Class 7

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.4

प्रश्न 1.
∆ ABC की रचना कीजिए, जब m∠A= 60°, m∠B = 30° और AB = 5.8 cm दिया है।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार AB = 5.8 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. AB के बिन्दु A और B पर क्रमश: 60° और 30° के कोण अन्तरित करती हुई दो किरणें AX और BY खींची, जो परस्पर बिन्दु C पर काटती हैं।

अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
∆ PQR की रचना कीजिए, यदि PQ = 5 cm, m ∠PQR = 105° और m ∠QRP = 40° दिया है।
(संकेत : त्रिभुज के कोण योग गुण को याद कीजिए।)
हल:
∆ POR बनाने के लिए पहले m∠P ज्ञात करते हैं।
∵ m∠P + m∠Q + m∠R = 180°
∴ m∠P + 105° + 40° = 180°
या m∠P = 180° – (105° + 40°) = 35°

रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार PQ = 5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
2. PQ के बिन्दु P और Q पर क्रमशः 350 और 105° के कोण अन्तरित करती हुई दो किरणें PM और OY खीर्ची जो परस्पर R पर काटती हैं।

अतः प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि आप ∆ DEF की रचना कर सकते हैं या नहीं, यदि EF = 7.2 cm, m∠E = 110° और m∠F = 80° है। अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
यहाँ, m∠E = 110°, m∠F = 80°
अर्थात m∠E + m∠F = 1100 + 80° = 190° > 180°
चूँकि त्रिभुज के तीनों अन्त:कोणों का योग 180° होता है।
अत: ∆ DEF की रचना नहीं की जा सकती है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 220

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.2

प्रश्न 1.
निम्न में प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

हल:
(a) यहाँ, आधार (b) = 7 cm, ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (7 × 4) cm² = 28 cm

(b) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 3 cm.
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= b × h = (5 × 3) cm² = 15 cm²

(c) यहाँ, आधार (b) = 2.5 cm, ऊँचाई (h) = 3.5 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (2.5 × 3.5) cm² = 8.75 cm²

(d) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 4.8 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (5 × 4.8) cm² = 24 cm²

(e) यहाँ, आधार (b) = 2 cm, ऊँचाई (h) = 4.4 cm
∴ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = b × h
= (2 × 4.4) cm² = 8.8 cm²

प्रश्न 2.
निम्न में से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

हल:
(a) यहाँ, आधार (b) = 4 cm, ऊँचाई (h) = 3 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= (\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 4 × 3) cm²
= 6 cm²

(b) यहाँ, आधार (b) = 5 cm, ऊँचाई (h) = 3.2 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= (\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 5 × 32) cm²
= 8 cm²

(c) यहाँ, आधार (b) = 3 cm, ऊँचाई (h) = 4 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= (\(\frac { 1 }{ 2 } \) × 3 × 4 ) cm²
= 6 cm²

(d) यहाँ, आधार (b) = 3 cm, ऊँचाई (h) = 2 cm
∴ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × b × h
= ( \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 3 × 2) cm²
= 3 cm²

प्रश्न 3.
रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों का मान ज्ञात कीजिए :
हल:
चूँकि हम जानते हैं कि
त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई

प्रश्न 5.
PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है (संलग्न चित्र 11.17)| QM शीर्ष Q से SR तक की ऊँचाई तथा QN शीर्ष Q से PS तक की ऊँचाई है। यदि SR = 12 cm और QM = 7.6 cm, तो ज्ञात कीजिए :
(a) समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल
(b) ON यदि, PS = 8 cm

हल:
(a) यहाँ, आधार SR = 12 cm,
संगत ऊँचाई QM = 7.6 cm
समान्तर चतुर्भुज PQRS का क्षेत्रफल = b × h
= SR × QM
= (12 × 7.6) cm²
= 91.2 cm²

(b) अब, समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 91.2 cm², आधार (PS) = 8 cm
माना कि संगत ऊँचाई (QN) = h cm
b × h = 91.2
या 8 × h = 91.2
या h = \(\frac { 91.2 }{ 8 } \) = 11.4 cm
∴ QN = 11.4 cm

प्रश्न 6.
DL और BM समान्तर चतुर्भुज ABCD की क्रमशः भुजाएँ AB और AD पर लम्ब हैं(संलग्न चित्र 11.18)। यदि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1470 cm² है, AB = 35 cm, और AD = 49 cm है, तो BM तथा DL की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ, समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= 1470 cm²
आधार AB = 35 cm,
∵ समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई = AB × DL
∴ 35 × DL = 1470
या DL = \(\frac { 1470 }{ 35 } \) = 42 cm
पुनः समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= AD × BM
∴ 49 × BM = 1470
या BM = \(\frac { 1470 }{ 49 } \) = 30 cm

प्रश्न 7.
त्रिभुज ABC, A पर समकोण है (संलग्न चित्र 11.19),और AD भुजा BC पर लम्ब है। यदि AB = 5cm, BC = 13 cm और AC = 12 cm है, तो ∆ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। AD की लम्बाई भी ज्ञात कीजिए।

हल:
यहाँ, AB = 5 cm, BC = 13 cm, AC = 12 cm
∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) AB × AC
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 5 × 12 cm²
= 30 cm²
पुन: ∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) BC × AD
∴ 30 = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 13 × AD
या AD = \(\frac{30 \times 2}{13}=\frac{60}{13}\) cm

प्रश्न 8.
∆ ABC समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें AB = AC = 7.5 cm और BC = 9 cm है (संलग्न चित्र 11.20)। 4 से BC तक की ऊँचाई AD, 6 cm है। ∆ ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। C से AB तक की ऊँचाई, अर्थात् CE क्या होगी?

हल:
यहाँ, आधार BC = 9 cm,
संगत ऊँचाई AD = 6 cm
∴ ∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × BC × AD
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 9 × 6 cm²
= 27 cm²
पुन: ∆ ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × AB × CE
= 27 cm²
या \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 7.5 × CE = 27
या CE = \(\frac{27 \times 2}{7 \cdot 5}\) = 7.2 cm

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 236

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
संलग्न चित्र 11.21 में
(a) किस वर्ग का परिमाप अधिक है ?
(b) कौन-सा अधिक है; छोटे वर्ग का परिमाप या वृत्त की परिधि?

हल:
(a) बाहरी वर्ग का परिमाप अधिक है।
(b) छोटे वर्ग के परिमाप से वृत्त की परिधि अधिक है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
एक चौथाई प्लेट तथा एक अर्द्ध प्लेट लीजिए। प्रत्येक को टेबल की ऊपरी सतह पर एक बार घुमाइए। कौन-सी प्लेट एक पूरे चक्कर में अधिक दूरी तय करती है? कौन-सी प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लम्बाई को पूरा करेगी?

हल:
एक पूरे चक्कर में अर्द्ध प्लेट अधिक दूरी तय करेगी। एक चौथाई प्लेट की अपेक्षा अर्द्ध प्लेट कम चक्कर में टेबल की ऊपरी सतह की लम्बाई को पूरा करेगी।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 237

निम्न पर विचार कीजिए

एक किसान खेत के केन्द्र पर 7 m त्रिज्या वाली एक फूलों की क्यारी खोदता है। उसे खाद को खरीदने की आवश्यकता है। यदि 1 m² क्षेत्रफल के लिए 1 kg खाद की आवश्यकता हो, तो उसे कितने किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए?
हल:
यहाँ, फूलों की क्यारी की त्रिज्या r = 7 m
∵ क्यारी का क्षेत्रफल = πr²
∴ क्यारी का क्षेत्रफल = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 7 × 7 = 154 m²
∵ 1 वर्ग मीटर के लिए खाद चाहिए = 1 kg
∴ 154 वर्ग मीटर के लिए खाद चाहिए = 1 × 154
= 154 kg
अत: उसे 154 किलोग्राम खाद खरीदनी चाहिए।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 238

प्रश्न 1.
₹10 प्रति m² की दर से, 2 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार टेबल के ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय क्या होगा?
हल:
यहाँ, टेबल की त्रिज्या r = 2 m
वृत्ताकार टेबल की ऊपरी सतह का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 2 × 2 = \(\frac { 88 }{ 7 } \) m²
अत: ₹ 10 प्रति m² की दर से ऊपरी सतह पर पॉलिश कराने का व्यय
= ₹ 10 × \(\frac { 88 }{ 7 } \) = ₹ \(\frac { 880 }{ 7 } \)
= ₹ 125.71 (लगभग)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 239-240

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
ग्राफ पेपर पर अलग-अलग त्रिज्याओं के वृत्तों को बनाइए। वर्गों की संख्या को गिनकर क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। सूत्र का प्रयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। दोनों उत्तरों की तुलना कीजिए।
हल:
1 वर्ग सेमी के ग्राफ पर 2 सेमी तथा 3 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त खींचे।

दोनों वृत्तों के पूर्ण वर्ग को गिनने पर हमें क्रमश: 12 सेमी तथा 28 सेमी² क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
सूत्र का प्रयोग करने पर हमें उनका क्रमशः निम्न क्षेत्रफल प्राप्त होता है।
2 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (2)²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 4 = \(\frac { 88 }{ 7 } \) सेमी² = 12.57 सेमी²
3 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
= \(\frac { 22 }{ 7 } \) × (3)² = \(\frac { 22 }{ 7 } \) × 9
= \(\frac { 198 }{ 7 } \) सेमी² = 28.28 सेमी²
यहाँ हम देखते हैं कि दोनों क्षेत्रफलों के मान भिन्न-भिन्न प्राप्त होते हैं। हालांकि यह अन्तर बहुत कम है।

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 11 परिमाप और क्षेत्रफल Ex 11.1

प्रश्न 1.
एक आयताकार भूखण्ड की लम्बाई और चौड़ाई क्रमशः 500 m तथा 300 m है। ज्ञात कीजिए :
(i) भूखण्ड का क्षेत्रफल
(ii) भूखण्ड का मूल्य, यदि 1 m² का मूल्य ₹ 10,000
हल:
(i) भूखण्ड की लम्बाई, l = 500 m,
चौड़ाई b = 300 m
भूखण्ड का क्षेत्रफल = l × b
= 500 m × 300 m = 1,50,000 m²

(ii) भूखण्ड के 1 m² का मूल्य = ₹10,000
∴ भूखण्ड के 1,50,000 m² का मूल्य
= ₹ 10,000 × 1,50,000
= ₹ 1,50,00,00,000

प्रश्न 2.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका परिमाप 320 m है।
हल:
∵ वर्गाकार पार्क का परिमाप = 320 m
अर्थात् 4 × भुजा = 320 m
भुजा = \(\frac { 320 }{ 4 } \)m = 80m
वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = (भुजा)²
= 80 m × 80 m
= 6,400 m²

प्रश्न 3.
एक आयताकार भूखण्ड की चौड़ाई ज्ञात कीजिए यदि इसका क्षेत्रफल 440 m- और लम्बाई 22 m हो। इसका परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार भूखण्ड की लम्बाई = 22 m
माना कि भूखण्ड की चौड़ाई = b
∴ भूखण्ड का क्षेत्रफल = l × b = 22 × b
या 22 × b = 440
या b = \(\frac { 440 }{ 22 } \) = 20 m
अतः भूखण्ड की चौड़ाई = 20 m
परिमाप = 2(l + b)
= 2 × (22 + 20)
= 2 × 42 = 84 m

प्रश्न 4.
एक आयताकार शीट का परिमाप 100 cm है। यदि लम्बाई 35 cm हो, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए। क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयताकार शीट का परिमाप = 100 cm, लम्बाई = 35 cm, चौड़ाई b = ?
∴ 2(l + b) = 100 cm
या 2(35 + b) = 100 cm
या 35 + b = \(\frac { 100 }{ 2 } \) = 50 cm
b = 50 – 35 = 15 cm
∴ शीट की चौड़ाई = 15 cm
अब, क्षेत्रफल = l × b
∴ शीट का क्षेत्रफल = 35 × 15 = 525 cm²

प्रश्न 5.
एक वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल एक आयताकार पार्क के बराबर है। यदि वर्गाकार पार्क की एक भुजा 60 m हो और आयताकार पार्क की लम्बाई 90 m हो, तो आयताकार पार्क की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
हल:
वर्गाकार पार्क की भुजा = 60 m
आयताकार पार्क की लम्बाई = 90 m
∴ वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल = a² = 60 m × 60 m
= 3,600 m²
∵ आयताकार पार्क का क्षेत्रफल = वर्गाकार पार्क का क्षेत्रफल
∴ लम्बाई × चौड़ाई = 3,600 m²

प्रश्न 6.
एक तार आयत के आकार का है। इसकी लम्बाई 40 cm और चौड़ाई 22 cm है। यदि उसी तार को दुबारा मोड़कर एक वर्ग बनाया जाता है, तो प्रत्येक भुजा की माप क्या होगी? यह भी ज्ञात कीजिए कि किस आकार का क्षेत्रफल अधिक होगा?
हल:
लम्बाई l = 40 cm, चौड़ाई b = 22 m
परिमाप = 2(l + b)
= 2(40 + 22)
= 2 × 62 = 124cm
आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 40 × 22
= 880 cm²
∵ तार को मोड़कर वर्ग बनाया गया है।
∴ वर्ग का परिमाप – आयत का परिमाप
4 × a= 124 cm
या वर्ग की प्रत्येक भुजा की लम्बाई a = \(\frac { 124 }{ 4 } \) = 31 cm
वर्ग का क्षेत्रफल = (a)²
= 31 × 31
= 961 cm²
∵ 961 cm² > 880 cm²
∴ वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल से अधिक है।

प्रश्न 7.
एक आयत का परिमाप 130 cm है। यदि आयत की चौड़ाई 30 cm हो, तो आयत की लाबाई ज्ञात कीजिए। आयत का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
आयत का परिमाप = 130 cm
आयत की चौड़ाई = 30 cm
∵ आयत का परिमाप = 2 × (l + b)
∴ 2(l + 30) = 130 cm
या l + 30 = \(\frac { 130 }{ 2 } \) = 65 cm
या आयत की लम्बाई l = 65 – 30 = 35 cm
∴ आयत का क्षेत्रफल = l × b
= 35 × 30 cm²
= 1,050 cm²

प्रश्न 8.
2 m लम्बाई और 1 m चौड़ाई वाले दरवाजे को एक दीवार में लगाया जाता है। दीवार की लम्बाई 4.50 m तथा चौड़ाई 3.6m है (चित्र 11.5)।₹ 20 प्रति m’ की दर से दीवार पर सफेदी (white wash) कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल:
दरवाजे की लम्बाई = 2 m, चौड़ाई = 1 m, दीवार की लम्बाई = 4.50 m, चौड़ाई = 3.6 m.
∴ दीवार का क्षेत्रफल = l × b
= 4.50 m × 3.6m
= 16.2 m²
दरवाजे का क्षेत्रफल = 2 m × 1 m = 2 m²
दीवार पर सफेदी वाला क्षेत्रफल
= दीवार का क्षेत्रफल – दरवाजे का क्षेत्रफल
= 16.2 m² – 2 m² = 14.2 m²
∴ सफेदी कराने का व्यय = ₹ 14.2 × 20
= ₹ 284

प्रश्न:
08 cm और 5 cm भुजाओं वाला एक आयत लीजिए। आयत को विकर्ण के अनुदिश ऐसा काटिए जिससे दो त्रिभुज प्राप्त हों (चित्र 11.6)।
एक त्रिभुज को दूसरे पर रखिए।

प्रश्न 1.
क्या ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं ?
उत्तर:
हाँ, ये दोनों पूर्णतया समान माप के हैं।

प्रश्न 2.
क्या आप कह सकते हैं कि दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है ?
उत्तर:
हाँ, दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 3.
क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम भी हैं ?
उत्तर:
हाँ, ये त्रिभुज सर्वांगसमता के SSS गुण के अनुसार सर्वांगसम है।

प्रश्न 4.
इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल कितना है ?
हल:
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आयत का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × (l × b) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 8 × 5 = 20 cm²
इनमें से प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल 20 cm² है।

प्रश्न:
अब एक 5 cm भुजा वाला वर्ग लीजिए और इसे 4 त्रिभुजों में बाँटिए जैसा कि आकृति में दिखाया गया है (चित्र 11.7)।

प्रश्न 1.
क्या चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है ?
उत्तर:
हाँ, चारों त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 2.
क्या वे एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं ?
उत्तर:
हाँ, वे एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है ?
हल:
प्रत्येक त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × वर्ग का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 4 } \) × 5 × 5
= \(\frac { 25 }{ 4 } \) = 6.25 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 226

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
आगे दिए गए सभी आयत जिसकी लम्बाई 6.cm और चौड़ाई 4 cm है, सर्वांगसम बहुभुज से मिलकर बने हैं। प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:
आयत की लम्बाई = 6 cm, चौड़ाई = 4 cm,
आयत सर्वांगसम बहुभुज बनाते हैं।
प्रत्येक दशा में बहुभुज का क्षेत्रफल
= आयत का क्षेत्रफल
= l × b = 6 × 4 = 24 cm²

(i) चूँकि आकृति में कुल छ: बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक बहुभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 24 }{ 6 } \) = 4 cm²

(ii) ∵ आकृति में कुल 4 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल = \(\frac { 24 }{ 6 } \) = 6 cm²

(iii) ∵ आकृति में 2 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल
= \(\frac { 24 }{ 2 } \) = 12 cm²

(iv) ∵ आकृति में कुल 2 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल
= \(\frac { 24 }{ 2 } \) = 12 cm²

(v) ∵ आकृति में कुल 8 बहुभुज हैं।
∴ प्रत्येक आकृति का क्षेत्रफल
= \(\frac { 24 }{ 8 } \) = 3 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 227-228

पाठ्या-पुस्तक में दिये गये समान्तर चतुर्भुजों के बारे में सोचिए।
आकृतियों द्वारा घेरे गए वर्गों की संख्या को गिनकर समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और भुजाओं को मापकर परिमाप भी ज्ञात कीजिए।
तालिका को पूरा कीजिए।
हल:
समान्तर चतुर्भुज की प्रत्येक आकृति में वर्गों की संख्या 15 है। इसलिए प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= 15 वर्ग इकाई

परिमाप निकालने के लिए प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज की भुजा AD को नापते हैं।
आकृति : (a) AD = 3.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(l + b) = 2(5 + 3.2) = 16.4 इकाई
(b) AD = 3.6 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.6) = 17.2 इकाई
(c) AD = 4.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 4.2) = 18.4 इकाई
(d) AD = 3.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.2) = 16.4 इकाई
(e) AD = 3.6 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 3.6)
= 17.2 इकाई
(f) AD = 4.2 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 4.2) = 18.4 इकाई
(g) AD =5 इकाई,
∴ परिमाप = 2(5 + 5) = 20 इकाई

तालिका

इकाई स्पष्ट है कि क्षेत्रफल सभी चतुर्भुजों का समान है, लेकिन परिमाप भिन्न हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 228

प्रश्न:
पाठ्य-पुस्तक में दिये गये 7 cm तथा 5 cm भुजाओं वाले समान्तर चतुर्भुजों को देखिए।
प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज का परिमाप तथा क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। अपने परिणाम का विश्लेषण कीजिए।
हल:

यहाँ, स्पष्ट है कि समान्तर चतुर्भुजों का क्षेत्रफल अलग-अलग है, लेकिन परिमाप समान हैं।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 229

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
निम्न समान्तर चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(iii) समान्तर चतुर्भुज ABCD में AB = 7.2 cm और C से AB पर लम्ब 4.5 cm है।
हल:
(i) आधार = 8 cm, ऊँचाई = 3.5 cm
∴ क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 8 cm × 3.5 cm = 28 cm²

(ii) आधार = 8 cm, ऊँचाई = 2.5 cm
∴ क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
=8 cm × 2.5 cm = 20 cm²

(iii) समान्तर चतुर्भुज का आधार AB = 7.2 cm
ऊँचाई = 4.5cm
क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई
= 7.2 cm × 4.5 cm
= 32.40 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 230

इन्हें कीजिए

प्रश्न 1.
ऊपर दिए गए क्रियाकलापों को अलग-अलग प्रकार के त्रिभुज लेकर कीजिए।
हल:
दिया है, ∆ABC हम दूसरा ∆ACD इस प्रकार लेते हैं कि समान्तर चतुर्भुज ABCD दिखाई दे, जैसा कि चित्र 11:11 में दिखाया गया है :

ऊपर की प्रत्येक आकृति में, ∆ABC के क्षेत्रफल का दो गुना समान्तर चतुर्भुज ABCD के क्षेत्रफल के बराबर है।
क्योंकि हम जानते हैं कि ∆ABC का क्षेत्रफल
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) (आधार × ऊँचाई)
तथा समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
= आधार × ऊँचाई होता है।

प्रश्न 2.
अलग-अलग प्रकार के समान्तर चतुर्भुज लीजिए। प्रत्येक समान्तर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में एक विकर्ण के अनुदिश काटिए। क्या ये त्रिभुज सर्वांगसम हैं ?
हल:
दिया है, ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है। प्रत्येक चतुर्भुज दो त्रिभुजों में विकर्ण AC अथवा BD के अनुदिश काटा, जैसा कि चित्र 11.12 में दिखाया गया है। ये त्रिभुज आपस में सर्वांगसम होंगे।

प्रश्न 3.
चित्र 11.13 में सभी त्रिभुज, आधार AB = 6 cm पर स्थित हैं। आधार AB पर प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?
क्या हम कह सकते हैं कि सभी त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है?

हल:
चित्र से स्पष्ट है कि प्रत्येक त्रिभुज की संगत ऊँचाई आधार AB पर बराबर है।
∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
अतः हम कह सकते हैं कि समान आधार और बराबर ऊँचाई के त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर है।

प्रश्न 4.
आधार 6 cm वाले एक अधिक कोण त्रिभुज (obtuse angled triangle) त्रिभुज ABC पर विचार करते हैं।
इसकी ऊँचाई AD शीर्ष A से DC पर लम्ब है जो त्रिभुज के बाह्य स्थित है।
क्या आप इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं ?

हल:
हाँ, इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
∆ABC का क्षेत्रफल = \(\frac { 1 }{ 2 } \) × आधार × ऊँचाई
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × BC × AD
= \(\frac { 1 }{ 2 } \) × 6 × 4 = 12 cm²

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 232-234

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Special English Letter and Application Writing

1. Write an application to your Headmaster or Principal requesting him to remit your absence fine.
To,
The Headmaster,
Govt. High School,
Agra City.

Sir,
Last Month I remained absent from school for five days. I fell ill. I gave my application to Raj, a student of class VI.
Raj forgot to give the application to my class teacher. So, I was fined. I am a poor boy. I cannot pay the fine.
Kindly remit my absence fine.

Thanks

Yours obediently,
Naveen Kumar,
Class Vi
Date : 14th Sept. 2005

2. Write an application to the Headmaster of your school requesting him to exempt you for payment of tuition fee.
To,
The Headmaster,
Govt. High School.
Jabalpur Cantt.

Sir,
Most respectfully, I beg to state that my father is so poor that he cannot pay my school fees. He has a large family of seven members to support. His income is Rs. 600-a month. It is very difficult for us to make both ends meet.

I am student of class VIB of your school. I got very good marks in all the subjects in the last examination. I am a good hockey player of junior team and also obedient to all the teachers. I am regular in my studies as well as in attendance.

I am sure you will kindly grant me full fee concession.

Yours faithfully,
X
Date : February 4, 2006

3. Write an application to your principal requesting him to grant you sick leave.
To
The Principal,
Govt. Inter College,
Gwalior.

Sir,
Most respectully, I beg to say that I have been suffering from fever since last night. I am unable to attend college.
Kindly grant me sick leave for five days.

Your obedient pupil,
Naveen Chandra,
Class W-A.
Date : March’ 10, 2006

4. Write a letter to your mother fillingabout your new school.
25, Model Town,
Indore
July 20, 2006

My dear Mother,
I am glad to write that I like new school very much. My class-fellows are very kind to me. My teachers are very gentle. They always help us in studies and games.

The building of the school is grand. The school has beautiful park. It has two big playgrounds. Kindly pay my respects to father.

Your Loving Son,
Arun.

5. Write a letter to your father telling him how you are going with your studies.
F-20, Nehru Nagar,
Gwalior
December 5, 2005

My dear fathers,

I got your letter yesterday. You have asked me about my studies, Dear father, I am working well. I get up early in the morning and study for many hours.

I got good marks in the half-yearly examination.

Kindly pay my respects to dear mother and love to dear Alok and Meghna.

Yours affectionately,
Geeta Sharma

6. Write a letter to your friend congratulating him or her on his or her success in the examination.
Patel Nagar,
Bhopal
June 15, 2005

My dear Usha,
Yesterday I got the news of your success in the High School Examination. My father brought this happy news.

You passed the examination in the first class. I congratulate you on your success. Pay my respects to your parents.

Yours sincerely,
Hem Lata.

7. Write a letter of sympathy to a friend who has failed in the examination. Prem Puri, Indore
June 15, 2005
My dear Santhosh,

I am very sorry to learn that you failed in the High School Examination. It was all due to your illness.

You should not lose heart. Please work hard. This year you will get got marks.I have great sympathy with you.

Please pay my respects to your parents.

Yours sincerely,
Girish

8. Write a letter to your friend inviting him or her to tea.
Sadar Bazar, Jabalpur
May 20, 2006

My dear Sheela,
You will be glad to know that my birthday falls on May 25, 2006 I am giving a grand tea party to my friends on that day.

I request you to reach my house at 3 p.m.

Yours sincerely,
Rangina.

9. Write a letter to a book-seller ordering him to send you some books.
116, Nai Basti,
Raipur.
July 20, 2006
To,
The Manager,
Kamal Prakashan,
New Delhi.

Dear Sir,
I request you to send me the following books as per V.P.P. The books must be in a good condition.

Please send them as early as possible.

1. A.B.C. Grammer for class VI 5 Copies
2. Hamara Samaj 5 Copies
3. English Guide for class VI 5 Copies

Yours faithfully,
Vidhya Sagar

MP Board Class 7th English Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.3

प्रश्न 1.
∆ DEF की रचना कीजिए, ताकि DE = 5 cm, DF = 3 cm और m ∠EDF = 90° हो।
हल:
रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार DE = 5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. DE के बिन्दु D पर 90° का कोण बनाते हुए एक किरण DX खींची तथा जिसमें से DF = 3 cm का रेखाखण्ड काटा।
3. F और E को मिलाया।

अतः प्राप्त ∆ DEF अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी प्रत्येक समान भुजा की लम्बाई 6.5 cm हो और उनके बीच का कोण 110° का हो।
हल:
रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार AB = 6.5 cm का रेखाखण्ड खींचा।
   
2. AB के बिन्दु B पर ∠ABX = 110° का कोण बनाते हुए एक किरण BX खींची।
3. रेखा BX में से BC = 6.5 cm काटकर रेखाखण्ड BC प्राप्त किया।
4. C और A को मिलाया। अतः प्राप्त ∆ABC अभीष्ट समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
BC = 7.5 cm,AC = 5 cm और m∠C = 60° वाले ∆ABC की रचना कीजिए।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार BC = 7.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
2. BC के बिन्दु C पर ∠BCX = 60° बनाते हुए एक किरण CX खींची।
3. किरण CX में से AC = 5 cm काटकर रेखाखण्ड AC प्राप्त किया।
4. A व B को मिलाया।

अतः प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 218

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
उपर्युक्त उदाहरण में, एक भुजा की लम्बाई और दो कोणों के माप दिए गए थे। अब निम्नलिखित समस्या का अध्ययन कीजिए:
∆ ABC में यदि AC = 7 cm, m∠A = 60° और m∠B = 50° है, तो क्या आप त्रिभुज की रचना कर सकते हैं ? (त्रिभुज का कोण योग गुण आपकी सहायता कर सकता है।)
हल:
यहाँ, हमें AC, ∠A तथा ∠B दिया हुआ है। त्रिभुज के कोण योग गुणं से तीसरा कोण ∠C ज्ञात करेंगे।
∴ m∠A + m∠B + m∠C = 180°
∴ 60° + 50° + m∠C = 180°
या m∠C = 180° – (60° + 50°) = 70°
इन मापों के आधार पर ∆ ABC की रचना की जा सकती है।

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.2

प्रश्न 1.
∆XYZ की रचना कीजिए, जिसमें XY = 4.5 cm, YZ = 5 cm और ZX= 6 cm है।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार YZ = 5 cm का रेखाखण्ड खींचा।
2. YZ के बिन्दु Y को केन्द्र मानकर व 4.5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया।
   
3. YZ के बिन्दु z को केन्द्र मानकर व 6 cm त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाया, जो पहले वाले चाप को x पर काटता है।
4. x को Y व z से मिलाकर XY और XZ रेखाखण्ड खींचे।

अतः प्राप्त ∆XYZ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 2.
5.5 cm भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज की रंचना कीजिए।
हल:
रचना के पद:

1. सर्वप्रथम आधार BC = 5.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. BC के बिन्दु B व C को केन्द्र मानकर 5.5 cm त्रिज्या लेकर दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु A पर काटते हैं।
3. A को B व C से मिलाकर क्रमश: AB व AC रेखाखण्ड प्राप्त किए।

प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
∆ PQR की रचना कीजिए, जिसमें PQ = 4cm, QR = 3.5 cm और PR = 4 cm है। यह किस प्रकार का त्रिभुज है ?
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार QR = 3.5 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
2. QR के बिन्दुव Q को क्रमशः केन्द्र मानकर व 4 cm की त्रिज्या लेकर दो चाप लगाए जो परस्पर बिन्दु P पर काटते हैं।
3. P को ए व R से मिलाकर क्रमशः PQ व PR रेखाखण्ड प्राप्त किए।

प्राप्त ∆ PQR अभीष्ट त्रिभुज है।
चूँकि PQ = PR = 4 cm
अतः ∆ PQR समद्विबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
∆ ABC की रचना कीजिए,ताकि AB = 2.5cm, BC = 6 cm और AC = 6.5 cm हो। ∠B को मापिए।
हल:
रचना के पद :

1. सर्वप्रथम आधार BC = 6 cm का एक रेखाखण्ड खींचा।
   
2. BC के बिन्दु B को केन्द्र मानकर व 2.5 cm की त्रिज्या लेकर एक चाप लगाया।
3. BC के बिन्दु C को केन्द्र मानकर व 6.5 cm की त्रिज्या लेकर एक और चाप लगाया, जो पहले चाप को बिन्दु A पर काटता है।
4. A को B व C से मिलाकर क्रमश: AB व AC रेखाखण्ड प्राप्त किए।

प्राप्त ∆ ABC अभीष्ट त्रिभुज है।
मापने पर, ∠B = 90°

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 217

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 10 प्रायोगिक ज्यामिती Ex 10.1

प्रश्न 1.
एक रेखा (मान लीजिए AB) खींचिए और इसके बाहर स्थित कोई बिन्दु C लीजिए। केवल पैमाना (रूलर) और परकार को प्रयोग करते हुए C से होकर AB के समान्तर एक रेखा खींचिए।
हल:
रचना के पद :

1. एक रेखा AB खींची और इसके बाहर एक बिन्दु C लिया।
   
2. रेखा AB पर एक बिन्दुलिया और CD को मिलाया।
3. D को केन्द्र मानकर और उचित त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो AB को E पर तथा CD को F पर काटता है।
4. C को केन्द्र मानकर और DE के बराबर त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो CD को G पर काटता है।
5. G को केन्द्र मानकर और EF त्रिज्या लेकर ऊपरी चाप बिन्दु H पर काटा।
6. CH को मिलाते हुए रेखा m खींची। इस प्रकार रेखा m अभीष्ट रेखा है जो m || AB है।

प्रश्न 2.
एक रेखा l खींचिए और l पर स्थित किसी बिन्दु पर l पर लम्ब खींचिए इस लम्ब रेखा पर एक बिन्दु x लीजिए जो l से 4 cm की दूरी पर हो। x से होकर l के समान्तर एक रेखा m खींचिए।
हल:

रचना के पद:

1. एक रेखा l खींची और इस पर एक बिन्दु A लिया।
2. A पर 90° का कोण बनाते हुए l पर लम्बवत् रेखा AN खींची।
3. AN पर कोई बिन्दु x लिया। AX = 4 cm
4. पर 90° का कोण बनाकर AN पर लम्ब खींचा।, m || l अभीष्ट रेखा है, जो x से होकर जाती है।

प्रश्न 3.
मान लीजिए l एक रेखा है और Pएक बिन्दु है: जो l पर स्थित नहीं है। Pसे होकर l के समान्तर एक रेखा m खींचिए। अब P को l के किसी बिन्दुए से जोड़िए। m पर कोई अन्य बिन्दु R चुनिए। R से होकर, PQ के समान्तर एक रेखा खींचिए। मान लीजिए यह रेखा l से बिन्दु पर मिलती है। समान्तर रेखाओं के इन दोनों युग्मों से क्या आकृति बनती
हल:
रचना के पद:

1. 1. एक रेखा l खींची और इसके बाहर कोई बिन्दु P लिया।
   2. रेखा l पर कोई बिन्दुए लिया और PQ को मिलाया।
   3. P से m || l खींची।
   4. रेखा m पर कोई बिन्दु R लिया।
   5.  R से RS || PQ इस प्रकार खींची कि यह l पर 5 से मिले।

∴ l || m अत: RP || SQ
साथ ही PQ || RS
∴ PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 214

सोचिए, चर्चा कीजिए एवं लिखिए

प्रश्न 1.
एक विद्यार्थी ने एक ऐसा त्रिभुज खींचने का प्रयत्न किया, जिसकी रफ आकृति यहाँ दी गई है। पहले उसने QR खींचा। फिर उसने 0 को केन्द्र मानकर और 3 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा तथा R को केन्द्र मानकर और 2 cm त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचा। परन्तु वह नहीं प्राप्त कर सका। इसका क्या कारण है ? इस प्रश्न से सम्बन्धित किसी गुण को आप जानते हैं ? क्या ऐसे त्रिभुज का अस्तित्व है? (त्रिभुज के इस गुण को याद कीजिए : किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग सदैव तीसरी भुजा से बड़ा होता है।) सोचिए क्या यह सही है ?

हल:
इन मापों से त्रिभुज बनना असम्भव है। क्योंकि त्रिभुज का बनना तभी सम्भव है जबकि त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा हो, परन्तु यहाँ 2 cm + 3 cm = 5cm < 6 cm

अत: ऐसे त्रिभुज का कोई अस्तित्व नहीं है।

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 215

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 9 परिमेय संख्याएँ Ex 9.2

प्रश्न 1.
योग ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac { 5 }{ 4 } \) + (\(\frac { -11 }{ 4 } \))
(ii) \(\frac { 5 }{ 3 } \) + \(\frac { 3 }{ 5 } \)
(iii) \(\frac { -9 }{ 10 } \) + \(\frac { 22 }{ 15 } \)
(iv) \(\frac { -3 }{ -11 } \) + \(\frac { 5 }{ 9 } \)
(v) \(\frac { -8 }{ 19 } \) + \(\frac { (-2) }{ 57 } \)
(vi) \(\frac { -2 }{ 3 } \) + 0
(vii) -2\(\frac { 1 }{ 3 } \) + 4\(\frac { 3 }{ 5 } \)
हल:
(i) \(\frac { 5 }{ 4 } \) + (\(\frac { -11 }{ 4 } \)) = \(\frac { 5+(-11) }{ 4 } \) = \(\frac { 5-11 }{ 4 } \)
= \(\frac { -6 }{ 4 } \) = \(\frac { -3 }{ 2 } \)

(ii) \(\frac { 5 }{ 3 } \) + \(\frac { 3 }{ 5 } \)
∵ 3 और 5 का ल. स. = 15
∴ \(\frac { 5 }{ 3 } \) + \(\frac { 3 }{ 5 } \) = \(\frac { 25+9 }{ 15 } \) = \(\frac { 34 }{ 15 } \)

(iii) \(\frac { -9 }{ 10 } \) + \(\frac { 22 }{ 15 } \)
∵ 10 और 15 का ल. स. = 30

प्रश्न 2.
ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac { 7 }{ 24 } \) – \(\frac { 17 }{ 36 } \)
(ii) \(\frac { 5 }{ 63 } \) – (\(\frac { -6 }{ 21 } \))
(iii) \(\frac { -6 }{ 13 } \) – (\(\frac { -7 }{ 15 } \))
(iv) \(\frac { -3 }{ 8 } \) – \(\frac { 7 }{ 11 } \)
(v) -2 \(\frac { 1 }{ 9 } \) – 6
हल:
(i) \(\frac { 7 }{ 24 } \) – \(\frac { 17 }{ 36 } \) = \(\frac{7 \times 3-17 \times 2}{72}=\frac{21-34}{72}\)
= – \(\frac { 13 }{ 72 } \)
(ii)

(iii)

(iv)

(v)

प्रश्न 3.
गुणनफल ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac { 9 }{ 2 } \) × (\(\frac { -7 }{ 4 } \))
(ii) \(\frac { 3 }{ 10 } \) × (-9)
(iii) \(\frac { -6 }{ 5 } \) × \(\frac { 9 }{ 11 } \)
(iv) \(\frac { 3 }{ 7 } \) × (\(\frac { -2 }{ 5 } \))
(v) \(\frac { 3 }{ 11 } \) × \(\frac { 2 }{ 5 } \)
(vi) \(\frac { 3 }{ -5 } \) × \(\frac { -5 }{ 3 } \)
हल:

प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए:
(i) (-4) ÷ \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { -3 }{ 5 } \) ÷ 2
(iii) \(\frac { -4 }{ 5 } \) ÷ (-3)
(iv) \(\frac { -1 }{ 8 } \) ÷ \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(v) \(\frac { -2 }{ 13 } \) ÷ \(\frac { 1 }{ 7 } \)
(vi) \(\frac { -7 }{ 12 } \) ÷ (\(\frac { -2 }{ 13 } \))
(vii) \(\frac { 3 }{ 13 } \) ÷ (\(\frac { -4 }{ 65 } \))
हल:
(i) (-4) ÷ \(\frac { 2 }{ 3 } \) = -4 × \(\frac { 3 }{ 2 } \)
= \(\frac { -12 }{ 2 } \) = -6

(ii) \(\frac { -3 }{ 5 } \) ÷ 2 = \(\frac { -3 }{ 5 } \) × \(\frac { 1 }{ 2 } \) = \(\frac { -3 }{ 10 } \)

(iii) \(\frac { -4 }{ 5 } \) ÷ (-3) = \(\frac { -4 }{ 5 } \) × \(\frac { 1 }{ -3 } \) = \(\frac { -4 }{ -15 } \) = \(\frac { 4 }{ 15 } \)

(iv) \(\frac { -1 }{ 8 } \) ÷ \(\frac { 3 }{ 4 } \) = \(\frac { -1 }{ 8 } \) × \(\frac { 4 }{ 3 } \) = \(\frac { -4 }{ 24 } \) = – \(\frac { 1 }{ 6 } \)

(v) \(\frac { -2 }{ 13 } \) ÷ \(\frac { 1 }{ 7 } \) = \(\frac { -2 }{ 13 } \) × \(\frac { 7 }{ 1 } \) = \(\frac { -14 }{ 13 } \)

(vi) \(\frac { -7 }{ 12 } \) ÷ (\(\frac { -2 }{ 13 } \)) = \(\frac { -7 }{ 12 } \) × \(\frac { 13 }{ -2 } \) = \(\frac { 91 }{ 24 } \)

(vii) \(\frac { 3 }{ 13 } \) ÷ (\(\frac { -4 }{ 65 } \)) = \(\frac { 3 }{ 13 } \) × \(\frac { 65 }{ -4 } \) = \(\frac{3 \times 5}{-4}\) = \(\frac { -5 }{ 4 } \)

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 9 परिमेय संख्याएँ Ex 9.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए :
(i) -1 और 0
(ii) -2 और -1
(iii) \(\frac { -4 }{ 5 } \) और \(\frac { -2 }{ 3 } \)
(iv) – \(\frac { 1 }{ 2 } \) और \(\frac { 2 }{ 3 } \)
हल:
(i) -1 और 0

अतः -1 और 0 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं :

(ii) -2 और -1

अत: -2 और -1 के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:

(iii) \(\frac { -4 }{ 5 } \) और \(\frac { -2 }{ 3 } \)

(iv) – \(\frac { 1 }{ 2 } \) और \(\frac { 2 }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रतिरूपों में से प्रत्येक में चार और परिमेय संख्याएँ लिखिए:
हल:

प्रश्न 3.
निम्नलिखित के समतुल्य चार परिमेय सख्याएँ लिखिए:
(i) \(\frac { -2 }{ 7 } \)
(ii) \(\frac { 5 }{ -3 } \)
(iii) \(\frac { 4 }{ 9 } \)
हल:

प्रश्न 4.
एक संख्या रेखा खींचिए और उस पर निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को निरूपित कीजिए :
(i) \(\frac { 3 }{ 4 } \)
(ii) \(\frac { -5 }{ 8 } \)
(iii) \(\frac { -7 }{ 4 } \)
(iv) \(\frac { 7 }{ 8 } \)
हल:

प्रश्न 5.
एक संख्या रेखा पर बिन्दु P, Q, R, S, T, U, IA और B इस प्रकार हैं कि TR = RS = SU तथा AP = PQ = QB हैं। P,Q,R और S से निरूपित परिमेय संख्याओं को लिखिए।

हल:
∵ AP = PQ = QB
साथ ही, 2 और 3 के बीच की दूरी को 3 बराबर भागों में बाँटा गया है, ∴ प्रत्येक \(\frac { 1 }{ 3 } \) होगा।
इसी प्रकार – 2 और – 1 के बीच की दूरी को 3 बराबर भागों में बाँटा गया है।
∴ P द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = 2 +\(\frac { 1 }{ 3 } \) = \(\frac { 7 }{ 3 } \)
Q द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = 2 + \(\frac { 2 }{ 3 } \) = \(\frac { 8 }{ 3 } \)
R द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = -1 – \(\frac { 1 }{ 3 } \) = \(\frac { -4 }{ 3 } \)
S द्वारा निरूपित परिमेय संख्या = -1 – \(\frac { 2 }{ 3 } \) = \(\frac { -5 }{ 3 } \)

प्रश्न 6.
निम्नलिखित में से कौन-से युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं ?

हल:


अतः स्पष्ट है कि (ii), (ii), (iv) और (v) युग्म एक ही परिमेय संख्या को निरूपित करते हैं।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को उनके सरलतम रूप में लिखिए :
(i) \(\frac { -8 }{ 6 } \)
(ii) \(\frac { 25 }{ 45 } \)
(iii) \(\frac { -44 }{ 72 } \)
(iv) \(\frac { -8 }{ 10 } \)
हल:

प्रश्न 8.
संकेतों >,< और = में से सही संकेत चुनकर रिक्त स्थानों को भरिए:

हल:
(i) यहाँ \(\frac { -5 }{ 7 } \) एक ऋणात्मक परिमेय संख्या है तथा \(\frac { 2 }{ 3 } \) एक धनात्मक परिमेय संख्या है। अतः \(\frac { -5 }{ 7 } \) [<] \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(ii) यहाँ 5 व 7 का ल. स. 35 है। अतः

(iii) चूँकि –\(\frac { 14 }{ -16 } \) का हर ऋणात्मक है। अतः

(iv) यहाँ 5 व 4 का ल. स. 20 है।

(v) चूँकि \(\frac { 1 }{ -3 } \) का हर ऋणात्मक है। अतः

(vi) चूंकि \(\frac { 5 }{ -11 } \) का हर ऋणात्मक है। अतः


(vii) चूँकि हम जानते हैं कि प्रत्येक ऋणात्मक परिमेय संख्या शून्य से छोटी होती है, अत: 0 [>] \(\frac { -7 }{ 6 } \)

प्रश्न 9.
निम्नलिखित में प्रत्येक में से कौन-सी संख्या बड़ी है ?
(i) \(\frac { 2 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 2 } \)
(ii) \(\frac { -5 }{ 6 } \),\(\frac { -4 }{ 3 } \)
(iii) \(\frac { -3 }{ 4 } \),\(\frac { 2 }{ -3 } \)
(iv) \(\frac { -1 }{ 4 } \),\(\frac { 1 }{ 4 } \)
(v) -3\(\frac { 2 }{ 7 } \), -3\(\frac { 4 }{ 5 } \)
हल:
(i) \(\frac { 2 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 2 } \)

(ii) \(\frac { -5 }{ 6 } \),\(\frac { -4 }{ 3 } \)

(iii) \(\frac { -3 }{ 4 } \),\(\frac { 2 }{ -3 } \)

(iv) \(\frac { -1 }{ 4 } \),\(\frac { 1 }{ 4 } \)
चूँकि हम जानते हैं कि प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या ऋणात्मक परिमेय संख्या से बड़ी होती है।

प्रश्न 10.
निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को आरोही क्रम में लिखिए :
(i) \(\frac { -3 }{ 5 } \),\(\frac { -2 }{ 5 } \),\(\frac { -1 }{ 5 } \)
(ii) \(\frac { -1 }{ 3 } \),\(\frac { -2 }{ 9 } \),\(\frac { -4 }{ 3 } \)
(iii) \(\frac { -3 }{ 7 } \),\(\frac { -3 }{ 2 } \),\(\frac { -3 }{ 4 } \)
हल:
(i) \(\frac { -3 }{ 5 } \),\(\frac { -2 }{ 5 } \),\(\frac { -1 }{ 5 } \)
∵ -3 < -2 < -1
∴ \(\frac { -3 }{ 5 } \) < \(\frac { -2 }{ 5 } \) < \(\frac { -1 }{ 5 } \)

(ii) \(\frac { -1 }{ 3 } \),\(\frac { -2 }{ 9 } \),\(\frac { -4 }{ 3 } \)
∵ 3 व 9 का ल. स. = 9

(iii) \(\frac { -3 }{ 7 } \),\(\frac { -3 }{ 2 } \),\(\frac { -3 }{ 4 } \)
∵ 7,2 व 4 का ल. स. = 28

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 201

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
(i) \(\frac { -13 }{ 7 } \) + \(\frac { 6 }{ 7 } \) तथा
(ii) \(\frac { 19 }{ 5 } \) + \(\frac { -7 }{ 5 } \) ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) \(\frac { -13 }{ 7 } \) + \(\frac { 6 }{ 7 } \) = \(\frac { -13+6 }{ 7 } \) = \(\frac { -7 }{ 7 } \) = -1
(ii) \(\frac { 19 }{ 5 } \) + \(\frac { -7 }{ 5 } \) = \(\frac { 19 }{ 5 } \) – \(\frac { 7 }{ 5 } \) = \(\frac { 19-7 }{ 5 } \) = \(\frac { 12 }{ 5 } \) = 2\(\frac { 2 }{ 5 } \)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 202

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac { -3 }{ 7 } \) + \(\frac { 2 }{ 3 } \)
(ii) \(\frac { -5 }{ 6 } \) + \(\frac { -3 }{ 11 } \)
हल:

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
\(\frac { -3 }{ 9 } \),\(\frac { -9 }{ 11 } \) और \(\frac { 5 }{ 7 } \) के योज्य प्रतिलोम क्या हैं ?
हल:
\(\frac { -3 }{ 9 } \) का योज्य प्रतिलोम – (\(\frac { -3 }{ 9 } \)) = \(\frac { 3 }{ 9 } \)
\(\frac { -9 }{ 11 } \) का योग्य प्रतिलोम = -(\(\frac { -9 }{ 11 } \)) = \(\frac { 9 }{ 11 } \)
और \(\frac { 5 }{ 7 } \) का योज्य प्रतिलोम -(\(\frac { 5 }{ 7 } \)) = \(\frac { -5 }{ 7 } \)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 203

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac { 7 }{ 9 } \) – \(\frac { 2 }{ 5 } \)
(ii) 2\(\frac { 1 }{ 5 } \) – \(\frac { (-1) }{ 3 } \)
हल:
(i) \(\frac { 7 }{ 9 } \) – \(\frac { 2 }{ 5 } \)

(ii) 2\(\frac { 1 }{ 5 } \) – \(\frac { (-1) }{ 3 } \)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 204

प्रश्न 1.
दोनों विधियों का प्रयोग करते हुए, = \(\frac { -4 }{ 7 } \) × 3
और \(\frac { -6 }{ 5 } \) × 4 को ज्ञात कीजिए। आप क्या देखते हैं ?
हल:

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के गुणनफल क्या होंगे?
(i) \(\frac { -3 }{ 5 } \) × 7
(ii) \(\frac { -6 }{ 5 } \) × (-2)
हल:
(i) \(\frac { -3 }{ 5 } \) × 7 \(=\frac{(-3) \times 7}{5}=\frac{-21}{5}\)
(ii) \(\frac { -6 }{ 5 } \) × (-2) \(=\frac{(-6) \times(-2)}{5}=\frac{12}{5}\)

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए :
(i) \(\frac { -3 }{ 4 } \) × \(\frac { 1 }{ 7 } \)
(ii) \(\frac { 2 }{ 3 } \) × \(\frac { -5 }{ 9 } \)
हल:
(i) \(\frac { -3 }{ 4 } \) × \(\frac { 1 }{ 7 } \) \(=\frac{-3 \times 1}{4 \times 7}=\frac{-3}{28}\)
(ii) \(\frac { 2 }{ 3 } \) × \(\frac { (-5) }{ 9 } \) \(=\frac{2 \times(-5)}{3 \times 9}=\frac{-10}{27}\)

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 205

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
\(\frac { -6 }{ 11 } \),\(\frac { -8 }{ 5 } \) के व्युत्क्रम क्या होंगे ?
हल:
\(\frac { -6 }{ 11 } \) का व्युत्क्रम = –\(\frac { 11 }{ 6 } \)
\(\frac { -8 }{ 5 } \) का व्युत्क्रम = \(\frac { -5 }{ 8 } \)

प्रश्न 2.
\(\frac { 2 }{ 3 } \) को \(\frac { -5 }{ 7 } \) से दोनों विधियों द्वारा भाग देकर देखिए कि क्या आप एक ही समान उत्तर प्राप्त करते है ?
हल :

दोनों विधियों से परिणाम समान आता है।

प्रयास कीजिए

प्रश्न 1.
ज्ञात कीजिए:
(i) \(\frac { 2 }{ 3 } \) × \(\frac { -7 }{ 8 } \)
(ii) \(\frac { -6 }{ 7 } \) × \(\frac { 5 }{ 7 } \)
हल:

पाठ्य-पुस्तक पृष्ठ संख्या # 206

MP Board Class 7th Maths Solutions

MP Board Class 7th Maths Solutions Chapter 8 राशियों की तुलना Ex 8.3

प्रश्न 1.
क्रय-विक्रय के निम्न सौदों में हानि या लाभ ज्ञात कीजिए। प्रत्येक दशा में प्रतिशत हानि या प्रतिशत लाभ भी ज्ञात कीजिए।
(a) बगीचे में काम आने वाली कैंची ₹ 250 में खरीदी तथा ₹ 325 में बेची गई।
(b) एक रेफ्रिजरेटर ₹ 12,000 में खरीदा गया और ₹13500 में बेचा गया।
(c) एक अलमारी ₹ 2500 में खरीदी गई और ₹ 3000 में बेची गई।
(d) एक स्कर्ट ₹250 में खरीदकर ₹150 में बेची गई।
हल:
(a) कैंची का क्रय मूल्य = ₹250,
विक्रय मूल्य = ₹325
∴ विक्रय > क्रय मूल्य
∴ लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
= ₹325 – ₹250 = ₹ 75

(b) क्रय मूल्य = ₹ 12000
विक्रय मूल्य = ₹ 13500
∴ विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य
∴ लाभ = विक्रय मूल्य-क्रय मूल्य
= ₹ 13,500 – ₹12,000
= ₹ 1,500

(c) क्रय मूल्य = ₹ 2500, विक्रय मूल्य = ₹ 3000
∴ विक्रय मूल्य > क्रय मूल्य
∴ लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
= ₹3000 – ₹2500
= ₹500

(d) क्रय मूल्य = ₹250, विक्रय मूल्य = ₹ 150
∴ विक्रय मूल्य < क्रय मूल्य
∴ हानि = क्रय मूल्य – विक्रय मूल्य
= ₹250 – ₹150
= ₹ 100

प्रश्न 2.
दिए गए प्रत्येक अनुपात के दोनों पदों को प्रतिशत में बदलिए:
(a) 3:1
(b) 2:3:5
(c) 1:4
(d) 1:2:5
हल:
(a) अनुपात = 3:1, कुल भाग = 3 + 1 = 4
अतः पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 4 } \) × 100% = 75%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 4 } \) × 100% = 25%

(b) अनुपात = 2:3:5, कुल भाग = 2 + 3 + 5 = 10
अत: पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 2 }{ 10 } \) × 100% = 20%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 3 }{ 10 } \) × 100% = 30%
तीसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 5 }{ 10 } \) × 100% = 50%

(c) अनुपात = 1:4, कुल भाग = 1 + 4 = 5
अत: पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 5 } \) × 100% = 20%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 4 }{ 5 } \) × 100% = 80%

(d) अनुपात = 1:2:5, कुल भाग = 1 + 2 + 5 = 8
अतः पहले भाग का प्रतिशत = \(\frac { 1 }{ 8 } \) × 100% = 12.5%
दूसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 2 }{ 8 } \) × 100% = 25%
तीसरे भाग का प्रतिशत = \(\frac { 5 }{ 8 } \) × 100% – 62.5%

प्रश्न 3.
एक नगर की जनसंख्या 25,000 से घटकर 24,500 रह गई। घटने का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।
हल:
नगर की जनसंख्या = 25,000
घटी हुई जनसंख्या = 24,500
जनसंख्या में कमी = 25,000 – 24,500 = 500

प्रश्न 4.
अरुण ने एक कार ₹3,50,000 में खरीदी। अगले वर्ष उसका मूल्य बढ़कर ₹3,70,000 हो गया। कार के मूल्य की प्रतिशत वृद्धि ज्ञात कीजिए।
हल:
कार का क्रय मूल्य = ₹3,50,000
कार का बढ़ा हुआ मूल्य = ₹ 3,70,000
कार के मूल्य में वृद्धि = ₹3,70,000 – ₹3,50,000
= ₹20,000
कार के मूल्य में प्रतिशत वृद्धि

प्रश्न 5.
मैंने एक टी.वी. ₹ 10,000 में खरीदकर 20 प्रतिशत लाभ पर बेच दिया। मुझे बेचने पर कितना धन प्राप्त हुआ ?
हल:
टी.वी. का क्रय मूल्य = ₹10,000,
लाभ प्रतिशत = 20%
लाभ = ₹ 10000 का 20%
= \(\frac { 20 }{ 100 } \) × 10,000 = ₹2,000
अब, विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य + लाभ
= ₹10,000 + ₹2,000
= ₹ 12,000

प्रश्न 6.
जूही एक वाशिंग मशीन ₹ 13,500 में बेचने पर 20 प्रतिशत की हानि उठाती है। उसने वह मशीन कितने में खरीदी थी?
हल:
वाशिंग मशीन का विक्रय मूल्य = ₹13,500
हानि = 20%, क्रय मूल्य = ?
अब, माना कि क्रय मूल्य = ₹x
हानि = ₹x का 20%
= \(\frac { 20 }{ 100 } \) × x% = \(\frac { x }{ 5 } \)%
क्रय मूल्य – हानि = विक्रय मूल्य
₹ x – \(\frac { x }{ 5 } \) = ₹ 13,500
₹ \(\frac { 4 }{ 5 } \) x = ₹ 13,500
∴ क्रय मूल्य x = \(\frac{13,500 \times 5}{4}\)
= ₹ 16,875

प्रश्न 7.
(1) चाक पाउडर में कैल्शियम, कार्बन तथा ऑक्सीजन का अनुपात 10:3:12 होता है। इसमें कार्बन की प्रतिशत मात्रा ज्ञात कीजिए।
(ii) पाक की एक छड़ी में यदि कार्बन की मात्रा 3 gm है, तब उसका कुल भार कितना होगा?
हल:
(i) चाक पाउडर में कैल्शियम, कार्बन तथा ऑक्सीजन : का अनुपात = 10:3:12
अनुपात का योग = 10 + 3 + 12 = 25
चाक पाउडर में कार्बन का % = \(\frac { 3 }{ 25 } \) × 100%
= 12%
(ii) माना कि चाक की छड़ी का भार = x ग्राम
अब, x का 12% = \(\frac { 12 }{ 100 } \) × x
∴ \(\frac { 12 }{ 100 } \) x = 3 gm
या x = \(\frac{3 \times 100}{12}\) = 25gm
अत: चाक की छड़ी का भार = 25 gm

प्रश्न 8.
अमीना एक पुस्तक ₹275 में खरीदकर उसे 15 प्रतिशत हानि पर बेचती है। पुस्तक का विक्रय मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
पुस्तक का क्रय मूल्य = ₹275, हानि = 15%
∴ हानि = ₹275 × \(\frac { 15 }{ 100 } \)
= ₹ \(\frac { 165 }{ 4 } \) = ₹ 41.25
अब, विक्रय मूल्य = क्रय मूल्य – हानि
= ₹ 275 – ₹41.25
= ₹ 233.75

प्रश्न 9.
प्रत्येक दशा में 3 वर्ष बाद कितना मिश्रधन देय होगा?
(a) मूलधन = ₹ 1,200, दर = 12%, वार्षिक
(b) मूलधन = ₹ 7,500, दर = 5% वार्षिक
हल:
(a) मूलधन (P) = ₹ 1,200, दर (R) = 12%, समय (T) = 3 वर्ष

अब, मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
= ₹ 1,200 + ₹432 = ₹ 1,632

(b) मूलधन (P) = ₹ 7,500, दर (R) = 5%, समय (T) = 3 वर्ष

अब, मिश्रधन = मूलधन + ब्याज
= ₹ 7,500 + ₹ 1,125
= ₹ 8,625

प्रश्न 10.
₹ 56,000 पर, 2 वर्ष पश्चात् किस दर से ₹ 280 साधारण ब्याज देय होगा ?
हल:
मूलधन (P) = ₹ 56000, समय (T) = 2 वर्ष, साधारण ब्याज = ₹ 280

प्रश्न 11.
मीना ने 9 प्रतिशत वार्षिक दर से, 1 वर्ष पश्चात् ₹ 45 ब्याज के रूप में दिए। उसने कितना धन उधार लिया था ?
हल:
दर (R) = 9% वार्षिक, समय (T) = 1 वर्ष, साधारण ब्याज = ₹45

अतः मीना ने ₹ 500 उधार लिए थे।

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