Class 12

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

रैखिक Important Questions

रैखिक प्रोग्रामन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दु जिस पर 3x + 2y का प्रतिबंधों x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत अधिकतम मान प्राप्त होता है –
(a) (0, 0)
(b) (1.5, 1.5)
(c) (2,0)
(d) (0, 2).
उत्तर:
(c) (2,0)

प्रश्न 2.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देश्य फलन में चर होते हैं –
(a) ऋणात्मक
(b) शून्य या ऋणात्मक
(c) शून्य
(d) शून्य या धनात्मक।
उत्तर:
(d) शून्य या धनात्मक।

प्रश्न 3.
असमिकाओं x₁ + x₂ ≤ 3, 2x₁ + 5x₂ ≥ 10, x₂ ≥ 0, के व्यापक हल में स्थित बिन्दु होगा –
(a) (2,1)
(b) (4, 2)
(c) (2, 2)
(d) (1, 2).
उत्तर:
(d) (1, 2).

प्रश्न 4.
रेखीय व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन का अधिकतम मान होता है –
(a) सुसंगत क्षेत्र के केन्द्र पर
(b) (0,0) पर
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर
(d) (0,0) से अधिकतम दूरी पर स्थित शीर्ष पर।
उत्तर:
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर।

प्रश्न 5.
प्रतिबन्धों x – 2y ≥ 6, x + 2y ≥ 0, x ≤ 6 के अंतर्गत फलन P = 3x + 4y का महत्तम मान है –
(a) 16
(b) 17
(c) 18
(d) 19
उत्तर:
(c) 18.

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना हो वह …………………………. कहलाता है।
2. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को ……………………….. कहते हैं।
3. x ≥ 0 का ग्राफ …………………………. चतुर्थांश में स्थित है।
4. एक निश्चित क्रम में विशिष्ट चरणों में सम्पादित प्रक्रिया ………………………….. कहलाती है।
5. सभी व्यवरोधों और ऋणेत्तर व्यवरोधों x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र, एक रेखीय प्रोगामन समस्या का …………………………… कहलाता है।

उत्तर:

1. उद्देश्य फलन
2. इष्टमान फलन
3. प्रथम एवं चतुर्थ
4. प्रोग्रामिंग
5. सुसंगत क्षेत्र।

प्रश्न 3.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (b)
2. (a)
3. (d)
4. (c)
5. (f)
6. (e)

प्रश्न 4.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. यदि x का मान किन्ही दो निश्चित संख्याओं a और b के बीच होता है, तब {x : a < x < b}, संवृत्त अंतराल कहलाता है।
2. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना होता है, उसे उद्देश्य फलन कहते हैं।
3. दी हुई समस्या के सभी प्रतिबंधों का पालन करने वाले चर राशियों के मान ग्राफीय निरुपण के जिस क्षेत्र से संबंधित होता है उस क्षेत्र को सम्भाव्य क्षेत्र कहते हैं।
4. यदि सम्भाव्य क्षेत्र रिक्त समुच्चय हो, तो समस्या का सीमाबद्ध हल होता है।
5. दो या दो से अधिक समीकरणों के निकाय को रेखीय असमीकरण निकाय कहते हैं।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. असत्य।

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. y ≤ -2 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
2. 2x – 4 ≤ 0 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
3. x ≥ 0 तथा y ≥ 0 का हल किस चतुर्थांश में है।
4. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को क्या कहते हैं?
5. P = 5x + 3y एक उद्देश्य फलन है। सम्भाव्य क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक (3, 0), (12, 0), (0, 6) हैं। उद्देश्य फलन का निम्नतम मान बताइए।

उत्तर:

1. 
2. 
3. प्रथम
4. इष्टतम मान
5. 15.

रैखिक प्रोग्रामन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
फलन P = 2x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जबकि प्रतिबन्ध निम्न हैं –
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 2x + y ≤ 14.
हल:
प्रतिबन्धों x ≥ 0 तथा y ≥ 0 के कारण अन्य रेखीय असमीकरणों के ग्राफ केवल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करना है।

x + 2y = 10 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) के लिए x + 2y ≤ 10 सत्य है क्योंकि 0 + 2 × 0 ≤ 10. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर है।
2x + y = 14 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

मूलबिन्दु (0, 0) के लिए 2x + y ≤ 14 सत्य है क्योंकि 2(0) + 0 ≤ 14. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु को शामिल करता है।
लेखाचित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र रेखांकित है जिसके शीर्षों OABD पर उद्देश्य फलन P = 2x + 3y के मान निम्न सारणी में दर्शाये गये हैं –

∴ P का अधिकतम मान 18 है जो बिन्दु B(6, 2) पर है, जिसके लिए x = 6, y = 2.

प्रश्न 2.
फलन P = x + y का रेखीय व्यवरोधों 3x + 2y ≥ 12, x + 3y ≥ 11, x ≥ 0, y ≥ 0 के अन्तर्गत न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x ≥ 0, y ≥ 0 के कारण अन्य व्यवरोधों के ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करते हैं। वे हैं:
3x + 2y ≥ 12
x + 3y ≥ 11

(i) 3x + 2y = 12 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

(ii) x + 3y = 11 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) से दोनों असमीकरण सन्तुष्ट नहीं होते क्योंकि
3(0) + 2(0) ≥ 12 असत्य है।
0 + 3(0) ≥ 11 असत्य है।
अतएव संभाव्य क्षेत्र खुला क्षेत्र है, जिसके शीर्ष A, B,D हैं। उद्देश्य फलन की गणना मूल बाह्यतम बिन्दु प्रमेय के अनुसार निम्नांकित हैं –

अतः P का न्यूनतम मान 5 है जब x = 2, y = 3.

प्रश्न 3.
निम्न असमीकरणों द्वारा निर्धारित क्षेत्र को ग्राफ द्वारा दर्शाइए:
x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 16, 2x + y ≤ 8
तथा P = 5x + 4y के अधिकतम मान हेतु x, y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
असमीकरणों 2x + 5y ≤ 16 ……… (1)
एवं 2x + y ≤ 8 ……….. (2)
को निम्नानुसार लिखने पर,
\(\frac{2x}{16}\) + \(\frac{5y}{16}\) ≤ 1 [असमिका (1) से]

इसी प्रकार,
\(\frac{2x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 [असमिका (2) से]
⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 ………. (4)
क्षेत्र x ≥ 0 एवं y ≥ 0 के लिए असमीकरणों (3) एवं (4) का ग्राफीय निरूपण करने पर:

रेखाएँ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1
एवं \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{(16/5)}\) = 1
एक – दूसरे को बिन्दु B(4, 2) पर प्रतिच्छेदित करती है। अत: OABC रेखाओं द्वारा प्रतिबन्धित क्षेत्र है, जहाँ बिन्दु O, A, B, C के निर्देशांक क्रमशः O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, \(\frac{16}{5}\) ) है।
इन शीर्षों पर P = 5x + 4y का मान निम्नानुसार प्राप्त होगा:

उपर्युक्त सारणी से P का अधिकतम मान बिन्दु B(3, 2) पर 23 प्राप्त होता है। अतः x = 3 एवं y = 2 पर मान अधिकतम है।

प्रश्न 4.
यदि एक नवयुवक अपनी मोटर साइकिल को 25 किमी प्रति घण्टा की गति से दौड़ाता है, तो उसे पेट्रोल पर 2 रु. प्रति किमी व्यय करना पड़ता है। यदि वह और अधिक तेज गति 40 किमी प्रति घण्टा पर मोटर साइकिल को दौड़ाता है, तो पेट्रोल का खर्च बढ़कर 5 रु. प्रति किमी हो जाता है। उसके पास पेट्रोल पर खर्च करने के लिए 100 रु. है। वह यह ज्ञात करना चाहता है कि 1 घण्टे में वह कितनी अधिकतम दूरी तय कर सकता है। इसे एक रेखीय कार्य-योजना समस्या के रूप में व्यक्त करो तथा फिर इसे हल करो।
हल:
माना कि x किलोमीटर तक 25 किमी/घण्टा की गति से तथा y किलोमीटर तक 40 किमी प्रति घण्टा की गति से मोटर साइकिल दौड़ाता है। तब, x20
तथा x ≥ 0 ……. (1)
y ≥ 0 …….. (2)

पहली स्थिति में पेट्रोल खर्च = 2x रु.
तथा दूसरी स्थिति में पेट्रोल खर्च = 5y रु.
पेट्रोल पर खर्च करने के लिए राशि = 100 रु.
∴ 2x + 5y ≤ 100
पहली स्थिति में दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{x}{25}\) घण्टे,

दूसरी स्थिति में y दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{y}{40}\) घण्टे।
∴ कुल समय 1 घण्टा है,
∴ \(\frac{x}{25}\) + \(\frac{y}{40}\) ≤ 1
था 8x + 5y ≤ 200
दूरी P = x + y
दूरी के मान को अधिकतम करने के लिए प्रतिबंधों (1), (2), (3) और (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 100 तथा 8x + 5y ≤ 200 का आलेखन करते हैं, जिससे सम्भाव्य क्षेत्र ODEC प्राप्त होता है।
क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (25, 0), ( \(\frac{50}{3}\), \(\frac{40}{3}\) ) तथा (0, 20) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अतः अधिकतम दूरी 30 किमी होगी।

प्रश्न 5.
एक उद्योगपति अपनी फैक्टरी में नई मशीन लगाना चाहता है। A प्रकार की मशीन की कीमत 800 रु. है और वह 3 वर्ग मीटर स्थान घेरती है। B प्रकार की मशीन की कीमत 1600 रु. है और वह 1 \(\frac{1}{2}\) वर्ग मीटर स्थान घेरती है। वह 20,000 रु. खर्च कर सकता है और उसके पास उपलब्ध स्थान 30 वर्ग मीटर है। मशीन A का उत्पादन प्रति घण्टा 10 वस्तु और मशीन B का उत्पादन प्रति घण्टा 15 वस्तु है। व्यापार प्रतिबन्ध के अनुसार वह तीन मशीन A प्रकार और चार मशीन B प्रकार की ले सकता है। व्यापारी अधिकतम मशीन किस प्रकार लगा सकता है और कौन-सी व्यवस्था उसे अधिकतम लाभ दे सकती है?
हल:
माना कि व्यापारी A प्रकार की x मशीन तथा B प्रकार की y मशीन खरीदता है।
तब, A प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 800 x रु.
तथा B प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 1600 y रु.
उद्योगपति कुल 20,000 रु. खर्च कर सकता है।
∴ 800x + 1600y ≤ 20000
∴ x + 2y ≤ 25 ………. (1)
अब A प्रकार की x मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= 3x वर्ग मीटर
B प्रकार की y मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= \(\frac{3}{2}\) y वर्ग मीटर
कुल उपलब्ध स्थान = 30 वर्ग मी.
∴ 3x + \(\frac{3}{2}\)y ≤ 30
था 2x + y ≤ 20

पुनः वह तीन मशीन A प्रकार की तथा चार मशीन B प्रकार की ले सकता है।
∴ x ≥ 3 ……… (3)
तथा y ≥ 4 …….. (4)
कुल मशीनों की संख्या या उद्देश्य फलन
P = x + y ……….. (5)
अतः प्रतिबंधों (1), (2), (3) व (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x + 2y ≤ 25, 2x + y ≤ 20, x ≥ 3, y ≥ 4 का आलेखन करते हैं।
रेखांकित भाग संभाव्य क्षेत्र है जिसके शीर्ष (3, 4), (7, 4), (5, 10) तथा (3, 11) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अत: व्यापारी अधिकतम 15 मशीन खरीद सकता है जिसमें 5 मशीनें A प्रकार तथा 10 मशीनें B प्रकार की होंगी।

प्रश्न 6.
एक मधुर पेय फर्म के बोतल बनाने के दो संयन्त्र हैं। एक P पर व दूसरा Q पर स्थित है। प्रत्येक संयन्त्र तीन मधुर पेय A, B व C का उत्पादन करता है। दोनों संयन्त्रों की प्रतिदिन बोतल बनाने की संख्या के अनुसार क्षमताएँ निम्नानुसार हैं –

एक बाजार सर्वेक्षण से ज्ञात होता है कि अप्रैल के महीने में, A की 24,000 बोतलों की, B की 16,000 बोतलों की तथा C की 48,000 बोतलों की माँग होगी। कार्यकर P और 0 की प्रतिदिन की कार्यकर लागत क्रमशः 6,000 रु. व 4,000 रु. है। ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए कि फर्म को अप्रैल में प्रत्येक संयन्त्र को कितने दिन कार्य करना चाहिए जिससे कि उत्पादन लागत न्यूनतम आवे जबकि बाजार की मांग पूरी हो जावे?
हल:
मानलो फर्म अप्रैल माह में संयन्त्र P को x दिन तथा संयन्त्र Q को y दिन चलाता है।
संयन्त्र P में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
तथा संयन्त्र ए में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
पेय A के कुल बोतलों की माँग 24000 है।
∴ 3000x + 1000y ≥ 24000
था 3x + y ≥ 24 ……… (1)
इसी तरह, 1000x + 1000y ≥ 16000
था x + y ≥ 16 …….. (2)
तथा 2000x + 6000y ≥ 48000
था x + 3y ≥ 24
पुनः x और y ऋणात्मक नहीं हैं।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अप्रैल माह में P का उत्पादन लागत = 6000 x रु.
तथा इसी माह में Q का उत्पादन लागत = 4000 x रु. .
∴ उद्देश्य फलन या कुल उत्पादन लागत
P = 6000x + 4000y ….. (5)
अतः प्रतिबन्धों (1), (2), (3) और (4) के अन्तर्गत P के मान को न्यूनतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≥ 24, x + y ≥ 16, x + 3y ≥ 24 को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
सम्भाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र प्राप्त होता है जिसके निर्देशांक A (24, 0), B (12, 4), C (4, 12), D (0, 24) हैं। इन शीर्षों में से किसी एक पर P का मान न्यूनतम होगा।

अतः x = 4 तथा y = 12 पर P न्यूनतम है। अत: न्यूनतम उत्पादन लागत के लिए संयन्त्र P को 4 दिनों तक तथा संयन्त्र Q को 12 दिनों तक चलाना चाहिए।
न्यूनतम लागत 72,000 रु. होगी।

प्रश्न 7.
A और B दो दर्जी प्रतिदिन 150 रु. और 200 रु. कमाते हैं। A प्रतिदिन 6 कमीजें और 4 पैन्टों तथा B प्रतिदिन 10 कमीजों तथा 4 पैन्टों को सील लेता है। कम-से-कम 60 कमीजों तथा 32 पैन्टों में आयी लागत का न्यूनतमीकरण करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सूत्रबद्ध कीजिए। (CBSE 2005)
हल:
माना दर्जी A, x दिन और दर्जी B, y दिन कार्य करता है।
अतः लागत फलन है:
Z = 150x + 200y
प्रश्नानुसार दर्जी A, 6 कमीजें और B, 10 कमीजें प्रतिदिन सील कर कम – से – कम 60 कमीजें सील सकता है।
∴ 6x + 10y ≤ 60
और दर्जी A, 4 पैन्टों और B, 4 पैन्टों को सीलकर कम-से-कम 32 पैन्ट सील सकता है।
∴ 4x + 4y ≤ 32 और x ≥ 0, y ≥ 0
इस प्रकार, लागत फलन Z = 150x + 200y का निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत न्यूनतम होगा –
6x + 10y ≤ 60
4x + 4y ≤ 32.
टीप – व्यवरोधों का ग्राफ 6x + 10y ≤ 60 के लिए 6x + 10y = 60 का ग्राफ खींचेंगे।
\(\frac{6x}{60}\) + \(\frac{10y}{60}\) = 1
\(\frac{x}{10}\) + \(\frac{y}{6}\) = 1 ………. (1)
रेखा (1) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 10 और 6 का अन्त:खण्ड काटती है।
अर्थात् 6x + 10y = 60 सरल रेखा का ग्राफ बिन्दुओं P(10, 0) और Q(0, 6) को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
इसी प्रकार सरल रेखा 4x + 4y = 32 का ग्राफ खींचेंगे।
∴ 4x + 4y = 32
⇒ \(\frac{4x}{32}\) + \(\frac{4y}{32}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1 ………. (2)

रेखा (2) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 8, 8 का अन्त:खण्ड काटता है। अर्थात् 4x + 4y = 32 सरल रेखा का ग्राफ A (8, 0) और B (0, 8) बिन्दुओं को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
(i) x ≥ 0, X – अक्ष और उसके ऊपर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(ii) y ≥ 0, Y – अक्ष और उसके दायीं ओर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(iii) 6x + 10y ≤ 60 के हल समुच्चय हेतु परीक्षण बिन्दु O(0, 0) लेने पर,
6 × 0 + 10 × 0 < 60 ⇒ 0 < 60 सत्य है।
अन्तः रेखा 6x + 10y = 60 पर के प्रत्येक बिन्दु और मूलबिन्दु O के ओर के क्षेत्र 6x + 10y ≤ 60 का हल समुच्चय होगा।
(iv) इसी प्रकार 4x + 4y ≤ 32 के हल समुच्चय मूलबिन्दु की ओर का क्षेत्र और रेखा 4x + 4y = 32 पर के प्रत्येक बिन्दु होंगे।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0, 6x + 10y ≤ 60 और 4x + 4y ≤ 32 के उभयनिष्ठ क्षेत्र उक्त ग्राफ में छायांकित भाग से दिखाया है।
अर्थात् छायांकित क्षेत्र OACQ अभीष्ट क्षेत्र है जिसके किनारे के बिन्दु 0(0, 0), A (8, 0), C (5, 3) और Q (0, 6) हैं।

लागत Z = 150x + 200y का न्यूनतम मान 0 और अधिकतम लागत मूल्य 1,350 रु. बिन्दु (5,3) के संगत है।

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित Important Questions

सदिश बीजगणित वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
सदिशों 2\(\bar { i } \) + 4\(\bar { j } \) – 5\(\bar { k } \) तथा \(\bar { i } \) + 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) के परिणामी सदिश के समान्तर एकांक सदिश है –

उत्तर:

प्रश्न 2.
यदि \(\bar { OA } \) = a, \(\bar { OB } \) = -b तथा C, AB पर एक ऐसा बिन्दु है कि \(\bar { AC } \) = 3AB, तो सदिश \(\bar { OC } \) बराबर है –
(a) 3\(\bar { a } \) – 2\(\bar { b } \)
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)
(c) 3\(\bar { a } \) – \(\bar { b } \)
(d) 3\(\bar { b } \) – \(\bar { a } \).
उत्तर:
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)

प्रश्न 3.
दो सदिश \(\bar { a } \) और \(\bar { b } \) इस प्रकार है कि |\(\bar { a } \)| = 2, |b| = 1 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = \(\sqrt{3}\) हो तो उनके बीच का कोण होगा –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 7 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)

प्रश्न 4.
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संलग्न भुजाएँ \(\bar { i } \) – 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) तथा 2\(\bar { i } \) + \(\bar { j } \) – 4\(\bar { k } \) है, हैं –
(a) 3\(\sqrt{6}\)
(b) 4\(\sqrt{6}\)
(c) 5\(\sqrt{6}\)
(d) 6\(\sqrt{6}\)
उत्तर:
(c) 5\(\sqrt{6}\)

प्रश्न 5.
यदि \(\bar { a } \) = \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) तो \(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) × \(\bar { c } \) ) बराबर है –
(a) 2\(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) )
(b) 0
(c) \(\bar { b } \).( \(\bar { a } \) + \(\bar { c } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. दो सदिशों का योग या अन्तर सदैव एक ……………………… होता है।
2. सदिशों का योग ……………………….. का पालन करता है।
3. ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) + \(\vec { c } \) = \(\vec { a } \) + …………………………..
4. दो सदिशों का योग ………………………. से प्राप्त किया जा सकता है।
5. बिन्दु (1, 2, 3) का मूलबिन्दु के सापेक्ष स्थिति सदिश ……………………………. होगा।
6. यदि \(\vec { A } \)C = 3 \(\vec { A } \)B हो, तो बिन्दु A, B, C …………….. होंगे।
7. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \)समान्तर हों, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) = ……………………. होगा।
8. सदिश \(\vec { a } \) की दिशा में एकांक सदिश ……………………………. होगा।
9. सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में प्रक्षेप …………………………. होगा।
10. यदि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + p\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हों, तो p का मान …………………………….. होगा।
11. एक बल 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), एक बिन्दु A जिसका स्थिति सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) है, पर कार्य करता है। बल का मूलबिन्दु के सापेक्ष आघूर्ण ……………………………… होगा।
12. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल …………………. होगा, जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) तथा \(\hat { i } \)
    – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।

उत्तर:

1. नया सदिश
2. क्रम विनिमेय नियम और साहचर्य नियम
3. ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) )
4. सदिश योग के त्रिभुज – नियम
5. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
6. समरेख
7. \(\vec { O } \)
8. \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
9. 
10. -4
11. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
12. 5\(\sqrt{3}\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. एक त्रिभुज की भुजाओं द्वारा क्रमानुसार निरूपित सदिशों का योग शून्य होता है।
2. यदि \(\vec { a } \) व \(\vec { b } \) दो असंरेख सदिश हैं तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| ≥ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)
3. एक सदिश जिसके आदि और अंतिम बिंदु संपातो होते हैं एकांक सदिश कहलाता है।
4. यदि बिन्दुओं P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) और 5\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हों, तो |\(\vec { P } \)Q| का मान 9\(\sqrt{2}\) होगा!
5. यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|, तो \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = 0
6. \(\vec { a } \). ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) का मान शून्य होता है।
7. सदिश \(\hat { i } \) – λ\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्ब हों तो λ का मान 6 होगा।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:
(a) (iv)
(b) (v)
(c) (i)
(d) (ii)
(e) (iii)
(f) (vii)
(g) (vi).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) किसी ∆ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश हों, तो ∆ABC के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
2. यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा [ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] का मान ज्ञात कीजिए।
3. दो सदिशों 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
4. \(\hat { i } \) × ( \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) × ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) का मान ज्ञात कीजिए।
5. \(\vec { a } \) का \(\vec { b } \) की दिशा में प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
6. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्ब सदिश हों तो ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) )² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) + \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) + \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \)|
2. 12
3. cos^-1 \(\frac { 25 }{ \sqrt { 783 } } \)
4. 0
5. 
6. |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|²

सदिश बीजगणित अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT, CBSE 2012)
हल:
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) – 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = -4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| = \(\sqrt { 0+16+1 } \)
= \(\sqrt{17}\)

प्रश्न 2.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = – \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) के योगफल के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = (2 – 1)\(\hat { i } \) + (-1 + 1)\(\hat { j } \) + (2 + 3)\(\hat { k } \)
= \(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
माना \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = \(\vec { r } \)

प्रश्न 3.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाण 7 इकाई है। (NCERT)
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)
\(\vec { a } \) के अनुदिश मात्रक सदिश
\(\hat { a } \) = \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
|\(\hat { a } \)| = |\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)|
⇒ |\(\hat { a } \)| = \(\sqrt { (1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 } } \) = \(\sqrt{5}\)

\(\hat { a } \) के अनुदिश 7 परिमाण वाला सदिश

प्रश्न 4.
दर्शाइये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \) संरेख हैं।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), \(\hat { b } \) = -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \)
अब \(\vec { b } \) = -2(2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
⇒ \(\vec { b } \) = -2\(\vec { a } \)
∵ \(\vec { b } \) = λ\(\vec { a } \) (λ = स्थिरांक)
सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) संरेख हैं।

प्रश्न 5.
सदिश \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
|\(\vec { r } \)| = \(\sqrt { 1+4+9 } \) = \(\sqrt { 14 } \)

= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { i } \) + \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { j } \) + \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { k } \)
दिक् कोज्यायें = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)

प्रश्न 6.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) है, तो \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 7.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \) हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये गये सदिश परस्पर लम्ब होंगे यदि उनका अदिश गुणन शून्य है।
अर्थात् \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
माना
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) = 0
L.H.S = – 2 – 3 + 5
= 0 = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
(A) सिद्ध कीजिये कि सदिश 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 9 की भाँति हल करें।

(B)
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हों, तो p का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
\(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे, यदि \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
4p – 2 + 3 = 0
⇒ 4p = -1
⇒ p = – \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 11.
(A) सदिशों (2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) और (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो

∴ θ = 90°.

(B) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 6\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C) \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) का अदिश गुणनफल तथा उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो

∴ θ = cos^-1 \(\sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \)

प्रश्न 12.
यदि |\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12 हो, तो |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
|\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12
हम जानते हैं कि |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)|² = |a|² |b|² – ( \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) )²
= 100 × 4 – 144 = 400 – 144 = 256
∴ |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)| = \(\sqrt{256}\) = 16

प्रश्न 13.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

प्रश्न 14.
विस्थापन \(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
∴ बल द्वारा किया गया करध
W = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ).(-\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
= -4 + 9 + 10 = 15 इकाई।

प्रश्न 15.
यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|

इस प्रकार, अदिश गुणनफल शून्य है। अतः सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 3 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 3, सदिशों \(\vec { a } \) के और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्र. 17 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 17.
यदि |\(\vec { a } \)| = 4, |\(\vec { b } \)| = 4 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 6 हो, तो \(\vec { a } \) सदिशों है और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = |\(\vec { a } \)| |\(\vec { b } \)|
⇒ 6 = 4.4 cos θ
⇒ 6 = 16 cos θ
⇒ cos θ = \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)
∴ θ = cos^-1 \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 18.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 7 तथा \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।।
हल:
माना \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ है।

प्रश्न 19.
सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \)

प्रश्न 20.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी कोरेंनिम्न सदिशों से निरूपित हैं –
2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)?
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समान्तर षट्फलक का आयतन = [a b c]

= 2(1 – 2) + 3(-1 -4) + 1(1 + 2)
= – 2 – 15 + 3
= -14 घन इकाई।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिये –
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ) + ( \(\hat { i } \) × \(\hat { k } \) ).\(\hat { j } \) = 0।
हल:
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ). \(\hat { j } \) = \(\hat { i } \).\(\hat { i } \) + (-\(\hat { j } \) ).\(\hat { j } \)
= 1 – 1
= 0. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 22.
यदि सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|²
हल:
हम जानते हैं कि
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|² + 2|\(\vec { a } \) |.|\(\vec { b } \)|
सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं, तब
\(\vec { a } \) .\(\vec { b } \) = 0
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|² यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 23. सिद्ध कीजिए कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) + \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) = 0
हल:

प्रश्न 24.
विस्थापन \(\vec { d } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
कार्य = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) )
= 6 – 2 + 3 = 7 इकाई।

प्रश्न 25.
दो सदिशों \(\vec { d } \) तथा \(\vec { b } \) जिनके परिमाण समान हैं में से प्रत्येक का परिणाम ज्ञात कीजिये जबकि उनके बीच का कोण 60° है तथा उनका अदिश गुणनफल \(\frac{9}{2}\) हैं।
हल:
अदिश गुणन की परिभाषा से,

प्रश्न 26.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी दो आसन्न भुजायें सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और
\(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)|

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{155}\).

प्रश्न 27.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { b } \) × \(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 28.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { b } \) × 2\(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 29.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 5\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तो \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) पर अदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में अदिश प्रक्षेप

= \(\frac{10-3+2}{3}\)
= \(\frac{9}{3}\) = 3.

प्रश्न 30.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सदिश बीजगणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइये कि बिन्दु A(-2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ), B( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) और C(7\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश हैं –

अतः सदिश \(\overrightarrow{A B}\) और \(\overrightarrow{B C}\) समांतर हैं परन्तु B, \(\overrightarrow{A B}\), और \(\overrightarrow{B C}\) का उभयनिष्ठ बिन्दु हैं। अतएव दिए हुए बिन्दु A, B और C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के स्थिति सदिश क्रमश: 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { k } \), 5\(\hat { i } \) + 3\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), -2\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) हैं, तो सिद्ध कीजिए –
CD||AB और CD = \(\frac{2}{3}\) \(\vec { A } \)B
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब

⇒ \(\overrightarrow{C D}\), \(\overrightarrow{A B}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{C D}\) = \(\frac{2}{3}\) × \(\overrightarrow{A B}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक G हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
\(\overrightarrow{G A}\) + \(\overrightarrow{G B}\) + \(\overrightarrow{G C}\) = \(\vec { 0 } \).
हल:
माना त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।
∴ केन्द्रक G का स्थिति सदिश

अब \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = (A का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (B का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (C का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश)

अतः \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = \(\vec { 0 } \). यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
सदिशों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं।
हल:
ABC त्रिभुज की माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF हैं।
माना बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।


अब माध्यिका AD को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने (6) वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

माध्यिका BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

माध्यिका CF को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

अतः त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिन्दु G पर मिलती है अर्थात् संगामी हैं जिसका स्थिति सदिश \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) है। बिन्दु G को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
एक सदिश \(\overrightarrow{O P}\), OX के साथ 45° और OY के साथ 60° कोण बनाती हैं। \(\overrightarrow{O P}\) के द्वारा OZ के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश \(\overrightarrow{O P}\), अक्षों OX, OY और OZ के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती हैं, तब
α = 45°, β = 60°
∴ l = cos α = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
और n = cos γ
हम जानते हैं कि
l² + m² + n² = 1

cos γ = \(\frac{1}{2}\) था cos γ = – \(\frac{1}{2}\)
γ = 60° था 120°

प्रश्न 6.
परिमाण 5\(\sqrt{2}\), की एक सदिश \(\vec { a } \) ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 4 } \), Y – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 2 } \) और Z – अक्ष के साथ न्यूनकोण θ बनाती है।
हल:
दिया गया है –
α = \(\frac { \pi }{ 4 } \), β = \(\frac { \pi }{ 2 } \), γ = θ
I = cos \(\frac { \pi }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), m = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) = 0, n = cos θ
हम जानते हैं कि
l² + m² + n² = 1
⇒ ( \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) )² + 0 + n² = 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) + n² = 1
∴ n² = \(\frac{1}{2}\)
cos² θ = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
सदिश की दिक् कोज्यायें \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), 0, \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )² = a²b² – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )²।
हल:
L.H.S. = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )² = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
= (absin θ\(\hat { n } \) ).(ab sinθ \(\hat { n } \) ) = a²b² sin² θ \(\hat { n } \).\(\hat { n } \)
= a²b² sin² θ
= a²b² – a²b² cos ² θ
= a²b² – (ab cos θ)²
= a²b² – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )² = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो तो \(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

प्रश्न 9.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी तीन कोरें निम्न सदिशों से निरूपित हैं –
\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
हल:
माना
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

= 1(1 – 2) – 1(-1 -2) + 1(1 + 1)
= -1 + 3 + 2
= 4 इकाई।

प्रश्न 10.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो [\(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \)] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

= 2(1 – 2) – 1(3 – 1) + 2(- 6 + 1)
= – 2 – 2 – 10 = – 14.

प्रश्न 11.
यदि \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 8 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 12.
यदि a = \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं।
हल:
यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं, तो उनके अदिश त्रिक गुणन शून्य होना चाहिए अर्थात्
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0

= 1(15 – 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 – 3)
= 1(3) + 2(-6) + 3(3) = 12 – 12 = 0

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिये 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय हैं तब [ \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) ] = 0

L.H.S = 2(10 – 12) -1(-5 + 4) + 3(3 – 2)
= -4 + 1 + 3
= 0 यही सिद्ध करना था।
अतः \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) समतलीय हैं।

प्रश्न 14.
(A) λ का मान ज्ञात कीजिये यदि सदिश λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
माना \(\vec { a } \) = λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय होंगे यदि
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0

⇒ λ(8 – 9) – 2 (12 – 6) + 2(9 – 4) = 0
⇒ -λ – 12 + 10 = 0
⇒ λ = -2

(B)
λ का मान ज्ञात कीजिये यदि निम्न सदिश समतलीय हैं –
\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \), λ\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \)।
हल:
प्रश्न क्र. 13 की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

(C)
λ का मान ज्ञात कीजिये जबकि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + λ\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

प्रश्न 15.
यदि दो इकाई सदिशों \(\bar { a } \) तथा \(\bar { b } \) के बीच का कोण हो, तो सिद्ध कीजिए कि
cos \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\bar { a } \) + \(\bar { b } \)|.
हल:

प्रश्न 16.
दो इकाई सदिश \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ हो, तो सिद्ध कीजिए कि
sin \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|.
हल:

प्रश्न 17.
किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि
(A) ac cos B – bc cos A = a² – b²
(B) 2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a² + b² + c².
हल:
माना की \(\overrightarrow{B C}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{C A}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{A B}\) = \(\vec{c}\) तथा \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) के मापांक क्रमश: a, b, c हैं।

(A) ac cos B – bc cos A = -ac cos (π – B) + bc cos (π – A)

यही सिद्ध करना था।

(B) 2 (bc cos A + ca cos B + ab cos C)

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 18.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि c = a cos B + bcos A.
हल:
∆ ABC में त्रिभुज के योग नियम से,
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\vec { 0 } \)

⇒ c² = ac cos B + bc cos A
⇒ c² = c(a cos B + b cos A)
⇒ c = a cos B + b cos A

प्रश्न 19.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि
b² = a² + c² – 2ac cos B.
हल:
हम जानते हैं कि ∆ABC में,


⇒ b² = a² + c² + 2ac cos (π – B)
∴ b² = a² + c² – 2ac cos B. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 20.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए –
(A) a² = b² + c² – 2bc cos A
(B) c² = a² + b² – 2ab cos C.
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति स्वयं हल कीजिये।

प्रश्न 21.
(A) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)

(B)
सदिशों \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C)
सदिशों \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{5 \sqrt{3}}\) ( 5\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 22.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) )

प्रश्न 23.
उस समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।
हल:
ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण \(\overline{A C}=\bar{d}_{1}\) तथा \(\overline{B D}=\bar{d}_{2}\) हैं।
दिया है:



∴ समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 24.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
माना OAB एक समकोण त्रिभुज है जिसमें सिद्ध करना है कि AB² – OA² + OB²
माना कि मूलबिन्दु O के सापेक्ष A और B के स्थिति सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) हैं।
∵ OA और OB परस्पर लम्बवत् हैं,
∴ \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
अब \(\vec { AB } \) = B का स्थिति सदिश – A का स्थिति सदिश

प्रश्न 25.
5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) से निरूपित बल बिन्दु 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) पर लगा हुआ है, बिन्दु 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के परितः सदिश आघूर्ण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { F } \) = 5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) = 5\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 1\(\hat { k } \)
O का स्थिति सदिश = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + k
P का स्थिति सदिश = 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\vec { O } \)P = P का स्थिति सदिश – O का स्थिति सदिश
= 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) – (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) )


बल \(\vec { F } \) का बिंदु P के परितः आधूर्ण = \(\vec { r } \) × \(\vec { F } \)

प्रश्न 26.
(A) सिद्ध कीजिये कि
\(\hat { i } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { i } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { j } \) ) + \(\hat { k } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { k } \) ) = 2\(\vec { a } \).
हल:

(B) सिद्ध कीजिये कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) = \(\vec { 0 } \).
हल:
चूँकि

प्रत्येक को जोड़ने पर,

प्रश्न 27.
सिद्ध कीजिये कि [ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
हल:

प्रश्न 28.
दो बल \(\vec { P } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) और \(\vec { Q } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) एक कण पर क्रिया करते हैं, जिससे कण बिन्दु A (1, 2, 3) से बिन्दु B (5, 4, 1) तक विस्थापित होता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 29.
एक कण पर दो स्थिर बल 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \)) व 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) कार्य करते हैं। वह कण बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) से बिन्दु 5\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) तक विस्थापित हो जाता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.
6 इकाई का बल जो सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के समान्तर कार्य करता है एवं एक कण को बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) से 5\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) तक विस्थापित कर देता है। बल के द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) समान्तर इकाई सदिश

प्रश्न 31.
सिद्ध कीजिए कि [ \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) – \(\vec { c } \) \(\vec { c } \) – \(\vec { a } \) ] = 0।
हल:
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा से,

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

अवकलज के अनुप्रयोग Important Questions

अवकलज के अनुप्रयोग वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 cm पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है –
(a) 10π
(b) 12π
(c) 8π
(d) 11π
उत्तर:
(b) 12π

प्रश्न 2.
किसी बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है –
(a) (1, 2)
(b) (2, 1)
(c) (1, -2)
(d) (- 1, 2)
उत्तर:
(a) (1, 2)

प्रश्न 3.
x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% की वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
(a) 0.03 x³
(b) 0.02 x³
(c) 0.06 x³
(d) 0.09 x³
उत्तर:
(c) 0.06 x³

प्रश्न 4.
वक्र x² = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है –
(a) (2\(\sqrt{2}\), 4)
(b) (2\(\sqrt{2}\), 0)
(c) (0, 0)
(d) (2, 2)
उत्तर:
(a) (2\(\sqrt{2}\), 4)

प्रश्न 5.
f (x) = x⁴ – x² – 2x+6 का न्यूनतम मान होगा –
(a) 6
(b) 4
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 4

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. 0 ≤ x ≤ π के लिए फलन f (x) = cosx ………………….. फलन होगा।
2. एक वृत्तीय प्लेट की त्रिज्या 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब r = 10 सेमी हो, तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ………………….. है।
3. फलन y = x(5 – x), x = ………………. पर उच्चिष्ठ है।
4. 2x + 3y का न्यूनतम मान, जब xy = 6, है ……………………… है।
5. sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान ……………….. है।
6. रेखा y = mx + 1 वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है, तो m का मान …………………………….
7. वक्र y = x² के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ………………………. है।
8. अवकलों के प्रयोग द्वारा 10.6 का सन्निकटतम मान ………………………. है।

उत्तर:

1. ह्रासमान
2. 4π cm²/ sec
3. \(\frac{5}{2}\)
4. 12
5. \(\sqrt{2}\)
6. 1
7. 2
8. 0.8

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. फलन f (x) = e^x – e^-x, x के सभी वास्तविक मानों के लिए वर्धमान फलन \(\frac{1}{2}\) x² है।
2. यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं की लम्बाई x हो, तो उसका महत्तम क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\) x² होगा।
3. फलन f (x) = 3x² – 4x अंतराल (- ∞, \(\frac{2}{3}\) ) में वर्द्धमान है।
4. फलन f (x) = x – cot x सदैव ह्रासमान है।
5. वक्र y = e^x के बिन्दु (0, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण x + y = 1 है।

उत्तर:

1. सत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. \(\sqrt{49.5}\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2. परवलय y² = 4ax के बिन्दु (x’, y’) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
3. वक्र y = x² + 1 के बिन्दु (1, 2) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
4. फलन sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।
5. एक बर्फ का गोला चर त्रिज्या रखता है, उसके आयतन में परिवर्तन क्या होगा, जब उसकी त्रिज्या 1 मीटर हो।
6. किसी वर्ग की एक भुजा में 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से वृद्धि होती है। वर्ग के परिमाप की दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 7.0357
2. yy’ = 2a (x + x’)
3. 3, 3
4. \(\sqrt{2}\)
5. 4π घन मीटर/सेकण्ड
6. 0.8 सेमी/सेकण्ड।

अवकलज के अनुप्रयोग दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 2 सेमी/सेकण्ड की एकसमान दर से बढ़ रही है। क्षेत्रफल में वृद्धि किस दर से होगी जबकि त्रिज्या 10 सेमी हो?
हल:
दिया है:
\(\frac{dr}{dt}\) = 2 सेमी/सेकण्ड
माना कि वृत्त का क्षेत्रफल A वर्ग सेमी है।
तब [ \(\frac{dA}{dt}\) ]_r=10 = ?
∵ वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²
∴ \(\frac{dA}{dt}\) = π(2r). \(\frac{dr}{dt}\) = π(2r).(2)
⇒ \(\frac{dA}{dt}\) = 4πr
∴ [ \(\frac{dA}{dt}\) ]_r=10 = 4π(10)
= 40π वर्ग सेमी/सेकण्ड
अर्थात् क्षेत्रफल 40π वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 2.
एक हवा के बुलबुले की त्रिज्या 1/2 से.मी. प्रति सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब बुलबुले की त्रिज्या 1 से.मी. है तब किस दर से बुलबुले का आयतन बढ़ रहा है?
हल:
बुलबुले की त्रिज्या r हो, तो
∴ आयतन V = \(\frac{4}{3}\) πr³

प्रश्न 3.
एक गुब्बारे की त्रिज्या 10 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है, जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 सेमी है तब किस दर पर गुब्बारे की सतही क्षेत्रफल बढ़ रहा है?
हल:
माना गुब्बारे की त्रिज्या । है। यदि समय । पर उसकी सतही क्षेत्रफल A हो, तो
A = 4πr ²
समय t के साथ गुब्बारे के त्रिज्या में वृद्धि दर \(\frac{dr}{dt}\) = 10 सेमी/सेकण्ड
समय t के साथ गुब्बारे की क्षेत्रफल में वृद्धि के दर = \(\frac{dA}{dt}\)

अतः जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 सेमी है, तब उसका क्षेत्रफल = 1200π वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 4.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिये जिनमें फलन f (x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1 वर्धमान या ह्रासमान है।
हल:
f (x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
⇒ f'(x) = 6x² – 30x + 36
= 6(x² – 5x + 6)
= 6(x – 2)(x – 3)
फलन f (x) के वर्धमान होने के लिए,
f'(x) > 0 = (x – 2 )(x – 3) > 0
⇒ या तो x – 2 > 0 तथा x – 3 > 0
⇒ x > 2 तथा x > 3
⇒ x > 3 स्पष्ट है फलन, अन्तराल (3, ∞) में वर्धमान होगा।
पुनः (x – 2)(x – 3) > 0
या तो x – 2 < 0 तथा x – 3 < 0
⇒ x < 2 तथा x < 3
⇒ x < 2
स्पष्ट है फलन, अन्तराल (-∞, 2) में वर्धमान होगा।
अतः दिया गया फलन, अन्तराल (-∞, 2)∪(3, ∞) में वर्धमान होगा।
पुनः f (x) के एक ह्रासमान फलन होने के लिए,
f'(x) < 0
⇒ (x – 2)(x – 3) < 0
या तो x – 2 < 0 तथा x – 3 > 0
⇒ x < 2 तथा x > 3, जो असम्भव है।
या x – 2 > 0 तथा x – 3 < 0 ⇒ x > 2 तथा x < 3
⇒ 2 < x < 3
अत: फलन f (x) एक ह्रासमान फलन है, जबकि 2 < x < 3.
अर्थात् फलन f (x) अन्तराल (2, 3) में ह्रासमान होगा।

प्रश्न 5.
(A) यदि x + y = 8 हो, तो xy का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
P = xy
⇒ x + y = 8
⇒ y = 8 – x
∴ P = x(8 – x) = 8x – x²
⇒ \(\frac{dP}{dx}\) = 8 – 2x
⇒ \(\frac { d^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } \) = -2
महत्तम और न्यूनतम मान के लिए,
8 – 2x = 0
⇒ x = 4
अब x = 4 पर \(\frac { d^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } \) = -2, जो ऋणात्मक है।
∴ x = 4 पर P का मान महत्तम है।
जब x = 4 तब y = 4
P का महत्तम मान = xy, जब x = 4, y = 4
= 4 × 4 = 16.

(B) यदि x + y = 10 हो, तो xy का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 5 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 6.
यदि वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है, तब किस दर से वृत्त का क्षेत्रफल बढ़ रहा है?
हल:
माना कि वृत्त की त्रिज्या है।
यदि समय t पर उसका क्षेत्रफल A हो, तो –
A = πr²
समय t के साथ वृत्त की त्रिज्या में वृद्धि की दर = \(\frac{dr}{dt}\) = 3 सेमी/सेकण्ड।
समय t के साथ वृत्त के क्षेत्रफल में वृद्धि की दर = \(\frac{dA}{dt}\)
= \(\frac { d }{ dx } \) (πr²)
= \(\frac { d }{ dr } \) (πr²). \(\frac { dr }{ dt } \)
= π.2r.3 [∵ \(\frac { dr }{ dt } \) = 3]
= 6πr
अतः वृत्त के क्षेत्रफल में अभीष्ट वृद्धि की दर = \(\frac{dA}{dt}\) = 6πr
= 6π × 10,
= 60π [r = 10 पर]
अतः r = 10 सेमी पर वृत्त का क्षेत्रफल 607 वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 7.
एक घन का आयतन 9 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है। यदि इसके कोर की लंबाई 10 सेमी है, तो इसके पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है? (NCERT)
हल:
माना घन का आयतन V है तथा घन की कोर की लंबाई a सेमी है।
घन का आयतन V = a³
∴ \(\frac{dV}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\)a³
दिया है:
\(\frac{dV}{dt}\) = 9 सेमी³/सेकण्ड

माना घन का पृष्ठ S है।
S = 6a²

प्रश्न 8.
(A) एक आदमी जिसकी ऊँचाई 180 सेमी है, एक बिजली के खम्भे से 1.2 मीटर प्रति सेकण्ड की दर से दूर हट रहा है। यदि बिजली के खम्भे की ऊँचाई 4.5 मीटर है, तो वह दर ज्ञात कीजिए जिस पर उसकी छाया बढ़ रही है।
हल:
AB = बिजली का खम्भा, PQ = आदमी, QC = x = छाया की लम्बाई, माना BQ = y
\(\frac{dy}{dx}\) = 1.2 = वह दर जिससे आदमी दूर हट रहा है।
\(\frac{dx}{dt}\) = वह दर जिससे छाया बढ़ रही है।

0.8 मीटर/सेकण्ड 0.8 मीटर/सेकण्ड छाया बढ़ने की दर होगी।

(B) 2 मीटर ऊँचाई का आदमी 6 मीटर ऊँचे बिजली के खंभे से दूर 5 किमी/घण्टा की समान चाल से चलता है। उसकी छाया की लंबाई की वृद्धि दर ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल: प्रश्न 8 (A) की भाँति हल करें।
[उत्तर: \(\frac{5}{2}\) किमी/घण्टा।]

प्रश्न 9.
एक सीढ़ी जो 5 मीटर लम्बी है, एक दीवार से झुकी है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से दूर धरातल के सहारे 2 मीटर/सेकण्ड की दर से खींचा जाता है। जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 4 मीटर दूर है, तब किस दर से दीवार पर इसकी ऊँचाई घट रही है? (NCERT)
हल:
माना, किसी समय सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से x मीटर की दूरी पर है तथा इस समय दीवार की ऊँचाई ” मीटर है। तब चित्रानुसार,
x² + y² = 25 …………………. (1)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x \(\frac{dx}{dt}\) + 2y\(\frac{dy}{dt}\) = 0
⇒ x\(\frac{dx}{dt}\) + y\(\frac{dy}{dt}\) = 0 …………………….. (2)
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूर खींचे जाने की दर,
\(\frac{dx}{dt}\) = 2 मीटर/सेकण्ड।
∴ x.2 + y\(\frac{dy}{dt}\) = 0
⇒ y\(\frac{dy}{dt}\) = -2x
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = \(\frac{-2x}{y}\)
जब x = 4 मीटर, तब समी. (1) से,
16 + y² = 25
⇒ y² = 25 – 16 = 9
⇒ y = 3 मीटर
∴ समी. (3) से,
\(\frac{dy}{dt}\) = –\(\frac { 2\times 4 }{ 3 } \) = –\(\frac{8}{3}\)
अतः दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई 8/3 मीटर/सेकण्ड की दर से घट रही है।

प्रश्न 10.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन, f (x) = 5x² + 7x – 13 वर्धमान या ह्रासमान है।
हल:
दिया है:
f (x) = 5x² + 7x – 13
∴ f'(x) = 10x + 7
फलन f(x) के वर्धमान होने के लिए,
f'(x) > 0
⇒ 10x + 7 > 0
⇒ x > \(\frac{-7}{10}\)
∴ फलन. f (x), अन्तराल ( \(\frac{-7}{10}\), ∞) में एक वर्धमान फलन है।
पुनः फलन f (x) के ह्रासमान होने के लिए,
f'(x) < 0
⇒ 10x + 7 < 0
⇒ x < \(\frac{-7}{10}\)
∴ फलन. f (x), अन्तराल (- ∞, \(\frac{-7}{10}\) ) में एक वर्धमान फलन है।

प्रश्न 11.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिए, जिनमें फलन f (x) = 2x³ – 24x + 5 वर्धमान या हासमान है।
हल:
दिया गया फलन है:
f (x) = 2x³ – 24x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = 6x² – 24
⇒ f'(x) = 6(x² – 4)
⇒ f'(x) = 6(x + 2)(x – 2)

(A) फलन f (x) के वर्धमान होने के लिए शर्त,
f'(x) > 0
6(x + 2)(x – 2) > 0 ⇒ 6(x + 2)(x – 2) < 0
∴ f (x), x ∈ (-2,-2) में वर्धमान है।

(B) फलन f (x) के ह्रासमान होने के लिए शर्त,
f'(x) < 0 ⇒ 6(x + 2)(x – 2) < 0 ∴ f (x), x ∈ (-2, 2) में ह्रासमान है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए x के सभी वास्तविक मानों के लिए फलन f (x) = x – cos x वर्धमान फलन है। हल: दिया गया फलन है: f (x) = X – cos x f'(x) = 1- (- sin x) ⇒ f'(x) = 1 + sin x हम जानते हैं x के सभी वास्तविक मानों के लिए, -1 ≤ sin x ≤ 1 – 1 + 1 ≤ 1 + sin x ≤ 1 + 1 0 ≤ 1 + sin x ≤ 2
अत:
x के सभी वास्तविक मानों के लिए 1 + sin x धनात्मक है स्पष्टतः f'(x) भी धनात्मक होगा। अर्थात् f'(x) > 0. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f (x) = x² + ax + 1 से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है। (NCERT)
हल:
दिया है:
f (x) = x² + ax + 1
∴ f'(x) = 2x + a
अब, 1 < x < 2
⇒ 2 < 2x < 4
⇒ 2 + a < 2x + a < 4 + a
⇒ 2 + a < f'(x) < 4 + a f (x) के निरंतर वर्धमान होने के लिए हम जानते हैं कि f'(x) > 0
अर्थात् 2 + a > 0 ⇒ a > -2
अत: a का न्यूनतम मान -2 है।

प्रश्न 14.
मान लीजिए [-1, 1] से असंयुक्त एक अन्तराल I हो, तो सिद्ध कीजिए कि f (x) = x + \(\frac{1}{x}\) से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है। (NCERT)
हल:
f (x) = x + \(\frac{1}{x}\)

अन्तराल [-1, 1] असंयुक्त है
यदि x < -1 तब f'(x) > 0
यदि x > 1 तब f'(x) > 0
अतः अन्तराल I में f (x) निरंतर वर्धमान है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 15.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिये जिनमें निम्न फलन वर्धमान या ह्रासमान है –
f (x) = x⁴ – \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \)
हल:
f (x) = x⁴ – \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \)
⇒ f'(x) = 4x³ – \(\frac { 3.x^{ 2 } }{ 3 } \)
⇒ f'(x) = x² (4x – 1)
f'(x) = 0 लेने पर,
x² (4x – 1) = 0
⇒ x = 0 या x = \(\frac{1}{4}\)

अत: 0 तथा \(\frac{1}{4}\), X अक्ष को तीन असंयुक्त अंतराल में बाँटते है –
(-∞, 0), (0, \(\frac{1}{4}\) ), ( \(\frac{1}{4}\), ∞)
अन्तराल (-∞, 0) मे –
f'(x) = x² (4x – 1), [∵ x² = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) < 0
अन्तराल (-∞, 0) मे –
f'(x) = x² (4x – 1), [∵ x² = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) < 0
∴ अन्तराल (-∞, 0) मे f (x) हसमान है।
अन्तराल (0, \(\frac{1}{4}\) ) मे –
f'(x) = x² (4x – 1), [∵ x² = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) > 0
∴ अन्तराल ( \(\frac{1}{4}\), ∞) मे f (x) वर्धमान है।

प्रश्न 16.
एक आयत का परिमाप 100 सेमी है। अधिकतम क्षेत्रफल के लिए आयत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयत की लम्बाई x और चौड़ाई y है। तब,
आयत का परिमाप = 2(x + y)
⇒ 2x + 2y = 100
⇒ x + y = 50
माना आयत का क्षेत्रफल A है। तब
A = xy = x (50 – x) = 50x – x², [समी. (1) से]
∴ \(\frac{dA}{dx}\) = 50 – 2x
और \(\frac { d^{ 2 }A }{ dx^{ 2 } } \) = -2
A अधिकतम अथवा न्यूनतम होगा जब
\(\frac{dA}{dx}\) = 0
⇒ 50 – 2x = 0 या x = 25
x के प्रत्येक मान के लिए \(\frac { d^{ 2 }A }{ dx^{ 2 } } \) ऋण है।
∴ x = 25 पर आयत का क्षेत्रफल अधिकतम है।
समी. (1) से,
y = 50 – x = 50 – 25 = 25
अत: आयत की प्रत्येक भुजा 25 सेमी हुई।

प्रश्न 17.
एक आयत का क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी है, इसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए जबकि इसका परिमाप न्यूनतम हो।
हल:
माना आयत की लम्बाई x व चौड़ाई y इकाई है।
दिया है: आयत का क्षेत्रफल A = 25 वर्ग इकाई
xy = 25 …………………… (1)
आयत का परिमाप

उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिये \(\frac{dP}{dx}\) = 0

जो x = 5 के लिये + ve है।
∴ न्यूनतम परिमाप के लिये x = 5 सेमी।
y = \(\frac{25}{x}\) = \(\frac{25}{5}\) = 5 सेमी।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान \(\sqrt{2}\) है।
हल:
माना f (x) = sin x + cos x ………………. (1)
∴ f'(x) = cos x – sin x ………………… (2)
तथा f”(x) = – sinx – cox ……………….. (3)
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए,
f”(x) = 0
∴ cos x – sin x = 0
⇒ sin x = cos x
⇒ tan x = 1
∴ x = \(\frac { \pi }{ 4 } \), \(\frac { 3\pi }{ 4 } \), \(\frac { 5\pi }{ 4 } \)
अब समी. (3) में x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) रखने पर,

चूंकि f”( \(\frac { \pi }{ 4 } \) )ऋणात्मक है। अत: x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) पर दिया गया फलन उच्चिष्ठ है। इसी प्रकार दिया गया फलन x = \(\frac { 3\pi }{ 4 } \), \(\frac { 5\pi }{ 4 } \) ………………. पर भी उच्चिष्ठ होगा।
समी. (1) में x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) रखने पर,
उच्चिष्ठ मान f ( \(\frac { \pi }{ 4 } \) ) = sin \(\frac { \pi }{ 4 } \) + cos \(\frac { \pi }{ 4 } \)
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) = \(\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } } \) = \(\sqrt{2}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
दो धनात्मक संख्याएँ इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि x + y = 60 तथा xy³ उच्चिष्ठ हो। (NCERT)
हल:
दिया हुआ है:
x + y = 60
माना u = xy³
समी. (1) से x का मान समी. (2) में रखने पर,
image 16
∴ u के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मान के लिए \(\frac{du}{dy}\) = 0
∴ 180y² – 4y³ = 0
⇒ 4y² (45 – y) = 0
⇒ y = 0, y = 45
⇒ y = 45 (∵ y ≠ 0)
अब y = 45 पर \(\frac { d^{ 2 }u }{ dy^{ 2 } } \) का मान
= 360 × 45 – 12 × 45 × 45
= 12 × 45(30 – 45), (∵y ≠ 0)
जो सप्तस्ततः ऋणात्मक है।
अतिएव y = 45 पर, u उच्चिष्ठ है।
∴ समी. (1) से,
x + 45 = 60
⇒ x = 60 – 45 = 15
अतः अभीष्ट 15 और है 45 है।

प्रश्न 20.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसकाx निर्देशांक 2 है। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = x³ – x + 1
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) (x³ – x + 1)
= \(\frac{d}{dx}\) x³ – \(\frac{d}{dx}\) x + \(\frac{d}{dx}\) 1
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 1 + 0
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 1
x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
( \(\frac{dy}{dx}\) )_x=2 = 3(2)² – 1
= 3 × 4 – 1 = 11

प्रश्न 21.
वक्र y = \(\frac { x-1 }{ x-2 } \), x ≠ 2 के x = 10 परस्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = \(\frac { x-1 }{ x-2 } \)
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) = ( \(\frac { x-1 }{ x-2 } \) )

प्रश्न 22.
वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा X अक्ष के समान्तर है। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = x³ – 3x² – 9x + 7
image 18
स्पर्श रेखा X – अक्ष के समान्तर है।
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = 0
3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
जब x = 3 तब y = (3)³ – 3(3)² – 9 × 3 + 7
y = 27 – 27 – 27 + 7
y = – 20
जब x = -1 तब y = (-1)³ – 3(-1)² – 9(-1) + 7
y = – 1 – 3 + 9 + 7
y = 12
बिन्दुओं (3, -20) और (-1, 12) पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर होगी।

प्रश्न 23.
परवलय y² = 4ax के बिन्दु (at², 2at) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
परवलय का समीकरण है –
y² = 4ax


(_x1y1) स्पर्श रेखा का समीकरण है –
y – y₁ = \(\frac{dy}{dx}\) (x – x₂)
जँहा x₁ = at², y₁ = 2at, \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{t}\)
y – 2at = \(\frac{1}{t}\)(x – at²)
⇒ yt – 2at² = x – at²
⇒ x – ty + at² = 0.

प्रश्न 24.
वक्र x^2/3 + y^2/3 = 2 के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
वक्र का समीकरण है –
x^2/3 + y^2/3 = 2

(_x1y1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है
y – y₁ = ( \(\frac{dy}{dx}\) ) (_x1y1) (x – x₁)
यहाँ x₁ = 1, y₁ = 1, \(\frac{dy}{dx}\) = -1
y – 1 = -(x – 1)
⇒ y – 1 = -x + 1
⇒ x + y – 2 = 0.

प्रश्न 25.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है:
2y + x² = 3

(x₁, y₁) पर अभिलम्ब का समीकरण होगा –

प्रश्न 26.
(A) वक्र x = cost, y = sint के t = = पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
I वक्र का समीकरण है –
x = cos t
\(\frac{dx}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\)cos t
⇒ \(\frac{dx}{dt}\) = – sin t
II वक्र का समीकरण है –
y = sin t
\(\frac{dy}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\) sin t
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = cos t

(x₁, y₁) पर अभिलम्ब का समीकरण है –

(B) वक्र 16x² + 9y² = 145 के बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिये, जहाँ x₁ = 2 तथा y₁ > 0। (CBSE 2018)
हल:
वक्र का समीकरण है –
16x² + 9y² = 145

समी. (1) में x = 2 रखने पर,
16. (2)² + 9y² = 145
⇒ 64 + 9y² = 145
⇒ 9y² = 145 – 64 = 81
⇒ y² = 9 [y ≠ -3 ∵y₁ > 0]
⇒ y = 3
बिन्दु (2, 3) पर \(\frac{dy}{dx}\) = – \(\frac{16}{9}\).\(\frac{2}{3}\) = – \(\frac{32}{27}\)
बिन्दु (2, 3) पर वक्र (1) की स्पर्श रेखा
y – y₁ = \(\frac{dy}{dx}\) (x – x₁)
⇒ y – 3 = \(\frac{-32}{7}\) (x – 2)
⇒ 27y – 81 = -32x + 64
⇒ 32x + 27y = 145
बिन्दु (2, 3) पर वक्र (1) का अभिलम्ब

⇒ 32y – 96 = 27x – 54
⇒ 27x – 32y = 42

प्रश्न 27.
(25)^1/3 का सन्निकट करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x^1/3
जहाँ x = 27 और ∆x = -2

∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

(25)^1/3 का सन्निकट मान
= 3 + ∆y
= 3 – 0.074
= 2.926.

प्रश्न 28.
\(\sqrt { 36.6 } \) का सन्निकटन करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए।
हल:
माना y = \(\sqrt{x}\)
जहाँ x = 36 और ∆x = 0.6

∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

\(\sqrt { 36.6 } \) का सन्निकट मान = ∆y + 6
= 0.05 + 6 = 6.05.

प्रश्न 29.
(15)^1/4 का सन्निकट करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x^1/4
जहाँ x = 16 और ∆x = -1

∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

(15)^1/4 का सन्निकट मान = ∆y + 2 = 2 – 0.031 = 1.969.

प्रश्न 30.
(26)^1/3 का सन्निकट करने के लिए अवकलज का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x^1/3
जहाँ x = 27 और ∆x = -1


∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

(26)^1/3 का सन्निकट मान = ∆y+3
= 3 – 0.037 = 2.963.

प्रश्न 31.
एक गोले की त्रिज्या 9 सेमी मापी जाती है जिसमें 0.03 सेमी की त्रुटि है। इसके पृष्ठ के क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना गोले की त्रिज्या r तथा त्रिज्या मापन में त्रुटि ∆r है
दिया है:
r = 9 सेमी, ∆r = 0.03 सेमी
गोले का पृष्ठ S = 4πr²
\(\frac{dS}{dr}\) = 4π \(\frac{d}{dr}\)r²
⇒ \(\frac{dS}{dr}\) = 8πr
∆S = ( \(\frac{dS}{dr}\) ) ∆r
= (8πr) × 0.03 = 8π × 9 × 0.03 = 2.16 मी²
पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 2.16 मी² है।

प्रश्न 32.
एक गोले की त्रिज्या 7 मी मापी जाती है जिसमें 0.02 मी की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना गोले की त्रिज्या r तथा त्रिज्या मापन में त्रुटि ∆r है
दिया है:
r = 7 मी, ∆r = 0.02 मी
गोले का आयतन V = \(\frac{4}{3}\)πr³

आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 3.9π मी³ है।

प्रश्न 33.
x मी भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
घन की भुजा x मी है
घन का आयतन V = x³, ∆x = x का 1% = \(\frac{x}{100}\)
\(\frac{dV}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) x³ = 3x²
आयतन में परिवर्तन ∆V = ( \(\frac{dV}{dx}\) ) ∆x
= 3x² × \(\frac{x}{100}\) = 0.03 x³ मी³
आयतन में सन्निकट परिवर्तन 0.03x³ मी³ है।

प्रश्न 34.
x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
घन की भुजा x मीटर है।
∆x = x का 2% = \(\frac { x\times 2 }{ 100 } \) = 0.02x
घन का आयतन V = x³
\(\frac{dV}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) x³ = 3x²
dV = ( \(\frac{dV}{dx}\) ) ∆x = 3x² × 0.02x = 0.06 x³ मी³
आयतन में सन्निकट परिवर्तन 0.06x³ मी³ है।

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 1 संबंध एवं फलन

संबंध एवं फलन Important Questions

संबंध एवं फलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f (x) = 8x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R फलन है –
(a) f एकैकी आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी आच्छादक है

प्रश्न 2.
फलन f(x) = \(\frac { e^{ x^{ 2 } }-e^{ -x^{ 2 } } }{ e^{ x^{ 2 } }+e^{ -x^{ 2 } } } \) द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है –
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(b) f एकैकी आच्छादक है
(c) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
(d) f बहुएक आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है

प्रश्न 3.
यदि f : R → R, f(x) = (3 – x³)^1/3 द्वारा प्रदत्त है तो fof(x) बराबर हैं –
(a) x^1/3
(b) x³
(c) x
(d) (3 – x³)
उत्तर:
(c) x

प्रश्न 4.
a * b = a³ + b³ प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए –
(a) * साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है
(c) * साहचर्य है, किन्तु क्रमविनिमेय नहीं है
(d) * न तो क्रमविनिमेय है और न साहचर्य है।
उत्तर:
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है

प्रश्न 5.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है –
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि A = {1, 2, 3} हो, तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या ……………………………….. होगी।
2. यदि f : R → R जहाँ f(x) = 5x – 7, ∀x ∈ R तो f^-1(7) का मान ………………………….. होगा।
3. यदि f : R → R तथा f(x) = x² – 3x + 2 से परिभाषित है, तो f(f(x)) का मान …………………………….. होगा।
4. यदि f : R → R; f (x) = 2x + 5 द्वारा परिभाषित है तब f^-1(y) का मान …………………………….. होता है।
5. f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R …………………………. है।

उत्तर:

1. 2
2. 0
3. x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x
4. \(\frac{1}{2}\) (y-5)
5. एकैकी है।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. माना कि समुच्चय A = {1, 2, 3} पर एक सम्बन्ध R= {(1, 3), (3, 1), (3, 3)} है। तब R सममित, संक्रामक है, किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
2. यदि f : A → B एकैकी आच्छादक फलन हो, तो f का प्रतिलोम f^-1 अद्वितीय होता है।
3. फलनों का संजोयन क्रमविनिमेयी होता है।
4. प्रत्येक फलन व्युत्क्रमणीय होता है।
5. माना कि समुच्चय Q⁺ पर एक द्विआधारी संक्रिया ^*, a * b = \(\frac{ab}{3}\), ∀a, b ∈ Q⁺ से परिभाषित है, तब 4 * 6 का प्रतिलोम \(\frac{9}{8}\) है।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. समुच्चय A = {a, b, c} पर तत्समक संबंध लिखिए।
2. फलन f(x) = \(\frac { \left| x-1 \right| }{ x-1 } \) का परिसर क्या है?
3. फलन f(x) = \(\sqrt { 25-x^{ 2 } } \) से परिभाषित वास्तविक फलन का प्रान्त लिखिए।
4. माना कि एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = 3a + 4b – 2 से परिभाषित है तब 4 * 5 ज्ञात कीजिए।
5. माना कि f.g: R → R क्रमशः f(x) = 2x +1 और g(x) = x² – 2, ∀x ∈ R से परिभाषित है। तब gof (x) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. {(a, a), (b, b), (c, c)}
2. {-1, 1}
3. [-5, 5]
4. 30
5. 4x² + 4x – 1.

संबंध एवं फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय z में R = { (a, b ) : संख्या 2, (a – b) को विभाजित करती है } द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है। (NCERT)
हल: समस्त a ∈ Z के लिए 2,(a – a) को विभाजित करेगा अर्थात् (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ 2, (a – b) को विभाजित करता है
⇒ 2,- (b – a) को विभाजित करता है
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
अत: R, सममित है।
माना (a,b) ∈ R = 2,(a – b) को विभाजित करता है।
(b, c) ∈ R → 2,(b – c) को विभाजित करता है।
a – b तथा b – C, 2 से भाज्य है
a – b + b – c, भी 2 से भाज्य है
अर्थात् a – c भी 2 से भाज्य है
इसलिए (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है। अतः R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अतः यह एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} में R = {(a, b): a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है } द्वारा परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। साथ ही सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय {2, 4, 6} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं। परंतु उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव उपसमुच्चय {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है। (NCERT)
हल: A का दिया गया कोई अवयव a या तो विषम है या सम है अतः (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है।
⇒ b तथा a दोनों ही या तो विषम है या सम है।
(a,b) ∈ D (b, a) ∈ R
अत: R सममित है।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R ⇒ अवयव a, b, c सभी या तो विषम हैं या सम हैं।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R = (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है।
यहाँ R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।
पुनः {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी अवयव विषम हैं।
इसी प्रकार {2, 4, 6} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि ये सभी सम हैं साथ ही उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हो सकता क्योंकि {1, 3, 5, 7} के अवयव विषम हैं जबकि {2, 4, 6} के अवयव सम हैं।

प्रश्न 3.
माना कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। यदि समुच्चय N × N में परिभाषित एक संबंध R ऐसा हो कि (a, b) R (c, d) यदि ad (b + c) = bc (a + d) तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। (CBSE 2015)
हल: स्वतुल्यता: प्रत्येक (a, b) ∈ N × N के लिए
ab (b + a) = ba (a + b)
⇒ (a, b) R (a, b)
अत: R स्वतुल्य होगा।
सममितता: माना (a, b)(c, d) ∈ N × N
(a, b) R (c, d) ⇒ ab(b + c) = bc(a + d)
⇒ bc (a + d) = ab (b + c)
(a,b) R (c,d) ⇒ (c, d) R (a, b)
अत: R सममित होगा।
उत्तर संक्रमकता: माना (a, b) R (c, d ) तथा (c, d) R (e, f)
⇒ ad ( b + c) = bc (a + d)
तथा cf (d + e) = de (c + f)

⇒ af (b + e) = bc (a + f)
(a, b) R (c, d) तथा (c, d) R (e, f) ⇒ (a, b) R (e, f)
अत: R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
माना A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = {(a,b): |a – b| 2 से विभाजित है} तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है तथा तुल्यता वर्ग भी बनाइए।
हल: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
R = { (a, b) : |a – b| 2 से विभाजित है }
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1) (5, 1), (4, 2),(5, 3)}
∀ a ∈ A (a,a) ∈ R
इसलिए R स्वतुल्य होगा।
क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ∈ R
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 3) ∈ R
इसलिए R सममित है।
∀ (a, b) ∈ R,(b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
क्योंकि (1, 3)(3, 1) ∈ R = (1, 1) ∈ R
R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है।
यही सिद्ध करना था।
तुल्यता वर्ग
[1] = { a : a तथा 2 |a – 1| से विभाजित है}
[1] = {a : a ∈ A तथा a – 1 = 2 k}
[1] = {1, 3, 5}
[2] = { a : a तथा 2, |a – 2| से विभाजित है}
[2] = {a : a तथा a – 2 = 2k}
[2] = {2, 4}.

प्रश्न 5.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए।

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बताइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादक है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल: f : N → N में,

यहाँ f (1) = f (2) ⇒ 1 ≠ 2
डोमेन के दो अवयव 1 और 2 का सह – डोमेन में एक ही प्रतिबिम्ब 1 है।
अत: f एकैकी फलन नहीं है।

स्थिति I.
जब n विषम हो
n = 2r + 1, r ∈ N
तब 4r + 1 ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f (4r + 1) = \(\frac { 4r+1+1 }{ 2 } \) = \(\frac { 4r+2 }{ 2 } \) = 2r + 1
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए / आच्छादक फलन है।

स्थिति II.
माना n = 2r (सम संख्या)
तब 4r ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f(4r) = \(\frac{4r}{2}\) = 2r
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन नहीं है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है। f(x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल:
f : A → B, f (x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \), A = R – {3} तथा B = R – {1}
मान लीजिए x, y∈A इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = \(\frac { y-2 }{ y-3 } \)
⇒ (x – 2) (y – 3) = (y – 2) (x – 3)
⇒ xy – 3x – 2y + 6 = xy – 3y – 2x + 6
⇒ -3x – 2y = -3y – 2x
⇒ 3x – 2x = 3y – 2y
⇒ x = y
यहाँ f (x) = f (y) ⇒ x = y
अतः f एकैकी फलन है।
f आच्छादक फलन होगा यदि x∈A इस प्रकार विद्यमान है कि f(x) = y
\(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = y
⇒ x – 2 = y (x – 3)
⇒ x – 2 = xy – 3y
⇒ xy – x = 3y – 2
⇒ x = \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \)∈A
प्रत्येक y ∈ B के लिए x ∈ A
f (x) = f ( \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \) )

∵ f(x) = y
अतः f अचधक पालन है।
अतः f एकोकी अचधक पालन है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि नीचे परिभाषित फलन f : N → N एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही।

हल: माना f (x₁) = f (x₂)
यदि x, विषम तथा x, सम है, तब
x₁ + 1 = x₂ – 1
X₁ – x₂ = -2
जो कि असंभव है।
इस प्रकार x₁ के सम तथा x₂ के विषम होने की संभावना नहीं है।
इसलिए x₁ तथा x₂, दोनों ही या तो सम होंगे या विषम होंगे।
माना x₁, x₂ दोनों विषम हैं।
f (x₁) = f (x₂)
⇒ x₁ – 1 = x₂ – 1
⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
सहप्रांत N की कोई भी विषम संख्या 2r + 1 प्रांत N की संख्या 2r + 2 का प्रतिबिंब है और सहप्रांत N की कोई भी सम संख्या 27, N की संख्या 2r – 1 का प्रतिबिंब है।
अतः f आच्छादक है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
f (x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए? (NCERT)
हल: f : R → R, f (x) = 4x + 3
फलन का डोमेन तथा सह – डोमेन R है।
माना x, y ∈ R इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
4x + 3 = 4y + 3
⇒ 4x = 4y
⇒ x = y
इस प्रकार f (x) = f (y)
⇒ x = y
अतः f एकैकी है।
माना कि सह – डोमेन R का कोई अवयव y है
y = f (x)
y = 4x + 3
⇒ 4x = y – 3
⇒ x = \(\frac { y-3 }{ 4 } \)
∴ f^-1(y) = \(\frac { y-3 }{ 4 } \) तथा f^-1(x) = \(\frac { x-3 }{ 4 } \)

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि y = {n² : n ∈ N}⊂N है। फलन f : N → y, जहाँ f (n) = n² पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि व्युत्क्रमणीय है। का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
y = f(n) = n²
n = \(\sqrt{y}\)
इससे g (y) = \(\sqrt{x}\) द्वारा परिभाषित फलन g : y → N प्राप्त होता है।
gof (n) = g [f (n)]
= g [n²]
= \(\sqrt { n^{ 2 } } \) [g(n) = \(\sqrt{n}\), g(n²) = \(\sqrt { n^{ 2 } } \) = n]
(gof) n = n
तथा
(fog)y = f [g(y)]
= f[ \(\sqrt{y}\) ], [f(n) = n², f( \(\sqrt{y}\) ) = ( \(\sqrt{y}\) )² = y]
= y
स्पष्ट है कि gof = I_n तथा fog = I_y
अतः f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1 = g.
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
यदि f : R → R तथा g : R → R फलन क्रमशः f (x) = cosx तथा g(x) = 3x² द्वारा परिभाषित है, तो gof और fog ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि gof ≠ fog? (NCERT)
हल: दिया है: f(x) = cosx
g (x) = 3x²
(gof) x = g [f (x)]
(gof) x = g [cost]
दिया है:
f (x) = cosx ……………………….. (1)
g (x) = 3x²
g (cosx) = 3 cos²x ……………………………. (2)
समी. (1) और (2) से,
(gof )x = 3cos²x
(fog) x = f [g(x)]
= f [3x²] ………………………………… (3)
दिया है:
g (x) = 3x²
f (x) = cosx
f [3x²] = cos3x²
समी. (3) और (4) से,
(fog) x = cos3x²
x = 0 के लिए
3cos²x ≠ cos3x²
अतः gof ≠ fog. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 11.
f: {1,2,3} → {a,b,c}, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए-ज्ञात कीजिए ओर सिद्ध कीजिए कि (f^-1)^-1 = f है। (NCERT)
हल: दिया गया है:
f: {1, 2,3} → { a, b, c}
f(1) = a, f (2) = b, f (3) = c
माना g : { a, b, c } → {1, 2, 3} में
g (a) = 1, g (b) = 2, g (c) = 3
(fog) a = f [g (a)]
= f [1] = a
(fog) b = f [g (b)]
= f (2) = b
(fog) c = f [g (c)]
= f (3) = c
तथा (gof) (1) = g [f (1)]
= g (a) = 1
(gof) (2) = g [f(2)]
= g (b) = 2
(gof) (3) = g [f (3)]
= g (c) = 3
अत: gof = I_x, तथा fog = I_y
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
f का प्रतिलोम विद्यमान है तथा।
तथा f^-1 = g
∴ f^-1 {a, b, c} → {1, 2, 3} में,
f^-1 (a) = 1, f^-1(b) = 2, f^-1(c) = 3
अतः f^-1 का प्रतिलोम अथरिथ का प्रतिलोम जात करेंगे
माना h: {1, 2, 3} → {a, b, c}
h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c
(goh) 1 = g[h(1)] = g(a) = 1
(goh) 2 = g[h(2)] = g(b) = 2
(goh) 3 = g[h(3)] = g(c) = 3
तथा (hog) a = h[g(a)] = h(1) = a
(hog) b = h [ g(b)] = h(2) = b
(hog) c = h[g(c)] = h(3) = c
अत: goh = I_x तथा hog = I_y
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
g का प्रतिलोम विद्यमान है तथा g^-1 = h = (f^-1)^-1 = f
अत: h = f
∴ (f^-1)^-1 = f यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में R = { (P₁, P₂ ) : P₁ तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है।} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: दिया है:
A = समस्त बहुभुजों का समुच्चय
R = {(P₁, P₂) : P₁, तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है।
प्रत्येक बहुभुज P में भुजाओं की संख्या, बहुभुज P की भुजाओं की संख्या के बराबर है।
∴ (P, P) ∈ R, ∀P∈A
माना (P₁,P₂)∈R ⇒ बहुभुज P₁ तथा P₂ मे भुजाओं की संख्या समान हैं।
⇒ बहुभुज P₂ तथा बहुभुज P₁ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
अत: R संक्रमक संबंध है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से वह बहुभुज संबंधित होगा जिसमें भुजाओं की संख्या तीन होगी। इसलिए भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित बहुभुज त्रिभुज है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
यदि f(x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \), x ≠ \(\frac{2}{3}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ \(\frac{2}{3}\) के लिए fof(x) = xहै। f का प्रतिलोम फलन क्या है? (NCERT)
हल:
f (x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \)
fof (x) = f {f (x)}
f{ \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \) }

माना f का प्रतिलोम फलान f^-1(x) = y हैं।
तब f (y) = x
∴ \(\frac { 4y+3 }{ 6y-4 } \) = x
⇒ 4y + 3 = 6xy – 4x
⇒ 6xy – 4y = 3 + 4x
⇒ y (6x – 4) = 3 + 4x
⇒ y = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \)
⇒ f^-1 (x) = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \) = f(x)
∴ f^-1 = f.

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \) द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर) का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \)
f : [-1, 1] → R
यहाँ, f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x }{ x+2 } \) = \(\frac { y }{ y+2 } \)
⇒ xy + 2x = xy + 2y
⇒ 2x = 2y
⇒ x = y यही सिद्ध करना था।
∴ f एकैकी है।
माना f^-1 (x) = y
∴ f (y) = x
⇒ \(\frac { y }{ y+2 } \) = x
⇒ y = xy + 2x
⇒ y (1 – x) = 2x
∴ y = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)
⇒ f^-1(x) = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)

प्रश्न 15.
यदि f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \), ∀ x ∈ R जहाँ -1 < x < 1, तो gof तथा fog ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि fog = gof?
हल: दिया है,
f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \)
g (x) = \(\frac { x }{ 1-|x| } \)
∴ fog (x) = f {g(x)}
= f ( \(\frac { x }{ 1-|x| } \) )

= x ………………….. (2)
fog = gof
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
तीन फलन f : N → N, g : N → N तथा h : N → R पर विचार कीजिए f (x) = 2x, g (y) = 3y + 4, तथा h (z) = sin z ∀ x, y तथा z ∈ N सिद्ध कीजिये की ho(gof)n = (hog)of? (NCERT)
हल:
ho(gof) x = h[gof(x)]
= h {g[f(x)}
= h (g (2x))
= h [3(2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4) ………………………… (1)
इसी प्रकार ((hog)of) x = (hog) f(x)
= (hog) 2x
= h (g (2x))
= h [3 (2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4)
समी, (1) और (2) से स्पस्ट है की
ho(gof) = (hog)of. यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Physics Important Questions Chapter 11 Dual Nature of Radiation and Matter

Dual Nature of Radiation and Matter Important Questions

Dual Nature of Radiation and Matter Objective Type Questions

Question 1.
Choose the correct answer of the following:

Question 1.
The charge of electron is:
(a) 1.6 x 10^-19C
(b) 1.6 x 10^-9C
(c) Zero
(d) 9.1 x 10^-31C.
Answer:
(b) 1.6 x 10^-9C

Question 2.
The energy acquired by an electron which is accelerated by a potential difference of 10 volt is:
(a) 10 eV
(b) 10 joule
(c) 1 eV
(d) 1 joule.
Answer:
(a) 10 eV

Question 3.
Electron was discovered by:
(a) Planck
(b) Milikan
(c) J. J. Thomson
(d) Ruther Ford.
Answer:
(c) J. J. Thomson

Question 4.
The momentum of photon of energy E is:
(a) \(\frac {E}{c}\)
(b) Ec
(c) \(\frac {e}{E}\)
(d) \(\sqrt { Ec }\)
Answer:
(a) \(\frac {E}{c}\)

Question 5.
The de Broglie wavelength associated with an electron accelerated by 150 volt is:
(a) 150 Å
(b) I mU
(c) 1 nm
(d) 1 Å
Answer:
(d) 1 Å

Question 2.
Match the columns:
I.

Answer:

1. (d)
2. (c)
3. (a)
4. (e)
5. (b)

II.

Answer:

1. (e)
2. (c)
3. (d)
4. (c)
5. (b)

III.

Answer:

1. (d)
2. (a)
3. (e)
4. (b)
5. (c)

IV.

Answer:

1. (d)
2. (c)
3. (e)
4. (b)
5. (a)

Question 3.
Fill in the blanks:

1. The phenomenon of emission of electron from metallic surface is called ……………..
2. The minimum amount of energy required for emission of electron from a metallic surface is called ……………..
3. The phenomenon of emission of electrons from the metallic surface on heating it is called ……………..
4. The electrons are emitted from metallic surface when a light of specific frequency is incident on it. This phenomenon is called ………………
5. The maximum value of photo current in Lenard’s experiment is called ……………..
6. In Lenard’s experiment the negative voltage corresponding to which the photoelectric current becomes zero is called ……………..
7. ……………..is that minimum frequency below which the electron can not be emitted from metal surface what so ever be the intensity.
8. The minimum amount of energy which is required for emission of electrons from a metal is called ……………..
9. The radiation has particle and wave nature both. This nature is called as ……………..
10. A wave is associated with energy moving particle it is called as ……………..
11. 1 eV = …………….. joule.
12. The rest mass of an electron is ……………..
13. The minimum frequency which is required for emission of electrons from a metal surface is called ……………..
14. The matter waves are discovered by ……………..
15. The kinetic energy of photoelectrons depends upon the …………….. of incident light.

Answer:

1. Electron emission
2. Work function
3. Thermionic emission
4. Photoelectric effect
5. Saturated current
6. Cut off potential
7. Threshold frequency
8. Work function
9. Dual nature
10. Debroglie or matter waves
11. 1.6 x 10^-19J
12. 9.1 x 10^-31kg
13. Threshold frequency
14. De Broglie
15. Frequency.

Question 4.
Write the question in one word/sentence:

1. Who discovered the photoelectric effect?
2. Who discovered the electron?
3. State the name of phenomena which shows the particle nature of radiations.
4. On what factors does the maximum velocity of emitted electrons depend?
5. Who explain first the photoelectric effect?
6. Write value of 1 eV in joule.
7. Write formula of de – Broglie wavelength.
8. What is rest mass of photons?

Answer:

1. Hertz
2. J.J. Thomson
3. Photoelectric effect and Compton effect
4. The frequency of incident radiation and work function of metal
5. Albert Einstein
6. 1 eV = 1.602 x 10^-19J
7. λ = \(\frac {h}{mv}\)
8. Zero

Dual Nature of Radiation and Matter Very Short Answer Type Questions

Question 1.
What is mass of a photon of frequency u?
Answer:
From the formula:
E = mc² = hu
m = \(\frac { hu }{ { c }^{ 2 } }\)

Question 2.
Can the photon exist in the state of rest?
Answer:
No.

Question 3.
Which metals are usually used for photoelectric emission?
Answer:
Alkali metals because their work function is low.

Question 4.
The energy of a photon is hu and its momentum is \(\frac {h}{λ}\) , what will be the of photon?
Answer:
The velocity of photon v = \(\frac {E}{P}\) = \(\frac {hu}{h/λ}\)
or v = uλ.

Question 5.
On what factors does the work function of a metal depend?
Answer:
The work function of a substance depends on its nature.

Question 6.
Due to which radiations the photoelectric effect is produced in metal?
Answer:
Radio waves.

Question 7.
How many joule are in one electron volt?
Answer:
1 eV = 1.6 x 10¹⁹J.

Dual Nature of Radiation and Matter Short Answer Type Questions

Question 1.
What is photon nature of light? Explain.
Answer:
The light consists of small bundles of energy. Each bundle is called ‘quanta’ or ‘photon’. Each photon has a definite energy. This energy is given by the equation E = hv, where h is Planck’s constant and u is frequency.

Question 2.
What are de – Broglie waves? Write de – Broglie equation.
Answer:
The waves which are associated with matter are called matter waves or de – Broglie waves
Equation λ = \(\frac {h}{mv}\)
Where λ wavelength, h → Planck’s constant
m → mass, u → velocity of wave.

Question 3.
Why the wave nature of matter is not observed in daily life?
Answer:
de Broglie wavelength is given by
λ = \(\frac {h}{mv}\)
∴ λ ∝ \(\frac {1}{m}\)
As the mass is large, the wavelength is smaller. Therefore, the effect cannot be observed in daily life.

Question 4.
The threshold wavelength of sodium metal is 6800 Å. Clarify the statement
Answer:
The sodium metal will emit the electrons when a light of wavelength 6800 Å will fall on it. If the wavelength of light is more than this value, it will not emit the electrons.

Question 5.
Write properties of matter waves.
Answer:

1. The matter waves are not electromagnetic in nature. Electromagnetic waves are produced only by charged particles.
2. The wavelength of matter waves is independent of the charge or nature of particle.
3. For lighter particle, the wavelength of matter waves will be greater.

Question 6.
What is dual nature of radiations?
Answer:
In same experiments light behaves as particles while in same other experiments it behaves as wave. In the other words either the light radiations will behave as particle or wave but not simultaneously. This is called dual nature of light.

Question 7.
The Planck’s constant is h and frequency of a photon is v then write the Einstein’s photoelectric equation.
Answer:
If h is Planck’s constant and ν is frequency of photon, then Einstein’s photo – electric equation is
h(ν – ν₀) = \(\frac {1}{2}\)mv_max²

Question 8.
What is specific charge of electron?
Answer:
The specific charge of electron is 1.76 x 10¹¹C/kg.

Question 9.
What is cut off potential?
Answer:
The negative potential of anode for which the photoelectric current becomes zero is called stopping potential or cut off potential.

Question 10.
What do you mean by specific charge of a charged particle? What is its value for electron?
Answer:
The ratio of charge on a particle and its mass is called as specific charge of that particle

For electron specific charge is 1.76 x 10¹¹C/kg.

Question 11.
Explain meaning of Planck’s constant, write its formula. Also write its value.
Answer:
Planck’s constant:
According to quantum theory the energy of a photon of a radiation is proportional to its frequency i.e.,
E ∝ ν
or E = hv
Where h is a proportionality constant called as Planck’s constant
Thus, h = \(\frac {E}{ν}\)
Hence, the ratio of energy of photon to the frequency of photon is called Plancks’ constant.
The value of h is 6.6 x 10^-34J/sec.

Question 12.
What do you mean by electron – volt? Find its value in joule.
Answer:
The energy gained by an electron, when it is accelerated by 1 volt potential difference is called one electron – volt.
Let the charge on an electron is e and it is accelerated by V volt.
∴ Work done = eV
Energy of electron = eV
or 1 eV = 1.6 x 10^-19 x 1
= 1.6 x 10^-19 joule.

Question 13.
What is work function? The work function of Lithium and Copper are 2.3 e V and 4 eV respectively, which will be useful for visible light?
Answer:
The least energy which can eject the electrons from the surface of the metal, is called its work function. The work function of lithium is less, therefore it is useful for the visible light.

Question 14.
What is thermionic emission?
Answer:
The phenomenon of emission of electrons, from the surface of the metal when it is heated, is called thermionic emission.

Question 15.
What properties should possess by a metal used for thermionic emission?
Answer:
The metal used for thermionic emission should have the following properties:

1. Its work function should be small, so that even at low temperature the electrons can be emitted.
2. The melting point should be high.

Question 16.
What is the reason that the photoelectric emission do not take place for a wavelength, greater than a definite value from a metal?
Answer:
For the emission of electrons from a metal a minimum energy is required which is called work function.
Work function ϕ = \(\frac { hc }{ { \lambda }_{ 0 } }\)
Where, λ₀ is threshold wavelength.
If the wavelength of incident light is greater than λ₀ then the energy of radiation will be less than work function and the emission of electron will not be possible.

Question 17.
What do you mean by threshold frequency? What is the relation between work function and threshold frequency?
Answer:
The threshold frequency is that minimum frequency of light, below which the photoelectrons do not emit, what so ever may be the intensity of light.
The relation between work function and threshold frequency is
ϕ = hν₀
Where, h is Planck constant.

Question 18.
What is photoelectric effect? How it was explained by Einstein?
Answer:
Photoelectric effect:
When some photo sensitive substances are exposed to ultraviolet light electrons are ejected from their surface which are called photoelectrons. This process is called photoelectric emission. On the basis of equation E_max = hν – ϕ₀ Einstein gave explanations of laws of photoelectric effect.

1. If the intensity of incident light of constant frequency is increased then the number of electrons emitted per second from the metallic surface will increase but since energy of each photon is hv then the energy of emitted electron will remain constant (or same).

2. By the Einstein’s equation it is clear that E ∝ u, hence on increasing the frequency of incident photons, the energy of emitted electrons will increase.

3. If the frequency of incident photons is less than threshold frequency then electrons will not emit from the metal surface what so even be the intensity.

Question 19.
In the photoelectric effect the occurrence of threshold frequency give more importance to photon theory as compared to the wave theory. Explain.
Answer:
According to wave theory for the light of all frequencies the photoelectric effect should be possible but according to Einstein’s photoelectric equation the kinetic energy of emitted electron is \(\frac {1}{2}\)mv² = h(ν – ν₀). If the frequency o of the incident photons is less than threshold frequency u₀. Then the K.E. of electrons will be negative. But it is not possible.

Hence it is clear that the emission of electrons is not possible if the frequency is less than threshold energy. Thus it is clear that the occurrence of threshold frequency in photoelectric effect give more importance to photon theory’ as compared to the wave theory.

Question 20.
The energy of each electrons ejected from the metal surface is different even if the incident light of same frequency is exposed on it. Why?
Answer:
The electrons which are on the surface of metal experience smaller attraction force due to positive ions. While the electrons which are ejected from inner part of the metal experience greater force of attraction. Therefore the velocity of surface electrons are greater hence their energies are greater.

Question 21.
Show that for an electron which is accelerated by a potential difference V, the value of de – Broglie wavelength is given by X = \(\frac { 12.27 }{ \sqrt { V } }\) Å
Answer:
Let the kinetic energy of a moving particle of mass m is K.
Then, K = \(\frac {1}{2}\)mv²
or 2mK = m²v²
or mv = \(\sqrt { 2mK }\)
From the formula λ = \(\frac {h}{mv}\)
or λ = \(\frac { h }{ \sqrt { 2mK } }\) … (1)
If a charge q is accelerated by a potential difference V the kinetic energy of thw charged particle be
K = qV

Question 22.
Explain meaning of work function in photoelectric effect by giving the equation.
Answer:
In the photoelectric effect if maximum kinetic energy of emitted electron is \(\frac {1}{2}\)mv²_maxenergy of incident photon is hν and work function is ϕ then the relation between them can be given by
\(\frac {1}{2}\)mv²_max hνϕ
If hν = ϕ, then \(\frac {1}{2}\)mv²_max = 0. Thus it is clear that if the energy of incident light is equal to work function then the velocity of emitted electron will be zero.
Again if ϕ > hν, then \(\frac {1}{2}\)mv²_max will be negative. which is not possible.
Thus, the work function is that minimum energy which is essential for the emission of electrons.

Question 23.
Write photoelectric effect and explain that what are the reasons due to which wave theory could not explain the photoelectric effect?
Answer:
Photoelectric effect:
When some photo sensitive substances are exposed to ultraviolet light electrons are ejected from their surface which are called photoelectrons. This process is called photoelectric emission. On the basis of equation E_max = hν – ϕ₀ Einstein gave explanations of laws of photoelectric effect.

1. If the intensity of incident light of constant frequency is increased then the number of electrons emitted per second from the metallic surface will increase but since energy of each photon is hv then the energy of emitted electron will remain constant (or same).

2. By the Einstein’s equation it is clear that E ∝ u, hence on increasing the frequency of incident photons, the energy of emitted electrons will increase.

3. If the frequency of incident photons is less than threshold frequency then electrons will not emit from the metal surface what so even be the intensity.

The photoelectric effect could not be explained by the wave theory because :

1. By wave theory, energy of light is distributed uniformly and measured in terms of intensity of beam. By increasing the intensity, the amplitude and energy of waves will increases. If light beam falls on the metal, the energy accumulated in these waves should be transferred uniformly to the electrons on the surface and so they must be emitted out.

Waves having higher intensity will impart more energy to the electrons and so the energy of the photoelectrons must increase. But this is against the experimental observation that the maximum K.E. of the photoelectrons does not depend on the intensity of light.

2. The energy transferred by the light waves will not go to a particular electron, but it will be distributed among all the electrons. Hence, electrons will take some time in accumulating energy required for emission. But practically, the emission of electrons takes place immediately after the light is incident on the metal.

Question 24.
Is the photoelectric effect an instant action? The K.E. of electron and photon are same which will have longer wavelength?
Answer:
Yes, photoelectric effect is an instant action

Thus the electron will have longer de – Broglie wavelength.

Question 25.
Define de – Broglie matter wave and obtain expression λ = \(\frac { h }{ \sqrt { 2mE} }\) for de – Broglie wavelength.
Answer:
de – Broglie waves:
The waves which are associated with matter are called matter waves or de – Broglie waves.
If a particle of mass m is moving with velocity v then its kinetic energy be
E = \(\frac {1}{2}\)mv²
Multiplying by 2m on both sides
2mE = m²v²
or 2mE = (mv)²
or 2mE = p², (∵ p=mv)
∴ The de – Broglie wavelength associated with the matter particle be
λ = \(\frac {h}{p}\)
or λ = \(\frac { h }{ \sqrt { 2mE}}\)

Question 26.
The propagation of light is by the photons even then it is not seen discontinuous why?
Answer:
The effect of a photon on the retina remains for \(\frac {1}{16}\) seconds but when the light enters into eye, about 10¹⁸ photons strike the retina per second. Therefore it does not appear discontinuous.

Question 27.
What is the mass of a photon of frequency ν and wavelength λ? What is rest mass of a photon?
Answer:
The mass of photon of frequency ν
E = mc² = hν
Then m = \(\frac { hν }{ { c }^{ 2 } }\)
The mass of photon of wevelength λ
E = mc² = \(\frac {hc}{λ}\)
or m \(\frac {h}{cλ}\)
The rest mass of photon is zero.

Question 28.
What is photoelectric effect? Derive Einstein’s formula:
\(\frac {1}{2}\)mv²_max = hν – hν₀
Or
Establish Einstein’s equation relating to the photoelectric emission.
Answer:
Photoelectric effect:
When some photo sensitive substances are exposed to ultraviolet light electrons are ejected from their surface which are called photoelectrons. This process is called photoelectric emission. On the basis of equation E_max = hν – ϕ₀ Einstein gave explanations of laws of photoelectric effect.
1. If the intensity of incident light of constant frequency is increased then the number of electrons emitted per second from the metallic surface will increase but since energy of each photon is hv then the energy of emitted electron will remain constant (or same).

2. By the Einstein’s equation it is clear that E ∝ u, hence on increasing the frequency of incident photons, the energy of emitted electrons will increase.

3. If the frequency of incident photons is less than threshold frequency then electrons will not emit from the metal surface what so even be the intensity.

Derivation:
Einstein explained photoelectric effect by Planck’s constant quantum theory. According to which light rays travel from one place to the other in the form of bundles of energy. These are called photons. Energy of each photon is hu and momentum is \(\frac {h}{λ}\).
Where, h → Planck constant, u → Frequency of light and λ → Wavelength of light. When photon of energy hu incident on any substance, its energy is used in two ways :

1. Part of energy is used to eject the electron from the surface, which is called work function and represented by ϕ and is different for different substances.

2. Remaining energy is used to increase the kinetic energy of emitted electron.

Therefore, hv = ϕ + Ek … (1)
Where, E_K → Maximum kinetic energy of electron.
If u₀ is a threshold frequency and maximum velocity of electron is v_max.

Eqn. (2) is called Einstein’s equation.

Question 29.
Explain the following:

1. Thermionic emission
2. Threshold frequency
3. Work function
4. Matter waves.

Answer:

1. Thermionic emission : The phenomenon of emission of electrons from the surface of metal when it is heated is called thermionic emission.

2. Threshold frequency : The threshold frequency is that minimum frequency of light, below which the photoelectrons do not emit what so even be the intensity of light.

3. Work function : The minimum energy which can eject the electrons from the surface of the metal is called work function.

4. Matter waves: The waves which are associated with matter are called matter waves or de – Broglie waves.

Dual Nature of Radiation and Matter Long Answer Type Questions

Question 1.
What is photoelectric effect? Write the laws of photoelectric emission.
Or
State any two laws of photoelectric effect?
Or
What is photoelectric effect?
Answer:
Photoelectric effect:
When some photo sensitive substances are exposed to ultraviolet light electrons are ejected from their surface which are called photoelectrons. This process is called photoelectric emission. On the basis of equation E_max = hν – ϕ₀ Einstein gave explanations of laws of photoelectric effect.

1. If the intensity of incident light of constant frequency is increased then the number of electrons emitted per second from the metallic surface will increase but since energy of each photon is hv then the energy of emitted electron will remain constant (or same).

2. By the Einstein’s equation it is clear that E cc u, hence on increasing the frequency of incident photons, the energy of emitted electrons will increase.

3. If the frequency of incident photons is less than threshold frequency then electrons will not emit from the metal surface what so even be the intensity.

Laws of photoelectric emission:

1. There is a definite cut off value of frequency below which electrons cannot be ejected by any substance.
2. Number of emitted electrons are directly proportional to the intensity of light incident.
3. Kinetic energy of emitted electrons depends on the frequency of incident light on substance.
4. There is no time logging between the incident of light and emission of electrons.

Question 2.
Write about an electron, proton and neutron under following points:

1. Chemical symbol
2. Charge
3. Name of discoverer.

Answer:
1. Symbols:

• Electron – _-1e°
• Proton – ₁H¹
• Neutron – _on¹

2. Charge:

• Electron – – 1.6 x 10^-19coulomb
• Proton – +1.6 x 10 coulomb
• Neutron – Zero.

3. Name of the discoverer:

• Electron – J.J. Thomson (1897)
• Proton – Goldstein (1896)
• Neutron – James Chadwik (1932).

Question 3.
Determine de – Broglie relation.
Or
What are de – Broglie waves? Write down de – Broglie wave equation.
Answer:
de – Broglie wave : The waves which are associated with matter are called matter waves or de – Broglie waves.

Wave equation : According to quantum theory, the energy of a photon is given by the formula:
E = hν … (1)
Where, h = Planck constant and u= Frequency of light. Suppose the mass of photon is m.
By Einstein’s mass energy relation,
E = mc² … (2)
Where, c = Velocity of light.
Now, from eqns. (1) and (2), we get

Which is called de – Broglie wave equation.
Again, if the velocity of mass m is v, then
p = mv and λ = \(\frac {h}{mv}\)
Which is de – Broglie relation.

Question 4.
Prove that the de – Broglie wavelength λ of a matter particle of energy E is given λ = \(\frac { h }{ \sqrt { 2mE } }\)
Answer:
The waves which are associated with matter are called matter waves or de – Broglie waves.
If a particle of mass m is moving with velocity v then its kinetic energy be
E = \(\frac {1}{2}\)mv²
Multiplying by 2m on both sides
2mE = m²v²
or 2mE = (mv)²
or 2mE = p², (∵ p=mv)
∴ The de – Broglie wavelength associated with the matter particle be
λ = \(\frac {h}{p}\)
or λ = \(\frac { h }{ \sqrt { 2mE}}\)

Question 5.
What are photons? Write any four properties of photons.
Answer:
An electro magnetic wave travels in the form of discrete packets on bundles of energy called quanta. One quanta of light radiation is called photon.

Properties:

1. The speed of photons in vacuum is equal to speed of light.
2. Photons are electrically neutral. They are not affected by the electric or magnetic fields.
3. The energy of photons is expressed in terms of electron volt (eV).
4. The energy of photons is given by E = hν = \(\frac {hc}{ λ}\)
5. Where, h is Planck’s constant, ν is frequency and λ is wavelength.

Dual Nature of Radiation and Matter Numerical Questions

Question 1.
An electron is accelerated upto 100 volt. Find its kinetic energy.
Solution:
Kinetic energy = eV,
∴ e = 1.6 x 10^-19 and V= 100 volt
∴ Kinetic energy = 1.6 x 10^-19 x 100 joule
= 100 eV

Question 2.
Find energy of photon of wavelength 4000 A.
Solution:
Given: λ = 4000Å = 4000 x 10^-10
or λ = 4 x 10^-7
Formula: E = hν or E = \(\frac {hc}{λ}\)
Where h (Planck’s constant) = 6.6 x 10^-34 J sec c
= 3 x 10⁸ m/sec
Putting the values in the formula

Question 3.
An electron is accelerated by a potential difference of 1000 volt, what will be its velocity?
Solution:

MP Board Class 12th Physics Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 11 त्रि-विमीय ज्यामिति

त्रि-विमीय ज्यामिति Important Questions

त्रि-विमीय ज्यामिति वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दुओं A (- 2, 4, 7) तथा Q (3,- 5, 8) को मिलाने वाले रेखा खण्ड को YZ समतल किस अनुपात में विभाजित करता है –
(a) 2 : 3
(b) 1 : 2
(c) 2 : 5
(d) 3 : 4.
उत्तर:
(a) 2 : 3

प्रश्न 2.
यदि कोई रेखा X अक्ष व Y अक्ष दोनों की धनात्मक दिशाओं से \(\frac { \pi }{ 4 } \) का कोण बनाये तो वह कोण जो रेखा Z – अक्ष की धनात्मक दिशा से बनाती है। होगी –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
उत्तर:
(d) \(\frac { \pi }{ 2 } \)

प्रश्न 3.
बिंदुओं (2, 3, 4) तथा (1, -2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण होगा –
(a) \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(b) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(c) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)
(d) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{1}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{x-2}{-1}\) = \(\frac{y-3}{-5}\) = \(\frac{z-4}{-1}\)

प्रश्न 4.
समतल x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण है –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { 3\pi }{ 2 } \)
(d) π
उत्तर:
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 5.
अक्षों से 2, 3, – 4 के अन्तःखण्ड काटने वाले समतल का समीकरण है –
(a) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 0
(b) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = -1
(c) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 1
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(c) \(\frac{x}{2}\) + \(\frac{y}{3}\) – \(\frac{z}{4}\) = 1

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

• \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) ( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) एकांक सदिश की दिक् – कोज्याएँ …………………… हैं।
• X – अक्ष की दिक् – कोज्याएँ …………………………. हैं।
• घन के विकर्णों के बीच का कोण …………………………. होता है।
• सरल रेखाओं \(\frac{x}{1}\) = 0 \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{-1}\) तथा \(\frac{x}{3}\) = \(\frac{y}{4}\) = \(\frac{z}{5}\) के बीच का कोण ……………………… है।
• यदि रेखाएँ \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{k}\) और \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{k}\) समतलीय है, तो k …………………………..
• यदि एक रेखा अक्षों के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती है, तो cos²α + cos²β + cos²γ = ……………………………….. होगा।
• समतल 2x + y – z = 5 द्वारा X – अक्ष पर काटा गया अंत: खण्ड ………………………… है।

उत्तर:

1. \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)
2. 1, 0, 0
3. cos^-1 ( \(\frac{1}{3}\) )
4. cos^-1 ( \(\frac{-1}{5}\) )
5. 5
6. 1
7. \(\frac{5}{2}\) )

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. बिन्दु A (1, 2, 3), B (4, 0, 4) तथा C (-2, 4, 2) संरेख हैं।
2. रेखाएँ जिनके दिक् – अनुपात (3, 4, 5) और (4, -3, 5) हैं, के बीच का कोण 30° है।
3. रेखाओं 2x = 3y = -z तथा 6x = -y = -4z के बीच कोण 90° है।
4. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी सदैव 0 होती है।
5. सरल रेखा \(\frac{x+1}{3}\) = \(\frac{y+1}{2}\) = \(\frac{z+2}{4}\) तब समताल के बीच का कोण cos^-1 ( \(\frac { 4 }{ \sqrt { 406 } } \) ) है।
6. सरल रेखा \(\frac{x-2}{1}\) = \(\frac{y+1}{-2}\) = \(\frac{z-4}{1}\) तथा समतल x + 3y + 5z = 4 के समान्तर है।
7. X – अक्ष के समान्तर समतल का समीकरण ax + by + d = 0

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. सत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (c)
2. (d)
3. (a)
4. (b)
5. (e).

II.

उत्तर:
(a) (v)
(b) (iii)
(c) (ii)
(d) (vi)
(e) (iv).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. समतल x + 2y + 3z +4 = 0 के अभिलम्ब के दिक् अनुपात ज्ञात कीजिए।
2. समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो अक्षों से इकाई अंत:खण्ड काटता हो।
3. समतल YOZ पर लम्बवत् समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
4. समतलों x + 2y + z + 7 = 0 तथा 2x + y – z + 13 = 0 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
5. समान्तर समतलों 2x – 2y + z + 3 = 0 और 4x – 4y + 2z + 5 = 0 के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।
6. रेखाओं x = 2 = 2 और = 2 = – के मध्य कोण ज्ञात कीजिए।
7. यदि कोई रेखा अक्षों की धनात्मक दिशाओं से α, β, γ कोण बनाए तो sin²α + sin²β + sin²γ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 1, 2, 3
2. x + y + z = 1
3. by + cz + d = 0
4. \(\frac { \pi }{ 3 } \)
5. \(\frac{1}{6}\)
6. \(\frac { \pi }{ 3 } \)
7. 2

त्रि-विमीय ज्यामिति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दो बिन्दुओं (-2, 4, -5) और (1, 2, 3) को मिलाने वाली रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये बिन्दु A (-2, 4, -5) तथा B (1, 2, 3) हैं
AB दिक् अनुपात = 1 + 2, 2 – 4, 3 + 5
= 3, -2, 8

AB की दिक् कोज्यायें

प्रश्न 2.
एक रेखा X, Y और Z – अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135° और 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिया है:
α = 90°, β = 135°, λ = 45°
cos α = cos 90° = 0
cos β = cos 135° = cos (90° + 45°)
= – sin 45° = – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
cos γ = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
रेखा की दिक् कोसाइन cos α, cos β, cos γ
अर्थात् 0, – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \).

प्रश्न 3.
एक रेखा OP, X – अक्ष से 120° और Y – अक्ष से 60° का कोण बनाती है। रेखा द्वारा Z – अक्ष से बना कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ α = 120° और β = 60°. माना रेखा Z – अक्ष से कोण γ बनाती है। तब,
cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ cos² 120° + cos² 60° + cos² γ = 1
⇒ ( \(\frac{1}{2}\) )² + ( \(\frac{1}{2}\) )² + cos² γ = 1
⇒ \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{4}\) + cos² γ = 1
⇒ cos² γ = 1 – \(\frac{1}{2}\) ⇒ cos² γ = \(\frac{1}{2}\)
⇒ cos γ = ± \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
⇒ γ = 45°, 135°
अत: अभीष्ट कोण 45° अथवा 1350 है।

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1) और (5, 8, 7) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना दिये गये बिन्दु A (2, 3, 4), B (-1, -2, 1) तथा C (5, 8, 7) हैं।
AB के दिक् अनुपात हैं: x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात् -1 – 2, -2 – 3, 1 – 4
अर्थात् -3, -5, -3 = – (3, 5, 3)
BC के दिक् अनुपात हैं: x₂ – x₁, Y₂ – y₁, z₂ – z₁
अर्थात् 5 + 1, 8 + 2, 7 – 1
अर्थात्
6, 10, 6 = 2 (3, 5, 3)
स्पष्ट है कि AB और BC के दिक् अनुपात समानुपाती हैं। अत: AB और BC समान्तर हैं। परन्तु AB और BC दोनों में B उभयनिष्ठ है।
अत: A, B, C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
यदि किसी सरल रेखा की दिक्-कोज्याएँ cos α, cos β, cos γ हों, तो सिद्ध कीजिए कि
cos 2α + cos 2β + cos 2γ = -1. (म.प्र. 2008)
हल:
cos 2α + cos 2β + cos 2γ
= 2 cos² α – 1 + 2 cos² β – 1 + 2 cos² γ – 1
= 2(cos² α + cos² β + cos²γ) – 3
= 2 × 1 – 3, [∵ cos² α + cos² β + cos²γ = 1]
= – 1 = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 6.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के लम्बवत् है। (NCERT)
हल:
बिन्दुओं (1, -1, 2) और (3, 4, -2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2
= 2, 5, -4 = a₁, b₁, C₁, (माना)
बिन्दुओं (0, 3, 2) और (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
= 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2
= 3, 2, 4
= a₂, b₂, c₂ (माना) यदि रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं तो
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ 2.3 + 5.2 – 4.4 = 0
⇒ 16 – 16 = 0
⇒ 0 = 0. यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें परस्पर लम्बवत् हैं।

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि बिन्दुओं A (1, 2, 3) और B (2, 3, 5) से होकर जाने वाली रेखा, बिन्दुओं C (-1, 2, -3) और D (1, 4, 1) से होकर जाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात
= 2 – 1, 3 – 2, 5 – 3
= 1, 1, 2
= a₁, b₂, c₁
रेखा CD के दिक् अनुपात
= 1 + 1, 4 – 2, 1 + 3
= 2, 2, 4
= a₂, b₂, c₂
यहाँ
\(\frac { a_{ 1 } }{ a_{ 2 } } \) = \(\frac { b_{ 1 } }{ b_{ 2 } } \) = \(\frac { c_{ 1 } }{ c_{ 2 } } \)
= \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{2}{4}\) था \(\frac{1}{2}\)
अत: रेखा AB, CD के समान्तर है।

प्रश्न 8.
रेखाओं \(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण है –
\(\frac{x}{2}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{1}\)
तथा
\(\frac{x-5}{4}\) = \(\frac{y-2}{1}\) = \(\frac{z-3}{8}\)
a₁ = 2, b₁ = 2, c₁ = 1
a₂ = 4, b₂ = 1, c₂ = 8
माना रेखाओं के बीच का कोण θ है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ \(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) और \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) परस्पर लंब हैं। (NCERT)
हल:
रेखाओं के समीकरण हैं –
\(\frac{x-5}{7}\) = \(\frac{y+2}{-5}\) = \(\frac{z}{1}\) ……………….. (1)
तथा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{2}\) = \(\frac{z}{3}\) ……………………… (2)
यहाँ
a₁ = 7, b₁ = -5, c₁ = 1
a₂ = 1, b₂ = 2, c₂ = 3
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 7(1) + (-5)(2) + 1 × 3
= 10 – 10 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः दी गई रेखाएँ परस्पर लम्बवत होंगी। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
उस रेखा का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4, -5) से जाती है और \(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{8}\) के समान्तर है। (NCERT)
हल:
रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x+3}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+8}{8}\) ………………………. (1)
रेखा (1) के दिक् अनुपात 3, 5, 8 हैं।
बिन्दु (-2, 4, -5) से जाने वाली रेखा का समीकरण
\(\frac{x+2}{a}\) = \(\frac{y-4}{b}\) = \(\frac{z+5}{c}\)
रेखा (2) के दिक् अनुपात a, b, c
रेखा (1) और (2) समान्तर है,
∴ \(\frac{a}{3}\) = \(\frac{b}{5}\) = \(\frac{c}{8}\) = k
a = 3k, b = 5k, c = 8k
a, b, c के मान समी. (2) में रखने पर रेखा का अभीष्ट समीकरण होगा –
\(\frac{x+2}{3k}\) = \(\frac{y-4}{5k}\) = \(\frac{z+5}{8k}\)
\(\frac{x+2}{3}\) = \(\frac{y-4}{5}\) = \(\frac{z+5}{8}\)

प्रश्न 11.
उस सरल रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाती है तथा रेखा \(\frac{x-6}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z+7}{5}\) के समान्तर है।
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण जिसके दिक् अनुपात a, b, c हैं, होता हैं –
\(\frac { x-x_{ 1 } }{ a } \) = \(\frac { y-y_{ 1 } }{ b } \) = \(\frac { z-z_{ 1 } }{ c } \)
बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण होगा –
\(\frac{x-1}{a}\) = \(\frac{y-2}{b}\) = \(\frac{z-3}{c}\)
दी गई रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x-6}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z+7}{5}\)
रेखा (2) के दिक् अनुपात हैं – 12, 4, 5
∵ रेखा (1) और (2) समान्तर हैं,
∴ \(\frac{a}{12}\) = \(\frac{b}{4}\) = \(\frac{c}{5}\) = k (माना)
⇒ a = 12k, b = 4k, c = 5k
a, b, c के मान समी. (1) में रखने पर,
\(\frac{x-1}{12k}\) = \(\frac{y-2}{4k}\) = \(\frac{z-3}{5k}\)
⇒ \(\frac{x-1}{12}\) = \(\frac{y-2}{4}\) = \(\frac{z-3}{5}\)
यही अभीष्ट रेखा का समीकरण है।

प्रश्न 12.
रेखाओं \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{3}\) और \(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{z}{0}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाओं के समीकरण हैं:
\(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y}{0}\) = \(\frac{z}{3}\) ………………….. (1)
और \(\frac{x}{4}\) = \(\frac{y}{5}\) = \(\frac{z}{0}\) ………………………. (2)
यहाँ a₁ = 1, b₁ = 0, c₁ = 3 तथा a₂ = 4, b₂ = 5, C₂ = 0 ……………….. (2)
माना कि रेखाओं (1) तथा (2) के बीच का कोण है, तब

अत: अभीष्ट कोण θ = cos^-1 ( \(\frac { 4 }{ \sqrt { 410 } } \) )

प्रश्न 13.
प्रतिबन्ध ज्ञात कीजिए कि रेखाएँ x = ay + b, z = cy + d और x = a’y + b’,z = c’y + d’ परस्पर लम्ब हैं।
हल:
x = ay + b तथा z = cy + d
⇒ \(\frac{x-b}{a}\) = \(\frac{y}{1}\) तथा \(\frac{z-d}{c}\) = \(\frac{y}{1}\)
अतः उपर्युक्त रेखा का समीकरण है:
\(\frac{x-b}{a}\) = \(\frac{y}{1}\) = \(\frac{z-d}{c}\)
पुनः x = a’y + b’ तथा z = c’y + d’ से प्रदर्शित रेखा है:
\(\frac { x-b’ }{ a’ } \) = \(\frac{y}{1}\) = \(\frac { z-d’ }{ c’ } \)
यदि रेखाएँ (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगी, तब
a × a’ + 1 × 1 + c × c’ = 0
⇒ aa’ + cc’ + 1 = 0
यही अभीष्ट प्रतिबन्ध है।

प्रश्न 14.
(A) सरल रेखाओं \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) + t( \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) + s(2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

समी. (1) में, \(\overrightarrow{b_{1}}\) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \)
समी. (2) में, \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \)
यदि रेखाओं के बीच का कोण θ है,
तो

(B) दो सरल रेखाओं \(\vec { r } \) = (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + t(-\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + s( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 15.
दो समतलों 2x – y + z = 6 और x + y + 2z = 7 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये समतल के समीकरण हैं:
2x – y + z = 6 ……………………. (1)
और x + y + 2z = 7 ……………………. (2)
समतल (1) के दिक् – अनुपात = 2, – 1, 1 ⇒ A₁, B₁, C₁
समतल (2) के दिक् – अनुपात = 1, 1, 2 ⇒ A₂, B₂, C₂
माना समतलों के बीच का कोण θ है। अतः

⇒ cos θ = \(\frac{3}{6}\) = \(\frac{1}{2}\) = cos \(\frac { \pi }{ 3 } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 16.
(A) यदि तल 3x – 6y – 22 = 7 तथा 2x + y – kz = 5 एक – दूसरे पर लम्ब हों, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गए समतलों के समीकरण हैं:
3x – 6y – 2z = 7 ……………………… (1)
तथा 2x + y – kz = 5 ………………………… (2)
यहाँ a₁ = 3, b₁ = -6, c₁ = -2 और a₂ = 2, b₂ = 1, C₂ = -k.
समतल (1) और (2) परस्पर लम्ब होंगे यदि
a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ (3)(2) + (-6)(1) + (-2)(-k) = 0
⇒ 6 – 6 + 2k = 0
⇒ 2k = 0
⇒ k = 0

(B) k के किस मान के लिए समतल 2x + ky + z + 9 = 0 और 5x + 3y – 4z – 6 = 0 पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 16 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: k = -2.

(C) सिद्ध कीजिए कि समतल x + 2y + 3z = 6 और 3x – 3y + x = 1 परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 2y + 3z = 36 ……………….. (1)
तथा 3x – 3y + z = 1 ……………………….. (2)
समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 1, 2, 3 हैं।
समतल (2) के अभिलम्ब के दिक्-अनुपात 3, -3, 1 हैं।
∴ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = (1)(3) + 2(-3) + (3)(1)
= 3 – 6 + 3 = 0
अतः दिये गये समतल (1) और (2) परस्पर लम्बवत् हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 17.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (2,- 1, 3) है, तो समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना A (a, 0, 0), B (0, b, 0), C (0, 0, c).
∵ OA = a, OB = b, OC = c
दिया है:
केन्द्रक (2, – 1, 3)
∴ \(\frac { a+0+0 }{ 3 } \) = 2 ⇒ a = 6
⇒ \(\frac { a+0+0 }{ 3 } \) = -1 ⇒ b = -3
तथा \(\frac { 0+0+0 }{ 3 } \) = 3 ⇒ c = 9

∴ समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{6}\) + \(\frac{y}{-3}\) + \(\frac{z}{9}\) = 1
⇒ \(\frac{27x-54y+18z}{162}\) = 1 ⇒ 3x – 6y + 2z = 18.

प्रश्न 18.
एक समतल निर्देशांक अक्षों को A, B और C पर काटता है। यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक (a, b, c) है। सिद्ध कीजिए कि समतल का समीकरण \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 3 हैं।
हल:
चित्र से OA = α, OB = β, OC = γ
केन्द्रक \(\frac { \alpha +0+0 }{ 3 } \) = a, \(\frac { 0+\beta +0 }{ 3 } \) = b, \(\frac { 0+0+\gamma }{ 3 } \) = c
⇒ α = 3α, β = 3b, γ = 3c

समतल का समीकरण \(\frac { x }{ \alpha } \) + \(\frac { y }{ \beta } \) + \(\frac { z }{ \gamma } \) = 1
⇒ \(\frac{x}{3a}\) + \(\frac{y}{3b}\) + \(\frac{z}{3c}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 3. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल 2x + 3y – z = 8 के समान्तर है एवं बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है।
हल:
समतल 2x +3y – z = 8 के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
2x + 3y – z + λ = 0 ………… (1)
चूँकि समतल (1) बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाता है। अत:
2(1) + 3(2) – 3 + λ = 0
⇒ 2 + 6 – 3 + λ = 0
⇒ λ = -5
अत: समीकरण (1) में λ का मान रखने पर अभीष्ट समीकरण है:
2x + 3y – z – 5 = 0.

प्रश्न 20.
समतल 2x + 4y + 4z – 9 = 0 के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया समतल है:
2x + 4y + 4z – 9 = 0 ……………… (1)
इसके अभिलम्ब के दिक्-अनुपात हैं: 2, 4, 4
अतः समतल के अभिलम्ब की दिक्-कोज्याएँ होंगी:

⇒ \(\frac{1}{3}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{2}{3}\).

प्रश्न 21.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 इकाई तथा इस पर अभिलम्ब की दिक् – कोज्याएँ
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), –\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) है।
हल:
अभिलम्ब रूप में समतल का समीकरण
Ix + my + nz = p ………… (1)
दिया है – l = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), m = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), n = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), p = 5
समी. (1) से,
\(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)x + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) y – \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) z = 5
⇒ x + y – z = 5\(\sqrt{3}\)

प्रश्न 22.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 4तथा जिसकी दिक्-कोज्याएँ 2, -3, 6 के समानुपाती हैं।
हल:
माना समतल का समीकरण
lx + my + nz = p
दिया है – p = 4, a = 2, b = -3, c = 6

समी. (1) से,
= \(\frac{2}{7}\)x –\(\frac{3}{7}\)y + \(\frac{6}{7}\)z = 4
⇒ 2x – 3y + 6z = 28.

प्रश्न 23.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जिस पर मूलबिन्दु से डाले गये लम्ब की लम्बाई 5 तथा अभिलम्ब के दिक् – अनुपात 2, 3, 6 हैं।
हल:
प्रश्न क्रमांक 22 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 3y + 6z = 35.

प्रश्न 24.
बिन्दु (1,-2, 3) से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो उस सरल रेखा पर लम्ब है जिसके दिक् – अनुपात 2, 1, -1 हैं।
हल:
चूँकि प्रश्नानुसार समतल (1, -2, 3) से होकर जाता है जिसका समीकरण होगा:
a(x – 1) + b(y + 2) + c(2 – 3) = 0 …………. (1)
यह समतल रेखा पर लम्ब है, जिसके दिक्-अनुपात 2, 1, -1 हैं।
अत: समतल (1) के अभिलम्ब के दिक् – अनुपात a = 2k, b = k, c = -k हैं।
समी. (1) से,
k[2(x – 1) + 1.(y + 2) – 1.(z – 3) ] = 0
∵ k #0
⇒ 2x + y – z – 2 + 2 + 3 = 0
⇒ 2x + y – z + 3 = 0

प्रश्न 25.
(A) मूलबिन्दु से समतल 6x – 3y + 27 – 14 = 0 की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
6x – 3y + 27 – 14 = 0
मूलबिन्दु (0, 0, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लंबाई

= |\(\frac{14}{7}\)| = 2 इकाई।

(B) बाह्य बिन्दु (1, 2, 0) से समतल 4x + 3y + 12z + 16 = 0 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
समतल का समीकरण है:
4x + 3y + 12z + 16 = 0 …………. (1)
बिन्दु (1, 2, 0) से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई

= |\(\frac{26}{13}\)| = 2 इकाई।

(C) बिन्दु (7, 14, 5) से समतल 2x + 4y – z = 2 पर डाले गये लम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्रमांक 25 (B) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: 3\(\sqrt{21}\) इकाई।

प्रश्न 26.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए, जो बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है और समतल 3x + 4y – 5z = 52 के समानान्तर है।
हल:
दिये गये समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 5z = 52 ………….. (1)
माना समतल (1) के समानान्तर समतल का समीकरण है:
3x + 4y – 52 = λ …………. (2)
चूँकि समीकरण (2) बिन्दु (-1, 2, 3) से होकर जाता है।
∴ 3(-1) + 4(2) – 5(3) = λ
⇒ -3 + 8 – 15 = λ
⇒ λ = – 10
समीकरण (2) में 2 का मान रखने पर,
3x + 4y – 5z = – 10
∴ 3x + 41 – 5z + 10 = 0.

प्रश्न 27.
(A) समतल 3x + 4y – 7z = 84 के निर्देशाक्षों पर अन्तःखण्ड ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल 3x + 4y – 7z = 84
⇒ \(\frac{3x}{84}\) + \(\frac{4y}{84}\) – \(\frac{7z}{84}\) = 1
⇒ \(\frac { x }{ (\frac { 84 }{ 3 } ) } \) + \(\frac { y }{ (\frac { 84 }{ 4 } ) } \) + \(\frac { z }{ (\frac { -84 }{ 7 } ) } \) = 1
⇒ \(\frac{x}{28}\) + \(\frac{y}{21}\) + \(\frac{z}{(-12)}\) = 1
स्पष्ट है कि निर्देशाक्षों पर अन्त:खण्ड 28, 21 एवं -12 है।

(B) समतल 3x + 4y – 6z = 72 द्वारा निर्देशाक्षों से काटे गये अन्त:खण्ड की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 27 (A) की भाँति हल कीजिए।
उत्तर: 24, 18, -12.

(C) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समान्तर है तथा Y एवं z अक्षों से 5 और 7 अन्तः खण्ड काटता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है –
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 ………… (1)
चूँकि समतल (1)X – अक्ष के समान्तर है अत:
a = ∞
परन्तु दिया है b = 5, c = 7
∴ \(\frac { x }{ \infty } \) + \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{7}\) = 1
⇒ \(\frac{y}{5}\) + \(\frac{z}{7}\) = 1 [ \(\frac { x }{ \infty } \) = 0]
⇒ 7y + 5z = 35.

प्रश्न 28.
मूलबिन्दु से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न समतलों पर लम्ब हो –
x + 2y – 7 = 1; 3x – 4y + z = -5.
हल:
मूलबिन्दु 0(0, 0, 0) से गुजरने वाले समतल का समीकरण है:
a(x – 0) + b(y – 0) + c(z – 0)
ax + by + cz = 0 ………….. (1)
समतल (1) दिये गये समतलों
x + 2y – 2 = 1 तथा 3x – 4y + 2 = -5 पर लम्ब है।
a + 2b – c = 0 ………… (2)
3a – 4b + c = 0
प्राप्त सम्बन्धों (2) और (3) को हल करने पर,
∴ \(\frac{a}{2-4}\) = \(\frac{-b}{1+3}\) = \(\frac{c}{-4-6}\)
⇒ \(\frac{a}{-2}\) = \(\frac{-b}{4}\) = \(\frac{c}{-10}\)
⇒ \(\frac{a}{1}\) = \(\frac{b}{2}\) = \(\frac{c}{5}\) = k
∴ a = k, b = 2k, c = 5k जहाँ k ≠ 0
∴ समी. (1) से,
k(x + 2y + 5z) = 0,
∴ x + 2y + 5z = 0 (∵ k ≠ 0).

प्रश्न 29.
बिन्दुओं (2, 3, -4) एवं (1, -1, 3) से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के समानान्तर है।
हल:
X – अक्ष के समानान्तर किसी समतल का समीकरण होगा:
By + Cz + D = 0 ………… (1)
∵ समतल (1), बिन्दु (2, 3, -4) तथा (1, – 1, 3) से होकर जाता है।
∴ 3B – 4C + D = 0 …………. (2)
और -B + 3C + D = 0 ………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
\(\frac{B}{-4-3}\) = \(\frac{C}{-1-3}\) = \(\frac{D}{9-4}\)
⇒ \(\frac{B}{-7}\) = \(\frac{C}{-4}\) = \(\frac{D}{5}\) = k (माना)
⇒ ZB = -7k, C = -4k, D = 5k
अत: B, C व D के मान समी. (1) में रखने पर, समतल का अभीष्ट समीकरण है:
– 7ky – 4kz + 5k = 0
⇒ 7y + 4z – 5 = 0.

प्रश्न 30.
सिद्ध कीजिए कि दो समान्तर समतलों 2x – 2y + z + 3 = 0 तथा 4x – 4y + 2z + 5 = 0 के बीच की दूरी \(\frac{1}{6}\) है।
हल:
दिये गये समतल 2x – 2y + z + 3 = 0 ……….. (1)
4x – 4y + 2z + 5 = 0 ………. (2)
d₁ = (0,0,0) से समतल (1) पर डाले गये लंब की लम्बाई

d₂ से समतल (2) पर डाले गये लंब की लम्बाई

अभीष्ट दूरी = d₁ – d₂
= 1 – \(\frac{5}{6}\) = \(\frac{1}{6}\).

प्रश्न 31.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + y + – 6 = 0 और 2x + 3y + 4x + 5 = 0 की प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाता है और बिन्दु (1, 1, 1) से होकर गुजरता है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + y + z – 6 = 0 ……….. (1)
और 2x + 3y + 4z + 5 = 0 ………… (2)
समतल (1) तथा (2) के प्रतिच्छेद रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + y + z – 6) + 2(2x + 3y + 4z + 5) = 0 ………. (3)
चूँकि समतल (3) बिन्दु (1, 1, 1) से होकर जाता है, तो
(1 + 1 + 1 – 6) + λ(2 + 3 + 4 + 5) = 0
⇒ -3 + λ(14) = 0
⇒ λ = \(\frac{3}{14}\)
समी. (3) में λ का मान रखने पर,
(x + y + z – 6) + \(\frac{3}{14}\) (2x + 3y + 4z + 5) = 0
20x + 23y + 26z – 69 = 0.

प्रश्न 32.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x + 2y + 3x – 5 और 2x – 4y + z = 3 की प्रतिच्छेदी रेखा से गुजरता है तथा बिन्दु (0, 1, 0) से होकर गुजरता है।
हल:
प्रश्न क्रमांक 31 की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
3x – 2y + 4z + 2 = 0.

प्रश्न 33.
(A) उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये जो बिन्दु 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) से गुजरता है तथा सदिश 6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
( \(\vec { r } \) – \(\vec { a } \) ).\(\vec { n } \) = 0 ………. (1)
यहाँ,
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \)
\(\vec { n } \) = 6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \)
समतल (1) से, ( \(\vec { r } \) – 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) = 0
⇒ \(\vec { r } \).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) – 12 + 2 + 3 = 0
⇒ \(\vec { r } \).(6\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) ) = 7.

(B) उस समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये जो मूलबिन्दु से 7 इकाई की दूरी पर है तथा सदिश 4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
\(\vec { r } \).\(\hat { n } \) = P ……….. (1)
दिया है:
p = 7, \(\vec { n } \) = 4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)

समतल (1) से,

⇒ \(\vec { r } \).(4\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) = 7\(\sqrt{29}\)

(C) बिन्दु (2, -1, 3) की समतल \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 6\(\hat { k } \) ) + 15 = 0 से दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल \(\vec { r } \).\(\vec { n } \) = q से करने पर,
\(\vec { n } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 6\(\hat { k } \) तथा
q = -15
माना बिन्दु \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
हम जानते हैं, बिन्दु \(\vec { a } \) से समतल \(\vec { r } \).\(\vec { n } \) = q की दूरी

= \(\frac{6-2-18+15}{7}\) = \(\frac{1}{7}\) इकाई।

(D) बिन्दु (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) से \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 12\(\hat { k } \) ) = 19 की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 12\(\hat { k } \) ) = 19
बिन्दु (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) से दूरी = image 21
= \(\frac{-57}{13}\) = \(\frac{57}{13}\) (संख्यात्मक मान)।

प्रश्न 34.
समतलों \(\vec { r } \). (2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) = 1 तथा \(\vec { r } \).(-\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) = 4 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतलों \(\vec { r } \). (2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) = 1 …………. (1)
\(\vec { r } \).(-\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) = 4 ………….. (2)
यहाँ
\(\vec { n_{ 1 } } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
\(\vec { n_{ 2 } } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \)
माना समतलों (1) व (2) के बीच का कोण θ है, तब

∴ θ = cos^-1 ( \(\frac { -5 }{ \sqrt { 58 } } \) ).

त्रि-विमीय ज्यामिति दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
बिन्दु (1, 6, 3) से रेखा \(\frac{x}{1}\) = \(\frac{y-1}{2}\) = \(\frac{z-2}{3}\) की लम्बवत् दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:
\(\frac{x-0}{1}\) = \(\frac{y-1}{2}\) = \(\frac{z-2}{3}\)
रेखा पर स्थित एक बिन्दु A के निर्देशांक A(0,1, 2) है।
रेखा (1) के दिक् – अनुपात 1, 2, 3
अतः दिक्-कोज्याएँ हैं
\(\frac { 1,2,3 }{ \sqrt { 1+4+9 } } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)
बिन्दु P(1, 6, 3) दी गई है।
∴ AM = AP का रेखा (1) पर डाला गया प्रक्षेप
= (x₂ – x₁)l + (y₂ – y₁)m + (z₂ – z₁)n


समकोण ∆PAM में,
PM² = AP² – AM²
= 27 – 14 = 13
∴ PM = \(\sqrt{13}\) इकाई।

प्रश्न 2.
समान्तर रेखाओं \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{4}\) = \(\frac{y-3}{6}\) = \(\frac{z-4}{8}\) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गई रेखाएँ हैं:
\(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) ………… (1)
तथा \(\frac{x-2}{4}\) = \(\frac{y-3}{6}\) = \(\frac{z-4}{8}\) ……… (2)
रेखा (1) पर कोई बिन्दु P(1, 2, 3) है। अब हम बिन्दु P(1, 2, 3) से रेखा (2) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई PM ज्ञात करेंगे।

रेखा (2) बिन्दु A(2, 3, 4) से होकर जाता है।

रेखा PA का रेखा (2) पर प्रक्षेप = AM
∴ AM = (x₂ – x₁)l + (y₂ – y₁)m + (z₂ – z₁)n जहाँ l, m, n रेखा (2) की दिक् – कोज्यायें हैं।
⇒ AM = (2 – 1)l + (3 – 2)m + (4 – 3)n
⇒ AM = l + m + n

चूँकि रेखा (2) का दिक्-अनुपात 4, 6, 8 है।

अब ∆APM में,
PM² = Ap² – AM²

⇒ PM² = \(\frac{87-81}{29}\) = \(\frac{6}{29}\)
∴ PM = \(\sqrt { \frac { 6 }{ 29 } } \)

प्रश्न 3.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{3}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
माना समतल का समीकरण है:
A(x – α) + B(y – β) + C(2 – γ) = 0
यह रेखा \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{3}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) से जाता है।
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 …………. (1)
समतल बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है:
∴A(-6 – 3) + B(3 + 2) + C(2 – 4) = 0
⇒ -9A + 5B – 2C = 0
⇒ 9A – 5B + 2C = 0 ………… (2)
रेखा के दिक् अनुपात 2, 3, -1 हैं।
समतल पर अभिलम्ब के दिक् अनुपात A, B, C हैं:
∴ 2A + 3B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
9A – 5B + 2C = 0
2A + 3B – C = 0
\(\frac{A}{5-6}\) = \(\frac{B}{4+9}\) = \(\frac{C}{27+10}\)
⇒ \(\frac{A}{-1}\) = \(\frac{B}{13}\) = \(\frac{C}{37}\)
समी. (1) में मान रखने पर,
-1.(x – 3) + 13(y + 2) + 37(z – 4) = 0
⇒ -x + 3 + 13y + 26 + 37z – 148 = 0
⇒ -x + 13y + 37z – 119 = 0
⇒ x – 13y – 37z + 119 = 0.

प्रश्न 4.
सरल रेखाओं \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।(कार्तीय विधि से)
हल:
दी गयी रेखायें \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) के बीच कि न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं \(\frac{x-3}{3}\) = \(\frac{y-8}{-1}\) = \(\frac{z-3}{1}\) और \(\frac{x+3}{-3}\) = \(\frac{y+7}{2}\) = \(\frac{z-6}{4}\) है।

दिया है,
x₁ = 3, y₁ = 8, z₁ = 3, x₂ = -3, y₂ = -7, z₂ = 6
a₁ = 3, b₁ = -1, c₁ = 1, a₂ = -3, b₂ = 2, c₂ = 4
प्रशानुसार: दी गयी रेखाओं के बीच की नुनथम दूरी

प्रश्न 5.
रेखाओं \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) और \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{5}\) के प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\frac{x-1}{2}\) = \(\frac{y-2}{3}\) = \(\frac{z-3}{4}\) = r
∴ x = 2r + 1, y = 3r + 2, z = 4r + 3
माना यह प्रतिछेद बिंदु है तो यह रेखा \(\frac{x-2}{3}\) = \(\frac{y-3}{4}\) = \(\frac{z-4}{5}\) को सन्तुष्ट करेगा।
∴ \(\frac{2r+1-2}{3}\) = \(\frac{3r+2-3}{4}\) = \(\frac{4r+3-4}{5}\)
⇒ \(\frac{2r-1}{3}\) = \(\frac{3r-1}{4}\) = \(\frac{4r-1}{5}\) था \(\frac{2r-1}{3}\) = \(\frac{3r-1}{4}\)
⇒ 8r – 4 = 9r – 3 ⇒ -4 + 3 = 9r – 8r
⇒ r = -1
∴ x = -2 + 1, y = -3 + 2, z = -4 + 3
⇒ x = -1, y = -1, z = -1
अतः प्रतिच्छेद बिन्दु (-1, -1, -1).

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि रेखायें x – 3 = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) और x – 4 = \(\frac{y-5}{3}\) = \(\frac{z+6}{-4}\) एक –
दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) ………… (1)
\(\frac{x-4}{1}\) = \(\frac{y-5}{3}\) = \(\frac{z+6}{-4}\) ……….. (2)
x₁ = 3, y₁ = -4, z₁ = 5, l₁ = 1, m₁ = -3, n₁ = 3
x₂ = 4, y₂ = -6, l₂ = 1, m₂ = 3, n₂ = -4
रेखायें प्रतिच्छेद करेंगे यदि image 31
⇒ 1(12 – 9) -1 (-36 + 33) + 1(27 – 33) = 0
⇒ 3 + 3 -6 = 0
⇒ 0 = 0 यही सिद्ध करना था।
अतः रेखायें प्रतिच्छेद करती है।
पुनः समी. (1) से,
\(\frac{x-3}{1}\) = \(\frac{y+4}{-3}\) = \(\frac{z-5}{3}\) = r
रेखा पर स्थित कोई बिन्दु (r + 3,- 3r – 4, 3r + 5)
समी. (2) में मान रखने पर,
\(\frac{r-1}{1}\) = \(\frac{-3r-9}{3}\) = \(\frac{3r+11}{-4}\)
हल करने पर, r = -1
∴ प्रतिच्छेद बिन्दु = (-1 + 3, 3 – 4, -3 + 5) = (2, -1, 2).

प्रश्न 7.
रेखाओं \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ) और \(\vec { r } \) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + s(3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखायें \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
और \(\vec { r } \) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + s(3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
यहाँ \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + \(\overrightarrow{b_{1}}\) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \), \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = (2\(\hat { i } \) – \(\hat { i } \) ) + (4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { j } \) ) + (5\(\hat { k } \) – 3\(\hat { k } \) )
⇒ \(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)

= \(\hat { i } \)(15 – 16) – \(\hat { j } \)(10 – 12) + \(\hat { k } \)(8 – 9)
∴ \(\overrightarrow{b_{1}}\) × \(\overrightarrow{b_{2}}\) = –\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
अत: अभीष्ट न्यूनतम दूरी (S. D.)

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ \(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) + λ(3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) ) तथा \(\vec { r } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) + µ(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \) ) प्रतिच्छेद करती हैं। प्रतिच्छेद बिन्दु को ज्ञात कीजिए।
हल:
दी हुई रेखाएँ हैं:
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) – λ(3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) ) ……… (1)
तथा \(\vec { r } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) + µ(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \) ) ……….. (2)
यहाँ, \(\overrightarrow{a_{1}}\) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \); \(\overrightarrow{b_{1}}\) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \)
तथा \(\overrightarrow{a_{2}}\) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) ); \(\overrightarrow{b_{2}}\) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { k } \)
∴\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = (4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) ) – ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \)
∴ अतः दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

⇒ 3(-3) + 9 = 0
⇒ 0 = 0
अतः दोनों रेखाएँ करती हैं।
चूँकि प्रतिच्छेदी बिन्दु पर समी. (1) व (2) से प्राप्त \(\vec { r } \) के मान समान होंगे, अतः

अतः \(\hat { i } \), \(\hat { j } \) व \(\hat { k } \) के गुणांकों की तुलना करने पर,
1 + 3λ = 4 + 2µ ……… (3)
1 – λ = 0 ……… (4)
तथा -1 = 3µ – 1
समी. (4) से 1 – λ = 0 ⇒ λ = 1 ……… (5)
समी. (5) से µ = 0
स्पष्टतः λ और µ के मान समी. (3) को सन्तुष्ट करते हैं। अतः समी. (1) में λ का (अथवा समी. (2) में µ का) मान रखने पर प्रतिच्छेद बिन्दु का स्थिति सदिश 4\(\hat { i } \) – \(\hat { k } \) या 4\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) प्राप्त होता है।
अतः प्रतिच्छेदी बिन्दु के निर्देशांक (4, 0, – 1) होंगे।

प्रश्न 9.
(A) दो रेखाएँ जिनके सदिश समीकरण –
\(\vec { r } \) = (3 – t)\(\hat { i } \) + (4 + 2t)\(\hat { j } \) + (t – 2)\(\hat { k } \)
तथा \(\vec { r } \) = (1 + s)\(\hat { i } \) + (3s – 7)\(\hat { j } \) + (2s – 2)\(\hat { k } \) हैं।
उनके बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
\(\vec { r } \) = (3 – t)\(\hat { i } \) + (4 + 2t)\(\hat { j } \) + (t – 2)\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { r } \) = (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + t(-\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) ………… (1)
⇒ \(\vec { r } \) = (1 + s)\(\hat { i } \) + (3s – 7)\(\hat { j } \) + (2s – 2)\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { r } \) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) + s( \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) ……….. (2)
यहाँ \(\overrightarrow{a_{1}}\) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\overrightarrow{b_{1}}\) = –\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ), \(\overrightarrow{b_{2}}\) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\overrightarrow{a_{2}}\) – \(\overrightarrow{a_{1}}\) = ( \(\hat { i } \) – 7\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) – (3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) ) = -2\(\hat { i } \) – 11\(\hat { j } \) + 0\(\hat { k } \)

= \(\hat { i } \) (4 – 3) – \(\hat { j } \) (-2 – 1) + \(\hat { k } \) (-3 – 2) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 5\(\hat { k } \)

(B) निम्न रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए –
\(\vec { r } \) = (λ – 1)\(\hat { i } \) + (λ + 1)\(\hat { j } \) – (1 + λ)\(\hat { k } \)
तथा \(\vec { r } \) = (1 – µ)\(\hat { i } \) + (2µ – 1)\(\hat { j } \) + (µ + 2)\(\hat { k } \)
हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

(C) उन दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिये जिनके सदिश समीकरण निम्न हैं –
तथा \(\vec { r } \) = (1 + 2λ)\(\hat { i } \) + (2 + 3λ)\(\hat { j } \) + (3 + 4λ)\(\hat { k } \)
\(\vec { r } \) = (2 + 3µ)\(\hat { i } \) + (3 + 4µ)\(\hat { k } \) + (4 + 5µ)\(\hat { k } \)
हल:
प्रश्न क्र. 9 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 10.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो x + 3y + 4 – 5 = 0 और 3x – 4y + 9x – 10 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाता है तथा समतल x + 2y = 0 पर लम्ब है।
हल:
दिये गये समतलों के समीकरण हैं:
x + 3y + 4z – 5 = 0 …………. (1)
और 3x – 4y + 9z – 10 = 0 ……………. (2)
समतल (1) तथा (2) की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण है:
(x + 3) + 4z – 5) + λ(3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ (1 + 3λ).1 + (3 – 4λ).2 + (4 + 9λ).0 = 0
⇒ 1 + 3λ + 6 – 8λ = 0
⇒ λ = \(\frac{7}{5}\)
समी. (3) में 2 का मान रखने पर,
(x + 3y + 4z – 5) + \(\frac{7}{5}\) (3x – 4y + 9z – 10) = 0
⇒ 26x – 13y + 83z = 95.

प्रश्न 11.
उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतल x – 2y + 2x = 3 के समान्तर हैं तथा उनकी बिन्दु (1, 2, 3) से लाम्बिक दूरी 1 है।
हल:
समतल x – 2y + 2z = 3 के समान्तर किसी समतल का समीकरण है:
x – 2y + 2z + λ = 0 ………. (1)
उपर्युक्त समतल पर बिन्दु (1, 2, 3) से डाले गये लम्ब की लम्बाई

प्रश्नानुसार, \(\frac { 3+\lambda }{ 3 } \) = ±1
⇒ λ + 3 = ±3
⇒ λ = 0, -6
अतः λ के मान समीकरण (1) में रखने पर अभीष्ट समतलों के समीकरण हैं:
x – 2y + 2z = 0, x – 2y + 2z = 6.

प्रश्न 12.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दुओं (1, -2, 4) और (3, -4, 5) से गुजरता है तथा समतल x + y – 27 = 6 के लम्बवत् है।
हल:
बिन्दु (1, -2, 4) से जाने वाले समतल का समीकरण होगा:
A(x – 1) + B(y + 2) + C(z – 4) = 0 ………… (1)
समतल (1), बिन्दु (3, -4, 5) से होकर जाता है, अतः
A(3 – 1) + B(-4 + 2) + C(5 – 4) = 0
⇒ 2A – 2B + C = 0 …………. (2)
दिये गये समतल का समीकरण है:
x + y – 2z = 6 …………… (3)
समतल (1) और (3) लम्बवत् है, इसलिए इनके अभिलम्ब भी लम्बवत् होंगे।
A + B – 2C = 0 ………. (4)
समी. (2) और (4) से,
2A – 2B + C = 0
A + B – 2C = 0
⇒ \(\frac{A}{4-1}\) = \(\frac{B}{1+4}\) = \(\frac{C}{2+2}\) = k,
⇒ \(\frac{A}{3}\) = \(\frac{B}{5}\) = \(\frac{C}{4}\) (माना)
⇒ A = 3k, B = 5k, C = 4k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा:
3k(x – 1) + 5k(y + 2) + 4k(z – 4) = 0
⇒ 3x – 3 + 5y + 10 + 4z – 16 = 0
⇒ 3x + 5y + 42 – 9 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो कि (-1,1,1) तथा (1,-1,1) से जाता है तथा x + 2y + 2x = 9 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 12 (A) की भाँति स्वयं हल कीजिये।
उत्तर: 2x + 2y – 3z + 3 = 0.

प्रश्न 13.
(A) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (1, 1, -1) से गुजरता है तथा समतलों x + 2y + 3z = 7 तथा 2x – 3y + 4 = 0 पर लम्ब है।
हल:
माना समतल का समीकरण
A(x – x₁) + B(y – y₁) + C(z – z₁) = 0
⇒ A(x – 1) + B(y – 1) + C(z + 1) = 0 ………… (1)
दिये गये समतल
x + 2y + 3z = 7 ……….. (2)
2x-3y + 4z = 0 ………. (3)
समतल (1) समतलों (2) तथा (3) पर लम्ब है
∴ 1.A + 2.B + 3.C = 0
2.A – 3.B + 4.C = 0
\(\frac{A}{8+9}\) = \(\frac{B}{6-4}\) = \(\frac{C}{-3-4}\) = k
⇒ A = 17k, B = 2k, C = -7k
A, B, C का मान समी. (1) में रखने पर, अभीष्ट समतल का समीकरण होगा –
17(x – 1) + 2(y – 1) – 7(z + 1) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – (17 + 2 + 7) = 0
⇒ 17x + 2y – 7z – 26 = 0.

(B) उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (2, 1, 4) से जाता है तथा समतलों 9x – 7y + 6z + 48 = 0 तथा x + y – z = 0 पर लम्ब है।
हल:
प्रश्न क्र. 13 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर: x + 15y + 16z = 81.

प्रश्न 14.
बिन्दुओं (2, 2, -1), (3, 4, 2) और (7, 0, 6) से जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु (2, 2, -1) से होकर जाने वाले किसी समतल का समीकरण होगा –
A(x – 2) + B(y – 2) + C(z + 1) = 0 ………. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (3, 4, 2) व (7, 0, 6) से होकर जाता है अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(3 – 2) + B(4 – 2) + C(2 + 1) = 0
⇒ A + 2B + 3C = 0 ……….. (2)
तथा A(7 – 2) + B(0 – 2) + C(6 + 1) = 0
⇒ 5A – 2B + 7C = 0 …………. (3)
समी. (2) व (3) को हल करने पर,

⇒ A = 5k, B = 2k, C = -3k
A, B, C के इन मानों को समी. (1) में रखने पर,
5k(x – 2) + 2k(y – 2) + (- 3k)(z + 1) = 0
⇒ 5x + 2y – 3z – 17 = 0.

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिये कि बिन्दु (0, -1, -1), (4, 5, 1), (3, 9, 4) तथा (-4, 4, 4) समतलीय हैं।
हल:
बिन्दु (0, -1, -1) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण होगा –
A(x – 0) + B(y + 1) + C(z + 1) = 0 ………….. (1)
चूँकि समतल (1) क्रमशः बिन्दु (4, 5, 1) व (3, 9, 4) से होकर जाता है। अतः ये बिन्दु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
∴ A(4 – 0) + B(5 + 1) + C(1 + 1) = 0
⇒ 4A + 6B + 2C = 0
⇒ 2A + 3B + C = 0 ………….. (2)
तथा A(3 – 0) + B(9 + 1) + C(4 + 1) = 0
⇒ 3A + 10B + 5C = 0 …………. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,

⇒ A = -5k, B = -7k, C = 11k
A, B, C के मानों को समी. (1) में रखने पर,
5x – 7(y + 1) + 11(z + 1) = 0
⇒ 5x – 7y + 11z + 4 = 0 ………. (4)
यदि यह समतल (-4, 4, 4) से जाता है तो समी. (4) को सन्तुष्ट करेगा
L.H.S. = 5(-4) – 7(4) + 11(4) + 4
= -20 – 28 + 44 + 4
= 0 = R.H.S.
अतः दिये गये बिन्दु समतलीय हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
एक चर समतल \(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 मूलबिन्दु से इकाई दूरी पर है। यह निर्देशांक अक्षों को A, B, C पर काटता है। केन्द्रक (x, y, z) समीकरण \(\frac { 1 }{ x^{ 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ y^{ 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ z^{ 2 } } \) = k को सन्तुष्ट करता है, तो k का xy मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया गया समतल
\(\frac{x}{a}\) + \(\frac{y}{b}\) + \(\frac{z}{c}\) = 1 ……… (1)
OA = a, OB = b, OC = c
बिन्दुओं A, B, C के निर्देशांक क्रमशः (a, 0, 0), (0, b, 0) तथा (0, 0, c) हैं।
मूलबिन्दु से समतल (1) पर डाले गये लम्ब की लम्बाई 1 है।


दिया है –
x = \(\frac{a}{3}\), y = \(\frac{b}{3}\), z = \(\frac{c}{3}\)
⇒ a = 3x, b = 3y, c = 3z
a, b, c का मान समी. (2) में रखने पर,

स्पष्ट है कि k = 9.

प्रश्न 17.
समतलों x + 2y + 3x = 4 तथा 2x + y – x + 5 = 0 की प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो समतल 5x + 3y + 62 + 8 = 0 पर लम्ब हो।
हल:
दिया गये समतल
x + 2y + 3z = 4 ……….. (1)
2x + y – z + 5 = 0 ………… (2)
समतलों (1) और (2) के प्रतिच्छेदी रेखा से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
x + 2y + 3z – 4 + λ(2x + y – z + 5) = 0
⇒ (1 + 2λ)x + (2 + λ)y + (3 – λ)z – 4 + 5λ = 0
यह समतल 5x + 3y + 6z + 8 = 0 पर लम्ब है
∴ 5(1 + 2λ) + 3(2 + λ) + 6(3 – λ) = 0
⇒ 10λ + 3λ – 6λ + 5 + 6 + 18 = 0
⇒ 7λ + 29 = 0
⇒ λ = \(\frac{-29}{7}\)
समी. (3) में मान रखने पर,
x + 2y + 3z – 4 – \(\frac{29}{7}\) (2x + y – z + 5) = 0
⇒ 7x + 14y + 21z – 28 – 58x – 29y + 29z – 145 = 0
⇒ -51x – 15y + 50z – 173 = 0
⇒ 51x + 15y – 50z + 173= 0.

प्रश्न 18.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिये जो रेखा, \(\frac{x-3}{2}\) = \(\frac{y+2}{9}\) = \(\frac{z-4}{-1}\) और बिन्दु (-6, 3, 2) से होकर जाता है।
हल:
रेखा बिन्दु (3, -2, 4) से जाती है।
∴ बिन्दु (3, -2, 4) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण
A(x – 3) + B(y + 2) + C(2 – 4) = 0 ………. (1)
समतल (1) बिन्दु (-6, 3, 2) से भी जाता है,
-9A + 5B – 2C = 0 …………. (2)
रेखा के दिक्-अनुपात 2, 9, -1 हैं,
2A + 9B – C = 0 ……….. (3)
समी. (2) और (3) को हल करने पर,
-9A + 5B – 2C = 10
2A + 9B – C = 0

A = k, B = -k, C = -7k
समी. (1) में मान रखने पर,अभीष्ट समतल का समीकरण,
k(x – 3) – k(y + 2) – 7k(z – 4) = 0
⇒ x – y – 7z – 3 – 2 + 28 = 0
⇒ x – y – 7z + 23 = 0.

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec { r } \).( \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) = 5 और \(\vec { r } \).(3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना रेखा का समीकरण है –
\(\vec { r } \) = \(\vec { a } \) + t\(\vec { b } \)
यहाँ \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
माना \(\vec { b } \) = b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \)
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) + t(b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \) ………. (1)
समतलों के समीकरण हैं –
\(\vec { r } \).( \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ) = 5 ………………. (2)
तथा \(\vec { r } \) (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 6 …………. (3)
रेखा (1) और समतल (2) समान्तर हैं
∴ (b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \) ). (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 0
b₁ – b₂ + 2b₃ = 0 ………… (4)
रेखा (1) और समतल (3) समान्तर हैं
∴ (b₁\(\hat { i } \) + b₂\(\hat { j } \) + b₃\(\hat { k } \) ). (3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) = 0
3b₁ + b₂ + b₃ = 0 …………. (5)
समी. (4) और समी. (5) से,

\(\vec { b } \) के दिक् अनुपात –3, 5, 4 है।
अतः रेखा का समीकरण होगा –
\(\vec { r } \) = (\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) + t(-3\(\hat { i } \) + 5\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली रेखाओं \(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
बिन्दु (1, 2, -4) से जाने वाली रेखा का समीकरण है –
\(\frac{x-1}{a}\) = \(\frac{y-2}{b}\) = \(\frac{z+4}{c}\) ………. (1)
रेखाओं के समीकरण है:
\(\frac{x-8}{3}\) = \(\frac{y+19}{-16}\) = \(\frac{z-10}{7}\) ……….. (2)
\(\frac{x-5}{3}\) = \(\frac{y-29}{8}\) = \(\frac{z-5}{-5}\) ……… (3)
रेखा (1) और (2) लम्बवत् हैं
3a – 16b + 7c = 0 ……… (4)
रेखा (1) और (3) लम्बवत् हैं
3a + 8b – 5c = 0 …….. (5)
समी. (4) और (5) से,

\(\frac{a}{24}\) = \(\frac{b}{36}\) = \(\frac{c}{72}\)
\(\frac{a}{2}\) = \(\frac{b}{3}\) = \(\frac{c}{6}\) = k
a = 2k, b = 3k, c = -6k
बिन्दु (1, 2, -4) से होकर जाने वाली तथा सदिश 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 6\(\hat { k } \) के समान्तर रेखा का समीकरण होगा –
\(\vec { r } \) = (\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) + t(2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 6\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 21.
एक सरल रेखा एक घन के चार विकर्णों के साथ क्रमश: कोण α, β, γ तथा δ बनाती है। सिद्ध कीजिए कि –
cos²α + cos²β + cos²γ + cos²δ = \(\frac{4}{3}\). (NCERT; म. प्र. 2005, 06)
हल:
a भुजा के घन की तीन संलग्न कोरों OA, OB और OC को निर्देशाक्ष लेने पर घन के शीर्षों के निर्देशांक निम्न प्रकार हैं:
O(0, 0, 0), A(a, 0, 0), B(0, a, 0), R(0, 0, a)
D(a, a, 0), K(a, 0, a), L(0, a, a), P(a, a, a)
विकर्ण OP के दिक् अनुपात a – 0, a – 0, a – 0 अर्थात् a, a, a हैं।

OP की दिक् कोज्याएँ हैं:

अर्थात् \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \), \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
इसी प्रकार विक AL, BK तथा RD की दिक् कोज्याएँ

माना OP, BL, AK, CD के साथ क्रमशः α, β, γ, कोण बनने वाली रेखा की दिक् कोज्याएँ l, m, n हैं।

अतः cos² α + cos²β + cos²δ

यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 7B निशिचत समाकलन

निशिचत समाकलन Important Questions

निशिचत समाकलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.

हल:
माना

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि

हल:
माना


समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:
माना

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि

हल:
माना

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,


माना cos x = t ⇒ – sin x dx = dt ⇒ sin x dx = – dt
[जब x = 0, t = cos 0 = 1, जब x = π, t = cos π = -1]

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि

हल:
माना

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए –

हल:
माना

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि

हल:
माना

प्रश्न 9.

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए –

हल:
माना


समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 11.

हल:
माना

मान tan \(\frac { \pi }{ 2 } \) = t
∴ \(\frac{1}{2}\) sec² \(\frac { \pi }{ 2 } \) dx = dt
जब x = π, तब t = tan 0 = 0
तथा जब x = π, तब t = tan \(\frac { \pi }{ 2 } \) = ∞

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए –

हल:
माना

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए –

हल:
माना


समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए –

हल:
माना

प्रश्न 15.

हल:
माना

समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,

माना cos x = t, तब – sin x dx = dt
जब x = 0, तब t = 1 तथा जब x = π, तब t = -1

प्रश्न 16.

हल:
माना

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Physics Important Questions Chapter 14 Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits

Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits Important Questions 

Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits Objective Type Questions

Question 1.
Choose the correct answer of the following:

Question 1.
The forbidden energy gap in Germanium crystal is :
(a) 1.2 x 10^-19J
(b) 1.76 x 10^-19J
(c) 1.6 x 10^-19J
(d) Zero
Answer:
(a) 1.2 x 10^-19J

Question 2.
The valency of impurity dopped in a pure germanium crystal to make it P – type semiconductor is:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 6
Answer:
(a) 3

Question 3.
The deplection layer of P – N junction has :
(a) Electrons
(b) Protons
(c) Mobile ions
(d) Immobile ions
Answer:
(d) Immobile ions

Question 4.
The width of deplection layer in P-N junction diode is
(a) 10^-3 m
(b) 10^-4 m
(c) 10^-5 m
(d) 10^-6 m
Answer:
(d) 10^-6 m

Question 5.
Zener diode is used as :
(a) Amplifier
(b) Rectifier
(c) Oscillator
(d) Voltage regulation
Answer:
(d) Voltage regulation

Question 6.
Light emitting diode is formed by :
(a) Silicon
(b) Germanium
(c) Carbon
(d) Ga – As
Answer:
(d) Ga – As

Question 7.
Which of the following is a photo voltaic device :
(a) Photo cell
(b) LED
(c) Zener diode
(d) Solar cell
Answer:
(d) Solar cell

Question 8.
When N – P – N transistor is used as amplifier then :
(a) Electrons goes from base to collector
(b) Holes goes from emitter to base
(c) Holes goes from collector to base
(d) Holes goes from base to emitter.
Answer:
(a) Electrons goes from base to collector

Question 9.
The relation between current gain in CB mode (α) and current gain (β) in CE mode is:
(a) β = α + 1
(b) β = \(\frac {α}{1 – α}\)
(c) β = \(\frac {α}{1 + α}\)
(d) β = 1 – α.
Answer:
(b) β = \(\frac {α}{1 – α}\)

Question 10.
In CE amplifier the phase difference between input and output signals is :
(a) 0°
(b) 90°
(c) 180°
(d) 270°.
Answer:
(c) 180°

Question 11.
Oscillator is an amplifier with :
(a) Positive feed back
(b) Negative feed back
(c) No feed back
(d) High current gain.
Answer:
(a) Positive feed back

Question 12.
The boolean expression for NAND gate is :
(a) A + B = Y
(b) A – B = Y
(c) A = Y
(d) AB = Y.
Answer:
(d) AB = Y.

Question 2.
Match the Column :

Answer:

1. (c)
2. (e)
3. (d)
4. (b)
5. (a)

Question 3.
Fill in the blanks :

1. Zenar diode is used as ……………..
2. The ratio of change in output voltage to change in the input Voltage is called ……………..
3. Power gain = (Current gain)² x ……………..
4. With increase in temperature of a semiconductor its conductivity ……………..
5. In an intrinsic semiconducter the forbidden energy gap is of order of ……………..
6. Main function of a tank circuit is to produced ……………..
7. In a NAND gate there is a …………….. gate along with AND gate.
8. NOT gate is also called as ……………..
9. The boolean expression of AND gate is ……………..
10. If Y = \(\overline {A+B}\) then gate is ……………..
11. Photo diode is used as ……………..
12. Light emitting diode is used in …………..

Answer:

1. Voltage regulation
2. Voltage gain
3. Resistance gain
4. Increases
5. 1 eV
6. Oscillations
7. NOT
8. Inverter
9. Y = A.B
10. NOR
11. To defect light
12. Light emission.

Question 4.
Write the answer in one word/sentence :

1. How does the energy gap in the intrinsic semiconductor varies on introducing a penta valent impurity in it?
2. Whose drift velocity is greater holes or electrons.
3. On increasing the reverse bias in P – N junction diode how does the width of depletion layer vary?
4. In which bias the resistance of P – N junction diode is very high?
5. What is use of zener diode?
6. A transistor is used as an amplifier in common emitter mode rather than in common base mode why?

Answer:

1. The energy gap decreases
2. The drift velocity of electrons is greater than that of holes
3. The width of depletion layer increases
4. Reverse bias.
5. It is used as voltage regulator
6. Because in common emitter amplifier the voltage gain and power gain is more.

Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits Very Short Answer Type Questions

Question 1.
What are semiconductors? Write down names of any two semiconductors.
Answer:
The substances which have electrical conductivity between conductors and insulators are called semiconductors.
Examples:
Germanium, silicon.

Question 2.
How does the conductivity of semiconductors affected on heating the semi – conductors?
Answer:
When a semiconductors is heated then the covalent bond get broken and the valence electrons becomes free. With increase in temperature the number of free electrons increases. Hence the conductivity of semiconductor increases.

Question 3.
Choose the conductor, insulator and semiconductors in the following : Germanium, Tungsten, Air, Silver, Silicon, Carbon.
Answer:

1. Conductor : Tungsten, Silver.
2. Insulator : Air
3. Semiconductor : Germanium, Carbon, Silicon.

Question 4.
Write difference between the charge occurs in the resistivity of metals and intrinsic semiconductor with temperature.
Answer:
With increase in the temperature the resistivity of metals increases while that of intrinsic semiconductor decreases.

Question 5.
Draw the symbol of P – N junction diode.
Answer:

Question 6.
How can a pure semiconductor be converted into a P – type semiconductor?
Answer:
When a trivalent impurity such as indium, boron etc are introduced into pure semiconductor then P – type semiconductor is formed.

Question 7.
How can a pure semiconductor be converted into a N – type semiconductor?
Answer:
When a pentavalent impurity such as antimeny, arsenic phosphorus etc. are introduced into pure semiconductor then N – type semiconductor is formed.

Question 8.
What is the ratio of number of holes to number of electrons in an intrinsic semiconductor?
Answer:
1 : 1.

Question 9.
Write the name of majority charge carriers in P – type and N – type semiconductors.
Answer:
In P – type semiconductor majority charge carriers are holes and in , N – type semiconductor majority charge carriers are electrons.

Question 10.
What is LED?
Answer:
It is Abbreviation of ‘Light Emitting Diode’. It is a P – N junction which, when used in reverse bias, emits the light.

Question 11.
In a transistor emitter is always forward biased and collector is reverse biased, why?
Answer:
The charge carriers (electrons or holes) are moved only when the emitter is forward biased while collector will occupy them only when it is reverse biased. So that there is a unidirectional flow of current.

Question 12.
What are universal gate?
Answer:
NOR gate and NAND gate are called as universal gate, because by the combination of these gates, other logic gates can be obtained.

Question 13.
What is dopping? Why it is necessary?
Answer:
The process of introducing the impurities in a pure semiconductor is called dopping. To form N – type and P – type semiconductors dopping is necessary.

Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits Short Answer Type Questions

Question 1.
What do you understand by intrinsic and extrinsic semiconductors?
Answer:
Intrinsic semiconductors:
Pure semiconductors are called intrinsic semiconductors example germanium and silicon. The number of electrons and holes are equal in it.

Extrinsic semiconductors:
The semiconductors containing impurities of pentavalent or trivalent substances are called extrinsic semiconductors. The electron density is not equal to hole density.

Question 2.
Semiconductors are used to form the transistor. Why?
Answer:
Transistor are made by N – type and P – type semiconductors where the charge carriers are electrons and holes. Thus, the function of transistor is based on the control over the motion of electrons and holes. This control is not possible in conductors and insulators. Therefore only semiconductors are used to make transistors.

Question 3.
Explain the meaning of word “Transistor”.
Answer:
Transistor is a short form of transformation of resistance. The low resistance of forward biased junction is transformed to high resistance of reverse biased junction. Therefore it is called as transistor.

Question 4.
Why the base is designed thin in comparison to emitter and collector in a transistor?
Answer:
A thin and lightly doped base region will contain a smaller number of majority charge carriers. This will reduce the recombination rate of electrons and holes when major-ity charge carriers move from emitter to collector.

Question 5.
Draw symbols of P – N – P and N – P – N transistors.
Answer:
P – N – P Transistor N – P – N Transistor

Question 6.
What is difference between transformer and transistor?
Answer:
The transformer changes alternating voltage but the power remains same. Amplifier increases power of alternating voltage.

Question 7.
Draw symbol of NAND and NOR gate.
Answer:

Question 8.
What is Universal gate? Why they are called so?
Answer:
NOR and NAND gates are called as universal gates because by the combination of these gates other gates can be formed.

Question 9.
How will you obtain NOT gate from NAND gate? Draw logic symbol and write truth table.
Answer:
When the two input signal of NAND gate are joined together then the output signal obtained is equivalent to that of NOT gate.
Symbol :

Truth table:

Question 10.
How will you obtain AND gate from NOR gate?
Answer:
To obtain AND gate from NOR gate:
If the output of two NOT gate obtained by NOR gates are used as two inputs of a NOR gate then the resultants output be same as the output of AND gate.
Symbol:

Truth table:

Question 11.
How will you obtain OR gate from NAND gate?
Answer:
If the two outputs of NOT gates obtained by NAND gates are used as inputs of a NAND gate then the final output be same as the output of OR gate.
Symbol:

Truth table:

Question 12.
What is dopping? Why it is necessary?
Answer:
The process of introducing the impurities in a pure semiconductor is called dopping. To form N – type and P – type semiconductors dopping is necessary.

Question 13.
Identify the following symbol, write its boolean expression and write the truth table:

Answer:
It is a NAND gate.
Boolean expression : y = \(\overline { A.B } \quad\)
Truth table:

Question 14.
Explain the following terms with reference to a P – N junction :

1. Uncovered charge
2. Depletion layer
3. Potential barrier.

Answer:

1. Uncovered charge : The positive immobile ions present on the N – region and negative immobile ions present in P – region near the junction are called uncovered charge.

2. Depletion layer : The layer on either side of P – N junction which does not contain any charge carrier (neither positive charge carrier nor negative charge carrier) is called depletion layer.

3. Potential barrier : The potential difference developed across the depletion layer is called the potential barrier.

Question 15.
What is P – N diode? Explain the formation of depletion layer in it.
Answer:
When P – type semiconductor is joined with N – type semiconductor by some special techniques as etching or sandwitching, then the junction formed is called P – N diode. It works similar to that of diode valve. Hence, it is called P – N junction diode. When P – N junction diode is made, then free electrons present in N – type get diffused across the boundary into P – type and few number of holes diffuse into N – type from P – type. Thus, a thin film (less than 10^-3 cm) at the junction becomes free from holes and electrons. This thin film is called depletion layer.

Question 16.
What is zener diode? Explain it.
Answer:
Zener diode is P – N junction diode which is fabricated for a definite breakdown voltage. The value of breakdown voltage depend upon the doping density of P – and ,V – type semiconductor. The breakdown voltage depends upon the concentration of doping, in a highly dopped P – N junction, the depletion layer is very thin so that the value of zener voltage becomes very small.

For a definite breakdowm voltage zener diode ner diode is constructed by a special doping in such a way that it doesn’t get damaged even it working at breakdown voltage at reverse bias.

Symbol:
The symbol of zener diode is shown in adjacent fig.

Principle:
In the reverse biased zener diode, on applying breakdown voltage it allows easy flow of current. But inspite of flow of current the P – N junction do not get de – stroyed. When the applied voltage becomes less than breakdown voltage it again becomes a normal P – N junction diode.

Use:
It is used as voltage regulator.

Question 17.
What is a Solar cell?
Or
How a junction diode can be used as a solar cell?
Answer:
Solar cell:
It is a P – N junction diode which converts the solar energy into electrical energy. It works on the principle of photoelectric effect.

When the solar light fall on the P – N junction then an e.m.f. is produced across its ends. This e.m.f. is called as photoelectric e.m.f. Hence a P – N junction acts as source of e.m.f. This is called solar cell.

Working:
When light photons reach the junction they excite electrons from the valence band to conduction band leaving behind equal number of holes in the valence band. The electron hole pairs generated in the deplection region move in opposite directions due to the barrier field. Photo generated electrons move towards N – region and holes towards P – region.

The collection of these charge carriers make P – region positive electrode and N – region a negative electrode. Hence photovoltage is set up across the junction. When a load resistance R is connected in the external circuit, a photo current I flows through it.

Question 18.
Explain the working of N – P – N transistor with labelled diagram.
Answer:
The adjacent fig. shows the N – P – N transistor in CE mode.

The emitter is at negative potential w.r.t. the base and collector. The electron of emitter region are repelled by the negative terminal of the battery V_BE and move towards the base region, as the base region is very thin most of the electrons cross this region and enter to the collector region. Only 2% to 5% of electrons combine with the holes present in base region, therefore I_b the base current flows. The electrons entering into collector region are attracted very fast by the positive terminal of battery V_CE and collector current I_c flows through the external circuit.
If the emitter current is Ie then by Kirchhoff’s law
I_e = I_b + I_c

Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits Long Answer Type Questions

Question 1.
Explain P – type semiconductors in terms of energy band.
Answer:
When a trivalent impurity (Such as Boron, Aluminium etc.) is introduced (dopped) in a pure Ge crystal then a P – type semiconductor is formed.

In a P – type semiconductor each acceptor impurity atom process a hole. This hole is fulfilled by an electron of nearest Ge – Ge band. To remove the electron from covalent band and to bring it to the hole very small amount of energy (about 0.01 – 0.05 eV) is required. Hence the acceptor energy level is slightly above the top of valence band. At room temperature the electrons of valence band get excited and reach to the acceptor level. Therefore same number of holes are created in valence band. Thus in P- type semiconductor the number of holes in valence band is much greater than the number of electron in conduction band.

Question 2.
What do you understand by N – type and P – type semiconductors? Give differences between them.
Or
Differentiate between the P – type and N – type semiconductors.
Answer:
N – type : When pure germanium is introduced by small amount of a pentavalent atoms as antimony, arsenic, etc. then N – type semiconductors are formed.

P – type : When pure germanium is introduced by small amount of a trivalent atoms as indium, boron, etc. then P – type semiconductors are formed.

Difference between N – type and P – type semiconductors :
N – type:

• N – type of semiconductors are formed by the impurities of pentavalent elements.
• Electrons are the charge carriers.
• Number of electrons in conduction band is greater than the number of holes in valence band.
• Fermi level is towards conduction band.

P – type:

• P – type of semiconductors are formed by the impurities of trivalent elements.
• Holes are the charge carriers.
• Number of holes in valence band is greater than the number of electrons in conduction band.
• Fermi level is towards valence band.

Question 3.
Explain working of P – N – P transistor in CE mode.
Answer:
Working of P – N – P transistor :
The figure shows the common emitter circuit. The emitter is at positive potential w.r.t. the potential of base and collector. The holes coming from the emitter are only 2% to 5% which combine in the base region thus low current is flown in emitter circuit and other holes are attracted by the negative terminal of the battery V_ce.

As soon as the hole reaches to the end, the electron from the negative terminal of the battery V_ce neutralizes it and at the same time, a covalent band breaks at emitter region. Thus, an electron enters the positive terminal of the battery V_be and the same process is repeated. Thus, the current flows through P – N – P transistor by holes and outside it in external circuit by electrons. If the emitter current be I_e. Then, I_e = I_b + I_c.

Question 4.
Explain with a circuit diagram, how common emitter P – N – P transistor is used as amplifier?
Or
Explain the working of P – N – P transistor as amplifier in CE mode with a circuit diagram.
Answer:
In concerning circuit use of transistor as an amplifier is shown :
Where, S → Input signal, R → Load resistance, V_c → Collector voltage. In this circuit, emitter is kept at positive potential relative to the base and collector. Input signal is applied between base and emitter. Load resistance R is added to the collector circuit.

As a result collector becomes more negative and output signal becomes negative. In next half cycle of input signal, potential of base becomes more negative relative to emitter and I_c increases, therefore value of collector voltage V_c decreases or it becomes negative which gives positive output signal.

In this way, opposite signals are obtained in different half cycles of input signal. So, it is clear that there is phase difference of 180° between the input and output signals.

Question 5.
Explain the working of N-P-N transistor as amplifier in CE mode under following points :

1. Circuit diagram
2. Working
3. Voltage gain.

Answer:
1. Circuit diagram :

2. Working:
The emitter terminal is common to both the input and output circuit. While the input circuit is forward – biased, the output circuit is reverse – biased.

When no a.c. signal (input) is supplied to the input, the collector current I_c flows through load resistance (R) will produce a voltage drop I_c R across R. Hence, the net output voltage is
V_c =V_ce – I_c R … (1)

Suppose the signal to be amplified is now fed the input circuit. During the positive half cycle of input, the forward bias of base – emitter increases. So, emitter and collector current increases. Hence, from equation (1), V_c decreases. But V_c is joined to high potential, so high potential value decreases. So, amplified signal becomes negative. This explains the amplification of positive half cycle.

During the negative half cycle of input, forward bias decreases both emitter and collector current decreases, hence V_c increases by equation (1). So, the output becomes more positive. Clearly, the output signal is 180° out of phase from the input signal.

3. Voltage gain:
The ratio of change in output voltage to the change in input voltage is called voltage gain. It is denoted by Av.

Question 6.
What is NAND gate? Write its symbol, truth table and boolean expression.
Answer:
When a NOT gate is connected at the output of AND gate then the logic gate formed is known as NAND gate.
Symbol:

Truth Table:

Boolean expression : \(\overline { A.B } \quad\) = Y.

Question 7.
Explain NOT gate under the following heads :

1. Symbol
2. Relation between input and output
3. Equivalent circuit.

Answer:
1. Symbol:

2. Relation between input and output : Y = \(\overline { A}\), where Y is output and A is input.

3. Equivalent circuit:

Question 8.
What is rectification? Explain half – wave rectification by diode on the basis of following points:

1. Labelled diagram of circuit
2. Working

Or
Describe the use of P – N junction diode as half wave rectifier under the following heads:

1. Labelled circuit diagram
2. Working
3. Graph for time variation of input and output potential.

Answer:
Rectification:
The phenomenon of conversion of a.c. to d.c. is known as rectification.

1. Labelled diagram:
a.c. → Input a.c. voltage, T → Step – up transformer, PN → Junction diode, R → Load.

2. Working:
When an a.c. voltage is applied to the primary coil of transformer, then an a.c. voltage is induced in the secondary coil of transformer. Let in half cycle, A is at positive potential w.r.t. that of B. Then P – N junction diode is in forward – biased. Thus, the current flows through it and conventional cunrent flows through R, from C to D.

In the next half cycle, A is at negative potential w.r.t. B. The junction diode is in reverse – biased and no current flows through R. The same phenomenon is repeated in the next cycle. Therefore, only half cycle of the input a.c. wave is converted into d.c. This process is called half – wave rectification.

Question 9.
What is rectification? Drawing the electrical circuit show a P – N diode can be used as full wave rectifier.
or
Describe the use of P – N junction diode as a full wave rectifier under the following heads:

1. Labelled circuit diagram
2. Working
3. Wave form of output signals.

Or
What is a rectifier? Draw circuit diagram to explain the use of P – N junction diode as full wave rectifier.
Answer:
The process of converting the alternating current into direct current is called rectification and the circuit used for the purpose of rectification is called rectifier circuit.

1. Labelled diagram :
T → Step – up transformer, D₁ D₂ → Diodes, R → Load.

2. Working function:
When a.c. voltage is applied on primary coil of step – up transformer T, a.c. voltage induces in secondary coils. In first half cycle, A is at positive and B is at negative potential with respect to E. Therefore, diode D₁ becomes forward – biased and current flows in load resistance R from C to D. This time point B is at lower potential relative to E, therefore D₂ is at reverse biased.

In second half cycle, A is at negative and B is at positive potential relative to E. D₁ gets reverse – biased and stops working where D₂ is at forward – biased and allows current to flow from C to D. In this way in both the half cycles, current flows through the load resistance and diode behaves as full-wave rectifier.

Question 10.
Draw a labelled circuit to explain the use of P – N – P transistor in CE mode as an amplifier. Obtain expression for current gain, voltage gain and power gain.
Answer:
See Long Answer Type Question No. 4 for circuit diagram and working.

1. Current gain : The ratio of change in collector current to change in base current is called current gain. It is denoted by β.

2. Voltage gain: The ratio of change in output voltage ∆V_CE to change in input voltage ∆V_BE is called voltage gain A_V.

3. Power gain : The ratio of change in output power to change in input power is called power gain.

Question 11.
What is oscillator? Explain the function of transistor as an oscillator.
Or
What is an oscillator? Draw necessary circuit diagram to show the use of transistor as an oscillator.
Or
What is an oscillator? Explain use of transistor as oscillator under following points:

1. Labelled circuit diagram
2. Working.

Answer:
Oscillator : Oscillator is a device which can produce high frequency oscillations.

Use of transistor as an oscillator : A circuit is given in which a transistor is used in common emitter configuration.

Theory:
By proper coupling a tank circuit (L₁ – C₁ circuit) and feedback circuit a transistor oscillator can be made. A tank circuit is joined between the collector and key K. C₁ is a variable capacitor with the help of which any desired frequency can be obtained in tank circuit. An inductor L₁ is added between the base and emitter. Inductor L is coupled properly with inductor L₁.

Working function:
When key K is pressed electric oscillation starts in tank circuit. As L is coupled with L₁, e.m.f. is produced in inductor L due to induction of which value changes in magnitude and direction. In this way increase in base potential causes increase in collector current which helps oscillation in tank circuit. As a result, tank circuit L₁ – C₁ oscillates with constant amplitude. Energy wasted is recovered from the battery.
Frequency of oscillation, ν = \(\frac { 1 }{ 2\pi \sqrt { { L }_{ 1 }{ C }_{ 1 } } }\)
Where, L₁ = Induction of inductor L,C₁ = Capacity of capacitor C.

Semiconductor Electronics: Materials, Devices and Simple Circuits Numerical Questions

Question 1.
In a P – N junction, width of depletion layer is 10^-6 m and potential barrier is 0.7 Volt. Calculate the barrier electric field.
Solution:
Given : d = 10^-6 m, V = 0.7 volt
Formula: E = \(\frac {V}{d}\)
∴E = \(\frac { 0.7 }{ { 10 }^{ -6 } }\), or E = 7 x 10⁵ volt/metre.

Question 2.
In a P – N junction diode if the potential is changed by 0.12 volt then cunrent changes by 1.5 mA. Find out dynamic resistance of diode.
Solution:
Given : ∆V = 0.12 volt, ∆ I = 1.5 mA = 1.5 x 10^-3A
Formula : r_d = \(\frac {∆V}{∆d}\)
or r_d = \(\frac { 0.12 }{ 1.5\times { 10 }^{ -3 } }\)
= \(\frac {0.12}{1.5}\) x 10³ = 80 ohm.

Question 3.
The current gain of a transistor in CB mode is 0.987. What will be its current gain in CE mode?
Solution:
Given : α = 0.987
Formula : β = \(\frac {α}{1 – α}\)
β = \(\frac {0.987}{1 – 0.987}\) = 75.93.

MP Board Class 12th Physics Important Questions

MP Board Class 12th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 10 विविधा-2

विविधा-2 अभ्यास

विविधा-2 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
कवि ने द्वीप को किसका पुत्र कहा है?
उत्तर:
द्वीप का निर्माण नदी के सतत् बहाव के कारण होता है। द्वीप को स्वरूप नदी ही प्रदान करती है। अतः कवि ने द्वीप को नदी का पुत्र कहा है।

प्रश्न 2.
नदी सदा गतिशील रहकर क्या दान देती है?
उत्तर:
नदी सदैव गतिशील रहती है। वह द्वीप को उसका स्वरूप तथा मनुष्य को जीवन दान देती है।

प्रश्न 3.
साँझ-सकारे भारतमाता की आरती कौन करता है?
उत्तर:
साँझ-सकारे भारतमाता की आरती सूरज और चन्द्रमा करते हैं।

प्रश्न 4.
कवि ने भारतमाता की जय-जयकार का आह्वान किससे किया है? (2017)
उत्तर:
भारतीय सपूतों, श्रमकर्ताओं, रचनाकारों, देशज मित्रों, ग्रह-नक्षत्रों (आम जनता) सभी से जय-जयकार करने का आह्वान किया है।

प्रश्न 5.
झुलसती धरा के लिए किस दान की आवश्यकता है?
उत्तर:
झुलसती धरा के लिए कवि ने सावन दान की आवश्यकता को बताया है।

विविधा-2 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
नदी द्वीप को आकार किस प्रकार देती है? (2014, 16)
उत्तर:
नदी भू-खण्ड के कोनों (कोणों),मार्ग, भूमि का उठान, बालू के किनारे तथा उसको गोलाकार रूप देकर द्वीप को आकार प्रदान करती है। द्वीप नदी के अन्दर उठे हुए भू-भाग का ही एक रूप होता है।

प्रश्न 2.
‘भारतमाता की जय बोल दो’ कविता में किन-किन प्राकृतिक उपादानों का उल्लेख किया है?
उत्तर:
सूर्य, चन्द्रमा, ग्रह-नक्षत्र, ऋतुएँ, पर्वत, नदी, तारे, नारियल के वन, अन्तरीप, पराग, धरती, बादल, आकाश, धूमकेतु तारा आदि प्राकृतिक उपादानों का उल्लेख किया है। सूर्य प्रात:काल तथा चन्द्रमा शाम को भारतमाता की आरती उतारते हैं। नारियल वन से सुगन्ध फूटने लगती है ! ऋतुएँ नवीन परिधान प्रदान करती हैं। भारतमाता इन प्राकृतिक उपादानों के द्वारा और भी सुन्दर लगती है।

प्रश्न 3.
कवि ने प्रकृति से भारत को सजाने-सँवारने का अनुरोध क्यों किया है?
उत्तर:
सुबह तथा सायंकाल सूरज तथा चन्दा भारतमाता का स्वागत करते हैं। सूर्य से उष्णता तथा चन्द्रमा से शीतलता प्रदान होती है। ऋतुओं से कवि ने आह्वान किया है कि भारत माता को नित्य नूतन परिधानों से सुसज्जित करें। भारत की गंगा नदी, हमारे लिए जीवनदायिनी है। कश्मीर की डल झील भारतीय सुषमा का केन्द्र है।

प्रश्न 4.
कवि मिश्र ने देशवासियों के मिल-जुलकर रहने पर अत्यधिक बल क्यों दिया (2013)
उत्तर:
अनेकता में एकता भारत की प्रमुख विशेषता है। यहाँ पर भिन्न-भिन्न प्रकार के रूप-रंग तथा भाषा-भाषी लोग रहते हैं। आपसी झगड़े सदैव ही हानिकारक होते हैं। इन झगड़ों से समाज में विद्रोह तथा बँटवारा होता है। एकता में शक्ति है। अतः मिल-जुलकर रहने के लिए कवि ने अत्यधिक बल दिया है।

प्रश्न 5.
बलिदानी रंग से कवि का क्या तात्पर्य है? (2009, 12)
उत्तर:
भारत सदैव से ही शान्तिप्रिय देश रहा है। प्रत्येक देश की सम्प्रभुता का ध्यान रखा है। हम अपनी सभ्यता और संस्कृति के रक्षक हैं। भारत की स्वतंत्रता, एकता और अखण्डता पर आँच आयेगी तो भारतीय अपना खून बहाकर देश की रक्षा करेंगे। बलिदानी रंग से अभिप्राय खून से है। ऐसा रक्त है जो देश की रक्षा के लिये बहाया जाये।

विविधा-2 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
द्वीप की विशेषताओं का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
द्वीप किसी नदी या विशाल जलराशि में स्थित भूखण्ड होता है। भौगोलिक दृष्टि से यह कठोर चट्टानों से निर्मित होता है और जलराशि से टकराकर सुगढ़ आकृति धारण कर लेता है। यह अपना अलग ही महत्व रखता है। यह प्राणियों के निवास के साथ-साथ उनके आवागमन का माध्यम है तथा नावों और पानी के जहाजों को ठहरने के लिए स्थान उपलब्ध कराता है। यह विशाल भूखण्ड न होकर छोटा भूखण्ड होता है, लेकिन हमारी तरह ही वहाँ भी जीवन सुलभ है। रात में जगमगाती बिजली की रोशनी इसकी सुन्दरता में चार चाँद लगा देती है। इसकी शोभा अत्यन्त ही सुहावनी और आकर्षक होती है। यहाँ पर सभी वस्तुएँ सुलभता से उपलब्ध हो जाती हैं।

प्रश्न 2.
नदी हमें किस प्रकार संस्कार देती है? स्पष्ट कीजिए। (2009, 11)
उत्तर:
“नदी के द्वीप” कविता में नदी समाज का प्रतीक है तथा द्वीप व्यक्ति का प्रतीक है। नदी हमारे किनारों को काट-छाँटकर सही आकार प्रदान करके सुधारती है। बालक में यदि कुसंगति के कारण कोई कमी (विकृति) आती है तो समाज (नदी) उन कमियों को धीरे-धीरे दूर करने का प्रयास करता है। हम नदी (समाज) के पुत्र हैं। समाज के द्वारा हम सभी का पालन-पोषण होता है। समाज हमें सद्गुणों से युक्त बनाता है, हमारी बुराइयों को दूर करता है। अतः हम संस्कारवान बनकर अपने देश के लिए सुयोग्य नागरिक बनते हैं। देश के विकास में अपना योगदान देते हैं।

प्रश्न 3.
‘नदी के द्वीप’ कविता का मूल भाव अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तर:
अज्ञेय जी की प्रारम्भिक कविताएँ प्रकृति प्रेम से सम्बन्धित हैं। इनका अधिकांश काव्य प्रेम,प्रकृति तथा समाज आदि से युक्त है। उत्तरवर्ती कविताओं में व्यक्तिवादिता के दर्शन होते हैं। व्यक्ति तथा समाज का अपना अलग-अलग महत्त्व है। व्यक्ति तथा समाज एक-दूसरे के पूरक हैं। कवि का इस कविता के आधार पर मानना है कि समाज एक नदी के जैसा है। व्यक्ति एक द्वीप जैसा है। द्वीप को आकार नदी के द्वारा प्राप्त होता है। उसी प्रकार समाज के द्वारा व्यक्ति का निर्माण होता है व्यक्ति अपनी पहचान समाज में पूरी तरह से नहीं कर सकता। व्यक्ति की अपनी अलग पहचान होती है। उस पहचान को बनाये रखना भी आवश्यक है। समाज तथा व्यक्ति दोनों में तालमेल होना अनिवार्य है। इस तालमेल के द्वारा ही समाज के विकास को सुरक्षित रख सकते हैं।

प्रश्न 4.
कवि मिश्र ने प्रकृति के उपादानों से भारतमाता के लिए क्या-क्या करने को कहा है?
उत्तर:
ग्रह-नक्षत्रों से भारत की जय-जयकार करने का आह्वान किया है। ऋतुओं से भारत माता को नित्य नूतन परिधानों से सुशोभित करने को कहा है। सतरंगी परिधानों से भारतमाता का स्वागत करने,उसे सजाने तथा सँवारने को कहा है। कुंकुम के पत्तों से भारत की जय बोलने को कहा है। तारे लालटेन की भाँति शोभनीय लग रहे हैं। नारियल वन से सुगन्ध प्रवाहित करने को कहा है। पुष्पों की सुन्दर पराग का भी कवि ने आह्वान किया है।

प्रश्न 5.
वह माली है, वह खुशबू है, हम चमन।
वह मूरत है, वह मंदिर है, हम नमन।
इन पंक्तियों में माली, खुशबू, मूरत और मन्दिर किसे कहा गया है और क्यों?
उत्तर:
इन पंक्तियों में माली भारतमाता के लिए, खुशबू देशभक्ति की भावना के लिए, मूरत राष्ट्र देव के लिए, मन्दिर राष्ट्र के निवासियों के लिए प्रयुक्त किया है। माली जिस प्रकार बगीचे की रक्षा करता है। उसी प्रकार, भारतमाता हम सभी का पालन-पोषण करती है। इसका अन्न,जल ग्रहण करके हम बड़े होते हैं। खुशबू देशभक्ति की भावना के लिए प्रयुक्त है,क्योंकि प्रत्येक नागरिक में देशभक्ति की भावना होना अनिवार्य है। मन्दिर में देवी देवताओं की प्रतिमाएँ न होकर राष्ट्र देव की प्रतिमा हो। हम सभी भारतीय एक मन्दिर के समान हैं।

प्रश्न 6.
कवि ने भारतीयों को ‘रक्त चरित्रो’ कहकर क्यों सम्बोधित किया है?
उत्तर:
हम सभी भारतीयों का कर्तव्य है कि देश की एकता को कायम रखें। अपनी सभ्यता और संस्कृति की रक्षा करें। शान्ति और स्वाधीनता की जो गंगा प्रवाहित हो रही है उसमें यदि कोई भी बाधक बने तो अपना बलिदान देकर अपने देश की रक्षा करें। भारत के अमर सपूतो भारत की जय बोलो। रक्त लाल होता है। अतः भारत के लालों को रक्त चरित्र कहकर सम्बोधित किया है।

प्रश्न 7.
मंदिर, मस्जिद और गिरजाघर में मानव कैसे कैद हो सकता है? इनमें कैद मानव को मुक्त कैसे किया जा सकता है?
उत्तर:
मंदिर, मस्जिद और गिरजाघर में बाह्य आडम्बर, पुराने रीति-रिवाजों की भरमार है। पूजा-अर्चना के नाम पर दिखावा अधिक है। मनुष्य धर्म के नाम पर संकीर्णताओं में फंसकर रह गया है। धार्मिक भावना तो हितकर होती है, किन्तु धार्मिक कट्टरता कभी भी किसी भी राष्ट्र के लिए हितकर नहीं है। मनुष्य की सोच संकुचित हो गयी है। मनुष्य इनमें कैद हो चुका है। संकीर्णताओं से ऊपर उठकर सच्चे ज्ञान से इस कैद से मानव को मुक्त किया जा सकता है।

विविधा-2 काव्य-सौन्दर्य

प्रश्न 1.
अलंकार छाँटिए
(क) छाया है माथे पर आशीर्वाद-सा,
वह संस्कृतियों के मीठे संवाद-सा।
उत्तर:
उपमा अलंकार।

(ख) स्थिर समर्पण है हमारा,
हम सदा से द्वीप हैं स्रोतस्विनी के।
उत्तर:
रूपक अलंकार।

प्रश्न 2.
नवगीत और अतुकांत पदों में क्या अन्तर है?
उत्तर:
आधुनिक कविता का नवीनतम विकास नवगीत के रूप में हुआ है। नवगीत हिन्दी काव्य का एक आन्दोलन है। जहाँ मानव मन किसी सौन्दर्य, राग, सत्य के किसी कोण से गहरे छू जाता है। वहाँ गीत की भूमि होती है। इसमें अनुभूति की सरलता तथा सघनता होती है। नवगीत में संगीतात्मकता तथा गेयता का गुण पाया जाता है। जिन पदों में संगीतात्मकता का अभाव है उनमें गद्यात्मकता का गुण है। उन्हें अतुकान्त अथवा मुक्त छन्द कहते हैं।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित सामासिक पदों का विग्रह कर समास का नाम लिखिए
रचनाकार, भूखंड, कर्मनाशा, नारियल वन।
उत्तर:

प्रश्न 4.
निम्नांकित शब्दों के दो-दो पर्यायवाची शब्द लिखिए
धरती, सुगंध, नदी, पुत्र, पैर।
उत्तर:
धरती – भू, भूमि।
सुगंध – खुशबू,सुबास।
नदी – सरिता,पयस्विनी।
पुत्र – बेटा,सुत।
पैर – पग, चरण।

नदी के द्वीप भाव सारांश

प्रस्तुत कविता ‘नदी के द्वीप’ विख्यात कवि ‘अज्ञेय’ द्वारा लिखित है। इस कविता में कवि ने प्रतीकात्मक शैली का प्रयोग करते हुए मनुष्य व समाज के मध्य के सम्बन्ध को समझाने का सुन्दर प्रयास किया है।

अज्ञेय जी मूलतः प्रज्ञा पुरुष हैं। उनके काव्य सृजन का केन्द्र बिन्दु उनका बौद्धिक चिन्तन है। उन्होंने प्राकृतिक प्रेम से युक्त रचनाएँ रची। कवि का विचार है कि समाज एक नदी के समान है। व्यक्ति उस नदी में द्वीप के समान है। यह सत्य है कि व्यक्ति का निर्माण समाज के द्वारा होता है, परन्तु व्यक्ति की अपनी भी पहचान होती है। इस पहचान को बनाये रखना जरूरी है। मनुष्य को स्वयं तथा समाज के बीच तालमेल स्थापित करना अनिवार्य है। अपनी रक्षा के साथ-ही-साथ समाज की रक्षा भी अनिवार्य है।

नदी के द्वीप संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

(1) हम नदी के द्वीप हैं।
हम नहीं कहते कि हमको छोड़कर स्रोतस्विनी बह जाय।
वह हमें आकार देती है।
हमारे कोण, गलियाँ, अन्तरीप, उभार, सैकत-कूल,
सब गोलाइयाँ उसकी गढ़ी हैं।
माँ है वह । है, इसी से हम बने हैं।

शब्दार्थ :
स्रोतस्विनी = नदी; अंतरीप = द्वीपों के मध्य की उठान; आकार = रूप; कोण = कोने; गलियाँ = रास्ते; उभार = उठाव; सैकत-कूल = बालू के किनारे; गढ़ी = निर्मित।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक के पाठ विविधा-2 के ‘नदी के द्वीप’ से अवतरित है। इसके रचयिता श्री अज्ञेय जी हैं।

प्रसंग :
कवि द्वीप के प्रतीकात्मक अर्थ के माध्यम से कहते हैं कि जिस प्रकार नदी द्वीप का निर्माण करती है, उसी प्रकार समाज के द्वारा व्यक्ति के व्यक्तित्व का निर्माण होता है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि नदी ही द्वीप की निर्मात्री है। वही द्वीप को आकार में ढालती है। द्वीप नहीं चाहता कि नदी उसकी उपेक्षा करती हुई आगे बह जाय। द्वीप के कोण,उसके मध्य का उठान,उसके मार्ग,बालू के किनारे सभी गोलाकार आकृति नदी की ही देन है। द्वीप को नदी से अलग नहीं किया जा सकता। इसी प्रकार, मनुष्य का निर्माण समाज के द्वारा होता है। उसका अस्तित्व समाज के कारण ही है।

काव्य-सौन्दर्य :

1. भाषा तत्सम शब्दावली से युक्त।
2. गेयता का अभाव है। अतुकान्त छन्दों का प्रयोग किया है।
3. प्रतीकात्मक शैली का प्रयोग है। नदी, समाज का प्रतीक है तथा द्वीप व्यक्ति का प्रतीक है।

(2) किन्तु हम हैं द्वीप, हम धारा नहीं हैं,
स्थिर समर्पण है हमारा, हम सदा से द्वीप हैं स्त्रोतस्विनी के
किन्तु हम बहते नहीं हैं, क्योंकि बहना रेत होना है।
हम बहेंगे तो रहेंगे ही नहीं।
पैर उखड़ेंगे, प्लवन होगा, ढहेंगे, सहेंगे, बह जायेंगे।
और फिर हम चूर्ण होकर भी कभी क्या धारा बन सकते?
रेत बनकर हम सलिल को तनिक गॅदला ही करेंगे
अनुपयोगी ही बनायेंगे।

शब्दार्थ :
समर्पण = त्याग; प्लवन = धरती का जल से पूर्ण होना; ढहेंगे = टूटकर गिर जायेंगे; सलिल = जल; तनिक = थोड़ा-सा; गैंदला = गन्दा; अनुपयोगी = बेकार।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
कवि कहता है कि द्वीप का अस्तित्व स्थिर रहने पर ही है। यदि नदी इसका कटाव कर देगी तो वह अस्तित्व विहीन होगा।

व्याख्या :
कवि कहता है कि द्वीप कभी भी धारा नहीं बन सकते। धारा सतत् प्रवाहित रहती है। द्वीप का अस्तित्व स्थिर रहते हुए त्याग की भावना में है। हम हमेशा ही नदी के द्वीप कहलाते हैं। हम नदी की गति के साथ नहीं चलते। यदि हम नदी की धारा के साथ प्रवाहित हो जायेंगे तो स्वयं रेत बन जायेंगे यदि हम नदी के साथ बहेंगे तो हमारा अस्तित्व स्वयं ही समाप्त हो जायेगा। हम अपने स्थान से डिग जाएँगे,तो सभी स्थान जल से पूर्ण हो जायेंगे, हमारे किनारे कट-छंटकर गिरेंगे,इसको सहन करेंगे। यदि हमारा चूर्ण (चूरा) भी हो जाये तो क्या हम धारा बन सकेंगे। रेत बनने के बाद केवल हम जल को गंदा ही करेंगे,उस जल को उपयोग के रहित ही बनायेंगे।

व्यक्ति का अस्तित्व समाज के अनुरूप चलने में है। समाज के विपरीत चलने में उसका कोई अस्तित्व नहीं है। समाज के हित में कार्य करेंगे तो निश्चित ही व्यक्ति के व्यक्तित्व का विकास होगा। व्यक्ति अपनी विकृतियों को समाज में मिश्रित न होने दे। इससे समाज का परिवेश दूषित ही होगा।

काव्य सौन्दर्य :

1. द्वीप का अस्तित्व स्थिर रहने में है।
2. तत्सम तथा तद्भव शब्दों का प्रयोग भाषा में किया है।
3. गेयता का पूर्ण अभाव है। अतुकान्त शैली का प्रयोग।
4. उपमा अलंकार।

(3) द्वीप हैं हम। यह नहीं है शाप। यह अपनी नियति है।
हम नदी के पुत्र हैं। बैठे नदी की क्रोड़ में।
वह वृहद भूखण्ड से हमको मिलाती है।
और वह भूखण्ड अपना पितर है।
नदी, तुम बहती चलो।
भूखण्ड से जो दाय हमको मिला है मिलता रहा है,
माँजती, संस्कार देती चलो। यदि ऐसा कभी हो-
तुम्हारे आह्लाद से या दूसरों के किसी स्वैराचार से, अतिचार से।

शब्दार्थ :
शाप = अभिशाप; नियति = भाग्य; क्रोड़ = गोद; वृहद = विशाल; भूखण्ड = भू-भाग; पितर = पिता, पूर्वज; दाय = आकार; भाग; माँजती = साफ करना; संस्कार = सद्गुण; आह्लाद = प्रसन्नता; स्वैराचार = स्वेच्छाचार; अतिचार = अत्याचार, अन्याय।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
द्वीप का यह भाग्य ही है कि वह नदी के बीच में है। नदी ने उसे सजाया तथा सँवारा है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि द्वीप बनना एक अभिशाप नहीं है। यह तो हमारा भाग्य है कि हम नदी के पुत्र हैं तथा उसकी बीच धारा में बैठे हैं अर्थात् उसकी गोद में स्थित हैं। नदी हमारा अस्तित्व शेष भू-भाग से जोड़ती है शेष हिस्सों से सम्पर्क में रखती है। इस विशाल भू-भाग से ही अपना निर्माण हुआ है, अत: यह भू-भाग अपने पिता के समान है। कहने का अभिप्राय यह है कि व्यक्ति को समाज ने ही मानवीय गुणों से युक्त किया है। समाज ही उसके व्यक्तित्व का निर्माता है। समाज के बीच में ही व्यक्ति रहता है। अतः समाज मनुष्य का जन्मदाता है। नदी द्वीप के आकार को तराशती है, उसे सही आकार प्रदान करती है। तुम प्रसन्नतापूर्वक हमें संस्कारित करती हो। कभी-कभी अन्य के स्वेच्छाचार या अत्याचार से तुम हमारी रक्षा भी करती हो। समाज में कभी-कभी अवांछनीय तत्वों के अत्याचार से हमारी (व्यक्ति की) रक्षा होती है। समाज सद्गुणों का विकास करता है। संस्कारवान व्यक्ति की समाज में विशेष भूमिका रहती है।

काव्य-सौन्दर्य :

1. भाषा-तत्सम शब्दावली से युक्त, जैसे—नियति, क्रोड़, भूखण्ड आदि।
2. प्रतीकात्मक शैली।
3. अतुकान्त छन्दों का प्रयोग। गेयता का अभाव है। कवि ने छन्दों के बन्धन को स्वीकार नहीं किया है।

4. तुम बढ़ो, प्लावन तुम्हारा घरघराता उठे
यह स्रोतस्विनी ही कर्मनाशा, कीर्तिनाशा और घोर काल प्रवाहिनी बन जाय-
तो हमें स्वीकार है वह भी। उसी में रेत होकर
फिर छनेंगे हम। जमेंगे हम। कहीं फिर पैर टेकेंगे।
कहीं फिर भी खड़ा होगा नये व्यक्तित्व का आकार।
मात; उसे फिर संस्कार तुम देना।

शब्दार्थ :
प्लावन = जल से पूर्ण होना; काल प्रवाहिनी = विनाशकारी; आकार = आकृति,स्वरूप; घरघराता = घर-घर की ध्वनि।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
द्वीप के माध्यम से अपने व्यक्तित्व को संस्कारित बनाने की शिक्षा इस पद्यांश में दी गयी है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि नदी तुम लगातार गतिशील रहो। तुम्हारे जल के द्वारा घर-घर की ध्वनि होने लगे। चारों ओर जल-ही-जल हो जाए यह जीवनदायिनी नदी अपने विकराल स्वरूप के कारण कर्मनाशा नदी के समान बन जाये। भले ही अपयश के स्वरूप को धारण कर ले, विनाशकारी ही क्यों न बन जाये। हमें तुम्हारा प्रत्येक स्वरूप स्वीकार है। जल-प्लावन के कारण हम पूरी तरह से रेत बन जायें। पुनः कभी-न-कभी हम अपने स्वरूप को प्राप्त करेंगे। किसी भी स्थान पर हम अपने व्यक्तित्व का निर्माण करेंगे। हे माता ! तुम संस्कारों से हमारे व्यक्तित्व का निर्माण करती रहना।

इस समाज में विषम परिस्थितियों के कारण भले ही व्यक्ति का अपना अस्तित्व समाप्त हो जाये। इस समाज में घोर कष्ट भले ही प्राप्त हों। समाज के इस स्वरूप को भी हम स्वीकार करेंगे। अपना अस्तित्व पुनः स्थापित करने में सक्षम होंगे। संस्कारवान बनकर समाज को नयी दिशा प्रदान करेंगे।

काव्य सौन्दर्य :

1. भाषा तत्सम शब्दों से युक्त है, जैसे-स्रोतस्विनी, कीर्तिनाशा, प्रवाहिनी आदि।
2. कवि ने निराशावाद में आशावाद के स्वर देखे हैं, जैसे कहीं भी फिर खड़ा होगा नये व्यक्तित्व का आकार।
3. प्रतीकात्मक शैली। बिम्ब-विधान का सफल चित्रण।
4. अतुकान्त छन्दों का प्रयोग जिनमें सदैव ही गेयता का अभाव होता है।

भारतमाता की जय बोल दो भाव सारांश

प्रस्तुत कविता ‘भारत माता की जय बोल दो’ ओज के महत्वपूर्ण कवि वीरेन्द्र मिश्र’ की प्रबल लेखनी द्वारा लिखित है। इस कविता में कवि ने देशवासियों से अपनी मातृभूमि को विजयी बनाने की बात कही है।

वीरेन्द्र मिश्र छायावादोत्तर काल के गीतकार हैं। उनके गीतों में राष्ट्रीय भावना ओत-प्रोत है। प्रेम, प्रकृति चित्रण तथा समाज के विभिन्न रूपों का चित्रण उनके काव्य में मिलता है। वे सच्चे अर्थों में संस्कृति के पुजारी एवं रक्षक हैं। अतः इस कविता में कवि ने सांस्कृतिक चेतना तथा प्राकृतिक सुषमा का वर्णन किया है। कवि ने भारतीयों से आह्वान किया है कि भारत माता को विजयी बनायें।

भारतमाता की जय बोल दो संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

(1) साँझ-सकारे चंदा-सूरज करते जिसकी आरती
उस मिट्टी में मन का सोना डाल दो
ग्रह-नक्षत्रो ! भारत की जय बोल दो।
वह माली हैं, वह खुशबू है, हम चमन,
वह मूरत है, वह मन्दिर है, हम नमन,
छाया है माथे पर आशीर्वाद-सा,
वह संस्कृतियों के मीठे संवाद-सा,
उसकी देहरी पर अपना माथा टेककर,
हम उन्नत होते हैं उसको देखकर
ऋतुओ ! उसको नित नूतन परिधान दो,
झुलस रही है धरती, सावन दान दो,
सरल नहीं परिवर्तन में मन ढालना,
हर पर्वत से भागीरथी निकालना।

शब्दार्थ :
साँझ = संध्या,शाम; सकारे = सुबह; ग्रह-नक्षत्र = आकाशीय पिण्ड; प्रतीक अर्थ में आम जनता; माली = रक्षक; चमन = बगीचा; आशीर्वाद = शुभ आशीष; देहरी = चौखट, दरवाजा; टेककर = स्पर्श करके; नूतन = नवीन; परिधान = वस्त्र; झुलसना = गर्मी से व्याकुलता; परिवर्तन = बदलाव; भागीरथी = गंगा।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक के पाठ विविधा-2 के ‘भारत की जय बोल दो’ से अवतरित है। इसके रचयिता गीतकार वीरेन्द्र मिश्र हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में कवि ने भारतमाता के प्राकृतिक सौन्दर्य का वर्णन किया है। इसकी सांस्कृतिक विरासत को बनाये रखने का आह्वान भी युवकों से किया है।

व्याख्या :
श्री मिश्र जी कहते हैं जिस देश का गुणगान सुबह-शाम सूरज तथा चन्द्रमा किया करते हैं। उस भारतमाता की सेवा पूर्ण मन से करो। उसकी सेवा में अपने मन को पूरी तरह लगा दो। ग्रह-नक्षत्रो (आम जनता) भारतमाता की जय-जयकार करो। भारतमाता का हम अन्न जल प्राप्त करके बड़े होते हैं। प्रत्येक भारतीय में देशभक्ति की भावना व्याप्त है। हम सभी उस बगीचे के फूल हैं। इसमें राष्ट्रदेव की प्रतिमा है। हमारा इसको नमन स्वीकार हो। देश हमारे ऊपर आशीर्वाद के तरह छाया किये हुए है। विभिन्न संस्कृतियों में आपस में मधुर सम्बन्ध हो। साथ ही वार्तालाप भी मधुर हो। हम भारतमाता को अपना मस्तिष्क (माथा) झुकाकर,स्पर्श करके नमन करते हैं।

भारत भूमि को देखकर सदैव गर्व का अनुभव करते हैं। कवि ने ऋतुओं का आह्वान किया कि हे ऋतुओ! तुम सतरंगी वस्त्र प्रदान करो। भारत में स्थान-स्थान पर हिंसा, साम्प्रदायिकता की आग लगी है। चारों ओर तनावपूर्ण वातावरण है। हे युवको ! इसे मानवीय गुणों से परिपूर्ण करो। ऐसे तनावपूर्ण वातावरण में इंसानियत के गुणों का संचार करना काफी कठिन है। यह उसी प्रकार कठिन है जैसे प्रत्येक पर्वत से गंगा को प्रवाहित नहीं किया जा सकता।

काव्य सौन्दर्य :

1. कवि ने भारतमाता की वन्दना की है।
2. प्रकृति के विभिन्न उपादानों का प्रयोग है।
3. पद्यांश में गेयता का गुण विद्यमान है।
4. लक्षण-प्रधान भाषा का प्रयोग किया है।

(2) जिस मन्दिर-मस्जिद-गिरजे में कैद पड़ा इंसान हो,
आओ, उसमें किरन ! किवाड़ा खोल दो,
कुंकुम-पत्रो ! भारत की जय बोल दो,
उसको करो प्रणाम, दृगों में नीर है,
झेलम की आँखों वाला कश्मीर है,
बजरे और शिकारे उसकी झील के,
लगते बनजारे तारे कंदील-से,
किसी नारियल-वन की गेय सुगन्ध से,
अंतरीप के दूरागत मकरंद से,
फूटा करता नए गीत का अंतरा,
कुछ क्षण को दुख भूल, विहँसती है धरा,
दो छवि कालों के अन्तर-आवास में,
कोई बादल घुमड़ रहा आकाश में।

शब्दार्थ :
कैद = बंदी; किरन = किरण; कुंकुम = रोली,सिंदूर; दृग = आँखें; शिकारे एवं बजरे = छोटी नाव; कंदील = लालटेन, चिमनी; अंतरीप = द्वीपों के मध्य की उठान; मकरंद = पराग; अंतरा = विराम; आवास = निवास; दूरागत = दूर से आती हुई, बिहँसती है = खुश होती है।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
चारों ओर अशान्ति का वातावरण है। पूजा-अर्चना के नाम पर पाखण्ड है। इन संकीर्णताओं से ऊपर उठने की हम सभी को आवश्यकता है।

व्याख्या :
कवि कहते हैं कि मुझे ऐसे मन्दिर,मस्जिद और गिरजाघर (चर्च) में कोई आस्था नहीं है। जिन इबादतगाहों ने मनुष्य और इन्सानियत को बन्दी बना लिया है,मानव संकीर्णताओं में फँसकर रह गया है। इन पूजागृहों के दरवाजे खोलकर इनके पास तक सच्चा ज्ञान आने दो। भारत के अमर सपूतो भारत की जय-जयकार करो। जो दुखी हैं, परित्यक्त हैं उनका भी सम्मान करो। आगे कवि भारत का चित्रात्मक वर्णन करते हुए कहते हैं कि हमारे देश में धरती का स्वर्ग कश्मीर है। झेलम नदी इसकी आँखों के समान है। कश्मीर की सुन्दर झीलों में स्थित शिकारा तथा बजरे उसकी सुन्दरता को और अधिक बढ़ा रहे हैं। आकाश में चमकने वाले तारे एक लालटेन के समान लग रहे हैं।

ऐसा प्रतीत हो रहा है कि नारियल वन की सुगन्ध प्राप्त करने योग्य है। किसी उठी हुई भूमि के भाग से पराग की खुशबू लगातार आ रही हैं। सभी ओर प्राकृतिक शोभा उपस्थित हैं। इसके पश्चात् हमारे मन से प्रसन्नतापूर्वक गीत की पंक्ति अनायास ही निकलने लगती है। ऐसी स्थिति में धरती माता अपने पहले दुःखों को भूल जाती है। वह प्रसन्न होने लगती है। धरती पर खुशहाली तथा प्रसन्नता का वातावरण छा जाता है। स्वतंत्रता से पहले की स्थिति तथा बाद के बीच का अन्तराल हमें बलिदानों का स्मरण करा देता है। जिस प्रकार आकाश में बादल उमड़ते-घुमड़ते हैं ठीक उसी प्रकार हमारे हृदय में भाव जागरण का दृश्य उपस्थित हो रहा है।

काव्य सौन्दर्य :

1. कवि ने तत्सम शब्दावली से युक्त भाषा का प्रयोग किया है। यथा-कुंकुम पत्रो, दृग, दूरागत, बिहँसती।
2. गेयता तथा संगीतात्मकता का गुण।
3. तुकान्त शैली।
4. अनुप्रास अलंकार की छटा निराली है।

(3) सर्जन की मंगल-बेला में धूमकेतु क्या चाहता
बच्चों की पावन उत्सुकता तौल दो,
देशज मित्रो ! भारत की जय बोल दो।
हम अनेकता में भी तो हैं एक ही,
हर झगड़े में जीता सदा विवेक ही,
कृति, आकृति, संस्कृति भाषा के वास्ते,
बने हुए हैं मिलते-जुलते रास्ते।

शब्दार्थ :
सर्जन = रचनात्मक, रचना; मंगल-वेला = पावन समय; धूमकेतु = पुच्छल तारा,लक्षणा के अर्थ में अलगाववादी शक्तियाँ; पावन = पवित्र; उत्सुकता = जिज्ञासा; देशज = पड़ोसी देश, देश से उत्पन्न; विवेक = ज्ञान।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
भारत अनेकता में एकता का देश है। कवि ने स्वतंत्रता के उपरान्त की पावन बेला का वर्णन इस पद में किया है।

व्याख्या :
कवि कहता कि भारत में स्वतंत्रता के बाद नव निर्माण की पावन बेला है। इस अवसर में कुछ विभाजक शक्तियाँ भी कार्य कर रही हैं। जिस प्रकार आकाश में धूमकेतु तारा होता है। उसी प्रकार, हमारे देश में विभाजक शक्तियाँ इसको तोड़ने का कार्य कर रही हैं। हमारी पीढ़ी के मन में स्वतंत्र भारत के बारे में अनेक जिज्ञासाएँ थीं। उनकी जिज्ञासाओं के विषय में भली-भाँति सोचें। मेरे पड़ोसी राष्ट्र तुम तो भारत से ही जन्मे हो। अतः तुम्हें भी भारत के जय-जयकार के नारे लगाने चाहिए। भारत में विभिन्न भाषा-भाषी,संस्कृतियों,रूप-रंग,छोटे-बड़े लोग निवास करते हैं। भारत अनेकता में एकता का देश है। इसके बाद भी हम सभी एक हैं। भारतीय हैं। देश की स्वतंत्रता को बनाये रखना ही सबका उद्देश्य है।

काव्य सौन्दर्य :

1. भाषा-तत्सम शब्दों से युक्त।
2. भारतीय संस्कृति की विशेषता अनेकता में एकता का उल्लेख कवि ने किया है।
3. लक्षण प्रधान तथा गेय शैली।
4. अलंकारों का स्वाभाविक प्रयोग कवि ने किया है।

4. आस्थाओं की टकराहट से लाभ क्या?
मंजिल को हम देंगे भला जवाब क्या?
हम टूटे तो टूटेगा यह देश भी,
मैला वैचारिक परिवेश भी,
सर्जन-रत हो आजादी के दिन जियो,
श्रमकर्ताओ, रचनाकारो, साथियो।
शांति और संस्कृति की जो बहती-स्वाधीन जाह्नवी
कोई रोके, बलिदानी रंग घोल दो,
रक्त चरित्रो ! भारत की जय बोल दो।

शब्दार्थ :
आस्था = विश्वास; टकराहट = लड़ाई, मतभेद; मंजिल = उद्देश्य, भावी पीढ़ी; जवाब = उत्तर; मैला = गंदा, मतभेद; परिवेश = वातावरण; सर्जन-रत = निर्माण कार्य में लीन; श्रमकर्ताओ = मजदूरो; रचनाकारो = साहित्यकारो; जाह्नवी = गंगा; स्वाधीन = स्वतंत्र; रक्त-चरित्रो = भारत माँ के लाल ।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
वीरेन्द्र मिश्र यद्यपि संघर्षों के कवि हैं फिर भी इस पद्यांश में कवि ने शान्ति, सुख तथा समृद्धि की कामना की है।

व्याख्या :
कवि कहते हैं कि आपसी परम्पराओं, रीति-रिवाजों के टकराने से कोई लाभ नहीं है। ये सभी लोगों की अपनी आस्था के केन्द्र हैं। यदि हम भारतीय आपस में लडते रहे तो भावी पीढ़ी को हम क्या कोई जवाब दे पायेंगे? यदि हम बँटेंगे तो निश्चित रूप से यह देश भी बँट जाएगा, कमजोर होगा। लोगों में आपस में विभिन्न मतभेद हैं। अतः विचारों में संकीर्णता है। इस संकीर्णता को समाप्त करने की आवश्यकता है। रचनात्मक कार्य करते हुए हम स्वाधीन भारत में जियें। स्वाधीन भारत में जीवन-यापन करें। मजदूरो, साहित्यकारो, विभिन्न निर्माण कार्य में लगे लोगो देश हित में लगातार कार्य करते रहो। हम शान्ति तो स्थापित करें, किन्तु शान्ति और संस्कृति की पूर्ण वेग से बहती हुई स्वाधीनता की गंगा को कोई रोकने का प्रयास करे तो उसका मुकाबला हम अपना बलिदान करके दें। हे भारत के नवयुवको ! तुम सदैव भारत माँ की जय-जयकार करने को तैयार रहो।

काव्य सौन्दर्य :

1. मिश्रित शब्दावली मुक्त तत्सम शब्दों का प्रयोग किया है, जैसे-मंजिल,जवाब,परिवेश,शान्ति।
2. कवि ने आपसी मतभेदों को मिटाने का आह्वान किया है।
3. संगीतात्मकता तथा गेयता पायी जाती है।

MP Board Class 12th Hindi Solutions

MP Board Class 12th Hindi Swati Solutions पद्य महत्त्वपूर्ण वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय

प्रश्न 1.
मीरा वैरागिण हुई
(अ) राम के लिए
(ब) विष्णु के लिए
(स) कृष्ण के लिए
(द) ब्रह्मा के लिए।
उत्तर:
(स) कृष्ण के लिए

प्रश्न 2.
अक्रूर नन्द बाबा के यहाँ आए थे
(अ) बलदाऊ को लेने के लिए
(ब) ग्वालाओं को लेने के लिए
(स) नन्द बाबा को लेने के लिए
(द) कृष्ण को लेने के लिए।
उत्तर:
(द) कृष्ण को लेने के लिए।

प्रश्न 3.
संसार में विघ्नहर्ता देवता माने जाते हैं
(अ) हनुमान
(ब) गणेश
(स) सरस्वती
(द) शंकर।
उत्तर:
(ब) गणेश

प्रश्न 4.
पूरण पुराण और पुरुष पुराण हैं (2014)
(अ) राम
(ब) सरस्वती
(स) गणेश,
(द) शनि।
उत्तर:
(अ) राम

प्रश्न 5.
‘मैया कबहिं बढ़ेगी चोटी’ वाक्य कहा है
(अ) राम ने
(ब) बलदाऊ ने
(स) शिव ने
(द) कृष्ण ने।
उत्तर:
(द) कृष्ण ने।

प्रश्न 6.
माटी खाने की सुनकर यशोदा बाँह पकड़ कर लाई
(अ) बलदाऊ को
(ब) कृष्ण को
(स) गोपी को
(द) ग्वाला को।
उत्तर:
(ब) कृष्ण को

प्रश्न 7.
चिनगारी और ज्वाला बनना चाहते हैं
(अ) माता-पिता
(ब) देवर-देवरानी
(स) भाई-बहन
(द) सखा और सखी।
उत्तर:
(स) भाई-बहन

प्रश्न 8.
एक लहर और दूसरा नदी की धारा बनकर आये
(अ) गोप-गोपी
(ब) कृष्ण और गोपी
(स) राधा-कृष्ण
(द) भाई-बहन।
उत्तर:
(द) भाई-बहन।

प्रश्न 9.
तुम कौन-सी पाटी पढ़े हो लला कहा है
(अ) घनानन्द ने
(ब) मीराबाई ने
(स) सूरदास ने,
(द) मतिराम ने।
उत्तर:
(अ) घनानन्द ने

प्रश्न 10.
विश्वास में विष घोलने का काम किया था (2016)
(अ) सुजान
(ब) घनानंद
(स) रत्नाकर,
(द) गुमान।
उत्तर:
(अ) सुजान

प्रश्न 11.
कृष्ण की पत्री आने की बात सुनकर कृष्ण के घर आने लगीं
(अ) राधा
(ब) गोपियाँ
(स) ग्वालिने
(द) मथुरा की स्त्रियाँ।
उत्तर:
(ब) गोपियाँ

प्रश्न 12.
‘छावते कुटीर कहूँ रम्य जमुना कै तीर’ यह कहा है
(अ) कृष्ण ने
(ब) राधा ने
(स) उद्धव ने
(द) गोपी ने।
उत्तर:
(स) उद्धव ने

प्रश्न 13.
“नाव में जल भरने पर और घर में दाम बढ़ने पर दोनों हाथों से उलीचना चाहिए”, यह कथन है
(अ) तुलसीदास का
(ब) रहीम का
(स) बिहारी का
(द) कबीर का।
उत्तर:
(द) कबीर का।

प्रश्न 14.
“यह शरीर कच्चे घड़े के समान है कभी भी टूट सकता है, यह कहा है
(अ) कबीर ने
(ब) बिहारी ने
(स) घनानन्द ने
(द) दादू ने।
उत्तर:
(अ) कबीर ने

प्रश्न 15.
बिना गुणों के बढ़ाई पाकर कोई बड़ा नहीं बन सकता, यह विचार है
(अ) तुलसीदास
(ब) बिहारी
(स) दादू,
(द) वृन्द।
उत्तर:
(ब) बिहारी

प्रश्न 16.
कनागतों में सम्मान होता है
(अ) कोयल का
(ब) मोर का
(स) कौए का
(द) पपीहे का।
उत्तर:
(स) कौए का

प्रश्न 17.
‘बीती विभावरी जाग री’ के बाद की पंक्ति लिखिए
(अ) किसलय का आँचल डोल रहा
(ब) अम्बर पनघट में डुबो रही
(स) खगकुल सा बोल रहा
(द) अधरों में राग अमन्द पिए।
उत्तर:
(ब) अम्बर पनघट में डुबो रही

प्रश्न 18.
सुबह होने पर अब तक सोई है
(अ) स्त्री
(ब) गोपी
(स) मीरा
(द) अहिल्या।
उत्तर:
(अ) स्त्री

प्रश्न 19.
मंगल वर्षा के रचयिता हैं
(अ) सुमित्रानन्दन पंत
(ब) महादेवी वर्मा
(स) भवानी प्रसाद मिश्र
(द) निराला।
उत्तर:
(स) भवानी प्रसाद मिश्र

प्रश्न 20.
इन्द्रधनुष आकाश में दिखाई देता है (2012, 17)
(अ) बसन्त में
(ब) वर्षा ऋतु में
(स) हेमन्त में
(द) शरद में।
उत्तर:
(ब) वर्षा ऋतु में

प्रश्न 21.
वे आधुनिक युग के ऊर्जावान कवि हैं और रूढ़ियों को समाज से भस्म करना चाहते हैं
(अ) श्रीकृष्ण सरल
(ब) निराला
(स) बालकृष्ण शर्मा नवीन
(द) सुमित्रानन्द पन्त।
उत्तर:
(स) बालकृष्ण शर्मा नवीन

प्रश्न 22.
भूधरों की पंक्ति को फूंक से उड़ा देने में भाव है
(अ) आक्रोश प्रकट किया गया है
(ब) विनय की गई है,
(स) परामर्श दिया गया है
(द) दैन्य भाव है।
उत्तर:
(अ) आक्रोश प्रकट किया गया है

प्रश्न 23.
‘राष्ट्र की स्वाधीनता पर आँच न आने देना’ लिखा है
(अ) अरे तुम काल के भी काल हो में
(ब) उद्धव प्रसंग में
(स) राष्ट्र श्रृंगार में
(द) वर्षा ऋतु में।
उत्तर:
(स) राष्ट्र श्रृंगार में।

प्रश्न 24.
वह समय की हर शिला पर अपने चिह्न छोड़ देती है
(अ) कल्याणी
(ब) जवानी
(स) सुगन्ध
(द) वायु।
उत्तर:
(ब) जवानी

प्रश्न 25.
अजामिल जैसे पापी का जिक्र आया है
(अ) महत्ता में,
(ब) उद्धव प्रसंग में
(स) केवट प्रसंग में
(द) वर्षा ऋतु में।
उत्तर:
(स) केवट प्रसंग में

प्रश्न 26.
केवट ने चरण धोने की हठ की
(अ) राम के
(ब) जानकी के
(स) लक्ष्मण के
(द) किसी के नहीं।
उत्तर:
(अ) राम के

प्रश्न 27.
भारत की प्राचीनता की खोज की बात कही है
(अ) केवट प्रसंग में
(ब) महत्ता में
(स) मीरा के पद में
(द) वंदना में।
उत्तर:
(ब) महत्ता में

प्रश्न 28.
सुरलोक से भी सर्वथा उसका अधिक उत्सर्ग है
(अ) भारतवर्ष का
(ब) हिमालय का
(स) कश्मीर का
(द) हरिद्वार का।
उत्तर:
(अ) भारतवर्ष का

प्रश्न 29.
मालिन से फूल यह प्रार्थना करता है
(अ) मेरी सुगन्ध ले लो
(ब) कली को मत छुओ
(स) देखो मालिन मुझे न तोड़ो
(द) एक सुन्दर सा हार बनाओ।
उत्तर:
(स) देखो मालिन मुझे न तोड़ो

प्रश्न 30.
उसका हाथ उठते ही सुध-बुध खो देता है
(अ) पौधा
(ब) फूल
(स) तिनका
(द) कमल।
उत्तर:
(ब) फूल

प्रश्न 31.
विजय पथ पर बढ़ सिपाही विजय तेरी है सुनिश्चित, कहा है
(अ) शिवमंगल सिंह सुमन
(ब) विष्णुकान्त शास्त्री
(स) श्रीकृष्ण सरल
(द) जयशंकर प्रसाद।
उत्तर:
(ब) विष्णुकान्त शास्त्री

प्रश्न 32.
विघ्न-बाधाएँ सहम कर मार्ग छोड़ देंगी (2013, 15)
(अ) दुष्ट का
(ब) वृद्ध का
(स) नवयुवक का
(द) शिशु का।
उत्तर:
(स) नवयुवक का

प्रश्न 33.
‘बसन्त गीत’ प्रकृति चित्रण है
(अ) महादेवी वर्मा का
(ब) निराला का
(स) मुक्तिबोध का
(द) प्रसाद का।
उत्तर:
(ब) निराला का

प्रश्न 34.
निराला ने लिखी है
(अ) हिमालय
(ब) ऋतुराज
(स) बढ़ सिपाही
(द) वसन बासन्ती लेगी।
उत्तर:
(द) वसन बासन्ती लेगी।

प्रश्न 35.
सूखी डाल पल्लव वसना बनेगी
(अ) बसन्त में
(ब) वर्षा ऋतु में
(स) शिशिर में
(द) ग्रीष्म में।
उत्तर:
(अ) बसन्त में

प्रश्न 36.
धरती को मानव तो बसंत को मानवता बताया है
(अ) निराला ने
(ब) महादेवी वर्मा ने
(स) श्रीकृष्ण ‘सरल’ ने
(द) मुक्तिबोध ने।
उत्तर:
(द) मुक्तिबोध ने।

प्रश्न 37.
नदी से ही जिनका आकार बनता है, वे हैं
(अ) नदी के द्वीप
(ब) नाव
(स) शहर और गाँव
(द) चट्टान।
उत्तर:
(अ) नदी के द्वीप

प्रश्न 38.
नदी के द्वीप रचना है
(अ) वीरेन्द्र मिश्र की
(ब) अज्ञेय की
(स) प्रसाद की
(द) मुक्तिबोध की।
उत्तर:
(ब) अज्ञेय की

प्रश्न 39.
‘साँडा-सकारे चंदा-सूरज करते जिसकी आरती’ पंक्ति ली गई है(अ) नदी के द्वीप,
(ब) वसन बांसती लेगी
(स) भारतमाता की जय बोल दो
(द) अमृत का घुट शक्ति के।
उत्तर:
(स) भारतमाता की जय बोल दो

प्रश्न 40.
शान्ति और संस्कृति की बहती स्वाधीन जाह्नवी
(अ) भारत की जय बोल दो
(ब) बलिदानी रंग घोल दो
(स) कोई गीत गाओ
(द) असावधान रहो।
उत्तर:
(ब) बलिदानी रंग घोल दो

प्रश्न 41.
लोकगीत ‘कजली’ है.
(अ) बसंत गीत
(ब) सावन गीत
(स) देवी गीत
(द) शादी गीत।
उत्तर:
(अ) बसंत गीत

रिक्त स्थानों की पूर्ति

1. मीराबाई ने ……………….. की आराधना की है। (2012)
2. कृष्ण को मथुरा ले जाने के लिए …………. आया था। (2009)
3. गणेश संसार की ………………. को दूर कर देते हैं।
4. …………. को सबसे पहले पूजा जाता है। (2009)
5. बलदाऊ …………. को चिढ़ा-चिढ़ाकर परेशान करते हैं। (2009)
6. बालक श्रीकृष्ण को सबसे ज्यादा शिकायत ……………….. से है। (2016)
7. बहन हरहराती गंगा बन जाये और भाई ………………. बन जाय।
8. कवि ने बहन को चिनगारी तथा भाई को ……………….. कहा है। (2015)
9. सुजान को प्रियतमा मानकर ………………. ने सम्बोधित किया है।
10. आनन्द के घन प्रान जीवन ………………… को कहा गया है।
11. उद्धव गोपियों को ज्ञान और ………………. सिखाने आये हैं।
12. हृदय में अनेक मनमोहन न बसाने का कथन ………………. ने कहा है।
13. तुम चिरन्तन अभयता के …………….” हो।
14. ‘अरे तुम हो काल के भी काल’ कविता ………………. द्वारा लिखित है।
15. तुम देश की स्वाधीनता पर …………….. आने न देना।
16. देश के निर्माण को ……………….. खाए जा रहा है।
17. आकाश में तारे रूपी ……………….. डूब रहे हैं।
18. आँखों में विहाग भरे ……………….. सो रही है।
19. वर्षा ऋतु में ………………… सज गये हैं।
20. ‘मंगल वर्षा’ ………………. द्वारा रचित है।
21. कबीर ने ………………… की संगति करने को कहा है। (2017)
22. “नाव में जल भरने पर और घर में दाम बढ़ने पर दोनों हाथों से उलीचना चाहिए।” यह कथा है …………” का। (2013)
23. पान की पीक होठों पर शोभा देती है और ………… नेत्रों में।
24. ईश्वर का काँटेदार डालियों पर ………… लगाना उसकी भूल है।
25. केवट के पास अपने परिवार के पालन करने का कोई और ……………. नहीं था।
26. केवट कठौते में ……………” का पवित्र जल भर लाया।
27. महाभारत का युद्ध भारत के लिए …………. के समान था।
28. आज जो हमसे विरक्त हैं,वे कल …………. होंगे।
29. जब जग मुझे तोड़ने आता मैं …………. रो देता।
30. फूल का हृदय ………….. के हृदय जैसा ही है।
31. “विजय पथ पर बढ़ सिपाही, विजय तेरी है सुनिश्चित,” कहा है …………। (2013)
32. काले …………. मस्त होकर युवाओं का आह्वान कर रहे हैं।
33. ‘बसन्त गीत’ ………….. की अनूठी रचना है।
34. कवि निराला ने पृथ्वी का आँचल …………. को कहा है। (2009)
35. धरती ने अपना धानी घूघट खोलकर अपना ज्वलन्त ………….. देख लिया।
36. ‘अमृत का घुट शक्ति के’ …………. की रचना है।
37. अज्ञेय के अनुसार समाज एक नदी है और व्यक्ति इस नदी में ………….. जैसा है।
38. द्वीप नदी के ……………… है। (2011)
39. मन्दिर,मस्जिद …………. ने इन्सान को कैद कर लिया है।
40. हम अनेकता में भी एकता रखते हैं और झगड़े को ……….. से सुलझाते हैं।
उत्तर:
1. कृष्ण
2. अक्रूर
3. विघ्न-बाधाओं
4. गणेश जी
5. श्रीकृष्ण
6. बलदाऊ
7. झेलम
8. ज्वाला
9. घनानन्द
10. सुजान ‘नेपाली’
11. योग
12. गोपियों
13. स्रोत
14. बालकृष्ण शर्मा ‘नवीन’
15. आँच
16. ध्वंश
17. घट
18. स्त्री
19. हिंडोले
20. भवानी प्रसाद मिश्र
21. साधु
22. कबीर
23. काजर
24. गुलाब
25. अवलम्बु
26. गंगाजू
27. मरण
28. अनुरक्त
29. हँस-हँस
30. मालिन
31. विष्णुकान्त शास्त्री ने
32. मेघ
33. निराला
34. सुनहरी धान,
35. बसन्त
36. मुक्तिबोध
37. द्वीप
38. पुत्र
39. गिरजे
40. विवेक।

सत्य/असत्य

1. मीरा कृष्ण को रिझाना चाहती हैं।
2. मीरा के प्रभु गिरधर नागर हैं।
3. बानी जगरानी की उदारता का कोई भी वर्णन कर सकता है।
4. श्रीराम पूर्ण ब्रह्म पुरुषोत्तम हैं। (2015)
5. गोपियों के मन में बलदाऊ बसे थे। (2011)
6. दाऊ ने कृष्ण से कहा कि उसे तो मोल लिया है।
7. बहन कराली क्रान्ति बने और भाई विकराल बने।
8. भाई प्रेम का पुतला है और बहन ममता की गोद है।
9. सनेह का मार्ग बड़ा टेढ़ा है।
10. पहले सुजान ने स्नेह से अपनाया फिर नेह को तोड़ दिया।
11. उद्धव के आने की खबर सुनकर गोपियाँ राधा के घर आने लगीं।
12. उद्धव की कहानी सुनकर सभी गोपियाँ प्रसन्न हुईं।
13. देह धरे का फल यही है कि परोपकार करे।
14. कबीर ने कहा है कि कुसंग का फल बुरा ही होता है।
15. सम्पत्ति रूपी जल के बढ़ने से मन रूपी कमल मुरझा जाता है।
16. नदी, कूप, सरोवर और बावड़ी यदि किसी की प्यास बुझा देते हैं, तो वे प्यासे के लिए सागर से महान हैं।
17. कवि जयशंकर प्रसाद ने बादल को पनघट कहा है। (2016)
18. लता रूपी स्त्री ने अपने फूलों की गगरी भरी नहीं है।
19. आसमान में बादलों के छाने से धरती हर्षित नहीं हुई।
20. खेत के बीच में खड़ी होकर किसानिन कजरी के गीत गा रही है।
21. तुम्हारे पास काल का धनुष और दिशाओं की डोरी है।
22. तनिक सा अवरोध तुम्हारा सब कुछ बिगाड़ सकता है।
23. हमें देश की स्वाधीनता यों ही मिल गई है।
24. सिंह की खेती किसी स्यार को खाने मत देना।
25. इस घाट से थोडी दर कमर तक पानी है वहाँ से गंगा पार कर लो।
26. केवट की स्नेह भरी वाणी सुनकर श्रीराम जानकी और लखन की ओर देखकर हँसे।
27. जो लोग हमको असभ्य या अशिक्षित बता रहे हैं, वे अज्ञ हैं या पक्षपात कर रहे हैं।
28. कल जो हमारी सभ्यता पर अज्ञानता के कारण हँसे थे वे आज हमारे अनुसन्धान से प्रसन्न
29. जगती के मधुवन में पुष्प और मालिन पुराने साथी हैं।
30. हम दोनों में यौवन और आकर्षण नहीं है।।
31. जो अपने धर्मपथ पर आगे आने वाली आपदाओं को तुच्छ मान कर आगे बढ़ते हैं विजय उनके चरणों में लोटती है।
32. कवि युवक को एक पग भी पीछे न हटाने के लिए शपथ दे रहा है।
33. बसन्त के आने पर वन प्रसन्न हो गया है।
34. मधुप वृन्द चारणों की भाँति गीत नहीं गा रहे हैं।
35. रूखी सी डाल बसन्त आगमन पर पल्लव वसना हो जाएगी।
36. पार्वती ने शिव को वर कर संसार को सुख नहीं दिया।
37. बसन्त में खिले लाल-लाल फूल मनुष्य के हृदय में क्रान्ति की ज्वाला के समान हैं।
38. ‘नदी के द्वीप’ रचना के कवि अज्ञेय हैं। (2009)
39. नदी के द्वीप नदी के पुत्र की तरह होते हैं। (2013)
40. कवि ने द्वीप को पर्वत का पुत्र कहा है। (2017)
41. परिवर्तन में मन ढालना और हर पर्वत से भागीरथी निकालना सरल है।
उत्तर:
1. सत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. सत्य
8. सत्य
9. असत्य
10. सत्य
11. असत्य
12. असत्य
13. सत्य
14. सत्य
15. असत्य
16. सत्य
17. असत्य
18. असत्य
19. असत्य
20. सत्य
21. सत्य
22. असत्य
23. असत्य
24. सत्य
25. सत्य
26. सत्य
27. सत्य
28. असत्य
29. सत्य
30. असत्य
31. सत्य
32. सत्य
33. सत्य
34. असत्य
35. सत्य,
36. असत्य,
37. सत्य
38. सत्य
39. सत्य
40. असत्य
41. असत्य।

जोड़ी मिलाइए

I.

उत्तर:
(1) → (स)
(2) → (द)
(3) → (इ)
(4) → (ब)
(5) → (अ)

II.

उत्तर:
(1) → (स)
(2) → (इ)
(3) → (अ)
(4) → (ब)
(5) → (द)।

III.

उत्तर:
(1) → (स)
(2) → (द)
(3) → (अ)
(4) → (इ)
(5) → (ब)।

IV.

उत्तर:
(1) → (स)
(2) → (द)
(3) → (अ)
(4) → (ब)।

एक शब्द/वाक्य में उत्तर

प्रश्न 1.
मीरा की भक्ति किन भाव की है? (2014)
उत्तर:
दाम्पत्य (प्रेम) भाव की।

प्रश्न 2.
इस देह पर गर्व क्यों नहीं करना चाहिए? (2011)
उत्तर:
क्योंकि यह माटी में मिल जाती है।

प्रश्न 3.
गजमुख का मुख कौन देखता है? (2010, 15)
उत्तर:
दसमुख (रावण)।

प्रश्न 4.
कौन से ऐसे देव हैं जिन्हें विघ्नहर्ता कहा जाता है?
उत्तर:
गणेश।

प्रश्न 5.
सूरदास के इष्ट देव कौन हैं?
उत्तर:
श्रीकृष्ण।

प्रश्न 6.
बालकृष्ण ने जब यशोदा से बलदाऊ की शिकायत की, तो माँ उसे क्या समझाती
उत्तर:
बलभद्र तो जन्म से ही धूर्त है।

प्रश्न 7.
गोपालसिंह नेपाली ने भाई-बहन के बीच के प्रेम को किसके परिवेश में व्यक्त किया है?
उत्तर:
राष्ट्रीय प्रेम के।

प्रश्न 8.
यदि बहन आँगन की ज्योति है, तो भाई कौन है?
उत्तर:
घर का पहरेवाला।

प्रश्न 9.
घनानन्द के अनुसार सनेह का मार्ग कैसा है? (2013)
उत्तर:
सीधा व सरल।

प्रश्न 10.
‘घनानन्द के पद’ कविता में कवि ने कौन से रस का वर्णन किया है?
उत्तर:
वियोग श्रृंगार का।

प्रश्न 11.
विश्वास में विष घोलने का कार्य किसने किया है? (2009, 17)
उत्तर:
सुजान ने।

प्रश्न 12.
नन्द के घर में गोपियाँ क्या खबर पाकर एकत्रित हुई?
उत्तर:
उद्धव के आगमन की।

प्रश्न 13.
मथुरा से योग सिखाने कौन आया था? (2016)
उत्तर:
उद्धव।

प्रश्न 14.
कबीरदास जी ने किसकी संगति को अच्छा बताया है? (2009)
उत्तर:
साधु (सज्जन) पुरुष की।

प्रश्न 15.
नींव के पत्थर (शहीद) तुम्हें क्या शपथ दे रहे हैं?
उत्तर:
धरोहर की रक्षा करना।

प्रश्न 16.
नाश को निर्माण के पथ पर मोड़ते हुए जवानी क्या करती है?
उत्तर:
समय की शिला पर पदचिह्न छोड़ती है।

प्रश्न 17.
बीती विभावरी से क्या तात्पर्य है?
उत्तर:
प्रभात हो गया है।

प्रश्न 18.
प्रसाद जी ने पनघट किसे कहा है? (2009, 11)
उत्तर:
आसमान को।

प्रश्न 19.
वर्षा ऋतु के आने पर धरती कैसी हो जाती है?
उत्तर:
हरी-भरी और प्रसन्न।

प्रश्न 20.
वर्षा के शुभ दिन कवि को कैसे लगते हैं?
उत्तर:
किसी जन्म के पुण्य जैसे।

प्रश्न 21.
स्वाति नक्षत्र की बूंद कदली, सीप और भुजंग के मुख में गिरने पर क्या-क्या रूप ग्रहण करती है?
उत्तर:
क्रमशः कपूर, मोती और विष।

प्रश्न 22.
बालकृष्ण शर्मा ‘नवीन’ ने स्वाधीनता की रक्षा के लिए किसका आह्वान किया (2009)
उत्तर:
देश के युवकों का।

प्रश्न 23.
आदर देकर कौए को कब बुलाते हैं?
उत्तर:
कनागतों में।

प्रश्न 24.
नर की और नल नीर की कौन-सी गति समान है?
उत्तर:
जितना नीचा होकर चलेगा उतना ही ऊँचा माना जाएगा।

प्रश्न 25.
केवट की हार्दिक अभिलाषा क्या थी?
उत्तर:
श्रीराम के चरण धोकर पीने की।

प्रश्न 26.
देवगण प्रेम से किसके भाग्य की सराहना करते हैं?
उत्तर:
केवट के।

प्रश्न 27.
प्राचीनता की खोज होने से क्या होगा?
उत्तर:
हमारी उच्चता का ज्ञान होगा।

प्रश्न 28.
विद्या प्राप्ति के लिए कौन से देश भारत में लगातार आते रहे?
उत्तर:
सभी देश।

प्रश्न 29.
मालिन से पुष्प क्या कहता है?
उत्तर:
उसे न तोड़ने के लिए कहता है।

प्रश्न 30.
मालिन के हाथ उठाने पर पुष्प पर क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर:
वह सुधि-बुधि खो देता है।

प्रश्न 31.
विश्व किसके सामने झुकता है?
उत्तर:
जो अभय हो जय गीत गाते हैं।

प्रश्न 32.
कौन लोग गौरवोज्ज्वल त्यागमय इतिहास बनाते हैं?
उत्तर:
जो वीर विजय में विश्वास रखते हैं।

प्रश्न 33.
बसन्त कौन-सा भाव लेकर आता है?
उत्तर:
प्रसन्नता और उत्कर्ष।

प्रश्न 34.
शैलसुता को अपर्णा क्यों कहते हैं?
उत्तर:
उन्होंने पत्ते खाना भी छोड़ दिया था।

प्रश्न 35.
किसकी तपस्या के फलस्वरूप उसे बसन्त रूपी शिव से विवाह करने का अवसर मिलता है?.
उत्तर:
सूखी डाली रूपी पार्वती की।

प्रश्न 36.
बसन्त में खिले लाल-लाल फूल किसके प्रतिरूप दिखाई देते हैं?
उत्तर:
हृदय में जलती क्रान्ति रूपी ज्वाला के।

प्रश्न 37.
‘नदी के द्वीप’ कविता में कवि ने किसके महत्व को स्वीकार किया है?
उत्तर:
व्यक्ति के।

प्रश्न 38.
व्यक्ति अपने व्यक्तित्व की रक्षा के साथ-साथ किस बात का ध्यान रखे?
उत्तर:
समाज की उपेक्षा न होने पाये।

प्रश्न 39.
‘भारतमाता की जय बोल दो’ कविता में किसका वर्णन किया गया है?
उत्तर:
भारतमाता के वैभव का।

प्रश्न 40.
आस्थाओं की टकराहट से क्या हानि होगी?
उत्तर:
देश टूटेगा।

MP Board Class 12th Hindi Solutions