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MP Board Class 10th Hindi Vasanti Solutions Chapter 12 हँसिए और स्वस्थ रहिए (संकलित)

हँसिए और स्वस्थ रहिए पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर

हँसिए और स्वस्थ लघु-उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
हास्य से कौन-सा हार्मोन्स सावित होता है?
उत्तर
हास्य से कोरेलामिन्स हार्मोन्स होता है।

प्रश्न 2.
तनाव के कारण कौन-कौन से रोग उत्पन्न होते हैं?
उत्तर
तनाव के कारण उच्च रक्तचाप, सिरदर्द, पेप्टिक अल्सर, हृदय रोग आदि उत्पन्न होते हैं।

प्रश्न 3.
देर तक हँसते रहने से मनुष्य का चेहरा लाल क्यों हो जाता है?
उत्तर
देर तक हँसते रहने से रक्तवाहिनी नलिकाओं पर रक्त हृदय तक पहुँचने से मार्ग में कई जगह रुकता है। इसलिए देर तक हँसते रहने से मनुष्य का चेहरा लाल हो जाता है।

प्रश्न 4.
डॉ. कटारिया ने कितने प्रकार के हास्य-व्यायाम ईजाद किए हैं?
उत्तर
डॉ. कटारिया ने लगभग 30 प्रकार के हास्य व्यायाम ईजाद किए हैं।

प्रश्न 5.
दीर्घ जीवन के मुख्य सूत्र क्या हैं?
उत्तर
मुस्कराना, हँसना, खिलखिलाकर ठहाके लगाना, शारीरिक स्वास्थ्य एवं दीर्घायु जीवन का स्वर्णिम सूत्र हैं।

प्रश्न 6.
मुक्त हास्य से क्या-क्या लाभ हैं?
उत्तर
मुक्त हास्य से अनेक लाभ हैं। इससे परस्पर निकटता आती है। आत्मीयता के बंधन प्रगाढ़ बनते हैं और तनावों से मक्ति मिल जाती है।

हँसिए और स्वस्थ रहिए दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
अति व्यस्तता ने मानव-जीवन को किस प्रकार प्रभावित किया है?
उत्तर
खिलखिलाहटों की खनकती गूंज इन दिनों कहीं खो-सी गई है। कृत्रिम सभ्यता ने मनुष्य की नींद व चैन हराम करके रख दिया है। अपनी अस्त-व्यस्तता में उसे किसी चीज के लिए फुरसत नहीं है। अगर फुरसत मिलती भी है, तो सिर्फ तनाव, चिंता एवं उद्विग्नता के लिए इसकी परिणति यह है कि शरीर भाँति-भाँति के रोगों से ग्रसित और मन तरह-तरह के शारीरिक विकारों से व्यथित है।

प्रश्न 2.
हँसी का स्वास्थ्य पर क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर
हँसी का स्वास्थ्य पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ता है। इससे चेहरे की काँति बढ़ती है। शरीर का संतुलन ठीक होता है साथ ही पित्त का शमन होता है जो कि एसिडिटी का प्रमुख कारण है। इस तरह ठहाकों भरी हँसी से अस्त रोग का स्वयमेव खात्मा हो जाता है।

प्रश्न 3.
प्रसन्न व्यक्ति की ओर लोग क्यों आकर्षित होते हैं?
उत्तर
प्रसन्नचित्त व्यक्ति को देखकर लोग प्रसन्न होते हैं, उसकी ओर आकर्षित होते हैं, उसकी मैत्री प्राप्त करना चाहते हैं। प्रसन्नता एक आध्यात्मिक वृत्ति है, एक दैवी चेतना है। इसका आश्रय ग्रहण करने वाले के सारे शोक-संताप भाग जाते हैं। प्रमुदित मन और प्रसन्नचित्त व्यक्ति के पास बैठकर लोग अपना दुःख-दर्द भूल जाते हैं, सुख और सन्तोष का अनुभव करते हैं। मुदितात्मा व्यक्ति देवदूत होता है, संसार का कलुष दूर करने वाला होता है।

प्रश्न 4.
‘खिलता मानव-जीवन का भीषण अभिशाप है’ कथन को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर
प्रस्तुत कथन अप्रसन्न, उदास और खिन्न रहने वाले व्यक्ति के प्रति है। इसके द्वारा लेखक ने यह स्पष्ट करना चाहा है कि इस प्रकार के व्यक्ति की सारी शक्तियाँ कमजोर पड़ जाती हैं। वे विषाद (शोक) उत्पन्न करने वाली स्थिति में एक ऐसी तपन उत्पन्न कर देती हैं कि उससे जीवन के सारे उपयोगी जल जाते हैं। फलस्वरूप जीवन भयंकर अभिशाप में बदल जाता है।

प्रश्न 5.
जीवन में सफलता प्राप्त करने के लिए मुस्कुराना क्यों आवश्यक है?
उत्तर
जीवन में सफलता प्राप्त करने के लिए मुस्कुराना आवश्यक है। यह इसलिए कि इससे बात कहकर सामने वाले व्यक्ति को हम जितना प्रभावित कर सकते हैं, उतना अन्य किसी उपाय से नहीं। मुस्कान में एक प्रकार का सम्मोहन होता है, जिसकी तुलना और किसी से नहीं की जा सकती है।

हँसिए और स्वस्थ रहिए भाषा-अनुशीलन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों में से तत्सम, तद्भव, और आगत शब्दों को छाँटकर लिखिए
नींद, अनुसंधान, हँसी, माइग्रेन, राहत, सन्तुलन, विध्वंसक, अनुशासन, फुरसत।
उत्तर
तत्सम शब्द – अनुसंधान, सन्तुलन, विध्वसंक, अनुसंधान
तद्भव शब्द – नींद, हँसी
आगत शब्द – माइग्रेन, राहत, फुरसत।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित संधियों का विग्रह कीजिए
स्वासोच्छवास, विषादोत्पादक, विरोधाभास, मुदितात्मक।
उत्तर
संघि – विग्रह
स्वासोच्छवास – श्वास + उछ्वास
विषादोत्पादक – विषाद + उत्पादक
विरोधाभास – विरोध + आभास
मुदितात्मक – मुदित + आत्मक।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित वाक्यों को पहचानकर सही निशान लगाइए
(क) मुस्कान में एक प्रकार का सम्मोहन होता है, जिसकी समानता किसी अन्य से नहीं की जा सकती है। (मिश्र वाक्य/संयुक्त वाक्य)
(ख) हँसने से मस्तिष्क को उत्प्रेरणा मिलती है। (सरल वाक्य/संयुक्त वाक्य)
(ग) प्रसन्नचित्त व्यक्ति की ओर लोग आकर्षित होते हैं और उसकी मैत्री प्राप्त करना चाहते थे। (संयुक्त वाक्य/मिश्र वाक्य)
(घ) शिवेश काल भोपाल नहीं जाएगा। (निषेघवाचक वाक्य/प्रश्नवाचक वाक्य)
(ङ) ईश्वर करें, आप शीघ्र स्वस्थ हो जाएँ। (संकेतवाचक वाक्य/इच्छावाचक वाक्य)
उत्तर
(क) मिश्रवाक्य
(ख) सरल वाक्य
(ग) संयुक्त वाक्य
(घ) निषेधवाचक वाक्य
(ङ) इच्छावाचक वाक्य

हँसिए और स्वस्थ रहिए योग्यता-विस्तार

प्रश्न 1. अपने हमउम्र साथियों का एक ‘हास्य-क्लब’ तैयार कीजिए और प्रतिदिन कुछ समय हास्य-व्यायाम कीजिए।
प्रश्न 2. दूरदर्शन और आकाशवाणी पर प्रसारित होने वाले हास्य कार्यक्रमों को देखिए और सुनिए।
प्रश्न 3. हास्य पत्र-पत्रिकाएँ एवं अन्य कार्टून चित्र-कथाओं को पढ़िए।
उत्तर
उपर्युक्त प्रश्नों को छात्र/छात्रा अपने अध्यापक/अध्यापिका की सहायता से हल करें।

हँसिए और स्वस्थ रहिए परीक्षोपयोगी अतिरिक्त प्रश्नोत्तर

अर्थग्रहण संबंधी प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
‘हँसिए और स्वस्थ रहिए’ निबंध का प्रतिपाय लिखिए।
उत्तर
‘हँसिए और स्वस्थ रहिए’ निबंध हँसी के महत्त्व और प्रभाव को स्पष्ट करने का प्रयास किया गया है-लेखक का मानना है कि हँसी मनुष्य के लिए वरदान है। बुद्धि, विद्या, स्वास्थ्य, प्रसन्नता और सामाजिक आबाद हँसी के माध्यम से सहज ही उपलब्ध हो जाते हैं। इस निबंध में हँसी के बहुआयामी लाभों को प्रकट किया गया है। लेखक की वैज्ञानिक दृष्टि इस निबंध में अधिक उपयोगी है। इसलिए हँसी के महत्त्व को वैज्ञानिक आलोक में प्रकट किया गया है। हँसने से शरीर की काँति बढ़ती है। इसके द्वारा अनेक रोगों से मुक्ति मिलती है। हँसी मस्तिष्क को उत्प्रेरणा देती है। यह एक थेरेपी है, इस थेरेपी के स्रोत प्राचीन भारतीय आयुर्वेदिक चिकित्सा विज्ञान में भी प्राप्त होते हैं। आज जब हम अनेक तनावों के बीच जी रहे हैं, तब हँसी हमारे लिए सर्वसुलभ महाऔषधि है। इसलिए आजकल हास्य क्लब भी बनाए जाते हैं। जीवन का आनंद पाने के लिए हँसना जरूरी है। इस तरह यह निबंध रुचिकर हो गया है और हँसी के अनेक पक्षों को प्रकट करने में समर्थ और सफल है।

प्रश्न 2.
हँसी से मानसिक और शारीरिक तनाव किस प्रकार दूर होते हैं?
उत्तर
प्रतिदिन चार-पाँच किलोमीटर दौड़ने से जो व्यायाम होता है, और उससे जो शारीरिक क्षमता बढ़ती है, उतनी ही हँसी से बढ़ती है। हँसने से स्नायुओं को अपने-आप व्यायाम करने का अवसर मिलता है। इससे शारीरिक और मानसिक तनाव दूर हो जाते हैं।

प्रश्न 3.
स्वयं हँसने और औरों को हँसाने के क्या लाभ हैं?
उत्तर
स्वयं हँसने और औरों को हँसाने के अनेक लाभ हैं। इस तरह मुस्कुराना, हँसना, खिलखिलाकर ठहाके लगाना, शारीरिक, मानसिक स्वास्थ्य एवं दीर्घायु जीवन का स्वर्णिम सूत्र है। हँसने का एक महत्त्वपूर्ण पक्ष है इसकी संक्रामकता। यदि हम हँसते हैं तो सारा जग हँसने लगता है। एक साथ हँसने से संबंधों की मलिनताएँ, दुर्भावनाएँ आदि घुल जाती हैं व आपसी संबंध अधिक सरस, विश्वसनीय व सुदृढ़ ‘ बनते हैं। जो कि सामाजिक जीवन में सफलता का मार्ग प्रशस्त करता है। हँसने के लाभ अनेक हैं, लेकिन इनका यथार्थ परिचय तभी मिल सकता है जब अपने जीवन का यही एक सूत्र हो, खूब हँसेंगे औरों को भी हँसाएँगे। देखते-देखते तनाव कम होता जाएगा एवं दुनिया और रंगीन जीने योग्य नजर आएगी।

प्रश्न 4.
रिक्त स्थानों की पूर्ति दिए गए विकल्पों में से उचित शब्दों के चयन से कीजिए
1. तनाव से मुक्ति ………….. संभव हैं। (औषधि से, हँसी की गूंज से)
2. हँसने से चेहरे की ………….. बढ़ती है। (लालिमा, काँति)
3. हँसती-हँसाती जिन्दगी तमाम रोगों की …………… दवा है। (अचूक, बड़ी)
4. मुस्कान में एक प्रकार का …………… होता है। (बल, सम्मोहन)
5. एक पुस्तक में लिखा है-‘नाराज होइए तो …………….. कर। (गंभीर हो, मुस्कुरा)
उत्तर
1-हँसी की गूंज से
2. काँति
3. अचूक
4. सम्मोहन
5. मुस्कुरा।

प्रश्न 5.
दिए गए कथनों के लिए सही विकल्प चुनकर लिखिए।

1. डॉक्टर कटारिया हँसोड़ कल्ब खोल चुके हैं
1. 100
2. 102
3. 150
4. 200
उत्तर
3. 150

2. आज रोगों का कारण तनाव है
1. 60 प्रतिशत
2. 50 प्रतिशत
3. 75 प्रतिशत
4. 100 प्रतिशत
उत्तर
1. 60 प्रतिशत

3. हँसने से राहत मिलती है
1. पित्त से
2. अपच से
3. भूल से
4. चिंता से।
उत्तर
1. पित्त से

4. झूले की आवाज निकालकर हँसना होता है
1. सिंह हास में
2. कपोत हास में
3. हिंडोल हास में
4. किसी में नहीं।
उत्तर
3. हिंडोल हास में

5. खिन्नता मानव जीवन का है
1. बर्बादी
2. रोड़ा
3. अभिशाप
4. बंधन।
उत्तर
(3) अभिशाप।

प्रश्न 6.
सही जोड़ी का मिलान कीजिए।
उर्वशी – नरेंद्र शर्मा
चिंतामणि – डॉ. रामकुमार बेहार
बस्तर अरण्यक – रामधारी सिंह ‘दिनकर’
हिम किरीटनी – रामचंद्र शुक्ल
प्रवासी के गीत – माखन लाल चतुर्वेदी
उत्तर
उर्वशी – रामधारी सिंह ‘दिनकर’
चिंतामणि – रामचंद्र शुक्ल बस्तर
अरण्यक – डॉ. रामकुमार बेहार हिम
किरीटनी – माखनलाल चतुर्वेदी
प्रवासी के गीत – नरेंद्र शर्मा।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित वाक्य सत्य हैं या असत्य? वाक्य के आगे लिखिए।
1. डॉक्टर कटारिया विदेशी डॉक्टर हैं।
2. डॉक्टर कटारिया ने हँसोड़ क्लब बनाया है।
3. खिन्न रहने वाले व्यक्ति की सारी शक्तियाँ शिथिल हो जाती हैं।
4. हँसने से पेट पर पड़ने वाला दबाव बढ़ जाता है।
5. भोजन करते समय रोने वाले व्यक्ति की भूख बढ़ जाती है।
उत्तर
1. असत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. असत्य।

प्रश्न 8.
निम्नलिखित कथनों का उत्तर एक शब्द में दीजिए
1. किसने हास्य व्यायाम ईजाद किए हैं?
2. डॉ. कटारिया क्या खोल चुके हैं?
3. स्विट्जरलैण्ड और अमेरिका में किसको सराहा गया? .
4. हम हँसते हैं तो कौन हँसने लगता है?
5. अपनी ओर ध्यान दिलाने के लिए हम क्या करें?
उत्तर
1. डॉ. कटारिया ने
2. हँसोड़ क्लब
3. डॉ. कटारिया को
4. संसार
5. मुस्कुरायें।

हँसिए और स्वस्थ रहिए लघु-उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
हँसने का सबसे बड़ा लाभ क्या है?
उत्तर
हँसने का सबसे बड़ा लाभ यह है कि इसे हम जीवन का एक सूत्र मानकर खूब हँसें। दूसरों को भी हँसायें। इससे देखते-देखते तनाव कम हो जाएगा। सारी दुनिया और रंगीन जीने योग्य दिखाई देगी।

प्रश्न 2.
मानव-प्रकृति के वैज्ञानिकों का क्या मानना है?
उत्तर
मानव-प्रकृति के मर्मज्ञों का मानना है कि समस्या का शाश्वत निदान तभी संभव है जबकि मनुष्य तनावमुक्त हो सके और यह किसी औषधि से नहीं हँसी की गूंज से संभव है। ठहाकों भरी हँसी-खिलखिलाहटों की मधुर गूंज और आनंद बिखेरती मुस्कान, इन सभी समस्याओं की अचूक औषधि है।

प्रश्न 3.
किन लोगों की प्रतिरोधक क्षमता कम होती है?
उत्तर
ऐसे लोगों की प्रतिरोधक क्षमता कम होती है, जो लोग अधिक तनावग्रस्त होते हैं।

प्रश्न 4.
विभिन्न अनुसंधानों से वैज्ञानिकों ने क्या निष्कर्ष निकाला है?
उत्तर
विभिन्न अनुसंधानों से वैज्ञानिकों ने यह निष्कर्ष निकाला है कि हँसने से मस्तिष्क को अप्रेरणा मिलती है।

प्रश्न 5.
कौन व्यक्ति कभी स्वस्थ नहीं रह सकता है?
उत्तर
जो व्यक्ति घर के एक कोने में चारपाई पर पड़ा है। कोई उसकी ओर ध्यान नहीं देता। भोजन वस्त्रों की उसे कमी नहीं है। सब कुछ समय से मिल जाता है, पर उसकी बात कोई सुनता नहीं, कोई मानता नहीं। ऐसा व्यक्ति कभी स्वस्थ नहीं रह सकता है।

हँसिए और स्वस्थ रहिए कविता का सारांश

प्रस्तुत निबंध में निबंधकार ने आज के तनावग्रस्त माहौल पर चिंता व्यक्त किया है। इससे छुटकारा पाने के लिए हँसी की गूंज को आवश्यक बतलायां है। उसका यह मानना है कि इससे सभी प्रकार की मानसिक और शारीरिक समस्याओं से निजात पाया जा सकता है। इसके प्रभाव और महत्त्व को केवल आज के ही वैज्ञानिक नहीं, अपितु प्राचीन ऋषिगण भी स्वीकारते रहे हैं। उनके अनुसार हास्य से लाभ-ही-लाभ हैं। इससे चेहरे की काँति बढ़ती है और शरीर का संतुलन ठीक रहता है। यही नहीं इससे पित्त का शमन भी हो जाता है। अम्ल रोग भी अपने-आप खत्म हो जाता है। हँसने से भोजन शीघ्र पचता है। हँसने से मस्तिष्क को उत्प्रेरणा मिलती है। हँसने से स्नायुओं को अपने-आप व्यायाम करने का अवसर मिलता है। इससे शारीरिक व मानसिक तनाव दूर होता है। इस प्रकार मुस्कराना, हँसना, खिलखिलाकर ठहाके लगाना, शारीरिक, मानसिक स्वास्थ्य और दीर्घायु जीवन का स्वर्णिम सूत्र है। सामाजिक जीवन में सफलता का मार्ग एक साथ हँसने से प्रशस्त होता है। उससे मलिनताएँ, दुर्भावनाएँ आदि दूर हो जाती हैं।

प्रसन्न व्यक्ति को सभी चाहते हैं। उसके साथ होने से सारे शोक-संताप दूर हो जाते हैं। इसके विपरीत अप्रसन्न, उदास और खिन्न रहने वाले व्यक्ति की सारी शक्तियाँ ढीली हो जाती हैं। इसलिए यदि आप व्यापारी, वक्ता, अध्यापक, उपदेशक, अधिकारी, या कर्मचारी जो कुछ भी हों, आप चाहते हैं कि आपकी ओर ध्यान दिया जाए, तो आप मुस्कराकर सामने वाले व्यक्ति को प्रभावित कर सकते हैं, उतना अन्य किसी उपाय से नहीं। इसलिए आप कितने भी व्यस्त क्यों न हों. अपनी पत्नी-बच्चों के साथ हँसने-खिलखिलाने का बहाना अवश्य ढूँढ़ लें। इससे कुछ क्षण आत्मीयता के बँधनों को प्रगाढ़ बनाएं। यही नहीं ‘तनावों से मुक्ति प्रदान करके परिवार को स्वस्थ बनाए रखेगा।

हँसिए और स्वस्थ रहिए संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

(1) प्रसन्नचित्त व्यक्ति को देखकर लोग प्रसन्न होते हैं, उसकी ओर आकर्षित होते हैं, उसकी मैत्री प्राप्त करना चाहते हैं। प्रसन्नता एक आध्यात्मिक वृत्ति है, एक दैवी चेतना है। इसका आश्रय ग्रहण करने वाले के सारे शोक-संताप भाग जाते हैं। प्रमुदित मन और प्रसन्नचित्त व्यक्ति के पास बैठकर लोग अपना दुःख-दर्द भूल जाते हैं, सुख और संतोष का अनुभव करते हैं। मुदितात्मा व्यक्ति देवदूत होता है, संसार का कलुष दूर करने वाला होता है।

शब्दार्च-मैत्री-मित्रता। आध्यात्मिक-अध्यात्म से संबंधित, अथवा अध्यात्मक की। वृत्ति-चेतना। आश्रय-छाया। प्रमुदित-प्रसन्न। संताप-कष्ट। कलुष-दोष।

संदर्भ-प्रस्तुत गद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘हिंदी सामान्य’ 10वीं में संकलित ‘हँसिए और स्वस्थ रहिए’ शीर्षक से है।

प्रसंग-इसमें लेखक ने प्रसन्नचित्त व्यक्ति की विशेषता को बतलाते हुए कहा है कि

व्याख्या-प्रसन्न हुए व्यक्ति का प्रभाव सुखद और आनन्ददायक होता है। उसे देखकर लोग सुख और सन्तोष का अनुभव करते हैं। उसकी ओर लोगबाग ध्यान देते हैं। उसके साथ रहना चाहते हैं। उसके प्रति सहयोग और मित्रता चाहते हैं। इस प्रकार प्रसन्नता एक आध्यात्मिक चेतना है। एक ईश्वरीय चेतना है। इस प्रकार के व्यक्ति के संपर्क या संगति में आने से बहुत बड़ा चमत्कार होता है। फलस्वरूप हर प्रकार के शोक-कष्ट दूर हो जाते हैं। प्रसन्नचित्त व्यक्ति का मन बड़ा प्रभावशाली होता है। प्रसन्न रहने वाले व्यक्ति के पास रहने वाले लोग-बाग अपने सारे अभाव और परेशानियों से निजात पा लेते हैं। इससे वे सुख, आनन्द और संतोष का अनुभव करने लगते हैं। प्रसन्नचित्त व्यक्ति ईश्वरीय दूत के समान होता है, जो संसार के लोगों के दोषों और कमियों को दूर करने के लिए इस संसार में आता है।

विशेष-

1. प्रसन्नचित्त व्यक्ति की विशेषता प्रभावशाली रूप में है।
2. भाव सरल और सुस्पष्ट हैं।

अर्यग्रहण संबंधी प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
प्रसन्नचित्त व्यक्ति की क्या विशेषता होती है?
उत्तर
प्रसन्नचित्त व्यक्ति की बहुत बड़ी विशेषता होती है। उसे देखकर लोगबाग प्रसन्नता से झूम उठते हैं। उसकी ओर लटू होकर उसे दोस्ती करने की चाह करने लगते हैं।

प्रश्न 2.
प्रसन्नचित्त व्यक्ति का दूसरों पर क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर
प्रसन्नचित्त व्यक्ति का दूसरों पर गहरा प्रभाव पड़ता है। उस प्रभाव से उसके संपर्क में आने वाले लोगों के दुख-अभाव छू मंतर हो जाते हैं। उन्हें सुख और आनंद के हिलोरें आने लगते हैं। इस प्रकार प्रसन्नचित्त व्यक्ति दूसरे के दोषों को दूर करने वाला देवदूत के समान होता है।

विषय-वस्तु पर आधारित प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
उपर्युक्त गयांश का आशय स्पष्ट कीजिए।
उत्तर
उपर्युक्त गद्यांश में लेखक प्रसन्नचित्त व्यक्ति की असाधारण विशेषता को बहलाने का प्रयास किया है। इसके माध्यम से उसने यह स्पष्ट करना चाहा है कि प्रसन्नचित्त दूसरों को आकर्षित करके अपनी संगति में रख लेता है। फिर वह एक देवदूत के समान उनके कष्टों, अभावों और दोषों को दूर करने लगता है।

2. अप्रसन्न, उदास तथा खिन्न रहने वाले व्यक्ति की सारी शक्तियाँ शिथिल हो जाती हैं। विषादोत्पादक स्थिति में एक ऐसी तपन होती है, जो मानवजीवन के सारे उपयोगी तत्त्वों को जला डालती है। खिन्नता मानव जीवन का भीषण अभिशाप है। यह.जीती-जागती नरक की भयानक ज्वाला की भाँति मनुष्य को दीन-हीन, दुःखी और दद्धि बनाकर रख देती है। जिसके चेहरे पर मुस्कान नहीं, हँसी नहीं, प्रसन्नता नहीं, कोई भी उसके पास बैठना, उसे याद करना, उसके संपर्क में रहना पसंद नहीं करता। हर आदमी उससे दूर भागता है, जिससे उसका जीवन एकाकीपन के भार से दबकर दुरुह बन जाता है।

शब्दार्च-खिन्न-दुखी। शिथिल-ढीली, कमजोर । विषादोत्पादक-शोक को उत्पन्न करने वाली। तपन-पीड़ा, गर्मी, जलन । भीषण-भयानका अभिशाप-लांक्षन, बड़ा दोष। दुरूह-कठिन।

संदर्भ-पूर्ववत्।

प्रसंग-प्रस्तुत गद्यांश में लेखक ने अप्रसन्न और उदास रहने वाले व्यक्तियों की अनुपयोगिता को बतलाते हुए कहा है कि

व्याख्या-हमेशा अप्रसन्न, उदास और दुखी रहने वाला व्यक्ति की कार्यक्षमता बड़ी कमजोर होती है। फलस्वरूप उससे शोक उत्पन्न करने वाली ही दशाएँ सामने आती हैं। ये एक तपन के समान होती हैं। फलस्वरूप जीवन की अच्छाइयाँ और उपयोगी स्वरूप इनसे जल-जलकर समाप्त होने लगते हैं। इस आधार पर यह कहा जा सकता है कि दुखी रहना मानव की अच्छाई नहीं अपितु एक बहुत बड़ा दोष है। एक ऐसा बड़ा दोष है, जिससे मनुष्य का जीवन नरक की भयानक ज्वाला की तरह दीन-हीन, दुखी और अभावों से भरकर रह जाता है। इस प्रकार की स्थिति में कहीं भी हँसी, मुस्कान, प्रसन्नता के चिह बिलकुल नहीं दिखाई देते हैं। फिर ऐसी स्थिति में पड़े हुए व्यक्ति के पास रहना व उसे महत्त्व देना भला कौन चाहेगा? अर्थात् कोई भी नहीं। उससे तो सभी नफ़रत करने लगते हैं। इससे वह समाज में अकेला रह जाता है। उस अकेलापन के बोझ की नीचे वह दबकर रह जाता है।

विशेष-

1. अप्रसन्न व्यक्ति के दुष्प्रभाव को सामने रखा गया है।
2. संपूर्ण कथन स्वाभाविक और विश्वसनीय है।

अर्थग्रहण संबंधी प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
अप्रसन्न व्यक्ति की क्या विशेषता होती है?
उत्तर
अप्रसन्न व्यक्ति की शक्तियाँ कमजोर और मन्द होती हैं। फलस्वरूप वे जीवन को दुखद अभिशापग्रस्त बना डालती हैं।

प्रश्न 2.
अप्रसन्न व्यक्ति के क्या-क्या दुष्प्रभाव होते हैं?
उत्तर
अप्रसन्न व्यक्ति के अनेक दुष्प्रभाव होते हैं। कोई उसके पास न तो बैठना चाहता है और न उसे कोई याद ही करना चाहता है। इस प्रकार सभी उससे दूर ही रहना चाहते हैं। इस तरह वह समाज में अकेला रह जाता है।

विषय-वस्तु पर आधारित बोध प्रश्नोत्तर

प्रश्न उपर्युक्त गद्यांश का मुख्य भाव स्पष्ट कीजिए।
उत्तर
उपर्युक्त गद्यांश में अप्रसन्न, उदास और खिन्न व्यक्तियों की विशेषता बतलाते हुए उनके दुष्प्रभाव को सामने रखा गया है। इसके माध्यम से लेखक ने ऐसे व्यक्तियों की निंदा करते हुए इनसे दूर रहने का संकेत भी किया है।

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MP Board Class 10th Sanskrit व्याकरण अशुद्धिसंशोधन-प्रकरण

१. वचन सम्बन्धी अशुद्धियाँ
अशुद्ध वाक्य – शुद्ध वाक्य
१. जीवाः प्राणेन जीवन्ति। – जीवाः प्राणैः जीवन्ति।
२. सर्वः बालिकाः गच्छिन्ति। – सर्वे बालिकाः गच्छन्ति।
३. सः पुरुषाः सन्ति। – ते पुरुषाः सन्ति।
४. तौ बालकः अस्ति। – सः बालकः अस्ति।
५. बालकः चपलः भवति। – बालकाः चपलाः भवन्ति।

२. लिङ्ग सम्बन्धी अशुद्धियाँ .
१. सः देवता अस्ति। – सा देवता अस्ति।
२. चतस्त्रः बालकाः सन्ति। – चत्वारः बालकाः सन्ति।
३. द्वे छात्रौ स्तः। – द्वौ छात्रौ स्तः।।
४. शरीरः अस्वस्थं अस्ति। – शरीरं अस्वस्थम् अस्ति।
५. सुरेशः मम मित्रः अस्ति। – सुरेशः मम मित्रम् अस्ति।

३. पुरुष सम्बन्धी अशुद्धियाँ
१. अहं फलम् खादति। – अहं फलं खादामि।
३. सः विद्यालयं गच्छसि। – सः विद्यालयं गच्छति।
३. तौ ग्रामं गच्छावः। – तौ ग्रामं गच्छतः।
४. ते पुस्तकानि पठामः। – ते पुस्तकानि पठन्ति।
५. स्र्वे द्राक्षाफलानि सर्वे द्राक्षाफलानि – खादिष्यथ। खादिष्यन्ति।

४. लकार सम्बन्धी अशुद्धियाँ

५. सामान्य अशुद्धियाँ
१. वर्तनी सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
२. काल से सम्बन्धित अशुद्धियाँ।
३. कारक से सम्बन्धित अशुद्धियाँ।
४. उपसर्ग, प्रत्यय, विभक्ति सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
५. वाक्य रचना सम्बन्धी अशुद्धियाँ। अशादियाँ।
६. लिंग सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
७. वाक्य में पदों के क्रम सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
८. कर्ता, कर्म और क्रिया के अन्वय (सम्बन्ध) सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
९. विशेषण विशेष्य के अन्वय सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१०. पदों के अर्थ अवबोधन (समझना) सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
११. तथ्य सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१२. अनुच्छेद के क्रम का अभाव सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१३. सामान्य अपवाद नियमों के विषय सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१४. सन्धि करने में अशुद्धियाँ।
१५. समास बनाने में अशुद्धियाँ।
१६. हलन्त, विसर्ग सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१७. अस्पष्ट लेखन सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१८. वाच्य सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
१९. धातुओं के रूप सम्बन्धी अशुद्धियाँ।
२०. शब्द रूप सम्बन्धी अशुद्धियाँ।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय

प्रश्न १.
‘रामः गृहं गच्छन्ति’ वाक्य में अशुद्ध है-
(अ) रामः,
(ब) गृहं,
(स) गच्छन्ति,
(द) कोई नहीं।
उत्तर-
(स) गच्छन्ति,

२. “त्वं किम् करोति” में शुद्ध होगा
(अ) करोमि,
(ब) करोषि,
(स) कुर्वन्ति,
(द) कुरुतः।
उत्तर-
(ब) करोषि,

३. ‘अहम्’ कर्ता के साथ क्रिया किस पुरुष की लगती है?
(अ) उत्तम,
(ब) मध्यम,
(स) प्रथम,
(द) अन्य।
उत्तर-
(अ) उत्तम,

४. ‘वर्तमान काल’ में लकार होता है
(अ) लृट्,
(ब) लोट
(स) लट्,
(द) लङ्।
उत्तर-
(स) लट्,

५. ‘सः’ में किस वचन का प्रयोग होता है?
(अ) एकवचन,
(ब) द्विवचन,
(स) बहुवचन,
(द) अनेक वचन।
उत्तर-
(अ) एकवचन,

1. रिक्त स्थान पूर्ति
१. सः अद्य ग्रामं ……………………………….।
२. रामः अयोध्यायाः नृपः ……………………………….
३. वयं श्वः देवालयं ……………………………….।
४. अहम् अधुना फलं ……………………………….।
५. कृष्णः ह्यः उद्याने ……………………………….
उत्तर-
१. गमिष्यति,
२. आसीत्,
३. गमिष्यामः,
४. खादामि,
५. अभ्रमत्।

सत्य/असत्य
१. ‘सः कार्यं करोति’, शुद्ध है।
२. ‘अहं पठति’, शुद्ध है।
३. ‘त्वं विद्यालयं गच्छति’, अशुद्ध है।
४. ‘सीता दुग्धं पिबति’, अशुद्ध है।
५. ‘मातोशिशुं पालयति’, शुद्ध है।
उत्तर-
१. सत्य,
२. असत्य,
३. सत्य,
४. असत्य,
५. सत्य।

जोड़ी मिलाइए

उत्तर-
१. → (iv)
२. → (i)
३. →(ii)
४. → (iii)
५. → (v)

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.5

प्रश्न 1.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2
(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
(iv) g (x) = x² + 1
हल:
(i) f (x) = (2x – 1)² + 3
(2x – 1)² का कम – से – कम मान = 0
∴ f(x) का निम्नतम मान = 3

(ii) f (x) = 9x² + 12x + 2 = 9x² + 12x + 4 – 2
= (3x + 2)² – 2
(3x + 2)² का निम्नतम मान = 0
∴ f (x) का निम्नतम मान = – 2

(iii) f (x) = – (x – 1)² + 10
– (x – 1)² का अधिकतम मान = 0
∴ f का उच्चतम मान = 10

(iv) g (x) = x³ + 1
g'(x) = 3x² जो x ϵ R के लिए धनात्मक है।
∴ g एक वर्धमान फलन है; अतः इसका कोई न्यूनतम तथा अधिकतम मान नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित दिए गए फलनों के उच्चतम मान या निम्नतम मान, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए
(i) f (x) |x + 2| – 1
(ii) g (x) = – |x + 1| + 3
(iii) h (x) = sin (2x) + 5
(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
(v) h(x) = x + 1, x ϵ ( – 1, 1)
हल:
(i) f(x) = |x + 2| – 1
|x + 2| का न्यूनतम मान 0 है।
∴ f का निम्नतम मान = – 1
अतः उच्चतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(ii) g (x) = -|x + 1| + 3
– |x + 1| का अधिकतम मान = 0
∴ g (x) = – |x + 1| + 3 का उच्चतम मान 0 + 3 = 3
निम्नतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(iii) h (x) = sin (2x) + 5
sin 2x का अधिकतम मान = 1
∴ h(x) = sin 2x + 5 का उच्चतम मान, 1 + 5 = 6
sin 2x का न्यूनतम मान = – 1
∴ h (x) = sin 2x + 5 का निम्नतम मान = – 1 + 5 = 4

(iv) f (x) = |sin 4x + 3|
sin 4x का अधिकतम मान = 1
f(x) = |sin 4x + 3| का उच्चतम मान = |1 + 3| = 4
तथा sin 4x का निम्नतम मान = – 1
f (x) = |sin 4x + 3| का निम्नतम मान = |- 1 + 3| = 2

(v) h (x) = x + 1 .
h'(x) = 1 = धनात्मक
h वर्धमान फलन है।
इसका कोई उच्चतम या निम्नतम मान नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित फलनों के स्थानीय उच्चतम या निम्नतम, यदि कोई हो तो ज्ञात कीजिए तथा स्थानीय उच्चतम या स्थानीय निम्नतम मान,जैसी स्थिति हो, भी ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x²
(ii) g (x) = x³ – 3x
(iii) h(x) = sin x + cos x, o < x < \(\frac{\pi}{2}\)
(iv) f (x) = sin x – cos x, 0 < x < 2π
(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
(vi) g (x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\), x > 0
(vii) g (x) = \(\frac{1}{x^{2}+2}\)
(viii) f (x) = \(x \sqrt{1-x}\), x > 0
हल:
(i) f (x) = x²
f'(x) = 2x
यदि f'(x) = 0 तब 2x = 0 या x = 0
f'(x) जैसे ही x = 0 से होकर आगे बढ़ता है तो इसका चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है।
∴ x = 0 पर f स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = f (0) = 0

(ii) g(x) = x³ – 3x
∴ g'(x) = 3x² – 3 = 3 (x² – 1) = 3 (x – 1) (x + 1)
यदि g’ (x) = 0 तब 3x² – 3 = 0
⇒ x² – 1 = 0 ⇒ x = ± 1
x = – 1 पर g'(x) का चित – – = +
– + = –
जैसे ही x, x = – 1 से होकर आगे बढ़ता है, g’ का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
∴ x = – 1 पर g उच्चतम है।
उच्चतम मान = g (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1) = – 1 + 3 = 2
x = 1 पर g'(x) के चिह्न जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है,
– + = –
+ + = +
g’ (x), ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित हो जाता है।
x = 1 पर g निम्नतम है।
निम्नतम मान = g(1) = 1³ – 3 = – 2

(iii) h(x) = sin x + cos x, 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
h'(x) = cos x – sin x = cos x(1 – tan x)
यदि h'(x) = 0 तब 1 – tan x = 0 या tan x = 1 या x = \(\frac{\pi}{4}\)
x = \(\frac{\pi}{4}\) पर x का मान \(\frac{\pi}{4}\) से थोड़ा कम करने से tan x, 1 से कम होगा और x का मान \(\frac{\pi}{4}\) से थोड़ा अधिक रखने पर tan x, 1 से अधिक होगा।
इस प्रकार 1 – tan x का चिह्न + ve से – ve में परिवर्तित होता है। cos x में चिह्न में कोई परिवर्तन नहीं होता।
∴ x = \(\frac{\pi}{4}\) उच्चतम है।
स्थानीय उच्चतम मान

(v) f (x) = x³ – 6x² + 9x + 15
∴ f'(x) = 3x² – 12x + 9 = 3 (x² – 4x + 3)
= 3(x – 1)(x – 3)
यदि f'(x) = 0 ⇒ x – 1 = 0 या x – 3 = 0
∴ x = 1 .या x = 3

x का मान 1 से थोड़ा कम रखने पर
x का मान 1 से थोड़ा अधिक रखने पर
इस प्रकार f'(x) का चिह्न, जैसे ही x, x = 1 से होकर आगे बढ़ता है, + ve से – ve में परिवर्तित होता है।
⇒ x = 1, पर स्थानीय उच्चतम बिन्दु है।
स्थानीय उच्चतम मान = f (1) = 1 – 6 + 9 + 15 = 19

x का मान 3 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 3 से थोड़ा अधिक रखने पर,
∴ f'(x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में परिवर्तित होता है, जब x, x = 3 बिन्दु से होकर जाता है।
∴ x = 3 पर स्थानीय निम्नतम बिन्दु है।
∴ स्थानीय निम्नतम मान = f (3) = 27 – 54 + 27 + 15
= 69 – 54 = 15

x का मान 2 से थोड़ा कम रखने पर,
x का मान 2 से थोड़ा अधिक रखने पर,
g'(x) का चिह्न – – ve से + ve में परिवर्तित होता है, जब x,x = 2 से होकर आगे बढ़ता है।
∴ f, x = 2 पर स्थानीय निम्नतम है।
स्थानीय निम्नतम मान = g (2) = \(\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=2\)

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित फलनों का उच्चतम यो निम्नतम मान नहीं है
(i) f (x) = e^x
(ii) g (x) = log x
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
हल:
(i) f(x) = e^x

अतः दिया गया फलन न तो उच्चतम है और न ही न्यूनतम
(iii) h(x) = x³ + x² + x + 1
= h'(x) = 3x² + 2x + 1
यदि h'(x) = 0
⇒ 3x² + 2x + 1 = 0
⇒ \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-12}}{6}=\frac{-1 \pm \sqrt{-2}}{3}\)
जो कि काल्पनिक संख्या है
अत: ∀ x ϵ R, h'(x) ≠0
अतः h का कोई भी मान उच्चतम या निम्नतम नहीं है।

प्रश्न 5.
प्रदत्त अन्तरालों में निम्नलिखित फलनों के निरपेक्ष उच्चतम मान और निरपेक्ष निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
(i) f (x) = x³, x ϵ [- 2,2]
(ii) f (x) = sin x + cos x x ϵ [0, 1]
(iii) f (x) = 4x – \(\frac{1}{2}\)x², x ϵ [-2, \(\frac{9}{2}\)]
(iv) f (x) = (x – 1)² + 3, x ϵ [- 3, 1]
हल:
(i) f (x) = x³, अन्तराल [ – 2, 2]
∴ (x) = 3x²
यदि f’ (x) = 0, तब 3x² = 0 ∴ x = 0
f(- 2) = (- 2)³ = – 8
f (0) = (0)³ = 0
तथा f (2) = (2)³ = 8
निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 8

(ii) f(x) = sinx + cosx, x ϵ [0, π]
⇒ f'(x) = cosx – sin x
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए
f'(x) = 0
⇒ cosx – sin x = 0
⇒ tan x = 1
⇒ x = π/4
अब x = \(\frac{\pi}{4}\), 0, π पर f(x) का मान ज्ञात करना है।

f(0) = sin 0° + cos0° = 0 + 1 = 1
f(π) = sin π + cos π = 0 – 1 = – 1
अत: फलन f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान x = \(\frac{\pi}{4}\) पर \( \sqrt{{2}} \) है।
तथा x = π पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान – 1 है।

अंत: x = 4 पर f(x) का निरपेक्ष उच्चतम मान = 8
तथा x = – 2 पर f(x) का निरपेक्ष निम्नतम मान = – 10

(iv) यहाँ f (x) = (x – 1)² + 3, [- 3, 1]
∴ f'(x) = 2(x – 1)
यदि f'(x) = 0, 2(x – 1) = 0, x = 1
f(1) = (1 – 1)² + 3 = 0 + 3 = 3
f(- 3) = (- 3 – 1)² + 3 = 16 + 3 = 19
अतः निरपेक्ष उच्चतम मान = 19
तथा निरपेक्ष निम्नतम मान = 3

प्रश्न 6.
यदि लाभ फलन P(x) = 41 – 72x – 18x² से प्रदत्त है तो किसी कम्पनी द्वारा अर्जित उच्चतम लाभ ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है लाभ फलन
P(x) = 41 – 72x – 18x²

⇒ 36x = – 72
x = – 2
∴ x = – 2 पर
\(\frac{d^{2} P}{d x^{2}}\) = – 36 < 0
अतः x = – 2 पर लाभ फलन का मान उच्चतम है।
अतः उच्चतम लाभ = P( – 2)
= 41 – 72(- 2) – 18(- 2)²
= 41 + 144 – 72
= 113

प्रश्न 7.
अन्तराल [0, 3] पर 3x⁴ – 8x³ + 12x² – 48x + 25 के उच्चतम मान और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = 3x⁴ – 8x² + 12x² – 48x + 25
∴ f'(x) = 12x³ – 24x² + 24x – 48
= 12[x³ – 2x² + 2x – 4] = 12[x² (x – 2) + 2(x – 2)]
= 12(x – 2)(x² + 2)
यदि f'(x) = 0, तब
x – 2 = 0 ∴ x = 2
अन्तराल (0, 3) पर,
f (0) = 25
f(2) = 3(2)⁴ – 8(2)³ + 12(2)² – 48(2) + 25
= 3 × 16 – 8 × 8 + 12 × 4 – 48 × 2 + 25
= 48 – 64 + 48 – 96 + 25 = – 39
तथा f(3) = 3(3)⁴ – 8(3)³ + 12(3)² – 48(3) + 25
= 3 × 81 – 8 × 27 + 12 × 9 – 48 × 3 + 25
= 243 – 216 + 108 – 144 + 25 = 16
∴ निरपेक्ष उच्चतम मान = 25
निरपेक्ष निम्नतम मान = – 39

प्रश्न 8.
अन्तराल [0, 2 π] के किन बिन्दुओं पर फलन sin 2x अपना उच्चतम मान प्राप्त करता है।
हल:
यहाँ f (x) = sin 2x,[0, π] पर
∴ (x) = 2cos 2x
यदि f'(x) = 0 ⇒ 2cos 2x = 0

प्रश्न 9.
फलन sin x + cos x का उच्चतम मान क्या है?
हल:
यहाँ f(x) = sin x + cos x, [0, 2π] पर,
∴ f(x) = cos x – sin x
f'(x) = 0 = cos x – sin x = 0 ⇒ tan x = 1

प्रश्न 10.
अन्तराल [1,3] में 2x³ – 24x + 107 का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।इसी फलन का अन्तराल [- 3, – 1]में भी महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = 2x³ – 24x + 107, [1, 3]
∴ f(x) = 6x² – 24
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए,
f'(x) = 0
⇒ 6x² – 24 = 0 ⇒ 6x² = 24 ⇒ x² = 4 ∴ x = ± 2
अन्तराल [1, 3] के लिए,
f(1) = 2(1)³ – 24 (1) + 107 = 2 – 24 + 107 = 85
f(2) = 2(2)³ – 24 (2) + 107 = 16 – 48 + 107 = 75
f(3) = 2(3)³ – 24 (3) + 107 = 54 – 72 + 107 = 89
इस प्रकार अधिकतम f (x) = 89, x = 3 पर, अन्तराल [- 3, – 1] के लिए हम x = – 3, – 2, – 1 पर f (x) का मान ज्ञात करते हैं।
f(- 3) = 2(- 3)³ – 24(- 3) + 107
= – 54 + 72 + 107 = – 54 + 179 = 125
f(- 2) = 2(- 2)³ – 24 (- 2) + 107
= – 16 + 48 + 107 = 139
f(- 1) = 2(- 1)³ – 24(- 1) + 107 = – 2 + 24 + 107 = 129
इस प्रकार अधिकतम मान f (x) = 139, x = – 2 पर

प्रश्न 11.
यदि दिया है कि अन्तराल [0, 2] में x = 1 पर फलन x⁴ – 62x³ + ax + 9 उच्चतम मान प्राप्त करता है तो a का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f (x) = x⁴ – 62x³ + ax + 9
∴ f'(x) = 4x³ – 124x + a
उच्चतम व निम्नतम मान के लिए, f'(x) = 0
⇒ 4x³ – 124x + a = 0
x = 1, पर f उच्चतम है ⇒ f (1) = 0
∴ 4 × – 124 × 1 + a = 0 ⇒ 4 – 124 + a = 0
⇒ – 120 + a = 0
∴ a = 120
f(x) = 4x³ = 124x + a
f(x) = 12x² – 124
f(1) = 12 – 124 = – 112 < 0
अतः x = 1, उच्चतम है जब a = 120

प्रश्न 12.
[0, 2π] पर x + sin 2x का उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना f(x) = x + sin 2x
∴ f(x) = 1 + 2cos 2x
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए, f'(x) = 0
⇒ 1 + cos 2x = 0 ⇒ cos 2x = – 1


f(x) का उच्चतम मान = 2π
f (x) का उच्चतम मान = 0

प्रश्न 13.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 24 है और जिनका गुणनफल उच्चतम हो।
हल:
माना अभीष्ट संख्याएँ x तथा 24 – x हैं।
माना उनका गुणनफल P है।
∴ P = x(24 – x)
P = 24x – x²

अतः x = 12 के लिए P (संख्याओं का गुणनफल) उच्चतम है।

प्रश्न 14.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए ताकि x + y = 60 और xy³ उच्चतम हो।
हल:
∵ x + y = 60
माना P = xy³
⇒ P = (60 – y) y³
(∵ x + y = 60
⇒ x = 60 – y)
⇒ P = 60y³ – y⁴


अत: x = 15, y = 45 के लिए P = xy³ उच्चतम है।

प्रश्न 15.
ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल x²y² उच्चतम हो।
हल:
दो धन संख्याएँ x, y हैं।
x + y – 35
∴ y = 35 – x
गुणनफल P = x²y⁵
y का मान समी० (2) में रखने पर
P = x² (35 – x)⁵
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

केवल 10 स्वीकृत मान है जैसे कि x = 0, 35 अस्वीकृत कर दिए जाते हैं।
x = 10 पर,
जब x, 10 के निकट और 10 की बाईं ओर हो तो
\(\frac{d P}{d x}\) = (1)(+ 1)(+ 1) = + ve
जब x, 10 के निकट और 10 की दाई ओर हो तो
\(\frac{d P}{d x}\) = (+)(+)(-) = – ve
इस प्रकार x, 10 से होता हुआ आगे बढ़ता है
\(\frac{d P}{d x}\) + ve से – ve को परिवर्तित होता है।
x = 10 पर P उच्चतम है।
∴ y = 35 – 10 = 25
अतः अभीष्ट संख्याएँ 10 और 25 हैं।

प्रश्न 16.
ऐसी दो धन संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग 16 हो और जिनके घनों का योग निम्नतम हो।
हल:
माना x और 16 – x दो धन संख्याएँ हैं।
प्रश्नानुसार, घनों का योग S = x³ + (16 – x)³
अवकलन करने पर,
\(\frac{d S}{d x}\) = 3x² + 3(16 – x)² ( – 1)
= 3x² – 3(16 – x)²
= 3x² – 3(256 + x² – 32x)
= 3x² – 3 × 256 – 3x² + 3 × 32x
= 3(32x – 256)
उच्चतम व निम्नतम बिन्दु के लिए,

अतः अभीष्ट संख्याएँ 8 और (16 – 8)अर्थात् 8 और 8 हैं।

प्रश्न 17.
18 cm भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना वर्ग की प्रत्येक भुजा x सेमी काटी गई है।
∴ सन्दूक के लिए,
लम्बाई = 18 – 2x
चौड़ाई = 18 – 2x
ऊँचाई = x
∴ आयतन V = ल० × चौ० × ॐ
= x (18 – 2x)(18 – 2x) = x (18 – 2x)².1


∴ x = 3 पर आयतन अधिकतम होगा। अर्थात् वर्ग की भुजा प्रत्येक कोने से 3 सेमी काटी गई है तो आयतन उच्चतम होगा।

प्रश्न 18.
45 cm × 24 cm की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक सन्दूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे सन्दूक का आयतन उच्चतम हो?
हल:
माना प्रत्येक कोने से x सेमी भुजा काटी गई है।
∴ आयताकार सन्दूक की भुजाएँ
l = 45 – 2x
b = 24 – 2x
h = x सेमी


अतः x = 5 के लिए आयतन उच्चतम है।

प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत्त के अन्तर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
हल:
माना a त्रिज्या के वृत्त के अन्तर्गत आयतन की लम्बाई x तथा चौड़ाई y है।

∴ x² + y² = (2a)²
⇒ x² + y² = 4a² …(1)
∴ आयतन का क्षेत्रफल = xy

जब x बिन्दु x = \( \sqrt{{2}} \) a से होकर जाता है तो A’ (x) का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदल जाता है। अतः आयत का क्षेत्रफल उच्चतम होगा, जब x = \( \sqrt{{2}} \)a और y = \( \sqrt{{2}} \)a होगा। अर्थात् आयत वर्ग होगा।

प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए कि प्रदत्त पृष्ठ एवं महत्तम आयतन के बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर होती है।
हल:
माना बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = S
त्रिज्या = r
ऊँचाई = h
आयतन = V
पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2πr² + 2πrh


अतः जब बेलन की ऊँचाई आधार के व्यास के बराबर है तो आयतन अधिकतम होता है।

प्रश्न 21.
100 cm³ आयतन वाले डिब्बे सभी बंद बेलनाकार (लम्ब वृत्तीय) डिब्बों में से न्यूनतम पृष्ठ क्षेत्रफल वाले डिब्बे की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बेलनाकार डिब्बों की त्रिज्या और ऊँचाई क्रमश: r और h है।
आयतन = πr²h = 100 cm³


⇒ S न्यूनतम होगा।
अतः कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल न्यूनतम होगा।

प्रश्न 22.
एक 28 cm लम्बे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे से वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लम्बाई कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृस का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?
हल:
माना तार के एक भाग की लम्बाई x सेमी है तब दूसरा भाग = (28 – x) सेमी होगा।
माना x लम्बाई वाला भाग । त्रिज्या वाले वृत्त में बदला गया है।

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन गोले के आयतन का \(\frac{8}{27}\) होता है।
हल:
माना V AB गोले के अन्तर्गत विशालतम शंकु का आयतन है।
स्पष्टतयाः अधिकतम आयतन के लिए शंकु का अक्ष गोले . की ऊँचाई के साथ होना चाहिए।

प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ पर दिए आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की 72 गुनी होती है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
शंकु की ऊँचाई = h


∴ S न्यूनतम है जब h = \( \sqrt{{2}} \)r
अतः न्यूनतम वक्र पृष्ठ वाला लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, त्रिज्या की \( \sqrt{{2}} \) गुनी है।

प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्थ शीर्ष कोण tan^-1\( \sqrt{{2}} \) होता है।
हल:
माना शंकु की त्रिज्या = r
ऊँचाई = l
ऊर्ध्वाधर ऊँचाई = AM = lcosθ
शंकु की त्रिज्या = MC = lsinθ

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्द्ध शीर्ष कोण sin^-1\(\left(\frac{1}{3}\right)\) होता है।
हल:
माना शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल S तथा आयतन V है। शंकु की त्रिज्या , ऊँचाई h तथा तिर्यक ऊँचाई l है।
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr²

नोट – प्रश्न संख्या 27 से 29 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 27.
वक्र x² = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है
(A) (2\( \sqrt{{2}} \), 4)
(B) (2\( \sqrt{{2}} \), 0)
(C) (0, 0)
(D) (2, 2)
हल:
माना वक्र x² = 2y पर कोई बिन्दु P (x, y) है।
दिया हुआ बिन्दु A (0, 5) है।
PA² = (x – 0) + (y – 5)² = Z (माना)
∴ Z = x² + (y – 5) …(1)
तथा वक्र x² = 2y …(2)
x² का मान समी० (1) में रखने पर,
Z = 2y + (y – 5)² = 2y + y² + 25 – 10y
= y² + 25 – 8y
अवकलन करने पर,

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 28.
x के सभी वास्तविक मानों के लिए \(\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}\) का न्यूनतम मान है
(A) 0
(B) 1
(C) 3
(D) \(\frac{1}{3}\)
हल:

प्रश्न 29.
[x(x – 1) + 1]^1/3, 0 ≤ x ≤ 1का उच्चतम मान है-
(A) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{3}}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) 1
(D) 0
हल:
यहाँ y = [x(x – 1) + 1]^1/3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

उच्चतम मान = 1
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.4

Use π = \(\frac{22}{7}\), unless stated otherwise.

Question 1.
A drinking glass is in the shape of a frustum of a cone of height 14 cm. The diameters of its two circular ends are 4 cm and 2 cm. Find the capacity of the glass.
Solution:
We have,

d₁ = 4 cm
∴ r₁ = \(\frac{d_{1}}{2}\) = 2 cm
and d₂ = 2 cm
r₂ = \(\frac{d_{2}}{2}\) = 1 cm
and h = 14 cm
Volume of the glass

Question 2.
The slant height of a frustum of a cone is 4 cm and the perimeters (circumference) of its circular ends are 18 cm and 6 cm. Find the curved surface area of the frustum.
Solution:
We have,
Slant height (l) = 4 cm
Circumference of one end = 2πr₁ = 18 cm
and Circumference of other end = 2πr₂ = 6 cm

⇒ πr₁ = \(\frac{18}{2}\) = 9 cm
and πr₂ = \(\frac{6}{2}\) = 3 cm
∴ Curved surface area of the frustum of the cone
= π(r₁ + r₂) l = (πr₁ + πr₂) l = (9 + 3 ) × 4 cm²
= 12 × 4 cm² = 48 cm².

Question 3.
A fez, the cap used by the Turks, is shaped like the frustum of a cone (see figure). If its radius on the open side is 10 cm, radius at the upper base is 4 cm and its slant height is 15 cm, find the area of material used for making it.

Solution:
Here, the radius of the open side (r₁) = 10 cm
The radius of the upper base (r₂) = 4 cm
Slant height (l) = 15 cm
∴ Area of the material required = [Curved surface area of the frustum] + [Area of the top end]
= π(r₁ + r₂)l + πr₂²

Question 4.
A container, opened from the top and made up of a metal sheet, is in the form of a frustum of a cone of height 16 cm with radii of its lower and upper ends as 8 cm and 20 cm, respectively. Find the cost of the milk which can completely fill the container, at the rate of ₹ 20 per litre. Also find the cost of metal sheet used to make the container, if it costs ₹ 8 per 100 cm². (Take π = 3.14)
Solution:
We have, r₁ = 20 cm, r₂ = 8 cm and h = 16 cm



Area of the bottom = πr₂²
= (\(\frac{314}{100}\) × 8 × 8) cm² = 200.96 cm²
∴ Total area of metal required
= 1758.4 cm² + 200.96 cm² = 1959.36 cm²
Cost of metal required for 100 cm² = ₹ 8
∴ Cost of metal required for 1959.36 cm²
= ₹ \(\frac{8}{100}\) × 1959.36 = ₹ 156.75

Question 5.
A metallic right circular cone 20 cm high and whose vertical angle is 60° is cut into two parts at the middle of its height by a plane parallel to its base. If the frustum so obtained be drawn into a wire of diameter \(\frac{1}{16}\) find the length of the wire
Solution:
Let us consider the frustum DECB of the metallic cone ABC


Thus, the required length of the wire = 7964.44 m

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.11 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.11

निश्चित समाकलनों में गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}} d x\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{3 / 2} x d x}{\sin ^{3 / 2} x+\cos ^{3 / 2} x} d x\)
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{5} x}{\sin ^{5} x+\cos ^{5} x} d x\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{-5}^{5}|x+2| d x\)
हल:
\(\int_{-5}^{5}|x+2| d x\)

प्रश्न 6.
\(\int_{2}^{8}|x-5| d x\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{0}^{1} x(1-x)^{n} d x\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \log (1+\tan x) d x\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\int_{0}^{2} x \sqrt{2-x} d x\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\int_{0}^{\pi / 2}(2 \log \sin x-\log \sin 2 x) d x\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{x d x}{1+\sin x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{7} x d x\)
हल:
माना \(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^{7} x d x\)
क्योंकि sin⁷ x एक विषम फलन है।
अतः I = 0.

प्रश्न 14.
\(\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x d x\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{5} x d x\)
माना f (x) = cos⁵ x तब
f(2π – x) = [cos (2π – x)]⁵ = cos⁵ x = f (x)

प्रश्न 15.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x-\cos x}{1+\sin x \cos x} d x\)
हल:

प्रश्न 16.
\(\int_{0}^{\pi} \log (1+\cos x) d x\)
हल:

प्रश्न 17.
\(\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\int_{0}^{4}|x-1| d x\)
हल:
\(\int_{0}^{4}|x-1| d x\)

प्रश्न 19.
\(\int_{0}^{a} f(x) g(x) d x=2 \int_{0}^{a} f(x) d x\)
यदि f और g को f(x) = f(a – x) एवं g(x) + g(x – a) = 4 के रूप में परिभाषित किया गया है।
हल:

प्रश्न 20 एवं 21 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 20.
\(\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x^{3}+x \cos x+\tan ^{5} x+1\right) d x\) का मान है-
(A) 0
(B) 2
(C) π
(D) 1
हल:


अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 21.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \log \left(\frac{4+3 \sin x}{4+3 \cos x}\right)\) का मान है
(A) 2
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) 0
(D) -2
हल:

अतः l = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 7 Coordinate Geometry Ex 7.2

Question 1.
Find the coordinates of the point which divides the join of (-1, 7) and (4, -3) in the ratio 2 : 3.
Solution:
Let the required point be P(x, y).
Here the end points are (-1, 7) and (4, – 3)
Ratio = 2 : 3 = m₁ : m₂
∴ x = \(\frac{m_{1} x_{2}+m_{2} x_{1}}{m_{1}+m_{2}}\)
= \(\frac{(2 \times 4)+3 \times(-1)}{2+3}=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1\)
And y = \(\frac{m_{1} y_{2}+m_{2} y_{1}}{m_{1}+m_{2}}\)
= \(\frac{2 \times(-3)+(3 \times 7)}{2+3}=\frac{-6+21}{5}=\frac{15}{5}=3\)
Thus, the required point is (1, 3)

Question 2.
Find the coordinates of the points of trisection of the line segment joining (4, -1) and (-2, -3).
Solution:
Let the given points be A(4, -1) and B(-2, -3)

Let the points P and Q trisects AB.
i.e., AP = PQ = QB
i.e., P divides AB in the ratio of 1 : 2 and Q divides AB in the ratio of 2 : 1
Let the coordinates of P be (x, y)

Question 3.
To conduct Sports Day activities, in your rectangular shaped school ground ABCD, lines have been drawn with chalk powder at a distance of 1 m each. 100 flower pots have been placed at a distance of 1 m from each other along AD, as shown in the figure. Niharika runs 1/4^th the distance AD on the 2nd line and posts a green flag. Preet runs 1/5^th the distance AD on the eighth line and posts a red flag. What is the distance between both the flags? If Rashmi has to post a blue flag exactly halfway between the line segment joining the two flags, where should she post her flag ?.

Solution:
Let us consider ‘A’ as origin, then
AB is the x-axis.
AD is the y-axis.
Now, the position of green flag-post is (2, \(\frac{100}{4}\)) or (2, 25)
And the position of the red flag-post is (8, \(\frac{100}{5}\)) or (8, 20)
Distance between both the flags

Let the mid-point of the line segment joining the two flags be M(x, y).

or x = 5 and y = 22.5
Thus, the blue flag is on the 5th line at a distance 22-5 m above AB.

Question 4.
Find the ratio in which the line segment joining the points (-3, 10) and (6, -8) is divided by (-1, 6).
Solution:
Let the given points are A(-3, 10) and B(6, -8).
Let the point P(-1, 6) divides AB in the ratio m₁ : m₂.
∴ Using the section formula, we have

⇒ -1(m₁ + m₂) = 6m₁ – 3m₂
and 6(m₁ + m₂) = – 8m₁ + 10m₂
⇒ -m₁ – m₂ – 6m₁ + 3m₂ = 0
and 6m₁ + 6m₂ + 8m₁ – 10m₂ = 0
⇒ -7m₁ + 2m₂ = 0 and 14m₁ – 4m₂ = 0 or 7m₁ – 1m₂ = 0
⇒ \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\) and \(\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{2}{7}\)
⇒ 2m₂ = 7m₁ and 7m₁ = 2m₂
⇒ m₁ : m₂ = 2 : 7 and m₁ : m₂ = 2 : 7
Thus, the required ratio is 2 : 7.

Question 5.
Find the ratio in which the line segment joining 4(1, -5) and B(-4, 5) is divided by the x-axis. Also, find the coordinates of the point of division.
Solution:
The given points are A( 1, -5) and B(-4, 5). Let the required ratio = k:l and the required point be P(x, y).
Since the point P lies on x-axis,
∴ Its y-coordinate is 0.

Question 6.
If (1, 2), (4, y), (x, 6) and (3,5) are the vertices of a parallelogram taken in order, find x and y.
Solution:
Let the given points are A( 1, 2), B(4, y), C(x, 6) and D(3, 5)

Since, the diagonals of a parallelogram bisect each other.
∴ The coordinates of P are :

∴ The required values of x and y are 6 and 3 respectively.

Question 7.
Find the coordinates of a point A, where AB is the diameter of a circle whose centre is (2, -3) and Bis (1,4).
Solution:
Let centre of the circle is 0(2, -3) and the end points of the diameter be A(x, y) and B(1, 4)

Since, the centre of a circle bisects the diameter.
∴ 2 = \(\frac{x+1}{2}\) ⇒ x + 1 = 4 or x = 3
And -3 = \(\frac{y+4}{2}\) ⇒ y + 4 = -6 or y = -10
Thus, the coordinates of A are (3, -10)

Question 8.
If A and B are (-2, -2) and (2, -4) respectively, find the coordinates of P such that AP = \(\frac{3}{7}\) AB and Plies on the line segment AB.
Solution:
Here, the given points are A(-2, -2) and B(2, -4)
Let the coordinates of P are (x, y)
Since, the point P divides AB such that
AP = \(\frac{3}{7}\)AB or \(\frac{A P}{A B}\) = \(\frac{3}{7}\)
⇒ AB = AP + BP
⇒ \(\frac{A P+B P}{A P}\) = \(\frac{7}{3}\)

Question 9.
Find the coordinates of the points which divide the line segment joining A(-2, 2) and B(2, 8) into four equal parts.
Solution:
Here, the given points are A(-2, 2) and B(2, 8)
Let P₁, P₂ and P₃ divide AB in four equal parts.

Question 10.
Find the area of a rhombus if its vertices are (3, 0), (4, 5), (-1, 4) and (-2, -1) taken in order.
[Hint: Area of a rhombus = \(\frac{1}{2}\) (product of its diagonals)]
Solution:
Let the vertices of the given rhombus are A(3, 0), B(4, 5), C(-1, 4) and D(-2, -1)

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.4

प्रश्न 1. यदि \(\vec{a}=\hat{i}-7 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}\) हो तो \(|\vec{a} \times \vec{b}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 2.
सदिश \(\vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-\vec{b}\) की लम्ब दिशा में मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए जहाँ \(\vec{a}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}\) है।
हल:

प्रश्न 3.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}, \hat{i}\) के साथ π/3, \(\hat{j}\) के साथ π/4 और \(\hat{k}\) के साथ एक न्यून कोण 8 बनाता है तो 0 का मान ज्ञात कीजिए और इसकी सहायता से \(\hat{a}\) के घटक भी ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
दर्शाइए कि
\((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})=2(\vec{a} \times \vec{b})\)
हल:
L.H.S. \((\vec{a}-\vec{b}) \times(\vec{a}+\vec{b})\)

प्रश्न 5.
λ और μ ज्ञात कीजिए यदि
\((2 \hat{i}+6 \hat{j}+27 \hat{k}) \times(\hat{i}+\lambda \hat{j}+\mu \hat{k})=\overrightarrow{0}\)
हल:
दिया है

प्रश्न 6.
दिया हुआ है कि \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\) और \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बारे में आप क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं|
हल:
दिया है \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\)

प्रश्न 7.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) क्रमशः \(a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}, b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}, c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}\) के रूप में दिए हुए हैं तब दर्शाइए कि
\(\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}\)
हल:
सिद्ध करना है-

प्रश्न 8.
यदि \(\vec{a}=\overrightarrow{0}\) अथवा \(\vec{b}=\overrightarrow{0}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}=\overrightarrow{0}\) होता है। क्या विलोम सत्य है? उदाहरण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 9.
एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष A (1, 1, 2), B(2, 3, 5) और C (1, 5, 5) हैं।
हल:
दिया है A (1, 1, 2), B (2, 3, 5) और C (1, 5, 5)

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी संलग्न भुजाएँ सदिश \(\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{b}=2 \hat{i}-7 \hat{j}+\hat{k}\) द्वारा निर्धारित हैं।
हल:
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संगत भुजाएँ सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) हैं = \(|\vec{a} \times \vec{b}|\)

प्रश्न 11.
मान लीजिए सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) इस प्रकार हैं कि \(|\vec{a}|=3\) और| \(|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}\) तब \(\vec{a} \times \vec{b}\) एक मात्रक सदिश है। तब \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है-

हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
एक आयत के शीर्ष A, B, C और D जिनके स्थिति सदिश क्रमशः \(-\hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}, \quad \hat{i}+\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) \(\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) और \(-\hat{i}-\frac{1}{2} \hat{j}+4 \hat{k}\) हैं, का क्षेत्रफल है

हल:

अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.10 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.10

1 से 8 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} d x\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{\sin \phi} \cos ^{5} \phi d \phi\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\int_{0}^{1} \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{2} x \sqrt{x+2} d x\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} d x\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\int_{0}^{2} \frac{d x}{x+4-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{-1}^{1} \frac{d x}{x^{2}+2 x+5}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x\)
हल:

प्रश्न 9 एवं 10 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 9.
समाकलन \(\int_{1 / 3}^{1} \frac{\left(x-x^{3}\right)^{1 / 3}}{x^{4}} d x\) का मान है-
(A) 6
(B) 0
(C) 3
(D) 4
हल:
x = sin θ रखने पर
dx = cos θ dθ

पुनः cot θ = t प्रतिस्थापित करने पर
-cosec²θ dθ = dt


अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 10.
यदि f(x) = \(\int_{0}^{x} t \sin t d t\) है, तब f'(x) है-
(A) cos x + x sin x
(B) x sin x
(C) x cos x
(D) sin x + x cos x
हल:
f(x) = \(\int_{0}^{x} t \sin t d t\)

अतः f'(x) = -[cos x – x sin x] + cos x
= – cos x + x sin x + cos x
= x sin x
अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.3

Question 1.
Prove that \(\sqrt{5}\) is irrational.
Solution:
Let us assume, to the contrary, that \(\sqrt{5}\) is rational.
∴ \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\)
∴ b × \(\sqrt{5}\) = a
By Squaring on both sides,
5b² = a² …………. (i)
∴ 5 divides a².
5 divides a.
∴ We can write a = 5c.
Substituting the value of ‘a’ in eqn. (i),
5b² = (5c)² = 25c²
b² = 5c²
It means 5 divides b².
∴ 5 divides b.
∴ ‘a’ and ‘b’ have at least 5 as a common factor.
But this contradicts the fact that a’ and ‘b’ are prime numbers.
∴ \(\sqrt{5}\) is an irrational number.

Question 2.
Prove that 3 +2\(\sqrt{5}\) is irrational.
Solution:
Let 3 + 2\(\sqrt{5}\) is rational.

⇒ From (1), \(\sqrt{5}\) is rational
But this contradicts the fact that \(\sqrt{5}\) is irrational.
∴ Our supposition is wrong.
Hence, 3 + 2\(\sqrt{5}\) is irrational.

Question 3.
Prove that the following are irrationals.
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7\(\sqrt{5}\)
(iii) 6 + \(\sqrt{2}\)
Solution:
(i) We have

From (1), \(\sqrt{2}\) is rational number which contradicts the fact that \(\sqrt{2}\) is irrational.
∴ Our assumption is wrong.
Thus, \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) is irrational.

(ii) Let \(7 \sqrt{5}\) is rational.
∴ We can find two co-prime integers a and b such that \(7 \sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where b ≠ 0

This contradicts the fact that \(\sqrt{5}\) is irrational.
∴ Out assumption is wrong.
Thus, we conclude that 7\(\sqrt{5}\) is irrational.

(iii) Let 6 + \(\sqrt{2}\) is rational.
∴ We can find two co-prime integers a and b

= Rational [ ∵ a and b are integers]
From (1), \(\sqrt{2}\) is a rational number,
which contradicts the fact that \(\sqrt{2}\) is an irrational number.
∴ Our supposition is wrong.
⇒ 6 + \(\sqrt{2}\) is an irrational number.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.3

Unless stated otherwise, use π = \(\frac{22}{7}\)

Question 1.
Find the area of the shaded region in the given figure, if PQ = 24 cm, PR = 7cm and O is the centre of the circle.

Solution:
Since O is the centre of the circle,
∴ QOR is a diameter.
⇒ ∠RPQ = 90° [Angle in a semicircle]
Now, in right ∆RPQ, RQ² = PQ²+ PR² [Pythagoras theorem]
⇒ RQ² = 24² + 7² = 576 + 49 = 625
⇒ RQ = \(\sqrt{625}\) = 25 cm
∴ Radius of a circle (r) = \(\frac{25}{2}\) cm
∴ Area of ∆RPQ
= \(\frac{1}{2}\) × PQ × RP = \(\frac{1}{2}\) × 24 × 7cm²
= 12 × 7 cm² = 84 cm²
Now, area of semicircle

∴ Area of the shaded portion
= 245.54 cm² – 84 cm² = 161.54 cm²

Question 2.
Find the area of the shaded region in given figure, if radii of the two concentric circles with centre O are 7 cm and 14 cm respectively and ∠AOC = 40°.

Solution:
Radius of the outer circle (R) = 14 cm and θ = 40°

Question 3.
Find the area of the shaded region in the given figure, if ABCD is a square of side 14 cm and APD and BPC are semicircles.

Solution:
Side of the square = 14 cm
∴ Area of the square ABCD = 14 × 14 cm²
= 196 cm²

Similarly, area of semi-circle BPC = 77 cm²
∴ Total area of two semi-circle = (77 + 77) cm²
= 154 cm²
Area of the shaded part
= Area of the square ABCD – Area of semi-circles
= (196 – 154) cm² = 42 cm²

Question 4.
Find the area of the shaded region in the figure, where a circular arc of radius 6 cm has been drawn with vertex O of an equilateral triangle OAB of side 12 cm as centre.

Solution:
Area of the equilateral triangle OAB

Question 5.
From each corner of a square of side 4 cm a quadrant of a circle of radius 1 cm is cut and also a circle of diameter 2 cm is cut as shown in the figure. Find the area of the remaining portion of the square.

Solution:
ABCD of the square ABCD = (4)² cm² = 16 cm².
Area of circel inside the square = πr²
= π × (1)² = π cm².

Question 6.
In a circular table cover of (he radius 32 cm, a design Is formed leaving an equilìtcral triangle ABC in the middle as shown in the figure. Find the area of the design (shaded region).

Solution:
Let O be the centre of a circular table and ABC be the equilateral triangle.
Then we draw OD ⊥ BC
In ∆OBD, we have: cos 60° = \(\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OB}}\)

Question 7.
In the figure, ABCD is a square of side 14 cm. With centres A, B, C and D, four circles are drawn such that each circle touch externally two of the remaining three circles. Find the area of the shaded region.
Solution:
Each side of the square ABCD = 14 cm

Question 8.
The given figure depicts a racing track whose left and right ends are semicircular. The distance between the two inner parallel line segments is 60 m and they are each 106 m long. If the track is 10 m wide, find:

(i) the distance around the track along its inner edge.
(ii) the area of the track.
Solution:
The distance around the track along the inner edge = Perimeter of GHI + Perimeter JKL + GL + IJ
= (π × 30 + π × 30 + 106 + 106)
= (60π + 212) m
= (60 × \(\frac{22}{7}\) + 212)m = \(\frac{2804}{7}\) m.

Similarly, area of another circular path
BCDJKLB = 1100 m²
Area of rectangular path (ABLG) = 106 × 10
= 1060 m²
Similarly, area of another rectangular path
IJDE = 1060 m²
Total area of the track
= (1100 + 1100 + 1060 + 1060) m²
= (2200 + 2120) m² = 4320 m².

Question 9.
In the given figure, AB and CD are two diameters of a circle (with centre O) perpendicular to each other and OD is the diameter of the smaller circle. If OA = 7 cm, find the area of the shaded region.

Solution:
O is the centre of the circle and OA = 7 cm
⇒ AB = 2OA = 2 × 7 cm = 14 cm
∵ AB and CD are perpendicular to each other.
⇒ OC ⊥ AB and OC = OA = 7 cm
Area of ∆ABC = \(\frac{1}{2}\) × AB × OC
= \(\frac{1}{2}\) × 14 cm × 7cm = 49 cm²
Again, OD = OA = 7 cm
∴ Radius of the small circle = \(\frac{1}{2}\) (OD)

Question 10.
The area of an equilateral triangle ABC is 17320.5 cm². With each vertex of the triangle as centre, a circle is drawn with radius equal to half the length of the side of the triangle (see figure). Find the area of the shaded region. (Use π = 3.14 and \(\sqrt{3}\) = 1.73205).

Solution:
Area of ∆ABC = 17320.5 cm²

⇒ (side)² = 40000
⇒ (side)² = (200)²
⇒ side = 200 cm
∴ Radius of each circle = \(\frac{200}{2}\) cm = 100 cm
Since, each angle of an equilateral triangle is 60°,
∠A = ∠B = ∠C = 60°
Area of a sector having angle of sector (θ), as 60° and radius (r) = 100 cm = \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) × πr²

Now, area of the shaded region = [Area of the equilateral triangle ABC] – [Area of 3 equal sectors]
= 17320.5 cm² – 15700 cm² = 1620.5 cm²

Question 11.
On a square handkerchief, nine circular designs each of radius 7 cm are made (see figure). Find the area of the remaining portion of the handkerchief.

Solution:
∵ The circles touch each other.
∴ The side of the square ABCD
= 3 × diameter of a circle = 3 × (2 × radius of a circle) = 3 × (2 × 7) cm = 42 cm
⇒ Area of the square ABCD = 42 × 42 cm²
= 1764 cm²
Now, area of one circle
= πr² = \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7 cm² = 154cm²
∴ Total area of 9 circles = 9 × 154 cm² = 1386 cm²
∴ Area of the remaining portion of the handkerchief = (1764 – 1386) cm² = 378 cm²

Question 12.
In the given figure, OACB is a quadrant of a circle with centre O and radius 3.5 cm. If OD = 2 cm, find the area of the
(i) quadrant OACB,
(ii) shaded region.

Solution:
(i) Here, radius (r) = 3.5 cm

Question 13.
In the given figure, a square OABC is inscribed in a quadrant OPBQuestion If OA = 20 cm, find the area of the shaded region (Use π = 3.14)

Solution:
OABC is a square such that its side
OA = 20 cm
∴ OB² = OA² + AB²
⇒ OB² = 20² + 20² = 400 + 400 = 800
⇒ OB = \(\sqrt{800}=20 \sqrt{2}\)
⇒ Radius of the quadrant (r) = \(20 \sqrt{2}\) cm
Now, area of the quadrant OPBQ = \(\frac{1}{4}\) πr²
= \(\frac{1}{4} \times \frac{314}{100}\) × 800 cm² = 314 × 2 = 628 cm²
Area of the square OABC = 20 × 20 cm² = 400 cm²
∴ Area of the shaded region
= 628 cm² – 400 cm² = 228 cm²

Question 14.
AB and CD are respectively arcs of two concentric circles of radii 21 cm and 7 cm and centre O (see figure). If ∠AOB = 30°, find the area of the shaded region.

Solution:
∵ Radius of bigger circle R = 21 cm and sector angle θ = 30°
∴ Area of the sector OAB

Question 15.
In the given figure, ABC is a quadrant of a circle of radius 14 cm and a semicircle is drawn with BC as diameter. Find the area of the shaded region.

Solution:
Radius of the quadrant = 14 cm
Since, BC is a diameter in a semi-circle.
∴ ∠BAC = θ = 90°
Area of the semicircle ABPC
= [\(\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14] cm²
= 22 × 7 cm² = 154 cm²
Area of right ∆ABC
= \(\frac{1}{2}\) × 14 × 14 cm² = 98 cm²
⇒ Area of segment BPC = 154 cm² – 98 cm²
= 56 cm²

Now, area of the shaded region = [Area of semicircle BQC] – [Area of segment BRC]
= 154 cm² – 56 cm² = 98 cm²

Question 16.
Calculate the area of the designed region in the given figure, common between the two quadrants of circles of radius 8 cm each.

Solution:
Side of the square = 8 cm
Area of the square ABCD = 8 × 8 cm² = 64 cm²
Now, radius of the quadrant ADQB = 8 cm
∴ Area of the quadrant ADQB