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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.2

प्रश्न 1.
यदि P (A) = \(\frac{3}{5}\), P (B) = \(\frac{1}{5}\) और A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं तो P (ARB) ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ A तथा B स्वतंत्र घटनाएँ हैं
∴ P(A ∩ B) = P (A)x P (B)
= \(\frac{3}{5} \times \frac{1}{5}=\frac{3}{25}\)

प्रश्न 2.
52 पत्तों की एक गड्डी में से यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए गए दो पत्ते निकाले गए। दोनों पत्तों के काले रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पत्तों की कुल संख्या = 52
गड्डी में काले पत्तों की कुल संख्या = 26
∴ एक पत्ता यादृच्छया खींचने पर काले पत्ते की प्रायिकता
= \(\frac{26}{52}\)
P(E₁) = \(\frac{1}{2}\)
एक पत्ता खींचने पर शेष पत्तों की संख्या = 52 – 1 = 51
तथा काले पत्तों की संख्या = 26 – 1 = 25
∴ दूसरा काला पत्ता होने की प्रायिकता F₂ = \(\frac{25}{51}\)
अतः दोनों पत्ते काले रंग के होने की प्रायिकता
= E₁ x E₂
= \(\frac{1}{2} \times \frac{25}{51}=\frac{25}{102}\)

प्रश्न 3.
संतरों के एक डिब्बे का निरीक्षण उसमें से तीन संतरों को यादृच्छया बिना प्रतिस्थापित किए हुए निकाल कर किया जाता है। यदि तीनों निकाले गए संतरे अच्छे हों तो डिब्बे को बिक्री के लिए स्वीकृत किया जाता है अन्यथा अस्वीकृत कर देते हैं। एक डिब्बा जिसमें 15 संतरे हैं जिनमें से 12 अच्छे व 3 खराब संतरे हैं, के बिक्री के लिए स्वीकृत होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
डिब्बा जिसमें 12 अच्छे और 3 खराब सन्तरे हैं।
12 संतरों में से 3 अच्छे संतरे निकालने के प्रकार = 12C₃
15 सन्तरों में से 3 सन्तरे निकालने के प्रकार = 15C₃
स्वीकृत होने की प्रायिकता =3 अच्छे सन्तरों को चुनने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
एक न्याय्य सिक्का और एक अभिनत पासे को उछाला गया। मान लें A घटना ‘सिक्के पर चित प्रकट होता है’ और B घटना ‘पासे पर सख्या 3 प्रकट होती है’ को निरूपित करते हैं। निरीक्षण कीजिए कि घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं या नहीं?
हल:
घटना A पर, चित आने की प्रायिकता P(A) = \(\frac{1}{2}\)
घटना B पर 3 प्रकट होने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{6}\) जब पासे और सिक्के को उछाला जाता है, तब कुल संख्या
= [HI, H2, H3. H4, Hz, H6 ]
= [TI,T2,T3,TA,TH,T6]
अब H₃ का प्रकट होना एक ही तरीके से हो सकता है।
3 और चित आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{12}\)

अतः A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।

प्रश्न 5.
एक पासे पर 1,2,3 लाल रंग से और 4, 5, 6 हरे रंग से लिखे गए हैं। इस पासे को उछाला गया। मान लेंA घटना ‘संख्या सम है’ और Bघटना संख्या लाल रंग से लिखी गई है’ को निरूपित करते हैं। क्या A और B स्वतन्त्र हैं?
हल:
पासे पर सम संख्याएँ 2, 4, 6 हैं।
घटना A पर सम संख्या आने की प्रायिकता
P(A) = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
पासे पर दो रंग लाल और हरा है।
घटना (B) पर लाल रंग आने की प्रायिकता P(B) = \(\frac{1}{2}\)
लाल रंग में सम संख्या 2 है।
लाल रंग और सम संख्याएँ होने की प्रायिकता
P(A ∩ B) = \(\frac{1}{6}\)
≠P(A ∩ B)
A और B स्वतन्त्र घटना नहीं है।

प्रश्न 6.
मान लें E तथा F दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि P(E) = \(\frac{3}{5}\), P(F) = \(\frac{3}{10}\) और P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\) तब क्या E तथा F स्वतन्त्र हैं।
हल:
∵ P(E) = \(\frac{3}{5}\) तथा P(F) = \(\frac{3}{10}\) तथा P(E ∩ F) = \(\frac{1}{5}\)
∴ P(E) x P(F) = \(\frac{3}{5} \times \frac{3}{10}=\frac{9}{50}\)
∵ P(E ∩ F) ≠ P(E) x P(F)
अतः E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 7.
A और B ऐसी घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A)= \(\frac{1}{2}\), P(AUB) = \(\frac{3}{5}\) तथा P(B) = P
p का मान ज्ञात कीजिए यदि
(i) घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हैं
(ii) घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
हल:
माना P(A ∩ B) =x
अब P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(A ∪ B) = \(\frac{3}{5}\), P(B) = P
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

(i) जब घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं x = 0
∴ P = \(\frac{1}{10}\)
(ii) जब घटनाएँ A और B स्वतन्त्र हैं
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)

प्रश्न 8.
मान लें A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं तथा P(A) = 0.3 और P(B) = 0.4 तब .
(i) P(A ∩ B)
(ii) P(A U B)
(iii) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iv) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) दिया है :
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4
जब A और B स्वतन्त्र घटना है
P(A ∩ B) = P(A) x P(B)
= 0.3 x 0.4 = 0.12
(ii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
= 0.3 + 0.4 – 0.12
= 0.7 – 0.12 = 0.57

= \(\frac{0.12}{0.3}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}\)

प्रश्न 9.
दी गई घटनाएँ A और B ऐसी हैं, जहाँ P(A) = \(\frac{1}{4}\), P(B) =\(\frac{1}{2}\) और P(A ∩ B) = तब P(A – नहीं और B – नहीं) ज्ञात कीजिए।
हल:

अत: P(A – नहीं और B – नहीं) = \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 10.
मान लें A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं और P(A) = \(\frac{1}{2}\) तथा P(B) = \(\frac{7}{12}\) और P(A – नहीं और B – नहीं) = \(\frac{1}{4}\) क्या A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं?

A और B स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 11.
A और B स्वतन्त्र घटनाएँ दी गई हैं जहाँ P(A) = 0.3, P (B)= 0.6 तो
(i) P(A और B)
(ii) P(A और B – नहीं)
(iii) P(A या B)
(iv) P(A और B में कोई भी नहीं ) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : A और B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं
(i) ∴ P (A और B) = P(A ∩ B)
=P(A) × P (B) [∵P (A)= 0.3, P (B)= 0.6]
= 0.3 x 0.6 = 0.18
(ii) P (A और B नहीं)
=P(A ∩ \(\overline{\mathbf{B}}\))
= P(A) – P(A ∩ B)
= 0.3 – 0.18 [∵ P(A ∩ B) = 0.18]
= 0.12
(iii) यहाँ P (A) = 0.3, P (B) = 0.6,
P (A ∩ B) = 0.18
∴ P(A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
= 0.3 + 0.6 – 0.18
= 0.72
⇒ P(A या B) = 0.72
(iv) P(A और B में कोई नहीं) = P(\(\overline{\mathbf{A}}\) ∩ \(\overline{\mathbf{B}}\))
= P(\(\overline{\mathbf{A}}\))x P (\(\overline{\mathbf{B}}\))
∴ P(\(\overline{\mathbf{A}}\) ∩ \(\overline{\mathbf{B}}\)) = P (\(\overline{\mathbf{A}}\)) x P(\(\overline{\mathbf{B}}\))
= [1 – P (A)] x [1 – P (B)]
=[1 – 0.3] x [1 – 0.6]
= 0.7 x 0.4
= 0.28

प्रश्न 12.
एक पासे को तीन बार उछाला जाता है तो कम-से-कम एक बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
पासे को एक बार उछालने पर विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
तथा सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
इसलिए पासे को तीन बार उछालने पर सम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
अतः पासे को तीन बार उछालने पर कम से कम 1 बार विषम संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}\)

प्रश्न 13.
दो गेंद एक बॉक्स से बिना प्रतिस्थापित किए निकाली जाती है। बॉक्स में 10 काली और 8 लाल गेंदें हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए-(i) दोनों गेंदें लाल हों, (i) प्रथम काली एवं दूसरी लाल हो, (iii) एक काली तथा दूसरी लाल
हो।
हल:
(i) प्रथम गेंद लाल होने की प्रायिकता
= \(\frac{C_{1}}{^{18} C_{1}}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
दूसरी गेंद भी लाल प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{4}{9}\)
दोनों गेंद लाल प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{16}{81}\)
(ii) प्रथम गेंद काली प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{10}{18} C_{1}=\frac{10}{18}=\frac{5}{9}\)
दूसरी गेंद लाल प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{^{8} C_{1}}{^{18} C_{1}}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}\)
प्रथम काली एवं दूसरी लाल गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}\)
(iii) प्रथम गेंद काली और दूसरी लाल प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{10}{18} \times \frac{8}{18}=\frac{5}{9} \times \frac{4}{9}=\frac{20}{81}\)
प्रथम गेंद लाल औ दूसरी गेंद काली प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{8}{18} \times \frac{10}{18}=\frac{4}{9} \times \frac{5}{9}=\frac{20}{81}\)
∴ एक काली तथा दूसरी लाल गेंद प्राप्त होने की प्रायिकता
= \(\frac{20}{81}+\frac{20}{81}=\frac{40}{81}\)

प्रश्न 14.
एक विशेष समस्या को A और B द्वारा स्वतन्त्र रूप से हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः \(\frac{1}{2}\) और \(\frac{1}{3}\) हैं। यदि दोनों, स्वतंत्र रूप से, समस्या हल करने का प्रयास करते हैं तो प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि –
(i) समस्या हल हो जाती है।
(ii) उनमें से तथ्यतः कोई एक समस्या हल कर लेता है।
हल:
(i) A द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता =\(\frac{1}{2}\) = P(A)
∴ A के द्वारा समस्या हल न होने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\) = P(A)
तथा B के द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{3}\) =P(B)
∴ समस्या हल न करने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\) = P(B)
स्वतन्त्र रूप से प्रश्न हल नहीं होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}\)
इसलिए समस्या हल हो जाने की प्रायिकता = \(1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\)
अत: दोनों द्वारा समस्या हल होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{3}\)
(ii) उनमें से तथ्यत: कोई एक प्रश्न हल करने की प्रायिकता
= P(A\(\overline{B}\)) + P(\(\overline{A}\)B)
= P(A).P(\(\overline{B}\)) + P(\(\overline{A}\)).P(B) (∵A तथा B स्वतन्त्र घटनाएँ हैं)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\)

प्रश्न 15.
ताश के 52 पत्तों की एक सुमिश्रित गड्डी से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
निम्नलिखित में से किन दशाओं में घटनाएँ E और F स्वतन्त्र हैं?
(i) E : ‘निकाला गया पत्ता हुकुम का है’
F : ‘निकाला गया पत्ता इक्का है’
(ii) E : ‘निकाला गया पत्ता काले रंग का है’
F : ‘निकाला गया पत्ता एक बादशाह है’
(iii)E : ‘निकाला गया पत्ता एक बादशाह या एक बेगम है’
F: “निकाला गया पत्ता एक बेगम या एक गुलाम है’
हल:
ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी है।
(i) हुकुम के पत्तों की संख्या = 13
∴ निकाले गए हुकुम के पत्ते की प्रायिकता
= \(\frac{13}{52} \frac{C_{1}}{C_{1}}=\frac{13}{52}\)
∴ P (E) = \(\frac{13}{52}=\frac{1}{4}\)
ताशों की एक गड्डी में चार इक्के हैं।
निकाला गया पत्ता इक्का की प्रायिकता
= \(\frac{^{4} C_{1}}{^{52} C_{1}}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
⇒ P(F) = \(\frac{1}{13}\)
केवल एक पत्ता है जिसमें हुकुम का एक इक्का है।
निकाला गया हुकुम का इक्का की प्रायिकता = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(E ∩ F) = \(\frac{1}{52}=\frac{1}{4} \times \frac{1}{13}\)
= P(E) x P(F)
⇒ P(E ∩ F) = P(E) x P(F)
E तथा F स्वतन्त्र घटनाएँ हैं।
(ii) ताश के 52 पत्तों की गड्डी में 26 काले रंग के पत्ते हैं।
एक काला पत्ता खींचने की प्रयिकता = \(\frac{26}{52} \frac{C_{1}}{C_{1}}=\frac{26}{52}=\frac{1}{2}\)
∴ P(E) = \(\frac{1}{2}\)
ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी में 4 पत्ते बादशाह हैं।
∴ एक बादशाह खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{4} C_{1}}{^{52} C_{1}}=\frac{4}{51}=\frac{1}{13}\)
∴ P(F) = \(\frac{1}{13}\)
यहाँ काले रंग में दो बादशाह हैं।
∴ काले रंग की एक बादशाह खींचने की प्रायिकता
= P(E ∩ F) = \(\frac{2}{52}=\frac{1}{26}\)
अब, P(E) x P(F) = \(\frac{1}{2} \times \frac{1}{13}=\frac{1}{26}\)
= P(E ∩ F)
अतः P(E ∩ F) = P(E) x P(F)
⇒ E और F स्वतन्त्रघटनाएँ हैं।
(iii) यहाँ 4 बेगम और 4 बादशाह के पत्ते हैं।
∴ एक बादशाह या एक बेगम खींचने की प्रायिकता
= \(\frac{^{8} C_{1}}{^{52} C_{1}}\)
= \(\frac{8}{52}=\frac{2}{13}\)
∴ P(E) = \(\frac{2}{13}\)
यहाँ 4 बेगम और 4 गुलाम के पत्ते हैं।
∴ एक बेगम या एक गुलाम की प्रायिकता = \(\frac{8}{52}=\frac{2}{13}\)
यहाँ दोनों ही दशाओं में 4 बेगम उभयनिष्ठ हैं।
∴ एक बेगम का पत्ता खींचने की प्रायिकता = \(\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)
= P(E ∩ F)
P(E) x P(F) = \(\frac{2}{13} \times \frac{2}{13}\)
= \(\frac{4}{169}\) ≠ P(E ∩ F)
अतः E और F स्वतन्त्र घटनाएँ नहीं हैं।

प्रश्न 16.
एक छात्रावास में 60% विद्यार्थी हिन्दी का, 40% अंग्रेजी का और 20% दोनों अखबार पढ़ते हैं। एक छात्रा को यादृच्छया चुना जाता है।
(a) प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है।
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसके अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) माना छात्रों के हिन्दी और अंग्रेजी के अखबार पढ़ने की घटनाओं को क्रमश: H और E से निरूपित करते हैं।
P(H) = 60% = \(\frac{60}{100}\) =0.6
P(E) = 40% = \(\frac{10}{100}\) = 0.4
P(H ∩ E) = 20% = \(\frac{20}{100}\) = 0.2
छात्रों के कम से कम एक अखबार पढ़ने की प्रायिकता
=P(H U E)
P(H) = 0.6, P(E) = 0.4, P(H U E) = 0.2
∴ P(H U E) = 0.6 + 0.4 – 0.2
=1 – 0.2 = 0.8
∴ छात्रों के न तो हिन्दी और न ही अंग्रेजी का अखबार पढ़ने की प्रायिकता
=1 – P(H U E) = 1 – 0.8
= 0.2 = 20%
स्पष्ट है कि 20% विद्यार्थी अखबार नहीं पढ़ते
(b) यदि वह हिन्दी का अखबार पढ़ती है तो उसमें अंग्रेजी का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता

(c) यदि वह अंग्रेजी का अखबार पढ़ती है तो उसके हिन्दी | का अखबार भी पढ़ने वाली होने की प्रायिकता

प्रश्न 17.
यदि पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तो प्रत्येक पासे पर सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता निम्नलिखित में से क्या है?
(A) 0
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) \(\frac{1}{12}\)
(D) \(\frac{1}{36}\)
हल:
यहाँ समअभाज्य संख्या केवल 2 है। जब पासा उछाला जाता है तब सम अभाज्य संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
जब पासों का एक जोड़ा उछाला जाता है तब समअभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}\)
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 18.
दो घटनाओंA और B को परस्पर स्वतन्त्र कहते हैं, यदि
(A) A और B परस्पर अपवर्जी हैं
(B) P (A’B’ ) = [1 – P(A)][1 – P(B)]
(C) P (A) = P(B)
(D) (A) + P(B)=1
हल:
दो घटनाएँ स्वतन्त्र हैं।
यदि P(A ∩ B) = P(A)x P(B)
या P(A’ ∩ B’) = P(A’). P(B’)
= [1 – P(A)] [1 – P(B)]
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता Ex 13.1

प्रश्न 1.
यदि E और F इस प्रकार की घटनाएँ हैं कि P(E) = 0.6, P (F) == 0.3 और P(E ∩F) = 0.2, तो \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{E}}{\boldsymbol{F}}\right)\) और \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{F}}{\boldsymbol{E}}\right)\) ज्ञात कीजिए।
हल:
ज्ञात है
P(E) = 0.6
P(F) =03
तथा P(EMF) = 0.2

प्रश्न 2.
\(P\left(\frac{A}{B}\right)\) ज्ञात कीजिए, यदि P (B) = 0.5 और P(A ∩ B) = 0.32
हल:
∵ P(B) =0.5
तथा P (A ∩ B) =0.32

प्रश्न 3.
यदि P(A) = 0.8, P(B) = 0.5 और \(P\left(\frac{B}{A}\right)\) = 0.4 ज्ञात कीजिए।
(i) P (A ∩ B)
(ii) P\(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iii) P(AUB)
हल:
दिया है :
P(A) = 0.8, P(B) = 0.5
और \(P\left(\frac{B}{A}\right)\)=0.4

(iii) ∵ P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩B)
= 0.8 + 0.5 – 0.32
=1.3 – 0.32
= 0.98

प्रश्न 4.
P (AUB) ज्ञात कीजिए यदि 2P (A) = P(B) = \(\frac{5}{13}\) और \(P\left(\frac{A}{B}\right) = \frac{2}{5}\)

प्रश्न 5.
यदि P(A) = \(\frac{6}{11}\) P (B) = \(\frac{5}{11}\) और P(AUB) = \(\frac{7}{11}\) तो ज्ञात कीजिए
(i) P (A∩B)
(ii) \(P\left(\frac{A}{B}\right)\)
(iii) \(P\left(\frac{B}{A}\right)\)

निम्नलिखित प्रश्न 6 से 9 तक \(P\left(\frac{E}{F}\right)\) ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
एक सिक्के को तीन बार उछाला गया है-
(i) E : तीसरे उछाल पर चित F : पहली दोनों उछालों पर चित।
(ii) E : न्यूतनम दो चित F : अधिकतम एक चित।
(iii) E : अधिकतम दो पट F : न्यूनतम एक पट।
हल:
सम्भावित परिणाम =8
(i) E = {HHH, HTH, THH, TTH}
तथा F = {HHH, HHT}
E∩F = {HHH}
⇒P(E∩F) = \(\frac{1}{8}\) , P(F) = \(\frac{1}{4}\)
∴
(ii) ∵ E : न्यूनतम दो चित
∴ E = {HHH, HTH, THH, HHT}
F: अधिकतम दो चित
∴ F = {TTT, HTT, THT, HTT, HHT, HTH,THH}
∴ E ∩ F = {HHT, HTH, THH}

(iii) E : अधिकतम दो पट
∴ E = {HTT, THT, TTH, HHT, HTH,THH, HHH}
F : न्यूनतम दो पट
F = {THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}
∴ E ∩ F = {HTT,THT,TTH,THH, HTH, HHT}

प्रश्न 7.
दो सिक्कों को एक बार उछाला गया है –
(i) E : एक सिक्के पर पट प्रकट होता है F : एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
(ii)E : कोई पट प्रकट नहीं होता F: कोई चित प्रकट नहीं होता है।
हल : (i) E = एक सिक्के पर पट प्रकट होता है।
= {TH, HT}
F = एक सिक्के पर चित प्रकट होता है।
= {HT, TH}
∴ E ∩F = {TH, HT}

(ii) E = कोई पट प्रकट नहीं होता है
= {H, H}
F = कोई चित प्रकट नहीं होता है
= {TT}
∴ E ∩ F=ϕ

प्रश्न 8.
एक पासे को तीन बार उछाला गया है
E : तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
F : पहली दो उछालों पर क्रमशः 6 तथा 5 प्रकट होना।
हल:
E = तीसरी उछाल पर संख्या 4 प्रकट होना
= (1, 1, 4), (1, 2, 4), (1, 3, 4), …(1, 6, 4)
=(2, 1, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 4), …(2, 6, 4)
= (3, 1, 4), (3, 2, 4), (3, 3, 4), …(3, 6, 4)
= (4,1, 4), (4, 2, 4), (4, 3, 4), …(4, 6, 4)
= (5, 1, 4), (5, 2, 4), (5, 3, 4), …(5, 6, 4)
=(6, 1, 4), (6, 2, 4), (6, 3, 4), … (6, 6, 4)
= 36 परिणाम
F = पहली दो उछालों पर क्रमश: 6 तथा 5 प्रकट होना
= {(6, 5, 1), (6, 5, 2), ( 6, 5, 3), ( 6, 5, 4), ( 6, 5, 5), (6, 5, 6)} = 6 परिणाम
∴ E ∩ F = {6, 5, 4}

प्रश्न 9.
एक पारिवारिक चित्र में माता, पिता व पुत्र या यादृच्छया खड़ें हैं –
E : पुत्र एक सिरे पर खड़ा है F : पिता मध्य में खड़े हैं।
हल:
माना पुत्र (s), पिता (f) तथा माता (m) यादृच्छया खड़े है।
E = पुत्र एक सिरे पर खड़ा है।
= {smf, sfm, fms, mfs}
तथा F : पिता मध्य में खड़े हैं।
∴ F = { mfs, sin}
⇒ E ∩ F = {mfs, sfm}

प्रश्न 10.
एक काले और एक लाल पासे को उछाला गया हैं –
(a) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 9 से अधिक होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
(b) पासों पर प्राप्त संख्याओं का योग 8 होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात हो कि लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
हल:
(a) जब दो पासे उछाले जाएँ तो उनका योग 9 से अधिक हो
A = {(4, 6), (5, 5), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)}
B = काले पासे पर 5 प्रकट हुआ है।
= {(5,1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}
A∩B = {(5, 5), (5, 6)}
P(A∩B) = \(\frac{2}{36}\)= \(\frac{1}{18}\)

(b) A = प्राप्त संख्याओं का योग 8 है।
= {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}
B = लाल पासे पर प्रकट संख्या 4 से कम है।
B = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
A ∩ B = {(2, 6), (3, 5)}

प्रश्न 11.
एक न्याय्य पासे को उछाला गया है। घटनाओं E = {1, 3, 5}, F = {2, 3} और G = {2, 3, 4,5} के लिए
निम्नलिखित ज्ञात कीजिए –



(iii) E = {1, 3, 5}, F = {2, 3}, G = {2, 3, 4, 5}
⇒E ∩ G = {3, 5} E ∩ G = {2, 3},
(E ∩ F) ∩ G = {3}

प्रश्न 12.
मान लें कि जन्म लेने वाले बच्चे का लड़का या लड़की होना समसंभाव्य है। यदि किसी परिवार में दो बच्चे हैं तो दोनों बच्चों के लड़की होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता क्या है, यदि यह दिया गया है कि
(i) सबसे छोटा बच्चा लड़की है
(ii) न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
हल:
माना पहले तथा दूसरे बच्चे, लड़कियाँ G₁,G₂, तथा लड़के B₁, B₂ हैं।
∴ S = {(G₁.G₂), (G₁, B₂), (G₂, B₁), (B₁, B₂)}
माना A = दोनों बच्चे लड़कियाँ हैं।
= {G₁G₂}
B = सबसे छोटा बच्चा लड़की है।
= {G₁G₂. B₁G₂}
C = न्यूनतम एक बच्चा लड़की है।
= {G₁B₂,G₁G₂, B₁G₂}
A ∩ B = {G₁G₂}, A ∩ C = {G₁G₂}

प्रश्न 13.
एक प्रशिक्षक के पास 300 सत्य/असत्य प्रकार के आसान प्रश्न, 200 सत्य/असत्य प्रकार के कठिन प्रश्न, 500 बहुविकल्पीय प्रकार के आसान प्रश्न और 400 बहुविकल्पीय प्रकार के कठिन प्रश्नों का संग्रह है। यदि प्रश्नों के संग्रह से एक प्रश्न यादृच्छया चुना जाता है तो एक आसान प्रश्न की बहुविकल्पीय होने की प्रायिकता क्या होगी?
हल:
दिए गए आँकड़ों की टेबिल निम्न प्रकार है –

माना E = सरल प्रश्न, D = कठिन प्रश्न, T = सत्य/असत्य प्रश्न, M = बहुविकल्पीय प्रश्न
सरल बहुविकल्पीय प्रश्नों की संख्या = 500
कुल प्रश्नों की संख्या = 1400
P(E ∩ M) = आसन और बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता
\( = \frac{500}{1400} = \frac{5}{14}\)
बहुविकल्पीय प्रश्नों की कुल संख्या = 500 + 400 = 900
P(M) = एक बहुविकल्पीय प्रश्नों की प्रायिकता

प्रश्न 14.
यह दिया गया है कि दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याएँ भिन्न-भिन्न हैं। दोनों संख्याओं का योग 4 होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
दो पासों को फेंकने से प्रतिदर्श समष्टि के परिणाम
= 6 x 6 =36
माना A = दो संख्याओं का योग 4
= [(1,3), (2, 2), (3,1)]
दो पासों को फेंकने पर समान संख्या वाले परिणाम
= {(1, 1), (2, 2), (3,3),(4, 4) (5,5), (6, 6)}
B = जब संख्या भिन्न हो तो ऐसे परिणाम
=36 – 6 = 30
A∩B = [(1, 3), (3, 1)]
P(A∩B) = \(\frac{2}{36}\),
P(B) =\(\frac{30}{36}\)

प्रश्न 15.
एक पासे को फेंकने के परीक्षण पर विचार कीजिए। यदि पासे पर प्रकट संख्या 3 का गुणज है तो पासे को पुनः फेंकें और यदि कोई अन्य संख्या प्रकट हो तो एक सिक्के को उछालें। घटना न्यूनतम एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना’ दिया गया है तो घटना ‘सिक्के पर पट प्रकट होने’ की सप्रतिबन्ध प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना यहाँ 3 का गुणज प्रत्येक समय n बार फेंका गया।
एक उछाल में 3 के गुणज की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)
n उछालों में 3 के गुणज की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(=\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\)
एक उछाल में 6 की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\frac{1}{6}\)
∴ n उछालों में 6 की प्रायिकता प्राप्त होगी = \(\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\)
⇒n उछालों में कम-से-कम 3 की प्रायिकता प्राप्त होगी
= \(\left(\frac{1}{3}\right)^{n}-\left(\frac{1}{6}\right)^{n}\)
∴ (n +1)^th उछाल में 1, 2, 3, 4, 5 (3 का गुणज नहीं है) की प्रायिकता प्राप्त होगी
=\(\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)
अगली उछाल में एक सिक्का उछाला गया और पट आया।
∴ पट आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
अन्त में (n + 2)^th उछाल में कम-से-कम 3 और पट प्राप्त होने की प्रायिकता

यदि n→∞; एक पासे पर संख्या 3 प्रकट होना, दिया गया है तो सिक्के पर पट होने की सप्रतिबन्ध प्रायिकता

निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में सही उत्तर चुनें।

प्रश्न 16.
यदि P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = 0 तब \(P\left(\frac{A}{B}\right)\) है –
(A) 0
(B) \(\frac{1}{2}\)
(C) परिभाषित नहीं
(D) 1
हल:

प्रश्न 17.
यदि A और B दो घटनाएँ इस प्रकार हैं कि \(\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}\right)^{\prime}=\boldsymbol{P}\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) ≠ 0 तब
(A) A ⊂ B
(B) A = B
(C) A ∩B = ϕ
(D) P(A)=P(B)
हल:

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.2

Unless stated otherwise, use π = \(\frac{22}{7}\).

Question 1.
Find the area of a sector of a circle with radius 6 cm if angle of the sector is 60°.
Solution:
Here, r = 6 cm and θ = 60°

Question 2.
Find the area of a quadrant of a circle whose circumference is 22 cm.
Solution:
Let radius of the circle be r.
∴ 2πr = 22

Question 3.
The length of the minute hand of a clock is 14 cm. Find the area swept by the minute hand in 5 minutes.
Solution:
Length of minute hand = radius of the circle (r) = 14 cm
∵ Angle swept by the minute hand in 60 minutes = 360°
∴ Angle swept by the minute hand in 360°
5 minutes = \(\frac{360^{\circ}}{60}\) × 5 = 30°
Now, area of the sector with r = 14 cm and θ = 30°
= \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) × πr² = \(\frac{30^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{22}{7}\) × 14 × 14 cm²
= \(\frac{11 \times 14}{3} \mathrm{cm}^{2}=\frac{154}{3} \mathrm{cm}^{2}\)
Thus, the required area swept by the minute hand in 5 minutes = \(\frac{154}{3}\) cm²

Question 4.
A chord of a circle of radius 10 cm subtends a right angle at the centre. Find the area of the corresponding: (i) minor segment (ii) major segment.(Use π = 3.14)
Solution:
Length of the radius (r) = 10 cm
Sector angle (θ) = 90°

= [314 – 78.5] cm² = 235.5 cm²

Question 5.
In a circle of radius 21 cm, an arc subtends an angle of 60° at the centre. Find:
(i) the length of the arc
(ii) area of the sector formed by the arc
(iii) area of the segment formed by the corresponding chord
Solution:
Here, radius(r) = 21 cm and θ = 60°
(i) Circumference of the circle = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7}\) × 21 cm = 2 × 22 × 3 cm = 132 cm

∴ Length of the arc APB

Question 6.
A chord of a circle of radius 15 cm subtends an angle of 60° at the centre. Find the areas of the corresponding minor and major segments of the circle. (Use π = 3.14 and \(\sqrt{3}=\) = 1.73)
Solution:
Here, radius (r) = 15 cm and
Sector angle (θ) = 60°
∴ Area of the sector
\(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) × πr² = \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{314}{100}\) × 15 × 15 cm²
= \(\frac{11775}{100}\) cm² = 117.75 cm²
Since ∠O = 60° and OA = OB = 15 cm
∴ AOB is an equilateral triangle.

⇒ AB = 15 cm and ∠A = 60°
Draw OM ⊥ AB,
In ∆AMO

Now area of the minor segment = (Area of minor sector) – (ar ∆AOB)
= (117.75 – 97.3125) cm² = 20.4375 cm²
Area of the major segment = [Area of the circle] – [Area of the minor segment]
= πr² – 20.4375 cm²
= [\(\frac{314}{100}\) × 15²] – 20.4375 cm²
= (706.5 – 20.4375) cm² = 686.0625 cm²

Question 7.
A chord of a circle of radius 12 cm subtends an angle of 120° at the centre. Find the area of the corresponding segment of the circle. (Use π = 3.14 and \(\sqrt{3}=\) = 1.73 )
Solution:
Here θ = 120° and r = 12 cm

Draw OM ⊥ AB
In ∆AOB, ∠O = 120°
By angle sum property,
∠A + ∠B + ∠O = 180°
⇒ ∠A + ∠B = 180° – 120° = 60°
∵ OB = OA = 12 cm
⇒ ∠A = ∠B = 30°

= 36 × 1.73 cm² = 62.28 cm²
∴ Area of the minor segment = [Area of sector] – [Area of ∆AOB]
= [150.72 cm²] – [62.28 cm²] = 88.44 cm²

Question 8.
A horse is tied to a peg at one corner of a square shaped grass field of side 15 m by means of a 5 m long rope (see figure). Find
(i) the area of that part of the field in which the horse can graze.
(ii) the increase in the grazing area if the rope were 10m long instead of 5 m. (Use π = 3.14)

Solution:
Here, length of the rope = 5 m
∴ Radius of the circular portion grazed by the horse(r) = 5 m
(i) Area of the circular portion grazed

(ii) When length of the rope is increased to 10 m, then, r = 10 m
Area of the new circular portion grazed
= \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) × πr² = \(\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \times \frac{314}{100}\) × (10)² m²
= \(\frac{1}{4}\) × 314 m² = 78.5 m²
∴ Increase in the grazing area = (78.5 – 19.625) m² = 58.875 m²

Question 9.
A brooch is made with silver wire in the form of a circle with diameter 35 mm. The wire is also used in making 5 diameters which divide the circle into 10 equal sectors as shown in the figure. Find:
(i) the total length of the silver wire required.
(ii) the area of each sector of the brooch.

Solution:
Diameter of the circle = 35 mm
∴ Radius (r) = \(\frac{35}{2}\) mm
(i) Circumference = 2πr
= 2 × \(\frac{22}{7} \times \frac{35}{2}\) mm = 22 × 5 mm = 110 mm
Length of 1 piece of wire used to make diameter to divide the circle into 10 equal sectors = 35 mm
∴ Length of 5 pieces = 5 × 35 mm = 175 mm
∴ Total length of the silver wire = (110 + 175) mm = 285 mm

(ii) Since the circle is divided into 10 equal sectors,

Question 10.
An umbrella has 8 ribs which are equally spaced (see figure). Assuming umbrella to be a flat circle of radius 45 cm, find the area between the two consecutive ribs of the umbrella.

Solution:
Here, radius (r) = 45 cm
Since circle is divided into 8 equal parts,
∴ Sector angle corresponding to each part

Question 11.
A car has two wipers which do not overlap. Each wiper has a blade of length 25 cm sweeping through an angle of 115°. Find the total area cleaned at each sweep of the blades.
Solution:
Here, radius (r) = 25 cm
Sector angle (θ) = 115°
∴ Total area cleaned at each sweep of the blades

Question 12.
To warn ships for underwater rocks, a lighthouse spreads a red coloured light over a sector of angle 80° to a distance of 16.5 km. Find the area of the sea over which the ships are warned. (Use π = 3.14)
Solution:
Here, radius (r) = 16.5 km and sector angle (θ) = 80°
∴ Area of the sea surface over which the ships are warned

Question 13.
A round table cover has six equal designs as shown in the figure. If the radius of the cover is 28 cm, find the cost of making the designs at the rate of ₹ 0.35 per cm². (Use \(\sqrt{3}=\) = 1.7)

Solution:
Here, r = 28 cm
Since, the circle is divided into six equal sectors.

Now, area of 1 design = Area of segment APB = Area of sector ABO – Area of ∆AOB ………..(2)
In ∆AOB, ∠AOB = 60°, OA = OB = 28 cm
∴ ∠OAB = 60° and ∠OBA = 60°
⇒ ∆AOB is an equilateral triangle.
⇒ AB = AO = BO ⇒ AB = 28 cm
Draw OM ⊥ AB
∴ In right ∆AOM, we have

= 14 × 14 × 1.7 cm² = 333.2 cm² ……………(3)
Now, from (1), (2) and (3), we have
Area of segment APB
= 410.67 cm² – 333.2 cm² = 77.47 cm²
⇒ Area of 1 design = 77.47 cm²
∴ Area of the 6 equal designs = 6 × (77.47) cm² = 464.82 cm²
Hence, the cost of making the design at the rate of ₹ 0.35 per cm²
= ₹ 0.35 × 464.82 = ₹ 162.68.

Question 14.
Tick the correct answer in the following:
Area of a sector of angle p (in degrees) of a circle with radius R is

Solution:
(D) Here, radius = R
Angle of a sector (θ) = p
∴ Area of the sector

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.4

Question 1.
Let ∆ABC ~ ∆DEF and their areas be, respectively, 64 cm² and 121 cm². If EF = 15.4 cm, find BC.
Solution:
We have ar(∆ABC) = 64 cm²
ar(∆DEF) = 121 cm² and EF = 15.4 cm[Given]
∵ ∆ABC ~ ∆DEF
∴ \(\frac { { ar }(\Delta ABC) }{ { ar }(\Delta DEF) } =\left( \frac { BC }{ EF } \right) ^{ 2 }\)
[Ratios of areas of two similar triangles is equal to the ratio of the squares of their corresponding sides]

Thus, BC = 11.2 cm

Question 2.
Diagonals of a trapezium ABCD with AB || DC intersect each other at the point O. If AB = 2CD, find the ratio of the areas of triangles AOB and COD.
Solution:
In trapezium ABCD, AB || DC. Diagonals AC and BD intersect at O.
In ∆AOB and ∆COD,

∠AOB = ∠COD [Vertically opposite angles]
∠OAB = ∠OCD [Alternate angles]
∴ Using AA criterion of similarity, we have
∆AOB ~ ∆COD

i. e., ar(∆AOB) : ar(∆COD) = 4 : 1

Question 3.
In the figure, ABC and DBC are two triangles on the same base BC. If AD intersects BC at O, show that \(\frac { { ar }(\Delta ABC) }{ { ar }(\Delta DBC) } =\frac { AO }{ DO } \)

Solution:
We have, ∆ABC and ∆DBC are on the same base BC. Also BC and AD intersect at O.
Let us draw AE⊥BC and DF⊥BC.
In ∆AOE and ∆DOF,
∠AEO = ∠DFO = 90° ……….. (1)
Also, ∠AOE = ∠DOF …………… (2)
[Vertically Opposite Angles]

Question 4.
If the areas of two similar triangles are equal, prove that they are congruent.
Solution:
We have ∆ABC and ∆DEF, such that ∆ABC ~ ∆DEF and ar(∆ABC) = ar(∆DEF).
Since the ratio of areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.


i.e., the corresponding sides of ∆ABC and ∆DEF are equal.
⇒ ∆ABC ≅ ∆DEF [By SSS congruency]

Question 5.
D, E and F are respectively the mid-points of sides AB, BC and CA of ∆ABC. Find the ratio of the areas of ∆DEF and ∆ABC.
Solution:
We have a ∆ABC in which D, E and F are mid points of AB, BC and CA respectively. D, E and F are joined to form ∆DEF.

Now, in ∆ABC, D and F are the mid-points of sides AB and AC.
∴ \(\frac{A D}{D B}=\frac{A F}{F C}\) = 1
∴ By the converse of the basic proportion¬ality theorem, we have,
DF||BC ⇒ DF||BE
Similarly; EF||AB ⇒ EF||BD
Since, DF||BE and DB||EF
∴ Quadrilateral BEFD is a parallelogram.
⇒ FE = BD = \(\frac{1}{2}\)AB …………. (1)
Similarly, quadrilateral ECFD is a parallelogram.
⇒ DF = EC = \(\frac{1}{2}\)BC ………… (2)
and DE = FC = \(\frac{1}{2}\)AC ………….. (3)
Now, in ∆ABC and ∆DEF

Question 6.
Prove that the ratio of the areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding medians.
Solution:
We have two triangles ABC and DEF such that ∆ABC ~ ∆DEF

AM and DN are medians corresponding to BC and EF respectively.
∵ ∆ABC ~ ∆DEF
∴ The ratio of their areas is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

Question 7.
Prove that the area of an equilateral triangle described on one side of a square is equal to half the area of the equilateral triangle described on one of its diagonals.
Solution:
We have a square ABCD, whose diagonal is AC. Equilateral ∆BQC is described on the side BC and another equilateral ∆APC is described on the diagonal AC.

∵ All equilateral triangles are similar.
∴ ∆APC ~ ∆BQC
∴ The ratio of their areas is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

Tick the correct answer and justify:
Question 8.
ABC and BDE are two equilateral triangles such that D is the mid-point of BC. Ratio of the areas of triangles ABC and BDE is
(A) 2 : 1
(B) 1 : 2
(C) 4 : 1
(D) 1 : 4
Solution:
(C) : We have an equilateral ∆ABC and D is the mid point of BC. DE is drawn such that BDE is also an equilateral traingle. Since all equilateral triangles are similar,

∴ ∆ABC ~ ∆BDE
⇒ The ratio of their areas is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.
∴ \(\frac { { ar }(\Delta ABC) }{ { ar }(\Delta BDE) } =\left( \frac { AB }{ BD } \right) ^{ 2 }\) …………. (1)
∵ AB = AC = BCfsides of equilateral AABC]
and BD = \(\frac{1}{2}\)BC [∵ D is the mid point of BC]
⇒ BC = 2BD = AB …………… (2) [∵ AB = BC]
From (1) and (2), we have

⇒ ar(∆ABC) : ar(∆BDE) = 4 : 1

Question 9.
Sides of two similar triangles are in the ratio 4:9. Areas of these triangles are in the ratio
(A) 2 : 3
(B) 4 : 9
(C) 81 : 16
(D) 16 : 81
Solution:
(D) : We have two similar triangles such that the ratio of their corresponding sides is 4 : 9.
∴ The ratio of areas of two similar triangles is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.
∴ \(\frac { { ar }(\Delta -I) }{ { ar }(\Delta -II) } =\left( \frac { 4 }{ 9 } \right) ^{ 2 }=\frac { 16 }{ 81 } \)
⇒ ar(∆-I): ar(∆-II) = 16 : 81

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.2

Question 1.
Evaluate the following:
(i) sin60° cos30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2tan² 45° + cos²30° – sin²60°

Solution:
(i) We have




= \(\frac{\frac{1}{12}\times67}{\frac{4}{4}}=\frac{67}{12}\)

Question 2.
Choose the correct option and justify your choice:
(i) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\)
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°

(ii) \(\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\)
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0

(iii) sin 2A = 2sin A is true when A =
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°

(iv) \(\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}=\)
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
Solution:

Question 3.
If tan (A + B) = \(\sqrt{3}\) and tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) 0°< A + B ≤ 90°; A > B, find A and B.
Solution:
We have,
tan 60° = \(\sqrt{3}\), tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ……………. (1)
Also, tan(A + B) = \(\sqrt{3}\) and tan (A – B) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) …………… (2)
From (1) and (2), we get
A + B = 60° …………… (3)
and A – B = 30° ………….. (4)
On adding (3) and (4), we get
2A = 90° ⇒ A =45°
On subtracting (4) from (3), we get
2B = 30° ⇒ B = 15°

Question 4.
State whether the following are true or false. Justify your answer.
(i) sin (A + B) = sin A + sin B.
(ii) The value of sin6 increases as θ increases.
(iii) The value of cosθ increases as θ increases.
(iv) sin θ = cos θ for all values of θ.
(v) cot A is not defined for A = 0°.
Solution:
(i) False:
Let us take A = 30° and B = 60°, then
L.H.S = sin (30° + 60°) = sin 90° = 1

∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
(ii) True:
Since, the values of sin θ increases from 0 to 1 as θ increases from 0° to 90°.
(iii) False:
Since, the value of cos θ decreases from 1 to 0 as θ increases from 0° to 90°.
(iv) False:
Let us take θ = 30°
sin 30° = \(\frac{1}{2}\) and cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ sin 30° ≠ cos 30°
(v) True:
We have, cot 0° = not defined

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 13 प्रायिकता विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
A और B इस प्रकार घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0.
p\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) ज्ञात कीजिए यदि
(i) A, समुच्चय B का उपसमुच्चय है।
(ii) A ∩ B = ϕ
हल:
(i) B का उपसमुच्चय A है।

प्रश्न 2.
एक दम्पति के दो बच्चे हैं–
(i) दोनों बच्चों के लड़का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि दोनों बच्चों में से कम-से-कम एक बच्चा लड़का है।
(ii) दोनों बच्चों के लड़की होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि बड़ा बच्चा लड़की है।
हल:
(i) माना A = दोनों बच्चे लड़के हैं = {MM}
B = कम-से-कम एक बच्चा लड़का है
={MF, FM, MM }

प्रश्न 3.
कल्पना कीजिए कि 5% पुरुषों और 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं। एक सफेद बालों वाले व्यक्ति को यादृच्छिक चुना गया है। इस व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है? यह मान लें कि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है।
हल:
माना घटना E₁ – पुरुष का होना तथा घटना
E₂ – महिला का होना
तथा घटना A – सफेद बाल का होना
∴ 1 पुरुष चुनने की प्रायिकता = P (E₁) = \(\frac{1}{2}\)
1 महिला चुनने की प्रायिकता = P (E₂) = \(\frac{1}{2}\)
5% पुरुषों के बाल सफेद हैं
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{1}}\right)\) = 5% = 0.05
∵ 0.25% महिलाओं के बाल सफेद हैं
∴ P\(\left(\frac{A}{E_{2}}\right)\) = 0.25% = 0.0025
इसलिए सफेद बालों वाला पुरुष होने की प्रायिकता

प्रश्न 4.
मान लीजिए कि 90% लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हैं। इसकी प्रायिकता क्या है कि 10 लोगों में से यादृच्छया चुने गए अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों?
हल : 90% लोग दाहिने हाथ से काम करते हैं।
p = \(\frac{9}{10}\)
10% लोग बायें हाथ से काम करते हैं।
q = \(\frac{1}{10}\), n = 10
P (अधिक-से-अधिक 6 लोग दाहिने हाथ से काम करने वाले हों)
= p(O) + p (1) +…+ p (6)

प्रश्न 5.
एक कलश (पात्र) में 25 गेंदें हैं, जिनमें से 10 गेंदों पर चिन्ह ‘x’ अंकित है और शेष 15 पर चिन्ह ‘Y’ अंकित है। कलश में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है और उस पर अंकित चिन्ह को नोट (लिख) करके उसे कलश में तिस्थापित कर दिया जाता है। यदि इस प्रकार से 6 गेंदें नेकाली जाती हों तो निम्नलिखित प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए।
(i) सभी पर चिन्ह ‘X’ अंकित हो।
(ii) 2 से अधिक पर चिन्ह ‘Y’ नहीं अंकित हो।
(iii) कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह ‘Y’ अंकित हो।
(iv) ‘x’ तथा ‘x’ चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ नमान हों।
हल:
गेंदों की कुल संख्या = 25
X अंकित गेंदों की संख्या =10
माना X अंकित गेंदों की घटना X से व्यक्त करते हैं।
Y = Y गेंद की घटना
∴ P(X) = \(\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\) = P
∴ P(Y) = \(1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}\) = q
अब 6 गेंद खींचते हैं।
(i) P (सभी पर चिन्ह X अंकित हो) = \(\left(\frac{2}{5}\right)^{6}\)
(ii) P (2 0से अधिक पर चिन्ह Y नहीं अंकित हो)
= P (6) + P (5) + P (4)

= \(\left(\frac{2}{5}\right)^{4}\left[\frac{175}{25}\right]=7\left(\frac{2}{5}\right)^{4}\)
(iii) P (कम-से-कम 1 गेंद पर चिन्ह Y अंकित हो)
= 1 – (चिन्ह Y अंकित न हो)
= 1 – P (सभी गेंदों पर x अंकित हो)
= 1 – \(\left(\frac{2}{5}\right)^{6}\)
(iv) P(X तथा Y चिन्हों से अंकित गेंदों की संख्याएँ समान हों)

प्रश्न 6.
एक बाधा दौड़ में एक प्रतियोगी को 10 बाधाएँ पार करनी हैं। इसकी प्रायिकता कि वह प्रत्येक बाधा को पार कर \(\frac{5}{6}\) लेगा है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह 2 से कम बाधाओं को गिरा देगा (नहीं पार कर पाएगा)?
हल:
दौड़ प्रतियोगिता में कुल बाधाएँ = 10
∵ बाधा को पार करने की प्रायिकता = \(\frac{5}{6}\)
∴ बाधा को पार न करने की प्रायिकता = \(1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\)
अतः 2 से कम बाधाओं को गिराने की प्रायिकता
= P (10) + P (2)

प्रश्न 7.
एक पासे को बार-बार तब तक उछाला जाता है जब तक कि उस पर 6 का अंक तीन बार प्राप्त नहीं हो जाता। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त होता है।
हल:
एक पासे को बार-बार उछाला जाता है।
एक उछाल में 6 का अंक आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
एक उछाल में 6 का अंक न आने की प्रायिकता
= \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
पासे पर 5 उछालों पर 2. बार 6 और 3 बार 6 न आने की प्रायिकता
= ⁵C₂
छठी बार उछालने में 6 आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
∴ पासे पर तीसरा 6 का अंक उसे छठी बार उछालने पर प्राप्त प्रायिकता

प्रश्न 8.
यदि एक लीप वर्ष को यादृच्छया चुना गया हो तो इसकी क्या प्रायिकता है कि उस वर्ष में 53 मंगलवार होंगे।
हल:
∵ एक लीप वर्ष में होते हैं = 366 दिन
अर्थात् 52 सप्ताह तथा 2 दिन (अलग से)
अतिरिक्त दो दिन हो सकते हैं
= (Mon, Tue), (Tue, Wed), (Wed, Thu), (Thu, Fri), (Fri, Sat), (Sat, Sun), (Sun, Mon)
सम्भावित परिणाम = 7
अनुकूल परिणाम = 2 (Mon, Tue) (Tue, Wed)
अतः 53 मंगलवार होने की प्रायिकता = \(\frac{2}{7}\)

प्रश्न 9.
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगले छः परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होंगे।
हल:
माना सफल होने की प्रायिकता p तथा असफल होने की प्रायिकता q है।
एक प्रयोग के सफल होने का संयोग उसके असफल होने से दो गुना है।
⇒ p = 2q = 2 (1 – p) = 2 – 2p
∴ 3p = 2 या p = \(\frac{2}{3}\)
∴ q = \(\frac{1}{3}\)
अगले छ: परीक्षणों में कम-से-कम 4 सफल होने की प्रायिकता
= P(4) + P(5) + P(6)

प्रश्न 10.
एक व्यक्ति एक न्याय्य सिक्के को कितनी बार उछाले कि कम-से-कम एक चित की प्रायिकता 90% से अधिक हो?
हल:
माना सिक्के को x बार उछाला गया है।
चित आने की प्रायिकता = \(\frac{1}{2}\)
तथा चित न आने की प्रायिकता = \(\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
∴ कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता = \(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\)
इसलिए हम कम-से-कम एक चित की प्रायिकता ज्ञात करेंगे जो कि 90% (0.9) से अधिक हो।
अतः कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता > 0.9

अतः एक न्याय्य सिक्के को कम-से-कम 4 बार उछालना पड़ेगा।

प्रश्न 11.
एक खेल में किसी व्यक्ति को एक न्याय्य पासे को उछालने के बाद छः प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है और अन्य कोई संख्या प्रकट होने पर वह एक रुपया हार जाता है। एक व्यक्ति यह निर्णय लेता है कि वह पासे को तीन बार फेंकेगा लेकिन जब भी छः प्राप्त होगा वह खेलना छोड़ देगा। उसके द्वारा जीती/हारी गई राशि की प्रत्याशा ज्ञात कीजिए।
हल:
जब पासे को उछालते हैं, तब 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{1}{6}\) = p (माना)
∴ q = \(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)
(i) छ: प्रकट होने की प्रायिकता = \(\frac{1}{6}\)
(ii) पहली उछाल में 6 प्रकट न हो किन्तु दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{5}{36}\)
पहली दो उछाल में 6 न प्रकट होने की तथा तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}=\frac{25}{216}\)
तीनों उछालों में 6 न प्रकट होने की प्रायिकता
= \(\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{125}{216}\)
पहली उछाल में 6 प्रकट होने पर एक रुपया मिलता है।
दूसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर (1 – 1) रुपये = 0 रुपये मिलते हैं।
तीसरी उछाल में 6 प्रकट होने पर प्राप्त होता है
= ( – 1 – 1 + 1) रुपये
=( – 1) Rs. = 1 रुपया कम

प्रश्न 12.
मान लीजिए हमारे पास A, B, Cऔर D बक्से हैं जिसमें रखी संगमरमर की लाल, सफेद और काली टुकड़ियों का विवरण निम्न तरीके से है यादृच्छया एक बॉक्स चुना जाता है तथा इससे एक टुकड़ा निकाला जाता है। यदि टुकड़ा लाल हो तो इसे बॉक्स A; बॉक्स B, बॉक्स C से निकाले जाने की क्या प्रायिकता है?

हल:
माना एक बॉक्स चुने जाने की घटना F है और लाल गेंद चुनने की घटना A है।

प्रश्न 13.
मान लीजिए किसी रोगी को दिल का दौरा पड़ने का संयोग 40% है। यह मान लिया जाता है कि ध्यान ओर योग विधि दिल का दौरा पड़ने के खतरे को 30% कम कर देता है और दवा द्वारा खतरे को 25% कम किया जा सकता है। किसी भी समय रोगी इन दोनों में से किसी एक विकल्प का चयन करता है। यह दिया गया है कि उपरोक्त विकल्पों से किसी एक का चुनाव करने वाले रोगियों से यादृच्छया चुना गया रोगी दिल के दौरे से ग्रसित हो जाता है। रोगी द्वारा ध्यान और योग विधि का उपयोग किए जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
माना E₁ = ध्यान और योग विधि का इलाज
E₂ = दवा द्वारा खतरे को कम किए जाने का इलाज
A = दिल के दौरे से रोगी
P(E₁) =\(\frac{1}{2}\), P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
माना P(A) = 40% = 0.40
दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने का 25% खतरा कम हो जाता है।
⇒ दवा द्वारा दिल का दौरा पड़ने से खतरा 75% है।

प्रश्न 14.
यदि 2 कोटि के एक सारणिक के सभी अवयव शून्य या एक हों तो सारणिक का धनात्मक मान होने की क्या प्रायिकता है। (मान लीजिए कि सारणिक के प्रत्येक अवयव स्वतन्त्र रूप से चुने जा सकते हैं तथा प्रत्येक की चुने जाने की प्रायिकता 1 है।)
हल:
यहाँ 2 कोटि के सारणिक में चार अवयव हैं।
∴ सारणिकों द्वारा बनाई गई संख्या = 2⁴ =16
सारणिक का मान धनात्मक है।

सारणिक का धनात्मक मान होने की प्रायिकता = \(\frac{3}{16}\)

प्रश्न 15.
एक इलेक्ट्रॉनिक एसेंबली के दो सहायक निकाय A और B हैं। पूर्ववर्ती निरीक्षण द्वारा निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात हैं
P(A के असफल होने की) = 0.2
P(B के अकेले असफल होने की) = 0.15
P(A और B के असफल होने की) = 0.15
तो, निम्न प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए
(i) P(A असफल / B असफल हो चुकी हो)
(ii) P(A के अकेले असफल होने की)
हल:

= 0.20 – 0.15 = 0.05

प्रश्न 16.
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं तथा थैला II में 4 लाल और 5 काली गेंदें हैं। एक गेंद को थैला 1 से थैला II में स्थानान्तरित किया जाता है और तब एक गेंद थैला II से निकाली जाती है। निकाली गई गेंद लाल रंग की है। स्थानान्तरित गेंद की काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल:
थैला I में 3 लाल तथा 4 काली गेंदें हैं।
थैला II में 4 लाल तथा 5 काली गेंदें हैं।
माना E₁ = थैला I में लाल गेंद निकालने की घटना।
E₂ = थैला I में काली गेंद निकालने की घटना
∴ P(E₁) = \(\frac{3}{7}\), P(E₂) = \(\frac{4}{7}\)
माना लाल गेंद निकालने की घटना A है।

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर का चुनाव कीजिए-
प्रश्न 17.
यदि A और B दो ऐसी घटनाएँ हैं कि P(A) ≠ 0 और P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = 1, तब
(A) A ⊂ B
(B) B ⊂ A
(C) B = ϕ
(D) A = ϕ
हल:
P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = 1v

प्रश्न 18.
यदि P\(\left(\frac{\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{B}}\right)\) > P(A), तब निम्न में से कौन सही है।
(A) P \(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) < P(B)
(B) P(A ∩ B) < P (A). P (B) (C) P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) > P(B)
(D) P\(\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{A}}\right)\) = P(B)
हल:

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
यदि A और B ऐसी दो घटनाएँ हैं कि P(A) + P (B) – P(A और B) = P(A), तब

हल:
P (A) + P (B) – P(A ∩ B) = P (A)
⇒ P(B) – P (A ∩ B) = 0
या P(A ∩ B) = P (B)

अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.2 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.2

Question 1.
The following table shows the ages of the patients admitted in a hospital during a year:

Find the mode and the mean of the data given above. Compare and interpret the two measures of central tendency.
Solution:
Mode:
Here, the highest frequency is 23.
The frequency 23 corresponds to the class interval 35 – 45.
∴ The modal class is 35 – 45
Now, class size, h = 10
Lower limit, l = 35
Frequency of the modal class (f₁) = 23
Frequency of the class preceding the modal class (f₀) = 21
Frequency of the class succeeding the modal class (f₂) = 14
∴ Mode = l + \(\left[\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right]\) × h

Mean: Let assumed mean, a = 40
Class size, h = 10
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-40}{10}\)

∴ Required mean = 35.38 years.
Interpretation:
The maximum number of patients admitted in the hospital are of age 36.8 years while the average age of patients is 35.37 years.

Question 2.
The following data gives the information on the observed lifetimes (in hours) of 225 electrical components:

Determine the modal lifetimes of the components.
Solution:
Here, the highest frequency = 61.
∵ The frequency 61 corresponds to class 60 – 80
∴ The modal class is 60 – 80
∴ We have l = 60, h = 20, f₁ = 61, f₀ = 52, f₂ = 38

Thus, the modal lifetimes of the components is 65.625 hours.

Question 3.
The following data gives the distribution of total monthly household expenditure of 200 families of a village. Find the modal monthly expenditure of the families. Also, find the mean monthly expenditure:

Solution:
Mode:
∵ The maximum number of families i.e., 40 have their total monthly expenditure is in interval 1500 – 2000.
∴ The modal class is 1500 – 2000 and l = 1500, h = 500, f₁ = 40, f₀ = 24, f₂ = 33

Thus, the required modal monthly expenditure of the families is ₹ 1847.83.
Mean: Let assumed mean, a = 3250
and class size, h = 500
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-3250}{500}\)
∴ We have the following table;

∴ \(\overline{x}\) = a + h × [\(\frac{1}{N}\) Σf_iu_i] = 3250 + 500 × \(\left[\frac{-235}{200}\right]\)
= 3250 – \(\frac{1175}{2}\) = 3250 – 587.50 = 2662.5
Thus, the mean monthly expenditure = ₹ 2662.50

Question 4.
The following distribution gives the state-wise teacher-student ratio in higher secondary schools of India. Find the mode and mean of this data. Interpret the two measures.

Solution:
Mode : Since greatest frequency i.e., 10 corresponds to class 30 – 35.
∴ Modal class = 30 – 35 and h = 5, l = 30, f₁ = 10, f₀ = 9, f₂ = 3
∴ Mode = l + \(\left[\frac{f_{1}-f_{0}}{2 f_{1}-f_{0}-f_{2}}\right]\) × h
= 30 + \(\left[\frac{10-9}{20-9-3}\right]\) × 5
= 30 + \(\left[\frac{10-9}{20-9-3}\right]\) × 5 = 30 + 0.625 = 30.6 (approx)
Mean: Let the assumed mean, a = 37.5 and class size, h = 5
∴ u_i = \(\frac{x_{i}-a}{h}=\frac{x_{i}-37.5}{5}\)
∴ We have the following table:


Interpretation:
The maximum teacher-student ratio is 30.6 while average teacher-student ratio is 29.2

Question 5.
The given distribution shows the number of runs scored by some top batsmen of the world in one-day international cricket matches.

Find the mode of the data
Solution:
∵ The class 4000 – 5000 has the highest frequency i.e., 18
∴ Modal class = 4000 – 5000.
Also, h = 1000, l = 4000, f₁ = 18, f₀ = 4, f₂ = 9

Thus, the required mode is 4608.7 runs.

Question 6.
A student noted the number of cars passing through a spot on a road for 100 periods each of 3 minutes and summarised it in the table given below. Find the mode of the data:

Solution:
∵ The class 40 – 50 has the maximum frequency i.e., 20
∴ Modal class = 40 – 50
∴ f₁ = 20, f₀ = 12, f₁ = 11 and l = 40. Also, h = 10

Thus, the required mode is 44.7 cars.

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.8 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.8

योगों की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\int_{a}^{b} x\) dx
हल:

प्रश्न 2.
\(\int_{0}^{5}(x+1)\) dx
हल:
दिया है-f(x) = x + 1 a = 0 तथा b = 5
∴ nh = b – a = 5 – 0 = 5
परिभाषानुसार

प्रश्न 3.
\(\int_{2}^{3} x^{3}\) dx
हल:
दिया है \(\int_{2}^{3} x^{3}\) dx
यहाँ f(x) = x², a = 2, b = 3
तब nh = b – a – 3 – 2 = 1
परिभाषानुसार

प्रश्न 4.
\(\int_{1}^{4}\left(x^{2}-x\right)\) dx
हल:
\(\int_{1}^{4}\left(x^{2}-x\right)\) dx
यहाँ f(x) = x² – 2 a = 1, b = 4
तब nh = b – a = 3
परिभाषानुसार

प्रश्न 5.
\(\int_{-1}^{1} e^{x}\) dx
हल:
\(\int_{-1}^{1} e^{x}\) dx
यहाँ f(x) = e^x dx, a = -1 और b = 1
तब nh = b = a = 2
परिभाषानुसार

प्रश्न 6.
\(\int_{0}^{4}\left(x+e^{2 x}\right)\) dx
हल:
\(\int_{0}^{4}\left(x+e^{2 x}\right)\) dx
यहाँ f(x) = x + e^2x
a = 0, b = 4 तब nh = 4 – 0 = 4
परिभाषानुसार

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 Polynomials Ex 2.1

Question 1.
The graphs of y = p(x) are given in the below figures, for some polynomials p(x). Find the number of zeroes of p{x), in each case.

Solution:
(i) The given graph is parallel to x-axis, it does not intersect the x-axis.
It has no zero.
(ii) The given graph intersects the x-axis at one point only.
∴ It has one zero.
(iii) The given graph intersects the x-axis at three points.
∴ It has three zeroes.
(iv) The given graph intersects the x-axis at two points.
∴ It has two zeroes.
(v) The given graph intersects the x-axis at four points.
∴ It has four zeroes.
(vi) The given graph meets the x-axis at three points.
∴ It has three zeroes.

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 10 सदिश बीजगणित Ex 10.3

प्रश्न 1.
दो सदिशों \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के परिमाण क्रमशः \(\sqrt{3}\) व 2 हैं। और \(\vec{a} \cdot \vec{b}=\sqrt{6}\) हैं, तो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
दो सदिश \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) है के बीच का कोण हो तो

प्रश्न 2.
सदिशों \(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}\) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 3.
सदिश \(\hat{\boldsymbol{i}}+\hat{\boldsymbol{j}}\) पर सदिश \(\hat{\boldsymbol{i}}-\hat{\boldsymbol{j}}\) का प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
सदिश \(\hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}\) का, सदिश \(7 \hat{i}-\hat{j}+8 \hat{k}\) पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
दर्शाइए कि दिए हुए निम्नलिखित तीन सदिशों में से प्रत्येक मात्रक सदिश हैं- \(\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k})\),\(\frac{1}{7}(3 \hat{i}-6 \hat{j}+2 \hat{k}) \frac{1}{7}(6 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})\) यह भी दर्शाइए कि सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।
हल:



अतः सदिश परस्पर एक-दूसरे के लम्बवत् हैं।

प्रश्न 6.
यदि \((\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})\) = 8 और \(|\vec{a}|=8|\vec{b}|\) हो तो \(|\vec{a}|,|\vec{b}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
\((3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot(2 \vec{a}+7 \vec{b})\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
दो सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के परिमाण ज्ञात कीजिए यदिइनके परिमाण समान हैं और इनके बीच का कोण 60° है, तथा इनका अदिश गुणनफल \(\frac{1}{2}\) है।
हल:
हम जानते हैं कि सदिश \(\vec{a}\) तथा \(\vec{b}\) के बीच का कोण

प्रश्न 9.
यदि एक मात्रक सदिश \(\vec{a}\) के लिए \((\vec{x}-\vec{a}) \cdot(\vec{x}+\vec{a})\) = 12 हो तो| \(|\vec{x}|\) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
यदि \(\vec{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}\), \(\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}\) और \(\vec{c}=3 \hat{i}+\hat{j}\) इस प्रकार है कि \(\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}\), पर लम्ब है तो λ का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है \(\vec{a}+\lambda \vec{b}, \vec{c}\) पर लम्ब हैं।

प्रश्न 11.
दर्शाइए कि दो शून्येत्तर सदिशों \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के लिए \(|\vec{a}| \cdot \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a},|\vec{a}| \cdot \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}\) पर लम्ब है।
हल:

प्रश्न 12.
यदि \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 और \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0 तो सदिश \(\vec{a}\) के बारे में क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है?
हल:
दिया है \(\vec{a} \cdot \vec{a}\) = 0 तथा \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) = 0
अत: \(\vec{a}\) = 0
तब \(\vec{b}\) भी सदिश हो सकता है।

प्रश्न 13.
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) हे मात्रक सदिश इस प्रकार हैं, कि \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}\) तो \(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
यदि \(\vec{a}=\overrightarrow{0}\) अथवा \(\vec{b}=\overrightarrow{0}\) तब \(\vec{a} \cdot \vec{b}=0\) परन्तु विलोम का सत्य होना आवश्यक नहीं है। एक उदाहरण द्वारा अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
यदि किसी ∆ABC के शीर्ष A, B, C क्रमशः (1, 2, 3), (-1, 0, 0) (0, 1, 2) हैं, तो ∠ABC ज्ञात कीजिए। [∠ABC सदिशों \(\overrightarrow{B A}\) एवं \(\overrightarrow{B C}\) के बीच का कोण है।]
हल:
∠ ABC सदिशों \(\overrightarrow{B A}\) तथा \(\overrightarrow{B C}\) के बीच का कोण है

प्रश्न 16.
दर्शाइए कि बिन्दु A (1, 2, 7), B(2, 6, 3) और C(3, 10, -1) संरेख हैं।
हल:

अतः तीनों बिन्दु संरेख हैं।

प्रश्न 17.
दर्शाइए कि सदिश \(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}\) और \(3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}\) एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों की रचना करते हैं।
हल:

अतः दिए गए सदिश समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

प्रश्न 18.
यदि शून्येतर सदिश \(\vec{a}\) का परिमाण a है और λ एक शून्येतर अदिश है तो λ\(\vec{a}\) एक मात्रक सदिश है यदि-
(A) λ = 1
(B) λ = -1
(C) a =| λ|
(D) a = \(\frac{1}{|\lambda|}\)
हल: