MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

रैखिक Important Questions

रैखिक प्रोग्रामन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दु जिस पर 3x + 2y का प्रतिबंधों x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत अधिकतम मान प्राप्त होता है –
(a) (0, 0)
(b) (1.5, 1.5)
(c) (2,0)
(d) (0, 2).
उत्तर:
(c) (2,0)

प्रश्न 2.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देश्य फलन में चर होते हैं –
(a) ऋणात्मक
(b) शून्य या ऋणात्मक
(c) शून्य
(d) शून्य या धनात्मक।
उत्तर:
(d) शून्य या धनात्मक।

प्रश्न 3.
असमिकाओं x₁ + x₂ ≤ 3, 2x₁ + 5x₂ ≥ 10, x₂ ≥ 0, के व्यापक हल में स्थित बिन्दु होगा –
(a) (2,1)
(b) (4, 2)
(c) (2, 2)
(d) (1, 2).
उत्तर:
(d) (1, 2).

प्रश्न 4.
रेखीय व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन का अधिकतम मान होता है –
(a) सुसंगत क्षेत्र के केन्द्र पर
(b) (0,0) पर
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर
(d) (0,0) से अधिकतम दूरी पर स्थित शीर्ष पर।
उत्तर:
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर।

प्रश्न 5.
प्रतिबन्धों x – 2y ≥ 6, x + 2y ≥ 0, x ≤ 6 के अंतर्गत फलन P = 3x + 4y का महत्तम मान है –
(a) 16
(b) 17
(c) 18
(d) 19
उत्तर:
(c) 18.

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना हो वह …………………………. कहलाता है।
2. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को ……………………….. कहते हैं।
3. x ≥ 0 का ग्राफ …………………………. चतुर्थांश में स्थित है।
4. एक निश्चित क्रम में विशिष्ट चरणों में सम्पादित प्रक्रिया ………………………….. कहलाती है।
5. सभी व्यवरोधों और ऋणेत्तर व्यवरोधों x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र, एक रेखीय प्रोगामन समस्या का …………………………… कहलाता है।

उत्तर:

1. उद्देश्य फलन
2. इष्टमान फलन
3. प्रथम एवं चतुर्थ
4. प्रोग्रामिंग
5. सुसंगत क्षेत्र।

प्रश्न 3.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (b)
2. (a)
3. (d)
4. (c)
5. (f)
6. (e)

प्रश्न 4.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. यदि x का मान किन्ही दो निश्चित संख्याओं a और b के बीच होता है, तब {x : a < x < b}, संवृत्त अंतराल कहलाता है।
2. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना होता है, उसे उद्देश्य फलन कहते हैं।
3. दी हुई समस्या के सभी प्रतिबंधों का पालन करने वाले चर राशियों के मान ग्राफीय निरुपण के जिस क्षेत्र से संबंधित होता है उस क्षेत्र को सम्भाव्य क्षेत्र कहते हैं।
4. यदि सम्भाव्य क्षेत्र रिक्त समुच्चय हो, तो समस्या का सीमाबद्ध हल होता है।
5. दो या दो से अधिक समीकरणों के निकाय को रेखीय असमीकरण निकाय कहते हैं।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. असत्य।

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. y ≤ -2 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
2. 2x – 4 ≤ 0 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
3. x ≥ 0 तथा y ≥ 0 का हल किस चतुर्थांश में है।
4. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को क्या कहते हैं?
5. P = 5x + 3y एक उद्देश्य फलन है। सम्भाव्य क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक (3, 0), (12, 0), (0, 6) हैं। उद्देश्य फलन का निम्नतम मान बताइए।

उत्तर:

1. 
2. 
3. प्रथम
4. इष्टतम मान
5. 15.

रैखिक प्रोग्रामन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
फलन P = 2x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जबकि प्रतिबन्ध निम्न हैं –
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 2x + y ≤ 14.
हल:
प्रतिबन्धों x ≥ 0 तथा y ≥ 0 के कारण अन्य रेखीय असमीकरणों के ग्राफ केवल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करना है।

x + 2y = 10 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) के लिए x + 2y ≤ 10 सत्य है क्योंकि 0 + 2 × 0 ≤ 10. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर है।
2x + y = 14 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

मूलबिन्दु (0, 0) के लिए 2x + y ≤ 14 सत्य है क्योंकि 2(0) + 0 ≤ 14. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु को शामिल करता है।
लेखाचित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र रेखांकित है जिसके शीर्षों OABD पर उद्देश्य फलन P = 2x + 3y के मान निम्न सारणी में दर्शाये गये हैं –

∴ P का अधिकतम मान 18 है जो बिन्दु B(6, 2) पर है, जिसके लिए x = 6, y = 2.

प्रश्न 2.
फलन P = x + y का रेखीय व्यवरोधों 3x + 2y ≥ 12, x + 3y ≥ 11, x ≥ 0, y ≥ 0 के अन्तर्गत न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x ≥ 0, y ≥ 0 के कारण अन्य व्यवरोधों के ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करते हैं। वे हैं:
3x + 2y ≥ 12
x + 3y ≥ 11

(i) 3x + 2y = 12 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

(ii) x + 3y = 11 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) से दोनों असमीकरण सन्तुष्ट नहीं होते क्योंकि
3(0) + 2(0) ≥ 12 असत्य है।
0 + 3(0) ≥ 11 असत्य है।
अतएव संभाव्य क्षेत्र खुला क्षेत्र है, जिसके शीर्ष A, B,D हैं। उद्देश्य फलन की गणना मूल बाह्यतम बिन्दु प्रमेय के अनुसार निम्नांकित हैं –

अतः P का न्यूनतम मान 5 है जब x = 2, y = 3.

प्रश्न 3.
निम्न असमीकरणों द्वारा निर्धारित क्षेत्र को ग्राफ द्वारा दर्शाइए:
x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 16, 2x + y ≤ 8
तथा P = 5x + 4y के अधिकतम मान हेतु x, y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
असमीकरणों 2x + 5y ≤ 16 ……… (1)
एवं 2x + y ≤ 8 ……….. (2)
को निम्नानुसार लिखने पर,
\(\frac{2x}{16}\) + \(\frac{5y}{16}\) ≤ 1 [असमिका (1) से]

इसी प्रकार,
\(\frac{2x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 [असमिका (2) से]
⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 ………. (4)
क्षेत्र x ≥ 0 एवं y ≥ 0 के लिए असमीकरणों (3) एवं (4) का ग्राफीय निरूपण करने पर:

रेखाएँ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1
एवं \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{(16/5)}\) = 1
एक – दूसरे को बिन्दु B(4, 2) पर प्रतिच्छेदित करती है। अत: OABC रेखाओं द्वारा प्रतिबन्धित क्षेत्र है, जहाँ बिन्दु O, A, B, C के निर्देशांक क्रमशः O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, \(\frac{16}{5}\) ) है।
इन शीर्षों पर P = 5x + 4y का मान निम्नानुसार प्राप्त होगा:

उपर्युक्त सारणी से P का अधिकतम मान बिन्दु B(3, 2) पर 23 प्राप्त होता है। अतः x = 3 एवं y = 2 पर मान अधिकतम है।

प्रश्न 4.
यदि एक नवयुवक अपनी मोटर साइकिल को 25 किमी प्रति घण्टा की गति से दौड़ाता है, तो उसे पेट्रोल पर 2 रु. प्रति किमी व्यय करना पड़ता है। यदि वह और अधिक तेज गति 40 किमी प्रति घण्टा पर मोटर साइकिल को दौड़ाता है, तो पेट्रोल का खर्च बढ़कर 5 रु. प्रति किमी हो जाता है। उसके पास पेट्रोल पर खर्च करने के लिए 100 रु. है। वह यह ज्ञात करना चाहता है कि 1 घण्टे में वह कितनी अधिकतम दूरी तय कर सकता है। इसे एक रेखीय कार्य-योजना समस्या के रूप में व्यक्त करो तथा फिर इसे हल करो।
हल:
माना कि x किलोमीटर तक 25 किमी/घण्टा की गति से तथा y किलोमीटर तक 40 किमी प्रति घण्टा की गति से मोटर साइकिल दौड़ाता है। तब, x20
तथा x ≥ 0 ……. (1)
y ≥ 0 …….. (2)

पहली स्थिति में पेट्रोल खर्च = 2x रु.
तथा दूसरी स्थिति में पेट्रोल खर्च = 5y रु.
पेट्रोल पर खर्च करने के लिए राशि = 100 रु.
∴ 2x + 5y ≤ 100
पहली स्थिति में दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{x}{25}\) घण्टे,

दूसरी स्थिति में y दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{y}{40}\) घण्टे।
∴ कुल समय 1 घण्टा है,
∴ \(\frac{x}{25}\) + \(\frac{y}{40}\) ≤ 1
था 8x + 5y ≤ 200
दूरी P = x + y
दूरी के मान को अधिकतम करने के लिए प्रतिबंधों (1), (2), (3) और (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 100 तथा 8x + 5y ≤ 200 का आलेखन करते हैं, जिससे सम्भाव्य क्षेत्र ODEC प्राप्त होता है।
क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (25, 0), ( \(\frac{50}{3}\), \(\frac{40}{3}\) ) तथा (0, 20) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अतः अधिकतम दूरी 30 किमी होगी।

प्रश्न 5.
एक उद्योगपति अपनी फैक्टरी में नई मशीन लगाना चाहता है। A प्रकार की मशीन की कीमत 800 रु. है और वह 3 वर्ग मीटर स्थान घेरती है। B प्रकार की मशीन की कीमत 1600 रु. है और वह 1 \(\frac{1}{2}\) वर्ग मीटर स्थान घेरती है। वह 20,000 रु. खर्च कर सकता है और उसके पास उपलब्ध स्थान 30 वर्ग मीटर है। मशीन A का उत्पादन प्रति घण्टा 10 वस्तु और मशीन B का उत्पादन प्रति घण्टा 15 वस्तु है। व्यापार प्रतिबन्ध के अनुसार वह तीन मशीन A प्रकार और चार मशीन B प्रकार की ले सकता है। व्यापारी अधिकतम मशीन किस प्रकार लगा सकता है और कौन-सी व्यवस्था उसे अधिकतम लाभ दे सकती है?
हल:
माना कि व्यापारी A प्रकार की x मशीन तथा B प्रकार की y मशीन खरीदता है।
तब, A प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 800 x रु.
तथा B प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 1600 y रु.
उद्योगपति कुल 20,000 रु. खर्च कर सकता है।
∴ 800x + 1600y ≤ 20000
∴ x + 2y ≤ 25 ………. (1)
अब A प्रकार की x मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= 3x वर्ग मीटर
B प्रकार की y मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= \(\frac{3}{2}\) y वर्ग मीटर
कुल उपलब्ध स्थान = 30 वर्ग मी.
∴ 3x + \(\frac{3}{2}\)y ≤ 30
था 2x + y ≤ 20

पुनः वह तीन मशीन A प्रकार की तथा चार मशीन B प्रकार की ले सकता है।
∴ x ≥ 3 ……… (3)
तथा y ≥ 4 …….. (4)
कुल मशीनों की संख्या या उद्देश्य फलन
P = x + y ……….. (5)
अतः प्रतिबंधों (1), (2), (3) व (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x + 2y ≤ 25, 2x + y ≤ 20, x ≥ 3, y ≥ 4 का आलेखन करते हैं।
रेखांकित भाग संभाव्य क्षेत्र है जिसके शीर्ष (3, 4), (7, 4), (5, 10) तथा (3, 11) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अत: व्यापारी अधिकतम 15 मशीन खरीद सकता है जिसमें 5 मशीनें A प्रकार तथा 10 मशीनें B प्रकार की होंगी।

प्रश्न 6.
एक मधुर पेय फर्म के बोतल बनाने के दो संयन्त्र हैं। एक P पर व दूसरा Q पर स्थित है। प्रत्येक संयन्त्र तीन मधुर पेय A, B व C का उत्पादन करता है। दोनों संयन्त्रों की प्रतिदिन बोतल बनाने की संख्या के अनुसार क्षमताएँ निम्नानुसार हैं –

एक बाजार सर्वेक्षण से ज्ञात होता है कि अप्रैल के महीने में, A की 24,000 बोतलों की, B की 16,000 बोतलों की तथा C की 48,000 बोतलों की माँग होगी। कार्यकर P और 0 की प्रतिदिन की कार्यकर लागत क्रमशः 6,000 रु. व 4,000 रु. है। ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए कि फर्म को अप्रैल में प्रत्येक संयन्त्र को कितने दिन कार्य करना चाहिए जिससे कि उत्पादन लागत न्यूनतम आवे जबकि बाजार की मांग पूरी हो जावे?
हल:
मानलो फर्म अप्रैल माह में संयन्त्र P को x दिन तथा संयन्त्र Q को y दिन चलाता है।
संयन्त्र P में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
तथा संयन्त्र ए में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
पेय A के कुल बोतलों की माँग 24000 है।
∴ 3000x + 1000y ≥ 24000
था 3x + y ≥ 24 ……… (1)
इसी तरह, 1000x + 1000y ≥ 16000
था x + y ≥ 16 …….. (2)
तथा 2000x + 6000y ≥ 48000
था x + 3y ≥ 24
पुनः x और y ऋणात्मक नहीं हैं।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अप्रैल माह में P का उत्पादन लागत = 6000 x रु.
तथा इसी माह में Q का उत्पादन लागत = 4000 x रु. .
∴ उद्देश्य फलन या कुल उत्पादन लागत
P = 6000x + 4000y ….. (5)
अतः प्रतिबन्धों (1), (2), (3) और (4) के अन्तर्गत P के मान को न्यूनतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≥ 24, x + y ≥ 16, x + 3y ≥ 24 को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
सम्भाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र प्राप्त होता है जिसके निर्देशांक A (24, 0), B (12, 4), C (4, 12), D (0, 24) हैं। इन शीर्षों में से किसी एक पर P का मान न्यूनतम होगा।

अतः x = 4 तथा y = 12 पर P न्यूनतम है। अत: न्यूनतम उत्पादन लागत के लिए संयन्त्र P को 4 दिनों तक तथा संयन्त्र Q को 12 दिनों तक चलाना चाहिए।
न्यूनतम लागत 72,000 रु. होगी।

प्रश्न 7.
A और B दो दर्जी प्रतिदिन 150 रु. और 200 रु. कमाते हैं। A प्रतिदिन 6 कमीजें और 4 पैन्टों तथा B प्रतिदिन 10 कमीजों तथा 4 पैन्टों को सील लेता है। कम-से-कम 60 कमीजों तथा 32 पैन्टों में आयी लागत का न्यूनतमीकरण करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सूत्रबद्ध कीजिए। (CBSE 2005)
हल:
माना दर्जी A, x दिन और दर्जी B, y दिन कार्य करता है।
अतः लागत फलन है:
Z = 150x + 200y
प्रश्नानुसार दर्जी A, 6 कमीजें और B, 10 कमीजें प्रतिदिन सील कर कम – से – कम 60 कमीजें सील सकता है।
∴ 6x + 10y ≤ 60
और दर्जी A, 4 पैन्टों और B, 4 पैन्टों को सीलकर कम-से-कम 32 पैन्ट सील सकता है।
∴ 4x + 4y ≤ 32 और x ≥ 0, y ≥ 0
इस प्रकार, लागत फलन Z = 150x + 200y का निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत न्यूनतम होगा –
6x + 10y ≤ 60
4x + 4y ≤ 32.
टीप – व्यवरोधों का ग्राफ 6x + 10y ≤ 60 के लिए 6x + 10y = 60 का ग्राफ खींचेंगे।
\(\frac{6x}{60}\) + \(\frac{10y}{60}\) = 1
\(\frac{x}{10}\) + \(\frac{y}{6}\) = 1 ………. (1)
रेखा (1) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 10 और 6 का अन्त:खण्ड काटती है।
अर्थात् 6x + 10y = 60 सरल रेखा का ग्राफ बिन्दुओं P(10, 0) और Q(0, 6) को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
इसी प्रकार सरल रेखा 4x + 4y = 32 का ग्राफ खींचेंगे।
∴ 4x + 4y = 32
⇒ \(\frac{4x}{32}\) + \(\frac{4y}{32}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1 ………. (2)

रेखा (2) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 8, 8 का अन्त:खण्ड काटता है। अर्थात् 4x + 4y = 32 सरल रेखा का ग्राफ A (8, 0) और B (0, 8) बिन्दुओं को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
(i) x ≥ 0, X – अक्ष और उसके ऊपर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(ii) y ≥ 0, Y – अक्ष और उसके दायीं ओर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(iii) 6x + 10y ≤ 60 के हल समुच्चय हेतु परीक्षण बिन्दु O(0, 0) लेने पर,
6 × 0 + 10 × 0 < 60 ⇒ 0 < 60 सत्य है।
अन्तः रेखा 6x + 10y = 60 पर के प्रत्येक बिन्दु और मूलबिन्दु O के ओर के क्षेत्र 6x + 10y ≤ 60 का हल समुच्चय होगा।
(iv) इसी प्रकार 4x + 4y ≤ 32 के हल समुच्चय मूलबिन्दु की ओर का क्षेत्र और रेखा 4x + 4y = 32 पर के प्रत्येक बिन्दु होंगे।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0, 6x + 10y ≤ 60 और 4x + 4y ≤ 32 के उभयनिष्ठ क्षेत्र उक्त ग्राफ में छायांकित भाग से दिखाया है।
अर्थात् छायांकित क्षेत्र OACQ अभीष्ट क्षेत्र है जिसके किनारे के बिन्दु 0(0, 0), A (8, 0), C (5, 3) और Q (0, 6) हैं।

लागत Z = 150x + 200y का न्यूनतम मान 0 और अधिकतम लागत मूल्य 1,350 रु. बिन्दु (5,3) के संगत है।

MP Board Class 12th Maths Important Questions