MP Board Class 9th Maths Solutions Chapter 4 दो चरों वाले रैखिक समीकरण Ex 4.3
प्रश्न 1.
दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए :
(i) x + y = 4
(ii) x – y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y.
हल:
(i) x + y = 4 ⇒ y = 4 – x.
जब x = 0, तब y = 4 – 0 = 2
जब x = 2, तब y = 4 – 2 = 2
जब x = 4, तब y = 4 – 4 = 2
अत: PQ अभीष्ट लेखाचित्र है।
(ii) x – y = 2 ⇒ y = x – 2
जब x = 0, तो y = 0 – 2 = – 2
जब x = 2, तो y = 2 – 2 = 0
जब x = 4, तो y = 4 – 2 = 2
अत: PQ अभीष्ट लेखाचित्र है।
(iii) y = 3x
जब x = 0, तब y = 3 (0) = 0
जब x = 2, तब y = 3 (2) = 6
जब x = -2, तब y = 3 (-2) = -6
अत: PQ अभीष्ट लेखाचित्र है।
(iv) 3 = 2x + y ⇒ y = 3 – 2x
जब x = 0, तब y = 3 – 2 (0) = 3 – 0 = 3
जब x = 3, तब y = 3 – 2 (3) = 3 – 6 = -3
जब x = -1, तब y = 3 – 2 (-1) = 3 + 2 = 5
अत: PQ अभीष्ट लेखाचित्र है।
प्रश्न 2.
बिन्दु 2 और 14 से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की कितनी रेखाएँ खींची जा सकती हैं और क्यों ?
उत्तर:
x + y = 16 एवं y = 2x + 10
अन्ततः अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं, क्योंकि किसी एक बिन्दु से होकर अन्ततः अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
प्रश्न 3.
यदि बिन्दु (3,4) समीकरण 3y = ax + 7 के आलेख पर स्थित है तो a का मान ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
चूँकि बिन्दु (3, 4) दिए हुए समीकरण के आलेख पर स्थित है, इसलिए यह बिन्दु समीकरण को सन्तुष्ट करेगा। अब,
⇒ 3(4) = a(3) +7
⇒ 12 = 3a + 7
⇒ 3a = 12 – 7 = 5
⇒ a = 5/3
अत: a का अभीष्ट मान = 5/3.
प्रश्न 4.
एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है : पहले किलोमीटर का किराया ₹ 8 है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति किलोमीटर का किराया ₹ 5 है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो और कुल किराया ₹y हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख बनाइए। (2018, 19)
हल:
चूँकि तय की गई कुल दूरी = x किलोमीटर
पहले किलोमीटर का किराया = ₹8
शेष (x – 1) किलोमीटर का किराया =₹5
प्रति किलोमीटर की दर से = ₹ 5 (x -1)
इसलिए कुल किराया y = 5 (x – 1) + 8
⇒ y = 5x – 5 + 8 = 5x + 3
अतः अभीष्ट समीकरण : y = 5x + 3 है।
अब समीकरण का आलेख खींचना
जब x = 0, तब y = 5(0) + 3 = 0 + 3 = 3
जब x = – 1, तब y = 5(-1) + 3 = -5 + 3 = -2
जब x = 1, तब y = 5(1) + 3 = 5 + 3 = 8
अत: PQ अभीष्ट लेखाचित्र है।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों में से सही समीकरण का चयन कीजिए:
आकृति 4.6 के लिए
(i) y = x
(ii) x + y = 0
(iii) y = 2x
(iv) 2 + 3y = 7x.
हल:
x + y = (1) + (-1) = 0
एवं x + y= (-1) + (1) = 0
अतः अभीष्ट समीकरण : (ii) x +.y= 0.
आकृति 4.7 के लिए
(b) (i) y = x + 2
(ii) y = x – 2
(iii) y = -x + 2
(iv) x + 2y = 6.
हल:
y = -x + 2 ⇒ x + y = 2
-1 + 3 = 2; 0 + 2 = 2; 2 + 0 = 2
लेखाचित्र के बिन्दु समीकरण y = – x + 2 को सन्तुष्ट कर रहे हैं।
अतः अभीष्ट समीकरण (iii) y = -x + 2.
प्रश्न 6.
एक अचर बल लगाने पर एक पिण्ड द्वारा किया गया कार्य पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है। इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खींचिए। यदि पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी
(i) 2 मात्रक (ii) 0 मात्रक हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए x दूरी है तथा y किया गया कार्य तथा बल 5 मात्रक तो प्रश्नानुसार समीकरण :
y = 5x
अब जब x = 0, तब y = 5 x 0 = 0
जब x = – 1, तब y = 5 (-1) = -5
जब x = 1, तब y = 5 (1) = 5
(i) आलेख से जब x (दूरी) = 2 मात्रक तो किया गया कार्य = 10 मात्रक
(ii) आलेख से जब x (दूरी) = 0 मात्रक तो किया गया कार्य = 0 मात्रक
अतः अभीष्ट समीकरण है : y = 5x, जहाँ y किया गया कार्य एवं x चली गई दूरी तथा अभीष्ट आलेख चित्र 4.8 एवं अभीष्ट कार्य (i) 10 मात्रक, (ii) 0 मात्रक।
प्रश्न 7.
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर भूकम्प पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमन्त्री राहत कोष में ₹ 100 अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आँकड़ों को संतुष्ट करती हो। आप उनका अंशदान । ₹x एवं ₹y मान सकते हैं। इस समीकरण का आलेख खींचिए। (2019)
हल:
माना यामिनी का अंशदान = ₹ x
एवं फातिमा का अंशदान = ₹ y है, तो
अभीष्ट समीकरण : x + y = 100
अब y = 100 – x
जब x = ₹0, तो = 100 – 0 = ₹ 100
जब x = ₹ 100, तो y = 100 – 100 = ₹0
जब x = ₹50, तो y= 100 – 50 = ₹ 50
अतः अभीष्ट समीकरण : x + y = 100 एवं अभीष्ट आलेख चित्र 4.9 है।
प्रश्न 8.
अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फॉरेनहाइट में मापा जाता है जबकि भारत जैसे अन्य देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। यहाँ फॉरेनहाइट को सेल्सियस में रूपान्तरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है:
F = (9/5)C + 32
(i) सेल्सियस को X-अक्ष और फॉरेनहाइट को Y-अक्ष पर मानकर ऊपर दिए गए समीकरण का आलेख खींचिए।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फॉरेनहाइट में तापमान क्या होगा?
(iii) यदि तापमान 95°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फॉरेनहाइट में तापमान क्या होगा? और यदि तापमान 0°F है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है, जो फॉरेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है, यदि हाँ, तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया हुआ समीकरण : F = (\(\frac { 9 }{ 5 }\))C + 32 अर्थात् C = \(\frac { 5 }{ 9 }\) (F – 32)
अब जब C = 0 तब F = \(\frac { 9 }{ 5 }\) = x 0 + 32 = 0 + 32 = 32°F
जब C = – 40 तब F = \(\frac { 9 }{ 5 }\) (-40) + 32 = – 72 + 32 = – 40°F
जब F = 0 तब C = \(\frac { 5 }{ 9 }\) (0 – 32) = \(\frac { -160 }{ 9 }\) = – 17.8°C
अतः अभीष्ट आलेख चित्र 4.10 है।
(ii) यदि C = 30°C, तो F = \(\frac { 9 }{ 5 }\) x 30 + 32 = 54 + 32 = 86° F
अतः अभीष्ट तापमान = 86° F
(iii) यदि F = 95°F, तो C = \(\frac { 5 }{ 9 }\) (95 – 32)= \(\frac { 5 }{ 9 }\) x 63 = 5 x 7 = 35°C
अतः अभीष्ट तापमान = 35°C.
(iv) यदि C = 0°C, तो F = \(\frac { 9 }{ 5 }\)(0) + 32 = 0 + 32 = 32°F.
उत्तर
एवं यदि F = 0°C, तो C = \(\frac { 5 }{ 9 }\) (0 – 30) = –\(\frac { 160 }{ 9 }\) = – 17.8°C
अतः अभीष्ट तापमान 32°F एवं – 17.8°C.
(v) हाँ ऐसा तापमान सम्भव है जो फॉरेनहाइट एवं सेल्सियस दोनों के लिए संख्यात्मकतः समान है।
अब माना C = F = x
तब x = \(\frac { 9 }{ 5 }\) x x + 32
⇒ 5x = 9x + 160
⇒ 9x – 5x = – 160
⇒ 4x = – 160 ⇒ x = \(\frac { -160 }{ 4 }\) = -40°
अतः अभीष्ट तापमान -40°C = -40°F.