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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.2

प्रश्न 1 से 8 में x के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए –
प्रश्न 1.
sin (x² + 5)
हल:
माना y = sin (x² + 5)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
cos (sin x)
हल:
माना y = cos (sin.x)

प्रश्न 3.
sin (ax + b)
हल:
माना y = sin (ax + b)
ax + b = 1 रखने पर,

प्रश्न 4.
sec(tan (\( \sqrt{{x}} \))]
हल:
माना y = sec(tan (\( \sqrt{{x}} \))]
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
\(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
हल:

प्रश्न 6.
cosx³ sin² (x⁵)
हल:
माना y = cosx³. sin² (x⁵)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 7.
\(2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}\)
हल:
माना y =\(2 \sqrt{\cot \left(x^{2}\right)}\)

प्रश्न 8.
cos (\( \sqrt{{x}} \))
हल:
माना y = cos\( \sqrt{{x}} \)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) =|x – 1|, x ϵ R, x = 1 पर अवकलित नहीं है।
हल:
यहाँ f(x) = |x – 1|, x ϵ R

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1 तथा x = 2 पर अवकलित नहीं है।
हल:
f(x) = [x]
(i) x = 1 पर,

अतः x = 2 पर f अवकलनीय नहीं है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.6

1 से 12 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = sinx
हल:
यह \(\frac{d y}{d x}\) + 2y = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है, जहाँ
P = 2 तथा Q = sin x

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) + 3y = e^-2x …(i)
यह \(\frac{d y}{d x}\)Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है यहाँ
P = 3 तथा Q = e^-2x

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
हल:
\(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) = x²
यह \(\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}\) + Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है
यहाँ

प्रश्न 4.
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x)y = tan x (0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) + (sec x)y = tan x (0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
यह \(\frac{d y}{d x}\)Py = Q के रूप का रैखिक अवकल समी० है यहाँ
P = sec x तथा Q = tan x

प्रश्न 5.
cos² x\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x(0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
हत्ल :
cos² x\(\frac{d y}{d x}\) + y = tan x(0 ≤ x ≤ \(\frac{\pi}{2}\))
cos² x से भाग करने पर

प्रश्न 6.
x\(\frac{d y}{d x}\) + 2y = x² logx
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 7.
x log x \(\frac{d y}{d x}\) + y = \(\frac{2}{x}\) logx
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 8.
(1 + x²)dy + 2xy dx = cotx dx (x ≠ 0)
हल:
(1 + x²)dy + 2xy dx = cotx dx

प्रश्न 9.
x\(\frac{d y}{d x}\) + y – x + xy cot x = 0, (x ≠ 0)
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 10.
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1
हल:
अवकल समीकरण,
(x + y)\(\frac{d y}{d x}\) = 1

यही अभीष्ट हल है।

प्रश्न 11.
y dx + (x – y²)dy = 0
हल:
y dx + (x – y²) dy = 0

प्रश्न 12.
(x + 3y²)\(\frac{d y}{d x}\) = y, (y > 0)
हल:
(x + 3y²)\(\frac{d y}{d x}\) = y

13 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए
प्रश्न 13.
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x; y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{3}\)
हल:
दिया गया समी०
\(\frac{d y}{d x}\) + 2y tan x = sin x …(i)
यह एक रैखिक अवकल समी० है

प्रश्न 14.
(1 + x²)\(\frac{d y}{d x}\) + 2xy = \(\frac{1}{1+x^{2}}\); y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 15.
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x; y = 2 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
दिया है
\(\frac{d y}{d x}\) – 3y cot x = sin 2x …(i)

⇒ -2 + C
⇒ C = 4
C का यह मान समी० (ii) में रखने पर
y = 4 sin ³ – 2 sin²x

प्रश्न 16.
मूल बिन्दु से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु (x, y)पर स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बन्दु के निर्देशांकों के योग के बराबर है।
हल:
बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = \(\frac{d y}{d x}\)
∴ दिए गए परवलय के अनुसार

∵ यह वक्र मूल बिन्दु से गुजरता है
∴ x = 0 तथा y = 0 समी० (ii) में रखने पर
⇒ 0 = -1 – 1 = Ce^° ⇒ C = 1
C का यह मान समी० (ii) में रखने पर
y = -x – 1 + e^x
या x + y + 1 = e^x

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, 2) से गुजरने वाले वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए यदि इस वक्र के किसी बिन्दु के निर्देशांकों का योग उस बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा की प्रवणता के परिमाण से 5 अधिक है।
हल:
बिन्दु (x, y) से स्पर्श रेखा की प्रवणता \(\frac{d y}{d x}\) है।
तब प्रश्नानुसार


⇒ ye^-x = (x – 5) e^-x – e^x + C
⇒ y = -(x – 5) – 1 + Ce^x
⇒ y = 4 – x + Ce^x
∵ वक्र बिन्दु (0, 2) से गुजरता है, अतः
x = 0 तथा y = 2 समी० में रखने पर
⇒ 2 = 4 – 0 + Ce⁰
C = -2
C = -2 समी० (II) में रखने पर
y = 4 – x + (-2)e^x
y = 4 – x – 2e^x
Case-II
इसी प्रकार ऋण चिन्ह लेने पर,

ye^x = (5 – x) e^x + e^x + C
y = (5 – x) + 1 + Ce^-x
y = 6 – x + Ce^-x
यह वक्र बिन्दु (0, 2) से गुजरता है, अतः x = 0 तथा y = 2 लेने पर
2 = 6 – 0 + Ce⁰ ⇒ C = -4
मान प्रतिस्थापित करने पर
y = 6 – 4 – 4e^-x

प्रश्न 18.
अवकल समीकरण x\(\frac{d y}{d x}\) – y = 2x² का समाकलन गुणक है-
(A) e^-x
(B) e^-y
(C) \(\frac{1}{x}\)
(D) x
हल:
अवकल समीकरण है :

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 19.
अवकल समीकरण (1 – y²)\(\frac{d y}{d x}\) + yx = ay (-1 < y < 1) का समाकलन गुणक है-

हल:
अवकल समीकरण है :


अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.8

प्रश्न 1.
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ϵ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
हल:
फलन f(x) = x² + 2x – 8, अंतराल [-4, 2] में संतत तथा अंतराल (-4, 2) में अवकलनीय है।
तथा f(-4) = 16 – 8 – 8 = 0
f(2) = 4 + 4 – 8 = 0
⇒ f(-4) = f(2)
अत: रोले के प्रमेय की सभी शर्ते सन्तुष्ट हैं तब रोले के प्रमेय के अनुसार एक बिन्दु CE(-4, 2), जहाँ f’ (c) = 0
⇒ f'(c) = 0
⇒ 2c + 2 =0 (::f’ (x) = 2x + 2)
⇒ c = -1
इसलिए c = -1 पर f’ (c) = 0 और c = -1 ϵ (-4, 2)

प्रश्न 2.
जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
(i) f(x) = |x| के लिए x ϵ [5, 9]
(ii) f(x) = |x| के लिए x ϵ [-2, 2]
(iii) f(x) = x² – 1 के लिए x ϵ [1, 2]
हल:
(i) f(x) = [x] के लिए x ϵ [5, 9]
f(x) = [x], बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः रोले प्रमेय लागू नहीं है।

(ii) f(x) = [x], x ϵ [-2, 2]
f(x) = [x], बिन्दु x = -1, 0, 1 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः रोले प्रमेय लागू नहीं है।

(iii) f(x) = (x² – 1), x ϵ [1, 2] के लिए
f(1) = 1 – 1 = 0 f(2) = 2² – 1 = 4 – 1 = 3
f(1) ≠ f(2)
यद्धपि f[1, 2] में संतत है तथा फलन (1, 2) अवकलनीय भी है परन्तु f(1) ≠ f(2).
अतः रोले प्रमेय लागू नहीं है।

प्रश्न 3.
यदि f: [-5, 5] → R एक संतत फलन है और यदि f’ (x) किसी भी बिन्दु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(-5) ≠ f(5).
हल:
यहाँ f : [-5, 5] →R
f संतत है तथा अवकलनीय है परन्तु f'(x) ≠ 0
अन्तराल (-5, 5) में रोले प्रमेय के लिए आवश्यक है-
यदि (i) [a, b] में f संतत है।
(ii) (a, b) में f अवकलित होता है।
(iii) f(a) = f(b)
तब f'(c) = 0, c ϵ (a, b)
यहाँ f'(c) ≠ 0 ⇒ f(a) ≠ f(b)
अतः f(-5) ≠ f(5)

प्रश्न 4.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल [a, b] में f(x) = x² – 4x – 3, जहाँ a = 1 और b = 4 है।
हल:
∵ f'(x) = x² – 4x – 3 एक बहुपद है जो कि प्रत्येक बिन्दु पर संतत होगा।
∴ f'(x) = 2x – 4
⇒ f(x) का अस्तित्व है ∀ x ϵ (1, 4)
⇒ f(x), अंतराल (1, 4) में अवकलनीय है
माध्यमान प्रमेय द्वारा

अतः माध्यमान प्रमेय सत्यापित है।

प्रश्न 5.
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए. यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x³ – 5x² – 3x, जहाँ a = 1 और b= 3 है। f'(c)= 0 के लिए c ϵ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = x³ – 5x² – 3x
[1, 3] में f संतत है तथा (1, 3) में अवकलनीय है क्योंकि यह बहुपदीय है।
f(1) = (1)³ – 5(1)² – 3 x 1
= 1 – 5 – 3 = 1 – 8 = -7
f(3) = (3)³ – 5(3)² – 3 x 3
= 27 – 45 – 9 = – 27
f(x) = 3x² – 10x – 3
f(c)= 3c² – 10c – 3

⇒ 3c² – 10c – 3 = \(\)
⇒ 3c² – 10c + 7= 0
⇒ (c – 1)(3c – 7) = 0
∴ c ≠ 1 c = \(\frac{7}{3}\) ϵ (1, 3)
यदि f'(c)= 0
तब 3c² – 10c – 3 = 0
⇒ (3c – 1)(c – 3) = 0 ⇒ c = \(\frac{1}{3}\), 3 + c ∉ (1, 3)

प्रश्न 6.
प्रश्न संख्या 2 में उपर्युक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
हल:
(i) f(x)=[x], x ϵ [5, 9].
अन्तराल (5, 9) में f(x) = [x] बिन्दु x = 6, 7, 8 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।
(ii) f(x) ⊂ [x], x ϵ [-2, 2]
अन्तराल [-2, 2] में | बिन्दु x= -1, 0, 1 पर न तो संतत है और न ही अवकलनीय है।
अतः माध्यमान प्रमेय लागू नहीं है।.
(iii) f(x) = x² – 1, x ϵ [1, 2]
एक बहुदीय है। यह अन्तराल [1, 2] में संतत है तथा (1, 2) में अवकलनीय है।
f(1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0
f(2) = (2)² – 1 = 4 – 1 = 3
f'(x) = 2x
f'(c) = 2c

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.1

Question 1.
Aftab tells his daughter, “Seven years ago, I was seven times as old as you were then. Also, three years from now, I shall be three times as old as you will be”. (Isn’t this interesting?) Represent this situation algebraically and graphically.
Solution:
At present: Let Aftab’s age = x years
His daughter’s age = y years
Seven years ago : Aftab’s age = (x – 7) years
His daughter’s age = (y – 7)years
According to the condition,
[Aftab’s age] = 7[His daughter’s age]
⇒ [x – 7] = 7[y – 7] = x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y – 7 + 49 = 0 ⇒ x – 7y + 42 = 0 …. (1)
After three years : Aftab’s age = (x + 3) years
His daughter’s age = (y + 3) years
According to the condition,
[Aftab’s age] = 3[His daughter’s age]
⇒ [x + 3] = 3[y + 3]
⇒ x + 3 = 3y + 9 ⇒ x — 3y + 3 — 9 = 0
⇒ x — 3y – 6 = 0 …. (2)
Graphical representation of equation (1) and (2): From equation (1), we have :

Question 2.
The coach of a cricket team buys 3 bats and 6 balls for ₹ 3900. Later, she buys another bat and 3 more balls of the same kind for ₹ 1300. Represent this situation algebraically and geometrically.
Solution:
Let the cost of a bat = ₹ x
and the cost of a ball = ₹ y
Cost of 3 bats = ₹ 3x
and cost of 6 balls = ₹ 6y
Again, cost of 1 bat = ₹ x
and cost of 3 balls = ₹ 3y
Algebraic representation:
Cost of 3 bats + Cost of 6 balls = ₹ 3900
⇒ 3x + 6y = 3900 ⇒ x + 2y = 1300 …. (1)
Also, cost of 1 bat + cost of 3 balls = ₹ 1300
⇒ x + 3y = 1300 …. (2)
Thus, (1) and (2) are the algebraic representations of the given situation.
Geometrical representation:
We have for equation (1),

We can also see from the obtained graph that the straight lines representing the two equations intersect at (1300, 0).

Question 3.
The cost of 2 kg of apples and 1 kg of grapes on a day was found to be ₹ 160. After a month, the cost of 4 kg of apples and 2 kg of grapes is ₹ 300. Represent the situation algebraically and geometrically.
solution:
Let the cost of 1 kg of apples = ₹ x
And the cost of 1 kg of grapes = ₹ y
Algebraic representation:
2x + y = 160 … (1)
and 4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150 … (2)
Geometrical representation:
We have, for equation (1),

The straight lines l₁ and l₂ are the geometrical representations of the equations (1) and (2) respectively. The lines are parallel.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.1

Question 1.
Fill in the blanks using the correct word given in brackets:
(i) All circles are ……….. (congruent, similar)
(ii) All squares are ………….. (similar, congruent)
(iii) All ………….. triangles are similar (isosceles, equilateral)
(iv) Two polygons of the same number of sides are similar, if
(a) their corresponding angles are ………… and
(b) their corresponding sides are …………. (equal, proportional).
Solution:
(i) All circles are similar.
(ii) All squares are similar.
(iii) All equilateral triangles are similar.
(iv) Two polygons of the same number of sides are similar.
(a) Their corresponding angles are equal and
(b) Their corresponding sides are proportional.

Question 2.
Give two different examples of pair of
i) similar figures
Solution:
coin, wheel of a cart.

ii) non-similar figures.
Solution:
A square Rhombus

Question 3.
State whether the following quadrilaterals are similar or not:

Solution:
On observing the given figures, we find that
Their corresponding sides are proportional but their corresponding angles are not equal.
∴ The given figures are not similar.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 Real Numbers Ex 1.4

Question 1.
Without actually performing the long divison, state whether the following rational numbers will have a terminating decimal expansion or a non-terminating repeating decimal expansion:


Solution:

Question 2.
Write down the decimal expansions of those rational numbers in Question 1 above which have terminating decimal expansions.
Solution:

Multiplying and dividing by 2⁵, we have

Question 3.
The following real numbers have decimal expansions as given below. In each case, decide whether they are rational or not. If they are rational, and of the form \(\frac{p}{q}\), what can you say about the prime factors of q?
(i) 43.123456789
(ii) 0.120120012000120000….
(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
Solution:
(i) 43.123456789
∴ The given decimal expansion terminates.
∴ It is rational of the form \(\frac{p}{q}\)

Hence, p = 43123456789 and q = 2⁹ × 5⁹
Prime factors of q are 2⁹ and 5⁹.

(ii) 0.120120012000120000…
∵ The given decimal expansion is neither terminating nor repeating.
∴ It is irrational number, hence cannot be written in p/q form.

(iii) \(43 . \overline{123456789}\)
∵ The given decimal expansion is non-terminating repeating.
∴ It is rational number.

Multiplying both sides by 1000000000, we have
1OOOOOOOOOx = 43123456789.123456789…
… (2)
Subtracting (1) from (2), we have
(1000000000x) – x
= (43123456789.123456789 ) – 43.123456789…
⇒ 999999999x = 43123456746

Here, p = 4791495194 and q = 111111111, which is not of the form 2^m × 5ⁿ i.e., the prime factors of q are not of the form 2^m × 5ⁿ.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 8 Introduction to Trigonometry Ex 8.4

Question 1.
Express the trigonometric ratios sin A, sec A and tan A in terms of cot A.
Solution:

Question 2.
Write all the other trigonometric ratios of ∠A in terms of sec A.
Solution:

Question 3.
Evaluate:
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
Solution:
(i) \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}\)
∵ sin 63° = sin (90° – 27°) = cos 27°
⇒ sin² 63° = cos² 27°
cos² 73° = cos² (90° – 17°) = sin² 17°
∴ \(\frac{\sin ^{2} 63^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\cos ^{2} 73^{\circ}}=\frac{\cos ^{2} 27^{\circ}+\sin ^{2} 27^{\circ}}{\cos ^{2} 17^{\circ}+\sin ^{2} 17^{\circ}}=1\)
[ ∵ cos² A + sin² A = 1]

(ii) sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
∵ sin 25° = sin (90° – 65°) = cos 65° [ ∵ sin (90° – A) = cos A]
cos 25° = cos (90° – 65°) = sin 65° [ ∵ cos (90° – A) = sin A]
∴ sin 25° cos 65° + cos 25° sin 65°
= cos 65° cos 65° + sin 65° sin 65°
= (cos 65°)² + (sin 65°)²
= cos² 65° + sin² 65° = 1 [∵ cos² A + sin² A = 1]

Question 4.
Choose the correct option. Justify your choice.
(i) 9 sec²A – 9 tan²A =
(A) 1
(B) 9
(C) 8
(D) 0

(ii) (1 +tanθ + secθ) (1 + cotθ – cosec0) =
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) – 1

(iii) (sec A + tan A) (1 – sinA) =
(A) sec A
(B) sin A
(C) cosec A
(D) cos A

(iv) \(\frac{1+\tan ^{2} A}{1+\cot ^{2} A}=\)
(A) sec² A
(B) -1
(C) cot² A
(D) tan² A
Solution:
(i) (B): Since, 9 sec² A – 9 tan² A
= 9 (sec² A – tan² A) = 9 (1) = 9 [∵ sec² A – tan² A = 1]

(ii) (C): Here,

Question 5.
Prove the following identities, where the angles involved are acute angles for which the expressions are defined.


Solution:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.4

1 से 10 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{d y}{d x}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{d y}{d x} \sqrt{4-y^{2}}\) (-2 < y < 2)
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{d y}{d x}\) + y = 1(y ≠ 1)
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = 1 – y
\(\frac{d y}{1-y}\) = dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 4.
sec² x tan y dx + sec² y tan x dy = 0
हल:
sec² x tan y dx = – sec² y tan x dy

प्रश्न 5.
(e^x + e^-x)dy – (e^x – e^-x) dx = 0
हल:
(e^x + e^-x)dy = (e^x – e^-x) dx = 0

प्रश्न 6.
\(\frac{d y}{d x}\) = (1 + x²) (1 + y²)
हल:


प्रश्न 7.
y log y dx – x dy = 0
हल:
दिया है :
y log y dx – x dy = 0
xy logy से भाग देने पर

प्रश्न 8.
x⁵\(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
हल:
x⁵\(\frac{d y}{d x}\) = -y⁵
⇒ y^-5 dy = -x^-5 dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 9.
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = sin^-1x
⇒ dy = sin^-1x dx
समाकलन करने पर


प्रश्न 10.
e^x tan y dx + (1 – e^x) sec²y dy = 0
हल:

11 से 14 तक के प्रश्नों में, प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x; y = 1 यदि x = 0.
हल:
(x³ + x² + x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2x² + x

प्रश्न 12.
x (x² – 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1; y = 0 यदि x = 2
हल:
x (x² -1)\(\frac{d y}{d x}\) = 1

प्रश्न 13.
cos\(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) = a (a ϵ R): y = 1 यदि x = 0
हल:
\(\frac{d y}{d x}\) = cos^-1 a ⇒ dy = (cos^-1a) dx
समाकलन करने पर
\(\int d y=\int\left(\cos ^{-1} a\right) d x\)
y = x cos^-1 a + C
इस समी० में y = 1 यदि x = 0 रखने पर
1= 0 + C ⇒ C = 1
C का यह मान समी० (i) में रखने पर
y = x cos^-1 a + 1
\(\frac{y-1}{x}\) = cos^-1a
⇒ cos\(\left(\frac{y-1}{x}\right)\) = a

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}\) = y tan x; y = 1 यदि x = 0
हल:
⇒ \(\frac{d y}{y}\) = tan x dx
समाकलन करने पर
\(\int \frac{1}{y} d y=\int \tan x d x\)
logy = log sec x + log C
log y = log (C sec x)
y = C sec x …(i)
दिया है y = 1 यदि x = 0 तब समी० (i) से
1 = C sec 0 ⇒ C = 1
C = 1 समी० (i) में रखने पर ..
⇒ y = secx

प्रश्न 15.
बिन्दु (0, 0) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण y’ = e^x sinx है।
हल:
दिया है y’ = e^x sin x
या \(\frac{d y}{d x}\) = e^x sin x
⇒ dy = e^x sin x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 16.
अवकल समी० xy\(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2)(y + 2) के लिए बिन्दु (1, – 1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है xy\(\frac{d y}{d x}\) = (x + 2)(y + 2)

y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x + C …(i)
∵ वक्र बिन्दु (1, -1) से गुजरता है अतः x = 1, y = -1
∴ -1 – 2 log (1) = 1 + 2 log (1) + C [∵ log 1 = 0]
-1 = 1 + C ⇒ C = -2
C = – 2 समी० (i) में रखने पर
y – 2 log (y + 2) = x + 2 log x + 2
⇒ y – x + 2 = 2 log x + 2 log (y + 2)
⇒ y – x’ + 2 = 2 [log x (y + 2)]
y – x + 2 = log [x² (y + 2)²]

प्रश्न 17.
बिन्दु (0, -2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिन्दु के ए निर्देशांक का गुणनफल उस बिन्दु के x निर्देशांक के बराबर है।
हल:
प्रश्नानुसार, y\(\frac{d y}{d x}\) = x (जहाँ \(\frac{d y}{d x}\) स्पर्श रेखा की प्रवणता है।)
y dy = x dx
समाकलन करने पर

प्रश्न 18.
एक वक्र के किसी बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, स्पर्श बिन्दु को, बिन्दु (-4, -3) से मिलाने वाले रेखाखण्डकी प्रवणता की दुगनी है। यदि यह वक्र बिन्दु (-2, 1)से गुजरता हो तो इस वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है बिन्दु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 2x [स्पर्श बिन्दु को (-4, -3) से मिलाने वाली रेखा की प्रवणता]

log (y + 3) = 2 log (x + 4) + log C
log (y + 3) = log (x + 4)² .C
⇒ y + 3 = (x + 4)².C …(i)
∵ वक्र बिन्दु (-2, -1) से गुजरता हैं इसलिए
x = -2, y = 1 रखने पर
4 = (2)² C = 4 = 4C
या C = 1
समी० (i) में C =1 रखने पर
– y + 3 = (x + 4)²

प्रश्न 19.
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरम्भ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकण्ड बाद 6 इकाई है, तो t सेकण्ड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना किसी क्षण t गुब्बारे की त्रिज्या r तथा आयतन V है तब

प्रश्न 20.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r% वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रु० 10 वर्षों में दुगने हो जाते हैं, तो का मान ज्ञात कीजिए। (log 2 = 0.6931)
हल:
माना किसी समय पर मूलधन P हैं तब प्रश्नानुसार,

प्रश्न 21.
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में 1000 रु० जमा कराये जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (e^0.5 = 1.648)
हल:
किसी समय t पर मूलधन P हैं तब प्रश्नानुसार,

जब t = 10 वर्ष
P = 1000 e^10/20 ⇒ P = 1000e^0.5
P = 1000 × 1.648 (∵ e^0.5 = 1.648)
P = 1648 रु०
अत: 10 वर्ष बाद मूलधन 1648 रु० होगा।

प्रश्न 22.
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घण्टों में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घण्टों में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनमें उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
हल:
माना किसी समय t पर जीवाणुओं की संख्या y है।

प्रश्न 23.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) = e^x+y का व्यापक इल है
(A) e^x + e^-y = C
(B) e^x + e^y = C
(C) e^-x + e^y = C
(D) e^-x + e^-y = C
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.6

यदि प्रश्न संख्या 1 से 10 तक में x तथा y के दिए समीकरणों द्वारा, एक-दूसरे से प्राचलिक रूप में सम्बन्धित हों तो प्राचलों का विलोपन किए बिना \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
x = 2at², y = at⁴
हल:
x = 2at², y = at⁴
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
x = a cosθ, y = b cosθ
हल:
x = acos θ, y = bcosθ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
x = sint, y = cos 2t
हल:
x = sin t, y = cos 2t
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
x = 4t, y = \(\frac{4}{t}\)
हल:
x = 4t, y = \(\frac{4}{t}\) = 4t^-1
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x = cos θ – cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
हल:
x = cos θ- cos 2θ, y = sin θ – sin 2θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cos θ)
हल:
x = a(θ – sinθ), y = a(1 + cos θ)
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.
x = a(cos t + log tan\(\frac{t}{2}\)), y = a sin t
हल:

= \(\frac{sin t}{cos t}\) = tan t

प्रश्न 9.
x = a sec θ, y = b tan θ
हल:
x = a sec θ तथा y = b tan θ

प्रश्न 10.
x = a (cos θ + θ sin θ),
y = a (sin θ – θ cos θ)
हल:
x = a (cos θ + θ sin θ), y = a (sin θ – θ cos θ)

प्रश्न 11.
यदि x = \(\sqrt{a \sin ^{-1} t}\), y = \(\sqrt{a^{\cos ^{-1} t}}\), तो दर्शाइए कि \(\frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x}\)
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.5

प्रश्न 1 से 11 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों का x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
cosx. cos 2x. cos3x
हल:
माना y = cosx. cos 2x. cos3x
दोनों ओर log लेने पर
logy = log [cos x. cos 2x. cos3x]
= log cosx + log cos 2x + log cos3x
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.
(log x)^{cos x}
हल:

माना y = (log x)^{cos x}
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,

प्रश्न 4.
x^x – 2sin x
हल:
माना y = x^x – 2sinx
= u – v (माना)
जबकि u = x, v = 2sinx
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log u = log x^x = xlogx
x के सापेक्ष दोनों अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
(x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
हल:
माना = (x + 3)² . (x + 4)³ . (x + 5)⁴
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = log [(x + 3)² . (x + 4)³ (x + 5)⁴]
log y = log (x + 3)² + log (x + 4)³ + log (x + 5)⁴
[∵ log mn = log m + log n]
log y = 2log (x + 3) + 3 log (x + 4) + 4 log (x + 5) [∵ log mⁿ = n log m]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7
(log x)^x + x ^{log x}
हल:
माना y = (log x)^x + x ^{log x}
= u + v (माना)

प्रश्न 8.
(sin x)^x + sin^-1 \( \sqrt{{x}} \)
हल:
माना y = (sin x)^x + sin^-1 \( \sqrt{{x}} \)
= u + v (माना)
∴ u = (sin x)^x
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log u = log (sin x)^x = x log sin x
दोनों तरफ अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
हल:
माना y = x^{sin x} + (sin x)^{cos x}
माना u = x^{sin x} …(i)
तथा v = (sin x)^cosx …(ii)
∴ y = u + v …(iii)
समी० (i) व (ii) में दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
log u = sin x log x तथा log v = cos x log sin x

प्रश्न 10.
x^xcosx + \(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\)
हल:

प्रश्न 11.
(x cos x)^{sin x} + (x sin x)^1/x
हल:
माना y = (x cos x)^{sin x} + (x sin x)^1/x
= u + v (माना)

प्रश्न 12 से 15 तक के प्रश्नों में प्रदत्त फलनों के लिए ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 12.
x^y + y^x = 1
हल:
x^y + y^x = 1
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर
y log x + x log y = 0 [∵log 1 0)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 13.
y^x = x^y
हल:
y = x दोनों ओर लघुगणक लेने पर
logy^x = log x^y
⇒ x log y = y log x
अब x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 14.
(cosx)^y = (cos y)^x
हल:
(cosx)^y = (cos y)^x
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर
ylog (cos.x) = x log (cos y)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 15.
xy = e^(x-y)
हल:
दोनों ओर का लघुगणक लेने पर,
logxy = loge^x-y
⇒ log x + log y = (x – y) loge
⇒ logx + logy = x – y (∵ log e = 1)
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸) द्वारा प्रदत्त फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए और इस प्रकार f(1) ज्ञात कीजिए।
हल:
f(x) = (1 + x) (1 + x²) (1 + x⁴) (1 + x⁸)
∴ log f(x) = log (1 + x) + log (1 + x²) + log (1 + x⁴) + log (1 + x⁸)
दोनों ओर का अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) का अवकलन निम्नलिखित तीन प्रकार से कीजिए-
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग करके
(ii) गुणनफल के विस्तारण द्वारा एक एकल बहुपद प्राप्त करके
(iii) लघुगणकीय अवकलन द्वारा यह भी सत्यापित कीजिए कि इस प्रकार प्राप्त तीनों उत्तर समान है।
हल:
(i) गुणनफल नियम का प्रयोग
माना = (x² – 5x + 8).(x³ + 7x + 9)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि u, v तथा w, x के फलन हैं तो दो विधियों अर्थात् प्रथम गुणनफल नियम की पुनरावृत्ति द्वारा, द्वितीय-लघुगणकीय अवकलन द्वारा दर्शाइए कि

हल: