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MP Board Class 10th Science Solutions Chapter 8 How do Organisms Reproduce?

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Intext Questions

Class 10th Science Chapter 8 Intext Questions Page No. 128

Question 1.
What is the importance of DNA copying in reproduction?
Answer:
The chromosomes in the nucleus of a cell contain information for inheritance of features from parents to next generation in the form of DNA (Deoxyribo Nucleic Acid) molecules. The DNA in the cell nucleus is the information source for making proteins. Hence DNA copying is important in reproduction.

Question 2.
Why is variation beneficial to the species but not necessarily for the individual?
Answer:

If a population of reproducing organisms were suited to particular niche and if the niche were drastically altered, the population could be wiped out. However, if some variations were to be present in a few individuals in these populations, there would be some chance for them to survive.

Thus, if there were a population of bacteria living in temperature waters and if the water temperature were to be increased by global warming, most of these bacteria would die, but the few variants resistant to heat would survive and grow further. Variation is thus useful for the survival of species over time. Variation is not useful for all organisms.

Class 10th Science Chapter 8 Intext Questions Page No. 133

Question 1.
How does binary fission differ from multiple fission?
Answer:
Binary fission: It is a simple kind of division which formate new individual. In binary fission, a single cell divides into two equal halves but it is possible only with very simple single cell kind. Amoeba and Bacteria divide by binary fission.

Multiple fission: Another type of simple division is multiple fission, in this, a single cell divides into many daughter, cells, e.g., Plasmodium divide by multiple fission.

Binary fission	Multiple fission
In this fission, one cell split into two equal halves during cell division. Eg: Bacteria.	Here one organism divide into many daughter cells simultaneously. Eg: yeast.

Question 2.
How will an organism be benefited if it reproduces through spores?
Answer:
The spores are covered by thick walls that protect them until they come into contact with another moist surface and can begin to grow. Thus organism be benefited if it reproduces through spores.

Question 3.
Can you think of reasons why more complex organisms cannot give rise to new individuals through regeneration?
Answer:
Multicellular organisms are not simply a random mass of cells but a carefully organized entity of tissues and organs are placed at definite positions in the body to form organ systems. These systems are well coordinated to perform specific functions. Hence complex organisms cannot reproduce through fragmentation.

Question 4.
Why is vegetative propagation practised for growing some types of plants?
Answer:
Advantages of vegetative propagation:

• Used in methods such as layering or grafting, to grow many plants like sugarcane, roses or grapes for agricultural purposes.
• Plants raised can bear more flowers and fruits in comparison to plants produced from seeds.
• Plants such as banana, orange, rose and jasmine which have lost the capacity to produce seeds can be propagated.
• All plants produced by vegetative propagation are genetically similar enough to the parent plant.

Question 5.
Why is DN Acopying an essential part of the process of reproduction?
Answer:
The consistency of DNA copying during reproduction is important for the maintenance of body design features that allow the organism to use that particular niche. Because of this DNA copying is an essential part of the process of reproduction.

Class 10th Science Chapter 8 Intext Questions Page No. 140

Question 1.
How is the process of pollination different from fertilization?
Answer:
Pollination is movement of pollens from one plant to another plant’s or its own plant’s stigma. It may require certain agents called pollinators such as air, water birds or some insects to perform. Fertilization, is a complex process, it involves the fusion of the male and female gametes. It occurs inside the ovule and leads to the formation of zygote.

Question 2.
What is the role of the seminal vesicles and the prostate gland?
Answer:
Along the path of the vas deferens, gland like the prostrate and the seminal vesicles add their secretions so that the sperms are now in a fluid which makes their transport easier and this fluid also provides nutrition.

Question 3.
What are the changes seen in girls at the time of puberty?
Answer:
The changes seen in girls at the time of puberty are:

1. Development of secondary sexual characteristics.
2. Growth in breast size and darkening of skin of the nipples.
3. Growth of hair in the genital area and other areas of skin like underarms, face, hands and legs.
4. Growth in the size of uterus and ovary hence, start of menstrual cycle periodically.

Question 4.
How does the embryo get nourishment inside the mother’s body?
Answer:
The embryo gets nutrition form the mother’s blood with the help of a special tissue called placenta. This is a disc which is embedded in the uterine wall. It contains villi on the embryo’s side of the tissue on the mother’s side are blood spaces, which surround the villi. This provides a large surface area for glucose and oxygen to pass from the mother to the embryo. The developing embryo will also generate waste substances which can be removed by transferring them into the mother’s blood through the placenta.

Question 5.
If a woman is using a copper-T, will it help in protecting her from sexually transmitted diseases?
Answer:
Copper-T will helps in protecting her from sexually transmitted diseases by helping to prevent infections of diseases.

MP Board Class 10th Science Chapter 8 NCERT Textbook Exercises

Question 1.
Asexual reproduction takes place through budding in:
(a) amoeba
(b) yeast
(c) plasmodium
(d) leishmania
Answer:
(b) yeast

Question 2.
Which of the following is not system in human beings? a part of the female reproductive
(a) ovary
(b) uterus
(c) vas deferens
(d) fallopian tube
Answer:
(c) vas deferens

Question 3.
The anther contains:
(a) sepal
(b) ovules
(c) carpel
(d) pollen grains
Answer:
(d) pollen grains

Question 4.
What are the advantages of sexual reproduction over asexual reproduction?
Answer:
In case of asexual reproduction, new generations are produced by one organism. But in sexual reproduction, new generations are produced by two organisms (male and female). In case of sexual reproduction germ cells are produced in testes and these secrete a hormone testosterone. In human beings also develop special tissues for this purpose.

Question 5.
What are the functions performed by the testis in human beings?
Answer:
They are the glands where sperm and testosterone are generated and present in male body. The testes are contained in the scrotum and are composed of dense connective tissue. Functions of testes are as follows:

• It produces sperms, which contain haploid set of chromosomes of
• It produces testosterone, which initiate secondary sexual characteristics

Question 6.
Why does menstruation occur?
Answer:
Since the ovary releases one egg every month, the uterus also prepares itself every month to receive a fertilised egg. Thus its lining becomes thick and spongy. This would be required for nourishing the embryo if fertilisation had taken place. Now, however, this lining is not needed any longer. So the lining slowly breaks and comes out through the vagina as blood and mucous. This cycle takes place roughly every month and is known a menstruation. It usually lasts for about two to eight days.

Question 7.
Draw a labelled diagram of the longitudinal section of a flower.
Answer:

Longitudinal section flower.

Question 8.
What are the different methods of contraception?
Answer:

Many ways have been devised to avoid pregnancy. These contraceptive methods fall in a number of categories. One category is the creation of a mechanical barrier so that sperm does not reach the egg. Condoms on the penis or similar coverings worn in the vagina can serve this purpose.

Another category of contraceptives acts by changing the hormonal balance of the body so that eggs are not released and fertilisation cannot occur. These drugs commonly need to be taken orally as pills. However, Since they change hormonal balances, they can cause side effects too. Other contraceptive devices such as the loop or the copper-T are placed in the uterus to prevent pregnancy. Again, they can cause side effects due to irritation of the uterus. Surgery can also be used for removed of unwanted pregnancies.

Question 9.
How are the modes for reproduction different in unicellular and multicellular organisms?
Answer:
In unicellular organisms, reproduction occurs by the division of the entire cell. The modes of reproduction in unicellular organisms can be fission, budding etc. whereas in multi cellular organisms, specialised reproductive organs are present. Therefore, they can be reproduced by complex reproductive methods such as vegetative propagation, spore formation etc. In more complex multicellular organisms such as human beings and plants, the mode of reproduction is sexual reproduction.

Question 10.
How does reproduction help in providing stability to populations of species?
Answer:
Reproduction is the process of producing new individuals of the same species by existing organisms of a species. So, it helps in providing stability to population of species by giving birth to new individuals as the rate of birth must be at par with the rate of death to provide stability to population of a species.

Question 11.
What could be the reasons for adopting contraceptive methods?
Answer:
Contraceptive methods are mainly adopted because of the following reasons:

• It prevent unwanted pregnancies.
• It control rise in population and birth rate.
• It prevent sexually transmitted diseases.

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Additional Important Questions

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Multiple Choice Questions

Question 1.
All individuals produced by an organism are:
(a) Genetically similar
(b) Non-identical
(c) Fission
(d) Moneociuos
Answer:
(a) Genetically similar

Question 2.
Sexual reproduction is completed by _______ division:
(a) Mitotic
(b) Meiotic and mitotic both
(c) Meiosis
(d) Mitotic at some stages .
Answer:
(c) Meiosis

Question 3.
In yeast cell, division results in:
(a) Offspring
(b) Bud
(c) Clone
(d) Branch
Answer:
(b) Bud

Question 4.
Which of the following organisms undergo multiple fission?
(a) Paramecium
(b) Plasmodium
(c) Amoeba
(d) All of the above
Answer:
(b) Plasmodium

Question 5.
Hydra reproduces asexually through:
(a) Budding
(b) Binary fission
(c) Multiple fission
(d) Vegetative propagation
Answer:
(a) Budding

Question 6.
In which plant, the site of origin of new plants is node?
(a) Potato tuber
(b) Onion bulb
(c) Rhizome ginger
(d) All of the above
Answer:
(d) All of the above

Question 7.
In which of the following, asexual reproduction takes place through binary fission?
(a) Amoeba
(b) Yeast
(c) Plasmodium
(d) Leishmania
Answer:
(b) Yeast

Question 8.
Which of the following is in human beings?
(a) Ovary
(b) Uterus
(c) (a) and (b)
(d) Fallopian tube
(e) (a), (b) and (d)
Answer:
(e) (a), (b) and (d)

Question 9.
The anther, a part of male flower have:
(a) Sepals
(b) Ovules
(c) Carpel
(d) Pollen grains
Answer:
(d) Pollen grains

Question 10.
The information for making proteins is provided by:
(a) Rough endoplasmic reticulum
(b) DNA
(c) Hormones
(d) Enzymes
Answer:
(b) DNA

Question 11.
Nature of gametes are usually:
(a) Haploid
(b) Diploid
(c) Both (a) and (b)
(d) None of the above
Answer:
(a) Haploid

Question 12.
With the help of which tissues embryo gets nutrition from the mother’s blood?
(a) Zygote
(b) Uterus only
(c) Placenta
(d) None of these
Answer:
(c) Placenta

Question 13.
Which of the following is not a part of the male reproductive system in human beings?
(a) Testes
(b) Uterus
(c) Vas deferens
(d) Urethra
Answer:
(b) Uterus

Question 14.
Binary fission in some organisms occurs in definite orientation in relation to the cell structures. One such organisms is:
(a) Leishmania
(b) Plasmodium
(c) Amoeba
(d) Bacteria
Answer:
(c) Amoeba

Question 15.
Plants that have lost their capacity to produce seeds, reproduce by:
(a) Spores
(b) Vegetative propagation
(c) Fission
(d) Regeneration
Answer:
(a) Spores

Question 16.
A stamen consists of two parts namely:
(a) Anther and style
(b) Anther and filament
(c) Stigma and style
(d) Filament and style
Answer:
(b) Anther and filament

Question 17.
A bisexual flower contains:
(a) Stamens only
(b) Carpels only
(c) Either stamens or carpels
(d) Both stamens and carpels
Answer:
(d) Both stamens and carpels

Question 18.
Germinated seeds do not contains:
(a) Sepals
(b) Cotyledon
(c) Plumule
(d) Radicle
Answer:
(a) Sepals

Question 19.
A feature of reproduction that is common to amoeba, spirogyra and yeast is that:
(a) they reproduce asexually
(b) they are all unicellular
(c) they reproduce only sexually
(d) they are all multicellular
Answer:
(a) they reproduce asexually

Question 20.
Which of the part of flower ripens to form a fruit?
(a) Ovule
(b) Ovary
(c) Carpel
(d) Egg cell
Answer:
(b) Ovary

Question 21.
The testes perforin the following function/functions:
(a) Produce testosterone
(b) Produce sperms
(c) Produce male gametes and hormone
(d) Produce sperms and urine
Answer:
(b) Produce sperms

Question 22.
Where does fertilisation take place in human beings?
(a) Uterus
(b) Vagina
(c) Cervix
(d) Fallopian Tube
Answer:
(d) Fallopian Tube

Question 23.
Condom is a method of control that falls under the following category:
(a) Surgical method
(b) Hormonal method
(c) Mechanical method
(d) Chemical method
Answer:
(c) Mechanical method

Question 24.
The common passage for sperms and urine in the male reproductive system is:
(a) Ureter
(b) Seminal vesicle
(c) Urethra
(d) Vas deferens
Answer:
(c) Urethra

Question 25.
In sperm, which part dissociates after fertilization?
(a) Acrosome
(b) Tail
(c) Head
(d) Middle piece
Answer:
(b) Tail

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Which life process is not essential to maintain the life of an individual organism but important for the survival of species?
Answer:
Reproduction.

Question 2.
How a species can get a danger of being extinct?
Answer:
If individuals of any species stops reproducing, then that species can get a danger of being extinct.

Question 3.
How an individual is able to make a copy of itself?
Answer:
DNA copying is a process at cellular level which enables an individual to make copy of it self.

Question 4.
Write the name of process by which Hydra reproduces.
Answer:
Budding only.

Question 5.
Generally, how many individuals are involved in asexual reproduction?
Answer:
One.

Question 6.
Write the name of some common method of asexual reproduction.
Answer:
Vegetative propagation, budding, fragmentation and spore formation.

Question 7.
Which type of flower is called unisexual flowers?
Answer:
A flower which have either male or female reproductive parts is called unisexual flowers.

Question 8.
What is pollination?
Answer:
The transfer of pollen grains from the anther to the stigma of the same or of another flower of the same kind is known as pollination.

Question 9.
What do you understand by term fertilisation?
Answer:
The fusion of male and female gametes is termed as fertilisation.

Question 10.
How seed is dispersed?
Answer:
Seed dispersal takes place by means of wind, water and animals.

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Short Answer Type Questions

Question 1.
How does plasmodium undergo fission?
Ans.
Plasmodium divides into many daughter cells through multiple fission.

Question 2.
How spirogyra reproduces by fragmentation?
Answer:
An individual spirogyra breaks up into many smaller pieces, each fragment grows into new individual.

Question 3.
Which cells are responsible for budding in hydra?
Answer:
Regenerative cells.

Question 4.
Name the structure into which following develops: the plumule and radicle?
Answer:
Plumule develops to shoot while radicle form root of a plant.

Question 5.
On which plant can you find buds on its leaves?
Answer:
Bryophyllum.

Question 6.
Write the scientific name of the bread mould.
Answer:
Rhizopus.

Question 7.
Where are the testes located in human beings?
Answer:
In abdominal cavity, in scrotum.

Question 8.
For what specific reason have the testes specific location?
Answer:
As testes, requires lesser temperature, to produce sperm than of abdominal cavity.

Question 9.
Correlate the rate of general body growth and maturation of reproductive tissue during puberty.
Answer:
When reproductive tissues (organs) begin to mature, body growth rate slows down.

Question 10.
Where does the zygote get implanted in human beings?
Answer:
In the wall of uterus.

Question 11.
Which two important substances are delivered to developing embryo through placenta?
Answer:
Glucose and oxygen.

Question 12.
How change in hormonal balance prevents pregnancy?
Answer:
It prevents the release of eggs.

Question 13.
Name the tissue in mother’s body that provides nutrition to developing embryo?
Answer:
Placenta provides nutrition to developing embryo.

Question 14.
Write one side effect of loop placed in uterus.
Answer:
It may cause permanent irritation and excessive and prolong bleeding in uterus.

Question 15.
Which structures need to be blocked in males and females respectively to prevent pregnancy?
Answer:
Vas deferens in male (vasectomy), fallopian tube in female (tubectomy).

Question 16.
Why is children sex ratio alarmingly declining in our country.
Answer:
Abortions based on sex selections.

Question 17.
Name the chemical methods of preventing pregnancy.
Answer:
Morning over oral pills.

Question 18.
Name some of the devices used as mechanical method for preventing pregnancy.
Answer:
Loop, copper T, condoms.

Question 19.
Name the only mammal(s) which lays eggs.
Answer:
Echidna and duck-billed platypus.

Question 20.
What is parthenogenesis?
Answer:
Parthenogenesis is a type of asexual reproduction. In this case, embryo development takes places without fertilisation. A few species of insects, bees, wasps, birds and lizards (e.gKomodo dragon lizard) reproduce this way.

Question 21.
Give an example of an organism which reproduces by:
(a) Fragmentation
(b) Spore formation
(c) Stems
Answer:
(i) Spirogyra.
(ii) Bacteria, fungi (rhizopus), moss, algae.
(iii) Plants like potato (tuber), onion (bulb) reproduce by vegetative propagation of stems.

Question 22.
Discuss various artificial vegetative propagation techniques.
Answer:
Various artificial vegetative propagation techniques are:

1. Cutting
2. Layering
3. Grafting
4. Tissue culture

Question 23.
What is grafting? What are different types of grafting techniques?
Answer:
In grafting, one part of a plant is inserted into another plant in a way that both of them will unite and grow together as a single plant. Different methods of grafting are:

• Approach grafting
• Cleft grafting
• Bud grafting
• Tongue grafting

Question 24.
Name some:

1. Plants which are reproduced by vegetative propagation.
2. Plants which have unisexual flowers.
3. Plants which have bisexual flowers.
4. Plants with self-pollination.
5. Plants that do cross-pollination.

Answer:

1. Rose, sweet potatoes, bryophyllum.
2. Coconut, papaya, watermelon.
3. Lily, rose, sunflower.
4. Beans, peas, tomatoes.
5. Grasses, catkins, maple trees.

Question 25.
What is germination?
Answer:
The seed contains the future plant or embryo which develops into a seedling under appropriate conditions. This process is known as germination.

Question 26.
What is cross-pollination?
Answer:
Cross-pollination is the process of transfer of pollen from the anther of a flower to stigma of a flower of another plant of the same species or closely related species.

Question 27.
Explain hormonal pills of contraception.
Answer:
Oral contraceptives: In this method, tablets or drugs are taken orally by females to check pregnancy These contain small doses of hormones in forms of pills that prevent the release of eggs and thus, fortilisation cannot occur.

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Long Answer Type Questions

Question 1.
Why simply copying of DNA in a dividing cells not enough to maintain continuity of life?
Answer:
Copying of DNA preserve and pass specific characters of a generation to next generation offsprings. In reproduction, it is very important to create DNA copy. It determines the body design of an individual. But variation in genotype is also important,, because sometimes existing genotype don’t find its potential to survive in changing surroundings. So, genotype must have some alterations which are caused by variations only. Hence, simply copying of DNA in a dividing cells is not enough to maintain continuity of life.

Question 2.
Describe in brief the fragmentation mode of asexual reproduction.
Answer:
Fragmentation: Many lower organisms, use fragmentation mode of asexual reproduction for its growth e.g., algae. When water and nutrients are available in sufficient amount algae grow and multiply rapidly by fragmentation. An algae breaks up to multiple fragments. These fragments or pieces grow into new individuals.

Question 3.
Explain budding in yeast.
Answer:
The yeast is a single-celled organism. The small bulb-like projection come out from the yeast cell in favourable time and is called a bud. The bud gradually grows and gets dettached from the parent cell and forms a new yeast cell. The new yeast cell grows, matures and produces more yeast cells.

Question 4.
Describe the process of implantation.
Answer:
A week after the sperm fertilizes the egg, the fertilized egg (zygote) undergo development and become a multicelled blastocyst. The blastocyst fix itself into the lining of the uterus, called the endometrium. The hormone estrogen causes the endometrium to become thick and rich with blood. Progesterone and other hormone released by the ovaries, keeps the endometrium thick with blood so that the blastocyst can absorb nutrients from uterus. This process is called implantation.

Question 5.
Explain the following.

1. Hermaphrodites
2. Unisexual
3. Syngamy

Answer:

1. Hermaphrodites are bisexual organisms which possess both male and female reproductive organs. Examples: earthworm, leech, starfish.
2. Animals which have different male and female individuals as birds, mammals etc.
3. The process of fusion of male gamete with female gamete is called syngamy.

Question 6.
What is contraception? Discuss natural and barrier method of contraception.
Answer:
Contraception or birth control methods include: condoms, the diaphragm, the contraceptive pill, implants, IUDs (intrauterine devices), sterilization and the morning after pill and many more some of best methods are given below:

• Natural method: It involves avoiding the chances of meeting of sperms and ovum. In this method, the sexual intercourse is avoided by the couple from day 10th to 17th of the menstrual cycle of female as in this period, ovulation is expected and therefore, the chances of fertilisation are very high.
• Barrier method: In this method, the fertilisation of ovum and sperm is checked out with the help of artificially developed barriers. Barriers are developed for both males and females. Most common barrier available in market are condoms.

Question 7.
Describe implants and surgical methods of contraception
Answer:
Contraceptive devices are also developed as the loop or copper-T to prevent pregnancy. Surgical methods are also used to block the gamete transfer. It includes the blocking of vas deferens to prevent the transfer of Sperms known as vasectomy. Similarly, tubectomy in the fallopian tubes of the female can be blocked so that the egg will not reach the uterus.

Question 8.
Discuss fertilization in flowering plants.
Answer:
There are two main procedures of completing fertilization in flowering plants, which are:
(i) Pollination
(ii) Fertilisation

(i) Pollination: Pollination is a very important part of the life cycle of a flowering plant which results in seeds that grow into new plants. It is part of the sexual reproduction process of flowering plants. Flowers are the structures of flowering plants that contain all the specialized parts needed for sexual reproduction. Plants have gametes, which contain half the normal number of chromosomes for that plant species. Male gametes are found inside tiny pollen grains on the anthers of flowers. Female gametes are found in the ovules of a flower. Pollination is the process that brings these male and female gametes together. The wind or animals, especially insects and birds, pick up pollen from the male anthers and carry it to the female stigma. Flowers have to encourage animals to pollinate them.

(ii) Fertilisation: After pollination, when pollen has landed on the stigma of a suitable flower of the same species, various process occurs in the making of seeds. A pollen grain on the stigma grows a tiny tube, all the way down the style to the ovary. This pollen tube carries a male gamete to meet a female gamete in an ovule. In a process called fertilization, the two gametes join. The fertilised ovule form a seed, which contains a food store and an embryo that grow into a new plant. The ovary develops into a fruit to protect the seed.

Question 9.
Inside womb, how does a child receive food, oxygen and water? Discuss.
Answer:
As a mother eats something the nutrient like glucose, proteins, fats, vitamins, etc. are absorbed into the mother’s blood by the small intestine. The nutrients flow to the placenta, and then transferred to the baby’s bloodstream through the umbilical cord. The baby’s waste products (like CO2) are disposed of in the mother’s blood stream as well. In the placenta, the mothers blood flows into a network of blood Vessels and capillaries. Molecules in the mother’s blood like glucose, proteins, fats, oxygen etc. flow out of the mother’s blood supply and are absorbed into another network of blood vessels and capillaries containing the baby’s blood supply. The baby’s blood then flows through the umbilical cord back to the baby. It is the complete process of baby’s nutrition inside womb.

Question 10.
Discuss the advantages and disadvantage of autogamy or self¬pollination.
Answer:
Advantages of autogamy:

It is a sure method of seed formation. Scent and Nectar are not needed by the flower to attract insects. Parent characteristics are preserved in off spring’s. Small quantity of pollen is required for pollination. Flowers need not be large or attractive. Disadvantages of autogamy plants lose their vigor in their future generations due to repeated self-pollination. Since, there is no variation, no genetic improvement occurs in offsprings. Weak characteristics of the plant are inherited by the next generations.

MP Board Class 10th Science Chapter 8 Textbook Activities

Class 10 Science Activity 8.1 Page No. 129

• Dissolve about 10 gin of sugar in 100 mL of water.
• lake 20 mL of this solution in a test tube and add a pinch of yeasl granules to it.
• Put a cotton plug on the mouth of the test tube and keep it in a warm place.
• Alter 1 or 2 hours, put a small drop of yeast culture from the test tube on a slide and cover it with a coverslip.
• Observe the slide under a microscope.

Observations:

• Formation of yeast cells can be seen. Some of them, shows chain budding.

Class 10 Science Activity 8.2 Page No. 129

• Wet a slice of bread, and keep it in a cool, moist and dark place.
• Observe the surface of the slice with a magnifying glass.
• Record your observation for a week.

Observations:

• A layer of while cottony mass is seen over the surface of slice. These inercase in size and number and after a week, the layer turns black show ing formation of spores or sporangia.

Class 10 Science Activity 8.3 Page No. 129

• Observ e a permanent slide of Amoeba under a microscope.
• Similarly observe another permanent slide of Amoeba show-ing binary fission.
• Now, compare the observation of both the slides.

Observations:

• The permanent slide of amoeba shows normal cytoplasm and nucleus. Nucleus can be seen dividing and construction in cytoplasm can also be seen. The binary fission with two daughter cells is observed in the other slide.

Class 10 Science Activity 8.4 Page No. 129

• Collect water from a lake or pond that appears dark green and contains filamentous structures.
• Put one or two filaments on a slide.
• Put a drop of glycerin on these filaments and cover it with a coverslip
• Observe the slide under a microscope.
• Can you identify different tissues in the Spimgyra filaments.

Observations:

• Spirogyra filament consists of many cells which are attached linearly to form a filament.

Class 10 Science Activity 8.5 Page No. 132

• Take a potato and observe its surface. Can notches be seen?
• Cut the potato into small pieces such that some pieces contain a notch or bud and some do not.
• Spread some cotton on a tray and wet it. Place the potato pieces on this cotton. Note where the pieces with the buds are placed.
• Observe changes taking place in these potato pieces over the next few days. Make sure that the cotton is, kept moistened.
• Which arc the potato pieces that give rise to fresh green shoots and roots.

Observations:

• The,potato undergoes various changes in few days. The buds in notches show growth of young shoots and roots. The pieces which do not have eye buds do not show any growth.

Class 10 Science Activity 8.6 Page No. 132

• Select a money-plant.
• Cut some pieces such that they contain at least one leaf.
• Cut out some other portions between two leaves.
• Dip one end of all the pieces in water and observe over the next few days.
• Which ones grow’ and give rise to fresh leaves?
• What can you conclude from your observations ?

Observations:

• The leaves at the nodes show formation of fresh leaves. The formation of branch from axillary buds axil of leaf is also observ ed.
• The leaves that undergo photosynthesis show tendency to grow into a new plant through vegetative propagation.

Class 10 Science Activity 8.7 Page No. 135

• Soak a few seeds of Bengal gram (chana) and keep them overnight.
• Drain the excess water and cover the seeds with a wet cloth and leave them for a day. Make sure that the seeds do not become dry.
• Cut open the seeds carefully and observe the different parts.
• Compare your observations with the Fig. 8.2 and sec if you can identify all the parts.

Observations:

• The parts identified includes- cotyledon which stores food, plumule which is a future shoot radicle that is a future root.

Germination.

MP Board Class 10th Science Solutions

MP Board Class 10th Science Solutions Chapter 9 Heredity and Evolution

MP Board Class 10th Science Chapter 9 Intext Questions

Class 10th Science Chapter 9 Intext Questions Page No.143

Question 1.
If a trait Aexists in 10% of a population of an asexually reproducing species and trait B exists in 60% of the same population, which trait is likely to have arisen earlier?
Answer:
Trait ‘B’ is likely to have arisen earlier. Because in asexually reproducing species, small differences are seen due to DNA replication.

Question 2.
How does the creation of variations in a species promote survival?
Answer:
Depending on the nature of variations, different individuals would have different kinds of advantages. Bacteria that can withstand heat will better in a heat wave, as selection of variants by environmental factors forms the basis for evolutionary process.

Class 10th Science Chapter 9 Intext Questions Page No. 147

Question 1.
How do Mendel’s experiments show that traits may be dominant or recessive?
Answer:
Mendel used a number 0 contrasting visible characters of garden peas-round/wrinkled seeds, tall/short plants, white/violet flowers and so on. He took pea plants with different characteristics a tall plant and a shot plant, produced progeny by crossing then, and calculated the percentages of tall or short progeny.

In the first place, there were no halfway characteristics in this first generation, or F₁ progeny no medium-height plants. All plants were tall. This means that only one of the parental traits was seen, not some mixture of the two, so the next question was were the tall plants in the F₁ generation exactly the same as the tall plants of the parent generation? Mendelian experiments test this by getting both the parental plans and these F₁ tall plants to reproduce by self-pollination.

The progeny of the parental plants are of course, all tall. However the second generation, or F₂ progeny of the F₁ tall plants are not all tall. Instead, one quarter of them are short. This indicates that both the tallness and shortness traits were inherited in the F₁ plants, but only the tallness trait was expressed. This led Mendel to propose that two copies of factor (now called genes) controlling traits are present in sexually reproducing organism. These two may be identified or may be different, depending on the percentage. A pattern of inheritance can be worked out with this assumption as shown in figure.

In this explanation, both TT and Tt are tall plants, while only it is a short plant. Traits like T are called dominant traits, while those that behave like ‘t’ are called recessive traits.

Question 2.

How do Mendel’s experiments show that traits are inherited independently?
Answer:
Mendel crossed

1. pure breeding tall plants having round seeds and
2. pure breeding short plants having wrinkled seeds.

The plants of F1 generation were all tall with round seeds indicating that the traits of tallness and round seeds were dominant.

While self breeding, of F1 yielded plants with characters of 9 tall round seeded, 3 tall wrinkled seeded, 3 short round seeded and one short wrinkled seeded. Tall wrinkled and short round seeded plants are new combinations which can develop only when the traits are inherited independently.

Question 3.
A man with blood group A marries a woman with blood group C and their daughter has blood group O. Is this information enougl to tell you which of the traits – blood group A or O – is dominant? Why or why not?
Answer:
From this information, it is not possible to tell which of the traits-blood group A or O is dominant. AA group becomes AO. So this information is complete.

Question 4.
How is the sex of the child determined in human beings?
Answer:
Pair of sex chromosomes determines the particular sex of a child. In human, the males have one X and one Y chromosome and the females have two X chromosomes therefore, the females are XX and the males are XY. The gametes receive half of the chromosomes. The child gametes have 22 autosomes and either X or Y sex chromosome in males while X in females.
Type of male gametes: 22 + X Or 22 + Y.
Type of female gamete: 22 + X.
This is the basis of sex determination in human beings.

Class 10th Science Chapter 9 Intext questions Page No. 150

Question 1.
What are the different ways in which individuals with a particular trait may increase in a population?
Answer:
A big reason could be accurate copying of DNA and limited variations. Variation causes in generation of new traits and non preserving of existing parental traits. Individuals with a particular trait may also increase due to natural selection that is trait offers some survival advantage. Genetic drift which is caused by genes governing that trait become common in a population.

Question 2.
Why are traits acquired during the life-time of an individual not inherited?
Answer:
Variation is not hereditary from generation to generation. In case of Asexual reproduction DNA will not transfer to germ cells. So experiences of an individual during its lifetime cannot be passed on to its progeny and cannot direct evolution.

Question 3.
Why are the small numbers of survivingjigers a cause of worry from the point of view of genetics?
Answer:
Tigers are adopted to their environment as per genes. If tigers number is decreasing number of genes also decrease. So its generation is becoming less.

Class 10th Science Chapter 9 Intext Questions Page No. 151

Question 1.
What factors could lead to the rise of a new species?
Answer:
Variations, non copying of DNA, natural selection, genetic drift and acquisition of traits during the life time of an individual can give rise to new species.

Question 2.
Will geographical isolation be a major factor in the speciation of a self-pollinating plant species? Why or why not?
Answer:
Geographical isolation will not a major factor in the speciation of a self pollinating plant species, because self pollination is taking place in one plant. In cross pollination it is a major factor.

Question 3.
Will geographical isolation be a major factor in the speciation of an organism that reproduces asexually? Why or why not?
Answer:
Geographical isolation will not be a major factor in the speciation of an organism that reproduces asexually because it is a major factor in organisms that reproduces sexually.

Class 10th Science Chapter 9 Intext Questions Page No. 156

Question 1.
Give an example of characteristics being used to determine how close two species are in evolutionary terms.
Answer:
The characteristics in different organisms would be similar because they are inherited from a common ancestor. As an example, consider the fact that mammals have four limbs, as do birds, reptiles and amphibians. The basic structure of the limbs is similar through it has been modified to perform different functions in various vertebrates. Such a homologous characteristic helps to identify an evolutionary relationship between apparently different species.

Question 2.
Can the wing of a butterfly and the wing of a bat be considered homologous organs? Why or why not?
Answer:
The wing of a butterfly and the wing of a bat be is not considered homologous organs because the designs of the two wings, their structure and components are very different.

Question 3.
What are fossils? What do they tell us about the process of evolution?
Answer:
Fossils are the remains of organisms that once existed on earth.

We can gather information about the development of the structures from simple structured to complex structured organisms. They tell us about the phases of evolutions through which they must have undergone in order to sustain themselves in the competitive environment.

Class 10th Science Chapter 9 Intext Questions Page No. 158

Question 1.
Why are human beings who look so different from each other in terms of size, colour and looks said to belong to the same species?
Ans.
A species is a group of organisms that are capable of interbreeding to produce a fertile offspring. Skin colour, looks and size are all variety of features present in human beings. These features are genetic but also environmentally controlled. Various human races are formed based on these features. All human races have more than enough similarities to be classified as same species. Therefore, all human beings are a single species as humans of different colour, size and looks are capable of reproduction and can produce a fertile off spring.

Question 2.
In evolutionary terms, can we say which among bacteria, spiders, fish and chimpanzees have a ‘better’ body design? Why or why not?
Answer:
Bacteria is a better body design, because even though it a simple organism, it can survive in hot springs, at the bottom of sea and even in coldest ice covered place such as Antarctica.

MP Board Class 10th Science Chapter 9 NCERT Textbook Exercises

Question 1.
A Mendelian experiment consisted of breeding tall pea plants bearing violet flowers with short pea plants bearing white flowers. The progeny all bore violet flowers, but almost half of them were short. This suggests that the genetic make-up of the tall parent can be depicted as:
(a) TTWW
(b) TTww
(c) TtWW
(d) TtWw
Answer:
(c) TtWW. Genetic make up of tall plant.

Question 2.
An example of homologous organs is:
(a) our arm and a dog’s fore-leg.
(b) our teeth and an elephant’s tusks.
(c) potato and runners of grass.
(d) all of the above.
Answer:
(d) Both organs in all option have same basic structural design but have different functions and appearance.

Question 3.
In evolutionary terms, we have more in common with:
(a) a Chinese school-boy
(b) a chimpanzee
(c) a spider
(d) a bacterium
Answer:
(a) a Chinese school-boy.

Question 4.
A study found that children with light-coloured eyes are likely to have parents with light-coloured eyes. On this basis, can we say anything about whether the light eye colour trait is dominant or recessive? Why or why not?
Answer:
No, we cannot say anything about whether the light eye colour trait is dominant or recessive. As this information is not sufficient. For considering a trait as dominant or recessive, we need data of at least last three generations.

Question 5.
How are the areas of study – evolution and classification – interlinked?
Answer:
An example will help with this A brother and a sister are closely related. They have common ancestors in the first generation before them, namely their parents. A girl and her first cousin are also related, but less than the girl and her brother. This is because cousins have common ancestors, their grandparents, in the second generation before them, not in the first one. We can now appreciate that classification of species is in fact a reflection of their evolutionary relationship.

Question 6.
Explain the terms analogous and homologous organs with examples.
Answer:

Consider the fact that mammals have four limbs, as do birds, reptiles and amphibians. The basic structure of the limbs is similar though it has been modified to perform different functions in various vertebrates. This is an example of homologous characteristic.

We find that the wings of bats are skin folds stretched mainly between elongated fingers. But the wings of birds are feathery covering all along the arm. The design of the two wings, their structure and components, are thus very different. They look similar because they have a common use for flying, but their origins are not common. This makes them analogous characteristics, rather than homologous characteristics.

Question 7.
Outline a project which aims to find the dominant coat colour in dogs.
Answer:
There are variety of genes that govern coat colour of a dog. At least eleven identified gene series (A, B, C, D, E, F, G, M, P, S, T) that influence coat colour in dog.

A dog inherits one gene from each of its parents. The dominant gene gets expressed in the phenotype. For example, in the B series, a dog can be genetically black or brown.

Let us assume that one parent is homozygous black (BB), while the other parent is homozygous brown (bb)

In this case, all the off springs will be heterozygous (Bb).
Since black (B) is dominant, all the offsprings will be black. However, they will have both B and b alleles.
If such heterozygous pups are crossed, they will produce 25% homozygous black (BB), 50% heterozygous black (Bb), and 25% homozygous brown (bb) offsprings.

Question 8.
Explain the importance of fossils in deciding evolutionary relationships.
Answer:
Analysis of the organ structure in fossils allows us to make estimates of how far back evolutionary relationships go. The wild cabbage plant is a good example. Humans have over more two thousand years, cultivated wild cabbage as a food plant, and generated different vegetables from it by selection. This is of course, artificial selection rather than natural selection. Kale, cauliflower. Broccoli, cabbage, Red cabbage and Kohl rabi all these have same ancestor.

Question 9.
What evidence do we have for the origin of life from inanimate matter?
Answer:
As we all know, that there occurs a time when our planet was lifeless, at that time intial matter to develop life was water, sand and some atmospheric gases as CO₂, CH4 and nitrogen. The evidence for the origin of life from inanimate matter, was provided through an experiment, conducted in 1953, by Stanley L. Miller and Harold C. Urey. In experiment, they assembled an atmosphere containing molecules like ammonia, methane and hydrogen sulphide, but not oxygen.

This was similar to atmosphere that existed on early earth . This was maintained at a temperature just below 100°C and sparks were passed through the mixture of gases to simulate lightning. At the end of a week, 15% of the carbon from methane, had been converted to simple compounds of carbon including amino acids which make up protein molecules and support the life in basic form.

Question 10.
Explain how sexual reproduction gives rise to more viable variations than asexual reproduction. How does this affect the evolution of those organisms that reproduce sexually?
Answer:

Change in on-reproductive tissues cannot be passed on to the DNA of the germ cell. Therefore the experiences of an individual during its lifetime cannot be passed on to its progeny and cannot direct evolution.

Ex: If we breed a group of mice, all their progeny will have tails, as expected. Now, if the tails of these mice are removed by surgery in each generation, do these tailless mice have tailless progeny? The answer is no and it makes sense because removal of the tail cannot change the genes of the germ cells of the mice. Hence sexual reproduction gives rise to more viable variations than asexual reproduction.

Question 11.
How is the equal genetic contribution of male and female parents ensured in the progeny?
Answer:
Genetic inheritance begins at the time of conception, progeny inherited 23 chromosomes from female parent and 23 from male parent. Together it form 22 pairs of autosomal chromosomes and a pair of sex chromosomes (either XX in case of female, or XY in male). Homologous chromosomes have the same genes in the same positions, but may have different alleles (varieties) of those genes. An individual has two copies of alleles, and that can be homozygous (both copies the same) or heterozygous (the two copies are different) for given gene.

Hence, in human beings, equal genetic contribution of male and female parents is ensured in the progeny through inheritance of equal number of chromosomes from both parents. Females have a equal pair of two X sex chromosomes and males have a pair of one X and one Y sex chromosome. As fertilisation takes place, the male gamete (haploid) fuses with the female gamete (haploid) resulting in formation of the diploid zygote. The zygote in the progeny receive an equal contribution of genetic traits from the parental generations.

Question 12.
Only variations that confer an advantage to an individual organism will survive in a population. Do you agree with this statement? Why or why not?
Answer:
Only variations that confer an advantage to an individual organism will survive in a population we agree to this statement variation is convenient for survival. This provides diversity for organisms.

MP Board Class 10th Science Chapter 9 Additional Important Questions

MP Board Class 10th Science Chapter 9 Multiple Choice Questions

Question 1.
Fossil archaeopteryx exhibits connection between:
(a) Amphibian and fish
(b) Reptiles and fish
(c) Reptile and birds
(d) Birds and mammals
Answer:
(c) Reptile and birds

Question 2.
The sex of the human child depends on the sex chromosome present in the:
(a) Egg
(b) Spenn
(c) Both (a) and (b)
(d) None of these
Answer:
(b) Spenn

Question 3.
Genetic information is carried out by long chain of molecules made up of:
(a) Enzymes
(b) DNA
(c) Amino acids
(d) Proteins
Answer:
(b) DNA

Question 4.
Which one of the following represents a ratio of monohybrid cross?
(a) 9 : 7
(b) 3 : 1
(c) 1 : 1 : 1 : 1
(d) 9 : 3 : 3 : 1
Answer:
(b) 3 : 1

Question 5.
On which plant Mendel carried his experiments of inheritance?
(a) Cow pea
(b) Wild pea
(c) Garden pea
(d) Pigeon pea
Answer:
(c) Garden pea

Question 6.
A gamete certains which of the following?
(a) Both alleles of a gene
(b) Only one allele of a gene
(c) All alleles of a gene
(d) No allele of a gene
Answer:
(b) Only one allele of a gene

Question 7.
Chromosomes are made up of
(a) Proteins
(b) DNA
(c) RNA
(d) All of these.
Answer:
(d) All of these.

Question 8.
Pea plants were more suitable than cats for Mendel’s experiments because:
(a) Cats have many genetic traits
(b) No pedigree record of cats
(c) Pea plants can be self-pollinated or fertilised
(d) Pea plants favour cross pollination.
Answer:
(c) Pea plants can be self-pollinated or fertilised

Question 9.
In a cross Tt × Tt, the percentage of offsprings produced having same phenotype as the parents would be:
(a) 50%
(b) 100%
(c) 25%
(d) 0%
Answer:
(a) 50%

Question 10.
Who proposed the laws of heredity?
(a) Darwin
(b) Mendel
(c) Morgan
(d) Dalton
Answer:
(b) Mendel

MP Board Class 10th Science Chapter 9 Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Define heredity.
Answer:
The process by which traits and characteristics are reliably inherited or passed from the parents to the offspring is called heredity.

Question 2.
What is a gene?
Answer:
Gene is a functional segment of DNA on a chromosome occupying specific position, which carries out a specific biological function.

Question 3.
Name the plant on which Mendel performed his experiments.
Answer:
Garden pea (Pisum sativum).

Question 4.
Define the term variation.
Answer:
Variation: There are differences found in structure, function, behaviour and genetic make up of different individuals of the same parentage, variety, race and species. These differences refer to variation.

Question 5.
Write the expanded form of DNA.
Answer:
Deoxyribonucleic acid (DNA).

Question 6.
Define genetics.
Answer:
The branch of biology which deals with heredity and variations, is known as genetics.

Question 7.
Define the term offspring.
Answer:
Offspring is an individual formed as a result of sexual reproduction involving the formation and fusion of two gametes. The genotype of an offspring is different from either of the parents due to shuffling of chromosomes and their genes.

Question 8.
What are reciprocal crosses?
Answer:
They are two types of crosses involving two groups of individuals where the male of one group is crossed with the female of the other and vice versa.

Question 9.
Where are the genes located? What is the chemical nature of gene?
Answer:
Genes are located at a specific position on a chromosome. Chemical Nature of Gene: Chemically, gene is a segment of deoxyribonucleic acid (DNA) consisting of specific sequence of the nucleotides. The sequence of the constituent nucleotides determines the functional property of a gene.

MP Board Class 10th Science Chapter 9 Short Answer Type Questions

Question 1.
Define genetics. What is the contribution of Mendel in this branch of Biology?
Answer:
Genetics is the branch of science of heredity and variations which deals with the study of the transmission of traits from parents to the offsprings and the occurrence of differences among the individuals.

Contribution of Mendel: Mendel did his experiments on garden pea (Pisum sativum) and discovered the scientific principles, which govern patterns of inheritance i.e., the principle of inheritance. He explained that contrasting characters are controlled by units which he called ‘Factors Today, these factors are called genes.

Question 2.
Differentiate between inherited and acquired traits.
Answer:
Inherited traits:

1. The traits which are inherited from the parents (Father and Mother) to the offsprings (progeny) are called inherited traits.
2. These traits are due to genetic make up of the progeny.

Acquired characters

1. These traits cannot be passed on to their future generations.
2. These traits develop in response to the environment.

Question 3.
What are Mendel’s laws of inheritance?
Answer:
Law of dominance: When two homozygous individuals with one or more sets of contrasting characters are crossed the characters that appear in the F, hybrids are dominant characters.

Law of segregation: Contrasting characters brought together in hybrid remain together without being contaminated and when gametes are formed from the hybrid, the two separate out from each other and only one enters each gamete.

Law of independent assortment: In inheritance of more than one pair of contrasting characters simultaneously, the factors for each pair of characters assort independently of other pair’s.

Question 4.
How did life originate on earth?
Answer:
Life originated on earth from inorganic elements and compounds under extreme atmospheric conditions (such as very high temperature, electric discharges, reducing atmosphere etc.) by formation of complex organic compounds such as amino acids.

Question 5.
Why did Mendel choose garden pea for his experiments?
Answer:
Due to the following reasons, Mendel selected garden pea for his experiment:

1. Garden pea flowers are normally self-pollinated but can be easily cross-pollinated.
2. Many varieties with distinguished contrasting characters e.g., smooth seed coat, wrinkled seed coat are available.
3. A large number of progeny can be produced in a short duration.
4. Its flowers can be easily handled for experimentation.

Question 6.
What are the factors which help in speciation?

1. Genetic drift: Due to genetic drift, there will be accumulation of # different changes in each sub-populations. The levels of gene flow ’ between them will decrease if they are further isolated, it will be more on a small sub-population.
2. Over generations, genetic drift will accumulate, causing different changes in the populations.
3. Natural selection may also operate differently in the different geographical location.
4. Together, genetic and natural selection will make the population more and more different from each other. As a result, members will be incapable of reproducing with each other. Changes may be due to change in DNA or number of chromosomes.

Question 7.
Does geographical isolation of individuals of a species lead to formation of a new species? Provide a suitable explanation.
Answer:
Yes, geographical isolation of sub-populations of a population of a species leads to genetic drift. This may impose limitations to.sexual reproduction of the separated population. Slowly, the separated individuals will reproduce among themselves and generate new variations. Continuous accumulation of those variations through a few generations may ultimately lead to the formation of a new species.

Question 8.
What tools have been used to study human evolution?
Answer:
The tools used for tracing evolutionary line are:

1. Excavating time – dating and study of fossils.
2. Determining DNA sequences.

MP Board Class 10th Science Chapter 9 Long Answer Type Questions

Question 1.
A husband have 46 chromosomes, his wife has 46 chromosomes. Then, why don’t their offspring have 46 pairs of chromosomes, which is obtained by the fusion of male and female gametes? Support your answer with a neat illustration.
Answer:
At the stage of gamete formation, meiosis division (reduction division) occurs. As a result, each gamete receives half number of chromosomes of the parent. So, when male gamete (sperm) fuses with egg, original number of chromosomes of the parent is received by the zygote.

Fertilisation

Question 2.
Name the characters studied by Mendel in garden pea.
Answer:

Question 3.
Explain the terms:
Monohybrid cross, dihybrid cross, monohybrid ratio and dihybrid ratio.
Answer:
Monohybrid cross: Monohybrid cross is that cross which is made to study the inheritance of a single pair of genes or factors of a character.

Dihybrid cross: It is a cross which is made to study the inheritance of two pairs of genes or two characters.

Monohybrid ratio: It is the ratio which is obtained in the F2 generation when a monohybrid cross is made. It is usually 3 : 1 (Phenotypic ratio) or 1 : 2 : 1 (genotypic ratio).

Dihybrid ratio: It is the ratio, which is obtained in the F2 generation when a dihybrid cross is studied. It is usually 9 : 3 : 3 : 1 (phenotypic ratio).

Question 4.
Describe any three methods of tracing evolutionary relationships among organisms.
Answer:
The following methods help us in tracing evolutionary relationships:

(i) Study of homologous organs: Organs which have similar structure and origin are called homologous organs. For example: limbs of birds, frog, human may look different but they have similar structure and origin. Such homologous organs help to identify an evolutionary relationship between apparently diffejent species.

(ii) Study of analogous organs: Analogous organs are similar in function but differ in structure and origin. For example’. forelimbs of birds and bats are used for flying but their origins and components are not common. Thus, study of analogous organs reveals difference in their ancestry and their evolutionary relationship.

(iii) Study of fossils: All impressions, casting of body or hard remains of ancient life in the sedimentary rocks are called fossils. Study of fossils helps in finding out:
(a) Interrelationship of ancient life.
(b) Correlation of forms of life existing today and their line of evolution from ancient life.

Question 5.
A tall pea plant bearing violet flowers is crossed with short pea plant bearing white flowers. Work out the F1 and F2 generations. Give F2 ratio.
Answer:
Parents: Tall pea plant with violet flower × Short pea plant with white flower

Question 6.
Given below is the experiment carried out by Mendel to study inheritance of two traits in garden pea:
(а) What do A, B, C, D, E, F and G represent in these boxes?
(b) State the objective for which Mendel performed this experiment.

Independent inheritance of two separate traits, shape, and colour of seeds.
Answer:
(a) A = gamete (Ry) of round green plant.
B = gamete (rY) of wrinkled yellow plant.
C = (RrYy).
D = 9, E = 3, F = 3, G = 1.
(b) To show independent inheritance of traits or to prove law of independent assortment.

MP Board Class 10th Science Chapter 9 NCERT Textbook Activities

Class 10 Science Activity 9.1 Page No. 143

Observe the ears of all the students in the class. Prepare a list of students having free or attached earlobes and calculate the percentage of students having each (Fig. 9.1). Find out about the earlobes of the parents of each student in the class. Correlate the earlobe type of each student with that of their parents. Based on this evidence, suggest a possible rule for the inheritance of earlobe types.

(a) Free and (b) attached earlobes. The lowest part of the ear, called the earlobe, is closely attached to the side of the head in some of us, and not in others. Free and attached earlobes are two variants found in human populations.

Observations:

• Earlobes can be free or attached. The genes for earlobe inheritance consists of two alleles. Both the alleles for attached and free earlobes can be present in a single human being, the one which is dominant shows and the recessive one do not express itself,

Class 10 Science Activity 9.2 Page No. 144

• In Fig. 9.2, what experiment would we do to confirm that the F2 generation did in fact have a 1 : 2 : 1 ratio of TT, Tt and tt trait combinations?

Inheritance of traits over two generations.

Observations:
The cross fertilisation of pea plants showing different traits can be done at F2 stage and the number of plants for particular trait (height here) can be studied and used to confirm 1 : 2 : 1 ratio of TT, Tt and it

MP Board Class 10th Science Solutions

MP Board Class 10th Science Solutions Chapter 7 Control and Coordination

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Intext Questions

Class 10th Science Chapter 7 Intext Questions Page No. 119

Question 1.
What is the difference between a reflex action and walking?
Answer:
A reflex action is an automatic reaction for each stimulation in our body initiated by our sense responses e.g., we move our hand immediately after a contact with hot object. It is a direct controlled action. Walking is completely controlled by our brain. On the other hand, is a voluntary action. It requires complete coordination of muscles, bones, eyes etc.

Question 2.
What happens at the synapse between two neurons?
Answer:
The electrical impulse travels through axon and sets off the release of some chemicals (neurotransmitters) at the axon endings. These chemicals cross the gap or synapse, and start a similar electrical impulse in a dendrite of the next neuron.

Question 3.
Which part of the brain maintains posture and equilibrium of the body?
Answer:
Cerebellum is the part of the brain which maintains posture and equilibrium of the body.

Question 4.
How do we detect the smell of an agarbatti (incense stick)?
Answer:
Forebrain is responsible for thinking work. It has separate areas that are specialized for hearing, smelling, sight, taste, touch etc. The _ forebrain also has regions that collect information or impulses from various receptors. When the smell of an incense stick reaches us, out forebrain detects it. Then, the forebrain interprets it by putting it together with the information received from other receptors and also with the information already stored in the brain.

Question 5.
What is the role of the brain in reflex action?
Answer:
Reflex actions are sudden responses, which do not involve any thinking. A connection of detecting the signal from the nerves (input) and responding to it quickly (output) is called\a reflex arc. The reflex arcs can be considered as connections present between the input and output nerves which meets in a bundle in the spinal cord. The brain is only responsible of the signal and the response.

Class 10th Science Chapter 7 Intext Questions Page No. 122

Question 1.
What are plant hormones?
Answer:
The chemicals present in plants which help coordinate growth, development and responses to the environment are called plant hormones.

Question 2.
How is the movement of leaves of the sensitive plant different from the movement of a shoot towards light?
Answer:

Movement of the leaves of sensitive plant	Movement of shoot towards light
1. The movement is independent of growth	1. The movement depends on growth.
2. Change in the amount of water in the cells of leaves causes the movements.	2. The movement is regulated by plant growth hormones.
3. The movement is fast	3. Shoot movement or stem growth is very slow.

Question 3.
Give an example of a plant hormone that promotes growth.
Answer:
Auxin is a growth-promoting plant hormone.

Question 4.
How do auxins promote the growth of a tendril around a support?
Answer:
A hormone called Auxin, synthesised at the shoot tip helps the cells to grow longer. When light is coming from one side of the plant, auxin diffuses towards the shady side of the shoot. The concentration of auxin stimulates the cells to grow longer on the side of the shoot which is away from light. Thus the plant appears to bend towards light.

Question 5.
Design an experiment to demonstrate hydrotropism.
Answer:
Take two small beakers and label them as A and B. Fill beaker A with water. Now, make a cylindrical-shaped roll from a filter paper and keep it as a bridge between beaker A and beaker B, as shown in the figure. Attach few germinating seeds in the middle of the filter paper bridge. Now, cover the entire set-up with a transparent plastic container so that the moisture is retained.

Phenomenon of Hydrotropism Observations:

• The roots of the germinating seeds will grow towards beaker A.
• This experiment demonstrates the phenomenon of hydrotropism.

Class 10th Science Chapter 7 Intext Questions Page No. 125

Question 1.
How does chemical coordination take place in animals?
Answer:
Chemical co-ordination take place by hormones Adrenal gland secrete adrenaline directly into the blood and carried to different parts of the body. Such animal hormones are part of the endocrine system which constitutes a second way of control and coordination in our body.

Question 2.
Why is the use of iodised salt advisable? .
Answer:
Iodine is main stimulator of thyroxine. It stimulates the thyroid gland to produce thyroxine hormone. It regulates carbohydrate, fat and protein metabolism in our body. Deficiency of this hormone results in the enlargement of the thyroid gland. This can lead to goitre, a disease characterized by swollen neck. Therefore, iodised salt is advised for normal functioning of the thyroid gland.

Question 3.
How does our body respond when adrenaline is secreted into the blood?
Answer:
Adrealine is secreted directly into the blood and carried to different parts of the body. The target organs or the specific tissues on which is acts include the heart. As a result, the heart beats faster, resulting in supply of more oxygen to our muscles. The blood to the digestive system and skin is reduced due to contraction of muscles around small arteries in these organs. This diverts the blood to our skeletal muscles. The breathing rate also increases because of the contractions of the diaphragm and the rib muscles.

Question 4.
Why are some patients of diabetes treated by giving injections of insulin?
Answer:
In diabetes, the level of sugar in the blood is too high and hence cause discomfort. Insulin, a naturally occuring chemical inside our pancreas act, as hormones andihelps in regulating the blood sugar levels. When due to very high suga- intake or improper secretion of insulin, balance of insulin decreasesin the body then insulin is injected to body. This is the reason why diabetic patients are treated by giving injections of insulin.

MP Board Class 10th Science Chapter 7 NCERT Textbook Exercises

Question 1.
Which of the following is a plant hormone?
(a) Insulin
(b) Thyroxin
(c) Oestrogen
(d) Cytokinin
Answer:
(d) Cytokinin is a plant hormone.

Question 2.
The gap between two neurons is called a
(a) Dendrite
(b) Synapse
(c) Axon
(d) Impulse
Answer:
(b) The gap between two neurons is called a synapse.

Question 3.
The brain is responsible for:
(a) Thinking
(b) Regulating the heart beat
(c) Balancing the body
(d) All of the above
Answer:
(d) The brain is responsible for thinking, regulating the heart beat and balancing the body.

Question 4.
What is the function of receptors in our body? Think of situations where receptors do not work properly. What problems are likely to arise?
Answer:
Receptors are sensory structures (organs/tissues or cells) present all over the body. The receptors are either grouped in case of eye Or ear, or scattered in case of skin. Functions of receptors:
(i) They sense the external stimuli such as heat or pain.
(ii) They also trigger an impulse in the sensory neuron which sends message to the spinal cord. When the receptors are damaged, the external stimuli transferring signals to the brain are not felt. For example, in the case of damaged receptors, if we accidentally touch any hot object, then our hands might get burnt as damaged , receptors cannot perceive the external stimuli of heat and pain.

Question 5.
Draw the structure of a neuron and explain its function.
Answer:
Neurons are the functional units of the nervous system.
Structure of a Neuron:

The three main parts of a neuron are axon, dendrite and cell body.

Functions of the three parts of a neuron:

1. Axon: It conducts messages away from the cell body. It is the part by which information travels as an electrical impulse.
2. Dendrite: It is the part where information is acquired, it receives information from axon of other cell or initiation point and conducts the messages towards the cell body.
3. Cell body: It is the part where impulse get converted into a chemical signal forwarding transmission. It is mainly concerned with the maintenance and growth.

Question 6.
How does phototropism occur in plants?
Answer:
When growing plants detect light, a hormone called auxin, synthesised at ‘ the shoot tip, helps the cells to grow longer towards light. When light is coming from one side of the plant, Ans: auxin diffuses towards the shady side of the shoot. This concentration of auxin stimulates the cells to grow longer on the side of the shoot which is away from the light. Thus the plant appears to bend towards light, i,e, phototropism.

Question 7.
Which signals will get disrupted in case of a spinal cord injury?
Answer:
Spinal cord is made up of nerves which supply information to think about Nerves from all over the body meet in a bundle in the spinal cord on their way to the brain. Reflex arcs are formed in this spinal cord it self, although the information input also goes on to reach the brain. So if it is injured there is obstruction for carrying impulses to other parts.

Question 8.
How does chemical coordination occur in plants?
Answer:
Different plant hormones help to coordinate growth, development and response to the environment. When growing plants detect light, a hormone called auxin, synthesised at the shoot tip, helps the cells to grow longer. Gibberellins helps in the growth of the stem. Cytokinins promote cell division.

Question 9.
What is the need for a system of control and coordination in an organism?
Answer:
The maintenance of the body functions in response to changes in the body by working together of various integrated body systems is known as coordination. All the movements that occur in response to stimuli are carefully coordinated and controlled. In animals, the control and coordination movements are provided by nervous and muscular systems. The nervous system sends messages to and away from the brain. The spinal cord plays an important role in the relay of messages. In the absence of this system of control and coordination, our body will not be able to function properly. For example, when we accidentally touch a hot utensil, we immediately withdraw our hand. In the absence of nerve transmission, we will not withdraw our hand and may get burnt.

Question 10.
How are involuntary actions and reflex actions different from each other?
Answer:
Involuntary actions cannot be consciously controlled. For example, we cannot consciously control the movement of food in the alimentary canal. These actions are however, directly under the control of the brain. On the other hand, the reflex actions such as closing of eyes immediately when bright light is focussed show sudden response and do not involve any thinking. This means that unlike involuntary actions, the reflex actions are not under the control of brain.

Question 11.
Compare and contrast nervous and hormonal mechanisms for control and coordination in animals.
Answer:
Nervous system mechanism

1. The information is conveyed in the form of electric impulse.
2. The axons and dendrites transmit the information through a coordinated effort.
3. The flow of information is rapid and the response is quick.
4. Its effects are short lived.

Hormonal system mechanism

1. The information is conveyed in the form of chemical messengers.
2. The information is transmitted or transported through blood.
3. The information travels slowly and the response is slow.
4. It has prolonged effects.

Question 12.
What is the difference between the manner in which movement takes place in a sensitive plant and the movement in our legs?
Answer:
In a sensitive plant the cells change shape by changing the amount of water in them, resulting in swelling or shrinking and there fore leading to limited movements. Movement in our legs is voluntary action done by muscle tissue regulated by central nervous system.

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Additional Important Questions

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Multiple Choice Questions

Question 1.
The brain box which protect internal part of brain is called:
(a) Skull
(b) Peripheral Nervous System
(c) Autonomic Nervous System
(d) Ribs
Answer:
(a) Skull

Question 2.
Secondary sexual characteristics are controlled by:
(a) Central Nervous System
(b) Peripheral Nervous System
(c) Autonomic Nervous System
(d) Endocrine gland
Answer:
(d) Endocrine gland

Question 3.
The activities of the internal organs are controlled by the:
(a) Central Nervous System
(b) Peripheral Nervous System
(c) Autonomic Nervous System
(d) Endocrine glands
Answer:
(a) Central Nervous System

Question 4.
Which pari of brain is the seat of intelligence and voluntary actions?
(a) Diencephalon
(b) Cerebrum
(c) Cerebellum
(d) Medulla oblongata
Answer:
(b) Cerebrum

Question 5.
Cell division in plant is affected by:
(a) Ethylene
(b) Auxin
(c) Gibberellin
(d) Cytokinin
Answer:
(d) Cytokinin

Question 6.
The gap between two neurons is known as……
(a) Synapse
(b) Synopsis
(c) Impulse
(d) Synaptic node
Answer:
(a) Synapse

Question 7.
Which of the follow ing is a plant hormone?
(a) Thyroxin
(b) Cytokinin
(c) Insulin
(d) Oestrogen
Answer:
(b) Cytokinin

Question 8.
Tropic movements are:
(a) In response to light
(b) In response to gravity
(c) Uni-directional
(d) Non – directional
Answer:
(c) Uni-directional

Question 9.
Artifical ripening of fruit is carried out by:
(a) Auxins
(b) Ethylene
(c) Abscisic acid (ABA)
(d) Gibberellins
Answer:
(b) Ethylene

Question 10.
The part of brain that controls respiration, heartbeat and peristalsisis:
(a) Cerebrum
(b) Cerebellum
(c) Pons
(d) Medulla
Answer:
(d) Medulla

Question 11.
The brain is responsible for:
(a) Thinking
(b) Regulating the heart beat
(c) Balancing the body
(d) All of the above
Answer:
(d) All of the above

Question 12.
Which of the following hormone is released by thyroid?
(a) Insulin
(b) Thyroxine
(c) Trypsin
(d) Pepsin
Answer:
(b) Thyroxine

Question 13.
Which body organ is surrounded by meninges?
(a) Heart and Lungs
(b) Brain and Heart
(c) Brain and Spinal Cord
(d) Spinal Cord and Lungs
Answer:
(c) Brain and Spinal Cord

Question 14.
The part of brain that controls muscular co-ordination is
(a) Cerebrum
(b) Cerebellum
(c) Pons
(d) Medulla
Answer:
(b) Cerebellum

Question 15.
Growth of the stem is controlled by:
(a) Gibberellin
(b) Auxin
(c) Abscisic acid
(d) Cytokinin
Answer:
(a) Gibberellin

Question 16.
Cause wilting of leaves? Which hormone
(a) Gibberellin
(b) Auxin
(c) Abscisic acid
(d) Cytokinin
Answer:
(c) Abscisic acid

Question 17.
Which of the following hormones contains iodine?
(a) Adrenaline
(b) Testosterone
(c) Thyroxine
(d) Insulin
Answer:
(c) Thyroxine

Question 18.
Which part of brain controls the posture and balance of the body?
(b) Cerebellum
(d) Medulla
Ans.
(b)

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Very Short Answer Type Questions

Question 1.
What is considered as the structural and functional unit of the nervous system?
Answer:
Neuron or Nerve cell.

Question 2.
What is called an automatic response to a stimulus which is not controlled by the brain?
Answer:
Reflex action.

Question 3.
How do plants respond to stimuli without any kind of nervous systems?
Answer:
Plants respond to stimuli without any kind of nervous systems with the help of plant hormones.

Question 4.
What are the other factors which control and coordinate in plants and animals other than CNS and reflex actions?
Answer:
Hormones.

Question 5.
What is phototropism?
Answer:
The movement of a plant’s part towards light is called phototropism.

Question 6.
What we call to:

1. the movement of plant to the availability of water?
2. the movement of plant to the earth’s gravity?

Answer:

1. Hydrotropism.
2. Geotropism.

Question 7.
Which system of our body is related to hormones which constitutes a second way of control and coordination in our body?
Answer:
Endocrine system.

Question 8.
How many Endocrine glands are situated in our brain? Name them.
Answer:
Three: Hypothalamus, pituitary and pineal glands.

Question 9.
What is considered as the reflex centre of the brain?
Answer:
Medulla oblongata.

Question 10.
Which structure is related to both nervous system and endocrine system in our body?
Answer:
Hypothalamus.

Question 11.
Which part of the brain maintains posture and equilibrium of the body?
Answer:
Cerebellum.

Question 12.
Name the substance important for synthesis of thyroxine.
Answer:
Iodine is essential for the synthesis of thyroxine.

Question 13.
How thyroxine initiate growth in our body?
Answer:
Thyroxine regulates carbohydrate, protein and fat metabolism in our body and provide proper energy which causes the best balance for growth.

Qusestion 14.
Who gave the term phytohormones?
Answer:
Thimann.

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Short Answer Type Questions

Question 1.
Write importance of control and coordination in living organisms.
Answer:

• Control and coordination increase the chances of survival by responding to stimuli.
• Different body parts function in coordination to each other as a single unit.

Question 2.
What is hyperglycemia?
Answer:
Hyperglycemia refers to high sugar level in blood. In general, diabetic patients has hyperglycemia due to insufficient release of insulin hormone. .

Question 3.
What are reasons for many drastic changes in appearance at 10-12 years of age?
Answer:
These changes are associated with puberty and are because of the secretion of testosterone in males and oestrogen in females.

Question 4.
Write down the functions performed by cerebrum.
Answer:
The cerebrum performs the following functions:

• It controls our mental abilities like thinking, reasoning, learning, memorising etc.
• It controls our feelings, emotions and speech.
• It controls all involuntary functions.

Question 5.
What are the functions of cerebellum?
Answer:
Functions of cerebellum:

• Maintains equilibrium or balance of the body.
• Coordinates muscular movement.
• Maintains posture of the body.

Question 6.
How soft and delicate brain is safe inside a human body?
Answer:
Brain is placed safely inside a bony box called cranium by the nature, within which there are 3 layers of fluid-filled (called cerebrospinal fluid) membranes (called meninges) which absorb external shock.

Question 7.
What is the role of the brain in reflex action?
Answer:
Brain has no role in reflex action response. Instead, spinal cord is the control center of a reflex action. In fact, brain becomes aware after the reflex arc has been formed.

Question 8.
What do you mean by reflex action? Give examples of reflex actions.
Answer:
It is defined as fast, unconscious, immediate, automatic and involuntary response of the body in parts or total (through effectors) to c «dmulus. It is monitored through spinal cord.

Examples of reflex actions:

• Closing of eyes with bright light.
• Knee-Jerk.
• Withdrawal of body parts when pricked by a pin.

Question 9.
What are the different types of reflexes?
Answer:
There are two types of reflexes:

• Unconditioned reflexes.
• Conditioned reflexes.

Question 10.
What is reflex arc?
Answer:
The structural and functional unit that carries our reflex action is called a reflex arc. It consists of:

• A receptor.
• Sensory nerve (afferent)
• Motor nerve (efferent)
• Spinal cord.
• Inter-neuron and effector

Question 11.
Write important functions of different plant hormones?
Answer:
The five major types of phytohormones and their functions are:

• Auxins: Promote cell division, bending of shoot towards the source of light.
• Cytokinins: Promote cell division.
• Gibberellins: Stimulate stem elongation.
• Abscisic acid: Inhibit growth, closing of stomata and dormancy.
• Ethylene( gas hormone): Promotes fruit ripening and growth.

Question 12.
How is the movement of leaves of the sensitive plant different from the movement of a shoot towards light?
Answer:
The movement of leaves of the sensitive plant, (e.g. Mimosa pudica or touch-me-not) occurs in response to touch or contact stimuli. It is a growth independent movement (nastic movement).

The movement of shoot towards light is called photo-tropism. This type of movement is directional and is growth dependent.

Question 13.
Write some points about the character of nastic movement.
Answer:
Characters of Nastic Movements in plants:

1. Growth independent movements.
2. Time of action – immediate.
3. Response to stimulus – Non-directional.
4. Motive – Change in turgor.

Examples – Folding of leaves of touch-me-not (mimosa).

Question 14.
What is chemotropism?
Answer:
Directional movement of a plant or its part in response to chemicals is called chemotropism, e.g. outward growth of the shoot from origin.

Question 15.
Define geotropism.
Answer:
Roots move in the direction of gravity (positive + ve geotropism).
Shoots move (up) against direction of gravity (negative -ve geotropism).

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Long Answer Type Questions

Question 1.
What are the limitations of nervous system in human body? How it is overcomed?
Answer:
A chemical signal in the form of hormones would reach all cells of the body and provide the wide range of changes needed while nervous system in human body works or communicates using nerve impulses which are form of electrical impulses in limited nerve network. Electrical impulses are an excellent means of communication in human body but they have limitations like:

• They reach only those cells that are connected by nervous tissue, not each and every cell in the animal body.
• Cells cannot continually create and transmit electrical impulses.
• Hormone or endocrine system is slower than nerve cells but potentially reach all cells of the body.

Question 2.
Why is the use of iodised salt advised? Why are some patients of diabetes treated by giving injections of insulin?
Answer:
It is advised to use iodised salt to prevent goiter (enlargement of the thyroid gland). Iodine is required for the proper functioning of thyroid. Iodine stimulates the thyroid gland to produce thyroxine hormone. This hormone regulates carbohydrate, fat and protein metabolism in our body. Diabetes is a condition in which sugar level in blood is very high. Insulin hormone is released by pancreas glands which regulates the blood sugar level.

In diabetic patients, pancreas stop releasing insulin hormone. If it is not secreted in proper amounts, the sugar level in the blood rises causing many harmful effects. Due to this reason, diabetic patients are treated by giving injections of insulin. The timing and amount of hormone released are regulated by feedback mechanisms. When the sugar levels in blood rise, they are detected by the cells of the pancreas which respond by producing more insulin. As the blood sugar level falls, insulin secretion is reduced.

Question 3.
How does adrenaline act during emergency?
Answer:
During emergency situations, adrenaline hormone is released into blood stream in large quantities. It increases the heartbeat and hence supplies more oxygen to the muscles. The increase in breathing rate also increases due to contractions of diaphragm and rib muscles. It raises the blood pressure and thus, enable the body to cope up with any stress or emergency. Adrenaline hormone is secreted by the adrenal glands. It helps to regulate heart beat, blood pressure and metabolism in the times of stress or emergency to cope up with the situation.

Question 4.
What happens at the synapse between two neurons?
Answer:
Synapse is a very small gap between the last portion of axon of one neuron and the dendron of the other neuron. It acts as a one way valve to transmit impulses. This is one directional flow of impulses because the chemicals are produced only on one side of the neuron i.e., the axon’s side. Via axon, the impulses travel across the synapse to the dendron of the other neuron.

In total, synapse performs the following tasks:

1. It allows the information to pass from one neuron to another.
2. It ensures the passage of nerve impulse in one direction only.
3. It helps in information processing by combining the effects of all impulses received.

Question 5.
How do we detect the smell of any food?
Answer:
The fore-brain is the main thinking part of the brain. It has regions which receive sensory impulses from various receptors. Separate areas of the fore-brain are specialised for hearing, smell, sight and so on. Olfactoreceptors (present in nose) send the information about the smell of incense stick to fore-brain. The fore-brain interprets it along with information received from other receptors as well as with information that is already stored in the brain.

MP Board Class 10th Science Chapter 7 Textbook Activities

Class 10 Science Activity 7.1 Page No. 115

• Put some sugar in your mouth. How does it taste
• Block your nose by pressing it between your thumb and index finger. Now eat sugar again. Is there any difference in its taste.
• While eating lunch, block your nose in the same way and notice if you can fully appreciate the taste of the food you are eating.

Observations:

• The sugar tastes sweet. The taste is combined perception of tongue and nose.
• When we block our nose, the sugar taste different as now aroma through nose is hindering in proxiding the taste fell earlier. The olfactory receptors of nose are now blocked and we perceixe taste only due to gustatory receptors piesent on tongue.
• Similarly, taste of the food also can not be fully appreciated with blocked nose.

Class 10 Science Activity 7.2 Page No. 121

• Fill a conical flask with water.
• Cover the neck of the flask w’ith a wire mesh.
• Keep two or three freshly germinated bean seeds on the wire mesh.
• Take a cardboard box which is open from one side.
• Keep the flask in the box in such a manner that the open side of the box faces light coming from a window.

• After two or three days, you will notice that the shoots bend towards light and roots away from light.
• Now turn the flask so that the shoots arc away from light and the roots towards light. Leave it undisturbed in this condition for a few days.
• Have the old parts of the shoot and root changed direction?
• Are there differences in the direction of the new growth?
• What can we conclude from this activity?

Observations:

• The old parts of shoot and root does not show’ noticeable changes in the direction.,
• The new’ growth of parts of shoot and root show noticeable changes in the direction of the growth. Shoots bend towards light and roots bend away from it.
• From this activity, we can conclude that shoot shows phototropism and the roots show geotropism.

Class 10 Science Activity 7.3 Page No. 123

• Look at Figure.
• Identify the endocrine glands mentioned in the figure.
• Some of these glands have been listed in Table and discussed in the text. Consult books in the library and discuss with your teachers to find out about other glands.

Endocrine glands in human beings (a) male, (b) female.

Observations:

• The endocrine glands mentioned in the figure are: Hypothalamus, pituitary, pineal, thymus. Thyroid gland, parathyroid, adrenal, pancreas, testes and ovaries.

Class 10 Science Activity 7.4 Page No. 125

• Hormones are secreted by endocrine glands and have specific fifhctions. Complete Table 7.1 based on the hormone, the endocrine gland or the functions provided.

Some important hormones and their functions.

S.No.	Hormone	Endocrine Gland	Functions
1.	Growth hormone	Pituitary gland	Simulates growth in all organs
2.		Thyroid gland	Regulates metabolism for body growth
3.	insulin		Regulated blood sugar level
4.	Testosterone	Testes
5.		Ovaries	Development of female sex organs, regulates menstrual cycle, etc.
6.	Adrenaline	Adrenal gland
7.	Releasing hormones		Stimulates pituitary gland to release hormones

MP Board Class 10th Science Solutions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नांकित प्रत्येक स्थिति के लिए द्विघात (वर्ग) बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यकों के योग एवं गुणनफल क्रमशः निम्नांकित हैं। इन बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक भी ज्ञात कीजिए:
(i) – \(\frac { 8 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { 21 }{ 8 } \) , \(\frac { 5 }{ 16 } \)
(iii) -2\(\sqrt { 3 }\),-9
(iv) \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}},-\frac{1}{2}\)
हल:
(i) यहाँ शून्यकों का योग –\(\frac { 8 }{ 3 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 4 }{ 3 } \) है।
∵ चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (- \(\frac { 8 }{ 3 } \)) x + \(\frac { 4 }{ 3 } \)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4)
अब \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 6x + 2x + 4)
= \(\frac { 1 }{ 3 } \) [3x (x + 2) + 2 (x + 2)] = \(\frac { 1 }{ 3 } \) (x + 2) (3x + 2)
⇒ शून्यक क्रमश : -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट द्विधात बहुपद \(\frac { 1 }{ 3 } \) (3x² + 8x + 4) एवं उसके शून्यक क्रमशः -2 एवं – \(\frac { 2 }{ 3 } \) हैं।

(ii) यहाँ शून्यकों का योग \(\frac { 21 }{ 8 } \) एवं गुणनफल \(\frac { 5 }{ 16 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac { 1 }{ 16 } \) (16x² – 42x+ 5) है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(\frac { 5 }{ 2 } \) एवं \(\frac { 1 }{ 8 } \) हैं।

(iii) यहाँ शून्यकों का योग -2\(\sqrt { 3 }\) एवं गुणन -9 है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)
⇒ द्विघात बहुपद = x² – (-2\(\sqrt { 3 }\)) x + (-9)
= x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9
अब x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 = x2 + 3 \(\sqrt { 3 }\) x – \(\sqrt { 3 }\) x – 9
= x (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (x + 3 \(\sqrt { 3 }\))
= (x + 3 \(\sqrt { 3 }\)) (x – \(\sqrt { 3 }\))
⇒ शून्यक क्रमशः-3\(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद x² + 2 \(\sqrt { 3 }\) x – 9 है तथा इसके अभीष्ट शून्यक क्रमशः -3 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

(iv) यहाँ शून्यकों का योग \(-\frac{3}{2 \sqrt{5}}\) एवं गुणन –\(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
चूँकि द्विघात बहुपद = x² – (शून्यकों का योग) x + (शून्यकों का गुणनफल)

अतः, अभीष्ट द्विघात बहुपद \(\frac{1}{2 \sqrt{5}}\left(2 \sqrt{5} x^{2}+3 x-\sqrt{5}\right)\) है तथा इसके शून्यक क्रमशः
\(-\frac{\sqrt{5}}{2}\) एवं \(\frac{1}{\sqrt{5}}\) हैं।

प्रश्न 2.
\(\sqrt { 2 }\) घन (त्रिघात) बहुपद 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4 \(\sqrt { 2 }\) का एक शून्यक है। इसके अन्य दो शून्यकों को ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि \(\sqrt { 2 }\) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक शून्यक है इसलिए (x – \(\sqrt { 2 }\)) इस बहुपद का एक गुणनखण्ड होगा।

⇒ 6x³ + \(\sqrt { 2 }\) x² – 10x – 4\(\sqrt { 2 }\) = (x – \(\sqrt { 2 }\)) (6x² + 7 \(\sqrt { 2 }\)x + 4)
अब 6x² + 7\(\sqrt { 2 }\) x + 4 = 6x² + 4\(\sqrt { 2 }\) x + 3\(\sqrt { 2 }\) x + 4
= 2x (3x + 2\(\sqrt { 2 }\)) + \(\sqrt { 2 }\) (3x + 2\(\sqrt { 2 }\))
= (3x + 2\(\sqrt { 2 }\) ) (2x + \(\sqrt { 2 }\))
⇒ अन्य शून्यक \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के अन्य दो अभीष्ट शून्यक क्रमशः \(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\) एवं \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) अर्थात् \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) = हैं।

प्रश्न 3.
(x – \(\sqrt { 5 }\)) एक त्रिघात बहुपद x³ – 3 \(\sqrt { 5 }\) x² + 13x – 3\(\sqrt { 5 }\) का एक गुणनखण्ड दिया हुआ है। इस बहुपद के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि (x – \(\sqrt { 5 }\)) दिए हुए त्रिघात बहुपद का एक गुणनखण्ड दिया है


अतः, दिए हुए त्रिधात बहुपद के शून्यक क्रमशः \(\sqrt { 5 }\), (\(\sqrt { 5 }\) + \(\sqrt { 2 }\)) एवं (\(\sqrt { 5 }\)  – \(\sqrt { 2 }\)) हैं।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखण्ड विधि से शून्यक ज्ञात कीजिए एवं उनके तथा बहुपद के गुणांकों के बीच सम्बन्ध का सत्यापन कीजिए :
(1) 4x² – 3x – 1
(2) 3x² + 4x – 4
(3) 5t² + 12t + 7
(4) t³ – 2t² – 15t
(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \) x + \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(6) 4x² + 5 \(\sqrt { 2 }\) x – 3
(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\) ) s + \(\sqrt { 2 }\)
(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15
(9) y² + \(\frac { 3 }{ 2 } \) \(\sqrt { 5 }\) y – 5,
(10) 7y² – \(\frac { 11 }{ 3 } \) y – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
हल:
(1) 4x² – 3x – 1 = 4x² – 4x + x – 1
= 4x (x – 1)+ 1 (x – 1)
= (x – 1) (4x + 1)
जब x – 1 = 0 ⇒ x = 1 एवं जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक 1 एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(2) 3x² + 4x – 4 = 3x² + 6x – 2x – 4
= 3x (x + 2) -2 (x + 2)
= (x + 2) (3x – 2)
जब x + 2 = 0 ⇒ x = -2 एवं जब 3x – 2 = 0 ⇒ x = \(\frac { 2 }{ 3 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक – 2 एवं \(\frac { 2 }{ 3 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(3) 5t² + 12t + 7 = 5t² + 5t + 7t + 7
= 5t (t + 1) + 7 (t + 1)
= (t + 1) (5t + 7)
जब t + 1 = 0 ⇒ t = -1 एवं जब 5t + 7 = 0 ⇒ t = –\(\frac { 7 }{ 5 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक -1 एवं –\(\frac { 7 }{ 5 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(4) t³ – 2t² – 15t = t [t² – 2t – 15]
= t [t² – 5t + 3t – 15]
= t [t (t – 5) + 3 (t – 5)]
= t (t – 5) (t + 3)
t = 0, जब t – 5 = 0 ⇒ t = 5 और जब t + 3 = 0 ⇒ t = -3.
अतः, अभीष्ट शून्यक 0, 5 एवं -3 हैं।
यदि शून्यक α = 0, β = 5 एवं γ = – 3 मान हों तो

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(5) 2x² + \(\frac { 7 }{ 2 } \)x + \(\frac { 3 }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 14x + 3) = \(\frac { 1 }{ 4 } \) (8x² + 12x + 2x + 3)
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) [4x (2x + 3) + 1 (2x + 3)]
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) (2x + 3) (4x + 1)
जब 2x + 3 = 0 ⇒ x = \(\frac { -3 }{ 2 } \) और जब 4x + 1 = 0 ⇒ x = \(\frac { -1 }{ 4 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक –\(\frac { 3 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 4 } \) है।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता हैं।

(6) 4x² + 5\(\sqrt { 2 }\) x – 3 = 4x² + 6\(\sqrt { 2 }\) x –\(\sqrt { 2 }\) x – 3
= 2\(\sqrt { 2 }\) x (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) – 1 (\(\sqrt { 2 }\)x + 3)
= (\(\sqrt { 2 }\)x + 3) (2\(\sqrt { 2 }\) x – 1)

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(7) 2s² – (1 + 2\(\sqrt { 2 }\))s + \(\sqrt { 2 }\) = 2s² – s – 2\(\sqrt { 2 }\) s + \(\sqrt { 2 }\)
= s (2 s – 1) – \(\sqrt { 2 }\) (2 s – 1)
= (2 s – 1) (s – \(\sqrt { 2 }\))
जब 2s – 1 = 0 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं ज़ब s – \(\sqrt { 2 }\) = 0 ⇒ s = \(\sqrt { 2 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं \(\sqrt { 2 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(8) u² + 4\(\sqrt { 3 }\) u – 15 = u² + 5\(\sqrt { 3 }\) u – \(\sqrt { 3 }\) u – 15
= u(u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) – \(\sqrt { 3 }\) (u + 5 \(\sqrt { 3 }\))
= (u + 5 \(\sqrt { 3 }\)) (u – \(\sqrt { 3 }\))
जब u + 5 \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं जब u – \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ u = \(\sqrt { 3 }\)
अतः, अभीष्ट शून्यक -5 \(\sqrt { 3 }\) एवं \(\sqrt { 3 }\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(9)

अतः, अभीष्ट शून्यक – 2\(\sqrt { 5 }\) एवं \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

(10)

जब 3y – 2 = 0 ⇒ y = \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं जब 7y + 1 = 0 ⇒ y = – \(\frac { 1 }{ 7 } \)
अतः, अभीष्ट शून्यक \(\frac { 2 }{ 3 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 7 } \) हैं।

अतः, अभीष्ट सम्बन्धों का सत्यापन होता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए तथा पुष्टि कीजिए :
(i) 5 घातांक वाले x के बहुपद द्वारा x⁶ + 2x³ + x – 1 को विभाजित करने पर x2 – 1 भागफल हो सकता है, क्या?
(ii) क्या द्विघात बहुपद x² + kx + k के किसी विषम पूर्णांक k > 1 के लिए बराबर शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
(i) नहीं हो सकता क्योंकि यहाँ भागफल एवं भाजक के गुणनफल का घातांक भाज्य बहुपद के घातांक 6 से अधिक हो रहा है जो असम्भव है।
(ii) नहीं हो सकते, क्योंकि बराबर शून्यक के लिए k² – 4k = 0 ⇒ k(k -4) = 0 होना चाहिए, जहाँ या तो k = 0 अथवा k = 4 होगा जो विषम पूर्णांक k > 1 नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न कथन सत्य हैं अथवा असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए :
(i) यदि किसी बहुपद ax² + bx + c के दोनों शून्यक धनात्मक तब a,b एवं c सभी के चिह्न समान होंगे।
(ii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करे तो यह बहुपद द्विघात बहुपद नहीं हो सकता।
(iii) यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को ठीक दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करता है तो यह जरूरी नहीं कि यह द्विघात बहुपद हो।
(iv) यदि किसी घन बहुपद के दो शून्यक शून्य हों तब इसमें कोई रेखीय एवं स्थिरांक पद नहीं होगा।
(v) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक ऋणात्मक हों तो उसके सभी गुणांकों के चिन्ह समान होंगे।
(vi) यदि किसी घन बहुपद के सभी शून्यक धनात्मक हों तो a, b और c में से कम-से-कम एक तो ऋणात्मक होगा।
(vii) k का एक मात्र मान जिसके लिए द्विघात बहुपद kx² + x + k समान शून्यक रखता हो, \(\frac { 1 }{ 2 } \) है।
उत्तर:
(i) कथन असत्य है, क्योंकि दोनों धनात्मक शून्यकों के लिए x का गुणांक b ऋणात्मक होगा।
(ii) कथन असत्य है, क्योंकि यदि द्विघात बहुपद के दोनों शून्यक समान होंगे तो उसका ग्राफ x-अक्ष को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करेगा।
(iii) कथन सत्य है, क्योंकि यह त्रिघात बहुपद भी हो सकता है, यदि इसके दो शून्यक समान हों।
(iv) कथन सत्य है, क्योंकि वह त्रिधात (घन) बहुपद ar3 ± bx2 प्रकार का होगा।
(v) कथन सत्य है, क्योंकि यदि त्रिघात बहुपद के शून्यक α, β एवं γ हैं जो ऋणात्मक है तो α + β + γ = – \(\frac { b }{ a } \) ऋणात्मक होगा जब b एवं a दोनों के चिह्न समान हों।
αβ + βγ + γα = \(\frac { c }{ a } \) धनात्मक होगा जबकि c एवं a के चिन्ह समान हो तथा αβγ = \(\frac { -d }{ a } \)
ऋणात्मक होगा जबकि d एवं a के चिह्न समान हैं।
अतः a, b,c एवं d के चिह्न समान हों तभी सम्भव हैं।
(vi) कथन अ सत्य है, क्योंकि यहाँ a, b एवं c तीनों ऋणात्मक होंगे।
(vii) द्विघात बहुपद kx² + x + k के शून्यक समान होंगे यदि
(1)² – 4k² = 0 ⇒ k² = \(\frac { 1 }{ 4 } \) ⇒ k = ± \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, कथन असत्य है क्योंकि k का मान \(\frac { 1 }{ 2 } \) या \(\frac { -1 }{ 2 } \) हो सकता है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 2 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि किसी द्विघात बहुपद (k – 1) x² + kx + 1 का एक शून्यक -3 है तब k का मान होगा :
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(b) – \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(d) – \(\frac { 2 }{ 3 } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { 4 }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद जिसके शून्यक -3 एवं 4 हैं होगा :
(a) x² – x + 12
(b) x² + x + 12
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)
(d) 2x² + 2x -24.
उत्तर:
(c) \(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}-6\)

प्रश्न 3.
यदि किसी द्विघात बहुपद x² + (a + 1) x + b के शून्यक 2 एवं -3 हों, तो :
(a) a = -7, b = – 1
(b) a = 5, b = -1
(c) a = 2, b = -6
(d) a = 0, b = – 6
उत्तर:
(d) a = 0, b = – 6

प्रश्न 4.
-2 एवं 5 शून्यक वाले बहुपदों की संख्या होगी :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 3 से अधिक
उत्तर:
(d) 3 से अधिक

प्रश्न 5.
एक त्रिघात (घन) बहुपद ax³ + bx² + cx + d का एक शून्यक शून्य (0) है, तो दो अन्य शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) –\(\frac { c }{ a } \)
(b) \(\frac { c }{ a } \)
(c) 0
(d) – \(\frac { b }{ a } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 6.
यदि किसी त्रिघात (घन) बहुपद x³ + ax² + bx + c का एक शून्यक -1 हो, तब अन्य दो शून्यकों का गुणनफल होगा:
(a) b – a + 1
(b) b – a – 1
(c) a – b + 1
(d) a – b – 1
उत्तर:
(a) b – a + 1

प्रश्न 7.
एक द्विघात (वर्ग) बहुपद x² + 99x + 127 के शून्यक होंगे :
(a) दोनों धनात्मक
(b) दोनों ऋणात्मक
(c) एक धानात्मक तथा दूसरा ऋणात्मक
(d) दोनों समान।
उत्तर:
(b) दोनों ऋणात्मक

प्रश्न 8.
यदि किसी वर्ग (द्विघात) बहुपद ax² + bx + c, c ≠ 0 को शून्यक समान हों, तब
(a) c एवं a के चिह्न विपरीत होंगें
(b) c एवं b के चिह्न विपरीत होंगे
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे
(d) c एवं b के चिह्न समान होंगें।
उत्तर:
(c) c एवं a के चिह्न समान होंगे

प्रश्न 9.
यदि द्विघात बहुपद ax² + bx + c के शून्यक α और β हों, तो α.β का मान होगा: (2019)
(a) c/a
(b) a/c
(c) -c/a
(d) -a/c
उत्तर:
(a) c/a

प्रश्न 10.
बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे: (2019)
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)
(b) ± 3
(c) 3
(d) 9
उत्तर:
(a) ± \(\sqrt { 3 }\)

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. (x – 1) (x – 2) के शून्यक होंगे …………………… एवं ……………………।
2. दो बहुपद का योग …………………… होता है।
3. ar² + bx + c एक …………………… बहुपद का उदाहरण है।
4. चर के वे मान जिनको बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर बहुपद का मान शून्य हो जाता है …………………… कहलाता
5. रैखिक बहुपद के अधिकतम …………………… शून्यक हो सकते हैं।

उत्तर:

1. 1,2
2. एक बहुपद
3. द्विघात
4. शून्यक
5. एक।

जोडी मिलाइए

उत्तर:

1. → (c)
2. → (d)
3. → (e)
4. → (a)
5. → (b)

सत्य/असत्य कथन

प्रश्न 1.
एक द्विघात बहुपद ax² + bx + c के रूप का होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 2.
\(\sqrt { x }\) + 2 एक बहुपद है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 3.
बहुपद p (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है।
उत्तर:
सत्य

प्रश्न 4.
द्विघात बहुपद में केवल एक शून्यक हो सकता है।
उत्तर:
असत्य

प्रश्न 5.
एक वास्तविक संख्या k बहुपद p(x) का शून्यक कहलाती है, यदि p (k) = 0.
उत्तर:
सत्य

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
रैखिक बहुपद की घात कितनी होती है?
उत्तर:
एक

प्रश्न 2.
p (x) = g (x) × q (x) + r (x) यह निष्कर्ष क्या कहलाता है?
उत्तर:
विभाजन एल्गोरिथ्म

प्रश्न 3.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α + β का मान क्या होगा?
उत्तर:
– \(\frac { b }{ a } \)

प्रश्न 4.
यदि ax² + bx + c के शून्यक α एवं β हों तो α.β का मान क्या होगा?
उत्तर:
\(\frac { c }{ a } \)

प्रश्न 5.
त्रिघात बहुपद के अधिकतम कितने शून्यक हो सकते हैं?
उत्तर:
तीन।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.3

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना,
बेलन की ऊँचाई = h cm है, तो प्रश्नानुसार,
बेलन का आयतन = गोले का आयतन

अतः, बेलन की अभीष्ट ऊँचाई = 2.744 cm है।

प्रश्न 2.
क्रमशः 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए बड़े गोले की त्रिज्या = R cm है, तो प्रश्नानुसार,
बड़े गोले का आयतन = तीन छोटे गोलों के आयतनों का योग

R³ = (6)³ + (8) + (10)³
R³ = 216 + 512 + 1000
= 1728
= (12)³
R = 12 cm
अतः, बड़े गोले की अभीष्ट त्रिज्या = 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7m वाला 20 m गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप में फैलाकर 22 m x 14 m वाला एक चबूतरा बनाया जाता है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि कुएँ का व्यास 2r = 7m ⇒ r = \(\frac { 7 }{ 2 }\)m है एवं कुएँ की गहराई d = 20 m मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई hm है, तो प्रश्नानुसार, चबूतरे की मिट्टी की आयतन = कुएँ का आयतन
22 m x 14 m x hm = \(\pi r^{2} d=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2}\right)^{2} \times 20\)
\(h=\frac{22 \times 49 \times 20}{7 \times 4 \times 22 \times 14}=\frac{5}{2} \mathrm{m}\)
= 2.5 m
अतः, चबूतरे की अभीष्ट ऊँचाई = 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (Ring) बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए बाँध की ऊँचाई = x m है।
कुएँ का व्यास d = 2r₁ = 3 m ⇒ r₁ = \(\frac { 3 }{ 2 }\) = 1.5 m तथा गहराई h = 14 m
बाँध की चौड़ाई = 4 m
⇒ बाँध की बाह्य त्रिज्या r₂ = 4 + 1.5 = 5.5 m
∴ वलयाकार बाँध का आयतन = π(r₂² – r₁²)x,
V = π[(5.5)² – (1.5)²] × x
= πx(30.25 – 2.25)
= 28πx m³
∴ कुएँ का आन्तरिक आयतन = πr₁²h
V = π(1.5)² × 14
= 31.5 π
बाँध का आयतन = कुएँ का आन्तरिक आयतन
⇒ 28π x = 31.5 π
⇒ x = \(\frac { 31.5 }{ 28 }\) = 1.125 m
अतः, बाँध की अभीष्ट ऊँचाई = 1.125 m है।

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शकओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। इन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल :

मान लीजिए बेलनाकार बर्तन की ऊँचाई h = 15 cm तथा व्यास d = 2r = 12 cm (दिया है)
त्रिज्या r = \(\frac { 12 }{ 2 }\) = 6 cm
शंक की ऊँचाई h’ = 12 cm
शंकु का व्यास = अर्द्धगोले का व्यास
d’ = 2r’ = 6 cm (दिया है)
r’ = \(\frac { 6 }{ 2 }\) = 3 cm
बेलन का आयतन V = πr²h
= π(6)² x 15
= 540π cm³
एवं शंकु का कुल आयतन = V’ = \(\frac { 1 }{ 3 }\)π(r’)²h’ + \(\frac { 2 }{ 3 }\) π(r’)³
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(r’)² (h’ + 2r’)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π(3)² (12 + 2 x 3)
= \(\frac { 1 }{ 3 }\) π x 9 x 18
= 54 π cm³

अतः, आइसक्रीम शंकुओं की अभीष्ट संख्या = 10 है।

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?
हल :
माना सिक्कों की संख्या = n है दिया है। घनाभ की विमाएँ 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm तथा सिक्कों की मोटाई x = 2 mm = 0.2 cm एवं व्यास d = 2r = 1.75 cm
r = \(\frac { 1.75 }{ 2 }\) cm दिया है।
घनाभ का आयतन = 5.5 cm x 10 cm x 3.5 cm = 192.5 cm³.
n सिक्कों का कुल आयतन = n × πr²x
= \(n \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{1 \cdot 75}{2}\right)^{2} \times 0 \cdot 2=\frac{13 \cdot 475}{28} n\)
चूँकि सिक्कों का कुल आयतन = घनाभ का आयतन

अतः, सिक्कों की अभीष्ट संख्या = 400 है।

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदिशंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है, तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

माना लीजिए बेलनाकार बाल्टी की ऊँचाई h = 32 cm तथा त्रिज्या r = 18 cm दी गयी है तथा इसको भरे हुए रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनानी है जिसकी ऊँचाई h’ = 24 cm है। पुनः मान लीजिए कि शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या = r’ cm एवं तिर्यक ऊँचाई = l cm है, तो प्रश्नानुसार,
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन


अतः, शंक्वाकार ढेरी की अभीष्ट त्रिज्या = 36 cm एवं उसकी अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm है।

प्रश्न 8.
6m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h चाल से बह रहा है। 30 मिनट में यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पायेगी जबकि ऊँचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल :
मान लीजिए नहर एक घनाभ के आकार की है जिसकी चौड़ाई b = 6 m और गहराई h = 1.5m जिसमें 10 km/h की चाल से पानी बह रहा है। पुनः मान लीजिए यह 30 मिनट में x वर्ग मीटर क्षेत्रफल की सिंचाई करेगा जिसमें पानी की गराई d = 8 cm = 0.08 m है।
30 मिनट में जल धारा की लम्बाई = \(\frac { 30 }{ 60 }h\) x 10 km/h = 5 km
l = 5000 m
जल धारा का 30 मिनट में आयतन = lbh = 5000 x 6 x 1.5 m³
V = 45000 m³.
प्रश्नानुसार,
x × 0.08 = 45000
x = \(\frac{45000}{0.08}=\frac{45000 \times 100}{8} \mathrm{m}^{2}\)
x = 562500 m²
= 56.25 हेक्टेअर
अतः, अभीष्ट क्षेत्रफल = 562500 m² अथवा 56.25 हेक्टेअर है।

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है, तो कितने समय बाद टंकी पूरी भर जायेगी?
हल :
बेलनाकार टंकी की गहराई h = 2 m तथा व्यास d = 2r = 10 m
r = \(\frac { 10 }{ 2 }\) = 5 m दिया है।
पाइप का आन्तरिक व्यास d’ = 2r’ = 20 cm = 0.2 m
r’ = 0.1 m है।
जल धारा की पाइप में 1 घण्टे में लम्बाई 3 km = 3000 m होगी।
टंकी का आयतन = πr²h
= π(5)² x 2
= 50π m³
1 घण्टे में नल से प्राप्त जल का आयतन = π(r’)²l
= π(0.1)² x 3000 m³
= 30π m³.

अतः, टंकी को भरने में लगा अभीष्ट समय = 100 मिनट है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.3

प्रश्न 1.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।
हल :

∠RPQ = 90° (अर्द्धवृत्त का कोण है)
समकोण ∆RPQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
चूँकि QR² = PQ² + PR²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
= (25)²
⇒ OR = 25
⇒ 2r = 25
⇒ \(r=\frac { 25 }{ 2 }\) [∵ QR वृत्त का व्यास है] .
चूँकि अर्द्धवृत्त RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2} \pi r^{2}\)
⇒ ar (अर्द्धवृत्त RPQ) = \(\frac{1}{2} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{11 \times 625}{28}=\frac{6875}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि समकोण ∆RPQ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x RP x PQ
⇒ ar (∆RPQ) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 7 x 24 = 84 cm²
∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (अर्द्धवृत्त RPQ) – ar (∆RPQ)
⇒ ar (छायांकित भाग) = \(\frac{6875}{28}-84=\frac{6875-2352}{28}=\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट छायांकित भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{4523}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।
हल :

मान लीजिए संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r1 = 14 cm एवं r2 = 7 cm तथा ∠θ = ∠AOC = ∠BOD = 40°

अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 154 }{ 3 }\) cm² है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।
हल :

ज्ञात है : वर्ग की भुजा a = 14 cm
अर्द्धवृत्त का व्यास 2r = 14 cm अर्थात् त्रिज्या r = \(\frac { 14 }{ 2 }\) = 7 cm
दोनों अर्द्धवृत्त एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं।
चूँकि छायांकित भाग का क्षेत्रफल, ar (छायांकित भाग) = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – m²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा
गया है।
हल :

चित्रानुसार छायांकित भाग में एक a = 12 cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज तथा एक 6 cm त्रिज्या का कोण θ = 360° – 60° = 300° वाला दीर्घ त्रिज्यखण्ड सम्मिलित है।
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) + ar (दीर्घ त्रिज्यखण्ड)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{660}{7}+36 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 5.
भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि संलग्न आकृति में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है कि a = 4 cm भुजा वाले एक वर्ग ABCD के बीच में व्यास 2 cm अर्थात् 1 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त तथा 1 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के 4 चतुर्थांश चारों कोनों में से काटे गए हैं। इस प्रकार वर्ग से 1 cm त्रिज्या वाले दो वृत्त काटे गए हैं।
छायांकित (वृत्त के शेष) भाग का क्षेत्रफल
= वर्ग का क्षेत्रफल – 2 x वृत्त का क्षेत्रफल
ar (छायांकित मान) = a² – 2 x πr²
= (4)² – 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (1)²
= \(16-\frac{44}{7}=\frac{112-44}{7}=\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः वर्ग के शेष भाग (छायांकित भाग) का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{68}{7} \mathrm{cm}^{2}\) हैं।

प्रश्न 6.
एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि संलग्न आकृति में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए दिया हुआ वृत्त दिए हुए समबाहु त्रिभुज ABC का परिकेन्द्र है जिसका केन्द्र O त्रिभुज की माध्यिका AD पर स्थित है तथा AO = r = 32 cm तथा OD = \(\frac{r}{2}=\frac{32}{2}\) = 16 cm (O के माध्यिका B को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है)
⇒ AD = 32 + 16 = 48 cm
समकोण ∆ADB में पाइथागोरस एक प्रमेस से,
a² – \(\left(\frac{a}{2}\right)^{2}\) = (AD)² = (48)²

अत: डिजाइन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(\frac{22528}{7}-768 \sqrt{3}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ABCD वर्ग की प्रत्येक भुजा a = 14 cm दिया है। चित्रानुसार
प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = \(\frac{a}{2}=\frac{14}{2}\) = 7 cm.
वर्ग में से चार वृत्त-चतुर्थांश अर्थात् एक वृत्त क्षेत्रफल को हटाकर शेष भाग छायांकित किया गया है।
⇒ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – वृत्त का क्षेत्रफल
= a² – πr²
= (14)² – \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 196 – 154
= 42 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 42 cm² है।

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।
हल :
ज्ञात है कि सिरे के दोनों अर्धवृत्ताकार मार्ग एक वृत्ताकार वलय का निर्माण करते हैं तथा समानान्तर रेखाखण्ड दो b = 10 m चौड़े तथा l = 106 m लम्बे आयताकार खण्डों का निर्माण करते हैं। वृत्त की आन्तरिक त्रिज्या r₂ = \(\frac { 60 }{ 2 }\) = 30 m तथा बाह्य त्रिज्या r₁ = 30 + 10 = 40 m है।
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक चक्कर लगाने में चली गयी दूरी
= वृत्त की आन्तरिक परिधि + 2 x समानान्तर रेखाखण्ड की लम्बाई
= 2πr₂ + 2l
= 2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 30 + 2 x 106
= \(\frac { 1320 }{ 7 }\) + 212
= \(\frac { 1320+1484 }{ 7 }\)
= \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m
अत: एक चक्कर लगाने में चली गयी अभीष्ट दूरी = \(\frac { 2804 }{ 7 }\) m है।

(ii) पथ का क्षेत्रफल = वृत्त के वलय का क्षेत्रफल + 2 x आयताकार खण्ड का क्षेत्रफल
= π (r₁² – r₂²) + 2 x l x b
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) [(40)² – (30)²] + 2 x 106 x 10
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) (1600 – 900) + 2120
= \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 700 + 2120
= 2200 + 2120
= 4320 m²
अतः पथ का अभीष्ट क्षेत्रफल = 4320 m² है।

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार बड़े वृत्त की त्रिज्या r₁ = OA = 7 cm (दिया है) = OB = OC = OD छोटे वृत्त का व्यास d = OD = OA = 7 cm
⇒ छोटे वृत्त की त्रिज्या \(r_{2}=\frac{d}{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
त्रिभुज ABC का आधार AB = OA + OB
= 7 + 7
= 14 cm
तथा उसका शीर्षलम्ब OC = OA = 7 cm
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = छोटे वृत्त का क्षेत्रफल + बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆ABC का क्षेत्रफल [देखिए संलग्न आकृति]
⇒ ar (छायांकित भाग)

= 38.5 + 77 – 49
= 115.5 – 49
= 66.5 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल= 66.5 cm² है।

प्रश्न 10.
एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए संलग्न आकृति 12.24) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

हल :
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा a cm है तो

∵ वृत्त के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड की त्रिज्या r = 100 cm एवं केन्द्र पर बना कोण θ = 60° (समबाहु त्रिभुज का शीर्ष कोण)
∵ तीनों त्रिज्यखण्डों का क्षेत्रफल = \(3 \times \frac{\theta}{360^{\circ}} \pi r^{2}\)
= 3 x \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x (100)²
3ar (त्रिज्यखण्ड) = 1.57 x 10000
= 15700 cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (ABC) – 3ar (त्रिज्यखण्ड)
= 17320.5 – 15700
= 1620.5 cm².
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1620.5 cm² है।

प्रश्न 11.
एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए संलग्न आकृति 12.25) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : क वर्गाकार रूमाल पर 9 समान वृत्ताकार डिजाइन जिनमें प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r = 7 cm है।
⇒ वर्ग की भुजा a = 6 x 7 cm
= 42 cm (चित्रानुसार)
वर्गाकार रूमाल का क्षेत्रफल = a² = (42)²
= 1764 cm²
एवं 9 वृत्ताकार डिजायनों के क्षेत्रफल = 9 x πr²
= 9 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (7)²
= 1386 cm²
शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों के क्षेत्रफल
= 1764 – 1386 = 378 cm²
अतः रूमाल के शेष भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 378 cm² है।

प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।
हल :

चूँकि OB = OA = 3.5 cm = r वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या दी हुई है।
OD = 2 cm (दिया है)
(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
ar (OACB) = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(3 \cdot 5)^{2}=\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: चतुर्थांश OACB का अभीष् क्षेत्रफल \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।

(ii) समकोण ADOB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BO x OD
ar (DOB) = \(\frac{1}{2} \times 3 \cdot 5 \times 2=3 \cdot 5 \mathrm{cm}^{2}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}^{2}\)
छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ar (OACB) – ar (DOB)
= \(\frac{77}{8}-\frac{7}{2}=\frac{77-28}{8}=\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल \(\frac{49}{8} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति 12.27 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।) हल :

दिया है : चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत बना वर्ग OABC जिसकी
भुजा a = OA = 20 cm दी है।
चूँकि चतुर्थांश OPBQ की त्रिज्या r = OB है जो वर्ग OABC का विकर्ण है।
r = a√2 = 20√2 cm
चतुर्थांश का क्षेत्रफल

वर्ग का क्षेत्रफल = a² = (20)² = 400 cm²
∵ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल
ar (छायांकित भाग) = 628 – 400 = 228 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 228 cm² है।

प्रश्न 14.
AB और CD केन्द्र 0 और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए संलग्न आकृति 12.28)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

त्रिज्यखण्ड OAB की त्रिज्या r1 = 21 cm एवं शीर्ष कोण θ = 30°
एवं त्रिज्यखण्ड OCD की त्रिज्या r2 = 7 cm एवं कोण θ = 30° है।

ar (OCD) = \(\frac { 77 }{ 6 }\) cm²
ar (छायांकित भाग) = ar (OAB) – ar (OCD)

अत: छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 308 }{ 3 }\) cm² है।

प्रश्न 15.
संलग्न आकृति 12.29 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

चित्रानुसार समकोण समद्विबाहु त्रिभुज BAC में ∠A = 90°,
भुजा a = AB = AC = वृत्त की त्रिज्या = r1 = 14 cm
समकोण ∆BAC में,

= अर्द्ध वृत्त का व्यास

ar (छायांकित भाग) = ar (BAC) + ar (अर्द्धवृत्त) – ar (चतुर्थांश)
= 98 + 154 – 154
= 98 cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 98 cm² है।

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति 12.30 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।
हल :

प्रथम विधि-आकृति के अनुसार छायांकित भाग दो चतुर्थांशों की अवधाओं से मिलकर बना है। चतुर्थांश की त्रिज्या r = 8 cm है तथा समकोण समद्विबाहु त्रिभुज की समकोण बनाने वाली भुजाएँ = 8 cm जो कि P वृत्त की त्रिज्या है।
चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}=\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}=\frac{352}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
एवं संगत समकोण ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 x 8 = 32 cm
⇒ संगत अवधा का क्षेत्रफल

ar (छायांकित भाग) = 2 x अवधा का क्षेत्रफल
= 2 x \(\frac { 128 }{ 7 }\)
= \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm²
अतः छायांकित भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac { 256 }{ 7 }\) cm² है।
द्वितीय विधि (वैकल्पिक विधि)-
दी हुई आकृति के अनुसार छायांकित डिजायन दो समान चतुर्थांशों के योग में से वर्ग को घटाकर बनाया गया है।
चूँकि 2 x ar (चतुर्थांश) = \(2 \times \frac{1}{4} \pi r^{2}=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times(8)^{2}\)
= \(\frac{704}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
चूँकि ar (वर्ग) = (8)² = 64 cm²
चूँकि ar (छायांकित डिजायन) = 2 x ar (चतुर्थांश) – ar (वर्ग)
= \(\frac{704}{7}-64=\frac{704-448}{7}=\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः छायांकित डिजायन का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{256}{7} \mathrm{cm}^{2}\) है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 त्रिकोणमिति का परिचय Ex 8.1

प्रश्न 1.
∆ABC में, जिसका कोण B समकोण है, AB = 24 cm और BC = 7 cm है। निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) sin A, cos A,
(ii) sin C, cos C
हल :
∵ समकोण ∆ABC में,

∠B = समकोण AC² = AB² + BC²
= (24)² + (7)²
= 576 + 49
= 625
AC = √625 = 25

(i) अब \(\sin A=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\) एवं \(\cos A=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\)
अतः sin A एवं cos 4 के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 7 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 24 }{ 25 }\) हैं।

(ii) \(\sin C=\frac{A B}{A C}=\frac{24}{25}\) एवं \(\cos C=\frac{B C}{A C}=\frac{7}{25}\)
अत: sin C एवं cos C के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 24 }{ 25 }\) एवं \(\frac { 7 }{ 25 }\) हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 8.3 में tan P – cot R का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
∵ ∆PQR में ∠Q समकोण है,

QR² = PR² – PQ²
= (13)² – (12)²
= 169 – 144
= 25
QR = √25 = 5
अब

अत: tan P – cot R का अभीष्ट मान 0 (शून्य) है।

प्रश्न 3.
यदि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\), तो cos A और tan A का परिकलन कीजिए। (2019)
हल :
मान लीजिए ∆ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि sin A = \(\frac { 3 }{ 4 }\) (दिया है)

अतः cos A एवं tan A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac{\sqrt{7}}{4}\) एवं \(\frac{3}{\sqrt{7}}\) है।

प्रश्न 4.
15 cot A = 8 हो तो sin A और sec A के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए ABC एक समकोण ∆ है जिसमें ∠B समकोण है।
चूँकि 15 cot A = 8

अतः sin A एवं sec A के अभीष्ट मान क्रमशः \(\frac { 15 }{ 17 }\) एवं \(\frac { 17 }{ 8 }\) है।

प्रश्न 5.
यदि \(\sec \theta=\frac{13}{12}\) हो, तो अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित कीजिए।
हल :
मान लीजिए ∆ABC त्रिभुज का ∠B = समकोण है तथा ∠C = θ है

अतः अभीष्ट त्रिकोणमितीय (अन्य) अनुपात होंगे :

प्रश्न 6.
यदि ∠A और ∠B न्यूनकोण हों, जहाँ cos A = cos B, तो दिखाइए ∠A = ∠B.
हल :
ACB एक समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠A और ∠B न्यूनकोण हैं।
cos A = cos B (दिया है)

[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं] इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
\(\cot \theta=\frac{7}{8}\) तो
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)
(ii) cot² θ के मान निकालिए।
हल :
(i) \(\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}\)

अत: अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।

(ii) cot² θ = (cot θ)² = (7/8)²
= 49/64
अतः अभीष्ट मान = \(\frac { 49 }{ 64 }\) है।

प्रश्न 8.
यदि 3 cot A = 4, तो जाँच कीजिए कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं।
हल :
मान लीजिए ∆ABC में, ∠B पर समकोण है।
चूँकि 3 cot A = 4 (दिया है)

चूँकि सिद्ध करना है कि \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है या नहीं

L.H.S. = R.H.S.
अतः \(\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A\) है।

प्रश्न 9.
∆ABC में जिसका कोण B समकोण है, यदि \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\) तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
(i) sin A cos C + cos A sin C
(ii) cos A cos C – sin A sin C
हल :
∆ABC का ∠B समकोण दिया है (देखिए आकृति 8.9) और \(\tan A=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

अतः अभीष्ट मान = 1 है।

अतः अभीष्ट मान = 0 है।

प्रश्न 10.
∆POR में, जिसका कोण Q समकोण है, PR + OR = 25 cm और PQ = 5 cm है। sin P, cos P और tan P के मान ज्ञात कीजिए।
हल :

∆POR का ∠Q समकोण दिया है और
PR + QR = 25 cm …(1)
तथा PQ = 5 cm …(2)
दिये हैं। PR² – QR² = PQ²
(PR + QR) (PR – QR) = PQ²
25 (PR – QR) = (5)² = 25
PR – QR = \(\frac { 25 }{ 25 }\) = 1 …(3)
2PR = 26 [समीकरण (1) + (3) से]
PR = \(\frac { 26 }{ 2 }\) = 13
PR = 13 का मान समीकरण (1) में रखने पर,
13 + QR = 25
QR = 25 – 13 = 12

अतः अभीष्ट मान sin P = \(\frac { 12 }{ 13 }\), cos P = \(\frac { 5 }{ 13 }\) एवं tan P = \(\frac { 12 }{ 5 }\) है।

प्रश्न 11.
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) tan A का मान सदैव 1 से कम होता है।
(ii) कोण A के किसी मान के लिए sec A = \(\frac { 12 }{ 5 }\)
(iii) cos A, कोण A के cosecant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।
(iv) cot A, cot और A का गुणनफल होता है।
(v) किसी भी कोण θ के लिए sin θ = \(\frac { 4 }{ 3 }\).
हल :
(i) कथन असत्य है, क्योंकि tan A का मान θ से अनन्त तक हो सकता है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि sec A का मान सदैव 1 से अधिक होता है।
(iii) कथन असत्य है, क्योंकि cos A, कोण A के cosine का संक्षिप्त रूप होता है।
(iv) कथन असत्य है, क्योंकि cot A, cot एवं A का गुणनफल नहीं बल्कि cot A, कोण A का एक त्रिकोणमितीय अनुपात होता है।
(v) कथन असत्य है, क्योंकि sin θ का मान कभी भी 1 से अधिक नहीं होता।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.3

प्रश्न 1.
बताइए कि संलग्न आकृति 6.13 में दिए हुए त्रिभुजों के युग्मों के कौन-कौन से युग्म समरूप हैं। उस समरूपता कसौटी को लिखिए, जिसका प्रयोग आपने उत्तर देने में किया है तथा साथ ही समरूप त्रिभुजों को सांकेतिक रूप में व्यक्त कीजिए।

हल :
(i) ∵ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q एवं ∠C = ∠R
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

(ii) ∵

∆ABC ~ ∆QPR [SSS समरूपता]
अतः अभीष्ट ∆ABC ~ ∆QRP समरूप त्रिभुज हैं।

(iii) ∵

अतः अभीष्ट ∆LMP ≠ ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(iv) ∵

जो समानुपाती हैं तथा बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।
∆MNL ~ ∆PQR [SAS समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆MNL ~ ∆POR समरूप त्रिभुज हैं।

(v) ∵

एवं ∠A = ∠F = 80°
यहाँ ∠F तो अन्तर्गत है, लेकिन ∠A अन्तर्गत नहीं है।
अत: ∆ABC एवं ∆DEF समरूप त्रिभुज नहीं हैं।

(vi) ∵ ∆DEF में, ∠F = 180° – (70° + 80°) = 180° – 150° = 30°
एवं ∆PQR में, ∠P = 180° – (80° + 30°) = 180° – 110° = 70°
अतः ∠D = ∠P = 70°, ∠E = ∠Q = 80° एवं ∠F = ∠R = 30°
∆DEF ~ ∆PQR [AAA समरूपता]
अत: अभीष्ट ∆DEF ~ ∆PQR समरूप त्रिभुज हैं।

प्रश्न 2.
संलग्न आकृति 6.14 में ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° और ∠CDO = 70° हैं। ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए।
हल :

∵ ∠DOC + ∠COB = 180° [रैखिक युग्म हैं।]
∵∠DOC = 180° – ∠COB
= 180° – 125° = 55°
[∵∠COB = 125° दिया है।]
∵∠DCO + ∠CDO = ∠COB [∠COB बहिष्कोण है।]
⇒∠DCO + 70° = 125° [∵ ∠CDO = 70° एवं ∠COB = 70° दिए हैं।]
⇒∠DCO = 125° – 70° = 55°
∵∆ODC ~ ∆OBA
⇒∠OAB = ∠OCD = ∠DCO = 55° [संगतकोण हैं]
अतः अभीष्ट ∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° एवं ∠OAB = 55°.

प्रश्न 3.
समलम्ब ABCD, जिसमें AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दो त्रिभजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए दर्शाइए कि \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\) है।
हल :

ज्ञातहैः एकसमलम्बचतुर्भुज ABCD जिसकीभुजाएँ AB||DC एवं जिसके विकर्ण AC एवं BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.10)
रचना : एक रेखा EF || AB || DC खींचिए।
अब चूँकि ∆ADC में, EF || DC (रचना से)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ….(1) [प्रमेय : 6.1 से]
चूँकि ∆DAB में, EF || AB (रचना से)

वैकिल्पक विधि:
समलम्ब ₹ ABCD में AB || DC एवं विकर्ण AC एवं BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (देखिए संलग्न आकृति 6.11)

चूँकि AB || DC (दिया है)
एवं AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि AB || DC (दिया है) एवं BD तिर्यक रेखा है।
∠OBA = ∠ODC ….(2) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि ∠AOB = ∠DOC …(3) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AOB एवं ∆COD के तीनों संगत कोण बराबर हैं। [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
∆AOB ~ ∆COD [AAA समरूपता]
\(\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{C O}\)
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.15 में, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) तथा ∠1 = ∠2 है। दर्शाइए कि ∆PQS ~ ∆TQR
हल :

∵ ∆PQR में, ∠O = ∠R
[∵ ∆PQR में, ∠PQR = 21 एवं ∠PRQ = ∠2 एवं ∠1 = ∠2 दिया है]
PQ = PR …(1) [बराबर कोणों को सम्मुख भुजाएँ हैं|

अब ∆PQS एवं ∆TQR में,
चूँकि ∠PQS = ∠TOR = ∠Q
\(\frac{Q S}{Q P}=\frac{Q R}{Q T}\) [समीकरण (3) से]
[जो कि उपरोक्त उभयनिष्ठ कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
∆PQS ~ ∆TQR. SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
त्रिभुज PQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमशः बिन्द S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है। दर्शाइए कि ∆RPQ ~ ∆RTS.
हल :

मान लीजिए कि ∆PQR की भुजाओं PR और QR पर बिन्दु S और T इस प्रकार दिए हैं कि ∠P = ∠RTS
अब ∆RPQ और ∆RTS में,
∠RPQ = ∠RTS [दिया है।]
∠QRP= ∠SRT [चित्रानुसार उभयनिष्ठ है]
∆PQR ~ ∆RTS [AA समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.17 में यदि ∆ABE ≅ ∆ACD है, तो दर्शाइए कि ∆ADE ~ ∆ABC.
हल :

∵ ∆ABE ≅ ∆ACD दिया है
⇒ AB = AC …(1) [CPCT]
AE = AD …(2) [CPCT]
⇒ \(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) …(3)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
अब ∆ADE और ∆ABC में,
∵∠DAE = ∠BAC [उभयनिष्ठ है]
∵\(\frac{A E}{A B}=\frac{A D}{A C}\) [समीकरण (3) से]
[ये भुजाएँ बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
⇒∆ADE ~ ∆ABC.
[SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति 6.18 में शीर्षलम्ब AD और CE परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि :
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC.
हल:

∠D = ∠E
[∵ AD ⊥ BC एवं CE ⊥ AB, दिया है]
(i) ∆AEP और ∆CDP में,
∠E = ∠D [दिया है]
∠APE = ∠CPD शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∆AEP ~ ∆CDP. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABD और ∆CBE में,
∠ABD = ∠CBE [चित्रानुसार उभयनिष्ट है]
∠D = ∠E [दिया है।]
∆ABD ~ ∆CBE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆AEP और ∆ADB में,
∠EAP = ∠DAB [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∠E = ∠D [दिया है]
∆AEP ~ ∆ADB. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iv) ∆PDC और ∆BEC में,
∠D = ∠E [दिया है]
∠PCD = ∠BCE [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆PDC ~ ∆BEC. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढ़ाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिन्दु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि ∆ABE ~ ∆CFB है।
हल :

ABCD एक दिया हुआ समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढ़ी हुई भुजा AD पर E कोई बिन्दु है। BE, CD को बिन्दु F पर प्रतिच्छेद करती है।
∆ABE और ∆CFB में,
∵∠A = ∠C [समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
∵∠ABE = ∠CFB [एकान्तर कोण हैं।]
[∵ AB || DC एवं BE तिर्यक रेखा है।]
∆ABE ~ ∆CFB.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
संलग्न आकृति 6.20 में ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज हैं जिनके कोण B और M समकोण हैं। सिद्ध कीजिए कि:
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
हल :

(i) ∆ABC और ∆AMP में,
∠B = ∠M = 90° [समकोण दिए हैं।]
∠CAB = ∠PAM [चित्रानुसार उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆AMR. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(ii) ∆ABC ~ ∆AMP [सिद्ध कर चुके हैं]
\(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
[क्योंकि दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।]
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
CD और GH क्रमशः ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिन्दु D और H क्रमशः ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित है। यदि ∆ABC ~ ∆FEG, तो दर्शाइए कि:
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
हल :
दिया है : ∆ABC ~ ∆FEG, CD एवं GH क्रमशः कोण ∠ACB और ∠EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि D और H क्रमश: ∆ABC और ∆FEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं।

∆ABC ~ ∆FEG [दिया है]
∠A = ∠F, ∠B = ∠E एवं ∠C = ∠G …(1)
\(\frac{A B}{F E}=\frac{B C}{E G}=\frac{C A}{G F}\) …(2) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
∠ACD = ∠BCD = ∠EGH = ∠FGH [बराबर कोणों ∠C एवं ∠G के आधे हैं।]

(i) ∆ACD और ∆FGH में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆ACD ~ ∆FGH [AA समरूपता]
\(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

(ii) ∆DCB और ∆HGE में,
चूँकि ∠B = ∠E [समीकरण (1) से]
एवं ∠BCD = ∠EGH [समीकरण (3) से]
∆DCB ~ ∆HGE. [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA और ∆HGF में,
चूँकि ∠A = ∠F [समीकरण (1) से]
एवं ∠ACD = ∠FGH [समीकरण (3) से]
∆DCA ~ ∆HGF.
[AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
संलग्न आकृति 6.22 में AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABD ~ ∆ECF है।
हल :

∆ABD और ∆ECF में,
चूँकि ∠B = ∠C
[AB = AC के सम्मुख एवं कोण हैं।]
∠D = ∠F [AD ⊥ BC, EF ⊥ AC]
∆ABD ~ ∆ECE [AA समरूपता से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 12.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती है [देखिए संलग्न आकृति 6.23] । दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।

हल :
दिया है

[चूँकि AD एवं PM माध्यिकाएँ]
अब ∆ABD और ∆PQM में,
∵ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (1) एवं (2) में]
⇒ ∆ABD ~ ∆PQM [SSS समरूपता]
⇒ ∠B = ∠Q …(3) [समरूपता त्रिभुजों के प्रगुण]
अब ∆ABC और ∆PQR में,
चूँकि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) [समीकरण (1) से]
एवं ∠B = ∠C [समीकरण (3) से]
⇒ ∆ABC ~ ∆PQR. [SAS समरूपता]
इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है। दर्शाइए कि CA² = CB.CD है।
हल :

∆ABC की भुजा BC पर कोई बिन्दु D इस प्रकार दिया है कि :
∠ADC = ∠BAC [देखिए संलग्न आकृति 6.24]
∆ABC और ∆DAC में,
‘चूंकि ∠BAC = ∠ADC [दिया है]
∠ACB = ∠DCA [उभयनिष्ठ हैं]
∆ABC ~ ∆DAC [AA समरूपता]
\(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
CA.CA = CB.CD
⇒ CA² = CB.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि ∆ABC ~ ∆PQR है।
हल :

दो त्रिभुज ∆ABC एवं ∆PQR दिए हैं जिनकी माध्यिकाएँ क्रमशः AD एवं PM हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.25) जिसमें दिया है : \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}=k\)
(मान लीजिए) …(1)
AB = kPQ, AC = kPR एवं AD = kPM …….(2)
∵∆ABC में AD माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
AB² + AC² = 2AD² + 2BD² …(3)
k²PQ² + K²PR² = 2k²PM² + 2BD² [समीकरण (2) एवं (3) से]
k²(PQ² + PR² – 2PM²) = 2BD²
∆PQR में PM माध्यिका है, तो अपोलोनियस प्रमेय से,
PQ² + PR² = 2PM² + 2QM²
PQ² + PR² – 2PM² = 2QM²…(5)
k²(2QM²) = 2BD² [समीकरण (4) एवं (5) से]

प्रश्न 15.
लम्बाई 6 मीटर वाले एक स्तम्भ की भूमि पर छाया की लम्बाई 4 m है जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लम्बाई 28 m है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए AB = 6 cm लम्बा एक स्तम्भ है जिसकी छाया BC की लम्बाई 4 m है एवं ∠ABC = 90° तथा ∠C = x° है। आकृति 6.26(a) एवं PQ = h m (मान लीजिए) कि ‘मीनार की छाया QR की लम्बाई 28 m है एवं ∠PQR = 90° तथा ∠R = x° है।
∠C = ∠R = x° (सूर्य का उन्नयन कोण) एवं ∠B = ∠Q = 90°
∆ABC ~ ∆PQR [AA समरूपता]

अत: मीनार की अभीष्ट ऊँचाई = 42 cm है।

प्रश्न 16.
AD और PM त्रिभुओं ABC और PQR की क्रमशः माध्यिकाएँ हैं जबकि ∆ABC ~ ∆PQR है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) है।
हल :

दिया है : AD और PM क्रमशः ∆ABC एवं ∆PQR की माध्यिकाएँ हैं और ∆ABC ~ ∆PQR [देखिए संलग्न आकृति 6.27]
चूँकि
∆ABC ~ ∆PQR (दिया है)
∠B = ∠Q …(1) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
एवं
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\)
[समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
लेकिन BC = 2BD एवं QR = 2QM [D, BC का और M, QR का मध्यबिन्दु है]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ….(2)
अब ∆ABD एवं ∆PQM में,
∠B = ∠Q [समीकरण (1) से]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B D}{Q M}\) [समीकरण (2) से]
AABD ~ APQM [SAS समरूपता]
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.2

प्रश्न 1.
6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। (2019)
हल :
ज्ञात है : r = 6 cm एवं θ° = 60°
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times(6)^{2}\)
= \(\frac{132}{7} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{132}{7} \mathrm{cm}^{2}\)

प्रश्न 2.
एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।
हल :
चूंकि परिधि = 2πr
2 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x r = 22
\(r=\frac{22 \times 7}{2 \times 22}=\frac{7}{2} \mathrm{cm}\)
चूँकि चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \pi r^{2}\)
चतुर्थाश का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right)\)
= \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)
अतः चतुर्थांश का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{77}{8} \mathrm{cm}^{2}\)

प्रश्न 3.
एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
चूँकि मिनट सुई 1 घण्टे में (60 मिनट में) वृत्त का एक चक्कर लगाती है।
इसलिए 5 मिनट में \(\frac{5}{60}=\frac{1}{12}\) वृत्त को रचेगी।
इस वृत्त की त्रिज्या r = सुई की लम्बाई = 14 cm
वृत्त के अंश का क्षेत्रफल

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{154}{3} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 4.
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड।
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)
हल :

दिया है : r = 10 cm एवं θ = 90°
(i) चूँकि लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360} \pi r^{2}\)
ar (OAPB) = \(\frac { 90 }{ 360 }\) x 3.14 x (10)²
= \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x 100
ar (OAPB) = 78.5 cm²
ar (∆OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) OA x OB
ar (OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 10 x 10 = 50 cm² …(2)
चूँकि संगत लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 78.5 – 50 = 28.5 cm² [समीकरण (1) एवं (2) से]
अतः संगत लघु वृत्त खण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 28.5 cm² है।

(ii) चूँकि संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{360-\theta}{360} \pi r^{2}\)

अतः संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 235.5 cm² है।

प्रश्न 5.
त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लम्बाई (2019)
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (2019)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चूंकि चाप की लम्बाई = \(\frac{\theta^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi r\)
चाप की लम्बाई = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21\)
चाप (APB) = \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 22 x 6 = 22 cm
अतः चाप की अभीष्ट लम्बाई = 22 cm

(ii) चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
ar (OAPB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 22 x 3 x 21 = 231 cm²
अतः चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 231 cm² है।

(iii) चूँकि ∆OAB में ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA
तथा ∠OAB + ∠OBA = 180° – 60° = 120°
∠OAB = ∠OBA = \(\frac { 120 }{ 2 }\) = 60°
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा = 21 cm
चूँकि समबाहु ∆ का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
ar(OAB) = \(\frac{\sqrt{3}}{4}(21)^{2}=\frac{441 \sqrt{3}}{4} \mathrm{cm}^{2}\)
और चूँकि वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल – संगत त्रिभुज का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
= \(\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{cm}^{2}\)
अतः संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\left(231-\frac{441 \sqrt{3}}{4}\right) \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 6.
15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : वृत्त की त्रिज्या OA = OB = 15 cm
एवं ∠AOB = 60°
∠OAB + ∠OBA = 180° – 60°
= 120° …(1)
और ∠OAB = ∠OBA …(2) [∵ OA = OB]
∠OAB = ∠OBA
= \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120° = 60°[समीकरण (1) एवं (2) से]
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 15 cm
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)
ar (OAPB) = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x 15 x 15
= \(\frac { 1 }{ 6 }\) x 3.14 x 15 x 15
= 1.57 x 75
ar (OAPB) = 117.75 cm² …(3)
चूँकि समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) (भुजा)²
ar (OAB) = \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 15 \times 15=\frac{225 \sqrt{3}}{4}\)
ar (OAB) = \(\frac{225 \times 1 \cdot 73}{4}\) = 97.31 cm² [लगभग] …(4)
चूँकि लघु वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
ar (APB) = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 117.75 – 97.31
= 20.44 cm² …(5)
[समीकरण (3) एवं (4) से मान रखने पर ]
चूँकि वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= 3.14 x 15 x 15
= 706.5 cm² …(6)
चूँकि दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल
ar (AQB) = 706.5 – 20.44
= 686.06 cm² (लगभग)
अतः लघु वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20.44 cm² (लगभग) एवं दीर्घ वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 686.06 cm² (लगभग) है।

प्रश्न 7.
त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

ज्ञात है : केन्द्र O वाला वृत्त जिसकी त्रिज्या 12 cm है तथा एक जीवा AB केन्द्र O पर ∠AOB = 120° का कोण बनाती है।
O से OM ⊥ AB खींचिए जो AB को M पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज OAB में OM शीर्ष लम्ब है।
इसलिए यह ∠AOB = 120° को समद्विभाजित करेगी
अर्थात्
∠AOM = ∠BON = \(\frac { 120 }{ 2 }\) = 60°
एवं AM = BM = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB.
अब समकोण ∆OMA में,

AM = 6 √3 = 6 x 1.73 = 10.38 cm
[∵ sin 60° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) ]
AB = 2 AM = 2 x 10.38 = 20.76 cm
त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x AB x OM
ar (OAB) = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 20.76 x 6 = 62.28 cm² …(1)
चूँकि त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac { 120 }{ 360 }\) x 3.14 x (12)²
ar (OAPB) = 3.14 x 48 = 150.72 cm² ….(2)
चूँकि वृत्तखण्ड APB = ar (OAPB) – ar (OAB)
ar (APB) = 150.72 – 62.28
[समीकरण (1) एवं (2) से मान रखने पर]
ar (APB) = 88.44 cm²
अतः संगत वृत्तखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 88.44 cm² है।

प्रश्न 8.
15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति 12.8) ज्ञात कीजिए :
(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

(i) घोड़े द्वारा घास चरे जा सकने वाला मैदान एक वृत्त का चतुर्थांश होगा जिसकी त्रिज्या 5 m है।
मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (5)²
\(A_{1}=\frac{78 \cdot 50}{4}\)
= 19.625 m²
अतः घास के मैदान का अभीष्ट क्षेत्रफल = 19.625 m² है।

(ii) अब घोड़े द्वारा चरे जा सकने वाले घास का मैदान 10 m त्रिज्या के वृत्त का चतुर्थांश होगा
मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 }\) x 3.14 x (10)²
A2 = 78.5 m²
घास के मैदान में वृद्धि = A2 – A1 = 78.5 – 19.625
= 58.875 m²
अतः घास के मैदान में अभीष्ट वृद्धि = 58.875 m² है।

प्रश्न 9.
एक वृत्ताकार बूच (brough) को चाँदी के तार से बनाया जाता है, जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति 12.9 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :
(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) बूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।
हल :

(i) चाँदी के तार से वृत्त की परिमाप एवं पाँच व्यास बनाने हैं। व्यास = 35 mm दिया है।
वृत्त की परिमाप (परिधि) = πd = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 35 = 110 mm
पाँच व्यासों की लम्बाई = 5 x d = 5 x 35 = 175 mm
तार की कुल लम्बाई = 110 mm + 175 mm = 285 mm
अतः वांछित चाँदी के तार की अभीष्ट लम्बाई = 285 mm है।

(ii) पाँच व्यासों द्वारा वृत्त 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित हो रहा है।
इसलिए प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{10} \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{2} \times \frac{35}{2}\)
= \(\frac{11 \times 35}{4}=\frac{385}{4}\)
अतः प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{385}{4} \mathrm{mm}^{2}\) है।

प्रश्न 10.
एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 12.10)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमांगत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

बराबर दूरी पर लगी आठ तानें वृत्त को आठ बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त करती हैं जिसकी त्रिज्या 45 cm दी है।
प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

अतः दो तानों के बीच अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{22275}{28} \mathrm{cm}^{2}\) है।

प्रश्न 11.
किसी कार के दो वाइपर (Wiper) हैं, परस्पर कभी भी अच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों
की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रत्येक वाइपर 25 cm की त्रिज्या वाले उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल साफ करता है जिसकी त्रिज्याओं के बीच कोण θ = 115° है।
दोनो वाइपरों द्वारा कुल साफ किया गया क्षेत्रफल (एक बार में)

अतः दोनों वाइपरों द्वारा प्रत्येक बुहार में साफ किया गया अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{158125}{126}\) है।

प्रश्न 12.
जहाजों को समुद्र में जल स्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (Light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिससे जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।
हल :

लाइट हाउस द्वारा जहाजों को दी जाने वाली चेतावनी के लिए क्षेत्रफल एक त्रिज्यखण्ड होगा जिसकी त्रिज्याएँ r = 16.5 km एवं त्रिज्याओं के बीच का कोण θ = 80° होगा।
चूँकि त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360} \pi r^{2}\)
समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल = \(\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}}\) x 3.14 x 16.5 x 16.5 .
= 6.28 x 5.5 x 5.5
= 189.97 km²
अतः समुद्र के भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 189.97 km² है।

प्रश्न 13.
एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 12.12 में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है, तो Rs 0.35 प्रतिवर्ग सेण्टीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)
हल :

मेजपोश कुल छः बराबर त्रिज्यखण्डों में विभक्त है जिनकी त्रिज्या 28 cm तथा त्रिज्याओं के बीच कोण \(\frac { 360 }{ 6 }\) = 60° होगा।
मान लीजिए कि एक त्रिज्यखण्ड OAPB संलग्न आकृति 12.13 में दिखाया गया है।
∆OAB एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 28 cm है।
[क्योंकि ∠AOB = 60° एवं ∠OAB = ∠OBA = 60°]
समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) x (28)²
ar (OAB) = 333.2 cm² …(1)
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}} \times \pi r^{2}\)

ar (OAPH) = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}(28 \times 28)\)
= \(\frac{22 \times 56}{3} \mathrm{cm}^{2}\)
= 410.67 cm²
वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = ar (OAPB) – ar (OAB)
= 410.67 – 333.2
= 77.47
6 वृत्तखण्डों का कुल क्षेत्रफल = 6 x 77.47 = 464.82 cm²
डिजाइन बनाने की लागत = दर x कुल क्षेत्रफल
= 0.35 x 464.82
= Rs 162.68
अत: अभीष्ट लागत = Rs 162.68 है।

प्रश्न 14.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है, निम्नलिखित है :

उत्तर-
(D) \(\frac{P}{720} \times 2 \pi R^{2}\)

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 10 वृत्त Additional Questions

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 अतिरिक्त परीक्षोपयोगी प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
वृत्त के किसी बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिन्दु से खींची गई त्रिज्या पर लम्ब होती है। सिद्ध कीजिए।
अथवा
वृत्त की स्पर्श रेखा स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है। सिद्ध कीजिए।
हल :

ज्ञात है : वृत्त C (O, r) की स्पर्श रेखा AB जिसका बिन्दु P स्पर्श बिन्दु है। OP स्पर्श बिन्दु से होकर जाने वाली त्रिज्या है।
सिद्ध करना है : OP ⊥ AB
रचना : रेखा AB पर P के अतिरिक्त एक अन्य बिन्दु Q लीजिए और OQ को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵Q एस्पर्श रेखा AB पर स्पर्श बिन्दु P के अतिरिक्त कोई अन्य बिन्दु है।
∵ Q वृत्त के बाहर स्थित होगा।
∴ OQ > OP
अर्थात् OP < OQ
∵ किसी बिन्दु O से रेखा AB तक खींचे गये रेखाखण्डों में OP सबसे छोटा है।
∴ OP ⊥ AB.
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
किसी वृत्त के बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ तुल्य होती हैं। सिद्ध कीजिए।
अथवा
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। सिद्ध कीजिए। (2019)
हल :

ज्ञात है : वृत्त C (O, r) पर बाह्य बिन्दु P से खींचे गए दो स्पर्श रेखाखण्ड PQ और PR हैं।
सिद्ध करना है : PQ = PR
रचना : रेखाखण्ड OP, OQ और OR खींचिए।
उपपत्ति : ∵ PQ एवं PR स्पर्श रेखाएँ और OQ एवं OR त्रिज्याएँ हैं।
∴ OQ ⊥ PQ
OR ⊥ PR
∴ ∠OQP = ∠ORP = 90°
अब समकोण ∆OQP एवं ∆ORP में,
∵ कर्ण OP = कर्ण OP [उभयनिष्ठ है]
∵ भुजा OQ = भुजा OR [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∴ ∆OQP ≅ ∆ORP [R.H.S. सर्वांगसम प्रमेय से]
∴ PQ = PR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
यदि किसी वृत्त की जीवाएँ एक-दूसरे को वृत्त के अन्तर्गत या बहिर्गत प्रतिच्छेद करती हैं, तो एक जीवा के खण्डों से निर्मित आयत दूसरी जीवा के खण्डों से निर्मित क्षेत्रफल के तुल्य होगा।
अथवा
यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ वृत्त के अन्दर या बढ़ाने पर वृत्त के बाहर प्रतिच्छेद करती हों, तो एक जीवा के दो खण्डों से बने आयत का क्षेत्रफल दूसरी जीवा के दो खण्डों से बने आयत के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
हल :
ज्ञात है : वृत्त C (O,r) की दो जीवाएँ AB और CD जो वृत्त के अन्दर या बढ़ाने पर वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है : PA.PB = PC.PD
रचना : AC और BD को मिलाइए।

उपपत्ति : स्थिति-I में जबकि जीवाएँ AB एवं CD वृत्त के अन्दर बिन्दु P पर परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं :
∆PAC और ∆PDB में,
∵ ∠PCA = ∠PBD [एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं।
∵ ∠PAC = ∠PDB [एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं।
∵ ∠APC = ∠BPD [शीर्षाभिमुख कोण हैं।
∴ ∆PAC ~ ∆PDB [AAA समरूपता प्रमेय]
∴ \(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\) [समरूप त्रिभुजों की परिभाषा से]
अर्थात् PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्
स्थिति-II में जबकि जीवाएँ AB एवं CD बढ़ाने पर वृत्त के बाहर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं :
∵ ∠PAC + ∠CAB = 180° …(1) [कोणों का रैखिक युग्म]
∵ ∠CAB + ∠CDB = 180° …(2) [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं|
∴ ∠PAC = ∠CDB (या ∠PDB) [(1) एवं (2) से]
इसी प्रकार ∠PCA = ∠ABD (या ∠PBD)
अब ∆PAC और ∆PDB में,
∵ ∠PAC = ∠PDB [सिद्ध कर चुके हैं।
∵ ∠PCA = ∠PBD [सिद्ध कर चुके हैं।
∵ ∠APC = ∠DPB [उभयनिष्ठ हैं
∴ ∆PAC ~ ∆PDB [AAA समरूपता प्रमेय]
∴ \(\frac{P A}{P D}=\frac{P C}{P B}\) [समरूप त्रिभुजों की परिभाषा से
अर्थात् PA.PB = PC.PD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
PAB, O केन्द्र के वृत्त की छेदक रेखा है, जो वृत्त को A एवं B पर काटती है तथा PT स्पर्श रेखा है, तो सिद्ध कीजिए कि PA.PB = PT².
अथवा
यदि PAB वृत्त की छेदक रेखा हो जो वृत्त को A और B पर प्रतिच्छेद करती है और PT एक स्पर्श रेखा हो, तो सिद्ध कीजिए कि PA.PB = PT².
हल :
ज्ञात है : वृत्त C (O, r) की एक छेदक रेखा PAB जो वृत्त को A एवं B पर प्रतिच्छेद करती है तथा PT एक स्पर्श रेखा जो वृत्त को T पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है : PA.PB = PT²
रचना : OM ⊥ AB खींचिए। OA, OP एवं OT को मिलाइए।
उपपत्ति: PA.PB = (PM – AM) (PM + MB)
= (PM – AM) (PM+ AM)
[∵ OM ⊥ AB ⇒ AM = MB]
= PM² – AM²
= (OP² – OM²) – (OA² – OM²)
= OP² – OA² [पाइथागोरस प्रमेय]
= OP² – OT² [∵ OA = OT त्रिज्याएँ हैं।
= PT² [पाइथागोरस प्रमेय]
अतः, PA.PB = PT².
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
यदि कोई रेखा वृत्त को स्पर्श करे और स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाये, तो वे कोण जो जीवा स्पर्श रेखा के साथ बनाती है, क्रमशः संगत एकान्तर वृत्त खण्ड में बने कोणों के बराबर होते हैं।
अथवा
यदि वृत्त की स्पर्श रेखा के स्पर्श बिन्दु से एक जीवा खींची जाए, तो इस जीवा द्वारा दी गई स्पर्श रेखा के साथ बनाए गए कोण, संगत एकान्तर वृत्त खण्डों में बनाए गए कोण के क्रमशः बराबर होते हैं।
हल :

ज्ञात है : AB वृत्त C (O,r) की एक स्पर्श रेखा है जिसका स्पर्श बिन्दु P है। P से एक जीवा PQ खींची गई है। ∠PRO एवं ∠PSQ क्रमशः वृत्त खण्डों में बने कोण हैं।
सिद्ध करना है: ∠PRQ = ∠QPB
एवं ∠PSQ = ∠OPA
रचना : व्यास POT खींचिए और TQ को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵ ∠TOP = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
∴ ∠TPQ + ∠PTQ = 90° …(1) [समकोण त्रिभुज के शेष कोण हैं।
∵ ∠TPQ + ∠QPB = ∠TPB = 90° …(2) [∵ TP ⊥ AB]
∴ ∠PTQ = ∠QPB [समीकरण (1) एवं (2) से]
लेकिन ∠PTQ = ∠PRQ [एक ही वृत्त खण्ड के कोण हैं]
∴ ∠PRQ = ∠QPB. इति सिद्धम
∵ ∠QPA + ∠QPB = 180° [ऋजु रेखीय युग्म]
∵ ∠PSQ + ∠PRQ = 180° [चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
∴ ∠PSQ + ∠PRQ = ∠QPB + ∠QPA
लेकिन ∠PRQ = ∠QPB [सिद्ध कर चुके हैं।
∴ ∠PSQ = ∠QPA.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को (अन्तः या बाह्य रूप से) स्पर्श करते हैं, तो स्पर्श बिन्दु वृत्तों के केन्द्रों को मिलाने वाली सरल रेखा पर स्थित होता है।
अथवा
यदि दो वृत्त एक-दूसरे को (आन्तरिकतः या बाह्यतः) स्पर्श करते हों, तो स्पर्श बिन्दु केन्द्रों से होकर जाने वाली रेखा पर स्थित होता है।
हल :
ज्ञात है : दो वृत्त C (O, r) एवं C (O’, r’) एक-दूसरे को बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध करना है : O, P एवं O’ सरेख हैं।
रचना : बिन्दु P पर दोनों वृत्तों की सामान्य स्पर्शी APB खींचिए। OP एवं O’P को मिलाइए।

उपपत्ति: स्थिति-I में,
∵ त्रिज्या OP के सिरे P पर APB वृत्त की स्पर्श रेखा है।
∴OP ⊥ APB
इसी प्रकार O’P ⊥ APB
किसी रेखा के किसी बिन्दु पर एक ही ओर एक और केवल एक लम्ब खींचा जा सकता है।
इसीलिए OP एवं O’ P संपाती होंगी।
अतः O,O’,P संरेख हैं। इति सिद्धम्
स्थिति-II में,
∵ त्रिज्या OP के सिरे P पर APB वृत्त की स्पर्श रेखा है।
∴ OP ⊥ APB
अर्थात् ∠OPA = 90°
इसी प्रकार ∠APO’ = 90°
∴ ∠OPA + ∠APO’ = 180°
इसलिए O, P एवं O’ संरेख हैं। इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
संलग्न आकृति में दो वृत्त जिनके केन्द्र O एवं O’ हैं, एक-दूसरे को A पर स्पर्श करते हैं। A से एक सरल रेखा खींची गई है जो वृत्तों को B और C पर काटती है। सिद्ध कीजिए कि B और C पर स्पर्श रेखाएँ समानान्तर हैं।

हल :
ज्ञात है : O एवं O’ केन्द्र वाले दो वृत्त एक-दूसरे को A पर स्पर्श करते हैं। A से एक रेखा खींची गई है, जो वृत्तों को क्रमश: B एवं C पर काटती है। B तथा C पर स्पर्श रेखाएँ क्रमशः DE एवं FG खींची गई हैं।
सिद्ध करना है : रेखा DE || रेखा FG
रचना : OB एवं O’C को मिलाया।
उपपत्ति : ∵ OB = OA [एक ही वृत्त की त्रिज्या हैं।
∴ ∠OBA = ∠OAB …..(1)
[समान भुजाओं के सामने के कोण हैं।
∴ O’A = O’C [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∵ ∠O’AC = ∠O’CA …(2)
[समान भुजाओं के सामने के कोण हैं।
∠OAB = ∠O’CA …(3)
[शीर्षाभिमुख कोण हैं
समीकरण (1) एवं (3) से,
∠OBA = ∠O’CA …(4)
∵ ∠OBA + ∠ABE = ∠O’CA + ∠ACF …(5)
[क्योंकि OB ⊥ DE एवं O’C ⊥ FG]
समीकरण (4) एवं (5) से,
∠ABE = ∠ACF
लेकिन ये कोण एकान्तर कोण हैं।
अतः, DE || FG.
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC, त्रिभुज का परिगत वृत्त खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि वृत्त के बिन्दु A पर खींची गई स्पर्श रेखा BC के समानान्तर है।
अथवा
यदि ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज हो, जहाँ AB = AC हो, तो सिद्ध कीजिए कि ∆ABC के परिवृत्त के बिन्दु A पर स्पर्श रेखा BC के समानान्तर होती है।
हल :
दिया है : समद्विबाहु ∆ABC, जिसमें AB = AC
∆ABC के परिवृत्त C (O, r) के बिन्दु A से जाने वाली स्पर्श रेखा PQ

सिद्ध करना है : PQ || BC
रचना : A से BC पर लम्ब AM खींचिए।
उपपत्ति : ∵ AM ⊥ BC
∴ ∠AMB = 90° …(1)
चूँकि समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष से डाला गया लम्ब आधार को समद्विभाजित करता है, अत: AM, BC का लम्ब समद्विभाजक है। चूँकि चाप BC का लम्ब समद्विभाजक AM है।
अतः AM परिवृत्त के केन्द्र O से होकर जायेगा।
∵ ∠MAQ = ∠OAQ = 90° [∵ PQ स्पर्श रेखा है] …(2)
∴ ∠AMB = ∠MAQ [OA ⊥ PQ]
लेकिन ये एकान्तर कोण हैं।
∴ PQ || BC.
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
AB वृत्त का व्यास और AC जीवा है। ∠BAC = 30°, C बिन्दु पर वृत्त की स्पर्श रेखा AB को उसके बढ़े हुए भाग से D पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि
BC = BD.
हल :

ज्ञात है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O है।
इसका व्यास AOB है। एक जीवा AC है तथा ∠BAC = 30° है। C पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है, जो AB को बढ़ाने पर D बिन्दु पर काटती है।
सिद्ध करना है : BC = BD
रचना : OC को मिलाया।
उपपत्ति : ∵ चाप BC द्वारा केन्द्र पर बना
कोण ∠BOC तथा शेष परिधि पर बना कोण ∠BAC है।
∴ ∠BOC = 2 ∠BAC = 2 x 30° = 60°
∵ OB = OC [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं|
∴ ∠OBC = ∠OCB = 60° [: ∠BOC = 60°]
∵ OC त्रिज्या एवं CD स्पर्श रेखा है।
∴ ∠OCB + ∠BCD = ∠OCD = 90°
⇒ 60° + ∠BCD = 90°
⇒ ∠BCD = 90° – 60° = 30°
∆OCD में, ∠OCD + ∠COD + ∠ODC = 180°
⇒ 90° +60° + ∠BDC = 180°
∠BDC = 180° – 90° – 60° = 30°
∆BCD में,
∵ ∠BCD = ∠BDC = 30°
∴ भुजा BC = भुजा BD [समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ हैं।
अतः, BC = BD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
दी हुई आकृति चित्र 10.26 में चतुर्भुज ABCD की सभी भुजाओं को स्पर्श करता हुआ वृत्त खींचा गया है। AB = 6 सेमी, BC = 7 सेमी और CD = 4 सेमी। AD का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

दी हुई आकृति के अनुसार,
∵ \(x+y=\overline{A B}=6\) …(1)
∵ \(y+z=\overline{B C}=7\) ….(2)
∵ \(z+t=\overline{C D}=4\) …(3)
समीकरण (1) एवं (3) को जोड़ने पर,
x + y + z + t = 6 + 4 = 10 …(4)
समीकरण (4) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
x + t = 10 – 7 = 3
⇒ AD = 3 सेमी
अतः, AD का अभीष्ट मान = 3 सेमी।

प्रश्न 11.
त्रिभुज ABC के अन्तर्गत वृत्त भुजाओं AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी और CA = 8 सेमी को क्रमशः D, E और F . बिन्दुओं पर स्पर्श करता है। AD, BE और CF के मान बताइए।

हल :
मान लीजिए AD = x, BE = y एवं CF = z हैं|
⇒ AD = AF = x, BE = BD = y एवं CF = CE = z (बाह्य बिन्दु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं) तथा AB = 12 सेमी, BC = 16 सेमी एवं CA = 8 सेमी।
अब चित्रानुसार,
AD + DB = AB
⇒ x + y = 12
∵ BE + EC = BC
⇒ y + z = 16
∵ CF + FA = CA
⇒ z + x = 8
समीकरण (1) + (2) + (3) से,
2x + 2y + 2x = 12 + 16 + 8 = 36
⇒ x + y + z = 18
समीकरण (4) में से क्रमशः (2), (3) एवं (1) को घटाने पर,
x = 2, y = 10 एवं z = 6
अर्थात्, AD = 2 सेमी, BE = 10 सेमी तथा CF = 6 सेमी।

प्रश्न 12.
किसी वृत्त के बाह्य बिन्दु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाए तो सिद्ध कीजिए कि
(i) स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
(ii) उस बाह्य बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा स्पर्श रेखाओं के बीच अन्तरित कोण को समद्विभाजित करती है।
हल :

ज्ञात है : वृत्त (O, r) पर बाह्य बिन्दु P से दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गई हैं जो वृत्त को क्रमशः Q एवं R बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
OQ एवं OR वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
सिद्ध करना है :
(i) ∠POQ = ∠POR
(ii)∠QPO = ∠RPO
उपपत्ति : समकोण ∆OOP एवं ∆ORP में,
∵ OQ = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∵ कर्ण OP = कर्ण OP [उभयनिष्ठ है]
⇒∆OQP = ∆ORP [R.H.S. सर्वांमसमता]
⇒∠POQ = ∠POR [CPCT]
∠QPO = ∠RPO. [CPCT] इति सिद्धम्

प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में दो समान त्रिज्या के वृत्त जिनके केन्द्र O तथा O’ हैं परस्पर बिन्दु X पर स्पर्श करते हैं। OO’ को बढ़ाने पर O’ केन्द्र वाले वृत्त को बिन्दु A पर काटता है। बिन्दु A से O केन्द्र वाले वृत्त पर AC एक स्पर्श रेखा है तथा O’D ⊥ AC है। \(\frac { DO’ }{ CO }\) का मान ज्ञात कीजिए।

हल :
ज्ञात है : समान त्रिज्या वाले दो वृत्त (O, r) एवं (O’, r) जो परस्पर बिन्दु X पर स्पर्श करते हैं।
OO’ बढ़ाने पर वृत्त (O’, r) को बिन्दु A पर प्रतिच्छेद करती है। बिन्दु A से वृत्त (O, r) पर स्पर्श रेखा AC खींची गयी है जो वृत्त (O, r) को बिन्दु C पर स्पर्श करती है। केन्द्र O’ से AC पर O’D ⊥ AC खींचा गया है। OC को मिलाया गया है।
O’A = O’X = OX = r …(1) बराबर वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं
⇒AO = AO’ + O’X + XO = r + r + r = 3r …(2)
चूँकि O’D ⊥ AC एवं OC स्पर्श बिन्दु C से जाने वाली त्रिज्या है।
⇒∠ADO’ = ∠ACO = 90° …(3)
अब त्रिभुज ∆ADO’ एवं ∆ACO में,
∵ ∠ADO’ = ∠ACO = 90° [समीकरण (3) से]
∵ ∠O’AD = ∠OAC [उभयनिष्ठ है।
⇒ ∆ADO’ ~ ∆ACO

अतः, \(\frac { DO’ }{ CO }\) का अभीष्ट मान \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।

प्रश्न 14.
दी गई आकृति में, XY तथा X’Y’, O केन्द्र वाले वृत्त की दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं तथा एक अन्य स्पर्श रेखा AB, जिसका स्पर्श बिन्दु C है, XY को A तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠AOB = 90°.

हल :
ज्ञात है : वृत्त (O, r) की दो स्पर्श रेखाएँ XY || X’Y’ जो वृत्त को क्रमशः P एवं Q पर स्पर्श करती हैं। तीसरी स्पर्श रेखा AB जो वृत्त को C पर स्पर्श करती है तथा XY एवं X’Y’ को क्रमश: A एवं B बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। OA, OB एवं OC को मिलाया गया है। POQ वृत्त का व्यास है। (आकृति देखिए)
चूँकि बाह्य बिन्दु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ AP एवं AC हैं तथा बिन्दु A को केन्द्र O से मिलाने वाली रेखा AO है एवं हम जानते हैं कि बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
⇒∠POA = ∠AOC ….(1)
इसी प्रकार बाह्य बिन्दु B में दो स्पर्श रेखाएँ BQ एवं BC हैं।
⇒∠COB = ∠BOQ …..(2)
लेकिन ∠POA + ∠AOC + ∠COB + ∠BOQ = 180° …..(3)
चूँकि रेखा PQ के बिन्दु O पर एक ही ओर बने कोण हैं।
⇒∠AOC + ∠COB = ∠POA + ∠BOQ = 90°
[समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
⇒∠AOB = 90°. [चूँकि ∠AOB = ∠AOC + ∠COB]
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त की किसी चाप के मध्य-बिन्दु पर खींची गयी स्पर्श रेखा, चाप के अन्त्य बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर होती है।
हल :

ज्ञात है : वृत्त (O,r) के चाप APB के मध्य-बिन्दु P से स्पर्श रेखा XPY दी है। जीवा AB को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है:
AB || XY
रचना : OA, OP एवं OB को मिलाइए, जहाँ OP, जीवा AB को बिन्दु Q पर प्रतिच्छेद करती है।
अब ∆OAQ एवं ∆OBQ में,
∵ OA = OB = r [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
∵ ∠AOP = ∠BOP
[बराबर चाप \(\widehat{A P}\) एवं \(\widehat{B P}\) द्वारा केन्द्र O पर बने कोण हैं|
∵ OQ = OQ [उभयनिष्ठ है]
⇒∆OAQ = ∆OBQ [SAS सर्वांगसमता]
⇒∠OQA = ∠OQB [CPCT]
⇒∠OQA + ∠OQB = 180° [रैखिक युग्म]
⇒∠ODA = ∠OOB = 90° ….(1) [प्रमेय : 10.1]
⇒∠OPY = 90° …(2)
⇒∠OQB = ∠OPY [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒AB || XY. [चूँकि संगत कोण ∠OQB = ∠OPY]
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
एक समकोण त्रिभुज ABC में ∠B समकोण है। AB को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा गया है जो कर्ण AC को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P पर खींची गयी
वृत्त की स्पर्श रेखा BC को समद्विभाजित करती है।
हल :
ज्ञात है : ABC एक समकोण त्रिभुज जिसका ∠B = 90°. AB को व्यास लेकर एक वृत्त जिसका केन्द्र O है, खींचा गया है जो AC को बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करता है। P पर स्पर्श रेखा XY खींची गयी है जो BC को बिन्दु D पर प्रतिच्छेद करती है।
सिद्ध करना है: DB = DC

रचना : OP को मिलाइए।
उपपत्ति: ∵ ∠OAP = ∠OPA …(1)
[∆OAP में, OA = OP]
∵∠APX = ∠CPD …(2)
(शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∵∠XPA + ∠APO = ∠XPO = 90° …(3)
[स्पर्श रेखा एवं त्रिज्या के बीच कोण है]
⇒∠XPA + ∠OAP = 90° …(4)
[समीकरण (1) एवं (3) से]
⇒∠CPD + ∠OAP = 90° ….(5) [समीकरण (2) एवं (4) से]
लेकिन ∠PCD + ∠OAP = ∠ACB + ∠BAC = 90° …(6)
[समीकरण ∆ABC के न्यूनकोण हैं]
⇒∠CPD = ∠PCD [समीकरण (5) एवं (6) से]
⇒DP = DC ….(7) [बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ]
लेकिन DP = DB …(8)
[बाह्य बिन्दु D से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ।
⇒DB = DC. [समीकरण (7) एवं (8) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
5 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केन्द्र O से 13 cm दूर स्थित बिन्दु A से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ AP और AQ हैं जो वृत्त को क्रमशः P एवं Q बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं। यदि लघु
चाप PQ के किसी बिन्दु R पर स्पर्श रेखा BC खींची गई है जो AP एवं AQ को क्रमश: B एवं C बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है तो ∆ABC की परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : वृत्त के केन्द्र O से OA = 13 cm दूर स्थित बिन्दु A से AP एवं AQ दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं। वृत्त के लघु चाप PQ के बिन्दु R पर तीसरी स्पर्श रेखा BC इस प्रकार है कि वह AP एवं AQ को क्रमशः B एवं C बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। वृत्त की त्रिज्या OP = 5 cm है।
समकोण ∆OPA में पाइथागोरस प्रमेय से,
AP² = OA² – OP²
AP² = (13)² – (5)² = 169 – 25 = 144
AP = √144 = 12 cm = AQ …(1) [बाह्य बिन्दु A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ]
BP = BR …(2) [बाह्य बिन्दु B से खींची गई स्पर्श रेखाएँ।]
CQ = CR …(3) [बाह्य बिन्दु C से खींची गई स्पर्श रेखाएँ।]
परिमाप (∆ABC) = AB + BC + AC
= AB + BR + CR + AC …(4) [∵ BC = BR + CR]
⇒ परिमाप (ABC) = AB + BP + CQ + AC
[समीकरण (2), (3) एवं (4) से]
⇒ परिमाप (ABC) = AP + AQ
[∵ AB + BP = AP एवं CQ + AC = AQ]
⇒ परिमाप (ABC) = 12 + 12 = 24 cm
[AP = AQ = 12 cm, समीकरण (1) से]
अतः ∆ABC की अभीष्ट परिमाप 24 cm है।

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त की जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ वृत्त के बाहर एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु से वृत्त के सम्पर्क तक दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर होंगी। हल :

ज्ञात है : वृत्त O की जीवा AB के सिरों A और B पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ वृत्त के बाहर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करती हैं।
सिद्ध करना है : PA = PB
उपपत्ति: ∵ वृत्त के बाहर किसी बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर बराबर होती हैं।
∴ PA = PB.
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दो वृत्त एककेन्द्रीय (concentric) हैं। सिद्ध कीजिए कि बड़े वृत्त की जीवा, जो छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, सम्पर्क बिन्दु (Point of Contact) पर समद्विभाजित होती है।
हल :

ज्ञात है : चित्रानुसार, दो एककेन्द्रीय वृत्त हैं, बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है।
सिद्ध करना है : AP = BP
उपपत्ति : चूँकि रेखाखण्ड \(\overline{A P B}\) अन्तःवृत्त की स्पर्श रेखा है। तथा OP त्रिज्या है।
∴ OP ⊥ AB
∵ AB बाह्य वृत्त की जीवा है तथा OP केन्द्र O से इस पर डाला गया लम्ब है।
∴ AP = BP.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति में 3 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD एवं DC की लम्बाइयाँ क्रमश: 6 cm तथा 9 cm है। यदि ∆ABC का क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है, B. तो भुजाओं AB तथा AC की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।

हल :
दिया है : O केन्द्र वाला त्रिभुज जिसके परिगत एक त्रिभुज ABC है जिसकी भुजाएँ BC, CA एवं AB क्रमश: D, E एवं F बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं। वृत्त की त्रिज्या OD = 3 cm, BD = 6 cm

एवं DC = 9 cm दिया है, तथा त्रिभुज का क्षेत्रफल ar (ABC) = 54 वर्ग सेमी है। मान लीजिए AF = AE = x cm वृत्त की बाह्य बिन्दु A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।)
∵BF = BD = 6 cm
[बाह्य बिन्दु B से खींची स्पर्श रेखाएँ]
CE = CD = 9 cm [बाह्य बिन्दु C से खींची गई स्पर्श रेखाएँ।
⇒ AB = (x + 6) cm, AC = (x + 9) cm
BC = 6 + 9 = 15 cm
∵ ar (∆OAB) + ar (∆OAC) + ar (∆OBC) = ar (∆ABC)
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) x OF x AB + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x OE x AC + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x OD x BC = 54
⇒ \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3 x (x + 6) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3 x (x + 9) + \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 3 x 15 = 54
⇒ \(\frac{3}{2} x+9+\frac{3}{2} x+\frac{27}{2}+\frac{45}{2}=54\)
⇒ 3x + 9 + 36 = 54
⇒ 3x = 54 – 45 = 9
⇒ x = \(\frac { 9 }{ 3 }\) = 3
⇒ AB = x + 6 = 3 + 6 = 9
⇒ AC = x + 9 = 3 + 9 = 12
अतः, AB एवं AC की अभीष्ट लम्बाइयाँ क्रमश: 9 cm एवं 12 cm हैं।

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में दी स्पर्श रेखाएँ RQ तथा RP वृत्त के बाह्य बिन्दु R से खींची गयी हैं। वृत्त का केन्द्र O है। यदि ∠PRQ = 120° है, तो सिद्ध कीजिए कि OR = PR + RQ.
हल :

ज्ञात है : बाह्य बिन्दु R से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ RP एवं RQ हैं। ∠PRQ = 120° है।
सिद्ध करना है : OR = PR + RQ
रचना : OP एवं OQ को मिलाइए।
उपपत्ति : चूँकि RP एवं RQ बाह्य बिन्दु R से खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं तथा बाह्य बिन्दु R को केन्द्र O से मिलाने वाला रेखाखण्ड OR है।
∠PRO = ∠QRO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ∠PRQ
∠PRO = ∠QRO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 120°
= 60° [∵ ∠PRQ = 120°, दिया है]
अब समकोण ∆OPR में, \(\frac { PR }{ OR }\) = cosPRO
⇒\(\frac { PR }{ OR }\) = cos 60° = \(\frac { 1 }{ 2 }\) ⇒ PR = \(\frac { 1 }{ 2 }\)OR
इसी प्रकार समकोण ∆OOR में, RQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) OR
⇒PR + RQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\)OR + \(\frac { 1 }{ 2 }\)OR = OR
OR = PR + RQ.
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति में एक बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र तथा r त्रिज्या वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PT तथा PS खींची गई हैं। यदि OP = 2r है, तो दर्शाइए कि
∠OTS = ∠OST = 30°.
हल :

ज्ञात है : PT एवं PS वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
OP = 2r बाह्य बिन्दु P को वृत्त के केन्द्र O से मिलाने वाला रेखाखण्ड एवं OT = OS = r त्रिज्या हैं।
∵ समकोण ∆OTP में, \(\frac { OT }{ OP }\) = cos TOP
⇒ cos TOP = \(\frac{r}{2 r}=\frac{1}{2}\) = cos 60°
∠TOP = 60° …(1)
इसी प्रकार cos SOP = \(\frac{O S}{O P}=\frac{r}{2 r}=\frac{1}{2}\) = cos 60° ⇒ ∠SOP = 60° …(2)
चूँकि ∆OTS में, OS = OT [वृत्त की त्रिज्याएँ]
⇒ ∠OTS = ∠OST = θ [मान लीजिए] …(3)
[बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं|
∵ ∆OTS में, ∠OTS + ∠OST + ∠TOS = 180° [∆ के अन्त:कोण हैं]
⇒ ∠OTS + ∠OST + ∠TOP + ∠SOP = 180° [चित्रानुसार]
⇒ θ + θ + 60° + 60° = 180°
⇒ 2θ = 180° – 120° = 60°
⇒ θ = 30°
⇒ ∠OTS = ∠OST = 30°.
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति में O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु C पर PQ एक स्पर्श रेखा है। यदि AB एक व्यास है तथा ∠CAB = 30° है, तो ∠PCA ज्ञात कीजिए।
हल :

प्रथम विधि : ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु C पर स्पर्श रेखा PQ है, AOB व्यास है। ∠CAB = 30° दिया है
∵∠ACB = 90°
[अर्द्धवृत्त का कोण है]
एवं ∠CAB + ∠ABC + ∠ACB = 180°
[त्रिभुज के अन्तःकोण हैं।]
⇒ 30° + ∠ABC + 90° = 180°
⇒ ∠ABC = 180 – 90° – 30° = 180° – 120° = 60° …(1)
∵∠PCA = ∠ABC …(2) [एकान्तर अवधा के कोण हैं|
⇒ ∠PCA = ∠ABC = 60° [समीकरण (1) एवं (2) से]
वैकल्पिक विधि : OC को मिलाइए।
∆OAC में, ∵OA = OC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
⇒ ∠OCA = ∠OAC …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं|
लेकिन ∠OAC = ∠ CAB = 30° …(2) [चित्रानुसार]
⇒ ∠OCA = 30° …(3) [समीकरण (1) एवं (2) से]
∵∠PCA + ∠OCA = ∠PCO = 90° …(4) [प्रमेय 10.1 से]
⇒ ∠PCA + 30° = 90°
⇒ ∠PCA = 90° – 30° = 60° समीकरण (3) एवं (4) से]
अतः ∠PCA का अभीष्ट मान 60° है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी जीवा के अन्तः बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ जीवा के साथ समान कोण बनाती हैं।
हल :

मान लीजिए वृत्त (O, r) की जीवा PQ के अन्तः बिन्दु P एवं पर PR एवं QR क्रमशः दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
सिद्ध करना है:
∠QPR = ∠PQR
रचना : OP एवं OQ को मिलाइए।
उपपत्ति : ∆OPQ में, OP = OQ
[वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
⇒ ∠OPQ = ∠OOP …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
⇒ ∠OPR = ∠OQR = 90° …(2) [स्पर्श रेखा एवं संगत त्रिज्या के मध्य बने कोण हैं]
⇒∠OPR – ∠OPQ = ∠OOR – ∠OOP [समीकरण (2)- (1) से]
⇒∠QPR = ∠PQR. [चित्रानुसार]
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
यदि एक बाह्य बिन्दु P से a त्रिज्या तथा O केन्द्र वाले वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 60° हो, तो OP की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

मान लीजिए वृत्त (O, a) के बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गई हैं। OP को मिलाया गया है। ∠QPR = 60° (दिया हैं) OQ एवं OR को मिलाया गया है। OQ = OR = a (दिया है)।
चूँकि बाह्य बिन्दु को वृत्त के केन्द्र से मिलाने वाली रेखाखण्ड दोनों स्पर्श रेखाओं के मध्य कोण को समद्विभाजित करती है।
∠QPO = \(\frac { 1 }{ 2 }\)∠QPR = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 60° = 30°
अब समकोण ∆OOP में,
sin QPO = \(\frac { OQ }{ OP }\)
sin 30° = \(\frac{a}{O P}=\frac{1}{2}\)
OP = 2 x a = 2a.
अतः, OP के अभीष्ट लम्बाई का मान 2a है।

प्रश्न 9.
किसी बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PA एवं PB खींची गयी हैं। वृत्त के एक बिन्दु E पर एक अन्य स्पर्श रेखा खींची गयी है जो PA एवं PB को क्रमशः C एवं D बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यदि PA = 10 cm हो, तो ∆PCD की परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : बाह्य बिन्दु P से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्श रेखाएँ
PA = PB = 10 cm …(1)
बिन्दु E पर अन्य स्पर्श रेखा CD जो PA एवं PB को क्रमशः बिन्दु C एवं D पर प्रतिच्छेद करती है।
चूँकि बाह्य बिन्दु C से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ CA एवं CE हैं
CA = CE [प्रमेय : 10.2]
चूँकि बाह्य बिन्दु D से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ DE एवं DB है।
DB = DE ….(3) [प्रमेय : 10.2]
परिमाप ∆(PCD) = PC + CD + PD
= PC + CE + DE + PD …(4) [∵ CD = CE + DE]
= PC + CA + PD + DB [समीकरण (2), (3) एवं (4) से]
= PA + PB [चित्रानुसार]
परिमाप ∆(PCD) = 10 + 10 = 20 cm [समीकरण (1) से मान रखने पर]
अतः, ∆PCD की अभीष्ट परिमाप 20 cm है।

प्रश्न 10.
संलग्न आकृति में यदि AB, O केन्द्र वाले एक वृत्त की एक जीवा है। AOC वृत्त का व्यास एवं AT एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को बिन्दु A पर स्पर्श करती है। BC को मिलाया गया है। सिद्ध कीजिए कि : ∠BAT = ∠ACB.
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाला वृत्त जिसका व्यास AOC, AB एक जीवा एवं AT बिन्दु A पर एक स्पर्श रेखा है। CB को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है: ∠BAT = ∠ACB.
उपपत्ति :
∵ ∠ABC = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है]
⇒ ∠BAC + ∠ACB = 90° ….(1) [समकोण ∆ के न्यूनकोण है]
∵ ∠BAT + ∠BAC = ∠OAT = 90° ….(2) [प्रमेयः 10.1 से]
⇒ ∠BAT + ∠BAC = ∠BAC + ∠ACB. [समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∠BAT = ∠ACB.
इति सिद्धम्

प्रश्न 11.
आकृति 10.45 में PQ एवं PR दो स्पर्श रेखाएँ एक वृत्त पर खींची गई हैं जिनमें ∠RPQ = 30° एक जीवा RS स्पर्श रेखा PQ के समान्तर खींची गई है। ∠RQS का मान ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : PQ एवं PR वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं तथा जीवा RS || स्पर्श रेखा PQ एवं ∠RPQ = 30°.
∠RQS का मान ज्ञात करना है।
चूँकि ∆PQR में, PQ = PR
[प्रमेय : 6.2 से]
⇒∠PQR = ∠PRQ …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण]
लेकिन ∠PQR + ∠PRQ + ∠RPQ = 180° [त्रिभुज के अन्त:कोण हैं]
⇒2∠PQR + 30° = 180°
[समीकरण (1) एवं (2) से तथा ∠RPQ = 30°, दिया है]
⇒2∠PQR = 180° – 30° = 150°
⇒∠PQR = \(\frac { 150 }{ 2 }\) = 75° ….(3)
∠RSQ = ∠PRO = 75° …(4) [एकान्तर अवधा का कोण]
एवं एकान्तर कोण
∠SRQ = ∠PQR = 75° …(5)
[RS || PQ एवं RQ तिर्यक रेखा है]
∵ ∆ RQS में, ∠RQS + ∠RSQ + ∠SRQ = 180° [अन्त:कोण]
⇒∠RQS + 75° + 75° = 180°
[समीकरण (4) एवं (5) से मान रखने पर]
⇒∠RQS = 180° – 150° = 30°
अतः, ∠RQS का अभीष्ट मान = 30°.

प्रश्न 12.
एक वृत्त के बिन्दु C पर स्पर्श रेखा एवं वृत्त का व्यास AB (बढ़ाने पर) बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि ∠PCA = 110° तो ∠CBA का मान ज्ञात कीजिए। (देखिए संलग्न आकृति 10.46)
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले वृत्त के बिन्दु C पर खींची गयी स्पर्श रेखा एवं व्यास AB को बढ़ाने पर परस्पर बिन्दु P पर प्रतिच्छेद करते हैं। CO एवं CB को मिलाया गया है। ∠PCA = 110° दिया है। ∠CBA का मान ज्ञात करना है।
चूँकि ∠PCA = 110° (दिया है) …(1)
चूँकि ∠ACB = 90° [अर्द्धवृत्त का कोण है] …(2)
⇒∠OCA = 110° – 90° = 20° [समीकरण (1) – (2) से] …(3)
चूँकि ∆OAC में, OA = OC [वृत्त की त्रिज्याएँ]
⇒∠OAC = ∠OCA …(4) बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं]
⇒∠BAC = ∠OAC = 20° …(5) [समीकरण (3) एवं (4) से तथा चित्रानुसार]
∵ ∆CBA में, ∠CBA + LACB + ∠OAC = 180° [अन्त:कोण हैं]
⇒∠CBA + 90° + 20° = 180° [समीकरण (2) एवं (5) से मान रखने पर]
⇒∠CBA = 180° – 110° = 70°
अतः, ∠CBA का अभीष्ट मान = 70° है।

प्रश्न 13.
दो संकेन्द्रीय वृत्तों में से बाह्य वृत्त की त्रिज्या 5 cm है एवं इसकी एक 8 सेमी लम्बी जीवा अन्तः वृत्त की स्पर्श रेखा है तो अन्तः वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है : O केन्द्र वाले दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनमें बाह्य वृत्त की जीवा PQ = 8 cm अन्त:वृत्त की स्पर्श रेखा है तथा बिन्दु R पर उसे स्पर्श करती है। बाह्य वृत्त की त्रिज्या OQ = 5 cm दी है। मान लीजिए कि अन्त:वृत्त की त्रिज्या OR = r cm है। चूँकि OR स्पर्श बिन्दु R एवं केन्द्र O को मिलाने वाली त्रिज्या है, अतः
OR ⊥ PQ अर्थात् ∠ORQ = 90° [प्रमेय : 10.1 से]
चूँकि OR केन्द्र O से बाह्य वृत्त की जीवा PQ पर डाला गया लम्ब है।
PR = RQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\), PQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 8 cm = 4 cm [∴PQ = 8 cm दिया है]
अब समकोण ∆ORQ में पाइथागोरस प्रमेय से,
OR = \(\sqrt{O Q^{2}-R Q^{2}}\)
= \(r=\sqrt{(5)^{2}-(4)^{2}}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}\)
= 3 cm
अतः, अन्तःवृत्त की त्रिज्या की अभीष्ट लम्बाई 3 cm है।

प्रश्न 14.
बाह्य बिन्दु P से O केन्द्र वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गयी हैं। सिद्ध कीजिए कि QORP चक्रीय चतुर्भुज है।
हल :

ज्ञात है : केन्द्र O वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गयी दो स्पर्श रेखाएँ PQ एवं PR खींची गयी हैं। OQ एवं OR को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : ₹QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति : चूँकि OQ स्पर्श रेखा PQ के स्पर्श बिन्दु Q से जाने वाली त्रिज्या है
OQ ⊥ PQ अर्थात् ∠OQP = 90° …(1) [प्रमेय : 10.1]
एवं OR, स्पर्श रेखा PR के स्पर्श बिन्दु R से जाने वाली त्रिज्या है
OR ⊥ PR अर्थात् ∠ORP = 90° ….(2) [प्रमेय : 10.1 से]
∠OQP + ∠ORP = 90° + 90° = 180° [समीकरण (1) व (2) से]
₹QORP एक चक्रीय चतुर्भुज है। [चूँकि सम्मुख कोणों का युग्म सम्पूरक है]
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि दो परस्पर प्रतिच्छेदी रेखाओं को स्पर्श करने वाले वृत्त का केन्द्र उन रेखाओं के मध्य बने कोण के समद्विभाजक पर स्थित होगा।
हल :

मान लीजिए दो प्रतिच्छेदी रेखाओं PQ एवं PR का प्रतिच्छेदी बिन्दु P है तथा एक केन्द्र O वाला वृत्त इनको क्रमशः Q एवं R बिन्दुओं पर स्पर्श करता है। OQ, OR एवं OP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : केन्द्र O, ∠QPR के समद्विभाजक पर स्थित है अर्थात्
∠QPO = ∠RPO.
उपपत्ति : चूँकि PQ स्पर्श रेखा एवं OQ स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या है।
⇒ OQ ⊥ PQ अर्थात् ∠OQP = 90° …(1) [प्रमेय 10.1 से]
OR ⊥ PR अर्थात् ∠ORP = 90° …(2) [प्रमेय 10.1 से]
⇒ ∆OQP एवं ∆ORP समकोण त्रिभुज हैं
अब समकोण ∆OQP एवं ∆ORP में,
∵ कर्ण OP = कर्ण OP [उभयनिष्ठ है]
∵ OQ = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
⇒ ∆OQP = ∆ORP [RHS सर्वांगसमता]
⇒ ∠QPO = ∠RPO [CPCT] इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
संलग्न आकृति में, O केन्द्र वाले वृत्त की PQ एक जीवा है तथा PT एक स्पर्श रेखा है। यदि ∠QPT = 60° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में PQ एक जीवा तथा PT एक स्पर्श रेखा तथा ∠OPT = 60°, OP एवं OQ को मिलाइए।
:: चूँकि ∆OPQ में, OP = OR
[वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]
⇒∠OPQ = ∠OOP …(1) [बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
∵∠OPT = 90° [OP ⊥ PT] [प्रमेय 10.1 से]
∵∠QPT = 60° [दिया है।]
⇒∠OPQ = ∠OPT – ∠QPT = 90° – 60° = 30° …(2)
⇒∠OPQ+ ∠OQP = 30° + 30° = 60° …(3) [समीकरण (1) एवं (2) से]
∵∠OPQ + ∠OQP + ∠POQ = 180° . …(4) [त्रिभुज के अन्तः कोण हैं]
⇒∠POQ = 180° – 60° = 120° [समीकरण (4) – (3) से]
⇒प्रतिवर्ती ∠POQ = 360° – ∠POQ = 360° – 120° = 240°
चूँकि ∠PRQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) प्रतिवर्ती ∠POQ [चूँकि वृत्त के केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि पर बने कोण का दूना होता है।]
⇒∠PRQ = \(\frac { 1 }{ 2 }\) x 240° = 120°
अतः, ∠PRQ का अभीष्ट मान = 120°.

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों में सत्य एवं असत्य कथन लिखिए तथा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

प्रश्न 1.
यदि एक जीवा वृत्त के केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है तो A एवं B पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण भी 60° होगा।
हल :
असत्य कथन है, क्योंकि यह कोण 120° होगा।

प्रश्न 2.
किसी वृत्त पर बाह्य बिन्दु से खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई सदैव उसकी त्रिज्या से अधिक होगी।
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि यह अधिक हो सकती है और नहीं भी हो सकती।

प्रश्न 3.
किसी O केन्द्र वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई सदैव OP से कम होगी।
हल :
कथन सत्य है क्योंकि OP कर्ण होगी।

प्रश्न 4.
किसी वृत्त की दो स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण 0° भी हो सकता है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि दो समानान्तर स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण शून्य (0) होगा।

प्रश्न 5.
यदि 0 केन्द्र एवं a त्रिज्या वाले किसी वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गयी दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° हो, तो OP = a √2 होगा।
हल :
कथन सत्य है क्योंकि दोनों स्पर्श रेखाएँ एवं संगत त्रिज्याएँ a भुजा वाला वर्ग बनाएँगे तथा OP उसका विकर्ण होगा।

प्रश्न 6.
यदि केन्द्र O एवं त्रिज्या a वाले वृत्त पर बाह्य बिन्दु P से खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण 60° हो तो OP = a √3.
हल :
कथन असत्य है, क्योंकि इसी स्थिति में OP = 2a होगा।

प्रश्न 7.
एक समद्विबाहु ∆ABC जिसमें AB = AC है के परिवृत्त के बिन्दु A पर खींची गयी स्पर्श रेखा BC के समान्तर होती है।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि AB आधार BC एवं स्पर्श रेखा AX के साथ बराबर एकान्तर कोण बनाते हैं।

प्रश्न 8.
यदि अनेक वृत्त रेखाखण्ड PQ को बिन्दु A पर स्पर्श करते हैं तो उनके केन्द्र PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होंगे।
हल :
कथन असत्य हैं, क्योंकि यह तभी होगा जब कि स्पर्श बिन्दु A, PQ का मध्य बिन्दु हो।

प्रश्न 9.
यदि अनेक वृत्त रेखाखण्ड PQ के अन्त्यः बिन्दु P एवं Q से गुजरते हैं, तो उनके केन्द्र PQ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होंगे।
हल :
कथन सत्य है, क्योंकि रेखाखण्ड PQ उन वृत्तों की एक जीवा होगी और वृत्तों के केन्द्र जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित होते हैं।

प्रश्न 10.
AB किसी वृत्त का व्यास है तथा AC उसकी एक जीवा इस प्रकार है कि ∠BAC = 30° यदि C पर खींची गई स्पर्श रेखा AB को बढ़ाने पर उसे D पर प्रतिच्छेद करती है तो BC = BD
हल :
कथन सत्य है क्योंकि ∆ACB में, ∠ACB = 90° [अर्द्ध वृत्त का कोण है।
एवं ∠BAC = 30° [दिया है
तो शेष कोण ∠ABC = 60° = ∠BCD + ∠BDC [∆BDC का बहिष्कोण है]
लेकिन ∠BCD = ∠BAC = 30° [एकान्तर अवधान कोण है।
⇒∠BDC = 60° – 30° = 30°
⇒∠BCD = ∠BDC = 30°
⇒BC = BD.

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 वस्तुनिष्ठ प्रश्न

MP Board Class 10th Maths Chapter 10 बहु-विकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 4 cm एवं 5 cm हैं तो बाह्य वृत्त की प्रत्येक वह जीवा जो अन्तः वृत्त की स्पर्श रेखा हो, की लम्बाई होगी :
(a) 3 cm
(b) 6 cm
(c) 9 cm
(d) 1 cm.
उत्तर:
(b) 6 cm

प्रश्न 2.
किसी वृत्त के व्यास AB के सिरे पर XAY स्पर्श रेखा खींची गयी है। वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। A से 8 cm की दूरी पर स्थित जीवा CD || XY की लम्बाई होगी :
(a) 4 cm
(b) 5 cm
(c) 6 cm
(d) 8 cm.
उत्तर:
(d) 8 cm.

प्रश्न 3.
यदि 60° कोण पर झुकी दो स्पर्श रेखाएँ 3 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर खींची जाती है तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई बराबर है :
(a) \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\) cm
(b) 6 cm
(c) 3 cm
(d) 3√3 cm.
उत्तर:
(d) 3√3 cm.

प्रश्न 4.
किसी वृत्त के बाह्य बिन्दु से अधिकतम स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 2

प्रश्न 5.
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर होती हैं :
(a) लम्बवत्
(b) समानान्तर
(c) समान
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) समान

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ परस्पर ……… होती हैं।
2. स्पर्श बिन्दु से जाने वाली त्रिज्या स्पर्श रेखा पर ……… होती है।
3. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची स्पर्श रेखाओं के बीच बना कोण एवं स्पर्श बिन्दुओं से जाने वाली त्रिज्याओं के बीच बने कोण आपस में ……… होते हैं।
4. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर ……… कोण अन्तरित करती हैं।
5. केन्द्र को बाह्य बिन्दुओं से मिलाने वाली रेखा उस बिन्दु से खींची गयी स्पर्श रेखाओं के मध्य कोण को ……. करती है।
उत्तर-
1. बराबर,
2. लम्ब,
3. सम्पूरक,
4. बराबर,
5. समद्विभाजित।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
1. →(c),
2. →(d),
3. →(e),
4. →(a),
5. →(b).

सत्य/असत्य कथन

1. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं।
2. किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ असमान होती हैं।
3. बाह्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ केन्द्र पर बराबर कोण अन्तरित करती हैं।
4. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाओं की लम्बाइयाँ सदैव वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती हैं।
5. बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के साथ बराबर कोण आन्तरित करती हैं।
6. वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब, जीवा को समद्विभाजित करता है। (2019)
7. वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को छेदक रेखा कहते हैं। (2019)
उत्तर-
1. सत्य,
2. असत्य
3. सत्य,
4. असत्य,
5. सत्य,
6. सत्य,
7. सत्य।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

1. किसी वृत्त को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा क्या कहलाती है।
2. स्पर्श रेखा और वृत्त के उभयनिष्ठ बिन्दु को क्या कहते हैं?
3. किसी वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?
4. एक वृत्त की कितनी समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं? (2019)
उत्तर-
1. स्पर्श रेखा,
2. स्पर्श बिन्दु,
3. अनन्तशः अनेक,
4. दो।