. तीनों में से सबसे तीव्र गति से B गतिमान है क्योंकि B के ग्राफ का ढाल (प्रवणता) अधिकतम है, अतः उसकी चाल अधिकतम है।
2. ये तीनों कभी भी एक समय पर सड़क के एक ही बिन्दु पर नहीं होंगे।
3. C द्वारा तय की गई दूरी = 8 – 2 = 6 km
4. B द्वारा तय की गई दूरी = 6 – 0 = 6 km.

प्रश्न 7.
20 m की ऊँचाई से एक गेंद को गिराया जाता है। यदि उसका वेग 10 ms^-2 के एकसमान त्वरण की दर से बढ़ता है, तो यह किस वेग से धरातल से टकराएगी तथा कितने समय पश्चात् वह धरातल से टकराएगी?
हल:
ज्ञात है:
गेंद का प्रारम्भिक वेग u = 0 m s^-1
ऊँचाई h = 20 m
त्वरण a = 10 m s^-2
ज्ञात करना है:
अन्तिम वेग v = ?
समयान्तराल t = ?
∵ v² = u² + 2as
⇒ v² = (0)² + 2 x 10 x 20
⇒ v² = 400 ⇒ v = √400 = 20 m s^-1
अब ∵ v = u + at
⇒ 20 = 0 + 10 x t
⇒ 10 t = 20 ⇒ t= \(\frac{20}{10}\) = 2 s
अत: गेंद धरातल से 20 ms^-1 के वेग से 2 s पश्चात् टकराएगी।

प्रश्न 8.
किसी कार का चाल-समय ग्राफ निम्न चित्र में दर्शाया गया है।
(a) पहले 4 s में कार कितनी दूरी तय करती है? इस अवधि में कार द्वारा तय की गई दूरी को ग्राफ में छायांकित क्षेत्र द्वारा दर्शाइए।

(b) ग्राफ का कौन-सा भाग कार की एकसमान गति को दर्शाता है?
उत्तर:
(a) प्रथम 4 s में तय की गई दूरी को छायांकित क्षेत्र द्वारा प्रदर्शन।

(b) ग्राफ का 6 5 से 10 s के बीच का भाग कार की एकसमान गति को दर्शाता है।

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में से कौन-सी अवस्थाएँ सम्भव हैं तथा प्रत्येक के लिए एक उदाहरण दें –
(a) कोई वस्तु जिसका त्वरण नियत हो परन्तु वेग शून्य हो।
(b) कोई वस्तु किसी त्वरण से गति कर रही है लेकिन समान चाल से।
(c) कोई वस्तु किसी निश्चित दिशा में गति कर रही हो तथा त्वरण उसके लम्बवत् हो ?
उत्तर:
(a) यह अवस्था सम्भव है केवल स्वतन्त्रतापूर्वक गिरती वस्तु के प्रारम्भिक बिन्दु पर अथवा ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकी गयी वस्तु के अन्तिम बिन्दु पर जहाँ वस्तु का वेग शून्य तथा त्वरण गुरुत्वीय है।

(b) यह अवस्था सम्भव है जब कोई वस्तु वृत्ताकार मार्ग पर समान चाल से चल रही है जहाँ किसी भी बिन्दु पर त्वरण मार्ग के केन्द्र की ओर होगा।

(c) यह अवस्था केवल उस स्थिति में सम्भव है जब कोई वस्तु किसी दिशा में गति करना प्रारम्भ करती है तथा वृत्ताकार मार्ग पर चलती है उस समय उसका त्वरण उसकी गति की दिशा के लम्बवत् मार्ग के केन्द्र की ओर होगा।

प्रश्न 10.
एक कृत्रिम उपग्रह 42250 km त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है। यदि वह 24 घण्टे में पृथ्वी की परिक्रमा करता है तो उसकी चाल का परिकलन कीजिए।
हल:
ज्ञात है:
उपग्रह की कक्षा की त्रिज्या r = 42250 km
एक चक्कर में लगा समय t = 24 घण्टे
ज्ञात करना है:
चाल v = ?

अत: उपग्रह की अभीष्ट चाल = 11065.975 km h^-1
अर्थात् 3.074 km s^-1.

MP Board Class 9th Science Chapter 8 परीक्षोपयोगी अतिरिक्त प्रश्नोत्तर

MP Board Class 9th Science Chapter 8 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
कोई कण त्रिज्या (r) के वृत्ताकार पथ में गमन कर रहा है। अर्धवृत्त पूरा करने के पश्चात् उसका विस्थापन होगा –
(a) शून्य
(b) πr
(c) 2r
(d) 2πr
उत्तर:
(c) 2r

प्रश्न 2.
एक पिण्ड वेग ‘u’ से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है। इसके ऊपर उठने की अधिकतम ऊँचाई h होगी

उत्तर:
(b) \(\frac{u^{2}}{2 g}\)

प्रश्न 3.
किसी गतिमान पिण्ड के लिए विस्थापन तथा दूरी का आंकिक अनुपात क्या होता है?
(a) सदैव 1 से कम
(b) सदैव 1 के बराबर
(c) सदैव 1 से अधिक
(d) 1 के बराबर अथवा कम
उत्तर:
(d) 1 के बराबर अथवा कम

प्रश्न 4.
यदि किसी पिण्ड का विस्थापन, समय के वर्ग के अनुक्रमानुपाती है तो वह वस्तु गमन करती हैं –
(a) एकसमान वेग से
(b) एकसमान त्वरण से
(c) बढ़ते त्वरण से
(d) घटते त्वरण से
उत्तर:
(b) एकसमान त्वरण से

प्रश्न 5.
दिए गए v – t ग्राफ (संलग्न चित्र 8.7) से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पिण्ड –

(a) एकसमान गति कर रहा है
(b) विराम अवस्था में है
(c) असमान गति कर रहा है
(d) एकसमान त्वरण से गति कर रहा है
उत्तर:
(a) एकसमान गति कर रहा है

प्रश्न 6.
मान लीजिए कोई लड़का 10 m s^-1 की नियत चाल से चल रहे ‘मेरीगोराडण्ड’ झूले पर सवारी करने का आनन्द ले रहा है। इससे ज्ञात होता है कि वह लड़का –
(a) विराम में है
(b) बिना त्वरण के गति कर रहा है
(c) त्वरित गति में है
(d) एकसमान वेग से गमन कर रहा है
उत्तर:
(c) त्वरित गति में है

प्रश्न 7.
v – t ग्राफ द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल किसी भौतिक राशि को निरूपित करता है, जिसका मात्रक है –
(a) m²
(b) m
(c) m³
(d) m s^-1
उत्तर:
(c) m³

प्रश्न 8.
चार कार A, B, C तथा D किसी समतल सड़क पर गति कर रही हैं। इनके दूरी-समय ग्राफ संलग्न चित्र 8.8 में दर्शाये गए हैं। सही कथन चुनिए।

(a) कार A की चाल कार D से अधिक है
(b) कार B सबसे धीमी है
(c) कार D की चाल कार C से अधिक है
(d) कार C सबसे धीमी है।
उत्तर:
(b) कार B सबसे धीमी है

प्रश्न 9.
संलग्न चित्र का कौन-सा ग्राफ एकसमान गति का सही निरूपण करता है?

उत्तर:
(a)

प्रश्न 10.
वेग-समय ग्राफ की प्रवणता से प्राप्त होता है –
(a) दूरी
(b) विस्थापन
(c) त्वरण
(d) चाल
उत्तर:
(c) त्वरण

प्रश्न 11.
नीचे दिए गए प्रकरणों में से किसमें चली गई दूरी तथा विस्थापन के परिमाण समान होते हैं –
(a) यदि कार सीधी सड़क पर गमन कर रही है
(b) यदि कार वृत्ताकार पथ पर गमन कर रही है
(c) लोलक इधर-उधर गति कर रहा है
(d) पृथ्वी सूर्य की परिक्रमा कर रही है
उत्तर:
(a) यदि कार सीधी सड़क पर गमन कर रही है

प्रश्न 12.
वेग परिवर्तन की दर है – (2018)
(a) चाल
(b) त्वरण
(c) दाब
(d) बल
उत्तर:
(b) त्वरण

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वेग परिवर्तन की दर …………….. कहलाती है।
2. विस्थापन की दर …………… कहलाती है।
3. वेग एक …………… राशि है।
4. विस्थापन एक …………… राशि है।
5. चाल एक ………….. राशि है।
6. दूरी एक …………….. राशि है।
7. यदि वस्तु की गति का पथ सरल रेखीय हो, तो ऐसी गति …………… कहलाती है।
8. त्वरण एक …………….. राशि है।
9. ऋणात्मक त्वरण …………….. कहलाता है।
10. वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण एवं दिशा दोनों की आवश्यकता होती है, ……. कहलाती है।
11. वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता होती है, …………. कहलाती हैं।
उत्तर:

1. त्वरण
2. वेग
3. सदिश
4. सदिश
5. अदिश
6. अदिश
7. सरल रेखीय गति
8. सदिश
9. मंदन
10. सदिश
11. अदिश।

सही जोड़ी बनाना

उत्तर:

1. → (iii)
2. → (iv)
3. → (v)
4. → (vi)
5. → (i)
6. → (ii)

सत्य/असत्य कथन

1. प्रति सेकण्ड विस्थापन को चाल कहते हैं।
2. वेग परिवर्तन की दर त्वरण कहलाती है।
3. विस्थापन सदैव दूरी से अधिक होता है।
4. ऋणात्मक त्वरण को मंदन कहते हैं।
5. गतिमान वस्तु का वेग कभी भी शून्य नहीं हो सकता।
उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
सरल आवर्त गति का उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
लोलक की गति।

प्रश्न 2.
कोई पिण्ड एक वृत्ताकार मार्ग पर गति करता हुआ एक पूरा चक्कर लगाता है। उसका विस्थापन क्या होगा ?
उत्तर:
शून्य।

प्रश्न 3.
विस्थापन/समय अन्तराल व्यंजक किस भौतिक राशि को व्यक्त करते हैं?
उत्तर:
वेग।

प्रश्न 4.
वेग परिवर्तन की दर क्या कहलाती है?
उत्तर:
त्वरण।

प्रश्न 5.
प्रति सेकण्ड वेग में होने वाली कमी को क्या कहते हैं? (2019)
उत्तर:
मंदन।

MP Board Class 9th Science Chapter 8 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एकसमान गति से क्या समझते हो ? उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
एकसमान गति:
“जब कोई वस्तु समान अन्तराल में समान दूरी तय करती है, तो उस वस्तु की गति को एकसमान गति कहते हैं।”
उदाहरण:
पृथ्वी के चारों ओर चन्द्रमा की गति।

प्रश्न 2.
असमान गति से क्या तात्पर्य है? उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
असमान गति:
“जब कोई वस्तु समान समयान्तराल में असमान दूरी तय करती है तो उस वस्तु की गति को असमान गति कहते हैं।”
उदाहरण:
सड़क पर चलती कार की गति।

प्रश्न 3.
सरल रेखीय गति की परिभाषा दीजिए।
उत्तर:
सरल रेखीय गति:
“यदि किसी पिण्ड की गति का पथ एक सरल रेखा हो, तो उस पिण्ड की गति को सरल रेखीय गति कहते हैं।”

प्रश्न 4.
अदिश राशियों को परिभाषित कीजिए। उदाहरण भी दीजिए। (2019)
उत्तर:
अदिश राशियाँ:
“वे भौतिक राशियाँ जिनका व्यक्त करने के लिए केवल परिमाण की आवश्यकता होती है, दिशा की नहीं। अदिश राशियाँ कहलाती हैं।”
उदाहरण:
दूरी, चाल, घनत्व आदि।

प्रश्न 5.
सदिश राशियों को परिभाषित कीजिए। उदाहरण भी दीजिए। (2019)
उत्तर:
सदिश राशियाँ:
“वे भौतिक राशियाँ जिन्हें व्यक्त करने के लिए परिमाण के साथ-साथ दिशा की भी आवश्यकता होती है, सदिश राशियाँ कहलाती हैं।”
उदाहरण:
विस्थापन, वेग, त्वरण आदि।

प्रश्न 6.
चाल किसे कहते हैं? इसका मात्रक लिखिए।
उत्तर:
चाल:
“किसी वस्तु द्वारा इकाई समय अन्तराल में चली गई दूरी उस वस्तु की चाल कहलाती है।”

मात्रक:
मीटर प्रति सेकण्ड (m s^-1)

प्रश्न 7.
औसत चाल से क्या समझते हो?
उत्तर:
औसत चाल:
किसी समय अन्तराल में तय की गयी कुल दूरी और समय अन्तराल के अनुपात को औसत चाल कहते हैं।”

प्रश्न 8.
वेग की परिभाषा दीजिए तथा इसका मात्रक भी लिखिए।
उत्तर:
वेग-“समय के साथ विस्थापन की दर को वेग कहते हैं।”

मात्रक:
मीटर प्रति सेकण्ड (ms^-1)

प्रश्न 9.
असमान (परिवर्ती) वेग किसे कहते हैं?
उत्तर:
असमान (परिवर्ती) वेग:
“जब कोई गतिशील वस्तु बराबर समय-अन्तराल में बराबर दूरी तय करे लेकिन उसकी गति की दिशा बदल जाये अथवा बराबर समय अन्तराल में बराबर दूरी तय नहीं करे तो उस वस्तु का वेग असमान (परिवर्ती) वेग कहलाता है।”

प्रश्न 10.
औसत वेग किसे कहते हैं?
उत्तर:
औसत वेग:
“किसी भी गतिशील वस्तु के कुल विस्थापन एवं समय-अन्तराल के अनुपात को औसत वेग कहते हैं।”

प्रश्न 11.
त्वरण किसे कहते हैं? इसका मात्रक लिखिए।
उत्तर:
त्वरण:
“वेग वृद्धि की समय के साथ दर को त्वरण कहते हैं।”

मात्रक:
मीटर प्रति सेकण्ड2 (m s^-2)

प्रश्न 12.
मंदन किसे कहते हैं? मंदन एवं त्वरण में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
मंदन:
“किसी वस्तु के वेग में कमी एवं समय अन्तराल के अनुपात को मंदन कहते हैं।”

मंदन एवं त्वरण में सम्बन्ध:
ऋणात्मक त्वरण ही मंदन होता है।

प्रश्न 13.
वत्तीय गति किसे कहते हैं ? उदाहरण दीजिए।
उत्तर:
वृत्तीय गति:
“जब कोई गतिशील वस्तु किसी वृत्ताकार मार्ग पर गति करती है तो उस वस्तु की गति वृत्तीय गति कहलाती है।
उदाहरण:
वृत्ताकार मार्ग पर साइकिल चलाते सवार की गति।

प्रश्न 14.
एकसमान वृत्तीय गति किसे कहते हैं?
उत्तर:
एकसमान वृत्तीय गति:
“जब कोई वस्तु समान चाल से किसी वृत्ताकार मार्ग पर गति करती है तो उसकी गति को एकसमान वृत्ताकार गति कहते हैं।”

प्रश्न 15.
किसी गतिशील पिण्ड का दिए गए समय-अन्तराल में विस्थापन शून्य है। क्या इसके द्वारा चली गयी दूरी भी शून्य होगी? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
नहीं।
वृत्ताकार मार्ग पर गतिमान कोई पिण्ड अपनी प्रारम्भिक स्थिति में लौट आता है तो उसका विस्थापन तो शून्य होता है लेकिन चली गयी दूरी शून्य नहीं है।

MP Board Class 9th Science Chapter 8 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गति के समीकरण किसी एकसमान वेग से गमन करते पिण्ड के लिए किस प्रकार परिवर्तित होते हैं?
हल:
∵ एकसमान वेग की स्थिति में त्वरण a = 0 m s^-2
∴ गति के समीकरण –
(1) v = u + at = u + 0 x t = v = u.
(2) s = ut + \(\frac{1}{2}\)at² = ut + \(\frac{1}{2}\) x 0 x t² = s = ut.
(3) v² = u² + 2as = u² + 2 x 0 x s = v = u.

प्रश्न 2.
कोई बालिका किसी सरल रेखीय पथ के अनुदिश चलकर पत्रपेटी में पत्र डालती है और वापस अपनी प्रारम्भिक स्थिति में लौट आती है। उसकी गति का दूरी-समय ग्राफ संलग्न चित्र में दर्शाया गया है। उसकी गति के लिए वर्ग-समय ग्राफ खींचिए।
हल:

अतः अभीष्ट वेग-समय ग्राफ

प्रश्न 3.
कोई कार विराम अवस्था से गति प्रारम्भ करके x – अक्ष के अनुदिश नियत त्वरण a’ = 5. m s^-2 से 85 तक गमन करती हैं। इसके पश्चात् यदि कार नियत वेग से गति करती रहती है, तो विराम से गति प्रारम्भ करने की पश्चात् 12 सेकण्ड में यह कितनी दूरी तय करेगी?
हल:
ज्ञात है:
प्रारम्भिक वेग u = 0 m s^-1
त्वरण a = 5 m s^-2
समय (त्वरित गति) t₁ = 8 s
अन्तिम समय t₂ = 12 s
प्रथम 8 सेकण्ड में चली दूरी
x₁ = ut₁ + \(\frac{1}{2}\)at₁²
= 0 x 8 + \(\frac{1}{2}\) x 5 x (8)²
= 160m
v₁ = u + at
= 0 + 5 x 8 = 40 m s^-1
8 s बाद कार एकसमान गति u = v₁ = 40 m s^-1 से गति करेगी।
अब अन्तिम 4 s (8वें सेकण्ड से 12वें सेकण्ड तक) में चली दूरी
x₂ = वेग x समय = 40 x (12 – 8)= 40 x 4= 160 m
कुल दूरी x = x₁ + x₂ = 160 m + 160 m = 320 m
अत: अभीष्ट दूरी = 320 m.

प्रश्न 4.
कोई मोटरसाइकिल सवार A से B तक 30 km h^-1 की एकसमान चाल से जाता है और 20 km h^-1 की चाल से वापस लौटता है। औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
ज्ञात है:
मोटरसाइकिल की जाते समय चाल = 30 km h^-1
एवं उसकी आते समय चाल = 20 km h^-1
माना A से B के बीच की दूरी x km है तो

अतः अभीष्ट औसत चाल = 24 km h^-1.

प्रश्न 5.
किसी साइकिल सवार की गति को वेग-समय ग्राफ (संलग्न चित्र) में दर्शाया गया है। इस गति का त्वरण, वेग तथा 15 5 में साइकिल सवार द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:
त्वरण:
चूँकि साइकिल 20 m s^-1 के एकसमान वेग से गतिमान है अर्थात् वेग में परिवर्तन नहीं है।
अतः त्वरण = 0 m s^-2
वेग:
ग्राफ के पाठांक के अनुसार वेग = 20 ms^-1 है अतः साइकिल का वेग = 20 m s^-1 प्रथम 15 s में साइकिल द्वारा तय की गयी दूरी संलग्न ग्राफ में छायांकित क्षेत्र से दिखाई गई है जिसका क्षेत्रफल = 20 x 15 = 300 m । इसलिए साइकिल द्वारा तय की गई दूरी = 300 m.

अतः अभीष्ट त्वरण = 0 m s^-2, वेग = 20 ms^-1 एवं तय की गई दूरी = 300 m.

प्रश्न 6.
उस पत्थर का वेग-समय ग्राफ खींचिए जो ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंका जाता है और अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के पश्चात् अधोमुखी वापस आ रहा है।
हल:
माना पत्थर प्रारम्भिक वेग से ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर फेंका जाता है जो गुरुत्वीय मंदन (ऋणात्मक गुरुत्वीय त्वरण) से गति करता है। अधिकतम ऊँचाई पर इसका वेग शून्य हो जाता है। पुनः यह गुरुत्वीय धनात्मक त्वरण से नीचे आता है। इसका समय-वेग अथवा वेग-समय ग्राफ संलग्न चित्र में दिखाया गया है।

अतः अभीष्ट वेग-समय ग्राफ का उपर्युक्त चित्र है।

प्रश्न 7.
कोई पिण्ड 150 m की ऊँचाई से विश्राम से गिराया जाता है तथा उसी क्षण किसी अन्य पिण्ड को 100 m की ऊँचाई से विराम से गिराया जाता है। यदि दोनों प्रकरणों में त्वरण समान है तो 25 के पश्चात् इनकी ऊँचाई में क्या अन्तर है? समय में परिवर्तन के साथ इस ऊँचाई के अन्तर में क्या परिवर्तन होता है?
हल:
दोनों पिण्डों की प्रारम्भिक ऊँचाई में अन्तर = (150 m – 100 m) = 50 m
प्रथम पिण्ड द्वारा 2 s में चली गई दूरी
s₁ = 0 x 2 + \(\frac{1}{2}\) x g (2)² = 2g m
इस पिण्ड की ऊँचाई h₁ = (150 – 2g) m
दूसरे पिण्ड द्वारा 2 s में चली गई दूरी
s₂ = 0 x 2 + \(\frac{1}{2}\)g (2)₂ = 2gm [∴ u= 0 दिया है]
इस पिण्ड की ऊँचाई h₂ = (100 – 2g) m
इसलिए दोनों पिण्डों की ऊँचाइयों में अन्तर = (150 – 2g) – (100 – 2g) m
= 150 – 100 = 50 m = प्रारम्भिक ऊँचाई में अन्तर
अतः दोनों पिण्डों की (2s पश्चात्) ऊँचाइयों में अभीष्ट अन्तर = 50 m
समय परिवर्तन के साथ इस ऊँचाई के अन्तर में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

प्रश्न 8.
5 x 10⁴ m s^-1 के वेग से गतिमान कोई इलेक्ट्रॉन एक समान विद्युत क्षेत्र में प्रवेश करके अपनी प्रारम्भिक गति की दिशा में 104 ms-2 का एकसमान त्वरण अर्जित करता है।
(i) वह समय परिकलित कीजिए जिसमें यह इलेक्ट्रॉन अपने प्रारम्भिक वेग का दो गुना वेग अर्जित करेगा।
(ii) इस समय में इलेक्ट्रॉन कितनी दूरी तय करेगा?
हल:
ज्ञात है:
इलेक्ट्रॉन का प्रारम्भिक वेग u = 5 x 10⁴ m s^-1
इसका अन्तिम वेग v = 2u = 10 x 10⁴ m s^-1
त्वरण a= 1 x 10⁴ m s^-2
ज्ञात करना है:
समय t = ?
तय दूरी x = ?
(i)
∵ v = u + at
⇒ 10 x 10⁴ = 5 x 10⁴ + 1 x 10⁴ t
⇒ 10⁴ t = 10 x 10⁴ – 5 x 10⁴ = 5 x 10⁴
t = 5 s.

(ii)
∵ x = ut + \(\frac{1}{2}\)at²
⇒ x = 5 x 10⁴ x 5 + \(\frac{1}{2}\) x 10⁴ x (5)²
= 25 x 10⁴ + \(\frac{25}{2}\) x 10⁴
= (25 + 12.5) x 10⁴ m
= 37.5 x 10⁴ m
अतः अभीष्ट समय = 5 s एवं अभीष्ट दूरी = 37.5 x 10⁴ m.

प्रश्न 9.
एकसमान त्वरण से गतिमान किसी पिण्ड द्वारा चौथे तथा पाँचवें सेकण्ड के अन्तराल के बीच दूरी के लिए सम्बन्ध व्युत्पन्न कीजिए।
हल:
मान लीजिए पिण्ड का प्रारम्भिक वेग u m s^-1 एवं एकसमान त्वरण a m s^-2 है तो
∵ s = ut + \(\frac{1}{2}\) at²
⇒ S₄ = u x 4+ \(\frac{1}{2}\)a (4)² = 4u + 8a
⇒ 5_s = u + 5 + \(\frac{1}{2}\)a (5)² = 5u + 12.5a
⇒ 5₅ – S₄ = u + 4.5 a = u + \(\frac{9}{2}\)a
अत: चौथे एवं पाँचवें सेकण्ड के अन्तराल में चली गई अभीष्ट दूरी = \(\left(u+\frac{9}{2} a\right)\)m.

प्रश्न 10.
दो गेंदें एक ही क्षण अपने-अपने क्रमशः प्रारम्भिक वेगों u₁ तथा u₂ से ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर दिशा में फेंकी जाती हैं। सिद्ध कीजिए कि इनके द्वारा तय की गई ऊँचाइयाँ u₁² : u₂² के अनुपात में होंगी। (यह मान लीजिए कि उपरिमुखी त्वरण – g तथा अधोमुखी त्वरण + g है।)
हल:
हम जानते हैं कि उपरिमुखी गति के लिए v² = u² – 2gh
परन्तु उच्चतम बिन्दु पर v = 0
इसलिए 0 = u² – 2gh

इससे सिद्ध होता है कि अभीष्ट गेंदों द्वारा तय की गई ऊँचाइयाँ u₁² : u₂² के अनुपात में होगी।

प्रश्न 11.
दूरी एवं विस्थापन में अन्तर लिखिए। (2018, 19)
उत्तर:
दूरी एवं विस्थापन में अन्तर:

MP Board Class 9th Science Chapter 8 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
ग्राफीय विधि से निम्न गति के समीकरणों की स्थापना कीजिए –

(1) v = u + at
(2) s = ut + \(\frac{1}{2}\)at²
(3) v² – u² = 2as.

हल:
मान लीजिए कि एकसमान त्वरण a से गतिमान किसी वस्तु का प्रारम्भिक वेग u एवं t सेकण्ड के समय अन्तराल के बाद अन्तिम वेग v है तथा इस समय अन्तराल में वस्तु द्वारा तय की गई दूरी s है तथा उसका वेग-समय ग्राफ संलग्न चित्र में दिया है।

तो ग्राफ के अनुसार BC = v, OA = u तथा OC =t
तब BD = BC – DC = BC – OA = v – u
तथा AD = OC = t होगा।
चूँकि त्वरण = वेग-समय ग्राफ की प्रवणता = \(\frac{BD}{AD}\)
⇒ \(a=\frac{v-u}{t}\)
⇒ v – u = at
⇒ v = u + at …(1)
चूँकि वेग-समय ग्राफ में ग्राफ AB के नीचे घिरे क्षेत्र OABC द्वारा दूरी प्राप्त की जाती है।
इसलिए दूरी s = क्षेत्र. (OABC) = क्षेत्र. (आयत OADC) + क्षेत्र. (AABD)
= OC x OA+ \(\frac{1}{2}\)AD x BD
= t x u + \(\frac{1}{2}\) x t x (v – u)
⇒ s = ut + \(\frac{1}{2}\)(at) [∵ समीकरण (1) में v – u = at]
⇒ s = ut + \(\frac{1}{2}\)at² ….(2)
दूरी s = क्षेत्र. (समलम्ब चतुर्भुज OABC)

इस प्रकार गति के अभीष्ट समीकरणों –

1. v=u + at
2. s = ut + \(\frac{1}{2}\)at², एवं
3. 2as = v – u का ग्राफीय विधि से सत्यापन हुआ।

प्रश्न 2.
कोई पिण्ड विराम से गति प्रारम्भ करके पहले 2 5 में 20 m तथा अगले 45 में 160 m चलता है। प्रारम्भ से 7 s पश्चात् उसका वेग क्या होगा?
हल:
ज्ञात है:
प्रारम्भिक वेग u = 0
प्रथम t₁ = 2 s में दूरी s₁ = 20 m
अगले t₂ = 4 s में दूरी s₂ = 160 m
प्रारम्भ से समय t = 7.
s = ut + \(\frac{1}{2}\)at²
⇒ 20 = 0 x 2 + \(\frac{1}{2}\)a (2)²
⇒ 20 = 2a
⇒ a = \(\frac{20}{2}\) = 10^-2
2 s पश्चात् वेग v₁ है तो
v₁ = u + at
= 0 + 10 x 2 = 20 m s^-1
यह अगले 4 s के लिए प्रारम्भिक वेग / होगा। अब अगले 4 s में चली दूरी
S₂ = u’ t₂ + \(\frac{1}{2}\)a (t₂)
⇒ 160 = 20 x 4+ \(\frac{1}{2}\)a'(4)²
⇒ 160 = 80 + 8a’ ⇒ 8a’ = 160 – 80 = 80
a’ = \(\frac{80}{8}\) = 10 m s^-2
इस तरह हम देखते हैं कि त्वरण एकसमान है।
अब मान लीजिए 7 s पश्चात् वेग v है, तो
v =u+ at
v = 0 + 10 x 7 = 70 m s^-1
अतः 75 के पश्चात् अभीष्ट वेग = 70 m s^-1.

प्रश्न 3.
नीचे दिए गए आँकड़ों की सहायता से किसी गतिमान पिण्ड के लिए विस्थापन-समय ग्राफ खींचिए।

इस ग्राफ का उपयोग करके पहले 45 के लिए, अगले 4s के लिए तथा अन्तिम 6 s के लिए पिण्ड का औसत वेग ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए आँकड़ों के लिए विस्थापन-समय ग्राफ –

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 9 समान्तर चतुर्भुज और त्रिभुजों के क्षेत्रफल Ex 9.2

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। AE ⊥ DC और CF ⊥ AD है। यदि AB = 16 cm, AE = 8 cm और CF = 10 cm हो, तो AD ज्ञात कीजिए। (2019)

चित्र 9.2
हल:
चूँकि समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = आधार x शीर्षलम्ब
⇒ AD x CF = DC x AE (क्रमशः AD और DC को आधार लेकर)
⇒ AD x CF = AB x AE (∵AB = DC समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ AD x 10 = 16 x 8 = 128
⇒ AD = \(\frac { 128 }{ 10 }\) = 12.8 cm
अत: AD का अभीष्ट मान = 12.8 cm.

प्रश्न 2.
यदि E, F, G और H क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं तो दर्शाइए कि-
ar (EFGH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD).

चित्र 9.3
हल:
□ EFGH, समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिन्दुओं E, F, G और H को क्रमशः मिलाने से बना है।
EG को मिलाइए।
अब आधार EG पर EG || AD के मध्य समान्तर चतुर्भुज DAEG और ∆HEG स्थित हैं
⇒ ar (HEG) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (DAEG) …..(1)
एवं आधार EG पर EG || BC के मध्य समान्तर चतुर्भुज CBEG एवं ∆FEG स्थित हैं
⇒ ar (FEG) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (CBEG) …(2)
⇒ ar (HEG) + ar (FEG) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (DAEG) + \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (CBEG)
अतः ar (EFGH) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD). (fearger) इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
P और Q क्रमशः समान्तर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं DC और AD पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि-
ar (APB) = ar (BQC). (2019)

चित्र 9.4
हल:
चूँकि एक ही आधार AB पर AB || DC के मध्य ∆APB और समान्तर चतुर्भुज ABCD स्थित है।
⇒ ar (APB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD) …(1) ,
चूँकि एक ही आधार BC और BC || AD के बीच ∆BOC और समान्तर चतुर्भुज ABCD स्थित हैं।
⇒ ar (BQC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD)
अतः ar (APB) = ar (BQC). [समीकरण (1) और (2) से] इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में P समान्तर चतुर्भुज ABCD के अभ्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि-
(i) ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD).
(ii) ar (APD) + ar (PBC) = ar (APB) + ar (PCD).

चित्र 9.5
हल:
दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज जिसके अभ्यन्तर P कोई दिया हुआ बिन्दु है। PA, PB, PC एवं PD को मिलाया।
बिन्दु P से होकर EPF || AB रेखा खींचिए।
यहाँ EF || AB || DC (AB || DC समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)

(i) चूँकि उभयनिष्ठ आधार EF पर EF || AB के मध्य समान्तर चतुर्भुज AEFB और ∆APB स्थित हैं।
⇒ ar (APB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (AEFB) …(1)
एवं उभयनिष्ठ आधार DC पर DC || EF के मध्य समान्तर चतुर्भुज EDCF एवं ∆PCD स्थित है।
⇒ ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (EDCF) …(2)
⇒ ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (AEFB) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (EDCF) [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD). (AEFB + EDCF = ABCD) इति सिद्धम्

(ii) चूँकि ar (APB) + ar (PCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABCD) [भाग (i) से सिद्ध कर चुके हैं] …(3)
और ar (APB) + ar (PCD) + ar (APD) + ar (PBC) = ar (ABCD) (चित्रानुसार) …(4)
⇒ ar (APD) + ar (PBC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)ar (ABCD) [समीकरण (3) और (4) से] …(5)
अतः ar (APB) + ar (PCD) = ar (APD) + ar (PBC). समी. (4) और (5) में] इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में PORS और ABRS समान्तर चतुर्भुज हैं तथा x भुजा BR पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि-
(i) ar (PQRS) = ar (ABRS).
(ii) ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS).

चित्र 9.6
हल:
(i) चूँकि उभयनिष्ठ आधार SR पर SR || PB के मध्य समान्तर चतुर्भुज ABRS एवं PQRS स्थित हैं।
अतः ar (PQRS) = ar (ABRS). इति सिद्धम्

(ii) चूँकि उभयनिष्ठ आधार AS पर AS | | BR के मध्य एक समान्तर चतुर्भुज ABRS एवं एक ∆AXS स्थित हैं
⇒ ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABRS)
अतः ar (AXS) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (PQRS). [∵ ar (PQRS) = ar (ABRS)] इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज PQRS के रूप का एक खेत था। उसने RS पर स्थित कोई बिन्दु A लिया और उसे P और Q से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है ? इन भागों के आकार क्या हैं ? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे ?

चित्र 9.6
उत्तर:
किसान का खेत PQRS समान्तर चतुर्भुज के आकार का है जिसकी भुजा RS पर स्थित बिन्दु A को P और Q से मिला दिया गया है।

1. खेत तीन भागों में विभक्त हो गया है।
2. तीनों भाग त्रिभुजाकार हैं।
3. वह किसान गेहूँ APQ भाग में तथा शेष APS एवं AQR में दालें बोए अथवा APQ में दालें तथा APS एवं AOR में गेहूँ बोए।

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 3 निर्देशांक ज्यामिति Ex 3.3

प्रश्न 1.
किस चतुर्थांश या किस अक्ष पर बिन्दु (-2, 4), (3,-1), (-1, 0), (1, 2), (-3, -5) स्थित है। कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर सत्यापित कीजिए। (2018)
हल:

बिन्दु (-2, 4) द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (3, – 1) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (-1,0) ऋणात्मक x-अक्ष पर स्थित है।
बिन्दु (1, 2) प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
बिन्दु (-3, – 5) तृतीय चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 2.
अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिए:

हल:

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.5

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र में केन्द्र 0 वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि ∠BOC = 30° तथा ∠AOB = 60° है। यदि चाप ABC के अतिरिक्त वृत्त पर D एक बिन्दु है, तो ∠ADC ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
चित्रानुसार,
∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 60° + 30° = 90°
(चूँकि ∠AOB = 60° एवं ∠BOC = 30° दिया है)

चित्र 10.17
चूंकि ∠ADC = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠AOC
(किसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बना कोण उस चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है)
⇒ ∠ADC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 90° = 45°
अत: अभीष्ट कोण ∠ADC का मान = 45°.

प्रश्न 2.
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु पर अन्तरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अन्तरित कोण ज्ञात
कीजिए।
हल:

चित्र 10.18
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में जीवा
AB = OA = OB (OA, OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
⇒ ∠AOB = 60° (समबाहु त्रिभुज का कोण है)
⇒ प्रतिवर्ती ∠AOB = 360° – 60° = 300° (एक बिन्दु पर बने कोणों का योग = 360°)
चूँकि किसी चाप द्वारा शेष परिधि पर बना कोण, केन्द्र पर बने कोण का आधा होता है।
⇒ लघु चाप में बना कोण ∠ACB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x प्रतिवर्ती ∠AOB
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 300° = 150°
और दीर्घ चाप में बना कोण ∠ADB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x ∠AOB = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60° = 30°
अत: लघु चाप के किसी बिन्दु पर बना अभीष्ट कोण = 150° एवं दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर बना अभीष्ट कोण = 30°.

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में ∠POR=100°, जहाँ P, Q तथा R केन्द्र O वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। ∠OPR ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्रानुसार, प्रतिवर्ती ∠POR = 2∠PQR
प्रतिवर्ती ∠POR = 2 x 100° = 200°
∠POR = 360° – 200° = 160° (एक बिन्दु पर बने कोणों का योग = 360°)
चूँकि OP = OR (वृत्त की त्रिज्याएँ हैं)
∠OPR = ∠ORP = x (मान लीजिए)

चित्र 10.14
(बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब ∆OPR में चूँकि ∠POR + ∠OPR + ∠ORP = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग)
⇒ 160° + x + x = 180° ⇒ 2x = 20°
⇒ x = 10°
अत: ∠OPR का अभीष्ट मान = 10°.

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में ∠ABC = 69° और ∠ACB = 31° हो, तो AL ∠BDC ज्ञात कीजिए। (2018, 19)
हल:
चित्रानुसार, ∠ BAC + 690 + 31° = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोणों को योग)

चित्र 10.15
⇒ ∠BAC = 180° – 100° = 80°
चूँकि ∠BDC = ∠BAC = 80° (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
अतः ∠BDC का अभीष्ट मान = 80°.

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक वृत्त पर A, B, C और D चार बिन्दु है। AC और BD एक बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं। कि ∠ BEC = 130° तथा ∠ECD = 20° है। ∠BAC ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि ∠ BEC, ∆CDE का बहिष्कोण है।
⇒ ∠BEC = ∠EDC + ∠DCE (बहिष्कोण = अन्तः कोणों का योग)
⇒ 130° = ∠EDC + 20° (कोणों के ज्ञात मान रखने पर)

चित्र 10.16
⇒ ∠BDC = ∠EDC
= 130° – 20° = 110° (∠BDC = ∠EDC एक ही कोण है)
चूँकि ∠BAC = ∠BDC = 110° (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं तथा ∠BDC = 110°)
अतः ∠BAC का अभीष्ट मान = 110°.

प्रश्न 6.
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠DBC = 70° और ∠BAC = 30° हो, तो ∠BCD ज्ञात कीजिए। पुनः यदि AB = BC हो, तो ∠ECD ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि ∠BDC = ∠ BAC = 30° …(1) (एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं तथा ∠ BAC = 30°, दिया है)।
∆CBD में,
∵ ∠ BCD + ∠DBC + ∠BDC = 180° (∆ के अन्तः कोणों का योग है)
⇒ ∠BCD + 70° + 30° = 180° (कोणों में ज्ञात मान रखने पर)
⇒ ∠BCD = 180° – 100° = 80°
अब चूँकि ∆ABC में, AB = BC (दिया है)

चित्र 10.17
⇒ ∠BCA =∠BAC = 30° (बराबर-भुजाओं के सम्मुख कोण हैं तथा ∠BAC = 30° दिया है)
∠ECD = ∠BCD- ∠BCA (चित्रानुसार)
⇒ ∠ECD = 80° – 30° = 50° (ज्ञात कोणों के मान रखने पर)
अतः अभीष्ट कोण ∠BCD का मान = 80° एवं पुनश्च कोण ∠ECD का अभीष्ट मान = 50° है।

प्रश्न 7.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल:
दिया है : ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज जिसके विकर्ण AC एवं BD वृत्त के व्यास हैं। चूँकि वृत्त के व्यास परस्पर समद्विभाजित करते हैं तथा बराबर होते है।
इसलिए AC एवं BD परस्पर समद्विभाजित करेंगे।
चूँकि AC एवं BD चतुर्भुज ABCD के विकर्ण हैं तथा परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
⇒ ABCD एक समान्तर चतुर्भुज होगा।

चित्र 10.18
चूँकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
⇒ ABCD एक आयत होगा। (समान्तर चक्रीय चतुर्भुज एक आयत होता है।)
अत: यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों में जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो वह एक आयत होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि किसी समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल:
दिया है: ABCD एक समलम्ब है जिसकी भुजा AB || DC एवं असमान्तर भुजाएँ AD = BC.
सिद्ध करना है: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
रचना: C से CE || DA रेखाखण्ड खींचिए जो AB के E पर मिलता है।
⇒ AECD एक समान्तर चतुर्भुज है।
⇒ DA = CE(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
⇒ CE = CB [∵ DA = CB दिया है]
उपपत्ति: चूँकि AB || DC (दिया है) एवं CE || DA (रचना से)

चित्र 10.19
⇒ ∠CEB = ∠CBE (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
चूँकि DA || CE को तिर्यक रेखा AB बिन्दु A और E पर मिलती है।
⇒ ∠DAB = ∠CEB = ∠CBE (संगत कोण है तथा ∠CEB =∠CBE)
चूँकि AB || CD को तिर्यक रेखा (DA बिन्दु A और D पर मिलती है।)।
⇒ ∠ADC + ∠DAB = 180° (एक ही ओर के अन्तः कोणों का योग है)
⇒ ∠ADC + ∠ABC = 180° (∠DAB = CBE 3791C ∠DAB= ∠ABC)
अत: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्मुख कोण सम्पूरक हैं) इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
दो वृत्त दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते हैं। B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBQ वृत्तों को A,D और P, Q पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गये हैं (देखिए संलग्न चित्र)। सिद्ध कीजिए कि-
∠ACP =∠QCD है।
हल:

चित्र 10.20
ज्ञात है : दो बिन्दुओं B और C पर प्रतिच्छेद करते है हुए दो वृत्त B से जाने वाले दो रेखाखण्ड ABD और PBO वृत्तों को क्रमश: A, D और P, Q पर प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं।
AC, PC, DC और QC को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: ∠ACP = ∠QCD
उपपत्ति: चूंकि LACP = ∠ABP …(1) (एक ही वृत्तखण्डACBP के कोण हैं)
चूँकि ∠OCD = ∠QBD …(2) (एक ही वृत्तखण्ड QCBD के कोण हैं)
चूँकि ∠ABP = ∠QBD ….(3) (प्रतिच्छेदी रेखाओं AD एवं PQ में बने सम्मुख कोण)
अतः ∠ACP = ∠QCD. [समीकरण (1), (2) एवं (3) से] इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।
हल:

चित्र 10.21
ज्ञात है : एक ∆ABC जिसकी भुजाओं AB और AC को ।
व्यास मानकर दो वृत्त खींचे गये हैं जो परस्पर बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करते हैं।
सिद्ध करना है : बिन्दु D भुजा BC पर स्थित है।
रचना : AD, BD एवं CD को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵ ∠ADB = 90° …(1) (अर्द्ध वृत्त का कोण है)
⇒ ∠ADC = 90° ….(2) (अर्द्ध वृत्त का कोण है)
⇒ ∠ADB + ∠ADC = 90° + 90° = 180° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ ∠BDC = 90° + 90° = 180° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ BDC एक सरल रेखा है।
अतः बिन्दु D भुजा BC पर स्थित है। इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
उभयनिष्ठ कर्ण AC वाले दो समकोण त्रिभुज ABC और ADC हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠CAD = ∠CBD है।
हल:

चित्र 10.22
दिया है : AC उभयनिष्ठ कर्ण पर दो समकोण त्रिभुज ∆ABC एवं ∆ADC, BD को मिलाया।
सिद्ध करना है: ∠CAD = ∠CBD
उपपत्ति : ∠ABC = 90° एवं ∠ADC = 90°
(∆ABC एवं ∆ADC समकोण ∆ हैं)
⇒ ∠ABC + ∠ADC = 90° + 90° = 180°
⇒ चतुर्भुज ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। (सम्पूरक कोणों का युग्म सम्पूरक है)
अतः ∠CAD = ∠CBD. (एक ही वृत्तखण्ड CBAD के कोण हैं) इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि चक्रीय समान्तर चतुर्भुज आयत होता है।
हल:
ज्ञात है : एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज ABCD.
सिद्ध करना है : ABCD एक आयत है।
उपपत्ति: ∠A = ∠C (समान्तर चतुर्भुज केसम्मुख कोण) …(1)
∵ ∠A + ∠C = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग)…(2)

चित्र 10.23
⇒ ∠A = ∠C = 90° [समीकरण (1) और (2) से]
अत: ABCD एक आयत है। (समान्तर चतुर्भुज जिसके कोण समकोण हों, आयत होता है)। इति सिद्धम्

MP Board Class 9th Maths Solutions

MP Board Class 9th Social Science Solutions Chapter 3 भारत : स्थिति एवं भौतिक विभाग

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 पाठान्त अभ्यास

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

सही विकल्प चुनकर लिखिए

प्रश्न 1.
भारत का मानक समय निर्धारित होता है
(i) 72° पूर्व देशान्तर से
(ii) 80° 30′ पूर्व देशान्तर से
(iii) 82° 30′ पूर्व देशान्तर से
(iv) 85′ पूर्व देशान्तर से।
उत्तर:
(iii) 82° 30′ पूर्व देशान्तर से

प्रश्न 2.
भारत में कर्क रेखा किस राज्य से होकर नहीं गुजरती है? (2018)
(i) गुजरात
(ii) महाराष्ट्र
(iii) छत्तीसगढ़
(iv) मध्य प्रदेश।
उत्तर:
(ii) महाराष्ट्र

प्रश्न 3.
देश का सबसे बड़ा केन्द्र शासित क्षेत्र है
(i) अण्डमान निकोबार द्वीप समूह
(ii) दादरा और नागर हवेली
(iii) लक्षद्वीप,
(iv) पाण्डिचेरी।
उत्तर:
(i) अण्डमान निकोबार द्वीप समूह

प्रश्न 4.
भारतीय प्रायद्वीप पठार किस प्रकार की चट्टानों से बना है?
(i) परिवर्तित चट्टानों से,
(ii) अवसादी शैलों से
(iii) अत्यन्त प्राचीन चट्टानों से
(iv) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
उत्तर:
(iii) अत्यन्त प्राचीन चट्टानों से

सत्य/असत्य

प्रश्न 1.
भारत के दक्षिण में हिंद महासागर है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
उत्तर पश्चिम राज्यों को सात बहनें कहा जाता है। (2018)
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
अंडमान निकोबार द्वीप समूह अरब सागर में स्थित है।
उत्तर:
असत्य।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत को किन-किन नामों से जाना जाता है? (2014, 18)
उत्तर:
भारत को आर्यावर्त, हिन्दुस्तान और इण्डिया नाम से जाना जाता है।

प्रश्न 2.
भारत का क्षेत्रफल लिखिए।
उत्तर:
भारत का कुल क्षेत्रफल 32,87,263 वर्ग किमी है।

प्रश्न 3.
भारत में कितने राज्य और केन्द्र शासित प्रदेश हैं? (2010, 14, 16, 18)
उत्तर:
भारत में 29 राज्य तथा 7 केन्द्र शासित प्रदेश हैं।

प्रश्न 4.
भारत के दो द्वीपीय पड़ोसी देशों के नाम लिखिए।
उत्तर:
मालद्वीप और इण्डोनेशिया।

प्रश्न 5.
पूर्वी तट पर स्थित किन्हीं दो झीलों के नाम लिखिए। (2017)
उत्तर:
इस तट पर चिल्का, कोलेरू एवं पुलीकट झीलें हैं।

प्रश्न 6.
भारत के किन द्वीपों का निर्माण प्रवालों द्वारा हुआ है? (2016)
उत्तर:
प्रवाल (मुंगे) के निक्षेपों से बने इन द्वीपों को एटॉल कहा जाता है।

प्रश्न 7.
हिमालय पर्वतमाला के दो प्रमुख शिखरों के नाम लिखिए। (2013, 15)
उत्तर:
हिमालय पर्वतमाला के दो सर्वोच्च शिखर माउण्ट एवरेस्ट एवं कंचनजंघा हैं।

प्रश्न 8.
पश्चिम से पूर्व तक भारत का विस्तार कितना है?
उत्तर:
पूर्वी-पश्चिमी विस्तार 2,933 किलोमीटर है।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत की भौगोलिक स्थिति का महत्त्व समझाइए। (2009)
उत्तर:
भारत विषुवतरेखा के उत्तर में 8°4′ उत्तरी अक्षांश से 37°6′ उत्तरी अक्षांश तक तथा 68°7′ पूर्वी देशान्तर से 97°25′ पूर्वी देशान्तर के मध्य स्थित है। इस प्रकार सम्पूर्ण भारतवर्ष उत्तरी गोलार्द्ध या पूर्वी गोलार्द्ध में स्थित है। इस आधार पर कहा जा सकता है कि पूर्वी गोलार्द्ध में भारत की स्थिति लगभग केन्द्रीय है। इसके निम्न महत्त्व हैं :

1. केन्द्रीय स्थिति के कारण भारत अन्तर्राष्ट्रीय जलमार्गों का केन्द्र है।
2. हिन्द महासागर के शीर्ष पर स्थित होने के कारण अफ्रीका और ऑस्ट्रेलिया महाद्वीपों से जुड़ा है।
3. भारत के तीन ओर समुद्री तटरेखा होने के कारण प्राकृतिक बन्दरगाहों की सुविधा है।
4. केन्द्रीय स्थिति के कारण भारत पूर्व से पश्चिम के अन्तर्राष्ट्रीय वायुमार्गों का संगम स्थल है। इस प्रकार अन्तर्राष्ट्रीय व्यापार की दृष्टि से भारत की भौगोलिक स्थिति अच्छी है।

प्रश्न 2.
भारत के उत्तर के विशाल मैदान का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
उत्तर का विशाल मैदान :
भारत का उत्तरी मैदान हिमालय तथा प्रायद्वीपीय पठार से निकलने वाली नदियों द्वारा बहाकर लायी हुई मिट्टी से बना है। इसके निर्माण में सिन्धु नदी तन्त्र तथा गंगा-ब्रह्मपुत्र नदी तन्त्र का सर्वाधिक योगदान है। इसे गंगा और ब्रह्मपुत्र का मैदान भी कहते हैं। यह मैदान पूर्व से पश्चिम तक 3200 किमी लम्बा तथा पश्चिम में 500 किमी चौड़ा और पूर्व में 150 किमी चौड़ा है। यह लगभग एक सपाट मैदान है और इसके उच्चावच में बहुत कम अन्तर है। यहाँ की उपजाऊ मृदा, उपयुक्त जलवायु तथा पर्याप्त जल आपूर्ति कृषि कार्य के विकास में बहुत सहायक है। यह सघन जनसंख्या वाला क्षेत्र है। इसे तीन भाग में बाँट सकते हैं –

• पश्चिमी मैदान :
  इसका विस्तार पंजाब, हरियाणा और राजस्थान में है। इसका ढाल उत्तर-पूर्व से दक्षिण-पश्चिम की ओर है। इसका पश्चिमी भाग मरुस्थल है इसे थार मरुभूमि कहते हैं। लूनी यहाँ की प्रमुख नदी है। यमुना के पश्चिम में सतलज, व्यास और रावी नदियाँ बहती हैं।
• मध्यवर्ती मैदान :
  इसे गंगा का मैदान कहते हैं। इसका ढाल पश्चिम से पूर्व की ओर है। जिस क्षेत्र में बाढ़ का पानी प्रतिवर्ष पहुँचता है, उसे खादर और जहाँ नहीं पहुँचता है उसे बांगर कहते हैं। हिमालय से लगे भाग को तराई कहते हैं। यहाँ की मृदा जलोढ़ है।
• पर्वी मैदान :
  यह मैदान 650 किमी लम्बा एवं लगभग 100 किमी चौड़ा है। इसे ब्रह्मपुत्र का मैदान भी कहते हैं। इसका ढाल उत्तर-पूर्व से दक्षिण-पश्चिम की ओर है।

प्रश्न 3.
दक्कन के पठार का संक्षिप्त वर्णन कीजिए। (2009)
उत्तर:
दक्कन का पठार विशाल पठार का बहुत बड़ा भाग है। इसकी आकृति त्रिभुजाकार है। दक्कन पठार का निर्माण आग्नेय शैलों से हुआ है। इस पठार के उत्तरी भाग का ढाल उत्तर की ओर है। इस क्षेत्र की प्रमुख नदियों में चम्बल, सिन्धु, बेतवा, केन, सोन व दामोदर हैं, जो गंगा एवं गंगा की सहायक नदियों से मिल जाती हैं। पश्चिम की ओर बहने वाली नर्मदा व ताप्ती नदियाँ दरार घाटियों से होकर बहती हुई अरब सागर में जा मिलती हैं। दक्कन के पठार का ढाल पूर्व की ओर है। कावेरी-पेनार, कृष्णा, गोदावरी और महानदी इसके जल-निकास का काम करती हैं। ये सभी नदियाँ बंगाल की खाड़ी में मिलती हैं। पठार के उत्तर-पश्चिमी भाग में काली मृदा का विकास हुआ है। यह मृदा बहुत ही उपजाऊ तथा कपास की खेती के लिए उपयोगी है। भारत के पठारी भाग में खनिज सम्पदा के विशाल भण्डार हैं। इनमें कोयला, लोहा, अभ्रक, बॉक्साइट, ताँबा, मैंगनीज आदि प्रमुख हैं। इन खनिजों पर देश का आर्थिक व औद्योगिक विकास निर्भर करता है। दक्कन पठार की नदियाँ जल शक्ति के विकास में सहायक हुई हैं।

प्रश्न 4.
भारतवासियों के लिए हिमालय का क्या महत्त्व है? लिखिए। (2008, 09, 12, 13)
अथवा
“हिमालय भारत के लिए वरदान है।” सत्यापन कीजिए।
उत्तर:
हिमालय का महत्त्व –

1. हिमालय की स्थिति के कारण ही सम्पूर्ण भारत की जलवायु उष्ण कटिबन्धीय है।
2. हिमालय पर्वत श्रेणी के कारण भारत में स्पष्ट रूप से ऋतु-चक्र चलता है।
3. हिमालय पर्वत शीत ऋतु में उत्तर-पूर्व एशिया से आने वाली ठण्डी और शुष्क पवनों को रोककर भारत को अधिक ठण्डा और शुष्क होने से बचाता है।
4. ग्रीष्म ऋतु में दक्षिण-पश्चिम मानसून पवनों को रोककर भारतीय उपमहाद्वीप में वर्षा करने में सहायक होता है।
5. हिमालय पर्वतीय क्षेत्रों में चूने का पत्थर, बलुआ पत्थर, संगमरमर, जड़ी-बूटी एवं खनिज तेल के भण्डार पाये जाते हैं।

प्रश्न 5.
बांगर व खादर भूमि में अन्तर समझाइए। (2008, 09, 12)
उत्तर:
बांगर व खादर भूमि में अन्तर

बांगर भूमि	खादर भूमि
1. यह उत्तरी मैदान की उच्च भूमि है जो प्राचीन निक्षेपों से निर्मित है। इसमें कंकड़ भी पाये जाते हैं।	1. यह उत्तरी भारत के मैदानों की निचली भूमि है। इनमें काँप मिट्टी पाई जाती है।
2. ऊँचाई के कारण बाढ़ का जल यहाँ तक नहीं पहुँचता।	2. यह सम्पूर्ण भाग बाढ़ का मैदान है।
3. इसमें जल तल की गहराई अधिक होती है।	3. इसमें भूमिगत जल स्तर ऊँचा होता है।
4. इसका विस्तार पंजाब उत्तर प्रदेश में अधिक पाया जाता है।	4. इसका विस्तार पूर्वी उत्तर प्रदेश, बिहार, नवीन झारखण्ड राज्य व पश्चिम बंगाल में है।

प्रश्न 6.
पूर्वी तटीय मैदान का संक्षिप्त वर्णन कीजिए। (2009)
उत्तर:
पूर्वी तटीय मैदान-पूर्वी तटीय मैदान का विस्तार बंगाल की खाड़ी में गिरने वाली महानदी, गोदावरी, कृष्णा और कावेरी नदी के डेल्टा प्रदेश में है। यहाँ उपजाऊ काँप मिट्टी मिलती है। इस तट पर चिल्का, कोलेरु एवं पुलीकट झीलें हैं। उत्तरी भाग के तट को उत्तरी सरकार और दक्षिणी भाग को कोरोमण्डल तट कहते हैं।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत को कितने भौतिक विभागों में विभाजित किया जा सकता है? किसी एक का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
भारत के भौतिक विभाग
भारत विभिन्न स्थलाकृतियों वाला एक विशाल राष्ट्र है। भारत में हर प्रकार की भू-आकृतियाँ पायी जाती हैं; जैसे-पर्वत, पठार, मैदान, नदी घाटी, मरुस्थल, द्वीप समूह। प्रकृति द्वारा प्रदत्त इन स्थलाकृतियों के आधार पर भारत को निम्न भौतिक विभागों में बाँटा गया है –

1. उत्तरीय पर्वतीय प्रदेश
2. उत्तर का विशाल मैदान
3. प्रायद्वीपीय पठार
4. तटीय प्रदेश
5. द्वीप समूह।

प्रायद्वीपीय पठार :
यह पठार प्राचीन गोंडवाना लैण्ड का अंग है जो कभी भी सागर तल में नहीं डूबा। उत्तरी मैदान के दक्षिण में एक त्रिभुजाकार रूप में तीन ओर समुद्र से घिरा हुआ दक्षिण का पठार फैला हुआ है। इस पठार का आधार उत्तर एवं शीर्ष दक्षिण में है। क्षेत्रफल की दृष्टि से प्रायद्वीपीय पठारी क्षेत्र देश का सबसे बड़ा भौतिक प्रदेश है। प्रायद्वीपीय पठार को दो उपभागों अर्थात् मध्यवर्ती उच्च भूमि तथा दक्कन के पठार में विभाजित किया जा सकता है।

प्रश्न 2.
भारत की स्थिति व विस्तार का वर्णन कीजिए।
अथवा
भारत के उत्तर में कौन-कौन से देश स्थित हैं? नाम बताइए। (2010) [संकेतः ‘विस्तार’ शीर्षक में देखें।
उत्तर:
भारत की स्थिति-भारत विषुवत्रेखा के उत्तर में 8°4′ उत्तरी अक्षांश से 37°6′ उत्तरी अक्षांश तक तथा 68°7′ पूर्वी देशान्तर से 97°25′ पूर्वी देशान्तर के मध्य स्थित है। इस प्रकार सम्पूर्ण भारतवर्ष उत्तरी गोलार्द्ध या पूर्वी गोलार्द्ध में स्थित है। कर्क रेखा 23° (उत्तरी अक्षांश) इसके मध्य से होकर गुजरती है और भारतवर्ष को दो भागों –

1. महाद्वीपीय भारत या उत्तरी भारत
2. उष्ण कटिबन्धीय भारत या दक्षिणी भारत में बाँटती है। इसी प्रकार 82° पूर्वी देशान्तर देश के मध्य से होकर गुजरती है।

विस्तार :
भारत का उत्तर-दक्षिण विस्तार 3214 किमी तथा पूर्व पश्चिम विस्तार 2933 किमी है। इसकी स्थलीय सीमा 15,200 किमी एवं कुल समुद्री सीमा 7,516.6 किमी है। इसका क्षेत्रफल 32,87,263 वर्ग किमी है। यह विश्व का सातवाँ बड़ा देश है। भारत के उत्तर-पश्चिम में पाकिस्तान, अफगानिस्तान, उत्तर में चीन, नेपाल एवं भूटान, पूर्व में बांग्लादेश, म्यांमार व दक्षिण में श्रीलंका है।

प्रश्न 3.
हिमालय पर्वतीय क्षेत्र का वर्णन कीजिए।
अथवा
आन्तरिक हिमालय पर टिप्पणी लिखिए। (2008) [संकेत-महान या आन्तरिक हिमालय शीर्षक देखें।]
उत्तर:
हिमालय की पर्वत श्रेणियाँ भारत के उत्तर में अर्द्ध चाप के आकार में उत्तर-पश्चिम, उत्तर तथा उत्तर-पूर्व की सीमा बनाती हैं। इनकी लम्बाई 2,400 किमी है। चौड़ाई 150 से 400 किमी है। विस्तार तथा ऊँचाई के आधार पर हिमालय को तीन भागों में बाँट सकते हैं –

(1) महान या आन्तरिक हिमालय :
यह हिमालय की सबसे ऊँची और सबसे लम्बी श्रेणी है। इसे प्रधान हिमालय और हिमाद्रि भी कहते हैं। इसकी औसत ऊँचाई 6000 मीटर है। यह अत्यन्त दुर्गम क्षेत्र है, किन्तु इसमें जोजिला, कराकोरम, शिपकी, नाथूला आदि कई दरें हैं जिनसे होकर इनको पार किया जा सकता है। इस क्षेत्र में हिमालय के कई ऊँचे शिखर मिलते हैं। मुख्य पर्वत शिखर माउण्ट एवरेस्ट, कंचनजंघा, धौलागिरी, नंगा पर्वत और नंदा देवी हैं।

(2) मध्य हिमालय या हिमालय :
यह महान हिमालय के दक्षिण में उसके लगभग समान्तर फैला हुआ है। इसकी ऊँचाई 3,700 मीटर से 4,500 मीटर के बीच है तथा औसत चौड़ाई 50 किलोमीटर है। सभी प्रमुख पर्वतीय नगर जैसे डलहौजी, धर्मशाला (हिमाचल प्रदेश), नैनीताल (उत्तराखण्ड), दार्जिलिंग (पश्चिमी बंगाल) इसी पर्वत श्रेणी पर हैं। कश्मीर की पीरपंजाल तथा हिमाचल प्रदेश की धौलाधार श्रेणी, मध्य हिमालय के ही भाग हैं। नेपाल की महाभारत श्रेणी भी इसी का भाग है। यहाँ चूने का पत्थर एवं स्लेट की चट्टानें मिलती हैं।

(3) शिवालिक हिमालय :
हिमालय की दक्षिणतम श्रेणी को बाहरी हिमालय या शिवालिक हिमालय कहते हैं। इनकी औसत ऊँचाई 900 से 1100 मी तथा चौड़ाई 10 से 50 किमी है। हिमालय के पश्चिमी अर्द्ध भाग में यह श्रेणी बहुत अधिक स्पष्ट है। यह पर्वत श्रेणी जलोढ़ अवसादों से बनी है। इनकी शैलें ठोस नहीं हैं। लघु हिमालय और शिवालिक श्रेणी के बीच अनेक घाटियाँ हैं जिन्हें पूर्व में ‘द्वार’ और पश्चिम में ‘दून’ कहा जाता है।

प्रश्न 4.
प्रायद्वीपीय पठार का वर्णन कीजिए। (2009)
उत्तर:
प्रायद्वीपीय पठार प्रायद्वीपीय पठार विशाल मैदान के दक्षिण में स्थित है। यह भारत का सबसे प्राचीन भू-भाग है। यह बंगाल की खाड़ी, अरब सागर और हिन्द महासागर द्वारा तीन ओर समुद्र से घिरा हुआ है, अतः इसे प्रायद्वीप कहा जाता है।

इसकी औसत ऊँचाई 600 से 900 मीटर है। यह त्रिभुजाकार क्षेत्र के रूप में विस्तृत है। इसका विस्तार अरावली पर्वत से राजमहल की पहाड़ियों तक तथा शीर्ष कन्याकुमारी की ओर है। इसका ढाल पश्चिम से पूर्व की ओर है। यह भूखण्ड गोण्डवाना लैण्ड का अंग है। क्षेत्रफल की दृष्टि से प्रायद्वीपीय पठारी क्षेत्र देश का सबसे बड़ा भौतिक प्रदेश है। प्रायद्वीपीय पठार को दो उपभागों अर्थात् मध्यवर्ती उच्च भूमि तथा दक्कन के पठार में विभाजित किया जा सकता है।

(1) मध्यवर्ती उच्चभूमि :
प्रायद्वीपीय भू-भाग के उत्तरी भाग को मध्यवर्ती उच्च भूमियाँ कहते हैं। यह भाग कठोर, आग्नेय तथा कायान्तरित शैलों का बना हुआ है। उत्तरी पश्चिम भाग अरावली पहाड़ियों द्वारा घिरा हुआ है, जो प्राचीन वलित पर्वत के अवशिष्ट हैं। मध्यवर्ती उच्च भूमि की दक्षिणी सीमा विध्यांचल पर्वतों तथा उनके पूर्वी विस्तार कैमूर पहाड़ियों से निर्धारित होती है। अमरावती तथा विध्यांचल पर्वतों के मध्य में मालवा – का पठार स्थित है। यहाँ पर बेतवा, पार्वती, काली सिन्ध, चम्बल और माही नदियाँ बहती हैं। इसके पूर्वी भाग को दक्षिण, उत्तर प्रदेश में बुन्देलखण्ड तथा बघेलखण्ड के नाम से पुकारते हैं। दक्षिण बिहार में इसे छोटा नागपुर पठार के नाम से जाना जाता है। दक्षिण की ओर से आने वाली यमुना और गंगा की सहायक नदियाँ इसका जल बहाकर ले जाती हैं। इस पठार में खनिज के असीम भण्डार हैं।

(2) दक्कन का पठार :
दक्कन का पठार विशाल पठार का बहुत बड़ा भाग है। इसकी आकृति त्रिभुजाकार है। दक्कन पठार का निर्माण आग्नेय शैलों से हुआ है। इस पठार के उत्तरी भाग का ढाल उत्तर की ओर है। इस क्षेत्र की प्रमुख नदियों में चम्बल, सिन्धु, बेतवा, केन, सोन व दामोदर हैं, जो गंगा एवं गंगा की सहायक नदियों से मिल जाती हैं। पश्चिम की ओर बहने वाली नर्मदा व ताप्ती नदियाँ दरार घाटियों से होकर बहती हुई अरब सागर में जा मिलती हैं। दक्कन के पठार का ढाल पूर्व की ओर है। कावेरी-पेनार, कृष्णा, गोदावरी और महानदी इसके जल-निकास का काम करती हैं। ये सभी नदियाँ बंगाल की खाड़ी में मिलती हैं।

पठार के उत्तर-पश्चिमी भाग में काली मृदा का विकास हुआ है। यह मृदा बहुत ही उपजाऊ तथा कपास की खेती के लिए उपयोगी है। भारत के पठारी भाग में खनिज सम्पदा के विशाल भण्डार हैं। इनमें कोयला, लोहा, अभ्रक, बॉक्साइट, ताँबा, मैंगनीज आदि प्रमुख हैं। इन खनिजों पर देश का आर्थिक व औद्योगिक विकास निर्भर करता है। दक्कन पठार की नदियाँ जल शक्ति के विकास में सहायक हुई हैं।

प्रायद्वीपीय पठार अत्यन्त प्राचीन चट्टानों से बना होने के कारण खनिज पदार्थों में धनी है। कर्नाटक में सोना, मध्य प्रदेश में हीरा, संगमरमर, चूने का पत्थर और मैंगनीज, आन्ध्र प्रदेश और पश्चिम बंगाल में कोयला तथा बिहार एवं ओडिशा में लोहा पाया जाता है। महाराष्ट्र काली मृदा के कारण कपास की खेती के लिए प्रसिद्ध है। दक्षिण-पश्चिमी प्रायद्वीप पठार मसाले, चाय व कॉफी उत्पादन के लिए जाना जाता है। यहाँ जल विद्युत् उत्पादन की भी सम्भावनाएँ हैं। इसी पठारी प्रदेश में ऊटकमण्ड, पंचमढ़ी, महाबलेश्वर आदि महत्त्वपूर्ण स्थान हैं।

प्रश्न 5.
टिप्पणी लिखिए-भारतीय तटवर्ती क्षेत्र, भारतीय द्वीप समूह।
उत्तर:
भारतीय तटवर्ती क्षेत्र-भारतभूमि सीमा लगभग 15,200 किमी है। मुख्य भूमि, लक्षद्वीप समूह और अण्डमान निकोबार द्वीप समूह के समुद्र-तट की कुल लम्बाई (कुल तट रेखा) 7516.6 किमी है। पूर्वी तट रेखा बंगाल की खाड़ी में गंगा डेल्टा से कुमारी अन्तरीप तक विस्तृत है। पूर्वी तट रेखा के उत्तरी भाग को उत्तरी सत्कार और दक्षिणी भाग को कारोमण्डल तट कहते हैं। पश्चिमी तट रेखा का विस्तार अरब सागर के किनारे है। इसके उत्तर में काठियावाड़ तथा मध्य में कोंकण तट और दक्षिण में मालाबार तट स्थित है। हमारे समुद्री पड़ोसी देश दक्षिण में श्रीलंका और मालद्वीप हैं। अण्डमान निकोबार द्वीप समूह के पूर्व में इण्डोनेशिया स्थित है।

भारतीय द्वीप समूह :
भारत के द्वीपीय समूहों-लक्षद्वीप तथा अण्डमान व निकोबार द्वीप समूह की उत्पत्ति अलग प्रकार से हुई है। केरल के तट के निकट अरब सागर में छोटे-छोटे द्वीपों का एक समूह है जिन्हें लक्षद्वीप समूह कहते हैं। ये सभी प्रवाल द्वीप हैं, अर्थात् इनकी रचना अल्पजीवी सूक्ष्म प्रवाल जीवों के सतत् और शान्त प्रयत्नों के द्वारा हुई है। ये प्रवाल जीव उथले एवं कोष्ण जल में ही भली-भाँति पनपते हैं। इनमें से अनेक द्वीपों की आकृति घोड़े की नाल या अँगूठी के समान है। इन्हें एटॉल या प्रवालद्वीपीय वलय कहते हैं। इनके विपरीत अण्डमान निकोबार द्वीप बड़े तथा संख्या में अधिक है। इनमें से कुछ की उत्पत्ति ज्वालामुखी उद्गार से हुई है। अण्डमान द्वीप एवं निकोबार द्वीप समूह में ज्ञात एवं अज्ञात कुल द्वीपों की संख्या लगभग 300 है। यह द्वीप समूह लगभग 8249 वर्ग किमी में फैले हैं। इन द्वीप समूहों का देश की सामरिक सुरक्षा की दृष्टि से महत्त्वपूर्ण स्थान है।

मानचित्र पठन
भारत के मानचित्र का अध्ययन कर निम्नांकित के विषय में लिखिए। –

प्रश्न 1.
भारत की उत्तरी सीमा का अक्षांशीय विस्तार।
उत्तर:
37°6′.

प्रश्न 2.
उन राज्यों के नाम जिनकी सीमाएँ चीन से मिलती हैं।
उत्तर:
जन्मू एवं कश्मीर, हिमाचल प्रदेश, उत्तराखण्ड, सिक्किम एवं अरुणाचल प्रदेश।

प्रश्न 3.
उन राज्यों के नाम जिनसे होकर कर्क रेखा गुजरती है।
उत्तर:
छत्तीसगढ़, मध्य प्रदेश, मिजोरम, त्रिपुरा, पश्चिम बंगाल, राजस्थान, झारखण्ड व गुजरात।

प्रश्न 4.
बंगाल की खाड़ी में गिरने वाली नदियों के नाम।
उत्तर:
गंगा, गोदावरी, महानदी, कृष्णा, कावेरी।

प्रश्न 5.
हिमालय में स्थित कोई तीन दरों के नाम।
उत्तर:
काराकोरम, नाथुला, बोमडिला।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 अन्य परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
विश्व के क्षेत्रफल का कितना भू-भाग भारत में है?
(i) 1.25 प्रतिशत
(ii) 1.89 प्रतिशत
(iii) 2.42 प्रतिशत
(iv) 3.42 प्रतिशत।
उत्तर:
(iii) 2.42 प्रतिशत

प्रश्न 2.
पूर्वी मैदान को कहते हैं
(i) पश्चिमी मैदान
(ii) ब्रह्मपुत्र मैदान
(iii) मध्यवर्ती मैदान
(iv) उपर्युक्त में कोई नहीं।
उत्तर:
(ii) ब्रह्मपुत्र मैदान

प्रश्न 3.
भारत में कितने राज्य हैं? (2017)
(i) 15
(ii) 20
(iii) 29
(iv) 301
उत्तर:
(iii) 29

रिक्त स्थान पूर्ति

1. भारत उत्तरी गोलार्द्ध में एशिया महाद्वीप के ………… में स्थित है।
2. ………… भारत को लगभग दो बराबर भागों में बाँटती है। (2014)
3. क्षेत्रफल की दृष्टि से ………… सबसे बड़ा राज्य है।
4. भारत और श्रीलंका के बीच …………. खाड़ी है। (2008)
5. प्रवाल (मूंगे) के निक्षेपों से बने इन द्वीपों को …………. कहा जाता है।

उत्तर:

1. दक्षिणी भाग
2. कर्क रेखा
3. राजस्थान
4. मन्नार की
5. एटॉल।

सत्य/असत्य

प्रश्न 1.
भारत एवं श्रीलंका के मध्य मन्नार की खाड़ी स्थित है। (2008)
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
कर्क रेखा भारत को दो भागों में बाँटती है। (2008)
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 3.
देश में तहसीलों की संख्या 6,38,588 है। (2015)
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 4.
उत्तर-पश्चिम के सात राज्यों को “सात बहनें” कहा जाता है। (2017)
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
भारत के दक्षिण में हिन्द महासागर है। (2016)
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 6.
क्षेत्रफल की दृष्टि से भारत विश्व का सातवाँ बड़ा देश है। (2017)
उत्तर:
सत्य

सही जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (घ)
2. → (ङ)
3. → (ग)
4. → (ख)
5. → (क)

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
भारत का क्षेत्रफल लिखिए। (2014, 16)
उत्तर:
32,87,263 वर्ग किमी

प्रश्न 2.
उत्तर-पूर्व के सात राज्यों को क्या कहा जाता है?
उत्तर:
सात बहनें

प्रश्न 3.
बाढ़ के मैदानों की नवीन जलोढक। (2015)
उत्तर:
खादर

प्रश्न 4.
भारत की स्थल सीमा कितनी है?
उत्तर:
15,200 किमी

प्रश्न 5.
भारतीय उपमहाद्वीप का सबसे प्राचीनतम भू-भाग कैना-सा है?
उत्तर:
विशाल प्रायद्वीप पठार

प्रश्न 6.
वे शैल जो मैग्मा के पृथ्वी के भीतर जम जाने से बनती है, क्या है?
उत्तर:
ग्रेनाइट

प्रश्न 7.
भारत एवं श्रीलंका के मध्य कौन-सी खाड़ी है? (2018)
उत्तर:
मन्नार की खाड़ी।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत में सबसे बड़ा व सबसे छोटा जिला कौन-सा है?
उत्तर:
सबसे बड़ा जिला कच्छ (गुजरात) एवं सबसे छोटा जिला माहे (पुदुचेरी) है।

प्रश्न 2.
हिमाचल पर्वत की रचना लिखिए।
उत्तर:
हिमालय पर्वत, सिन्धु नदी से लेकर पूर्व में ब्रह्मपुत्र तक फैला है। इन दो सीमाओं के बीच इसकी आकृति, एक चाप के समान है। हिमालय की लम्बाई 2400 किमी है।

प्रश्न 3.
परिवर्तित सेल क्या हैं?
उत्तर:
पूर्व निर्मित आग्नेय या अवसादी शैलों पर अधिक दबाव या ताप के अवसाद का कारण भौतिक तथा रासायनिक परिवर्तन द्वारा बनी नई शैल।

प्रश्न 4.
उच्चावच किसे कहते हैं?
उत्तर:
धरातल या समुद्र की तलहटी पर प्राकृतिक रूपरेखा में पाए जाने वाले ऊँचाइयों के अन्तर को उच्चावच कहते हैं।

प्रश्न 5.
गोंडवाना लैण्ड क्या है? (2011, 15, 17)
उत्तर:
ये प्राचीन विशाल महाद्वीप पैंजिया का दक्षिणतम भाग है जिसमें आज के अफ्रीका, ऑस्ट्रेलिया तथा अंटार्कटिका शामिल हैं।

प्रश्न 6.
भारत की उन दो नदियों के नाम बताइए जो अपने मुहाने पर ज्वारनदमुख बनाती हैं ?
उत्तर:
नर्मदा और ताप्ती नदी।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
मध्यवर्ती मैदान हिमालय पर्वत का ‘उपहार’ क्यों कहा जाता है?
उत्तर:
मध्यवर्ती मैदान भारत के लगभग एक चौथाई क्षेत्रफल को घेरे हुए है। यहाँ भारत की लगभग 45 प्रतिशत जनसंख्या वास करती है। सिन्धु, सतलज, गंगा, ब्रह्मपुत्र नदियों द्वारा बहाकर लाई गई मृदा से बना होने और सिंचाई की सुविधा के कारण यह मैदान हिमालय पर्वत का ‘उपहार’ कहलाता है। उत्तरी मैदान कृषि की दृष्टि से महत्त्वपूर्ण है। यहाँ जनसंख्या बाहुल्य है। नहरों, सड़कों और रेलों का जाल बिछा है। यह मैदान सभ्यता की जन्मभूमि रहा है। अमृतसर, कुरुक्षेत्र, मथुरा, वृन्दावन, प्रयाग, काशी आदि तीर्थस्थल इसी मैदान में स्थित हैं।

प्रश्न 2.
पश्चिमी तटीय मैदान व पूर्वी तटीय मैदान में अन्तर स्पष्ट कीजिए। (2008)
उत्तर:
पश्चिमी तटीय मैदान व पूर्वी तटीय मैदान में अन्तर

पश्चिमी तटीय मैदान	पूर्वी तटीय मैदान
1. इनका विस्तार अरब सागर के सहारे है।	1. इनका विस्तार बंगाल की खाड़ी के सहारे है।
2. पश्चिमी तट पर बहुत से लैगून और एस्चुरियाँ पायी जाती हैं। नर्मदा और ताप्ती नदियों की एस्चुरियाँ विशेष उल्लेखनीय हैं।	2. पूर्वी तट पर अनेक विस्तृत डेल्टा हैं। महानदी कृष्णा, गोदावरी, कावेरी आदि नदियों के डेल्टा प्रसिद्ध हैं।
3. यह मैदान सँकरा है।	3. इस मैदान की चौड़ाई अधिक है।
4. पश्चिमी तट के साथ लगने वाले घाट अपेक्षाकृत ऊँचे हैं।	4. पूर्वी तट के साथ लगने वाले ऊँचे नहीं हैं।

MP Board Class 9th Social Science Chapter 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
टिप्पणी लिखिए
(1) उत्तर का पर्वतीय प्रदेश
(2) तटीय प्रदेश।
उत्तर:
(1) उत्तर का पर्वतीय प्रदेश :
भारत की उत्तरी सीमा पर वृहद् हिमालय विश्व की सबसे ऊँची व बनावट के दृष्टिकोण से नवीन वलित पर्वत श्रृंखला है। ये शृंखलाएँ पश्चिम-पूर्व दिशा में सिन्धु से लेकर ब्रह्मपुत्र तक फैली हैं। हिमालय 2400 किमी की लम्बाई में फैले एक धनुषाकार आकृति का निर्माण करता है। विस्तार एवं ऊँचाई के आधार पर हिमालय को तीन भागों में बाँट सकते हैं-

• महान या आन्तरिक हिमालय
• मध्य हिमालय, तथा
• शिवालिक श्रेणी।

(2) तटीय प्रदेश :
प्रायद्वीपीय पठार कच्छ से उड़ीसा तक तटीय मैदानों की एक सँकरी पट्टी से घिरा हुआ है। इस तटीय मैदान को इनकी बनावट में अन्तर के कारण इसे दो भागों में पश्चिमी तथा पूर्वी तटीय भागों में विभक्त किया जाता है। पश्चिमी तटीय मैदान अरब सागर के सहारे-सहारे गुजरात से केरल तक फैला हुआ है। यह मैदान सँकरे हैं, इन्हें उत्तरी भाग में कोंकण और गोवा के दक्षिण में मालाबार तटीय मैदान कहते हैं। पूर्वी तट-यह पश्चिमी तट की अपेक्षा अधिक चौड़े और समतल हैं। यहाँ उपजाऊ काँप मृदा मिलती है।

MP Board Class 9th Social Science Solutions

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
एक क्रिकेट मैच में, एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंद में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (2019)
हल :
चौका न मारने की घटना E = 30 – 6 = 24

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 24 }{ 30 }\) अर्थात् \(\frac { 4 }{ 5 }\)

प्रश्न 2.
2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया और निम्नलिखित आँकड़े लिख लिए गए हैं : (2019)

परिवार में लड़कियों की संख्या	2	1	0
परिवारों की संख्या	475	814	211

यदृच्छया चुने गए परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए जिसमें
(i) दो लड़कियाँ हों
(ii) एक लड़की हो
(iii) कोई लड़की न हो। साथ ही यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।
हल :
(i) चूँकि E1 = 475 एवं n = 1500
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{475}{1500}=\frac{19}{60}\)
अत: दो लड़कियाँ होने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 19 }{ 60 }\)

(ii) चूँकि E2 = 814 एवं n= 1500
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{814}{1500}=\frac{407}{750}\)
अत: एक लड़की होने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 407 }{ 750 }\).

(iii) चूँकि E3 = 211 एवं n = 1500
अतः एक भी लड़की न होने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 211 }{ 1500 }\)
अब \(\frac{19}{60}+\frac{407}{750}+\frac{211}{1500}=\frac{475+814+211}{1500}=\frac{1500}{1500}=1\)
अतः प्रायिकताओं का योगफल 1 है।

प्रश्न 3.
नवीं कक्षा के 40 विद्यार्थियों से उनके जन्म का महीना बताने के लिए कहा गया। इस प्रकार प्राप्त आकड़ों से निम्नलिखित आलेख बनाया गया :

कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : n = 40 एवं आलेखानुसार E = 6.
\(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}\)
अत: एक छात्र के अगस्त में जन्म लेने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 3 }{ 20 }\).

प्रश्न 4.
तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया तथा इनमें विभिन्न परिणामों की बारम्बारताएँ ये हैं :

परिणाम	3 चित	2 चित	1 चित	कोई भी चित नहीं
बारम्बारता	23	72	77	28

यदि तीनों सिक्कों को पुनः एक साथ उछाला जाए, तो दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि E = 72 एवं n = 200 (प्रश्नानुसार दिया है)
\(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{72}{200}=\frac{9}{25}\)
अत: दो चित आने की अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 9 }{ 25 }\)

प्रश्न 5.
एक कम्पनी ने यदृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर की आय स्तर और वाहनों की संख्या के बीच सम्बन्ध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आँकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं :

मासिक आय (Rs में)	प्रति परिवार वाहनों की संख्या
	0	1	2	2 से अधिक
7,000 से कम 7,000 से 10,000 10,000 से 13,000 13,000 से 16,000 16,000 या अधिक	10 0 1 2 1	160 305 535 469 579	25 27 29 59 82	0 2 1 25 88

मान लीजिए एक परिवार चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवार :
(i) की आय Rs 10,000 से Rs 13,000 प्रतिमाह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।
(ii) की आय प्रतिमाह Rs 16,000 या इससे अधिक है और उसके पास ठीक एक वाहन है।
(iii) की आय Rs 7,000 प्रतिमाह से कम है और उसके पास कोई वाहन नहीं है।
(iv) की आय Rs 13,000 से Rs 16,000 प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन हैं।
(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं हैं।
हल :
(i) चूँकि n = 2,400 एवं E1 = 29 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{29}{2,400}\)
अतः अभीष्ट प्रायकिता = \(\frac { 29 }{ 2400 }\)

(ii) चूँकि n = 2,400 एवं E2 = 579 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{579}{2,400}=\frac{193}{800}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 579 }{ 2400 }\) अथात् \(\frac { 193 }{ 800 }\)

(iii) चूँकि n = 2400 एवं E3 = 10 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{E_{3}}{n}=\frac{10}{2,400}=\frac{1}{240}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 240 }\)

(iv) चूँकि n = 2,400 एवं E4 = 25 (दी गई सारणी से)
\(P\left(E_{4}\right)=\frac{E_{4}}{n}=\frac{25}{2,400}=\frac{1}{96}\)

(v) चूँकि जिनके पास एक से अधिक वाहन नहीं हैं। उनके पास या तो 1 वाहन है अथवा एक भी वाहन नहीं अर्थात् शून्य है।
शून्य वाहन वाले परिवार = 10 + 0 + 1 + 2 + 1 = 14
एवं 1 वाहन वाले परिवार = 160 + 305 + 535 + 469 + 579 = 2,048
⇒ उन परिवारों की संख्या जिनके पास 1 से अधिक वाहन नहीं हैं = E5 = 2048 + 14 = 2,062
\(P\left(E_{5}\right)=\frac{E_{5}}{n}=\frac{2,062}{2,400}=\frac{1031}{1,200}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1031 }{ 1200 }\)

प्रश्न 6.
100 अंक की गणित की परीक्षा में विद्यार्थियों ने निम्न प्रकार अंक प्राप्त किए :

अंक	0-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70 और अधिक	कुल योग
विद्यार्थियों की संख्या	7	10	10	20	20	15	8	90

(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा 20% से कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(ii) जब विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
(i) चूँकि E1 = 7 एवं n = 90 (दी गई सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{7}{90}\)
अत: अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 90 }\)

(ii) चूँकि E2 = 15 + 8 = 23 एवं n = 90 (दी गई सारणी से)
प्रायिकता \(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{23}{90}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 23 }{ 90 }\)

प्रश्न 7.
सांख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है : (2018, 19)

मत	पसन्द करते हैं	पसन्द नहीं करते हैं
विद्यार्थियों की संख्या	135	65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यदृच्छिक चुना गया एक विद्यार्थी :
(i) सांख्यिकी पसन्द करता है।
(ii) सांख्यिकी पसन्द नहीं करता है।
हल :
(i) चूँकि E1 = 135 एवं n = 200 (प्रश्नानुसार)
प्रायिकता = \(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{135}{200}=\frac{27}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 27 }{ 40 }\)

(ii) चूँकि E2 = 65 एवं n = 200 (प्रश्नानुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{65}{200}=\frac{13}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 13 }{ 40 }\)

प्रश्न 8.
40 इन्जीनियरों की उनके आवास से कार्य (स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इन्जीनियर :
(i) अपने कार्य स्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है।
(ii) अपने कार्य स्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है।
(iii) अपने कार्य स्थल से \(\frac { 1 }{ 2 }\) km या इससे कम दूरी पर रहती है।

हल :
(i) चूँकि E1 = 9 एवं n = 40 (सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{1}\right)=\frac{E_{1}}{n}=\frac{9}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 9 }{ 40 }\)

(ii) चूँकि E2 = 31 एवं n = 40 (सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{2}\right)=\frac{E_{2}}{n}=\frac{31}{40}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 31 }{ 40 }\)

(iii) चूँकि E3 = 0 एवं n = 40 (सारणी के अनुसार)
प्रायिकता \(P\left(E_{3}\right)=\frac{E_{3}}{n}=\frac{0}{40}=0\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = 0.

प्रश्न 9.
अपने विद्यालय के गेट के सामने से एक समय अन्तराल में गुजरने वाले दो पहिया, तीन पहिया और चार पहिया वाहनों की बारम्बारता लिख लीजिए। आप द्वारा देखे गए वाहनों में से किसी एक वाहन का दो पहिया वाहन होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
(निर्देश : छात्र उक्त क्रियाकलाप स्वयं करें और अभीष्ट प्रायिकता का परिकलन करें।)

प्रश्न 10.
आप अपनी कक्षा के विद्यार्थियों से एक तीन अंकों वाली संख्या लिखने को कहिए। आप कक्षा से एक विद्यार्थी को यदृच्छया चुन लीजिए। इस बात की प्रायिकता क्या होगी कि उसके द्वारा लिखी गई संख्या 3 से भाज्य है ? याद रखिए कि कोई संख्या 3 से भाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग 3 से भाज्य हो।
हल :
(निर्देश : छात्र इस क्रियाकलाप को स्वयं करें और अभीष्ट प्रायिकता का परिकलन करें।)

प्रश्न 11.
आटे की उन 11 थैलियों में जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार (kg में) हैं:
4.97, 5.05, 5.08, 5.03, 5.00, 5.06, 5.08, 4.98, 5.04, 5.07, 5.00.
यदृच्छया चुनी गई एक थैली में 5 kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी ?
हल :
चूँकि E = 5 kg से अधिक आटे वाले थैलियों की संख्या = 7 एवं कुल थैलियों की संख्या n = 11
प्रायिकता \(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{7}{11}\)
अत: अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 7 }{ 11 }\)

प्रश्न 12.
एक नगर की वायु में सल्फर डाइ-ऑक्साइड का सान्द्रण भाग प्रति मिलियन (ppm) में ज्ञात करने के लिए एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त आँकड़े ये हैं :

इनमें से किसी एक दिन अन्तराल (0.12 – 0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड के सान्द्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि वर्ग अन्तराल (0.12-0.16) में सल्फर डाइ-ऑक्साइड की दो सान्द्रताएँ 0.12 एवं 0.13 हैं।
इसलिए E = 2 एवं n = 30 (दिया है)
प्रायिकता \(P(E)=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 15 }\).

प्रश्न 13.
आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :
A, B, O, O, AB, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O
A, AB, O, A, A, O, O AB, B, A, O, B, A, B, O.
रक्त समूह से सम्बन्धित बारम्बारता बंटन सारणी बनाइए तथा हम सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदृच्छया चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह AB होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :

रक्त समूह	A	B	O	AB	कुल योग
छात्रों की संख्या	9	6	12	3	30

सारणी के अनुसार E = 3 एवं n = 30
प्रायिकता \(P(E)=\frac{E}{n}=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 1 }{ 10 }\)

MP Board Class 9th Maths Solutions

MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.4

प्रश्न 1.
5 cm और 3 cm की त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 cm है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए हुए वृत्त के केन्द्र क्रमशः O तथा O’ है जिनके बीच की दूरी OO’ = 4 cm है। वृत्त एक-दूसरे को P और Q दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते है। वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः
OP = 5 cm तथा OP = 3 cm हैं।

चित्र 10.6
चूँकि (OO’)² + (O’P)² = (4)² + (3)² = 16 + 9 = 25 = (5)2 = (OP)²
अतः ∆OO’P एक समकोण त्रिभुज है। (पाइथागोरस का विलोम)
⇒ OO’ ⊥ O’P
चूँकि उभयनिष्ठ जीवा PQ छोटे वृत्त के केन्द्र O’ से जाती है, इसलिए PQ छोटे वृत्त का व्यास है।
⇒ PQ = 2 x O’P = 2 x 3 = 6 cm
अत: उभयनिष्ठ जीवा की अभीष्ट लम्बाई = 6 cm.

प्रश्न 2.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर परस्पर प्रतिच्छेद करें तो, सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खण्ड दूसरी जीवा के संगत खण्डों के बराबर है।
हल:
दिया है : O केन्द्र वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ AB = CD परस्पर E बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो सिद्ध करना है कि
AE = DE एवं CE = BE

चित्र 10.7
रचना : O से OM ⊥ AB तथा ON ⊥ CD खींचिए तथा OE को मिलाइए।
उपपत्ति : समकोण ∆OME एवं ∆ONE में,
चूँकि कर्ण OE = OE (उभयनिष्ठ है)
एवं OM = ON (बराबर जीवाएँ केन्द्र से बराबर दूरी पर होती है)
⇒ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ (RHS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ME = NE
चूँकि AB = CD, OM ⊥ AB एवं ON ⊥ CD
⇒ AM = DN एवं BM = CN
⇒ AM + ME = DN + NE [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ AE = DE
एवं CN – EN = BM – EM [समीकरण (1) और (2) में]
⇒ CE = BE
अतः वृत्त की बराबर जीवाएँ वृत्त के अन्दर यदि प्रतिच्छेद करती हैं। तो उनके संगत खण्ड बराबर होते हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।
हल:

चित्र 10.8
ज्ञात है : O केन्द्र वाले एक वृत्त की दो जीवाएँ AB = CD वृत्त के अन्दर बिन्दु E पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं। OE को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: ∠OEA = ∠OED
रचना : OM ⊥ AB एवं ON ⊥ CD खींचिए।
उपपत्ति : समकोण ΔOME एवं ΔONE में,
चूँकि कर्ण OE = कर्ण OE (उभयनिष्ठ है)
एवं OM = ON (बराबर जीवाएँ केन्द्र से बराबर दूरी पर होती हैं)
⇒ ΔΟΜΕ ≅ ΔΟΝΕ (RHS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ∠OEM = ∠OEN (CPCT)
अतः ∠OEA = ∠OED (चित्रानुसार) इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को जिनका केन्द्र O है A, B, C और D पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है (देखिए संलग्न चित्र)। (2019)
हल:

चित्र 10.9
दिया है : O केन्द्र वाले दो संकेन्द्री वृत्तों को रेखा AD बिन्दुओं A, B, C और D पर (चित्रानुसार) प्रतिच्छेद करती है तो सिद्ध करना है कि AB = CD
रचना : OM ⊥ AD खींचिए।
उपपत्ति : बाह्य वृत्त में चूँकि AD वृत्त की जीवा है तथा OM ⊥ AD
⇒ AM = DA …..(1) (केन्द्र से जीवा पर डाला लम्ब उसे समद्विभाजित करता है)
चूँकि अन्तः वृत्त की जीवा CB पर OM लम्ब है। (चित्रानुसार)
⇒ BM = CM …(2) (वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब उसे समद्विभाजित करता है)
⇒ AM – BM = DM – CM [समीकरण (1) और (2) से]
अतः AB = CD. (चित्रानुसार) इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक पार्क में बने 5 m त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 m हो, तो रेशमा और मनदीप की बीच की दूरी क्या है ?
हल:
मान लीजिए वृत्ताकार पार्क का केन्द्र O है। बिन्दु R, S और M पर क्रमशः रेशमा, सलमा और मनदीप हैं। वृत्त की त्रिज्या OR = 5 m, तथा RS = SM = 6 m दी गई है तो दूरी RM ज्ञात करना है।

चित्र 10.10

अत: रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी RM = 2 x x = 2 x 4.8 = 9.6 m.

प्रश्न 6.
20 m त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद, डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक टेलीफोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

चित्र 10.11
हल:
दिया है : एक 20 m त्रिज्या का 0 केन्द्र वाला वृत्ताकार पार्क जिसकी परिसीमा पर अंकुर, सैय्यद और डेविड क्रमश: A, S और D बिन्दुओं पर इस प्रकार बैठे हैं कि AS = SD = DA =x मान लीजिए।
चूँकि समबाहु त्रिभुज की सभी माध्यिकाएँ बराबर होती हैं, वे सम्मुख भुजाओं को समकोण पर समद्विभाजित करती हैं तथा परस्पर एक बिन्दु पर 2 : 1 के अनुपात में प्रतिच्छेद करती है एवं यह बिन्दु उसके शीर्षों से समान दूरी पर होता है अर्थात् ASD से जाने वाले वृत्त का केन्द्र।
⇒ AO = SO = DO = 20 m (वृत्त की त्रिज्या दी है)
एवं OM = \(\frac { 1 }{ 2 }\)AO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 20 = 10 m
⇒ AM = AO + OM = 20 + 10 = 30 m
समकोण ∆AMS में पाथागोरस प्रमेय से,
AS² = AM² + SM²

अतः प्रत्येक टेलीफोन की छोरी की अभीष्ट लम्बाई = 34.64 m.

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.3

प्रश्न 1.
∆ABC और ∆DBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि A और D भुजा BC के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए संलग्न चित्र)। यदि AD बढ़ाने पर BC को P पर प्रतिच्छेद करे तो दर्शाइए :
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD.
(ii) ∆ABP ≅ ∆ACP
(iii) AP कोण A और कोण D दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है।

चित्र 7.15
हल:
(i) ∆ABD और ∆ACD में,
चूँकि AB = AC (समद्विबाहु ∆ABC भी भुजाएँ हैं)
DB = DC (समद्विबाहु ∆DBC की भुजाएँ हैं।)
एवं AD = AD (उभयनिष्ठ है)
अतः ∆ABD ≅ ∆ACD. (SSS सर्वांगसमता प्रमेय) इति सिद्धम्

(ii) ∆ABP और ∆ACP में,
चूँकि AB = AC (समद्विबाहु ∆ABC भी भुजाएँ हैं)
∠BAP = ∠CAP (∆ABD ≅ ∆ACD के संगत कोण हैं)
एवं AP = AP (उभयनिष्ठ है)
अतः ∆ABP ≅ ∆ACP (SAS सर्वांगसमता प्रमेय) इति सिद्धम्

(iii) ∵ ∆ABD ≅ ∆ACD [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
⇒ ∠BAD = ∠CAD (CPCT)
इसलिए AP कोण A का समद्विभाजक है।
एवं ∠ADB = ∠ADC (CPCT)
एवं ∠BDP = ∠CDP (बराबर कोणों के सम्पूरक हैं)
इसलिए AP कोण D का समद्विभाजक है।
अतः AP कोण A और कोण D दोनों का समद्विभाजक हैं। इति सिद्धम्

(iv) ∵ ∆ABP ≅ ∆ACP [भाग (ii) में सिद्ध कर चुके हैं। ]
⇒ BP= CP (CPCT)
एवं ∠APB = ∠APC (CPCT)
लेकिन ∠APB + ∠APC = 180° (BC के बिन्दु P पर एक ही ओर बने कोण हैं)
इसलिए ∠APB = ∠APC = 90°
अतः AP रेखाखण्ड BC का लम्ब समद्विभाजक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
AD एक समद्विबाहु ∆ABC का एक शीर्ष लम्ब है जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि-
(i) AD रेखाखण्ड BC को समद्विभाजित करता है।
(ii) AD कोण A को समद्विभाजित करता है।

चित्र 1.16
हल:
(i) चूँकि ∠ADB = ∠ADC = 90° (∵ AD ⊥ BC)
इसलिए ∆ADB एवं ∆ADC समकोण त्रिभुज हैं।
अब समकोण ∆ADB और ∆ADC में,
चूँकि कर्ण AB = कर्ण AC (समद्विबाहु ∆ABC की भुजाएँ हैं)
एवं AD = AD (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∆ADB ≅ ∆ADC (RHS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ BD = CD (CPCT)
अतः AD रेखाखण्ड BC की समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम्

(ii) चूँकि ∆ADB ≅ ∆ADC (सिद्ध कर चुके हैं)
∠BAD = ∠CAD (CPCT)
अत: AD कोण A को समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AM क्रमशः एक दूसरे त्रिभुज POR की भुजाओं PQ और OR तथा माध्यिका PN के बराबर है (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि-
(i) ∆ABM ≅ ∆PQN.
(ii) ∆ABC ≅ ∆PQR.

चित्र 1.17
हल:
त्रिभुज ABC और PQR में AB = PO, BC = QR एवं माध्यिका AM = PN (दिया है)
चूँकि BC = OR ⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\)BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\)QR ⇒ BM = ON

(i) अब ∆ABM और ∆PON में,
चूँकि AB = PQ (दिया है)
BM = ON (सिद्ध कर चुके है)
AM = PN (दिया है)
अतः ∆ABM ≅ ∆PON. (SSS सर्वांगसमता प्रमेय) इति सिद्धम्

(ii) चूँकि ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
⇒ ∠ABM = ∠PQN अर्थात्∠ABC = ∠PQR (CPCT)
अब ∆ABC और ∆PQR में,
चूँकि AB = PQ (दिया है)
∠ABC = ∠PQR (सिद्ध कर चुके हैं)
BC = QR (दिया है)
अतः ∆ABC ≅ ∆POR. इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्ष लम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि ΔABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

चित्र 1.18
हल:
दिया है : एक ∆ABC जिसमें BE एवं CF दो शीर्ष लम्ब हैं
तथा BE = CF,
समकोण ∆BFC एवं समकोण ∆CEB में (शीर्ष लम्ब BE ⊥ AC एवं CF ⊥ AB),
चूँकि BE = CF (दिया है)
एवं कर्ण BC = कर्ण BC (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∆BFC ≅ ∆CEB (RHS सर्वांगसमता प्रमेय से)
⇒ ∠FBC = ∠ECB अर्थात् ∠ABC = ∠ACB. (CPCT)
AB = AC (बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं)
अत: AABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिससे AB = AC है। AP ⊥ BC खींचकर दर्शाइए कि ∠B = ∠C है। (2019)
अथवा
सिद्ध कीजिए एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं। (2019)

चित्र 1.19
हल:
समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC दिया गया है। AP ⊥ BC खींचा गया है।
अब समकोण त्रिभुज APB एवं समकोण ∆ APC
चूँकि कर्ण AB = कर्ण AC (दिया है)
एवं AP = AP (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∆APB ≅ ∆APC (RHS सर्वांगसम प्रमेय)
⇒ ∠B = ∠C. (CPCT) इति सिद्धम्

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Ex 10.3

प्रश्न 1.
वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं ? उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या होगी?
हल:
वृत्तों के अभीष्ट युग्म (जोड़े) :

चित्र 10.3
उभयनिष्ठ बिन्दुओं की संख्या-
(a) में शून्य,
(b) में एक,
(c) में दो,
(d) में एक,
(e) में शून्य।
अतः अधिकतम उभयनिष्ठ बिन्दुओं की संख्या = दो।

प्रश्न 2.
मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केन्द्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।
हल:

चित्र 10.4
एक वृत्त दिया है जिसका केन्द्र ज्ञात करना है।
रचना :
(i) वृत्त पर तीन बिन्दु P, Q और R लीजिए।
(ii) PQ एवं QR को मिलाइए।
(iii) PQ का लम्ब समद्विभाजक AB खींचिए।
(iv) OR का लम्ब समद्विभाजक CD खींचिए जो AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है। यही बिन्दु O वृत्त का अभीष्ट केन्द्र है।

प्रश्न 3.
यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
हल:

चित्र 10.5
दिया है : O और O’ केन्द्र वाले दो वृत्त एक-दूसरे को दो बिन्दुओं P और Q पर प्रतिच्छेद करते हैं। तो सिद्ध करना है कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।
रचना : केन्द्र O और O’ को उभयनिष्ठ जीवा PQ के मध्य-बिन्दु R से मिलाइए।
उपपत्ति : चूँकि O केन्द्र वाले वृत्त में केन्द्र O को जीवा PQ के मध्य-बिन्दु R से मिलाया गया है।
⇒ OR ⊥ PO अर्थात् ∠ORP = 90° ….(1)
चूँकि O’ केन्द्र वाले वृत्त में केन्द्र O’ को जीवा PQ के मध्य बिन्दु R से मिलाया गया है।
⇒ OR ⊥ PO अर्थात् ∠O’RP = 90° …..(2)
⇒ ∠ORP + ∠O’RP = 180° [समीकरण (1) और (2) से]
⇒ ORO’ एक सरल रेखाखण्ड है जो जीवा PQ का लम्बार्द्धक है।
अतः यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्बार्द्धक पर स्थित हैं। इति सिद्धम्

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MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 7 त्रिभुज Ex 7.2

प्रश्न 1.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में जिसमें AB = AC है, ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर 0 बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं। A और O को जोड़िए। दर्शाइए कि-
(i) OB = OC.
(ii) AO, ∠A को समद्विभाजित करता है।

चित् 7.9
हल:
(i) चित्रानुसार (चित्र संलग्न है।)
चूँकि ∆ABC में, AB = AC (दिया है)
इसलिए ∠ABC = ∠ACB (समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
चूँकि OB एवं OC क्रमश: ∠ABC एवं ∠ACB के समद्विभाजक हैं। (दिया है)
इसलिए ∠OBC = ∠OCB (बराबर वस्तुओं के आधे बराबर होते हैं)
अतः OB = OC. (AOBC के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं) इति सिद्धम्

(ii) अब ∆AOB और ∆AOC में,
चूँकि भुजा AB = भुजा AC (दिया है)
भुजा OB = भुजा OC (सिद्ध कर चुके हैं)
भुजा AO = भुजा A0 (उभयनिष्ठ है)
अतः ∆AOB ≅ ∆AOC (SSS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ ∠BAO = ∠CAO (CPCT)
अत: AO, ∠A को समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
∆ABC में AD भुजा BC का लम्ब समद्विभाजक है (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है।

चित् 7.10
हल:
∆ADB और ∆ADC में,
चूँकि BD = CD (दिया है : AD, BC का समद्विभाजक)
∠ADB = ∠ADC (दिया है : AD, BC पर लम्ब)
AD = AD (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∆ADB ≅ ∆ADC (SAS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ AB = AC (CPCT)
अत: ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC. इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें बराबर भुजाओं AC और AB पर क्रमशः शीर्ष लम्ब BE और CF खींचे गए हैं। दर्शाइए कि ये शीर्ष लम्ब बराबर है।

चित् 7.11
हल:
∆ABE और ∆ACF में,
चूँकि AB = AC (समद्विबाहु ∆ की । बराबर भुजाएँ दी गई हैं।)
∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ है)
⇒ ∠AEB = ∠AFC = 90° (:: BE ⊥ AC एवं CF ⊥ AB)
⇒ ∆ABE ≅ ∆ACF (AAS सर्वांगसमता प्रमेय)
⇒ BE = CF (CPCT)
अतः अभीष्ट शीर्ष लम्ब बराबर हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB पर खींचे गए शीर्ष लम्ब BE और CF समान हैं (देखिए संलग्न चित्र)।
दर्शाइए कि-
(i) ∆ABE ≅ ∆ACE
(ii) AB = AC अर्थात् ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

चित् 7.12
हल:
(i) ∆ABE और ∆ACF में,
चूँकि ∠BAE = ∠CAF (उभयनिष्ठ है)
∠AEB = ∠AFC = 90° [∵ BE ⊥ AC और CF ⊥ AB (दिया है)]
एवं BE = CF (दिया है)
∆ABE ≅ ∆ACE (AAS सर्वांगसमता प्रमेय) इति सिद्धम्

(ii) ∆ABE ≅ ∆ACF [भाग (i) में सिद्ध कर चुके हैं।]
⇒ AB = AC (CPCT)
अतः त्रिभुज ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC और DBC समान आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज है (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि-
∠ABD = ∠ACD. (2019)

चिन्न 7.13
हल:
∵ ∆ABC एक समद्विबाहु A है (दिया है)
⇒ ∠ABC = ∠ACB …(1) (समान BT भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
∵ ∆DBC एक समद्विबाहु त्रिभुज है (दिया है)
⇒ ∠DBC = ∠DCB …(2) (समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
⇒ ∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः ∠ABD = ∠ACD. (चित्रानुसार) इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC है। भुजा BA बिन्दु D तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि AD = AB है (देखिए संलग्न चित्र)। दर्शाइए कि ∠BCD एक समकोण है।

चित्र 7.14
हल:
∆ABC में, AB = AC (दिया है)
⇒ ∠ABC = ∠ACB ….(1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
चूँकि AB = AD एवं AB = AC (दिया है)
⇒ AD = AC (यूक्लिड अभिधारणा-I)
⇒ ∆ACD में, चूँकि AD = AC
⇒ ∠ADC = ∠ACD …(2) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण है)
⇒ ∠ABC + ∠ADC = ∠ACB + ∠ACD [समी. (1) एवं (2) से]
⇒ ∠ABC + ∠ADC = ∠BCD (∵ ∠ACB + ∠ACD =∠BCD, चित्रानुसार)
लेकिन ∠ABC + ∠ADC + ∠BCD = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोण है)
= ∠ABC + ∠ADC = ∠BCD = 90°
अतः अभीष्ट कोण ∠BCD = 90° इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠A = 90° और AB = AC है। ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं)
∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोण हैं)
⇒ 90° + x + x = 180° [माना ∠B = ∠C = x एवं ∠A = 90° (दिया है)]
⇒ 2x = 180° – 90° = 90°
⇒ x = 90°/2 = 45°
अतः अभीष्ट कोण ∠B = ∠C = 45°.

प्रश्न 8.
दर्शाइए किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।
हल:
चूँकि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण एक-दूसरे के बराबर होता है। मान लीजिए इसका मान x° है।
इसलिए x + x + x = 180° (त्रिभुज के अन्तः कोण है)
⇒ 3x = 180° = x = 180°/3 = 60°
अतः समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° होता है।

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