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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.1

Question 1.
A survey was conducted by a group of students as a part of their environment awareness programme, in which they collected the following data regarding the number of plants in 20 houses in a locality. Find the mean number of plants per house.

Which method did you use for finding the mean, and why?
Solution:
We can calculate the mean as follows :

∴ Mean = \(\overline{x}=\frac{\sum f_{i} x_{i}}{N}=\frac{162}{20}=8.1\)
Thus, mean number of plants per house is 8.1 Since, values of x_i and f_i are small, so we have used the direct method.

Question 2.
Consider the following distribution of daily wages of 50 workers of a factory.

Find the mean daily wages of the workers of the factory by using an appropriate method.
Solution:
Let the assumed mean, a = 150
∵ Class size, h = 20
∴ \(u_{i}=\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-150}{20}\)
∴ We have the following table:

Now, \(\overline{x}\) = a + h × {\(\frac{1}{N}\) Σf_iu_i}
= 150 + 20 × \(\left(\frac{-12}{50}\right)\) = 150 – \(\frac{24}{5}\)
= 150 – 4.8 = 145.20

Question 3.
The following distribution shows the daily pocket allowance of children of a locality. The mean pocket allowance is ₹ 18. Find the missing frequency f.

Solution:
Let the assumed mean, a = 18
∵ Class size, h = 2
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-18}{2}\)
Now, we have the following table:

⇒ [f + 44] (0) = 2[f – 20]
⇒ 2[f – 20] = 0 ⇒ f = 20
Thus, missing frequency is 20.

Question 4.
Thirty women were examined in a hospital by a doctor and the number of heart beats per minute were recorded and summarised as follows. Find the mean heart beats per minute for these women, choosing a suitable method.

Solution:
Let the assumed mean, a = 75.5
∵ Class size, h = 3
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-75.5}{3}\)
Now, we have the following table:

Thus, the mean heart beats per minute is 75.9.

Question 5.
In a retail market, fruit vendors were selling mangoes kept in packing boxes. These boxes contained a varying number of mangoes. The following was the distribution of mangoes according to the number of boxes.

Find the mean number of mangoes kept in a packing box. Which method of finding the mean did you choose?
Solution:
Let the assumed mean, a = 57
∴ d_i = x_i – 57
Now, we have the following table:

Thus, the average number of mangoes per box = 57.19. We choose assumed mean method.

Question 6.
The table below shows the daily expenditure on food of 25 households in a locality.

Find the mean daily expenditure on food by a suitable method.
Solution:
Let the assumed mean, a = 225
∵ Class size, (h) = 50
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-225}{50}\)
Now, we have the following table:

Thus, the mean daily expenditure on food is ₹ 211.

Question 7.
To find out the concentration of S0₂ in the air (in parts per million, i.e., ppm), the data was collected for 30 localities in a certain city and is presented below:

Find the mean concentration of S0₂ in the air.
Solution:
Let the assumed mean, a = 0.14
∵ Class size, (h) = 0.04
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-0.14}{0.04}\)
Now, we have the following table:

Question 8.
A class teacher has the following absentee record of 40 students of a class for the whole term. Find the mean number of days a student was absent.

Solution:
Using the direct method, we have the following table:

Thus, mean number of days a student remained absent = 12.48.

Question 9.
The following table gives the literacy rate (in percentage) of 35 cities. Find the mean literacy rate.

Solution:
Let the assumed mean, a = 70
∵ Class size, (h) = 10
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-70}{10}\)
Now, we have the following table:

Thus, the mean literacy rate is 69.43%

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 11 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
दिखाइए कि मूल बिन्दु से (2, 1, 1) मिलाने वाली रेखा, बिन्दुओं (3, 5, -1 ) और (4, 3, – 1)से निर्धारित रेखा पर लम्ब है।
हल:
बिन्दु A(2, 1, 1) और मूल बिन्दु B (0, 0, 0) से जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात 2 – 0, 1 – 0 या 2, 1, 1
बिन्दु C (3, 5, – 1) और D (4, 3, – 1) से निर्धारित रेखा के दिक्-अनुपात 4 – 3, 3 – 5, – 1 + 1 या 1, – 2, 0 हैं।
AB और CD लम्ब हैं यदि
a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂ = 0
अब a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂
= 2 x 1 + 1 x (- 2) + 1 x 0
= 2 – 2 + 0 = 0
अतः AB और CD परस्पर लम्ब हैं।

प्रश्न 2.
यदि दो परस्पर लम्ब रेखाओं की दिक्-कोसाइन l₁, m₁, n₁, और l₂, m₂, n₂ हों तो दिखाइए कि इन दोनों पर
लम्ब रेखा की दिक्-कोसाइन m₁n₂ – m₂n₁ – n₁l₂ – n₂l₁, l₁m₂ – l₂m₁ हैं।
हल:
माना दो रेखाएँ AB और CD जिसकी दिक्-कोसाइन क्रमश: l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ हैं
जो परस्पर लम्ब हैं।
l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
l₁, m₁, n₁ और l₂, m₂, n₂ दिक्-कोसाइन है तो

प्रश्न 3.
उन रेखाओं के मध्य का कोण ज्ञात कीजिए जिनके दिक् अनुपात a, b, c और b – c, c – a, a – b हैं।
हल:
माना रेखाओं के मध्य का कोण θ है तब
cos θ = \(\frac{a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \cdot \sqrt{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}}\)
cos θ = 0
⇒ θ =90°

प्रश्न 4.
x- अक्ष के समांतर तथा मूल बिन्दु से जाने वाली रेखा का समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
x- अक्ष के दिक् कोसाइन 1, 0, 0 हैं।
∴ x अक्ष के समांतर रेखा के दिक् कोसाइन भी 1, 0, 0 होंगे
अतः रेखा का समी० जो मूल बिन्दु से जाती है जिसमें दिक कोसाइन 1, 0, 0 हैं।

प्रश्न 5.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के निर्देशांक क्रमशः (1, 2, 3), (4, 5, 7) (- 4, 3, – 6) और (2, 9, 2) हैं तो AB और CD रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
रेखा AB के दिक् अनुपात 4 – 1, 5 – 2, 7 – 3
या 3, 3, 4
इसी प्रकार CD के दिक् अनुपात 2 + 4, 9 – 3, 2 + 6
या 6, 6, 8 हैं।
यह दिक् अनुपात समानुपाती हैं इस प्रकार \(\frac{3}{6}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}\)
इसलिए रेखाओं AB और CD के बीच का कोण 0° हैं।
अतः रेखाएँ समांतर हैं।

प्रश्न 6.
यदि रेखाएँ \(\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2 k}=\frac{z-3}{2}\) और \(\frac{x-1}{3 k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}\) परस्पर लंब हों तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दी गयी रेखाओं के दिक् अनुपात – 3, 2k, 2 और 3k, 1, – 5 हैं।
∵ रेखाएँ परस्पर लंब है तब a₁a₂ + b₁b₂+ c₁c₂ = 0
∴ – 3.3k + 2k.1+ 2.(- 5) = 0
⇒ 9k + 2k – 10 = 0
– 7k = 10
k = \(\frac{-10}{7}\)

प्रश्न 7.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा तल \(\vec{r}=(\vec{i}+2 \vec{j}-5 \vec{k})\) + 9 = 0 पर लंबवत् रेखा का सदिश समी० ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
समतल का समी०
\(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})+9\) = 0
∴ समतल के अभिलंब के दिक् अनुपात 1, 2, – 5 होंगे।
∴ बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाले समतल का सदिश समीकरण होगा।
\(\vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}+l(\hat{i}+2 \hat{j}-5 \hat{k})\)

प्रश्न 8.
बिन्दु (a, b, c) से जाने वाले तथा तल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 2 के समांतर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिये गये तल के समांतर तल का समी०

प्रश्न 9.
रेखाओं \(\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})\) और \(\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})\) के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यदि दो बिन्दु , a2 रेखा पर और b1 और 22 उनकी direction तब उनके बीच न्यूनतम दूरी

प्रश्न 10.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा YZ-तल को काटती है।
हल:
बिन्दु (x₁, y₁, z₁ ) और (x₁, y₁, z₁) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण

प्रश्न 11.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा ZX- तल को काटती है।
हल:
यहाँ बिन्दु (5, 1, 6) और (3, 4, 1) को मिलाने वाली रेखा

प्रश्न 12.
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जहाँ बिन्दुओं (3, – 4, – 5) और (2, – 3, 1) से गुजरने वाली रेखा, समतल 2x + y + z = 7 के पार जाती है।
हल:
दो बिन्दु (3, -4, -5) और (2, -3, 1) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण ।

प्रश्न 13.
बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले तथा समतलों x + 2y + 3z = 5 और 3x + 3y+ c = 0 में से प्रत्येक पर लम्ब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (- 1, 3, 2) से जाने वाले समतल का समीकरण :
a (x + 1) + b(y – 3) + c (z – 2) …(1)
यह समतल x + 2y + 37 = 5 पर लम्ब है।
a + 2b +3c =0 …2
समी० (1) 3x + 3y + x = 0 के अनुलम्ब है।
3a + 3b + c = 0 …(3)
समी० (2) और (3) से,
\(\frac{a}{2-9}=\frac{b}{9-1}=\frac{c}{3-6}\)

प्रश्न 14.
यदि बिन्दु (1, 1, p) और (-3, 0, 1) समतल 7.(3i +4j -12k) + 13 = 0 से समान दूरी पर स्थित हों तो p का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

20 – 12p = ± 8
धनात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = 8
12p = 20 – 8 = 12
∴ p=1
ऋणात्मक चिन्ह लेने पर,
20 – 12p = – 8
12p = 20 +8 = 28
p = \(\frac{28}{12}=\frac{7}{3}\)
अतः p=1, \(\frac{7}{3}\)

प्रश्न 15.
समतलों \(\vec{r}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 1 और \(\vec{r}(2 \hat{i}+3 \hat{j}\)\(-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले तथा x-अक्ष के समान्तर तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो समतल [Latex]\overrightarrow{\mathbf{r}}(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}})[/latex] – 1 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})\) + 4 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले 3
समतल का समीकरण

अतः यह अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 16.
यदि मूल बिन्दु 0 तथा बिन्दु P के निर्देशांक (1, 2, – 3) हैं तो बिन्दु P से जाने वाले तथा OP के लम्बवत्तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ बिन्दु O(0, 0, 0) और P(1, 2, –3) से होकर जाने वाली रेखा का दिक्-अनुपात OP, 1-0, 2-0, -3 -0 या
1, 2, -3 हैं।
⇒ अभीष्ट समतल के लम्ब के दिक्-अनुपात (1, 2, – 3)
और समतल P(1, 2, – 3) से होकर जाता है।
a (x – x₁) + b (y – y₁) + c (z – z₁) = 0
1.(x – 1) + 2 (y – 2) – 3(z + 3) = 0
⇒ x – 1 + 2y – 4 – 3z -9 = 0
∴ x + 2y – 37 – 14 = 0
यही अभीष्ट समतल का समीकरण है।

प्रश्न 17.
समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})\) – 4 = 0 और \(\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k})\) + 5 = 0 के प्रतिच्छेदन रेखा को अंतर्विष्ट करने वाले तथा तल 7 (5i +3j-6k) +8 = 0 के लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिए गए समतल

प्रश्न 18.
बिन्दु (- 1,- 5, – 10) से रेखा \(\vec{r}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k})\) और समतल \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\) = 5 के प्रतिच्छेदन बिन्दु के मध्य की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ रेखा

प्रश्न 19.
बिन्दु (1, 2, 3) से जाने वाली तथा समतलों \(\vec{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})\) = 5 और \(\vec{r} \cdot(3 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) = 6 के समान्तर रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बिन्दु (1, 2, 3) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण

समतल का अभिलम्ब और रेखा (1) परस्पर लम्बवत् हैं।
∴ b₁ – b₂ + 2b₃ = 0

प्रश्न 20.
बिन्दु (1, 2, – 4) से जाने वाली और दोनों रेखाओं \(\frac{x-8}{3}=\frac{y+19}{-16}=\frac{z-10}{7}\) और \(\frac{x-15}{3}=\frac{y-29}{8}=\frac{z-5}{-5}\) पर लम्ब रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना अभीष्ट रेखा

प्रश्न 21.
यदि एक समतल के अन्तःखण्ड a,b,c हैं और इसकी मूल बिन्दु से दूरी p इकाई है तो सिद्ध कीजिए कि
\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}=\frac{1}{p^{2}}\)
हल:

प्रश्न 22 और 23 में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 22.
दो समतलों 2x + 3y + 4z =4 और 4x + 6y + 8z = 12 के बीच की दूरी है-
(A) 2 इकाई
(B) 4 इकाई
(C) 8 इकाई
(D)\(\frac{2}{\sqrt{29}}\) इकाई।
हल:
समतलों का समीकरण
2x + 3y + 4z = 4 …(1)
4x + 6y + 8z = 12 …(2)
समी० (2) में 2 से भाग करने पर,
2x + 3y + 4z = 6 …(3)
समतलों के बीच की दूरी
ax + by + cz = d₁, और ax + by + cz = d₂

अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 23.
समतल 2x – y + 4z = 5 और 5x – 2.5y + 10z = 6 हैं-
(A) परस्पर लम्ब
(B) समान्तर
(C) y-अक्ष पर प्रतिच्छेदन करते हैं
(D) बिन्दु \(\left(0,0, \frac{5}{4}\right)\) से गुजरते हैं।
हल:
समतलों के समीकरण
2x – y + 4z = 5 …(1)
5x – 2.5y + 10z = 6 …(2)
x, y, z के गुणांकों की तुलना करने पर

(1) व (2) समान्तर हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
XY-तल में, x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ वामावर्त दिशा में 30° का कोण बनाने वाला मात्रक सदिश लिखिए।
हल:

प्रश्न 2.
बिन्दु P (x₁, y₁, z₁) और Q (x₂, y₃, z₃) को मिलाने वाले सदिश के अदिश घटक और परिमाण ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
एक लड़की पश्चिम दिशा में 4 km चलती है। उसके पश्चात् वह उत्तर से 30° पश्चिम की दिशा में 3 km चलती है और रुक जाती है। प्रस्थान के प्रारम्भिक बिन्दु से लड़की का विस्थापन ज्ञात कीजिए।
हल:
माना O बिन्दु से Ox की ओर OP (4 km) चलती है। इसे \(-4 \hat{i}\) सदिश निरूपित करते हैं। अतः \(\overrightarrow{O P}=-4 \hat{i}\) अब वह उत्तर से 30° पश्चिम की ओर 3 km चलती है, वह Q बिन्दु जा पहुँचती है।
PQ ऊर्ध्वाधर से 30° का कोण बनाती है और OX’ के साथ 60° का कोण बनाती है।
PQ का OX’ पर प्रक्षेप PM है।

प्रश्न 4.
यदि \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\), तब क्या यह सत्य है कि \(|\vec{a}|=|\vec{b}|+|\vec{c}|\)? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:
दिया है : \(\vec{a}=\vec{b}+\vec{c}\)
\(|\vec{a}|=|\vec{b}+\vec{c}|\)

प्रश्न 5.
x का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए \(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।
हल:
\(x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})\) एक मात्रक सदिश है।

प्रश्न 6.
सदिशों \(\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}\) और \(\vec{b}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\) के परिणामी के समान्तर एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए जिसका परिणाम 5 इकाई है।
हल:
माना \(\vec{P}\) सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) का परिणामी सदिश हैं।

प्रश्न 7.
यदि \(\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}\) और \(\vec{c}=\hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\), तो सदिश \(2 \vec{a}-\vec{b}+3 \vec{c}\) के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, -2, -8), B (5, 0, -2) और C (11, 3, 7)संरेख हैं और B द्वारा AC को विभाजित करने वाला अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल:
बिन्दु A, B, C के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं-
A(1, -2, -8), B (5, 0, -2), C (11, 3, 7)

प्रश्न 9.
दो बिन्दुओं \(P(2 \vec{a}+\vec{b})\) और \(Q(\vec{a}-3 \vec{b})\) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करने वाले बिन्दु R का स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए। यह भी दर्शाइए कि बिन्दु P रेखाखण्ड RQ का मध्य बिन्दु है।
हल:
बिन्दु P, Q के स्थिति सदिश क्रमश: \(2 \vec{a}+\vec{b}\) और \(\vec{a}-3 \vec{b}\) हैं।
बिन्दु R, PQ को बाह्य 1 : 2 के अनुपात में विभाजित करता है।


जो P का स्थिति सदिश है।
अतः P, RQ का मध्य बिन्दु है।

प्रश्न 10.
एक समान्तर चतुर्भुज की संलग्न भुजाएँ \(2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}\) और \(\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}\) हैं। इसके विकर्ण के समान्तर एक मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए। इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।
हल:
माना ABCD एक समान्तर चतुर्भुज इस प्रकार है कि

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि OX, OY एवं OZ अक्षों के साथ बराबर झुके हुए सदिश की दिक-कोसाइन कोज्याएँ \(\pm\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) हैं|
हल:
∵ सदिश अक्ष OX, OY तथा OZ के साथ बराबर झुके हैं
∴ α = β = γ
⇒ cos α = cos β = cos γ
परन्तु cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ cos² α + cos² α + cos² α = 1
3 cos²α = 1
cos² α = \(\frac{1}{3}\)
cos α = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ cos α = cos β = cos γ = 1
अतः दिक्-कोज्याएँ \(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\) हैं।

प्रश्न 12.
मान लीजिए \(\vec{a}=\hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}\), \(\vec{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+7 \hat{k}\) और \(\vec{c}=2 \hat{i}-\hat{j}+4 \hat{k}\) एक ऐसा सदिश \(\vec{d}\) ज्ञात कीजिए जो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के दोनों पर लम्ब है और \(\vec{c} \cdot \vec{d}\) = 15
हल:
माना \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है पर कोई लम्ब सदिश \(\vec{a} \times \vec{b}\) है।

प्रश्न 13.
सदिश \(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}\) का, सदिशों \(2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\) के योगफल की दिशा में मात्रक सदिश के साथ अदिश गुणनफल 1 के बराबर है, तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) समान परिमाणों वाले परस्पर लम्बवत् सदिश हैं तो दर्शाइए कि सदिश \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\) सदिशों \(\vec{a}, \vec{b}\) तथा \(\vec{c}\) के साथ बराबर झुका हुआ है।
हल:
दिया है \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) सदिश परस्पर लम्बवत् हैं अतः

प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि \((\vec{a}+\vec{b})\)\((\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}\) यदि और केवल यदि \(\vec{a}, \vec{b}\) लम्बवत् हैं। यह दिया हुआ है कि \(\vec{a} \neq \overrightarrow{0}, \vec{b} \neq \overrightarrow{0}\) है
हल:

16 से 19 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 16.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है तो \(\overrightarrow{\boldsymbol{a}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{b}} \geq \boldsymbol{0}\) होगा यदि-
(A) 0 < θ < \(\frac{\pi}{2}\)
(B) 0 ≤ θ ≤ \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < θ < π
(D) 0 ≤ θ ≤ π
हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 17.
मान लीजिए \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) दो मात्रक सदिश हैं और उनके बीच का कोण θ है तो \(\vec{a}+\vec{b}\) के एक मात्रक सदिश है, यदि-

हल:


अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 18.
\(\hat{\boldsymbol{i}}(\hat{\boldsymbol{j}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{j}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{k}})+\hat{\boldsymbol{k}} \cdot(\hat{\boldsymbol{i}} \times \hat{\boldsymbol{j}})\) का मान है-
(A) 0
(B) -1
(C) 1
(D) 3
हल:
\(\{\hat{i} \hat{j} \hat{k}\}\) परस्पर लम्बवत् मात्रक सदिश हैं।

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण 0 है तो \(|\vec{a} \cdot \vec{b}|=|\vec{a} \times \vec{b}|\) जब θ बराबर है
(A) 0
(B) \(\frac{\pi}{4}\)
(C) \(\frac{\pi}{2}\)
(D) π
हल:

अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 11 Constructions Ex 11.2

In each of the following, give also the justification of the construction:

Question 1.
Draw a circle of radius 6 cm. From a point 10 cm away from its centre, construct the pair of tangents to the circle and measure their lengths.
Solution:
Steps of Construction :
I. Draw a circle of radius 6 cm. Let its centre be O.
II. Take a point P such that OP = 10 cm. Join OP.

III. Bisect OP and let M be its midpoint.
IV. Taking M as centre and MP or MO as radius draw a circle.
Let the new circle intersects the given circle at A and B. Join PA and PB.
Thus, PA and PB are the required tangents. By measurement, we have : PA = PB = 8 cm.
Justification:
Join OA and OB
Since PO is a diameter.
∴ ∠OAP = 90° = ∠OBP [Angles in a semicircle]
Also, OA and OB are radii of the same circle.
⇒ PA and PB are tangents to the circle.

Question 2.
Construct a tangent to a circle of radius 4 cm from a point on the concentric circle of radius 6 cm and measure its length. Also verify the measurement by actual calculation.
Solution:
Steps of Construction :
I. Draw two concentric circles with centre O and radii 4 cm and 6 cm.
II. Take any point P on outer circle.
III. Join PO and bisect it and let the midpoint of PO is represented by M.
IV. Taking M as centre and OM or MP as radius, draw a circle such that this circle intersects the circle (of radius 4 cm) at A and B.
V. Join AP.
Thus, PA is the required tangent.
By measurement, we have PA = 4.5 cm

Justification:
Join OA. As PO is diameter
∴ ∠PAO = 90° [Angle in a semi-circle]
⇒ PA⊥OA
∵ OA is a radius of the inner circle.
∴ PA has to be a tangent to the inner circle.
Verification:
In right ∆PAO, PO = 6 cm, OA = 4 cm.

Hence both lengths are approximately equal.

Question 3.
Draw a circle of radius 3 cm. Take two points P and Q on one of its extended diameter each at a distance of 7 cm from its centre. Draw tangents to the circle from these two points P and Q.
Solution:
Steps of Construction :
I. Draw a circle of radius 3 cm with centre O and draw a diameter.
II. Extend its diameter on both sides and cut OP = OQ = 7 cm
III. Bisect PO such that M be its mid-point.
IV. Taking M as centre and MO as radius, draw a circle. Let it intersect the given circle at A and B.
V. Join PA and PB.
Thus, PA and PB are the two required tangents from P.
VI. Now bisect OQ such that N is its mid point.
VII. Taking N as centre and NO as radius, draw a circle. Let it intersect the given circle at C and D.
VIII. Join QC and QD.
Thus, QC and QD are the required tangents from Question

Justification:
Join OA to get ∠OAP = 90°
[Angle in a semi-circle]
⇒ PA⊥OA
⇒ PA is a tangent.
Similarly, PB⊥OB
⇒ PB is a tangent.
Now, join OC to get ∠QCO = 90°
[Angle in a semi-circle]
⇒ QC⊥OC ⇒ QC is a tangent.
Similarly, QD⊥OD
⇒ QD is a tangent.

Question 4.
Draw a pair of tangents to a circle of radius 5 cm which are inclined to each other at an angle of 60°.
Solution:
Steps of Construction :
I. With centre O and radius = 5 cm, draw a circle.
II. Taking a point A on the circle draw ∠AOB = 120°.

III. Draw a perpendicular on OA at A.
IV. Draw another perpendicular on OB at B.
V. Let the two perpendiculars meet at C.
Thus CA and CB are the two required tangents to the given circle which are inclined to each other at 60°.
Justification:
In a quadrilateral OACB, using angle sum
property, we have
120° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°
⇒ 300° + ∠ACB = 360°
⇒ ∠ACB = 360° – 300° = 60°.

Question 5.
Draw a line segment AB of length 8 cm. Taking A as centre, draw a circle of radius 4 cm and taking B as centre, draw another circle of radius 3 cm. Construct tangents to each circle from the centre of the other circle.
Solution:
Steps of Construction:
I. Draw a line segment AB = 8 cm
II. Draw a circle with centre A and radius 4 cm, draw another circle with centre B and radius 3 cm.
III. Bisect the line segment AB. Let its mid point be M.
IV. With centre as M and MA (or MB) as radius, draw a circle such that it intersects the two circles at points P, Q, R and S.
V. Join BP and BQ.
Thus, BP and BQ are the required two tangents from B to the circle with centre A.
VI. Join RA and SA.
Thus, RA and SA are the required two tangents from A to the circle with centre B.

Justification:
Let us join A and P.
∵ ∠APB = 90° [Angle in a semi-circle]
∴ BP⊥AP
But AP is radius of the circle with centre A.
⇒ BP has to be a tangent to the circle with centre A.
Similarly, BQ has to be tangent to the circle with centre A.
Also AR and AS are tangents to the circle with centre B.

Question 6.
Let ABC be a right triangle in which AB = 6 cm, BC = 8 cm and ∠B = 90°. BD is the perpendicular from B on AC. The circle through B, C, D is drawn. Construct the tangents from A to this circle.
Solution:
Steps of construction :
I. Draw ∆ABC such that AB = 6 cm, BC = 8 cm and ∠B = 90°.
II. Draw BD⊥AC. Now bisect BC and let its midpoint be O.
So O is centre of the circle passing through B, C and D.

III. Join AO
IV. Bisect AO. Let M be the mid-point of AO.
V. Taking M as centre and MA as radius, draw a circle intersecting the given circle at B and E.
VI. Join AB and AE. Thus, AB and AE are the required two tangents to the given circle from A.
Justification:
Join OE, then ∠AEO = 90° [Angle in a semi circle]
∴ AE⊥OE.
But OE is a radius of the given circle.
⇒ AE has to be a tangent to the circle.
Similarly, AB is also a tangent to the given circle.

Question 7.
Draw a circle with the help of a bangle. Take a point outside the circle. Construct the pair of tangents from this point to the circle.
Solution:
Steps of Construction:
I. Draw the given circle using a bangle.
II. Take two non parallel chords PQ and RS of this circle.

III. Draw the perpendicular bisectors of PQ and RS such that they intersect at O. Therefore, O is the centre of the given circle.
IV. Take a point N outside this circle.
V. Join ON and bisect it. Let M be the mid-point of ON.
VI. Taking M as centre and OM as radius, draw a circle. Let it intersect the given circle at A and B.
VII. Join NA and NB. Thus, NA and NB are the required two tangents.
Justification:
Join OA and OB.
Since ∠OAN = 90° [Angle in a semi circle]
∴ NA⊥OA.
Also NA is a radius.
∴ NA has to be a tangent to the given circle.
Similarly, NB is also a tangent to the given circle.

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.3

प्रश्न 1.
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है, इसका रंग नोट करने के बाद पुनः कलश में रख दी जाती है। पुनः निकाले गए रंग की 2 अतिरिक्त गेंदें कलश में रख दी जाती हैं तथा कलश में से एक गेंद निकाली जाती है दूसरी गेंद की लाल होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
एक कलश में 5 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
(i) माना एक लाल गेंद निकाली जाती है।
∴ लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
अब दो लाल गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
⇒ कलश में 7 लाल और 5 काली गेंदें हैं।
लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{7}{12}\)
(ii) माना पहले काली गेंद निकाली जाती है।
काली गेंद निकालने की प्रायिकता = \(\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\)
फिर दो काली गेंदें कलश में रख दी जाती हैं।
अब कलश में 5 लाल और 7 काली गेंदें हैं।
एक लाल गेंद होने की प्रायिकता = \(\frac{5}{12}\)
दूसरी लाल गेंद होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{7}{12}+\frac{1}{2} \times \frac{5}{12}\)
= \(\frac{7}{24}+\frac{5}{24}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें से 1 गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?
हल:
माना पहले थैले चुनने की घटना E₁ व दूसरे थैले को चुनना E₂ है
∴1 थैले चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
⇒ P(E₁) = P(EE₂) = \(\frac{1}{2}\)
∵ पहले थैले में 4 लाल व 4 काली गेंद हैं
∴ इनमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
माना लाल गेंद R से प्रदर्शित है
∴ \(P\left(\frac{R}{E_{1}}\right)=\frac{1}{2}\)
चूँकि दूसरे थैले में 2 लाल व 6 काली गेंद हैं।
∴ इसमें से लाल गेंद चुनने की प्रायिकता

अतः पडले शैले से लाल गोट निकाले जाने की परिकता

अतः पडले शैले से लाल गोट निकाले की परिकता
= \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 3.
यह ज्ञात है कि महाविद्यालय के छात्रों में से 60% छात्रावास में रहते हैं और 40% छात्रावास में नहीं रहते हैं। पूर्ववर्ती वर्ष के परिणाम सूचित करते हैं कि छात्रावास में रहने वाले छात्रों में से 30% और छात्रावास में न रहने वाले छात्रों में से 20% छात्रों ने A- ग्रेड लिया। वर्ष के अन्त में महाविद्यालय के एक छात्र को यादृच्छया चुना गया और यह पाया गया कि उसे A- ग्रेड मिला है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह छात्र छात्रावास में रहने वाला है?
हल:
माना छात्रावास में रहने वाले और न रहने वाले छात्रों की घटनाएँ क्रमश: E₁ तथा E₁ हैं।
छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 60% = 0.6
छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 40% = 0.4
A- ग्रेड छात्रावास में रहने वाले छात्रों की प्रायिकता = 30%
= 0.3 = P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\)
A- ग्रेड छात्रावास में न रहने वाले छात्रों की प्रायिकता
P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 20% = 0.2
A- ग्रेड छात्रावास में रहने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक बहुविकल्पीय प्रश्न का उत्तर देने में एक विद्यार्थी या तो प्रश्न का उत्तर जानता है या वह अनुमान लगाता है। मान लें कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता \(\frac{3}{4}\) है और अनुमान लगाने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\) है। मान लें कि छात्र के प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाने पर सही उत्तर देने की प्रायिकता \(\frac{1}{4}\)है तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है?
हल:
माना घटनाएँ
E₁ = विद्यार्थी के उत्तर जानने की
E₂ = वह अनुमान लगाता है।
P(E₁) = \(\frac{3}{4}\), P(E₂) = \(\frac{1}{4}\)
माना A उत्तर सही होने की घटना है।
यदि विद्यार्थी उत्तर जातना है
⇒ उत्तर सही है।
\(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1
जब अनुमान लगाता है, P\(P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{4}\)
∴ इस बात की प्रायिकता कि कोई छात्र प्रश्न का उत्तर जानता है यदि यह ज्ञात है कि उसने सही उत्तर दिया है —

प्रश्न 5.
किसी विशेष रोग के सही निदान के लिए रक्त की जाँच 99% असरदार है, जब वास्तव में रोगी उस रोग से ग्रस्त होता है। किन्तु 0.5% बार किसी स्वस्थ व्यक्ति की रक्त जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता है यानी व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बतलाता है। यदि किसी जनसमुदाय में 0.1% लोग उस रोग से ग्रस्त हैं तो क्या प्रायिकता है कि कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में यह बताया जाता है कि उसे यह रोग है?
हल:
माना घटनाएँ E = रोग से ग्रस्त व्यक्ति
E’ = रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति
A = रक्त की जाँच में रोग
रोग से ग्रस्त व्यक्ति की प्रायिकता
P(E) = 0.1% = 0.001
रोग से ग्रस्त नहीं व्यक्ति की प्रायिकता
P(E’) =1 – P(E)
=1 – 0.001 = 0.999
उन व्यक्तियों की प्रायिकता जो रोगी तथा रक्त की जाँच में रोग हो
P\(\left(\frac{A}{E}\right)\) = 99% = 0.99
किसी स्वस्थ व्यक्ति के रक्त की जाँच करने पर निदान गलत रिपोर्ट देता हैं यानि व्यक्ति को रोग से ग्रस्त बताने की प्रायिकता
P\(\left(\frac{A}{E^{\prime}}\right)\) = 0.005
कोई यादृच्छया चुना गया व्यक्ति उस रोग से ग्रस्त होगा यदि उसके रक्त की जाँच में पाये जाने की प्रायिकता

प्रश्न 6.
तीन सिक्के दिए गए हैं। एक सिक्के के दोनों ओर चित ही है। दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है और तीसरा अनभिनत सिक्का है। तीनों में से एक सिक्के को यादृच्छया चुना गया और उसे उछाला गया है। यदि सिक्के पर चित प्रकट हो तो क्या प्रायिकता है कि वह दोनों चित वाला सिक्का है?
हल:
कुल सिक्कों की संख्या = 3
∴ तीनों सिक्कों में से 1 सिक्का चुनने की प्रायिकता = \(\frac{1}{3}\)
माना तीनों सिक्कों की घटनाएँ E₁, E₂ व E₃ हैं तथा चित आने की घटना A है
∴ P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)
∵ एक सिक्के के दोनों और चित है
∴ P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 1
∵ दूसरा सिक्का अभिनत है जिसमें चित 75% बार प्रकट होता है
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 1
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.75% = \(\frac{3}{4}\)
तथा तीसरा सिक्का अनभिनत है।
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 7.
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों, 4000 कार चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है। दुर्घटनाओं की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.01, 0.03 और 0.15 हैं। बीमाकृत व्यक्तियों (चालकों) में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना
E₁ = स्कूटर चालक का बीमा होना
E₂ = कार चालक का बीमा होना
E₃ = ट्रक चालक का बीमा होना
एक बीमा कम्पनी 2000 स्कूटर चालकों 4000 चालकों और 6000 ट्रक चालकों का बीमा करती है।
कुल चालकों की संख्या
= 2000 + 4000 + 6000 = 12000
माना स्कूटर चालकों के होने की प्रायिकता
=P(E₁) = \(\frac{2000}{12000}=\frac{1}{6}\)
कार चालकों के होने की प्रायिकता
= P(E₂) = \(\frac{4000}{12000}=\frac{1}{3}\)
ट्रक चालकों के होने की प्रायिकता
= P(E₃) = \(\frac{6000}{12000}=\frac{1}{2}\)
स्कूटर चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
= P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01 (जहाँ दुर्घटाओं की घटना A से प्रदर्शित है।)
कार चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
=P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.03
ट्रक चालकों के दुर्घटना की प्रायिकता
=P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.15
बीमाकृत चालकों में से एक दुर्घटनाग्रस्त हो जाता है। उस व्यक्ति के स्कूटर चालक होने की प्रायिकता

प्रश्न 8.
एक कारखाने में A और B दो मशीने लगी हैं। पूर्व विवरण से पता चलता है कि कुल उत्पादन का 60% मशीन A और 40% मशीन B द्वारा किया जाता है। इसके अतिरिक्त मशीन A का 2% मशीन B का 1% उत्पादन खराब है। यदि कुल उत्पादन का एक ढेर बना लिया जाता है और उस ढेर से यादृच्छया निकाली गई वस्तु खराब हो तो इस वस्तु के ‘मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
माना मशीन A द्वारा उत्पादन की घटना = E₁
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की घटना = E₂
माना C खराब उत्पादन को प्रदर्शित करते हैं
∴ मशीन A द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
P(E₁) = 60%
= 0.6
तथा मशीन B द्वारा उत्पादन की गई वस्तु की प्रायिकता
= 0.4
तथा मशीन A द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता
P\(\left(\frac{c}{E_{1}}\right)\) = 2% = 0.02
तथा मशीन B द्वारा खराब उत्पादन की प्रायिकता
P\(\left(\frac{c}{E_{1}}\right)\) =1% = 0.01
∵ कुल उत्पादन के ढेर से निकाली खराब वस्तु के मशीन A द्वारा बने होने की प्रायिकता

प्रश्न 9.
दो दल एक निगम के निदेशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः 0.6 तथा 0.4 हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता 0.7 है और यदि दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता 0.3 है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरा दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
हल:
माना
E₁ = पहले दल के जीतने की घटना
E₂ = दूसरे दल के जीतने की घटना
A/E₁ = पहला दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
A/E₂ = दूसरा दल नया उत्पाद प्रारम्भ करेगा
पहले दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₁) = 0.6
दूसरे दल के जीतने की प्रायिकता = P(E₂) = 0.4
पहला दल जीतता है तो एक नये उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता
=P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.7
दूसरा दल जीतता है तो इस बात की संगत प्रायिकता
=P \(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.3
i.e., P(E₁) = 0.6, P(E₂) = 0.4
अब नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किए गए, की प्रायिकता

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि कोई लड़की एक पासा उछालती है। यदि उसे 5 या 6 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को तीन बार उछालती है और ‘चितों’ की संख्या नोट करती है। यदि उसे 1,2,3 या 4 की संख्या प्राप्त होती है तो वह एक सिक्के को एक बार उछालती है और यह नोट करती है कि उस पर ‘चित’ या ‘पट’ प्राप्त हुआ। यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासे पर 1,2,3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
5 या 6 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
P(E₁) = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
1, 2, 3, 4 की संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता
P(E₂) = \(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
जब वह 5 या 6 प्राप्त करती है, तब वह सिक्का तीन बार उछालती है।
∴ [HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}
एक चित प्राप्त होने के तरीके [HTT, THT, TTH] यानी तीन तरीके
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{8}\)
∴ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{3}{8}\)
जब वह 1, 2, 3, 4 प्राप्त करती है तब वह एक सिक्के को एक बार उछालती है।
एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
i.e., P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=\frac{1}{2}\)
यदि उसे ठीक एक चित प्राप्त होता है तो उसके द्वारा उछाले गए पासों पर 1, 2, 3 या 4 प्राप्त होने की प्रायिकता

प्रश्न 11.
एक व्यावसायिक निर्माता के पास A, B तथा C मशीन ऑपरेटर हैं। प्रथम ऑपरेटर A 1% खराब सामग्री उत्पादित करता है तथा ऑपरेटर B और C क्रमश: 5% और 7% खराब सामग्री उत्पादित करता है। कार्य पर A कुल समय का 50% लगाता है, B कुल समय का 30% तथा C कुल समय का 20% लगाता है। यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो इसे A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता क्या है?
हल:
माना तीन मशीनों द्वारा समय के अनुसार घटनाएँ E₁, E₂, E₃ घटती हैं।
P(E₁) =50% = 0.5,
P(E₂) =30% = 0.3,
P(E₃) = 20% = 0.2
माना A खराब उत्पाद की घटना है।
प्रथम ऑपरेटर 1% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=0.01\)
दूसरा ऑपरेटर 5% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{2}}\right)=0.05\)
तीसरा ऑपरेटर 7% खराब वस्तुएँ बनाता है।
⇒ \(P\left(\frac{A}{E_{3}}\right)=0.07\)
इस प्रकार, P(E₁) = 0.5,
P(E₂) = 0.3,
P(E₃) = 0.2
P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 0.01,
P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.05,
P\(\left(\frac{A}{E_{3}}\right)\) = 0.07
यदि एक खराब सामग्री उत्पादित है तो A द्वारा उत्पादित किए जाने की प्रायिकता

प्रश्न 12.
52 ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईंट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता क्या है?
हल:
E₁ = खो गए पत्ते ईंट की घटना है।
E₂ = खो गए पत्ते ईंट न होने की घटना है।
यहाँ 52 ताशों की गड्डी में से 13 पत्ते ईंट के हैं।
P(E₁) = \(\frac{13}{52} \mathrm{C}_{1}=\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
यहाँ 39 पत्ते हैं जिसमें ईंट के पत्ते नहीं हैं।
P(E₂) = \(\frac{39}{52}=\frac{3}{4}\)
(i) जब ईंट का पत्ता खो गया हो तब 51 पत्तों में से 12 पत्ते ईंट के रह जाएंगे।
P\left(\frac{A}{E_{1}}\right)=\frac{^{12} C_{2}}{^{51} C_{2}}=\frac{12 \times 11}{51 \times 50}
यहाँ A खो गए पत्तों को प्रदर्शित करता है।
जब ईट के पत्ते खोए नहीं हैं, तब यहाँ 13 ईंट के पत्ते हैं।
दो ईंट के पत्ते खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{13} C_{2}}{^{51} C_{2}}=\frac{13 \times 12}{51 \times 50}\)
खो गए पत्ते की ईंट होने की प्रायिकता

प्रश्न 13.
A द्वारा सत्य बोलने की प्रायिकता \(\frac{4}{5}\) है। एक सिक्का उछाला जाता है तथा A बताता है कि चित प्रदर्शित हुआ। वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता है –
(A) \(\frac{4}{5}\)
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) \(\frac{1}{5}\)
(D) \(\frac{2}{5}\)
हल:
माना E₁ = A सत्य बोलने की घटना
E₂ = A सत्य न बोलने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{4}{5}\) (दिया है)
∴ P(E₂) =1 – P(E₁)
= \(1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}\)
चित प्रदर्शित होने की घटना A है।
∴ P \(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
जब A सत्य नहीं बोलता, तब यह चित है।
चित प्रकट होने की प्रायिकता
P \(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
वास्तविक रूप में चित प्रकट होने की प्रायिकता

अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 14.
यदि A और B ऐसी घटनाएँ हैं कि A⊂B तथा P(B) ≠ 0 तो निम्न में से कौन ठीक है –
(A) \(P\left(\frac{A}{B}\right)=\frac{P(B)}{P(A)}\)
(B) \(P\left(\frac{A}{B}\right)<P(A)\)
(C) \(P\left(\frac{A}{B}\right) \geq P(A)\)
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
A ⊂ B ⇒ A ∩B = A

अत: विकल्प (C) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Sanskrit Solutions व्याकरण प्रत्यय-प्रकरण Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Sanskrit व्याकरण प्रत्यय-प्रकरण

प्रत्यय की परिभाषा-यः शब्दः धातोः प्रातिपदिकस्य वा अन्ते संयुज्य विशेषार्थस्य बोधं कारयति सः प्रत्ययः।

अथवा

धातूनां प्रातिपदिकानां च अन्ते ये प्रयुज्यन्ते ते प्रत्ययाः।

अर्थात् किसी धातु अथवा शब्द के बाद में किसी विशेष अर्थ को प्रकट करने के लिए जो शब्दांश जोड़ा जाता है, उसे प्रत्यय कहते हैं।

जैसे-
बालकः गच्छति।
बालकः पठति।

उपरोक्त दो वाक्यों को प्रत्यय के प्रयोग से एक वाक्य बना सकते हैं।

बालकः गत्वा पठति।

प्रत्यय के भेद-प्रत्ययों से बनने वाले शब्दों को निम्नलिखित छ: वर्गों में विभक्त किया जाता है

१. सुबन्त
सुप् आदि २१ प्रत्ययों के योग से संज्ञा, सर्वनाम, विशेषण आदि के शब्द रूप बनते हैं। जैसे-रामः, सीता आदि।

२. तिङन्त
तिङ आदि १८ प्रत्ययों के योग से क्रिया पदों (धातु रूपों) का निर्माण होता है। जैसे-पठति, गच्छति आदि।

३. समासान्त –
समास करने के बाद समस्त पद के अन्त में कप, टच आदि प्रत्यय जुड़ते हैं। समास के अन्त में जुड़ने के कारण इन प्रत्ययों को समासान्त कहते हैं।

जैसे-
महाराजः,,सपत्नीकः आदि।

४. कृदन्त
जो प्रत्यय संज्ञा, सर्वनाम, विशेषण आदि बनाने के लिए धातुओं के साथ जोड़े जाते हैं, वे कृत् प्रत्यय कहे जाते हैं और कृत् प्रत्यय से बने हुए शब्दों को कृदन्त कहते हैं।
जैसे-
क्त, क्तवतु, तव्यत्, अनीयर्, क्त्वा, ल्यप्, तुमुन्, शतृ, शानच्, क्तिन् इत्यादि।

❖ क्त

• पठ् + क्तः = पठितः – (पढ़ा हुआ)
• गम् + क्तः = गतः – (गया हुआ)
• हस् + क्तः = हसितः – (हँसा हुआ)
• दृश + क्तः = दृष्टः – (देखा हुआ)

❖ क्तवतु

• पठ् + क्तवतु = पठितवान् – (पढ़ा)
• गम् + क्तवतु = गतवान् – (गया)
• कृ + क्तवतु = कृतवान् – (करा)
• क्रीड् + क्तवतु = क्रीडितवान् – (खेला)

❖ तव्यत्

• पठ् + तव्यत् = पठितव्यम् – (पढ़ने योग्य)
• खाद् + तव्यत् = खादितव्यम् – (खाने योग्य)
• गम् + तव्यत् = गन्तव्यम् – (जाने योग्य)
• लिख् + तव्यत् = लेखितव्यम् – (लिखने योग्य)
• अनीयर । पठ् + अनीयर् = पठनीयम् – (पढ़ने योग्य)
• चल् + अनीयर् = चलनीयम् – (चलने योग्य)
• कृ + अनीयर् = करणीयम् – (करने योग्य)
• क्रीड् + अनीयर् = क्रीडनीयम् – (खेलने योग्य)
• क्त्वा पठ् + क्त्वा = पठित्वा – (पढ़कर)
• क्रीड् + क्त्वा = क्रीडित्वा

❖ (खेलकर)

• गम् + क्त्वा = गत्वा – (जाकर)
• पा + क्त्वा = पीत्वा – (पीकर)
• ल्यप् प्र + दा + ल्यप् = प्रदाय – (देकर)
• आ + गम् + ल्यप् = आगम्य/आगत्य – (आकर)
• प्र + नम् + ल्यप् = प्रणम्य – (प्रणाम करके)
• वि + हस् + ल्यप् = विहस्य – (हँसकर)

❖ तुमुन्

• पठ् + तुमुन् = पठितुम् – (पढ़ने के लिए)
• गम् + तुमुन् = गन्तुम् – (जाने के लिए)
• श्रु + तुमुन् = श्रोतुम् – (सुनेन के लिए)
• हस् + तुमुन् = हसितुम् – (हँसने के लिए)

❖ शतृ

• पठ् + शतृ = पठन् – (पढ़ते हुए)
• गम् + शतृ = गच्छन् – (जाते हुए)
• कृ + शतृ = कुर्वन् – (करते हुए)
• क्रीड् + शतृ = क्रीडन् – (खेलते हुए)

❖ शानच

• सेव् + शानच् = सेवमानः – (सेवा करता हुआ)
• लभ् + शानच् = लभमानः – (प्राप्त करता हुआ)
• वृध् + शानच् = वर्धमानः – (बढ़ता हुआ)
• कम्प, + शानच् = कम्पमानः – (काँपता हुआ)

❖ क्तिन्

• भू + क्तिन् = भूतिः – (ऐश्वर्य)
• गम् + क्तिन् = गतिः – (गति)
• स्तु + क्तिन् = स्तुतिः – (स्तुति)

५. तद्धितान्त
जो प्रत्यय संज्ञा, सर्वनाम और विशेषण शब्दों में जोड़े जाते हैं, उन्हें तद्धित प्रत्यय कहते हैं और तद्धित प्रत्ययों के बने हुए शब्दों को तद्धितान्त कहते हैं। जैसे-मतुप्, इनि इत्यादि।

❖ मतुप

• विद्या + मतुप् = विद्यावान् – (विद्या वाला)
• शक्ति + मतुप् = शक्तिवान् – (शक्ति वाला)
• गुण + मतुप् = गुणवान् – (गुण वाला)
• धन + मतुप् = धनवान् – (धन वाला)

❖ इनि (इन्)

• मान + इनि = मानी (मानिन्) – (मान वाला)
• धन + ‘इनि = धनी (धनिन्) – (धन वाला)
• ज्ञान + इनि = ज्ञानी (ज्ञानिन्) – (ज्ञान वाला)
• गुण + इनि = गुणी (गुणिन्) – (गुण वाला)

❖ ठक (इक)

• समाज + ठक् = सामाजिकः – (समाज से सम्बन्धित)
• इतिहास + ठक् = ऐतिहासिक: – (इतिहास से सम्बन्धित)
• धर्म + ठक् = धार्मिकः – (धर्म से सम्बन्धित)

❖ त्व

• मनुष्य + त्व = मनुष्यत्वम् – (मुनष्यपन या मनुष्य का कर्म)
• विद्वस् + त्व = विद्वत्त्वम् – (विद्वान का भाव या कर्म)
• लघु + त्व = लघुत्वम् – (छोटापन)
• गुरु + त्व = गुरुत्वम् – (बड़प्पन)

❖ त्रल

• बहु + ल् = बहुत्र – (बहुत जगह)
• सर्व + त्रल् = सर्वत्र – (बहुत जगह)
• यद् + त्रल् = यत्र – (जहाँ)
• तद् + त्रल् = तत्र – (वहाँ)

६. स्त्री-प्रत्ययान्त
शब्दों को स्त्रीलिंग वाची बनाने के लिए टाप, ङीष्, ङीप्, आदि प्रत्ययों का प्रयोग होता है। इन प्रत्ययों से बनने वाले शब्दों E को स्त्री-प्रत्ययान्त कहते हैं। जैसे-रमा, उमा, अजा आदि।

❖ टाप

• बालक + टाप् = बालिका – (लड़की)
• अज + टाप् = अजा – (बकरी)
• कोकिल+ टाप् = कोकिला – (कोयल)
• अश्व + टाप् = अश्वा – (घोड़ी)

❖ ङीप्

• स्वामिन्+ ङीप् = स्वामिनी – (मालकिन)
• देव + ङीप् = देवी – (देवी)
• कुमार + ङीप् = कुमारी – (कुमारी)
• किशोर + ङीप् = किशोरी – (किशोरी)
• ङीष गौर + ङीष् = गौरी – (गौरी)
• सुन्दर + ङीष् = सुन्दरी – (सुन्दरी)
• नर्तक + ङीष् = नर्तकी – (नर्तकी)

❖ डीन्

• नर + ङीन् = नारी – (नारी)
• ब्राह्मण + ङीन् = ब्राह्मणी – (ब्राह्मणी)

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

बहु-विकल्पीय

प्रश्न १.
पठ् + तव्यत्: ” ……………………… ” होता है।
(अ) पठनीयम्,
(ब) पठिव्य,
(स) पठित्वा,
(द) पठितव्यम्।
उत्तर-
(द) पठितव्यम्।

२. हस + शत = ………………………” होगा।
(अ) हसन्,
(ब) हसमान्,
(स) हसथ,
(द) हसामि।
उत्तर-
(अ) हसन्,

३. ‘कथितः’ को पृथक करने पर होगा
(अ) कथ् + तव्यत्,
(ब) कथ् + क्त,
(स) कथ् + क्त्वा,
(द) कथ् + शतृ।
उत्तर-
(ब) कथ् + क्त,

४. ‘कृ + तुमुन्’ को मिलाने पर होगा
(अ) कर्तुम्,
(ब) कर्तम्,
(स) कुर्तुम्,
(द) कतुम्।
उत्तर-
(अ) कर्तुम्,

५. ‘आगम्य’ में प्रकृति-प्रत्यय हैं
(अ) आ + गम्य + ल्यपु,
(ब) आ + गम् + ल्यप्,
(स) आ + गय + ल्यप्,
(द) आ + ल्यप् + गम्।
उत्तर-
(ब) आ + गम् + ल्यप्,

रिक्त स्थान पूर्ति-

१. बाल + टाप् = ………………………………
२. जि + तुमुन् = ………………………………।
३. वध् + शानच् = ………………………………।
४. गम् + क्त = ………………………………।
५. दृश् + अनीयर् = ………………………………
उत्तर-
१. बालिका,
२. जेतुम्,
३. वर्धमानः,
४. गतः,
५. दर्शनीयम्।

सत्य/असत्य-

१. पठितव्यम्’ में शानच् प्रत्यय है।
२. ‘गत्वा’ में क्त्वा प्रत्यय है।
३. विद्यवान्’ में शानच् प्रत्यय है।
४. ‘श्रीमान्’ में मतुप् प्रत्यय है।
५. ‘सर्वत्र’ में त्रल् प्रत्यय है।
उत्तर-
१. असत्य,
२. सत्य,
३. असत्य,
४. सत्य,
५. सत्य।

जोड़ी मिलाइए-

उत्तर-
१. → (iv)
२. → (i)
३. → (v)
४. → (ii)
५. → (iii)

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MP Board Class 9th Sanskrit अनुवाद पकरण

अनुवाद करने के लिए सर्वप्रथम कारक का उचित प्रयोग जानना महत्त्वपूर्ण है।

कारक प्रकरण

कारक वे शब्द हैं, जिनका क्रिया से प्रत्यक्ष सम्बन्ध रहता है। संस्कृत में कारक अपनी विभक्ति के साथ जुड़े हैं, जबकि हिन्दी में विभक्ति चिह्न को कारक शब्द से अलग लिखते हैं। इनके प्रयोग के कुछ विशेष नियम हैं, जो यहाँ दिए जा रहे हैं।

प्रथमा विभक्ति का प्रयोग

1. कर्तवाच्य (Active Voice) में कर्ता प्रथमा विभक्ति में होता है।
जैसे-
(क) बालाः क्रीडन्ति। (बच्चे खेलते हैं।) .
(ख) अहं धावामि। (मैं दौड़ता हूँ।)

2. किसी वस्तु के नाम या लिंग का ज्ञान कराने हेतु प्रथमा का प्रयोग करते हैं। जैसे
(क) एषा माला अस्ति।
(ख) एतानि फलानि सन्ति।

द्वितीय विभक्ति का प्रयोग
1. कर्म हमेशा कर्मकारक (द्वितीया विभक्ति) में रहता है। जैसे
(क) मैं फल खाता हूँ। (अहं फलं खादामि।)
(ख) मैं जल पीता हूँ। (अहं जलं पिबामि।)

2. जिस स्थान को जाते हैं, वह कर्मकारक (द्वितीया) में रहता है। जैसे
(क) रामः वनम् अगच्छत्। (राम वन गये।)
(ख) वयं विद्यालयं गच्छामः। (हम विद्यालय जाते हैं।)

3. किसी अव्यय के योग में जब कोई विशेष विभक्ति हो, तो उसे उपपद विभक्ति कहते हैं। द्वितीया का उपपद विभक्ति के रूप में निम्न अव्ययों के साथ प्रयोग होता है

धिक् (धिक्कार है), अन्तरेण (के बिना), अन्तरा (बीच में), प्रति (की ओर), उभयतः (दोनों ओर), विना (के बिना), निकषा (निकट), अनु (पीछे), सर्वतः (सब ओर), परितः (चारों ओर), अभितः (सामने), अधोऽथः (नीचे-नीचे), उपर्युपरि (ऊपर-ही-ऊपर), हा (अफसोस)।

(क) धिक् अत्याचारिणम्। (अत्याचारी को धिक्कार है।)
(ख) ग्रामं परितः वनानि सन्ति। (गाँव के चारों ओर वन हैं।)
(ग) राधा नगरं प्रति गच्छति। (राधा नगर की ओर जाती है।)
(घ) जलं विना मत्स्यः न जीवति। (जल के बिना मछली जीवित नहीं रहती है।)
(ङ) गृहं निकषा उद्यानम् अस्ति। (घर के निकट उद्यान है।)

4. दुह्, याच्, भिक्ष्, प्रच्छ्, शास्, चि (चुनना), ब्रू (बोलना) आदि धातुओं के योग में द्वितीय विभक्ति का प्रयोग होता है। जैसे
(क) भिक्षुकः धनं भिक्षते। (भिखारी धन की भिक्षा माँगता है।)
(ख) गोपालः धेनोः दुग्धं दुह्यति। (ग्वाला गाय का दूध दुहता है।)

5. शी (सोना), स्था (बैठना, तथा आस् (बैठना) धातुओं में ‘अधि’ उपसर्ग लगा होने पर द्वितीय विभक्ति का प्रयोग होता है। जैसे
(क) राज्यपालः राजभवनम् अध्यासते। (राज्यपाल राजभवन में बैठते हैं।)
(ख) सीता पर्यकम् अधिशेते। (सीता पलंग पर सोती है।)
(ग) रामः आसनम् अधितिष्ठति। (राम आसन पर बैठता है।)

6. वस् (रहना) धातु में ‘अधि, उप, आ, अनु’ उपसर्ग लगा होने पर द्वितीय विभक्ति का प्रयोग होता है।

तृतीया विभक्ति का प्रयोग

1. जिसके द्वारा कार्य हो, वह कारणकारक (तृतीया) में रहता है।
जैसे-
(क) बालकाः कंदुकेन क्रीडन्ति। (लड़के गेंद से खेलते हैं।)
(ख) बालिका कलमेन लिखति। (लड़की कलम से लिखती है।)
(ग) वयं नेत्राभ्यां पश्यामः। (हम आँखों से देखते हैं।)

2. जिसका साथ बतलाना हो, वह कारणकारक में रहता है। सह, साकम् सार्धम् आदि सहार्थक अव्यय हैं। इसके साथ सदैव तृतीया विभक्ति रहती है।
जैसे-
(क) अहं मित्रेण सह गच्छामि। (मैं मित्र के साथ जाता हूँ।
(ख) छात्राः शिक्षकैः सह गायन्ति। (छात्र शिक्षकों के साथ गाते हैं।)

3. कारण के अर्थ में तथा विकृतांग वाची शब्दों के साथ तृतीया लगती है। जैसे
(क) जनः सभायां विद्यया शोभते। (सभा में व्यक्ति विद्या के कारण शोभित होता है।)
(ख) सः नेत्रेण काणः। (वह आँख से काना है।)
(ग) हरिः पादेन पंगुः अस्ति। (हरि पैर से लँगड़ा है।)

4. तृतीया विभक्ति का निम्न शब्दों के साथ पयोग होता है-
अलम् (बस करो), सह (साथ), साकम् (साथ), सार्धम् (साथ), समान (बराबर), सम (समान), सदृश्य (समान), तुल्य (समान), बिना/विना (के बिना)।
(क) अलम् हसितेन। (हँसो मत।).
(ख) रामेण सह लक्ष्मणः अपि वनम् अगच्छत्। (राम के साथ लक्ष्मण भी वन को गए।)
(ग) सः पित्रा साकम् आपणं गच्छति। (वह पिता के साथ बाजार जाता है।)
(घ) धर्मेण विना जीवनं शून्यम् अस्ति। (धर्म के बिना जीवन मूल्य है।)

5. हेतु या स्वाभाव के अर्थ में तृतीया विभक्ति होती है।
6. पृथक् और हीन के अर्थ में तृतीय विभक्ति होती है।
7. तुलनात्मक शब्दों में तृतीया विभक्ति होती है।

चतुर्थी विभक्ति का प्रयोग
1. सम्प्रदान में चतुर्थी विभक्ति होती है। जिसे कुछ दिया जावे या जिस उद्देश्य से क्रिया की जावे, या जिसके लिए कार्य हो, वह सम्प्रदान होता है।
जैसे-
(क) एतत् फलं रामाय अस्ति। (यह फल राम के लिए है।)
(ख) नद्यः परोपकाराय वहन्ति। (नदियाँ परोपकार के लिए बहती हैं।)

2. नमः, स्वस्ति, स्वाहा और अलम् अव्ययों के साथ चतुर्थी का प्रयोग होता है। अलम् के योग में बढ़कर बताया जावे, या ‘पर्याप्त है’ का अर्थ हो, तब उसमें चतुर्थी का प्रयोग होता है। जैसे
(क) शिवाय नमः ! (शिवजी को नमस्कार है।)
(ख) श्री गणेशाय नमः। (श्री गणेशजी को नमस्कार है।)
(ग) अनुजाय स्वस्ति। (छोटे भाई का कल्याण हो।)
(घ) अग्नये स्वाहा। (यह आहुति अग्नि के लिए है।)
(ङ) रामः रावणाय अलम्। (राम रावण से बढ़कर हैं।)
(च) एतनि फलानि पंच जनेभ्यः अलम् सन्ति। (ये फल पाँच लोगों के लिए पर्याप्त हैं।)

नमः अव्यय और नम् धातु में भ्रमित न होवे। नम् धातु के साथ अन्य विभक्तियाँ भी प्रयुक्त होती हैं।

जैसे-
अहं शिवं नमामि। (मैं शिवजी को नमन करता हूँ।)

3. दा, रुच, क्रुध, कुप, द्रुह (विद्रोह करना), स्पृह् (इच्छा करना) असूय् (द्वेष करना) व स्निह् धातुओं के योग में चतुर्थी प्रयुक्त होती है। जैसे
(क) प्राचार्यः छात्राय पुरस्कारं यच्छति। (प्राचार्य छात्र को पुरस्कार देते हैं।)
(ख) मह्यं दुग्धं रोचते। (मुझे दूध अच्छा लगता है।)
(ग) रामः सुरेशाय कुप्यति। (राम सुरेश पर नाराज होता है)
(घ) बालिकाः पुष्पेभ्यः स्पृहयन्ति। (लड़कियाँ फूलों की इच्छा करती हैं।)
(ङ) सः मोहनाय ईयति। (वह मोहन से ईर्ष्या करता है।)
(च) अध्यापकः शिष्याय क्रुध्यति। (शिक्षक शिष्य पर क्रोधित होते हैं।)

पंचमी विभक्ति का प्रयोग
1. जिससे अलग होना बतलाना हो, वह पंचमी में रहता है।

जैसे-
(क) वृक्षात् पत्रं पतति। (वृक्ष से पत्ता गिरता है।)
(ख) सः ग्रामात् आगच्छति। (वह गाँव से आता है।)

2. भय, रक्षा आदि के योग में पंचमी विभक्ति का प्रयोग किया जाता है।
जैसे-
(क) व्याघ्रात् भयम् अस्ति। (शेर से डर लगता है।)
(ख) रमा बालः दुर्जनात् रक्षति। (रमा बालक की दुष्ट से रक्षा करती है।)

3. जिससे शिक्षा ग्रहण की जाये, या जिससे उत्पत्ति हो, उसके योग में पंचमी का प्रयोग किया जाता है।

जैसे-

(क) छात्राः अध्यापकात् विद्यां पठन्ति। (छात्र अध्यापक से विद्या पढ़ते हैं।)
(ख) हिमालयात गङ्गा प्रभवति। (हिमालय से गंगा निकलती है।)

4. निलीयते (छिपना) के योग में पंचमी का प्रयोग किया जाता है।

जैसे-
(क) सुरेशः अध्यापकात् निलीयते। (सुरेश शिक्षक से छिपता है।)
(ख) चौरः रक्षकात् निलीयते। (चोर सिपाही से छिपता है।)

5. पृथक्, विना और नाना शब्दों के साथ द्वितीया, तृतीया या पंचमी में से कोई भी एक विभक्ति हो सकती है। जैसे
(क) जलं बिना मत्स्यः न जीवति। (जल के बिना मछली नहीं जीती।)
(ख) जलेन विना मत्स्यः न जीवति। (जल के बिना मछली नहीं जीती।)
(ग) जलाद् विना मत्स्यः न जीवति। (जल के बिना मछली नहीं जीती।)

6. पंचर्मी विभक्ति का निम्न शब्दों के साथ प्रयोग होता है ऋते (बिना), प्रभृति (लेकर), आरात् (के पास), अनन्तरम् (के बाद), दूरम् (दूर), बहिः (बाहर), अन्तिकम् (पास), ऊर्ध्वम् (ऊपर)।
(क) ग्रामात् दूरे नद्यः अस्ति। (गाँव से नदी दूर है।)
(ख) उद्यानात् अन्तिकम् देवालयः अस्ति। (उद्यान के पास मंदिर है।)
(ग) ग्रामात् आरात् तडागः अस्ति। (गाँव के पास तालाब है।)
(घ) उद्यानात् बहिः भोजनालयः अस्ति। (उद्यान के बाहर भोजनालय है।)

षष्ठी विभक्ति का प्रयोग

1. वस्तुओं में सम्बन्ध स्थापित करने में षष्ठी विभक्ति का प्रयोग होता है। जैसे
(क) दशरथस्य चत्वारः पुत्राःआसन्। (दशरथ के चार पुत्र थे।)
(ख) इयं तव पुस्तकम् अस्ति। (यह तुम्हारी पुस्तक है।)

2. जंघ खेद पूर्वक याद किया जावे, तो ‘स्मृ’ के योग में षष्ठी प्रयुक्त होती है। जैसे
(क) राधा पितुः स्मरति। (राधा पिता के उपकारों को याद करती है।)

3. षष्ठी विभक्ति का निम्न शब्दों के साथ प्रयोग होता है पुरः (सामने), अधः (नीचे), उपरि (ऊपर), पश्चात् (बाद में), पुरस्तात् (सामने), अन्तिके (पास में), अधस्तात् (नीचे)।
(क) वृक्षस्य अधः पथिकः तिष्ठति। (वृक्ष के नीचे राहगीर बैठा है।)
(ख) उद्यानस्य पुरस्तात् कूपः अस्ति। (बाग के सामने कुआँ है।)
(ग) ग्रामस्य अन्तिके देवालयः अस्ति। (गाँव के पास मंदिर है।)
(घ) वृक्षस्य अधस्तात् जनाः सन्ति (वृक्ष के नीचे लोग हैं।)

4. विशेषण की उत्तमावस्था बताने में षष्ठी या सप्तमी का प्रयोग होता है। जैसे
(क) कवीनां कालिदासः श्रेष्ठः अस्ति। (कालीदास कवियों में श्रेष्ठ हैं।)
(ख) कवीष कालिदासः श्रेष्ठः अस्ति। (कालीदास कवियों में श्रेष्ठ हैं।)

5. तुलना, कुशलता के योग में षष्ठी का प्रयोग होता है।

जैसे-
(क) रामस्य तुल्यः कोऽपि न अस्ति। (राम की तुलना में कोई नहीं है।)
(ख) तस्य मुखम् चन्द्रस्य सदृशं अस्ति। (उसका मुख चन्द्रमा के समान सुंदर है।)

सप्तमी विभक्ति का प्रयोग

1. स्थान या समय सूचक शब्द अधिकारकारक (सप्तमी) में रहते हैं।
जैसे-
(क) तडागे जलम् अस्ति। (तालाब में पानी है।)
(ख) बिले मूषकः तिष्ठति। (बिल में चूहा रहता है।)
(ग) ते मम गृहे न्यवसन्। (वे सब मेरे घर में रहते थे।)
(घ) वृक्षेषु फलानि सन्ति। (वृक्षों पर फल हैं।)
(ङ) जले मत्स्याः निवसन्ति। (जल में मछलियाँ रहती हैं।)

2. स्निह्, अभिलष् आदि के योग में सप्तमी विभक्ति होती है।
जैसे-
(क) माता पुत्रे स्निह्यति। (माता पुत्र से स्नेह करती है।)

3. तत्परता, चतुरता, कुशलता आदि के योग में सप्तमी विभक्ति होती है।

जैसे-
(क) शीला गायने निपुणा अस्ति। (शीला गाने में निपुण है।)
(ख) हरिः कार्ये तत्परः अस्ति। (हरि कार्य में तत्पर है।)
(ग) रामः व्यापारे कुशलः अस्ति। (राम व्यापार में कुशल है।)

4. एक कार्य होने के लिए उपरान्त दूसरा प्रारम्भ होने पर सप्तमी का पयोग होता है।

जैसे-
(क) सूर्ये अस्तं गते रात्रिः आगच्छति। (सूर्य अस्त होने के बाद रात्रि आती है।)
(ख) शिक्षके गते छात्राः कोलाहलं कृतवन्तः। (शिक्षक के जाने पर छात्रों ने शोर मचाया) . . .. .. ……. .

सम्बोधनम् का प्रयोग

1. सम्बोधन हेतु सम्बोधनकारक का प्रयोग होता है।

जैसे-
(क) हे राम, उत्तिष्ठ। (राम, खड़े हो जाओ।)
(ख) हे प्रभु! रक्ष माम्। (हे भगवान! मेरी रक्षा करो।)

अनुवाद के अन्य नियम
नियम 1. विशेषण का पयोग उसी लिंग, वचन और कारक में होगा, जिस लिंग, वचन और कारक में उसका विशेष (अर्थात् जिसकी वह विशेषता बतलाता है) रहेगा।
जैसे-
(क) चह चतुर बालक है। = एषः चतुरः बालकः अस्ति!
(ख) यह चतुर लड़की है। = एषा चतुरा बालिका अस्ति।
(ग) यह सफेद घोड़ा है। = एषः श्वेत अश्वः अस्ति।
(घ) यह सफेद बकरी है। = एषा श्वेता अजा अस्ति।
(ङ) यह सफेद गाय है। = एषा श्वेता धेनुः अस्ति।
(च) सफेद घोड़े को लाओ। = श्वेतम् अश्वम् आनय।
(छ) काले घोड़े पर बैठो। = कृष्णे अश्वे उपविश।

नियम 2. भूतकालिक कृदन्त का प्रयोग विशेषण के समान करेंगे।
जैसे-
(क) यह गिरा हुआ फल है। = एतत् पतितं फलं अस्ति।
नियम 3. पूर्वकालिक कृदन्त, हेतुवाचक कृदन्त तथा अव्ययों के रूप में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
नियम 4. मकारांत शब्द के बाद व्यंजन से प्रारम्भ होने वाला शब्द आवें, तो म् के बदले अनुस्वार (-) लिखते हैं। यदि म के बाद स्वर से प्रारम्भ होने वाला शब्द आये, तब म् की उस स्वर में संधि हो जाती है।

जैसे-
(क) अहम् गच्छामि = अहं गच्छामि। (मैं जाता हूँ।) (ख) अहम् अगच्छम् = अहमगच्छम्। (मैं गया था।)
नियम 5. संस्कृत में वाक्य की क्रिया यदि ‘भू’ (भवति) = होना या ‘अस्’ (होना) या कोई उसके समान अर्थ वाली हो, तो वाक्य में प्रायः उसे नहीं लिखा जाता है और उसका अर्थ ऊपर से कर लिया जाता है।

जैसे-
(क) सुरेशः स्वपितुः एकः पुत्रः भवति। – सुरेशः स्वपितुः एकः पुत्र। (सुरेश अपने पिता का एक पुत्र है।)
(ख) एतत् चक्रम् अस्ति। (यह पहिया है।) = एतत् चक्रम।

नियम 6. कुत्रचित् (कहीं), किंचित् (कुछ), कदाचित् (कभी) आदि का प्रयोग-संस्कृत में कहीं, किसी, कोई, कभी, कुछ आदि शब्दों का अव्यय या अनिश्चय वाचक विशेषण या सर्वनाम के रूप प्रयोग करने हेतु “किम्’ सर्वनाम के रूपों में ‘चित्’ जोड़ देते हैं। यह ध्यान में रखना चाहिए कि किम् के लिंग और वचन वही हों, जो उसके विशेष के हैं। किम् के रूपों की चित् के साथ संधि करते समय उचित नियमों का पालन करें। यथा न को अनुस्वार और श् में बदल देते हैं। जैसे-कस्मिन् चित् कस्मिंश्चित् आदि। इसी तरह किम् के रूपों का विसर्ग भी श् में बदल जाता है। कः+ चित -कश्चित् आदि। इसी तरह अन्य नियमों का प्रयोग करें। इसके उदाहरण निम्नानुसार हैं.

(क) किसी वृक्ष पर एक तोता बैठा था।
कस्माच्चित् वृक्षे एकः शुकः अतिष्ठत्।
(ख) प्राचीन काल में मथुरा में कोई सेठ रहता था।
पुरा मथुरा नगर्यां कश्चित् श्रेष्ठी अवसत्।
(सा) किसी गाँव में एक साधु रहता था।
कास्मिंश्चित् ग्रामे एकः साधुः अनिवसत्।

इसी तरह किसी तालाब में = कस्माच्चित् सरोवरे, किसी सुंदरी का = कस्याश्चित सुंदर्याः, कुछ पक्षी = केचित् विहगाः, किसी आदमी ने = कश्चित् जनः आदि का अनुवाद किया जाता है।

परीक्षापयोगी महत्वपूर्ण अनुवाद के वाक्य-

1. 1. वृक्ष से पत्ता गिरता है। – वृक्षात् पत्रं पतति।
2. 2. गुरु शिष्य को पुस्तक देता है। – गुरुः शिष्याय पुस्तकं यच्छति।
3. 3. छात्र पुस्तक पढ़ते हैं। – छात्राः पुस्तकानि पठन्ति।
4. 4. सीता राम के साथ बन गई। – सीताः रामेण सह वनं गता।
5. 5. सूर्य को नमस्कार। – सूर्याय नमः।
6. 6. गंगा हिमालय से निकलती है। – गंगा हिमालयात् प्रभवति।
7. 7. राम शीतल जल पीता है। – रामः शीतलं जलं पिबति।
8. मोहन शीतल जल पीता है। – मोहनः अद्य गृहं गमिष्यति।
9. अति सभी जगह वर्जित है। – अति सर्वत्र वर्जयेत्।
10. विद्या विनय देती है। – विद्या विनयं ददाति।
11. तुम कहाँ जा रहे हो? – त्वं कुत्र गच्छसि?
12. उसे संस्कृत पढ़ी। – सः संस्कृतभाषाम् अपठत्।
13. गणेश जी को नमस्कार है। – श्री गणेशाय नमः।
14. यह हमारा देश है। – एषः अस्माकं देशः अस्ति।
15. आत्मा जल से शुद्ध नहीं होती है। – आत्मा जलेन ने शुद्धयति।
16. उनकी माता पुतली बाई थीं। – तस्य माता पुतलीबाई आसीत्।
17. मुझे लड्डू अच्छे लगते हैं। – मह्यम् मोदकानि रोचन्ते।
18. यह मेरी पुस्तक है। – इदं मम पुस्तकं अस्ति।
19. मैं विद्यालय जाता हूँ! – अहं विद्यालयं गच्छमि।
20. सीमा गेंद से खेलती है। – सीताः कन्दुकेन क्रीडति।

वाक्यों को शुद्ध करके लिखना
          अशुद्ध           –     शुद्ध वाक्य
1. सः पुस्तकं पठामि। – सः पुस्तकं पठति।
2. सः फलं खादामि। – सः फलं खादति।
3. सः रामस्य सह गतः। – सः रामेण सह गतः।
4. सः क्रीडन्ति। – सः क्रीडति।
5. अहं पाठशालाः गच्छामः। – अहम् पाठशालांग छमि।
6. वयं विद्यालये गच्छमि। – वयं विद्यालयं गच्छामः।
7. ह्यः रविवासरः अस्ति। – ह्यः रविवासरः आसीत्।
8. युवां क्रीडसि। – युवां क्रीडथः।
9. त्वम् कदा पठति? – त्वं कदा पठसि?
10. बालकः कुत्र गच्छसि। – बालकः कुत्र गच्छति?
11. अहं पाठशाले गच्छामि ? – अहं पाठशाला गच्छामि।
12. त्वम पठामि। – त्वं पठसि।
13. बालकाः फलाः खादन्ति। – बालकाः फलानि खादन्ति।
14. ते गच्छामि। – ते गच्छन्ति।
15. सर्वाणि बालकाः पठन्ति। – सर्वे बालकाः पठन्ति।
16. रामस्य नमः। – रामाय नमः।
17. पिता पुत्रे क्रुध्यति। – पिता पुत्राय क्रुध्यति।
18. नोहनः सुरेशम् ईष्यति। – मोहनः सुरेशाय ईष्यति।
19. मां दुग्धं न रोचते। – मह्यं दुग्धं न रोचते।
20. ग्रामस्य परितः वनानि सन्ति। – ग्रामं परितः वनानि सन्ति।

अभ्यास

1. निम्नलिखित वाक्यों का संस्कृत में अनुवाद कीजिए-
किसी किसान के चार पुत्र थे। वे चारों मुर्ख थे। निदेय मनुष्य पशुओं पर दया नहीं करते। ईश्वर उन्हें सद्बुद्धि दे। किसी नगर में कोई वैश्य रहता था। वह बहुत अमीर था। एक बार नदी में किसी नारी का हार गिर गया। एक मछुआरे ने उसे निकला। जब तक मैं न आऊँ, तब तक तुम अपना पाठ पढ़ो। राजा के आदेश से सेनापति ने आक्रमण किया। जहाँ परिश्रम है, वहाँ सुख निवास करता है। छात्रों को रात-दिन मेहनत करना चाहिए, तभी सफलता मिलेगी। झूठ मत बोलो। यह अच्छी बात नहीं है। सदैव सच्चे और हितकारी वचन बोलो। गाँव से शाला दूर है, अतः _ वह बैलगाड़ी से शाला जाता है। (बैलगाड़ी से = शकटेन)

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 Quadratic Equations Ex 4.4

Question 1.
Find the nature of the roots of the following quadratic equations. If the real roots exist, find them:
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
(ii) 3x² – 4\(\sqrt{3} x\) + 4 = 0
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
Solution:
(i) Comparing the given quadratic equation with ax² + bx + c = 0, we get a = 2, b = -3, c = 5
b² – 4 ac = (-3)² – 4(2)(5) = 9 – 40 = -31 < 0
Since b² – 4ac is negative.
∴ The given quadratic equation has no real roots.

(ii) Comparing the given quadratic equation with ax² + bx + c = 0, we get

Since, b² – 4ac is zero.
∴ The given quadratic equation has two real roots which are equal. Hence, the roots are

(iii) Comparing the given quadratic equation with ax² + bx + c = 0, we get a = 2,b = -6,c = 3
∴ b² – 4ac = (-6)² – 4(2)(3)
= 36 – 24 = 12 > 0
Since, b² – 4ac is positive.
∴ The given quadratic equation has two real and distinct roots, which are given by

Question 2.
Find the values of k for each of the following quadratic equations, so that they have two equal roots.
(i) 2x² + kx + 3 = 0
(ii) kx(k – 2) + 6 = 0
Solution:
(i) 2x² + kx + 3 = 0
Here, a = 2, b = k, c = 3
b² – 4ac = (k)² – 4(2) (3)
= k² – 24
∵ For a quadratic equation to have equal root, b² – 4ac = 0

(ii) kx(k – 2) + 6 = 0
Comparing kx² – 2kx + 6 = 0 with ax² + bx + c, we get
a = k, b = -2k, c = 6
∴  b² – 4ac = (-2k)² – 4(k)(6) = 4k² – 24k
Since, the roots are equal
∴  b² – 4ac ⇒ 4k² – 24k = 0.
⇒ 4k(k – 6) = 0
⇒ 4k = 0 or k – 6 = 0
⇒ k = 0 or k = 6
But k cannot be 0, otherwise, the given equation is not quadratic. Thus, the required value of k is 6.

Question 3.
Is it possible to design a rectangular mango grove whose length is twice its breadth, and the area is 800 m² ? If so, find its length and breadth.
Solution:
Let the breadth be x m.
∴ Length = 2x m
Now, Area = Length × Breadth = 2x × x m² = 2x² m²
According to the given condition,
2x² = 800

Therefore, x = 20 or x = -20
But x = -20 is not possible
[ ∵ Breadth cannot be negative]
∴ x = 20 ⇒ 2x = 2 × 20 = 40
Thus, length = 40 m and breadth = 20 m

Question 4.
Is the following situation possible? If so, determine their present ages. The sum of the ages of two friends is 20 years. Four years ago, the product of their ages in years was 48.
Solution:
Let the age of one of the friends be ‘x’.
Age of another friend is (20 – x).
4 years back age of 1st friend is (x – 4)
4 years back age of 2nd friend = (20 – x – 4) = (16 – x)
Product of their ages is 48.
∴ (x – 4) (16 – x) = 48
16x – x² – 64 + 4x = 48
-x² + 20x – 64 = 48
-x² + 20x – 64 – 48 = 0
-x² + 20x – 112 = 0
x² – 20x + 112 = 0
Here, a = 1, b = -20, c = 112
b² – 4ac = (-20)² – 4( 1)( 112) = 400 – 448 = – 48
Here, b² – 4ac = -48 < 0.
∴ It has no real roots.
∴ This situation is not possible.

Question 5.
Is it possible to design a rectangular park of perimeter 80 m and area 400 m2? If so, find its length and breadth.
Solution:
Let the breadth of the rectangle be x m.
Since, the perimeter of the rectangle = 80 m
∴ 2(Length + breadth) = 80
2(Length + x) = 80

⇒ Length = (40 – x) m
∴ Area = (40 – x) × x m² = (40x – x²) m²
According to the given condition,
Area of the rectangle = 400 m²
⇒ 40x – x² = 400
⇒ – x² + 40x – 400 = 0
⇒ x² – 40x +400 = 0 …(1)
Comparing equation (1) with ax² + bx + c = 0, we get
a = 1, b = -40, c = 400

Since, Length = Breadth
⇒ This rectangle is a square.
Thus, it is not possible to design a rectangular park of given perimeter and area.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.7 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.7

Question 1.
The ages of two friends Ani and Biju differ by 3 years. Ani’s father Dharam is twice as old as Ani and Biju is twice as old as his sister Cathy. The ages of Cathy and Dharam differ by 30 years. Find the ages of Ani and Biju.
Solution:
Let the age of Ani = x years
and the age of Biju’s = y years
Case I:
y > x
According to 1^st condition : y – x = 3 …. (1)
∵ [Age of Ani’s father] = 2[Age of Ani] = 2x years


Substituting the value of x in equation (1),
we get y – 21 = 3 ⇒ y = 3 + 21 = 24
∴ Age of Ani = 21 years
Age of Biju = 24 years

Substituting the value of y in equation (1),
we get 19 – y = 3 ⇒ y = 16
∴ Age of Ani = 19 years
Age of Biju = 16 years

Question 2.
One says, “Give me a hundred, friend! I shall then become twice as rich as you”. The other replies, “If you give me ten, I shall be six times as rich as you”. Tell me what is the amount of their (respective) capital? [From the Bijaganita of Bhaskara II]
[Hint: x + 100 = 2(y – 100), y + 10 = 6(x – 10)]
Solution:
Let the capital of 1^st friend = ₹ x,
and the capital of 2^nd friend = ₹ y
According to the condition,
x + 100 = 2(y -100)
⇒ x + 100 – 2y + 200 = 0
⇒ x – 2y + 300 = 0 … (1)
Also, 6(x – 10) = y + 10 ⇒ 6x – y – 70 = 0 …. (2)
From (1), x = -300 + 2y (3)
Substituting the value of x in equation (2), we get
6[-300 + 2y] – y – 70 = 0
⇒ -1870 + 11y = 0

Now, Substituting the value of y in equation (3), we get, x = – 300 + 2y
= – 300 + 2(170) = – 300 + 340 = 40
Thus, 1^st friend has ₹ 40 and the 2^nd friend has ₹ 170.

Question 3.
A train covered a certain distance at a uniform speed. If the train would have been 10 km/h faster, it would have taken 2 hours less than the scheduled time. And, if the train were slower by 10 km/h; it would have taken 3 hours more than the scheduled time. Find the distance covered by the train.
Solution:
Let the actual speed of the train = x km/hr
and the actual time taken = y hours
Distance = speed × time
According to 1^st condition: (x +10) × (y – 2) = xy
⇒ xy – 2x + 10y – 20 = xy
⇒ 2x – 10y + 20 = 0 … (1)
According to 2^nd condition: (x -10) × (y + 3) = xy
⇒ xy + 1ox -10y – 30 = xy
⇒ 3x – 10y – 30 = 0 ….(2)
Using cross multiplication for solving (1) and (2), we get

Thus, the distance covered by the train = 50 × 12 km = 600 km.

Question 4.
The students of a class are made to stand in rows. If 3 students are extra in a row, there would be 1 row less. If 3 students are less in a row, there would be 2 rows more. Find the number of students in the class.
Solution:
Let the number of students = x
and the number of rows = y
∴ Number of students in each row

Question 5.
In a ∆ABC, ∠C = 3 ∠B = 2(∠A + ∠B). Find the three angles.
Solution:
Sum of angles of a triangle = 180°
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180° … (1)
∵ ∠C = 3∠B = 2(∠A + ∠B) … (2)
From (1) and (2), we have ∠A + ∠B + 2 (∠A + ∠B) = 180°
⇒ ∠A + ∠B + 2∠A + 2∠B = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 60° …. (3)
Also, ∠A + ∠B + 3∠B = 180°
⇒ ∠A + 4∠B = 180° ….(4)
Subtracting (3) from (4), we get
∠A + 4∠B – ∠A – ∠B = 180°- 60°

Substituting ∠B = 40° in (4) we get,
∠A + 4(40°) = 180°
⇒ ∠A = 180° – 160° = 20°
∴ ∠C = 3∠B = 3 × 40° = 120°
Thus, ∠A = 20°, ∠B = 40° and ∠C = 120°.

Question 6.
Draw the graphs of the equations 5x – y = 5 and 3x – y = 3. Determine the co-ordinates of the vertices of the triangle formed by these lines and they-axis.
Solution:
To draw the graph of 5x – y = 5, we get

x	1	2	0
y	0	5	-5

and for equation 3x – y = 3, we get

x	2	3	0
y	3	6	-3

Plotting the points (1, 0), (2, 5) and (0, -5), we get a straight line l₁. Plotting the points (2, 3), (3, 6) and (0, -3), we get a straight line l₂.

From the figure, obviously, the vertices of the triangle formed are A(l, 0), B(0, -5) and C(0,-3).

Question 7.
Solve the following pair of linear equations:
(i) px + qy = p – q, qx – py = p + q
(ii) ax + by = c, bx + ay = 1 + c
(iii) \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\)= 0, ax + by = a² + b²
(iv) (a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²,
(a + b)(x + y) = a² + b²
(v) 152x – 378y = -74, – 378x + 152y = -604
Solution:

Question 8.
ABCD is a cyclic quadrilateral (see figure). Find the angles of the cyclic quadrilateral.

Solution:
ABCD is a cyclic quadrilateral.
∴ ∠A + ∠C = 180° and
∠B + ∠D = 180°
⇒ [4y + 20] + [- 4x] = 180°
⇒ 4y – 4x + 20° -180° = 0
⇒ 4y – 4x – 160° = 0
⇒ y – x – 40° = 0 … (1)

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 Surface Areas and Volumes Ex 13.1

Unless stated otherwise, take π = \(\frac{22}{7}\)

Question 1.
2 cubes each of volume 64 cm3 are joined end to end. Find the surface area of the resulting cuboid.
Solution:
Volume of each cube = 64 cm³

Let the edge of each cube = x
∴ x³ = 64 cm³
⇒ x = 4 cm
Now, Length of the resulting cuboid (l) = 2x cm = 8 cm
Breadth of the resulting cuboid (b) = x cm = 4 cm
Height of the resulting cuboid (h) = x cm = 4 cm
∴ Surface area of the cuboid = 2 (lb + bh + hl)
= 2 [(8 × 4) + (4 × 4) + (4 × 8)] cm²
= 2 [32 + 16 + 32] cm² = 2 [80] cm²
= 160 cm².

Question 2.
A vessel is in the form of a hollow hemisphere mounted by a hollow cylinder. The diameter of the hemisphere is 14 cm and the total height of the vessel is 13 cm. Find the inner surface area of the vessel.
Solution:
For hemispherical part,
radius (r)= \(\frac{14}{2}\) = 7cm
∴ Curved surface area = 2πr²
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 7cm²
= 308cm² 7
Total height of vessel = 13 cm

∴ Height of cylinder = (13 – 7)cm = 6 cm and radius(r) = 7 cm
∴ Curved surface area of cylinder = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 7 × 6cm² = 264cm² 7
∴ Inner surface area of vessel = (308 + 264)cm² = 572 cm²

Question 3.
A toy is in the form of a cone of radius 3.5 cm mounted on a hemisphere of same radius. The total height of the toy is 15.5 cm. Find the total surface area of the toy.
Solution:
Let h be the height of cone and r be the radius of cone and hemisphere.

∴ h = [height of toy – radius of hemi sphere]
= (15.5 – 3.5) cm = 12 cm
Also l² = h² + r² = 12² + (3.5)² = 156.25 cm²
∴ l = 12.5 cm
Curved surface area of the conical part = πrl
Curved surface area of the hemispherical part = 2πr²
∴ Total surface area of the toy = πrl + 2πr²
= πr(l + 2 r)
= \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{10}\) (12.5 + 2 × 3.5) cm²
= 11 × (12.5 + 7) cm² = 11 × 19.5 cm²
= 214.5 cm²

Question 4.
A cubical block of side 7 cm is surmounted by a hemisphere. What is the greatest diameter the hemisphere can have? Find the surface area of the solid.
Solution:
Let side of the block, l = 7 cm

∴ The greatest diameter of the hemisphere = 7 cm
Surface area of the solid = [Total surface area of the cubical block] + [C.S.A. of the hemisphere] – [Base area of the hemisphere]
= 6 × l² + 2πr² – πr²
[where l = 7 cm and r = \(\frac{7}{2}\) cm]

Question 5.
A hemispherical depression is cut out from one face of a cubical wooden block such that the diameter l of the hemisphere is equal to the edge of the cube. Determine the surface area of the remaining solid.
Solution:
Let l be the side of the cube.

∴ Diameter of the hemisphere = l
⇒ Radius of the hemisphere (r) = \(\frac{l}{2}\)
Curved surface area of hemisphere = 2πr²
= 2 × π × \(\frac{l}{2} \times \frac{l}{2}=\frac{\pi l^{2}}{2}\)
Base area of the hemisphere = πr²
= \(\pi\left(\frac{l}{2}\right)^{2}=\frac{\pi l^{2}}{4}\)
Surface area of the cube = 6 × l² = 6l²
∴ Surface area of the remaining solid = [Total surface area of cube + C.S.A. of hemisphere – base area of hemisphere]

Question 6.
A medicine capsule is in the shape of a cylinder with two hemispheres stuck to each of its ends (see figure). The length of the entire capsule is 14 mm and the diameter of the capsule is 5 mm. Find its surface area.

Solution:
Radius of the hemispherical part

Curved surface area of one hemispherical part = 2πr²
∴ Surface area of both hemispherical parts
= 2(2πr²) = 4πr² = [4 × \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{10}\right)^{2}\)] mm²
= \(\left(4 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{10} \times \frac{25}{10}\right)\) mm²
Entire length of capsule = 14 mm
∴ Length of cylindrical part = [Length of capsule – Radius of two hemispherical part]
= (14 – 2 × 2.5)mm = 9mm Area of cylindrical part = 2πrh
= (2 × \(\frac{22}{7}\) × 2.5 × 9 ]mm² = (2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{25}{10}\) × 9) mm²
Total surface area
= [Surface area of cylindrical part + Surface area of both hemispherical parts]

Question 7.
A tent is in the shape of a cylinder surmounted by a conical top. If the height and diameter of the cylindrical part are 2.1 m and 4 m respectively, and the slant height of the top is 2.8 m, find the area of the canvas used for making the tent. Also, find the cost of the canvas of the tent at the rate of ₹ 500 per m². (Note that the base of the tent will not be covered with canvas.)
Solution:

For cylindrical part:
Radius (r) = \(\frac{4}{2}\) m = 2m and height (h) = 2.1 m
∴ Curved surface area = 2πrh = (2 × \(\frac{22}{7}\) × 2 × \(\frac{21}{10}\))m²
For conical part:
Slant height (l) = 2.8 m
and base radius (r) = 2 m
∴ Curved surface area
= πrl = (\(\frac{22}{7}\) × 2 × \(\frac{28}{10}\)) m²
∴ Total surface area = [Curved surface area of the cylindrical part] + [Curved surface area of conical part]

Cost of the canvas used :
Cost of 1 m² of canvas = ₹ 500
∴ Cost of 44 m² of canvas = ₹ (500 × 44)
= ₹ 22000.

Question 8.
From a solid cylinder whose height is 2.4 cm and diameter 1.4 cm, a conical cavity of the same height and same diameter is hollowed out. Find the total surface area of the remaining solid to the nearest cm².
Solution:

For cylindrical part :
Height (h) = 2.4 cm and diameter = 1.4 cm
⇒ Radius (r) = 0.7 cm
∴ Total surface area of the cylindrical part
= 2πrh + 2πr² = 2πr [h + r]
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{10}\) [2.4 + 0.7]
= \(\frac{44}{10}\) × 3.1 = \(\frac{44 \times 31}{100}\) = \(\frac{1364}{100}\) cm²
For conical part:
Base radius (r) = 0.7 cm and height (h) = 2.4 cm

Base area of the conical part
= \(\pi r^{2}=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{22 \times 7}{100} \mathrm{cm}^{2}=\frac{154}{100} \mathrm{cm}^{2}\)
Total surface area of the remaining solid = [(Total surface area of cylindrical part) + (Curved surface area of conical part) – (Base area of the conical part)]
= \(\left[\frac{1364}{100}+\frac{550}{100}-\frac{154}{100}\right] \mathrm{cm}^{2}=\frac{1760}{100} \mathrm{cm}^{2}\)
Hence, total surface area to the nearest cm² is 18cm².

Question 9.
A wooden article was made by scooping out a hemisphere from each end of a solid cylinder, as shown in figure. If the height of the cylinder is 10 cm, and its base is of radius 3.5 cm, find the total surface area of the article.

Solution:
Radius of the cylinder (r) = 3.5 cm
Height of the cylinder (h) = 10 cm
∴ Curved surface area = 2πrh
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{10}\) × 10cm² = 220cm²
Curved surface area of a hemisphere = 2πr²
∴ Curved surface area of both hemispheres
= 2 × 2πr² = 4πr² = 4 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10}\) cm²
= 154 cm²
Total surface area of the remaining solid = (220 + 154) cm² = 374 cm².