Prasanna

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.2

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए :
(i) sin 60°. cos 30° + sin 30°. cos 60° (2019)
(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60° (2019)
(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\csc 30^{\circ}}\)
(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\csc 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)
(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)
हल :
(i) sin 60°. cos 30° + sin 30°. cos 60°
\(=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1\)
अतः अभीष्ट मान = 1 है।

(ii) 2 tan² 45° + cos² 30° – sin² 60°
\(=2(1)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\)
\(=2+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\)
अतः अभीष्ट मान = 2 है।

(iii) \(\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\csc 30^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान \(\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}\) है।

(iv) \(\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\csc 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान \(\frac{43-24 \sqrt{3}}{11}\) है।

(v) \(\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}\)

अतः अभीष्ट मान \(\frac { 67 }{ 12 }\) है।

प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}\) = …………
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
सही विकल्प है (A) sin 60°.
क्योंकि

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}\) = ……….
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0.
हल :
सही विकल्प (D) 0.
क्योंकि

(iii) sin 2A = 2 sin A तब सत्य होता है जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°.
हल :
सही विकल्प है (A) 0°.
क्योंकि sin 2A = 2 sin A ⇒ sin 2 x 0° = 2 sin 0
⇒ sin 0° = 2 sin 0° ⇒ 0 = 2 x 0 = 0.

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}\) बराबर है:
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल :
सही विकल्प है (C) tan 60°.
क्योंकि

प्रश्न 3.
यदि tan (A + B) = √3 और tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), 0° < A + B ≤ 90° ; A > B तो A और B के मान ज्ञात कीजिए।
हल : ∵ tan (A + B) = √3 = tan 60°
⇒ A + B = 60° ….(1)
∵ tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …(2)
⇒ 2A = 90°
⇒ A = \(\frac { 90 }{ 2 }\) = 45° [समीकरण (1) + (2) से]
A = 45° का मान समीकरण (1) में रखने पर,
⇒ A + 45° = 60°
⇒ A = 60° – 45° = 15°
अतः A एवं B के अभीष्ट मान हैं क्रमशः 45° एवं 150°.

प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य है या असत्य है? कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए:
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sinθ = cosθ.
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल :
(i) कथन असत्य है, sin (60° + 30°) = sin 90° = 1
एवं sin 60° + sin 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\) जो बराबर नहीं है।

(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sin 0° = 0, sin 30° = \(\frac { 1 }{ 2 }\), sin 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), एवं sin 90° = 1.

(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos 0° = 1, cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), Cos 60° = \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं cos 90° = 0.

(iv) कथन असत्य है, क्योंकि sin 30° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) जबकि cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

(v) कथन सत्य है, क्योंकि cot A° = cot 0° = \(\frac{\cos 0^{\circ}}{\sin 0^{\circ}}=\frac{1}{0}\) जो कि अपरिश भाषित है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.4

प्रश्न 1.
मान लीजिए ∆ABC ~ ∆DEF और इनके क्षेत्रफल क्रमश: 64 cm और 121 cm हैं। यदि EF = 15.4 cm हो, तो BC ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि ∆ABC ~ ∆DEF [दिया है]

अतः BC का अभीष्ट मान = 11.2 cm.

प्रश्न 2.
एक समलम्ब ABCD जिसमें AB || DC है के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि AB = 2CD हो, तो त्रिभुजों AOB और COD के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

∆AOB और ∆COD में,
∵LOAB = ZOCD (एकान्तर कोण हैं)
[यहाँ AB || DC, AC तिर्यक रेखा]
∵ LOBA = ZODC (एकान्तर कोण हैं)
[यहाँ AB || DC, DB तिर्यक रेखा]
∆AOB ~ ∆COD [AA समरूपता]

अतः क्षेत्र. (∆AOB) : क्षेत्र. (∆COD) = 4 : 1.

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.29 में एक ही आधार BC पर दो त्रिभुज ABC और DBC बने हुए हैं। यदि AD, BC को O पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि \(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO } \) हैं।
हल :

दिया है : एक ही आधार BC पर दो ∆ABC एवं ∆DBC और AD, BC को बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती है।
रचना : AE ⊥ BC एवं DF ⊥ BC खींचिए।
अब ∆AEO और ∆DFO में,
चूँकि ∠AEO = ∠DFO = 90° [∵ AE ⊥ BC एवं DF ⊥ BC]
∠AOE = ∠DOF [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
∆AEO ~ ∆DFO [AA समरूपता]
\(\frac{A E}{D F}=\frac{A O}{D O}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]

[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x आधार x शीर्षलम्ब]
\(\frac { ar(ABC) }{ ar(DBC) } =\frac { AO }{ DO } \) [समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
यदि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हों, तो सिद्ध कीजिए कि वे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।
हल :
मान लीजिए
∆ABC ~ ∆PQR

लेकिन
ar(ABC) = ar(PQR) = x वर्ग मात्रक।

(AB)² = (PQ)², (BC)² = (QR)² एवं (CA)² = (RP)²
AB = PQ, BC = QR एवं CA = RP …(1)
अब ∆ABC और ∆PQR में,
∵ AB = PQ, BC = QR एवं CA = RP [समीकरण (1) से]
∆ABC ≅ ∆PQR. [SSS सर्वांगसमता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
एक त्रिभुज ABC की भुजाओं AB, BC एवं CA के मध्य-बिन्दु क्रमश: D, E एवं F हैं। ∆DEF और ∆ABC के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : ∆ABC की भुजाओं AB, BC एवं CA के क्रमशः मध्य-बिन्दुओं D, E एवं F को मिलाने से ∆DEF बना है (देखिए संलग्न आकृति 6.30 में)
चूँकि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाखण्ड तीसरी भुजा के आधा होता है।

ar(DEF) : ar(ABC) = 1 : 4.
अत: ∆DEF एवं ∆ABC के क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात 1 : 4 है।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
हल :

मान लीजिए कि दो समरूप ∆ABC ~ ∆PQR हैं, जिनकी संगत माध्यिकाएँ AD एवं PM हैं। (देखिए आकृति 6.31)
चूँकि ∆ABC ~ ∆PQR दिया है।
∠A = ∠P, ∠B = ∠Q
एवं ∠C = ∠R …(1)
एवं \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C A}{R P}\) …(2)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∵ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ….(3)
[D, BC का एवं M, QR का मध्य-बिन्दु है]
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]

अतः दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत माध्यिकाओं के अनुपात का वर्ग होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी वर्ग की किसी भुजा पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के एक विकर्ण पर बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक वर्ग है। जिसका एक विकर्ण AC है। वर्ग की भुजा AD पर समबाहु ∆EAD एवं उसके विकर्ण AC पर समबाहु ∆FAC बने हैं।
चूँकि दो समबाहु त्रिभुज सदैव समरूप होते हैं।
∆EAD ~ ∆FAC

अतः किसी वर्ग की भुजा पर बने समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल उसी वर्ग के विकर्ण पर बने समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
ABC और BDE दो समबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि D भुजा BC का मध्य-बिन्दु है। त्रिभुजों ABC और BDE के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(a) 2:1
(b) 1:2
(c) 4:1
(d) 1:4.
सही उत्तर चुनिए और अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
सही विकल्प (c) 4 : 1 है, क्योंकि ∆ABC ~ ∆BDE क्योंकि समबाहु त्रिभुज समरूप होते हैं एवं

यहाँ AB = 2BD क्योंकि D, AB का मध्य-बिन्दु है।

प्रश्न 9.
दो समरूप त्रिभुजों की भुजाएँ 4:9 के अनुपात में हैं। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात है :
(a) 2:3
(b) 4:9
(c) 81:16
(d) 16:81
सही विकल्प चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।
हल :
सही विकल्प (d) 16 : 81 है, क्योंकि समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। अत: 4 : 9 का वर्ग अनुपात 16 : 81 है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 9 त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण किसी बिन्द से 30° है। यदि प्रेक्षक 20 मीटर मीनार की ओर चलता है तो उस मीनार के शीर्ष का कोण 15° बढ़ जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ एक मीनार है जिसके शीर्ष P का बिन्दु R पर उन्नयन कोण ∠PRQ = 30° है तथा मीनार की ओर RS = 20 m चलने पर उन्नयन कोण ∠PSQ = 30° + 15° = 45° हो जाता है। पुनः मान लीजिए मीनार की ऊँचाई PQ = hm तथा दूरी QS = x m है तो
समकोण ∆PQS में,
\(\frac { PQ }{ QS }\) = tan PSQ
⇒ \(\frac { h }{ x }\) = tan 45° = 1
⇒ h = x …(1)
एवं समकोण ∆PQR में,


अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 10 (√3 + 1) m है।

प्रश्न 2.
किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण दो बिन्दुओं पर जो मीनार के पाद से क्रमशः s एवं t मात्रक की दूरी पर हैं, एक दूसरे के पूरक हैं तो सिद्ध कीजिए कि मीनार की ऊँचाई √st है।
हल :

जैसा कि संलग्न आकृति 9.21 में दिखाया गया है। मान लीजिए मीनार PQ = h मात्रक ऊँची है। RQ = s एवं SQ = t है तथा ∠PRQ = θ एवं ∠PSQ = (90° – θ) है। समकोण ∆PRQ में,
\(\frac { PQ }{ RQ }\) = tan PRQ
\(\frac { h }{ s }\) = tanθ …..(1)
समकोण ∆PSQ में,

h² = st
h = √st
अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = √st है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
एक सड़क के ऊर्ध्वाधरतः स्थित एक गुब्बारे से एक ही दिशा में दो कारों के अवनमन कोण क्रमशः 45° एवं 60° पाये जाते हैं। यदि कारों के बीच की दूरी 100 m हो तो गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए गुब्बारे P की सड़क से ऊर्ध्वाधर ऊँचाई PQ = h m है तथा सड़क पर दो कारें A एवं B एक-दूसरे से AB = 100 m की दूरी पर हैं। P से A का अवनमन कोण ∠XPA = 45° एवं B का अवनमन कोण ∠XPB = 60° है। पुनः मान लीजिए कि BQ = x m तो चित्रानुसार ∠PAQ = ∠XPA = 45° (एकान्तर कोण हैं) एवं ∠PBQ = ∠XPB = 60° (एकान्तर कोण हैं)। समकोण त्रिभुज PQA में,

एवं समकोण ∆PQB में,
\(\frac { PQ }{ BQ }\) = tan PBQ
⇒ \(\frac { h }{ x }\) = tan 60° = √3 .
⇒ h = x√3 …(2)
⇒ h = (h – 100) √3 समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ h = h√3 – 100√3
⇒ (h√3 – h) = 100√3
⇒ h (√3 – 1) = 100√3

⇒ h = 50 (3 + √3) m
अतः, गुब्बारे की अभीष्ट ऊँचाई = 50 (3 + √3) m है।

प्रश्न 4.
एक हवाई जहाज भूतल से ऊपर 300 मीटर की ऊँचाई पर उड़ रहा है। इस ऊँचाई पर उड़ते हुए हवाई जहाज से एक नदी के दोनों किनारों पर परस्पर विपरीत दिशाओं में स्थित दो बिन्दुओं के अवनमन कोण क्रमशः 45° तथा 60° हैं। नदी की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। [√3 = 1.732 का प्रयोग कीजिए।]
हल :

PQ = 300 m की ऊँचाई पर उड़ रहे हवाई जहाज से नदी के किनारे पर स्थित बिन्दुओं R एवं S के अवनमन कोण ∠XPR = 60° एवं ∠XPS = 45° है। ∠PRQ = ∠XPR = 60° एवं ∠PSQ = ∠XPS = 45° मान लीजिए कि SR = x m एवं RQ = y m हैं समकोण ∆PQS में,

एवं समकोण ∆PQR में,
\(\frac { PQ }{ RQ }\) = tan PRQ
\(\frac { 300 }{ y }\) = tan 60° = √3
y = \(\frac{300}{\sqrt{3}}\) = 100√3 = 100 x 1.732 = 173.2 m …(2)
x + 173.2 = 300 [समीकरण (1) एवं (2) से]
x = 300 – 173.2
= 126.8 m
अतः, नदी की अभीष्ट चौड़ाई = 126.8 m है।

प्रश्न 5.
एक मीनार के पाद से गुजरने वाली सीधी रेखा पर पाद से क्रमशः 4 m तथा 16 m की दूरियों पर स्थित दो बिन्दु C और D स्थित हैं। यदि C और D से मीनार के शिखर के उन्नयन कोण एक-दूसरे के पूरक हों, तो मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए एक मीनार PQ = h m ऊँची है जिसके पाद Q से बिन्दुओं C एवं D की दूरियाँ क्रमशः QC = 4 m एवं QD = 16 m हैं तथा ∠PCQ = α° एवं ∠PDQ = (90 – α)° है। अब समकोण ∆PQC में,
\(\frac { PQ }{ QC }\) = tan PCQ ⇒ \(\frac { h }{ 4 }\) = tan a …(1)
एवं समकोण ∆PQD में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 8 m है।

प्रश्न 6.
भूमि के एक बिन्दु Xसे एक ऊर्ध्वाधर मीनार PQ के शिखर Q का उन्नयन कोण 60° है। एक अन्य बिन्दु Y जो X से 40 m ऊर्ध्वाधर रूप में ऊँचा है, से शिखर Q का उन्नयन कोण 450
है। मीनार PQ की ऊँचाई तथा दूरी PX ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.73 लीजिए)
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँची मीनार के पास P से PX = x m की दूरी पर स्थित बिन्दु के ऊर्ध्वाधरतः XY = 40 m ऊपर बिन्दु Y है। X एवं Y पर मीनार के शिखर Q के उन्नयन कोण ∠QXP = 60° और ∠QYR = 45° दिए हैं।
चित्रानुसार,
YR = PX = x m
PR = XY = 40 m
⇒ QR = PQ – PR = (h – 40)
समकोण त्रिभुज ∆ORY में,
\(\frac { QR }{ YR }\) = tan QYR ⇒ \(\frac { h-40 }{ x }\) = tan 45°
h – 40 = x tan 45° = x ⇒ h = x + 40 …(1)
समकोण ∆QPX में,

अतः, मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 94.60 m है।

प्रश्न 7.
एक व्यक्ति एक जलयान के डैक जो पानी के स्तर से 10 m ऊँचा है, से एक पहाड़ी के शिखर का उन्नयन कोण 60° तथा पहाड़ी के तल का अवनमन कोण 30° पाता है। पहाड़ी से जलयान की दूरी तथा पहाड़ी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँची एक पहाड़ी से QB = x m की दूरी पर स्थित AB = 10 m ऊँचा जलयान का डैक है जिससे पहाड़ी के शिखर P का उन्नयन कोण ∠PAR = 60° एवं पहाड़ी के तल Q का अवनमन कोण RAQ = 30° है।
RQ = AB = 10 m
एवं AR = QB = x m
तथा PR = PQ – RQ = (h – 10) m
अब समकोण ∆ARO में,
\(\frac { RQ }{ AR }\) = tanRAQ
\(\frac { 10 }{ x }\) = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
x = 10√3 …(1)
एवं समकोण ∆PRA में,
\(\frac { PR }{ AR }\) = tan PAR ⇒ \(\frac { h-10 }{ x }\) = tan 60° = √3
(h – 10) = x√3 …(2)
h – 10 = 10 √3 x 3 [समीकरण (1) एवं (2) से]
h = 30 + 10 = 40 m
अतः, पहाड़ी से जलयान की अभीष्ट दूरी = 10√3 m तथा पहाड़ी की ऊँचाई = 40 m है।

प्रश्न 8.
एक झील में पानी के तल से 20 m ऊँचे बिन्दु A से, एक बादल का उन्नयन कोण 30° है। झील में बादल के प्रतिबिम्ब का A से अवनमन कोण 60° है। A से बादल की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक बादल पानी के तल BC से PC = h m की ऊँचाई पर स्थित है जिसका प्रतिबिम्ब जल में बिन्दु Q पर बनेगा। इस प्रकार कि CQ = PC = h m (प्रकाश के परावर्तन के नियम से)। जल स्तर से AB = 20 m की ऊँचाई पर बिन्दु A से बादल P का उन्नयन कोण ∠PAD = 30° एवं बादल के प्रतिबिम्ब Q का अवनमन कोण ∠QAD = 60° एवं AD = x m है
⇒ DC = AB = 20 m

एाव PD = PC – DC = (h – 20) m
तथा QD = CQ + DC = (h + 20) m
अब समकोण ∆PDA में,

एवं समकोण ∆QDA में,

अब समकोण ∆PDA में,

अतः, बादल की बिन्दु A से अभीष्ट दूरी = 40 m है।

प्रश्न 9.
धरातल के एक बिन्दु A से हवाई जहाज का उन्नयन कोण 60° है। 15 सेकण्ड की उड़ान के पश्चात्, उन्नयन कोण 30° का हो जाता है। यदिहवाई जहाज एक निश्चित ऊँचाई 1500√3 m पर उड़ रहा हो, तो हवाई जहाज की गति किलोमीटर/घण्टा ज्ञात कीजिए।
हल :

मानलीजिए एक हवाईजहाज PR = 1500 √3 m की ऊँचाई पर बिन्दु P पर स्थित है तथा यह गति करते हुए 15 s में x m की दूरी तय करके बिन्दु Q पर आता है, जहाँ QS ऊँचाई = 1500 √3 m है। R से AR = y m की दूरी पर स्थित बिन्दु A से बिन्दु P का उन्नयन कोण ∠PAR = 60° एवं बिन्दु Q का उन्नयन कोण ∠QAS = 30° है।
RS = PQ = x m
एवं AS = AR + RS = (y + x) m
अब समकोण ∆PRA में,
\(\frac { PR }{ AR }\) = tan PAR ⇒ \(\frac{1500 \sqrt{3}}{y}\) = tan 60° = √3
⇒ y = 1500 m ……(1)
एवं समकोण ∆QAS में,
\(\frac { QS }{ AS }\) = tan QAS
\(\frac{1500 \sqrt{3}}{y+x}\) = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
y + x = 1500√3 x √3 = 4500 m
1500 + x = 4500
x = 4500 – 1500 = 3000 m
हवाई जहाज द्वारा चली गयी दूरी = 3000m = 3 km
तथा यात्रा में लिया गया समय

चाल = 3 x 240 = 720 k/h
अतः, हवाई जहाज की अभीष्ट चाल = 720 k/h है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) ज्ञात कीजिए जबकि h m ऊँचे किसी खम्भे की छाया √3 h m लम्बी है।
हल :

मान लीजिए PQ = h m ऊँचे खम्भे की छाया QR = h√3 m है तथा सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन कोण) ∠PRQ = θ है। तो समकोण त्रिभुज PQR में,
\(\frac { PQ }{ QR }\) = tan PRQ
\(\frac { 1 }{ 2 }\) = tanθ
tan θ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) = tan 30°
θ = 30°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नतांश (उन्नयन कोण) = 30° है।

प्रश्न 2.
एक 15 m लम्बी सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के शीर्ष तक ठीक-ठीक पहुँचती है। यदि सीढ़ी 60° का कोण दीवार के साथ बनाती है तो दीवार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 15 m लम्बी एक सीढ़ी दीवार के शीर्ष के साथ ∠ABC = 60° का कोण बनाते हुई खड़ी है। दीवार की ऊँचाई BC = h m है। समकोण ∆BCA में,
\(\frac { BC }{ AB }\) = COS ABC
⇒ \(\frac { h }{ 15 }\) = cos 60°= \(\frac { 1 }{ 2 }\)
⇒ h = \(\frac { 15 }{ 2 }\)
= 7.5 m
अतः, दीवार की अभीष्ट ऊँचाई = 7.5 m है।

प्रश्न 3.
1.5 m ऊँचा एक प्रेक्षक एक 22 m ऊँची मीनार से 20.5m की दूरी पर खड़ा है। मीनार के शिखर का उन्नयन कोण प्रेक्षक की आँख से ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए PQ = 22 m एक मीनार है जिससे AR = BQ = 20.5 m की दूरी पर एक प्रेक्षक AB = 1.5 m ऊँचा खड़ा है। प्रेक्षक की आँख से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण ∠PAR = θ°
PR = PQ – RQ
= PQ – AB
= 22 – 1.5
= 20.5 m.
समकोण ∆PRA में,

अतः, अभीष्ट उन्नयन कोण = 45° है।

प्रश्न 4.
यदि 30 m ऊँची एक मीनार भूमि पर 10√3 m लम्बी छाया बनाती है, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?
हल :

मान लीजिए PQ = 30 m ऊँची मीनार की छाया भूमि पर RQ = 10√3 m है तथा सूर्य का उन्नयन कोण ∠PRQ = θ है तो समकोण ∆PQR में,
tanθ = \(\frac{P Q}{R Q}=\frac{30}{10 \sqrt{3}}\) = √3
⇒ tanθ = tan 60°
⇒ θ = 60°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नयन कोण = 60° है।

प्रश्न 5.
एक दीवार के साथ लगी सीढ़ी क्षैतिज के साथ 60° का कोण बनाती है। यदि सीढ़ी का पाद दीवार से 2.5m की दूरी पर है तो सीढ़ी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = l m लम्बी एक सीढ़ी क्षैतिज के साथ ∠BAC = 60° का कोण बनाती है तथा बिन्दु A दीवार से AC = 2.5 m की दूरी पर है तो समकोण ∆ACB में,
cos BAC = \(\frac { AC }{ AB }\)
⇒ cos 60°= \(\frac{2 \cdot 5}{l}=\frac{1}{2}\)
⇒ l = 2 x 2.5 = 5m
अतः, सीढ़ी की अभीष्ट लम्बाई = 5 m है।

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 9.37 में एक मीनार AB की ऊँचाई 20 m है और इसकी भूमि पर परछाईं BC की लम्बाई 20√3 है। सूर्य का उन्नतांश ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 20 m ऊँची मीनार की परछाई BC = 20√3 m है तथा सूर्य का उन्नातांश θ° है तो समकोण ∆ABC में,
tan ACB = \(\frac { AB }{ BC }\)
⇒ tan θ = \(\frac{20}{20 \sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
⇒ tan θ = tan 30°
⇒ θ = 30°
अतः, सूर्य का अभीष्ट उन्नतांश = 30° है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों में सत्य/असत्य कथन लिखिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
एक मीनार की छाया की लम्बाई बढ़ने के साथ-साथ ही सूर्य का उन्नतांश भी बढ़ता जाता है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उन्नतांश बढ़ने पर छाया की लम्बाई घटती है।

प्रश्न 2.
एक मनुष्य एक झील के तल से 3 m ऊँचे प्लेटफार्म पर खड़ा एक बादल एवं उसके प्रतिबिम्ब का प्रेक्षण करता है तब वह देखता है कि बादल का उन्नयन कोण उसके प्रतिबिम्ब के अवनमन
कोण के बराबर है।
हल:
कथन असत्य है, क्योंकि प्रतिबिम्ब का अवनमन कोण बादल के उन्नयन कोण से अधिक होगा।

प्रश्न 3.
किसी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। यदि मीनार की ऊँचाई दूनी कर दी जाए तो इसके शीर्ष का उन्नयन कोण भी दूना हो जायेगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उन्नयन कोण मीनार की ऊँचाई से तीन गुना करने पर दूना होगा।

प्रश्न 4.
किसी मीनार की ऊँचाई और इसके प्रेक्षक बिन्दु की दूरी में 10% वृद्धि कर दी जाए तो उन्नयन कोण समान रहेगा।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि दोनों भुजाओं का अनुपात समान रहने पर tanθ का मान और इसलिए कोण θ का मान वही रहेगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 9 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि धूप में खड़े एक व्यक्ति की छाया उसकी ऊँचाई की √3 गुना हो, तो उस समय सूर्य का उन्नयन कोण होगा :
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
उत्तर:
(a) 30°

प्रश्न 2.
एक पेड़ की छाया 20√3 मीटर है। यदि पेड़ की ऊँचाई 20 मीटर हो, तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा:
(a) 30°
(b) 45°
(c) 60°
(d) 75°
उत्तर:
(a) 30°

प्रश्न 3.
एक व्यक्ति किसी बिजली के खम्भे के शिखर से देखता है कि धरातल के एक बिन्दु का अवनमन कोण 60° है। यदि खम्भे के पाद से बिन्दु की दूरी 25 मीटर हो, तो खम्भे की ऊँचाई होगी :
(a) 25 मीटर
(b) 25√2 मीटर
(c) 25√3 मीटर
(d) 1 मीटर।
उत्तर:
(c) 25√3 मीटर

प्रश्न 4.
पुल पर बैठा एक व्यक्ति नदी में एक नाव देखता है, जिसका अवनमन कोण 45° है। यदि पुल की ऊँचाई 15 मीटर हो, तो नाव की पुल से दूरी होगी :
(a) 10 मीटर
(b) 15 मीटर
(c) 25 मीटर
(d) 5 मीटर।
उत्तर:
(b) 15 मीटर

प्रश्न 5.
पेड़ की छाया, उसकी ऊँचाई के बराबर है। सूर्य का उन्नतांश (उन्नयन) कोण होगा :
अथवा
यदि मीनार की ऊँचाई एवं छाया की लम्बाई समान हो, तो सूर्य के उन्नयन कोण का मान होगा :
(a) 30°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45.
उत्तर:
(d) 45.

प्रश्न 6.
एक भवन के पाद से 30 मीटर की दूरी से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। भवन की ऊँचाई है:
(a) 25 मीटर
(b) 30 मीटर
(c) 25√2 मीटर
(d) 30√2 मीटर।
उत्तर:
(b) 30 मीटर

प्रश्न 7.
एक 6 m ऊँचे खम्भे की छाया 2√3 m लम्बी है तो सूर्य का उन्नतांश होगा :
(a) 60°
(b) 45°
(c) 30°
(d) 90°.
उत्तर:
(a) 60°

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. नीचे खड़े रहकर ऊपर की ओर देखने के लिए दृष्टि रेखा को क्षैतिज से जितना ऊपर की ओर घुमाना पड़ता है, वह कोण ……….. कहलाता है।
2. ऊपर के किसी बिन्दु से नीचे के किसी बिन्दु को देखने के लिए दृष्टि रेखा को क्षैतिज से जितना नीचे की ओर घुमाना पड़ता है, वह कोण ………… कोण कहलाता है।
3. यदि किसी मीनार (पेड़) की ऊँचाई एवं उसकी छाया (की लम्बाई) बराबर (समान) हो, तो उस समय उसका (सूर्य का) उन्नयन कोण ……….. होगा।
4. एक भवन के पास से 25 मीटर की दूरी से भवन के शिखर का उन्नयन कोण 45° है, तो भवन की ऊँचाई …………. होगी।
उत्तर-
1. उन्नयन कोण,
2. अवनमन,
3. 45°,
4.25 मीटर।

सत्य/असत्य कथन

1. क्षैतिज तल से ऊपर की ओर देखने पर दृष्टि रेखा क्षैतिज रेखा के साथ अवनमन कोण बनाती है।
2. वह रेखा जो हमारी आँख से वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ती है, दृष्टि रेखा कहलाती है।
3. देखी गई वस्तु का उन्नयन कोण दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा से बना कोण होता है, जबकि वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को नीचे की ओर झुकाना पड़ता है। (2019)
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. उस मापक यन्त्र का नाम लिखिए जिसके द्वारा किसी दूरस्थ बिन्दु या ऊँचाई का कोण मापन किया जा सकता है।
2. वह रेखा क्या कहलाती है जो हमारी आँख से सीधे भूमि के समानान्तर जाती है?
3. हमारी आँख से उस वस्तु को जिसे हम देख रहे हैं, जोड़ने वाली रेखा क्या कहलाती है?
4. जब वस्तु आँख की क्षैतिज रेखा से ऊपर हो, तो उसे देखने के प्रक्रम में हमारी दृष्टि रेखा जिस कोण से ऊपर को मुड़ जाती है, उस कोण को क्या कहते हैं?
5. जब वस्तु आँख की क्षैतिज रेखा से नीचे हो, तो उसे देखने के प्रक्रम में हमारी दृष्टि रेखा जिस कोण से नीचे की ओर मुड़ जाती है, उस कोण को क्या कहते हैं?
6. एक वृक्ष की ऊँचाई एवं उसकी छाया बराबर हो, तो उस समय सूर्य का उन्नयन कोण कितना होगा?
उत्तर-
1. षष्टक,
2. क्षैतिज रेखा,
3. दृष्टि रेखा,
4. उन्नत (उन्नयन) कोण,
5. अवनत (अवनमन) कोण,
6. 45°

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 1 भक्ति

भक्ति अभ्यास

भक्ति अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनिए
(क) तुलसीदास के पद संकलित हैं (2009)
(अ) कवितावली में
(ब) गीतावली में
(स) विनय पत्रिका में
(द) रामचरितमानस में।
उत्तर:
(स) विनय पत्रिका में।

(ख) तुलसीदास के पदों में रस प्रधान है
(अ) शान्त
(ब) श्रृंगार
(स) वीर
(द) वात्सल्य।
उत्तर:
(अ) शान्त रस।

(ग) मीराबाई भक्त थीं (2009)
(अ) राम की
(ब) कृष्ण की
(स) शिव की
(द) विष्णु की।
उत्तर:
(ब) कृष्ण की।

प्रश्न 2.
तुलसीदास किसके चरण छोड़कर नहीं जाना चाहते? (2015, 17)
उत्तर:
तुलसीदास श्रीराम के चरण छोड़कर नहीं जाना चाहते।

प्रश्न 3.
तुलसीदास प्रण करके कहाँ बसना चाहते हैं?
उत्तर:
तुलसीदास प्रण करके श्रीराम के चरण कमलों में बसना चाहते हैं।

प्रश्न 4.
कृष्ण ने किसका घमण्ड चूर करने के लिये गोवर्धन पर्वत धारण किया था? (2016)
उत्तर:
कृष्ण ने इन्द्र का घमण्ड चूर करने के लिए गोवर्धन पर्वत को धारण किया था।

प्रश्न 5.
किसी रोगी की पीड़ा को सबसे अधिक कौन अनुभव कर सकता है?
उत्तर:
किसी रोगी की पीड़ा को सबसे अधिक श्रीराम ही अनुभव कर सकते हैं।

भक्ति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
कवि के अनुसार राम के चरणों से किन-किनका उद्धार हुआ है?
उत्तर:
कवि के अनुसार राम के चरणों द्वारा पत्थर (अहिल्या), जटायु (पक्षी), मारीच (हिरण) आदि का उद्धार हुआ है।

प्रश्न 2.
‘करहलाज निजपन’ पंक्ति में निजपन’ से कवि का क्या आशय है?(2014)
उत्तर:
‘करहु लाज निजपन’ पंक्ति से कवि का अभिप्राय है कि मैं अपने इस मन के दोषपूर्ण एवं तुच्छ कार्यों का कहाँ तक वर्णन करूँ। आप तो अन्तर्यामी हैं अतः सेवक के मन की प्रत्येक अच्छी-बुरी बात को जानते हैं। मैं अपनी दोषयुक्त बातों को कहाँ तक बताऊँ?

प्रश्न 3.
मीरा ने अपने प्रियतम से मिलने में क्या कठिनाई बताई है? (2008)
उत्तर:
मीरा के प्रियतम श्रीकृष्ण की सेज गगन मण्डल में है, उस स्थान पर पहुँचना कठिन है। इसी कारण मीरा प्रियतम कृष्ण से मिलने में कठिनाई का अनुभव करती हैं।

प्रश्न 4.
मीरा के हृदय की पीड़ा को कौन-सा वैद्य दूर कर सकेगा? (2015)
उत्तर:
मीरा के हृदय की पीड़ा को दूर करने वाला एकमात्र वैद्य साँवला सलोना कृष्ण है।

भक्ति दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
तुलसीदास के अनुसार मानव मन की मूढ़ता क्या है? (2008, 13)
उत्तर:
तुलसीदास जी के अनुसार मानव मूर्ख है। वह प्रभु राम की भक्ति रूपी गंगा को त्यागकर विषय-वासना रूपी ओस के कणों से प्यास बुझाने की अभिलाषा रखता है। जिस प्रकार से धुएँ के समूह को देखकर प्यासा चातक उसे बादल समझकर अपनी प्यास बुझाना चाहता है, लेकिन उसको वहाँ से न तो शीतलता प्राप्त होती है और न ही उसकी प्यास बुझती है, लेकिन उसके नेत्रों को हानि अवश्य पहुँचती है। इसी प्रकार मनुष्य विषय-वासना में मग्न होकर आनन्द की प्राप्ति करना चाहता है, लेकिन उसको आनन्द के स्थान पर अशान्ति की प्राप्ति होती है। जिस प्रकार से मुर्ख बाज दर्पण में अपनी परछाईं को देखकर अन्य बाज समझकर उस पर झपटता है, लेकिन उसको आहार तो नहीं प्राप्त होता है परन्तु उसका मुख अवश्य क्षतिग्रस्त हो जाता है। इसी प्रकार मनुष्य भी मूर्खतावश सांसारिक विषय-वासनाओं में लिप्त रहना चाहता है। यदि मानव ईश्वर के प्रति सच्ची भक्ति करे तो निश्चय ही उसे सांसारिक कष्टों से मुक्ति मिल सकती है, क्योंकि प्रभु राम ही सब के कष्टों को दूर करके तारने वाले हैं।

प्रश्न 2.
तुलसीदास अपना भावी जीवन किस प्रकार बिताने का संकल्प लेते हैं? (2009, 10)
उत्तर:
तुलसीदास जी ने अपने भावी जीवन को श्रीराम की भक्ति में लगाने का संकल्प लिया है, क्योंकि उनका अनुभव है कि मानव जीवन की सार्थकता व मुक्ति का मार्ग राम भक्ति द्वारा ही सम्भव है। तुलसीदास जी का कथन है कि यह संसार मिथ्या है तथा संसार में अनुरक्त व्यक्ति कभी सफलता प्राप्त नहीं कर सकता है। अतः भगवान श्रीराम के चरणों में अपने मन को पूर्ण रूप से समर्पित करके ही जीवन को सफल बनाया जा सकता है।

जिस प्रकार मीरा ने कृष्ण को अपना आराध्य भाग था, उसी प्रकार तुलसीदास जी ने अपना भावी जीवन श्रीराम के चरणों में बिताने का संकल्प ले लिया।.

प्रश्न 3.
मीरा ने हरि के चरणों की कौन-कौन सी विशेषताएँ बताई हैं? (2009)
उत्तर:
मीरा ने हरि के चरणों की विशेषताओं का उल्लेख करते हुए बताया है कि जिन हरि के चरणों ने राजा बलि की दान स्वरूप प्रदान की हुई धरती को तीन पग में नाप लिया था, जिन चरणों का स्पर्श करके गौतम की पत्नी अहिल्या का उद्धार हो गया।

गोपलीला करने के लिये भगवान श्रीकृष्ण ने कालिया नाग का नाश कर भय मुक्त किया था। इन्द्र के अभिमान को नष्ट करने के लिए गोवर्धन पर्वत को अपनी कनिष्ठा उँगली पर धारण कर लिया था। ऐसे भगवान के चरण कमल ही मीरा दासी का उद्धार करने में सक्षम हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित पद्यांशों की सप्रसंग व्याख्या कीजिए
(क) ऐसी मूढ़ता या …………..आपने तन की।
(ख) अबलौं नसानी ………… कंचनहिं कसैहों।
(ग) बढ़त पल-पल …………पुनि डार।
(घ) गगन मंडल पै ………..की जिन लाई होय।
उत्तर:
(क) सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
इस पद में भक्त तुलसीदास अपने अवगुणों को प्रभु के समक्ष प्रदर्शित करते हुए अवगुणों एवं अज्ञान से मुक्त होने की कामना व्यक्त करते हैं।

व्याख्या :
तुलसीदास जी कहते हैं कि मेरे इस मन की ऐसी मूर्खता है कि यह राम की भक्ति रूपी पवित्र गंगा को त्यागकर सांसारिक सुख रूपी ओस की इच्छा करता है। कहने का आशय है कि जिस भाँति कोई प्यासा चातक पक्षी धुएँ के समूह को देखकर उसे बादल समझ ले और जल पीने के लिए दौड़े परन्तु न उसमें शीतलता होती है न जल, अपितु नेत्रों की हानि होती है। इसी भाँति मेरा मन राम की भक्ति को त्यागकर सांसारिक विषयों में सुख समझकर उनकी ओर आकर्षित होता है।

तुलसीदास का कथन है कि मेरे मन की ऐसी स्थिति है कि जैसे फर्श में जड़े हुए काँच में कोई बाज पक्षी अपने शरीर की परछाईं को निहारे और उसे अन्य पक्षी अर्थात् अपना शिकार समझकर उस पक्षी पर भोजन के लिए झपटे। उसे यह ज्ञान नहीं है कि इस प्रकार फर्श पर टकराने से उसके मुँह की ही हानि होगी।

हे कृपालु प्रभु राम ! मैं अपने मन की कुचाल (वाचालता) का कहाँ तक वर्णन करूँ? आप तो मेरी गति को भली-भाँति समझते हैं। हे प्रभु! आप पतित पावन हैं। पतितों एवं दीन-दुःखियों की रक्षा करना आपका प्रण अथवा स्वभाव है, इसीलिए आप इस तुलसीदास के असहनीय कष्टों को हरकर अपने प्राण की लज्जा रखो।
उपर्युक्त पद्यांशों की सप्रसंग व्याख्या ‘सन्दर्भ-प्रसंग सहित पद्यांशों की व्याख्या’ भाग में देखिये।

(ख) सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पंक्तियों में तुलसीदास ने विगत जीवन के प्रति पश्चाताप का भाव व्यक्त किया है। अब उन्हें विवेक की प्राप्ति हो गई; अत: उन्होंने सुपथ पर चलने का दृढ़ निश्चय किया है।

व्याख्या :
हे नाथ! मेरी अब तक की आयु व्यर्थ में ही नष्ट हो गई, मैं उसका कोई भी सदुपयोग नहीं कर सका। लेकिन अब जो आयु शेष है, उसे मैं व्यर्थ में नष्ट न होने दूंगा, उसका सदुपयोग करूँगा। राम की कृपा से संसार रूपी रात्रि नष्ट हो गयी है, अब में जाग गया हूँ अर्थात् अब मैं इतना मूर्ख नहीं कि जागने के बाद पुनः सोने के लिये बिस्तर बिछा लूँ। मुझे अज्ञान और मोह के बन्धन का बोध हो गया है। अत: मैं इसकी वास्तविकता से परिचित हो गया हूँ। अब पुनः मैं सांसारिक माया में नहीं फसँगा।

मुझे तो राम नाम रूपी सुन्दर चिन्तामणि प्राप्त हो गई है जिसे मैं हृदयरूपी हाथ से खिसकने नहीं दूंगा और राम के सुन्दर श्याम रूप को कसौटी बनाकर उस पर अपने चित्त रूपी कंचन को करूँगा अर्थात् परीक्षा करूँगा कि मेरा मन राम के स्वरूप में लगता है अथवा नहीं। यदि लगता है तो वह शुद्ध स्वर्ण है और यदि नहीं लगता तो उसमें खोट निहित है।

अभी तक मेरा मन इन्द्रियों के वश में था। अतः इन्द्रियों ने मेरा खूब उपहास किया, लेकिन अब मैंने अपने मन को वश में कर लिया है, इसलिए इन्द्रियों को हँसने का अवसर अब नहीं दूंगा। मैं दृढ़ निश्चय करके अपने इस मन रूपी भ्रमर को राम के चरण कमलों में बसाऊँगा। मुझे पूर्ण विश्वास है कि मेरा मन अपनी चंचलता को त्यागकर राम के चरणों में लग जायेगा।

(ग) सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
इस पद में मीराबाई ने मानव शरीर को पुण्य स्वरूप ठहराकर ईश्वर के प्रति समर्पित होने की प्रेरणा दी है।

व्याख्या :
मीराबाई कहती हैं कि मानव जीवन बार-बार नहीं मिलता है। जीव को पुण्य कर्मों के कारण ही मानव शरीर प्राप्त होता है। यह शरीर पल-पल एवं प्रतिक्षण क्षीण होता जा रहा है, अर्थात् मृत्यु की ओर बढ़ रहा है। जीवन का अन्त होने में तनिक भी विलम्ब नहीं होगा। जिस प्रकार वृक्ष से झड़े हुए पत्ते पुनः डाल पर नहीं लग सकते; तद्नुकूल मानव का अन्त होने पर यह निश्चय नहीं है कि उसे पुनः मानव शरीर प्राप्त होगा। संसार रूपी सागर में विषय-वासनाओं की अत्यन्त तीक्ष्ण धारा है। यदि मनुष्य सुरत अथवा प्रभु में अपना ध्यान लगाये तो शीघ्र ही संसार रूपी सागर से पार हो जायेगा अर्थात् सांसारिक विषय-वासनाओं से उसे छुटकारा मिल जायेगा।

साधु सन्त एवं महन्तों की मण्डली पुकार-पुकार कर कह रही है कि मानव जीवन चार दिनों का मेला है। अत: हे मानव! तू श्रीकृष्ण का आश्रय ग्रहण कर ले, इसी में तेरा हित है।

(घ) सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश हमारी पाठ्य पुस्तक के पाठ ‘मीराबाई’ द्वारा रचित ‘पदावली’ शीर्षक से अवतरित है।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्यांश में मीराबाई की विरह जनित पीड़ा को बड़ा ही मार्मिक वर्णन है। मीराबाई का श्रीकृष्ण से मिलन नहीं हो पा रहा है। अतः उनको असहनीय पीड़ा हो रही है।

व्याख्या :
मीराबाई कहती हैं कि हे सखि! मैं तो श्रीकृष्ण के प्रेम में दीवानी हूँ। उनके प्रति मेरे प्रेम की पीड़ा को मेरे अतिरिक्त दूसरा नहीं जान सकता है। मेरी सेज (सूली) (शय्या) ऐसे दुर्गम स्थान (प्राण दण्ड देने के स्थल) पर है जहाँ मेरे समान सांसारिक प्राणी पहुँच ही नहीं सकता है। श्रीकृष्ण की शैया तो आकाश में है। अत: उनसे मिलना असम्भव है। व्यथा से व्यथित मानव ही व्यथा की पीड़ा का मूल्यांकन कर सकता है। घायल व्यक्ति की पीड़ा को घायल ही जान सकता है। मेरी वियोग की पीड़ा को केवल वही व्यक्ति जान सकता है जिसने वियोग जनित पीड़ा को भी कभी सहन किया हो।

जौहर की पीड़ा को जौहरी (स्वयं को अग्नि की गोद में समर्पित करने वाला) ही जान सकता है। वियोग की पीड़ा से मैं इतनी दुःखी हूँ कि वन-वन भटकती फिर रही हूँ। लेकिन मेरी इस पीड़ा को दूर करने वाला कोई वैद्य आज तक नहीं मिला। मेरे विरह की पीड़ा तो तभी समाप्त होगी, जब श्रीकृष्ण वैद्य के रूप में प्रस्तुत होकर इसका उपचार करें अर्थात् उनके दर्शन से ही मेरा दुःख दूर हो सकता है।

भक्ति काव्य सौन्दर्य

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के तत्सम रूप लिखिएनिसा, आस, पषान, चरन, सुचि, पुन्य, गरव, भौसागर।
उत्तर:
तत्सम रूप-निशा, आशा, पाषाण, चरण, शुचि, पुण्य, गर्व, भवसागर।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित काव्य-पंक्तियों में अलंकार पहचान कर लिखिए
(अ) मन मधुकर पन कै तुलसी रघुपति पद कमल बसैहौं।
(ब) ज्यों गज काँच बिलोकि सेन जड़ छाँह आपने तन की।
(स) बढ़त पल पल घटत छिन छिन चलत न लागे बार।
(द) जौहरी की गति जौहरी जाने, की जिन जौहर होय।
(इ) स्याम रूप सुचि रूचिर कसौटी, चित कंचनहिं कसैहों।
उत्तर:
(अ) रूपक अलंकार
(ब) दृष्टान्त अलंकार
(स) पुनरुक्ति, अनुप्रास अलंकार
(द) पुनरुक्ति अलंकार
(इ) रूपक अलंकार।

प्रश्न 3.
मीरा के पदों में किन-किन बोली अथवा भाषाओं के शब्दों का प्रयोग हुआ है? संकलित अंश से छाँटकर लिखिए।
उत्तर:
मीरा के पदों में ब्रजभाषा के अतिरिक्त राजस्थानी, गुजराती एवं पंजाबी शब्दों का प्रयोग हुआ है।

उदाहरण के लिए राजस्थानी भाषा के शब्द देखें-दीवाणी, जाणे, सोणा, मिलणा, मिल्या।
ब्रजभाषा के उदाहरण- नहिं ऐसो जनम बारम्बार……….
मन रे परसि हरि के चरन……….
जिन चरन प्रभु परसि लीने तरी गौतम धरन………..

प्रश्न 4.
माधुर्य गुण में कोमलकान्त पदावली का प्रयोग किया जाता है। यह गुण प्रायः श्रृंगार, वात्सल्य और शान्त रस में होता है। संकलित अंश से उदाहरण देकर समझाइए।
उत्तर:
संकलित अंश के आधार पर रस के उदाहरण इस प्रकार हैं-श्रृंगार रस-शृंगार रस के दो भेद होते हैं-
(1) संयोग शृंगार,
(2) वियोग शृंगार। स्थायी भाव रति होता है।

वियोग श्रृंगार का उदाहरण :
हे री मैं तो प्रेम दिवाणी मेरा दरद न जाने कोय। उपर्युक्त पंक्ति में वियोग शृंगार है।
अन्य उदाहरण :
दरद की मारी वन-वन डोलूँ, वैद मिल्या नहिं कोय।
मीरा की प्रभु पीर मिटैगी, जब वैद सँवलिया होय।।

वात्सल्य रस :
सोभित कर नवनीत लिए।
मैया मैं तो चंद खिलौना लैहौं।
शान्त रस का स्थायी भाव निर्वेद है।.

उदाहरण देखें :
ऐसी मूढ़ता या मन की …………
…………. करहु लाज निज पन की।
अबलौं नसानी ………… पद कमल बसैहौं।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित काव्य पंक्तियों में कौन-सा रस है? उसका स्थायी भाव लिखिए।
(अ) अबलौं नसानी, अब न नसैहों।
(ब) हेरी मैं तो प्रेम दिवाणी, मेरा दरद न जाने कोय।
उत्तर:
(अ) शान्त रस-स्थायी भाव निर्वेद।
(ब) वियोग शृंगार-स्थायी भाव रति।

प्रश्न 6.
“गगन मंडल पै सेज पिया की किस विध मिलणा होय।” पंक्ति में कौन-सी शब्द शक्ति है ?
उत्तर:
शब्द शक्ति लक्षणा है।

प्रश्न 7.
“ऐसी मूढ़ता या मन की परिहरि राम भक्ति सुर सरिता,
आस करत ओसकन की।”
में प्रयुक्त रस और उसका स्थायी भाव लिखिए।
उत्तर:
उपर्युक्त पंक्ति में शान्त रस है तथा स्थायी भाव निर्वेद है।

विनय के पद भाव सारांश

तुलसीदास अपने इष्टदेव श्रीराम से कहते हैं कि आपके चरणों का आश्रय छोड़कर अन्यत्र कहाँ जाऊँ? आप पतितों का उद्धार करने वाले तथा दीनों से अनुराग करने वाले हैं। देवता, राक्षस, मुनि, नाग तथा मनुष्य सभी माया के वशीभूत हैं। अग्रिम पद में अपने को मूर्ख ठहराया है जो राम भक्ति रूपी गंगाजी को त्यागकर ओस कणों से अपनी प्यास बुझाना चाहता है।

अब तुलसी संसार के माया जनित सम्बन्धों को मिथ्या ठहराकर उनके बन्धनों से मुक्त होकर, अपने जीवन को नष्ट नहीं करना चाहते हैं। वे अपने मन रूपी भौरे को श्रीराम के चरण कमलों में अर्पित करना चाहते हैं।

विनय के पद संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] जाऊँ कहाँ तजि चरन तुम्हारे।
काको नाम पतित पावन जग, केहि अति दीन पियारे ।।1।।
कौने देव बराइ बिरद-हित, हठिहठि अधम उधारे।
खग, मृग, ब्याध, पषान, विटप जड़, जवन कवन सुर तारे ।।2।।
देव, दनुज, मुनि, नाग, मनुज, सब माया बिबस विचारे।
तिनके हाथ दास तुलसी प्रभु, कहा अपनपौ हारे ।।3।।

शब्दार्थ :
तजि = त्यागकर, छोड़कर; काको = किसका; पावन = पवित्र; जग = संसार; केहि = किसको; बराइ = चुन-चुन कर; बिरद = भक्ति; हठिहठि = हठपूर्वक; अधम = नीच, पापी; उधारे = उद्धार किया; खग = जटायु पक्षी; मृग = हिरण, मारीचि; ब्याध = बहेलिया; पषान = पत्थर, अहिल्या; विटप = वृक्ष; सुर = देवता; दनुज = राक्षस; मनुज = मनुष्य; बिबस = विवश, लाचार; तिनके = उनके।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश हमारी पाठ्य पुस्तक के पाठ भक्ति’ के शीर्षक विनय के पद’ से अवतरित है। इसके रचयिता तुलसीदास हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में तुलसीदास ने भगवान् राम के चरणों के प्रति अपनी अनन्य भक्ति का उल्लेख किया है।

व्याख्या :
तुलसीदास जी कहते हैं कि हे प्रभु ! मैं आपके चरणों को त्यागकर अन्यत्र कहाँ जाऊँ ? कहीं भी मुझे आश्रय दृष्टिगोचर नहीं होता। आपके समान पापियों को पवित्र करने वाला संसार में अन्य कोई नहीं है, निर्धनों से स्नेह करने वाला कोई दूसरा नहीं है। ऐसा कौन-सा देवता है जिसने हठपूर्वक अपने पतित भक्तों का उद्धार किया है। पक्षी, हिरन, बहेलिया, पत्थर, वृक्ष, जड़, देवता, राक्षस, ऋषि, नाग, मनुष्य सब माया के वशीभूत हैं। तुलसीदास जी कहते हैं कि ऐसे प्रभु राम के सामने मैं अपना सर्वस्व समर्पण करता हूँ।

काव्य सौन्दर्य :

1. हित, हठिहठि, पतित-पावन में अनुप्रास अलंकार है।
2. भाषा में तद्भव शब्दों का प्रयोग है, जैसे-पषान, बिबस, मनुज।
3. ब्रजभाषा का प्रयोग है।

[2] ऐसी मूढ़ता या मन की।
परिहरि राम भक्ति सुर सरिता आस करत ओसकन की।।1।।
धूम समूह निरखि जातक ज्यों, तृषित जानि मति घन की।
नहि तहँ शीतलता न बारि, पुनि हानि होत लोचन की ।।2।। (2012)
ज्यों गच काँच बिलोकि सेन जड़ छाँह आपने तन की।
टूटत अति आतुर अहार बस, छति बिसारि आनन की ।।3।।
कहँ लौ कहाँ कुचाल कृपानिधि, जानत हौं गति जन की।
तुलसीदास प्रभु हरहु दुसह दुखः, करहु लाज निज पन की ।।4।।

शब्दार्थ :
मूढ़ता = मूर्खता; परिहरि = त्यागकर, छोड़कर; ओसकन = ओस की बूंदें; धूम = धुआँ; निरखि = देखकर; सुर-सरिता = गंगा हो; तृषित = प्यास से व्याकुल; गच= भूमि, दीवार; वारि = जल; लोचन = नेत्र; काँच = दर्पण; बिलोकि = देखकर; सेन = बाज, श्येन; जड़ = मूर्ख; तन = शरीर; छति = क्षति, हानि; आनन = मुँह, चोंच; टूटत = झपटकर गिरता है; आतुर = दुःखी; कुचाल = कुचक्र; लाज = लज्जा; निज = अपना; पन = प्रण, प्रतिज्ञा।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
इस पद में भक्त तुलसीदास अपने अवगुणों को प्रभु के समक्ष प्रदर्शित करते हुए अवगुणों एवं अज्ञान से मुक्त होने की कामना व्यक्त करते हैं।

व्याख्या :
तुलसीदास जी कहते हैं कि मेरे इस मन की ऐसी मूर्खता है कि यह राम की भक्ति रूपी पवित्र गंगा को त्यागकर सांसारिक सुख रूपी ओस की इच्छा करता है। कहने का आशय है कि जिस भाँति कोई प्यासा चातक पक्षी धुएँ के समूह को देखकर उसे बादल समझ ले और जल पीने के लिए दौड़े परन्तु न उसमें शीतलता होती है न जल, अपितु नेत्रों की हानि होती है। इसी भाँति मेरा मन राम की भक्ति को त्यागकर सांसारिक विषयों में सुख समझकर उनकी ओर आकर्षित होता है।

तुलसीदास का कथन है कि मेरे मन की ऐसी स्थिति है कि जैसे फर्श में जड़े हुए काँच में कोई बाज पक्षी अपने शरीर की परछाईं को निहारे और उसे अन्य पक्षी अर्थात् अपना शिकार समझकर उस पक्षी पर भोजन के लिए झपटे। उसे यह ज्ञान नहीं है कि इस प्रकार फर्श पर टकराने से उसके मुँह की ही हानि होगी।

हे कृपालु प्रभु राम ! मैं अपने मन की कुचाल (वाचालता) का कहाँ तक वर्णन करूँ? आप तो मेरी गति को भली-भाँति समझते हैं। हे प्रभु! आप पतित पावन हैं। पतितों एवं दीन-दुःखियों की रक्षा करना आपका प्रण अथवा स्वभाव है, इसीलिए आप इस तुलसीदास के असहनीय कष्टों को हरकर अपने प्राण की लज्जा रखो।

काव्य सौन्दर्य :

1. शान्त रस।
2. भक्त अपने अवगुणों को प्रभु के समक्ष व्यक्त कर अपनी दीनता का प्रदर्शन कर रहा है।
3. ब्रजभाषा तथा गेय मुक्तक शैली का प्रयोग है।
4. भ्रान्तिमान रूपक एवं उपमा अलंकार की छटा दर्शनीय है।

[3] अबलौं नसानी, अब न नसैहों।
राम कृपा भक निसा सिरानी, जागे पुनि न डसैहौं।।1।।
पायो नाम चारु चिन्तामनि, उर कर ते न खसैहौं।
स्यामरूप सुचि रुचिर कसौटी, चित कंचनहिं कसैहों।।2।।
परबस जानि हँस्यो इन इन्द्रिन, निज बसहै न हँसैहों।
मन मधुकर पन कै तुलसी रघुपति पद कमल बसैहौं।।3।। (2008, 09)

शब्दार्थ :
अबलौं = अब तक; नसानी = नष्ट की, बिगाड़ी; भव = संसार; निसा = रात्रि; सिरानी = शान्त हो गई, बीत गई; डसैहों = स्वयं को डसाऊँगा; उर = हृदय; चारु = सुन्दर; खसैहौं = गिराऊँगा; सुचि = पवित्र; चित = मन; कंचनहिं = सोने को; परबस = दूसरे के अधीन; पन कै= प्रण करके, प्रतिज्ञा करके बसैहौं = निवास करूँगा, बसाऊँगा; मन-मधुकर = मन रूपी भौंरा।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पंक्तियों में तुलसीदास ने विगत जीवन के प्रति पश्चाताप का भाव व्यक्त किया है। अब उन्हें विवेक की प्राप्ति हो गई; अत: उन्होंने सुपथ पर चलने का दृढ़ निश्चय किया है।

व्याख्या :
हे नाथ! मेरी अब तक की आयु व्यर्थ में ही नष्ट हो गई, मैं उसका कोई भी सदुपयोग नहीं कर सका। लेकिन अब जो आयु शेष है, उसे मैं व्यर्थ में नष्ट न होने दूंगा, उसका सदुपयोग करूँगा। राम की कृपा से संसार रूपी रात्रि नष्ट हो गयी है, अब में जाग गया हूँ अर्थात् अब मैं इतना मूर्ख नहीं कि जागने के बाद पुनः सोने के लिये बिस्तर बिछा लूँ। मुझे अज्ञान और मोह के बन्धन का बोध हो गया है। अत: मैं इसकी वास्तविकता से परिचित हो गया हूँ। अब पुनः मैं सांसारिक माया में नहीं फसँगा।

मुझे तो राम नाम रूपी सुन्दर चिन्तामणि प्राप्त हो गई है जिसे मैं हृदयरूपी हाथ से खिसकने नहीं दूंगा और राम के सुन्दर श्याम रूप को कसौटी बनाकर उस पर अपने चित्त रूपी कंचन को करूँगा अर्थात् परीक्षा करूँगा कि मेरा मन राम के स्वरूप में लगता है अथवा नहीं। यदि लगता है तो वह शुद्ध स्वर्ण है और यदि नहीं लगता तो उसमें खोट निहित है।

अभी तक मेरा मन इन्द्रियों के वश में था। अतः इन्द्रियों ने मेरा खूब उपहास किया, लेकिन अब मैंने अपने मन को वश में कर लिया है, इसलिए इन्द्रियों को हँसने का अवसर अब नहीं दूंगा। मैं दृढ़ निश्चय करके अपने इस मन रूपी भ्रमर को राम के चरण कमलों में बसाऊँगा। मुझे पूर्ण विश्वास है कि मेरा मन अपनी चंचलता को त्यागकर राम के चरणों में लग जायेगा।

काव्य सौन्दर्य :

1. यहाँ तुलसीदास जी ने मानव को अज्ञानता छोड़कर सुपथ पर चलने की प्रेरणा दी है।
2. शान्त रस का परिपाक है।
3. भाषा अलंकारिक गुणों से युक्त है। रूपक अलंकार है।
4. ब्रजभाषा का प्रयोग है।
5. पद्यांशों में प्रसाद गुण है।

पदावली भाव सारांश

मीरा ने अपनी पदावली में अपनी विरह जनित पीड़ा को व्यक्त किया है। उनका कथन है कि वह श्रीकृष्ण के विरह में अत्यन्त व्याकुल हैं। उनके प्रियतम की सेज आकाश मण्डल में शूली ऊपर है जहाँ पहुँचना अत्यन्त दुर्लभ है। वे यत्र-तत्र भटक रही हैं लेकिन उनकी विरह पीड़ा का शमन करने वाला कोई भी नहीं दिखाई देता। उनकी पीड़ा को तो श्रीकृष्ण ही मिटा सकते हैं।

मीरा मानव जीवन को अमूल्य ठहराती हुई कहती हैं कि संसार से पार होने के लिये प्रभु के चरणों का सहारा ही एकमात्र आश्रय है। इन्हीं चरणों ने अनेक पतितों तथा भक्तों का उद्धार किया है।

पदावली संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] हेरी मैं तो प्रेम दिवाणी, मेरा दरद न जाणे कोय।
सूली ऊपर सेज हमारी, किस विधि सोणा होय।।
गगन मण्डल पै सेज पिया की, किस विध मिलणा होय।
घायल की गति घायल जानै, की जिन लाई होय।।
जौहरी की गति जौहरी जानै, की किन जौहर होय।
दरद की मारी वन वन डोलूँ, वैद मिल्या नहिं कोय।।
मीरा की प्रभु पीर मिटैगी, जब वैद सँवलिया होय।

शब्दार्थ :
दरद = पीड़ा; सेज = शैया; गगन = आकाश; पिया = प्रियतम; विध = विधि; जौहरी = जौहर करने वाला; वैद = वैद्य; वन-वन = जंगल-जंगल; डोलूँ = विचरण करूँ; प्रभु = ईश्वर; पीर = पीड़ा; मिटैगी = समाप्त होगी; सँवलिया = श्रीकृष्ण का उपनाम।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश हमारी पाठ्य पुस्तक के पाठ ‘मीराबाई’ द्वारा रचित ‘पदावली’ शीर्षक से अवतरित है।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्यांश में मीराबाई की विरह जनित पीड़ा को बड़ा ही मार्मिक वर्णन है। मीराबाई का श्रीकृष्ण से मिलन नहीं हो पा रहा है। अतः उनको असहनीय पीड़ा हो रही है।

व्याख्या :
मीराबाई कहती हैं कि हे सखि! मैं तो श्रीकृष्ण के प्रेम में दीवानी हूँ। उनके प्रति मेरे प्रेम की पीड़ा को मेरे अतिरिक्त दूसरा नहीं जान सकता है। मेरी सेज (सूली) (शय्या) ऐसे दुर्गम स्थान (प्राण दण्ड देने के स्थल) पर है जहाँ मेरे समान सांसारिक प्राणी पहुँच ही नहीं सकता है। श्रीकृष्ण की शैया तो आकाश में है। अत: उनसे मिलना असम्भव है। व्यथा से व्यथित मानव ही व्यथा की पीड़ा का मूल्यांकन कर सकता है। घायल व्यक्ति की पीड़ा को घायल ही जान सकता है। मेरी वियोग की पीड़ा को केवल वही व्यक्ति जान सकता है जिसने वियोग जनित पीड़ा को भी कभी सहन किया हो।

जौहर की पीड़ा को जौहरी (स्वयं को अग्नि की गोद में समर्पित करने वाला) ही जान सकता है। वियोग की पीड़ा से मैं इतनी दुःखी हूँ कि वन-वन भटकती फिर रही हूँ। लेकिन मेरी इस पीड़ा को दूर करने वाला कोई वैद्य आज तक नहीं मिला। मेरे विरह की पीड़ा तो तभी समाप्त होगी, जब श्रीकृष्ण वैद्य के रूप में प्रस्तुत होकर इसका उपचार करें अर्थात् उनके दर्शन से ही मेरा दुःख दूर हो सकता है।

काव्य सौन्दर्य :

1. विरह की वेदना का मार्मिक चित्रण मुहावरों द्वारा किया गया है।
2. भाषा-राजस्थानी एवं ब्रजभाषा है।
3. रस-वियोग शृंगार।
4. अनुप्रास-दृष्टान्त, पुनरुक्तिप्रकाश है।
5. गुण-माधुर्य।
6. शब्द-शक्ति-लक्षणा एवं अभिधा है।’

[2] नहिं ऐसो जन्म बारम्बार।
क्या जानूँ कछु पुन्य प्रकटे, मानुसा अवतार।।
बढ़त पल पल घटत छिन छिन, चलत न लागे बार।
बिरछ के ज्यों पाँत टूटे, लागे नहिं पुनि डार।।
भौ सागर अति जोर कहिये, विषय ओखी धार।
सुरत का नर बाँधे बेंडा, बेगि उतरे पार।।
साधु सन्ता ते महन्ता, चलत करत पुकार।
‘दास मीरा’ लाल गिरिधर, जीवना दिन चार।। (2008)

शब्दार्थ :
बारम्बार = बार-बार; पुन्य = पुण्य; पल-पल = हर क्षण; घटत = कम होना, क्षीण होना; बिरछ = वृक्ष; पात = पत्ते; बार = देरी; पुनि = पुनः; डार = डाल; भौ सागर = भवसागर, संसार रूपी समुद्र; ओखी कठिन; सुरत = ध्यान लगाना, भगवान प्रेम; नर = मनुष्य; बेगि = शीघ्रता; बेंडा = आड़ा-तिरछा, कठिन; महन्ता – साधु मण्डली।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
इस पद में मीराबाई ने मानव शरीर को पुण्य स्वरूप ठहराकर ईश्वर के प्रति समर्पित होने की प्रेरणा दी है।

व्याख्या :
मीराबाई कहती हैं कि मानव जीवन बार-बार नहीं मिलता है। जीव को पुण्य कर्मों के कारण ही मानव शरीर प्राप्त होता है। यह शरीर पल-पल एवं प्रतिक्षण क्षीण होता जा रहा है, अर्थात् मृत्यु की ओर बढ़ रहा है। जीवन का अन्त होने में तनिक भी विलम्ब नहीं होगा। जिस प्रकार वृक्ष से झड़े हुए पत्ते पुनः डाल पर नहीं लग सकते; तद्नुकूल मानव का अन्त होने पर यह निश्चय नहीं है कि उसे पुनः मानव शरीर प्राप्त होगा। संसार रूपी सागर में विषय-वासनाओं की अत्यन्त तीक्ष्ण धारा है। यदि मनुष्य सुरत अथवा प्रभु में अपना ध्यान लगाये तो शीघ्र ही संसार रूपी सागर से पार हो जायेगा अर्थात् सांसारिक विषय-वासनाओं से उसे छुटकारा मिल जायेगा।

साधु सन्त एवं महन्तों की मण्डली पुकार-पुकार कर कह रही है कि मानव जीवन चार दिनों का मेला है। अत: हे मानव! तू श्रीकृष्ण का आश्रय ग्रहण कर ले, इसी में तेरा हित है।

काव्य सौन्दर्य :

1. राजस्थानी एवं ब्रजभाषा का प्रयोग है।
2. उपमा, रूपक एवं पुनरुक्ति अलंकार हैं।
3. शब्द गुण माधुर्य से परिपूर्ण है।
4. शान्त-रस का प्रयोग है।
5. कवयित्री ने जीवन को क्षण-भंगुर बताया है।

[3] मन रे परसि हरि के चरन।
सुभग शीतल कमल कोमल, त्रिविध ज्वाला हरन।।
जे चरन प्रह्वाद परसे, इन्द्र पदवी धरन।
जिन चरन ध्रुव अटल कीन्हों, राखि अपने सरन।।
जिन चरन ब्रह्माण्ड भेट्यो, नख सिखौ श्री भरन।
जिन चरन प्रभु परसि लीने, तरी गौतम धरन।।
जिन चरन कालीहि नाश्यो, गोप लीला करन।
जिन चरन धारयो गोवर्धन, गरब मघवा हरन।।
‘दास मीरा’ लाल गिरधर, अगम तारन तरन।

शब्दार्थ :
परसि = स्पर्श, छूना; हरि = भगवान; चरण = चरन, पग; सुभग = सुन्दर; शीतल = ठण्डा; त्रिविध ज्वाला = तीन प्रकार के ताप दैहिक, दैविक, भौतिक; हरन = नष्ट करना; ध्रुव = एक तारा; सरन = शरण; भेट्यो = भेंट करना; नख सिखौ = सिर से पाँव तक; तरी = तारना, मुक्त करना; धरन = स्त्री, पत्नी; कालीहि = कालिया नाग का; नाश्यो = नष्ट करना; गोप = ग्वाल; धारयो = धारण करना; गरब : गर्व, घमण्ड, अभिमान; मघवा = इन्द्र; हरन = हर लेना, छीन लेना; अगम = कठिन, जहाँ पहुँचा न जा सके।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में मीरा उद्धार करने वाले प्रभु के चरणों में आश्रय लेने के लिए अपने मन को सम्बोधित करती हुई कह रही हैं।

व्याख्या :
मीराबाई कहती हैं, हे मन! तू भगवान श्रीकृष्ण के कमल के समान कोमल, सुन्दर एवं शीतल चरणों का स्पर्श कर। ईश्वर के चरणों का स्पर्श तीनों प्रकार के तापों की अग्नि को शान्त करने वाला है (तीन प्रकार के ताप दैहिक, दैविक एवं भौतिक)। जिन भगवान के चरण कमलों के द्वारा प्रह्लाद का उद्धार हुआ, इन्द्र के पद को धारण किया।

जिन चरणों ने अपना आश्रय लेने वाले ध्रुव को अटल एवं अमर पद प्रदान किया। भगवान के चरणों ने समस्त भू-मण्डल को माप लिया तथा सिर से लेकर पाँव तक जिन चरणों का स्पर्श करके गौतम की पत्नी अहिल्या का उद्धार हो गया। ग्वाल लीला करते समय जिन चरणों ने विषधर काली नाग का नाश किया, जिन चरणों ने इन्द्र का गर्व नष्ट करने के लिए गोवर्धन पर्वत को अपनी कनिष्ठा उँगली पर धारण किया। मीराबाई कहती हैं कि मैं तो श्रीकृष्ण की दासी हूँ जो कि कठिन से कठिन कार्य अथवा घोर पापों का भी उद्धार करने वाले हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा है, पद गेय एवं लालित्यपूर्ण हैं।
2. अनुप्रास तथा उपमा अलंकार हैं।
3. गुण-माधुर्य।
4. शान्त रस है।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

MP Board Class 12th Physics Important Questions Chapter 15 Communication Systems

Communication Systems Important Questions 

Communication Systems Objective Type Questions

Question 1.
Choose the correct answer of the following:

Question 1.
The elements of communication system are :
(a) One transmitter
(b) Only receiver
(c) Only communication channel
(d) All of the above.
Answer:
(d) All of the above.

Question 2.
Sound wave are not directly transmitted after converting them into electric signals because:
(a) They propagates with speed of sound
(b) Their frequency does not remain constant
(c) For their transmission very high antenna is needed
(d) Their energy is very high.
Answer:
(c) For their transmission very high antenna is needed

Question 3.
The super imposing of audio waves with carrier wave is called :
(a) Transmission
(b) Reception
(c) Modulation
(d) Defection.
Answer:
(c) Modulation

Question 4.
The frequency range used for T.V. transmission is :
(a) 30 – 300 MHz
(b) 30 – 300 GHz
(c) 30 – 300 KHz
(d) 30 – 300 Hz.
Answer:
(a) 30 – 300 MHz

Question 5.
The periodic time of communication satellite is :
(a) 1 year
(b) 1 day
(c) 12 hours
(d) 12 minutes.
Answer:
(b) 1 day

Question 6.
T. V. signals are reflacted by :
(a) Mesosphere
(b) Ionosphere
(c) Troposphere
(d) None of these.
Answer:
(d) None of these.

Question 7.
The short wave band of radio waves are transmitted through :
(a) Sky wave propagation
(b) Ground wave propagation
(c) Artificial satellite
(d) Direct sending from transmitter to receiver.
Answer:
(a) Sky wave propagation

Question 8.
T.V. network uses :
(a) Microwaves
(b) Radio waves of very high frequency
(c) Gamma rays
(d) X – ray.
Answer:
(b) Radio waves of very high frequency

Question 9.
The waves used in telecommunication are :
(a) Infrared rays
(b) UV – rays
(c) Microwaves
(d) Cosmic rays.
Answer:
(c) Microwaves

Question 2.
Fill in the blanks :

1. …………….. is that signal which varies periodically with time.
2. Digital signal is represented by two binary number …………….. and……………..
3. The range of audio signals is ……………..
4. The frequency of carrier waves is of order of ……………..
5. The order of frequency of radio waves which can be transmitted by total internal reflection through ionosphere is ……………..
6. The band width of AM waves is ……………..
7. The T.V. transmission was invented by……………..
8. WWW means ……………..
9. …………….. is a device with the help of which the location of any place can be obtained.

Answer:

1. Analog signals
2. 0 and 1
3. 20 Hz to 20000 Hz
4. MHz
5. 30 – 300 MHz
6. Frequency of modulating wave
7. J. L. Baird
8. World Wide Web
9. GPS.

Question 3.
Match the columns:
I.

Answer:

1. (e)
2. (d)
3. (b)
4. (c)
5. (a)

II.

Answer:

1. (e)
2. (c)
3. (d)
4. (b)
5. (a)

Question 4.
Write the answer in one word/sentence:

1. Write any two light sources which are used in optical communication?
2. On what principle does the optical fibre work?
3. Who invented the T, V. transmission?
4. What is FAX?
5. What is meant by channel width? Write channel width of AM and FM radio station.
6. What is demodulation or detection?

Answer:

1. Light emitting diode (LED) and Diode LASER
2. Total internal reflection
3. J. L. Baird
4. The electronic reproduction of a document at a distant place is known as facsimile telegraphy or FAX
5. Channel width is that frequency range in which signals can be transmitted from a station. The channel width of AM is 10
6. kHz and of FM is 150 kHz
7. The process of extracting the audio signal from the modulated wave is known as demodulation or detection.

Communication Systems Very Short Answer Type Questions

Question 1.
What is principle of semiconductor LASER?
Answer:
In these LASER Gallium Arsenide (Ga – As) is used. This LASER the ability to produce LASER rays in the range 0.75 to 0.9 um.

Question 2.
Why is a parallel wire line not suitable for microwave transmission?
Answer:
In microwave transmission, half the operating wavelength approaches the separation between the two parallel wire lines. Therefore energy loss in the form of radiation becomes maximum.

Question 3.
What do you understand by channel and channel noise?
Answer:
The frequency range prescribed for a given transmission is called channel. The unwanted signals present by known or unknown reason in the transmitted signal is called noise.

Question 4.
What is importance of modulation index?
Answer:
The modulation index determines the strength and quality of the transmitted signal. If the modulation index is small the amount of variation in the carrier amplitude will be small.

Question 5.
Write full form of LED and LASER.
Answer:
Full form of LED is “Light Emitting Diode”. Full form of LASER is “Light Amplification by Stimulated Emission of Radiations”.

Question 6.
Which device is used to transmit the T.V. signals up to long distances?
Answer:
Communication satellites are used to transmit the T.V. signals up to long distances.

Question 7.
What is a communication system?
Answer:
Communication system is that system through which the signals are transmitted from one place and required at the other place.

Question 8.
What are message signals?
Answer:
A message signal is a single valued function of time that conveys the information. The electrical analog of information or basic message is called message signal. These are obtained by suitable transducers.

Question 9.
What are analog signals?
Answer:
An analog signal is continuous single value which at any instant lies within the range of a maximum and minimum value.

Question 10.
What is a digital signal?
Answer:
Digital signal is a discontinuous signal value which appears in steps in predetermined levels rather than having the continuous change.

Question 11.
What is noise?
Answer:
Noise refers to the unwanted signals that tends to disturb the transmission and processing of message signals in a communication system.

Question 12.
What is modulation?
Answer:
Modulation is a process in which the signal of low frequency (audio signals) are superimposed over a signal of high frequency (carrier signal).

Question 13.
What is FAX?
Answer:
Fax is a type of communication in which an electronic copy of a document is sent to a distance place.

Question 14.
Which type of signal is used in communication through computer?
Answer:
Digital Signal.

Question 15.
Write basic difference between the light emitted by LED and LASER.
Answer:
The light emitted by LASER is completely coherent and monochromatic while the light emitted by the LED is not coherent.

Question 16.
What is bandwidth? What is bandwidth of audio signals?
Answer:
The frequency range of a signal is called its bandwidth. The bandwidth audio signals is 20 Hz to 20 KHz.

Communication Systems Short Answer Type Questions

Question 1.
Write name of two system used for pulse modulation.
Answer:

1. PAM : Pulse Amplitude Modulation.
2. PCM : Pulse Code Modulation.

Question 2.
Write name of two systems which are used to convert the digital data into analog data.
Answer:

1. Amplitude Shift Keying (ASK)
2. Phase Shift Keying (PSK).

Question 3.
FM signals are less sensitive as compared to AM signals. Why?
Answer:
In FM transmission the information (message) in the carrier waves is in the form ofvariation (change) in frequency. In the AM the noise get amplitude modulated. Hence the amplitude carrier wave varies. That is why the FM signals are less sensitive as compared to AM signals.

Question 4.
Write limitations of frequency modulation.
Answer:

1. Area of reception for FM is much smaller.
2. About 10 times wider channel is required by FM.
3. FM receivers and transmitters are very complex and costly.

Question 5.
Write the meaning of LASER and two uses.
Answer:
Meaning of LASER:
Light Amplification by stimulated Emission of Radiations.

Uses:

1. Communication and
2. The medical field to determine vary long distances.

Question 6.
Write any two uses of optical communication.
Answer:

1. It is free from noise.
2. Its bandwidth is large, so number of channels can be transmitted simultaneously.

Question 7.
What is Light Emitting Diode?
Answer:
It is forward biased P – N junction which emits the light. It converts electrical energy into light energy.

Question 8.
What is optical fibre? On what principle does it work?
Answer:
An optical fibre is a device with the help of which the optical signals can be transmitted over through a zig-zag path without loss of energy. It is based on principle of total internal reflection.

Question 9.
What is meant by population inversion and optical pumping?
Answer:
Population inversion:
The process by which the number of atoms are increased . in the excited state as compared to ground state by stimulated absorption, is called population inversion.

Optical pumping:
The process by which population inversion is obtained, is called optical pumping.

Question 10.
Give two characteristics of LASER rays.
Answer:

1. LASER rays are monochromatic.
2. These are highly coherent.

Question 11.
What are the elements of communication system? Explain with the help of block diagram and also describe the different kinds of communication system.
Or
What is communication system? What are its main parts? Explain with block diagram.
Answer:
Communication system is that system through which the signals are transmitted from one place and received at the other place.

Elements of communication system : Following are the elements of a communication system:

1. Transmitter : Its function is to transmit the information after modifying it, to a form suitable for transmission.
Block diagram of transmitter :

2. Communication channel : The free space through which the electromagnetic waves sent by the transmitter, reach the receiver is called communication channel. It may be a coupled wire, coaxial cable or radio wave.

3. Receiver : Its function is to receive information.
Block diagram of receiver:

Question 12.
What is noise? Why digital communication is popular? What are A/D and D/A converter?
Answer:
Noise : Noise is unwanted disturbance or foreign element interfering with the desired information or signal. Noise can come up in any part of the communnication system but it has its worst effect when the signal is weakest.

The digital communication is popular nowaday because of the following characteristics :

1. Its quality is good.
2. Digital signals are in the form of pulses, they can produce easily by using logic gates.
3. These signals do not get distorted by noise.
4. These signals can be stored as digital data.
5. In this transmission many information can be transmitted using one channel.

A/D and D/A converter:
The electric circuit which can convert the analog signal to digital signal is called A/D converter. The electric circuit which can convert the digital signal into analog signal is called D/A converter.

Question 13.
Write difference between Analog and Digital signals.
Answer:
Difference between Analog and Digital signals :

Analog signal:

• In this signal value of current or voltage changes continuously with time.
• It is a continuous function of time.
• A simple analog signal is represented by a sine wave.
• The signal obtained by converting a speech, music or intensity of reflected light are analog signals.

Digital signal:

• In these signals the current or voltage has only two descrete levels 0 and 1.
• It is discontinuous function of time.
• Digital signal is represented in the form of pulses.
• The letters of a book, output of digital computers or the information obtained from a FAX are digital signals.

Communication Systems Long Answer Type Questions

Question 1.
Explain need of modulation and define the term modulation.
Or
What is modulation? Why it is needed for the transmission of signals?
Answer:
Modulation:
Modulation is a process in which the signal of low frequency (audio signals) superimposed over a signal of high frequency (carrier signal). Such that same properties of carrier wave like amplitude, frequency or phase varies in accordance with the instantaneous value of audio signals.

Need of Modulation:
Modulation is necessary for a low frequency signal when it is to be sent to a distant place so that the information may not die out in the way itself as well as for the proper identification of a signal and to keep the height of antenna small also.

For the transmission of electromagnetic waves the length of antenna should be of order of wavelength of the transmitted waves. Since, λ= \(\frac {c}{ ν}\) therefore the required length of antenna for the audible range should be equal to \(\frac { 3\times { 10 }^{ 8 } }{ 20,000 }\) = 1.5 x 10⁴m to \(\frac { 3\times { 10 }^{ 8 } }{ 20 }\) = 1.5 x 10⁷

This length of antenna is not possible in practical. Now if the waves of 300kHz or more than it are to be transmitted then the required length of antenna will be \(\frac { 3\times { 10 }^{ 8 } }{ 3,00,000 }\) = 100 m or less than it. The antenna of this size can be constructed easily. Hence to transmit the audio signals they are superimposed with the radio waves of frequency of order of Mega Hertz. These waves are called carrier waves and this process is called modulation.

Question 2.
How many types of modulation are there? Explain each types of modula-tion.
Answer:
The equation of carrier wave is given as :
e_c = E_c. cos (ω_ct + θ)
Where e_c is instantaneous value of carrier signal. E_c is amplitude of carrier wave, ω_c is angular frequency and θ is phase angle. Thus, there are three types of modulation corresponding to E_c, m_c and θ.

1. Amplitude modulation:
When an audio frequency (modulating) signal is superimposed that the amplitude of modulated wave is linear function of instantaneous value of modulating signal, then this type of modulation is called as amplitude modulation.

2. Frequency modulation:
Frequency modulation is that modulation in which the frequency of carrier wave varies in accordance with the instantaneous value of modulating signal. In this modulation the amplitude and phase of modulating signal are equal to that of carrier wave.

3. Phase Modulation:
In the phase modulation, the modulating waves are super imposed with carrier waves such that the phase of the modulated wave is the linear function of the amplitude of the modulating wave but the frequency and amplitude of the modulated signal remains same as the frequency and amplitude of the carrier wave.

Question 3.
What are limitations of amplitude modulation?
Answer:
The limitations (disadvantages) of amplitude modulation are as follows :

1. Efficiency of Amplitude modulation is smaller:
In AM modulation the message signals are contained in side bands, but not contained in the carrier wave. It is found that in amplitude modulation only one third power is contained inside bands, remaining power is contained in carrier wave. Hence efficiency decreases.

2. Amplitude modulation is more likely to suffer from noise.

3. In Amplitude modulation the fidelity of reception is less:
The range of audio signal is 20 Hz to 20 kHz. Hence the bandwidth must be 40 kHz. But the disturbance created by the nearby radio station should be taken into account and hence the bandwidth is kept only of about 20 kHz.

4. Its transmission range is low. Due to less power it is not possible to transmit the signals up to long distance. Inspite of these limitations the AM is mostly used for the transmission of audio signals.

Question 4.
Write advantages and disadvantages of frequency modulation.
Answer:
Advantages:

1. Frequency modulation is inherently and practically free from the effects of noise.
2. In frequency modulation, noise can further be decreased by increasing the deviation 8.
3. FM receiver can further be improved with the help of limiters to remove amplitude changes, if any which controls the noise level.
4. In FM it is possible to operate many independent transmitters on same frequency without interference.

Disadvantages:

1. A bout 10 times wider channel is required by FM.
2. Area of reception for FM is much smaller.
3. FM receivers and transmitters are very complicated and costly.

Question 5.
Explain the data transmission and retreival with the help of block diagram.
Answer:
The important use of data transmission and retrieval is in the microprocessor and computers. All the informations and signals which are to be transmitted are converted into digital signals by coding, which are then modulated with the carrier signals and are sent to far distant places. These signals are received by receivers. These received signals are amplified and demodulated in their original form. The block diagram of this process is shown in fig.

Question 6.
What is FAX machine? Draw its block diagram and explain its working.
Answer:

1. FAX : The electronic reproduction of a document at a distant place is known as facsimile telegraphy or Fax. To send the document through FAX following functions are performed.

• Optical scanning
• Conversion of data for transmission and reception.
• Printing a copy of images of the original document at the receiving end.

The block diagram of working of FAX is shown in fig.

Question 7.
Write notes on ‘MODEM’.
Or
What is MODEM? Write its working and uses.
Answer:
The block diagram of a modem is shown ahead : A modem is basically a modulator and a demodulator circuit.

Working:
At the transmitting end i.e., at section A, a modem change the digital data (obtained from source) into analogue form in audio frequency range.

So, it is easily modulated and transmitted by communication network through telephone lines and transmitter and sent to receiver for section B. At the receiving end i.e., at sermon B, the modem converts the analogue signal to digital signal.

Uses : It is used for short distance communication by connecting one computer to another through telephone lines.

Kinds of MODEM : MODEM are of two types.

• Internal MODEM : These are internally attached in the computer.
• External MODEM : These are connected externally with the computer.

Question 8.
Describe the following in short:

1. E – mail
2. Internet
3. World Wide Web
4. Celular phone
5. Pager.

Answer:
1. E – mail:
Its full form is electronic mail the message produced by using word processing, programs are transmitted over the world wide network called internet and they get stored in a computer called mail server. Any person connected to the internet can contact mail server. Any person connected to the internet can contact the mail server to check whether it is holding mail for him.

2. Internet:
Internet is a world wide network which connects the millions of computers which are linked together for data transmission. It is a global system of inter connected computer networks.

3. World Wide Web:
Its abreviation is WWW. It was invented by Tim Berners Lee in 1989 – 91 which is highly enlarged encylopedia which is accessible to every one for knowledge.

4. Celular Phone:
It is basically mini wireless phones for exchanging messages as well as for mobile telephonic conversation.

5. Pager:
It is a wireless device which records the messages in writing.

Question 9.
What is line communication? Explain.
Answer:
In a communication system the communication channel is a medium which provides the physicals path between transmitter and receiver. There are two types of communication medium:

1. Guided medium:
This medium connects transmitter and receiver in the case of point to point communication, double line cable, coaxial cable and optical fibre are the examples of guided medium.

2. Unguided medium:
This medium connects one transmitter and many receivers. Sky wave communication is an example of this medium. Its band frequency rays from few thousand kHz to few GHZ.

In the sky wave communication there is no point to point connection between transmitter and antenna. But in some communication applications the point to point connection is needed for example in telephone and telegraph the transmitter and receiver are connected by wire lines. It is called as line communication.

Question 10.
What is Global Positioning System (G.P.S.)? Write its applications.
Answer:
It is a space based satellite navigation system that provides users with accurate information on position time wherein the world even through the local streets and in all weather conditions.

To use GP.S. system of a satellite the user must have a GP.S. device fitted with transmitter and receiver for sending and receiving radio wave signal.

Applications of G.P.S

1. Navigation on land, water and air.
2. Keeping standard time all over the world.
3. Used in unmanned automatic vehicles movement and mobile telephony.
4. In desiging map of a location.

Communication Systems Numericals Questions

Question 1.
When there is 50% modulation the transmitter emits the 20 kW power calculate the power of carrier wave.
Solution:
Given : m_a = 50% = \(\frac {50}{100}\) = P_t = 20 kW = 20,000 W
Formula:

Question 2.
When a modulating of 500 Hz is given to a frequency modulation generator then it produces a frequency deviation of 2.25 kHz. Calculate modulation depth.
Solution:
Given : δ_max = 2.25 kHz = 2250 Hz, f_m = 500 Hz

Question 3.
The maximum and minimum amplitude of a amplitude modulated wave are 16 mV and 4 mV. What is the depth of modulation?
Solution:
Given : E_max = 16mV, E_min = 4mV
Formula:

Question 4.
A 20 kHz modulating signal is modulated with a carrier wave of 4 MHz. What will be the upper side band and lower side band? What will be the channel width?
Solution:
Given: f_m = 20 kHz, f_c = 4 MHz =4,000 kHz
f_USB = f_c + f_m = 4000 + 20 = 4020 kHz.
f_LSB = f_c – f_m= 4000 – 20 = 3980 kHz.
Channel width = f_USB – f_LSB
= 4020 – 3980 = 40 kHz.

Question 5.
Find out the modulation index of a frequency modulated wave whose modulating frequency is 2 kHz and maximum frequency deviation is 10 kHz.
Solution:
Given : f_m = 2 kHz and δ_max = 10 kHz
Formula : m_f = \(\frac { { \delta }_{ max } }{ { f }_{ m } }\)
m_f = \(\frac {10}{2}\) = 5

MP Board Class 12th Physics Important Questions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी वर्षा जल संग्रहण तन्त्र में, 22 m x 20 m की छत से वर्षा-जल बहकर 2 m आधार के व्यास तथा 3.5 m ऊँचाई के एक बेलनाकार टैंक में आता है। यदि टैंक भर गया हो, तो ज्ञात कीजिए कि सेमी में कितनी वर्षा हुई? जल संरक्षण पर अपने विचार व्यक्त कीजिए।
हल :
मान लीजिए वर्षा x cm हुई। छत की विमाएँ 22 m x 20 m दी हैं तथा दिए हुए बेलनाकार टैंक का व्यास d = 2r = 2 m ⇒ r = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 m तथा ऊँचाई h = 3.5 m दी है।
∵ वर्षा जल का आयतन = बेलनाकार टैंक का आयतन
⇒ छत की विमाएँ x वर्षा जल की ऊँचाई = πr²h.
= 22 m x 20 m x \(\frac { x }{ 100 }\) m
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)² x 3.5
= \(x=\frac{22}{7} \times \frac{1 \times 3 \cdot 5 \times 100}{22 \times 20}\)
= 2.5
अतः अभीष्ट वर्षा कुल 2.5 cm हुई।
जल संरक्षण : विज्ञान में हमारे संसाधनों का प्रबन्धन’ अध्याय देखिए।

प्रश्न 2.
एकठोस लोहे के घनाभ की विमाएँ 4.4 m x 2.6 m x 1.0 m हैं। इसे पिघलाकार 30 cm आन्तरिक त्रिज्या और 5 cm मोटाई का एक खोखला बेलनाकार पाइप बनाया गया है। पाइप की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए खोखले बेलनाकार पाइप की लम्बाई = h cm है।
पाइप की मोटाई x = 5 cm तथा आन्तरिक त्रिज्या r_i = 30 cm
⇒ पाइप की बाह्य त्रिज्या r₀ = r_i + x = 30 + 5 = 35 cm
तथा ठोस लोहे के घनाभ की विमाएँ दी हैं।
4.4 m x 2.6 m x 1.0 m
⇒ 440 cm x 260 cm x 100 cm
ठोस घनाभ का आयतन V = 440 x 260 x 100 cm³ ….(1)
बेलनाकार पाइप का आयतन


अतः, बेलनाकार पाइप की अभीष्ट लम्बाई = 112.00 m है।

प्रश्न 3.
5.4m चौड़ी और 18 m गहरी एक नहर में पानी 25 km/h की गति से बह रहा है। इसमें 40 मिनट में कितने क्षेत्रफल की सिंचाई हो सकती है, यदि सिंचाई के लिए 10 cm गहरे पानी की आवश्यकता है?
हल :
दिया है : नहर की चौड़ाई b = 5.4 m, गहराई h = 1.8 m एवं जल की गति 25 km/h तथा धारा प्रवाह का समय 40 मिनट = \(\frac { 40 }{ 60 }\) घण्टे = \(\frac { 2 }{ 3 }\) घण्टे।
\(\frac { 2 }{ 3 }\) घण्टे में जल प्रवाह की लम्बाई l = 25 km/h x \(\frac { 2 }{ 3 }\) h
\(=\frac{50}{3} \mathrm{km}=\frac{50,000}{3} \mathrm{m}\)
∴ नहर में प्रवाहित कुल जल का आयतन

मान लीजिए सिंचाई हेतु क्षेत्र का क्षेत्रफल = A m²
तो क्षेत्र को सिंचाई के लिए आवश्यक जल का आयतन
⇒ V₂ = A × x (जहाँ x = 10 cm = 0.10 m दिया है)
⇒ V₂ = A × 0.10 = 0.10 A m² …(2)
∵ क्षेत्र की सिंचाई के लिए आवश्यक जल का आयतन = नहर द्वारा उस समय में उपलब्ध जल का आयतन
⇒ 0.10 A = 162000 [समी. (1) एवं (2) से]
⇒ \(A=\frac{162000}{0 \cdot 10}=1620000 \mathrm{m}^{2}\)
= 162
हेक्टेयर अतः, सिंचाई किए जा सकने वाले अभीष्ट क्षेत्र का क्षेत्रफल = 1620000 m² अथवा 162 हेक्टेअर है।

प्रश्न 4.
एक ठोस धातु के बेलन के दोनों किनारों से उसी व्यास के अर्द्धगोले के रूप में धातु निकाली गयी। बेलन की ऊँचाई 10 cm तथा आधार की त्रिज्या 4.2 cm है। शेष बचे बेलन को पिघलाकर 1.4 cm मोटी बेलनाकार तार बनायी गयी। तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए। (π = \(\frac { 22 }{ 7 }\) लीजिए।)
हल :

दिया है: एक बेलनाकार धातु का ठोस जिसकी ऊँचाई h = 10 cm तथा आधार की त्रिज्या r = 4.2 cm है तथा इसके दोनों सिरों से एक अर्द्धगोला त्रिज्या 4.2 cm का काटकर निकाल दिया गया है। शेष भाग को पिघलाकर एक 1.4 cm मोटी अर्थात् व्यास d = 2r’ = 1.4 cm
⇒ r’ = \(\frac { 1.4 }{ 2 }\) = 0.7 cm त्रिज्या का तार बनाया गया है। मान लीजिए तार की लम्बाई l cm है, तो
तार का आयतन = πr’²l = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.7)² l
⇒ V = 1.54 l cm³ ..(1)
बेलन का आयतन V₁ = πr²h = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (4.2)² x 10
⇒ V₁ = 22 x 2.52 x 10
= 554.4 cm³.
दो अर्द्धगोलों का आयतन V₂ = 2 x \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³
⇒ \(V_{2}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(4 \cdot 2)^{3}=\frac{6519 \cdot 744}{21}\)
⇒ V₂ = 310.464 cm³
शेष बेलन का आयतन V = V₁ – V₂
⇒ V = 554.4 – 310.464
= 243.936 cm³ …(2)
⇒ 1.54 l = 243.936 [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ l = \(\frac { 243.963 }{ 1.54 }\)
= 158.4 cm
= 1.584 m
अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 158.4 cm अर्थात् 1.584 m है।

प्रश्न 5.
एक अर्द्धगोलीय बर्तन का आन्तरिक व्यास 36 cm है। वह तरल पदार्थ से भरा है। इस तरल को 72 बेलनाकार बोतलों में डाला गया है। यदि एक बेलनाकार बोतल का व्यास 6 cm हो, तो प्रत्येक बोतल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए, जबकि इस क्रिया में 10% तरल गिर जाता है।
हल :
दिया है : एक अर्द्ध गोलीय बर्तन का व्यास d = 2r = 36 cm
r = \(\frac { 36 }{ 2 }\) = 18 cm.
इस बर्तन में भरे तरल के आयतन का 10% भाग बोतल भरने में गिर जाता है। एक बोतल का व्यास d = 2r’ = 6 cm
r’ = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 cm तथा बोतलों की संख्या n = 72 है।
मान लीजिए कि प्रत्येक बोतलों में तरल h ऊँचाई तक भरा जाता है।
∴अर्द्ध गोलाकार बर्तन में भरे तरल का आयतन V₁ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³
⇒ V₁ = \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (18)³
= 3888 π
गिरने वाले तरल का आयतन = 10% V₁
⇒ V₂ = \(\frac { 10 }{ 100 }\) x 3888 π
= 388.8 π
शेष तरल का आयतन V = V₁ – V₂
= 3888 π – 388.8 π
⇒ V = 3499.2 π …..(1)
n बोतलों के तरल का आयतन = n x πr’² h
⇒ V = 72 x π x (3)²h
= 648 πh …(2)
⇒ 648 πh = 3499.2 π [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ h = \(\frac { 3499.2 }{ 648 }\)
= 5.4 cm
अतः, बोतलों में तरल की अभीष्ट ऊँचाई = 5.4 cm है।

प्रश्न 6.
10 cm भुजा वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्ध गोला रखा हुआ है। अद्ध गोल का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्र को पेंट करवाने का Rs 5 प्रति 100 वर्ग सेमी की दर से व्यय ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

दिया है: a = 10 cm भुजा वाला एक घनाकार ब्लॉक जिसके ऊपरी तल पर एक अधिकतम व्यास का अर्द्ध गोला रखा है।
⇒ अर्द्ध गोले का अधिकतम व्यास d = घन की भुजा a = 10 cm
⇒ अर्द्ध गोले की त्रिज्या = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 cm
घन के ऊपरी तल पर r = 5 cm त्रिज्या का एक वृत्ताकार भाग अर्द्ध गोले से ढका है।
चूँकि घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल S_w = 6a²
S_w = 6(10)²
= 600 cm²
वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल A = πr² = π(5)² = 25π cm²
अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S_C = 2πr²
= 2π(5)²
S_C = 50 π cm²

दिए संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ
S = घन का सम्पूर्ण पृष्ठ + अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= S_w + S_C – A
= 600 + 50π – 25π
= 600 + 25π
= 600 + 25 x 3.14
= (600 + 78.50) cm²
S = 678.5 cm²
रंग करवाने का व्यय = क्षेत्रफल x दर
व्यय = 678.5 x \(\frac { 5 }{ 100 }\)
= Rs 33.93
अतः, अर्द्धवृत्त का अधिकतम व्यास = 10 cm
एवं ठोस पर रंग करवाने का कुल व्यय = Rs 33.93 है।

प्रश्न 7.
धातु के 3.5 cm व्यास तथा 3 cm ऊँचे 504 शंकुओं को पिघलाकर एक धात्विक गोला बनाया गया है। गोले का व्यास ज्ञात कीजिए। अतः इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : 504 ठोस शंकु जिनमें प्रत्येक का व्यास d = 2r = 3.5 = \(\frac { 7 }{ 2 }\) = cm
r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm तथा ऊँचाई h = 3 cm. इनको पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया गया है। मान लीजिए गोले की त्रिज्या = R cm है, तो
गोले का आयतन V = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πR³ ….(1)
एवं , 504 शंकुओं का आयतन

गोले का आयतन = 504 शंकुओं का आयतन

अतः, गोले का अभीष्ट व्यास = 21 cm एवं उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 cm² है।

प्रश्न 8.
अचानक बाढ़ आने पर कुछ कल्याणकारी संस्थाओं ने मिलकर सरकार को उसी समय 100 टैंट लगवाने के लिए कहा तथा इस पर आने वाले खर्च का 50% देने की पेशकश की। यदि प्रत्येक टेंट का निचला भाग बेलनाकार है जिसका व्यास 4.2 m है तथा ऊँचाई 4 m है तथा ऊपरी भाग उसी व्यास का शंकु है जिसकी ऊँचाई 2.8m है, और इस पर लगने वाले कैनवास की लागत Rs 100 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए कि इन संस्थाओं को कितनी राशि देनी होगी? इन संस्थाओं द्वारा किन मूल्यों का प्रदर्शन किया गया?
हल :

ज्ञात है टैंट का निचला भाग, व्यास d = 2r = 4.2 m
r = \(\frac { 4.2 }{ 2 }\) = 2.1
अर्थात् त्रिज्या r = 2.1 m का एक बेलन जिसकी ऊँचाई h₁ = 4 m
एवं ऊपरी भाग r = 2.1 m की त्रिज्या तथा ऊँचाई h₂ = 28 m का
एक शंकु l मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l m है।

बेलनाकार भाग का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
S_C1 = 2πrh
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2.1 x 4
= 52.8 m²
एवं शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_C2 = πrl
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2.1 x 3.5
= 23.1 cm²
टेंट के कैनवास का कुल क्षेत्रफल = S_C = S_C1 + S_C2
S_C = 52.8 + 23.1 = 75.9 m²
100 टैंटों के लिए आवश्यक कैनवास का कुल क्षेत्रफल
= 100 x 75.9
= 7590 m²
कुल व्यय = कैनवास का क्षेत्रफल – दर
= 7590 x 100
= Rs 759000
संस्थाओं की हिस्सेदारी = 50% x Rs 759000
= Rs \(\frac { 50 }{ 100 }\) x 759000
= Rs 379500
अतः, संस्थाओं को Rs 379500 की धनराशि देनी होगी तथा ये संस्थाएँ मानवीय मूल्यों का प्रदर्शन कर रही हैं।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में एक टैंट बेलन के ऊपर लगे उसी व्यास वाले शंकु के आकार का है। बेलनाकार भाग की ऊँचाई तथा व्यास क्रमश: 2.1 m तथा 3 m हैं तथा शंक्वाकार भाग की तिरछी ऊँचाई 2.8 m है। टैंट को बनाने में लगे कैनवास का मूल्य ज्ञात कीजिए, यदि कैनवास का भाव Rs 500 प्रति वर्ग मीटर है।
हल :

मान लीजिए टैंट का निचला भाग बेलनाकार है जिसकी ऊँचाई h = 2.1 m तथा व्यास d = 2r = 3 m है। अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) m है एवं ऊपरी शंक्वाकार भाग का व्यास बेलनाकार भाग के व्यास के बराबर अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) m है तथा त्रिर्यक ऊँचाई l = 2.8 m है।
बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
\(S_{C_{1}}=2 \pi r h=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times 2 \cdot 1=19 \cdot 8 \mathrm{m}^{2}\)
एवं शंक्वाकार भाग का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
\(S_{C_{2}}=\pi r l=\frac{22}{7} \times \frac{3}{2} \times 2 \cdot 8=13 \cdot 2 \mathrm{m}^{2}\)
टैंट का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल S_C = S_C1 + S_C2
⇒ S_C = 19.8 + 13.2
= 33 m²
कैनवास का क्षेत्रफल = टैंट का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 33 m²
कैनवास का कुल मूल्य = कैनवास का क्षेत्रफल x दर (भाव)
= 33 x 500
= Rs 16,500
अतः, कैनवास का अभीष्ट मूल्य = Rs 16,500 है।

प्रश्न 10.
एक शंक्वाकार बर्तन, जिसके आधार की त्रिज्या 5 cm तथा ऊँचाई 24 cm है, पानी से पूरा भरा है। उस पानी को एक बेलनाकार बर्तन, जिसकी त्रिज्या 10 cm है, में डाल दिया जाता है। बेलनाकार बर्तन में कितनी ऊँचाई तक पानी भर जायेगा?
हल :
मान लीजिए कि शंक्वाकार बर्तन के आधार की त्रिज्या r1 = 5 cm तथा ऊँचाई h1 = 24 cm है यह पूरा पानी से भरा है तथा इसका पानी एक बेलनाकार बर्तन जिसकी त्रिज्या r2 = 10 cm है में डाल . दिया जाता है। पुनः मान लीजिए कि बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर की अभीष्ट ऊँचाई h2 cm है, तो प्रश्नानुसार,
बेलनाकार बर्तन में पानी का आयतन = शंक्वाकार बर्तन की धारिता

अतः, बेलनाकार बर्तन में पानी के स्तर की अभीष्ट ऊँचाई = 2 cm है।

प्रश्न 11.
12 cm व्यास वाला एक गोला, एक लम्ब वृत्तीय बेलनाकार बर्तन में डाल दिया जाता है, जिसमें कुछ पानी भरा है। यदि गोला पूर्णतया पानी में डूब जाता है, तो बेलनाकार बर्तन में पानी का स्तर \(3\frac { 5 }{ 9 }\) सेमी ऊँचा उठ जाता है। बेलनाकार बर्तन का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए D = 12 cm व्यास अर्थात् R = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm त्रिज्या वाला एक गोला एक बेलनाकार बर्तन जिसका व्यास d cm है में डाला जाता है, जिसमें कुछ पानी भरा है। पानी का स्तर h = \(3\frac { 5 }{ 9 }\) cm = \(\frac { 32 }{ 9 }\) cm बढ़ जाता है। बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या r = \(\frac { d }{ 2 }\), है।
चूँकि बेलनाकार बर्तन में बढ़े हुए जल स्तर का आयतन = गोले का आयतन

अतः, बेलनाकार बर्तन का अभीष्ट व्यास = 18 cm है।

प्रश्न 12.
किसी राज्य में भारी बाढ़ के कारण हजारों लोग बेघर हो गए। 50 विद्यालयों ने मिलकर राज्य सरकार को 1500 टैंट लगाने के लिए स्थान तथा कैनवास देने का प्रस्ताव किया जिसमें प्रत्येक विद्यालय बराबर का अंशदान देगा। प्रत्येक टैंट का निचला भाग बेलनाकार है जिसके आधार की त्रिज्या 2.8 m तथा ऊँचाई 3.5m है। प्रत्येक टैंट का ऊपरी भाग शंकु के आकार का है। जिसके आधार की त्रिज्या 2.8m तथा ऊँचाई 2.1m है। यदि टैंट बनाने वाले कैनवास का मूल्य Rs 120 प्रति वर्ग मीटर है, तो प्रत्येक विद्यालय द्वारा कुल व्यय में अंशदान ज्ञात कीजिए। इस प्रश्न का कौन-सा मूल्य जनित होता है?
हल :

मान लीजिए टैंट का निचला भाग त्रिज्या r1 = 2.8 m एवं ऊँचाई h1 = 3.5 m का बेलन है तथा ऊपरी भाग त्रिज्या r2 = 2:8 m एवं ऊँचाई h2 = 2.1 m का शंकु है और मान लीजिए शंकु की त्रिर्यक ऊँचाई l m है, तो

बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c1 = 2πr₁h₁
= 2π x 2.8 x 3.5
S_c1 = 19.6 π m²
एवं शंक्वाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c2 = πrl
= π x 2.8 x 3.5 .
S_c1 = 9.8 π m²
टैंट का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_c = S_c1 + S_c2
= 19.6 π + 9.8 π
= 29.47 π
= 29.4 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) m²
S_c = 92.4 m² = कैनवास का क्षेत्रफल
1500 टैंटों के लिए आवश्यक कैनवास का कुल क्षेत्रफल
= 1500 x 92.4 m²
= 138600.0 m²
कुल व्यय = कैनवास का क्षेत्रफल – दर
= 138600 x 120
= Rs 16632000
प्रत्येक विद्यालय का व्यय में अंशदान

= Rs 3,32,640
अतः, प्रत्येक विद्यालय द्वारा कुल व्यय में अभीष्ट अंशदान = Rs 3,32,640 है।

प्रश्न 13.
तीन ठोस गोले जिनके व्यास क्रमशः 2 cm. 12 cm और 16 cm हैं. पिघलाकर एक ठोस गोला बनाया गया। इस प्रकार बने ठोस गोले का अर्द्धव्यास ज्ञात कीजिए।
हल :
यहाँ,
2R₁ = 2 cm
⇒ R₁ = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 cm
2R₂ = 12 cm
⇒ R₂ = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6cm
2R₃ = 16 cm
⇒ R₃ = \(\frac { 16 }{ 2 }\) = 8 cm
माना गोले का अर्द्धव्यास = R cm हो, तो
प्रश्नानुसार,

= (1)³ + (6)³ + (8)³
= 1 + 216 + 512
R³ = 729 = (9)³
R = 9 cm
अतः, गोले की अभीष्ट त्रिज्या (अर्द्धव्यास) = 9 cm है।

प्रश्न 14.
एक 8 cm व्यास वाले धातु के बेलन को पिघलाकर 12 cm व्यास वाले कितने गोले बनाए जा सकते हैं? बेलन की ऊँचाई 90 cm है।
हल :
ज्ञात है : बेलन का व्यास d = 8 cm
r = 8/2 = 4 cm, ऊँचाई h= 90 cm, गोले का व्यास D = 12 cm
⇒ गोले की त्रिज्या R = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm
मान लीजिए बनाए गए गोले की संख्या = n प्रश्नानुसार,
∵ n गोलों का आयतन = बेलन का आयतन
⇒ n x \(\frac { 4 }{ 3 }\) πR³ = π(r)² x h
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\)nR³ = r²h
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\)n x (6)³ = (4)² x 90
⇒ \(\frac { 4 }{ 3 }\) x 216 n = 16 x 90
⇒ \(n=\frac{16 \times 90 \times 3}{4 \times 216}=5\) गोले
अतः, अभीष्ट गोलों की संख्या = 5 है।

प्रश्न 15.
6 cm व्यास के एक लोहे के गोले को पिघलाकार उससे एक बेलनाकार तार खींचा गया है। यदि तार का व्यास 0.2 cm हो, तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : गोले का व्यास D = 2R = 6 cm ⇒ R = \(\frac { 6 }{ 2 }\) cm = 3 cm
बेलनाकार तार का व्यास d = 2r = 0.2 cm
⇒ r = \(\frac { 0.2 }{ 2 }\) cm = 0.1 cm मान लीजिए कि बेलनाकार तार की लम्बाई = l cm
तो प्रश्नानुसार,
तार का आयतन = गोले का आयतन
⇒ πr²l = \(\frac { 4 }{ 3 }\)πR³
⇒ (0.1)²l = \(\frac { 4 }{ 3 }\)(3)³
⇒ 0.01 l = 4 x 9 = 36
⇒ l = \(\frac { 36 }{ 0.01 }\)
= 3600 cm
= 36.00 m
अतः, तार की अभीष्ट लम्बाई = 36 m है।

प्रश्न 16.
एक रॉकेट लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का है जिसका निचला सिरा बन्द है तथा ऊपरी सिरे पर एक शंकु है जिसकी त्रिज्या बेलन की त्रिज्या के बराबर है। बेलन का व्यास एवं उसकी ऊँचाई क्रमशः 6 cm एवं 12 cm है। यदि शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई 5 cm हो, तो रॉकेट का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है: एक बेलनाकार रॉकेट जिसका व्यास d = 2r = 6
⇒ r = \(\frac { 6 }{ 2 }\) cm
= 3 cm एवं ऊँचाई h1 = 12 cm जिसका निचला सिरा बन्द है तथा ऊपरी सिरे पर शंकु त्रिज्या r = 3 cm तथा तिर्यक ऊँचाई l = 5 cm है, जुड़ा है। मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h2 cm है, तो

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = π x 3 x 5 = 15π cm²
बेलनाकार वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh₁
= 2 x π x 3 x 12
= 72π cm²
आधार का क्षेत्रफल = πr² = π x (3)² = 9π cm²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 15π + 72π + 9π = 96 π cm²
= 96 x 3.14
= 301.44 cm²
शंक्वाकार भाग का आयतन = \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{2}=\frac{1}{3}(3)^{2} \times 4 \times \pi\)
= 12π cm³
बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h₁ = π x (3)² x 12
= 108π cm³
रॉकेट का कुल आयतन = 12π + 108π
= 120π cm³
= 120 x 3.14
= 376.8 cm³
अतः रॉकेट का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 301.44 cm²
एवं अभीष्ट आयतन = 376.8 cm³ है।

प्रश्न 17.
8 cm त्रिज्या वाला एक ठोस अर्द्ध गोला पिघलाकर उसे एक लम्ब वृत्तीय शंक में ढाला गया है। यदि शंकु के आधार की त्रिज्या 6 cm हो, तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
ठोस अर्द्ध गोले की त्रिज्या R = 8 cm, दी है, इसको पिघलाकर एक आधार त्रिज्या r = 6 cm वाले
शंकु में ढाला गया है। मान लीजिए कि शंकु की ऊँचाई h cm है,
तो प्रश्नानुसार, शंकु का आयतन = अर्द्ध गोले का आयतन

अतः, शंकु की अभीष्ट ऊँचाई = 28.44 cm (लगभग) है।

प्रश्न 18.
एक आयताकार पानी की टंकी का आधार 11 m x 6m है तथा इसमें 5m की ऊँचाई तक पानी भरा हुआ है। यदि इस टंकी के पानी को 3.5m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में उडेल दिया जाए, तो इस टंकी में जल स्तर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
आयताकार टंकी का आधार 11 m x 6 m तथा जल की ऊँचाई 5 m दी है तथा इस जल को r = 3.5 m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में उडेल दिया गया है।
मान लीजिए कि बेलनाकार टंकी में जल स्तर भी ऊँचाई h m हो, तो
प्रश्नानुसार, आयताकार टंकी के जल का आयतन = बेलनाकार टंकी के जल का आयतन
⇒ 11 m x 6 m x 5 m = πr²h = \(\frac { 22 }{ 7 }\) (3.5 m)² x h m
⇒ \(h=\frac{11 \times 6 \times 5 \times 7}{22 \times 3 \cdot 5 \times 3 \cdot 5}=\frac{60}{7}=8 \cdot 6 \mathrm{m}\)
अतः,बेलनाकार टंकी में जल स्तर की अभीष्ट ऊँचाई = 8.6 cm है।

प्रश्न 19.
1.5 cm मोटी लोहे की चद्दर के बने एक आयताकार ऊपर से खुले बॉक्स को बनाने में कितना cm लोहा लगेगा यदि उसकी बाहरी विमाएँ 36 cm x 25 cm x 16.5 cm है। यदि 1 cm³ लोहे का भार 7.5g हो, तो बक्से का भार ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : बक्से की बाहरी विमाएँ 36 cm x 25 cm x 16.5 cm दी हैं तथा इसकी मोटाई 1.5 cm है, अत: बक्से की आन्तरिक विमाएँ
⇒ (36 – 3)cm x (25 – 3) cm x (16.5 – 1.5) cm अर्थात् 33 cm x 22 cm x 15 cm होंगी। लोहे का घनत्व d = 7:5 g/cm³
बक्से का बाह्य आयतन = 36 x 25 x 16.5 = 14850 cm³
बक्से का आन्तरिक आयतन = 33 x 22 x 15 = 10890 cm³
बक्से में लगे लोहे का आयतन = (14850 – 10890) cm³
आयतन V = 3960 cm³
एवं बक्से का भार = आयतन V x घनत्व d
= 3960 x 7.5 g
= 29700 g
= 29.7 kg
अतः लोहे का अभीष्ट आयतन = 3960 cm³ एवं
लोहे का अभीष्ट भार = 29700 g अर्थात् 29.7 kg होगा।

प्रश्न 20.
5 mm व्यास वाले एक बेलनाकार पाइप से जल का प्रवाह 10 m/minute है। आधार व्यास 40 cm एवं गहराई 24 cm वाले शंक्वाकार बर्तन को भरने में कितना समय लगेगा?
हल :
दिया है : बेलनाकार पाइप का व्यास d₁ = 2r₁ = 5 mm = 0.5 cm ⇒ r₁ = \(\frac { 0.5 }{ 2 }\) = 0.25 cm.
पाइप में जल प्रवाह v = 10 m/minute = \(\frac { 1000 }{ 60 }\) cm/s है। इससे शंक्वाकार बर्तन को भरना है जिसकी आधार व्यास d₂ = 2r₂ = 40 cm ⇒ r₂ = \(\frac { 40 }{ 2 }\) = 20 cm, गहराई h₂ = 24 cm दी है। मान लीजिए जल पाइप इस बर्तन को भरने में t minute का समय लेता है।
t minute में पाइप द्वारा निकली जल धारा की लम्बाई h₁ = 1000 t cm
प्रश्नानुसार, पाइप द्वारा t minute में दिया गया पानी = शंक्वाकार बर्तन का आयतन

अतः, अभीष्ट समय = 51.2 minute अर्थात 51 minute एवं 12 s है।

प्रश्न 21.
14 cm व्यास वाले एक बेलनाकार पाइप से होकर 15 km/h की दर से जल एक घनाभाकार गड्ढे में जिसकी लम्बाई 50 m एवं चौड़ाई 44 m है, गिरता है। कितने समय में गड्ढे में जलस्तर 21 cm चढ़ जायेगा?
हल :
मान लीजिए बेलनाकार पाइप का व्यास d = 2r = 14 cm = 0.14 m ⇒ r = \(\frac { 0.14 }{ 2 }\) = 0.07 m
दिया है जिसमें होकर जल की धारा 15 km/h की दर से अर्थात् 15,000 m/h की दर से प्रवाहित हो रही है, जो एक गड्ढे में गिरती है। गड्ढे की लम्बाई l = 50 m. चौड़ाई b = 44 cm एवं जलस्तर की ऊँचाई h = 21 cm = 0.21 m है। मान लीजिए इसको भरने में t घण्टे लगते हैं, तो प्रश्नानुसार, पाइप से निकला जल का आयतन = गड्ढे में जल का आयतन
lbh = πr² x दर x समय
50 x 44 x 0.21 = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.07)² x 15000 x 1
\(t=\frac{50 \times 44 \times 0.21 \times 7}{22 \times 0.07 \times 0.07 \times 15000}=\frac{50 \times 44 \times 21 \times 7}{22 \times 7 \times 7 \times 150}\)
= 2 घण्टे
अतः, अभीष्ट समय = 2 घण्टे है।

प्रश्न 22.
16 cm ऊँचाई वाला एक दूध का बर्तन किसी शंकु के छिन्नक के आकार का धातु की चद्दर से बना है जिसकी नीचे एवं ऊपर के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm एवं 20 cm हैं। इसमें भरे दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए जबकि दूध की दर Rs 22 प्रति लीटर है।
हल :

बर्तन (छिन्नक) के दोनों सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 8 cm एवं r2 = 20 cm तथा ऊँचाई h = 16 cm है। दूध की दर Rs 22 प्रति लीटर, दिया है।
दूध का आयतन = छिन्नक का आयतन

अतः, दूध का अभीष्ट मूल्य = Rs 230 (लगभग) है।

प्रश्न 23.
32 cm ऊँची तथा 18 cm आधार त्रिज्या वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से पूरी भरी है। इसके रेत को जमीन पर उडेलकर एक शंकु के आकार में एकत्रित ! किया गया है। यदि इस शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm हो, तो इस ढेरी की त्रिज्या एवं तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : एक बेलनाकार बाल्टी जिसकी आधार त्रिज्या r1 = 18 cm एवं ऊँचाई h1 = 32 cm जो रेत से भरी हुई है। इस रेत को जमीन पर उडेलकर एक शंक्वाकार ढेरी बनाई गई है जिसकी ऊँचाई h2 = 24 cm है। मान लीजिए ढेरी की आधार त्रिज्या r2 cm एवं तिर्यक ऊँचाई l cm है, तो प्रश्नानुसार शंक्वाकार ढेरी (रेत) का आयतन = बेलन के रेत का आयतन


अतः, शंक्वाकार ढेरी के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 36 cm
एवं ढेरी की अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 43.27 cm (लगभग) है।

प्रश्न 24.
एक इमारत बेलनाकार है जिसके ऊपर एक अर्द्धगोलाकार गुम्बद है तथा इसमें \(41\frac { 19 }{ 21 }\) m³ वायु (हवा) है। यदि गुम्बद का आन्तरिक व्यास इस इमारत की कुल ऊँचाई के बराबर है, तो इस इमारत की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए कि दी हुई इमारत की कुल ऊँचाई = h है जो कि गुम्बद के व्यास के बराबर है, जो आधार के व्यास के बराबर है।
हवा का आयतन \(41\frac { 19 }{ 21 }\) m³ है। अतः बेलन की त्रिज्या = गुम्बद की त्रिज्या = R = \(\frac { h }{ 2 }\) m
तथा बेलनाकार भाग की ऊँचाई = h’ = h – h/2 = h/2 m
हवा का कुल आयतन V = बेलन का आयतन + गुम्बद का आयतन

अतः, इमारत की अभीष्ट कुल ऊँचाई = 4 m है।

प्रश्न 25.
लकड़ी से बना एक कलमदान घनाभ के आकार का है जिसकी विमाएँ 10 cm x 5 cm x 4 cm हैं। इसमें चार शंक्वाकार गड्ढे पैन (कलम) रखने के लिए तथा एक घनाकार गड्ढा पिन रखने के लिए बने हैं। प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm एवं गहराई 2.1 cm है तथा घनाकार गड्ढे की कोर 3 cm है तो सम्पूर्ण कलमदान में लगने वाली लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है: एक 10 cm x 5 cm x 4 cm विमाओं वाला लकड़ी का बना एक घनाभ के आकार का कलमदान जिसमें 4 शंक्वाकार गड्ढे प्रत्येक की त्रिज्या r = 0.5 cm एवं गहराई h = 2.1 cm तथा एक घनाकार गड्ढा जिसकी भुजा a = 3 cm है दिए हैं। कलमदान की कुल लकड़ी का आयतन
V = 10 x 5 x 4 = 200 cm³
4 शंक्वाकार गड्ढ़ों का आयतन = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h
V₁ = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.5)² x 2.1 cm³
= 2.2 cm³
एवं घनाकार गड्ढे का आयतन V₂ = a³ = (3)³ = 27 cm
प्रयुक्त लकड़ी का आयतन = V – V₁ – V₂ = 200 – 2.2 – 27
= 200 – 29.2
= 170.8 cm³
अतः, कलमदान में प्रयुक्त अभीष्ट लकड़ी का आयतन = 170.8 cm³ है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
8 cm त्रिज्या के लोहे के एक गोले को गलाकार 1 cm त्रिज्या के कितने गोले बनाए जा सकते है?
हल :
ज्ञात है: बड़े गोले की त्रिज्या R = 8 cm
एवं छोटे प्रत्येक गोले की त्रिज्या r = 1 cm
मान लीजिए छोटे गोलों की संख्या n है तो
n छोटे गोलों का आयतन = 1 बड़े गोले का आयतन
\(n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}=\frac{4}{3} \pi R^{3}\)
nr³ = R³
n (1)³ = (8)³ = 512
n = 512
अतः, अभीष्ट गोलों की संख्या = 512 है।

प्रश्न 2.
तीन धातु के घन जिनकी कोरों की लम्बाई क्रमश: 5 cm, 4 cm और 3 cm है, को पिघलाकर एक नए घन में बदल दिया गया है। इस प्रकार बने नए घन की कोर क्या होगी?
हल :
माना तीन घनों की कोरें क्रमशः a₁ = 5 cm, a₂ = 4 cm एवं a₃ = 3 cm हैं, इनको गलाकर नया घन बनाया गया है और मान लीजिए इस नए घन की कोर a cm हो तो बड़े घन का आयतन
V = V₁ + V₂ + V₃
a³ = a₁³ + a₂³ + a₃³
= (5)³ + (4)³ + (3)³
= 125 + 64 + 27
= 216 cm³
a³ = (6)³
a = 6 cm
अतः, नए घन की अभीष्ट कोर की लम्बाई = 6 cm है।

प्रश्न 3.
सीसे के बने एक 9 cm x 11 cm x 12 cm विमाओं वाले ठोस घनाभ से 3 cm व्यास वाली कितनी गोलियाँ बनेंगी?
हल :
सीसे के ठोस घनाभ की विमाएँ 9 cm x 11 cm x 12 cm हैं जिसे पिघलाकर व्यास
d = 2r = 3 cm
r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm त्रिज्या वाली मान लीजिए n गोलियाँ बनेंगी।
प्रश्नानुसार, n गोलियाँ का आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, गोलियों की अभीष्ट संख्या = 84 है।

प्रश्न 4.
एक बाल्टी एक शंकु छिन्नक के आकार की है जिसके दोनों सिरों की त्रिज्याएँ क्रमश: 28 cm एवं 21 cm हैं। इसमें 28.490 लीटर पानी भरा है। बल्टी की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
छिन्नक के आकार की बाल्टी के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 28 cm एवं r₂ = 21 cm हैं तथा इसकी धारिता (आयतन) V = 28.490 लीटर = 28490 cm³ । मान लीजिए कि बाल्टी की ऊँचाई = h cm है तो प्रश्नानुसार,
V = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πh (r₁² + r₂² + r₁r₂)
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) [(28)² + (21)² + (28) (21)] h = 28490
= \(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) (784 + 441 + 588) h = 28490
\(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 1813 h\) = 28490
\(h=\frac{28490 \times 3 \times 7}{22 \times 1813}\)
h = 15 cm
अतः, छिन्नक (बाल्टी) की अभीष्ट ऊँचाई = 15 cm है।

प्रश्न 5.
7 cm भुजा वाले एक घन में एक शंक्वाकार गुहा (cavity)7 cm गहरी तथा 3 cm त्रिज्या वाली बनायी गयी है। शेष ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए एक घन की भुजा a = 7 cm दिया है जिसमें गहराई h = 7 cm एवं त्रिज्या r = 3 cm वाली एक शंक्वाकार गुहा बनायी गयी है।
घन का आयतन V = a³ = (7)³ = 343 cm³
शंक्वाकार गुहा का आयतन \(V_{1}=\frac{1}{3} \pi r^{2} h\)
\(V_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(3)^{2} \times 7\)
= 66 cm³
शेष ठोस का आयतन = 343 – 66 = 277 cm³
अतः, शेष ठोस का अभीष्ट आयतन = 277 cm³ है।

प्रश्न 6.
दो सर्वांगसम शंकु जिनकी आधार त्रिज्या r = 8 cm एवं ऊँचाई h = 15 cm है। आपस में आधार के साथ जोड़ दिए गए हैं। बने संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।
हल :

दो सर्वांगसम शंकु संलग्न आकृति के अनुसार आपस में जोड़े गए हैं। प्रत्येक शंकु की त्रिज्या r= 8 cm एवं ऊँचाई h = 15 cm है।
एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई \(l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
\(l=\sqrt{(15)^{2}+(8)^{2}}=\sqrt{225+64}\)
= √289
= 17 cm
प्राप्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2 x एक शंकु का वक्रपृष्ठ
S_w = 2 x πrl
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 8 x 17
\(S_{w}=\frac{44 \times 8 \times 17}{7}=\frac{5984}{7}\)
= 854.86 cm² लगभग।
अतः, अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठ = 854.86 cm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
7 cm व्यास वाले एक बीकर में कुछ पानी भरा है। इसमें 1.4cm व्यास वाले कुछ कंचे डाले जाते हैं। बीकर में डाले गए कंचों की संख्या ज्ञात कीजिए जिससे बीकर में पानी का स्तर 5.6cm चढ़ जाता है।
हल :
दिया है, व्यास d = 2r = 7 cm
r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) = cm त्रिज्या वाले बेलनाकार बीकर में कुछ पानी है जिसमें मान लीजिए कि व्यास d₁ = 2r₁ = 1.4 cm
r = \(\frac { 1.4 }{ 2 }\) = 0.7 cm त्रिज्या वाले n गोलाकार कंचे डाले जाते हैं जिससे बीकर में जल स्तर h = 5.6 cm चढ़ जाता है, तो प्रश्नानुसार,
n कंचों का आयतन = बीकर में विस्थापित जल का आयतन

अतः, अभीष्ट कंचों की संख्या = 150 है।

प्रश्न 8.
एक 66 cm x 42 cm x 21 cm विमाओं वाले ठोस सीसे के घनाभ को पिघालकर 4.2 cm व्यास वाली कितनी सीसे की ठोस गोलियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?
हल :
दिया है, 66 cm x 42 cm x 21 cm विमाओं वाले ठोस सीसे के घनाभ को पिघलाकार मान लीजिए n गोलियाँ बनाई जाती हैं जिनमें प्रत्येक का व्यास d = 2r = 4.2 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 4.2 }{ 2 }\) = 2.1 cm है तो प्रश्नानुसार,
n गोलियाँ का आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, अभीष्ट गोलियों की संख्या = 1500 है।

प्रश्न 9.
सीसे के बने एवं 44 cm भुजा वाले एक ठोस धन से 4 cm व्यास वाली कितनी गोलियाँ बन सकती हैं?
हल:
दिया है, एक a = 44 cm भुजा वाला सीसे का ठोस घन जिसको पिघलाकर माना n गोलियाँ बनायी जाती हैं जिनमें प्रत्येक गोली का व्यास d = 2r = 4cm
⇒ r = \(\frac { 4 }{ 2 }\) = 2 cm अर्थात् त्रिज्या r = 2 cm दी है, तो प्रश्नानुसार,
n x गोलियाँ का आयतन = घन का आयतन


अतः, गोलियों की अभीष्ट संख्या = 2541 है।

प्रश्न 10.
एक दीवार 24 m लम्बी, 0.4 m मोटी एवं 6 m ऊँची बनानी है। इसको बनाने में 25 cm x 16 cm x 10 cm विमाओं वाली कितनी ईंटें लगेंगी जबकि दीवार के आयतन का \(\frac { 1 }{ 10 }\) भाग गारे द्वारा घेरा जायेगा?
हल :
दीवार की विमाएँ l = 24 m, b = 0.4m एवं h = 6 m तथा प्रत्येक ईंट की विमाएँ 25 cm x 16 cm x 10 cm दी हैं तथा दीवार के आयतन का \(\frac { 1 }{ 10 }\) भाग गारे द्वारा घेरा जाएगा। मान लीजिए ईंटों की संख्या n है तो
दीवार का आयतन V = lbh = 24 x 0.4 x 6 m³
V = 57.6 m³ = 57.6 x 10⁶ cm³
गारे द्वारा घेरा गया आयतन = \(\frac { 1 }{ 10 }\) V = 5.76 x 10⁶ cm³
दीवार का शेष आयतन = 57.6 x 10⁶ – 5.76 x 10⁶ cm³
= 51.84 x 10⁶ cm³
प्रश्नानुसार, n ईंटों का आयतन = शेष दीवार का आयतन
n x 25 x 16 x 10 = 51.84 x 10⁶ cm³
4 x 103 n = 51.84 x 10⁶ cm³
\(n=\frac{51 \cdot 84 \times 10^{6}}{4 \times 10^{3}}\)
n = 12.96 x 10³
= 12960 ईंटें
अतः, ईंटों की अभीष्ट संख्या = 12960 है।

प्रश्न 11.
आधार व्यास 1.5 cm एवं मोटाई (ऊँचाई) 0.2 cm वाली वृत्ताकार तस्तरियों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनको पिघलाकर एक लम्ब वृत्तीय बेलन 4.5 cm व्यास एवं 10 cm ऊँचाई वाला बन सके।
हल :
वृत्ताकार तस्तरी का व्यास d₁ = 2r₁ = 1.5 cm = \(\frac { 3 }{ 2 }\)cm
त्रिज्या r₁ = \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm एवं ऊँचाई (मोटाई) h₁ = 0.2 cm की संख्या n (मान लीजिए) को पिघलाकर h₂ = 10 cm ऊँचा एवं व्यास
d₂ = 2r₂ = 4.5 cm = \(\frac { 9 }{ 2 }\)
r₂ = \(\frac { 9 }{ 4 }\) cm वाला लम्ब वृत्तीय बनाया गया है, तो प्रश्नानुसार
n तस्तरियों का आयतन = बेलन का आयतन

अतः, तस्तरियों की अभीष्ट संख्या = 450 है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्न कथनों में सत्य/असत्य लिखिए एवं अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

प्रश्न 1.
दो सर्वांगसम एवं समान आधार त्रिज्या वाले ठोस अर्द्धगोले आधार से आधार जोड़ दिए गए हैं। उनका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 6πr² होगा।
हल :
असत्य कथन, क्योंकि उनका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² होगा वे एक गोला बनाएँगे।

प्रश्न 2.
r त्रिज्या एवं h ऊँचाई वाले एक ठोस बेलन को समान ऊँचाई एवं त्रिज्या वाले बेलन पर रखा जाता है तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πrh + 4πr² होगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि प्राप्त ठोस एक 2h ऊँचाई एवं r त्रिज्या का बेलन होगा और उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πrh + 2πr² होगा।

प्रश्न 3.
h ऊँचाई एवं r त्रिज्या वाला एक ठोस शंकु एकसमान आधार त्रिज्या एवं समान ऊँचाई वाले बेलन पर रखा है। संयुक्त ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है \(\pi r[\sqrt{r^{2}+h^{2}}+3 r+2 h]\).
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि संयुक्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi r[\sqrt{r^{2}+h^{2}}+r+2 h]\) होगा।

प्रश्न 4.
एक ठोस बॉल ठीक प्रकार एक a भुजा वाले घन के अन्दर रखी है तो बॉल का आयतन \(\frac{4}{3} \pi a^{3}\) होगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि बॉल का आयतन = \(\frac{1}{6} \pi a^{3}\) होगा।

प्रश्न 5.
एक शंकु के छिन्नक का आयतन \(\frac{1}{3} \pi h\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1} r_{2}\right]\) है, जहाँ h छिन्नक की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई तथा r1, r2 उसके सिरों की त्रिज्याएँ हैं।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि छिन्नक का आयतन =\(\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)\) होता है।

प्रश्न 6.
एक बेलनाकार बर्तन में नीचे अन्दर की ओर एकसमान त्रिज्या का अर्द्ध गोलीय उभार है। इस बर्तन की ऊँचाई h एवं त्रिज्या r है उसकी धारिता है \(\frac{\pi r^{2}}{3}(3 h-2 r)\) है। हल :
कथन सत्य है, क्योंकि बर्तन की धारिता = बेलन का आयतन – अर्द्धगोले का आयतन
= \(\pi r^{2} h-\frac{2}{3} \pi r^{3}=\frac{\pi r^{2}}{3}(3 h-2 r)\) होगा।

प्रश्न 7.
एक शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi l\left(r_{1}+r_{2}\right)\) है, जहाँ \(l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}}\) एवं r1 तथा r2 क्रमशः दोनों सिरों की त्रिज्याएँ।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल तो \(\pi l\left(r_{1}+r_{2}\right)\) होगा लेकिन \(l=\sqrt{(h)^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}\) होगा, जहाँ r1, r2 क्रमशः सिरों की त्रिज्याएँ हैं।

प्रश्न 8.
एक धातु की खुली बाल्टी जो एक शंकु के छिन्नक के आकार की है, एक खोखले बेलनाकार आधार पर टिकी है जो उसी धातु का बना है। धातु की प्रयुक्त चद्दर का क्षेत्रफल बराबर है छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + वृत्ताकार आधार का क्षेत्रफल + बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि बाल्टी का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल इन क्षेत्रफलों से मिलकर बना है।

प्रश्न 9.
एक ठोस शंकु अपने समान ऊँचाई h एवं त्रिज्या r वाले बेलन पर रखा है तो संयुक्त ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}+2 \pi r h\) है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि संयुक्त ठोस का बक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh एवं शंकु के वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल πrl अर्थात \(\pi r \sqrt{h^{2}+r^{2}}\) के योग के बराबर होगा।

प्रश्न 10.
एक स्टील की गोलाकार बॉल पिघलाकार 8 नए सर्वांगसम बॉलों में ढाली गयी है तो प्रत्येक बॉल की त्रिज्या मूल बॉल की त्रिज्या का \(\frac { 1 }{ 8 }\) भाग होगा।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि उसकी त्रिज्या मूल त्रिज्या की \(\frac { 1 }{ 2 }\) होगी।

प्रश्न 11.
दो सर्वांगसम घन जिनमें प्रत्येक की भुजा a हो आपस में जोड़े गए हैं, तो कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 12a² है।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 10a² होगा।

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 13 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति एक फनल की है जो एक संयुक्त आकृति है :

(a) एक शंकु एवं एक बेलन की
(b) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की
(c) एक अर्द्ध गोला एवं एक बेलन की
(d) एक अर्द्ध गोला एवं एक शंकु की।
उत्तर:
(b) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की

प्रश्न 2.
एक शंकु छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 cm एवं r2 cm तथा ऊँचाई h cm है तो आयतन cm³ में होगा :

उत्तर:
(a) \(\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)\)

प्रश्न 3.
एक सिरे पर छीली गई एक बेलनाकार पेन्सिल एक संयुक्त आकृति है:

(a) एक बेलन एवं एक शंकु की
(b) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की
(c) एक अर्द्ध गोला एवं एक बेलन की
(d) दो बेलनों की।
उत्तर:
(a) एक बेलन एवं एक शंकु की

प्रश्न 4.
एक सुराही संयुक्त आकृति है :

(a) एक गोले एवं एक बेलन की
(b) एक अर्द्ध गोला एवं एक बेलन की
(c) दो अर्द्ध गोलों की
(d) एक बेलन एवं एक शंकु की।
उत्तर:
(a) एक गोले एवं एक बेलन की

प्रश्न 5.
एक साहुल सूत्र (प्लम्ब लाइन) (देखिए संलग्न आकृति) एक संयुक्त आकृति है:

(a) एक शंकु एवं एक बेलन की
(b) एक अर्द्ध गोला एवं एक शंकु की
(c) एक शंकु छिन्नक एवं एक बेलन की
(d) एक गोला एवं एक बेलन की।
उत्तर:
(b) एक अर्द्ध गोला एवं एक शंकु की

प्रश्न 6.
एक गिलास प्रायः निम्न आकृति का होता है :

(a) एक शंकु की
(b) एक शंकु छिन्नक की
(c) एक बेलन की
(d) एक गोले की।
उत्तर:
(b) एक शंकु छिन्नक की

प्रश्न 7.
गिल्ली-डंडा खेल की गिल्ली संयुक्त आकृति होती है निम्न की :

(a) दो बेलनों की
(b) एक शंकु एवं एक बेलन की
(c) दो शंकु एवं एक बेलन की
(d) दो बेलन एवं एक शंकु की।
उत्तर:
(c) दो शंकु एवं एक बेलन की

प्रश्न 8.
बैडमिण्टन खेल में प्रयुक्त एक शटल कॉक एक संयुक्त आकृति

(a) एक बेलन एवं एक गोला की
(b) एक बेलन एवं एक अर्द्ध गोला की
(c) एक गोला एवं एक शंकु की
(d) एक शंकु-छिन्नक एवं एक अर्द्ध गोला की।
उत्तर:
(d) एक शंकु-छिन्नक एवं एक अर्द्ध गोला की।

प्रश्न 9.
एक शंक को उसके आधार के समान्तर एक तल द्वारा काटने पर एक सिरे पर प्राप्त छोटे शंकु को पृथक् कर दिया जाता है। इस प्रकार शेष बचा ठोस कहलाता है:
(a) एक शंकु का एक छिन्नक
(b) शंकु
(c) बेलन
(d) गोला।
उत्तर:
(a) एक शंकु का एक छिन्नक

प्रश्न 10.
एक ठोस 2 cm व्यास एवं 16 cm ऊँचाई वाले बेलन को पिघलाकर 12 सर्वांगसम गोले बनाए जाते हैं तो प्रत्येक गोले का व्यास होगा :
(a) 4 cm
(b) 3 cm
(c) 2 cm
(d) 6 cm.
उत्तर:
(c) 2 cm

प्रश्न 11.
यदि दो ठोस समान आधार त्रिज्या के r अर्द्ध गोले आपस में आधार से आधार सटाकर जोड़ दिए जाते हैं तो इस प्रकार प्राप्त नए ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होगा :
(a) 4πr²
(b) 6πr²
(c) 3πr²
(d) 8πr²
उत्तर:
(a) 4πr²

प्रश्न 12.
r cm त्रिज्या एवं h cm (h > 2r) ऊँचाई का एक लम्ब वृत्तीय बेलन एक गोले को ठीक-ठीक ढक लेता है तो इस गोले का व्यास होगा :
(a) r cm
(b) 2r cm
(c) h cm
(d) 2h cm.
उत्तर:
(b) 2r cm

प्रश्न 13.
एक ठोस को दूसरे ठोस में परिवर्तित करने पर नए ठोस का आयतन :
(a) बढ़ जायेगा
(b) घट जायेगा
(c) अपरिवर्तित रहेगा
(d) दूना होगा।
उत्तर:
(c) अपरिवर्तित रहेगा

प्रश्न 14.
एक लम्बवृत्तीय शंकु को आधार के समान्तर तल द्वारा काटने पर प्राप्त परिच्छेद होगा :
(a) वृत्त
(b) शंकु छिन्नक
(c) गोला
(d) अर्द्ध गोला।
उत्तर:
(a) वृत्त

प्रश्न 15.
दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है तो उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात होगा :
(a) 3:4
(b) 4:3
(c) 9:16
(d) 16:9.
उत्तर:
(d) 16:9.

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी शंकु को उसके आधार के समान्तर तल द्वारा काटकर छोटे शंकु को हटाने पर शेष बचा ठोस …………. कहलाता है।
2. शंकु छिन्नक के दोनों सिरे …………. होते हैं।
3. बाल्टी का आकार प्रायः एक …………. का होता है।
4. शंकु छिन्नक का आयतन दोनों शंकुओं के आयतनों के …………. के बराबर होता है।
5. शंकु छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों शंकुओं के वक्र प्रष्ठीय क्षेत्रफलों के …………. के बराबर होता है।
उत्तर-
1.शंकु छिन्नक,
2. वृत्ताकार,
3. शंकु छिन्नक,
4. अन्तर,
5. अन्तर।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1.→(b),
2.→(c),
3.→(a).

सत्य/असत्य कथन

1. शंकु छिन्नक का आयतन संगत शंकुओं के आयतनों के योग के बराबर होता है।
2. यदि किसी बेलन के एक सिरे पर उसी त्रिज्या का एक अर्द्ध गोलाकार गड्ढा कर दिया जाए तो प्राप्त ठोस का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल दोनों के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। 3. शंकु छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल संगत शंकुओं के वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है।
उत्तर-
1. असत्य,
2. सत्य,
3. असत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. एक शंकु छिन्नक जिसके सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ एवं r₂ तथा तिर्यक ऊँचाई l तो उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
2. शंकु के छिन्नक के आयतन का सूत्र लिखिए। (2019)
उत्तर-
1. S_w = πl (r₁ + r₂) + πr₁² + πr₂²
2. V = \(\frac { 1 }{ 3 }\)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂).

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.1

प्रश्न 1.
दो घनों जिनमें से प्रत्येक का आयतन 64 cm³ है, के संलग्न फलकों को मिलाकर एक ठोस बनाया जाता है। इससे प्राप्त घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : दो सर्वांगसम घन जिनमें से प्रत्येक का आयतन V = a³ = 64 cm³ है, जहाँ a = वर्ग की भुजा है। दोनों के संलग्न फलकों को मिलाकर एक घनाभ बनाया गया है जिसकी लम्बाई l = 2a cm चौड़ाई b = a cm एवं ऊँचाई h = a cm है।
∵ V = a³ = 64 = (4)³
⇒ a = 4 cm
⇒ l = 2a = 2 x 4 = 8cm,
b = 4 cm एवं h = 4 cm
∵ घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_w = 2(lb + bh + hl) .
⇒ S_w = 2(8 x 4 + 4 x 4 + 4 x 8)
= 2(32 + 16 + 32)
= 2 x 80
= 160 cm²
अतः, घनाभ का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 160 cm² है।

प्रश्न 2.
कोई बर्तन खोखले अर्द्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन अध्यारोपित है। अर्द्ध गोले का व्यास 14 cm है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 cm है। इसका आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : एक 14 cm व्यास वाला एक खोखला अर्द्धवृत्ताकार पात्र एवं उसके ऊपर अध्यारोपित समान व्यास के एक खोखले बेलन के अध्यारोपण के फलस्वरूप बना एक संयुक्त पात्र जिसकी कुल ऊँचाई 13 cm है (देखिए संलग्न आकृति 13.3)। चूँकि बेलन के आधार पर व्यास = अर्द्ध गोलाकार बर्तन का व्यास d= 14 cm
⇒ बेलन की त्रिज्या = अर्द्ध गोले की त्रिज्या r = 14/2 =7 cm
∵ पात्र की कुल ऊँचाई = 13 cm
⇒ बेलन की ऊँचाई h = 13 cm – 7 cm = 6 cm
∵ पात्र की आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्ध गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
⇒ पात्र का आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh + 2π²
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 7 x 6 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 264 + 308
= 572 cm²
अतः, पात्र का अभीष्ट आन्तरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = 572 cm² है।

प्रश्न 3.
एक खिलौना त्रिज्या 3.5 cm वाले एक शंकु के आकार का है जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्द्ध गोले पर अध्यारोपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm है। इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : संलग्न आकृति के अनुसार एक खिलौना जिसकी सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 cm तथा अर्द्ध गोले
एवं शंकु के आधार की त्रिज्या = 3.5 cm दी गयी है, अतः r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm.
⇒ शंकु की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h = 15.5 – 3.5 = 12 cm.
∵ शंकु की तिर्यक ऊँचाई

चूँकि खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्ध गोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः, खिलौने का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 214.5 cm² है।

प्रश्न 4.
भुजा 7 cm वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्द्धगोला रखा हुआ है। अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चूँकि घनाकार ब्लॉक की भुजा a = 7 cm दी है। इसके ऊपर एक अर्द्धगोला रखा है, अतः अर्द्धगोले का अधिकतम व्यास d= घन की भुजा = a = 7 cm
⇒ अर्द्धवृत्त की त्रिज्या r = \(\frac { 7 }{ 2 }\) cm
चूँकि ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्धगोले का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल – अर्द्धगोले के आधार द्वारा घेरे गए वृत्ताकार भाग का क्षेत्रफल
S_w = 6a² + 2πr² – πr²
= 6a² + πr²
\(S_{w}=6 \times(7)^{2}+\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2}\)
= 294 + 38.5
= 332.5 cm²
अतः, अर्द्धवृत्त का अधिकतम अभीष्ट व्यास = 7 cm
एवं ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 332.5 cm² है।

प्रश्न 5.
एक घनाकार ब्लॉक के एक फलक को अन्दर की ओर काटकर एक अर्द्ध गोलाकार गड्डा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्धगोले का व्यास l घन के एक किनारे के बराबर है। शेष बचे ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

माना लीजिए दिए हुए घनाकार ब्लॉक की भुजा (l किनारा) a = l मात्रक।
इसके एक फलक को काटकर अर्द्ध गोलीय गड्ढा इस प्रकार बनाया गया है कि अर्द्ध गोले का व्यास d = l मात्रक।
⇒ अर्द्धगोले की त्रिज्या r = \(\frac { l }{ 2 }\) मात्रक।
चूंकि ठास का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षत्रफल = घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल + अर्द्ध गोलीय गड्ढे का पृष्ठीय क्षेत्रफल – काटे हुए वृत्त का क्षेत्रफल
S_w = 6l² + 2π² – πr²
= 6l² + πr²
= \(6 l^{2}+\pi\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=6 l^{2}+\frac{1}{4} \pi l^{2}\)
S_w = \(\frac { 1 }{ 4 }\)l² (24 + π) वर्ग मात्रक।
अतः ठोस का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\)l² (24 + π) वर्ग मात्रक।

प्रश्न 6.
दवा का एक कैप्सूल (Capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्द्ध गोला लगा हुआ है (देखिए संलग्न आकृति)। पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 mm है और उसका व्यास 5 mm है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दवा का एक कैप्सूल कुल 14 mm लम्बा तथा d = 5 mm व्यास वाला एक इस प्रकार का बेलनाकार है जिसके दोनों सिरों पर उसी व्यास के एक-एक अर्द्ध गोले लगे हुए हैं। चूँकि बेलनाकार भाग एवं अर्द्धगोलीय भाग का व्यास d = 5 mm
⇒ बेलनाकार भाग एवं अर्द्ध गोलीय भाग की त्रिज्या r = \(\frac { 5 }{ 2 }\) mm
चूँकि कैप्सूल की कुल लम्बाई = बेलनाकार भाग की लम्बाई l + दो अर्द्धगोलीय त्रिज्या अर्थात् व्यास
⇒ l + 5 = 14 mm
⇒ l = 14 – 5 = 9 mm
∵ कैप्सूल का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वृक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x अर्द्धगोलीय भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः कैप्सूल का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 mm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
कोई तम्बू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमश: 2.1 m और 4 m है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई 2.8 m है, तो इस तम्बू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (Canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही Rs 500 प्रति m² की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवास की लागत ज्ञात कीजिए। (ध्यान दीजिए कि
तम्बू के आधार को कैनवास से नहीं ढका जाता है।)
हल :

ज्ञात है : तम्बू के बेलनाकार भाग की ऊँचाई h = 2.1 m तथा बेलनाकार भाग एवं शंक्वाकर भाग के व्यास d = 4 m
बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या
r = \(\frac { 4 }{ 2 }\)m = 2 m
शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 2.8 m.
चूँकि तम्बू का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_w = 2πrh x πrl
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) 2 x 2.1 + \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 2 x 2.8
= 26.4 + 17.6
= 44.0 m²
∵ व्यय = क्षेत्रफल x दर
= 44 x Rs 500
= Rs 22,000.
अतः, प्रयुक्त कैनवास का अभीष्ट क्षेत्रफल = 44 m²
एवं उसको लगाने में अभीष्ट व्यय = Rs 22,000 है।

प्रश्न 8.
ऊँचाई 2.4 cm और व्यास 1.4 cm वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँचाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (Cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेण्टीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : h= 2.4 cm ऊँचाई एवं d = 1.4 cm व्यास वाले एक बेलन में से उसी ऊँचाई एवं उसी व्यास का शंक्वाकार खोल काट दिया जाता है। मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l cm है।
चूँकि व्यास = 1.4 cm
त्रिज्या = \(\frac { 1.4 }{ 2 }\) = 0.7 cm
चूँकि तिर्यक ऊँचाई

चूँकि प्राप्त ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + ऊपर के आधार का वृत्तीय क्षेत्रफल
S_w = 2πrh + πrl + πr²
= πr(2h + l + r)
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 0.7(2 x 2.4 + 2.5 + 0.7)
= 2.2(4.8 + 2.5 + 0.7)
= 2.2 x 8.0
= 17.6 cm²
S_w = 18 cm² (निकटतम cm² में)
अतः, शेष बचे ठोस का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 18 cm² (निकटतम cm² में) है।

प्रश्न 9.
लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्द्ध गोला खोदकर निकालते हुए एक वस्तु बनाई गई है जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 cm है और आधार की त्रिज्या 3.5 cm है, तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : h = 10 cm ऊँचाई एवं r = 3.5 cm त्रिज्या वाला लकड़ी का एक बेलन जिसके दोनों सिरों से उसी त्रिज्या का एक-एक अर्द्ध गोलाकार भाग काटकर निकाल दिया गया है तो
∵ प्राप्त ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + 2 x अर्द्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल
S_w = 2πrh + 2 x 2πr²
= 2πr(h + 2r)
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 3.5(10 + 2 x 3.5)
= 22 x 17
= 374 cm²
अतः, शेष प्राप्त ठोस का अभीष्ट सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 374 cm² है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.5

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) x – 3y – 3= 0; 3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5; 3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20; 6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7= 0; 3x – 3y – 15 = 0
हल:
(i) चूंकि x – 3y – 3 = 0 ….(1)
एवं 3x – 9y – 2 = 0 ….(2)

अतः रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(ii) चूँकि 2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0 ….(2)

अतः उक्त समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब 2x + y – 5 = 0 ….(1)
3x + 2y – 8 = 0 ….(2)
वज्रगुणन विधि:

अतः रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

(iii) चूंकि 3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 ….(1)
6x – 10y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ….(2)

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म के अनन्तशः (अपरिमित) रूप से अनेक हल है।

(iv) चूंकि x – 3y – 7 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y – 15 = 0 ….(2)

अतः दत्त समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब x – 3y – 7 = 0 ….(1)
3x – 3y – 15 = 0 ….(2)
वज्रगुणन विधि:


अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = -1 है।

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल:
(i) 2x + 3y = 7 ….(1)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2 ….(2)
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए
\(\frac{2}{(a-b)}=\frac{3}{a+b}=\frac{7}{3 a+b-2}\)
⇒ 7(a – b) = 2(3a + b – 2)
⇒ 7a – 7b = 6a + 2b – 4 ….(3)
⇒ a – 9h +4 = 0
एवं 7(a + b)3 (3a + b – 2)
⇒ 7a + 7b = 9a + 3b – 6
⇒ 2a – 4b – 6 = 0 ….(4)
समीकरण (3) और समीकरण (4) से वज्रगुणन विधि द्वारा

अतः a और b के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 1 हैं।

(ii) 3x + y = 1 ….(1)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1 ….(2)
चूँकि रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई भी हल न होने की स्थिति में

अतः k का अभीष्ट मान = 2 है।

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए :
8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4.
हल:
प्रतिस्थापन विधि:
8x + 5y = 9 ….(1)
3x + 2y = 4 ….(2)
चूँकि समीकरण (2) से y = \(\frac { 4-3x }{ 2 } \) समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
8x + 5 (\(\frac { 4-3x }{ 2 } \)) = 9
⇒ 16x + 20 – 15x = 18
⇒ 16x – 15x = 18 – 20
⇒ x = -2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
8 (-2) + 5y = 9
⇒ -16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = \(\frac { 25 }{ 5 } \) = 5
अतः उक्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = -2 और y = 5 है।
अब वज्रगुणन विधि :
8x + 5y – 9 = 0 ….(1)
3x + 2y – 4 = 0 ….(2)

अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = – 2 एवं y = 5 है।
ज्ञातव्य : यहाँ पर दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं वैसे यह व्यक्तिपरक और प्रश्नपरक होता है कि कहाँ कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका आस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को जो 26 दिन भोजन करता है, छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न हो जाती है, जब उसके अंश में से 1 घटाया जाता है और वह न हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एकटेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते तो यश 50 अंक अर्जित करता है। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती हैं। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। यदि ये एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो 1 घण्टे में मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है, और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए कि छात्रावास का नियत व्यय ₹x तथा प्रतिदिन के भोजन का व्यय ₹y है, तो
प्रश्नानुसार,
x + 20y = 1000 ….(1)
x + 26y = 1180 ….(2)
⇒ 6y = 180 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ y = \(\frac { 180 }{ 6 } \) = 30
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x + 20 × 30 = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600 = 400
अतः अभीष्ट नियत व्यय = ₹ 400 एवं प्रतिदिन के भोजन का व्यय = ₹ 30 है।

(ii) मान लीजिए कि भिन्न का अंश x एवं हर y है, तो भिन्न का मान \(\frac { x }{ y } \) होगा।
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { x-1 }{ y } \) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) ⇒ 3x – 3 = y
⇒ 3x – y = 3 ….(1)
एवं \(\frac { x }{ y+8 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ 4x = y + 8
⇒ 4x – y = 8 ….(2)
⇒ x = 5 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 × 5 – y = 3 ⇒ 15 – y = 3
⇒ y = 15 – 3 = 12
अतः भिन्न का अभीष्ट मान \(\frac { 5 }{ 12 } \) है।

(iii) मान लीजिए कि यश ने x प्रश्नों के सही उत्तर दिए तथा y प्रश्नों के अशुद्ध उत्तर दिए। इस प्रकार टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y
अब प्रश्नानुसार,
3x – y = 40 ….(1)
एवं 4x – 2y = 50 ….(2)
⇒ 6x – 2y = 80 ….(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर, [समीकरण (1) × 2 से]
2x = 30 ⇒ x = \(\frac { 30 }{ 2 } \) = 15
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 × 15 – y = 40 ⇒ 45 – y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
अब टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 15 + 5 = 20
अतः टेस्ट में कुल प्रश्नों की अभीष्ट संख्या 20 है।

(iv) मान लीजिए, पहली कार की चाल x किमी/घण्टा तथा दूसरी कार की चाल किमी/घण्टा है। जब दोनों कारें एक ही दिशा में गति करें तो उनकी सापेक्षिक चाल = (x – y) किमी/घण्टा
तथा जब दोनों कारें एक-दूसरे की ओर गति करें तो उनकी सापेक्षिक चाल = (x + y) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार \(\frac { 100 }{ x-y } \) = 5 तथा \(\frac { 100 }{ x+y } \) = 1
⇒ x – y = 20 ….(1)
तो x + y = 100 ….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
x = 60 व y = 40
अतः, पहली कार की चाल = 60 किमी/घण्टा तथा दूसरी कार की चाल = 40 किमी/घण्टा है।

(v) मान लीजिए आयत की विमाएँ क्रमशः लम्बाई = x इकाई एवं चौड़ाई = y इकाई, तो उसका क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई होगा।
अब प्रश्नानुसार,
(x – 5) × (y + 3) = xy – 9
⇒ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
⇒ 3x – 5y = 15 – 9 = 6 ….(1)
एवं (x + 3) (y + 2) = xy + 67
⇒ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 67 – 6 = 61 ….(2)
समीकरण (1) से x = \(\frac { 5y+6 }{ 3 } \) समीकरण (2) में रखने पर,
2(\(\frac { 5y+6 }{ 3 } \)) + 3y = 61
⇒ 10y + 12 + 9y = 183
⇒ 19y = 171 ⇒ y = \(\frac { 171 }{ 19 } \) = 9
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3x – 5 × 9 = 6 ⇒ 3x = 6 + 45 = 51
⇒ x = \(\frac { 51 }{ 3 } \) = 17
अतः आयत की अभीष्ट विमाएँ क्रमशः 17 इकाई एवं 9 इकाई हैं।

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 16 Probability

Probability Important Questions

Probability Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
A leap year is selected at random. Then the probability that this year will contain 53 Sunday is :
(a) \(\frac { 1 }{ 7 }\)
(b) \(\frac { 2 }{ 7 }\)
(c) \(\frac { 3 }{ 7 }\)
(d) \(\frac { 4 }{ 7 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 2 }{ 7 }\)

Question 2.
A and B are two events such that P(A) = 0.4, P(A + B) = 0.7, P(AB) = 0.2, then
P(B) =
(a) 0.1
(b) 0.3
(c) 0.5
(d) 0.2
Answer:
(c) 0.5

Question 3.
Three letters are to be sent to different persons and address on the three envelope are also written. Without looking at the address, the probability that the letters go into right envelope is equal to :
(a) \(\frac { 1 }{ 27 }\)
(b) \(\frac { 1 }{ 9 }\)
(c) \(\frac { 4 }{ 27 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)

Question 4.
If A and B are two events such that P(A ∪B) = \(\frac { 3 }{ 4 }\), P(A ∩ B) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(\(\bar { A }\)) = \(\frac { 2 }{ 3 }\), then P(A ∩ B) is:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)

Question 5.
The probability that A speaks truth is \(\frac { 4 }{ 5 }\) while that this probability for B is \(\frac { 3 }{ 4 }\). The probability that they contradict each other when asked to speak on a fact:
(a) \(\frac { 5 }{ 12 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)

Question 6.
A player drawn one card from a pack of 52 cards, then the probability that it is not a diamond card :
(a) \(\frac { 1 }{ 4 }\)
(b) \(\frac { 2 }{ 4 }\)
(c) \(\frac { 3 }{ 4 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 13 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 3 }{ 4 }\)

Question 7.
Probability of getting number greater than 3 when a dice is thrown :
(a) 1
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 8.
A bag contain 6 white, 5 black and 4 yellow balls. The probability of drawing a white or a black ball is :
(a) \(\frac { 6 }{ 11 }\)
(b) \(\frac { 6 }{ 15 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 15 }\)
(d) \(\frac { 11 }{ 15 }\)
Answer:
(d) \(\frac { 11 }{ 15 }\)

Question 9.
Probability of getting an even number on throwing a dice is :
(a) 1
(b) \(\frac { 1 }{ 3 }\)
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)
(d) \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Answer:
(c) \(\frac { 1 }{ 2 }\)

Question 10.
If P(A) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(B) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) and P(A ∩ B) = \(\frac { 1 }{ 8 }\) then P(A’ ∩ B’)=
(a) \(\frac { 1 }{ 8 }\)
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)
(c) \(\frac { 5 }{ 8 }\)
(d) \(\frac { 7 }{ 8 }\)
Answer:
(b) \(\frac { 3 }{ 8 }\)

(B) Fill in the blanks :

1. a : b is odds in favour of an event A, then probability that it happen ………………..
2. The probability of getting odd number when a cubical dice is thrown ………………..
3. Total number of sample points when three coins are thrown are ………………..
4. It is given that the event A and B such that P(A) = \(\frac { 1 }{ 4 }\), P(\(\frac { A }{ B }\)) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) and P(\(\frac { B }{ A }\)) = \(\frac { 2 }{ 3 }\), then P(B) = ………………..
5. If P(A) = 0.42, P(B) = 0.48, P(A ∩ B) = 0-16, then P(A’ ∩ B’) = ………………..
6. If two events A and B related to a random experiment are not mutually exclusive, then P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = ………………..
7. Probability of happening of an event and not happening are P (A) and P(A) respectively P(A) + P(\(\bar { A }\)) = ………………..
8. The number of sample space when two cubical dice are thrown is ………………..
9. If A and B are two mutually exclusive events and P(B) = 2 P(A) then the value of P(A) will be ………………..
10. If two dice are thrown simultaneously, then the probability of getting sum is 7 will be ………………..

Answer:

1. \(\frac { a }{ a + b }\)
2. \(\frac { 1 }{ 2 }\)
3. 8
4. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
5. 0.26
6. P(A) + P(B)
7. 1
8. 36
9. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
10. \(\frac { 1 }{ 6 }\)

(C) Write true / false :

1. If two coins are tossed together, then the probability of getting atleast one head is \(\frac { 3 }{ 4 }\).
2. From a pack of cards one card is drawn at random then the chance of getting knave \(\frac { 1 }{ 52 }\)
3. If tossing a coin once, then the probability of getting tail on the upper face is \(\frac { 1 }{ 2 }\)
4. If two dice are thrown simultaneously, then the probability of getting product 6 is \(\frac { 1 }{ 9 }\)
5. The odds favour in event is \(\frac { 3 }{ 4 }\), then the probability of happening is \(\frac { 4 }{ 7 }\)

Answer:

1. True
2. False
3. True
4. True
5. False

(D) Write answer in one word / sentence :

1. If two coins are tossed together, then the sample space will be?
2. From a well shuffled pack of 52 cards one card is drawn at random; find the probability it is a king.
3. Two dice are thrown simultaneously, find the probability getting sum is multiple of 3.
4. The odds in favour of an event is 3 : 5, then find the probability of not happening.
5. If A, B and C are three mutually exclusive even, then P(A ∪ B ∪ C) =

Answer:

1. {HT, HH, TH, TT}
2. \(\frac { 1 }{ 13 }\)
3. \(\frac { 1 }{ 3 }\)
4. \(\frac { 5 }{ 8 }\)
5. P(A) + P(B) + P(C )

Probability Short Answer Type Questions

Question 1.
A coin is tossed twice, what is the probability that at least one tail occurs? (NCERT)
Solution:
Let S is the sample space, then
S = {(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}
n(S) = 4
Let E be the event of getting at least one tail, then
E = {(H, T), (T, H), (T, T)}
∴ n(E) = 3
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 3 }{ 4 }\)

Question 2.
There are four men and six women on the city council. If one council member is selected for a committee at random, then how likly is it that it is a woman?
Solution:
Let S is the sample space, then
n (S) = 10
Let E be the event that woman is selected, then
n(E) = 6
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\)
P(E) = \(\frac { 6 }{ 10 }\) = \(\frac { 3 }{ 5 }\)

Question 3.
If \(\frac { 2 }{ 11 }\) is the probability of an event A, then find what is the probability of the event is ‘not A’.
Solution:
Given that :
P(A) = \(\frac { 2 }{ 11 }\)
We know that,
P(A) + P(\(\bar { A }\)) = 1
\(\frac { 2 }{ 11 }\) + P(\(\bar { A }\)) = 1
P(\(\bar { A }\)) = 1 – \(\frac { 2 }{ 11 }\) = \(\frac { 11 – 2 }{ 11 }\)
P(\(\bar { A }\)) = \(\frac { 9 }{ 11 }\).

Question 4.
A box contain 10 red marbles, 20 blue marbles and 30 green marbles. 5 marbles are drawn from the box. What is the probability that: (NCERT)

1. All marbles will be blue.
2. At least one marble will be green.

Solution:
In the box, there are 10 red, 20 blue and 30 green marbles.
The No. of marbles = 10 + 20 + 30 = 60
1. Total ways of choosing 5 marbles out of 60 marbles,
n(S) = ⁶⁰C₅
Let E is the event of choosing blue marbles, then
n(E) = ²⁰C₅
Probability = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac{^{20} C_{5}}{^{60} C_{5}}\)

2. P(At least one green marble)
= 1 – P(No green)
= 1 – \(\frac{^{30} C_{5}}{^{60} C_{5}}\)

Question 5.
4 cards are drawn from a well shuffled deck of 52 cards. What is the probability of obtaining in card of 3 diamond and one spade?
Solution:
Let S is the sample space.
Total number of selecting 4 cards out of 52 cards, n(S) = ⁵²C₄
If E is the event obtaining card of 3 diamond and 2 spade, then
n(E) = ¹³C₃ x ¹³C₁
Probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac{^{13} C_{3} \times^{13} C_{1}}{^{52} C_{4}}\)

Question 6.
Given : P(A) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) and P(B) = \(\frac { 1 }{ 5 }\). If A and B are mutually exclusive events, then find P(A or B). (NCERT)
Solution:
A and B are mutually exclusive events.
∴ P (A or B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B) = \(\frac { 3 }{ 5 }\) + \(\frac { 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 3 + 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 7.
In a lottery, a person choose six different natural numbers at random from 1 to 20 and if there six numbers match with the six numbers already fixed by lottery committee, he wins the prize, what is the probability of winning the prize in the game? (Hint: Order of the numbers is not important) (NCERT)
Solution:
Let S is the sample space, then
n(S) = ²⁰C₆
= \(\frac { 20 × 19 × 18 × 17 × 16 × 15 }{ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 }\) = 38760
Only one prize can be win.
∴ n(E) = 1
Hence, required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 38760 }\)

Question 8.
Two dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a sum 9 in a single throw.
Solution:
Total number of ways in which two dice may be thrown
= 6 x 6 = 36
∴ n(S) = 36
Event of getting sum 9 is A = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
∴ n(A) = 4
∴ Required probability P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 9 }\)

Question 9.
A bag contains 8 black, 6 white and 5 red balls. Find the probability of drawing a black or a white ball from it
Solution:
Total number of balls = 8 + 6 + 5 = 19
∴ n(S) = 19
Event A of drawing 1 black or 1 white ball
n(A) = 8 + 6 = 14
∴ n(A) = 14
∴ Required probability P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) }\) = \(\frac { 14 }{ 19 }\)

Question 10.
From a pack of well shuffled cards two cards drawn simultaneously. Find the probability that both the cards are ace.
Solution:
Total number of ways of drawing two cards out of 52
= ⁵²C₂
Number of ways drawing two ace out of 4 ace
= ⁴C₂
∴ Required Probability

Question 11.
A pair of dice are thrown. Find the probability that the sum is 9 or 11.
Solution:
Let the sample space be S, then
∴ n(S) = 36
Let E be the event that sum is 9 or 11, then
E = {(5, 4), (4, 5), (6, 3), (3, 6), (6, 5), (5, 6)}
∴ n (E) = 6
The probability of getting sum 9 or 11 is
P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 6 }{ 36 }\) = \(\frac { 1 }{ 6 }\)
Hence, probability that the sum is not 9 or 11 is
P(\(\bar { E }\)) = 1 – P(E)
= 1 – \(\frac { 1 }{ 6 }\) = \(\frac { 5 }{ 6 }\)

Question 12.
In a city 20% persons read English newspaper, 40% persons read Hindi newspaper and 5% persons read both, then find the probability that the newspapers are not read.
Solution:
P(E) = The probability that persons read English newspapers = \(\frac { 20 }{ 100 }\)
p(H) = The probability that persons read Hindi newspapers = \(\frac { 40 }{ 100 }\)
P(E ∩ H) = The probability that persons read both the papers = \(\frac { 5 }{ 100 }\)
The probability that the newspapers are not read

Question 13.
In class XI of a school, 40% of the students study Mathematics and 30% study Biology. 10% of the class study both Mathematics and Biology. If a student is selected at random from the class, find the probability that he will be studying Mathematics or Biology. (NCERT)
Solution:
Let M and B denote the students of Mathematics and Biology respectively. Then, as given:
P(M) = 40% = \(\frac { 40 }{ 100 }\)
= P(B) = 30% = \(\frac { 30 }{ 100 }\)
P(M ∩ 5) = 10% = \(\frac { 10 }{ 100 }\)
∴ P(M ∪ B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B)
\(\frac { 40 }{ 100 }\) + \(\frac { 30 }{ 100 }\) – \(\frac { 10 }{ 100 }\)
= \(\frac { 60 }{ 100 }\) = 60% = 0.6.

Question 14.
In an entrance test that is graded on the basis of two examinations, the probability of a randomly chosen student passing the first examination is 0.8 and the probability of passing the second examination is 0.7. The probability of passing at least one of them is 0.95. What is the probability of passing both? (NCERT)
Solution:
Let probability of passing in first examination is A and passing in the second examination is B.
P(A) = 0.8, P(B) = 0.7, P(A ∪ B) = 0.95, P(A ∩ B) = ?
We know that,
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
0.95 = 0.8 + 0.7 – P(A ∩ B)
⇒ P(A ∩ B) = 1.5 – 0.95
∴ P(A ∩ B) = 0.55.

Probability Long Answer Type Questions

Question 1.
A letter is selected at random from the word ‘ASSASSINATION’. Find the probability that letter is

1. a vowel
2. a consonant

Solution:
Number of letters is 13 in which there are 6 vowels and 7 consonants.
1. Let sample space is S, then
∴ n(S) = 13
E₁ is the event of choosing a vowel, then
n(E₁) = 6
Hence, required probability P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\)
P(E₁) = \(\frac { 6 }{ 13 }\)

2. E₂ is the event of choosing a consonant, then
n(E₁) = 7
Hence, required probability P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\)

Question 2.
Check whether the following probabilities P{A) and P(B) are consistently defined: (NCERT)

1. P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
2. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A ∪ B) = 0.8.

Solution:
1. Given : P(A) = 0.5, P(B) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.6
If P(A ∩ B) ≤ P(A) and P(A ∩ B) ≤ P(B)
Then, P(A) and P(B) are consistent.
Here

P(A) and P(B) are not consistent.

2. Given : P(A) = 0.5, P(B) = 0 4, P(A ∪ B) = 0.8

∴ P(A) and P(B) are consistent.

Question 3.
In a class of 60 students, 30 opted for NCC, 32 opted for NSS and 24 opted for both NCC and NSS. If one of these students is selected at random, find the probability that:

1. The student opted for NCC or NSS.
2. The student has opted for neither NCC nor NSS.
3. The student has opted NSS but not NCC.

Solution:
Let A and B denote the students in NCC and NSS respectively.
Given : n(A) = 30, n(B) = 32, n(S) = 60, n(A ∩ S) = 24

1. P (Student opted for NCC or NSS)

2. P (Student has opted neither NCC nor NSS)

3. P (The student has opted NSS but not NCC)

Question 4.
From the employees of a company, 5 persons are selected to represent them in managing committee of the company. Particulars of five persons are as follows :

A person is selected at random from this group to act as a spokesperson. What is the probability that the spokesperson will be either male or over 35 years? (NCERT)
Solution:
Let A is the event that selected person is male and B be the event that selected person is over 35 years.

Hence, required probability
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= \(\frac { 3 }{ 5 }\) + \(\frac { 2 }{ 5 }\) – \(\frac { 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 3 + 2 – 1 }{ 5 }\) = \(\frac { 4 }{ 5 }\)

Question 5.
A fair coin with 1 marked on one face and 6 on the other and a fair dice are both tossed. Find the probability that the sum of the numbers that turn up is: (NCERT)

1. 3
2. 12.

Solution:
The number of possible cases in coin = 2 Number of possible cases in dice = 6 Let S is the sample space, then
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
n(S) = 12
1. Let E is the event of coming sum of the numbers as 3, then
E = { 1, 2 }
∴ n(E) = 1
Required probability P(E) = \(\frac { n(E) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 12 }\)

2. Let E’ is the event of coming sum of the numbers as 12, then E’ = (6, 6)
∴ n(E’) = 1
Required probability P(E’) = \(\frac { n(E’) }{ n(S) }\) = \(\frac { 1 }{ 12 }\)

Question 6.
In a certain lottery 10,000 tickets are sold and ten equal prizes are awarded. What is the probability of not getting a prize if you buy?

1. One ticket
2. Two tickets
3. 10 tickets.

Solution:
1. Buying one ticket:
Total tickets = 10,000
The tickets getting not prize = 10,000 – 10 = 9,990
Let S is the sample space, then
n(S) = ^10,000C₁ = 10,000
Let E₁ is the event of not getting prize on buying one ticket, then
n(E₁) = ^9,990C₁ = 9,990
∴ Required probability P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 9, 990 }{ 1, 000 }\) = \(\frac { 999 }{ 1, 000 }\)

2. On buying two tickets, then
n(S) = ^10,000C₂
Let E₂ is the event of not getting prize on buying two tickets, then
n(E₂) = ^9,990C₂
∴ Required probability P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 9, 990 }{ 1, 000 }\)

3. On buying 10 tickets, then
n(S) = ^10,000C₁₀
Let E₃ is the event of not getting prize on buying ten tickets, then
n(E₃) = ^9,990C₁₀
∴ Required probability P(E₃) = \(\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}\)

Question 7.
A bag contains 50 bolts and 150 nuts. Half of the bolts and nuts are rusted. If one item is taken out at random. Find out the probability that it is rusted or is a bolt.
Solution:
Let S be the sample space, then
∴ n (S) = 200, [∵ 50 bolt + 150 nuts = 200]
According to the question half of the bolts and nuts are rusted.
∴ Total rusted article = 25 + 75 = 100
Let E₁ is the event of drawing a rusted article.
Then, P(E₁) = \(\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 100 }{ 200 }\)
Let E₂ is the event of drawing nuts.
Then, P(E₂) = \(\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}\) = \(\frac { 50 }{ 200 }\)
In both the events E₁, and E₂, 25 rusted bolts are common.

Hence, required probability

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 7 Permutations and Combinations

Permutations and Combinations Important Questions

Permutations and Combinations Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
The correct relation between ⁿP_r and ⁿC_r is :
(a) ⁿC_r = \(\frac{[r}{^{n} P_{r}}\)
(b) ⁿC_r.ⁿP_r= 1
(c) ⁿC_r = \(^{n} P_{r} \times\lfloor r\)
(d) \(^{n} C_{r} \times\left\lfloor r=^{n} P_{r}\right.\)
Answer:
(d) \(^{n} C_{r} \times\left\lfloor r=^{n} P_{r}\right.\)

Question 2.
If ⁿC₂:ⁿC₄ = 2 : 1, then n = …………..
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
Answer:
(c) 5

Question 3.
How many words can be made by the letter of the word ‘COMMITEE’:

Answer:

Question 4.
If ⁿP₄ = 20 x ⁿP₃, then n =
(a) 20
(b) 21
(c) 18
(d) 23
Answer:
(d) 23

Question 5.
The number of different words that can be formed from the letter of the word ‘TRIANGLE’:
(a) 7200
(b) 36000
(c) 144000
(d) 1240.
Answer:
(b) 36000

Question 6.
In how many ways three person can be seated in 4 chairs :
(a) 42
(b) 20
(c) 24
(d) 12.
Answer:
(c) 24

Question 7.
If ¹⁵C_r = ¹⁵C_{r – 3} , then the value of ^rC₆ will be :
(a) 84
(b) 83
(c) 82
(d) 80.
Answer:
(a) 84

Question 8.
⁵C₀ + ⁵C₁ + ⁵C₂ + ⁵C₃ + ⁵C₄ + ⁵C₅ = ……………..
(a) 30
(b) 32
(c) 23
(d) 42
Answer:
(b) 32

Question 9.
The value of : \(\frac{1}{\lfloor- 4}\) will be :
(a) 0
(b) ∞
(c) 4
(d) 1.
Answer:
(a) 0

Question 10.
If ¹⁰P_r = 720, then the value of r will be :
(a) 4
(b) 5
(c) 6
(d) 3
Answer:
(d) 3

(B) Match the following :

Answer:

1. (d)
2. (a)
3. (f)
4. (b)
5. (c)
6. (e)

(C) Fill in the blanks :

1. The number of words can be made by the letters of the word ‘INDIA’ ……………
2. In order to invite 6 friends, the number of ways to send 3 servant is ……………
3. If ²⁰C_r = ²⁰C_y; x ≠ y, then the value of x + y will be ……………
4. The numbers of ways greater than 4000 can be made by the digits 2, 4, 5, 7 is ……………
5. If ¹²P_r = 1320, then r will be ……………
6. The number of ways can 8 friends be seated in a circular table is ……………
7. If ⁿC₈ = ⁿC₁₂, then n will be ……………

Answer:

1. 60
2. 4⁶
3. 20
4. 48
5. 3
6. 5040
7. 20

(D) Write true / false :

1. If ⁿC_r + ⁿC_{r + 1} = ^{n + 1}C_x, then x will be 6.
2. 5 letters be posted in 4 letter boxes in 5⁴ ways.
3. Fruit can be chosen from 5 guavas, 3 apples and 4 mangoes in 60 ways.
4. The number of ways can 8 friends stands in a row is 8.
5. The value of ⁿC_r ÷ ^{n – 1}C_ris \(\frac { n }{ r – 1 }\)

Answer:

1. True
2. False
3. False
4. True
5. False.

(E) Write answer in one word / sentence :

1. How many four digit numbers can be formed with the digits 2, 3, 4, 5 in these number divisible by 2?
2. How many ways can a garland be prepared with 6 flowers?
3. If 2.ⁿC₅ = 9.^{n – 2}C₅, then the value of n will be
4. Five points out of 15 points are collinear. If these points be joined, then how many triangles can be formed?
5. The value of will be?

Answer:

1. 12
2. 60
3. 10
4. 30
5. ⁵⁶C₄

Permutations and Combinations Short Answer Type Questions

Question 1.
If \(\frac{1}{\lfloor6}\) + \(\frac{1}{\lfloor7}\) = \(\frac{x}{\lfloor8}\), then find the value of x.
Solution:

Question 2.
Find the value of

(i) n = 6, r = 2 (ii) n = 9, r = 5
Solution:

Question 3.
If ^n-1P₃ : ⁿP₄ = 1 : 9, then find the value of n.
Solution:

Question 4.
IF ⁿP₅ : 42.ⁿP₃, then find the value of n.
Solution:
IF ⁿP₅ = 42.ⁿP₃, then find the value of n.
Solution:
Given:  ⁿP₅ = 42.ⁿP₃
⇒ n(n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4) = 42n(n – 1)(n – 2)
⇒ (n – 3)(n – 4) = 42
⇒ n² – 7n – 30 = 0
⇒ n² – 10n + 3n – 30 = 00
⇒ (n – 10) (n + 3) = 0
n = 10, n ≠ – 3.

Question 5.
IF \(\frac{^{n} P_{4}}{^{n-1} P_{4}}\) = \(\frac { 5 }{ 3 }\), then find the value of n.
Solution:
Given : \(\frac{^{n} P_{4}}{^{n-1} P_{4}}\) = \(\frac { 5 }{ 3 }\)
⇒ 3.ⁿP₃ = 5.^n-1P₄
⇒ 3n(n – 1)(n – 2)(n – 3) = 5 (n – 1)(n – 2)(n – 3)(n – 4)
⇒ 3n = 5 (n – 4)
⇒ n = 10.

Question 6.
If ⁿC₉ = ⁿC₈, then find the value of ⁿC₁₇.
Solution:

Question 7.
If ⁿP_n-2 = 60, then find the value of n.
Solution:

Question 8.
If ¹²P_r = 1320, then find the value of r.
Solution:

Question 9.
If ⁿC₁₄ = ⁿC₁₆, then find the value of ³²C_n.
Solution:
Given : ⁿC₁₄ = ⁿC₁₆
⇒ ⁿC₁₄ = ⁿC_16-1
⇒ 14 = n – 16
⇒ n = 30
∴ ³²C_n = ³²C₃₀ = ³²C₂
= \(\frac { 32.31 }{ 2 }\) = 496.

Question 10.
If ²⁰C_x = ²⁰C_y, then find the value of x + y.
Solution:
Given :
⇒ ²⁰C_x = ²⁰C_y
⇒ ²⁰C_x = ²⁰C_20-y
⇒ x = 20 – y
⇒ x + y = 20

Question 11.
In how many ways can 8 friends sit around a round table?
Solution:
Total number of ways of sitting 8 friends around table = \(\lfloor 8 – 1\) = \(\lfloor 7\)
= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
= 5040.

Question 12.
In how many ways can a garland be prepared with 6 flowers?
Solution:
Ways of preparing the garlands with 6 flowers = \(\frac { 1 }{ 2 }\) \(\lfloor 6 – 1\)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) \(\lfloor 5\)
= \(\frac { 1 }{ 2 }\).5.4.3.2.1 = 60.

Question 13.
How many numbers between 100 and 1000 can be formed with the digits 2, 3, 0, 4, 8, 9 if repetition of digits is not allowed in the same number?
Solution:
The numbers between 100 and 1000 are of three digits.
∴Number of three digits made from 6 digits will be ⁶P₃.
In this number which begins with 0 will be ⁵P₂.
∴Required number = ²⁰C_y – ⁵P₂ = 120 – 20 = 100.

Question 14.
How many words, with or without meaning can be formed using all the letters of the word EQUATION? (NCERT)
Solution:

Question 15.
How many chords can be drawn through 21 points on a circle? (NCERT)
Solution:
By joining two points we get one chord.
∴ No. of chords = ²¹C₂
= \(\frac { 21 x 20 }{ 2 x 1 }\)
= 210.

Question 16.
In how many ways can a team of 3 boys and 3 girls can be selected from 5 boys and 4 girls? (NCERT)
Solution:
Number of ways of selecting 3 boys from 5 boys and 3 girls from 4 girls will be
= ⁵C₃ × ⁴C₃
= \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1}\) × \(\frac { 4 × 3 × 2 }{ 3 × 2 × 1 }\)
= 10 x 4 = 40.

Permutations and Combinations Long Answers Type Questions

Question 1.
Find the number of ways of selecting 9 balls from 6 red balls, 5 white balls and 5 blue balls if each selection consists of 3 balls of each colour. (NCERT)
Solution:
Since, 3 red balls out of 6 red balls can be selected
= ⁶C₃ = \(\frac { 6 × 5 × 4 }{ 3 × 2 × 1}\) = 20
3 white balls out of 5 white balls = ⁵C₃ = \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1}\) = 10
and 3 blue balls out of 5 blue balls = ⁵C₃ = \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1}\) = 10
Total number of ways of selecting 9 balls = 20 x 10 x 10

Question 2.
Determine the number of 5 cards combinations out of a deck of 52 cards, if there is exactly one ace in each combination (NCERT)
Solution:
Number of ways of selecting one ace from 4 ace = ⁴C₁
Number of selecting 4 cards from 48 cards = ⁴⁸C₄
= \(\frac { 48 × 47 × 46 × 45 }{ 4 × 3 × 2 × 1}\)
Total number of ways = ⁴C₁ x ⁴⁸C₄
= 4 × = \(\frac { 48 × 47 × 46 × 45 }{ 4 × 3 × 2 × 1}\)
= 7, 78, 320.

Question 3.
In how many ways can one select a cricket team of eleven players from 17 players. In which only 5 players can bowl, if each cricket team of 11 must include exactly 4 bowlers? (NCERT)
Solution:
Out of 17 players, to select 11 players in which 5 bowlers and 12 batsman.
Out of 5 bowlers to select 4 bowlers = ⁵C₄ = 5
Out of 12 batsman to select 7 batsman = ¹²C₇
= \(\frac { 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 }{ 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 }\)
= 11 × 9 × 8 = 792
∴ Number of ways selecting 11 players = 5 x 792 = 3960.

Question 4.
A bag contains 5 black and 6 red balls, determine the number of ways in which 2 black and 3 red balls can be selected. (NCERT)
Solution:
There are 5 black and 6 red balls.
Out of 5 black balls, 2 black balls can be =⁵C₂ = \(\frac { 5 × 4 }{ 2 × 1 }\) = 10
Out of 6 red balls, 3 red balls can be = ⁶C₃ = \(\frac { 6 × 5 × 4 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 20
∴ Total No. of ways = 10 x 20 = 200.

Question 5.
In how many ways can a student choose a program of 5 courses, if 9 courses are available and 2 specific courses are compulsory for each students? (NCERT)
Solution:
Number of available courses = 9.
Number of courses to choose = 5.
Compulsory courses = 2.
∴ Required number of ways = ^9-2C_5-2 = ⁷C₃
= \(\frac { 7 × 6 × 5 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 35.

Question 6.
How many words, with or without meaning each of 2 vowels and 3 consonants can be formed from the letters of the word DAUGHTER? (NCERT)
Solution:
There are 3 vowels and 5 consonants in DAUGHTER.
2 vowels out of 3 vowels = ³C₂ = \(\frac { 3! }{ 1!2! }\) = \(\frac { 3 × 2 }{ 2 × 1 }\)
3 consonants out of 5 consonats = ⁵C₃ = \(\frac { 5! }{ 2!3! }\) = \(\frac { 5 × 4 × 3 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 10
Arrangement of 2 vowels and 3 consonants = 5!
= 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Question 7.
How many words, with or without menning can be formed using all the letters of the word EQUATION at a time so that the vowels and consonants occur together?
Solution:
Given word is EQUATION.
Vowels – E, U, A, I, O
Consonants – T, Q, N.
Arrangement of 5 vowels = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Arrangement of 3 consonants = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Arrangements of vowels and consonants = 2!
∴ Total No. of ways = 120 x 6 x 2! = 720 x 2 = 1440.

Question 8.
A committee of 7 members has to be formed from 9 boys and 4 girls. In how many ways can this be done when the committee consists of: (NCERT)

1. Exactly 3 girls
2. At least 3 girls
3. At most 3 girls.

Solution:
Total members in committee = 7
1. Selection of 3 girls and 4 boys in committee
= ⁴C₃ x ⁹C₄
= \(\frac { 4 × 3 × 2 × 1 }{ 3 × 2 × 1 }\) x \(\frac { 9 × 8 × 7 × 6 }{ 4 × 3 × 2 × 1 }\)
= 9 x 8 x 7 = 504.

2. Selection of minimum 3 girls in committee
= ⁴C₃ x ⁹C₄ + ⁴C₄ x ⁹C₃
= 504 + 1 x \(\frac { 9 × 8 × 7 }{ 3 × 2 × 1 }\) = 504 + 84 = 588.

3. Selection of maximum 3 girls in a committee

Question 9.
How many different words can be formed by using the letters of the word ALLAHABAD, out of which in how many words vowels will come in even places? (NCERT)
Solution:
Total number of letters in ALLAHABAD = 9.
In which A = 4 times, L = 2 times.

= 9.8.7.3.5 = 7560.
Number of even places are = 4 and odd places = 5. Hence we can put A only in 4 places and rest 5 letters L, L, H, B, D in 5 odd places inways.

Question 10.
In how many ways can a cricket team of eleven can be formed from 14 players? Which win always have :

1. Captain is always taken.
2. When two fast bowlers are always taken?

Solution:
1. When captain is always taken (11 – 1) from (14 – 1) players.
= ¹³C₁₀ = ¹³C₃
= \(\frac { 13.12.11 }{ 3.2.1 }\) = 286.

2. When two fast bowlers are always taken = ¹²C₉ = ¹²C₃
= \(\frac { 12.11.10 }{ 3.2.1}\)

Question 11.
In how many ways committee of 5 members can be formed out of 6 men and 4 women ? If the committee has : (i) Only one woman, (ii) At least one woman.
Solution:
(i) Only one woman out of 4 women and 4 men out of 6 men.
No. of ways = ⁶C₄ x ⁴C₁
= ⁶C₂ x 4
= \(\frac { 6 × 5 × 4 }{ 2.1 }\) = 60

(ii) Atleast one woman :

Hence, total No. of ways = 60 + 120 + 60 + 6 = 246.

Question 12.
If ²ⁿC₃ : ⁿC₂ = 12 : 1,then find the value of it. (NCERT)
Solution:

Question 13.
If ²ⁿC₃ : ⁿC₃ = 11 : 1, then find the value of it. (NCERT)
Solution:

Question 14.
Prove that:

Solution:

Question 15.
Prove that:
²ⁿP_n = 2ⁿ{1.3.5 …………. (2n – 1)}.
Solution:

MP Board Class 11th Maths Important Questions