Bhagya

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.2

निम्नलिखित प्रश्नों में से पाँच अन्य त्रिकोणमितीय फलनों का मान ज्ञात कीजिए:
प्रश्न 1.
cos x = \(-\frac{1}{2}\), x तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
∆OAB में,

प्रश्न 2.
sin x = \(\frac{3}{5}\), x दूसरे चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(\frac{3}{4}\), x तृतीय चतुर्थाश में स्थित है।
हल:
cot x = \(\frac{3}{4}\)
यहाँ OA = 3 इकाई
∴ AB = 4 इकाई

प्रश्न 4.
sec x = \(\frac{13}{5}\), चतुर्थ चतुर्थाश में स्थित है।
हल:

यहाँ OB = 13 इकाई
∴ OA = 5 इकाई

प्रश्न 5.
tan x = \(-\frac{5}{12}\), x दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
हल:
tan x = \(-\frac{5}{12}\)
∆OAB में, tan x = \(\frac{A B}{O A}\)

यहाँ AB = 5 इकाई
∴ OA = 12 इकाई
∴ OB = \(\) = 13
OA = -12 (∵ OX’ दिशा में है)
AB = 5 (∵ OY’ दिशा में है)
OB = 13

प्रश्न संख्या 6 से 10 तक के मान ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 6.
sin 765°.
हल:
sin 765° = sin (2 × 360 + 45°)
= sin 45 [∵ – sin (360 + θ) = sin θ]
= \(\frac{1}{\sqrt{2}}\).

प्रश्न 7.
cosec (-1410)°.
हल:
cosec (-1410) = -cosec 1410 [∵ cosec (-θ) = – cosec θ]
= – cosec (4 × 360 – 30)
= – cosec (-30)° [∵ cosec (360 + θ) = cosec θ]
= cosec 30° [∵ cosec (-θ) = cosec θ]
= 2. [∵ sin 30° = \(\frac{1}{2}\)]

प्रश्न 8.
tan \(\frac{19 \pi}{3}\)
हल:
tan \(\frac{19 \pi}{3}\) = tan \(\left(6 \pi+\frac{\pi}{3}\right)\)
= tan \(\frac{\pi}{3}\) [∵ tan (6π + θ) = tan θ]
= tan 60 = \( \sqrt{{3}} \). [∵ tan (π – θ)= – tan θ]

प्रश्न 9.
sin \(\left(\frac{-11 \pi}{3}\right)\).
हल:
\(\sin \left(\frac{-11 \pi}{3}\right)=-\sin \frac{11 \pi}{3}\) [∵ sin (-θ) = – sin θ]

प्रश्न 10.
cot \(\left(\frac{-15 \pi}{4}\right)\)
हल:

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 14 Factorization Ex 14.4

Find and correct the errors in the following mathematical statements.
Question 1.
4(x – 5) = 4x – 5
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is 4(x – 5) = 4x – 20.

Question 2.
x(3x + 2) = 3x² + 2
The given statement is incorrect.
The correct statement is x(3x + 2) = 3x² + 2x.

Question 3.
2x + 3y = 5xy
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is 2x + 3y = 2x + 3y.

Question 4.
x + 2x + 3x = 5x
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is x + 2x + 3x = 6x.

Question 5.
5y + 2y + y – 7y = 0
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is 5y + 2y + y – 7y = y.

Question 6.
3x + 2x = 5x²
The given statement is incorrect.
The correct statement is 3x + 2x = 5x.

Question 7.
(2x)² + 4(2x) + 7 = 2x² + 8x + 7
EH The given statement is incorrect.
The correct statement is (2x)² + 4(2x) + 7
= 4x² + 8x + 7.

Question 8.
(2x)² + 5x = 4x + 5x = 9x
EH The given statement is incorrect.
The correct statement is (2x)² + 5x = 4x² + 5x.

Question 9.
(3x + 2)² = 3x² + 6x + 4
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is (3x + 2)²
= (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = 9x² + 12x + 4.

Question 10.
Substituting x = -3 in
(a) x² + 5x + 4
gives (-3)² + 5 (-3) + 4 = 9 + 2 + 4 = 15
(b) x² – 5x + 4
gives (-3)² – 5(-3) + 4 = 9 – 15 + 4 = -2
(c) x² + 5x gives (-3)² + 5 (-3) = -9 -15 = – 24
Solution:
(a) Incorrect statement
Substituting x = -3 in x² + 5x + 4 gives
(-3)² + 5(-3) + 4 = 9 – 15 + 4 = -2
(b) Incorrect statement
Substituting x = -3 in x² – 5x + 4 gives
(-3)² – 5(-3) + 4 = 9 + 15 + 4 = 28
(c) Incorrect statement
Substituting x = -3 in x² + 5x gives
(-3)² + 5(-3) = 9 – 15 = – 6

Question 11.
(y – 3)² = y² – 9
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is (y – 3)² = y² – 6y + 9

Question 12.
(z + 5)² = z² + 25
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is (z + 5)² = z² + 10z + 25

Question 13.
(2a + 3b)(a – b) = 2a² – 3b²
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is (2a + 3b)(a – b)
= 2a(a – b) + 3b(a – b)
= 2a² – 2ab + 3ab – 3b²
= 2a² + ab – 3b²

Question 14.
(a + 4)(a + 2) = a² + 8
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is (a + 4) (a + 2)
= a(a + 2) + 4 (a + 2)
= a² + 2a + 4a + 8 = a² + 6a + 8

Question 15.
(a – 4)(a – 2) = a² – 8
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is (a – 4) (a – 2)
= a(a – 2) – 4(a – 2) = a² – 2a – 4a + 8
= a² – 6a + 8

Question 16.
\(\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}\) = o
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is
\(\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}\) = 1

Question 17.
\(\frac{3 x^{2}+1}{3 x^{2}}\) = 1 + 1 = 2
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is
\(\frac{3 x^{2}+1}{3 x^{2}}=\frac{3 x^{2}}{3 x^{2}}+\frac{1}{3 x^{2}}=1+\frac{1}{3 x^{2}}\)

Question 18.
\(\frac{3 x}{3 x+2}=\frac{1}{2}\)
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is
\(\frac{3 x}{3 x+2}=\frac{3 x}{3 x+2}\)

Question 19.
\(\frac{3}{4 x+3}=\frac{1}{4 x}\)
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is \(\frac{3}{4 x+3}=\frac{3}{4 x+3}\)

Question 20.
\(\frac{4 x+5}{4 x}\) = 5
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is
\(\frac{4 x+5}{4 x}=\frac{4 x}{4 x}+\frac{5}{4 x}=1+\frac{5}{4 x}\)

Question 21.
\(\frac{7 x+5}{5}\) = 7x
Solution:
The given statement is incorrect.
The correct statement is
\(\frac{7 x+5}{5}=\frac{7 x}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7 x}{5}+1\)

MP Board Class 8th Maths Solutions

 

MP Board Class 10th General Hindi व्याकरण वर्तनी

प्रश्न 1.
वर्तनी की परिभाषा दें।
उत्तर-
‘वर्तनी’ का अर्थ है उच्चारण के अनुरूप वर्ण-विन्यास। इसे अंग्रेजी में (spelling) कहते हैं। सामान्यतया लिखने की रीति को वर्तनी कहते हैं। वर्तनी की शुद्धता के लिए उच्चारण की शुद्धता आवश्यक है। यदि उच्चारण गलत हुआ तो वर्तनी भी गलत होती है।

प्रश्न 2.
वर्तनी संशोधन के नियमों पर प्रकाश डालें।
उत्तर-
वर्तनी संबंधी कुछ नियम हैं, जिनका पालन करने से शब्दों के शुद्ध रूप लिखे जा सकते हैं।
1. किसी भी स्वर के साथ किसी अन्य स्वर की मात्रा नहीं लगनी चाहिए।

जैसे-

‘अ’ अिस, ओक, अपर-ये अशुद्ध रूप हैं।
इस, एक, ऊपर-ये शुद्ध रूप हैं।

2. भाववाची-ति, नि, धि, टि से समाप्त होने वाली स्त्रीलिंग संज्ञाओं की अंतिम ‘इ’ ह्रस्व होती है।

जैसे-

भक्ति, शक्ति, नीति, प्रीति, रीति, जाति आदि।

3. संस्कृत के तत्सम पुल्लिंग शब्द के अंतिम इ, उ, प्रायः ह्रस्व होते हैं।

जैसे-

कवि, कपि, हरि, रवि, वाल्मीकि, उदधि आदि।

4. तद्भव तथा विदेशी भाषाओं में आए पुल्लिंग शब्दों के अंतिम इ, उ दीर्घ होते हैं।

जैसे-

अंग्रेजी, फ्रांसीसी, आलू, भालू, डाकू, लड़ाकू।

5. ‘ऋ’ स्वर है। कभी-कभी उसका उच्चारण, रि, रु इस प्रकार करके इसी से शब्द लिखते हैं, वह अशुद्ध रूप है। ‘ऋ’ प्रारंभ में लगने वाले शब्द को ‘र’ से नहीं ‘ऋ’ से लिखना चाहिए

जैसे-

ऋतु लिखना चाहिए, रितु नहीं।
शुद्ध रूप-ऋचा, ऋग्वेद, ऋण, वृष्टि, कृषक, कृष्ण, तृण, तृष्णा आदि।

6. ‘घ’ तथा ‘ध’ वाले शब्द-‘घ’-घर, घोड़ा, घनश्याम, घड़ा, घमण्ड आदि।

‘ध’-धैर्य, धर्म, धन, धमाका, धाम आदि।

7. ‘व’ और ‘ब’ में अंतर-‘व’ के उच्चारण में होठ’ (ओठ) खुले रहते हैं और ‘ब’ के उच्चारण में बंद हो जाते हैं।

‘व’ वाले शब्द-वह, वर्ण, विवाहर, विश्व इत्यादि।
‘ब’ वाले शब्द-बाहर, बंद, बंदर, बँटवारा, बाप, बतासा, बनावट, बारात इत्यादि।

8. श, ष, स का अन्तर-‘श’ वाले शब्द-शहर, शरबत, शेर इत्यादि।

‘ष’ वाले शब्द-षट्कोण, नष्ट, कष्ट, राष्ट्र, युधिष्ठिर, विशिष्ट इत्यादि।
‘स’ वाले शब्द-समाज, सपेरा, समय, सावन, स्वागत, सरौता, सबेरा, स्वर्ग इत्यादि।

प्रश्न 3.
परसर्ग या कारक चिह्न का प्रयोग कहाँ किया जाता है?
उत्तर-
परसर्ग या कारक चिह्न का प्रयोग-संज्ञा शब्दों के साथ होना चाहिए। इस प्रकार जैसे-राम ने, मोहन को, घर में सर्वनाम के साथ प्रयोग-जैसे-मैंने, आपने, उन्होंने, उनको, जिसको इत्यादि।

प्रश्न 4.
योजक चिह्न का प्रयोग सोदाहरण समझाइये।
उत्तर-
योजक चिह्न का प्रयोग समानपद में करना चाहिए।

जैसे-

माता-पिता,
भाई-बहन,
पाप-पुण्य,
सरस्वती – वन्दना,
शोध-संस्था,
रात-दिन आदि।

प्रश्न 5.
शुद्ध एवं अशुद्ध वर्तनी को उदाहरण सहित समझाएँ।
उत्तर-
जैसे-

प्रश्न 6.
वर्ण तथा शब्द में क्या अंतर है?
उत्तर-
ध्वनि का लिखित रूप वर्ण कहलाता है। वर्ण भाषा की सबसे छोटी इकाई है। इन्हें विभाजित नहीं किया जा सकता, परन्तु वर्णों के सार्थक समूह से शब्दों का निर्माण होता है।

जैसे-

अ, आ, इ, ई वर्ण हैं जबकि र् + आ + म् + अ = ‘राम’ शब्द है।

प्रश्न 7.
हिन्दी की लिपि का नाम बताएँ।
उत्तर-
हिन्दी की लिपि का नाम देवनागरी लिपि है। प्रश्न 8. वर्तनी के नियमों में से कोई भी दो नियम लिखिए।
उत्तर-
1. किसी भी स्वर के साथ किसी अन्य स्वर की मात्रा नहीं लगती है।

जैसे-

अशुद्ध-ओक, शुद्ध-एक।

2. ‘ऋ’ स्वर का शुद्ध उच्चारण

जैसे-

रितु-अशुद्ध, ऋतु-शुद्ध शब्द है।

प्रश्न 9.
मानक वर्तनी क्या है? सोदाहरण समझाएँ।
उत्तर-
वर्तनी संबंधी कुछ महत्वपूर्ण नियम हैं। शुद्ध शब्द उच्चारण के लिए, उनका पालन करने से मानक शुद्ध वर्तनी प्रस्तुत होती है।
जैसे-
‘ष’ के स्थान पर ‘श’ संबंधी अशुद्धियाँ।
अशुद्ध शब्द – मानक (शुद्ध) वर्तनी
द्वेश – द्वेष
निर्दोष – निर्दोश

प्रश्न 10.
निम्नांकित शब्दों के (मानक) शुद्ध रूप लिखिए।
उत्तर-
अशुद्ध रूप – मानक (शुद्ध रूप)

1. उज्वल – उज्ज्व ल
2. क्षन – क्षण
3. एकलौता – इकलौता
4. सौंदर्यता – सौंदर्य
5. आशीर्वाद – आशीर्वाद
6. चाहिये – चाहिए
7. अनाधिकार – अनधिकार
8. मैथली – मैथिली
9. उपरोक्त – उपर्युक्त
10. अनुग्रहित – अनुगृहीत

प्रश्न 11.
‘ऋ’ तथा ‘रि’ से बनने वाले कोई चार शब्द लिखिए।
उत्तर-
‘रि’ –

1. रिगवेद
2. रितु
3. रिषि
4. रिचा।।

‘ऋ’ –

1. ऋग्वेद
2. ऋतु
3. ऋषि
4. ऋचा।

MP Board Class 10th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 14 Factorization Ex 14.3

Question 1.
Carry out the following divisions.
(i) 28x⁴ ÷ 56x
(ii) -36y³ ÷ 9y²
(iii) 66pq²r³ ÷ 11qr²
(iv) 34x³y³z³ ÷ 51 xy²z³
(v) 12a⁸b⁸ ÷ (- 6a⁶b⁴).
Solution:
(i) 28x⁴ ÷ 56x

Question 2.
Divide the given polynomial by the given monomial.
(i) (5x² – 6x) ÷ 3x
(ii) (3y⁸ – 4y⁶ + 5y⁴) ÷ y⁴
(iii) 8(x³y²z² + x²y³z² + x²y²z³) ÷ 4x²y²z²
(iv) (x³ + 2x² + 3x) ÷ 2x
(v) (p³q⁶ – p⁶q³) ÷ p³q³
Solution:
(i) We have

Question 3.
Work out the following divisions.
(i) (10x – 25) ÷ 5
(ii) (10x- 25) ÷ (2x- 5)
(iii) 10y(6y + 21) ÷ 5(2y + 7)
(iv) 9x²y²(3z – 24) ÷ 27xy(z – 8)
(v) 96abc(3a -12)(5b – 30) ÷ 144(a – 4)(b – 6)
Solution:
(i) We have,
(10x – 25) ÷ 5 = \(\frac{10 x-25}{5}\)
= \(\frac{5(2 x-5)}{5}\) = (2x – 5)

(ii) We have,

Question 4.
Divide as directed.
(i) 5(2x + 1 )(3x + 5) ÷ (2x + 1)
(ii) 26xy(x + 5)(y – 4) ÷ 13x(y – 4)
(iii) 52pqr (p + q)(q + r)(r + p) ÷ 104pq(q + r)(r + p)
(iv) 20(y + 4) (y² + 5y + 3) ÷ 5(y + 4)
(v) x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ÷ x(x + 1)
Solution:
(i) We have, 5(2x + 1)(3x + 5) ÷ (2x + 1)

Question 5.
Factorise the expressions and divide them as directed.
(i) (y² + 7y + 10) ÷ (y + 5)
(ii) (m² – 14m – 32) ÷ (m + 2)
(iii) (5p² – 25p + 20) ÷ (p – 1)
(iv) 4yz(z² + 6z – 16) ÷ 2y(z + 8)
(v) 5pq(p² – q²) ÷ 2p(p + q)
(vi) 12xy(9x² – 16y²) ÷ 4xy(3x + 4y)
(vii) 39y³(50y² – 98) ÷ 26y²(5y + 7)
Solution:
(i) We have, y² + 7y + 10
= y² + 5y + 2y + 10
= y(y + 5) + 2(y + 5) = (y + 2) (y + 5)

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.4

निम्नलिखित समीकरणों का मुख्य तथा व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 1 से 4 तक) :
प्रश्न 1.
tan x = \( \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 2.
secx = 2.
हल:

प्रश्न 3.
cot x = \(– \sqrt{{3}} \).
हल:

प्रश्न 4.
cosecx = – 2.
हल:

निम्नलिखित में से प्रत्येक समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (प्रश्न 5 से 9 तक) :
प्रश्न 5.
cos 4x = cos 2x.
हल:
cos 4x = cos 2x
या cos 4x – cos 2x = 0

प्रश्न 6.
cos 3x + cosx – cos 2x = 0.
हल:
cos 3x + cos x – cos 2x = 0

प्रश्न 7.
sin 2x + cos x = 0.
हल:
sin 2x + cos x = 0
∴ 2 sin x cos x + cos x = 0 [∴ sin 2x = 2 sin x cos x]
या cos x (2 sin x + 1) = 0
(i) जब cos x = 0, x = (2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\)

प्रश्न 8.
sec² 2x = 1 – tan 2x.
हल:
sec² 2x = 1 – tan 2x
या 1 + tan² 2x = 1 – tan 2x [∵ sec²A = 1 + tan² A]
या tan² 2x + tan 2x = 0
या tan 2x (tan 2x + 1) = 0
∴ tan 2x = 0, y tan 2x + 1 = 0

प्रश्न 9.
sin x + sin 3x + sin 5x = 0.
हल:
sin x + sin 3x + sin 5x = 0
या (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0
या \(2 \sin \frac{5 x+x}{2} \cos \frac{5 x-x}{2}\) + sin 3x = 0 [∵ sin C + sin D = 2 \(\frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}\)]
या 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0
या sin 3 x (2 cos 2 x + 1) = 0
⇒ sin 3x = 0
या 2 cos 2x + 1 = 0

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 10th General Hindi व्याकरण उपसर्ग

प्रश्न 1.
उपसर्ग किसे कहते हैं?
उत्तर-
उपसर्ग वे अविकारी (अव्यय) शब्दांश होते हैं, जो किसी शब्द के पूर्व में जुड़कर मूल शब्द के अर्थ में परिवर्तन कर देते हैं।

प्रश्न 2.
उपसर्ग की विशेषता बताइये।
उत्तर-
उपसर्ग किसी भी शब्द को परिवर्तित कर देता है। इससे

1. शब्द के अर्थ में एक नयी विशेषता आ जाती है।
2. शब्द का अर्थ बदल जाता है।
3. कहीं-कहीं शब्द के अर्थ में कोई विशेष अंतर नहीं आता। हिंदी में जो उपसर्ग मिलते हैं, वे संस्कृत, हिंदी और उर्दू भाषा के हैं।

प्रश्न 3.
उपसर्ग कितने तरह के होते हैं? उनके उदाहरण दें।
उत्तर-
संस्कृत उपसर्ग

हिंदी उपसर्ग

MP Board Class 10th Hindi Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 14 Factorization Ex 14.2

Question 1.
Factorise the following expressions.
(i) a² + 8o + 16
(ii) p² – 10p + 25
(iii) 25m² + 30m+ 9
(iv) 49y² + 84yz + 36z²
(v) 4x² – 8x + 4
(vi) 121b² – 88bc + 16c²
(vii) (l + m)² – 4lm (Hint: Expand (l + m)² first)
(viii) a⁴ + 2a²b² + b⁴
Solution:
(i) The expression is a² + 8a +16
= a² + 2 × 4 × a + (4)²
= (a + 4)² = (a + 4) (a + 4)

(ii) The expression is p² – 10p + 25
= (p)² – 2 × 5 × p + (5)²
= (P – 5)² = (p – 5)(p – 5)

(iii) The expression is 25m² + 30m + 9
= (5m)² + 2 × 3 × (5m) + (3)² = (5m + 3)²
= (5m + 3) (5m + 3)

(iv) The expression is 49y² + 84yz + 36z²
= (7y)² + 2 × (7y) × (6z) + (6z)² = (7y + 6z)²
= (7y + 6z)(7y + 6z)

(v) The expression is 4x² – 8x + 4
= (2x)² – 2 × (2x) × 2 + (2)² = (2x – 2)²
= [2(x – 1)]² = 4(x – 1)²
= 4(x – 1)(x – 1)

(vi) The expression is 121b² – 88bc + 16c²
= (11b)² – 2 × (11b) (4c) + (4c)² = (11b – 4c)²
= (11b – 4c)(11b – 4c)

(vii) The expression is (l + m)² – 4lm
= l² + 2 × l × m + m² – 4lm [ ∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
= l² + 2lm + m² – 4lm = l² – 2lm + m²
= (l – m)² = (l – m)(l – m)

(viii)The expression is a⁴ + 2a²b² + b⁴
= (a²)² + 2 × a² × b² + (b²)² = (a² + b²)²
= (a² + b²)(a² + b²)

Question 2.
Factorise.
(i) 4p² – 9q²
(ii) 63a² – 112b²
(iii) 49x² – 36
(iv) 16x⁵ – 144x³
(v) (l + m)² – (l – m)²
(vi) 9x²y² – 16
(vii) (x² – 2xy + y²) – z²
(viii)25a² – 4b² + 28bc – 49c².
Solution:
(i) The expression is 4p² – 9q²
= (2P)² – (3q)² = (2p + 3q) (2p – 3q)

(ii) The expression is 63a² – 112b²
= 7[9a² – 16b²] = 7[(30)² – (4b)²]
= 7(3o + 4b) (3a – 4b).

(iii) The expression is 49x² – 36 = (7x)² – (6)²
= (7x + 6) (7x – 6).

(iv) The expression is 16x⁵ – 144x³
= 16x³(x² – 9) = 16x³ (x² – 3²)
= 16x³ (x + 3)(x – 3).

(v) The expression is (l + m)² – (l – m)²
= (l² + 2lm + m²) – (l² – 2lm + m²)
= l² + 2lm + m² – l² + 2lm – m² = 4lm

(vi) The expression is 9x²y² – 16
= (3xy)² – (4)² = (3xy + 4) (3xy – 4)

(vii) The expression is (x² – 2xy + y²) – z²
= (x – y)² – z² = (x – y + z) (x – y – z)

(viii)The expression is 25a² – 4b² + 28bc – 49c²
= 25a² – [4b² – 28bc + 49c²]
= 25a² – [(2b)² – 2 × (2b) × (7c) + (7c)²]
= (5a)² – (2b – 7c)²
= (5a + 2b – 7c) (5a – 2b + 7c)

Question 3.
Factorise the expressions.
(i) ax² + bx
(ii) 7p² + 21q²
(iii) 2x³ + 2xy² + 2xz²
(iv) am² + bm² + bn² + an²
(v) (lm + l) + m + 1
(vi) y(y + z) + 9(y + z)
(vii) 5y² – 20y – 8z + 2yz
(viii) 10ab + 4a + 5b + 2
(ix) 6xy – 4y + 6 – 9x
Solution:
(i) The expression is ax² + bx = x(ax + b)
(ii) The expression is 7p² + 21q² = 7(p² + 3q² )
(iii) The expression is 2x³ + 2xy² + 2xz²
= 2x(x² + y² + z² ).

(iv) The expression is am² + bm² + bn² + an²
= m² (a + b) + n² (b + a) = (m² + n² ) (a + b)

(v) The expression is (lm + l) + m + 1
= l(m + 1) + 1 (m + 1)= (l + 1) (m + 1)

(vi) The expression is y(y + z) + 9(y + z)
= (y + 9) (y + z).

(vii) The expression is 5y² – 20y – 8z + 2yz
= 5y(y – 4) + 2z(y – 4) = (5y + 2z)(y – 4)

(viii) The expression is 10ab + 4a + 5b + 2
= 2a(5b + 2) + 1 (5b + 2) = (2a + 1) (5b + 2)

(ix) The expression is 6xy – 4y + 6 – 9x
= 2y(3x – 2) – 3 (3x – 2) = (2y – 3) (3x – 2)

Question 4.
Factorise.
(i) a⁴ – b⁴
(ii) p⁴ – 81
(iii) x⁴ – (y + z)⁴
(iv) x⁴ – (x – z)⁴
(v) a⁴ – 2a²b² + b⁴
Solution:
(i) The expression is a⁴ – b²
= (a²)² – (b²)²
= (a² + b²) (a² – b²)
= (a² + b²)(a + b)(a – b).

(ii) The expression is p⁴ – 81 = (p)⁴ – (3)⁴
= (P²)² – (3²)² = (p² + 3²) (p² – 3²)
= (p² + 9) (p + 3) (p – 3)

(iii) The expression is x⁴ – (y + z)⁴
= (x²)² – ((y + z)²)²
= [x² + (y + z)²] [x² – (y + z)²]
= [x² + (y + z)²] (x + y + z) (x – (y + z))
= [x² + (y + z)²] (x + y + z) (x – y – z)

(iv) The expression is x⁴ – (x – z)⁴
= (x²)² – ((x – z)²)²
= (x² – (x – z)²)(x² + (x – z)²)
= (x – x + z)(x + x – z)(x² + x² + z² – 2xz)
= z(2x – z) (2x² – 2xz + z²).

(v) The expression is a⁴ – 2a²b² + b⁴
= (a²)² – 2(a²) (b²) + (b²)² = (a² – b²)²
= [(a + b) (a – b)]² = (a + b)² (a – b)²

Question 5.
Factorise the following expressions.
(i) p² + 6p + 8
(ii) q² – 10q + 21
(iii) p² + 6p – 16
Solution:
(i) The expression is p² + 6p + 8
= p² + 4p + 2p + 8 = p(p + 4) + 2 (p + 4)
= (p + 2) (p + 4)

(ii) The expression is q² – 10q + 21
= q² – 7q – 3q + 21 = q(q – 7) – 3 (q – 7)
= (q – 3) (q – 7)

(iii) The expression is p² + 6p – 16
= p² + 8p – 2p – 16
= p(p + 8) – 2(p + 8) = (p – 2) (p + 8)

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 5.
मान ज्ञात कीजिए :
(i) sin (75°)
हल:
sin (75°) = sin (45° + 30°)
= sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° [∵ sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B]

(ii) tan 15°
हल:
tan 15° = tan (45° – 30°)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए

हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 9
सिद्ध कीजिए:

हल:

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : sin (n + 1)x sin (n + 2)x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x = cosx.
हल:
बायाँ पक्ष = sin (n + 1)x sin (n + 2) x + cos (n + 1)x cos (n + 2)x
मान लीजिए (n + 2)x = A, (n + 1) x = B
= sin B sin A + cos B cos A
= cos A cos B + sin A sin B
= cos (A – B) = cos [(n + 2) x – (n + 1)x] [∵ A और B के मान रख कर]
= cos (nx + 2x – nx –x)
= cos x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए : cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\) = \(-\sqrt{2}\)sinx
हल:
बायाँ पक्ष = cos \(\left(\frac{3 \pi}{4}+x\right)\) – cos\(\left(\frac{3 \pi}{4}-x\right)\)

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए : sin²6x – sin²4x = sin 2x sin 10x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin² 6x – sin²4x .
= sin (6x + 4x) sin (6x – 4x)
सूत्र sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करें]
= sin 10x sin 2x
= sin 2x sin 10x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए : cos² 2x – cos² 6x = sin 4x sin 8x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos² 2x – cos² 6x
= 1 – sin² 2x – (1 – sin² 6x)
= sin² 6x – sin² 2x
sin² A – sin² B = sin (A + B) sin (A – B) का प्रयोग करते हुए
= sin²6x – sin² 2x
= sin (6x + 2x) sin (6x – 2x)
= sin 8x sin 4x
= sin 4x sin 8x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए : sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos² x sin 4x.
हल:
बायाँ पक्ष = sin 2x + 2 sin 4x + sin 6x
= (sin 2x + sin 6x) + 2 sin 4x
= 2 sin 4x cos 2x + 2 sin 4x
= 2 sin 4x (cos 2x + 1)
= 2 sin 4x (2 cos² x – 1 + 1)
= 4 sin 4x cos² x = 4 cos² x sin 4x = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x).
हल:
बायाँ पक्ष = cot 4x (sin 5x + sin 3x)

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.
हल:
3x = x + 2x
∴ cot 3x = cot (x + 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\)
दोनों पक्षों में cot x + cot 2x से गुणा करने पर
cot 3x (cot x + cot 2x) = \(\frac{\cot x \cot 2 x-1}{\cot x+\cot 2 x}\) (cot x + cot2x)
या cot 3x (cot x + cot 2x) = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x = cot x cot 2x – 1
या cot 3x cot x + cot 3x cot 2x – cotx cot 2x = -1
या – cot 3x cot x – cot 3x cot 2x + cot x cot 2x = 1
या cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot 3x cot x = 1.

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए :

हल:

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए : cos 4x = 1 – 8 sin² x cos²x.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 4x = cos 2.(2x) (∵ cos 2A = 2 cos²A – 1)
= 2 cos² 2x – 1
= 2[2 cos² x – 1]² – 1
= 2 [4cos⁴ x – 4 cos²x + 1] – 1
= 8 cos⁴x – 8 cos²x + 1
= 1 + 8 cos⁴ x – 8 cos²x
= 1 + 8 cos² x (cos² x – 1)
= 1 – 8 cos²x sin²x [∵ 1 – cos² x = sin² x]
= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए : cos 6x = 32 cos⁶x – 48 cos⁴x + 18 cos²x – 1.
हल:
बायाँ पक्ष = cos 6x = cos 3(2x) 2x = A मान लिया
= cos 3A = cos (2A + A)
= cos 2A cos A – sin 2A sin A
= (2 cos² A – 1) cos A – 2 sin A cos A sin A [∵ cos 2A = 2 cos²A – 1, sin 2A = 2 sin A cos A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A (1 – cos² A) [∵sin² A = 1 – cos²A]
= 2 cos³ A – cos A – 2 cos A + 2 cos³ A
= 4 cos³ A – 3 cos A
= 4 cos³ 2x – 3 cos 2x [A का मान रखने पर]
= 4 (2 cos² x – 1)³ – 3 (2 cos²x – 1) (∵ cos 2x = 2 cos²x – 1)
= 4[8 cos⁶ x – 12 cos⁴ x + 6 cos²x – 1)] – (6 cos²x – 3)
= 32 cos⁶ x – 48 cos⁴x + 18 cos² x – 1
= दायाँ पक्ष।

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक समुच्चय युग्म का सम्मिलन ज्ञात कीजिए :
(i) X = {1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3}
(ii) A = {a, e, i, 0, u}, B = {a, b, c}
(iii) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 3 का गुणज है}
B = {x : x संख्या 6 से कम एक प्राकृत संख्या है?
(iv) A = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 1 < x ≤ 6}
B = {x : x एक प्राकृत संख्या है और 6 < x < 10}
(v) A = {1, 2, 3}, B = ϕ
हल:
(i) X ∪ Y = {1, 3, 5} ∪ {1, 2, 3} = {1, 2, 3, 5}
(ii) A ∪ B = {a, e, i, 0, u}, {a, b, c}
= {a, b, c, e, i, o, u}
(iii) A ∪ B = {3, 6, 9….} ∪ {1, 2, 3, 4, 5}
= {1, 2, 4, 5 या संख्या 3 का गुणज}.
(iv) A = {2, 3, 4, 5, 6}, B = {7, 8, 9}
∴ A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} अर्थात् {x : 1 < x < 10, x ϵ N}
(v) A ∪ B = {1, 2, 3} ∪ ϕ = {1, 2, 3}

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि A = {a, b}, B = {a, b, c}. क्या A ⊂ B? A ∪ B ज्ञात कीजिए।
हल:
A = {a, b}, B = {a, b, c}
समुच्चय A के अवयव a, b समुच्चय B में भी है
∴ A ⊂ B = A ∪ B = B
और A ∪ B = {a, b} ∪ {a, b, c} = {a, b, c}

प्रश्न 3.
यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि A ⊂ B, तो A ∪ B क्या है?
हल:
A ⊂ B ⇒ समुच्चय A के सभी अवयव समुच्चय B में हैं।
A ∪ B = B.

प्रश्न 4.
यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {5, 6, 7, 8} और D = {7, 8, 9, 10}, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∪ B
(ii) A ∪ C
(iii) B ∪ C
(iv) B ∪ D
(v) A ∪ B ∪ C
(vi) A ∪ B ∪ D
(vii) B ∪ C ∪ D
हल:
(i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(ii) A ∪ C= {1, 2, 3, 4} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8}.
(iii) B ∪ C = {3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(iv) B ∪ D = {3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(v) A ∪ B ∪ C = ({1, 2, 3, 4, 10} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
(vi) A ∪ B ∪ D = ({1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ {7, 8, 9, 10}
= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
(vii) B ∪ C ∪ D = ({3, 4, 5, 6} ∪ {5, 6, 7, 8}) ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8} ∪ {7, 8, 9, 10}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 5.
प्रश्न 1 में दिए प्रत्येक समुच्चय युग्म का सर्वनिष्ठ समुच्चय ज्ञात कीजिए :
हल:
(i) X ∩ Y = {1, 3, 5} ∩ {1, 2, 3} = {1, 3}.
(ii) A ∩ B = {a, e, i, o, u} ∩ {a, b, c} = {a}.
(iii) A ∩ B = {3, 6, 9 …..} ∩ {1, 2, 3, 4, 5} = {3}.
(iv) A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {7, 8, 9} = ϕ.
(v) A ∩ B = {1, 2, 3} ∩ ϕ = ϕ

प्रश्न 6.
यदि A = {3, 5, 7, 9, 11}, B = {7, 9, 11, 13}, C = {11, 13, 15} और D = {15, 17}; तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) A ∩ B
(ii) B ∩ C
(iii) A ∩ C ∩ D
(iv) A ∩ C
(v) B ∩ D
(vi) A∩ (B ∩ C)
(vii) A ∩ D
(viii) A ∩ (B ∪ D)
(ix) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)
(x) (A ∪ D) ∩ (B ∪ C)
हल:
(i) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13} = {7, 9, 11}.
(ii) B ∩ C = {7, 9, 11, 13} ∩ {11, 13, 15} = {11, 13}.
(iii) A ∩ C ∩ D = ({3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15}) ∩ {15, 17} .
= {11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(iv) A ∩ C = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {11, 13, 15} = {11}.
(v) B ∩ D = {7, 9, 11, 13} ∩ {15, 17} = ϕ.
(vi) A ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ! {11, 13, 15})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11}.
(vii) A ∩ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {15, 17} = ϕ.
(viii) A ∩ (B ∪ D) = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ ({7, 9, 11, 13} ∪ {15, 17})
= {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13, 15, 17}
= {7, 9, 11}.
(ix) A ∩ B = {3, 5, 7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13}
= {7, 9, 11}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}.
(A ∩ B) (B ∪ C) = {7, 9, 11} ∩ {7, 9, 11, 13. 15}
= {7, 9, 11}.
(x) A ∪ D = {3, 5, 7, 9, 11} ∪ {15, 17}
= {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17}
B ∪ C = {7, 9, 11, 13} ∪ {11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 13, 15}
(A ∪ D) ∩ (B ∪ C) = {3, 5, 7, 9, 11, 15, 17} ∩ {7, 9, 11, 13, 15}
= {7, 9, 11, 15}.

प्रश्न 7.
यदि A = {x : x एक प्राकृत संख्या है, B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है, C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}, D = {x : x एक अभाज्य संख्या है, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए:
(i) A ∩ B
(ii) A ∩ C
(iii) A ∩ D
(iv) B ∩ C
(vi) C ∩ D
हल:
A = {x : x एक प्राकृत संख्या है} = {1, 2, 3, 4……}
B = {x : x एक सम प्राकृत संख्या है} = {2, 4, 6, 8…}
C = {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है? = {1, 3, 5, 7….}
D = {x : x एक अभाज्य संख्या है} = {2, 3, 5, 7, 11….}
(i) A ∩ B = {1, 2, 3, 4….} ∩ {2, 4, 6, 8….}
= {2, 4, 6, 8….} = B
(ii) A ∩ C = {1, 2, 3, 4……} ∩ {1, 3, 5, 7….}
= {1, 3, 5, 7….} = C
(iii) A ∩ D = {1, 2, 3, 4…} ∩ {2, 3, 5, 7…..}
= {2, 3, 5, 7……} = D
(iv) B ∩ C = {2, 4, 6, 8…} ∩ {1, 3, 5, 7……} = ϕ
(v) B ∩ D = {2, 4, 6, 8…..} ∩ {2, 3, 5, 7…..} = {ϕ}
(vi) C ∩ D = {1, 3, 5, 7…..} ∩ {2, 3, 5, 7, 11…….}
= {3, 5, 7, 11, 13….}
= {x : x एक विषम अभाज्य संख्या}.

प्रश्न 8.
निम्नलिखित समुच्चय युग्मों में से कौन से युग्म असंयुक्त हैं?
(i) {1, 2, 3, 4} तथा {x : x एक प्राकृत संख्या है और 4 ≤ x ≤ 6}
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {c, d, e, f}
(iii) {x : x एक सम पूर्णांक है, और {x : x एक विषम पूर्णांक है}
हल:
(i) मान लीजिए E = {1, 2, 3, 4}
F = {x : x एक प्राकृत संख्या और 4 ≤ x ≤ 6}
= {4, 5, 6}
अवयव 4, E और F दोनों समुच्चयों में है।
अतः दोनों युग्म असंयुक्त नहीं हैं।
(ii) दिये हुए समुच्चयों में अवयव e उभयनिष्ठ है।
अतः यह असंयुक्त समुच्चय नहीं है।
(ii) मान लीजिए A = {x : x एक सम पूर्णांक हैं} = {….- 4, – 2, 0, 2, 4….}
B = {x : x एक विषम पूर्णांक है} = {….-5, – 3, – 1, 1, 3, 5…..}
A और B समुच्चयों में कोई भी अवयव उभयनिष्ठ नहीं है।
अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

प्रश्न 9.
यदि A = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}, B = {4, 8, 12, 16, 20}, C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, D = {5, 10, 15, 20}, तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A – B
(ii)A – C
(iii) A – D
(iv) B – A
(v) C – A
(vi) D – A
(vii) B – C
(viii) B – D
(ix) C – B
(x) D – B
(xi) C – D
(xii) D – C
हल:
(i) A – B = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {4, 8, 12, 16, 20}
{3, 6, 9, 15, 18, 21}.
(ii) A – C = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {3, 9, 15, 18. 21}.
(iii) A – D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21} – {5, 10, 15, 20}
= {3, 6, 9, 12, 18, 21}.
(iv) B- A = {4, 8, 12, 16, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {4, 8, 16, 20}.
(v) C – A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}
= {2, 4, 8, 10, 14, 16}.
(vi) D – A = {5, 10, 15, 20} – {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.
= {5, 10, 20}.
(vii) B – C = {4, 8, 12, 16, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {20}.
(viii) B – D = {4, 8, 12, 16, 20} – {5, 10, 15, 20}
= {4, 8, 12, 16}.
(ix) C – B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {2, 6, 10, 14}.
(x) D – B = {5, 10, 15, 20} – {4, 8, 12, 16, 20}
= {5, 10, 15}.
(xi) C -D = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} – {5, 10, 15, 20}
= {2, 4, 6, 8, 12, 14, 16}.
(xii) D – C = {5, 10, 15, 20} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}
= {55 15 20}.

प्रश्न 10.
यदि x = {a, b, c, d} और Y = {f, b, d, g} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) X – Y
(ii) Y – X
(iii) X ∩ Y
हल:
(i) X – Y= {a, b, c, d} – {f, b, d, g}
= {a, c}.
(ii) Y – X= {f, b, d, g} – {a, b, c, d}
= {f, g}.
(iii) X ∩ Y= {a, b, c, d} ∩ {f, b, d, g}
= {b, d}.

प्रश्न 11.
यदि R वास्तविक संख्याओं और Q परिमेय संख्याओं के समुच्चय हैं, तो R – Q क्या होगा?
हल:
R= {x : x एक वास्तविक संख्या है?
Q= {x : x एक परिमेय संख्या है?
R – Q = {x : x एक अपरिमेय संख्या है}
अत: यह अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 12.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
(i) {2, 3, 4, 5} तथा {3, 6} असंयुक्त समुच्चय हैं
(ii) {a, e, i, o, u} तथा {a, b, c, d} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iii) {2, 6, 10, 14} तथा {3, 7, 11, 15} असंयुक्त समुच्चय हैं।
(iv) {2, 6, 10} तथा {3, 7, 11} असंयुक्त समुच्चय हैं।
हल:
(i) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {2, 3, 4, 5} और {3, 6} में अवयव 3 उभयनिष्ठ है।
(ii) यह कथन सत्य नहीं है क्योंकि समुच्चय {a, e, i, o, u} और {a, b, c, d} में अवयव a उभयनिष्ठ है।
(iii) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10, 14} और {3, 7, 11, 15} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।
(iv) यह कथन सत्य है क्योंकि समुच्चय {2, 6, 10} और {3, 7, 11} में कोई अवयव उभयनिष्ठ नहीं है। अतः यह समुच्चय असंयुक्त है।

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 3 त्रिकोणमितीय फलन Ex 3.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित डिग्री माप के संगत रेडियन माप ज्ञात कीजिए:
(i) 25°
(ii) – 47° 30′
(iii) 240°
(iv) 520°
हल:
(i) 180° = π रेडियन

प्रश्न 2.
निम्नलिखित रेडियन माप के संगत डिग्री माप ज्ञात कीजिए (π = \(\frac{22}{7}\)) का प्रयोग करें :

हल:

प्रश्न 3.
एक पहिया एक मिनट में 360° परिक्रमण करता है तो एक सेकंड में कितने रेडियन माप का कोण बनाएगा?
हल:
1 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 21 रेडियन
∴ 360 परिक्रमण में पहिया द्वारा बना कोण = 360 × 2π रेडियन
∵ 1 मिनट अर्थात् 60 सेकण्ड में 360 × 2π रेडियन का कोण बनता है।
∴ 1 सेकण्ड में पहिया द्वारा बना कोण = \(\frac{360 \times 2 \pi}{60}\)
= 12π रेडियन।

प्रश्न 4.
एक वृत्त जिसकी त्रिज्या 100 सेमी है, 22 सेमी लंबाई की चाप वृत्त के केन्द्र पर कितने डिग्री माप का कोण बनाएगी? (π = \(\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए)
हल:
∵ चाप = त्रिज्या × कोण
जहाँ चाप, l = 22 सेमी
त्रिज्या r = 100 सेमी
22 = 100 × θ

प्रश्न 5.
एक वृत्त जिसका व्यास 40 सेमी. है, की एक जीवा 20 सेमी. लंबाई की है तो इसके संगत छोटे चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल:
व्यास = 40 सेमी
त्रिज्या = 20 सेमी

त्रिभुज OAB एक समबाहु त्रिभुज है
∠AOB = 60°
= \(\frac{60 \times \pi}{180}\) रेडियन
= \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन
मान लीजिए चाप AB = l
केन्द्र O पर चाप द्वारा बना कोण, θ = \(\frac{\pi}{3}\)
चाप AB की लम्बाई,
l = rθ = 20 × \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन
= \(\frac{20 \pi}{3}\) रेडियन।

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्तों के समान लंबाई वाले चाप अपने केन्द्रों पर क्रमशः 60° तथा 75° के कोण बनाते हों, तो उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
माना चाप की लंबाई = l
चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ₁ = 60°
= \(\frac{\pi}{3}\) रेडियन

मान लीजिए इसकी त्रिज्या = r₁
l = r₁θ₁
= r₁ \(\frac{\pi}{3}\)
∴ r₁ = \(\frac{3 l}{\pi}\) …(i)
दूसरे वृत्त के लिए,
माना त्रिज्या = r₂
चाप की लंबाई = l

चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण, θ₂ = 75°

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर

प्रश्न 7.
75 सेमी लम्बाई वाले एक दोलायमान दोलक का एक सिरे से दूसरे सिरे तक दोलन करने से जो कोण बनता है, उसका माप रेडियन में ज्ञात कीजिए, जबकि उसके नोक द्वारा बनाए गए चाप की लम्बाई निम्नलिखित हैं :
(i) 10 सेमी
(ii) 15 सेमी
(iii) 21 सेम
हल:
त्रिज्या = 75 सेमी
(i) चाप की लम्बाई l₁ = 10 सेमी
यदि चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण θ रेडियन हो, तो
l₁ – rθ₁
10 = 75θ₂

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