Class 12

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1

प्रश्न 1.
यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, P (F) == 0.3 और P(E ∩F) = 0.2, तो \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{E}}{\boldsymbol{F}}\right)\) और \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{F}}{\boldsymbol{E}}\right)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
ज्ञात है
P(E) = 0.6
P(F) =03
तथा P(EMF) = 0.2

प्रश्न 2.
\(P\left(\frac{A}{B}\right)\) ज्ञात कीजिए, यदि P (B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32
हल:
∵ P(B) =0.5
तथा P (A ∩ B) =0.32

प्रश्न 3.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) = 0.4 ज्ञात कीजिए।
(i) P (A ∩ B)
(ii) P\(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iii) P(AUB)
हल:
दिया है :
P(A) = 0.8, P(B) = 0.5
और \(P\left(\frac{B}{A}\right)\)=0.4

(iii) ∵ P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
=1.3 – 0.32
= 0.98

प्रश्न 4.
P (AUB) ज्ञात कीजिए यदि 2P (A) = P(B) = \(\frac{5}{13}\) और \(P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{2}{5}\)

प्रश्न 5.
यदि P(A) = \(\frac{6}{11}\) P (B) = \(\frac{5}{11}\) और P(AUB) = \(\frac{7}{11}\) तो ज्ञात कीजिए
(i) P (A∩B)
(ii) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\)

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक \(P\left(\frac{E}{F}\right)\) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है-
(i) E : तीसरे उछाल पर चित F : पहली दोनों उछालों पर चित।
(ii) E : न्यूतनम दो चित F : अधिकतम एक चित।
(iii) E : अधिकतम दो पट F : न्यूनतम एक पट।
हल:
सम्भावित परिणाम =8
(i) E = {HHH, HTH, THH, TTH}
तथा F = {HHH, HHT}
E∩F = {HHH}
⇒P(E∩F) = \(\frac{1}{8}\) , P(F) = \(\frac{1}{4}\)
∴
(ii) ∵ E : न्यूनतम दो चित
∴ E = {HHH, HTH, THH, HHT}
F: अधिकतम दो चित
∴ F = {TTT, HTT, THT, HTT, HHT, HTH,THH}
∴ E ∩ F = {HHT, HTH, THH}

(iii) E : अधिकतम दो पट
∴ E = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH,THH, HHH}
F : न्यूनतम दो पट
F = {THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}
∴ E ∩ F = {HTT,THT,TTH,THH, HTH, HHT}

प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है –
(i) E : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii)E : कोई पट प्रकट नहीं होता F: कोई चित प्रकट नहीं होता है।
हल : (i) E = एक सिक्के पर पट प्रकट होता है।
= {TH, HT}
F = एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
= {HT, TH}
∴ E ∩F = {TH, HT}

(ii) E = कोई पट प्रकट नहीं होता है
= {H, H}
F = कोई चित प्रकट नहीं होता है
= {TT}
∴ E ∩ F=ϕ

प्रश्न 8.
एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E : तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F : पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।
हल:
E = तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
= (1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), …(1, 6, 4)
=(2, 1, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 4), …(2, 6, 4)
= (3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), …(3, 6, 4)
= (4,1, 4), (4, 2, 4), (4, 3, 4), …(4, 6, 4)
= (5, 1, 4), (5, 2, 4), (5, 3, 4), …(5, 6, 4)
=(6, 1, 4), (6, 2, 4), (6, 3, 4), … (6, 6, 4)
= 36 परिणाम
F = पहली दो उछालों पर क्रमश: 6 तथा 5 प्रकट होना
= {(6, 5, 1), (6, 5, 2), ( 6, 5, 3), ( 6, 5, 4), ( 6, 5, 5), (6, 5, 6)} = 6 परिणाम
∴ E ∩ F = {6, 5, 4}

प्रश्न 9.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र या यादृच्छया खड़ें हैं –
E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है F : पिता मध्य में खड़े हैं।
हल:
माना पुत्र (s), पिता (f) तथा माता (m) यादृच्छया खड़े है।
E = पुत्र एक सिरे पर खड़ा है।
= {smf, sfm, fms, mfs}
तथा F : पिता मध्य में खड़े हैं।
∴ F = { mfs, sin}
⇒ E ∩ F = {mfs, sfm}

प्रश्न 10.
एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया हैं –
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
हल:
(a) जब दो पासे उछाले जाएँ तो उनका योग 9 से अधिक हो
A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
B = काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
= {(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
A∩B = {(5, 5), (5, 6)}
P(A∩B) = \(\frac{2}{36}\)= \(\frac{1}{18}\)

(b) A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 है।
= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
B = लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
A ∩ B = {(2, 6), (3, 5)}

प्रश्न 11.
एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} और G = {2, 3, 4,5} के लिए
निम्नलिखित ज्ञात कीजिए –



(iii) E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, G = {2, 3, 4, 5}
⇒E ∩ G = {3, 5} E ∩ G = {2, 3},
(E ∩ F) ∩ G = {3}

प्रश्न 12.
मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल:
माना पहले तथा दूसरे बच्चे, लड़कियाँ G₁,G₂, तथा लड़के B₁, B₂ हैं।
∴ S = {(G₁.G₂), (G₁, B₂), (G₂, B₁), (B₁, B₂)}
माना A = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं।
= {G₁G₂}
B = सबसे छोटा बच्चा लड़की है।
= {G₁G₂. B₁G₂}
C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
= {G₁B₂,G₁G₂, B₁G₂}
A ∩ B = {G₁G₂}, A ∩ C = {G₁G₂}

प्रश्न 13.
एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहुविकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहुविकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है तो एक आसान प्रश्न की बहुविकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
दिए गए आँकड़ों की टेबिल निम्न प्रकार है –

माना E = सरल प्रश्न, D = कठिन प्रश्न, T = सत्य/असत्य प्रश्न, M = बहुविकल्पीय प्रश्न
सरल बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या = 500
कुल प्रश्नों की संख्या = 1400
P(E ∩ M) = आसन और बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता
\( = \frac{500}{1400} = \frac{5}{14}\)
बहुविकल्पीय प्रश्नों की कुल संख्या = 500 + 400 = 900
P(M) = एक बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता

प्रश्न 14.
यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो पासों को फेंकने से प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम
= 6 x 6 =36
माना A = दो संख्याओं का योग 4
= [(1,3), (2, 2), (3,1)]
दो पासों को फेंकने पर समान संख्या वाले परिणाम
= {(1, 1), (2, 2), (3,3),(4, 4) (5,5), (6, 6)}
B = जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम
=36 – 6 = 30
A∩B = [(1, 3), (3, 1)]
P(A∩B) = \(\frac{2}{36}\),
P(B) =\(\frac{30}{36}\)

प्रश्न 15.
एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना’ दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने’ की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना यहाँ 3 का गुणज प्रत्येक समय n बार फेंका गया।
एक उछाल में 3 के गुणज की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
n उछालों में 3 के गुणज की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\)
एक उछाल में 6 की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\frac{1}{6}\)
∴ n उछालों में 6 की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\)
⇒n उछालों में कम-से-कम 3 की प्रायिकता प्राप्त होगी
= \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}-\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\)
∴ (n +1)^th उछाल में 1, 2, 3, 4, 5 (3 का गुणज नहीं है) की प्रायिकता प्राप्त होगी
=\(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
अगली उछाल में एक सिक्का उछाला गया और पट आया।
∴ पट आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अन्त में (n + 2)^th उछाल में कम-से-कम 3 और पट प्राप्त होने की प्रायिकता

यदि n→∞; एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना, दिया गया है तो सिक्के पर पट होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता

निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।

प्रश्न 16.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = 0 तब \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) है –
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) परिभाषित नहीं
(D) 1
हल:

प्रश्न 17.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}\right)^{\prime}=\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) ≠ 0 तब
(A) A ⊂ B
(B) A = B
(C) A ∩B = ϕ
(D) P(A)=P(B)
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0.
p\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) ज्ञात कीजिए यदि
(i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है।
(ii) A ∩ B = ϕ
हल:
(i) B का उपसमुच्चय A है।

प्रश्न 2.
एक दम्पति के दो बच्चे हैं–
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
हल:
(i) माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {MM}
B = कम-से-कम एक बच्चा लड़का है
={MF, FM, MM }

प्रश्न 3.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
हल:
माना घटना E₁ – पुरुष का होना तथा घटना
E₂ – महिला का होना
तथा घटना A – सफेद बाल का होना
∴ 1 पुरुष चुनने की प्रायिकता = P (E₁) = \(\frac{1}{2}\)
1 महिला चुनने की प्रायिकता = P (E₂) = \(\frac{1}{2}\)
5% पुरुषों के बाल सफेद हैं
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 5% = 0.05
∵ 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.25% = 0.0025
इसलिए सफेद बालों वाला पुरुष होने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
हल : 90% लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं।
p = \(\frac{9}{10}\)
10% लोग बायें हाथ से काम करते हैं।
q = \(\frac{1}{10}\), n = 10
P (अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों)
= p(O) + p (1) +…+ p (6)

प्रश्न 5.
एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह ‘x’ अंकित है और शेष 15 पर चिन्ह ‘Y’ अंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिन्ह को नोट (लिख) करके उसे कलश में तिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें नेकाली जाती हों तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
(i) सभी पर चिन्ह ‘X’ अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिन्ह ‘Y’ नहीं अंकित हो।
(iii) कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह ‘Y’ अंकित हो।
(iv) ‘x’ तथा ‘x’ चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ नमान हों।
हल:
गेंदों की कुल संख्या = 25
X अंकित गेंदों की संख्या =10
माना X अंकित गेंदों की घटना X से व्यक्त करते हैं।
Y = Y गेंद की घटना
∴ P(X) = \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) = P
∴ P(Y) = \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) = q
अब 6 गेंद खींचते हैं।
(i) P (सभी पर चिन्ह X अंकित हो) = \(\left(\frac{2}{5}\right)^{6}\)
(ii) P (2 0से अधिक पर चिन्ह Y नहीं अंकित हो)
= P (6) + P (5) + P (4)

= \(\left(\frac{2}{5}\right)^{4}\left[\frac{175}{25}\right]=7\left(\frac{2}{5}\right)^{4}\)
(iii) P (कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह Y अंकित हो)
= 1 – (चिन्ह Y अंकित न हो)
= 1 – P (सभी गेंदों पर x अंकित हो)
= 1 – \(\left(\frac{2}{5}\right)^{6}\)
(iv) P(X तथा Y चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों)

प्रश्न 6.
एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर \(\frac{5}{6}\) लेगा है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?
हल:
दौड़ प्रतियोगिता में कुल बाधाएँ = 10
∵ बाधा को पार करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
∴ बाधा को पार न करने की प्रायिकता = \(1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\)
अतः 2 से कम बाधाओं को गिराने की प्रायिकता
= P (10) + P (2)

प्रश्न 7.
एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
हल:
एक पासे को बार-बार उछाला जाता है।
एक उछाल में 6 का अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
एक उछाल में 6 का अंक न आने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
पासे पर 5 उछालों पर 2. बार 6 और 3 बार 6 न आने की प्रायिकता
= ⁵C₂
छठी बार उछालने में 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
∴ पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त प्रायिकता

प्रश्न 8.
यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे।
हल:
∵ एक लीप वर्ष में होते हैं = 366 दिन
अर्थात् 52 सप्ताह तथा 2 दिन (अलग से)
अतिरिक्त दो दिन हो सकते हैं
= (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun), (Sun, Mon)
सम्भावित परिणाम = 7
अनुकूल परिणाम = 2 (Mon, Tue) (Tue, Wed)
अतः 53 मंगलवार होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{7}\)

प्रश्न 9.
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
हल:
माना सफल होने की प्रायिकता p तथा असफल होने की प्रायिकता q है।
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है।
⇒ p = 2q = 2 (1 – p) = 2 – 2p
∴ 3p = 2 या p = \(\frac{2}{3}\)
∴ q = \(\frac{1}{3}\)
अगले छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होने की प्रायिकता
= P(4) + P(5) + P(6)

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम-से-कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो?
हल:
माना सिक्के को x बार उछाला गया है।
चित आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
तथा चित न आने की प्रायिकता = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
∴ कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता = \(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
इसलिए हम कम-से-कम एक चित की प्रायिकता ज्ञात करेंगे जो कि 90% (0.9) से अधिक हो।
अतः कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता > 0.9

अतः एक न्याय्य सिक्के को कम-से-कम 4 बार उछालना पड़ेगा।

प्रश्न 11.
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे को उछालते हैं, तब 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6}\) = p (माना)
∴ q = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
(i) छ: प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
(ii) पहली उछाल में 6 प्रकट न हो किन्तु दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\)
पहली दो उछाल में 6 न प्रकट होने की तथा तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}\)
तीनों उछालों में 6 न प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{125}{216}\)
पहली उछाल में 6 प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है।
दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर (1 – 1) रुपये = 0 रुपये मिलते हैं।
तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर प्राप्त होता है
= ( – 1 – 1 + 1) रुपये
=( – 1) Rs. = 1 रुपया कम

प्रश्न 12.
मान लीजिए हमारे पास A, B, Cऔर D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A; बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

हल:
माना एक बॉक्स चुने जाने की घटना F है और लाल गेंद चुनने की घटना A है।

प्रश्न 13.
मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान ओर योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E₁ = ध्यान और योग विधि का इलाज
E₂ = दवा द्वारा खतरे को कम किए जाने का इलाज
A = दिल के दौरे से रोगी
P(E₁) =\(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
माना P(A) = 40% = 0.40
दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का 25% खतरा कम हो जाता है।
⇒ दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने से खतरा 75% है।

प्रश्न 14.
यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हों तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है। (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतन्त्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता 1 है।)
हल:
यहाँ 2 कोटि के सारणिक में चार अवयव हैं।
∴ सारणिकों द्वारा बनाई गई संख्या = 2⁴ =16
सारणिक का मान धनात्मक है।

सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{16}\)

प्रश्न 15.
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं
P(A के असफल होने की) = 0.2
P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15
P(A और B के असफल होने की) = 0.15
तो, निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए
(i) P(A असफल / B असफल हो चुकी हो)
(ii) P(A के अकेले असफल होने की)
हल:

= 0.20 – 0.15 = 0.05

प्रश्न 16.
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला 1 से थैला II में स्थानान्तरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानान्तरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं।
थैला II में 4 लाल तथा 5 काली गेंदें हैं।
माना E₁ = थैला I में लाल गेंद निकालने की घटना।
E₂ = थैला I में काली गेंद निकालने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{3}{7}\), P(E₂) = \(\frac{4}{7}\)
माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए-
प्रश्न 17.
यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = 1, तब
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = ϕ
(D) A = ϕ
हल:
P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = 1v

प्रश्न 18.
यदि P\(\left(\frac{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}\right)\) > P(A), तब निम्न में से कौन सही है।
(A) P \(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P (A). P (B) (C) P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) > P(B)
(D) P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = P(B)
हल:

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P (B) – P(A और B) = P(A), तब

हल:
P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = P (A)
⇒ P(B) – P (A ∩ B) = 0
या P(A ∩ B) = P (B)

अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.8 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.8

योगों की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\int_{a}^{b} x\) dx
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{5}(x+1)\) dx
हल:
दिया है-f(x) = x + 1 a = 0 तथा b = 5
∴ nh = b – a = 5 – 0 = 5
परिभाषानुसार

प्रश्न 3.
\(\int_{2}^{3} x^{3}\) dx
हल:
दिया है \(\int_{2}^{3} x^{3}\) dx
यहाँ f(x) = x², a = 2, b = 3
तब nh = b – a – 3 – 2 = 1
परिभाषानुसार

प्रश्न 4.
\(\int_{1}^{4}\left(x^{2}-x\right)\) dx
हल:
\(\int_{1}^{4}\left(x^{2}-x\right)\) dx
यहाँ f(x) = x² – 2 a = 1, b = 4
तब nh = b – a = 3
परिभाषानुसार

प्रश्न 5.
\(\int_{-1}^{1} e^{x}\) dx
हल:
\(\int_{-1}^{1} e^{x}\) dx
यहाँ f(x) = e^x dx, a = -1 और b = 1
तब nh = b = a = 2
परिभाषानुसार

प्रश्न 6.
\(\int_{0}^{4}\left(x+e^{2 x}\right)\) dx
हल:
\(\int_{0}^{4}\left(x+e^{2 x}\right)\) dx
यहाँ f(x) = x + e^2x
a = 0, b = 4 तब nh = 4 – 0 = 4
परिभाषानुसार

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3

प्रश्न 1.
दो सदिशों \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के परिमाण क्रमशः \(\sqrt{3}\) व 2 हैं। और \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}\) हैं, तो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है के बीच का कोण हो तो

प्रश्न 2.
सदिशों \(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 3.
सदिश \(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}\) पर सदिश \(\hat{\boldsymbol{i}}-\hat{\boldsymbol{j}}\) का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
सदिश \(\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}\) का, सदिश \(7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}\) पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश हैं- \(\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})\),\(\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}) \frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\) यह भी दर्शाइए कि सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।
हल:



अतः सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।

प्रश्न 6.
यदि \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})\) = 8 और \(|\vec{a}|=8|\vec{b}|\) हो तो \(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
\((3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण ज्ञात कीजिए यदिइनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° है, तथा इनका अदिश गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के बीच का कोण

प्रश्न 9.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}\) के लिए \((\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})\) = 12 हो तो| \(|\vec{x}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
यदि \(\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\), \(\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) और \(\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}\) इस प्रकार है कि \(\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}\), पर लम्ब है तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है \(\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}\) पर लम्ब हैं।

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि दो शून्येत्तर सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के लिए \(|\vec{a}| \cdot \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}\) पर लम्ब है।
हल:

प्रश्न 12.
यदि \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 और \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 तो सदिश \(\vec{a}\) के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
हल:
दिया है \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 तथा \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0
अत: \(\vec{a}\) = 0
तब \(\vec{b}\) भी सदिश हो सकता है।

प्रश्न 13.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) हे मात्रक सदिश इस प्रकार हैं, कि \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\) तो \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}=\overrightarrow{0}\) अथवा \(\vec{b}=\overrightarrow{0}\) तब \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\) परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
यदि किसी ∆ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0) (0, 1, 2) हैं, तो ∠ABC ज्ञात कीजिए। [∠ABC सदिशों \(\overrightarrow{B A}\) एवं \(\overrightarrow{B C}\) के बीच का कोण है।]
हल:
∠ ABC सदिशों \(\overrightarrow{B A}\) तथा \(\overrightarrow{B C}\) के बीच का कोण है

प्रश्न 16.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C(3, 10, -1) संरेख हैं।
हल:

अतः तीनों बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि सदिश \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}\) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
हल:

अतः दिए गए सदिश समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 18.
यदि शून्येतर सदिश \(\vec{a}\) का परिमाण a है और λ एक शून्येतर अदिश है तो λ\(\vec{a}\) एक मात्रक सदिश है यदि-
(A) λ = 1
(B) λ = -1
(C) a =| λ|
(D) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए –
प्रश्न 1.
sin (x² + 5)
हल:
माना y = sin (x² + 5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल:
माना y = cos (sin.x)

प्रश्न 3.
sin (ax + b)
हल:
माना y = sin (ax + b)
ax + b = 1 रखने पर,

प्रश्न 4.
sec(tan (\( \sqrt{{x}} \))]
हल:
माना y = sec(tan (\( \sqrt{{x}} \))]
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
\(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
हल:

प्रश्न 6.
cosx³ sin² (x⁵)
हल:
माना y = cosx³. sin² (x⁵)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.
\(2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}\)
हल:
माना y =\(2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}\)

प्रश्न 8.
cos (\( \sqrt{{x}} \))
हल:
माना y = cos\( \sqrt{{x}} \)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ϵ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल:
यहाँ f(x) = |x – 1|, x ϵ R

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल:
f(x) = [x]
(i) x = 1 पर,

अतः x = 2 पर f अवकलनीय नहीं है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6

1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = sinx
हल:
यह \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है, जहाँ
P = 2 तथा Q = sin x

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x …(i)
यह \(\frac{d y}{d x}\)Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है यहाँ
P = 3 तथा Q = e^-2x

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
हल:
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
यह \(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) + Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है
यहाँ

प्रश्न 4.
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x)y = tan x (0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x)y = tan x (0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
यह \(\frac{d y}{d x}\)Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है यहाँ
P = sec x तथा Q = tan x

प्रश्न 5.
cos² x\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x(0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
हत्ल :
cos² x\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x(0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
cos² x से भाग करने पर

प्रश्न 6.
x\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x² logx
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 7.
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\) logx
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 8.
(1 + x²)dy + 2xy dx = cotx dx (x ≠ 0)
हल:
(1 + x²)dy + 2xy dx = cotx dx

प्रश्न 9.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y – x + xy cot x = 0, (x ≠ 0)
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 10.
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1
हल:
अवकल समीकरण,
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 11.
y dx + (x – y²)dy = 0
हल:
y dx + (x – y²) dy = 0

प्रश्न 12.
(x + 3y²)\(\frac{d y}{d x}\) = y, (y > 0)
हल:
(x + 3y²)\(\frac{d y}{d x}\) = y

13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए
प्रश्न 13.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x; y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{3}\)
हल:
दिया गया समी०
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x …(i)
यह एक रैखिक अवकल समी० है

प्रश्न 14.
(1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\frac{1}{1+x^{2}}\); y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 15.
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x; y = 2 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
दिया है
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x …(i)

⇒ -2 + C
⇒ C = 4
C का यह मान समी० (ii) में रखने पर
y = 4 sin ³ – 2 sin²x

प्रश्न 16.
मूल बिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y)पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल:
बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = \(\frac{d y}{d x}\)
∴ दिए गए परवलय के अनुसार

∵ यह वक्र मूल बिन्दु से गुजरता है
∴ x = 0 तथा y = 0 समी० (ii) में रखने पर
⇒ 0 = -1 – 1 = Ce^° ⇒ C = 1
C का यह मान समी० (ii) में रखने पर
y = -x – 1 + e^x
या x + y + 1 = e^x

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल:
बिन्दु (x, y) से स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\frac{d y}{d x}\) है।
तब प्रश्नानुसार


⇒ ye^-x = (x – 5) e^-x – e^x + C
⇒ y = -(x – 5) – 1 + Ce^x
⇒ y = 4 – x + Ce^x
∵ वक्र बिन्दु (0, 2) से गुजरता है, अतः
x = 0 तथा y = 2 समी० में रखने पर
⇒ 2 = 4 – 0 + Ce⁰
C = -2
C = -2 समी० (II) में रखने पर
y = 4 – x + (-2)e^x
y = 4 – x – 2e^x
Case-II
इसी प्रकार ऋण चिन्ह लेने पर,

ye^x = (5 – x) e^x + e^x + C
y = (5 – x) + 1 + Ce^-x
y = 6 – x + Ce^-x
यह वक्र बिन्दु (0, 2) से गुजरता है, अतः x = 0 तथा y = 2 लेने पर
2 = 6 – 0 + Ce⁰ ⇒ C = -4
मान प्रतिस्थापित करने पर
y = 6 – 4 – 4e^-x

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण x\(\frac{d y}{d x}\) – y = 2x² का समाकलन गुणक है-
(A) e^-x
(B) e^-y
(C) \(\frac{1}{x}\)
(D) x
हल:
अवकल समीकरण है :

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
अवकल समीकरण (1 – y²)\(\frac{d y}{d x}\) + yx = ay (-1 < y < 1) का समाकलन गुणक है-

हल:
अवकल समीकरण है :


अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ϵ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल:
फलन f(x) = x² + 2x – 8, अंतराल [-4, 2] में संतत तथा अंतराल (-4, 2) में अवकलनीय है।
तथा f(-4) = 16 – 8 – 8 = 0
f(2) = 4 + 4 – 8 = 0
⇒ f(-4) = f(2)
अत: रोले के प्रमेय की सभी शर्ते सन्तुष्ट हैं तब रोले के प्रमेय के अनुसार एक बिन्दु CE(-4, 2), जहाँ f’ (c) = 0
⇒ f'(c) = 0
⇒ 2c + 2 =0 (::f’ (x) = 2x + 2)
⇒ c = -1
इसलिए c = -1 पर f’ (c) = 0 और c = -1 ϵ (-4, 2)

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = |x| के लिए x ϵ [5, 9]
(ii) f(x) = |x| के लिए x ϵ [-2, 2]
(iii) f(x) = x² – 1 के लिए x ϵ [1, 2]
हल:
(i) f(x) = [x] के लिए x ϵ [5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः रोले प्रमेय लागू नहीं है।

(ii) f(x) = [x], x ϵ [-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः रोले प्रमेय लागू नहीं है।

(iii) f(x) = (x² – 1), x ϵ [1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0 f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
यद्धपि f[1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
अतः रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f: [-5, 5] → R एक संतत फलन है और यदि f’ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(-5) ≠ f(5).
हल:
यहाँ f : [-5, 5] →R
f संतत है तथा अवकलनीय है परन्तु f'(x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है-
यदि (i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
तब f'(c) = 0, c ϵ (a, b)
यहाँ f'(c) ≠ 0 ⇒ f(a) ≠ f(b)
अतः f(-5) ≠ f(5)

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और b = 4 है।
हल:
∵ f'(x) = x² – 4x – 3 एक बहुपद है जो कि प्रत्येक बिन्दु पर संतत होगा।
∴ f'(x) = 2x – 4
⇒ f(x) का अस्तित्व है ∀ x ϵ (1, 4)
⇒ f(x), अंतराल (1, 4) में अवकलनीय है
माध्यमान प्रमेय द्वारा

अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित है।

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए. यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b= 3 है। f'(c)= 0 के लिए c ϵ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है तथा (1, 3) में अवकलनीय है क्योंकि यह बहुपदीय है।
f(1) = (1)³ – 5(1)² – 3 x 1
= 1 – 5 – 3 = 1 – 8 = -7
f(3) = (3)³ – 5(3)² – 3 x 3
= 27 – 45 – 9 = – 27
f(x) = 3x² – 10x – 3
f(c)= 3c² – 10c – 3

⇒ 3c² – 10c – 3 = \(\)
⇒ 3c² – 10c + 7= 0
⇒ (c – 1)(3c – 7) = 0
∴ c ≠ 1 c = \(\frac{7}{3}\) ϵ (1, 3)
यदि f'(c)= 0
तब 3c² – 10c – 3 = 0
⇒ (3c – 1)(c – 3) = 0 ⇒ c = \(\frac{1}{3}\), 3 + c ∉ (1, 3)

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल:
(i) f(x)=[x], x ϵ [5, 9].
अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) ⊂ [x], x ϵ [-2, 2]
अन्तराल [-2, 2] में | बिन्दु x= -1, 0, 1 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।.
(iii) f(x) = x² – 1, x ϵ [1, 2]
एक बहुदीय है। यह अन्तराल [1, 2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
f(1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0
f(2) = (2)² – 1 = 4 – 1 = 3
f'(x) = 2x
f'(c) = 2c

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x} \sqrt{4-y^{2}}\) (-2 < y < 2)
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1(y ≠ 1)
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = 1 – y
\(\frac{d y}{1-y}\) = dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल:
sec² x tan y dx = – sec² y tan x dy

प्रश्न 5.
(e^x + e^-x)dy – (e^x – e^-x) dx = 0
हल:
(e^x + e^-x)dy = (e^x – e^-x) dx = 0

प्रश्न 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1 + y²)
हल:


प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल:
दिया है :
y log y dx – x dy = 0
xy logy से भाग देने पर

प्रश्न 8.
x⁵\(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
हल:
x⁵\(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
⇒ y^-5 dy = -x^-5 dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 9.
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x
⇒ dy = sin^-1x dx
समाकलन करने पर


प्रश्न 10.
e^x tan y dx + (1 – e^x) sec²y dy = 0
हल:

11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0.
हल:
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x

प्रश्न 12.
x (x² – 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1; y = 0 यदि x = 2
हल:
x (x² -1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1

प्रश्न 13.
cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a (a ϵ R): y = 1 यदि x = 0
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos^-1 a ⇒ dy = (cos^-1a) dx
समाकलन करने पर
\(\int d y=\int\left(\cos ^{-1} a\right) d x\)
y = x cos^-1 a + C
इस समी० में y = 1 यदि x = 0 रखने पर
1= 0 + C ⇒ C = 1
C का यह मान समी० (i) में रखने पर
y = x cos^-1 a + 1
\(\frac{y-1}{x}\) = cos^-1a
⇒ cos\(\left(\frac{y-1}{x}\right)\) = a

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x; y = 1 यदि x = 0
हल:
⇒ \(\frac{d y}{y}\) = tan x dx
समाकलन करने पर
\(\int \frac{1}{y} d y=\int \tan x d x\)
logy = log sec x + log C
log y = log (C sec x)
y = C sec x …(i)
दिया है y = 1 यदि x = 0 तब समी० (i) से
1 = C sec 0 ⇒ C = 1
C = 1 समी० (i) में रखने पर ..
⇒ y = secx

प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = e^x sinx है।
हल:
दिया है y’ = e^x sin x
या \(\frac{d y}{d x}\) = e^x sin x
⇒ dy = e^x sin x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 16.
अवकल समी० xy\(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2)(y + 2) के लिए बिन्दु (1, – 1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है xy\(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2)(y + 2)

y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x + C …(i)
∵ वक्र बिन्दु (1, -1) से गुजरता है अतः x = 1, y = -1
∴ -1 – 2 log (1) = 1 + 2 log (1) + C [∵ log 1 = 0]
-1 = 1 + C ⇒ C = -2
C = – 2 समी० (i) में रखने पर
y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x + 2
⇒ y – x + 2 = 2 log x + 2 log (y + 2)
⇒ y – x’ + 2 = 2 [log x (y + 2)]
y – x + 2 = log [x² (y + 2)²]

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, -2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के ए निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल:
प्रश्नानुसार, y\(\frac{d y}{d x}\) = x (जहाँ \(\frac{d y}{d x}\) स्पर्श रेखा की प्रवणता है।)
y dy = x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिन्दु को, बिन्दु (-4, -3) से मिलाने वाले रेखाखण्डकी प्रवणता की दुगनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1)से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 2x [स्पर्श बिन्दु को (-4, -3) से मिलाने वाली रेखा की प्रवणता]

log (y + 3) = 2 log (x + 4) + log C
log (y + 3) = log (x + 4)² .C
⇒ y + 3 = (x + 4)².C …(i)
∵ वक्र बिन्दु (-2, -1) से गुजरता हैं इसलिए
x = -2, y = 1 रखने पर
4 = (2)² C = 4 = 4C
या C = 1
समी० (i) में C =1 रखने पर
– y + 3 = (x + 4)²

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना किसी क्षण t गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है तब

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रु० 10 वर्षों में दुगने हो जाते हैं, तो का मान ज्ञात कीजिए। (log 2 = 0.6931)
हल:
माना किसी समय पर मूलधन P हैं तब प्रश्नानुसार,

प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में 1000 रु० जमा कराये जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (e^0.5 = 1.648)
हल:
किसी समय t पर मूलधन P हैं तब प्रश्नानुसार,

जब t = 10 वर्ष
P = 1000 e^10/20 ⇒ P = 1000e^0.5
P = 1000 × 1.648 (∵ e^0.5 = 1.648)
P = 1648 रु०
अत: 10 वर्ष बाद मूलधन 1648 रु० होगा।

प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनमें उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
हल:
माना किसी समय t पर जीवाणुओं की संख्या y है।

प्रश्न 23.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y का व्यापक इल है
(A) e^x + e^-y = C
(B) e^x + e^y = C
(C) e^-x + e^y = C
(D) e^-x + e^-y = C
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
cosx. cos 2x. cos3x
हल:
माना y = cosx. cos 2x. cos3x
दोनों ओर log लेने पर
logy = log [cos x. cos 2x. cos3x]
= log cosx + log cos 2x + log cos3x
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
हल:

माना y = (log x)^{cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2sin x
हल:
माना y = x^x – 2sinx
= u – v (माना)
जबकि u = x, v = 2sinx
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log u = log x^x = xlogx
x के सापेक्ष दोनों अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
हल:
माना = (x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)² . (x + 4)³ (x + 5)⁴]
log y = log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
[∵ log mn = log m + log n]
log y = 2log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5) [∵ log mⁿ = n log m]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7
(log x)^x + x ^{log x}
हल:
माना y = (log x)^x + x ^{log x}
= u + v (माना)

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1 \( \sqrt{{x}} \)
हल:
माना y = (sin x)^x + sin^-1 \( \sqrt{{x}} \)
= u + v (माना)
∴ u = (sin x)^x
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log u = log (sin x)^x = x log sin x
दोनों तरफ अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
हल:
माना y = x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
माना u = x^{sin x} …(i)
तथा v = (sin x)^cosx …(ii)
∴ y = u + v …(iii)
समी० (i) व (ii) में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
log u = sin x log x तथा log v = cos x log sin x

प्रश्न 10.
x^xcosx + \(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\)
हल:

प्रश्न 11.
(x cos x)^{sin x} + (x sin x)^1/x
हल:
माना y = (x cos x)^{sin x} + (x sin x)^1/x
= u + v (माना)

प्रश्न 12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल:
x^y + y^x = 1
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
y log x + x log y = 0 [∵log 1 0)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल:
y = x दोनों ओर लघुगणक लेने पर
logy^x = log x^y
⇒ x log y = y log x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cosx)^y = (cos y)^x
हल:
(cosx)^y = (cos y)^x
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
ylog (cos.x) = x log (cos y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
हल:
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर,
logxy = loge^x-y
⇒ log x + log y = (x – y) loge
⇒ logx + logy = x – y (∵ log e = 1)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f(1) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
∴ log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log (1 + x⁴) + log (1 + x⁸)
दोनों ओर का अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए-
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान है।
हल:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग
माना = (x² – 5x + 8).(x³ + 7x + 9)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि u, v तथा w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि

हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में x तथा y के दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
x = 2at², y = at⁴
हल:
x = 2at², y = at⁴
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x = a cosθ, y = b cosθ
हल:
x = acos θ, y = bcosθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x = sint, y = cos 2t
हल:
x = sin t, y = cos 2t
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x = 4t, y = \(\frac{4}{t}\)
हल:
x = 4t, y = \(\frac{4}{t}\) = 4t^-1
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल:
x = cos θ- cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cos θ)
हल:
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cos θ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.
x = a(cos t + log tan\(\frac{t}{2}\)), y = a sin t
हल:

= \(\frac{sin t}{cos t}\) = tan t

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल:
x = a sec θ तथा y = b tan θ

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ),
y = a (sin θ – θ cos θ)
हल:
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a (sin θ – θ cos θ)

प्रश्न 11.
यदि x = \(\sqrt{a \sin ^{-1} t}\), y = \(\sqrt{a^{\cos ^{-1} t}}\), तो दर्शाइए कि \(\frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}\)
हल: