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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 रचनाएँ Ex 11.1

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए और इसे 5 : 8 अनुपात में विभाजित कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 7.6 cm लम्बा दिया हुआ रेखाखण्ड है जिसे 5 : 8 के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण :

1. AB = 7.6 cm लम्बा एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. रेखा AB के बिन्दु A पर नीचे की ओर ∠BAX = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण AX खींचिए।
3. रेखा AB के बिन्दु B पर ऊपर की ओर ∠ABY = ∠BAY = θ न्यूनकोण बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. AX एवं BY से क्रमश: AA1 = A1A2 = A2A3 = A3A4 = A4A5 = BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B7 = B7B8 रेखाखण्ड काटिए।
5. A6B8 रेखाखण्ड को मिलाइए जो AB को बिन्दु C पर प्रतिच्छेद करता है।

अत: AB के अभीष्ट विभाजित खण्ड AC : CB = 5 : 8 है।
एवं AC = 2.9 (लगभग)
तथा BC = 4.7 (लगभग)
उत्तर रचना का औचित्य : ∆CAA5 एवं ∆CBB8 में,
∵ ∠CAA5 = ∠CBB8 [रचना से हैं।
∵ ∠ACA5 = ∠BCB8 [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
⇒ ∆CAA5 ~ ∆CBB8 [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{A C}{B C}=\frac{A A_{5}}{B B_{8}}=\frac{5}{8}\)
⇒ AC : BC = 5 : 8.

प्रश्न 2.
4 cm, 5cm एवं 6 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और इसके समरूप अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 2 }{ 3 }\) गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए कि एक दिए हुए त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ AB = 4 cm, BC = 5 cm और CA = 6 cm हैं तथा इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना दिए हुए स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) के अनुसार करनी है।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 5 cm खींचिए।
2. B को केन्द्र मानकर AB = 4 cm की त्रिज्या एवं C को केन्द्र मानकर CA = 6 cm की त्रिज्या से चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AB एवं AC को मिलाइए। इस प्रकार ∆ABC की रचना होती है।
4. BC रेखाखण्ड के बिन्दु B पर नीचे की ओर ∠CBX = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BX खींचिए।
5. किरण BX से BB1 = B1B2 = B2B3 तीन बराबर रेखाखण्ड खींचिए।
6. B3C को मिलाइए।
7. B2 से B2C’||B3BC एक रेखाखण्ड खींचिए जो BC को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
8. C’ से C’ A’ || CA एक रेखाखण्ड खींचिए जो AB को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः इस प्रकार बना अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 2 }{ 3 }\) है।
रचना का औचित्य : ∆BA’C’ एवं ∆BAC में
∵∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵∠A’C’B = ∠ACB रचना से (संगत कोण है)]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{2}}{B B_{3}}=\frac{2}{3}\) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ]

प्रश्न 3.
5 cm, 6 cm और 7 cm भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 7 }{ 5 }\) गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए ∆ABC की भुजाएँ क्रमश: AB = 5 cm, BC = 6 cm एवं CA = 7 cm की रचना करके एक अन्य ∆A’BC’ समरूप त्रिभुज की रचना करनी है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 7 }{ 5 }\) हैं।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचिए।
2. B को केन्द्र लेकर AB = 5 cm तथा C को केन्द्र लेकर CA = 7 cm की त्रिज्या से चाप खींचिए जो परस्पर बिन्दु A प्रतिच्छेद करते हैं।
3. AB एवं AC को मिलाइए। इस प्रकार ∆ABC की रचना होगी।
4. BC को आगे X तक तथा BA को आगे Y तक बढ़ाइए एवं बिन्दु B पर (नीचे की ओर) < XBZ = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
5. BZ से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 = B5B6 = B6B7 रेखाखण्ड काटिए।
6. B5 को C से मिलाइए।
7. B7 से B7C’ || B5C रेखाखण्ड खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
8. C’ से C’A’ || CA रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः इस प्रकार बना अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसका स्केल गुणक \(\frac { 7 }{ 5 }\) है।
रचना का औचित्य : ∆A’ BC’ एवं ∆ABC में
∵ ∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵ ∠A’C’B = ∠ACB [रचना से (संगत कोण हैं)]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{B A^{\prime}}{B A}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{7}}{B B_{5}}=\frac{7}{5}\)[समरूप प्रमुख का संगत मुजाए ह]

प्रश्न 4.
आधार 8 cm तथा ऊँचाई 4 cm के एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ इस समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की
\(1\frac { 1 }{ 2 }\), गुनी हैं।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज ABC का आधार BC = 8 cm एवं शीर्ष लम्ब (ऊँचाई) AD = 4 cm है तथा AB = AC की रचना करनी है तथा एक अन्य समरूप त्रिभुज A’BC’ की रचना करनी है जिसका स्केल गुणक \(1\frac { 1 }{ 2 }\) = \(\frac { 3 }{ 2 }\) हैं।
रचना के पदः

1. आधार BC = 8 cm का एक रेखाखण्ड खींचिए।
2. BC का लम्बार्द्धक PQ खींचिए जो आधार BC को बिन्दु M पर समद्विभाजित करता है।
3. MP में से MA = 4 cm का रेखाखण्ड काटिए।
4. AB एवं AC को मिलाइए।
   इस प्रकार अभीष्ट ∆ABC (एक समद्विबाहु त्रिभुज) की रचना होती है।
5. BC, BA को क्रमशः X एवं Y तक बढ़ाइए एवं बिन्दु B पर ∠CBZ = θ एक न्यूनकोण (नीचे की ओर) बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
6. किरण BZ से BB1 = B1B2 = B2B3 रेखाखण्ड काटिए।
7. B2C को मिलाइए।
8. B3C’ || B2C खींचिए जो किरण BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’A’ || CA खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करती है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है, जहाँ स्केल गुणक \(\frac { 3 }{ 2 }\) है अर्थात् ∆A’BC’ की भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(1\frac { 1 }{ 2 }\) गुनी है।
रचना का औचित्य : ∆A’BC’ एवं ∆ABC में,
∵ ∠A’BC’ = ∠ABC [उभयनिष्ठ हैं]
∵ ∠A’C’B = ∠ACB [संगत कोण हैं-रचना से]
⇒ ∆A’BC’ ~ ∆ABC [AA समरूपता]
⇒ \(\frac{B A^{\prime}}{B A}=\frac{B C^{\prime}}{B C}=\frac{B B_{3}}{B B_{2}}=\frac{3}{2}\) [समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ हैं]

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm और ∠ABC = 60° हैं। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हों।
हल :

एक दिए हुए ∆ABC की रचना करनी है जिसमें BC = 6 cm, AB = 5 cm एवं ∠ABC = 60° है तथा इसके समरूप एक अन्य ∆A’BC’ खींचना है।
जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हो।
रचना के पद :

1. एक रेखाखण्ड BC = 6 cm खींचा।
2. BC के बिन्दु B पर ∠CBX = 60° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींची।
3. BX किरण में से BA = 5 cm का एक रेखाखण्ड काटा।
4. AC को मिलाया। इस प्रकार ∆ABC की रचना हुई।
5. BC के बिन्दु B पर ∠CBY = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BY खींची।
6. किरण BY में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 रेखाखण्ड काटे।
7. B4C को मिलाया।
8. बिन्दु B3 से ∠C’B3B = ∠CB4B संगत कोण बनाते हुए C’B3 || CB रेखाखण्ड खींचा जो BC को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
9. बिन्दु C’ से ∠A’C’B = ∠ACB संगत कोण बनाते हुए रेखाखण्ड, A’C’ खींचा जो AB को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 3 }{ 4 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : त्रिभुज ABC में A’C’ || AC [रचना से]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C B}{C B}\) …(1) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
एवं ∆BCB4 में C’B3 || CBA [रचना से]
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{3} B}{B_{4} B}=\frac{3}{4}\) ….(2) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{3}{4}\) [समीकरण (1) और (2) से] ।

प्रश्न 6.
एक त्रिभुज ABC बनाइए जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45°, ∠A = 105° हो, फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हों।
हल :

एक दिए हुए त्रिभुज ABC की रचना करनी है जिसमें BC = 7 cm, ∠B = 45° एवं ∠A = 105°, अतः ∠C = 180° – (45° + 105°) = 180° – 150° = 30° तथा स्केल गुणक \(\frac { 4 }{ 3 }\) वाले समरूप त्रिभुज की रचना करनी है।
रचना के पद :

1. एक किरण BY खींचिए।
2. किरण BX से BC = 7 cm का एक रेखाखण्ड काटिए।
3. बिन्दु B पर ∠CBY = 45° बनाते हुए किरण BY खींचिए।
4. बिन्दु C पर ∠BCZ = 30° बनाते हुए एक किरण CZ खींचिए जो किरण BY को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करती है। इस प्रकार ∆ABC की रचना होती है।
5. किरण BX के साथ नीचे की ओर ∠XBT = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BT खींचिए।
6. किरण BT में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4. रेखाखण्ड काटिए।
7. B3C को मिलाइए।
8. B4 से B4C’ || B3C खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करती है।
9. C’ से A’C’ || AC रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही अभीष्ट ∆A’BC’ ~ ∆ABC है। जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 4 }{ 3 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि ∆A’BC’ में AC || A’C’ है।
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}\) …(1)[समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
एवं ∆C’BB4 में CB3 || C’B4 है
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{4} B}{B_{3} B}=\frac{4}{3}\) ….(2) [समरूप त्रिभुज के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{4}{3}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]

प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 cm तथा 3 cm लम्बाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हों।
हल :

मान लीजिए एक दिए हुए समकोण ∆ABC की रचना करनी है जिसका ∠B समकोण है तथा भुजाएँ AB = 4 cm तथा BC = 3 cm हैं। इसके अतिरिक्त एक अन्य । त्रिभुज की रचना करनी है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हों।
रचना के चरण :

1. एक किरण BX खींचिए तथा BX में से BC = 3 cm का रेखाखण्ड काटिए।
2. बिन्दु B पर BC के साथ ∠CBY = 90° (समकोण) बनाते हुए किरण BY खींचिए।
3. किरण BY में से BA = 4 cm का रेखाखण्ड काटिए।
4. AC को मिलाइए। इस प्रकार समकोण ∆ABC की रचना होती है।
5. बिन्दु B पर BX के साथ ∠XBZ = θ एक न्यूनकोण बनाते हुए किरण BZ खींचिए।
6. BZ में से BB1 = B1B2 = B2B3 = B3B4 = B4B5 काटिए।
7. B3C को मिलाइए।
8. B5 से B5C’ || B3C रेखाखण्ड खींचिए जो BX को बिन्दु C’ पर प्रतिच्छेद करता है।
9. C’ से C’A’ || CA एक रेखाखण्ड खींचिए जो BY को बिन्दु A’ पर प्रतिच्छेद करता है।

अतः यही ∆A’BC अभीष्ट समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की \(\frac { 5 }{ 3 }\) गुनी हैं।
रचना का औचित्य : चूँकि ∆A’BC’ में AC || A’C’ [रचना से]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}\) …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं ∆C’BB5 में, CB3 || C’B5 [रचना से]
⇒ \(\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{B_{5} B}{B_{3} B}=\frac{5}{3}\) …..(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ \(\frac{A^{\prime} B}{A B}=\frac{C^{\prime} B}{C B}=\frac{5}{3}\) [समीकरण (1) एवं (2) से]

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 9 अवकल समीकरण

अवकल समीकरण Important Questions

अवकल समीकरण वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) + x² \(\frac{dy}{dx}\) = e^x की घात है –
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) अस्तित्व नहीं है।
उत्तर:
(c) 3

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण (1 + x) y dx + (1 – y) x dy = 0 का हल होगा –
(a) log xy + x + y = c
(b) log y + x – y = c
(c) log xy – x – y = c
(d) log xy – x + y = c.
उत्तर:
(b) log y + x – y = c

प्रश्न 3.
उन सभी वृत्तों का अवकल समीकरण जो मूलबिन्दू से गुजरते हैं तथा जिनके केन्द्र X – अक्ष पर स्थित है –
(a) x² = y² + xy \(\frac{dy}{dx}\)
(b) x² = y² + 3xy \(\frac{dy}{dx}\)
(c) y² = x² + 2xy \(\frac{dy}{dx}\)
(d) y² = x² – 2xy \(\frac{dy}{dx}\)
उत्तर:
(c) y² = x² + 2xy \(\frac{dy}{dx}\)

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y = e^-x, y(0) = 0 का हल होगा –
(a) y = e^-x (x -1)
(b) y = xe^x
(c) y = xe^-x + 1
(d) y = xe^-x
उत्तर:
(d) y = xe^-x

प्रश्न 5.
सरल रेखा जो अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = m को संतुष्ट करती हो तथा Y – अक्ष पर धनात्मक दिशा में 3 अन्तःखण्ड काटती हो, है –
(a) y = mx + c
(b) = mx + 3
(c) y = mx – 3
(d) y = – mx + 3
उत्तर:
(b) = mx + 3

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. समीकरण x² + y² = a² के संगत अवकल समीकरण ……………………….. है।
2. वक्र y = e^cx से संबंधित अवकल समीकरण …………………………….. है, जहाँ c स्वेच्छ अचर है।
3. रेखीय अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q में समाकलन गुणांक …………………………. है।
4. रेखीय अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q में P और …………………………… हैं।
5. अवकल समीकरण (x + y + 1) dy = dx ………………………… रूप का है।
6. अवकल समीकरण e^-x+y \(\frac{dy}{dx}\) = 1 का हल हो ……………………… है।

उत्तर:

1. y \(\frac{dy}{dx}\) + x = 0
2. x\(\frac{dy}{dx}\) = y log y
3. e^∫pdx
4. अचर
5. रेखीय अवकल समीकरण

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. अवकल समीकरण y = x ( \(\frac{dy}{dx}\) )² + \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) की कोटि 2 है।
2. अवकल समीकरण ( \(\frac { d^{ 3 }y }{ dx^{ 3 } } \) )^4/5 – 2 ( \(\frac{dy}{dx}\) ) ( \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) )² = 0 की घात 5 है।
3. अवकल समीकरण x \(\frac{dy}{dx}\) – y = 2x² का समाकलन गुणांक e^-x है।
4. अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल y + cos x – c = 0 है।
5. अवकल समीकरण ydx + (x – y³) dy = 0 का हल xy = \(\frac { y^{ 4 } }{ 4 } \) + c है।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. अवकल समीकरण (1 + y²) + (2xy – cot y) \(\frac{dy}{dx}\) = 0 का समाकल गुणांक लिखिए।
2. अवकल समीकरण (1 + x²)dy = (1 + y²) dx का हल ज्ञात कीजिए।
3. अवकल समीकरण y = x( \(\frac{dy}{dx}\) )² + \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) की कोटि व घात का योग लिखिए।
4. अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल y + cos x – c = 0 है।
5. अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac{1}{x}\) = \(\frac { e^{ y } }{ x^{ 2 } } \) का हल ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 1 + y²
2. x – y = c (1 + xy)
3. 3
4. log x
5. 2xe^-y = cx² + 1.

अवकल समीकरण अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y = e^-x की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
1, 1

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण ( \(\frac{dy}{dx}\) )³ = \(\sqrt { 1+(\frac { dy }{ dx } )^{ 2 } } \) की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
1, 6

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) + \(\sqrt { 1+(\frac { dy }{ dx } )^{ 3 } } \) = 0 की कोटि तथा घात ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
2, 2

प्रश्न 4.
वृत्त के समीकरण x² + y² = a² के संगत अवकल समीकरण क्या होगा?
उत्तर:
y \(\frac{dy}{dx}\) + x = 0

प्रश्न 5.
सरल रेखा y = mx + c के लिये अवकल समीकरण बनाइये।
उत्तर:
\(\frac{dy}{dx}\) = m

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = 4y को हल कीजिये।
उत्तर:
y = c.e^4x

प्रश्न 7.
x² \(\frac{dy}{dx}\) = 2 का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
y = c – \(\frac{2}{x}\)

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण dy = sin x dx का हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
y + cos x = c

प्रश्न 9.
\(\frac{dy}{dx}\) + Px = Q रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
xe^∫pdy = ∫Q.e^∫pdy.dy + c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण (1 – y²) \(\frac{dy}{dx}\) + yx = ay का समाकल गुणांक ज्ञात कीजिये।
उत्तर:
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 1-y^{ 2 } } } \)

अवकल समीकरण लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
अवकल समीकरण x log x dy – y dx = 0?
हल:
दिया है:
⇒ xlog x dy = y dx
⇒ \(\frac{1}{y}\) \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{xlogx}\) dx
⇒ ∫\(\frac{1}{y}\) \( dy = ∫[latex]\frac{1}{xlogx}\) dx
⇒ log y = ∫\(\frac{1}{t}\) dt (माना log x = t, \(\frac{1}{x}\) \( dx = dt)
⇒ log y = log t + log c
⇒ log y = log log x + log c

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण dy/dx = e^x-y + x.e^-y को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
[latex]\frac{dy}{dx}\) = e^x-y + x.e^-y
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = e^-y(e^x + x)
⇒ e^y dy = (e^x + x) dx
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫e^y dy = ∫(e^x + x) dx
e^y = e^x + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि y = 4 sin 3x अवकल समीकरण \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) + 9y = 0 का एक हल है।
हल:
दिया है:
y = 4 sin 3x ……………… (1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = 12 cos 3x
पुनः x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) = -36 sin 3x = -9 × 4 sin 3x
⇒ \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) = -9y, [समी. (1) से]
⇒ \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \)+ 9y = 0 यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sec x (sec x + tan x) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\(\frac{dy}{dx}\) = sec x (sec x + tan x)
⇒ dy = (sec²x + sec x tan x) dx
⇒ ∫dy = ∫sec²x dx + ∫sec x tan x dx
∴ y = tan x + sec x + c

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sec² x + 3x² को हल कीजिए।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = sec² x + 3x²
⇒ dy = (sec² x + 3x²) dx
⇒ ∫dy = ∫sec² x dx + 3∫x² dx
⇒ y = tan x + \(\frac { 3x^{ 3 } }{ 3 } \) + c
⇒ y = tan x + x³ + c

प्रश्न 6.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sec² x + 2x का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 5 की भाँति हल करें।

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = (3x² + 2) को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) = (3x² + 2)
⇒ dy = (3x² + 2) dx
⇒ ∫dy = ∫(3x² + 2) dx
⇒ y = 3 × \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \) + 2x + c = x³ + 2x + c

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण x² \(\frac{dy}{dx}\) = 2 को हल कीजिए।
उत्तर:
x² \(\frac{dy}{dx}\) = 2
⇒ dy = 2.x^-2 dx
⇒ ∫dy = 2∫x^-2 dx
⇒ y = 2( \(\frac{-1}{x}\) ) + c

प्रश्न 9.
अवकल समीकर \(\frac{dy}{dx}\) = x³ + sin 4x का हल ज्ञात कीजिये।
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) = x³ + sin 4x
⇒ dy = (x³ + sin 4x) dx
⇒ ∫dy = ∫x³ dx + ∫sin 4x dx
⇒ y = \(\frac { x^{ 4 } }{ 4 } \) + ( \(\frac { -cos4x }{ 4 } \) ) + c
⇒ y = \(\frac { x^{ 4 } }{ 4 } \) – \(\frac{cos4x}{4}\) + c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + 2x = e^3x का हल ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) + 2x = e^3x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = e^3x – 2x
⇒ dy = (e^3x – 2x) dx
⇒ ∫dy = ∫e^3x dx – 2∫x dx
⇒ y = e^3x. \(\frac{1}{3}\) – \(\frac { 2x^{ 2 } }{ 2 } \) + c = \(\frac{1}{3}\) e^3x – x² + c

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { cos^{ 2 }y }{ sin^{ 2 }x } \) का हल ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { cos^{ 2 }y }{ sin^{ 2 }x } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ cos^{ 2 }y } \) dy = \(\frac { 1 }{ sin^{ 2 }x } \) dx
⇒ sec² ydy = cosec² xdx
⇒ ∫sec² ydy = ∫cosec² xdx
⇒ tan y = – cot x + c

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण (x² + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1 को हल कीजिये।
हल:
दिया है:
(x² + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { 1 }{ (1+x^{ 2 }) } \)
⇒ dy = \(\frac { 1 }{ (1+x^{ 2 }) } \) dx
⇒ ∫dy = ∫\(\frac { 1 }{ (1+x^{ 2 }) } \) dx
⇒ y = tan^-1 x + c

प्रश्न 13.
समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = sin x sin y को हल कीजिये।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = sin x sin y
⇒ cosec y dy = sin x dx
समाकलन करने पर,
-log_e(cosec y + cot y) = – cos x + c
⇒ cos x – log_e(cosec y + cot y) = c

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = y sin x को हल कीजिये।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = y sin x
⇒ \(\frac{1}{y}\) \(\frac{dy}{dx}\) = sin x
⇒ ∫\(\frac{1}{y}\) dy = ∫sin x dx
⇒ log y = – cos x + c

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = x cos x को हल कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) = x cos x
⇒ dy = x cos x dx
⇒ ∫dy = ∫x cos x dx
⇒ y = x sin x – ∫1. sin x dx + c
⇒ y = x sin x + cos x + c

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = 1 – x + y – xy को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
\(\frac{dy}{dx}\) = 1 – x + y – xy
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = (1 – x) + y(1 – x)
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = (1 – x) (1 + y)
⇒ \(\frac{dy}{1+y}\) = (1 – x)dx
⇒ ∫\(\frac{dy}{1+y}\) = ∫(1 – x)dx
⇒ log_e(1 + y) = x – \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

प्रश्न 17.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) = (1 + x)(1 + y²) को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
\(\frac{dy}{dx}\) = (1 + x)(1 + y²)
⇒ \(\frac { 1 }{ 1+y^{ 2 } } \) dy = (1 + x) dx
समाकलन करने पर,
⇒ tan^-1 y = x + \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + c

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
\(\frac{dy}{dx}\) = cot²x
⇒ dy = cot² x dx
⇒ ∫dy = ∫cot² x dx
⇒ y = ∫(cosec² x – 1) dx
⇒ y = – cot x – x + c

अवकल समीकरण दीर्घ उत्तरीय प्रश्न-I

प्रश्न 1.
(A) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y tan x = sec x को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\frac{dy}{dx}\) + y tan x = sec x ………… (1)
यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = tan x, Q = sec x
∴ I.F. = e^{∫p dx} = e^{∫tan x dx} = e^{log secx}
⇒ I.F. = sec x
अतः अवकल समी. (1) का अभीष्ट हल है:
y × (I.F.) = ∫Q × (I.F). dx + c
⇒ y × (sec x) = ∫sec x × (sec x) dx + c
= ∫sec² xdx + c
⇒ y sec x = tan x + c

(B) अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + y tan x = sin x को हल कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 1 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 2.
अवकल समीकरण \(\frac { dy }{ dx } \) = \(\frac { \sqrt { 1-y^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) को हल कीजिए।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { \sqrt { 1-y^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)

प्रश्न 3.
अवकल समीकरण 3x²dy = (3xy + y²)dx को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
3x² dy = (3xy + y²) dx
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac { 3xy+y^{ 2 } }{ 3x^{ 2 } } \) ……….. (1)
माना y = vx
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = v + x \(\frac{dv}{dx}\)
समी. (1) में मान रखने पर,

प्रश्न 4.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
(1 + x)² \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = 4x²
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
(1 + x²) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = 4x²
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac { 2xy }{ 1+x^{ 2 } } \) = \(\frac { 4x^{ 2 } }{ 1+x^{ 2 } } \)
इसकी तुलना रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,

अतः अभीष्ट हल होगा:

प्रश्न 5.
अवकल समीकरण (1 + x²) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = cos x को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
(1 + x²) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = cos x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac { 2x }{ (1+x^{ 2 }) } \). y = \(\frac { cosx }{ 1+x^{ 2 } } \) …………. (1)
P = \(\frac { 2x }{ (1+x^{ 2 }) } \), Q = \(\frac { cosx }{ 1+x^{ 2 } } \)

अतः अवकल समी. (1) का अभीष्ट हल है
y.(I.F.) = ∫Q.(I.F.) dx + c
⇒ y(1 + x²) = ∫\(\frac { cosx }{ 1+x^{ 2 } } \) dx + c
⇒ y(1 + x²) = ∫cos x dx + c
⇒ y(1 + x²) = sin x + c

प्रश्न 6.
किसी वस्तु के बनाने का सीमांत लागत मूल्य c'(x) = \(\frac{dc}{dx}\) = 2 + 0.15 x समीकरण से दिया जाता है। इस वस्तु के बनाने पर कुल लागत मूल्य c(x) ज्ञात कीजिए। (दिया है: c(0) = 100)
हल:
दिया है:
समीकरण c'(x) = \(\frac{dc}{dx}\) = 2 + 0.15 x
समाकलन करने पर,
∫c'(x) dx = ∫(2 + 0.15 x) dx
c(x) = 2x + 0.15 \(\frac { x^{ 2 } }{ 2 } \) + A ………. (1)
अब यदि x = 0 तो
c(0) = 2 × 0 + \(\frac{0.15}{2}\) × o² + A
⇒ c(0) = A [∵c(0) = 100]
∴ A = 100,
समी. (1) में मान रखने पर,
c(x) = 2x + 0.075 x² + 100

प्रश्न 7.
अवकल समीकरण x\(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) dx + y \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) dy = 0 को हल कीजिए।
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
x\(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) dx + y \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) dy = 0
⇒ \(\frac { y }{ \sqrt { 1+y^{ 2 } } } \) dy = – \(\frac { x }{ \sqrt { 1+x^{ 2 } } } \)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
∫\(\frac { y }{ \sqrt { 1+y^{ 2 } } } \) dy = -∫\(\frac { x }{ \sqrt { 1+x^{ 2 } } } \) dx + c
⇒ \(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) = – \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) + c
⇒ \(\sqrt { 1+x^{ 2 } } \) + \(\sqrt { 1+y^{ 2 } } \) = c

प्रश्न 8.
अवकल समीकरण हल कीजिए –
(x + y + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1?
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है:
(x + y + 1) \(\frac{dy}{dx}\) = 1
⇒ \(\frac{dx}{dy}\) = x + y + 1
⇒ \(\frac{dx}{dy}\) – x = y + 1
यह y के सापेक्ष x का अवकल समीकरण है।
इसकी तुलना रैखिक अवकल समीकरण \(\frac{dx}{dy}\) + Px = Q से करने पर,
P = – 1 तथा Q = y + 1

अत: अभीष्ट हल होगा:

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण sec² x tan y dx + sec² y tan xdy = 0 को हल कीजिए।
हल:
दिया है:
sec² xtan ydx + sec² ytan xdy = 0
⇒ sec² tan x dy = -sec² tan ydx
⇒ \(\frac { sec^{ 2 }y }{ tany } \) dy = \(\frac { sec^{ 2 }x }{ tanx } \) dx
⇒ ∫\(\frac { sec^{ 2 }y }{ tany } \) dy = -∫\(\frac { sec^{ 2 }x }{ tanx } \) dx + c
⇒ log y = – log x + log c
⇒ log x + log y = log c
⇒ log xy = log c
⇒ xy = c

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण हल कीजिए।
\(\frac{dy}{dx}\) = y tan x – 2 sin x?
हल:
दिया गया अवकल समीकरण
\(\frac{dy}{dx}\) – y tan x = -2 sin x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = – tan x, Q = – 2 sin x
अभीष्ट हल y.(I.F.) = ∫Q.I.F.dx + c
⇒ y cos x = -2∫sin x cos x dx + c
⇒ y cos x= -∫sin 2x dx + c
⇒ y cos x = \(\frac{cos 2x}{2}\) + c

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + 2y = 4x को हल कीजिए।
हल:
\(\frac{dy}{dx}\) + 2y = 4x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = 2,Q = 4x

⇒ y = 2x – 1 + c.e^-2x

प्रश्न 12.
अवकल समीकरण cos²x \(\frac{dy}{dx}\) + y = 2 को हल कीजिए।
हल:
cos² x \(\frac{dy}{dx}\) + y = 2
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + sec² x.y = 2 sec² x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = sec² x, Q = 2 sec² x

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण cos x \(\frac { dy }{ dx } \) + y = sin x को हल कीजिये।
हल:
cos x \(\frac{dy}{dx}\) + y = sin x
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + secx. y = tan x
इसकी तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = sec x, Q = tan x

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (1 + y²) dx = (tan^-1 y – x) dy को हल कीजिए। (CBSE 2015)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + y²) dx = (tan^-1y – x) dy
\(\frac{dx}{dy}\) + \(\frac { x }{ 1+y^{ 2 } } \) = \(\frac { tan^{ -1 }y }{ 1+y^{ 2 } } \)

प्रश्न 15.
अवकल समीकरण (1 + y²) + (x – e^{tan-1 y}) \(\frac{dy}{dx}\) = 0 को हल कीजिए। (CBSE 2016)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + y²) + (x – e^{tan-1 y}) \(\frac{dy}{dx}\) = 0

समी (1) की तुलना \(\frac{dx}{dy}\) + Px = Q से करने पर,

अतः समीकरण का हल होगा –
x.I.F = ∫I.F. × Qdy

tan^-1y = t रखने पर,
\(\frac{d}{dy}\) tan^-1 y = \(\frac{dt}{dy}\)
⇒ \(\frac { 1 }{ 1+y^{ 2 } } \) dy = dt
∴ x.e^{tan-1 y} = ∫e^t.e^t dt = ∫e^2t dt
⇒ x.e^{tan-1 y} = \(\frac{1}{2}\) e^2t + c
⇒ x.e^{tan-1 y} = \(\frac{1}{2}\) e^{2 tan-1 y} + c

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण (1 + x²) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) को हल कीजिए, जहाँ y = 0 तथा x = 1(NCERT)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
(1 + x²) \(\frac{dy}{dx}\) + 2xy = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \)
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) + \(\frac { 2xy }{ 1+x^{ 2 } } \) = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) )²
समी. (1) की तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
यहाँ P = \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \), Q = \(\frac { 1 }{ 1+x^{ 2 } } \) )²

अतः समीकरण का हल होगा –
y.I.F. = ∫I.F. × Qdx

y = 0 तथा x = 1 रखने पर,
0(1+1)² = tan^-1 + c
⇒ 0 = \(\frac { \pi }{ 4 } \) + c
⇒ c = – \(\frac { \pi }{ 4 } \)
c का मान समी. (2) में रखने पर, अवकल समीकरण का हल होगा
y.(1 + x²) = tan^-1 x – \(\frac { \pi }{ 4 } \)

प्रश्न 17.
अवकल समीकरण \(\frac{dy}{dx}\) + cot x = 4x cosec x का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया गया है कि – y = 0 तथा x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) (NCERT; CBSE 2012)
हल:
दिया गया अवकल समीकरण है –
\(\frac{dy}{dx}\) + y cot x = 4x cosec x
समी. (1) की तुलना \(\frac{dy}{dx}\) + Py = Q से करने पर,
P = cot x, Q = 4x cosecx

अतः समीकरण का हल होगा –
y.I.F. = ∫1.F. × Qdx
⇒ y.sin x = ∫sin x × 4x cosec x dx
⇒ y sin x = 4∫\(\frac { xsinx }{ sinx } \) dx
⇒ y sin x = 4∫xdx
⇒ y sin x = \(\frac { 4x^{ 2 } }{ 2 } \) + c
⇒ y sin x = 2x² + c
x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) तथा y = 0 रखने पर,
0(sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) ) = 2( \(\frac { \pi }{ 2 } \) )² + c
⇒ 0 = \(\frac { 2\pi ^{ 2 } }{ 4 } \) + c
∴ c = \(\frac { -\pi ^{ 2 } }{ 2 } \)
c का मान समी. (2) में रखने पर, अवकल समीकरण का अभीष्ट हल होगा –
y.sinx = 2x² – \(\frac { \pi ^{ 2 } }{ 2 } \)

MP Board Class 12 Maths Important Questions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.4

प्रश्न 1.
सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शुन्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणाकों के बीच के सम्बन्ध को भी सत्यापित कीजिए :
(i) 2x³ + x² – 5x + 2; \(\frac { 1 }{ 2 } \),1,-2
(ii) x³ – 4x² + 5x – 2; 2, 1, 1
हल:
(i) माना p (x) = 2x³ + x² – 5x +2

अतः, \(\frac { 1 }{ 2 } \),1 एवं – 2 दिए गए बहुपद के शून्यक हैं। सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

(ii) माना p (x) = x³ – 4x² + 5x – 2 (दिया है)
⇒ p (2) = (2)³ – 4(2)² + 5 (2)-2 .
= 8 – 16 + 10 – 2 = 18 – 18 = 0
तथा p (1) = (1)³ – 4 (1)² + 5 (1) – 2
= 1 – 4 + 5 – 2 = 6 – 6 = 0
इसलिए 2 एवं 1 दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं, अतः (x – 2) (x – 1) अर्थात् x² – 3x + 2 इस बहुपद का एक गुणक होगा।

⇒ x³ – 4x² + 5x – 2 = (x² – 3x + 2) (x – 1)
⇒ (x – 1) दिए बहुपद x³ – 4x² + 5x – 2 का एक अन्य गुणक होगा।
⇒ दिए बहुपद का अन्य (तीसरा) शून्यक 1 होगा।
अतः, 2, 1, 1 दिए बहुपद के शून्यक हैं सत्यापित होता है।

अतः, इस प्रकार बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन होता है।

प्रश्न 2.
एक त्रिघात बहुपद प्राप्त कीजिए जिसके शून्यकों का योग, दो शून्यकों को एक साथ लें उनके गुणनफलों का योग तथा तीनों शून्यकों के गुणनफल क्रमशः 2, -7, – 14 हों।
हल:
मान लीजिए त्रिघात बहुपद ax³ + bx² + cx + d है जिसके शून्यक α,β और γ हैं तो हम पाते हैं कि
α + β + γ = –\(\frac { b }{ a } \) = 2
तथा αβ + βγ + yα = \(\frac { c }{ a } \) = -7
एवं αβγ = – \(\frac { d }{ a } \) = – 14
यदि a = 1 तब b = -2, c = -7 एवं d = 14
अतः, अभीष्ट त्रिघात बहुपद = x³ – 2x² – 7x + 14 होगा।

प्रश्न 3.
यदि बहुपद x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हों, तो a और b ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि x³ – 3x² + x + 1 के शून्यक a – b, a, a + b हैं इसलिए a – b + a + a + b = –\(\frac { (-3) }{ 1 } \) = 3
⇒ 3a = 3 ⇒ a = \(\frac { 3 }{ 3 } \) = 1 …(1)
तथा (a – b) (a) + (a) (a + b) + (a + b) (a – b) = \(\frac { 1 }{ 1 } \) = 1
⇒ a² – ab + a² + ab + a² – b² = 1
⇒ 3a² – b² = 1 …(2)
एवं (a – b) (a) (a + b) = –\(\frac { 1 }{ 1 } \) = -1
⇒ a (a² – b²)= – 1 ⇒ a³ – ab² = – 1
अब समीकरण (1) एवं (2) से,
3(1)² – b² = 1 ⇒ 3 – b² = 1
⇒ b² = 3 – 1 = 2 ⇒ b = ± \(\sqrt { 2 }\) …(4)
एवं समीकरण (1) एवं (3) से,
(1)³ – (1) (b²) = – 1 ⇒ 1 – b² = – 1
⇒ b² = 1 + 1 = 2 ⇒ b= ± \(\sqrt { 2 }\)
अतः, a और b के अभीष्ट मान a = 1 एवं b = ± \(\sqrt { 2 }\) हैं।

प्रश्न 4.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ – 26x² + 138x – 35 के दो शून्यक 2 ± \(\sqrt { 3 }\) हों, तो अन्य शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि 2 ± \(\sqrt { 3 }\) दिए गए बहुपद के दो शून्यक हैं इसलिए (x – 2 – \(\sqrt { 3 }\) ) (x – 2 + \(\sqrt { 3 }\) ) अर्थात्
[(x – 2)² – (\(\sqrt { 3 }\))²]
अर्थात् (x² – 4x + 4 – 3) अर्थात् (x² – 4x + 1) इस बहुपद का एक गुणक होगा।

इसलिए x² – 2x – 35 भी दिए हुए बहुपद का एक अन्य गुणक होगा। गुणनखण्ड करने पर,
x² – 2x – 35 = x² – (7 – 5) x – 35
= x² – 7x + 5x – 35
= x (x – 7) + 5 (x – 7)
= (x – 7) (x + 5) प्राप्त होता है।
अतः, 7 एवं – 5 दिए बहुपद के दो अन्य अभीष्ट शून्यक होंगे।

प्रश्न 5.
यदि बहुपद x⁴ – 6x³ + 16x² – 25x + 10 को एक अन्य बहुपद x² – 2x + k से भाग दिया जाए तो शेषफल (x + a) आता हो, तो k तथा a ज्ञात कीजिए।
हल:

लेकिन शेषफल = x + a दिया है। इसलिए दोनों शेषफलों की तुलना करने पर हम पाते हैं –
2k – 9 = 1 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5 ….(1)
एवं K² – 8k + 10 = a ….(2)
⇒ a = (5)² – 8 (5) + 10 = 25 – 40 + 10 = 35 – 40
⇒ a = -5
अतः, k एवं a के अभीष्ट मान k = 5 एवं a = -5 हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 निर्देशांक ज्यामिति Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (k + 1, 2k), B (3k, 2k + 3) तथा C (5k – 1, 5k) सरेख हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि A, B एवं C सरेख हैं
⇒ ar (ABC) = 0
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [(k + 1) (2k + 3 – 5k)] + (3k) (5k – 2k) + (5k – 1) (2k – 2k – 3) = 0
⇒ (k + 1) (-3k + 3) + (3k) (3k) + (5k – 1) (-3) = 0
⇒ -3k² + 3k – 3k + 3 + 9k² – 15k + 3 = 0
⇒ 6k² – 15k + 6 = 0
⇒ 2k² – 5k + 2 = 0
⇒ 2k² – 4k – k + 2 = 0
⇒ 2k (k – 2) – 1 (k – 2) = 0
⇒ (k – 2) (2k – 1) = 0
या तो k – 2 = 0 ⇒ k = 2
अथवा 2k – 1 = 0 ⇒ k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: k का अभीष्ट मान 2 या \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।

प्रश्न 2.
k के मान ज्ञात कीजिए, जिससे (1, -1), (-4, 2k) तथा (-k, -5) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग इकाई है।
हल :
चूँकि त्रिभुज का क्षेत्रफल ∆ = 24 वर्ग इकाई (दिया है)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [1 (2k + 5) + (-4) (-5 + 1) + (-k)] (-1 – 2k)] = 24
⇒ [(2k + 5) + (-4) (-4) + (-k) (-2k – 1)] = 48
⇒ 2k + 5 + 16 + 2k² + k = 48
⇒ 2k² + 3k + 21 = 48
⇒ 2k² + 3k – 27 = 0
⇒ 2k² + 9k – 6k – 27 = 0
⇒ k(2k + 9) – 3(2k + 9) = 0
⇒ (2k + 9)(k – 3) = 0
या तो 2k + 9 = 0 ⇒ k = \(-\frac { 9 }{ 2 }\)
अथवा k – 3 = 0 ⇒ k = 3
अत: k के अभीष्ट मान = \(-\frac { 9 }{ 2 }\) अथवा 3 हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में एक त्रिभुज ABC के शीर्ष A (4, 6), B (1, 5) तथा C(7, 2) हैं। एक रेखाखण्ड DE भुजाओं AB तथा AC को क्रमशः बिन्दुओं D तथा E पर इस प्रकार काटता हुआ खींचा गया \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) है
∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए तथा उसकी ∆ABC के क्षेत्रफल से तुलना कीजिए।
हल :

चूँकि \(\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{1}{3}\) दिया है। अतः बिन्दु D एवं बिन्दु E रेखाखण्ड AB एवं AC को क्रमशः 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करते हैं।

अत: त्रिभुज ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 5 }{ 6 }\) वर्ग इकाई है।
अब ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (5 – 2) + 1 (2 – 6) + 7 (6 – 5)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (3) + 1 (-4) + 7 (1)]
⇒ ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [12 – 4 + 7]
= \(\frac { 15 }{ 2 }\) वर्ग इकाई …(2)
⇒ \(\frac { ar(ADE) }{ ar(ABC) } =\frac { \frac { 5 }{ 6 } }{ \frac { 15 }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 9 } \)
अतः ∆ar (ADE) : ar (ABC) = 1:9 है।

प्रश्न 4.
बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y), बिन्दुओं P (2, – 2), तथा Q (3, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? y का मान भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बिन्दु (\(\frac { 24 }{ 11 }\), y) रेखाखण्ड PQ को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है, तो


⇒ 33m + 22 = 24m + 24
⇒ 33m – 24m = 24 – 22
⇒ 9m = 2
⇒ m = \(\frac { 2 }{ 9 }\)
अतः अभीष्ट अनुपात = 2:9
अब

अतः y का अभीष्ट मान = \(\frac { -4 }{ 11 }\)

प्रश्न 5.
यदि बिन्दु P (x,y) बिन्दुओं A (a + b, b – a) तथा B (a – b, a + b) से समदूरस्थ है तो सिद्ध कीजिए bx = ay.
हल :

चूँकि PA = PB (दिया है)

⇒ (x – a – b)² + (y + a – b)² = (x – a + b)² + (y – a – b)² दोनों ओर वर्ग करने पर।
⇒ x² + a + b² – 2xa + 2ab – 2xb + y² + a² + b² + 2ya – 2ab – 2yb
= x² + a² + b² – 2xa – 2ab + 2xb + y² + a² + b² – 2ya + 2ab – 2yb
⇒ x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax – 2bx + 2ay – 2by
= x² + y² + 2a² + 2b² – 2ax + 2bx – 2ay – 2by
⇒ 4ay = 4bx
⇒ bx = ay
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9,4) समान्तर चतुर्भुज ABCD के तीन शीर्ष हैं, तथा E रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है, तो ∆ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
A (6, 1), B (8, 2) एवं C (9, 4) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष दिए हैं तथा E बिन्दु, रेखाखण्ड DC का मध्य-बिन्दु है।
ar (∆ADE) ज्ञात करना है।
चूँकि ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है
ar (ABC) = ar (ACD) …(1) [विकर्ण समद्विभाजित करते हैं।
चूँकि AE, ∆ACD की माध्यिका है [E, DC का मध्य-बिन्दु है]
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ACD) ….(2)
ar (ADE) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ar (ABC) [समीकरण (1) व (2) से]
ar (ADE) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\) [6(2 – 4) + 8 (4 – 1) +9 (1 – 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [6 (-2) + 8 (3)] + 9 (-1)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 24 – 9]

= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 21]
= \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई
अत: ∆ADE का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 3 }{ 4 }\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 7.
बिन्दु A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) ∆ABC के शीर्ष हैं, तो
(i) यदि A से खींची गयी माध्यिका BC से बिन्दु D पर मिलती है तो बिन्दु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जबकि AP : PD = 2 : 1.
(iii) माध्यिका BE एवं CF पर बिन्दु Q एवं R इस प्रकार स्थित हैं कि BQ : QE = 2 : 1 तो Q एवं R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(iv) त्रिभुज ABC के केन्द्रक ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है ∆ABC की माध्यिकाएँ AD, BE एवं CF क्रमशः रेखाखण्ड BC, CA एवं AB के मध्य-बिन्दुओं क्रमश: D, E एवं F पर मिलती हैं। P, Q एवं R बिन्दु क्रमशः माध्यिकाओं AD, BE एवं CF को क्रमशः AP : PD = 2 : 1, BQ : QE = 2 : 1 एवं CR : RF = 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करते हैं (देखिए आकृति 7.23)।
A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) निर्देशांक दिए हैं।
(i) चूँकि बिन्दु D रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
D के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\)
अतः बिन्द D के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) हैं।

(ii) चूँकि बिन्दु P बिन्दु A (x₁, y₁) एवं D \(\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2}\right)\) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iii) बिन्दु E रेखाखण्ड CA का मध्य-बिन्दु है।
E के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु F रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।
F के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\)
चूँकि बिन्दु , बिन्दु B (x₂, y₂) एवं E \(\left(\frac{x_{3}+x_{1}}{2}, \frac{y_{3}+y_{1}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

अतः बिन्दु Q के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।
चूँकि बिन्दु R बिन्दु C (x₃, y₃) एवं बिन्दु \(F\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\) को मिलाने वाली रेखा को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।


अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

(iv) ∆ABC के शीर्ष A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) एवं C (x₃, y₃) हैं
∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) (हम जानते हैं)
अत: ∆ABC के केन्द्रक के निर्देशांक = \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि बिन्दु A (x, y), B (-5, 7) तथा C (-4, 5) सरेखीय हों, तो x तथा y में सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि बिन्दु A, B तथा C सरेख हैं ⇒ ar (ABC) = 0
\(\frac { 1 }{ 2 }\) [x (7 – 5) + (-5) (5 – y) + (-4) (y – 7)] = 0
2x – 25 + 5y – 4y + 28 = 0
2x + y + 3 = 0
अतः x एवं y में अभीष्ट सम्बन्ध 2x + y + 3 = 0 है।

प्रश्न 2.
बिन्दु A (4, 7), B (p, 3) तथा C (7, 3) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं, जिसमें B समकोण है। p का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि त्रिभुज ABC बिन्दु B पर समकोण है।
⇒ AB² + BC² = AC² [पाइथागोरस प्रमेय]
⇒ (p – 4)² + (3 – 7)² + (p – 7)² + (3 – 3)² = (4 – 7)² + (7 – 3)²
⇒ p² – 8p + 16 + 16 + p² – 14p + 49 + 0 = 9 + 16
⇒ 2p² – 22p + 56 = 0
⇒ p² – 11p + 28 = 0
⇒ p² – 4p – 7p + 28 = 0
⇒ p (p – 4) – 7 (p – 4) = 0
⇒ (p – 4) (p – 7) = 0
या तो p – 4 = 0 ⇒ p = 4
अथवा p – 7 = 0 ⇒ p = 7
अतः p का अभीष्ट मान या तो 4 है अथवा 7 है।

प्रश्न 3.
एक रेखा y-अक्ष तथा x-अक्ष को क्रमश: P तथा Q पर प्रतिच्छेद करती है। यदि (2, -5) PQ का मध्य-बिन्दु है, तो P तथा Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि P, y-अक्ष का तथा Q, x-अक्ष का बिन्दु है तो मान लीजिए P(0, Y) तथा Q(x, 0) हैं।
चूँकि (2,-5) PQ का मध्य-बिन्दु हो, तो
\(\frac { x+0 }{ 2 }\) = 2
⇒ x = 4
⇒ Q (4,0)
एवं
\(\frac { y+0 }{ 2 }\) = -5
⇒ y = -10
⇒ P (0, -10)
अत: P एवं ए के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः P (0, – 10) एवं Q (4, 0) हैं।

प्रश्न 4.
यदि P (x, y) की A (5, 1) तथा B (-1, 5) से दूरियाँ समान हों तो सिद्ध कीजिए कि 3x = 2y.
हल :
चूँकि PA = PB दिया है
(PA)² = (PB)²
(x – 5)² + (y – 1)² = (x + 1)² + (y – 5)²
x² – 10x + 25 + y² – 2y + 1 = x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25
-10x – 2x = – 10y + 2y
-12x = – 8y
3x = 2y.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि बिन्दु (3, 0), (6, 4) एवं (-1, 3) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष है|
हल :
मान लीजिए ∆PQR के शीर्ष P (3,0), Q (6, 4) एवं R (-1, 3) दिये हैं तो

PQ = RP = √25
एवं PQ² + RP² = 25 + 25 = 50 = (√50)² = QR²
∆PQR समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
अतः दिया हुआ ∆ समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
बिन्दु A (-5, 6), B (-4,- 2) और C (7,5) से बने त्रिभुज का प्रकार (प्रकृति) बतलाइए।
हल :

चैंकि AB ≠ BC ≠ CA
अतः दिया हुआ अभीष्ट ∆ABC विषमबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 7.
x-अक्ष पर वे बिन्दु ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (7,-4) से 2√5 इकाई की दूरी पर हैं। इस प्रकार से कितने बिन्दु होंगे?
हल :
मान लीजिए अभीष्ट बिन्दु (x, 0) है (x-अक्ष पर y शून्य होता है) तो प्रश्नानुसार,
\(\sqrt{(x-7)^{2}+(0+4)^{2}}=2 \sqrt{5}\)
⇒ x² – 14x + 49 + 16 = 20 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ x² – 14x + 45 = 0
⇒ x² – 5x – 9x + 45 = 0
⇒ x (x – 5) – 9 (x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x – 9) = 0
या तो x – 5 = 0 ⇒ x = 5
अथवा x – 9 = 0 ⇒ x = 9
अतः अभीष्ट दो बिन्दु क्रमशः (5,0) एवं (9,0) होंगे।

प्रश्न 8.
यदि बिन्दुओं A (-3, -14) एवं B (a, -5) के बीच की दूरी 9 इकाई है, तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ AB = 9 (दिया है)
⇒ \(\sqrt{(a+3)^{2}+(-5+14)^{2}}=9\)
⇒ a² + 6a + 9 + 81 = 81 (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ a² + 6a + 9 = 0
⇒ (a + 3)² = 0
⇒ a + 3 = 0
⇒ a = -3
अतः a का अभीष्ट मान -3 है।

प्रश्न 9.
यदि बिन्दु (5, 1), (-2, -3) एवं (8, 2m) सरेखीय हों तो m का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि दिए हुए बिन्दु सरेखीय हैं अतः उससे बने क्षेत्र का क्षेत्रफल = 0 शून्य होगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) [5 (-3 – 2m) + (-2) (2m – 1) + 8 (1 + 3)] = 0
⇒ – 15 – 10m – 4m + 2 + 32 = 0
⇒ – 14m + 19 = 0
⇒ 14m = +19
⇒ m = \(\frac { 19 }{ 14 }\)
अतः m का अभीष्ट मान = \(\frac { 19 }{ 14 }\) इकाई है।

प्रश्न 10.
यदि बिन्दु A (2, -4), बिन्दुओं P (3, 8) एवं Q (-10, v) से बराबर दूरी पर स्थित है, तो v का मान बताइए।
हल :
चूँकि AP = AQ दिया है
\(\sqrt{(2-3)^{2}+(-4-8)^{2}}=\sqrt{(2+10)^{2}+(-4-v)^{2}}\)
⇒ (-1)² + (- 12)² = (12)² + (-4 – v)² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
⇒ 1 + 144 = 144 + 16 + v² + 8v
⇒ v² + 8v + 15 = 0
⇒ v² + 3v + 5v + 15 = 0
⇒ v(v + 3) + 5 (v + 3) = 0
⇒ (v + 3) (v+ 5) = 0
या तो v + 3 = 0 ⇒ v = -3
v + 5 = 0 ⇒ v = -5
अतः v के अभीष्ट मान = -3 अथवा -5 हैं।

प्रश्न 11.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-8, 4), (-6, 6) एवं (-3, 9) हैं।
हल:
क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (6 – 9) + (-6) (9 – 4) + (-3) (4 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-8 (-3) + (-6) (5) + (-3) (-2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [24 – 30 + 6]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [30 – 30]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 0
= 0
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 0 है।

प्रश्न 12.
x-अक्ष, बिन्दुओं (-4,-6) एवं (-1, 7) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को किस अनुपात में विभाजित करता है? उस छेदक बिन्दु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए x-अक्ष पर स्थित छेदक बिन्दु (x, 0) है तथा यह दी गयी रेखाखण्ड को m : 1 के अनुपात में विभाजित करता है तो
\(\frac{m(7)+1(-6)}{m+1}=0\)
7m – 6 = 0
m = \(\frac { 6 }{ 7 }\)
अत: x-अक्ष दिए रेखाखण्ड को 6 : 7 के अनुपात में विभाजित करता है।
अब

\(\frac { 1 }{ 2 }\)
अत: छेदक बिन्दु के अभीष्ट निर्देशांक (\(\frac { -34 }{ 13 }\), 0) हैं।

प्रश्न 13.
यदि P (9a – 2,- b) बिन्दुओं A (3a + 1, -3) एवं B (8a, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 : 1 के अनुपात में अन्तः विभाजित करता है, तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

⇒ 36a – 8 = 27a + 1
⇒ 36a – 27a = 1 + 8
⇒ 9a = 9
⇒ a = \(\frac { 9 }{ 9 }\) = 1

⇒ b = -3
अतः a एवं b के अभीष्ट मान क्रमशः 1 एवं -3 हैं।

प्रश्न 14.
यदि (a, b), बिन्दुओं A (10, -6) एवं B (k, 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है तथा a – 2b = 18 तोk का मान तथा AB दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार,

a – 2b = 18 (दिया है) …..(3)
a – 2 (-1) = 18
a = 16 ….(4) [समीकरण (2) एवं (3) से]
k + 10 = 2 x 16 = 32 [समीकरण (1) एवं (4) से]
k= 32 – 10 = 22
अतः k का अभीष्ट मान = 22 है।

अत: AB का अभीष्ट मान = 2√61 इकाई है।

प्रश्न 15.
बिन्दुओं P (- 1, 3) एवं Q (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर इस प्रकार स्थित बिन्दु R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि PR = \(\frac { 3 }{ 5 }\) PQ.
हल :

माना R के निर्देशांक (x, y) हैं और यह PQ को इस प्रकार विभाजित करता है कि PR : PQ = \(\frac { 3 }{ 5 }\)
PR : PQ = 3 : 5
PR : RQ = 3 : 2

अतः बिन्दु R के अभीष्ट निर्देशांक \(\left(\frac{4}{5}, \frac{21}{5}\right)\) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

[बताइए निम्न कथन सत्य हैं या असत्य अपने उत्तर का औचित्य भी दीजिए।

प्रश्न 1.
बिन्दु A (-1,0), B (3, 1), C (2, 2) एवं D (-2, 1) एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) तथा BD का मध्य-बिन्दु भी (\(\frac { 1 }{ 2 }\), 1) है जो समान हैं तथा समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं।

प्रश्न 2.
बिन्दु (4, 5), (7, 6) एवं (6, 3) संरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बिन्दुओं से निर्मित त्रिभुजकार क्षेत्र का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [4 (6 – 3) + 7 (3 – 5) + 6 (5 – 6)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) (12 – 14 – 6)
= – 4 ≠ 0.

प्रश्न 3.
बिन्दु P (0, – 7), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 0) तथा B (7, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब अर्द्धक पर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि P (0, – 7) y-अक्ष पर है तथा

अर्थात् PA = PB जो AB के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।

प्रश्न 4.
शीर्ष A (-2, 0), B (2, 0) एवं C (0, 2) वाला त्रिभुज ABC एवं शीर्ष D (-4,0), E (4,0) एवं F (0, 4) वाला त्रिभुज DEF समरूप हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों संगत भुजाएँ समानुपाती हैं।

प्रश्न 5.
बिन्दु P(-4, 2), बिन्दुओं A (-4, 6) एवं B (-4, -6) को मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि तीनों बिन्दु x = – 4 रेखा पर स्थित हैं।

प्रश्न 6.
बिन्दु (0, 5), (0, – 9) एवं (3, 6) सरेखीय हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्रथम दो बिन्दु }-अक्ष पर स्थित हैं जबकि तीसरा बिन्दु प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

प्रश्न 7.
बिन्दु P (0, 2), y-अक्ष एवं बिन्दु A (-1, 1) तथा B (3, 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि \(P A=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\) एवं \(P B=\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}}\)
\(=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\) है अर्थात् PA ≠ PB.

प्रश्न 8.
बिन्दु A (3, 1), B (12, – 2) एवं C (0, 2) किसी त्रिभुज के शीर्ष नहीं हो सकते।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि ar (ABC) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) [3 (-2 – 2) + 12 (2 – 1) + 0 (1 + 2)]
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) [-12 + 12 + 0]
= 0.

प्रश्न 9.
बिन्दु A (4, 3), B (6, 4), C (5,-6) एवं D (-3, 5) किसी समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{9}{2},-\frac{3}{2}\right)\) तथा BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{2}\right)\) है
अर्थात् विकर्ण परस्पर समद्विभाजित नहीं करते।

प्रश्न 10.
एक वृत्त का केन्द्र O मूलबिन्दु है। बिन्दु P (5, 0) इस पर स्थित है तथा बिन्दु Q(6, 8) वृत्त के बाहर स्थित है।
हल :
कथन सत्य है,क्योंकि OP = √(5)² = 5 एवं \(O Q=\sqrt{(6)^{2}+(8)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\) है
अर्थात् OQ > r (OP).

प्रश्न 11.
बिन्दु A (2, 7), बिन्दुओं P (6, 5) एवं Q (0, – 4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है क्योंकि \(A P=\sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}\) एवं \(A Q=\sqrt{(2)^{2}+(11)^{2}}\) \(=\sqrt{4+121}=\sqrt{125}=5 \sqrt{5}\) अर्थात् AP ≠ AQ.

प्रश्न 12.
बिन्दु P (5, – 3), दो बिन्दुओं A (7, – 2) एवं B (1, – 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को समत्रिभाजित करने वाले दो बिन्दुओं में से एक है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि \(\frac{1(1)+2(7)}{1+2}=\frac{15}{3}=5\) एवं \(\frac{1(-5)+2(-2)}{1+2}=\frac{-5-4}{3}=\frac{-9}{3}\)
= – 3 अर्थात् बिन्दु P, AB को 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।

प्रश्न 13.
बिन्दु A (-6, 10), B (-4, 6) एवं C (3,-8) सरेखीय बिन्दु हैं इस प्रकार कि \(AB=\frac { 2 }{ 9 }AC\)
हल :
कथन सत्य है. क्योंकि

B, AC को 2 : 7 की अनुपात में विभाजित करता है। अर्थात् AB = \(\frac { 2 }{ 9 }\) AC.

प्रश्न 14.
बिन्दु P(-2, 4), त्रिज्या 6 एवं केन्द्र (3, 5) वाले वृत्त पर स्थित है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि

प्रश्न 15.
बिन्दु A (-1,- 2), B (4, 3), C (2, 5) एवं D (-3, 0) क्रम में एक आयत का निर्माण करते हैं।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AC का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) एवं BD का मध्य-बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) है।

अर्थात् विकर्ण AC = BD = √58 एवं विकर्ण परस्पर बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)\) पर समद्विभाजित करते हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 7 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
x-अक्ष से बिन्दु P (2, 3) की दूरी है :
(a) 2
(b) 3
(c) 1
(d) 5.
उत्तर:
(b) 3

प्रश्न 2.
बिन्दु A (0, 6) एवं B (0, – 2) के बीच दूरी है :
(a) 6
(b) 8
(c) 4
(d) 2.
उत्तर:
(b) 8

प्रश्न 3.
मूल बिन्दु से बिन्दु P(-6, 8) की दूरी है :
(a) 8
(b) 2√7
(c) 10
(d) 6.
उत्तर:
(c) 10

प्रश्न 4.
बिन्दु (0, 5) एवं (-5, 0) के बीच दूरी है :
(a) 5
(b) 5√2
(c) 2√5
(d) 10.
उत्तर:
(b) 5√2

प्रश्न 5.
AOBC एक आयत है जिसके तीन शीर्ष हैं A (0, 3), 0 (0, 0) एवं B (5,0); इसके विकर्ण की लम्बाई है:
(a) 5
(b) 3
(c) √34
(d) 4.
उत्तर:
(c) √34

प्रश्न 6.
त्रिभुज की परिमाप जिसके शीर्ष (0, 4), (0, 0) एवं (3, 0) हैं, है :
(a) 5
(b) 12
(c) 11
(d) 7 + √5.
उत्तर:
(b) 12

प्रश्न 7.
शीर्ष A (3,0), B (7,0) एवं C (8, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है :
(a) 14
(b) 28
(c) 8
(d) 6.
उत्तर:
(c) 8

प्रश्न 8.
बिन्दु (-4, 0), (4, 0) एवं (0, 3) शीर्ष हैं :
(a) समकोण त्रिभुज के
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के
(c) समबाहु त्रिभुज के
(d) विषमबाहु त्रिभुज के।
उत्तर:
(b) सामद्विबाहु त्रिभुज के

प्रश्न 9.
बिन्दु A (-2, -5) एवं B (2, 5) को मिलाने वाले रेखाखण्ड के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित बिन्द
(a) (0,0)
(b) (0, 2)
(c) (2,0)
(d) (-2,0).
उत्तर:
(a) (0,0)

प्रश्न 10.
बिन्दुओं A (-2, 8) एवं B (-6,-4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है :
(a) (-4,-6)
(b) (2,6)
(c) (-4, 2)
(d) (4, 2).
उत्तर:
(c) (-4, 2)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बिन्दु की y-अक्ष से दूरी ………. कहलाती है।
2. किसी बिन्दु की x-अक्ष से दूरी ……….. कहलाती है।
3. (0, y) एवं (x, 0) के मध्य दूरी ………… होती है।
4. (2a, 0) एवं (0, 2b) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक ……….. हैं।
5. तीन सरेखीय बिन्दुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ………… है।
उत्तर-
1.x-निर्देशांक या भुज,
2. y-निर्देशांक या कोटि
3. \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
4. (a, b),
5. शून्य (0)।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(c),
2.→(d),
3.→(e),
4.→(a),
5.→(b).

सत्य/असत्य कथन

1. (3, 0) एवं (0, 4) के बीच की दूरी 5 इकाई होती है।
2. (-4, 6) एवं (4,-6) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक (4, 6) हैं।
3. (4,0) एवं (0, 3) के बीच दूरी 5 इकाई है।
4. (0, 0), (3, 0), (0, 4) द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 इकाई है।
5. (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) शीर्ष वाले त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक \(\left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right)\) है।
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य,
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. बिन्दु (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य-बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
2. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) के मध्य दूरी क्या होगी?
3. (x₁, y₁) एवं (x₂, y₂) को मिलाने वाली रेखा को m₁ : m₂ के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक लिखिए।
4. बिन्दु (x₁, y₁), (x₂, y₂) एवं (x₃, y₃) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल लिखिए।
5. मूलबिन्दु से बिन्दु (x, y) के बीच दूरी क्या होगी?
उत्तर-

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
4 पैन एवं 4 पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹ 100 है। एक पैन का तीन गुना मूल्य एक पेंसिल बॉक्स . के मूल्य से ₹ 15 अधिक है। रैखिक युगपत समीकरण युग्म बनाइए तथा एक पैन एवं एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए एक पैन का मूल्य ₹x एवं एक पेंसिल बॉक्स का मूल्य ₹y हैं तो प्रश्नानुसार,
4x +4y = 100 ⇒ x + y = 25 ….(1)
एवं 3x = y + 15 ⇒ 3x – y = 15 ….(2)
⇒ 4x = 40 [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 40 }{ 4 } \) = 10
अब x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
10 + y = 25 ⇒ y = 25 – 10 = 15
अतः एक पैन का अभीष्ट मूल्य ₹ 10 एवं एक पेंसिल बॉक्स का अभीष्ट मूल्य ₹ 15 है।

प्रश्न 2.
5 संतरे और 3 सेबों का मूल्य ₹ 35 है तथा 2 संतरे और 4 सेबों का मूल्य ₹ 28 है तब एक संतरा तथा 1 सेब का मूल्य ज्ञात कीजिए। (2019)
हल:
(निर्देश : उपर्युक्त प्रश्न की तरह हल करें।)
[उत्तर: एक संतरे का अभीष्ट मूल्य = ₹4 एवं एक सेब का मूल्य = ₹ 5]

प्रश्न 3.
अंकित अपने घर के लिए 14 किलोमीटर की दूरी आंशिक रूप से रिक्शे के द्वारा एवं आंशिक रूप से बस के द्वारा तय करती है। वह 2 km रिक्शा के द्वारा तथा शेष दूरी बस के द्वारा तय ‘ करने में आधा घण्टा लेता है। दूसरी ओर यदि उसने 4 km दूरी रिक्शा से तथा शेष दूरी बस से तय की होती तो उसे 9 मिनट अधिक लगते। रिक्शा एवं बस की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रिक्शा की चाल x km/hr एवं बस की चाल y km/hr हो तो प्रश्नानुसार,

समीकरण (2) एवं (3) में \(\frac { 1 }{ x } \) = p एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = q रखने पर,
4p + 10q = \(\frac { 13 }{ 20 } \) ….(4)
4p + 24q = 1 ….(5)
⇒ 14q = 1 – \(\frac { 13 }{ 20 } \) = \(\frac { 7 }{ 20 } \) [समीकरण (5)- समीकरण (4) से]
\(\Rightarrow \quad \quad q=\frac{7}{14 \times 20}=\frac{1}{40} \Rightarrow \frac{1}{y}=q=\frac{1}{40} \Rightarrow y=40 \mathrm{km} / \mathrm{hr}\)
q का मान समीकरण (4) में रखने पर,
\(4 p+10 \times \frac{1}{40}=\frac{13}{20} \Rightarrow 4 p=\frac{13}{20}-\frac{1}{4}=\frac{8}{20}\)
\(p=\frac{8}{4 \times 20}=\frac{1}{10} \Rightarrow \frac{1}{x}=p=\frac{1}{10} \Rightarrow x=10 \mathrm{km} / \mathrm{hr}\)
अतः रिक्शा एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 10 km/hr एवं 40 km/hr है।

प्रश्न 4.
एक मोटर वोट 30 km की दूरी जल धारा के विरुद्ध एवं 28 km की दूरी धारा की दिशा में तय करने में 7 घण्टे का समय लेती है। यह 21 km की दूरी धारा के विपरीत जाने एवं धारा की दिशा में वापस आने में कुल समय 5 घटे में तय कर सकती है। स्थिर जल में नाव की चाल एवं जल धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
माना लीजिए स्थिर जल में नाव की चाल x km/hr एवं जल धारा की चाल y km/hr है, तो प्रश्नानुसार,

30p + 28q = 7 ….(3) × 3
एवं 21p + 21q = 5 …(4) × 4
⇒ 90p + 84q = 21 …(5)
एवं 84p + 84q = 20 ….(6)
⇒ 6p = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (6) से]

x का मान समीकरण (8) में रखने पर,
10 + y = 14 ⇒ y = 14 – 10 = 4
अतः स्थिर जल में नाव की अभीष्ट चाल 10 km/hr एवं जल धारा की अभीष्ट चाल 4 km/hr है।

प्रश्न 5.
दो वर्ष पूर्व सलीम की उम्र उसकी पुत्री की उम्र की तीन गुनी थी और 6 वर्ष पश्चात् उसकी उम्र उसकी पुत्री की उम्र के दूने से 4 वर्ष अधिक हो जाएगी। दोनों की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सलीम की वर्तमान उम्र x वर्ष एवं उसकी पुत्री की वर्तमान उम्र y वर्ष है। तो प्रश्नानुसार,
x – 2 = 3 (y – 2)
⇒ x – 3 y = -4 ….(1)
एवं (x + 6) = 2 (y + 6) + 4
⇒ x – 2y = 12 + 4 – 6 = 10
⇒ y = 14 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
y का मान समीकरण (2) में रखने पर,
x – 2 × 14 = 10
⇒ x – 28 = 10
⇒ x = 28 + 10 = 38
अतः सलीम की अभीष्ट वर्तमान उम्र 38 वर्ष एवं उसकी पुत्री की अभीष्ट वर्तमान उम्र 14 वर्ष है।

प्रश्न 6.
एक पिता की उम्र अपने दोनों पुत्रों की उम्र के योग की दो गुनी है। 20 वर्ष बाद उसकी उम्र अपने दोनों पुत्रों की उम्र के योग के बराबर हो जाएगी। पिता की वर्तमान उम्र ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए पिता की वर्तमान आयु x वर्ष है और उसके दोनों पुत्रों की उम्र का योग y वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
x = 2y ⇒ x – 2y = 0 ….(1)
चूँकि 20 वर्ष बाद पिता की उम्र में तो 20 वर्ष की वृद्धि होगी जबकि दोनों पुत्रों की उम्र के योग में 20 + 20 = 40 वर्ष की वृद्धि होगी अतः
x + 20 = y + 40
⇒ x – y = 40 – 20 = 20 ….(2)
⇒ y = 20 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x – 2 × 20 = 0 ⇒ x – 40 = 0
⇒ x = 40
अतः पिता की अभीष्ट उम्र 40 वर्ष है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं का अनुपात 5 : 6 है यदि प्रत्येक में से 8 घटा दिया जाए तो उनका अनुपात 4 : 5 हो जाएगा। वे संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि वे संख्याएँ x एवं y है, तो प्रश्नानुसार

समीकरण (1) को 4 से एवं समीकरण (2) को 5 से गुणा करने पर,
24x – 20y = 0 ….(3)
एवं 25x – 20y = 40 ….(4)
⇒ x = 40 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
6 × 40 – 5y = 0
⇒ 240 – 5y = 0
⇒ 5y = 240
⇒ y = \(\frac { 240 }{ 5 } \) = 48
अत: अभीष्ट संख्याएँ 40 एवं 48 हैं।

प्रश्न 8.
दो परीक्षा कक्षों A एवं B में कुछ छात्र हैं यदि कक्ष A से 10 छात्र कक्ष B में स्थानान्तरित कर दिए जाएँ तो दोनों कक्षों में छात्र संख्या बराबर हो जायेगी। लेकिन यदि 20 छात्र कक्ष B से कक्ष A में स्थानान्तरित कर दिए जाएँ तो कक्षA की छात्र संख्या कक्ष B की छात्र संख्या की दूनी हो जाएगी। दोनों कक्षों में छात्रों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कक्ष A में छात्र संख्या x एवं कक्ष B में छात्र संख्या y है। तो प्रश्नानुसार,
(x – 10) = (y + 10)
⇒ x – y = 20 ….(1)
एवं (x + 20) = 2 (y – 20)
⇒ x + 20 = 2y – 40
⇒ x – 2y = – 40 – 20 = – 60 ….(2)
समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
y = 20 + 60 = 80
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x – 80 = 20 ⇒ x = 80 + 20 = 100
अतः परीक्षा कक्ष A में अभीष्ट छात्र संख्या 100 एवं परीक्षा कक्ष B में अभीष्ट छात्र संख्या 80 है।

प्रश्न 9.
एक दुकानदार किराए पर पुस्तक पढ़ने को देती है। वह प्रथम दो दिन के लिए एक निश्चित किराया तथा अतिरिक्त दिनों के लिए प्रतिदिन के हिसाब से अतिरिक्त किराया वसूल करती है। लतिका ने 6 दिन के लिए पुस्तक ली जिसके लिए उसे ₹ 22 देने पड़े तथा आनन्द ने पुस्तक को 4 दिन तक रखा और उसने ₹16 का भुगतान किया। नियत (निश्चित) किराया एवं प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।
हल:
माम लीजिए प्रथम दो दिन का नियत किराया ₹x एवं अतिरिक्त दिन के लिए प्रतिदिन किराया ₹y है, तो प्रश्नानुसार,
x + 4y = 22 …(1) [अतिरिक्त 6 – 2 = 4 दिन]
एवं x + 2y = 16 ….(2) [अतिरिक्त 4 – 2 = 2 दिन]
⇒ 2y = 6 [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
⇒ y = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
x + 4 × 3 = 22
⇒ x + 12 = 22
⇒ x = 22 – 12 = 10
अतः पुस्तकों का नियत अभीष्ट किराया ₹ 10 एवं अतिरिक्त दिनों के लिए प्रतिदिन अभीष्ट किराया ₹3 है।

प्रश्न 10.
एक प्रतियोगी परीक्षा में प्रत्येक सही उत्तर के लिए 1 अंक मिलता है लेकिन प्रत्येक गलत उत्तर के लिए \(\frac { 1 }{ 2 } \) अंक काट लिया जाता है। जयन्ती ने 120 प्रश्नों के उत्तर दिए और कुल 90 अंक प्राप्त किए। उसने कितने प्रश्नों के सही उत्तर दिए ?
हल:
मान लीजिए कि जयन्ती ने x प्रश्नों के सही उत्तर तथा y प्रश्नों के गलत उत्तर दिए।
तो प्रश्नानुसार,
x + y = 120 ….(1)
एवं x – \(\frac { 1 }{ 2 } \) y = 90
⇒2x – y = 180 ….(2)
समीकरण (2) में समीकरण (1) को जोड़ने पर,
3x = 300 ⇒ x = \(\frac { 300 }{ 3 } \) = 100
अतः जयन्ती ने अभीष्ट 100 प्रश्नों के सही उत्तर दिए।

प्रश्न 11.
ग्राफीय (ज्यामितीय) विधि से ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक युगपद समीकरण युग्म संगत हैं या अंसगत/अगर संगत है तो उनको हल कीजिए:
(i) 3x + y + 4 = 0;6x – 2y + 4 = 0
(ii) x – 2y = 6; 3x – 6y = 0
(iii) x + y = 3; 3x + 3y = 9
हल:
(i) 3x + y + 4 = 0
⇒ y = – 3x – 4
जब x = 0 ⇒ y = -4
और जब x = – 2
⇒ y = -3(-2)-4
= 6 – 4 = 2

एवं 6x – 2y + 4 = 0 ….(2)
⇒ 3x – y + 2 = 0
⇒ y = 3x + 2
जब x = 0 ⇒ y = 2
और जब x = -1 ⇒ y = 3 (-1)+ 2 = – 3 + 2 = – 1

आकृति : 3.12

चूँकि ग्राफ परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म संगत हैं तथा अभीष्ट हल x = -1 एवं y = -1 है।

(ii) x – 2y = 6
⇒ y = \(\frac { x-6 }{ 2 } \)
जब x = 0 ⇒ y = -3
और जब x = 2
⇒ y = \(\frac { 2-6 }{ 2 } \) = \(\frac { -4 }{ 2 } \) = -2

एवं 3x – 6y = 0
⇒ 6y = 3x
⇒ y = \(\frac { 1 }{ 2 } \) x
जब x = 0 ⇒ y = 0
और जब x = 4 ⇒ y = 2

आकृति : 3.13
चूँकि ग्राफ परस्पर प्रतिच्छेद नहीं करते अर्थात् समानान्तर हैं।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म असंगत है।
(iii) x + y = 3 …(1)
⇒ y = 3 – x
जब x = 0 तब y = 3 – 0 = 3

और जब x = 3 तब y = 3 – 3 = 0
एवं 3x +3y = 9 …(2)
x+ y = 3 .
y = 3 – x
जब x = 0 ⇒ y = 3 – 0 = 3
और जब x = 3 ⇒y = 3 = 0

आकृति : 3.14
चूँकि ग्राफ संपाती हैं तथा y = 3 -x से y का मान x के मान पर आश्रित है।
अत: रैखिक युगपद समीकरण युग्म आश्रित संगत है तथा इसके अनन्तशः अनेक हल होंगे।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
λ के किस मान के लिए रैखिक समीकरण युग्म λx + y = λ² एवं x + λy = 1
(i) का कोई भी हल नहीं है?
(ii) अनन्तशः अनेक हल हैं?
(iii) एक अद्वितीय हल है?
हल:
(i) कोई हल नहीं होने के लिए:

अत: λ का अभीष्ट मान-1 है।

(ii) अनन्तशः अनेक हल के लिए:

अत: λ का अभीष्ट मान 1 है।

(iii) एक अद्वितीय हल होने के लिए:

अतः ± 1 को छोड़कर का मान प्रत्येक वास्तविक संख्या होगी।

प्रश्न 2.
k के किस मान के लिए समीकरण युग्म kx + 3y = k – 3 एवं 12x + ky = k का कोई हल नहीं होगा?
हल:
kx + 3y = k – 3 ….(1)
12x + ky = k …..(2)
अतः k का अभीष्ट मान -6 है।

प्रश्न 3.
a एवं b के किस मान के लिए निम्न समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे :
x + 2y = 1 एवं (a – b) x + (a + b)y = a + b – 2
हल:
x + 2y = 1 ….(1)
(a – b)x + (a + b)y = a + b – 2 ….(2)
अनन्तशः अनेक हल होने के लिए,
\(\frac{1}{a-b}=\frac{2}{a+b}=\frac{1}{a+b-2}\)
⇒ a + b = 2a – 2b ⇒ a – 3b = 0 ….(3)
एवं 2a + 2b – 4 = a + b → a + b = 4 ….(4)
⇒ 4b = 4 ⇒ b = \(\frac { 4 }{ 4 } \) = 1 [समीकरण (4) – समीकरण (3) से]
b का मान समीकरण (4) में रखने पर,
a + 1 = 4 ⇒ a = 4 – 1 = 3
अत: a एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 3 एवं 1 हैं।

प्रश्न 4.
निम्न प्रश्न क्रमांक (i) से (iv) में p का मान तथा (v) में p एवं के मान ज्ञात कीजिए:
(i) 3x – y – 5 = 0 एवं 6x – 2y – p = 0. यदि इन समीकरणों से प्रदर्शित रेखाएँ परस्पर समानान्तर हों।
(ii) -x + py = 1 एवं px – y = 1, यदि समीकरण युग्म का कोई हल न हो।
(iii) – 3x + 5y = 7 एवं 2px -3y = 1, यदि इस समीकरण युग्म से प्रदर्शित रेखाएँ परस्पर एक अद्वितीय बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हों।
(iv) 2x + 3y – 5 = 0 एवं px – 6y – 8 = 0 यदि समीकरण युग्म का अद्वितीय हल हो।
(v) 2x + 3y = 7 एवं 2px + py = 28 – qy, यदि समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल हों।
हल:
(i) 3x – y – 5 = 0 ….(1)
6x – 2y – p = 0 …..(2)
समीकरण युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ समानान्तर होंगी,
यदि \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ≠ \(\frac { 5 }{ p } \)
⇒ p ≠ 10
अतः p का अभीष्ट मान कोई भी वास्तविक संख्या होगी केवल 10 को छोड़कर।

(ii) -x + py = 1 ….(1)
px – y = 1 ….(2)
समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा यदि
\(\frac{-1}{p}=\frac{p}{-1} \neq \frac{1}{1}\)
⇒ p² = 1 ⇒ p = ± 1 लेकिन p ≠ -1
अतः p का अभीष्ट मान 1 होगा।

(iii) -3x + 5y = 7 ….(1)
2px – 3y = 1 ….(2)
समीकरण युग्म द्वारा प्रदर्शित रेखाएँ एक अद्वितीय बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करेंगी यदि
\(\frac{-3}{2 p} \neq \frac{5}{-3} \Rightarrow 10 p \neq 9 \Rightarrow p \neq \frac{9}{10}\)
अतः \(\frac { 9 }{ 10 } \) को छोड़कर p का कोई भी वास्तविक मान अभीष्ट होगा।s

(iv) 2x + 3y – 5 = 0 ….(1)
px – 6y – 8 = 0 ….(2)
समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल होगा यदि
\(\frac{2}{p} \neq \frac{3}{-6} \Rightarrow 3 p \neq-12 \Rightarrow p \neq-4\)
अतः -4 को छोड़कर p का कोई भी वास्तविक मान अभीष्ट होगा।

(v) 2x + 3y = 7 …(1)
2px + py = 28 – qy
⇒ 2px + (p + q) y = 28 …(2)
समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे

अतः p एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 4 एवं 8 है।

प्रश्न 5.
दो सीधे रास्ते समीकरण युग्म x-3y = 2 एवं- 2x + 6y = 5 के द्वारा प्रदर्शित किए हैं। जाँच कीजिए कि ये रास्ते एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं या नहीं।
हल:
चूँकि x – 3y = 2 ….(1)
एवं -2x + 6y = 5 ….(2)

अतः दोनों रास्ते परस्पर समान्तर होंगे और परस्पर किसी बिन्दु पर प्रतिच्छेद नहीं करेंगे।

प्रश्न 6.
निम्न आयत में x एवं के मान ज्ञात कीजिए :

हल:
चूँकि आयत की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं इसलिए
x + 3y = 13 ….(1)
3x + y = 7 ….(2)
समीकरण (2) को (3) से गुणा करने पर,
9x + 3y = 21 ….(3)
⇒ 8x = 8 [समीकरण (3) – समीकरण (1) से]
⇒ x = \(\frac { 8 }{ 8 } \) = 1
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
1 + 3y = 13 ⇒ 3y = 13 – 1 = 12
⇒ y = \(\frac { 12 }{ 3 } \) = 4
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 1 एवं 4 हैं।

प्रश्न 7.
निम्न समीकरण युग्मों को हल कीजिए:
(i) x + y = 3.3; \(\frac { 0.6 }{ 3x-2y } \) = -1; जहाँ 3x – 2y ≠ 0
(ii) \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 4 } \) = 4; \(\frac { 5x }{ 6 } \) – \(\frac { y }{ 8 } \) = 4
(iii) 4x + \(\frac { 6 }{ y } \) = 15; 6x – \(\frac { 8 }{ y } \) = 14, जहाँ y ≠ 0
(iv) \(\frac { 1 }{ 2x } \) – \(\frac { 1 }{ y } \) = -1; \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = 8, जहाँ x,y ≠ 0
(v) \(\frac { 2xy }{ x+y } \) = \(\frac { 3 }{ 2 } \); \(\frac { xy }{ 2x-y } \) = \(\frac { -3 }{ 10 } \) जहाँ x + y ≠ 0, 2x – y ≠ 0
हल:
(i) चूंकि x + y = 3.3 …..(1)
एवं \(\frac{0 \cdot 6}{3 x-2 y}=-1 \Rightarrow 3 x-2 y=-0 \cdot 6\) …..(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 2y = 6.6 …..(3)
⇒ 5x = 6 [समीकरण (3) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 6 }{ 5 } \) = 1.2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
1.2 + y = 3.3 ⇒ y = 3.3 – 1.2 = 2.1
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमश: 1.2 एवं 2.1 हैं।

(ii) चूंकि \(\frac { x }{ 3 } \) + \(\frac { y }{ 4 } \) = 4 ⇒ 4x + 3y = 48 ….(1)
एवं \(\frac { 5x }{ 6 } \) – \(\frac { y }{ 8 } \) = 4 ⇒ 20x – 3y = 96 ….(2)
⇒ 24x = 144 [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
⇒ x = \(\frac { 144 }{ 24 } \) = 6
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
4 × 6 + 3y = 48 ⇒ 24 + 3y = 48
⇒ 3y = 48 – 24 = 24 ⇒ y = \(\frac { 24 }{ 3 } \) = 8
अतः x एवं y के अभीष्ट मान = 6 एवं 8 हैं।

समीकरण (3) को 4 से तथा समीकरण (4) को 3 से गुणा करने पर,
16x + 24z = 60 …..(5)
18x – 24z = 42 …..(6)
⇒ 34x = 102
⇒ x = \(\frac { 102 }{ 34 } \) = 3
x का मान समीकरण (3) में रखने पर,
4 × 3 + 6z = 15 ⇒ 12 + 3z = 15
⇒ 6z = 15 – 12 = 3 ⇒ z \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
z = \(\frac { 1 }{ y } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अतः x एवं के अभीष्ट मान क्रमशः 3 एवं 2 हैं।

समीकरण (3) को 2 से गुणा करने पर,
2p – 4q = -4 …(5)
⇒ 5q = 20 [समीकरण (4)- समीकरण (5) से]

अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 1 }{ 6 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

q का मान समीकरण (4) में रखने पर,
3p – 6(-\(\frac { 2 }{ 3 } \)) = 10 ⇒ 3p + 4 = 10
⇒ 3p = 10 – 4 = 6 ⇒ p = \(\frac { 6 }{ 3 } \) = \(\frac { 1 }{ x } \) ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अत: x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 3 }{ 2 } \) हैं।

प्रश्न 8.
समीकरण युग्म \(\frac { x }{ 10 } \) + \(\frac { y }{ 5 } \) -1 = 0 एवं \(\frac { x }{ 8 } \) + \(\frac { y }{ 6 } \) = 15 को हल कीजिए और यदि y = λx + 5 तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूंकि \(\frac { x }{ 10 } \) + \(\frac { y }{ 5 } \) – 1 = 0 ⇒ x + 2y = 10 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ 8 } \) + \(\frac { y }{ 6 } \) = 15 ⇒ 3x + 4y = 360 ….(2)
समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर,
2x + 4y = 20 …(3)
⇒ x = 340 [समीकरण (2)- समीकरण (3) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
340 + 2y = 10 ⇒ 2y = 10 – 340 = -330
⇒ y = \(\frac { -330 }{ 2 } \) = -165
अतः x एवं y के अभीष्ट मान क्रमशः 340 और – 165 हैं।
अब y = λx + 5 में x और y के मान रखने पर,
– 165 = λ × 340 + 5
⇒ 340λ = – 165 – 5 = – 170
⇒ λ = \(\frac { -170 }{ 340 } \) = – \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः λ का अभीष्ट मान –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या निम्न रैखिक समीकरण युग्मों का कोई हल नहीं है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) 2x + 4y = 3; 12y + 6x = 6
(ii) x = 2y; y = 2x
(iii) 3x + y – 3 = 0; 2x + \(\frac { 2 }{ 3 } \) y = 2
हल:
(i) चूंकि 2x + 4y = 3 ….(1)
एवं 12y + 6x = 6
⇒ 6x + 12y = 6

अतः हाँ, समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं है।

(ii) चूंकि x = 2y ⇒ x – 2y = 0 ….(1)
एवं y = 2x ⇒ 2x – y = 0 ….(2)

अत: नहीं, क्योंकि समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होगा।

अत: नहीं, क्योंकि समीकरण युग्म के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

प्रश्न 2.
क्या निम्नलिखित समीकरण युग्म सम्पाती रेखाओं को प्रदर्शित करती हैं? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) 3x + \(\frac { 1 }{ 7 } \)y = 3; 7x + 3y = 7
(ii) -2x – 3y = 1; 6y + 4x = -2
(iii) \(\frac { x }{ 2 } \) + y + \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 0 ; 4x + 8y + \(\frac { 5 }{ 16 } \) = 0
हल:

अतः नहीं, क्योंकि यह समीकरण युग्म प्रतिच्छेदी रेखाओं को प्रदर्शित करता है।
(ii) चूंकि -2x – 3y = 1 ⇒ 2x + 3y = – 1 ….(1)
एवं 6y + 4x = -2 = 4x + 6y = -2 ….(2)

अतः हाँ, यह समीकरण युग्म सम्पाती रेखाओं को प्रदर्शित करता है।
(iii) चूंकि \(\frac { x }{ 2 } \) + y + \(\frac { 2 }{ 5 } \) = 0 ⇒ 5x + 10y + 4 = 0 ….(1)

एवं 4x + 8y + \(\frac { 5 }{ 16 } \) ⇒ 64x + 128y + 5 = 0 …..(2)

अतः नहीं, क्योंकि यह समीकरण युग्म समान्तर रेखाओं को प्रदर्शित करता है।

प्रश्न 3.
क्या निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म संगत है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) – 3x – 4y = 12; 4y + 3x = 12
(ii) \(\frac { 3 }{ 5 } \) x – y = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ;\(\frac { 1 }{ 5 } \) x – 3y = \(\frac { 1 }{ 6 } \)
(iii) 2ax + by = a; 4ax + 2by – 2a = 0
(iv) x + 3y = 11; 2 (2x + 6y) = 22
हल:
(i) चूंकि – 3x – 4y = 12 ⇒ 3x + 4y = – 12 ….(1)
एवं 4y + 3x = 12 = 3x + 4y = 12 ……(2)

अतः नहीं, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं।

अतः हाँ, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल है।
(iii) चूंकि 2ax + by = a ….(1)
4ax + 2by – 2a = 0
⇒ 4ax + 2by = 2a ….(2)

अत: हाँ, यह रैखिक समीकरण युग्म आश्रित संगत है और इसके अनन्तशः अनेक हल हैं।
(iv) चूंकि x + 3y = 11 ….(1)
एवं 2(2x + 6y) = 22 ⇒ 2x + 6y = 11 ….(2)

अतः नहीं, क्योंकि रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

प्रश्न 4.
“समीकरण युग्म λx + 3y =-7; 2x + 6y =14 के अनन्तशः अनेक हल होंगे के लिए का मान 1 होना चाहिए,” क्या यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
हल:
चूंकि λx + 3y = -7 ….(1)
एवं 2x + 6y = 14 ….(2)


अतः कथन असत्य हैं, क्योकि λ = 1 पर रैखिक समीकरण युग्म का कोई भी हल नहीं होगा।

प्रश्न 5.
c के सभी वास्तविक मानों के लिए समीकरण युग्म x – 2y = 8; 5x – 10y = c का एक अद्वितीय हल होगा। प्रमाणित कीजिए कि कथन सत्य है या असत्य।
हल:
चूँकि x – 2y = 8 ….(1)
एवं 5x – 10y = c ….(2)
एवं \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{1}{5}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-2}{-10}=\frac{1}{5}\) एवं \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{c}\)
⇒ \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}\)
अतः कथन असत्य है, क्योंकि के किसी भी मान के लिए समीकरण युग्म का अद्वितीय हल नहीं होगा।

प्रश्न 6.
“समीकरण x = 7 के द्वारा प्रदर्शित रेखा x – अक्ष के समान्तर होगी।” पुष्टि कीजिए कि उक्त कथन सत्य है या नहीं:
उत्तर:
कथन असत्य है, क्योंकि x = 7 y – अक्ष के समान्तर रेखा का समीकरण है जो x – अक्ष पर लम्ब होती है। अत: इस पर समान्तर नहीं हो सकती।

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 3 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
समीकरण युग्म 6x – 3y + 10 = 0 एवं 2x – y + 9 = 0 ग्राफ पर दो रेखाएँ प्रदर्शित करती हैं जो :
(a) एक निश्चित बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं
(b) दो निश्चित बिन्दुओं पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं
(c) सम्पाती होती हैं
(d) समान्तर होती हैं।
उत्तर:
(a) एक निश्चित बिन्दु पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं

प्रश्न 2.
समीकरण युग्म x + 2y + 5 = 0 एवं -3x – 6y + 1 = 0 के होंगे:
(a) एक अद्वितीय हल
(b) दो निश्चित हल
(c) अनन्तशः अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(d) कोई हल नहीं।

प्रश्न 3.
यदि एक समीकरण युग्म संगत है तो रेखाएँ होंगी :
(a) समान्तर
(b) सदैव सम्पाती
(c) प्रतिच्छेदी या सम्पाती
(d) सदैव प्रतिच्छेदी।
उत्तर:
(c) प्रतिच्छेदी या सम्पाती

प्रश्न 4.
समीकरण युग्म y = 0 और y = -7 के होंगे :
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अनन्तश: अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(d) कोई हल नहीं।

प्रश्न 5.
समीकरण युग्म x = a एवं y = b ग्राफीय रूप से रेखाएँ प्रदर्शित करता है जो होती हैं :
(a) समान्तर
(b) (b, a) पर प्रतिच्छेदी
(c) सम्पाती
(d) (a, b) पर प्रतिच्छेदी।
उत्तर:
(d) (a, b) पर प्रतिच्छेदी।

प्रश्न 6.
k के किस मान के लिए समीकरण 3x – y + 8 = 0 और 6x – ky = -16 सम्पाती रेखाएँ प्रदर्शित करेगा?
(a) \(\frac { 1 }{ 2 } \)
(b) – \(\frac { 1 }{ 2 } \)
(c) 2
(d) -2
उत्तर:
(c) 2

प्रश्न 7.
समीकरण 3x + 2ky = 2 एवं 2x + 5y + 1 = 0 रेखाएँ समान्तर हैं तो k का मान होगा :
(a) – \(\frac { 5 }{ 4 } \)
(b) \(\frac { 2 }{ 5 } \)
(c) \(\frac { 15 }{ 4 } \)
(d) \(\frac { 3 }{ 2 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { 15 }{ 4 } \)

प्रश्न 8.
c का मान जिसके लिए समीकरण युग्म cx – y = 2 एवं 6x – 2y = 4 के अनन्तशः अनेक हल होंगे:
(a) 3
(b) -3
(c) -12
(d) कोई मान नहीं।
उत्तर:
(a) 3

प्रश्न 9.
आश्रित रैखिक समीकरण युग्म में से एक समीकरण -5x + 7y = 2 है, तो दूसरा समीकरण होगा:
(a) 10x + 14y + 4 = 0
(b) – 10x – 14y + 4 = 0
(c) – 10x + 14y + 4 = 0
(d) 10x – 14y = -4.
उत्तर:
(d) 10x – 14y = -4.

प्रश्न 10.
एक रैखिक समीकरण यग्म जिसका अद्वितीय हल x = 2. y = -3 है, होगा :
(a) x + y = – 1; 2x – 3y = -5
(b) 2x + 5y = – 11; 4x + 10 y = 22
(c) 2x – y = 1; 3x + 2y = 0
(d) x – 4y – 14 = 0; 5x – y – 13 = 0
उत्तर:
(d) x – 4y – 14 = 0; 5x – y – 13 = 0

प्रश्न 11.
यदि x = a, y = b समीकरण युग्म x – y = 2 एवं x + y = 4 तब a और b के मान होंगे क्रमशः:
(a) 3 और 5
(b) 5 और 3
(c) 3 और 1
(d) -1 और -3
उत्तर:
(c) 3 और 1

प्रश्न 12.
अन्ना के पास केवल ₹1 और ₹ 2 के सिक्के हैं। यदि सिक्कों की कुल संख्या जो उसके पास हैं, 50 है जिनका कुल मूल्य ₹75 है तब ₹1 और ₹2 के सिक्कों की संख्या होगी क्रमशः:
(a) 35 और 15
(b) 35 और 20
(c) 15 और 35
(d) 25 और 25
उत्तर:
(d) 25 और 25

प्रश्न 13.
एक पिता की उम्र उसके पुत्र की उम्र से 6 गुनी है। चार वर्ष बाद पिता की उम्र अपने पुत्र की उम्र से चार गुनी हो जाएगी। पुत्र एवं पिता की वर्तमान उम्र (वर्षों में) क्रमशः है:
(a) 4 और 24
(b) 5 और 30
(c) 6 और 36
(d) 3 और 18
उत्तर:
(c) 6 और 36

प्रश्न 14.
समीकरण युग्म 5x – 15y = 8 और 3x – 9y = \(\frac { 24 }{ 5 } \) के होंगे :
(a) एक हल
(b) दो हल
(c) अनन्तशः अनेक हल
(d) कोई हल नहीं।
उत्तर:
(c) अनन्तशः अनेक हल

प्रश्न 15.
दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। यदि इसमें 27 जोड़ दिया जाए तो संख्या के अंक उलट जाते हैं। यह संख्या है –
(a) 25
(b) 72
(c) 63
(d) 36
उत्तर:
(d) 36

प्रश्न 16.
जब \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\) हो. तो समीकरण निकाय a₁x + b₁y + c₁ = 0 तथा a₂x + b₂y + c₂ = 0: (2019)
(a) के दो हल होंगे
(b) को कोई हल नहीं होगा
(c) के अनंत अनेक हल होंगे
(d) का अद्वितीय हल होगा।
उत्तर:
(b) को कोई हल नहीं होगा

प्रश्न 17.
x – 2y = 0 और 2x + 4y – 20 = 0 रेखाएँ:(2019)
(a) प्रतिच्छेद करती हैं
(b) संपाती हैं
(c) समान्तर हैं
(d) इनमे से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) प्रतिच्छेद करती हैं

रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
एक ऐसा समीकरण, जिसका आलेख एक सरल रेखा होता है ………….. समीकरण कहलाता है।
उत्तर:
रैखिक

प्रश्न 2.
रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का आलेख एक ………….. रेखा है।
उत्तर:
सरल

प्रश्न 3.
x एवं’ का मान युग्म (x, y) जो दिए हुए समीकरण ax + by + c = 0 को सन्तुष्ट करता है, उस समीकरण का ………….. कहलाता है।
उत्तर:
हल

प्रश्न 4.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई हल होता है, तब निकाय ………….. निकाय कहलाता है।
उत्तर:
संगत

प्रश्न 5.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई भी हल नहीं होता, तब निकाय ………….. निकाय कहलाता है।
उत्तर:
असंगत।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

1. समीकरण x + 2y = 5 में यदि x = 1, तो y = 2 होगा।
2. वर्ग समीकरण का आरेख एक सरल रेखा होती है।
3. रैखिक समीकरण युग्म के कोई हल नहीं हो सकते या एक अद्वितीय हल हो सकता है अथवा अनन्तशः अनेक हल भी हो सकते हैं।
4. समीकरण युग्म x = a एवं y = b दो समान्तर रेखाओं को निरूपित करते हैं।
5. ax + by + c = 0 प्रकार के समीकरण रैखिक युगपद समीकरण होते हैं।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
वह समीकरण निकाय क्या कहलाता है, जिसका कोई हल न हो?
उत्तर:
असंगत

प्रश्न 2.
वह समीकरण निकाय क्या कहलाता है जिसका कोई हल होता है।
उत्तर:
संगत

प्रश्न 3.
जिस समीकरण का आलेख एक सरल रेखा हो, वह क्या कहलाता है?
उत्तर:
रैखिक समीकरण

प्रश्न 4.
जब किसी समीकरण निकाय के अनन्तशः अनेक हल हों, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
सम्पाती रेखाएँ

प्रश्न 5.
जब किसी समकरण निकाय का कोई अद्वितीय हल हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
प्रतिच्छेदी रेखाएँ

प्रश्न 6.
जब किसी समीकरण निकाय का कोई हल न हो, तो उसका आलेख कैसा होगा?
उत्तर:
समान्तर रेखाएँ

प्रश्न 7.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\) तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
अद्वितीय हल

प्रश्न 8.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}} \neq \frac{c_{1}}{c_{2}}\), तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
कोई हल नहीं

प्रश्न 9.
यदि \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\), तो निकाय का हल क्या होगा?
उत्तर:
अनन्ततः अनेक हल।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि धनात्मक पूर्णांक 6q + r, जहाँ q एक पूर्णांक है और r = 0, 1, 2, 3, 4, 5 के रूप का घन भी 6m + r के रूप का होगा।
हल:
(6q)³ = 216q³ = 6 (36q³) = 6m, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q+ 1)³ = 216q³ + 108q² + 18q + 1
= 6 (36q³ + 18q² +3q) + 1 = 6m + 1, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q + 2)³ = 216q³ + 216q² + 72q + 8
= 6 (36q³ + 36q² + 12q + 1)+ 2 = 6m + 2, जहाँ m एक पूर्णांक है।
(6q + 3)³ = 216q³ + 324q² + 162 q + 27
= 6 (36q³ + 54q² + 27q + 4)+ 3 = 6m + 3
(6q + 4)³ = 216q³ + 432q² + 288q + 64
= 6 (36q³ + 72q² + 48q + 10) + 4 = 6m + 4
एवं (6q + 5)³ = 216q³ + 540q² + 450q + 125
= 6 (36q³ + 90q² + 75q + 20) + 5 = 6m + 5
अतः, पूर्णांक 6q+r का घन 6m +r के रूप का होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है तथा r = 0, 1, 2,3,4,5. इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि किसी विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ एक पूर्णांक है।
हल:
हम जानते हैं कि कोई भी धन पूर्णांक 6m, 6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4 एवं 6m +5 के रूप का हो सकता है, जहाँ m कोई धन पूर्णांक है लेकिन इन धन पूर्णांकों में विषम धन पूर्णांक केवल 6m + 1,6m + 3 एवं 6m + 5 के रूप के हो सकते हैं।
अब (6m + 1)² = 36m² + 12m + 1 = 6 (6m² + 2m) + 1
= 6q + 1, जहाँ q= 6m² + 2m एक पूर्णांक है।
(6m + 3)² = 36m² + 36m + 9 = 6 (6m² + 6m + 1) + 3
= 6q + 3, जहाँ q = 6m² + 6m + 1 एक पूर्णांक है।
एवं (6m + 5)² = 36m² + 60m + 25 = 6(6m² + 10m + 4) + 1
= 6q + 1, जहाँ q = 6m² + 10m + 4 एक पूर्णांक है।
अतः, हम देखते हैं कि विषम धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 6q + 1 या 6q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है।

प्रश्न 3.
यूक्लिड की विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके वह बड़ी-से-बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1251, 9377 एवं 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः 1,2,3 शेषफल बचते हैं।
हल:
चूंकि 1251 – 1 = 1250
9377 – 2 = 9375
15628 – 3 = 15625
अब H. C. F. (1250, 9375) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
9375 = 1250 × 7 + 625
1250 = 625 × 2 + 0 =
⇒ H. C. F (1250, 9375) = 625
अब HCF (625, 15625) के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,
15625 = 625 × 25 + 0
⇒ HCF (625, 15625) = 625
⇒ HCF (1250, 9375, 15625) = 625
अतः, 625 वह अभीष्ट बड़ी से बड़ी संख्या होगी जिससे 1251, 9377 एवं 15628 को विभाजित करने पर क्रमशः 1, 2, एवं 3 शेषफल बचते हैं।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 4m, 4m +1 या 4m + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है।
हल:
∵ कोई धनात्मक पूर्णांक 4q, 4q + 1, 4q + 2 एवं 4q + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ व एक धनात्मक पूर्णांक है।
(4q)³ = 64q³ = 4 (16q³)= 4m एक धनात्मक पूर्णांक है।
∴ (4q + 1)³ = 64q³ + 48q² + 12q + 1
⇒ (4q + 1)³ = 4 (16q3 + 12q² + 3q) + 1 = 4m + 1
जहाँ m = 16q³ + 12q² + 3q एक पूर्णांक है।
चूँकि (4q + 2)³ = 64q³ + 96q² + 48q + 8
⇒ (4q+ 2) = 4(16q³ + 24q² + 12q + 2) = 4m
जहाँ m = 16q3 + 24q2 + 12q + 2 एक पूर्णांक है।
चूँकि (4q + 3)³ = 64q³ + 144q² + 108q + 27
⇒ (4q + 3)³ = 4 (16q³ + 36q² + 27q + 6) + 3 = 4m + 3
जहाँ m = 16q³ + 36q² + 27q + 6 एक पूर्णांक है।
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 4m, 4m + 1 या 4m + 3 के रूप का हो सकता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
दशाईए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q + 2 अथवा 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता, जहाँ q एक पूर्णांक है।
हल:
कोई धनात्मक पूर्णांक 5m, 5m + 1, 5m + 2, 5m +3 अथवा 5m + 4 के रूप का हो सकता है, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है।
चूँकि (5m)² = 25m² = 5 (5m²) = 5q
जहाँ q = 5m² एक धन पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 1)² = 25m² + 10m + 1 = 5(5m² + 2m) + 1 = 5q + 1
जहाँ q = 5m² + 2m एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 2)² = 25m² + 20m + 4 = 5 (5m² + 4m) + 4 = 5q + 4
जहाँ q = 5m + 4m एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 3)² = 25m² + 30m + 9 = 5 (5m² + 6m + 1) + 4
= 5q + 4, जहाँ q = 5m² + 6m + 1 एक पूर्णांक है।
चूँकि (5m + 4)² = 25m² + 40m + 16 = 5(5m² + 8m + 3) + 1
= 5q + 1, जहाँ q = 5m² + 8m + 3 एक पूर्णांक है।
इस प्रकार हम देखते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 5q, 5q + 1, 5q + 4 के रूप का हो सकता है। लेकिन 5q + 2 एवं 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता। अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग कभी 5q + 2 एवं 5q + 3 के रूप का नहीं हो सकता, जहाँ व एक पूर्णांक है। इति सिद्धम्

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइए कि किसी विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।
हल:
चूँकि विषम पूर्णांक (2m + 1) के रूप का होता है, जहाँ m कोई पूर्णांक है।
⇒ (2m + 1)² = 4m² + 4m + 1 = 4(m² + m) + 1 = 4q + 1
जहाँ q = m2 + m एक पूर्णांक है क्योंकि m पूर्णांक है।
अतः, विषम पूर्णांक का वर्ग 4q + 1 के रूप का होता है, जहाँ q कोई एक पूर्णांक है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
यदि n एक विषम पूर्णांक है, तो दर्शाइए कि n² – 1,8 से विभाज्य है।
हल:
चूँकि n कोई विषम पूर्णांक है, तो n = (2m + 1) के रूप का होगा।
अब, n² – 1 = (2m + 1)² – 1
= 4m² + 4m + 1 – 1 = 4m² + 4m
= 4m(m + 1)
लेकिन m(m + 1) एक सम पूर्णांक है, क्योंकि m एवं (m + 1) में से एक विषम तथा दूसरा सम होगा। इस प्रकार गुणन सम होगा।
अब मान लीजिए m(m + 1) = 2q
⇒ n² – 1 = 4m(m + 1)= 4 × 2q = 8q, जो कि 8 से विभाज्य है।
अतः, यदिn एक विषम पूर्णांक है, तो (n² – 1), 8 से विभाज्य है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि x एवं y दोनों विषम पूर्णांक हों, तो दर्शाइए कि x² + y² एक समपूर्णांक है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है।
हल:
चूँकि x एवं y दोनों विषम पूर्णांक हैं, तो मान लीजिए कि x = (2p + 1) एवं y = (2q + 1), जहाँ p एवं कोई पूर्णांक हैं।
अब x² + y² = (2p + 1)² + (2q + 1)²
= 4p² + 4p + 1 + 4q² + 4q + 1
= 4p(p + 1)+ 4q(q + 1) + 2
लेकिन p(p + 1) एवं q(q + 1) दोनों समपूर्णांक हैं। मान लीजिए इनके क्रमशः मान 2m एवं 2n हैं
x² + y² = 4p(p + 1) + 4q(q + 1) + 2
= 4(2m) + 4(2n) + 2
= 8m + 8n + 2 = 2(4m + 4n + 1)
जो एक समपूर्णांक संख्या है लेकिन 4 से विभाज्य नहीं है।
अतः, यदि एवं दोनों विषम पूर्णांक हों, तो x² + y² समपूर्णांक होंगे, लेकिन 4 से विभाज्य नहीं। इति सिद्धम् ‘

प्रश्न 4.
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके HCF (441,567,693) ज्ञात कीजिए।
हल:
यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म प्रयोग द्वारा HCF (441,567) ज्ञात करने पर,
567 = 441 × 1 + 126
441 = 126 × 3 + 63
126 = 63 × 2 + 0
⇒ HCF (441,567) = 63
अब यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म की सहायता से HCF (63, 693) ज्ञात करने पर,
693 = 63 × 11 + 0
⇒ HCF (63, 693) = 63
अतः, HCF (441,567,693) का अभीष्ट मान 63 है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
मान लीजिए \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) = a जहाँ a, एक परिमेय संख्या है।

जो एक विरोधाभास है क्योंकि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या तथा \(\frac{a^{2}+2}{2 a}\) एक परिमेय संख्या है।
अतः, \(\sqrt { 3 }\) + \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि 12 का किसी संख्या के लिए अन्तिम अंक 0 अथवा 5 नहीं होगा।
हल:
∵ (12)ⁿ = (2 × 2 × 3)ⁿ = 2²ⁿ × 3n
चूँकि इसमें 5 की कोई घात नहीं है तथा किसी संख्या में अन्तिम अंक 0 अथवा 5 होने के लिए उसके गुणनखण्डों में 5 की घात होना आवश्यक है।
अतः, (12)ⁿ के मान में n के किसी मान के लिए अन्तिम अंक 0 या 5 पर समाप्त नहीं होगा। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
प्रातः भ्रमण (Morning Walk) पर तीन व्यक्ति एक साथ कदम बढ़ाते हैं। उनके कदमों की माप क्रमशः 40 cm, 42 cm एवं 45 cm है। वह लघुतम दूरी क्या होगी जिससे प्रत्येक व्यक्ति समान दूरी पूर्ण कदमों में तय कर सकें।
हल:
इसके लिए हमको 40, 42, एवं 45 का LCM ज्ञात करना होगा।

अतः, वह अभीष्ट लघुतम दूरी होगी, 2520 cm अर्थात् 25.20 m.

प्रश्न 8.
परिमेय संख्या \(\frac { 257 }{ 5000 } \) के हर को 2m × 5n के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ m एवं n ऋणात्मक पूर्णांक हैं। इस प्रकार बिना भाग की क्रिया किए इसका दशमलव प्रसार लिखिए।
हल:

अतः, परिमेय संख्या का अभीष्ट रूपः = \(\frac{257}{2^{3} \times 5^{4}}\) होगा। तथा इसका दशमलव प्रसार 0.0514 होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
क्या प्रत्येक धन पूर्णांक 4q + 2 के रूप का हो सकता है, जहाँ q एक पूर्णांक है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
नहीं, क्योंकि यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका के अनुसार a = 4q + 7; जहाँ 0 < r < 4 तथा r एक पूर्णांक है तथा का मान 0, 1, 2 और 3 हो सकता है। अर्थात् कोई भी धन पूर्णांक 4q, 4q + 1, 4q + 2 एवं 4q + 3 के रूप का हो सकता है।

प्रश्न 2.
“दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 2 से विभाज्य होता है।” यह कथन सत्य है या असत्य। कारण दीजिए।
उत्तर:
कथन सत्य है।
क्योंकि दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल n(n + 1) होगा, जहाँ n एक पूर्णांक है और यदि n विषम है तो n + 1 सम और यदि n + 1 विषम है तोn सम होगा। इस प्रकार n(n + 1) एक सम पूर्णांक होगा, जो 2 से विभाज्य है।

प्रश्न 3.
“तीन क्रमागत धन पूर्णांकों का गुणनफल 6 से विभाज्य होता है।” क्या यह कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
उक्त कथन सत्य है क्योंकि तीन क्रमागत धन पूर्णांकों में कम-से-कम एक पूर्णांक तीन से विभाज्य होगा तथा एक पद दो से विभाज्य होगा। अतः तीनों का गुणनफल 6 से विभाज्य होगा।

प्रश्न 4.
क्या किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का होगा, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है ? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
किसी धन पूर्णांक का वर्ग 3m + 2 के रूप का नहीं होगा। क्योंकि उसका रूप तो 3m या 3m + 1 हो सकता है।

प्रश्न 5.
एक धन पूर्णांक 3q + 1 के रूप का है, जहाँ एक प्राकृत संख्या है। क्या आप इसका वर्ग 3m + 1 के अतिरिक्त किसी अन्य रूप अर्थात् 3m या 3m + 2 के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहाँ m कोई पूर्णांक है। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
नहीं। क्योंकि
(3q + 1)² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1
जहाँ m = 3q² + 2q एक पूर्णांक है।

प्रश्न 6.
संख्याएँ 525 और 3000 दोनों केवल 3, 5, 15, 25 एवं 75 से विभाज्य हैं। HCF (525, 3000) क्या होगा? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
उत्तर:
HCF (525, 3000) का अभीष्ट मान 75 है, क्योंकि 75 ही महत्तम समापवर्तक (महत्तम सम गुणनखण्ड) है।

प्रश्न 7.
समझाइए कि 3 × 5 × 7 + 7 एक भाज्य संख्या है।
उत्तर:
चूँकि 3 × 5 × 7 + 7= 7 (3 × 5 + 1) = 7 × 16
जो कि एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 8.
क्या कोई दो संख्याओं का HCF = 18 एवं LCM = 380 हो सकता है? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर:
कभी नहीं हो सकता क्योंकि दो संख्याओं का LCM उनके HCF से विभाज्य होता है जबकि संख्या 380 संख्या 18 से विभाज्य नहीं है।

प्रश्न 9.
बिना लम्बी भाग प्रक्रिया किए ज्ञात कीजिए कि \(\frac { 987 }{ 10500 } \) का दशमलव प्रसार सांत होगा अथवा असान्त आवर्ती होगा? अपने उत्तर का कारण बताइए।
उत्तर:
हाँ, उक्त संख्या का दशमलव प्रसार सांत होगा, क्योंकि

प्रश्न 10.
एक परिमेय संख्या अपने दशमलव प्रसार में 327.7081 है। आपके अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में क्या कहना चाहेंगे यदि इस परिमेय संख्या को p/g के रूप में व्यक्त किया जाता है ? कारण दीजिए।
उत्तर:
q के अभाज्य गुणनखण्ड 2^m × 5ⁿ के रूप का होगा क्योंकि दशमलव प्रसार सांत है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 1 बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
किसी पूर्णांक m के लिए प्रत्येक सम पूर्णांक का रूप होगा :
(a) m
(b) m + 1
(c) 2m
(d) 2m + 1
उत्तर:
(c) 2m

प्रश्न 2.
किसी पूर्णांक q के लिए प्रत्येक विषम पूर्णांक का रूप होगा :
(a) q
(b) q + 1
(c) 2q
(d) 2q + 1
उत्तर:
(d) 2q + 1

प्रश्न 3.
n² – 1, 8 से विभाज्य होगा यदि n है :
(a) एक पूर्णांक
(b) एक प्राकृत संख्या
(c) एक विषम पूर्णांक
(d) एक सम पूर्णांक।
उत्तर:
(c) एक विषम पूर्णांक

प्रश्न 4.
यदि HCF (65, 117), 65m – 117 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तब m का मान होगा :
(a) 4
(b) 2
(c) 1
(d) 3
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 5.
वह बड़ी-से-बड़ी संख्या जिससे 70 और 125 को विभाजित करने पर क्रमशः 5 एवं 8 शेषफल बचते हैं, निम्न है:
(a) 13
(b) 65
(c) 875
(d) 1750
उत्तर:
(a) 13

प्रश्न 6.
यदि दो धनात्मक पूर्णांक a एवं b निम्न रूप में लिखे हों : a = x³y² एवं b = xy³, जहाँ x एवं y अभाज्य संख्या हैं, तब HCF (a, b) होगा:
(a) xy
(b) xy²
(c) x³y³
(d) x³y²
उत्तर:
(b) xy²

प्रश्न 7.
यदि दो धनात्मक पूर्णांक p एवं निम्न की तरह व्यक्त किए जाएँ : p = ab(b) xy² एवं q = a(b) xy³b, जहाँ a एवं b अभाज्य संख्याएँ हैं, तब LCM (p,q) होगा:
(a) ab
(b) a²b²
(c) a³b²
(d) d³b³
उत्तर:
(c) a³b²

प्रश्न 8.
एक अशून्य परिमेय संख्या एवं एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होगा :
(a) सदैव अपरिमेय संख्या
(b) सदैव परिमेय संख्या
(c) परिमेय अथवा अपरिमेय
(d) एक।
उत्तर:
(a) सदैव अपरिमेय संख्या

प्रश्न 9.
वह छोटी-से-छोटी संख्या जो 1 से 10 की सभी संख्याओं (दोनों को सम्मिलित करते हुए) से विभाज्य है/हैं:
(a) 10
(b) 100
(c) 507
(d) 2520.
उत्तर:
(d) 2520.

प्रश्न 10.
परिमेय संख्या \(\frac { 14587 }{ 1250 } \) ……….. के बाद सांत होगी :
(a) एक दशमलव स्थान
(b) दो दशमलव स्थान
(c) तीन दशमलव स्थान
(d) चार दशमलव स्थान
उत्तर:
(d) चार दशमलव स्थान

प्रश्न 11.
96 और 404 का HCF होगा : (2019)
(a) 120
(b) 4
(c) 10
(d) 3
उत्तर:
(b) 4

रिक्त स्थानों की पूर्ति

प्रश्न 1.
एक सिद्ध किया हुआ कथन जिसे अन्य कथन को सिद्ध करने के लिए प्रयोग किया जाता है ………… कहलाता है।
उत्तर:
प्रमेयिका

प्रश्न 2.
\(\sqrt { P }\), जहाँ p एक अभाज्य संख्या होती है, एक ……………….. संख्या कहलाती है।
उत्तर:
अपरिमेय

प्रश्न 3.
संख्याओं में प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखण्डों की सबसे छोटी घात का गुणनफल ……………….. कहलाता है।
उत्तर:
महत्तम समापवर्तक (HCF)

प्रश्न 4.
संख्याओं में सम्बद्ध प्रत्येक अभाज्य गुणनखण्ड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल ……………….. कहलाता है।
उत्तर:
लघुतम समापवर्त्य (LCM)

प्रश्न 5.
कोई संख्या p/q, जहाँ p एवं q परस्पर अभाज्य पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0, ……………….. कहलाती है।
उत्तर:
परिमेय संख्या

जोड़ी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

1. प्रत्येक प्राकृत संख्या पूर्ण संख्या होती है।
2. प्रत्येक पूर्णांक प्राकृत संख्या होती है।
3. प्रत्येक परिमेय संख्या वास्तविक संख्या होती है।
4. प्रत्येक वास्तविक संख्या अपरिमेय संख्या होती है।
5. प्रत्येक पूर्णांक को p/a के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p एवं q कोई पूर्णांक हैं लेकिन q ≠ 0.

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
4 एवं 5 का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या होगा ?
उत्तर:
(एक)

प्रश्न 2.
3 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या होगा ?
उत्तर:
12

प्रश्न 3.
दो संख्याओं a एवं b के LCM(a, b) एवं HCF(a, b) क्रमशः x एवं y हैं। a,b,x और y में क्या सम्बन्ध होगा?
उत्तर:
a × b = x × y

प्रश्न 4.
यदि a = bq तो a और b में क्या सम्बन्ध है?
उत्तर:
b, a का एक गुणनखण्ड है

प्रश्न 5.
यदि x = \(\frac { p }{ q } \) एक ऐसी संख्या है कि q के अभाज्य गुणनखण्ड 2n × 5m प्रकार के नहीं हैं, जहाँ n एवं m ऋणेत्तर पूर्णांक है, तो x का दशमलव प्रसार कैसा होगा?
उत्तर:
असांत आवर्ती।

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 5 Complex Numbers and Quadratic Equations

Relations and Functions Important Questions

Relations and Functions Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
If x + iy = 2 + 3i, then (x, y) will be :
(a) (3, 2)
(b) (2, 3)
(c) (- 2,- 3)
(d) (3, 3)
Answer:
(b) (2, 3)

Question 2.
The simplest form of \(\frac { 1 + i }{ 1 – i }\) :
(a) – i
(b) i
(c) ± i
(d) None of these.
Answer:
(b) i

Question 3.
If z is a complex number, then z + z is :
(a) Real number
(b) Imaginary number
(c) Nothing can be said
(d) None of these.
Answer:
(a) Real number

Question 4.
The value of \(\sqrt {i}\) = ……………..
(a) ± \(\frac { 1 – i }{ \sqrt { 2 } }\)
(b) ± \(\frac { 1 + i }{ \sqrt { 2 } }\)
(c) ± (1 + i)
(d) ± (1 – i)
Answer:
(b) ± \(\frac { 1 + i }{ \sqrt { 2 } }\)

Question 5.
Number of solution of the equation z + z = 0 is :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Answer:
(d) 4

Question 6.
Argument of complex number 0 is :
(a) 0
(b) π
(c) 2π
(d) Not defined
Answer:
(d) Not defined

Question 7.
Conjugate of \(\frac { 1 – i }{ 1 + i }\) is :
(a) \(\frac { 1 – i }{ 1 + i }\)
(b) \(\frac { 1 – i }{ 1 – i }\)
(c) i
(d) – i
Answer:
(c) i

Question 8.
Argument (z₁.z₂) = ………………
(a) arg (z₁) – arg (z₂)
(b) arg (z₁) + arg (z₂)
(c) arg (z₁). arg (z₂)
(d) None of these
Answer:
(b) arg (z₁) + arg (z₂)

Question 9.
The least positive integer n for which \(\frac { 1 – i }{ 1 + i }\)ⁿ = 1 is :
(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 12
Answer:
(b) 4

Question 10.
If |z – \(\frac { 4}{ z}\)| = 2, then |z| has maximum value:
(a) \(\sqrt {3}\) + 1
(b) \(\sqrt {5}\) + 1
(c) 2
(d) 2 + \(\sqrt {2}\)
Answer:
(b) \(\sqrt {5}\) + 1

(B) Match the following :

Answer:

1. (d)
2. (a)
3. (f)
4. (b)
5. (c)
6. (e)

(c) Fill in the blanks :

1. The value of (1 + i)⁴ (1 + \(\frac {1}{i}\))⁴ is ……………….
2. The value of \(\frac {1}{i}\) is ……………….
3. The value of z – \(\bar { z }\) is ……………….
4. Argument of – 1 – i is ……………….
5. polar form of i³ is ……………….
6. Argument of complex number is \(\frac { 1+\sqrt { 3i } }{ \sqrt { 3 } +i }\) is ……………….
7. If |\(\frac { z – i }{ z + i }\)| = 1, then locus of z will be ……………….
8. If x + \(\frac {1}{x}\) = 2cosθ, then the value of xⁿ = \(\frac { 1 }{ { x }^{ n } }\) will be ……………….
9. If z = 2 – 3i, then the value of z. \(\bar { z }\) is ……………….
10. If 2 + (x + yi) = 3 – i, the x = ……………… and y = ……………….

Answer:

1. 16
2. – i
3. Imaginary number
4. \(\frac {5π}{4}\)
5. cos\(\frac {π}{2}\) – i sin\(\frac {π}{2}\)
6. \(\frac {π}{6}\)
7. X – axis
8. 2cos nθ
9. 13
10. 1, – 1

(D) Write true / false :

1. Additive inverse of complex number – 2 + 5i is 2 – 5 i.
2. If | z² – 1 |= z² + 1, then z lies on a circle.
3. If | z₁ | = 12 and | z₂ – 3 – 4i | = 5, then the least value of | z₁ – z₂ | is 7.
4. If arg(z) < 0, then arg(- z) – arg(z) = π.
5. Polar form of 1 + \(\sqrt {- 1}\) is \(\sqrt {2}\)(cos\(\frac {π}{4}\) + isin\(\frac {π}{4}\)).
6. If z is a complex number such that | z | ≥ 2, then the minimum value of |z + \(\frac { 1 }{ 2 }\) | equal \(\frac { 5 }{ 2 }\)

Answer:

1. True
2. False
3. False
4. True
5. True
6. False.

(E) Write answer in one word / sentence :

1. If Z₁ = 2 – i, z₂ = 1 + i, them find the value \(\frac { { { z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }+1 } }{ { z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 }+1 }\)
2. Modulus of \(\frac {1 – i }{ 1 + i }\) – \(\frac { 1 – i }{ 1 + i }\) will be.
3. Polar form of complex number \(\sqrt {3}\) + i will be.
4. If Z₁ = 2 – i and z₂ = – 2 + i, then Re(\(\frac { { { z }_{ 1 }{ z }_{ 2 } } }{ { z }_{ 1 } }\)) will be
5. If the number \(\frac { z – 1 }{ z + 1 }\) is purly imaginary, then the value of |z| will be.

Answer:

1. \(\sqrt {2}\)
2. 2
3. 2(cos\(\frac {π}{6}\) + isin\(\frac {π}{6}\))
4. \(\frac { – 2 }{ 5 }\)
5. 1

Complex Numbers and Quadratic Equations Very Short Answer Type Questions

Question 1.
If 1, ω, ω² are the cube root of unity then find the value of ω³ⁿ.
Solution:
Since ω³ = 1
ω³ⁿ = (ω³)ⁿ = (1)ⁿ = 1.

Question 2.
Find the value of i⁴ⁿ.
Solution:
i⁴ⁿ = (i⁴)ⁿ = (i².i²)ⁿ = [(- 1)(- 1)]ⁿ = (1)ⁿ = 1.

Question 3.
Find the condition of two complex numbers x + iy and a + ib are compaired.
Solution:
If x + iy = a + ib
Then, x = a, y = b.

Question 4.
Write conjugate of a complex number z = a – ib.
Solution:
z = conjugate of a – ib = a – (- ib)
= a + ib.

Question 5.
Write the complex number – 6₃ in ordered form.
Solution:
Ordered form of z = a + ib is (a, b).
Given: z = 0 – 6i
Ordered pair (0, – 6).

Question 6.
Write the complex number 3 – \(\sqrt { 7i }\) in ordered form.
Solution:
Ordered pair of z = a + ib is (a, b).
∴Ordered pair of 3 – \(\sqrt { 7i }\) = (3, – \(\sqrt { 7i }\))

Question 7.
Find the value of i + \(\frac { 1 }{ i }\).
Solution:
i + \(\frac { 1 }{ i }\) = \(\frac { { i }^{ 2 }+1 }{ i }\) = \(\frac { – 1 + i }{ i }\) = 0.

Question 8.
Find the value of i^-19.
Solution:
i^-19 = \(\frac { 1 }{ { i }^{ 19 } }\) = \(\frac { 1 }{ { i }^{ 18 }i } \) = \(\frac { 1 }{ (i^{ 2 })^{ 9 }.i }\)
= \(\frac { 1 }{ -1.i }\) = \(\frac { – 1 }{ i }\)
= \(\frac { – 1.i }{ { i }^{ 2 } }\) = i.

Question 9.
Write (1 – i)⁴ in form of a + ib.
Solution:
(1 – i)⁴ = [ (1 – i)² ]² (NCERT)
= [1 + i² – 2i]² = [1 – 1 – 2i]², [∵ i² = – 1]
= (- 2i)² = 4i² = 4(- 1) = – 4
= – 4 + 0i.

Question 10.
Find the modulus of complex number z = – 1 – i \(\sqrt {3}\) .
Solution:
Z = – 1 – i\(\sqrt {3}\)
a = – 1, b = \(\sqrt {3}\)
Modulus = \(\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }\) = \(\sqrt {1 + 3}\) = \(\sqrt {2}\)

Question 11.
Find the modulus of complex number 1 – i.
Solution:
z = 1 – i
a = 1, b = – 1
Modulus = \(\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }\) = \(\sqrt {1 + 1}\) = \(\sqrt {2}\)

Question 12.
Find the sum of 2 – 3i and its conjugate.
Solution:
z = 2 – 3i and \(\bar { z }\) = 2 + 3i
z + \(\bar { z }\) = 2 – 3i + 2 + 3i = 4.

Question 13.
Solve the quadratic equation x² + 2 = 0. (NCERT)
Solution:
x² + 2 = 0
⇒ x² = – 2
⇒ x² = – 1 x 2
= 2i² [∵ i² = – 1]
x = ± \(\sqrt {2i}\) or + \(\sqrt {2}\)i, – \(\sqrt {2}\)i

Question 14.
Solve the quadratic equation x² + 3 = 0. (NCERT)
Solution:
x² + 3 = 0
⇒ x² = – 3 = – 1 x 3
⇒ x² = 3i², [∵ i² = – 1]
x² = ± \(\sqrt {3i}\) or + \(\sqrt {3}\)i, – \(\sqrt {3}\)i

Question 15.
Write the triangle inequality for the two complex number Z₁ and z₂.
Solution:
| Z₁| and | z₂| are the two sides of any triangle
Then, | z₀ + z₂| ≤ | z₁| +| z₂|

Question 16.
If T and 9 are the modulus and argument of the complex number a + ib, then write its polar form.
Solution:
Polar form of a + ib is r(cosθ + i sinθ).

Question 17.
If z = cosθ + i sinθ where |z| = 1, then find \(\frac { 1 }{ z }\).
Solution:
\(\frac { 1 }{ z }\) = cosθ – isinθ.

Question 18.
Write the statement of De – moivre’s theorem.
Solution:
If polar form of z = a + ib is r(cosθ + isinθ), then De – moivre’s theorem is
(cosθ + isinθ)n = cos nθ + i sin nθ.

Question 19.
Write polar form of i.
Solution:
a + ib = 0 + i. 1
r = \(\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }\) =1, θ = tan^-1\(\frac { b }{ a}\) = tan^-1∞ = \(\frac { π }{ 2}\)
Polar form of i = (cos\(\frac { π }{ 2}\) + i sin \(\frac { π }{ 2}\)).

Question 20.
Find the polar form of (- 2 + 2i).
Solution:

Complex Numbers and Quadratic Equations Long Answer Type Questions

Question 1.
Convert (\(\frac { 1 }{ 3}\) + 3i)³ in form of a + ib. (NCERT)
Solution:

Question 2.
Write ( – 2 – \(\frac { 1 }{ 3}\)i)³ in form of a + ib. (NCERT)
Solution:

Question 3.
Write (5 – 3i)³ in the form of a + ib.
Solution:
(5 – 3i)³ = (5)³ – (3i)³ – 3(5².3i) + 3.5(3i)²
= 125 – 27.i³ – 75.3i + 15.9i²
= 125 – 27i.i² – 225i + 15(- 9)
= 125 + 27i – 225i – 135
= – 10 – 198i.

Find the multiplicative inverse of following complex number :

Question 4.
4 – 3i
Solution:
Let the multiplicative inverse of 4 – 3i is a + ib.
Then, (4 – 3i) x (a + ib) = 1

Question 5.
\(\sqrt {5}\) + 3i
Solution:
Let z = \(\sqrt {5}\) + 3i
Be multiplicative inverse

Question 6.
Find the polar form of the following :
(i) \(\frac { 1 + 7i }{ { 2 – i }^{ 2 } }\), (ii) \(\frac { 1 + 3i }{ 1 – 2i }\)
Solution:

Now, let – 1 + i = r(cosθ + i sinθ),
Then, r cosθ = – 1 …. (1)
and r sinθ = 1 …. (2)
Squaring and adding equation (1) and (2),
r² = 1 + 1 = 2
⇒ r = \(\sqrt {2}\)
Put value of r in equation (1) and (2),

Comparing the real and imaginary parts,
r cosθ = – 1
r sinθ = 1

Squaring and adding equation (1) and (2),

∵ Real part is negative and imaginary part is positive of z, hence θ will lie in 4^th quadrant

Question 7.
Find modulus and argument of complex number z = – 1 – i\(\sqrt {3}\) (NCERT)
Solution:
Let z = – 1 – i\(\sqrt {3}\) = rcosθ + ir sinθ

Comparing the real and imaginary parts,
rcosθ = – 1 …. (1)
rsinθ = – \(\sqrt {3}\) …. (2)
Squaring and adding equation (1) and (2),

Since both the real and imaginary part of z are negative.
∴ θ lies in third quadrant

Question 8.
Find the modulus and argument of z = – \(\sqrt {3}\)+ i.
Solution:
Let z = – \(\sqrt {3}\)+ i = rcosθ + ir sinθ

Comparing the real and imaginary parts,
r cosθ = – \(\sqrt {3}\)
rsinθ = 1
Squaring and adding eqns. (1) and (2),
rcosθ = – \(\sqrt {3}\) …. (1)
rsinθ = 1 …. (2)
Squaring and adding equation (1) and (2),

Since both the real and imaginary part of z are negative and positive respectively.
∴ θ lies in 2^2nd quadrant

Question 9.
Find the modulus and argument of 1 – i.
Solution:
Let z = 1 – i = rcosθ + ir smθ
Comparing the real and imaginary parts,
1 = r cosθ
and – 1 = rsinθ
Squaring and adding equation (1) and (2),
(1)² + (- 1)² = r² cos²0 + r² sin²0
⇒ r²(cos²0 + sin²0) = 1 + 1,
⇒ r²= 2 ⇒ r = \(\sqrt {2}\) (modulus)
Dividing equation (2) by equation (1),

Question 10.
Find square root of complex number 3 + 4i.
Solution:
Let \(\sqrt {3 + 4i}\) = x + iy
On squaring,
3 + 4 i = (x + iy)²
⇒ 3 + 4i = x² + 2ixy + i²y²
⇒ 3 + 4i = x² + 2ixy – y²
⇒ 3 + 4i = (x² – y²) + i(2xy)
x² – y² = 3 …. (1)
2xy = 4 …. (2)
(x² + y²)² = (x² – y²)² + 4x²y²
= (3)² + (4)²
= 25
∴ x² + y² = 5 …. (3)
Now adding eqns. (1) and (3),
2x² = 8
⇒ x² = 4
⇒ x = ± 2
From equation (2), 2(± 2)y = 4
∴ y = ± 1
\(\sqrt { x + iy }\) = ± 2 ± i.

Question 11.
Find square root of complex number 8 – 6i.
Solution:
Let \(\sqrt { 8 – 6i }\) = x + iy
On squaring,
8 – 6i = (x + iy)²
⇒ 8 – 6i = x² + 2ixy + i²y² .
⇒ 8 – 6i = (x² – y²) + 2ixy
∴ 8 = x² – y² …. (1)
and – 6 = 2 xy …. (2)
(x² + y²)² = (x² – y²)² + 4x²y²
(x²+y²)² = (8)² + (- 6)²
= 64 + 36 = 100
∴ x² + y² = 10 …. (3)
Now adding equation (1) and (3),
2x² = 18
⇒ x² = 9
⇒ x = ±3
From equation (3), y² = 10 – 9 = 1
∴ y = ± 1
\(\sqrt { 8 – 6i}\) = ± 3 ± i.

Question 12.
x² + 3x + 9 = 0.
Solution:
Given : x² + 3x + 9 = 0
Comparing the above equation by ax² + bx + c = 0,
a = 1, b = 3, c = 9
Now, D = b² – 4ac
= 3² – 4 x 1 x 9 = 9 – 36 = – 27 < 0

Question 13.
– x² + x – 2 = 0.
Solution:
Given : – x² + x – 2 = 0
Comparing the above equation by ax² + bx + c = 0,

Question 14.
x² + 3x + 5 = 0.
Solution:
Given : x² + 3x + 5 = 0
Comparing the above equation by ax² + bx+c = 0,
a = 1, b = 3, c = 5

Question 15.
x² – x + 2 = 0
Solution:
Given : x² – x + 2 = 0
Comparing the above equation by ax² + bx + c = 0,
a = 1, b = – 1, c = 2
Now, D = b² – 4ac
= (- 1)² – 4 x 1 x 2 = 1 – 8 = – 7 < 0

Question 16.
If (\(\frac { 1 + i }{ 1 – i }\)) = 1, then And the minimum positive integer number of m. (NCERT)
Solution:

MP Board Class 11th Maths Important Questions

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.2

प्रश्न 1.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :
(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिये ‘लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों एवं लड़कियों की संख्या क्रमशः x एवं y है तो प्रश्नानुसार,
x + y = 10 ….(1)
⇒ y = 10 – x

एवं y = x + 4 ….(2)

दोनों ग्राफ परस्पर बिन्दु P (3,7) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: लड़के एवं लड़कियों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 3 एवं 7 है।

(ii) मान लीजिए पेंसिल एवं कलम का मूल्य क्रमशः ₹ x प्रति नग एवं ₹ y प्रति नग है। तो प्रश्नानुसार,
5x + 7y = 50 …(1)
⇒ y = \(\frac { 50-5x }{ 7 } \)

एवं 7x + 5y = 46 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 46-7x }{ 5 } \)

आकृति : 3.5
चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P (3,5) पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः पेंसिल एवं कलम के मूल्य क्रमश ₹ 3 प्रति नग एवं ₹ 5 प्रति नग है।

प्रश्न 2.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समानान्तर हैं अथवा सम्पाती हैं।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) चूंकि 5x – 4y + 8 = 0 ….(1)
एवं 7x + 6y – 9 = 0 ….(2)
इसलिए \(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{5}{7}, \frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{-4}{6}\) एवं \(\frac{c_{1}}{c_{2}}=\frac{8}{-9}=\frac{-8}{9}\)
⇒ \(\frac{a_{1}}{a_{2}} \neq \frac{b_{1}}{b_{2}}\)
अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) चूँकि 9x + 3y + 12 = 0 ….(1)
18x + 6y + 24 = 0 ….(2)

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) चूँकि 6x – 3y + 10 = 0 …. (1)
एवं 2x – y + 9 = 0 ….(2)

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों \(\frac{a_{1}}{a_{2}}, \frac{b_{1}}{b_{2}}\) और \(\frac{c_{1}}{c_{2}}\) की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म
संगत हैं या असंगत:
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) \(\frac { 3 }{ 2 } \) x + \(\frac { 5 }{ 3 } \) y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + by = – 22
(v) \(\frac { 4 }{ 3 } \) x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
हल:
(i) चूँकि 3x + 2y = 5 ⇒ 3x + 2y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x – 3y = 7 ⇒ 2x – 3y – 7 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(ii) चूँकि 2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0 ….(i)
एवं 4x – 6y = 9 ⇒ 4x – 6y – 9 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म अंसगत हैं।

(iii) चूँकि \(\frac { 3 }{ 2 } \)x + \(\frac { 5 }{ 3 } \) y = 7 ⇒ 9x + 10y – 42 = 0 ….(1)
एवं 9x – 10y = 14 ⇒ 9x – 10y – 14 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(iv) चूँकि 5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0 ….(1)
एवं – 10x + 6y = – 22 ⇒ – 10x + 6y + 22 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(v) चूँकि \(\frac { 4 }{ 3 } \)x + 2y = 8 ⇒ 4x + 6y – 24 = 0 ….(1)
एवं 2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म संपाती हैं)
अत: उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं। यदि संगत हैं, तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0; 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0; 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) चूँकि x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x +2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।


चूँकि रेखा युग्म सम्पाती हैं, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिन्दु इसका हल होगा।
अतः उक्त रैखिक समीकरण के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

(ii) चूंकि x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समानान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
उत्तर रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
⇒ y = 6 – 2x

एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)
⇒ y = 2x – 2

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल (2, 2) है अर्थात् x = 2 एवं y = 2.

(iv) चूँकि 2x – 2y – 2 = 0 ….(1)
एवं 4x – 4y – 5 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्ध परिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि बाग की लम्बाई x m एवं चौड़ाई y m है।
तो प्रश्नानुसार, x = y + 4 …(1)
⇒ y = x – 4

एवं x + y = 36 ….(2)
⇒ y = 36 -x

चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P(20, 16) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः आयताकार बाग की अभीष्ट विमाएँ 20 m एवं 16 m हैं।

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समानान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
सम्भावित उत्तर:
(i) 3x + 2y – 7 = 0
(ii) 4x + 6y – 12 = 0
(iii) 4x + 6y – 16 = 0
ज्ञातव्य : इस प्रश्न के अनेक उत्तर हो सकते हैं।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
चूँकि x – y + 1 = 0 …(1)
⇒ y = x + 1

एवं 3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
⇒ y = \(\frac { 12-3x }{ 2 } \)

आकृति : 3.9
अतः दिए हुए रैखिक समीकरण रैखिक निरूपित रेखाओं एवं : अक्ष से बने अभीष्ट त्रिभुज PQR के शीर्षों के अभीष्ट निर्देशांक P (2, 3), Q(-1, 0) और R (4,0) हैं तथा प्राप्त त्रिभुजाकार पटल को उपर्युक्त आकृति में छायांकित किया गया है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.4

प्रश्न 1.
त्रिकोणमितीय अनुपातों sin A, sec A और tan A को cot A के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल:

अत: cotA के पदों में \(\sin A=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}}, \sec A=\frac{\sqrt{1+\cot ^{2} A}}{\cot A}\) एव \(\tan A=\frac{1}{\cot A}\) है।

प्रश्न 2.
∠A के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को sec A के पदों में लिखिए।
हल :
मान लीजिए समकोण ∆ABC में ∠B समकोण है और sec A = x = \(\frac { AC }{ AB }\)
यदि कर्ण AC = x तो संलग्न भुजा AB = 1

अतः sec A के पदों में विभिन्न त्रिकोणमितीय अनुपात हैं :

प्रश्न 3.
मान निकालिए:
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
हल :
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान =1

(ii) sin 25°. cos 65° + cos 25°. sin 65°
= sin 25°. cos (90° – 25°) + cos 25°. sin (90° – 25°)
= sin 25°. sin 25° + cos 25°. cos 25°
= sin 25° + cos² 25° = 1 [∴ sin²θ + cos²θ = 1 (सर्वसमिका)]
अतः अभीष्ट मान = 1

प्रश्न 4.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प की पुष्टि कीजिए :
(i) 9 sec²A – 9 tan² A बराबर है :
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0.
हल :
सही विकल्प (B) 9 है,
क्योंकि 9 sec² A – 9 tan² A = 9 (sec²A – tan² A)
= 9 x 1
= 9

(ii) (1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ) बराबर है :
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) -1.
हल :
सही विकल्प (C) 2 है, क्योंकि
(1 + tan θ + sec θ) (1 + cot θ – cosec θ)

(iii) (sec A + tan A) (1 – sin A) बराबर है :
(A) sec A
(B) sin A
(C) coses A
(D) cos A.
हल :
सही विकल्प (D) cos A है,
क्योंकि (sec A + tan A)(1 – sin A)

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\) बराबर है :
(A) sec² A
(B) – 1
(C) cot² A
(D) tan² A.
हल :
सही विकल्प (D) tan² A है,
क्योंकि

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ सिद्ध कीजिए जहाँ वे कोण, जिनके लिए व्यंजक परिभाषित है, न्यूनकोण हैं
(i) \((\csc \theta-\cot \theta)^{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A\)
(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \cdot \csc \theta\)
(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)
(v) cosec² A = 1 + cot² A \(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\csc A+\cot A\)
(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A\)
(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta\)
(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot² A
(ix) \((\csc A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}\)
(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{\cot A}\right)^{2}=\tan ^{2} A\)
हल :
(i) \((\csc \theta-\cot \theta)^{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)


LHS = RHS
इति सिद्धम

(ii) \(\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(iii) \(\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \cdot \csc \theta\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(iv) \(\frac{1+\sec A}{\sec A}=\frac{\sin ^{2} A}{1-\cos A}\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(v) cosec² A = 1 + cot² A \(\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\csc A+\cot A\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(vi) \(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A}}=\sec A+\tan A\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(vii) \(\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(viii) (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)² = 7 + tan²A + cot² A
L.H.S. = (sin A + cosec A)² + (cos A + sec A)²
= sin² A + 2 sin A cosec A + cosec² A + cos² A + 2 cos A sec A + sec² A
= sin² A + cos² A + 2 sin A cosec A + 2 cos A sec A + sec² A + cosec² A
= 1 + 2 + 2 + (1 + tan² A) + (1 + cot² A) [∵ sin² A + cos² A = 1, sin A coses A = 1 एाव cos A sec A = 1 एाव sec² A = 1 + tan² A तथा cosec² A = 1 + cot² A]
= 7 + tan² A + cot² A
= R.H.S.
L.H.S = R.H.S.
इति सिद्धम्

(ix) \((\csc A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}\)

LHS = RHS
इति सिद्धम

(x) \(\left(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}\right)=\left(\frac{1-\tan A}{\cot A}\right)^{2}=\tan ^{2} A\)


LHS = RHS
इति सिद्धम

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.4

प्रश्न 1.
पानी पीने वाला एक गिलास 14 cm ऊँचाई वाले एक शंकु के छिन्नक के आकार का है। दोनों वृत्ताकार सिरों के व्यास 4 cm और 2 cm हैं। इस गिलास की धारिता ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दिए हुए शंकु छिन्नक की ऊँचाई h = 14 cm, वृत्ताकार सिरों के व्यास क्रमशः d₁ = 2r₁ = 4 cm एवं d₂ = 2r₂ = 2 cm
r₁ = \(\frac { 4 }{ 2 }\) = 2 cm एवं r₂ = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 cm है।
चूँकि शंकु के छिन्नक का आयतन = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πh[r₁² + r₂² + r₁r₂]
⇒ गिलास की धारिता = \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) x 14[(2)² + (1)² + (2) (1)]
= \(\frac { 44 }{ 3 }\)[4+1+2]
= \(\frac { 308 }{ 3 }\)
= \(102\frac { 2 }{ 3 }\) cm³
अतः, गिलास की अभीष्ट धारिता \(102\frac { 2 }{ 3 }\) cm³

प्रश्न 2.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 cm है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियों) 18 cm एवं 6 cm हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l = 4 cm एवं वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) क्रमश: C₁ = 18 cm एवं C₂ = 6 cm दिये गये हैं।
चूँकि छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(l\left[\frac{C_{1}+C_{2}}{2}\right]\)
\(S_{c}=4\left[\frac{18+6}{2}\right]\)
= 4 x \(\frac { 24 }{ 2 }\)
= 4 x 12
= 48 cm²
अतः, शंकु के छिन्नक का अभीष्ट वक्र पृष्ठीय शेषफल = 48 cm² है।

प्रश्न 3.
एक तुर्की टोपी शंकु के छिन्नक के आकार की है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि.इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 cm तथा ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 cm है और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 cm है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए शंकु के छिन्नकाकार टोपी की तिर्यक ऊँचाई l = 15 cm, सिरों की त्रिज्याएँ r₁ = 10 cm एवं r₂ = 4 cm दी हैं।
चूँकि शंकु के छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
S_C = πl(r₁ + r₂)
S_C = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 15(10 + 4)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 15 x 14
= 660 cm²
ऊपरी वृत्ताकार सिरे का क्षेत्रफल

टोपी के पदार्थ का कुल क्षेत्रफल

अतः, टोपी के पदार्थ का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(710 \frac{2}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 4.
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है जिसकी ऊँचाई 16 cm है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 20 cm हैं। Rs 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के – लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मल्य Rs 8 प्रति 100 cm² की दर से ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

मान लीजिए कि धातु की चादर से बने एक छिन्नक के आकार के बर्तन की ऊँचाई h= 16 cm
ऊपरी एवं निचले सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 20 cm एवं r₂ = 8 cm हैं।
छिन्नक का आयतन = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πh[r₁² + r₂² + r₁r₂]
V = \(\frac { 1 }{ 3 }\) x 3.14 x 16 [(20)² + (8)² + 20 x 8]
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) x 50.24 [400 + 64 + 160]
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) x 50.24 x 624
= \(\frac{31349.76}{3} \mathrm{cm}^{3}\)
छिन्नक का आयतन = 10449.92 cm³
दूध का आयतन = 10.45 लीटर
दूध का मूल्य = दूध का आयतन x दर
= 10.45 x 20
= Rs 209
अतः, दूध का अभीष्ट मूल्य = Rs 209 है।
सविधा के लिए छिन्नक का एक भाग संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। मान लीजिए PR = l तथा OP = r₁ = 20 cm
एवं O’R = r₂ = 8 cm
तथा OO’ = h = 16 cm (दी है)
तो समकोण ∆RMP में,
MP = OP – OM
= OP – O’R
= r₁ – r₂
= 20 – 8
= 12 cm

एवं MR = OO’ = h = 16 cm
समकोण ∆RMP में पाइथागोरस प्रमेय से,

छिन्नक का वक्रपृष्ठ S. = πl(r₁ + r₂)
S_C = 3.14 x 20(20 + 8)
= 3.14 x 20 x 28
= 1758.4 cm²
वृत्तीय आधार का क्षेत्रफल = πr₂² = 3.14 x (8)²
= 3.14 x 64
= 200.96 cm²
धातु-चादर का कुल क्षेत्रफल, S_w = 1758.4 + 200.96 = 1959.36
धातु-चादर का मूल्य = धातु-चादर का क्षेत्रफल x दर
= \(\frac{1959 \cdot 36 \times 8}{100}\)
= Rs 156.75
अतः, धातु-चादर का अभीष्ट मूल्य = Rs 156.75 है।

प्रश्न 5.
20 cm ऊँचाई और शीर्ष कोण (Vertical angle) 60° वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों-बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है। यदि इस प्राप्त शंकु-छिन्नक को व्यास \(\frac { 1 }{ 16 }\) cm वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है, तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए ऊँचाई h = PO = 20 cm और शीर्ष कोण ∠OPR = 60° वाले शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों-बीच (मध्य बिन्दु) O’ से जाने वाले आधार के समान्तर तल द्वारा दो भागों में विभक्त किया गया है, जहाँ
PO’ = OO’ = h’ = \(\frac { 20 }{ 2 }\) = 10 cm [जहाँ h’ छिन्नक की ऊँचाई]
∆PQR एक समद्विबाहु ∆ है तथा PO उसका शीर्ष लम्ब
⇒ ∠QPO = ∠SPO’ = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30°
माना OQ = r₁ तथा O’S = r₂


मान लीजिए तार की लम्बाई l cm है तथा व्यास d = 2r = \(\frac { 1 }{ 16 }\) cm
r = \(\frac { 1 }{ 32 }\) cm
तार का आयतन = छिन्नक का आयतन

अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 796444.4 cm या 7964.4 m है।