Prasanna

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.2

निम्न में से प्रत्येक में रचना का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 cm की दूरी पर स्थिर एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हल :

रचना के पद :

1. रेखाखण्ड OP = 10 cm खींचिए।
2. O की केन्द्र लेकर 6 cm की त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
3. OP का लम्ब अर्द्धक XY खींचिए – जो OP को बिन्दु Q पर समद्विभाजित करता है।
4. Q को केन्द्र लेकर OQ = QP = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को R एवं S बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PR एवं PS को मिलाइए।

अतः यही PR एवं PS अभीष्ट स्पर्श रेखा युग्म है जिनका मापन करने पर प्रत्येक की लम्बाई 8 cm है।
रचना का औचित्य : ∆PRO में चूँकि ∠ORP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो कि त्रिज्या OR के सिरे पर बना कोण है।
अतः PR और इसी प्रकार PS स्पर्श रेखायुग्म है, क्योंकि स्पर्श रेखा और स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या के बीच कोण एक समकोण (90°) होता है।

प्रश्न 2.
4 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 cm त्रिज्या के एक संकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :

1. O को केन्द्र लेकर दो वृत्त क्रमश: 6 cm एवं 4 cm त्रिज्या के खींचे।
2. 6 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर कोई बिन्दु P लेकर OP को मिलाइए।
3. OP का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
4. M को केन्द्र लेकर MO = MP के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचिए जो 4 cm त्रिज्या वाले वृत्त को N बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है।
5. PN को मिलाइए जो बाह्य वृत्त को Q पर प्रतिच्छेद करती है।

यही PN अभीष्ट स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4-4 cm (लगभग) आती है। परिकलन करने पर समकोण ∆ONP में पाइथागोरस प्रमेय से,
PN = \(\sqrt{(O P)^{2}-(O N)^{2}}=\sqrt{(6)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}\) = 4.4 cm लगभग
अतः अभीष्ट स्पर्श रेखा PN है जिसकी लम्बाई मापन करने पर 4.4 cm (लगभग) एवं परिकलन करने पर भी 4.4 cm (लगभग)
रचना का औचित्य : चूँकि ∠ONP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
जो ON त्रिज्या के सिरे पर PN रेखा द्वारा अन्तरित है।
अतः PN, ON त्रिज्या वाले वृत्त की स्पर्श रेखा है।

प्रश्न 3.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 cm की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल :

1. O को केन्द्र मानकर 3 cm की त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त के एक व्यास MON को दोनों ओर क्रमशः बिन्दु P एवं Q तक इस प्रकार बढ़ाइए कि OP = OQ = 7 cm हो।
3. OP एवं OQ को क्रमशः बिन्दु R और S बिन्दुओं पर समद्विभाजित कीजिए।
4. R एवं S को केन्द्र लेकर क्रमश: RP = RO एवं SQ = SO की त्रिज्याओं से वृत्त खींचिए जो पूर्व वृत्त को क्रमश: A और B तथा C और D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
5. PA, PB तथा QC, QD को मिलाइए।

अतः यही PA, PB, QC एवं QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि PA, PB, QC एवं QD क्रमशः वृत्त की त्रिज्याओं OA, OB, OC एवं OD के सिरों क्रमश: A, B, C एवं D पर समकोण (90°) बनाते हैं क्योंकि ये अर्द्धवृत्तों के कोण हैं।
अत: PA, PB, QC और QD वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 4.
5 cm त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हल :

चूँकि हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिन्दुओं से जाने वाली त्रिज्याएँ केन्द्र पर जो कोण बनाती है वह स्पर्श रेखाओं के मध्य बनने वाले कोण का सम्पूरक होता है।
⇒ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्याओं के मध्य कोण = 180° – 60° = 120°
रचना के पद :

1. O को केन्द्र लेकर 5 cm त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए।
2. वृत्त भी एक त्रिज्या OP खींचिए तथा OP के बिन्दु O पर ∠POQ = 120° का कोण बनाती हुई दूसरी त्रिज्या OQ खींचिए।
3. OP एवं OQ के बिन्दु P एवं Q पर क्रमश: ∠OPR = ∠OQR = 90° का कोण बनाते हुए रेखाएँ PR एवं QR खींचिए जो परस्पर बिन्दु R पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ RP एवं RQ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : चूँकि RP एवं RQ क्रमशः त्रिज्याओं OP एवं OQ के अन्त्यः बिन्दुओं P एवं Q पर लम्ब हैं (रचना से)। अत: RP एवं RQ स्पर्श रेखाएँ हैं तथा उनके बीच का कोण 60° है (कारण उपरोक्त)।

प्रश्न 5.
8 cm लम्बा एक रेखाखण्ड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 cm त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त
के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हल :

रचना के चरण :

1. एक रेखाखण्ड AB = 8 cm खींचिए।
2. A को केन्द्र लेकर 4 cm की त्रिज्या से तथा B को केन्द्र लेकर 3 cm की त्रिज्या से दो वृत्त खींचिए।
3. AB का लम्ब समद्विभाजक XY खींचिए जो AB को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करता है।
4. O को केन्द्र लेकर OA = OB की लम्बाई के बराबर त्रिज्या से एक वृत्त खींचिए जो वृत्तों को क्रमश: P एवं Q तथा R एवं S पर प्रतिच्छेद करता है।
5. BP, BQ, AR एवं AS को मिलाइए।

अत: BP, BQ, AR एवं AS अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
रचना का औचित्य : प्रत्येक स्पर्श रेखा संगत वृत्त के स्पर्श बिन्दु पर खींची गयी त्रिज्या पर लम्ब है क्योंकि ये कोण अर्द्धवृत्त के कोण हैं। अतः ये रेखाएँ स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्रश्न 6.
माना ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा ∠B = 90° हैं। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि ∆ABC एक दिया हुआ समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B = 90°, AB = 6 cm, BC = 8 cm तथा B से AC पर डाला गया लम्ब BD है।
बिन्दुओं B, C, D से होकर एक वृत्त खींचा गया है।
चूँकि वृत्त समकोण ∆BDC का परिवृत्त है, अत: BC •इसका व्यास है और चूँकि AB त्रिज्या OB के बिन्दु B पर लम्ब है इसलिए AB इस वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
A से इस वृत्त पर एक अन्य स्पर्श रेखा खींचनी है और बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होती है।
रचना : A को केन्द्र लेकर AB = 6 cm के बराबर त्रिज्या से एक चाप खींचा जो वृत्त को P बिन्दु पर प्रतिच्छेद करता है। AP को मिलाइए।
अतः, AB एवं AP अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।
रचना का औचित्य : स्वयं हल में स्पष्ट है।

प्रश्न 7.
किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए। (2019)
हल :

रचना के पद :

1. चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचा।
2. वृत्त का केन्द्र O उचित विधि से ज्ञात PK किया।
3. वृत्त के बाहर कोई बिन्दु P लिया और OP को मिलाया।
4. OP का लम्ब-अर्द्धक XY खींचा जो OP को बिन्दु M पर प्रतिच्छेद करता है।
5. M को केन्द्र लेकर MP = MO की त्रिज्या से एक वृत्त खींचा जो दिए हुए वृत्त को क्रमशः Q और R बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है।
6. PQ और PR को मिलाइए।

अत: PQ एवं PR अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
उत्तर रचना का औचित्य : PQ और PR क्रमशः OQ एवं OR त्रिज्याओं के साथ समकोण बनाती हैं क्योंकि अर्द्धवृत्त के कोण हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 6.72 में यदि ∠A = ∠C, AB = 6 cm, BP = 15 cm, AP = 12 cm और CP = 4 cm, तो PD और CD की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

∆ABP एवं ∆CDP में,
∠A = ∠C (दिया है)
∠APB = ∠CPD (शीर्षभिमुख कोण हैं)
∆ABP ~ ∆CDP [AA समरूपता]


अतः PD की अभीष्ट लम्बाई = 5 cm एवं CD की अभीष्ट लम्बाई = 2 cm है।

प्रश्न 2.
∆ABC ~ ∆EDF दिए हैं जिनमें AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm एवं DE = 12 cm. त्रिभुजों की शेष बची भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆ABC ~ ∆EDF (दिया है)
\(\frac{A B}{E D}=\frac{B C}{D F}=\frac{A C}{E F}\) ….(1) (समरूप त्रिभुजों के प्रगुण)
AB = 5 cm, AC = 7 cm, DF = 15 cm एवं ED = DE = 12 cm के दिए हुए मान समीकरण (1) में रखने पर,

अतः शेष बची भुजाओं BC एवं EF की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 6.25 cm एवं 16.8 cm है।

प्रश्न 3.
एक त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।
अथवा
यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समानान्तर एक सरल रेखा खींची जाए तो वह अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभक्त करती है।
हल :

ज्ञात है : ∆ABC जिसमें रेखा DE || BC और रेखा DE, AB को D पर तथा AC को E पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: \(\frac{A D}{D B}=\frac{A E}{E C}\)
रचना : D को C से तथा B को E से मिलाइए एवं EF ⊥ AB खींचिए (देखिए आकृति 6.73)।

प्रश्न 4.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर के सहारे इस प्रकार रखी है कि उसका शीर्ष दीवार की 4 m ऊँचाई तक पहुँचता है। यदि सीढ़ी के पाद को दीवार की तरफ 1.6 m विस्थापित कर दिया जाए तो वह दूरी ज्ञात कीजिए जिससे सीढ़ी का शीर्ष दीवार पर ऊपर की ओर खिसकता है।
हल :

AB = 5 m लम्बी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार CA के सहारे खड़ी है जहाँ AC = 4 m है। अब सीढ़ी को दीवार की ओर BB’ = 1.6 m खिसकाने पर नई
स्थिति A’B’ हो जाती है।
अब समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = AB² – AC²
BC² = (5)² – (4)²
= 25 – 16
= 9
BC = √9 = 3 m
एवं समकोण ∆A’CB’ में पाइथागोरस प्रमेय से,
A’C = A’B’² – B’C
लेकिन A’B’ = AB = 5 m
B’C = BC – BB’
= 3 m – 1.6 m
= 1.4 m
A’C² = (5)² – (1.4)²
= 25 – 1.96
= 23.04
A’C = √23.04
= 4.8 m
A’A = A’C – AC = 4.8 – 4 = 0.8 m
अतः दीवार के सहारे सीढ़ी का शीर्ष 0.8 m ऊपर की ओर खिसकेगा।

प्रश्न 5.
किसी शहर A से दूसरे शहर B तक जाने का रास्ता शहर C से होकर जाता है, इस प्रकार कि AC ⊥ CB एवं AC = 2x km तथा CB = 2 (x + 7) km. एक 26 km लम्बा राजमार्ग (हाईवे) बनाना प्रस्तवित है जो शहर A एवं B को सीधा जोड़ेगा। बताइए शहर A से शहर B तक जाने में राजमार्ग बनने पर कितनी दूरी की बचत होगी?
हल :

तीनों सड़कें समकोण त्रिभुज ACB की संरचना करती हैं, जहाँ AB = 26 km, AC = 2x km एवं CB = 2 (x + 7) km है।
अब समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² + BC² = AB²
(2x)² + [2 (x + 7)]² = (26)²
4x² + 4 (x² + 14x + 49) = 676
4x² + 4x² + 56x + 196 = 676
8x² + 56x – 480 = 0
x² + 7x – 60 = 0
x² + 12x – 5x – 60 = 0
x (x + 12) – 5 (x + 12) = 0
(x + 12) (x – 5) = 0
या तो x + 12 = 0 ⇒ x = – 12 km [जो असम्भव है]
अथवा
x – 5 = 0 ⇒ x = 5 km
राजमार्ग बनने से पहले तय की जाने वाली दूरी
= AC + CB = 2x + 2x + 14
= 4x + 14
= 4 × 5 + 14
= 20 + 14
= 34 km
दूरी में अन्तर = 34 km – 26 km = 8 km
अतः तय की गई दूरी में अभीष्ट बचत = 8 km.

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.76 में ABC एक समकोण त्रिभुज है जो B पर समकोण है एवं BD ⊥ AC. यदि AD = 4 cm एवं CD = 5 cm तो BD एवं AB के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण AC पर डाला गया लम्ब BD त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभाजित करता है जो मूल त्रिभुज के भी समरूप होते हैं (हम जानते हैं)।
⇒∆ADB ~ ∆BDC ~ ∆ABC [प्रमेय : 6.7 से]
⇒\(\frac{A D}{B D}=\frac{B D}{C D}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒\(\frac{4 \mathrm{cm}}{B D}=\frac{B D}{5 \mathrm{cm}}\)
⇒[∵ AD = 4 cm एवं CD = 5 cm दिया है।]
⇒BD² = 4 x 5 = 20
⇒BD = √20 = 2√5 cm
अब समकोण ∆ADB में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒AB² = AD² + BD² = (4)² + (2√5)²
= 16 + 20
= 36
⇒AB = √36 = 6 cm
अंत: BD एवं AB की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमशः 2√5 cm एवं 6 cm हैं।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.77 में ∆POR एक समकोण त्रिभुज है, जो बिन्दु Q पर समकोण है एवं QS ⊥ PR तथा PQ = 6 cm एवं PS = 4 cm तो QS, RS एवं QR के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ समकोण ∆PSQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
QS² = PQ² – PS² = (6)² – (4)²
[∵ PQ = 6 cm एवं PS = 4 cm दिया है]
QS² = 36 – 16 = 20
QS = √20 = 2√5 cm
∵ समकोण ∆ में समकोण वाले शीर्ष पर डाला गया लम्ब त्रिभुज को दो समरूप त्रिभुजों में विभक्त करता है तथा प्रत्येक त्रिभुज मूल त्रिभुज के भी समरूप होता है। (हम जानते हैं)
∆PQS ~ ∆QRS ~ ∆PRQ

[समीकरण (1) में PQ = 6 cm, QS = 2√5 cm एवं RS = 5 cm मान रखने पर]
\(Q R=\frac{6 \times 5}{2 \sqrt{5}}=3 \sqrt{5} \mathrm{cm}\)
अत: QS, RS एवं QR के अभीष्ट मान क्रमश: 2√5 cm, 5 cm एवं 3√5 cm हैं।

प्रश्न 8.
एक चतुर्भुज ABCD में ∠A + ∠D = 90°, तो सिद्ध कीजिए कि : AC² + BD² = AD² + BC²
हल :

ज्ञात है : चतुर्भुज ABCD जिसमें ∠A + ∠D = 90°
तथा AC एवं BD को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : AC² + BD² = AD² + BC²
रचना : AB एवं DC को बढ़ाइए जो बिन्दु E पर मिलते हैं।
उपपत्ति : चूँकि ∆EAD में ∠A + ∠D = 90° (दिया है)
⇒∆AED, ∆AEC, ∆BEC एवं ∆DEB समकोण ∆ हैं, जिसमें ∠E = 90°
∵ समकोण ∆AEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AC² = AE² + CE² …(1)
∵ समकोण ∆DEB में पाइथागोरस प्रमेय से,
BD² = DE² + BE² …(2)
⇒AC² + BD² = AE² + DE² + BE² + CE² …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
∵ समकोण ∆AED में पाइथागोरस प्रमेय से,
AD² = AE² + DE² …(4)
∵ समकोण ∆BEC में पाइथागोरस प्रमेय से,
BC² = BE² + CE² ….(5)
⇒AD² + BC² = AE² + DE² + BE² + CE² …(6)
[समीकरण (4) + (5) से]
⇒AC² + BD² = AD² + BC². [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC है के विकर्ण AC एवं BD का प्रतिच्छेद बिन्दु O है। O से होकर AB के समान्तर एक रेखाखण्ड PQ खींचा गया है जो AD को P पर तथा BC को Q पर मिलता है। सिद्ध कीजिए : PO = QO
हल :

∵ AB || DC एवं AB || PQ
PQ || DC अर्थात् OQ|| DC || AB
तथा PO || AB || DC
∵ ∆BDC में, OQ || DC


PO = QO.
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 6.80 में रेखाखण्ड DF, ∆ABC की भुजा AC को बिन्दु E पर इस प्रकार विभाजित करता है कि E बिन्दु भुजा CA का मध्य-बिन्दु है एवं ∠AEF = ∠AFE है तो सिद्ध कीजिए कि:
\(\frac{B D}{C D}=\frac{B F}{C E}\)
हल :

दिया है : रेखाखण्ड DE, ∆ABC की भुजा AC को बिन्दु E पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हुए कि E, CA का मध्य-बिन्दु AB पर बिन्दु F पर मिलता है तथा ∠AEF = ∠AFE है। रचना : GC || DF खींचिए जो ∆ABC की भुजा AB के बिन्दु G पर मिलती है। चूँकि E, भुजा AC का मध्य-बिन्दु,
CE = AE (दिया है)
चूँकि ∠AEF = ∠AFE (दिया है)
AE = AF
AE = CE = AF
CG || DF खींचिए जो AB को बिन्दु G पर मिलती है।
∆ACG में, DF || CG

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि किसी समकोण ∆ के कर्ण पर बने समाबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल शेष भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ∆ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका ∠B समकोण है तथा कर्ण AC पर समबाहु ∆FAC, AB पर बना समबाहु ∆DAB एवं BC पर बना समबाहु त्रिभुज EBC है।
AB = p, BC = b एवं AC = h.
समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से,
AB² + BC² = AC²
⇒ p² + b² = h² …(1)
ar (DAB) + ar (EBC)

अतः किसी समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल अन्य भुजाओं पर बने समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
∆PQR में, PD ⊥ QR इस प्रकार है कि D बिन्दु QR पर स्थित है। यदि PQ = a, PR = b, QD = c तथा DR = d तो सिद्ध कीजिए कि : (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d)
हल :

ज्ञात है : ∆PQR जिसमें PD ⊥ QR जहाँ D बिन्दु रेखा QR पर स्थित होगा। PQ = a, PR = b, QD = c एवं DR = d है।
सिद्ध करना है: (a + b)(a – b) = (c + d) (c – d)
अब समकोण ∆PDQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ PD² = PQ² – QD² = a² – c² …(1)
एवं समकोण ∆PDR में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ PD² = PR² – DR² = b² – d² ….(2)
⇒ a² – c² = b² – d² [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ a² – b² = c² – d²
⇒ (a + b) (a – b) = (c + d) (c – d).
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक बल्ब एक खम्भे पर सड़क के तल से 6 m की ऊँचाई पर लगा है। एक 1.5 m ऊँचाई की स्त्री की छाया 3 m लम्बी पड़ती है। बताइए कि स्त्री खम्भे के आधार से कितनी दूरी पर खड़ी है?
हल :

मान लीजिए एक खम्भा PQ = 6 m ऊँचा है। एक स्त्री AB = 1.5 m ऊँचे खम्भे के आधार Q से QB = x m की दूरी पर खड़ी है जिसकी छाया CB = 3 m लम्बी पड़ती है।
चूँकि AB || PQ (ऊधर्वाधर है)
⇒ ∆ABC ~ ∆PQC [∠C उभयनिष्ठ ∠B = ∠Q = 90°]

⇒ 4.5 + 1.5x = 18
⇒ 1.5x = 18 – 4.5 = 13.5
⇒ x = \(\frac { 13.5 }{ 1.5 }\) = 9m
अतः स्त्री खम्भे के आधार से 9 m की दूरी पर खड़ी है।

प्रश्न 4.
18 m ऊँचे झण्डे के स्तम्भ की छाया 9.6 m लम्बी है। स्तम्भ के शीर्ष की छाया के दूर अन्त्यः बिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि PQ = 18 m ऊँचे झण्डे के स्तम्भ की छाया QR = 9.6 m लम्बी पड़ती है।
बिन्दु R से खम्भे के शीर्ष P की दूरी PR = x m है।
समकोण ∆PQR में पाइथागोरस प्रमेय से,
PR² = PQ² + QR²
= (18)² + (9.6)²
= 324 + 92.16
= 416.16
PR = √416.16
= 20.4 m
अतः बिन्दु R से स्तम्भ के शीर्ष की अभीष्ट दूरी = 20.4m है।

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 6.85 में DE || AB तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∆CAB में,
चूँकि DE || AB
⇒ \(\frac{C D}{D A}=\frac{C E}{E B}\) (प्रमेय : 6.1 से)
⇒ \(\frac{x+3}{3 x+19}=\frac{x}{3 x+4}\) (चित्रानुसार)
⇒ 3x² + 19x = 3x² + 4x + 9x + 12
⇒ 19x = 13x + 12
⇒ 6x = 12
⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 2
अतः x का अभीष्ट मान = 2 है।

प्रश्न 6.
समलम्ब चतुर्भुज PQRS के विकर्ण परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहाँ PQ || RS तथा PQ = 3RS, तो त्रिभुज POQ एवं ROS के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है PQRS एक समचतुर्भुज जिसमें PQ || RS एवं PQ = 3RS. इसके विकर्ण PR एवं QS परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अब ∆POQ एवं ∆ROS में,
∵ ∠POQ = ∠ROS [शीर्षाभिमुख कोण हैं।]
⇒ ∠RPQ = ∠PRS
[एकान्तर कोण हैं जहाँ PQ || RS एवं RP तिर्यक रेखा है]
⇒ ∆POQ ~ ∆ROS [AA समरूपता]

अतः ∆POQ एवं ∆ROS के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 9:1 है।

प्रश्न 7.
∆ABC ~ ∆DEF, AB = 4 cm, DE = 6 cm, EF = 9 cm एवं FD = 12 cm. ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि
∆ABC ~ ∆DEF

∆ABC की परिमाप = AB + BC + CA
= 4 cm + 6 cm + 8 cm
= 18 cm
अत: ∆ABC की अभीष्ट परिमाप = 18 cm है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.87 में, यदि DE || BC तो ∆ADE एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों में अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

⇒ ∆ADE एवं ∆ABC में
⇒ ∠A = ∠A [उभयनिष्ठ हैं।]
⇒ ∠D = ∠B [संगत कोण हैं]
चूँकि DE || BC एवं AB तिर्यक रेखा है।
⇒ ∆ADE ~ ∆ABC [AA समरूपता]

अत: ∆ADE एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल क्रमश: 36 cm² एवं 100 cm² हैं। यदि बड़े त्रिभुज की कोई भुजा की लम्बाई = 20 cm हो तो छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए छोटी त्रिभुज की संगत भुजा की लम्बाई x cm है और हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों में,

अतः छोटे त्रिभुज की संगत भुजा की अभीष्ट लम्बाई = 12 cm है।

प्रश्न 10.
एक 10 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के आधार से 6 m दूरी पर रखी हुई दीवार के साथ टिकी है। दीवार के उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जहाँ पर सीढ़ी का शीर्ष टिका है।
हल :

मान लीजिए एक सीढ़ी AB = 10 m लम्बी है और दीवार AC के आधार C से BC = 6 m की दूरी पर रखी हुई है तथा दीवार के साथ बिन्दु A पर टिकी है। A की ऊँचाई आधार से AC = h है तो समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से,
⇒ AC² = AB² – BC²
⇒ h² = (10)² – (6)²
= 100 – 36
= 64
⇒ h = √64
= 8 m
अतः दीवार के अभीष्ट बिन्दु की ऊँचाई = 8 m

प्रश्न 11.
आकृति 6.89 में ∠P ज्ञात कीजिए।

हल :
∆ABC एवं ∆PQR में,

⇒ ∠A = ∠R, ∠A = ∠Q एवं ∠C = ∠P
लेकिन ∠C + 60° + 80° = 180° [त्रिभुज के अन्त:कोण हैं।]
⇒ ∠C = 180° + 140° = 40°
⇒ ∠P = ∠C = 40°
अतः ∠P का अभीष्ट मान = 40° है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या त्रिभुज जिसकी भुजाएँ 25 cm, 5 cm और 24 cm हैं, समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, क्योंकि (24)² + (5)² = 576 + 25 = 601 ≠ (25)²

प्रश्न 2.
∆DEF ~ ∆RPQ दिया है। क्या यह कहना सत्य है कि ∠D = ∠R = एवं ∠F = ∠P.
हल :
कथन सत्य नहीं है, क्योंकि ∠F ≠ ∠P बल्कि ∠F = ∠Q.

प्रश्न 3.
किसी ∆POR की भुजाओं PQ एवं PR पर बिन्दु क्रमश: A एवं B इस प्रकार हैं कि PQ= 12.5 cm, PA = 5 cm, BR = 6 cm एवं PB = 4 cm. क्या AB || QR ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ AB || OR. क्योंकि

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.90 में BD एवं CF परस्पर बिन्द P पर प्रतिच्छेद करती हैं। क्या ∆PBC ~ ∆PDE और क्यों?
हल :

हाँ, ∆PBC ~ ∆PDE,
क्योकि \(\frac{P B}{P D}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, \frac{P C}{P E}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}\)
एवं ∠BPC = ∠DPE [शीर्षाभिमुख कोण]
अर्थात् SAS समरूपता है।

प्रश्न 5.
∆PQR एवं ∆MST में ∠P = 55°, ∠Q = 25°, ∠M = 100° एवं ∠S = 25°, क्या ∆QPR ~ ∆TSM ? क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि ∆QPR ~ ∆STM.

प्रश्न 6.
क्या निम्न कथन सत्य है? और क्यों? “दो चतुर्भुज समरूप हैं अगर उनके संगत कोण बराबर हैं।”
हल :
नहीं, क्योंकि संगत भुजाएँ भी समानुपाती होनी चाहिए।

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज की दो भुजाएँ एवं परिमाप क्रमशः दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाओं और परिमाप का तीन गुना है। क्या दोनों त्रिभुज समरूप हैं? और क्यों?
हल :
हाँ, वे त्रिभुज समरूप हैं, क्योंकि दो संगत भुजाएँ एवं परिमाप समानुपाती हैं तो तीसरी भुजा भी समानुपाती होगी। (SSS समरूपता)

प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज का एक न्यूनकोण दूसरे समकोण त्रिभुज के एक न्यूनकोण के बराबर हो तो क्या दोनों त्रिभुज समरूप होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ, समरूप होंगे। (AAA समरूपता)

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्ष लम्बों का अनुपात \(\frac { 3 }{ 5 }\) है तो क्या यह कहना सत्य है कि उनके क्षेत्रफलों का अनुपात \(\frac { 6 }{ 5 }\) होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, यह कहना असत्य है क्योंकि क्षेत्रफलों का अनुपात \(\frac { 9 }{ 25 }\) होगा।

प्रश्न 10.
∆POR की भुजा QR पर बिन्दु D इस प्रकार है कि PD ⊥ QR, क्या यह कहना सत्य होगा कि ∆PQD ~ ∆RPD ? और क्यों?
हल :
नहीं, यह कहना असत्य है, क्योंकि यह तभी सम्भव है जब ∠P = 90° हो।

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.91 में ∠D = ∠C तो क्या यह कहना सत्य होगा कि ∆ADE ~ ∆ACB ? और क्यों?
हल :

हाँ, कथन सत्य है क्योंकि AA समरूपता है।

प्रश्न 12.
क्या यह कहना सत्य है कि यदि दो त्रिभुजों में एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो एवं एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती हों तो त्रिभुज समरूप होंगे? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
नहीं, कथन असत्य है क्योंकि दो जोड़े समानुपाती भुजाओं के मध्य कोण बराबर होने चाहिए।

प्रश्न 13.
∆ABC में, AB = 24 cm, BC = 10 cm एवं AC = 26 cm. क्या यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, त्रिभुज समकोण त्रिभुज है क्योंकि
AB² + BC² = (24)² + (10)²
= 576 + 100
= 676
= (26)²
= AC²

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज DEF की भुजाओं DE एवं DF पर क्रमशः बिन्दु P एवं Q इस प्रकार स्थित हैं कि DP = 5 cm, DE = 15 cm, DQ = 6 cm एवं DF = 18 cm. क्या PQ || EF ? अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :

हाँ, क्योंकि

अत: PQ || EF है।

प्रश्न 15.
∆FED ~ ∆STU दिया है क्या \(\frac{D E}{S T}=\frac{E F}{T U}\) और क्यों?
हल :
नहीं, \(\frac{D E}{S T} \neq \frac{E F}{T U}\) क्योंकि \(\frac{D E}{T U}=\frac{E F}{S T}\) संगत भुजाओं का अनुपात समान होना चाहिए।

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 6 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो त्रिभुज समरूप होंगे, यदि :
(a) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हैं,
(b) त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों,
(c) त्रिभुजों के संगत क्षेत्रफल बराबर हों,
(d) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।
उत्तर:
(d) त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों तथा संगत भुजाएँ आनुपातिक हों।

प्रश्न 2.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। इनमें से समकोण त्रिभुज नहीं है :
(a) 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी,
(b) 5 सेमी, 8 सेमी, 11 सेमी,
(c) 5 सेमी, 12 सेमी, 13 सेमी,
(d) 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी।
उत्तर:
(b) 5 सेमी, 8 सेमी, 11 सेमी,

प्रश्न 3.
“एक त्रिभुज की एक भुजा के समान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।” यह कथन है : (a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(a) थेल्स प्रमेय का,

प्रश्न 4.
“यदि कोई रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो यह रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।” यह कथन है :
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,

प्रश्न 5.
“एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।” यह कथन है:
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय के विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,

प्रश्न 6.
“एक त्रिभुज में यदि एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर हो, तो पहली भुजा के सामने का कोण समकोण होता है।” यह कथन है :
(a) थेल्स प्रमेय का,
(b) पाइथागोरस प्रमेय का,
(c) थेल्स प्रमेय का विलोम का,
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।
उत्तर:
(d) पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का।

प्रश्न 7.
एक आदमी पूर्व की ओर 150 मीटर जाता है और फिर उत्तर की ओर 200 मीटर जाता है। आदमी की प्रारिम्भक बिन्दु से दूरी होगी :
(a) 150 मीटर,
(b) 25 मीटर,
(c) 15 मीटर,
(d) 250 मीटर।
उत्तर:
(d) 250 मीटर।

प्रश्न 8.
एक व्यक्ति पूर्व की ओर 15 मीटर जाता है और फिर उत्तर की ओर 8 मीटर जाता है। व्यक्ति की प्रारम्भिक बिन्दु से दूरी होगी :
(a) 23 मीटर,
(b) 17 मीटर,
(c) 7 मीटर,
(d) 25 मीटर।
उत्तर:
(b) 17 मीटर,

प्रश्न 9.
एक 25 मीटर लम्बी सीढ़ी एक भवन की जमीन से 20 मीटर ऊँची खिड़की तक जाती है। भवन से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी होगी :
(a) 45 मीटर,
(b) 5 मीटर,
(c) 15 मीटर,
(d) 25 मीटर।
उत्तर:
(c) 15 मीटर,

प्रश्न 10.
एक सीढ़ी इस तरह रखी गई है कि उसका निचला सिरा दीवार से 5 मीटर की दूरी पर है और उसका ऊपरी सिरा जमीन से 12 मीटर ऊँची खिड़की तक जाता है। सीढ़ी की लम्बाई होगी :
(a) 7 मीटर,
(b) 17 मीटर,
(c) 25 मीटर,
(d) 13 मीटर।
उत्तर:
(d) 13 मीटर।

प्रश्न 11.
दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों में 9 : 16 का अनुपात है, तो उनके शीर्ष लम्बों का अनुपात होगा :
(a) 3 : 4,
(b) 4 : 3,
(c) 9 : 1,
(d) 16 : 9.
उत्तर:
(a) 3 : 4,

प्रश्न 12.
समरूपता के लिए आवश्यक प्रतिबन्ध है :
(a), कोण-कोण-कोण समरूपता,
(b) कोण-कोण समरूपता,
(c) भुजा-कोण-भुजा समरूपता,
(d) ये सभी।
उत्तर:
(d) ये सभी।

प्रश्न 13.
एक ∆ABC की भुजाओं AB और AC पर क्रमश: दो बिन्दु एवं E इस प्रकार हैं कि: AD = 2 cm, BD = 3 cm, BC = 7.5 cm एवं DE || BC, तब DE की लम्बाई (cm में) होगी :
(a) 2.5,
(b) 3,
(c) 5,
(d) 6.
उत्तर:
(b) 3,

प्रश्न 14.
किसी समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई 16 cm एवं 12 cm है तो उसकी भुजा की लम्बाई है:
(a) 9 cm,
(b) 10 cm,
(c) 8 cm,
(d) 20 cm.
उत्तर:
(b) 10 cm,

प्रश्न 15.
यदि ∆ABC ~ ∆EDF एवं ∆ABC एवं ∆DEF समरूप नहीं हैं तब निम्न में से कौन सत्य नहीं है?
(a) BC.EF = AC.FD,
(b) AB.EF = AC.DE,
(c) BC.DE = AB. EF
(d) BC.DE = AB.FD.
उत्तर:
(c) BC.DE = AB. EF

प्रश्न 16.
यदि दो त्रिभुजों ABC एवं PQR में
(a) ∆PQR ~ ∆CAB,
(b) ∆PQR ~ ∆ABC,
(c) ∆CBA ~ ∆POR,
(d) ∆BCA ~ ∆POR.
उत्तर:
(a) ∆PQR ~ ∆CAB,

प्रश्न 17.
दो त्रिभुज DEF एवं PQR में ∠D = ∠Q एवं ∠R = ∠E तब निम्न में कौन सही नहीं है?

उत्तर:
(b) \(\frac{D E}{P Q}=\frac{E F}{R P}\)

प्रश्न 18.
∆ABC ~ ∆PQR दिया है एवं \(\frac{B C}{Q R}=\frac{1}{3}\) तब \(\frac{a r(P R Q)}{a r(B C A)}\) बराबर होगा :
(a) 9,
(b) 3,
(c) \(\frac { 1 }{ 3 }\).
(d) \(\frac { 1 }{ 9 }\).
उत्तर:
(a) 9,

प्रश्न 19.
∆ABC एवं ∆DEF में \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{F D}\) तब ये दोनों त्रिभज समरूप होंगे जब :
(a) ∠B = ∠E,
(b) ∠A = ∠D,
(c) ∠B = ∠D,
(d) ∠A = ∠E
उत्तर:
(c) ∠B = ∠D,

प्रश्न 20.
यदि ∆ABC ~ ∆QRD एवं \(\frac{a r(A B C)}{a r(P Q R)}=\frac{9}{4}\), AB = 18 cm, BC = 15 cm तब PR बराबर
होगा :
(a) 10 cm,
(b) 12 cm,
(c) \(\frac { 20 }{ 3 }\) cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(a) 10 cm

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों, तो वे त्रिभुज ……… होते हैं।
2. ………. त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
3. सभी वर्ग ……….. होते हैं।
4. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात किन्हीं दो संगत भुजाओं के ……….. के अनुपात के बराबर होता है।
5. किसी त्रिभुज के शीर्ष कोण का ………….. सम्मुख भुजा को शेष भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।
6. यदि दो त्रिभुजों के संगत कोण बराबर हों, तो वे त्रिभुज ………… कहलाते हैं।
7. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 9 : 16 के अनुपात में है, तो उन त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात ………… होगा।
उत्तर-
1. समरूप,
2. समबाहु,
3. समरूप,
4. वर्गों,
5. समद्विभाजक,
6. समरूप त्रिभुज
7. 3 : 4

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2. →(d),
3.→(e),
4.→(a),
5. →(f),
6.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है।
2. यदि त्रिभुज की संगत भुजाएँ आनुपातिक हों, तो वे त्रिभुज समरूप नहीं होते हैं।
3. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।
4. यदि दो त्रिभुज समकोणिक हों तो त्रिभुज समरूप होंगे।
5. यदि किसी त्रिभुज में एक भुजा के समानान्तर एक सरल रेखा खींची जाए, तो वह अन्य दोनों भुजाओं को ___ समान अनुपात में विभक्त करती है।
6. थेल्स प्रमेय का कथन है-“यदि किसी त्रिभुज में कोई सरल रेखा उसकी दो भुजाओं को समान अनुपात __ में विभक्त करे, तो वह तीसरी भुजा के समानान्तर होती है।”
7. सभी वर्ग समरूप होते हैं। (2019)
8. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x आधार x शीर्ष लम्ब होता है। (2019)
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. सत्य,
5. सत्य,
6. असत्य,
7. सत्य,
8. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक त्रिभुज की एक भुजा के समानान्तर खींची गई रेखा अन्य दो भुजाओं को जिन दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है, वे बिन्दु उन भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करते हैं। यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
2. समकोण त्रिभुज प्रमेय का नाम लिखिए।
3. यदि किसी ∆ABC में AD ⊥ BC एवं AC² = AB² + BC² + 2BC.BD हो, तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
4. यदि किसी ∆ABC में AD ⊥BC एवं AC² = AB² + BC² – 2BC.BD हो, तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
5. यदि किसी ∆ABC की माध्यिका AD हो, तब AB² + AC² = 2 (AD² + BD²), तो यह प्रमेय किस नाम से जानी जाती है?
6. आकृतियों का वह गुण जिसमें उनका आकार समान हो तथा विस्तार भिन्न-भिन्न हो, क्या कहलाता है?
7. समरूप त्रिभुज, ∆ABC एवं ∆PQR के क्षेत्रफल एवं भुजाओं में सम्बन्ध लिखिए।
8. दो समरूप त्रिभुजों के शीर्षलम्बों की माप में 2 : 3 का अनुपात हो, तो उनके क्षेत्रफलों में क्या अनुपात होगा?
9. पाइथागोरस प्रमेय का कथन लिखिए।
उत्तर-
1. थेल्स प्रमेय,
2. पाइथागोरस प्रमेय,
3. अधिककोण त्रिभुज प्रमेय,
4. न्यूनकोण त्रिभुज प्रमेय,
5. अपोलोनियसपमेय
6. समरूपता
7.

8. 4 : 9
9.”समकोण त्रिभुज में कर्ण पर बना वर्ग शेष भुजाओं पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।”

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.4

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात समीकरणों के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए। यदि मूलों का अस्तित्व हो, तो उन्हें ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 3x + 5 = 0 में a = 2, b = – 3 एवं c = 5
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-3)² – 4(2) (5)
= 9 – 40 = – 31
अत: वास्तविक मूलों का अस्तित्व नहीं है।

(ii) चूँकि 3x² – 4\(\sqrt { 3 }\) x + 4 = 0 में a = 3, b = – 4 \(\sqrt { 3 }\) एवं c = 4

अत: दोनों मूल बराबर हैं तथा प्रत्येक का मान, \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) एवं \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) है।

(iii) चूँकि 2x² – 6x + 3 = 0 में a = 2, b = 6 एवं c = 3
तो विविक्तकर b² – 4ac = (-6)² – 4(2) (3)
= 36 – 24 = 12

अत: मूल असमान वास्तविक हैं जिनका मान \(\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\) है।

प्रश्न 2.
निम्न प्रत्येक द्विघात समीकरण में k का ऐसा मान ज्ञात कीजिए कि उसके दो बराबर मूल हों
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx (x – 2)+ 6 = 0
हल:
(i) चूँकि समीकरण 2x² + kx + 3 = 0 में a = 2, b = k, c = 3.
एवं बराबर मूलों के लिए b² – 4ac = 0
⇒ k² – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k² = 24 ⇒ k = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)
अतः k के अभीष्ट मान = ± 2 \(\sqrt { 6 }\)

(ii) चूँकि समीकरण kx (x – 2) + 6 = 0
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0 में a = k, b = -2k एवं c = 6
एवं बराबर मूलों के लिए. b² – 4ac = 0
⇒ (-2k)² – 4(k) (6) = 0
⇒ 4k² – 24k = 0 ⇒ k² – 6k = 0
⇒ k (k – 6) = 0
या तो k = 0 तब समीकरण 6 = 0 जो सम्भव नहीं है।
अथवा k – 6 = 0 ⇒ k = 6
अत: k का अभीष्ट मान = 6.

प्रश्न 3.
क्या एक ऐसी आम की बगिया बनाना सम्भव है जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से दुगनी हो और उसका क्षेत्रफल 800 m- हो? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आम की बगिया की चौड़ाई = x m
तो उसकी लम्बाई = 2x m
तब प्रश्नानुसार, क्षेत्रफल = 2x × x = 800 m²
⇒ 2x² = 800 ⇒ x² = 400
⇒ x = ± \(\sqrt { 400 }\) = ± 20
लेकिन माप ऋणात्मक नहीं हो सकती, अतः x = 20 m
अतः बगिया की चौड़ाई = 20 m
एवं लम्बाई = 2x = 2 × 20 = 40 m
अत: बगिया बनाना सम्भव है तथा बगिया की अभीष्ट लम्बाई एवं चौड़ाई क्रमशः 40 m एवं 20 m है।

प्रश्न 4.
क्या निम्न स्थिति सम्भव है? यदि है, तो उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। दो मित्रों की आयु का योग 20 वर्ष है। चार वर्ष पूर्व उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 48 था।
हल:
मान लीजिए कि एक मित्र की आयु x वर्ष है तो दूसरे मित्र की आयु (20 – x) होगी।
अब प्रश्नानुसार (x – 4) (20 – x – 4) = 48
⇒ (x – 4) (16 – x) = 48
⇒ 16x – x² – 64 + 4x = 48
⇒ x² – 20x + 112 = 0
यहाँ a = 1, b = -20 एवं c = 112
तो b² – 4ac = (-20)² – 4 (1) (112)
= 400 – 448 = – 48
अतः दत्त स्थिति सम्भव नहीं है।

प्रश्न 5.
क्या परिमाप 80 m तथा क्षेत्रफल 400 m- के एक पार्क को बनाना सम्भव है? यदि है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि पार्क की चौड़ाई = x m

अतः पार्क बनाना सम्भव है और वह वर्गाकार होगा जिसकी प्रत्येक भुजा = 20 m.

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.4

प्रश्न 1.
बिना लम्बी विभाजन क्रिया किर बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती हैं :
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \)
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \)
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \)
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \)
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \)
(vi) \(\frac{23}{2^{3} 5^{2}}\)
(vii) \(\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}\)
(viii) \(\frac { 6 }{ 15 } \)
(ix) \(\frac { 35 }{ 50 } \)
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \)
हल:
(i) \(\frac { 13 }{ 3125 } \) = \(\frac{13}{5^{5}}\)
चूँकि हर में केवल 5 की धात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) \(\frac { 17 }{ 8 } \) = \(\frac{17}{2^{3}}\)
चूँकि हर में केवल 2 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(iii) \(\frac { 64 }{ 455 } \) = \(\frac{64}{5^{1} \times 7^{1} \times 13^{1}}\)
चूँकि हर में 5 के अतिरिक्त 7 एवं 13 की धात हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(iv) \(\frac { 15 }{ 1600 } \) = \(\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}}\) = \(\frac{3}{2^{6} \times 5^{1}}\)
चूँकि हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत है।
(v) \(\frac { 29 }{ 343 } \) = \(\frac{29}{7^{3}}\)
चूँकि हर में 7 की घात है।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(vi) \(\frac{23}{2^{3} \times 5^{2}}\) के हर में चूँकि केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(vii) \(\frac{129}{2^{2} \times 5^{7} \times 7^{5}}\)
के हर में चूँकि 2 एवं 5 के अतिरिक्त 7 की घातें भी हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।
(viii) चूँकि \(\frac { 6 }{ 15 } \) = \(\frac { 2 }{ 5 } \) के हर में केवल 5 की घात है
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(ix) चूँकि \(\frac { 35 }{ 50 } \) = \(\frac { 7 }{ 10 } \) = \(\frac{7}{2 \times 5}\) के हर में केवल 2 एवं 5 की घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार सांत होगा।
(x) \(\frac { 77 }{ 210 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \) = \(\frac{11}{2 \times 3 \times 5}\)
चूँकि इसके हर में 2 और 5 के अतिरिक्त 3 की भी घातें हैं।
अतः, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

प्रश्न 2.
ऊपर दिए गए प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं।
हल:
ऊपर दिए गए प्रश्न में निम्न परिमेय संख्याओं के प्रसार सांत हैं :

प्रश्न 3.
कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और के रूप की है तो के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते हैं?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000…..
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\)
हल:
(i) 43.123456789 = \(\frac{43123456789}{10^{9}}\) 43123456789 में दशमलव प्रसार सांत है। अत: यह परिमेय संख्या है, जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्ड 2 और 5 ही हैं।
(ii) 0.120120012000120000 …………. का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है, इसलिए यह एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) \(43 \cdot \overline{123456789}\) में दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है। अतः यह एक परिमेय संख्या है जो \(\frac { p }{ q } \) के रूप की है तथा q के अभाज्य गुणनखण्डों में 2 या 5 के अतिरिक्त एक अन्य गुणखण्ड है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति 12.35 में ABCD एक आयत है, जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm है। BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल तथा परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : एक आयत जिसकी विमाएँ 21 cm x 14 cm
तथा एक अर्द्धवृत्त जिसका व्यास 14 cm, दिया है
अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
आयत का क्षेत्रफल = 21 x 14 = 294 cm²
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}=\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times(7)^{2}\)
= 77 cm²
चूँकि ar (छायांकित भाग) = ar (आयत) – ar (अर्द्धवृत्त)
ar (छायांकित भाग) = 294 – 77 = 217 cm²
छायांकित भाग की परिमाप = AB + DC + AD + πr
छायांकित भाग की परिमाप = 21 + 21 + 14 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7
= 21 + 21 + 14 + 22
= 78 cm
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 217 cm² एवं अभीष्ट परिमाप = 78 cm है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 12.36 में O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 21 cm एवं 42 cm है यदि ∠AOB = 60° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (\(\pi=\frac{22}{7}\) का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बाह्य वृत्त की त्रिज्या r1 = 42 cm एवं आन्तरिक वृत्त की त्रिज्या r2 = 21 cm. छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ2 = 360° – 60° = 300° तथा बड़े वृत्त के त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण θ1 = 60° है।
∵ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{\theta_{2}}{360^{\circ}} \times \pi r_{2}^{2}\)
⇒ ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{300^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times(21)^{2}\)
= 5 x 11 x 21
= 1155 cm²
∵ ar (बड़े वृत्त का त्रिज्यखण्ड) = \(\frac{\theta_{1}}{360^{\circ}} \times \pi\left(r_{1}\right)^{2}\)
= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7} \times(42)^{2}=924 \mathrm{cm}^{2}\)
= 924 cm²
∵ बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = \(\pi r_{1}^{2}=\frac{22}{7} \times(42)^{2}\)
⇒ ar (दीर्घ वृत्त) = 5544 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (दीर्घ वृत्त) – ar (छोटे वृत्त का दीर्घ त्रिज्यखण्ड) – ar (छोटे वृत्त का लघु त्रिज्यखण्ड)
⇒ ar (छायांकित भाग) = 5544 – 1155 – 924
= 5544 – 2079
= 3465 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 3465 cm² है।

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, प्रत्येक 3 cm व्यास के तीन अर्द्धवृत्त, 4.5 cm त्रिज्या का एक अर्द्धवृत्त बनाए गए है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि 4.5 cm त्रिज्या के अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

चूँकि 4.5 cm व्यास अर्थात् \(\frac { 9 }{ 4 }\) cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{22}{7}\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{891}{56} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि 3 cm व्यास अर्थात् \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या के एक अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

कुल क्षेत्रफल = ar ( \(\frac { 9 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त ) + ar (\(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)
कुल क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = ar(\(\frac { 9 }{ 4 }\) cm त्रिज्या का वृत्त) + 2 x ar (\(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या का अर्द्धवृत्त)

ar (छायांकित भाग) = कुल क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 12.375 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में केन्द्र वाले वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड OAP दर्शाया गया है जिसका केन्द्र पर अन्तरित कोण θ है। AB वृत्त की त्रिज्या OA पर लम्ब है जो OP को बढ़ाने पर बिन्दु B पर काटता है। सिद्ध कीजिए कि रेखांकित भाग का परिमाप \(r\left[\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1\right]\) है।
हल :

समकोण ∆OAB में,
tan θ = \(\frac { AB }{ r }\) ⇒ AB = r tan θ …(1)
एवं sec θ = \(\frac { OB }{ r }\) ⇒ OB = r sec θ …(2)
तथा चाप \(AP=\frac{\theta}{180^{\circ}} \pi r\) …(3)
चूँकि छायांकित भाग की परिमाप = AB + PB + चाप AP
= AB + (OB – OP) + चाप AP

अत: अभीष्ट परिमाप = \(r\left[\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1\right]\) है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 12:39 में दो संकेन्द्रीय वृत्तों, जिनकी त्रिज्याएँ 7 cm तथा 14 cm है, के बीच घिरे छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि ∠AOC = 40° है। (\(\pi=\frac{22}{7}\) लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : बड़े वृत्त की त्रिज्या r1 = 14 cm
छोटे वृत्त की त्रिज्या r2 = 7 cm तथा त्रिज्यखण्ड AOC का शीर्ष कोण θ1 = 40° है। छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का कोण θ2 = 360° – 40° = 320°
बड़े वृत्त का क्षेत्रफल

छोटे वृत्त के दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

बड़े वृत्त के लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

रिक्त स्थान का क्षेत्रफल = दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल + लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – रिक्त स्थान का क्षेत्रफल
= 616 – 205.33
= 410.67 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 410.67 cm² है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 12.40 में O केन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB = 13 cm है तथा AC = 12 cm है। BC को मिलाया गया है। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

ज्ञात है : ∆ACB में ∠C समकोण है (चूँकि अर्द्धवृत्त का कोण है), विकर्ण AB = 13 cm तथा AC = 12 cm, वृत्त का व्यास AB = 13 cm तो त्रिज्या r = \(\frac { 13 }{ 2 }\) cm
या समकोण ∆ACB में पाइथागोरस प्रमेय से

समकोण ∆ACB का क्षेत्रफल

अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल

ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (अर्द्धवृत्त) – ar (ABC)
= 66.33 – 30
= 36.33 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 36.33 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में PQRS एक वर्गाकार लॉन है जिसकी भुजा PQ = 42 m है। दो वृत्ताकार फूलों की क्यारियाँ भुजा PS तथा QR पर हैं जिनका केन्द्र इस वर्ग के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिन्दु O है। दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है PQRS एक वर्गाकार लॉन जिसकी भुजा PQ = 42 m है अर्थात् PS = PQ = QR = RS = 42 m. हम जानते हैं कि वर्ग के विकर्ण समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए OP = r वृत्त की त्रिज्या है। समकोण ∆SOP में पाइथागोरस प्रमेय से,
OP² + OS² = PS²
⇒ r² + r² = (42)²
⇒ 2r² = 42 x 42
⇒ r² = 21 x 42

ar (छायांकित वृत्तखण्ड) = ar (त्रिज्यखण्ड) – ar (POS)
= 693 – 441
= 252 m²
कुल छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 2 x 252
= 504 m²
अतः दोनों फूलों की क्यारियों (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = 504 m² है।

प्रश्न 8.
14 cm त्रिज्या वाले उस लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका केन्द्रीय कोण 60° है। संगत दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (\(\pi=\frac{22}{7}\) लीजिए)।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या r = OA = OB = 14 cm तथा OA और OB के बीच केन्द्र पर बना कोण (लघु वृत्तखण्ड का केन्द्रीय कोण) θ = 60° दिया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज होगा जिसकी भुजा a = OA = AB = OB = 14 cm है।
∵त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

∵समबाहु ∆OAB का क्षेत्रफल

∵वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल

अतः लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{7(44-21 \sqrt{3})}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।
∵वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (14)²
= 22 x 28
= 616 cm²
∵दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल \(\frac{7(220+21 \sqrt{3})}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार खेल के मैदान का क्षेत्रफल 22176 m² है। इसकी चारदीवारी लगवाने का खर्च कितना होगा यदि दर Rs 50 प्रति मीटर हो।
हल :
वृत्ताकार मैदान का क्षेत्रफल = πr² = 22176
\(\frac { 22 }{ 7 }\) r² = 22176
r² = \(\frac { 22176 \times 7 }{ 22 }\) = 7056
r = √7056
= 84 m
वृत्ताकार मैदान की परिधि = 2πr = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 84
= 528 m
चार दीवार लगवाने का व्यय = दर x परिधि
= 50 x 528
= Rs 26,400
अतः वृत्ताकार खेल के मैदान की चारदीवारी लगवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 26,400 होगा।

प्रश्न 10.
एक त्रिभुजाकार मैदान की भुजाएँ 15 m, 16 m एवं 17 m हैं। मैदान के कोनों में एक गाय, एक भैंस एवं एक घोड़ा अलग-अलग 7 m लम्बे रस्से से प्रत्येक को घास चरने के लिए बाँधा गया है। मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसको चरा नहीं गया है।

हल :
मान लीजिए त्रिभुजाकार मैदान ABC की भुजाएँ AB = 15 m, BC = 16 m एवं CA = 17 m हैं। शीर्ष A, B एवं C से 7 m लम्बे रस्से में क्रमशः गाय, भैंस एवं घोड़ा बाँधा गया है जो 7 m त्रिज्या वाले तथा शीर्ष कोण क्रमश: ∠A, ∠B, ∠C वाले त्रिज्यखण्डों से घास चर सकेंगे तथा छायांकित भाग मैदान का वह भाग होगा जहाँ से घास नहीं चरी जा सकेगी।

तीनों पशुओं द्वारा चरे गए मैदान के भाग का क्षेत्रफल

चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m²
अतः चरे नहीं जा सकने वाले मैदान के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल
= (24 √21 – 77) m² है।

प्रश्न 11.
12 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत त्रिज्यखण्ड का केन्द्र पर बना कोण 60° है। (π = 3.14 का प्रयोग करें।)
हल :

मान लीजिए OA = OB = 12 cm त्रिज्या तथा O केन्द्र वाला एक वृत्त है जिसका त्रिज्यखण्ड OADB तथा संगत वृत्तखण्ड ADB है। त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ = ∠AOB = 60°
∠O = ∠A = ∠B = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा a = 12 cm है।

ar (छायांकित भाग) = 75.36 – 62.35
ar (ADB) = 13.01 cm²
अतः वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 13.01 cm² है।

प्रश्न 12.
एक वृत्ताकर पोखर (तालाब) का व्यास 17.5 m है। यह 2 m चौड़े रास्ते से घिरा हुआ है। Rs 25 प्रति m² की दर से रास्ते को बनवाने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्ताकार तालाब का व्यास d = 2r1 = 17.5 m
r1 = 8.75 m = \(\frac { 35 }{ 4 }\) = m
इसके चारों ओर 2 m चौड़ा रास्ता है।
बाह्य वृत्त की त्रिज्या r2 = 8.75 + 2 = 10.75 m = \(\frac { 43 }{ 4 }\)m

रास्ते का क्षेत्रफल = ar (O, r2) – ar (O, r1)

रास्ते के बनवाने का कुल व्यय = दर x क्षेत्रफल
= Rs 25 x \(\frac { 858 }{ 7 }\)
= \(\frac { 21450 }{ 7 }\)
= Rs 3064.29
अतः रास्ते को बनवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 3064.29 है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.46 में ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के बीच दूरी = 14 cm है। यदि A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर क्रमशः 7 cm की त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD जिसमें AB || DC, AB = 18 cm, DC = 32 cm एवं AB तथा DC के मध्य दूरी = 14 cm. शीर्ष A, B,C एवं D से 7 cm त्रिज्या के चाप काटे हैं।
समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (AB + DC) x बीच की दूरी
ar (ABCD) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) (18+32) x 14 cm²
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 50 x 14 = 350 cm²
अब शीर्षों पर बने त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल,

ar (छायांकित भाग) = ar (ABCD) – ar (चारों त्रिज्यखण्ड)
= 350 – 154
= 196 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 196 cm² है।

प्रश्न 14.
3.5 cm प्रत्येक त्रिज्या वाले तीन वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष दो वृत्तों को बाह्यतः स्पर्श करे। इन वृत्तों से बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए r = 3.5 cm = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm त्रिज्या वाले तीन वृत्त जिनके केन्द्र P, Q एवं R है। संलग्न आकृति 12.47 के अनुसार खींचे गए हैं। उनसे घिरे छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। चूँकि ∆PQR एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई a = \(\frac{7}{2}+\frac{7}{2}\) = 7 cm है तथा इसके अन्तर्गत प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm एवं केन्द्रीय कोण θ = 60° है।

ar (छायांकित भाग) = ar (PQR) – 3 ar (त्रिज्यखण्ड)
= 21.217 – 19.25
= 1.967 cm²
अतः छायांकित भाग अर्थात् वृत्तों के मध्य घिरे हुए क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल =1.967 cm² है।

प्रश्न 15.
5 सेमी त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके संगत चाप की लम्बाई 3.5 cm है।
हल :

मान लीजिए O केन्द्र का एक वृत्त है जिसकी त्रिज्या r = 5 cm है तथा, चाप \(\widehat{P R Q}\) की लम्बाई 3.5 cm है केन्द्र पर θ कोण अन्तरित करता है। इसका संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ है।

चूँकि त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल

अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 8.75 cm² है।

प्रश्न 16.
7 cm त्रिज्या वाले 4 वृत्ताकार समान कार्ड बोर्ड के टुकड़े आपस में सटाकर एक कागज पर इस प्रकार रखे हैं कि प्रत्येक शेष तीन वृत्तों में से दो को स्पर्श करता है। इन चारों के बीच घेरे हुए कागज के क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 17.
784 cm² क्षेत्रफल वाले एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड पर चार समान (सर्वांगसम) अधिकतम माप की वृत्ताकार प्लेटें इस प्रकार रखी गयी हैं कि प्रत्येक शेष में से दो को बाह्यतः स्पर्श करें तथा वर्ग की प्रत्येक भुजा दो वृत्ताकार प्लेटों की स्पर्श रेखा हो, तो A. इन प्लेटों से अनाच्छादित कार्ड बोर्ड के रिक्त क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:

मान लीजिए एक वर्गाकार कार्ड बोर्ड ABCD है जिसका क्षेत्रफल 784 cm² है। आकृति के अनुसार चार सर्वांगसम वृत्ताकार प्लेटें P, Q, R एवं S रखी हैं। चूँकि दो प्लेटें परस्पर स्पर्श कर रही हैं ।

कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित क्षेत्र का क्षेत्रफल
ar (छायांकित क्षेत्र) = ar (ABCD) – 4ar (वृत्त)
= 784 – 616 [∵ ar (ABCD) = 784 दिया है।]
= 168 cm²
अतः कार्ड बोर्ड के अनाच्छादित रिक्त क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 168 cm² है।

प्रश्न 18.
एक वृत्त के केन्द्रीय कोण 200° वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल 770 cm² है। इस त्रिज्यखण्ड के संगत चाप की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक वृत्त (O, r) है जिसका θ = 200° केन्द्रीय कोण वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQRP है तथा संगत चाप QRP है तथा ar (OQRP) = 770 cm² (दिया है)। चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल


अतः चाप की अभीष्ट माप = \(73\frac { 1 }{ 3 }\) cm है।

प्रश्न 19.
7 cm एवं 21 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्रमशः केन्द्रीय कोण 120° एवं 40° वाले त्रिज्यखण्ड हैं। दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल तथा उनके संगत चापों के माप ज्ञात कीजिए। आप क्या प्रेक्षित करते है?
हल :

मान लीजिए O एवं x केन्द्र वाले दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 7 cm एवं r2 = 21 cm है तथा केन्द्रीय कोण θ1 = 120° एवं θ2 = 40° वाले त्रिज्यखण्ड क्रमशः OPRQ एवं xytz हैं
जिनके संगत चाप क्रमशः \(\widehat{P R Q}\) एवं \(\widehat{y t z}\) है।

अत: दोनों त्रिज्यखण्डों के अभीष्ट क्षेत्रफल क्रमश: \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² एवं 154 cm² हैं तथा संगत चापों की माप क्रमशः \(\frac { 44 }{ 3 }\) cm एवं \(\frac { 44 }{ 3 }\) cm हैं जो बराबर हैं। इस प्रकार हम प्रेक्षित करते हैं कि चाप बराबर होते हुए भी उनके संगत त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल अलग-अलग हैं।

प्रश्न 20.
एक वृत्ताकार पहिए द्वारा 176 m दूरी तय करने में लगाए गए चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए जबकि उसका क्षेत्रफल = 1.54 m².
हल :
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
\(\frac { 22 }{ 7 }\) r² = 1.54
r² = \(\frac { 1.54 \times 7 }{ 22 }\)
= 0.49
चूँकि वृत्त की परिधि (एक चक्कर में चली गई दूरी) = 2πr
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 0.7 = 4.4 m

अतः चक्करों की अभीष्ट संख्या = 40 चक्कर है।

प्रश्न 21.
केन्द्र पर 90° का कोण अन्तरित करने वाले तथा 5 cm लम्बाई की जीवा द्वारा किसी वृत्त को विभाजित करने पर बने दोनों वृत्तखण्डों के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

वृत्त (O,r) की जीवा PQ द्वारा केन्द्र O पर ∠POQ = 90° अन्तरित किया गया है, जहाँ जीवा PQ, ∆POQ का कर्ण है, तो समकोण ∆POQ में,
OP² + OQ² = PQ²
2r² = (5)² = 25
r² = \(\frac { 25 }{ 2 }\) …(1)
लघु त्रिज्यखण्ड OPRQ का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP का क्षेत्रफल = \(\frac{360^{\circ}-\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

वृत्तखण्ड PRQ का क्षेत्रफल = ar (OPRQ) – ar (OPQ)

अतः दोनों वृत्तखण्डों का अभीष्ट अन्तर = \(\left(\frac{25}{4} \pi+\frac{25}{2}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 22.
21 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्रीय कोण 120° वाले त्रिज्यखण्ड का उसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफलों का अन्तर ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए r = 21 cm त्रिज्या वाले वृत्त (O, r) का केन्द्रीय कोण θ1 = 120° वाला एक त्रिज्यखण्ड OPRQ तथा इसके संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड OQSP है जिसका केन्द्रीय कोण θ2 = 360° – 120° = 240° है।


ar (OQSP) – ar (OPRQ) = 924 – 462
= 462 cm²
अतः दोनों त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफलों में अभीष्ट अन्तर = 462 cm² है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 15 cm एवं 18 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है।
हल :
मान लीजिए कि वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = r हो तो प्रश्नानुसार,
2πr = 2π (15) + 2π (18)
2πr = 2π (15 + 18)
r = 15 + 18
= 33 cm
अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = 33 cm है।

प्रश्न 2.
28 cm त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका केन्द्रीय शीर्ष कोण 45° हो।
हल :
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

= 308 cm²
अतः त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 3.
एक मोटर साइकिल के पहिये की त्रिज्या 35 cm है। वह 1 मिनट में कितने चक्कर लगाएगा जबकि उसकी चाल 66 km/h हो।
हल :
मोटर साइकिल द्वारा 1 मिनट में चली गयी दूरी
= चाल x समय = 66 km/h x \(\frac { 1 }{ 60 }\) h = 1.1 km
= 1100 m
= 110000 cm.
पहिये की परिधि = 2πr = 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 35 = 220 cm

अतः मोटरसाइकिल का पहिया 500 चक्कर लगायेगा।

प्रश्न 4.
एक गाय 14 m लम्बी रस्सी से एक आयत के शीर्ष से बधी है जिसकी विमाएँ 20 m x 16 m है। गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
गाय एक 14 m त्रिज्या के चतुर्थांश की घास को चर पायेगी
⇒ चरे जाने वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
= \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(14)^{2}\)
= 154 m²
अतः गाय द्वारा चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल का अभीष्ट क्षेत्रफल = 154 m² है।

प्रश्न 5.
एक 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जबकि उसके संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष कोण 60° है।
हल :
वृत्त (O, r) की त्रिज्या r = 14 cm तथा अवधा PRQ के संगत त्रिज्यखण्ड OPRQ का शीर्ष कोण θ = ∠POQ = 60° है तो त्रिभुज समबाहु ∆ होगा जिसकी भुजा a = r = 14 cm त्रिज्यखण्ड का

अत: लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{308}{3}-49 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में ABCD एक वर्ग है जिसकी भुजा a = 12 cm जिसमें उसके शीर्षों A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर इस प्रकार चाप खींचे गए हैं कि ये चाप वर्ग की भुजाओं AB, BC, CD और DA को उनके मध्य-बिन्दुओं क्रमशः P, Q, R और S पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र PORS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

वृत्त के चार चतुर्थांश ASP, BPQ, CQR एवं DRS हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm है। वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = ar (ABCD) = a² = 12² = 144 cm²
चारों वृत्तखण्डों का क्षेत्रफल = 4 x \(\frac { 1 }{ 4 }\) πR²
= 4 x \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (6)
= 113.04 cm²
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – चतुर्थांशों का क्षेत्रफल
= 144 – 113.04
= 30.96 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 30.96 cm² है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में 10 cm भुजा वाले समबाहु त्रिभुज ABC के शीर्ष A, B एवं C को लेकर चाप खींचे गए है जो भुजाओं BC, CA एवं AB को उनके मध्य बिन्दुओं क्रमशः D, E एवं F पर प्रतिच्छेद करते हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन सर्वांसगम त्रिज्यखण्डों से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm तथा केन्द्रीय शीर्ष कोण θ = 60° (समबाहु ∆ के कोण) है।
ar (छायांकित क्षेत्र)

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 39.25 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में ∆POR के शीर्षों P, Q एवं R को केन्द्र लेकर 14 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

छायांकित भाग तीन त्रिज्यखण्डों के योग से बना है जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 14 cm दी है तथा मान लीजिए उनके शीर्ष कोण क्रमशः ∠P, ∠Q और ∠R हैं तो
छायांकित भाग का क्षेत्रफल

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 308 cm² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकर पार्क चारों ओर से एक 21 m चौड़ी सड़क से घिरा है। यदि पार्क की त्रिज्या 105 m हो, तो सड़क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

सड़क एक वृत्ताकार वलय है जिसकी आन्तरिक त्रिज्या r1 = 105 m दी है तथा इसकी बाह्य त्रिज्या r2 = 105 m + 21 m = 126 m है।
सड़क का क्षेत्रफल = π (R₂² – R₁²)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x [(126)² – (105)²]
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (126 + 105) (126 – 105)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 231 x 21
= 15246 m²
अतः सड़क का अभीष्ट क्षेत्रफल = 15246 m² है।

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति 12.59 में चतुर्भुज ABCD के शीर्ष A, B, C एवं D को केन्द्र लेकर 21 cm त्रिज्या के चाप खींचे गए हैं। छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चारों शीर्षों पर चार त्रिज्यखण्ड बने हैं जिनमें प्रत्येक की त्रिज्या r = 21 cm तथा शीर्ष केन्द्रीय कोण ∠A, ∠B, ∠C एवं ∠D हैं।

[∴ ∠A+ ∠B + ∠C+ ∠D = 360° चतुर्भुज के शीर्ष कोणों का योग]
= πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (21)²
= 22 x 63
= 1386 cm² .
अतः छायांकित क्षेत्र का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1386 cm² है।

प्रश्न 11.
20 cm लम्बा एक तार का टुकड़ा एक वृत्त की चाप की शक्ल में मोड़ा गया है, जो वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
चाप की लम्बाई = 20 cm तथा केन्द्र पर कोण θ = 60° अन्तरित है।
चूँकि

अतः वृत्त की अभीष्ट त्रिज्या = \(\frac{60}{\pi}\) cm है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या एक वर्ग जिसकी भुजा a cm है के अन्तर्वृत्त का क्षेत्रफल πa² cm होगी? अपने उत्तर का कारण बताइए।
हल :
नहीं हो सकता, क्योंकि इसकी त्रिज्या \(\frac { a }{ 2 }\) होगी तथा क्षेत्रफल \(\frac{1}{4} \pi a^{2} \mathrm{cm}^{2}\).

प्रश्न 2.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वर्ग की परिमाप जो a cm त्रिज्या वाले वृत्त का परिगत है, 8a cm होगी। अपने उत्तर का कारण दीजिए।
हल :
हाँ, यह कथन सत्य है, क्योंकि वर्ग की भुजा 2a cm है।

प्रश्न 3.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल संगत त्रिज्यखण्ड के क्षेत्रफल से कम है? और क्यों?
हल :
यह सदैव सत्य नहीं। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 4.
क्या यह कहना सत्य है कि किसी वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड क्षेत्रफल-संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल लघु वृत्तखण्ड एवं लघु त्रिज्यखण्ड के लिए सत्य है।

प्रश्न 5.
क्या यह सत्य है कि किसी d cm व्यास वाले पहिए द्वारा एक चक्कर में चली गयी दूरी 2πd cm होगी? और क्यों?
हल :
नहीं क्योंकि यह πd cm होगी।

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले किसी पहिए द्वारा s m की दूरी तय करने में उसे \(\frac{\boldsymbol{S}}{2 \pi \boldsymbol{r}}\) चक्कर लगाने पड़ेंगे। क्या यह कथन सत्य हैं? और क्यों?
हल :
हाँ कथन सत्य है क्योंकि 1 चक्कर में चली गयी दूरी = 2πr m.

प्रश्न 7.
किसी वृत्त के क्षेत्रफल का संख्यात्मक मान उसकी परिधि के संख्यात्मक मान के बराबर होगा। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है, क्योंकि वह त्रिज्या r के मान पर निर्भर करेगा और जब r का मान 2 मात्रक होगा तभी यह सत्य होगा।

प्रश्न 8.
किसी r मात्रक त्रिज्या के वृत्त का चाप दूसरे 2r मात्रक त्रिज्या के वृत्त के चाप के बराबर है। तो प्रथम वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड का शीर्ष (केन्द्रीय) कोण दूसरे वृत्त के संगत त्रिज्यखण्ड के शीर्ष (केन्द्रीय) कोण का दूना होगा। क्या यह कथन असत्य है? और क्यों?
हल :
नहीं, कथन सत्य है, क्योंकि चाप = कोण x त्रिज्या।

प्रश्न 9.
दो भिन्न वृत्तों के समान संगत चापों द्वारा निर्मित त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल समान होंगे। क्या यह कथन सत्य है? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है क्योंकि यह केवल समान वृत्तों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 10.
दो विभिन्न वृत्तों के त्रिज्यखण्डों के क्षेत्रफल यदि समान हों, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके संगत चापों की लम्बाई समान होगी? और क्यों?
हल :
यह कथन सदैव सत्य नहीं है। यह केवल समान वृत्तों के चापों के लिए ही सत्य है।

प्रश्न 11.
क्या a cm लम्बाई एवं b cm चौड़ाई वाले आयत (जहाँ a > b) के अन्तर्गत खींचे गए। बड़े-से-बड़े वृत्त का क्षेत्रफल πb² cm² होगा? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वृत्त की त्रिज्या b/2 होगी।

प्रश्न 12.
दो भिन्न वृत्तों के क्षेत्रफल बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनकी परिधियाँ की बराबर होंगी? और क्यों?
हल :
हाँ, क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 13.
दो वृत्तों की परिधियाँ बराबर हैं, तो क्या यह आवश्यक है कि उनके क्षेत्रफल भी बराबर होंगे? और क्यों?
हल :
हाँ क्योंकि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हैं।

प्रश्न 14.
क्या यह कहना सत्य होगा कि एक वृत्त के अन्तर्गत बने वर्ग का क्षेत्रफल p² cm² होगा यदि वृत्त का व्यास p cm हो? और क्यों?
हल :
नहीं, क्योंकि वर्ग का विकर्ण p cm होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 12 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वृत्त का चाप, वृत्त की त्रिज्या और चाप द्वारा केन्द्र पर बने कोण में क्या सम्बन्ध है :
(a) कोण = चाप x त्रिज्या
(b) चाप = कोण x त्रिज्या
(c) त्रिज्या = चाप x कोण
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) चाप = कोण x त्रिज्या

प्रश्न 2.
यदि किसी वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो इसकी परिमाप होगी :
(a) 11 cm
(b) 22 cm
(c) 44 cm
(d) 55 cm.
उत्तर:
(c) 44 cm

प्रश्न 3.
त्रिज्या के वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण θ(डिग्री में) है, तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल होगा:

उत्तर:
\(\frac{\pi r^{2} \theta}{360^{\circ}}\)

प्रश्न 4.
यदि त्रिज्याओं R₁ एवं R₂ वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁² + R₂² = R²
(c) R₁ + R₂ < R
(d) R₁² + R₁² < R².
उत्तर:
(b) R₁² + R₂² = R²

प्रश्न 5.
यदि त्रिज्याओं R1 एवं R2 वाले वृत्तों की परिधियों का योगफल तीसरे R त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि के बराबर हो, तो :
(a) R₁ + R₂ = R
(b) R₁ + R₂ > R
(c) R₁ + R₂ < R
(d) नहीं कह सकते।
उत्तर:
(a) R₁ + R₂ = R

प्रश्न 6.
r त्रिज्या वाले अर्द्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे गए बड़े-से-बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा :
(a) r² वर्ग मात्रक
(b) \(\frac { 1 }{ 2 }\) r² वर्ग मात्रक
(c) 2r² वर्ग मात्रक
(d) √2 r² वर्ग मात्रक।
उत्तर:
(a) r² वर्ग मात्रक

प्रश्न 7.
एक वृत्त की परिधि एक वर्ग की परिमाप के बराबर हो तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(a) 22 : 7
(b) 14 : 11
(c) 7 : 22
(d) 11 : 14.
उत्तर:
(b) 14 : 11

प्रश्न 8.
एक एकल वृत्ताकार पार्क बनाना प्रस्तावित है जिसका क्षेत्रफल दो छोटे वृत्ताकार पार्कों के क्षेत्रफल के योगफल के बराबर है। यदि छोटे पार्कों के व्यास क्रमश: 16 m एवं 12 m हों, तो नए पार्क की त्रिज्या होगी :
(a) 10 m
(b) 15 m
(c) 20 m
(d) 24 m.
उत्तर:
(a) 10 m

प्रश्न 9.
6 cm भुजा वाले वर्ग के अन्तर्गत खींचे गए वृत्त का क्षेत्रफल होगा :
(a) 36π cm²
(b) 18π cm²
(c) 12π cm²
(d) 9π cm².
उत्तर:
(d) 9π cm².

प्रश्न 10.
8 cm त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत बनने वाले वर्ग का क्षेत्रफल होगा :
(a) 256 cm²
(b) 128 cm²
(c) 64√2 cm²
(d) 64 cm².
उत्तर:
(b) 128 cm²

प्रश्न 11.
एक वृत्त की परिधि 36 cm एवं 20 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग है, तो उस वृत्त की त्रिज्या होगी:
(a) 56 cm
(b) 42 cm
(c) 28 cm
(d) 16 cm.
उत्तर:
(c) 28 cm

प्रश्न 12.
एक वृत्त का क्षेत्रफल 24 cm एवं 7 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफल का योग है, तो उस वृत्त का व्यास होगा:
(a) 31 cm
(b) 25 cm
(c) 62 cm
(d) 50 cm.
उत्तर:
(d) 50 cm.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. वृत्त के अनुदिश एक बार चलने में तय की गई दूरी उस वृत्त की ………… कहलाती है।
2. वृत्त की परिधि के मध्य घिरे हुए क्षेत्र की माप उस वृत्त का ………… कहलाता है।
3. एक वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और संगत चाप से घिरा (परिबद्ध) हो उस वृत्त का एक ………….. कहलाता है।
4. त्रिज्यखण्ड की संगत चाप की माप उस चाप की ………… कहलाती है।
5. वृत्तीय क्षेत्र का वह भाग जो जीवा और संगत चाप से परिबद्ध हो उस वृत्त का ………… कहलाता है।
5. कोण θ वाले त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल का सूत्र ………… है। (2019)
उत्तर-
1. परिधि (परिमाप),
2. क्षेत्रफल,
3. त्रिज्यखण्ड,
4. लम्बाई,
5. वृत्तखण्ड,
6. त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)

जोड़ी मिलाना

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. सर्वांगसम वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
2. समरूप वृत्तों के क्षेत्रफल सदैव बराबर होते हैं।
3. सर्वांगसम वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
4. समरूप वृत्तों की परिमाप सदैव बराबर होती है।
5. यदि एक वृत्त की परिधि एवं एक वर्ग की परिमाप बराबर है तो वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक वृत्त के व्यास d एवं परिधि में क्या सम्बन्ध है?
2. एक वृत्त के व्यास d एवं उसके क्षेत्रफल में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर-
1. परिधि = πd,
2. वृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi d^{2}\)

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.1

प्रश्न 1.
कोष्ठकों में दिए शब्दों में से सही शब्दों का प्रयोग करते हुए रिक्त स्थानों को भरिए :
(i) सभी वृत्त ……………….. होते हैं। (सर्वांगसम, समरूप)
(ii) सभी वर्ग………………. होते हैं। (समरूप, सर्वांगसम)
(iii) सभी …………… त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु, समबाहु)
(iv) भुजाओं की समान संख्याओं वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(a) उनके संगत कोण ………………. हों, तथा
(b) उनकी संगत भुजाएँ ……………….. हों। (बराबर, समानुपाती)
हल :
(i) समरूप,
(ii) समरूप,
(iii) समबाहु,
(iv) (a) बराबर, (b) समानुपाती।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित युग्मों के दो भिन्न-भिन्न उदाहरण दीजिए :
(i) समरूप आकृतियाँ,
(ii) ऐसी आकृतियाँ जो समरूप नहीं हैं।
हल :
(i) (a) सभी वृत्त,
(b) सभी वर्ग।

(ii) (a) सभी चतुर्भुज,
(b) सभी त्रिभुज।

प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित चतुर्भुज समरूप हैं या नहीं :

हल :
नहीं हैं।

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In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.3

प्रश्न 1.
विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p (x) को g (x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए :
(i) p(x) = x³ – 3x² + 5x – 3,g (x) = x² – 2
(ii) p(x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x
(iii) P (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
हल:
(i) p (x) = x³ – 3x² + 5x – 3 एवं g (x) = x² – 2
चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x3 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x2 से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है, वह 3x² + 7x – 3 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए।

चरण 3 : अब शेष बचे 7x – 9 की घात भाजक x² – 2 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की क्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x – 3 एवं शेषफल = 7x – 9 है।

(ii) p (x) = x⁴ – 3x² + 4x + 5,g (x) = x² + 1 – x यहाँ भाज्य तो भाजक रूप में है, लेकिन भाजक g (x) = x² + 1 – x मानक रूप में नहीं है अत: मानक रूप में व्यवस्थित करने पर भाजक g (x) = x² – x + 1 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य की उच्चत्तम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चत्तम घात वाले पद x² से भाग दीजिए यह x² आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह x³ – 4x² + 4x + 5 है।

चरण 2 : अब भागफल का दूसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x³ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह x आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए जो शेष बचता है वह – 3x² + 3x + 5 है।

चरण 3 : अब भागफल का तीसरा पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद -3x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद x² से भाग दीजिए। यह -3 आता है तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए, जो शेष बचता है वह 8 है।

चरण 4: अब शेष बचे 8 की घात भाजक x² – x + 1 की घात से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = x² + x – 3 एवं शेषफल = 8 है।

(iii) p (x) = x⁴ – 5x + 6, g (x) = 2 – x²
यहाँ भाज्य तो मानक रूप में है लेकिन भाजक g (x)= 2 – x² मानक रूप में नहीं है, इसलिए भाजक को मानक रूप में व्यवस्थित करने पर g (x) = – x² +2 प्राप्त होगा।

चरण 1 : भागफल का प्रथम पद प्राप्त करने के लिए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद x⁴ को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए, यह – x² आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह 2x² -5x + 6

चरण 2 : अब भागफल का द्वितीय पद ज्ञात करने के लिए नए भाज्य के उच्चतम घात वाले पद 2x² को भाजक के उच्चतम घात वाले पद -x² से भाग दीजिए। यह – 2 आता है, तब भाग देने की प्रक्रिया कीजिए। जो शेष बचता है, वह – 5x + 10 है।

चरण 3 : अब शेष बचे – 5x + 10 की घात भाजक – x² + 2 से कम है। इसलिए हम भाग की प्रक्रिया को और नहीं कर सकते।
अतः, अभीष्ट भागफल = -x² – 2 एवं शेषफल = -5x + 10 है।

प्रश्न 2.
पहले बहुपद से दूसरे बहुपद को भाग करके जाँच कीजिए कि क्या प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है :
(i) t² – 3, 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12
(ii) x² + 3x + 1, 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2
(iii) x³ – 3x + 1, x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1
हल:
(i) यहाँ भाजक t² – 3 एवं भाज्य 2t⁴ + 3t³ – 2t² – 9t – 12 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(ii) यहाँ भाजक x² + 3x + 1 तथा भाज्य 3x⁴ + 5x³ – 7x² + 2x + 2 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

चूँकि यहाँ शेषफल शून्य आया है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड है।

(iii) यहाँ भाजक x³ – 3x + 1 एवं भाज्य x⁵ – 4x³ + x² + 3x + 1 हैं जो मानक रूप में व्यवस्थित हैं।

यहाँ शेषफल 2 आया है, शून्य नहीं है।
अतः, दिया हुआ प्रथम बहुपद, द्वितीय बहुपद का एक गुणनखण्ड नहीं है।

प्रश्न 3.
3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 के अन्य सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसके दो शून्यक \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)
और – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) हैं।
हल:
चूँकि \(\sqrt{\frac{5}{3}}\) एवं –\(\sqrt{\frac{5}{3}}\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, इसलिए (x – \(\sqrt{\frac{5}{3}}\))(x + \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)) अर्धात (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) दिए गए बहुपद का एक गुणक होगा। अब विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग दिए गए बहुपद एवं (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) के लिए करते हैं :

इसलिए 3x⁴ + 6x³ – 2x² – 10x – 5 = (x² – \(\frac { 5 }{ 3 } \)) (3x² + 6x + 3)
अब 3x² + 6x + 3 के गुणनखण्ड 3 (x + 1)² प्राप्त होते हैं इसलिए इसके शून्यक x = -1 एवं x = -1 होंगे।
अतः, दिए बहुपद के अन्य शून्यक -1 और -1 है।

प्रश्न 4.
यदि x³ – 3x² + x + 2 को एक बहुपदg (x) से भाग देने पर भागफल और शेषफल क्रमशः x – 2 और – 2x + 4 हैं, तो g (x) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हम पाते हैं:
g (x).(x – 2) + (-2x + 4) = x³ – 3x² + x + 2
⇒ g (x).(x – 2) x³ – 3x² + x + 2 + 2x – 4
x³ – 3x² + 3x – 2
⇒ g(x) = \(\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x-2}{x-2}\)
इसलिए g (x) का मान ज्ञात करने के लिए हम बहुपद x³ – 3x² + 3x – 2 को व्यंजक x – 2 से विभाजित करेंगे

अतः,g (x) का अभीष्ट मान x² – x + 1 है।

प्रश्न 5.
बहुपदों p (x), g (x), q (x) और r (x) के ऐसे उदाहरण दीजिए जो विभाजन एल्गोरिथ्म को सन्तुष्ट करते हों तथा
(i) घात p (x) = घात q(x)
(ii) घात q (x) = घात r (x)
(ii) घात r (x) = 0
हल:
(i) p (x) = 2x² – 2x + 14, g (x) = 2,
q(x) = x² – x + 7 एवं r (x) = 0
(ii) p (x) = x³ + x² + x + 1, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 1 एवं r (x) = 2x +2
(iii) p (x) = x³ + 2x² – x + 2, g (x) = x² – 1,
q(x) = x + 2 एवं r (x) = 4
ज्ञातव्य : उपर्युक्त तीनों प्रश्नों (i), (ii) एवं (iii) के अनेक उदाहरण हो सकते हैं।

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In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.1

प्रश्न 1.
आफताब अपनी पुत्री से कहता है, “सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।” (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि आफताब एवं उसकी पुत्री की वर्तमान आयु क्रमशः x वर्ष और y वर्ष है, तो
प्रश्नानुसार,
(x – 7) = 7 (y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0 …(1)
एवं (x + 3)= 3 (y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y – 6 = 0 …(2)
यह स्थिति मनोरंजक भी हैतथा गणितीय तथ्यपरक है। इस स्थिति का बीजगणितीय निरूपण है।
x – 7y + 42 = 0 एवं x – 3y – 6 = 0
ग्राफीय निरूपण के लिए :
∵ x – 7y + 42 = 0 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 42+x }{ 7 } \)

चूँकि x – 3y – 6 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 3 } \)

उपर्युक्त आकृति अभीष्ट ग्राफीय निरूपण है।

प्रश्न 2.
क्रिकेट टीम के एक कोच ने ₹ 3900 में 3 बल्ले तथा 6 गेंदें खरीदी। बाद में उसने एक और बल्ला तथा उसी प्रकार की 3 गेंदें ₹ 1300 में खरीदीं। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
माना 1 बल्ले एवं 1 गेंद का मूल्य क्रमशः ₹ x तथा ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 3x + 6y = 3900
⇒ x + 2y = 1300
एवं x + 3y = 1300 अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
x + 2y = 1300 …(1) एवं x + 3y = 1300 …(2)
जहाँ x एवं y क्रमशः 1 बल्ले और 1 गेंद के मूल्य (₹ में) हैं।
ज्ञातव्य – उपर्युक्त स्थितियाँ व्यावहारिक रूप से अनुपयुक्त हैं। ये तभी सम्भव हो सकती हैं जबकि प्रत्येक गेंद मुफ्त में मिल रही हो अथवा मूल्य में परिवर्तन हुआ हो।
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिएः
चूँकि x + 2y = 1300 ….(1)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 2 } \)

एवं x + 3y = 1300 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 1300-x }{ 3 } \)

अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

प्रश्न 3.
2 kg सेब और 1 kg अंगूर का मूल्य किसी दिन ₹ 160 था। एक महीने बाद 4 kg सेब और 2 kg अंगूर का मूल्य ₹ 300 हो जाता है। इस स्थिति को बीजगणितीय तथा ज्यामितीय रूपों में व्यक्त कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि 1 किलो सेब एवं 1 किलो अंगूर का मूल्य क्रमश: ₹ x एवं ₹ y है।
तो प्रश्नानुसार, 2x + y = 160 ….(1)
एवं 4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150 ….(2)
अतः दी गई स्थितियों का बीजगणितीय निरूपण है:
2x + y = 160 ..(1) 2x + y = 150 …(2)
ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण के लिए:
चूँकि 2x + y = 160 ….(1)
⇒ y = 160 – 2x

एवं 2x + y = 150 ….(2)
⇒ y = 150 – 2x

आकृति 3.3
अतः उपर्युक्त आकृति दी गई स्थितियों का ज्यामितीय (ग्राफीय) निरूपण है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
(iii) cos 48° sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 590.
हल :
(i) \(\frac{\sin 18^{\circ}}{\cos 72^{\circ}}\)
= 1.
अतः अभीष्ट मान = 1 (एक) है।

(ii) \(\frac{\tan 26^{\circ}}{\cot 64^{\circ}}\)
= 1
अतः अभीष्ट मान 1 (एक) है।

(iii) cos 48° sin 42° = cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0
अतः अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

(iv) cosec 31° – sec 59° = cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0
अत: अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 2.
दिखाइए कि:
(i) tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38°. cos 52° – sin 38°. sin 52° = 0.
हल :
(i) L.H.S. = tan 48°. tan 23°. tan 42° tan 67°
= tan (90° – 42°). tan 23°. tan 42°. tan (90° – 23°)
= cot 42°. tan 23°. tan 42°. cot 23°
= \(\frac{\cos 42^{\circ}}{\sin 42^{\circ}} \cdot \frac{\sin 23^{\circ}}{\cos 23^{\circ}} \cdot \frac{\sin 42^{\circ}}{\cos 42^{\circ}} \cdot \frac{\cos 23^{\circ}}{\sin 23^{\circ}}\)
= 1
= R.H.S.
इति सिद्धम्

(ii) L.H.S. = cos 38°.cos 52° – sin 38°. sin 52°
= cos 38°. cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos 38°.sin 38° – sin 38°. cos 38°
= cos 38°.sin 38° – cos 38°.sin 38°
= 0
= R.H.S.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot (A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि tan 2A = cot (A – 18°) (दिया हुआ है)
cot (90° – 2A) = cot (A – 18°)
90° – 2A = A – 18°
3A = 90° + 18° = 108°
A = \(\frac { 108 }{ 3 }\)
= 36°
अतः A का अभीष्ट मान = 36° है।

प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A+ B = 90°.
हल :
चूँकि
⇒ tan A = cot B (दिया है)
⇒ tan A = tan (90° – B)
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec (A – 20°) जहाँ 4A एक न्यनूकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि sec 4A = cosec (A – 20°) (दिया है)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°)
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ 4A + A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = \(\frac { 110 }{ 5 }\) = 22°
अतः A का अभीष्ट मान = 22° है।

प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तः कोण हों, तो दिखाइए कि
\(\sin \left(\frac{B+C}{2}\right)=\cos \frac{A}{2}\)
हल :
चूंकि
A + B + C = 180° (त्रिभुज के अन्त:कोण हैं)

= cos \(\frac { A }{ 2 }\)
= RHS
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
sin 67° + cos 75° = sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय अनुपात के पद cos 23° + sin 15°.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 सांख्यिकी Ex 14.4

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बंटन किसी फैक्टरी के 50 श्रमिकों की दैनिक आय दर्शाता है :

उपरोक्त बंटन को एक ‘कम प्रकार के संचयी बारम्बारता बंटन’ में बदलिए और उसका तोरण खींचिए।
हल:

प्रश्न 2.
किसी कक्षा के 35 विद्यार्थियों की मेडीकल जाँच के समय, उनके भार निम्नलिखित रूप में रिकॉर्ड किए गए :

उपरोक्त आँकड़ों के लिए कम प्रकार का तोरण’ खींचिए। इसके बाद माध्यक भार ज्ञात कीजिए।
हल :
अभीष्ट तोरण :

अतः अभीष्ट माध्यक भार का मान 47.5 kg (तोरण के द्वारा प्राप्त) है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सारणी किसी गाँव के 100 फार्मों में हुआ प्रत्येक हेक्टेयर (ha) गेहूँ उत्पादन दर्शाते हैं:

इस बंटन को अधिक के प्रकार के’ बंटन में बदलिए और फिर तोरण खींचिए।
हल:

अभीष्ट तोरण :

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