Bhagya

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 Probability Ex 15.2

Question 1.
Two customers Shyam and Ekta are visiting a particular shop in the same week (Tuesday to Saturday). Each is equally likely to visit the shop on any day as on another day. What is the probability that both will visit the shop on
(i) the same day?
(ii) consecutive days?
(iii) different days?
Solution:
Here, the number of all the possible outcomes = 5 × 5 = 25
(i) For both customers visiting on same day:
Favourbale outcomes are (Tue., Tue.), (Wed., Wed.), (Thu., Thu.), (Fri., Fri.), (Sat., Sat.)
∴ Number of favourable outcomes = 5
∴ Required probability = \(\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\)

(ii) For both the customers visiting on consecutive days:
Favourable outcomes are (Tue., Wed.), (Wed., Thu.), (Thu., Fri.), (Fri., Sat.), (Sat., Fri.), (Wed., Tue.), (Thu., Wed.), (Fri., Thu.)
∴ Number of favourable outcomes = 8
∴ Required probability = \(\frac{8}{25}\)

(iii) For both the customers visiting on different days:
We have probability for both visiting on same day = \(\frac{1}{5}\)
∴ Probability for both visiting on different days = 1 – [Probability for both visiting on the same day]
= \(1-\left[\frac{1}{5}\right]=\frac{5-1}{5}=\frac{4}{5}\)
∴ The required probability = \(\frac{4}{5}\).

Question 2.
A die is numbered in such a way that its faces show the numbers 1, 2, 2, 3, 3, 6. It is thrown two times and the total score in two throws is noted. Complete the following table which gives a few values of the total score in the two throws:

What ist the probability that the total score is
(i) even?
(ii) 6?
(iii) at least 6?
Solution:
The complete table as follows

∴ Number of all possible outcomes = 36
(i) For total score being even:
Favourable outcomes = 18
[∵ The even outcomes are: 2, 4, 4, 4, 4, 8, 4, 4, 8, 4, 6, 6, 4, 6, 6, 8, 8,12]
∴ The required probability = \(\frac{18}{36}=\frac{1}{2}\)

(ii) For total score being 6 :
In list of scores, we have four 6’s.
∴ Favourable outcomes = 4
∴ Required probability = \(\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

(iii) For toal score being at least 6:
The favourable scores are : 7, 8, 8, 6, 6, 9, 6, 6, 9, 7, 8, 8, 9, 9 and 12
∴ Number of favourable outcomes = 15
∴ Required probability = \(\frac{15}{36}=\frac{5}{12}\)

Question 3.
A bag contains 5 red balls and some blue balls. If the probability of drawing a blue ball is double that of a red ball, determine the number of blue balls in the bag.
Solution:
Let the number of blue balls in the bag be x.
Total number of balls = x + 5 Number of possible outcomes = (x + 5).
For a blue ball, favourable outcomes = x
Probability of drawing a blue ball = \(\frac{x}{x+5}\)
Similarly, probability of drawing a red ball = \(\frac{5}{x+5}\)
Now, we have \(\frac{x}{x+5}=2\left[\frac{5}{x+5}\right]\)
⇒ \(\frac{x}{x+5}=\frac{10}{x+5}\) ⇒ x = 10
Thus the required number of blue balls = 10.

Question 4.
A box contains 12 balls out of whichxare black. If one ball is drawn at random from the box, what is the probability that it will be a black ball?
If 6 more black balls are put in the box, the probability of drawing a black ball is now double of what it was before. Find x.
Solution:
∵ The total number of balls in the box = 12
∴ Number of possible outcomes = 12
Case – I: For drawing a black ball
Number of favourable outcomes = x
∴ Probability of getting a black ball = \(\frac{x}{12}\)

Case – II: When 6 more black balls are added
Then, the total number of balls = 12 + 6 = 18
⇒ Number of possible outcomes = 18
Now, the number of black balls = (x + 6)
∴ Number of favourable outcomes = (x + 6)
∴ Required probability = \(\frac{x+6}{18}\)
According to the given condition,
\(\frac{x+6}{18}=2\left(\frac{x}{12}\right)\)
⇒ 12 (x + 6) = 36x ⇒ 12x + 72 = 36x
⇒ 36x – 12x = 72 ⇒ 24x = 72
⇒ x = \(\frac{72}{24}\) = 3
Thus, the required value of x is 3.

Question 5.
Ajar contains 24 marbles, some are green and others are blue. If a marble is drawn at random from the jar, the probability that it is green is \(\frac{2}{3}\) Find the number of blue marbles in the jar.
Solution:
There are 24 marbles in the jar.
∴ Number of possible outcomes = 24.
Let there are x blue marbles in the jar.
∴ Number of green marbles = 24 – x
⇒ Favourable outcomes = (24 – x)
∴ Required probability for drawing a green marbles \(\frac{24-x}{24}\)
Now, according to the given condition,
\(\frac{24-x}{24}=\frac{2}{3}\)
⇒ 3(24 – x) = 2 × 24 ⇒ 72 – 3x = 48
⇒ 3x = 72 – 48 ⇒ 3x = 24 ⇒ x = \(\frac{24}{3}\) = 8
Thus, the required number of blue marbles is 8.

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.3

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। –
प्रश्न 1.
sin²(2x + 5)
हल:

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x
हल:

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x
हल:

प्रश्न 4.
sin² (2x + 1)
हल:

प्रश्न 5.
sin³ x cos³ x
हल:

प्रश्न 6.
sin x sin 2x sin 3x
हल:

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 10.
sin⁴ x
हल:

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
हल:

प्रश्न 12.
\(\frac{\sin ^{2} x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{\cos 2 x-\cos 2 \alpha}{\cos x-\cos \alpha}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{\cos x-\sin x}{1+\sin 2 x}\)
हल:

प्रश्न 15.
tan³2x sec 2x
हल:

प्रश्न 16.
tan⁴ x
हल:

प्रश्न 17.
\(\frac{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{\cos 2 x+2 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\frac{1}{\sin x \cos ^{3} x}\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{\cos 2 x}{(\cos x+\sin x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 21.
sin^-1(cos x)
हल:
\(\int \sin ^{-1}(\cos x) d x\)

प्रश्न 22.
\(\frac{1}{\cos (x-a) \cos (x-b)}\)
हल:

प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 23.
\(\int \frac{\sin ^{2} x-\cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cos ^{2} x} d x\) बराबर है-
(A) tan x + cot x + C
(B) tan x + cosecx + C
(C) – tan x + cot x + C
(D) tan x + sec x + C
हल:

प्रश्न 24.
\(\int \frac{e^{x}(1+x)}{\cos ^{2}\left(x e^{x}\right)} d x\)
(A) – cot (ex^x ) + C
(B) tan (xe^x) + C
(C) tan (e^x) + C
(D) cot (e^x) + C
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
अवकलज का प्रयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
(a) \(\left(\frac{17}{81}\right)^{1 / 4}\)
(b) (33)^-1/5
हल:

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि f (x) = \(\frac{\log x}{x}\) द्वारा प्रदत्त फलन x = e पर उच्चतम है।
हल:

अतः f, x = e पर उच्चतम है।

प्रश्न 3.
किसी निश्चित आधार b के एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 3 cm/s की दर से घट रही हैं। उस समय जब त्रिभुज की समान भुजाएँ आधार के बराबर हैं, उसका क्षेत्रफल कितनी तेजी से घट रहा है?
हल:
माना ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है। जिसमें AB = AC = x (माना)


त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल का ह्रास \( \sqrt{{3}} \)b cm²/sec की दर से हो रहा है।

प्रश्न 4.
वक्र x² = 4y के बिन्दु (1, 2) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण = x² = 4y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = acosθ + aθ sinθ, y = a sinθ – aθ cosθ के किसी बिन्दु पर अभिलम्ब मूल बिन्दु से अचर दूरी पर है।
हल:
वक्र x = acosθ + aθsinθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर :

से प्रदत्त फलन f (i) वर्धमान, (ii) ह्रासमान है।
हल:
यहाँ

प्रश्न 7.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिन पर f (x) = x³ + \(\frac{1}{x^{3}}\), x ≠ 0 से प्रदत्त फलन
(i) वर्धमान
(ii) ह्रासमान है।
हल:

⇒ x⁶ – 1 > 0 ⇒ (x³ – 1)(x + 1) > 0
जब x < -1 है तो (x³ – 1)(x³ + 1) दोनों ही ऋण हैं।
⇒ (x³ – 1)(x³ + 1) धन होगा।
⇒ (x³ – 1) (x³ + 1) > 0
इस प्रकार, जब x > 1 है तो x³ – 1 और (x + 1) दोनों धन
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) भी धन है।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) > 0
⇒ x < -1 और x > 1 में फलन f वर्धमान हैं।
जब -1 < x < 1, x³ – 1 ऋण और x³ + 14 धन होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) का चिह्न ऋण होगा।
∴ (x³ – 1)(x³ + 1) < 0 ह्रासमान है।
अतः f वर्धमान है जब x < -1 और x > 1 है।
ह्रासमान है जब -1 < x < 1है।

प्रश्न 8.
दीर्घवृत्त \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के अन्तर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।
हल:
दीर्घवृत्त, \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1
माना दीर्घवृत्त पर एक बिन्दु P (acos θ, b sin θ) है। APP’ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
PP’ दीर्घवृत्त के अक्ष AA’ को बिन्दु M पर काटती है।
∆APP’ का क्षेत्रफल A = \(\frac{1}{2}\)PP’ × AM

प्रश्न 9.
आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की 2m गहरी और 8 m³ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए Rs. 70/m² और दीवारों पर Rs. 45/m² व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?
हल:
माना एक आयताकार टंकी की लम्बाई x मीटर है तथा चौड़ाई y मीटर है।
टंकी की गहराई = 2 मीटर
∴ आयतन = 2 × x × y
= 2ry = 8 (दिया है)
xy = 4 …(1)
आयताकार का क्षेत्रफल =ry
आधार पर खर्च की दर = Rs. 70/m²
∴ आधार पर किया गया खर्च = 70xy रु०

प्रश्न 10.
एक वृत्त और एक वर्ग के परिमापों का योगk है, जहाँ k एक अचर है। सिद्ध कीजिए कि उनके क्षेत्रफलों का योग निम्नतम है, जब वर्ग की भुजा वृत्त की त्रिज्या की दुगुनी है।
हल:
माना वर्ग की भुजा x तथा वृत्त की त्रिज्या r है।
वर्ग का परिमाप = 4x, वृत्त की परिधि = 2πr
दोनों परिमापों का योग = 2πr + 4x = k … (1)
वृत्त का क्षेत्रफल = πr²
वर्ग का क्षेत्रफल = x²
∴ दोनों का योग A = πr² + x² …(2)
समी० (1) से, 4x = k – 2πr

प्रश्न 11.
किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का सम्पूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCPD एक खिड़की है जिसमें CPD अधिवृत्त
∴ AB = 2r, BC = AD = x
तो CPD = \(\frac{1}{2}\) . 2πr = πr

प्रश्न 12.
त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिन्दु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लम्बाई (a^2/3 + b^2/3)^3/2 है।
हल:
माना ∆ABC में कर्ण पर एक बिन्दु P है।
P से AB पर PL तथा P से BC पर PM लम्ब खींचे।
मान लिया ∠ ACB = θ = ∠APL
AP = asecθ, PC = bcosec θ
माना कर्ण की लम्बाई l है, तब
l = AP + PC
= asecθ + b cosec θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर f(x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴ द्वारा प्रदत्त फलन f का
(i) स्थानीय उच्चतम बिन्दु है,
(ii) स्थानीय निम्नतम बिन्दु है,
(iii) नत परिवर्तन बिन्दु है।
हल:
यहाँ f (x) = (x – 2)⁴ (x + 1)⁴
∴ f'(x) = (x – 2)⁴ . 3(x + 1)² + (x + 1)³ . 4(x – 2)³
= (x – 2)³ (x + 1)² [3(x – 2) + 4(x + 1)]
= (x – 2)³ (x + 1)² [3x – 6 + 4x + 4]
= (x – 2)³ (x + 1)² (7x – 2)
= 7(x – 2)³ (x + 1)² (x – \(\frac{2}{7}\))
उच्चतम व निम्नतम के लिए 1 (x)= 0
⇒ 7(x – 2)³ + (x + 1)²(x – \(\frac{2}{7}\)) = 0
∴ = 2, -1,\(\frac{2}{7}\)
(i) जब x=2 पर,
x, 2 के निकट और 2 के बायीं ओर तो, f(x) = (-)(+)(+) = -ve
x, 2 के निकट और 2 के दायीं ओर तो, f(x) = (+)(+)(+) = + ve
∴ जब x, x = -2 से होकर आगे बढ़ता है तो f(x) का चिह्न ऋण से धन में परिवर्तित हो जाता है।
⇒ f, x = 2 पर निम्नतम है।

(ii) x = -1 पर
x, -1 के निकट और 1 से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x, -1 के निकट और -1 से अधिक मान रखने पर,
f(x) = (-)(+)(-) = + ve
⇒ x, -1 एक नत परिवर्तन बिन्दु है।

(iii) x = \(\frac{2}{7}\) = 0.28 पर
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट \(\frac{2}{7}\) से कम मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = + ve
x का \(\frac{2}{7}\) के निकट और \(\frac{2}{7}\) से अधिक मान रखने पर,
f'(x) = (-)(+)(-) = -ve
⇒ x = \(\frac{2}{7}\) पर, (x) धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है, जैसे ही x, x = \(\frac{2}{7}\) से होकर आगे बढ़ता है।
इस प्रकार x = 2 पर निम्नतम है, x = -1 पर नति परिवर्तन और x = \(\frac{2}{7}\) पर उच्चतम होता है।

प्रश्न 14.
f (x) = cos² x + sin x, x ϵ [0, π] द्वारा प्रदत्त फलन का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) =cos² x + sin x, x ϵ (0, π)
en f'(x)= 2cos x(–sin x) + cos x
= cos x(-2sin x + 1)
उच्चतम व निम्नतम के लिए, f (x)= 0
⇒ cos x (-2sin x + 1) = 0

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि एक r त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत उच्चतम आयतन के लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई \(\frac{4 r}{3}\) है।
हल:
माना गोले की त्रिज्या = r
शंकु की त्रिज्या = R
शंकु की ऊँचाई = AM
= OA + OM
= r + rcosθ
= r(1 + cosθ)
जबकि ∠ BOM = θ
BC = शंकु के आधार का व्यास
∴ शंकु की त्रिज्या = r sin θ

प्रश्न 16.
मान लीजिए [a, b] पर परिभाषित एक फलन f है। इस प्रकार कि सभी x ϵ (a, b) के लिए f (x) > 0 है तो सिद्ध कीजिए कि (a, b) पर f एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना x₁, x₂, ϵ (a, b) इस प्रकार है कि x₁ < x₂ ϵ f (x),(a, b) पर अवकलनीय है और [x₁, x₂] ⊂ (a, b)
∴ f(x), [x₁, x₂] पर संतत है और (x₁, x₂) पर अवकलनीय है।
∴ Lagrange माध्यमान प्रमेय के अनुसार,
यहाँ c ϵ (x₁, x₂) का अस्तित्व इस प्रकार है कि

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई \(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\) है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गोले की त्रिज्या, OA = R
बेलन के अक्ष के साथ θ कोण बनाती है।
बेलन की त्रिज्या = Rsin θ
बेलन की ऊँचाई = 2Rcosθ
∴ बेलन का आयतन = πr²h
V = π (Rsin θ)² × 2Rcosθ

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण और ऊँचाई h के लम्ब वृत्तीय शंकु के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई शंकु के ऊँचाई की एक-तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन \(\frac{4}{27}\) = πh³ tan² α है।
हल:
माना VAB एक शंकु है।
शंकु की ऊँचाई = h
अर्द्धशीर्ष कोण = α
बेलन A’B’DC जो शंकु के अन्तर्गत बनाया गया है जिसकी त्रिज्या = x है।

नोट-प्रश्न 19 से 24 तक के प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 19.
एक 10m त्रिज्या की बेलनाकार टंकी में 314 m³/h की दर से गेहूँ भरा जाता है। भरे गए गेहूँ की गहराई की वृद्धि दर है-
(A) 1 m/h
(B) 0.1 m/h
(C) 1.1 m/h
(D) 0.5 m/n
हल:
माना बेलनाकार टंकी की लम्बाई h और त्रिज्या r है।
टंकी का आयतन = πr²h
= π × 10 × 10 × h [∵ r = 10m]
V = 100πh

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 20.
वक्र x = t² + 3t – 8, y = 2t² – 2t -5 के बिन्दु (2, -1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है-

हल:
वक्र x = t² + 3t – 8 में x = 2 रखने पर,
2 = t² + 3t – 8 ⇒ t² + 3t – 10 = 0
⇒ (t + 5)(t – 2) = 0
∴ t = -5, 2.
इसी प्रकार y = 2t² – 2t – 5 में y = -1 रखने पर,
-1 = 2t² – 2t – 5 ⇒ 2t² – 2t – 5 + 1 = 0
⇒ 2t² – 2t – 4 = 0
⇒ t² – t – 2 = 0
⇒ (t – 2)(t + 1) = 0
∴ t = -1, 2
दोनों में t = 2 उभयनिष्ठ है।

अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 21.
रेखा y = mx + 1, वक्र y² = 4x की एक स्पर्श रेखा है यदि m का मान है-
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) \(\frac{1}{2}\)
हल:
वक्र y² = 4x

प्रश्न 22.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण है
(A) x + y = 0
(B) x – y = 0
(C) x + y + 1 = 0
(D) x – y = 1
हल:
वक्र 2y + x² = 3
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.
वक्र x² = 4y का बिन्दु (1, 2) से होकर जाने वाला अभिलम्ब है-
(A) x + y = 3
(B) x – y = 3
(C) x + y =1
(D) x – y = 1
हल:
वक्र x² = 4y
अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
वक्र 9y² = x³ पर वे बिन्दु जहाँ पर वक्र का अभिलम्ब अक्षों से समान अन्तःखण्ड बनाता है-

हल:
वक्र 9y² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.1

प्रश्न 1.
वृत्त के क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर इसकी त्रिज्या के सापेक्ष ज्ञात कीजिए जबकि
(a) r = 3cm है
(b) r = 4 cm है।
हल:
त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²

प्रश्न 2.
एक घन का आयतन 8 cm³/s की दर से बढ़ रहा है। पृष्ठ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जबकि इसके किनारे की लम्बाई 12 cm है।
हल:
माना x लम्बाई के घन का आयतन V है।
तब V = x³

= \(\frac{8}{3}\)cm²/s
अत: घन का पृष्ठ क्षेत्रफल \(\frac{8}{3}\)cm²/s से बढ़ रहा है।

प्रश्न 3.
एक वृत्त की त्रिज्या समान रूप से 3 cm/s की दर से बढ़ रही है। ज्ञात कीजिए कि वृत्त का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है जब त्रिज्या 10 cm है।
हल:
दिया है \(\frac{dr}{dt}\) = 3 cm/sec
वृत्त का क्षेत्रफल
A = πr²

प्रश्न 4.
एक परिवर्तनशील घन का किनारा 3 cm/s की दर से बढ़ रहा है। घन का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि किनारा 10 cm लंबा है?
हल:
माना घन के कोर की लम्बाई = x cm तब,
\(\frac{dx}{dt}\) = 3 cm/s (दिया है)
∴ घन का आयतन,

प्रश्न 5.
एक स्थिर झील में एक पत्थर डाला जाता है और तरंगें वृत्तों में 5 सेमी/सेकण्ड की गति से चलती हैं। जब वृत्ताकार तरंग की त्रिज्या 8 सेमी है, तो उस क्षण, घिरा हुआ क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले वृत्ताकार तरंग का क्षेत्रफल A है
तब, \(\frac{dr}{dt}\) = 5 cm/s (दिया है)
तथा क्षेत्रफल,
A = πr²

प्रश्न 6.
एक वृत्त की त्रिज्या 0.7 cm/s की दर से बढ़ रही है। इसकी परिधि की वृद्धि की दर क्या है जब r = 4.9 cm है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि c है
तथा दिया है

अतः परिधि 1.4 cm/s की दर से बढ़ रही है।

प्रश्न 7.
एक आयत की लम्बाई x, 5 cm/min की दर से घट रही है और चौड़ाई y, 4cm/min की दर से बढ़ रही है। जब x = 8 cm और y = 6 cm है। तब आयत के (a) परिमाप (b) क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : \(\frac{dx}{dt}\) = -5cm/min तथा \(\frac{dy}{dt}\) = 4cm/min
माना आयत का क्षेत्रफल = A
परिमाप = p
लम्बाई = x cm, चौड़ाई = y cm
(a) p = 2(x + y)
\(\frac{d p}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)\)
= 2[-5 + 4] = -2cm/min
अतः परिमाप 2 cm/min की दर से घट रहा है।
(b) A = xy

अतः क्षेत्रफल 2 cm²/min की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 8.
एक गुब्बारा जो सदैव गोलाकार रहता है, एक पंप द्वारा 900 cm³ गैस प्रति सेकण्ड भर कर फुलाया जाता है। गुब्बारे की त्रिज्या के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 15 cm है।
हल:
माना r त्रिज्या वाले गुब्बारे का आयतन V है

प्रश्न 9.
एक गुब्बारा जो सदैव लगातार गोलाकार रहता है कि त्रिज्या परिवर्तनशील है। त्रिज्या के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए जब त्रिज्या 10 cm है।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन = V
त्रिज्या = 2

प्रश्न 10.
एक 5 m लम्बी सीढ़ी दीवार के सहारे झुकी है। सीढ़ी का नीचे का सिरा, जमीन के अनुदिश दीवार से दूर 2 cm/s की दर से खींचा जाता है। दीवार पर इसकी ऊँचाई किस दर से घट रही है जबकि सीढ़ी के नीचे का सिरा दीवार से 4 cm दूर है?
हल:
माना सीढ़ी की लम्बाई AC = 5 m
BC = xm,
AB = y m,
∠ABC = 90°
समकोण ∆ABC में,
x² + y² = 5² = 25
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
एक कण वक्र 6y = x³ + 2 के अनुगत गति कर रहा है। वक्र पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जबकि x निर्देशांक की तुलना में निर्देशांक 8 गुना तीव्रता से बदल रहा है|
हल:
वक्र का समीकरण
6y = x² + 2 …(i)

प्रश्न 12.
हवा के एक बुलबुले की त्रिज्या \(\frac{1}{2}\)cm/s की दर से बढ़ रही है। बुलबुले का आयतन किस दर से बढ़ रहा है जबकि त्रिज्या 1 cm है?
हल:
माना r त्रिज्या वाले बुलबुले का आयतन V है।
दिया है :

अतः बुलबुले का आयतन 2π cm³/s की दर से बढ़ रहा

प्रश्न 13.
एक गुब्बारा, जो सदैव गोलाकार रहता है, का परिवर्तनशील व्यास \(\frac{3}{2}\)(2x + 1) है। x के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात कीजिए।
हल:
माना गुब्बारे का आयतन = V

प्रश्न 14.
एक पाइप से रेत 12 cm³/s की दर से गिर रही है। गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंक बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधर की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है।
हल:
माना बालू के शंकु का आयतन = V, ऊँचाई = h, त्रिज्या = r

प्रश्न 15.
एक वस्तु की x इकाइयों के उत्पादन से सम्बन्धित कुल लागत C(x)(रुपये में).
C(x) = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000 से प्रदत्त है। सीमान्त लागत ज्ञात कीजिए जबकि 17 इकाइयों का उत्पादन किया गया है।
हल:
दिया है
C = 0.007x³ – 0.003x² + 15x + 4000
∴ सीमान्त लागत
(mx) = \(\frac{d c}{d x}\) = 0.021x² – 0.006x + 15
x = 17 रखने पर
mc = 0.021 × 289 – 0.006 x 17 + 15
= 6.069 – 0102 + 15
= 20.967
अतः सीमान्त लागत (mc) = 20.97 रुपये।

प्रश्न 16.
किसी उत्पाद की x इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय R(x) रुपयों में
R(x) = 13x² + 26x + 15 से प्रदत्त है। सीमांत आय ज्ञात कीजिए जब x = 7 है।
हल:
दिया है R(x) = 13x² + 26x + 15.
∴ सीमान्त लागत (MR) = \(\frac{d R}{d x}\) = 26x + 26
x = 7 पर,
MR = 26 × 7 + 26
= 208
अतः सीमान्त लागत 3208 रुपये।

प्रश्न 17 तथा 18 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 17.
एक वृत्त की त्रिज्याr r = 6 cm पर के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है :
(A) 10 π
(B) 12 π
(C) 8 π
(D) 11 π
हल:
माना वृत का क्षेत्रफल = A, त्रिज्या = r
∴ A = πr²
r के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d A}{d r}\) = 2πr
परन्तु r = 6 रखने पर,
∴ 2π × 6 = 12πcm²/cm
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
एक उत्पाद की इकाइयों के विक्रय से प्राप्त कुल आय रुपयों में R(x) = 3x² + 36x + 5 से प्रदत्त है। जब x = 15 है तो सीमान्त आय है :
(A) 116
(B) 96
(C) 90
(D) 126
हल:
राजस्व समीकरण है
R(x) = 3x² + 36x + 5
MR = \(\frac{d}{d x}\) R(x) = \(\frac{d}{d x}\) (3x² + 36x + 6)
= 6x + 36 = 6(x + 6)
x = 15, ∴ MR = 6 × 21 = 126 रु०
अत: विकल्प (D) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.3

Question 1.
Find the roots of the following quadratic equations, if they exist, by the method of completing the square:
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
Solution:
(i) We have, 2x² – 7x + 3 = 0
Dividing both sides by 2, we get

(ii) We have 2x² + x – 4 = 0
Divide both sides by 2, we get

(iv) We have, 2x² + x + 4 = 0
Dividing both sides by 2, we get

Since, the square of a number cannot be negative.
∴ There is no real value of x satisfying the given equation.

Question 2.
Find the roots of the following quadratic equations, using the quadratic formula:
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt{3}\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
Solution:
(i) Comparing the given equation with ax² + bx + c = 0, we get a = 2, b = -7, c = 3
∴ b² – 4ac = (-7)² – 4(2)(3) = 49 – 24 = 25 > 0
Since b² – 4ac > 0, therefore the given equation has real roots, which are given by

Taking negative sign, x = \(\frac{7-5}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)
Thus, the roots of the given equation are 3 and \(\frac{1}{2}\).

(ii) Comparing the given equation with ax² + bx + c = 0, we get a = 2, b = 1, c = – 4
b² – 4ac = (1)² – 4(2)(-4) = 1 + 32 = 33 > 0
Since b² – 4ac > 0, therefore the given equation has real roots, which are given by

(iii) Comparing the given equation with
ax² + bx + c = 0, we get
a = 4, b= 473, c = 3
b² – 4ac = (473)² – 4(4)(3)
= (16 × 3) – 48 = 48 – 48 = 0
Since b² – 4ac = 0, therefore the given equation has real and equal roots, which are given by

(iv) Comparing the given equation with ax² + bx + c = 0, we get a = 2, b = 1, c = 4
b² – 4ac = (1 )² – 4(2)(4) = 1 – 32 = -31 < 0 Since
b² – 4ac < 0, therefore the given equation does not have real roots.

Question 3.
Find the roots of the following equations:

Solution:


Taking negative sign, x = \(\frac{3-1}{2}\)
Thus, the required roots of the given equation are 2 and 1.

Question 4.
The sum of the reciprocals of Rehman’s ages, (in years) 3 years ago and 5 years from now is \(\frac{1}{3}\). Find his present age.
Solution:
Let the present age of Rehman be x years.
3 years ago, Rehman’s age = (x – 3) years
5 years later, Rehman’s age = (x + 5) years
According to the condition,

⇒ 3(2x + 2) = x² + 2x – 15
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² + 2x – 6x – 15 – 6 = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0 …(1)
Comparing equation (1) with ax² + bx + c = 0,
we get a = 1, b = -4, c = -21
b² – 4ac = (-4)² – 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100

Since, age cannot be negative.
∴ x ≠ -3 ⇒ x = 7
So, the present age of Rehman = 7 years

Question 5.
In a class test, the sum of Shefali’s marks in Mathematics and English is 30. Had she got 2 marks more in Mathematics and 3 marks less in English, the product of their marks would have been 210. Find her marks in the two subjects.
Solution:
Let Shefali’s marks in Mathematics = x
∴ Marks in English = 30 – x
According to the condition,
(x + 2) × [(30 – x) – 3] = 210
⇒ (x + 2) × (30 – x – 3) = 210
⇒ (x + 2)(- x + 27) = 210
⇒ -x² + 25x + 54 = 210
⇒ -x² + 25x + 54 – 210 = 0
⇒ -x² + 25x – 156 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0 …(1)
Comparing equation (1) with ax² + bx + c = 0, we get a = 1,b = -25, c = 156

When x = 12, then 30 – x = 30 – 12 = 18 Thus, marks in Mathematics = 13, marks in English = 17 or
Marks in Mathematics = 12, Marks in English = 18.

Question 6.
The diagonal of a rectangular field is 60 metres more than the shorter side. If the longer side is 30 metres more than the shorter side, find the sides of the field.
Solution:
Let the shorter side i.e., breadth = x metres

∴ The longer side i.e., length = (x + 30) metres and diagonal = (x + 60) metres
In a rectangle,
(diagonal)² = (breadth)² + (length)²
⇒ (x + 60)² = x² + (x + 30)²
⇒ x² + 120 x + 3600 = x² + x² + 60x + 900
⇒ x² + 120x + 3600 = 2x² + 60x + 900
⇒ 2x² – x² + 60x – 120x + 900 – 3600 = 0
⇒ x² – 60x – 2700 = 0 …(1)
Comparing equation (1) with ax² + bx + c = 0, we get a = 1, b = -60, c = -2700
∴ b² – 4ac = (-60)² – 4(1)(-2700)
⇒ b² – 4ac = 3600 + 10800
⇒ b² – 4ac = 14400

Since breadth cannot be negative,
x ≠ -30 ⇒ x = 90
∴ x + 30 = 90 + 30 = 120
Thus, the shorter side is 90 m and the longer side is 120 m.

Question 7.
The difference of squares of two numbers is 180. The square of the smaller number is 8 times the larger number. Find the two numbers.
Solution:
Let the larger number be x.
Since, (smaller number)² = 8(larger number)
⇒ (smaller number)² = 8
⇒ smaller number = \(\sqrt{8 x}\)
According to the condition,

Thus, the smaller number = 12 or -12
Thus, the two numbers are 18 and 12 or 18 and -12.

Question 8.
A train travels 360 km at a uniform speed. If the speed had been 5 km/h more, it would have taken 1 hour less for the same journey. Find the speed of the train.
Solution:


Thus, speed of the train is 40 km/hr.

Question 9.
Two water taps together can fill a tank in \(9 \frac{3}{8}\) hours. The tap of larger diameter takes 10 hours less than the smaller one to fill the tank separately. Find the time in which each tap can separately fill the tank.
Solution:
Let the smaller tap fills the tank in x hours
∴ The larger tap fills the tank in (x – 10) hours.
Amount of water flowing through both the taps in one hour


[ ∵ Time cannot be negative]
x = 25 ⇒ x – 10 = 25 – 10 = 15
Thus, time taken to fill the tank by the smaller tap alone is 25 hours and by the larger tap alone is 15 hours.

Question 10.
An express train takes 1 hour less than a passenger train to travel 132 km between Mysore and Bangalore (without taking into consideration the time they stop at intermediate stations). If the average speed of the express train is 11 km/h more than that of the passenger train, find the average speed of the two trains.
Solution:
Let the average speed of the passenger train be x km/h.
∴ Average speed of the express train = (x + 11) km/h
Total distance covered = 132 km

Comparing equation (1) with ax² + bx + c = 0, we get a = 1, b = 11, c = -1452

Question 11.
Sum of the areas of two squares is 468 m². If the difference of their perimeters is 24 m, find the sides of the two squares.
Solution:
Let the side of the smaller square be x m.
⇒ Perimeter of the smaller square = 4x m
∴ Perimeter of the larger square = (4x + 24) m
⇒ Side of the larger square

Area of the smaller square = x² m²
Area of the larger square = (x + 6)² m²
According to the condition,
x² + (x + 6)² = 468
⇒ x² + x² + 12x + 36 = 468
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0 …(1)
[Dividing both sides by 2] Comparing equation (1) with ax² + bx + c = 0, we get
a = 1, b = 6, c = -216
b² – 4ac = (6)² – 4(1)(-216) = 36 + 864 = 900

But the length of a square cannot be negative,
∴ x ≠ -18 ⇒ x = 12
Length of the smaller square = 12 m
and the length of the larger square = x + 6
= 12+ 6 = 18 m

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.9 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.9

1 से 20 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\int_{-1}^{1}(x+1)\) dx
हल:
समाकलन करने पर

प्रश्न 2.
\(\int_{2}^{3} \frac{1}{x}\) dx
हल:
माना I = \(\int_{2}^{3} \frac{1}{x}\) dx
= \([\log x]_{2}^{3}\) = log 3 – log 2 = log\(\frac{3}{2}\)

प्रश्न 3.
\(\int_{1}^{2}\left(4 x^{3}-5 x^{2}+6 x+9\right)\) dx
हल:

प्रश्न 4.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \sin 2 x\) dx
हल:
माना I = \(\int_{0}^{\pi / 4} \sin 2 x\) dx

प्रश्न 5.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos 2 x\) dx
हल:

प्रश्न 6.
\(\int_{4}^{5} e^{x} d x\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \tan x d x\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int_{\pi / 6}^{\pi / 4} \csc x d x\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\int_{2}^{3} \frac{d x}{x^{2}-1}\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} x d x\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\int_{2}^{3} \frac{x d x}{x^{2}+1}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{5 x^{2}+1} d x\)
हल:

प्रश्न 15.
\(\int_{0}^{1} x e^{x^{2}} d x\)
हल:
x² = t प्रतिस्थापित करने पर
x dx = \(\frac{1}{2}\) dt

प्रश्न 16.
\(\int_{1}^{2} \frac{5 x^{2}}{x^{2}+4 x+3}\)
हल:

प्रश्न 17.
\(\int_{0}^{\pi / 4}\left(2 \sec ^{2} x+x^{3}+2\right) d x\)
हल:

प्रश्न 18.
\(\int_{0}^{\pi}\left(\sin ^{2} \frac{x}{2}-\cos ^{2} \frac{x}{2}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 19.
\(\int_{0}^{2} \frac{6 x+3}{x^{2}+4} d x\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\int_{0}^{1}\left(x e^{x}+\sin \frac{\pi x}{4}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 21.
\(\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1+x^{2}}\) बराबर है-

हल:

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 22.
\(\int_{0}^{2 / 3} \frac{d x}{4+9 x^{2}}\) बराबर है-

हल:

अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.2

Unless stated otherwise, take π = \(\frac{22}{7}\)

Question 1.
A solid is in the shape of a cone standing on a hemisphere with both their radii being equal to 1 cm and the height of the cone is equal to its radius. Find the volume of the solid in terms of π.
Solution:
Here, r = 1 cm and h = 1 cm.
Volume of the conical part = \(\frac{1}{3}\) πr²h and volume of the hemispherical part = \(\frac{2}{3}\) πr³h

∴ Volume of the solid shape
= \(\frac{1}{3}\) πr²h + \(\frac{2}{3}\) πr³h = \(\frac{1}{3}\) πr²h[h + 2r]
= \(\frac{1}{3}\) π(1)² [1 + 2(1)] cm³
= (\(\frac{1}{3}\) π × 1 × 3) cm³ = π cm³

Question 2.
Rachel, an engineering student, was asked to make a model shaped like a cylinder with two cones attached at its two ends by using a thin aluminium sheet. The diameter of the model is 3 cm and its length is 12 cm. If each cone has a height of 2 cm, find the volume of air contained in the model that Rachel made. (Assume the outer and inner dimensions of the model to be nearly the same.)
Solution:
Here, diameter = 3 cm
⇒ Radius (r) = \(\frac{3}{2}\) cm
Total height = 12 cm
Height of a cone (h₁) = 2 cm

∴ Height of both cones = 2 × 2 = 4 cm
⇒ Height of the cylinder (h₂) = (12 – 4) cm = 8 cm.
Now, volume of the cylindrical part = πr²h₂
Volume of both conical parts = 2[\(\frac{1}{3}\) πr²h₁]
∴ Volume of the whole model

Question 3.
A gulab jamun contains sugar syrup up to about 30% of its volume. Find approximately how much syrup would be found in 45 gulab jamuns, each shaped like a cylinder with two hemispherical ends with length 5 cm and diameter 2.8 cm (see figure).

Solution:
Since a gulab jamun is like a cylinder with hemispherical ends.
Total height of the gulab jamun = 5 cm.

Diameter = 2.8 cm
⇒ Radius (r) = 1.4 cm
∴ Length of the cylindrical part (h)
= 5 cm – (1.4 + 1.4) cm = 5 cm – 2.8 cm = 2.2 cm
Now, volume of the cylindrical part = πr²h and volume of both the hemispherical ends
= 2(\(\frac{2}{3}\) πr³) = \(\frac{4}{3}\) πr³
∴ Volume of a gulab jamun

Volume of 45 gulab jamuns

Question 4.
A pen stand made up of wood is in the shape of a cuboid with four conical depressions to hold pens. The dimensions of the cuboid are 15 cm by 10 cm by 3.5 cm. The radius of each of the depressions is 0.5 cm and the depth is 1.4 cm. Find the volume of wood in the entire stand (see figure).

Solution:
Dimensions of the cuboid are 15 cm by 10 cm by 3.5 cm.
∴ Volume of the cuboid = 15 × 10 × \(\frac{35}{10}\) cm³
= 525 cm³
Since, each depression is conical in shape with base radius (r) = 0.5 cm and depth (h) = 1.4 cm
∴ Volume of each depression
= \(\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{5}{10}\right)^{2} \times \frac{14}{10} \mathrm{cm}^{3}=\frac{11}{30} \mathrm{cm}^{3}\)
Since, there are 4 depressions
∴ Total volume of 4 depressions = \(\frac{44}{30}\) cm³
Now, volume of the wood in entire stand = [Volume of the wooden cuboid] – [Volume of 4 depressions]
= 525cm³ – \(\frac{44}{30}\) cm³
= \(\frac{15750-44}{30} \mathrm{cm}^{3}=\frac{15706}{30} \mathrm{cm}^{3}\)
= 523.53 cm³

Question 5.
A vessel is in the form of an inverted cone. Its height is 8 cm and the radius of its top, which is open, is 5 cm. It is filled with water up to the brim. When lead shots, each of which is a sphere of radius 0.5 cm are dropped into the vessel, one-fourth of the water flows out. Find the number of lead shots dropped in the vessel.
Solution:
Height of the conical vessel (h) = 8 cm
Base radius (R) = 5 cm
Volume of water in conical vessel = \(\frac{1}{3}\) πR²h

Thus, the required number of lead shots = 100

Question 6.
A solid iron pole consists of a cylinder of height 220 cm and base diameter 24 cm, which is surmounted by another cylinder of height 60 cm and radius 8 cm. Find the mass of the pole, given that 1 cm³ of iron has approximately 8 g mass. (Use π = 3.14)
Solution:
Height of the big cylinder (h) = 220 cm
Base radius (r) = \(\frac{24}{2}\) cm = 12cm
∴ Volume of the big cylinder
= πr²h = (π(12)² × 220) cm³
Also, height of smaller cylinder (h₁) = 60 cm

Base radius (r₁) = 8 cm
∴ Volume of the smaller cylinder πr₁²h₁
= (π(8)² × 60) cm³
∴ Volume of iron pole = [Volume of big cylinder] + [Volume of the smaller cylinder]
= (π × 220 × 12² × π × 60 × 8²) cm³
= 3.14[220 × 12 × 12 + 60 × 8 × 8] cm³

Question 7.
A solid consisting of a right circular cone of height 120 cm and radius 60 cm standing on a hemisphere of radius 60 cm is placed upright in a right circular cylinder full of water such that it touches the bottom. Find the volume of water left in the cylinder, if the radius of the cylinder is 60 cm and its height is 180 cm.
Solution:
Height of the conical part = 120 cm
Base radius of the conical part = 60 cm
Volume of the conical part
= \(\frac{1}{3}\) πr²h = [\(\frac{1}{3} \times \frac{22}{7}\) × (60)² × 120] cm³
Radius of the hemispherical part = 60 cm.

Question 8.
A spherical glass vessel has a cylindrical neck 8 cm long, 2 cm in diameter; the diameter of the spherical part is 8.5 cm. By measuring the amount of water it holds, a child finds its volume to be 345 cm³. Check whether she is correct, taking the above as the inside measurements, and π = 3.14.
Solution:
Volume of the cylindrical part = πr²h
= (3.14 × 1² × 8) cm³ = \(\frac{314}{100}\) × 8 cm³

∴ Total volume of the glass vessel = [Volume of cylindrical part] + [Volume of spherical part]

⇒ Volume of water in the vessel = 346.51 cm³
Since the child finds the volume as 345 cm³
∴ The child’s answer is not correct.
The correct answer is 346.51 cm³.

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 12 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
उदाहरण 9 पर ध्यान कीजिए।आहार में विटामिन A की मात्रा का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग होना चाहिए? आहार में विटामिन A की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
माना x पैकेट भोज्य A के और y पैकेट भोज्य B के खरीदे गए।
दिया है:

उद्देश्य फलन : Z = 6x + 3y
अवरोध : 12x + 3y ≥ 240, 4x + 20y ≥ 460, 6x + 4y ≤ 300, x, y ≥ 0
या 4x + y ≥ 80, x + 5y ≥ 115, 3x + 2y ≤ 150, x, y ≥ 0
(1) 4x + y ≥ 80 का आलेखन
रेखा 4x + y = 80, बिन्दु A(20,0), B(0, 80) से होकर जाती है।
4x + y ≥ 80 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 80 जो सत्य नहीं है।
⇒ 4x + y ≥ 80 रेखा AB पर तथा उसके ऊपर का क्षेत्र है।
(2) रेखा x + 5y = 115, बिन्दु C(115, 0), D (0, 23) से गुजरती है।
∴ x + 5y ≥ 115 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 115 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 5y ≥ 115 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर हैं।
(3) रेखा 3x + 2y = 150, बिन्दु E (50, 0), F (0,75) से होकर जाती है।
∴ 3x + 2y ≤ 150 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 150 जो सत्य है।
⇒ 3x + 2y ≤ 150 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा EF है या उसके नीचे है।

(4) x ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर है और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: 4x + y = 80 तथा CD: x + 5y = 115 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(15, 20) हैं।
(7) रेखा CD: x + 5y = 115 तथा EF = 3x + 2y = 150 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(40, 15) हैं।
(8) रेखा AB : 4x + y = 80 तथा EF : 3x + 2y = 150 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(2, 72) है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र PQR है।
अब, उद्देश्य फलन : Z = 6x + 3y
बिन्दु P (2, 72) पर,
Z = 12 + 3 x 72 =12 + 216 = 228
बिन्दु Q (15, 20) पर,
Z = 6 x 15 + 3 x 20 = 90 + 60 = 150
बिन्दु R(40, 15) पर,
Z = 6 x 40 +3 x 15 = 240 + 45 = 285
इस प्रकार विटामिन की अधिकतम मात्रा 285 मात्रक है जब भोज्य P के 40 पैकेट और भोज्य के 15 पैकेट खरीदे जाते हैं।

प्रश्न 2.
एक किसान दो प्रकार के चारे P और Q को मिलाता (मिश्रण) है। P प्रकार के चारे, जिसका मूल्य Rs. 250 प्रति थैला जो कि पोषक तत्व A के 3 मात्रक, तत्व B के 2.5 मात्रक और तत्व C के 2 मात्रक रखता है जबकि ए प्रकार का चारा जिसका मूल्य Rs. 200 प्रति थैला है, पोषक तत्व A का 1.5 मात्रक, तत्व B का 11.25 मात्रक और तत्व के तीन मात्रक रखता है। पोषक तत्वों A, B और C की न्यूनतम आवश्यकताएँ क्रमशः 18 मात्रक, 45 मात्रक और 24 मात्रक हैं। प्रत्येक प्रकार के थैलों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि मिश्रण के प्रत्येक थैले का मूल्य न्यूनतम हो। मिश्रण के प्रत्येक थैले का न्यूनतम मूल्य क्या है?
हल:
माना x थैले P प्रकार के चारे के और y थैले Q प्रकार के चारे के मिलाये जाते हैं।
दिया है :

उद्देश्य फलन : Z = 250x + 200y
अवरोध : 3x + 1.5y ≥ 18, 2.5x + 11.25y ≥ 45, 2x + 3y ≥ 24 और x, y ≥ 0
या 2x + y ≥ 12, 2x + 9y ≥ 36, 2x + 3y ≥ 24 तथा x, y ≥ 0
(1) 2x + y ≥ 12 का आरेख
रेखा 2x + y =12 बिन्दु A(6,0), B(0, 12) से गुजरती है।
∴ 2x + y ≥ 12 में x = 0, y = 0 रखने पर,
0 ≥ 12 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + y ≥ 12 का क्षेत्र AB या उसके ऊपर है।
(2) 2x + 9y ≥ 36 का आरेख
रेखा 2x + 9y = 36 में, बिन्दु C(18, 0) तथा D (0, 4) से गुजरती है।
∴ 2x + 9y ≥ 36 में x = 0, y= 0 रखने पर,
0 ≥ 36 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + 9y = 36 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा CD पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(3) 2x + 3y ≥ 24 का आरेख
रेखा 2x + 3y = 24, बिन्दु E(12, 0) तथा F(0, 8) से गुजरती है।
∴ 2x+3y ≥ 24 में x – 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 24 जो सत्य नहीं है।
⇒ 2x + 3y ≥ 24 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB : 2x + y =12 और EF: 2x + 3y = 24 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(3, 6) हैं।

(7) रेखा CD : 2x + 9y = 36 और EF : 2x + 3y = 24 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(9, 2) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र BPRC है।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 250x + 200y
बिन्दु B(0, 12) पर,
Z = 0 + 200 x 12 = 2400
बिन्दु P(3, 6) पर,
Z = 250 x 3 + 200 x 6
= 750 + 1200 = 1950
बिन्दु R(9, 2) पर,
Z = 250 x 9 + 200×2
= 2250 + 400 = 2650
बिन्दु C(18, 0) पर,
Z = 250 x 18 + 0 = 4500
∴ Z की न्यूनतम मान 1950 है। सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
असमिका 250x + 200y < 1950 या 5x + 4y < 39, यह रेखा \(\left(\frac{39}{4}, 0\right)\left(0, \frac{39}{4}\right)\) से गुजरती है और बिन्दु (3, 6) पर स्थित है।
इस प्रकार x = 0, y = 0 रखने पर, 0 < 39 जो सत्य है।
5x + 4y < 39 के क्षेत्र बिन्दु रेखा 5x + 4y = 39 के नीचे है जिसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
∴ Z का न्यूनतम मान 1950 तथा P प्रकार के 3 और 0 प्रकार के 6 थैले मिलाये जाते हैं।

प्रश्न 3.
एक आहारविद्दो प्रकार के भोज्यों x और Y को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A की कम-से-कम 10 मात्रक, विटामिन B की कम-से-कम 12 मात्रक और विटामिन C की 8 मात्रक हों। 1 kg भोज्यों में विटामिनों की मात्रा निम्नलिखित सारणी में दी गई है।

भोज्य x के 1 kg का मूल्य Rs. 16 और भोज्य के 1kg का मूल्य Rs.20 है। वांछित आहार के लिए मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
माना x kg भोज्य X और y kg भोज्य Y का मिश्रण बनाया जाता है।
भोज्य X का मूल्य = 160 रु० प्रति kg
और भोज्य Y का मूल्य = 20 रु० प्रति kg
अतः मिश्रण का मूल्य = (16x + 20y) रु०
अब, उद्देश्य फलन : Z = 16x + 20y
और अवरोध : x + 2y ≥ 10, 2x + 2y ≥ 12 या x + y ≥ 6 3x + y ≥ 8 और x, y ≥ 0

(1) x + 2y ≥ 10 का आरेख
रेखा x + 2y = 10, बिन्दु A(10, 0) और B(0, 5) से गुजरती है।
∴ x + 2y ≥ 10 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 10, जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 2y ≥ 10 रेखा AB पर है या उसके ऊपर है।
(2) x +y ≥ 6 का आरेख:
रेखा x + y = 6, बिन्दु C (6, 0) तथा D (0, 6) से गुजरती है।
∴ x +y ≥ 6 में, x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 6, जो सत्य नहीं है।
⇒ x+y ≥ 6 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर है या उसके ऊपर है।
(3) 3x + y ≥ 8 का आरेख:
रेखा 3x + y = 8, बिन्दु E\(\left(\frac{8}{3}, 0\right)\) तथा F(0, 8) से गुजरती है।
∴ 3x + y ≥ 8 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 8 जो सत्य नहीं है।
⇒ 3x + y ≥ 8 के क्षेत्र बिन्दु रेखा EF पर हैं या उसके ऊपर है।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5)y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा CD: x + y = 6 और EF: 3x + y = 8 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(1, 5) हैं।
(7) रेखा AB: x + 2y = 10 और CD: x + y = 6 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(2, 4) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र FPOA है।
अब, उद्देश्य फलन: Z = 16x + 20y
बिन्दु F(0, 8) पर,
Z = 0 + 20 x 8 = 160
बिन्दु P(1,5) पर,
Z = 16 x 1 + 20 x 5 = 16 + 100 = 116
बिन्दु Q(2, 4) पर,
Z = 16 x 2 + 20 x 4 = 32 + 80 = 112
बिन्दु A(10, 0) पर,
Z = 16 x 10 + 0 = 160
Z का न्यूनतम मान 112 रु० है। परन्तु सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
∴ 16x + 20y < 112 पर विचार करते हैं।
इसका कोई भी बिन्दु सुसंगत क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ नहीं है।
इसलिए Z का न्यूनतम मान Rs. 112 है जिसके लिए भोज्य X का 2 kg और भोज्य Y का 4kg मिश्रण बनाना चाहिए।

प्रश्न 4.
एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में ) निम्नलिखित है-

प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घण्टे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर Rs. 7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर Rs. 5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने निर्मित होने चाहिएँ।
हल:
माना A प्रकार के x और B प्रकार के y खिलौने बनाए जाते हैं।
उद्देश्य फलन : Z = 7.5x + 5y का अधिकतमीकरण करना।
अवरोध : 12x + 6y ≤ 360, 18x ≤ 360, 6x + 9y ≤ 360, x, y ≥ 0
या 2x + y ≤ 60, x ≤ 20, 2x + 3y ≤ 120, x, y ≥ 0

(1) रेखा 2x + y = 60, बिन्दु A(30, 0) , B(0, 60) से होकर जाती है।
2x + y ≥ 60 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 60 जो सत्य है।
⇒ 2x + y ≥ 60 रेखा AB पर है या उसके नीचे है।
(2) x ≤ 20 के बिन्दु x =0 और x = 20 के बीच में स्थित हैं।
(3) रेखा 2x + 3y = 8, बिन्दु C (60, 0), D (0, 40) से होकर जाती है।
2x +3y ≤ 120 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 120, जो सत्य है।
⇒ 2x + 3y ≤ 120 के क्षेत्र बिन्दु रेखा CD पर हैं या उसके नीचे हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB तथा CD क्रमश: 2x + y = 60, 2x + 3y = 120 बिन्दु P(15, 30) पर मिलती हैं।
(7) रेखा x = 20, रेखा AB, 2x + y = 60 और बिन्दु Q(20, 20) पर मिलती है।
समस्या के सुसंगत क्षेत्र ODPQR छायांकित किया जाता
उद्देश्य फलन : Z = 7.5x + 5y
बिन्दु D(0, 40) पर,
Z = 7.5 x 0 + 5 x 40 = 200
बिन्दु P(15, 30) पर,
Z = 7.5 x 15 + 5 x 30 = 112.5 + 150 = 262.50
बिन्दु Q(20, 20) पर,
Z=7.5 x 20 + 5 x 20 = 150 +100 = 250
बिन्दु R(20,0) पर,
Z = 7.5 x 20 + 0 = 150
इसलिए अधिकतम लाभ 262.50 रु० तब होगा। यदि 15 खिलौने A प्रकार के और 30 खिलौने B प्रकार के बनाए जाएँ।

प्रश्न 5.
एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर Rs. 1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर Rs. 600 का लाभ कमाया जा सकता है। यद्यपि एयरलाइन कम-से-कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम-से-कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
हल:
माना प्रत्येक श्रेणी के x यात्री और सस्ती श्रेणी के y यात्री यात्रा करते हैं।
प्रथम श्रेणी के एक यात्री से Rs. 1000 का और सस्ती श्रेणी के एक यात्री से 600 रु० का लाभ होता है।
अब उद्देश्य फलन :
Z = 1000x + 600y
तथा अवरोध : x ≥ 20, x + y ≥ 200, y ≥ 4x, x, y ≥ 0
(1) x + y ≤ 200 का आरेख :
रेखा x + y = 200, बिन्दु (200, 0), (0, 200) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 200 में, x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 200 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 200 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 200 पर और उसके नीचे है।

(2) x ≥ 20 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 20 पर और उसके दायीं ओर हैं।
(3) y ≥ 4x का आरेख :
रेखा y = 4x, मूल बिन्दु 0 (0, 0) और B (40, 160) से होकर गुजरती है।
y – 4x ≥ 0 में x = 0, y = 40 रखने पर 40 20 जो सत्य है।
⇒ y – 4x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु OB पर और उसके ऊपर हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर और उसके दाईं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा x = 20 और y = 4x बिन्दु C(20, 80) पर मिलती हैं।
(7) रेखा y = 4x और x + y = 200 बिन्दु B(40, 160) पर मिलती हैं।
(8) रेखा x = 20 और x + y = 200 बिन्दु A(20,180) पर मिलती हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्रABC है जिसे छायांकित किया गया है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 1000x + 600y
बिन्दु A (20,180) पर,
Z = 1000 x 20 + 600 x 180
= 20000 + 108000 = 128000
बिन्दु B (40,160) पर,
Z = 1000 x 40 + 600 x 160
= 40000 + 96000 = 136000
बिन्दु C (20, 80) पर,
Z = 1000 x 20 + 600 x 80
= 20000 + 48000 = 68000
इसलिए अधिकतम लाभ Rs. 136000 पाने के लिए 40 यात्री प्रथम श्रेणी और 160 सस्ती श्रेणी में होने चाहिए।

प्रश्न 6.
दो अन्न भंडारों A और B की भंडारण क्षमता क्रमश: 100 क्विटल और 50 क्विटल हैं। उन्हें तीन राशन की दुकानों D, E और F पर अन्न उपलब्ध कराना पड़ता है। जिनकी आवश्यकताएँ क्रमश: 60, 50 और 40 क्विटल हैं।
भंडारों से दुकानों को प्रति क्विटल परिवहन व्यय निम्न सारणी के अनुसार है-

परिवहन व्यय के न्यूनतमीकरण के लिए आपूर्ति का परिवहन कैसे किया जाए? न्यूनतम परिवहन मूल्य क्या है?
हल:
माना भंडारण A से D दुकान पर x क्विटल भंडार और E को y क्विटल भंडार भेजा जाता है। भंडार A में कुल 100 क्विटल की भंडारण क्षमता है।
∵ A से F दुकान को भंडार भेजा जाता है
= 100 – (x + y) क्विटल
D दुकान में कुल भंडार = 60 क्विटल
भंडार B से D दुकान को भंडार भेजा जाता है
= 60 – x क्विटल
इसी प्रकार, B से दुकान E को भंडार भेजा जाता है
= 50 – y क्विटल
भंडार B में कुल भंडारण क्षमता = 50 क्विटल
⇒ B से दुकान F में भंडार भेजा जाता है।
= 50 – (60 – x + 50 – y) = x + y – 60 क्विटल
भंडार A और B में दुकान D, E, F को भेजा गया भंडार

अवरोध : x ≥ 0, y ≥ 0, 100 – x – y ≥ 0, x + y ≥ 100, 600 – x ≥ 0
या x ≤ 60, 50 – y ≥ 0 या y ≤ 50
x + y – 60 ≥ 0 या x + y ≥ 60
कुल परिवहन व्यय
= 6x + 3y + 2.5 (100 – x – y) + 4 (60 – x) + 2 (50 – y) + 3 (x + y – 60)
= 6x + 3y + 250 – 2.5x – 2.5y + 250 – 4x + 100 – 2y + 3x + 3y – 180
= 2.5x + 1.5y + 410

(1) x ≥ 0क्षेत्र के बिन्दु y- अक्ष पर और उसकी दायीं ओर है।
(2) y ≥ 0 क्षेत्र के बिन्दु x- अक्ष पर और उसके ऊपर हैं।
(3) x + y ≤ 100 का आरेख :
रेखा x + y = 100 बिन्दु (100, 0) और (0, 100) से होकर जाती है।
∴ x + y ≤ 100 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 5100 जो सत्य
→ x + y ≤ 100 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 100 पर या इसके नीचे हैं।
(4) x ≤ 60 का क्षेत्र x = 60 पर और इसके बायीं ओर है।
(5) y ≤ 50 के क्षेत्र बिन्दु y = 50 पर और उसके नीचे हैं।
(6) x + y ≥ 60 का आरेख :
रेखा x + y = 60, बिन्दु (60,0) और (0, 60) से गुजरती है।
∴ x + y ≥ 60 में x = 0 और y = 0 रखने पर, 0 ≥ 60 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + y ≥ 60 के क्षेत्र बिन्दु x + y = 60 पर और उसके ऊपर हैं।
इस समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABCD है।
(i) रेखा AB : y = 50 और AD: x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु A(10, 50) हैं।
(ii) रेखा BC : x + y = 100 और AB: = 50 के प्रतिच्छेद बिन्दु B(50, 50) हैं।
(iii) रेखा BC : x + y = 100 और AD : x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु C(60, 40) हैं।
(iv) रेखा CD: x = 60 और AD: x + y = 60 के प्रतिच्छेद बिन्दु D (60, 0) हैं।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 2.5x + 1.5y + 410
बिन्दु A(10, 50) पर,
Z = 2.5 x 10 + 1.5 x 50 + 410
= 25 + 75 + 410 = 510
बिन्दु B(50, 50) पर,
Z = 2.5 x 50 + 1.5 x 50 + 410
= 125 + 75 + 410 = 610
बिन्दु C(60, 40) पर,
Z = 2.5 x 60 + 1.5 x 40 + 410
= 150 + 60 + 410 = 620
बिन्दु D(60, 0) पर,
Z = 2.5 x 60 + 0 + 410
= 150 + 410 = 560
इस प्रकार Z का न्यूनतम मान 100 रु० है। जब भंडार A से दुकान D पर 10 क्विटल और दुकान E को 50 क्विटल भंडार भेजा जाता है।
अतः भंडार A से दुकान D, E, F को क्रमशः 10, 50, 40 क्विटल और भंडार B से दुकान D, E, F को क्रमशः 50, 0, 0 क्विटल भंडार भेजने से न्यूनतम परिवहन व्यय 100 रु० होगा।

प्रश्न 7.
एक तेल कारखाने में दो डिपो A तथा B हैं, जिनकी क्षमताएँ क्रमशः 7000 लीटर और 4000 लीटर की हैं। कारखाने द्वारा तीन पेट्रोल पंपों D, E और F के लिए आपूर्ति करनी है, जिनकी आवश्यकताएँ क्रमशः 4500 लीटर, 3000 लीटर और 3500 लीटर की हैं। डिपो से पेट्रोल पंपों की दूरियाँ (km में) निम्नांकित सारणी के अनुसार हैं-

यह मानते हुए कि परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर पर प्रति किलोमीटर 1 रुपया है। ज्ञात कीजिए कि कैसी आपूर्ति योजना अपनाई जाए, जिससे परिवहन व्यय का न्यूनतमीकरण हो जाए? न्यूनतम व्यय क्या है?
हल:
माना डिपो A से D पेट्रोल पम्प को x लीटर और E पेट्रोल पम्प के y लीटर तेल की आपूर्ति होती है।
∴ डिपो A की कुल क्षमता = 7000 लीटर
⇒ डिपो A पेट्रोल पम्प F को तेल की आपूर्ति करता है
= 7000 – (x + y) लीटर
⇒ 7000 – (x + y) ≥ 0
∴ x+ y ≤ 7000 …(1)
पेट्रोल पम्प D की माँग = 4500 लीटर
∴ डिपो B से तेल की आपूर्ति = (4500 – x) लीटर 3
⇒ 4500 – x ≥ 0
या x ≤ 4500 …(2)
पेट्रोल पम्प E को तेल की आवश्यकता = 3000 लीटर
⇒ डिपो B पेट्रोल पम्प E को तेल-आपूर्ति करता है
= (3000-y) लीटर
⇒ 3000 – y ≥ 0
या y ≤ 3000 …(3)
पेट्रोल F को तेल की आवश्यकता है = 3500 लीटर
F को डिपो A द्वारा आपूर्ति हो चुकी है = 7000 – (x + y)
⇒ डिपो B द्वारा पेट्रोल पम्प F को तेल की आपूर्ति होती है
= 3500 – (7000 – x – y)
= – 3500 + x + y
या x + y ≥ 3500 …(4)
∴ अवरोध : x + y ≤ 7000, x ≤ 4500, y ≤ 3000, x + y ≥ 3500, y ≥ 0
∵ परिवहन व्यय प्रति 10 लीटर प्रति किलोमीटर = 1रुपया
∴ परिवहन व्यय प्रति लीटर प्रति किलोमीटर = 0.1 रुपया
परिवहन व्यय की सारणी निम्नवत् है-

परिवहन व्यय :
Z = 0.7x + 0.6y + 0.3 (7000 – x – y) + 0.3 (4500 – x) + 0.4 (3000 – y) + 0.2 (x + y – 3500)
= 0.3x + 0.1y + 3940
अब उद्देश्य फलन Z का न्यूनतमीकरण करते हैं।

(1) x + y ≤ 7000 का आरेख :
रेखा x + y =7000, बिन्दु (7000, 0) तथा (0, 7000) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 7000 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≤ 7000 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 7000 रेखा x + y = 7000 पर और उसके नीचे का क्षेत्र है।
(2) x ≤ 4500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x = 4500 पर और उसके बायीं ओर स्थित हैं।
(3) y ≤ 3000 के क्षेत्र बिन्दु रेखा y = 3000 पर और उसके नीचे हैं।
(4) रेखा x + y = 3500 बिन्दु (3500, 0) (0, 35000) से होकर जाती हैं।
x + y ≥ 3500 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 3500 जो सत्य नहीं है।
या x + y ≥ 3500 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x + y = 3500 पर हैं या उसके ऊपर हैं।
(5) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर दायीं ओर हैं।
(6) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु x- अक्ष तथा उसके ऊपर हैं।
(7) x + y = 3500 रेखा y = 0 और y = 3000 से क्रमश: B(3500, 0) और A(500, 3000) पर मिलती हैं।
(8) x + y = 7000 रेखा x + 4500 और y = 3000 से
क्रमशः बिन्दु C (4500, 2500) और D (4000, 3000) पर मिलती हैं।
(9) रेखा x = 4500, x- अक्ष पर बिन्दु E (4500, 0) पर मिलती है।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र ABECD है।
उद्देश्य फलन :
Z = 0.3x + 0.1y + 3950
बिन्दु A(500, 3000) पर,
Z = 0.3 x 500 + 0.1 x 3000 + 3950 = 4400
बिन्दु B(3500, 0) पर,
Z = 0.3 x 3500 + 0 + 3950 = 5000
बिन्दु E (4500, 0) पर,
Z = 0.3 x 4500 + 0 + 3950 = 5300
बिन्दु C (4500, 2500) पर,
Z = 0.3 + 4500 + 0.1 x 2500 + 3950 =5550
बिन्दु D (4000, 3000) पर,
Z = 0.3 x 4000 + 0.1 x 3000 + 3950 = 5450
∴ परिवहन व्यय 4400 रु० न्यूनतम होगा जब डिपो A पेट्रोल पम्प D, E, F को क्रमश: 500, 3000, 3500 लीटर तेल की आपूर्ति करते हैं और डिपो B पेट्रोल पम्प D, E, F को 4000,0, 0 लीटर के लिए तेल की सप्लाई करते हैं।

प्रश्न 8.
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड़ और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फॉस्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में ) सारणी में दिया गया है। परीक्षण संकेत देते हैं कि बाग को कम-से-कम 240 kg फॉस्फोरिक अम्ल, कम-से-कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक-से-अधिक 310 kg की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तब प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?

हल:
माना ब्रांड P के x थैले और ब्रांड Q के y थैले मिलाए जाते हैं।
थैलों की नाइट्रोजन की मात्रा
= 3x + 3.5y
उद्देश्य : Z = 3x + 3.5y का मान न्यूनतम हो।
मिश्रण में फॉस्फोरिक अम्ल की मात्रा
= (x +2y) kg
⇒ x + 2y ≥ 240
मिश्रण में पोटाश की मात्रा
= 3x + 1.5y
⇒ 3x + 1.5y ≥ 270
मिश्रण में क्लोरीन की मात्रा = 1.5x + 2y
= 1.5x + 2y ≤ 310
अवरोध : x + 2y ≥ 240, 3x + 1.5y ≥ 270, 1.5x + 2y ≤ 310, x, y ≥ 0

(1) x + 2y ≥ 240 का आरेख :
रेखा x + 2y = 240, बिन्दु A(0,120), B(240, 0) से गुजरती है।
∴ x + 2y ≥ 240 में x = 0, y = 0 रखने पर, 0 ≥ 240 जो सत्य नहीं है।
⇒ x + 2y ≥ 240 के क्षेत्र बिन्दु AB पर और उसके ऊपर
(2) 3x + 1.5y ≥ 270 का आरेख :
रेखा 3x+ 1.5y = 270, बिन्दु C (90,0) और D (0,180) से गुजरती है।
∴ 3x +1.5y ≥ 270 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≥ 270 जो सत्य नहीं है।
⇒ 3x + 1.5y ≥ 270 के क्षेत्र के बिन्दु CD पर या उसके ऊपर है।
(3) 1.5x + 2y ≤ 310 का आरेख :
रेखा 1.5x + 2y ≤ 310 बिन्दु E \(\left(206 \frac{2}{3}, 0\right)\) और F(0, 155) से होकर जाती है।
∴ 1.5x + 2y ≤ 310 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 310 जो सत्य है।
⇒ 1.5x + 2y ≤ 310 के क्षेत्र के बिन्दु EF पर या इसके नीचे हैं।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र के बिन्दु रेखा y- अक्ष पर हैं या उसके दायीं ओर हैं।
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु रेखा x- अक्ष पर या उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: x + 2y = 240 और CD: 3x + 1.5y = 260 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(40, 100) हैं।
(7) रेखा AB: x + 2y = 240 तथा EF = 1.5x + 2y = 310 के प्रतिच्छेद बिन्दु R(140, 50) हैं।
(8) रेखा CD: 3x + 1.5y = 270 और EF = 1.5x + 2y = 310 के प्रतिच्छेद बिन्दु P(20, 140) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र त्रिभुज POR है।
अब उद्देश्य फलन : Z = 3x + 3.5y
बिन्दु P(20, 140) पर,
Z = 3 x 20 + 3.5 x 140= 60 + 490 = 550
बिन्दु Q(40, 100) पर,
Z = 3 x 40 + 3.5 x 100 = 120 + 350 = 470
बिन्दु R(140, 50) पर,
Z = 3 x 140 + 3.5 x 50 = 420 + 175 = 595
∴ x + 40, y =100 पर Z का मान न्यूनतम है।
अतः ब्रांड P के 40 थैले तथा ब्रांड Q के 100 थैले मिलाए जाने चाहिए।
∴ नाइट्रोजन की न्यूनतम मात्रा 470 kg है।

प्रश्न 9.
उपर्युक्त प्रश्न 8 पर ध्यान दीजिए। यदि उत्पादक बाग में मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का अधिकतमीकरण चाहता है तो मिश्रण के कितने थैलों को मिलाया जाना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा क्या है?
हल:
प्रश्न 8 के हल से देखें,
Z = 3x + 3.5y
बिन्दु R (140, 50) पर Z अधिकतम है।
नाइट्रोजन की अधिकतम मात्रा 595 kg है जब 140 थैले ब्रांड P के और 50 थैले ब्रांड एके मिलाए जाने चाहिए।

प्रश्न 10.
एक खिलौना कम्पनी A और B दो प्रकार की गुड़ियों का निर्माण करती है। मार्किट परीक्षणों तथा उपलब्ध संसाधनों से संकेत मिलता है कि सम्मिलित उत्पादन स्तर प्रति सप्ताह 1200 गुड़ियों से अधिक नहीं होना चाहिए और B प्रकार की गुड़ियों की अधिक-से-अधिक माँग A प्रकार की गुड़ियों से आधी है। इसके अतिरिक्त A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन स्तर दूसरे प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन स्तर के तीन गुने से 600 नग अधिक है। यदि कम्पनी A और B प्रत्येक गुड़िया पर क्रमश: Rs. 12 और Rs. 16 का लाभ कमाती है। लाभ का अधिकतमीकरण करने के लिए प्रत्येक के कितने नगों का साप्ताहिक उत्पादन करना चाहिए?
हल:
माना कम्पनी A प्रकार की x तथा B प्रकार की y गुड़ियों का उत्पादन करती है।
∴ कम्पनी को A प्रकार की गुडियों पर लाभ = 12 रु०
और B प्रकार की गुड़ियों पर लाभ = 16 रु०
कुल लाभ =12x + 16y
उद्देश्य फलन : Z = 12x + 16y का अधिकतमीकरण करना है।
दोनों प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन = 1200
∴ x + y ≤ 1200 …(1)
A प्रकार की गुड़ियों का उत्पादन B प्रकार की गुड़ियों के उत्पादन के 3 गुने से 600 गुड़ियाँ अधिक है।
⇒ x – 3y ≥ 600 …(2)
B प्रकार की गुड़ियों की माँग अधिक-से-अधिक A प्रकार की गुड़ियों से आधी है।

⇒ y ≤ \(\frac{x}{2}\) या 2y – x ≤ 0 …(3)
अवरोध : x + y ≤ 1200, x – 3y ≥ 600, 2y – x ≤ 0, x, y ≥ 0.
(1) x + y ≤ 1200 का आरेख
रेखा x + y = 1200 बिन्दु A(0, 1200) और B (1200, 0) से गुजरती है।
∴ x + y ≤ 1200 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 1200 जो सत्य है।
⇒ x + y ≤ 1200 के क्षेत्र के बिन्दु AB पर और उसके नीचे हैं।
(2) x – 3y ≤ 600 का आरेख :
रेखा x – 3y = 600, बिन्दु C(600, 0), D (0, – 200) से गुजरती हैं।
∴ x – 3y ≤ 600 में x = 0, y = 0 रखने पर 0 ≤ 600 जो सत्य है।
⇒ x – 3y ≤ 600, CD पर मूल बिन्दु की ओर है अर्थात् CD के ऊपर है।
(3) 2y – x ≤ 0 का आरेख :
रेखा 2y – x = 0 मूल बिन्दु 0 और E (800, 400) से होकर गुजरती है।
∴ 2y – x ≤ 0 में x = 200, y = 0 रखने पर, – 200 ≤ 0 जो सत्य है।
⇒ 2y – x ≤ 0 क्षेत्र बिन्दु OP पर और OP के नीचे बिन्दु (200, 0) की ओर है।
∴ इसका क्षेत्र OP के नीचे है।
(4) x ≥ 0 के क्षेत्र बिन्दु y- अक्ष पर हैं और उसके दायीं ओर
(5) y ≥ 0 के क्षेत्र x- अक्ष पर हैं और उसके ऊपर हैं।
(6) रेखा AB: x + y = 1200 और x = 2y के प्रतिच्छेद बिन्दु P(800, 400) हैं।
(7) रेखा CD: x – 3y = 600 और AB : X + y =1200 के प्रतिच्छेद बिन्दु Q(1050, 150) हैं।
समस्या का सुसंगत क्षेत्र OPQC है।
अब, उद्देश्य फलन :
Z = 12x +16y
बिन्दु P (800, 400) पर,
Z = 12 x 800 +16 x 400
= 9600 + 6400 =16000
बिन्दु Q (1050,150) पर,
Z = 12 x 1050 + 16 x 150
= 12600 + 2400
= 15000
बिन्दु C (600, 0) पर,
Z = 12 x 600 + 16 x 0
= 7200 + 0 = 7200
∴ x = 800, y = 400 पर अधिकतम लाभ 16000 रु० है।
इस प्रकार अधिकतम लाभ 16000 रु० पाने के लिए A प्रकार की 800 और B प्रकार की 400 गुड़ियों का उत्पादन करना चाहिए।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 10 Circles Ex 10.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 10 Circles Ex 10.1

Question 1.
How many tangents can a circle have?
Solution:
A circle can have an infinite number of tangents.

Question 2.
Fill in the blanks :
(i) A tangent to a circle intersects it in _________ point(s).
(ii) A line intersecting a circle in two points is called a ______.
(iii) A circle can have ______ parallel tangents at the most.
(iv) The common point of a tangent to a circle and the circle is called _______.
Solution:
(i) Exactly one
(ii) Secant
(iii) Two
(iv) Point of contact

Question 3.
A tangent PQ at a point P of a circle of radius 5 cm meets a line through the centre O at a point Q so that OQ = 12 cm. Length PQ is
(A) 12 cm
(B) 13 cm
(C) 8.5 cm
(D) \(\sqrt{119}\) cm
Solution:
In right ∆QPO,
OQ² = OP² + PQ²

Question 4.
Draw a circle and two lines parallel to a given line such that one is a tangent and the other, a secant to the circle.
Solution:
We have the required figure, as shown

Here, l is the given line and a circle with centre O is drawn.
Line n is drawn which is parallel to l and tangent to the circle. Also, m is drawn parallel to line 1 and is a secant to the circle.

MP Board Class 10th Science Solutions Chapter 4 Carbon and Its Compounds

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Intext Questions

Intext Questions Page No. 61

Question 1.
What would be the electron dot structure of carbon dioxide which has the formula CO₂?
Answer:

Question 2.
What would be the electron dot structure of a molecule of sulphur which is made up of eight atoms of sulphur? (Hint: The eight atoms of sulphur are joined together in the form of a ring).
Answer:

Intext Questions Page No. 68,69

Question 1.
How many structural isomers can you draw for pentane?
Answer:
Three structural isomers are possible for pentane.

Question 2.
What are the two properties of carbon which lead to the huge number of carbon compounds we see around us?
Answer:
The two features of carbon that give rise to a large number of compounds are as follows:

1. Carbon has the unique ability to form bonds with other atoms of carbon, giving rise to large molecules. This property is called catenation.
2. Since carbon has a valency of four, it is capable of bonding with four other atoms of carbon or atoms of some other mono-valent element.

Question 3.
What will be the formula and electron dot structure of cyclopentane?
Answer:
The formula for cyclopentane is C₅H₁₀. Its electron dot structure is given below:

Question 4.
Draw the structures for the following compounds:
(i) Ethanoic acid
(ii) Bromopentane
(iii) Butanone
(iv) Hexanal
Are structural isomers possible for bromo-pentane?
Answer:

Yes, there are many structural isomers possible for bromo-pentane. Among them, the structures of the three isomers are given.

Question 5.
How would you name the following compounds?

Answer:
(i) Bromoethane
(ii) Methanal (formaldehyde)
(iii) Hexyne.

Intext Questions Page No. 71

Question 1.
Why is the conversion of ethanol to ethanoic acid an oxidation reaction?
Answer:
Addition reaction means adding oxygen. Adding ethanol to potassium permanganate, we get ethanoic acid. Hence this reaction is called oxidation reaction.

Since in this reaction one oxygen is added to ethanol, hence it is an oxidation reaction.

Question 2.
A mixture of oxygen and ethyne is burnt for welding. Can you tell why a mixture of ethyne and air is not used?
Answer:
If a mixture of oxygen and ethyne is burnt, then ethyne burns completely producing a blue flame. The oxygen ethyne flame is extremely hot and produces a very high temperature which is used for welding metals. A mixture of ethyne and air is not used for welding because the burning of ethyne in air produces a sooty flame due to incomplete combination which is not enough to melt metals for welding.

Intext Questions Page No. 74

Question 1.
How would you distinguish experimentally between an alcohol and a carboxylic acid?
Answer:

1. We can distinguish between an alcohol and a carboxylic acid on the basis of their reaction with carbonates and hydrogen carbonates. The acid reacts with carbonate and hydrogen carbonate to evolve CO₂ gas that turns lime-water milky.
2. Metal carbonate/Metal hydrogen carbonate + Carboxylic acid → Salt + Water + Carbon dioxide.
3. In the litmus test, alcohol shows no change in colour whereas carboxylic acid turns blue litmus red.
   With sodium metal, alcohol gives effervescence but carboxylic acid does not give it. Alcohols, on the other hand, do not react with carbonates and hydrogen carbonates.

Question 2.
What are oxidising agents?
Answer:
some substances are capable of adding oxygen to others. These substances are known as oxidising agents.

Intext Questions Page No. 76

Question 1.
Would you be able to check if the water is hard by using a detergent?
Answer:
Margents are remaining effective in hardwater. Because of this reason, we can check if water is hard by using a detergent.

Question 2.
People use a variety of methods to wash clothes. Usually after adding the soap, they ‘beat’ the clothes on a stone, or beat it with a paddle, scrub with a brush or the mixture is agitated in a washing machine. Why is agitation necessary to get clean clothes?
Answer:
The soap molecules form structures called micelles in water, where one end of the molecules is towards the oil droplet while the ionic end-faces outside. This forms emulsion in water and we can wash our clothes clean.

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Ncert Textbook Exercises

Question 1.
Ethane, with the molecular formula C₂H₆ has –
(a) 6 covalent bonds
(b) 7 covalent bonds
(c) 8 covalent bonds
(d) 9 covalent bonds
Answer:
(b) 7 covalent bonds.

Question 2.
Butanone is a four-carbon compound with the functional group.
(a) Carboxylic acid
(b) Aldehyde
(c) Ketone
(d) Alcohol
Answer:
(c) Ketone.

Question 3.
While cooking, if the bottom of the vessel is getting blackened on the outside, it means that.
(a) The food is not cooked completely.
(b) The fuel is not burning completely.
(c) The fuel is wet.
(d) The fuel is burning.
Answer:
(b) the fuel is not burning completely

Question 4.
Explain the nature of the covalent bond using the bond formation in CH₃Cl.
Answer:
The structure of CH₃Cl is given below:

Carbon has four valence electrons. It shares one electron each with three hydrogen atoms and one electron with chlorine. The bond between C and Cl atoms is covalent but due to higher value of electro-negativity of Cl, the C-Cl bond is polar in nature.

Question 5.
Draw the electron dot structures for:
(a) Ethanoic acid
(b) H₂S
(c) Propanone
(d) F₂

Question 6.
What is a homologous series? Explain with an example?
Answer:
A series of compounds in which the same functional group substitutes for hydrogen in a carbon chain is called a homologous series.
Eg: CH₄ and C₂H₆ – These differ by a CH₂ unit.
C₂H₆ and C₃H₈ – these differ by a CH₂ unit.

Question 7.
How can ethanol and ethanoic acid be differentiated on the basis of their physical and chemical properties?
Answer:
Ethanol and Ethanoic acid can be differentiated on the basis of their following properties by:

1. Ethanol is a liquid at room temperature with a pleasant smell. Ethanoic acid has a melting point of 17°C. Since it is below the room temperature so, it freezes during winter. Moreover, ethanoic acid has a smell like vinegar.
2. Ethanol does not react with metal carbonates while, ethanoic acid reacts with metal carbonates to form a salt, water and carbon dioxide.
   For example:
   2CH₃COOH + Na₂CO₃ → 2CH₃COONa + CO₂ +H₂O
3. Ethanol does not react with NaOH while ethanoic acid reacts with NaOH to form sodium ethanoate and water.
   For example,
   CH₃COOH + NaOH → CH₃COONa + H₂O
4. Ethanol is oxidized to give ethanoic acid in the presence of acidified KMnO₄ while no reaction takes place with ethanoic acid in the presence of acidified KMnO₄.

Difference in physical properties:

Ethanol	Ethanoic acid
This is in liquid form at room temperature. Its melting point is 156° K.	Its melting point is 290K and hence it often freezes during winter in cold climates.
Difference in chemical properties
Ethanol will not react with metallic carbo­nates.	Ethanoic acid reacts with carbo­nates and Hydrogen carbonate and forms salts, carbon dioxide and water.

Question 8.
Why does micelle formation take place when soap is added to water? Will a micelle be formed in other solvents such as ethanol also?
Answer:
Soaps are molecules in which the two ends have differing properties, one is hydrophilic that is, it interacts with water, while the other end is hydrophobic, that is it interacts with hydrocarbons. When soap is at the surface of water, the hydrophobic tail of soap will not be soluble in water and the soap will align along the surface of water with the ionic end in water and the hydrocarbon tail protruding out of water. Thus, clusters of molecules in which the hydrophobic tails are in the interior of the cluster and the ionic ends are on the surface of the cluster. This formation is called a micelle. Soap in the form of a micelle is able to clean. A micelle will not be formed in other solvents such as ethanol.

Question 9.
Why are carbon and its compounds used as fuels for most applications?
Answer:
Carbon and its compounds give large amount of heat on combustion due to the high percentage of carbon and hydrogen. Carbon compounds used as fuel have optimum ignition temperature with high calorific values and are easy to handle. Their combustion can be controlled. Therefore, carbon and its compounds are used as fuels.

Question 10.
Explain the formation of scum when hard water is treated with soap.
Answer:
When soap reacts with water, calcium and magnesium salts are formed which causes hardness for water. Ionic ends of soap interacts with water while the carbon chain interacts with oil. The soap molecules, thus form structures called micelles where one end of the molecules is towards the oil droplet while the ionic-end faces outside. This forms an emulsion in water.

Question 11.
What change will you observe if you test soap with litmus paper (red and blue)?
Answer:
Since soap is basic in nature, it will turn red litmus blue. However, the colour of the blue litmus will remain blue.

Question 12.
What is hydrogenation? What is its industrial application?
Answer:
Unsaturated Hydrocarbons react with Hydrogen, in presence of catalysts such as palledium or Nickel and forms saturated Hydrocarbons. This is called Hydrogenation of oils.
This process is useful in hydrogenation of oils derived from plants.

Question 13.
Which of the following hydrocarbons undergo addition reactions:
C₂H₆, C₃H₈, C₃H₆, C₂H₂ and CH₄.
Answer:
Unsaturated hydrocarbons undergo addition reactions. Being unsaturated hydrocarbons, C₃H₆ and C₂H₂ undergo addition reactions.

Question 14.
Give a test that can be used to differentiate between saturated and unsaturated hydrocarbons.
Answer:
Saturated Hydrocarbons will not react with Bromine, but unsaturated hydrocarbons change the colour of Bromine.

Question 15.
Explain the mechanism of the cleaning action of soaps.
Answer:
The dirt present on clothes is organic in nature and insoluble in water. Therefore, it cannot be removed by washing with water only. When soap is dissolved in water, its hydrophobic ends attach themselves to the dirt and remove it from the cloth. Then, the molecules of soap arrange themselves in micelle formation and trap the dirt at the centre of the cluster. These micelles remain suspended in the water. Hence, the dust particles are easily rinsed away by water.

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Additional Questions

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Multiple Choice Questions

Question 1.
Which of the following is a three-carbon compound?
(a) Ethene
(b) Ethane
(c) Propane
(d) Acetylene
Answer:
(c) Propane

Question 2.
Which one of the following is an unsaturated hydrocarbon?
(a) Acetylene
(b) Butane
(c) Propane
(d) Decane
Answer:
(a) Acetylene

Question 3.
Two neighbours of homologous series differ by:
(a) -CH
(b) -CH₂
(c) -CH₃
(d) -CH₄
Answer:
(b) -CH₂

Question 4.
General formula of alkanes is –
(a) C_nH_2n+2
(b) C_nH_2n
(c) C_nH_2n-2
(d) C_nH_n
Answer:
(a) C_nH_2n+2

Question 5.
Which of the following represents alkynes?
(a) -C – C-
(b) -C = C-
(c) -C ≡ C-
(d) None of these
Answer:
(c) -C ≡ C-

Question 6.
Which of the following represents ketones?
(a) -C = O
(b) -OH
(c) -CHO
(d) COOH
Answer:
(a) -C = O

Question 7.
Which of the following is not an aliphatic hydrocarbon?
(a) ethene
(b) ethane
(c) propyne
(d) benzene
Answer:
(d) benzene

Question 8.
Complete combustion of a hydrocarbon gives:
(a) CO + H₂O
(b) CO₂ + H₂O
(c) CO + H₂
(d) CO₂ + H₂
Answer:
(b) CO₂ + H₂O

Question 9.
Which is NOT correct for isomers of a compound?
(a) They differ in physical properties.
(b) They differ in chemical properties.
(c) They have the same molecular formula.
(d) They have the same structural formula.
Answer:
(d) They have the same structural formula.

Question 10.
Buckminsterfullerene is an example of ………….. of carbon.
(a) an isomer
(b) an isotope
(c) an allotrope
(d) a functional group
Answer:
(c) an allotrope

Question 11.
Who prepared urea for the first time by heating ammonium cyanate?
(a) Wohler
(b) Lavoisier
(c) Fuller
(d) Haber
Answer:
(a) Wohler

Question 12.
Hexanone is a four-carbon compound with the functional group:
(a) Carboxylic acid
(b) Aldehyde
(c) Ketone
(d) Alcohol
Answer:
(c) Ketone

Question 13.
Major constituent of LPG is ………….
(a) Ethene
(b) Butane
(c) Propane
(d) Pentane
Answer:
(b) Butane

Question 14.
The gas used in welding and cutting metals is:
(a) Ethyne
(b) Ethene
(c) Ethane
(d) Propane
Answer:
(a) Ethyne

Question 15.
How is carbon atoms arranged in Buckminster fullerenes?
(a) Triangle shape
(b) Hexagonal array
(c) Football shape
(d) None
Answer:
(c) Football shape

Question 16.
Vinegar is a solution of –
(a) 40%-45% acetic acid.
(b) 90%-95% acetic acid.
(c) 5-20% acetic acid and water.
(d) 35-40% acetic acid and water.
Answer:
(c) 5-20% acetic acid and water.

Question 17.
How many covalent bonds are there in Bromoethane?
(a) 4
(b) 6
(c) 10
(d) 7
Answer:
(d) 7

Question 18.
Which functional group is present in propane?
(a) Aldehyde
(b) No group
(c) Ketone
(d) Alcohol
Answer:
(b) No group

Question 19.
Which compound/molecule is being presented by the following formula: H: C:: C: H
(a) Ethane
(b) Ethene
(c) Ethyne
(d) None of these
Answer:
(b) Ethene

Question 20.
Next homologous to C₂H₅OH will be:
(a) CH₄
(b) C₂H₆
(c) C₃H₅
(d) C₃H₇OH
Answer:
(d) C₃H₇OH

Question 21.
When we burn naphthalene it produces:
(a) Smoky flame
(b) Non-sooty flame
(c) Colourless flame
(d) No flame
Answer:
(a) Smoky flame

Question 22.
Bunsen burner is used for:
(a) making food.
(b) study flames type.
(c) low heating work.
(d) all the above.
Answer:
(c) low heating work.

Question 23.
See the figure carefully.

Choose the suitable name of isomer:
(a) Neo-pentane
(b) n-pentane
(c) Iso-pentane
(d) All
Answer:
(c) Iso-pentane

Question 24.
Which of the following is a structure of ethanoic acid?

Answer:

Question 25.
What is the name of CH₃-CH₂-Br? Choose from the following:
(a) Hex-1-one
(b) Hexanal
(c) Ethanoic acid
(d) None
Answer:
(d) None

Question 26.
What happens on the litmus test of soap?
(a) No change
(b) Red litmus turns blue
(c) Red litmus turn purple
(d) Red litmus turn green
Answer:
(b) Red litmus turns blue

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Name two groups which can have the same general formula.
Answer:
Both alkenes and cyclo-alkanes can be represented by the same general formula.

Question 2.
Which group of compounds have general formula C₂H_2n?
Answer:
The general formula C_nH_2n represents alkenes group of compounds.

Question 3.
What is the common name and IUPAC name for CH₃COCH₃?
Answer:
Acetone is the common name and propanone is the IUPAC name for CH₃COCH₃.

Question 4.
Do isomers always show same chemical properties?
Answer:
No, isomers always do not show the same chemical properties.

Question 5.
What is the common name and formula for ethanol?
Answer:
Alcohol, CH₃CH₂OH.

Question 6.
What are the products of complete combustion of a hydrocarbon?
Answer:
Carbon dioxide and water.

Question 7.
What is next homologue of C₃H₇OH is called?
Answer:
The next homologue of C₃H₇OH is called butanol C₄H₉OH.

Question 8.
What are isomers?
Answer:
The compounds which have the same molecular formula but different structures and chemical properties are called isomers.

Question 9.
Which one are more reactive unsaturated hydrocarbons or saturated hydrocarbons? Give reason.
Answer:
Unsaturated hydrocarbons: The Presence of double and triple covalent bonds make them more reactive.

Question 10.
Discuss the general nature of covalent compounds in water.
Answer:
Generally, they are insoluble in water.

Question 11.
What type of hydrocarbons takes part in an addition reaction?
Answer:
Unsaturated hydrocarbons.

Question 12.
Which carboxylic acid freezes during winter or under cold climate conditions?
Answer:
Acetic acid and hence, known as glacial acetic acid.

Question 13.
What is the difference in molecular masses of any two successive homologous alkanes?
Answer:
14 units.

Question 14.
What is the molecular formula of the alcohol which can be derived from propane?
Answer:
Alcohol obtained from propane is propanol -1 and the molecular formula is C₃H₇OH.

Question 15.
Give the names of the functional groups: (CBSE 2007)

1. -CHO
2. -COOH

Answer:

1. Aldehydic group.
2. Carboxylic acid group.

Question 16.
Give the names of the following functional groups: (CBSE 2007)

1. -OH
2. -CO

Answer:

1. Alcoholic.
2. Ketonic.

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Short Answer Type Questions

Question 1.
What is meant by the term functional group?
Answer:
An atom or a group of atoms, which makes a carbon compound reactive and decides its properties, is called a functional group.
For example aldehyde, ketone etc.

Question 2.
Which R functional groups always occur at the terminal position of a carbon chain?
Answer:
Aldehydic Group, R-CHO (R is the alkyl group),
Carboxyl Group, R-COOH (R is the alkyl group)

Question 3.
Why a candle flame burns yellow, while a highly-oxygenated gas fuel flame burns blue?
Answer:
The most important factor determining the colour of the flame is oxygen supply and the extent of fuel-oxygen, which determines the rate of combustion and thus, the temperature and reaction paths, thereby producing different colour hues. In case of a candle, it is incomplete combustion and the flame temperature is not high. This gives a yellow flame, while a highly-oxygenated gas (e.g., ethyne) flame burns blue because of complete combustion raising a very high temperature.

Question 4.
Why is the reaction between methane and chlorine considered a substitution reaction? (CBSE 2008)
Answer:
Methane reacts with chlorine in the presence of sunlight to form chloromethane and hydrogen chloride. Since chlorine substitutes or replaces hydrogen of methane to form chloromethane, it is considered as substitution reaction.
CH₄ + Cl₂ → CH₃Cl + HCl
With the excess of chlorine, four hydrogen atoms of methane are replaced by chlorine atoms to form carbon tetrachloride (CCl₄).

Question 5.
Why does carbon form compounds mainly by covalent bonding?
Answer:
Being tetravalent carbon atom, it is neither capable of losing all of its four valence electrons nor it can easily accept four electrons to complete its octet. Both of these are requirements of ionic bond formation and are energetically less favourable. Carbon completes its octet by sharing electrons and hence, covalent bonding is preferred.

Question 6.
What do you mean by Octane rating?
Answer:
Gasoline is rated on a scale known as octane rating, which is based on the way they burn in an engine. The higher the octane rating, the greater the percentage of complex-structured hydrocarbons that are present in the mixture, the more uniformly the gasoline burns, and the less knocking there is in the automobile engine. Thus, a gasoline rated 92 octane will burn more smoothly than one rated 87 octanes.

Question 7.
What is covalent bonding?
Answer:
The chemical bonding that takes place due to the mutual sharing of electron pairs of two or more atoms of different elements is called covalent bonding. By mutual sharing of electron pairs, atom attains noble gas configuration, e.g., hydrogen molecule (H₂), the two H-atoms combine by covalent bonding (H-H).

Question 8.
What are hydrocarbons? Give examples.
Answer:
Compounds of carbon and hydrogen are called hydrocarbons. Methane, ethane, butane, ethyne, propane, benzene, petroleum products – all are examples of hydrocarbons.

Question 9.
What are saturated hydrocarbons? (CBSE 2011)
Answer:
The hydrocarbons in which valency of carbon is satisfied by a single covalent bond are called saturated hydrocarbons. Alkanes like methane (CH₄), ethane(C₂H₆), propane (C₃H₈) etc. are examples of saturated hydrocarbons. Saturated hydrocarbons will generally give a clean flame.

Question 10.
Why do ionic compounds have high melting points? (HOTS)
Answer:
Ions have strong electrostatic forces of attraction among them forming ionic compounds. It requires a lot of energy to break these ionic bonds or forces. That’s why ionic bonds have high melting points.

Question 11.
What are homologous series? (HOTS)
Answer:
Homologous series are:

1. Compounds with the same formula.
2. Belong to the same functional group.
3. Have general methods of separation.
4. Have similar chemical properties.

Show similar gradation of physical properties, e.g., boiling points of alcohol increase with an increase in their molecular weights. Similarly, solubility decreases with increase in molecular weights.

Question 12.
What is a heteroatom? What is the heteroatom in the alcohol functional group? (HOTS)
Answer:
In a hydrocarbon chain, one or more hydrogen atoms can be replaced by other atoms according to their valencies. The element wh replaces hydrogen in the chain is called a heteroatom, e.g., in alcohol (-OH) functional group, oxygen is the heteroatom.

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Long Answer Type Questions

Question 1.
Distinguish between saturated and unsaturated hydrocarbons by the way of their burning in air and bromine test inferences.
Answer:
1. Saturated compounds are burnt in air, to give a clear (blue) flame but the burning of unsaturated compounds (alkenes and alkynes) give a sooty (yellowish) flame because saturated compounds contain comparatively less percentage of carbon which is completely oxidized by the oxygen present in the air.

On the other hand, the percentage of carbon in unsaturated compounds is more and it requires more oxygen to get completely oxidized that is not fulfilled by air. So, due to incomplete oxidation, they burn with a sooty flame.

2. Bromine-water test: Br₂ water is a brown coloured liquid:

1. Unsaturated hydrocarbons give addition reaction with Br₂. So, the colour of Br₂ water gets decolourised.
   
2. Saturated hydrocarbons do not react with Br₂ water, so the colour of B₂-water does not get decolourised.

Question 2.
Two compounds A and B react with each other in the presence of a dehydrating agent to produce an ester. Both react with Na to evolve hydrogen gas. On reaction with Na₂CO_3, only A evolves CO₂. Identify the functional groups present in A and B giving the reason for your answer.
Answer:
Compound A contains -COOH group while compound B contains -OH group. Since, carboxylic acids and alcohols react with each other to form an ester, out of A and B, one is an alcohol and the other is a carboxylic acid. This is further strengthened by the reaction of both with Na to evolve hydrogen gas. Only carboxylic acids react with Na₂CO₃ to evolve CO₂, A contains -COOH group while B contains -OH group.

Question 3.
An organic compound ‘X’ is widely used as a preservative in pickles and has a molecular formula C₂H₂O₂. This compound reacts with ethanol to form a sweet-smelling compound ‘Y’.

1. Identify the compound ‘X’.
2. Write the chemical equation for its reaction with ethanol to form compound ‘Y’.
3. How can we get compound ‘X’ back from ‘Y’?
4. Name the process and write a corresponding chemical equation.
5. Which gas is produced when compound ‘X’ reacts with washing soda? Write the chemical equation.
6. Answer:
7. Compound X is ethanoic acid which gives and ester (Y) when reacts with ethanol.
8. CH₃COOH + CH₃CH₂OH → CH₃COOC₂H₅.
9. Esters give back alcohol and carboxylic acid in the presence of acid or base.
10. Saponification reaction: CH₃COOC₂H₅ + NaOH → C₂H₅OH + CH₃COOH + Na.
11. CO₂ gas is released,
    CH₃COOH + Na₂CO₃ → 2CH₃COONa + H₂O + CO₂.

Question 4.
“Saturated hydrocarbons burn with a blue flame while unsaturated hydrocarbons burn with a sooty flame.” Why?
Answer:
Saturated hydrocarbons have only C-C and C-H single bonds and thus, contain the maximum possible number of hydrogen atoms per carbon atom. With sufficient oxygen, saturated hydrocarbons burn completely and give blue flame,
CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O
Unsaturated hydrocarbons contain a carbon-carbon double bond (C=C) or triple bond (C=C). Hence, they contain less number of hydrogen than carbon. Unsaturated hydrocarbons undergo incomplete combustion and give yellow flame along with black sooty carbon.
C₂H₄ + O₂ → CO₂ + 2H₂O + C(s)

Question 5.
What makes some molecular formula compound different? (HOTS)
Answer:
The arrangement makes them different compounds with identical molecular formula but different structures are called structural isomers. Organic compounds show a great level of isomerism. Isomers may be structural (due to difference in the arrangement of C atoms forming chain) or stereo (due to arrangement of bonds in a chain). With the increase in the number of carbon atoms in molecular formula, it leads to an increase in the number of isomers.
For example:

MP Board Class 10th Science Chapter 4 Textbook Activities

Class 10 Science Activity 4.1 Page No. 58

1. Make a list of ten things you have used or consumed since the morning.
2. Compile this list with the lists made by your classmates and then sort the items into the following table.
3. If there are items which are made up of more than one material, put them into both the relevant columns.
   
4. (C) Indicates carbon. Most substances contain carbon in it.

Class 10 Science Activity 4.2 Page No. 67

1. Calculate the difference in the formulae and molecular masses for
   (a) CH₃OH and C₂H₅OH.
   (b) C₂H₅OH and C₃H₇OH.
   (c) C₃H₇OH and C₄H₉OH.
2. Is there any similarity between these three?
3. Arrange these alcohols in the order of increasing carbon atoms to get a family. Can we call this family a homologous series?
4. Generate the homologous series for compounds containing up to four. carbons for the other functional groups given in the above table.

Difference: 70 – 60 = 14U
All three groups given above are homologous.

Class 10 Science Activity 4.3 Page No. 69

Caution:

1. This Activity needs the teacher’s assistance.
2. Take some carbon compounds (naphthalene, camphor, alcohol) one by one on a spatula and burn them.
3. Observe the nature of the flame and note whether smoke is produced.
4. Place a metal plate above the flame. Is there a deposition on the plate in case of any of the compounds?

Observations:

Class 10 Science Activity 4.4 Page No. 69

1. Light a bunsen burner and adjust the air hole at the base to get different types of flames/presence of smoke.
2. When do you get a yellow, sooty flame?
3. When do you get a blue flame?

Observations:

1. Yellow, Sooty flame is formed – when the hole is closed.
2. A blue flame is observed – when the hole is open.

Class 10 Science Activity 4.5 Page No. 70

1. Take about 3 ml of ethanol in a test tube and warm it gently in a water bath.
2. Add a 5% solution of alkaline potassium permanganate drop by drop to this solution.
3. Does the colour of potassium permanganate persist when it is added initially?
4. Why does the colour of potassium permanganate not disappear when excess is added?

Observations:
Doing the above activities we found that potassium permanganate act here as oxidising agents only and their colour do not change at,

Class 10 Science Activity 4.6 Page No. 72

Teacher’s demonstration:

1. Drop a small piece of sodium, about the size of a couple of grains of rice, into ethanol (absolute alcohol).
2. What do you observe?
3. How will you test the gas evolved?

Observations:
Sodium is an inflammable substance hence, it should be handled very carefully. When we place it in alcohol, hydrogen gas is evolved and sodium ethoxide is formed,
2Na + 2CH₃CH₂OH → 2CH₃CH₂ONa⁺ + H₂ ↑

Class 10 Science Activity 4.7 Page No. 73

1. Compare the pH of dilute acetic acid and dilute hydrochloric acid using both litmus paper and universal indicator.
2. Are both acids indicated by the litmus test?
3. Does the universal indicator show them as equally strong acids?

Observations:
The litmus test and pH test show the acidity and alkalinity of substance or chemical:

Class 10 Science Activity 4.8 Page No. 73

1. Take 1 ml ethanol (absolute alcohol) and 1 ml glacial acetic acid along with a few drops of concentrated sulphuric acid in a test tube.
2. Warm in a water-bath for at least five inutes as shown in Figure.
3. Pour into a beaker containing 20-50 ml of water and smell the resulting mixture.
   

Observations:
When acetic acid reacts with alcohol a new compound with an ester functional group is formed. It has fruit like smell. This reaction is called esterification reaction.

Class 10 Science Activity 4.9 Page No. 74

1. Take a spatula full of sodium carbonate in a test tube and add 2 ml of dilute ethanoic acid.
2. What do you observe?
3. Pass the gas produced through freshly prepared lime-water. What do you observe?
4. Can the gas produced by the reaction between ethanoic acid and carbonate be identified by this test?
5. Repeat this Activity with sodium hydrogen carbonate instead of sodium carbonate.

Observations:
Sodium acetate is produced when we add carbonate or hydrogen carbonate to acetic acid.
2CH₃COOH + Na₂CO₃ → 2CH₃COONa + H₂O + CO₂
CH₃COOH + NaHCO₃ → CH₃COONa + H₂O + CO₂

Class 10 Science Activity 4.10 Page No. 74

1. Take about 10 mL of water each in two test tubes.
2. Add a drop of oil (cooking oil) 10 both the test tubes and table them as A and B.
3. To test tube B add a few drops of soap solution.
4. Now shake both the test tubes vigorously for the same period of time.
5. Can you see the oil and water layers separately in both the test tubes immediately after you stop shaking them?
6. Leave the test tubes undisturbed for some time and observe. Does the oil layer separate out? In which test tube does this happen first?

Observations:
Yes, a layer of oil separates out by reacting with the soap solution. Dirt has an oily nature. It happens first in test tube B.

MP Board Class 10th Science Solutions