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In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.1 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 Areas Related to Circles Ex 12.1

Unless stated otherwise, use π = \(\frac{22}{7}\).

Question 1.
The radii of two circles are 19 cm and 9 cm respectively. Find the radius of the circle which has circumference equal to the sum of the circumferences of the two circles.
Solution:
We have, r₁ = 19 cm and r₂ = 9 cm
∴ Circumference of circle – I = 2πr₁ = 2π(19) cm
and circumference of circle – II = 2πr₂ = 2π(9) cm
Sum of the circumferences of circle-I and circle-II
= 2π(19) cm + 2π(9) cm
= 2π(19 + 9) cm
= 2π(28) cm
Let R be the radius of the circle – III.
∴ Circumference of circle – III = 2πR
According to the condition, 2πR = 2π(28)
⇒ R = \(\frac{2 \pi(28)}{2 \pi}\) = 28 cm
Thus, the radius of the new circle = 28 cm.

Question 2.
The radii of two circles are 8 cm and 6 cm respectively. Find the radius of the circle having area equal to the sum of the areas of the two circles.
Solution:
We have,
Radius of circle – I, r₁ = 8 cm
Radius of circle – II, r₂ = 6 cm
∴ Area of circle – I = πr₁² = π(8)² cm²
Area of circle-II = πr₂² = π(6)² cm²
Let the radius of the circle – III be R cm.
∴ Area of circle-III = πR²
Now, according to the condition,
πr₁² + πr₂² = πR²
⇒ π(8)² + π(6)² = πR²
⇒ π(8² + 6²) = πR²
⇒ 8² + 6² = R²
⇒ 64 + 36 = R²
⇒ 100 = R²
⇒ 10² = R² ⇒R = 10
Thus, the radius of the new circle = 10 cm.

Question 3.
The given figure depicts an archery target marked with its five scoring regions from the centre outwards as Gold, Red, Blue, Black and White. The diameter of the region representing Gold score is 21 cm and each of the other bands is 10.5 cm wide. Find the area of each of the five scoring regions.

Solution:
Diameter of the innermost (Gold scoring) region = 21 cm
Radius of the innermost (Gold scoring) region = \(\frac{21}{2}\) = 10.5 cm
∴ Area of Gold scoring region = π(10.5)² cm²
= \(\frac{22}{7} \times\left(\frac{105}{10}\right)^{2} \mathrm{cm}^{2}=\frac{22}{7} \times \frac{105}{10} \times \frac{105}{10} \mathrm{cm}^{2}\)
= \(\frac{22 \times 15 \times 105}{100}\) cm² = 346.50 cm²
Since, each band is 10.5 cm wide.
∴ Radius of Red scoring region
= 10.5 cm + 10.5 cm
= 21 cm
Area of Red scoring region
= π(10.5 + 10.5)² cm² – π(10.5)² cm²
= [π(21)² – π(10.5)²] cm²
= π[(21)² – (10.5)²] cm²

Area of White scoring region
= π[(42 + 10.5)² – (42)²] cm²
= π[(52.5)² – (42)²] cm²
= π[(52.5 + 42)(52.5 – 42)] cm²
= \(\frac{22}{7}\) × 94.5 × 10.5 = 22 × \(\frac{945}{10} \times \frac{15}{10}\)
= 3118.5 cm²

Question 4.
The wheels of a car are of diameter 80 cm each. How many complete revolutions does each wheel make in 10 minutes when the car is travelling at a speed of 66 km per hour?
Solution:
Diameter of a wheel = 80 cm
∴ Radius of the wheel = \(\frac{80}{2}\) cm = 40 cm
So, circumference of the wheel
= 2πr = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 40 cm
⇒ Distance covered by a wheel in one revolution = \(\frac{2 \times 22 \times 40}{7}\) cm
Distance travelled by the car in 1 hour (i.e., in 60 mins)
= 66 km = 66 × 1000 × 100 cm
∴ Distance travelled in 10 minutes

Thus, the required number of revolutions = 4375

Question 5.
Tick the correct answer in the following and justify your choice: If the perimeter and the area of a circle are numerically equal, then the radius of the circle is
(A) 2 units
(B) π units
(C) 4 units
(D) 7 units
Solution:
(A): We have
Numerical area of the circle
= Numerical circumference of the circle
⇒ πr² = 2πr
⇒ πr² – 2πr = 0
⇒ r² – 2r = 0
⇒ r(r – 2) = 0
⇒ r = 0 or   r = 2
But r cannot be zero
∴ r = 2
Thus, the radius of circle is 2 units.

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.4 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 14 Statistics Ex 14.4

Question 1.
The following distribution gives the daily income of 50 workers of a factory.

Convert the distribution above to a less than type cumulative frequency distribution, and draw its ogive.
Solution:
We have the cumulative frequency distribution as follows:

Now, we plot the points corresponding to the ordered pair (120, 12), (140, 26), (160, 34), (180, 40) and (200, 50) on a graph paper and join them by a free hand to get a smooth curve as shown below:

The curve so obtained is called the less than ogive.

Question 2.
During the medical check-up of 35 students of a class, their weights were recorded as follows:

Draw a less than type ogive for the given data. Hence obtain the median weight from the graph and verify the result by using the formula.
Solution:
Here, the values 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50 and 52 are the upper limits of the respective class-intervals.
We plot the points (ordered pairs) (38, 0), (40, 3), (42, 5), (44, 9), (46,14), (48, 28), (50, 32) and (52, 35) on a graph paper and join them by a free hand to get a smooth curve.
The curve so obtained is the less than type ogive.

∵ N = 35
∴ \(\frac{N}{2}=\frac{35}{2}\) = 17.5
The point 17.5 is on y-axis.
From this point (i.e., from 17.5) we draw a line parallel to the x-axis which cuts the curve at P. From this point P, draw a perpendicular to the x-axis, meeting the x-axis at Question The point Q represents the median of the data which is 47.5.
Verification:
To verify the result, let us make the following table in order to find median using the formula :

Thus, the median = 46.5 kg is approximately

Question 3.
The following table gives production yield per hectare of wheat of 100 farms of a village

Change the distribution to a more than type distribution, and draw its ogive.
Solution:
For more than type distribution, we have

Now, we plot the points (50, 100), (55, 98), (60, 90), (65, 78), (70, 54) and (75, 16) and join the points with a free hand to get a smooth curve.
The curve so obtained is the ‘more than type ogive’.

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.1

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज (समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए। –
प्रश्न 1.
sin2x
हल:
हम जानते हैं कि \(\frac{d}{d x}\) cos 2x = – 2 sin 2x
या sin 2x = \(-\frac{1}{2} \frac{d}{d x}\)cos2x
sin 2x = \(\frac{d}{d x}\)(\(-\frac{1}{2}\)cos2x)
अतः sin 2x का प्रति अवकलज \(-\frac{1}{2}\)cos 2x है।

प्रश्न 2.
cos 3x
हल:
हम जानते हैं कि \(\frac{d}{d x}\) sin 3x = 3 cos3x
या cos3x = \(\frac{d}{d x}\)(\(\frac{1}{3}\) sin 3x)
अत: cos3x का प्रति अवकलज \(\frac{1}{3}\) sin 3x हैं।

प्रश्न 3.
e^2x
हल:
हम जानते हैं कि \(\frac{d}{d x}\)e^2x = 2e^2x

प्रश्न 4.
(ax + b)²
हल:
हम जानते हैं कि

प्रश्न 5.
sin 2x – 4e^3x
हल:
हम जानते हैं

निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 6.
\(\int\left(4 e^{3 x}+1\right)\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\int x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\int\left(a x^{2}+b x+c\right) d x)\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\int\left(2 x^{2}+e^{x}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 21.
\(\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\) का प्रतिअबकलज है-

हल:


अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 22.
यदि \(\frac{d}{d x}\) f(x) = 4x³ – \(\frac{3}{x^{4}}\) जिसमें f(2) = 0 तो f(x) है-

हल:

अत: विकल्प (A) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = 3x + 17 से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = 3x + 17
\(\frac{d}{d x}\)f'(x) = 3
f'(x) = 3 = (+) ve (धनात्मक)
अत: f, R पर वर्धमान है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए R पर f(x) = e^2x से प्रदत्त फलन वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = e^2x
∴ \(\frac{d}{d x}\)(x) = f’ (x) = 2e^2x
x ϵ R as fore f'(x) = + ve
अत: f, R पर वर्धमान है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = sinx से प्रदत्त फलन
(a) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान है।
(b) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ह्रासमान है।
(c) (0, π) में न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान है।
हल:
f(x) = sinx
∴ f'(x) = cosx
(a) f’ अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में f'(x) > 0 (धनात्मक)
⇒ f वर्धमान है।
(b) अन्तराल \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में f'(x) < 0 (ऋणात्मक)
⇒ f ह्रासमान है।
(c) अन्तराल (0, π) में f’ (x), धनात्मक या ऋणात्मक नहीं क्योंकि \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में धनात्मक और \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ऋणात्मक है।
अतः f, (0, π) में न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान है।

प्रश्न 4.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है
f(x) = 2x² – 3x
हल:
∵ f(x) = 2x² – 3x
∴ f(x) = 4x – 3
f(x) = 0 ⇒ 4x – 3 = 0
⇒ x = 3/4
अतः बिन्दु x = \(\frac{3}{4}\) वास्तविक संख्या रेखा को दो भागों में विभाजित करता है।

प्रश्न 5.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7 से प्रदत्त फलन f
(a) वर्धमान,
(b) ह्रासान
हल:
यहाँ f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 7
f(x) = 6x² – 6x – 36
= 6 (x² – x – 6)
= 6(x – 3)(x + 2)
∴ x = -2 x = 3 वास्तविक संख्या रेखा को तीन अन्तरालों में विभाजित करता है।
यह अन्तराल है (-∞, -2),(-2, 3), (3, ∞)
जब x ϵ (-∞, -2), f(x) = + ve
जब x ϵ (-2, 3), f(x) = -ve
जब x ϵ (3, ∞), f(x) = + ve
इस प्रकार (a) अन्तराल (-∞, -2) ∪ (3, ∞) में f वर्धमान फलन है।
(b) अन्तराल (-2, 3) में f'(x) ऋणात्मक
अतः f ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 6.
अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें निम्नलिखित फलन f वर्धमान या ह्रासमान है-
(a) f(x) = x² + 2x + 5
(b) f(x) = 10 – 6x – 2x²
(c) f(x) = -2x³ – 9x² – 12x + 1
(d) f(x) = 6 – 9x – x²
(e) f(x) = (x + 1)³ (x – 3)³
हल:
(a) यहाँ f(x) = x² + 2x – 5
∴ f (x) = 2x + 2 = 2(x + 1)
x = -1 संख्या रेखा को दो अन्तराल में विभाजित करता है। अन्तराल (-∞, -1), (-1, ∞) है।
(-∞, -1) में f'(x) = -ve
अतः f ह्रासमान फलन है।
(-1, ∞) में f'(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।

(b) f(x) = 10 – 6x – 2x²
∴ f'(x) = -6 – 4x
= -2(3 + 2x)
∴ f’ (x) = 0 ⇒ = -2(3 + 2x) = 0

(c) यहाँ f(x) = -2x³ – 9x² – 12x + 1
∴ f'(x) = -6x² – 18x – 12 = -6(x² + 3x + 2)
= -6(x + 1)(x + 2)
∴ x = -2, x = -1 वास्तविक रेखा को तीन अन्तरालों (-∞, -2), (-2, -1), (-1, ∞) में विभाजित करते हैं।
अन्तराल (-∞, -2) में f (x) = -ve
अतः ह्रिासमान फलन है। अन्तराल (-2, -1) या – 2 < x < -1 में f(x) = (-)(-)(+) = + ve अतः वर्धमान फलन है। अन्तराल (-1, ∞) या x > -1 में,
f(x) = (-)(+)(+) = -ve
∴ f ह्रासमान फलन है।
इस प्रकार (-2, -1) में वर्धमान फलन है। और (-∞, 2), (-1, ∞) में f ह्रासमान फलन है।

(d) यहाँ f(x) = 6 – 9x – x²
f'(x) = -9 – 2x = -(2x + 9)

अतः f ह्रासमान फलन है।

(e) यहाँ f(x) = (x + 1) (x – 3)³
f(x) = 3 (x + 1)² (x – 3)² + (x + 1)³ . (3x – 3)²
= 3(x + 1)² (x – 3)² (x – 3 + x + 1)
= 3(x + 1)² (x – 3)² (2x – 2)
= 6(x + 1)² (x – 3)² (x – 1)
अन्तराल (-∞, -1),(-1, 1) (1, 3), (3, ∞) है।
(i) जब अन्तराल (-∞, -1) और (-1, 1) में
f'(x) =- ve
अत: f ह्रासमान फलन है।
(ii) (1, 3), (3, ∞) अन्तरालों में
f(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि y = log(1 + x) – \(\frac{2 x}{2+x}\) x > -1, अपने सम्पूर्ण प्रान्त में एक वर्धमान फलन है।
हल:

प्रश्न 8.
x के उन मानों को ज्ञात कीजिए जिनके लिए y = [r (x – 2)]² एक वर्धमान फलन है।
हल:
माना y = f(x)
⇒ f(x) = [x(x – 2)]² = [x² -2x]²

⇒ f(x) बिन्दु x ϵ (0, 1) तथा (2, 0) पर वर्धमान है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) में y = \(\frac{4 \sin \theta}{2+\cos \theta}\) – θ, θ का एक वर्धमान फलन है।
हल:
ज्ञात है

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए कि लघुगणकीय फलन (0, ∞) में वर्धमान फलन है।
हल:
माना f(x) = log x, x > 0
⇒ f(x) = \(\frac{1}{x}\) = धनात्मक (∵ x > 0)
अतः लघुगणकीय फलन वर्धमान है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि (-1, 1) में f(x) = x² – x + 1 से प्रदत्त फलन न तो वर्धमान है और न ही हासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = x² – x + 1

अन्तराल \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\) में f'(x) = +ve
इस प्रकार (-1, 1) में f'(x) का चिह्न एक नहीं है।
अतः इस अन्तराल में यह न तो वर्धमान और न ही ह्रासमान फलन है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित में कौन से फलन (0), \(\frac{\pi}{2}\)) में ह्रासमान है?
(A) cos x
(B) cos 2x
(C) cos 3x
(D) tan x
हल:
(A) माना f(x) = cos x, ∴ f(x) = -sinx
अन्तराल (0, π/2) में, sin x = + ve
⇒ f(x) = – ve
अत: f ह्रासमान फलन है।

(B) यहाँ f(x) = cos 2x ∴ f”(x) = -2sin 2x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में, sin 2x = +ve [∵ 0 < 2x < π]
∴ f'(x) = – ve
अतः ह्रिासमान फलन है।

(C) यहाँ f(x) = cos 3r
∴ f(x) = -3sin 3x
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में sin 2x = -ve [∵ 0 < 3x < \(\frac{3 \pi}{2}\)]
∴ f'(x) = + ve
अतः f न तो वर्धमान है और न ही ह्रासमान फलन है।

(D) यहाँ f(x) = tan x ∴ f'(x) = secx
अन्तराल \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में, f'(x) = +ve
अतः वर्धमान फलन है।

प्रश्न 13.
निम्नलिखित अन्तरालों में से किस अन्तराल में f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1 द्वारा प्रदत्त फलन f ह्रासमान है?
(A) (0, 1)
(B) \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)
(C) \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\)
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
यहाँ f(x) = x¹⁰⁰ + sin x – 1
f'(x) = 100x⁹⁹ + cosx
(A) अन्तराल 0 < x < 1, 0 < 100x⁹⁹ < 100
और cos x = + ve
f'(x) = + ve
अतः वर्धमान फलन है।

(B) अन्तराल है, \(\frac{\pi}{2}\) < x < m
∴ f'(x) = 100x⁹⁹ + cos x = +ve
अतः विर्धमान फलन है।

(C) अन्तराल है 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
यहाँ पर 100x⁹⁹ और cos x दोनों + ve हैं।
∴ f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है।
अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 14.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल (1, 2) में f(x) = x² + ax + 1 से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:
∵ f(x) = x² + ax + 1
⇒ f'(x) = 2x + a
∵ बिन्दु (1, 2) पर, f(x) एक वर्धमान फलन है
∴ f'(x) > 0 ∀ 1 < x < 2 अब f”(x) = 2 > 0, ∀ x ϵ (1, 2)
⇒ f'(x), बिन्दु (1, 2) पर वर्धमान फलन है
⇒ बिन्दु (1, 2) पर f(1), f’ (x) की न्यूनतम मान है
∴ f'(1) > 0
⇒ 2 + a > 0
⇒ a > -2
अतः a का न्यूनतम मान -2 है।

प्रश्न 15.
मान लीजिए (-1, 1) से असंयुक्त एक अन्तराल I हो तो सिद्ध कीजिए कि I में f(x) = x + \(\frac{1}{x}\) से प्रदत्त फलन f, वर्धमान है।
हल:

अतः f एक वर्धमान फलन है, जब x < -1, x > 1, f वर्धमान फलन है।

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log sinx, \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान और \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) में ह्रासमान है।
हल:
f(x) = log sin x

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि फलन f(x) = log |cos x| \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) में वर्धमान और \(\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)\) में ह्रासमान है।
हल:
यहाँ f(x) = log cosx

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि R में दिया गया फलन f(x) = x³ – 3x² + 3x – 100 वर्धमान है।
हल:
यहाँ f(x) = x³ – 3x² + 3x – 100
∴ f'(x) = 3x² – 6x + 3 = 3 (x² – 2x + 1)
= 3(x – 1)²
∴ x ϵ R, f”(x)= + ve
अतः वर्धमान फलन है।

प्रश्न 19.
निम्नलिखित में से किस अन्तराल में y = x² – e^-x वर्धमान है?
(A) (-∞, ∞)
(B) (-2, 0)
(C) (2, ∞)
(D) (0, 2)
हल:
यहाँ f(x) = x² e^-x
∴ f'(x) = x²(-e^-x) + e^-x.2x
= -x²e^-x + 2xe^-x
= -xe^-x (x – 2)
यदि f वर्धमान फलन है तो f'(x) > 0
या xe^-x(2 – x) > 0 या -xe^-x (x – 2) > 0
e^-x सदैव धनात्मक है।
∴ -x(x – 2) > 0 या x (x – 2) < 0
⇒ x ϵ (0, 2) का अर्थ है f'(x) = + ve
अतः f वर्धमान फलन है यदि x ϵ (0, 2)
अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.6 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Ex 3.6

Question 1.
Solve the following pairs of equations by reducing them to a pair of linear equations:


Solution:
(i) we have


Equations (1) and (2) becomes,
2u + 3v = 2 ⇒ 2u + 3v – 2 = 0 … (3)
4u – 9v = -1 ⇒ 4u – 9v + 1 = 0 … (4)

(iii)

The equations (1) and (2) becomes,
4p + 3y = 14 ⇒ 4y + 3y -14 = 0 …. (3)
3p – 4y = 23 ⇒ 3p – 4y – 23 = 0 …. (4)
Here, a₁ = 4, b₁= 3, c₁ = —14, a₂ = 3, b₂ = – 4, c₂ = -23
Solving (3) and (4) by cross multiplication method, we get

(iv)

Equations (1) and (2) can be expressed
5u + v = 2 ⇒ 5u + v – 2 = 0 …. (3)
6u – 3v = 1 ⇒ 6u – 3v – 1 = 0 …. (4)

Thus, the required solution is x = 4, y = 5

(v)

∴ Equation (3)and (4)can be expressed as:
7q – 2p – 5 = 0 … (5)
8q + 7p -15 = 0 … (6)

Thus, the required solution is x = 1, y = 1

(vi) We have, 6x + 3y = 6xy …. (1)
2x + 4y = 5xy … (2)
From (1) , we get

2q + 4p = 5 ….(6)
Multiply (6) by 3, we get
6q +12p = 15 … (7)
Subtracting (5) from (7) , we get
6q + 12p – 6q – 3p = 15 – 6
9p = 9 ⇒ p = 1
Now, Substituting, p = 1 in (5) , we get
6q + 3(1) = 6

∴ Equations (1) and (2) can be expressed as :
10p + 2q = 4 = ⇒ 10p + 2q – 4 = 0 …(3)
15p – 5q = -2 ⇒ 15p – 5q + 2 = 0 … (4)

⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
Now, substituting the value of x in equation (5) , we get
3 + y = 5 ⇒ y = 2
Thus, the required solution is x = 3, y = 2

(viii)

Question 2.
Formulate the following problems as a pair of equations, and hence find their solutions:
(i) Ritu can row downstream 20 km in 2 hours, and upstream 4 km in 2 hours. Find her speed of rowing in still water and the speed of the current.
(ii) 2 women and 5 men can together finish an embroidery work in 4 days, while 3 women and 6 men can finish it in 3 days. Find the time taken by 1 woman alone to finish the work, and also that taken by 1 man alone.
(iii) Roohi travels 300 km to her home partly by train and partly by bus. She takes 4 hours if she travels 60 km by train and the remaining by bus. If she travels 100 km by train and the remaining by bus, she takes 10 minutes longer. Find the speed of the train and the bus separately.
Solution:
(i) Let the speed of Ritu in still water = x km/hr
and the speed of the current = y km/hr
∴ Downstream speed = (x + y) km/hr
Upstream speed = (x – y)km/hr

Substituting the value of x in equation (1), we get
6 + y = 10 ⇒ y = 10 – 6 = 4
Thus, speed of rowing in still water = 6 km/hr, speed of current = 4 km/hr

(ii) Let the time taken to finish the task by one woman alone = x days
and the time taken to finish the task by one man alone = y days


∴ 1 man can finish the work in 36 days and 1 woman can finish the work in 18 days,

(iii) Let the speed of the train = x km/hr
and the speed of the bus = y km/hr

Case I: Total journey = 300 km
Distance travelled by train = 60 km
Distance travelled by bus = (300 – 60)km
= 240 km
∵ Total time taken = 4 hours

Case II: Distance travelled by train = 100 km
Distance travelled by bus = (300 – 100)km
= 200 km
Total time = 4 hrs 10 mins

Thus, speed of the train = 60 km/hr
and speed of the bus = 80 km/hr

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1 से 24 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{1}{x-x^{3}}\)
हल:

⇒ 1 = A (1 + x) (1 – x) + Bx (1 – x) + Cx (1 + x) …(1)
समी० (1) में, x = 0 रखने पर,
1 = A(1 + 0) (1 – 0)
⇒ A = 1
समी० (1) में, x = -1 रखने पर,
1 = B (-1) (1 + 1)

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}}\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^{2}}}\)
हल:
माना \(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^{2}}}\)

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{x^{2}\left(x^{4}+1\right)^{3 / 4}}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{1}{x^{1 / 2}+x^{1 / 3}}\)
हल:
माना \(\frac{1}{x \sqrt{a x-x^{2}}}\)

प्रश्न 6.
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}+9\right)}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\frac{\sin x}{\sin (x-a)}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{e^{5 \log x}-e^{4 \log x}}{e^{3 \log x}-e^{2 \log x}}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{\cos x}{\sqrt{4-\sin ^{2} x}}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{\sin ^{8} x-\cos ^{8} x}{1-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{1}{\cos (x+a) \cos (x+b)}\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\frac{x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}\)
हल:

प्रश्न 13.
\(\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)\left(2+e^{x}\right)}\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}\)
हल:

प्रश्न 15.
cos³ x e^{log sinx}
हल:

प्रश्न 16.
e^{3 logx} .(x⁴ + 1)^-1
हल:

प्रश्न 17.
f'(ax + b).[f(ax + b)]ⁿ
हल:

प्रश्न 18.
\(\frac{1}{\sqrt{\sin ^{3} x \sin (x+\alpha)}}\)
हल:

= sin³ x (sin x cos α + cos x sin α)
= sin⁴ x cos α + sin³ x cos x sin α
= sin⁴ x (cos α + cot x sin α)

प्रश्न 19.
\(\frac{\sin ^{-1} \sqrt{x}-\cos ^{-1} \sqrt{x}}{\sin ^{-1} \sqrt{x}+\cos ^{-1} \sqrt{x}}\), (x ϵ [0, 1])
हल:

प्रश्न 20.
\(\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}\)
हल:

प्रश्न 21.
\(\frac{2+\sin 2 x}{1+\cos 2 x} e^{x}\)
हल:

प्रश्न 22.
\(\frac{x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2)}\)
हल:

प्रश्न 23.
\(\tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)
हल:

प्रश्न 24.
\(\frac{\sqrt{x^{2}+1}\left[\log \left(x^{2}+1\right)-2 \log x\right]}{x^{4}}\)
हल:
माना

25 से 33 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 25.
\(\int_{\pi / 2}^{\pi} e^{x}\left(\frac{1-\sin x}{1+\cos x}\right) d x\)
हल:

प्रश्न 26.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x\)
हल:

प्रश्न 27.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{2} x d x}{\cos ^{2} x+4 \sin ^{2} x}\)
हल:

प्रश्न 28.
\(\int_{\pi / 6}^{\pi / 3} \frac{\sin x+\cos x}{\sqrt{\sin 2 x}} d x\)
हल:

प्रश्न 29.
\(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{1+x}-\sqrt{x}}\)
हल:

प्रश्न 30.
\(\int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x+\cos x}{9+16 \sin 2 x} d x\)
हल:

प्रश्न 31.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sin 2 x \tan ^{-1}(\sin x) d x\)
हल:

प्रश्न 32.
\(\int_{0}^{\pi} \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x\)
हल:

प्रश्न 33.
\(\int_{1}^{4}[|x-1|+|x-2|+|x-3|] d x\)
हल:

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए ( प्रश्न 34 से 39 तक)।
प्रश्न 34.
\(\int_{1}^{3} \frac{d x}{x^{2}(x+1)}=\frac{2}{3}+\log \frac{2}{3}\)
हल:
माना I = \(\int_{1}^{3} \frac{d x}{x^{2}(x+1)}\)

प्रश्न 35.
\(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=1\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{1} x e^{x} d x=1\)
x को प्रथम फलन मानकर समाकलन करने पर,

प्रश्न 36.
\(\int_{-1}^{1} x^{17} \cos ^{4} x d x\) = 0
हल:
माना I = \(\int_{-1}^{1} x^{17} \cos ^{4} x d x\) = 0
माना f(x) = x¹⁷ cos⁴ x
f(-x) = (-x)¹⁷ cos⁴ (-x)

प्रश्न 37.
\(\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{3} x d x=\frac{2}{3}\)
हल:
माना I = \(\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{3} x\)

प्रश्न 38.
\(\int_{0}^{\pi / 4} 2 \tan ^{3} x d x=1-\log 2\)
हल:

प्रश्न 39.
\(\int_{0}^{1} \sin ^{-1} x d x=\frac{\pi}{2}-1\)
हल:

प्रश्न 40.
योगफल की सीमा के रूप में \(\int_{0}^{1} e^{2-3 x} d x\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

41 से 44 तक के प्रश्नों में सही उत्तर का चयन कीजिए।
प्रश्न 41.
\(\int \frac{d x}{e^{x}+e^{-x}}\) बराबर है
(A) tan^-1(e^x) + C
(B) tan^-1(e^-x) + C
(C) log (e^x – e^-x) + C
(D) log (e^x + e^-x) + C
हल:

अत: विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 42.
\(\int \frac{\cos 2 x}{(\sin x+\cos x)^{2}} d x\) बराबर है-
(A) \(\frac{-1}{\sin x+\cos x}+C\)
(B) log|sin x + cos x| + C
(C) log|sin x – cos x| +C
(D) \(\frac{1}{(\sin x+\cos x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 43.
यदि f(a + b – x) = f(x), तो \(\) बराबर है-

हल:

प्रश्न 44.
\(\int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x\) का मान है-
(A) 1
(B) 0
(C) -1
(D) \(\frac{\pi}{4}\)
हल:

समी० (1) व (2) का जोड़ने पर,
2I = 0 अथवा I = 0
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.6

1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए।
प्रश्न 1.
x sinx
हल:

प्रश्न 2.
x sin 3x
हल:

प्रश्न 3.
x² e^x
हल:

प्रश्न 4.
x log x
हल:

प्रश्न 5.
x log 2x
हल:

प्रश्न 6.
x² logx
हल:

प्रश्न 7.
xsin^-1 x
हल:

प्रश्न 8.
x tan^-1 x
हल:

प्रश्न 9.
x cos^– x
हल:

प्रश्न 10.
(sin^-1x)²
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{x \cos ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 12.
x sec²x
हल:

प्रश्न 13.
tan^-1 x
हल:

प्रश्न 14.
x (logx)²
हल:

प्रश्न 15.
(x² + 1)logx
हल:

प्रश्न 16.
e^x (sin x + cosx)
हल:

प्रश्न 17.
\(\frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 18.
\(e^{x}\left(\frac{1+\sin x}{1+\cos x}\right)\)
हल:

प्रश्न 19.
\(e^{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{2}}\right)\)
हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{(x-3) e^{x}}{(x-1)^{3}}\)
हल:

प्रश्न 21.
e^2x . sinx
हल:
माना \(\int e^{2 x} \cdot \sin x d x\)
sinx को प्रथम व e^2x को द्वितीय फलन लेकर खण्डशः समाकलन करने पर

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23 एवं 24 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 23.
\(\int x^{2} e^{x^{3}}\) dx बराबर है-

हल:

प्रश्न 24.
\(\int e^{x} \sec x(1+\tan x)\) dx बराबर है
(A) e^x cosx + C
(B) e^x sec x +C
(C) e^x sin x + C
(D) e^x tan x + C
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से प्रत्येक की कोटि एवं घात (यदि परिभाषित हो) ज्ञात कीजिए।

हल:
\(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 x\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) – 6y = log x
इस अवकल समी० में उच्चतम अवकलज कोटि \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\)
अतः समीकरण की कोटि 2 है व घात 1 है।
(ii) \(\left(\frac{d y}{d x}\right)^{3}-4\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\) + 7y = sin x
इस समी० की कोटि 1 व घात 3 है।
(iii) \(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}-\sin \left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)\) = 0
समी० की कोटि 4घात के लिए परिभाषित नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक के लिए सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (अस्पष्ट अथवा स्पष्ट) संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल:

प्रश्न 3.
(x – a)² + 2y² = a² द्वारा निरूपित वक्रों के कुल का अवकल समी० निर्मित कीजिए जहाँ a एक स्वेच्छ अचर है।
हल:
वक्र का समी०
(x – a)² + 2y² = a²
x² – 2ax + 2y² = 0 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि x² – y² = c (x² + y²)² जहाँ c एक प्राचल है, अवकल समीकरण (x³ – 3xy²)dx = (y³ – 3x²y) dy का व्यापक हल है।
हल:
अवकल समीकरण
(x -3xy²) dx = (y³ – 3x²y) dy

प्रश्न 5.
प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
हल:
वह वृत्तों के कुल का समीकरण जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करें
(x – a)² + (y – a)² = a² …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
अवकल समी० \(\frac{d y}{d x}+\sqrt{\frac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}=0\) जबकि x ≠ 1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
दर्शाइए कि अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}+\frac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0\) का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है|
हल:
अवकल समीकरण


∴ अभीष्ट हल है :
x + y + 1 = A(1 – x – y – 2xy)

प्रश्न 8.
बिन्दु (0, \(\frac{\pi}{4}\)) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है|
हल:
अवकल समीकरण,
sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0
cos y cos x से भाग करने पर,

प्रश्न 9.
अवकल समीकरण (1 + e^2x) dy + (1 + y²)e^x dx = 0 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = 1 यदि x = 0
हल:
अवकल समीकरण :
(1+ e^2x) dy + (1 + y²) e^x dx = 0
(1 + e^2x) (1 + y²) से भाग करने पर,

प्रश्न 10.
अवकल समीकरण ye^x/ydx = (xe^x/y + y²)dy (y ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है : अवकल समीकरण

प्रश्न 11.
अवकल समीकरण (x – y)(dx + dy) = dx – dy का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए, दिया हुआ है कि y = -1, यदि x = 0.
हल:
दिया है : अवकल समीकरण
(x – y) (dx + dy) = dx – dy
(x – y – 1) dx + (x – y + 1) dy = 0

प्रश्न 12.
अवकल समी० \(\left[\frac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right] \frac{d x}{d y}=1\) (x ≠ 0) का हल ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
अवकल समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + y cotx = 4x cosecx (x ≠ 0) का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है : y = 0 यदि x = \(\frac{\pi}{2}\)
हल:
दिया है : अवकल समीकरण
\(\frac{d y}{d x}\) + y cot x = 4x cosecx
रैखिक समीकरण \(\frac{d y}{d x}\) + Py = Q से तुलना करने पर,

प्रश्न 14.
अवकल समीकरण (x + 1)\(\frac{d y}{d x}\) = 2e^-y – 1 का एक विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए। दिया हुआ है कि y = 0 यदि x = 0.
हल:
दिया है : अवकल समीकरण,

= log (x + 1) + C
या -logt = log (x + 1) + C
या – log (2 – e^y) = log (x + 1) + C
log (x + 1) + log (2 – e^y) = -C
या log (x + 1) (2 – e^y) = log A
यहाँ C =- log A
∴ (x + 1) (2 – e^y) = A
x = 0, y = 0 रखने पर,
2 – 1 = A = 1
(x + 1) (2 – e^y) = 1

प्रश्न 15.
किसी गाँव की जनसंख्या की वृद्धि की दर किसी भी समय उस गाँव के निवासियों की संख्या के समानुपाती है। यदि सन् 1999 में गाँव की जनसंख्या 20,000 थी और सन् 2004 में 25,000 थी तो ज्ञात कीजिए कि सन् 2009 में गाँव की जनसंख्या क्या होगी?
हल:
माना किसी समय t पर गाँव की जनसंख्या y है।

∴ log y = kt + C …(1)
सन् 1999 में मान लिया t = 0, जनसंख्या = 20,000
∴ log 20,000 = 0 + C
⇒ C = log 20,000
C का मान (1) में रखने पर,
log y = kt + log 20,000
या log y – log 20,000 = kt
∴ log \(\frac{y}{20,000}\) = kt …(2)
सन् 2004 में,
∴ \(\log \frac{25,000}{20,000}\) = k × 5
⇒ k = \(\frac{1}{5}\) log \(\frac{5}{4}\)
k का मान समी० (2) में रखने पर,

प्रश्न 16.
अवकल समीकरण \(\frac{y d x-x d y}{y}=0\) का व्यापक हल है
(A) xy = C
(B) x = Cy²
(C) y = Cx
(D) y = Cx²
हल:
दिया है : अवकल समीकरण :

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁ के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है-


हल:
दिया है : अवकल समीकरण
\(\frac{d x}{d y}\) + P₁x = Q₁
जहाँ P₁ और Q₁, y के फलन हैं।

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 18.
अवकल समी० e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है-
(A) xe^y + x² = C
(B) xe^y + y² = C
(C) ye^x + x² = C
(D) ye^y + x² = C
हल:
दिया हुआ समी०
e^xdy + (ye^x + 2x) dx = 0

अतः विकल्प (C) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग Ex 6.3

प्रश्न 1.
वक्र y = 3x⁴ – 4x के x = 4 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है वक्र का समीकरण
y = 3x⁴ – 4x

अतः x = 4 पर स्पर्शरेखा की प्रवणता 764 है।

प्रश्न 2.
वक्र y = \(\frac{x-1}{x-2}\), x ≠ 2 के x = 10 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 3.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x-निर्देशांक 2 है।
हल:
वक्र y = x³ – x + 1

अतः स्पर्श रेखा की प्रवणता = 11

प्रश्न 4.
वक्र y = x³ – 3x + 2 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसका x – निर्देशांक 3 है।
हल:
वक्र y = x³ – 3x + 2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
वक्र x = acos³ θ, y = a sin³ θ के θ = \(\frac{\pi}{4}\) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया गया वक्र
x = acos³ θ, y = a sin³ θ

प्रश्न 6.
वक्र x = 1 – asin θ, y = b cos²θ के θ = \(\frac{\pi}{2}\) पर अभिलम्ब की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र x = 1 – asin θ, y = bcos² θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7

⇒ 3x² – 6x – 9 = 0
⇒ 3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
x = 3 पर y = -20
तथा x = -1 पर, y = 12
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, -20) तथा (-1, 12) है।

प्रश्न 8.
वक्र y = (x – 2)² पर एक बिन्दु ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा बिन्दुओं (2, 0) और (4, 4) को मिलाने वाली रेखा के समान्तर है।
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण
y = (x – 2)²
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) = 2(x – 2)
∴ स्पर्शी की प्रवणता = 2(x – 2)
तथा बिन्दु (2, 0) व (4, 4) को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता
= \(\frac{4-0}{4-2}\) = 2
∵ स्पर्शी (2, 0) व (4, 4) से जाने वाली रेखा के समान्तर है।
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2
⇒ 2(x – 2) = 2
⇒ x = 3
∴ x = 3 पर y = (3 – 2)²
= 1
अतः अभीष्ट बिन्दु (3, 1) होंगे।

प्रश्न 9.
वक्र y = x³ – 11x + 5 पर उस बिन्दु को ज्ञात कीजिए जिस पर स्पर्श रेखा y = x – 11 है।
हल:
y = x³ – 11x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² – 11 …(1)
स्पर्श रेखा y = x – 11 की प्रवणता = 1 …(2)
समीकरण (1) और (2) से,
3x² – 11 – 1 ⇒ 3x² = 12 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
जब x = 2 y = (2)³ -11 × 2 + 5 = 8 – 22 + 5
= 13 – 22 = -9
जब x = -2
y = (-2)³ – 11 × (-2) + 5 = -8 + 22 + 5
= 27 – 8 – 19
∴ (-2, 19) स्पर्श रेखा y = x – 11 पर नहीं है।
∴ बिन्दु (2, -9) पर स्पर्श रेखा y = x – 11है।

प्रश्न 10.
प्रवणता -1 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x-1}\), x ≠ -1 को स्पर्श करती है।
हल:
दिया गया वक्र y = 1
∴ \(\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{(x-1)^{2}}\)
परन्तु स्पर्श रेखा की प्रवणता = -1 (दिया है)
∴ \(-\frac{1}{(x-1)^{2}}\) = 1
⇒ (x – 1)² = 1
⇒ x² + 1 – 2x = 1
⇒ x (x – 2) = 0
⇒ x = 0, 2
जब x = 0 तब y = -1
तथा जब x = 2 तब y = 1
अभीष्ट बिन्दु (0, -1) व (2, 1) हैं।
अब बिन्दु (0, -1) पर स्पर्शी का समीकरण
y + 1 = (-1)(x – 0)
y + 1 = -x
⇒ x + y + 1 = 0
तथा बिन्दु (2, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – 1 = (-1) (x – 2)
⇒ y – 1 = -x + 2
⇒ x + y = 3
अतः अभीष्ट समीकरण x + y + 1 = 0 तथा x + y = 3 हैं।

प्रश्न 11.
प्रवणता 2 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x-3}\), x ≠ 3 को स्पर्श करती है।
हल:
वक्र y = \(\frac{1}{x-3}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अत: ऐसी कोई स्पर्श रेखा नहीं है जिसकी प्रवणता 2 हो।

प्रश्न 12.
प्रवणता 0 वाली सभी रेखाओं का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वक्र y = \(\frac{1}{x^{2}-2 x+3}\) को स्पर्श करती है।
हल:

प्रश्न 13.
वक्र \(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1\) पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ,
(i) x-अक्ष के समान्तर हैं,
(ii) y-अक्ष के समान्तर है।
हल:
दिया गया वक्र

प्रश्न 14.
दिए वक्रों पर निर्दिष्ट बिन्दुओं पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² -10x + 5 के (0, 5) पर
(ii) y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 के (1, 3) पर
(iii) y = x³ के (1, 1) पर
(iv) y = x² के (0, 0) पर
(v) x = cost, y = sint के t = \(\frac{\pi}{4}\) पर
हल:
(i) y = x⁴ – 6x³ + 13x² -10x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 15.
वक्र y = x² – 2x + 7 की स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो
(a) रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
(b) रेखा 5y – 15x = 13 पर लम्ब है।
हल:
दिया गया वक्र
y = x² – 2x + 7 …(i)
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 2
(a) ∵ स्पर्शी, रेखा 2x – y + 9 = 0 के समान्तर है।
∴ स्पर्शी की प्रवणता रेखा 2x – y + 9 = 0 की प्रवणता = 2
∴ \(\frac{d x}{d y}\) = 2
⇒ 2x – 2 = 2
⇒ x = 2
जब x = 2 तब (1) से y = 2² – 2(2) + 7 = 7
∴ बिन्दु (2, 7)
∴ स्पर्श रेखा का समी० जो दी गई रेखा के समान्तर है बिन्दु (2, 7) पर,
y – y = 2(x – 2)
⇒ 2x – y + 3 = 0

(b) दी गई रेखा 5y – 15x = 13 की प्रवणता m₁ = \(\frac{15}{5}\) = 3 तथा स्पर्शी रेखा की प्रवणता m₂ = 2(x – 1)
∵ स्पर्शी व रेखा परस्पर लम्ब है
∴ m₁ × m₂ = -1
⇒ 3 × 2(x – 1)= -1
⇒ 6x – 6 = -1
⇒ x = 5/6
x = 5/6 समी० (i) में रखने पर,

प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि वक्र y = 7x³ + 11 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाएँ समान्तर हैं जहाँ x = 2 तथा x = -2 है।
हल:
यहाँ y = 7x³ + 11
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 21x²
जब x = 2, स्पर्श रेखा की प्रवणता
= 21 × 2² = 21 × 4 = 84
जब x = -2, स्पर्श रेखा की प्रवणता = 21 × (-2)² = 84
x = 2 और x = -2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता समान है।
∴ इन बिन्दुओं पर स्पर्शरेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 17.
वक्र y = x³ पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा की प्रवणता बिन्दु के y – निर्देशांक के बराबर है।
हल:
माना अभीष्ट बिन्दु (x₁, y₁) है।
वक्र का समी०

प्रश्न 18.
वक्र y = 4x³ – 2x⁵, पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखाएँ मूल बिन्दु से होकर जाती हैं।
हल:
वक्र का समीकरण,
y = 4x³ – 2x⁵ …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
\(\frac{d y}{d x}\) = 12×2 – 10×4
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 12x₁² – 10x₁⁴ …(2)
(x₁, y₁) वक्र पर भी स्थित है।
∴ y₁² = 4x₁³ – 2x₁⁵ …(3)
(x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा का समीकरण
y – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(x – x₁)
बिन्दु (0, 0) पर
0 – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(0 – x₁) – y₁ = (12x₁² – 10x₁⁴)(-x₁)
समी० (3) से 1 का मान रखने पर,
(4x₁³ – 2x₁⁵) = x₁(12x₁² – 10x₁⁴)
⇒ x₁³(4 – 2x₁²) = x₁³(12 – 10x₁²)
⇒ 4 – 2x₁² = 12 – 10x₁²
⇒ -2x₁² + 10x₁² = 12 – 4
⇒ 8x₁² = 8 ⇒ x₁² =1 ∴ x = ±1, x₁ = 0
वक्र का समीकरण, y = 4x³ – 2x⁵
जब x₁ = 0 y₁ = 0
जब x₁ = 1, y₁ = 4 – 2 = 2
जब x₁ = -1, y₁ = -4 + 2 = -2
अतः अभीष्ट बिन्दु (0, 0), (1, 2),(-1, -2) है।

प्रश्न 19.
वक्र x² + y² – 2x – 3 = 0 के उन बिन्दुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जहाँ पर वे x – अक्ष के समान्तर हैं।
हल:
दिया गया वक्र
x² + y² – 2x – 3 = 0

अतः स्पर्श रेखा पर स्थित अभीष्ट बिन्दु (1, ±2) हैं।

प्रश्न 20.
वक्र ay² = x³ के बिन्दु (am², am³) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समीकरण ay² = x³
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 21.
y = x³ + 2x + 6 के उन अभिलम्बों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा x + 14y + 4 = 0 के समान्तर हैं।
हल:
वक्र का समीकरण, y = x³ + 2x + 6
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 22.
परवलय y² = 4ax के बिन्दु (at², 2at) पर स्पर्श रेखा और अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय y² = 4ax

∴ अभिलम्ब का समीकरण
y – 2at = -t (x -at²)
⇒ y – 2at = -xt + at³
⇒ xt + y = 2at + at³

प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि वक्र x = y² और xy = k एक-दूसरे को समकोण पर काटती हैं, यदि 8k² = 1 है।
हल:
वक्र x = y² …(1)
तथा xy = k …(2)
x का मान समी० (2) में रखने पर,
y². y = k → y³ = k ∴ y = k^1/3 तथा x = k^2/3
अतः दिए गए वक्र एक-दूसरे को P(k^2/3, x^1/3) पर काटते हैं।
समी० (1) का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 24.
अतिपरवलय \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1 के बिन्दु (x₀, y₀) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलम्ब के समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
अतिपरवलय का समीकरण

प्रश्न 25.
वक्र y = \(\sqrt{3 x-2}\) की उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा 4x – 2y + 5 = 0 के समान्तर
हल:
वक्र का समीकरण t = \(\sqrt{3 x-2}\)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

नोट-प्रश्न 26 और 27 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 26.
वक्र y = 2x² + 3 sin x के x = 0 पर अभिलम्ब की प्रवणता है-
(A) 3
(B) \(\frac{1}{3}\)
(C) -3
(D) \(-\frac{1}{3}\)
हल:
वक्र का समीकरण y = 2x² + 3sin x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 4x + 3cosx
x = 0 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता = 4 × 0 + 3cos 0 = 3
∴ अभिलम्ब की प्रवणता = \(-\frac{1}{m}=-\frac{1}{3}\)
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 27.
किस बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है?
(A) (1, 2)
(B) (2, 1)
(C) (1, -2)
(D) (-1, 2) है।
हल:
वक्र का समीकरण y² = 4x …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

y का मान समी० (1) में रखने पर,
4 = 4x ∴ x = 1
बिन्दु (1, 2) पर रेखा y = x + 1 स्पर्श रेखा है।
अतः विकल्प (A) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.2

1 से 10 तक प्रत्येक प्रश्न में सत्यापित कीजिए कि दिया हुआ फलन (स्पष्ट अथवा अस्पष्ट),संगत अवकल समीकरण का हल है –
प्रश्न 1.
y = e^x + 1: y’ – y = 0
हल:
y = e^x + 1

अंतः दिया हुआ फलन अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 2.
y = x² + 2x + C: y’ – 2x – 2 = 0
हल:
y = x² + 2x + C
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x + 2
⇒ \(\frac{d y}{d x}\) – 2x – 2 = 0
या y’ – 2x – 2 = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 3.
y = cosx + C: y’ + sin x = 0
हल:
y = cos x + C
\(\frac{d y}{d x}\) = – sin x
⇒ y’ + sin x = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 4.
y = \(\sqrt{1+x^{2}}\) : y’ = \(\frac{x y}{1+x^{2}}\)
हल:

अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 5.
y = Ax: xy’ = y (x ≠ 0)
हल:
y = Ax
y’ = A ⇒ \(\frac{y}{x}\) (∵ A = \(\frac{y}{x}\))
या xy’ = y
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 6.
y = x sinx: xy’ = y + x\(\sqrt{x^{2}-y^{2}}\)
(x ≠ 0 और x > y अथवा x < – y)
हल:
y = x sinx …(i)
y’ = x cos x + sin x

अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 7.
xy = logy + C: y’ = \(\frac{y^{2}}{1-x y}\)(xy ≠ 1)
हल:
y = logy + C
xy’ + y = \(\frac{1}{y}\) · y’
y² + xyy’ = y
⇒ y² = y’ – xyy’
y² = y'(1 – xy)
y’ = \(\frac{y^{2}}{1-x y}\)
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 8.
y – cos y = x: (y sin y + cos y + x)y’ = y
हल:
y – cos y = 3x
y’ + sin y: y’ = 1
y (1 + sin y) = 1
⇒ y’ = \(\frac{1}{1+\sin y}\)
y. व y के मान अवकल समी० (y sin y + cos y + x) y’ = y में रखने पर
L.H.S. {(x + cos y) sin y + cosy + x}·\(\frac{1}{1+\sin y}\)
⇒ x + cos y = y
R.H.S. अत: दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 9.
x + y = tan^-1y: y²y’ + y² + 1 = 0
हल:
x + y = tan^-1y
1 = y’ = \(\frac{1}{1+y^{2}}\)·y’
(1 + y²) + (1 + y²) y’ = y’
y²y’ + y² + 1 = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 10.
y = \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\) x ϵ ( -a, a): x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0 (y ≠ 0)
हल:
y = \(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)
वर्ग करने पर
y² = a² – x²
⇒ x² + y² = a²
अवकलन करने पर
2x + 2yy’ = 0
2 से भाग देने पर
x + yy’ = 0
या x + y\(\frac{d y}{d x}\) = 0
अतः दिया हुआ फलन दिए हुए अवकल समी० का हल है।

प्रश्न 11.
चार कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के व्यापक हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है –
(A) 0
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
किसी चार कोटि वाले अवकल समीकरण के व्यापक हल में स्वेच्छ चार अचरों की संख्या होती है।
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 12.
तीन कोटि वाले किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में उपस्थित स्वेच्छ अचरों की संख्या है
(A) 3
(B) 2
(C) 1
(D) 0
हल:
किसी अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में स्वेच्छ अचर उपस्थित नहीं होता है।
अतःविकल्प (D) सही है।