Bhagya

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.1

प्रश्न 1.
यदि \(\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\) तो तथा ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : \(\left(\frac{x}{3}+1, y-\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)\)
दोनों पक्षों के क्रमित अवयवों की तुलना से,

प्रश्न 2.
यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं तथा समुच्चय B = {3, 4, 5}, तो A × B में अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
समुच्चय A में 3 अवयव है और समुच्चय B में भी 3 अवयव हैं।
∴ A × B में अवयवों की संख्या = 3 × 3= 9.

प्रश्न 3.
यदि G = {7, 8} और H = {5, 4, 2}, तो G × H तथा H × G ज्ञात कीजिए।
हल:
G = {7, 8}, H = {5, 4, 2}
G × H = {7, 8} × {5, 4, 2}
= {(7, 5), (7, 4), (7, 2), (8, 5), (8, 4), (8, 2)}
तथा H × G = {5, 4, 2} × {7, 8}
= {(5, 7), (5, 8), (4, 7), (4, 8), (2, 7), (2, 8)}.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित कथनों में से प्रत्येक सत्य है या असत्य है। यदि कथन असत्य है, तो दिए गए कथन को सही बनाकर लिखिए।
(i) यदि P = {m, n} और Q = {n, m} तो P × Q = {(m, n), (n, m)}.
(ii) यदि A और Bअरिक्त समुच्चय हैं, तो Ax B क्रमित युग्मों (x,y) का एक अरिक्त समुच्यय है इस प्रकार कि x E A तथा y E B.
(iii) यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × (B ∩ ϕ) = ϕ.
हल:
(i) दिया है :
P = {m, n} और Q = {n, m }
∴ P × Q = {m, n} × {n, m}
∴ = {(m, n), (m, m), (n, n), (n, m)}
अतः दिया गया P × Q = {(m, n), (n, m),} कथन असत्य है।
(ii) सत्य है क्योंकि A × B क्रमित युग्म (x, y) का अरिक्त समुच्चय है जिसमें
X ϵ A और Y ϵ B
(iii) सत्य है क्योंकि B ϵ ϕ = ϕ, ∴ A × (B ⊂ ϕ) = A × ϕ = ϕ.

प्रश्न 5.
यदि A = {-1, 1}, तो A × A × A ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A = {(-1, 1)}
∴ A × A = {- 1, 1} × {- 1, 1}
= {(- 1, – 1), (- 1, 1), (1, – 1), (1, 1)}
A × A × A = {- 1, 1} × {(-1, – 1), (- 1, 1), (1, – 1), (1, 1)}
= {(-1, – 1, – 1), (-1, – 1, 1), (- 1, 1, – 1), (-1, 1, 1), (1, – 1, – 1), (1, – 1, 1), (1, 1, -1), (1, 1, 1)}.

प्रश्न 6.
यदि A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)} तो A तथा B ज्ञात कीजिए।
हल:
A × B = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y)}
= {a, b} × {x, y}
अतः A = {a, b}, B = {x, y}.

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6} तथा D = {5, 6, 7, 8} सत्यापित कीजिए कि
(i) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)
(ii) A × C, B × D का एक उपसमुच्चय है।
हल:
दिया है : A = {1, 2}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {5, 6}, D = {5, 6, 7, 8}
(i) बायाँ पक्ष = A × (B ∩ C)
= {1, 2} × ({1, 2, 3, 4} ∩ {5, 6})
= {1, 2} × ϕ = ϕ
दायाँ पक्ष = (A × B) (A × C)
= [{1, 2} × {1, 2, 3, 4}] ∩ [{1, 2} × {5, 6}]
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4)} {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
= ϕ
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
A × C = {1, 2} × {5, 6} = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6)}
B × D = {1, 2, 3, 4} × {5, 6, 7, 8}
= {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
हम पाते हैं कि A × C के सभी अवयव समुच्चय B × D में स्थित हैं।
अतः A × C ⊂ B × D.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A = {1, 2} और B = {3, 4}. A × B लिखिए। A × B के कितने उपसमुच्चय होंगें ? उनकी सूची बनाइए।
हल:
A × B = {1, 2} × {3, 4}
= {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4)}
A × B के उपसमुच्चयों की संख्या = 24 = 16
A × B के उपसमुच्चयों के अवयव = h, {(1, 3)}, {(1, 4)}, {(2, 3)}, {(2, 4)}, {(1, 3), (1, 4)}, {(1, 3), (2, 3)},{(1, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3)}, {(1,4), (2,4)}, {(2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 4)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 4), (2, 3), (2, 4)}, {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2,4)}.

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि A और B दो समुच्चय हैं, जहाँ n (A) = 3 और n (B) = 2. यदि (x, 1), (y, 2), (z, 1), A × B में हैं, तो A और B को ज्ञात कीजिए, जहाँ x, y और z भिन्न-भिन्न अवयव हैं।
हल:
अवयव x, y, z ϵ A अर्थात् A = {x, y, z}
1, 2 ϵ B अर्थात् B = {1, 2}.

प्रश्न 10.
कार्तीय गुणन A × A में 9 अवयव हैं जिनमें (-1, 0) तथा (0, 1) भी हैं। समुच्चय A ज्ञात कीजिए तथा A × A के शेष अवयव भी ज्ञात कीजिए।
हल:
(-1, 0) ϵ A × A ⇒ -1 ϵ A और 0 ϵ A
⇒ -1, 0 ϵ A
और (0, 1) ϵ A ⇒ 0 ϵ A तथा 1 ϵ A
⇒ 0, 1 ϵ A
⇒ – 1, 0, 1 ϵ A
∴ A = {- 1, 0, 1}
∴ A × A = {- 1, 0, 1} × {- 1, 0, 1}
= {(-1, – 1), (-1, 0), (-1, 1), (0, – 1), (0, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0), (1, 1)}
जिसमें (- 1, 0), (0, 1) सम्मिलित है।
अतः A × A के शेष अवयव = (-1, – 1), (- 1, 1), (0, – 1), (0, 0), (1, – 1), (1, 0), (1, 1).

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MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 Introduction to Graphs Ex 15.2

Question 1.
Plot the following points on a graph sheet. Verify if they lie on a line
(a) A(4, 0), B(4, 2), C(4, 6), D(4, 2.5)
(b) P(1, 1), Q(2, 2), R(3, 3), S(4, 4)
(c) K(2, 3), L(5, 3), M(5, 5), N(2, 5).
Solution:
(a) A(4, 0), B(4, 2), C(4, 6), D(4, 2.5)

Yes, above all points lie on the same line,

(b) P(1, 1), Q(2, 2), R(3, 3), S(4, 4).

Yes, above all points lie on the same line.

(c) K(2, 3), L(5, 3), M(5, 5), N(2, 5).

No, above all points do not lie on the same line.

Question 2.
Draw the line passing through (2, 3) and (3, 2). Find the coordinates of the points at which this line meets the x-axis and y-axis.
Solution:
After drawing a graph the line passing through (2, 3) and (3, 2), then the co-ordinates of the points which meets the x-axis and y-axis are at (5, 0) and (0, 5) respectively.

Question 3.
Write the coordinates of the vertices of each of these adjoining figures.

Solution:
After observing a graph we find that O(0, 0), A(2, 0), B(2, 3), C(0, 3), P(4, 3), Q(6,1), R(6, 5), S(4, 7), L(7, 7), M(10, 8), K(10, 5).

Question 4.
State whether True or False. Correct that are false.
(i) A point whose x-coordinate is zero and y-coordinate is non-zero will lie on the y-axis.
(ii) A point whose y-coordinate is zero and x-coordinate is 5 will lie on y-axis.
(iii) The coordinates of the origin are (0, 0).
Solution:
(i) True
(ii) False, because it will lie on x-axis.
(iii) True.

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MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित समुच्चयों में से कौन किसका उपसमुच्चय है, इसका निर्णय कीजिए :
A = {x : x ϵ R तथा x² – 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करने वाली सभी वास्तविक संख्याएं x}, B = {2, 4, 6}, C = {2, 4, 6, 8….}, D = {6}.
हल:
A = {x : x ϵ R, x समीकरण x² – 8x + 12 = 0 को संतुष्ट करता है}
अर्थात् A = {2, 6}
B = {2, 4, 6}
C = {2, 4, 6, 8….}
D = {6}
(i) समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय B में भी हैं।
⇒ A ⊂ B.
(ii) इस प्रकार समुच्चय A के अवयव 2, 6 समुच्चय C में भी है
⇒ A ⊂ C.
(iii) समुच्चय B के अवयव 2, 4, 6 समुच्चय C में हैं।
⇒ B ⊂ C.
(iv) समुच्चय D का अवयव 6, समुच्चय A, B और C तीनों में हैं,
⇒ D ⊂ A, D ⊂ B, D ⊂ C.

प्रश्न 2.
ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन सत्य है या असत्य है। यदि सत्य है, तो उसे सिद्ध कीजिए। यदि असत्य है तो एक उदाहरण दीजिए।
(i) यदिx ϵ A तथा A ϵ B, तो x ϵ B
(ii) यदि A ⊂ B तथा B ϵ C, तो A ϵ C
(iii) यदि A ⊂ B तथा B ⊂ C, तो A ⊂ C
(iv) यदि A ⊄ B तथा B ⊄ C, तो A ⊄ C
(v) यदि x ϵ A तथा A ⊄ B, तो x ϵ B
(vi) यदि A ⊂ B तथा x ∉ B, तो x ∉ A
हल:
(i) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {{1}, 2}
स्पष्ट है कि 1 ϵ A, A ϵ B परंतु 1 ∉ समुच्चय B क्योंकि 1 B में नहीं है। इस प्रकार दिया हुआ कथन सत्य नहीं
(ii) असत्य : मान लीजिए A = {1}, B = {1, 2} और C = {{1, 2}, 3}
समुच्चय A का अवयव समुच्चय B में हैं ∴ A ϵ B
अवयव {1, 2} समुच्चय C में हैं ” B ϵ C
पंरतु A = {1} समुच्चय C में नहीं है।
∴ कथन A ϵ C सत्य नहीं है।
(iii) सत्य : A ⊂ B ⇒ यदि x ϵ A तथा x ϵ B
परंतु B ⊂ C ⇒ यदि x ϵ B तब x ϵ C
∴ यदि x ϵ A तब x ϵ A तब x ϵ C ⇒ A ⊂ C
(iv) असत्य : मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 5}
समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं हैं।
∴ A ⊄ D
समुच्चय B के सभी अवयव 2, 3 समुच्चय C में नहीं हैं।
∴ A ⊂ C
पंरतु समुच्चय A के सभी अवयव 1, 2 समुच्चय C में हैं।
∴ A ⊂ C
इस प्रकार दिया कथन सत्य नहीं है।
(v) समुच्चय A = {1, 2}, B = {2, 3, 4, 5}
समुच्चय A का अवयव 1, 2 समुच्चय B में नहीं है
∴ A ⊄ B
समुच्चय A का अवयव 1 समुच्चय B में नहीं हैं
∴ x ⊄ B
इस प्रकार दिया गया कथन सत्य नहीं है।
(vi) सत्य : A ⊂ B = यदि x ϵ A तब x ϵ B यदि x ∉ B तथा x ∉ A
इस प्रकार कथन A ⊂ B, x ∉ B तब x ∉A सत्य हैं।

प्रश्न 3.
मान लीजिए A, B और C ऐसे समुच्चय हैं कि A ∪ B = A ∪ C तथा A ∩ B = A ∩ C, तो दर्शाइए कि B = C.
हल:
दिया है : A ∪ B = A ∪ C
⇒ (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ C) ∩ C
= C
⇒ [(A ∩ C) ∩ (B ∩ C) = C
⇒ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = C (i) [A ∩ C= A ∩ B = दिया है]
और A ∪ B = A ∪ C
(A ∪ B) ∩ B = (A ∪ C) ∩ B
B = (A ∪ C) ∩ B
= (A ∩ B) (C ∩ B)
(A ∩ B) ∪ (B ∩ C) = B ….(ii)
(i) और (ii) से B = C प्राप्त होता है।

प्रश्न 4.
दिखाइए कि निम्नलिखित चार प्रतिबन्ध तुल्य हैं :
(i) A ⊂ B
(ii) A – B = ϕ
(iii) A ∪ B = B
(iv) A ∩ B = A
हल:
(i) A ⊂ B अर्थात् समुच्चय A के सभी अवयव B में हैं
⇒ A – B = ϕ अर्थात (i) ⇔ (ii)
(ii) A – B = ϕ ⇔ समुच्चय A के सभी अवयव B में हैं
⇔ A ∪ B = B
अर्थात (ii) ⇔ (iii)
(iii) A ∪ B = B ⇔ समुच्चय A के सभी अवयव B में है
समुच्चय A और B मे समुच्चय A के अवयव उभयनिष्ठ है
∴ A ∩ B = A
इससे स्पष्ट है सभी कथन समान हैं।

प्रश्न 5.
दिखाइए कि यदि A ⊂ B तो C – B ⊂ C – A.
हल:
मान लीजिए x ϵ C – B = x ϵ C पंरतु x ∉ B
दिया है : A ⊂ B ⇒ यदि x ∉ B ⇒ x ∉ A
अर्थात x ϵ C और x ∉ A ⇒ x ϵ C – A
यहाँ हम पाते हैं कि
यदि x ϵ C – B तब x ϵ C – A
⇒ C – B ⊂ C – A.

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि P(A) = P(B), सिद्ध कीजिए कि A = B.
हल:
मान लीजिए x, समुच्चय A का कोई अवयव है। तब एक उपसमुच्चय X (मान लो) ऐसा होगा जिसमे x ϵ A जिसके अनुसार
∴ X ⊂ A X ϵ P(A)
⇒ X ϵ P(B) [∴ P(A) = P(B)]
∴ X ⊂ B या x ϵ B
अर्थात यदि x ϵ A तब x ϵ B D A ⊂ B
∵ y समुच्चय B का कोई अवयव हो, तब
समुच्चय B का कोई उपसमुच्चय Y (मान लो) होगा जिससे y ϵ Y
तब Y ⊂ B = Y ϵ P(B)
⇒ Y ϵ P(A) [∵ P(A) = P(B)]
⇒ Y ⊂ A
⇒ यदि y ϵ B तब Y ϵ A
⇒ B ⊂ A …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से, हम पाते हैं

प्रश्न 7.
किन्हीं भी समुच्चयों A तथा B के लिए क्या यह सत्य है कि P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) ? अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
मान लीजिए
A = {a}, B = {b}, और A ∪ B = {a, b}
P(A) = {ϕ, {a}}, P(B) = {ϕ, {b}}
P(A) ∪ P(B) = {ϕ, {a}, {b}} …(i)
अब A ∪ B = {a, b}
∴ P(A ∪ B) = {ϕ, {a}, {b}, {a, b}} …(ii)
समी (i) और (ii) से हम देखते हैं कि
अतः P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B).

प्रश्न 8.
किन्हीं दो समुच्चयों A तथा B के लिए सिद्ध कीजिए कि
A = (A ∩ B) ∪ (A – B) और A ∪ (B – A) = A ∪ B.
हल:
(i) दायाँ पक्ष = (A ∩ B) ∪ (A – B)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) [∴ A – B = A ∩ B’]
= (A ∩ (B ∪ B’) (वितरण गुण से)
= A ∩ U (यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय)
= A .
अतः (A ∩ B) (A – B) = A.
बायाँ पक्ष = A ∪ (B – A)
= A ∪ (B ∩ A’) [∴ B – A = B ∩ A’]
= (A ∪ B) ∩ (A ∪ A) (वितरण गुण से)
= (A ∪ B) ∩ U [यहाँ U सार्वत्रिक समुच्चय]
= A ∪ B
अतः A ∪ (B – A) = A ∪ B.

प्रश्न 9.
समुच्चयों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि
(i) A ∪ (A ∩ B) = A
(ii) A ∩ (A ∪ B) = A.
हल:
(i) बायाँ पक्ष = A ∪ (A ∩ B)
= (A ∪ A) (A ∪ B) (वितरण गुण से)
= A ∩ (A ∪ B) (∴ A ∪ A = A)
= A [∴ A ⊂ A ∪ B]
∴ A ∪ (A ∩ B) = A.

(ii) बायाँ पक्ष = A ∩ (A ∪ B)
= (A ∩ A) ∪ (A ∩ B) [वितरण गुण से]
= A ∪ (A ∩ B) [∴ A ∩ A = A]
= A [∴ A ∩ B ⊂ A]
अतः A ∩ (A ∪ B) = A.

प्रश्न 10.
दिखलाइए कि A ∩ B = A ∩ C का तात्पर्य B = C आवश्यक रूप से नहीं होता।
हल:
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {1, 7} तथा C = {1, 4} हो, तब
A ∩ B = {1, 2} ∩ {1, 7} = {1}
A ∩ C = {1, 2} ∩ {1, 4} = {1}
⇒ A ∩ B = A ∩ C
परंतु B ≠ C
⇒ यदि A ∩ B = A ∩ C तो आवश्यक नहीं है कि B = C.

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि A और B समुच्चय हैं। यदि किसी समुच्चय x के लिए A ∪ X = B ∪ X = ϕ तथा A ∪ X = B ∪ X तो सिद्ध कीजिए कि A = B.
हल:
दिया है A ∪ X = B ∪ X, जब कि X कोई समुच्चय है।
⇒ A ∩ (A ∪ X) = A ∩ (B ∪ X) [A ⊂ A ∪ X, ∴ A ∩ (A ∪ X) = A]
⇒ A = A ∩ (B ⊂ X)
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ A) [वितरण गुण से]
= (A∩ B) U ϕ (∴ दिया है, A ∩ x = ϕ)
= A ∩ B
⇒ A ⊂ B …(i)
पुनः A ∪ X = B ∪ X
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B ∩ (B ∪ X)
⇒ B ∩ (A ∪ X) = B [∴ B ⊂ B ∪ X]
⇒ (B ∩ A) ∪ (B ∩ X) = B [वितरण गुण से]
⇒ (B ∩ A) ∪ ϕ = B [दिया है: B ∩ X = ϕ]
⇒ (B ∩ A) = B
⇒ B ⊂ A …..(ii)
समी. (i) और (ii) से, हम पाते हैं कि A = B.

प्रश्न 12.
ऐसे समुच्चय A, B और C ज्ञात कीजिए ताकि A ∩ B, B ∩ C तथा A ∩ C आरिक्त समुच्चय हों और A ∩ B ∩ C = ϕ.
हल:
मान लीजिए A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3}
A ∩ B = {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}
B ∩ C = {2, 3} ∩ {1, 3} = {3}
C ∩ A = {1, 3} ∩ {1, 2} = {1}
अतः A ∩ B, B ∩ C, C ∩ A रिक्त समुच्चय नहीं हैं।
A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C
= {2} ∩ {1, 3} = ϕ.

प्रश्न 13.
किसी विद्यालय के 600 विद्यार्थियों के सर्वेक्षण से ज्ञात हुआ कि 150 विद्यार्थी चाय, 225 विद्यार्थी कॉफी तथा 100 विद्यार्थी चाय और कॉफी दोनों पीते हैं। ज्ञात कीजिए कि कितने विद्यार्थी न तो चाय पीते हैं और न कॉफी पीते हैं।
हल:
मान लीजिए T और C चाय तथा कॉफी पीने वाले विद्यार्थियों के समुच्चय हों, तब
n(T) = 150, n(C) = 225, n(T ∩ C) = 100
n(T ∪ C) = n(T) + n(C) – n(T ∩ C)
= 150 + 225 – 100
= 275
= उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी पीते हैं या चाय और कॉफी दोनों पीते हैं।
विद्यार्थियों की कुल संख्या = 600
∴ उन विद्यार्थियों की संख्या जो चाय या कॉफी कुछ भी नहीं पीते
= 600 – 275 = 325.

प्रश्न 14.
विद्यार्थियों के समूह में, 100 विद्यार्थी हिन्दी, 50 विद्यार्थी अंग्रेजी तथा 25 विद्यार्थी दोनों भाषाओं को जानते हैं। विद्यार्थियों में से प्रत्येक या तो हिन्दी या अंग्रेजी जानता है। समूह में कुल कितने विद्यार्थी हैं?
हल:
पाना H तथा E क्रमशः हिन्दी और अंग्रेजी जानने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 100, n(E) = 50, n(H ∩ E) = 25
∴ n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
= 100 + 50 – 25
=125
उन विद्यार्थियों की संख्या जो हिन्दी या अंग्रेजी जानते हैं = 125.

प्रश्न 15.
60 लोगों के सर्वेक्षण में पाया गया कि 25 लोग समाचार पत्र H, 26 लोग समाचार पत्र T, 26 लोग समाचार पत्र I, 9 लोग H तथा I दोनों, 11 लोग H तथा T दोनों, 8 लोग T तथा । दोनों और 3 लोग तीनों ही समाचार पत्र पढ़ते हैं, तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए :
(i) कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
(ii) ठीक ठीक केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या।
हल:
कुल लोगों की संख्या जिनका सर्वेक्षण किया गया = 60
H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H) = 25
T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T) = 26
समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (I) = 26

H और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ I) = 9
H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T) = 11
T और I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (T ∩ I) = 8
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या, n (H ∩ T ∩ I) = 3
H और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा T समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 9 – 3 = 6
H और T समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा I समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 11 – 3 = 8
T और I समाचार पत्र पढ़ने वाले तथा H समाचार पत्र न पढ़ने वालों की संख्या = 8 – 3 = 5
केवल H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 25 – 8 – 6 – 3 = 8
केवल T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 26 – 8 – 3 – 5 = 10
केवल I समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 26 – 6 – 3 – 5 = 12
कम से कम एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
= केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + केवल दो समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या + तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या
= (8 + 10 + 12) + (8 + 6 + 5) + 3 = 30 + 19 + 3
= 52
वैकल्पिक विधि :
n(H ∪ T ∪ I) = n(H) + n(T) + n(I) – n(H ∩ T) = n(T ∩ I)- n(H ∩ I) + n(H ∩ T ∩ I)
= 25 + 26 + 26 – 11 – 8 – 9 + 3
= 77 – 28 + 3 = 80 – 28 = 52
(ii) केवल H और T समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 11 – 3 = 8
केवल T औरI समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 8 – 3 = 5
केवल I और H समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 9 – 3 = 6
तीनों समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 3
केवल एक समाचार पत्र पढ़ने वालों की संख्या = 52 – (8 + 5 + 6 + 3)
= 52 – 22 = 30.

प्रश्न 16.
एक सर्वेक्षण में पाया गया कि 21 लोग उत्पाद A,26 लोग उत्पाद B, 29 लोग उत्पाद पसंद करते हैं। यदि 14 लोग उत्पाद A तथा B, 12 लोग उत्पाद C तथा A, 14 लोग उत्पाद B तथा C और 8 लोग तीनों ही उत्पादों को पसंद करते हैं ज्ञात कीजिए कि कितने लोग केवल उत्पाद C को पसंद करते हैं?
हल:
दिया है n(A) = 21, n(B) = 26
और n(C) = 29
n(A ∩ B) = 14, n(A ∩ C) = 12
n(B ∩ C) = 14, n(A ∩ B ∩ C) = 8
अब n(A ∪ C) = 12, n(A ∩ B ∩ C) = 8

∴ n(केवल A और C) = 12 – 8 = 4
∴ n(केवल B और C) = 14 – 8 = 6
∴ (केवल C) = n(C) – n (केवल A और C) – n (केवल B और C) – n(A ∩ B ∩ C)
= 29 – 4 – 6 – 8 = 29 – 18 = 11.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 8th Maths Solutions Chapter 15 Introduction to Graphs Ex 15.1

Question 1.
The following graph shows the temperature of a patient in a hospital, recorded every hour.

(a) What was the patient’s temperature at 1 p.m.?
(b) When was the patient’s temperature 38.5° C?
(c) The patient’s temperature was the same two times during the period given. What were these two times ?
(d) What was the temperature at 1.30 p.m. ? How did you arrive at your answer?
(e) During which periods did the patient’s temperature showed an upward trend?
Solution:
(a) At 1 p.m. patient’s temperature was 36.5°C.
(b) At 12 noon the patient’s temperature was 38.5°C.
(c) The patient’s temperature was 36.5°C at 1 p.m. and 2 p.m.
(d) The patient’s temperature was 36.5°C at 1.30 p.m. (because the temperature of the patient was constant from 1 p.m. to 2 p.m.). The point between 1 p.m. and 2 p.m. on the x-axis and equidistant from them will represent 1 : 30 p.m. Similarly, the point on the y-axis, between 36°C and 37°C and equidistant from them will represent 36.5° C.
(e) 9 a.m. to 10 a.m., 10 a.m. to 11 a.m. and 2 p.m. to 3 p.m.

Question 2.
The following line graph shows the yearly sales figures for a manufacturing company.
(a) What were the sales in
(i) 2002
(ii) 2006?
(b) What were the sales in
(i) 2003
(ii) 2005?
(c) Compute the difference between the sales in 2002 and 2006.
(d) In which year was there the greatest difference between the sales as compared to its previous year?

Solution:
(a) (i) In 2002 company’s sales were ₹ 4 crores.
(ii) In 2006 company’s sales were ₹ 8 crores.

(b) (i) The sales of a manufacturing company in 2003 were ₹ 7 crores.
(ii) The sales of a manufacturing company in 2005 were ₹ 10 crores.

(c) The difference between the sales in 2002 and 2006.
= Sales in 2006 – Sales in 2002
= ₹ 8 crores – ₹ 4 crores = ₹ 4 crores.

(d) In year 2005, the difference between the sales was greatest as compared to its previous year.

Question 3.
For an experiment in Botany, two different plants, plant A and plant B were grown under similar laboratory conditions. Their heights were measured at the end of each week for 3 weeks. The results are shown by the following graph.

(a) How high was Plant A after
(i) 2 weeks,
(ii) 3 weeks?
(b) How high was Plant B after
(i) 2 weeks,
(ii) 3 weeks?
(c) How much did Plant A grow during the 3rd week?
(d) How much did Plant B grow from the end of the 2nd week to the end of the 3rd week?
(e) During which week did Plant A grow most?
(f) During which week did Plant B grow least?
(g) Were the two plants of the same height during any week shown here? Specify.
Solution:
(a) (i) After 2 weeks the height of plant A was 7 cm.
(ii) After 3 weeks the height of plant A was 9 cm.

(b) (i) After 2 weeks the height of plant B was 7 cm.
(ii) After 3 weeks the height of plant B was 10 cm.
(c) During the 3rd week plant A grew (9 – 7) cm = 2 cm.
(d) The plant B grew from the end of 2nd week to the end of 3rd week
= 10 cm – 7 cm = 3 cm
(e) The plant A grew most during second week.
(f) The plant B grew least during first week.
(g) Yes, at the end of second week.

Question 4.
The following graph shows the temperature forecast and the actual temperature for each day of a week.
(a) On which days was the forecast temperature the same as the actual temperature?
(b) What was the maximum forecast temperature during the week?
(c) What was the minimum actual temperature during the week?
(d) On which day did the actual temperature differ the most from the forecast temperature?

Solution:
(a) The forecast temperature is the same as actual temperature on : Tuesday, Friday and Sunday.
(b) The maximum forecast temperature during the week was 35°C.
(c) The minimum actual temperature during the week was 15°C.
(d) On Thursday, the actual temperature differed the most from the forecast temperature.

Question 5.
Use the tables below to draw linear graphs.
(a) The number of days a hill side city received snow in different years

(b) Population (in thousands) of men and women in a village in different years.

Solution:
(a) By using a given information we draw a line graph, where the horizontal line i.e. x-axis shows the year and the vertical line i.e. y-axis shows the number of days.

(b) The horizontal line i.e. x-axis shows the year and the vertical line i.e. y-axis shows the number of men and number of women.

Question 6.
A courier-person cycles from a town to a neighbouring suburban area to deliver a parcel to a merchant. His distance from the town at different times is shown by the following graph.
(a) What is the scale taken for the time axis?
(b) How much time did the person take for the travel?
(c) How far is the place of the merchant from the town?
(d) Did the person stop on his way? Explain.
(e) During which period did he ride fastest?

Solution:
(a) 4 units = 1 hour is the scale taken for the time axis.
(b) Time taken by a person for the travel = (1 +1 + 1+ \(\frac{1}{2}\)) hours = 3\(\frac{1}{2}\) hours.
(c) The place of the merchant from the town is at a distance of 22 km.
(d) Yes, this is indicated by the horizontal part of the graph from 10 a.m. -10.30 a.m. where the stability of a distance has been shown.
(e) Between 8.00 a.m. – 9.00 a.m. he rode the fastest.

Question 7.
Can there be a time-temperature graph as follows? Justify your answer.


Solution:
Figure (i) shows temperature is increasing over time.
Figure (ii) shows temperature is decreasing over time.
Figure (iii) is not a possible time – temperature graph. because, at the same time, temperature can’t be different.
Figure (iv) shows temperature is constant over time

MP Board Class 8th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.6

प्रश्न 1.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि n(X) = 17, n(Y) = 23 तथा n(X ∪ Y) = 38, तो n(X ∩ Y) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: (A) = 17, n (Y) = 23
और n (X ∪ Y) = 38
∴ n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n(X ∩ Y)
38 = 17 + 23 – n(X ∩ Y)
= 40 – n (X ∩ Y)
n(X ∩ Y) = 40 – 38 = 2.

प्रश्न 2.
यदि X और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि X ∪ Yमें 18, X में 8 और Y में 15 अवयव हों तो X ∩ Y में कितने अवयव होंगे?
हल:
n(X) = 8, n(Y) = 15 और n(X ∪ Y) = 18
हम जानते हैं कि,
n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
18 = 8 + 15 – n(X ∩ Y)
= 23 – n(X ∩ Y )
या n(X ∩ Y) = 23 – 18 = 5.

प्रश्न 3.
400 व्यक्तियों के समूह में, 250 हिन्दी तथा 200 अंग्रेजी बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति हिन्दी तथा अंग्रेजी दोनों बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए कि H और E क्रमशः हिन्दी व अंग्रेजी बोलने वालों के समुच्चय हों, तब
n(H) = 250, n(E) = 200
और n(H ∪ E) = 400
अब n(H ∪ E) = n(H) + n(E) – n(H ∩ E)
∴ 400 = 250 + 200 – n(H ∩ E)
= 450 – n(H ∩ E)
∴ n (H ∩ E) = 450 – 400 = 50.

प्रश्न 4.
यदि S और T दो ऐसे समुच्चय हैं कि 5 में 21, T में 32 और S ∩ T में 11 अवयव हों तो S ∪ T में कितने अवयव होंगे?
हल:
यहाँ n(S) = 21, n (T) = 32, n(S ∩ T) = 11
n(S ∪ T) = n(S) + n(T) – n(S ∩ T)
= 21 + 32 – 11 = 53 – 11
= 42.

प्रश्न 5.
यदि और Y दो ऐसे समुच्चय हैं कि x में 40, X ∩ Y में 60 और X ∪ Y में 10 अवयव हों, तो Y में कितने अवयव होंगें?
हल:
n(X) = 40, n(X ∪ Y) = 60, n(X ∩ Y) = 10, n(Y) = ?
अब n(X ∪ Y) = n(X) + n(Y) – n (X ∩ Y)
60 = 40 + n (Y) – 10
n(Y) = 60 – 40 + 10 = 30.

प्रश्न 6.
70 व्यक्तियों के समूह में 37 कॉफी, 52 चाय पसंद करते हैं और प्रत्येक व्यक्ति दोनों मे से कम से कम एक पेय पसंद करता है, तो कितने व्यक्ति कॉफी और चाय दोनों पसंद करते हैं ?
हल:
मान लिया C, कॉफी पीने वाले लोगों के समुच्चय को और T, चाय पीने वाले लोगों के समुच्चय हों, तब
n(C ∪ T) = 70, n(C) = 37, n(T) = 52
n(C ∩ T) = n (C) + n(T) – n(C ∩ T)
70 = 37 + 52 – n(C ∩ T)
∴ n(C ∩ T) = 37 + 52 – 70
= 89 – 70 = 19.

प्रश्न 7.
65 व्यक्तियों के समूह में, 40 व्यक्ति क्रिकेट और 10 व्यक्ति क्रिकेट तथा टेनिस दोनों को पंसद करते हैं, तो कितने व्यक्ति केवल टेनिस को पंसद करते हैं किंतु क्रिकेट को नहीं? कितने व्यक्ति टेनिस को पंसद करते हैं?,
हल:
मान लीजिए C, क्रिकेट पंसद करने वाले लोगों का समुच्चय है और T टेनिस पंसद करने वालों का समुच्चय हो, तब
n(C ∪ T) = 65, n(C) = 40, n(C ∩ T) = 10
हम जानते हैं कि n(C ∪ T) = n(C) + n(T) – n(C ∩ T)
65 = 40 + n(T) – 10
= 30 + n(T)
n(T) = 65 – 30 = 35
केवल टेनिस पंसद करने वालो की संख्या = n(T) – n(C ∩ T)
= 35 – 10 = 25.
इस प्रकार टेनिस पंसद करने वालों की संख्या जो क्रिकेट पंसद नहीं करते = 25
अतः टेनिस पंसद करने वाले लोगों की संख्या = 35.

प्रश्न 8.
एक कमेटी में, 50 व्यक्ति फ्रैंच 20 व्यक्ति स्पेनिश और 10 व्यक्ति स्पेनिश और फ्रैंच दोनों ही . भाषाओं को बोल सकते हैं। कितने व्यक्ति इन दोनों ही भाषाओं में से कम से कम एक भाषा बोल सकते हैं?
हल:
मान लीजिए फ्रांसीसी बोलने वाले लोगों के समुच्चय को F से तथा स्पैनिश बोलने वाले लोगों के समुच्चय का S से निरुपित किया हो, तब
n(F) = 50, n(S) = 20, n(F ∩ S) = 10
अब n(F ∪ S) = n(F) + n (S) – n (F ∩ S)
= 50 + 20 – 10 = 60
कम से कम एक भाषा बोलने वाले लोगों की संख्या = 60

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 1 समुच्चय Ex 1.5

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8, और C = {3, 4, 5, 6} तो निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) A’
(ii) B’
(ii) (A ∪ C)
(iv) (A ∪ B)’
(v) (A’)’
(vi) (B – C)’
हल:
(i) A’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9}.
(ii) B’ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8}
= {1, 3, 5, 7, 9}.
(iii) A ∪ C = {1, 2, 3, 4} ∪ {3, 4, 5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
(A ∪ C) = U – (A ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {7, 8, 9}.
(vi) A ∪ B = {1, 2, 3, 4} ∪ {2, 4, 6, 8}
= {1, 2, 3, 4, 6, 8}.
(A ∪ B) = U – (A ∪ B)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4, 6, 8}
= {5, 7, 9}.
(v) (A)’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {1, 2, 3, 4}
= {5, 6, 7, 8, 9}
(A’) = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {5, 6, 7, 8, 9}
= {1, 2, 3, 4}.
(vi) B – C = {2, 4, 6, 8} – {3, 4, 5, 6} = {2, 8}
(B – C) = U – (B – C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 8}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

प्रश्न 2.
यदि U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, तो निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक ज्ञात कीजिए:
(i) A = {a, b, c}
(ii) B = {d, e, f, g}
(iii) C = {a, c, e, g}
(iv) D = {f, g, h, a}
हल:
(i) A’ = U – A
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, b, c}
= {d, e, f, g, h}.
(ii) B’ = U – B = {a, b, c, d, e, f, g, h} – {d, e, f, g}
= {a, b, c, h}
(iii) C = U – C
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {a, c, e, g} = {b, d, f, h}
(iv) D’ =U – D
= {a, b, c, d, e, f, g, h} – {f, g, h, a} = {b, c, d, e}

प्रश्न 3.
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को सार्वत्रिक समुच्चय मानते हुए, निम्नलिखित समुच्चयों के पूरक लिखिए :
(i) {x : x एक प्राकृत सम संख्या है।
(ii) {x : x एक प्राकृत विषम संख्या है?
(iii) {x : x संख्या 3 का एक धन गुणज है
(iv) {x : x एक अभाज्य संख्या है?
(v) {x : x, 3 और 5 से विभाजित होने वाली एक संख्या है?
(vi) {x : x एक पूर्ण वर्ग संख्या है?
(vii) {x : x एक पूर्ण घन संख्या है?
(viii){x : x + 5 = 8}
(ix) {x : 2x + 5 = 9}
(x) {x : x ≥ 7}
(vi) {x : x ϵ N और 2x + 1 > 10}
हल:
(i) {x : x एक विषम प्राकृत संख्या है}
(ii) {x : x एक सम संख्या है?
(iii) {x : x ϵ N और x संख्या 3 का धन गुणज नहीं है।
(iv) {x : x = 1 और x एक धन भाज्य संख्या है?
(v) {x : x ϵ N और x, संख्या 3 व 5 किसी से भी विभाजित नहीं होती}
(vi) {x : x ϵ N तथा x एक पूण वर्ग संख्या नहीं है}
(vii) {x : x ϵ N तथा x एक पूर्ण वर्ग घन संख्या नहीं है}
(viii) {x : x ϵ N तथा x ≠ 3}
(ix) {x : x ϵ N तथा x ≠ 2}
(x) {x : x ϵ N तथा x < 7}
(xi) {x : x ϵ N तथा x < \(\frac{9}{2}\)}

प्रश्न 4.
यदि U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {2, 4, 6, 8} और B = {2, 3, 5, 7}, तो सत्यापित कीजिए कि:
(i) (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
(i) (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
हल:
(i) A ∪ B = {2, 4, 6, 8} ∪ {2, 3, 5, 7}
= {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
बायाँ पक्ष = (A ∪ B)’ = U – (A ∪ B)
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
= {1, 9}
A’ = U – A
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 4, 6, 8}
= {1, 3, 5, 7, 9}.
B’ = U – B
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2, 3, 5, 7}
= {1, 4, 6, 8, 9}
दायाँ पक्ष = A’ ∩ B’
= {1, 3, 5, 7, 9} ∩ {1, 4, 6, 8, 9} = {1, 9}
अतः (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’.
(ii) बायाँ पक्ष = (A ∩ B)’
(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8} ∩ {2, 3, 5, 7} = {2}
(A ∩B)’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – {2}
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
दायाँ .पक्ष : A’ ∪ B’ = {1, 3, 5, 7,9} ∪ {1, 4, 6, 8, 9} [(i) और (ii)]
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
अतः (A ∩ B)’ = A’ ∪ B.

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए उपयुक्त वेन आरेख खींचिए :
(i) (A ∪ B)’
(ii) A’ ∩ B’
(iii) (A ∩ B)’
(iv) (A’ ∪ B’)
हल:
छायांकित क्षेत्र को निम्नलिखित समुच्चयों द्वारा दर्शाते हैं :

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि किसी समतल में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय सार्वत्रिक समुच्चय U है। यदि A उन सभी त्रिभुजों का समुच्चय हैं जिनमें कम से कम एक कोण 60° से भिन्न है, तो A’ क्या है?
हल:
U = {x : x समतल में एक त्रिभुज है}
A = {x : x एक त्रिभुज जिसका कम से कम एक कोण 60° का न हो}
A’ = {सभी समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय है।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित कथनों को सत्य बनाने के लिए रिक्त स्थान भरिए :
(i) A ∪ A’ = ……………
(ii) ϕ’ ∩ A = ……………..
(iii) A ∩ A’ = ………….
(iv) U’ ∩ A = …………
हल:
(i) A ∪ A’ = U
(ii) ϕ’ ∩ A = U ∩ A = A
(iii) A ∩ A’ = ϕ
(iv) U’ ∩ A = ϕ ∩ A = ϕ

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.

दर्शाइए कि क्यों है एक फलन है और g फलन नहीं है।
हल:
(i) दिए गए अंतराल 0 ≤ x ≤ 3 में, f(x) = x² जो कि पूर्णतया परिभाषित है। इस प्रकार अन्तराल 3 ≤ x ≤ 10 में f(x) = 3x भी पूर्णतया परिभाषित है। x = 3, हो, तब x² = 9, और 3x = 9.
अत f(3) = 9
इस प्रकार f एक फलन है।
(ii) अंतराल 0 ≤ x ≤ 2 में g(x) = x² जो कि पूर्णतया परिभाषित है।
अंतराल 2 ≤ x ≤ 10 में g(x) = 3x पूर्णतया परिभाषित है।
x = 2 पर x² = 4 और 3x = 6
x = 2 पर g(x) के दो मान हैं।
अतः संबंध g एक फलन नहीं है।

प्रश्न 2.
यदि f(x) = x² तो \(\frac{f(1.1)-f(1)}{1.1-1}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x²
∴ f(1.1) = (1.1)² = 1.21, और f(1) = 1² = 1

प्रश्न 3.
फलन f(x) = \(\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}-8 x+12}\) का प्रान्त ज्ञात कीजिए।
हल:

x = 2 और x = 6 पर परिभाषित नहीं है।
अतः फलन का प्रान्त संख्याओं 6 और 2 को छोड़कर शेष वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

प्रश्न 4.
f(x) = \(\sqrt{x-1}\) द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = \(\sqrt{x-1}\)
यदि x – 1 < 0 या x < 1, फलन परिभाषित नहीं है।
फलन का प्रांत = {x : x ϵ R, x ≥ 1) = [1, ∞)
(ii) मान लीजिए y = \(\sqrt{x-1}\) या y² = x – 1 या x = 1 + y²
अतः फलन का परिसर = {y : y ϵ R, Y ≥ 0} = [0, ∞).

प्रश्न 5.
f(x) = |x – 1| द्वारा परिभाषित वास्तविक फलन का प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = |x – 1|
x के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए फलन परिभाषित है
f का प्रांत = R
f(x) = |x – 1|, f का मान जब x ϵ R, एक धनात्मक संख्या है।
अतः f का परिसर = ऋणेत्तर वास्तविक संख्याएँ।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि f = \(\left\{\left(x, \frac{x^{2}}{1+x^{2}}\right) : x \in R\right\}\) R से R में एक फलन है।। f का परिसर निर्धारित कीजिए।
हल:
माना f(x) = \(\frac{x^{2}}{1+x^{2}}\) या y + yx² = x² या x² – x²y = y या x² (1 – y) = y तब x² = \(\frac{y}{1-y}\)
⇒ y ≠ 1
x की सभी वास्तविक मूल्यों के लिए y ≥ 0
f का अंश हर से सदैव कम है, y ≤ 1
∴ f का परिसर = कोई भी धन वास्तविक संख्या इस प्रकार कि 0 ≤ x ≤ 1.

प्रश्न 7.
मान लीजिए कि f, g : R → R क्रमशः f(x) = x + 1, g(x) = 2x – 3 द्वारा परिभाषित है। f + g, f – g और \(\frac{f}{g}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = x + 1, g(x) = 2x -3
(f + g) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x – 3 = 3x – 2.
(f – g) (x) = f(x) – g(x) = (x + 1) – (2x – 3) = x + 1 – 2x + 3 = – x + 4.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि f = {(1, 1), (2, 3), (0, -1), (-1, -3)} Z से Z में, f(x) = ax + b, द्वारा परिभाषित एक फलन है, जहाँ a, b कोई पूर्णांक हैं। a, b को निर्धारित कीजिए।
हल:
दिया है : f = {(1, 1). (2, 3), (0, -1), (- 1, -3)}
और f(x) = ax + b …(A)
जब x = 1, y = 1, हो तब a + b = 1 …(i)
और जब x = 2, y = 3, 2a + b = 3 …(ii)
समीकरण (i) और (ii) से,
a = 2, b = -1
a तथा b के इन मानों को समीकरण (A) में रखने पर,
f(x) = 2x – 1
जब x = 0, f(x) = -1
और जब x = – 1, f(x) = – 3
अतः f(x) = 2x – 1
तथा a = 2, b = – 1.

प्रश्न 9.
R = {(a, b) : a, b ϵ N तथा a = b²} द्वारा परिभाषित N से N में, एक संबंध R है। क्या निम्नलिखित कथन सत्य है।
(i) {a, a} ϵ R सभी a ϵ N
(ii) (a, b) ϵ R का तात्पर्य है कि (b, a) ϵ R
(ii) (a, b) ϵ R, (b, c) ϵ R का तात्पर्य है कि (a, c) ϵ R? प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
(i) a = a यह सत्य है जब a = 0. 0 ∉ N,
अत: यह एक संबंध नहीं है।
(ii) a = b², और b = a², यह a, b ϵ N, a, b के सभी मूल्यों के लिए सत्य नहीं है। अत: यह एक संबंध नहीं है।
(iii) जब a = b², b = c² तब a ≠ c²
∴ यह संबंध नहीं है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 5, 9, 11, 15, 16} और f= {(1, 5), (2, 9), (3, 1), (4, 5), (2, 11)}, क्या निम्नलिखित कथन सत्य है ?
(i) f, A से B में एक संबंध है।
(ii) f, A से B में एक फलन है। प्रत्येक दशा में अपने उत्तर का औचित्य बताइए।
हल:
(i) दिया है: A = {1, 2, 3, 4} तथा B = {1, 5, 9, 11, 15, 16}
∴ A × B = {(1, 1), (1, 5), (1, 9), (1, 11), (1, 15), (1, 16), (2, 1), (2, 5), (2, 9), (2, 11), (2, 15), (2, 16), (3, 1), (3, 5), (3, 9), (3, 11), (3, 15), (3,16), (4, 1), (4, 5), (4, 9), (4, 11), (4, 15), (4, 16)}
अवयव , A × B का उपसमुच्चय है।
अतः यह एक संबंध है।
(ii) f में (2, 9) और (2, 11) अवयव प्रथम घटक दोनों युग्मों में 2 है।
∴ यह फलन नहीं है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि f, f= {{ab, a + b); a, b ϵ Z द्वारा परिभाषित Z × Z का एक उपसमुच्चय है। क्या f, Z से Z में एक फलन है ? अपने उत्तर का औचित्य भी स्पष्ट कीजिए।
हल:
मान लीजिए a = 0, b = 1 हो, तब
ab = 0 और a + b = 0 + 1 = 1
पुनः माना a = 0, b = 2 हो, तब
ab = 0, a + b = 2
अवयव 0 के दो प्रतिबिंब 1 और 2 हैं।
अतः f एक फलन नहीं है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि A= {9, 10, 11, 12, 13} तथा f : A → N ,f(n) = n का महत्तम अभाज्य गुणक द्वारा परिभाषित है। का परिसर ज्ञात करो।
हल:
यदि n = 9 = 3 × 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 10 = 2 × 5 तो 5 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 11 = 1 × 11 तो 11 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 12 = 2² × 3 तो 3 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
n = 13 = 1 × 13 तो 13 इन गुणनखंडों में सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है।
अतः f का परिसर = {3, 5, 11, 13}.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 11 प्रायिकता Ex 11.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब का दिक् कोसाइन और मूल बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए-
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2x + 3y – 2 = 5
(d) 5y + 8 = 0
हल:
माना दिये गये समतल का कार्तीय समीकरण ax + by + cz =d तथा अभिलम्ब के दिक् अनुपात a, b, c हैं।
तब मूल बिन्दु से लम्बवत् दूरी = \(\left|\frac{d}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|\)
(a) समतल का समी० z = 2
∴ दिक् कोसाइन 0, 0, 1 हैं।
(b) समतल x + 1 + z = 1
दिक अनुपात 1, 1, 1 हैं।
तब दिक् कोसाइन

प्रश्न 2.
उस समतल का सदिश समी० ज्ञात कीजिए जो मूल बिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है और सदिश \(3 \hat{\mathbf{i}}+5 \hat{\mathbf{j}}-6 \hat{\mathbf{k}}\) पर अभिलम्ब है।
हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समी० ज्ञात कीजिए–

हल:

प्रश्न 4.
निम्न स्थितियों में, मूल बिन्दु से खींचे गए लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए–
(a) 2x + 3y + 4z – 12 = 0
(b) 3y + 4z – 6 = 0
(c) x + y + z = 1
(d) 5y + 8 = 0
हल:
(a) समतल का समीकरण
2x + 3y + 4z – 12 = 0 ……(i)

(b) समतल का समीकरण


(c) समतल का समीकरण

(d) समतल का समीकरण

प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिबंधों के अन्तर्गत समतलों का सदिश व कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो-
(a) बिन्दु (1,0,-2) से जाता हो और \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\) समतल पर अभिलंब हो।
(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता हो और \(\hat{\boldsymbol{i}}-2 \hat{\boldsymbol{j}}+\hat{\boldsymbol{k}}\) समतल पर अभिलम्ब सदिश है।
हल:
(a) बिन्दु (1, 0, – 2) का स्थिति सदिश

यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

यही अभीष्ट कार्तीय समीकरण है।

प्रश्न 6.
उन समतलों का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित तीन बिन्दुओं से गुजरता है।
(a) (1, 1, – 1), (6, 4, – 5), (- 4, – 2, 3)
(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (- 2, 2, – 1)
हल:
(a) माना
(x₁, y₁, z₁) ≡ (1, 1, – 1)
(x₂, y₂, z₂) ≡ (6, 4, – 5)
(x₃, y₃, z₃) ≡ ( – 4, – 2, 3)
इन तीन बिन्दुओं से जाने वाले समतल का समी०

समीकरण (1), (2), (3) में से a, b, c को लुप्त करने से, समतल का समीकरण
\(\left|\begin{array}{ccc}{x-1} & {y-1} & {z} \\ {0} & {1} & {1} \\ {3} & {-1} & {1}\end{array}\right|\) = 0
⇒ 2(x – 1) + 3 (y – 1) – 3z = 0
⇒ 2x – 2 + 3y – 3 – 3z = 0
⇒ 2x + 3y – 3z = 5

प्रश्न 7.
समतल 2x + y – x = 5 द्वारा काटे गये अन्तः खण्डों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल 2x + y – z = 5 समी० को अन्तः खण्ड रूप में लिखने पर
\(\frac{x}{\frac{5}{2}}+\frac{y}{5}+\frac{2}{(-5)}\) = 1
जो कि \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1 के रूप की हैं।
अत: अक्षों से कटे अन्तः खण्ड, \(\frac{5}{2}\), 5, – 5 हैं।

प्रश्न 8.
उस समतल का समी० ज्ञात कीजिए जिसका y- अक्ष पर
अंतः खण्ड 3 और जो तल ZOX के समांतर है।
हल:
अक्ष ZOX का समी० y = 0 है।
∴ इस समतल के समांतर समी० y = a
∵ समतल का -अक्ष पर अंत: खण्ड 3 है इसलिए समतल y- अक्ष पर (0, 3, 0) पर मिलता हैं।
∴ 3 = a
अतः समतल का समी० y = 3

प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x – y + 22 – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
हल:
समतल तथा उसके प्रतिच्छेदन बिन्दु से जाने वाले तल का समीकरण
(3x – y + 2z – 4) + λ (x + y + z – 2) = 0 …(i)
परन्तु तल बिन्दु (2.2.1) से होकर जाता है तब
(6 – 2 + 2 – 4) + (2 + 2 + 1 – 2) = 0
2 + 3λ = 0
λ = – \(\frac{2}{3}\)
λ का यह मान समीकरण (i) में रखने पर
(3x – y + 2z – 4) – \(\frac{2}{3}\) (x + y + z – 2) = 0
(9x – 3y + 6z – 12) – (2x + 2y + 2z – 4) = 0
7x – 5y + 4z – 8 = 0

प्रश्न 10.
उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलो \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{3} \hat{k})=7\), \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k})=9\) के प्रतिच्छेदन रेखा और (2, 1, 3) से होकर जाता है।
हल:

प्रश्न 11.
तलों x + y+ z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
समतल x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 के प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाली समतल का समीकरण
(x + y + z – 1) + λ (2x + 3y + 4z – 5) = 0
या (1+ 2λ) x + (1+3λ) y+ (1+4λ) z – 1 – 5λ = 0
यह तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् है
∴ (1 + 2λ) . 1 + (1 + 3λ)(- 1) + (1 + 4λ) . 1 = 0 (∵ a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂) = 0
या 1 = 2λ – 1 – 3λ + 1 + 4λ = 0
⇒ 1 + 3λ = 0
⇒ λ = – \(\frac{1}{3}\)
λ का मान समी० (i) में रखने पर,

x – z + 2 = 0

प्रश्न 12.
समतलों जिनके सदिश समीकरण \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5\) और \(\vec{r}(3 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k})=3\) हैं के बीच का कोण ज्ञात करो।
हल:
माना

प्रश्न 13.
निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत्, उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x -y – 10z + 4 = 0
(b) 2x + y + 3z – 2 = 0 और x – 2y + 5 = 0
(c) 2x – 2y + 4x + 5 = 0 और 3x – 3y + 6z – 1 = 0
(d) 2x – y + 3z – 1 = 0 और 2x – y + 3x + 3 =0
(e) 4x + 8y + 7 – 8 = 0 और y + 2 – 4 = 0
हल:


(b) दिए गए समतल

प्रश्न 14.
निम्न प्रश्नों में प्रत्येक दिये गये बिन्दु से दिये गये संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

MP Board Class 12th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित संबंधों में से कौन से फलन हैं ? कारण का उल्लेख कीजिए। यदि संबंध एक फलन है तो उसका परिसर निर्धारित कीजिए।
(i) {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
(ii) {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
(iii) {(1, 3), (1, 5), (2, 5)}
हल:
(i) माना R = {(2, 1), (5, 1), (8, 1), (11, 1), (14, 1), (17, 1)}
यह संबंध एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है।
प्रान्त = {2, 6, 8, 11, 14, 17} तथा परिसर = {1}.
(ii) माना R = {(2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4), (10, 5), (12, 6), (14, 7)}
यह एक फलन है क्योंकि किसी भी दो क्रमित युग्म का पहला घटक बराबर नहीं है।
अतः प्रांत = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
(iii) यह एक फलन नहीं है क्योंकि (1, 3), (1,5) में पहला घटक समान है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित वास्तविक फलनों के प्रांत तथा परिसर ज्ञात कीजिए।
(i) f(x) = – |x|
(ii) f(x) = \(\sqrt{9-x^{2}}\)
हल:
दिया है : f(x) = – |x |, f(x) ≤ 0 सभी x ⊂ R के लिए
f का प्रान्त = R
तथा f का परिसर = {y : y ϵ R, Y ≤ 0) = (-∞, 0]
(ii) (a) f(x) = \(\sqrt{9-x^{2}}\)
f(x) परिभाषित नहीं है जब 9 – x² < 0 या x² > 9
⇒ x > 3 और x < -3
∴ f परिभाषित है जब – 3 ≤ x ≤ 3.
f का प्रान्त = – 3 ≤ x ≤ 3, x ϵ R
अब मान लीजिए y = \(\sqrt{9-x^{2}}\) या y² = 9 – x²
x² = 9 – y², x = \(\sqrt{9-x^{2}}\)
f परिभाषित है यदि 9 ≥ y² 2 0 या y² ≤ 9
⇒ y ≤ 3, y ≠ – ve
(b) f का परिसर = y ≤ 3 और y ≥ 0
= {y : y ≤ R और 0 ≤ y ≤ 3}.

प्रश्न 3.
एक फलन f(x) = 2x – 5 द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित के मान लिखिए :
(i) f(0)
(ii) f(7)
(iii) f(-3)
हल:
f(x) = 2x – 5
(i) f(o) = 2 × 0 – 5 = -5
(ii) f(7) = 14 – 5 = 9
(iii) f(-3) = 2 × (-3) – 5 = – 6 – 5 = – 11.

प्रश्न 4.
फलन ‘t’ सेल्सियस तापमान का फारेनहाइट तापमान में प्रतिचित्रण करता है, जो t(C) = \(\frac{9 C}{5}+32\) द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित को ज्ञात कीजिए :
(i) t (0)
(ii) t (28)
(iii) t (-10)
(iv) C का मान, जब t(C) = 212
हल:

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में से प्रत्येक फलन का परिसर ज्ञात कीजिए :
(i) f(x) = 2 – 3x, x ϵ R, x > 0.
(ii) f(x) = x + 2, x एक वास्तविक संख्या है।
(iii) f(x) = x, x एक वास्तविक संख्या है।
हल:
(i) दिया है : f(x) = 2 – 3x, x ϵ R, x > 0
= y (माना)
∴ 2 – 3x = y या 2 – y = 3x या x = \(\frac{2-y}{3}\)
दिया है: x > 0 अर्थात \(\frac{2-y}{3}\) > 0 या 2 – y > 0 या y < 2
अतः f का परिसर = y < 2 या (-∞, 2)
(ii) f(x) = y = x² + 2, x ϵ R
या x² = y – 2
या x = \(\sqrt{y-2}\)
अर्थात y – 2 ≤ 0 या y ≥ 2
अतः f का परिसर y = {y : y ϵ R और y ≥ 2}
= [2, ∞].
(iii) f(x) = y = x या x = y
∵ x ϵ R और x = y तब y ϵ R
अतः f का परिसर = {y : y ϵ R} = R.

MP Board Class 11th Maths Solutions

MP Board Class 11th Maths Solutions Chapter 2 संबंध एवं फलन Ex 2.2

प्रश्न 1.
मान लीजिए A= {1, 2, 3, ……. 14}, R = {(x, y): 3x – y = 0, जहाँ x, Y ϵ A) द्वारा A से A का एक संबंध R लिखिए। इसके प्रांत, सहप्रांत और परिसर लिखिए।
हल:
A = {1, 2, 3, ….., 14}, R : A जबकि
(i) R = {(x, y) : 3x – y = 0 या y = 3x}
= {(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12),….}
(ii) प्रांत : संबंध R के समुच्चयों में x के अवयव = {1, 2, 3, 4}.
सहप्रांत : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}.
परिसर : संबंध R के समुच्चयों में y के अवयव = {3, 6, 9, 12}.

प्रश्न 2.
प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर R = {x, y) : y = x + 5, x संख्या 4 से कम, एक प्राकृत संख्या है, x,y ϵ N} द्वारा एक संबंध R परिभाषित कीजिए। इस संबंध को
(i) रोस्टर रूप में इसके प्रांत और परिसर लिखिए।
हल:
संबंध R, दिया गया है।
R = {(x, y) : y = x + 5, x, y ϵ N तथा x < 4}
= {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}.
(i) प्रान्त = {1, 2, 3}.
परिसर = {6, 7, 8}.

प्रश्न 3.
A = {1, 2, 3, 5} और B = {4, 6, 9}, A से B में एक सम्बन्ध
R = {x, y} : x और y का अंतर विषम है, x ϵ A, y ϵ B} द्वारा परिभाषित कीजिए। R को रोस्टर रूप में लिखिए।
हल:
दिया है: A = {1, 2, 3, 5} और B = {4, 6, 9}. A से B में संबंध,
R = {(x, y) : x, में अंतर विषम है, x ϵ A, y ϵ B}
= {1, 4,), (1, 6), (2, 9), (3, 4), (3, 6), (5, 4), (5, 6)}.

प्रश्न 4.
दी हुई आकृति समुच्चय P से Q का एक संबंध दर्शाती है। इस संबंध को (i) समुच्चय निर्माण रूप में (ii) रोस्टर रूप में लिखिए। इसके प्रांत व परिसर क्या हैं ?

हल:
(i) समुच्चय निर्माण रूप में, R = {(x, y) : y = x – 2, x = 5, 6, 7 के लिए}
(ii) रोस्टर रूप में, R = {(5, 3), (6, 4), (7, 5)}
प्रान्त = {5, 6, 7}
और परिसर = {3, 4, 5}.

प्रश्न 5.
मान लीजिए कि A= {1, 2, 3, 4, 6) मान लीजिए कि R, A पर {(a, b) : a, b ϵ A, संख्या a संख्या b को यथावथ विभाजित करती है} द्वारा परिभाषित एक संबंध है।
(i) R को रोस्टर रूप में लिखिए।
(ii) R का प्रांत ज्ञात कीजिए।
(iii) R का परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है :
A = {1, 2, 3, 4, 6}
R = {(a, b) : a, b ϵ A, a संख्या b को विभाजित करती है}
(i) रोस्टर रूप में, R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4,4), (6, 6)}
(ii) R का प्रांत = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
(iii) R का परिसर = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

प्रश्न 6.
R = {(x, x + 5) : x ϵ {0, 1, 2, 3, 4, 5}} द्वारा परिभाषित संबंध R के प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
R = {(x, x + 5) : x ϵ {0, 1, 2, 3, 4, 5}}
= {(0, 5), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), (5, 10)}
R का प्रांत = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
R का परिसर : {5, 6, 7, 8, 9, 10}.

प्रश्न 7.
संबंध R = {(x, x³) : x संख्या 10 से कम एक अभाज्य संख्या है} को रोस्टर रूप में लिखिए।
हल:
10 से कम अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7
रोस्टर रूप में, R = {(x, x³) : x एक अभाज्य संख्या है जो 10 से कम है}
= {(2, 8), (3, 27), (5, 125), (7, 343)}.

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A = {x, y, } और B = {1, 2}, A से B के संबंधों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है: A = {x, y, z}, B = {1, 2}
A × B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
n(A × B) = 6
संबंधों की कुल संख्या = A × B के उपसमुच्चयों की संख्या
= 2⁶ = 64.

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि R, Z पर, R = {(a, b) : a, b ϵ z, a – b एक पूर्णांक है}, द्वारा परिभाषित एक संबंध है। R के प्रांत व परिसर ज्ञात कीजिए।
हल:
R समुच्चय Z पर एक संबंध है तथा R = {(a, b), a ϵ Z, b ϵ Z, a – b एक पूर्णांक संख्या है।
∴ प्रांत (R) = Z
परिसर (R) = Z.

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