MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Ex 7.2

प्रश्न. 1
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, – 3) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।
हल :
यहाँ x₁ = – 1, y₁ = 7, x₂ = 4, y₂ = – 3, m₁ = 2, m₂ = 3

अतः अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (1, 3) है।

प्रश्न 2.
बिन्दुओं (4, – 1) और (- 2, – 3) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बिन्दुओं A (4, – 1) एवं B (- 2, – 3) को मिलाने वाला रेखाखण्ड AB है। P (x’, y’ ) एवं Q (x”, y”) ऐसे दो बिन्दु हैं जो दिए रेखाखण्ड AB को समत्रिभाजित करते हैं।
चूँकि P के लिए m₁ = 1 एवं m₂ = 2 हैं

चूँकि Q के लिए m₁ = 2 एवं m₂ = 1 हैं।

अतः दी हुए रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले बिन्दु क्रमश: \(\left(2, \frac{-5}{3}\right)\) एवं \(\left(0, \frac{-7}{3}\right)\) हैं।

प्रश्न 3.
आपके स्कूल में खेलकूद क्रियाकलाप आयोजित करने के लिए एक आयताकार मैदान ABCD में, चूने से परस्पर 1 m की दूरी पर पंक्तियाँ बनाई गई हैं। AD के अनुदिश परस्पर 1 m की दूरी पर 100 गमले रखे गए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 7.3 में दिया गया है। निहारिका दूसरी पंक्ति में AD के \(\frac { 1 }{ 4 }\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक हरा झण्डा गाड़ देती है। प्रीत आठवीं MT पंक्ति में AD का \(\frac { 1 }{ 5 }\) भाग के बराबर की दूरी दौड़ती है और वहाँ एक लाल झण्डा गाड़ देती है। दोनों झण्डों के बीच की दूरी क्या है? यदि रश्मि को एक नीला झण्डा इन दोनों झण्डों को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर ठीक आधी दूरी (बीच में) पर गाड़ना हो, तो उसे अपना झण्डा कहाँ गाड़ना
चाहिए?
हल :

हरे झण्डे के स्थिति निर्देशांक
G(2, \(\frac { 100 }{ 4 }\)) अर्थात् G (2, 25) एवं लाल झण्डे के स्थिति निर्देशांक R (8, \(\frac { 100 }{ 5 }\)) अर्थात् R (8, 20) हैं। मान लीजिए रश्मि नीला झण्डा B (x,y) पर गाड़ती है जो GR रेखाखण्ड का मध्यबिन्दु है।


अतः हरे एवं लाल झण्डे के बीच की अभीष्ट दूरी = √61 m एवं रश्मि अपना नीला झण्डा 5वीं पंक्ति में 22.5 m की दूरी पर गाड़ेगी।

प्रश्न 4.
बिन्दुओं (- 3, 10) और (6, – 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को बिन्दु (- 1, 6) किस अनुपात में विभाजित करता है?
हल :
मान लीजिए बिन्दु (-1, 6) दिए रेखाखण्ड को m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है एवं रेखाखण्ड के सिरों के निर्देशांक (- 3, 10) एवं (6, – 8) हैं।
चूँकि

⇒ 6m₁ – 3m₂ = – m₁ – m₂
⇒ 6m₁ + m₁ = 3m₂ – m₂
⇒ 7m₁ = 2m₂
⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\)
⇒ m₁ : m₂ = 2 : 7
अत: अभीष्ट अनुपात = 2 : 7 है।

प्रश्न 5.
वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें बिन्दुओं A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाला रेखाखण्ड x-अक्ष से विभाजित होता है। इस विभाजन बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : बिन्दु A (1, – 5) और B (- 4, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड AB को x-अक्ष पर स्थित बिन्दु P (x, 0) मान लीजिए m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः अभीष्ट अनुपात 1 : 1 एवं विभाजक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{-3}{2}, 0\right)\) हैं।

प्रश्न 6.
यदि बिन्दु (1, 2), (4, y), (x, 6) और (3, 5) इसी क्रम में लेने पर एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हों तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए समान्तर चतुर्भुज ABCD के निर्देशांक क्रमशः A (1, 2), B (4, y), C (x, 6) एवं D (3, 5) हैं तो समान्तर चतुर्भुज के प्रगुण से विकर्ण AC एवं BD परस्पर बिन्दु O पर द्विभाजित करते हैं।
⇒ AC के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक = BD के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक

अतः x एवं’ के अभीष्ट मान क्रमशः 6 एवं 3 हैं।

प्रश्न 7.
बिन्दु A के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जहाँ AB एक वृत्त का व्यास है जिसका केन्द्र (2, – 3) है तथा B के निर्देशांक (1,4) हैं।
हल :
मान लीजिए बिन्दु A के निर्देशांक (x, y) हैं तब केन्द्र के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) से.
⇒ \(\frac { x+1 }{ 2 }\) = 2
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 – 1 = 3
⇒ \(\frac { y+4 }{ 2 }\) = – 3
⇒ y + 4 = – 6
⇒ y = – 6 – 4 = – 10
अत: A के अभीष्ट निर्देशांक (3,-10) है।

प्रश्न 8.
यदि A और B क्रमशः (-2, -2) और (2, -4) हों, तो बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि AP = \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB हो और P रेखाखण्ड AB पर स्थित हो। हल :
चूँकि AP = \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB तथा बिन्दु P रेखाखण्ड AB पर है
BP = AB – \(\frac { 3 }{ 7 }\) AB = \(\frac { 4 }{ 7 }\) AB
बिन्दु P रेखाखण्ड AB को 3 : 4 के अनुपात में विभाजित करता है तथा A (-2, – 2) और B (2, -4) दिए हैं।
मान लीजिए P के निर्देशांक (x, y) हैं

अतः P के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)\) हैं।

प्रश्न 9.
बिन्दुओं A (-2, 2) और B (2, 8) को जोड़ने वाले रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:

जैसा कि आकृति 7.4 में दिखाया गया है। मान लीजिए A (-2, 2) और B (2, 8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः P (x’, y’), Q (x”, y”) एवं R (x”‘,y'”) हैं।
चूँकि यहाँ Q रेखाखण्ड AB का मध्य बिन्दु है।

Q के निर्देशांक (0, 5) हैं।
अब P रेखाखण्ड AQ का मध्य-बिन्दु है

एवं R रेखाखण्ड QB का मध्य-बिन्दु है

अतः रेखाखण्ड AB को चार बराबर भागों में विभाजित करने वाले बिन्दु क्रमशः (-1, \(\frac { 7 }{ 2 }\)) (0, 5) एवं (1, \(\frac { 13 }{ 2 }\)) हैं।

प्रश्न 10.
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष क्रम में (3,0), (4, 5), (-1,4) और (-2,-1) हैं।
हल :
मान लीजिए समचतुर्भुज के शीर्ष क्रमशः A (3, 0), B (4, 5), C (-1,4) और D (-2, – 1) दिए हुए हैं।

चूँकि समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) × AC × BD
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 4√2 x 6√2
= 4 x 6
= 24
वर्ग मात्रक अतः दिए समचतुर्भुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 24 वर्ग मात्रक है।