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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.5

1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए
प्रश्न 1.
\(\frac{x}{(x+1)(x+2)}\)
इल:

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{x^{2}-9}\)
इल:

प्रश्न 3.

इल:

⇒ 3x – 1 = A(x – 2) (x – 3) + B(x – 1) (x – 3) + C(x – 1) (x – 2) …(1)
समी० (1) में x = 1 रखने पर,
3 – 1 = A(1 – 2) (1 – 3)
⇒ 2 = A(-1) (-2) ⇒ A = 1
पुनः समी० (1) में x = 2 रखने पर,
6 – 1 = B(2 – 1) (2 – 3)
⇒ 5 = B(1) (-1) ⇒ B = -5
समी० (1) में x = 3 रखने पर,
9 – 1 = C(3 – 1) (3 – 2)
⇒ 8 = C(2) (1) ⇒ C = 4

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{2 x}{x^{2}+3 x+2}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\frac{1-x^{2}}{x(1-2 x)}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\frac{x}{(x-1)^{2}(x+2)}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\frac{3 x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}\)
हल:

प्रश्न 10.
\(\frac{2 x-3}{\left(x^{2}-1\right)(2 x+3)}\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\frac{5 x}{(x+1)\left(x^{2}-4\right)}\)
हल:

प्रश्न 12.

हल:
∵ अंश की घात, हर से अधिक है ।
∴ हर से अंश को भाग करने पर

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.
\(\frac{3 x-1}{(x+2)^{2}}\)
हल:

प्रश्न 15.
\(\frac{1}{x^{4}-1}\)
हल:

1 ≡ A(x – 1) (x² + 1) + B(x + 1) (x² + 1) + (Cx + D) (x + 1) (x – 1) …(1)
समी० (1) में x = -1 रखने पर,
1 = A (-1 – 1) (1 + 1)
⇒ 1 = A(-4) ⇒ A = \(-\frac{1}{4}\)
समी० (1) में x =1 रखने पर,
1 = B (1 + 1) (1 + 1)
⇒ 1= B (2) (2) ⇒ B = \(\frac{1}{4}\)
समी० (1) में x³ के गुणांकों की तुलना करने पर,
0 = A + B + C

प्रश्न 16.
\(\frac{1}{x\left(x^{n}+1\right)}\)
हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.
\(\frac{1}{x\left(x^{4}-1\right)}\)
हल:

प्रश्न 21.
\(\frac{1}{\left(e^{x}-1\right)}\)
हल:

प्रश्न 22 एवं 23 में सही उत्तर का चयन कीजिए
प्रश्न 22.
\(\int \frac{x d x}{(x-1)(x-2)}\) बराबर है-

हल:

प्रश्न 23.
\(\int \frac{d x}{x\left(x^{2}+1\right)}\) बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता विविध प्रश्नावली

प्रश्न संख्या 1 से 11 तक प्रदत्त फलनों का, x के सापेक्ष अवकलन कीजिए-
प्रश्न 1.
(3x² – 9x + 5)⁹
हल:
माना y = (3x² – 9x + 5)⁹
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
sin³ x + cos⁶x
हल:
माना y = sin³ x + cos⁶ x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
(5x)^3cos2x
हल:
माना y = (5x)^3cos2x
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,
log y = 3cos 2x log 5x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
sin^-1 (x\( \sqrt{{x}} \)), 0 ≤ x ≤ 1
हल:
माना y = sin^-1(x)^3/2
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.
(log x)^{log x}, x > 1
हल:
माना y = (log x)^{log x}
दोनों ओर लघुगणक लेने पर,

प्रश्न 8.
cos (acos x + b sin x), किन्हीं अचर a तथा b के लिए।
हल:
माना y = cos (acos x + bsin x)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
(sin x- cos x)^{(sin x – cos x)} \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{3 \pi}{4}\)
हल:
माना y = (sin x- cos x)^{(sin x – cos x)}
दोनों तरफ लघुगणक लेने पर,
log y = log (sin x – cosx)(sin x – cos x)
log y=(sin x – cos x)log (sin x – cosx),     [∵ log mⁿ = n log m]
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 10.
x^x + x^a + a^x + a^a, किसी नियत a > 0 तथा x > 0 के लिए।
हल:
माना y = x^x + x^a + a^x + a^a
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 11.
x^x2-3 + (x – 3)^x2, x > 3 के लिए।
हल:
माना y = x^x2-3 + (x – 3)^x2
= u + v (लगभग)

प्रश्न 12.
यदि y = 12 (1 – cost), x = 10(t – sint), \(-\frac{\pi}{2}\) < t < \(\frac{\pi}{2}\) है तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
y = 12(1 – cost ), x = 10 (t – sint)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 13.
यदि y = sin^-1 x + sin^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\), -1 ≤ x ≤ 1 है तो \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
y = sin^-1 x + sin^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\)
x = sin θ रखने पर,

प्रश्न 14.
यदि -1 < x < 1 के लिए \(x \sqrt{1+y}+y \sqrt{1+x=0}\) है तो सिद्ध कीजिए कि

हल:

दोनों तरफ वर्ग करने पर,
x² (1 + y) = y² (1 + x)
⇒ x² + x²y = y² + y²x
⇒ x² – y² – y²x + x²y = 0
⇒ (x – y)(x + y) + xy(x – y) = 0
⇒ (x – y)[x + y + xy] = 0
x – y = 0 ⇒ x ≠ y
x + y (1 + x) = 0

प्रश्न 15.
यदि किसी c > 0 के लिए (x – a)² + (y – b)² – c² है तो सिद्ध कीजिए कि

a और b से स्वतन्त्र एक स्थिर राशि है।
हल:
यहाँ (x – a)² + (y – b)² = (दिया है) …(1)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 16.
यदि cos y = x cos (a + y) तथा cos a ≠ ±1 है तो सिद्ध कीजिए कि

हल:
cos y = xcos (a + y)
∴ x = \(\frac{\cos y}{\cos (a+y)}\)
y के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 17.
यदि x = a (cost + t sin t) और y = a (sin t – tcost) है तो \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ x = a (cost + t sin t) y = a (sin t – tcost)
अब, x = a (cos t + t sin t),
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 18.
यदि f(x) =|x|³ है तो प्रमाणित कीजिए कि f'(x) का अस्तित्व है और इसे ज्ञात भी कीजिए।
हल:
यहाँ f(x) = |x|³ = x³
जब, x > 0 |x| = x, ∴ f(x) = x³
f'(x) = 3x², f'(x) = 6x …(1)
जब x < 0 |x| = -x
f(x) = |x|³ = (-x)³ = -x³
f'(x) = -3x²,    f'(x) = -6x …(2)
(1) तथा (2) से,
f'(x) = 6|x|

प्रश्न 19.
गणितीय आगमन के सिद्धान्त के प्रयोग द्वारा सिद्ध कीजिए कि सभी धन पूर्णांक n के लिए \(\frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)\) = nx^n-1 है।
हल:

∴ P(n), n = k + 1 के लिए भी सत्य है।
⇒ P(n), n = 1, 2, 3,….. सभी धन पूर्णांकों के लिए सत्य है।

प्रश्न 20.
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B का प्रयोग करते हुए अवकलन द्वारा cosines के लिए योग सूत्र ज्ञात कीजिए।
हल:
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
माना A और B, t के फलन हैं।
दोनों ओर t के सापेक्ष अवकलन करने पर,

अतः cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

प्रश्न 21.
क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिन्दु पर सतत हो किन्तु केवल दो बिन्दुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
फलन f(x) = |x| + |x – 1| को देखें |x|, |x – 1| दोनो फलन सब बिन्दुओं पर संतत है।
अतएव, f(x) = |x| + |x – 1| भी संतत है, x ϵ R के लिए
लेकिन |x|, x = 0 पर अवकलनीय नहीं होता।
इसी प्रकार, |x – 1|, x = 1 पर अवकलनीय नहीं होता।
स्पष्ट है कि । सभी बिन्दुओं पर (x ϵ R) पर संतत है और x = 0, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 22.
यदि

है तो सिद्ध कीजिए कि

हल:

प्रश्न 23.
यदि y = e^acos-1x, -1 ≤ x ≤ 1 है तो दर्शाइए कि

हल:
y= e^acos-1x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.3

1 से 5 तक प्रत्येक प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
हल:

प्रश्न 2.
y² = a(b² – x²)
हल:
y = a(b² – x²) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 3.
y = ae^3x + be^-2x
हल:
y = ae^3x + be^-2x …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 4.
y = e^2x(a + bx)
हल:
y = e^2x(a + bx) …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 5.
y = e^x (a cos x + b sin x)
हल:
ye^x(a cos x + b sin x) ….(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 6.
y – अक्ष को मूल बिन्दु पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
वृत्त का समी० जो y – अक्ष पर मूल बिन्दु पर स्पर्श करता है-
(x – a)² + (y – 0)² = a²
x² + y² – 2ax + a² = a²
⇒ x² + y² – 2ax = 0. …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2y\(\frac{d y}{d x}\) – 2a = 0
⇒ a = x + y\(\frac{d y}{d x}\) …(ii)
a का मान समी० (i) में रखने पर
x² + y² – 2\(\left(x+y \frac{d y}{d x}\right)\) = 0
⇒2xy\(\frac{d y}{d x}\) + x² – y² = 0

प्रश्न 7.
ऐसे परवलयों के कुल का अवकल समीकरण निर्मित कीजिए जिनका शीर्ष मूल बिन्दु पर है और जिनका अक्ष धनात्मक y – अक्ष की दिशा में है।
हल:
परवलय जिसका शीर्ष मूल बिन्दु तथा अक्ष OY है, का समीकरण
x² = 4ay …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर

प्रश्न 8.
ऐसे दीर्घवृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ y – अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
इस प्रकार के दीर्घवृत्त के कुल का समी० निम्न होगा

प्रश्न 9.
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनकी नाभियाँ x-अक्ष पर हैं तथा जिनका केन्द्र मूल बिन्दु है।
हल:
ऐसे अतिपरवलयों के कुल का समी० जिनकी नाभियाँ x – अक्ष पर तथा केन्द्र मूल बिन्दु हैं-

प्रश्न 10.
ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जिनका केन्द्र y-अक्ष पर है और जिनकी त्रिज्या 3 इकाई है।
हल:
ऐसे वृत्तों के कुल का समी० जिनका केन्द्र y – अक्ष पर हैं और त्रिज्या 3 इकाई हैं
x² + (y – b)² = 9 …(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
2x + 2 (y – b)\(\frac{d y}{d x}\) = 0
y – b = \(-\frac{x}{\left(\frac{d y}{d x}\right)}\) …(ii)
समी० (i) व (ii) से b को विलुप्त करने पर

प्रश्न 11.
निम्नलिखित अवकल समीकरणों में से किस समीकरण का व्यापक हल y = c₁e^x + c₂e^-x है?

हल:
समीकरण y = c₁e^x + c₂e^-x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = c₁e^x – c₂e^-x
पुनः अवकलन करने पर …
y” = c₁e^x + c₂e^-x = y
∴ अवकल समीकरण y” – y = 0
या \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\) – y = 0
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 12.
निम्नलिखित समीकरणों में से किस समीकरण का एक विशिष्ट हल y = x है-

हल:
y = x
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
y’ = 1
तथा y” = 0
y = x का मान \(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x^{2} \frac{d y}{d x}+x y=0\) में रखने पर,
-x²·1 + x·x = 0 जो सत्य है
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 10th Maths Book Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.6 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.6

Question 1.
In the figure, PS is the bisector of ∠QPR of ∆PQR. Prove that \(\frac{Q S}{S R}=\frac{P Q}{P R}\).

Solution:
We have, ∆PQR in which PS is the bisector of ∠QPR.
∴ ∠QPS = ∠RPS
Let us draw RT || PS to meet QP produced at T, such that
∠1 = ∠RPS [Alternate angles]
Also, ∠3 = ∠QPS [Corresponding angles]

But ∠RPS = ∠QPS [Given]
∴ ∠1 = ∠3
∴ PT = PR
Now, in ∆QRT, PS || RT [By construction]
∴ Using the Basic Proportionality Theorem, we have

Question 2.
In the figure, D is a point on hypotenuse AC of ∆ABC, such that BD ⊥ AC, DM ⊥ BC and DN ⊥ AB. Prove that
(i) DM² = DN.MC
(ii) DN² = DM.AN

Solution:

Question 3.
In the figure, ABC is a triangle in which ∠ABC > 90° and AD ⊥ CB produced. Prove that AC² – AB² + BC² + 2BC.BD

Solution:
∆ABC is a triangle in which ∠ABC > 90° and AD ⊥ CB produced.
∵ In ∆ADB, ∠D = 90°
∴ Using Pythgoras Theorem, we have
AB² = AD² + DB² ….. (1)
In right ∆ADC, ∠D = 90°
∴ Using Pythagoras Theorem, we have
AC² = AD² + DC²
= AD² + [BD + BC]²
= AD² + [BD² + BC² + 2BD.BC]
⇒ AC² = [AD² + DB²] + BC² + 2BC – BD
⇒ AC² = AB² + BC² + 2BC – BD [From (1)] Thus, AC² = AB² + BC² + 2 BC.BD

Question 4.
In the figure, ABC is a triangle in which ∠ABC < 90° and AD ⊥ BC. Prove that AC² = AB² + BC² – 2BC.BD.

Solution:
We have ∆ABC in which ∠ABC < 90°
and AD ⊥ BC
In right ∆ADB, ∠D = 90°
Using Pythagoras Theorem, we have
AB² = AD² + BD² …… (1)
Also in right ∆ADC, ∠D = 90°
Using Pythagoras Theorem, we have AC² = AD² + DC²
= AD² + [BC – BD]² = AD² + [BC² + BD² – 2BC.BD]
= [AD² + BD²] + BC² – 2BC.BD = AB² + BC² – 2BC.BD [From (1)]
Thus, AC² = AB² + BC² – 2BC.BD, which is the required relation.

Question 5.
In the figure, AD is a median of triangle ABC and AM ⊥ BC. Prove that


Solution:

Question 6.
Prove that the sum of the squares of the diagonals of parallelogram is equal to the sum of the squares of its sides.
Solution:
We have a parallelogram ABCD.

AC and BD are the diagonals of parallelogram ABCD.
∵ Diagonals of a parallelogram bisect each other.
∴ O is the mid-point of AC and BD.
Now, in ∆ABC, BO is a median.

Question 7.
In the figure, two chords AB and CD intersect each other at the point P. Prove that:
(i) ∆APC – ∆DPB
(ii) AP.PB = CP.DP

Solution:
We have two chords AB and CD of a circle. AB and CD intersect at P.
(i) In ∆APC and ∆DPB,
∴ ∠APC = ∠DPB ….. (1)
[Vertically opp. angles]
∠CAP = ∠BDP …… (2)
[Angles in the same segment]
From (1) and (2) and using AA similarity, we have
∆APC ~ ∆DPB

(ii) Since, ∆APC ~ ∆DPB [As proved above]
∴ Their corresponding sides are proportional,

⇒ AP.BP = CP.DP, which is the required relation.

Question 8.
In the figure, two chords AB and CD of a circle intersect each other at the point P (when produced) outside the circle. Prove that
(i) ∆PAC – ∆PDB
(ii) PA.PB = PC.PD

Solution:
We have two chords AB and CD when produced meet outside the circle at P.
(i) Since in a cyclic quadrilateral, the exterior angle is equal to the interior opposite angle,

Question 9.
In the figure, D is a point on side BC of ∆ABC such that \(\frac{B D}{C D}=\frac{A B}{A C}\). Prove that AD is the bisector of ∠BAC.

Solution:
Let us produce BA to E such that AE = AC
Join EC.

Question 10.
Nazima is fly fishing in a stream. The tip of her fishing rod is 1.8 m above the surface of the water and the fly at the end of the string rests on the water 3.6 m away and 2.4 m from a point directly under the tip of the rod. Assuming that her string (from the tip of her rod to the fly) is taut, how much string does she have out (see figure)? If she pulls in the string at the rate of 5 cm per second, what will be the horizontal distance of the fly from her after 12 seconds ?

Solution:
Let us find the length of the string that Nazima has out.
In right ∆OAB, OB² = OA² + AB²
∴ OB² = (2.4)² + (1.8)²
⇒ OB² = 5.76 + 3.24 = 9.00
\(\Rightarrow \quad O B=\sqrt{9.00}=3 \mathrm{m}\)
i.e., Length of string she has out = 3 m

Since, the string is pulled in at the rate of 5 cm/sec,
∴ Length of the string pulled in 12 seconds

In the ∆PBC, let PB be the required horizontal distance of fly.
Since, PB² = PC² – BC² [By Pythagoras theorem]
∴ PB² = (2.4)² – (1.8)² = 5.76 – 3.24 = 2.52

Thus, the horizontal distance of the fly from Nazima after 12 seconds
= (1.59 + 1.2) m (approximately)
= 2.79 m (approximately)

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.7 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.7

1 से 9 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए
प्रश्न 1.
\(\sqrt{4-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\sqrt{1-4 x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 3.
\(\sqrt{x^{2}+4 x+6}\)
हल:
माना I = \(\int \sqrt{x^{2}+4 x+6} d x\)

प्रश्न 4.
\(\sqrt{x^{2}+4 x+1}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\sqrt{1-4 x-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\sqrt{x^{2}+4 x-5}\)
हल:

प्रश्न 7.
\(\sqrt{1+3 x-x^{2}}\)
हल:

प्रश्न 8.
\(\sqrt{x^{2}+3 x}\)
हल:

प्रश्न 9.
\(\sqrt{1+\frac{x^{2}}{9}}\)
हल:

प्रश्न 10 एवं 11 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 10.
\(\int \sqrt{1+x^{2}}\) बराबर है-

हल:
\(\int \sqrt{a^{2}+x^{2}} d x\)

प्रश्न 11.
\(\int \sqrt{x^{2}-8 x+7}\) dx बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Book Maths Solutions Chapter 7 समाकलन Ex 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।
प्रश्न 1.
\(\frac{3 x^{2}}{x^{6}+1}\)
हल:

प्रश्न 2.
\(\frac{1}{\sqrt{1+4 x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.
\(\frac{1}{\sqrt{9-25 x^{2}}}\)
हल:

प्रश्न 5.
\(\frac{3 x}{1+2 x^{4}}\)
हल:

प्रश्न 6.
\(\frac{x^{2}}{1-x^{6}}\)
हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.

हल:

प्रश्न 19.

हल:

प्रश्न 20.

हल:

प्रश्न 21.

हल:

प्रश्न 22.

हल:

प्रश्न 23.

हल:

प्रश्न 24 एवं 25 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 24.
\(\int \frac{d x}{x^{2}+2 x+2}\) बराबर है
(A) x tan^-1(x + 1) + C
(B) tan^-1(x + 1) + C
(C) (x + 1) tan^-1 x + C
(D) tan^-1 x + C
हल:

प्रश्न 25.
\(\int \frac{d x}{\sqrt{9 x-4 x^{2}}}\) बराबर है-

हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.4

निम्नलिखित सारणिकों के अवयवों के उपसारणिक एवं सहखण्ड लिखिए।
प्रश्न 1.

हल:
\(\left|\begin{array}{cc}{2} & {-4} \\ {0} & {3}\end{array}\right|\)
a₁₁ का उपसारणिक M₁₁ = 3
a₁₂ का उपसारणिक M₁₂ = 0
a₂₁ का उपसारणिक M₂₁ = -4
a₂₂ का उपसाराणिक M₂₂ = 2
a₁₁ का सहखण्ड = A₁₁ = (-1)¹⁺¹
M₁₁ = (-1)² × 3 =3
a₁₂ का सहखण्ड = A₁₂ = (-1)¹⁺²
M₁₂ = (-1)³ × 0 = 0
a₂₁ का सहखण्ड = A₁₃ = (-1)² + 1
M₂₁ = (-1)³ × (-4) = 4
a₂₂ का सहखण्ड = A₂₂ = (-1)²⁺²
M₂₂ = (-1)⁴ × 2 = 2

(ii) यहाँ \(\left|\begin{array}{ll}{a} & {c} \\ {b} & {d}\end{array}\right|\) सारणिक \(\left|\begin{array}{ll}{a} & {c} \\ {b} & {d}\end{array}\right|\) के अवयवों के उपसारणिक निम्न हैं-
M₁₁ = d
M₁₂ = b
M₂₁ = c
M₂₂ = a
इसलिए सहखंड निम्न होंगे-
A₁₁ = d
A₁₂ = -b
A₂₁ = -c
तथा A₂₂ = 1

प्रश्न 2.

हल:


A₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (-1)² × 1 = 1
A₁₂ = 1¹⁺² M₁₂ = (-1)³ × 0= 0
A₁₃ = (-1)¹⁺³ M₁₃ = (-1)⁴ × 0 = 0
A₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = (-1)³ × 0 = 0
A₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = (-1)⁴ × 1 = 1
A₂₃ = (-1)²⁺³ M₂₃ = (-1)⁵ × 0 = 0
A₃₁ =(-1)³⁺¹ M₃₁ = (-1)⁴ × 0 = 0
A₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂ = (-1)⁵ × 0= 0
A₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = (-1)⁶ × 1 = 1

(ii) यहाँ \(\left|\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {4} \\ {3} & {5} & {-1} \\ {0} & {1} & {2}\end{array}\right|\) उपसारणिक और सहखण्ड की परिभाषां से a₁ का उपसारणिक M₁ = \(\left|\begin{array}{cc}{5} & {-1} \\ {1} & {2}\end{array}\right|\) = 10 + 1 = 11
हल:

प्रश्न 3.
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}{5} & {3} & {8} \\ {2} & {0} & {1} \\ {1} & {2} & {3}\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

दूसरी पंक्ति से सारणिक का विस्तार करने पर,
∆ = a₂₁ A₂₁ + a₂₂ A₂₂ + a₂₃ A₂₃
= 2 × 7 + 0 × 7 + 1 × (-7)
= 14 + 0 – 7 = 7

प्रश्न 4.
तीसरे स्तम्भ के अवयवों के सहखण्डों का प्रयोग करके ∆ = \(\left|\begin{array}{ccc}{1} & {x} & {y z} \\ {1} & {y} & {z x} \\ {1} & {z} & {x y}\end{array}\right|\) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

A₂₃ = (-1)²⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}{1} & {x} \\ {1} & {z}\end{array}\right|\) = (-1)⁵ [z – y]
= -(z – x)
A₃₃ = (-1)³⁺³ \(\left|\begin{array}{ll}{1} & {x} \\ {1} & {y}\end{array}\right|\) = (-1)⁶ [y – x] = (y – x)
∴ ∆ = a₁₃ A₁₃ + a₂₃ A₂₃ + a₃₃ A₃₃
= yz (z – y) + zx (-z + x) + xy(y – x)
= yz² – y²z – xz² + x²z + xy² – x²y
= (-y²z + yz²) + (y² – xz²) + (-x²y + x²z)
= – yz (y – z) + x(y² – z² ) – x²(y – z)
= (y – z)[-yz + x (y + z) – x²]
= (y – z)[z (x – y) – x(x – y)]
= (y – z)(x – y)(z – x)
= (x – y)(y – z)(z – x)

प्रश्न 5.
यदि ∆ = \(\left|\begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|\) और a_ij का सहखण्ड A_ij हो तो ∆ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है
(A) A₁₁ A₃₁ + a₁₂ A₃₂ + a₁₃ A₃₃
(B) a₁₁ A₁₁ + a₁₂ A₂₁ + a₁₃ A₃₁
(C) a₂₁ A₁₁ + a₂₂ A₁₂ + a₂₃ A₁₃
(D) a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
हल:
∆ = किसी पंक्ति (या स्तम्भ) के अवयवों तथा उनके संगत सहखण्डों के गुणन का योग
C₁ स्तम्भ के अवयव (a₁₁, a₂₁, a₃₁)
इनमें सहखण्ड a₁₁, A₂₁, A₃₁
⇒ ∆ = a₁₁ A₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A₃₁
अत: विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.1

प्रश्न 1 से 2 तक में सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
\(\left|\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-5} & {-1}\end{array}\right|\)
हल:
\(\left|\begin{array}{cc}{2} & {4} \\ {-5} & {-1}\end{array}\right|\) = 2 × (-1) – 4 × (-5) = -2 + 20 = 18

प्रश्न 2.

हल:
(i) \(\left|\begin{array}{cc}{\cos \theta} & {-\sin \theta} \\ {\sin \theta} & {\cos \theta}\end{array}\right|\)
=cose θ cosθ – (sin θ) × (-sin θ)
= cos²θ + sin²θ
= 1

(ii) \(\left|\begin{array}{cc}{x^{2}-x+1} & {x-1} \\ {x+1} & {x+1}\end{array}\right|\)
= (x² – x + 1)(x + 1) – (x + 1)(x – 1)
= (x + 1) – (x² – 1) = x³ + 1 – x² + 1
= x³ – x² + 2

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{1} & {2} \\ {4} & {2}\end{array}\right]\), तो दिखाइए |2A| = 4|A|
हल:

प्रश्न 4. यदि A = \(\left|\begin{array}{lll}{1} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {2} \\ {0} & {0} & {4}\end{array}\right|\) हो, तो दिखाइए |3A| = 27|A|
हलः

प्रश्न 5.
निम्नलिखित सारणिकों का मान ज्ञात कीजिए-

हल:



= 0[0-(-3) × 3][-1 × 0 – (-3) × (-2)] + 2[3 × (-1) – (-2) × 0]
= 0 × 9 – 1[0 – 6] + 2[-3 – 0]
= 0 – 1 × (-6) + 2 × (-3)
= 6 – 6 = 0

= 2[2 × 0 – (-1) × (-5)] + 1[0 × 0 – (-1) × 3] – 2[0 × (-5) – 2 × 3]
= 2[0 – 5] + 1[0 + 3] – 2 × [0 – 6]
= 2 × (-5) + 1 × 3 – 2 × (-6)
= -10 + 3 + 12 = -10 + 15 = 5

प्रश्न 6.
यदि A = \(\left|\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {-2} \\ {2} & {1} & {-3} \\ {5} & {4} & {-9}\end{array}\right|\), हो तो |A| ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 7.
x के मान ज्ञात कीजिए यदि

हल:

⇒ 2 – 20 = 2x² – 24
⇒ -18 = 2x² – 24
⇒ 2x² – 24 +18 = 0
⇒ 2x² -6 =0
⇒ x² = 3
⇒ x = ±\( \sqrt{{3}} \)

⇒ 10 – 12 = 5x – 6x
-2x³ = – x
x = 2

प्रश्न 8.
यदि \(\left|\begin{array}{cc}{x} & {2} \\ {18} & {x}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{6} & {2} \\ {18} & {6}\end{array}\right|\) हो तो x बराबर है-
(A) 6
(B) ±6
(C) -6
(D) 0
हल:
\(\left|\begin{array}{cc}{x} & {2} \\ {18} & {x}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{6} & {2} \\ {18} & {6}\end{array}\right|\)
⇒ x × x -2 × 18 = 6 × 6 – 2 × 18
⇒ x² – 36 = 36 – 36
⇒ x² – 36 = 0
⇒ x = 36
∴ x = ±6
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.1

प्रश्न 1.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{cccc}{2} & {5} & {19} & {-7} \\ {35} & {-2} & {5 / 2} & {12} \\ {\sqrt{3}} & {1} & {-5} & {17}\end{array}\right]\), के लिए ज्ञात कीजिए:
(i) आव्यूह की कोटि
(ii) अवयवों की संख्या
(iii) अवयव a₁₃, a₂₁, a₃₃, a₂₄, a₂₃
हल:
(i) आव्यूह A में पंक्तियों की संख्या = 3
तथा स्तम्भों की संख्या = 4
इसलिए आव्यूह की कोटि = 3 × 4
(ii) अवयवों की संख्या = 3 × 4 = 12 अवयव
(iii) a₁₃ = पहली पंक्ति व तीसरे स्तम्भ का अवयव = 19
इसी प्रकार,
a₂₁ = 35, a₃₃ =-5, a₂₄ = 12 तथा a₂₃ = \(\frac{5}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि किसी आव्यूह में 24 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 13 अवयव हों तो कोटियाँ क्या होंगी?
हल:
(i) 24 अवयवों वाले आव्यूह की संभव कोटियाँ निम्न प्रकार हैं
1 × 24, 24 × 1, 2 × 12, 12 × 2, 3 × 8, 8 × 3, 4 × 6, 6 × 4
(ii) 13 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 13 और 13 × 1

प्रश्न 3.
यदि किसी आव्यूह में 18 अवयव हैं तो इसकी संभव कोटियाँ क्या हैं? यदि इसमें 5 अवयव हों तो क्या होगा?
हल:
(i) 8 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ निम्न प्रकार हैं- 18 × 1, 2 × 9, 3 × 6, 6 × 3, 9 × 2, 1 × 18
(ii) 5 अवयवों वाले आव्यूह की कोटियाँ = 1 × 5, 5 × 1

प्रश्न 4.
एक 2 × 2 आव्यूह A = [a_ij] की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्रदत्त हैं-

हल:

प्रश्न 5.
एक 3 × 4 आव्यूह की रचना कीजिए जिसके अवयव निम्नलिखित प्रकार से प्राप्त होते हैं-
(i) a_ij = \(\)|-3i + j|
(ii) a_ij = 2i – j
हल:

प्रश्न 6.
निम्नलिखित समीकरणों से x, y तथा z के माम ज्ञात कीजिए-

हल:
(i) \(\left[\begin{array}{ll}{4} & {3} \\ {x} & {5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{y} & {z} \\ {1} & {5}\end{array}\right]\)
∵ दोनों आव्यूह समान हैं
∴ संगत अवयवों को समान रखने पर
4 = y ⇒ y = 4
3 = z ⇒ 2 = 3
तथा x = 1
अतः x = 1, y = 4 तथा z = 3

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}{x+y} & {2} \\ {5+z} & {x y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{6} & {2} \\ {5} & {8}\end{array}\right]\)
दो आव्यूहों की समानता परिभाषा. से संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y = 6 ⇒ y = 6 – x
तथा xy = 8
⇒ x (6 – x) = 8 ⇒ 6x – x² = 8
x² – 6x + 8 = 0
⇒ (x – 4)(x – 2) = 0 ⇒ x = 4, 2
∴ y = 2, 4
तथा 5 + z = 5 ⇒ z = 0
अत: x = 4, y = 2 तथा z = 0 अथवा x = 2, y = 4 व z = 0

(iii) \(\left[\begin{array}{c}{x+y+z} \\ {x+z} \\ {y+x}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{9} \\ {5} \\ {7}\end{array}\right]\)
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों को समान रखने पर,
x + y + z = 9 …. (i)
x + z = 5 … (ii)
y + z = 7 … (iii)
समी (i) व (iii) से,
x + 7 = 9 ⇒ x²
x का मान (ii) में रखने पर,
2 + z = 5 ⇒ z = 3
तथा y = 7 – 3 = 4
अतः x = 2, y = 4 तथा z = 3

प्रश्न 7.
समीकरण \(\) से a, b, c तथा d के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दोनों आव्यूह के संगत अवयवों को समान रखने पर,
a – b = -1 …(i)
2a – b = 0 ⇒ 2a = b …(ii)
2a + c = 5 ….(iii)
तथा 3c + d = 13 ….(iv)
समी० (i) व (ii) से,
a – 2a = -1 ⇒ a = -1
∴ b = 2
समी० (iii) से,
2 (1) + c = 5
⇒ c = 5 + 2 = 7
समी० (iv) 3c + d = 13
d = 13 – 21 = 8
अतः a = 1, b = -2, c = 7 तथा d = 8

प्रश्न 8.
A = [a_ij]_m×n एक वर्ग आव्यूह है यदि
(A) m < n (B) m > n
(C) m = n
(D) इनमें से कोई नहीं
हल:
वर्ग आव्यूह में पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के समान है।
m = n
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 9.
x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं-

हल:
दिए हुए आव्यूह समान हैं।
3x + 7 = 0 ⇒ 3x = -7 ∴ x = \(-\frac{7}{3}\)
तथा 5 = y – 2 ⇒ 5 + 2 = y ∴ y = 7
2 – 3x = 4 ⇒ -3x = 4 – 2
⇒ -3x = 2 ∴ x = \(-\frac{2}{3}\)
x के दो मान \(-\frac{7}{3}\) और \(-\frac{2}{3}\) हैं। यह नहीं हो सकता।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 10.
3 × 3 कोटि के ऐसे आव्यूहों की कुल कितनी संख्या होगी जिनकी प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 है?
(A) 27
(B) 18
(C) 81
(D) 512
हल:
3 × 3 कोटि के 9 अवयव हों तो प्रत्येक स्थान पर 0 या 1 रख सकते हैं।
0 के स्थानों को भरने के लिए 2⁹ = 512 तरीके हो सकते हैं।
∴ सम्भव आव्यूहों की संख्या = 512
अतः विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 3 आव्यूह विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ll}{0} & {1} \\ {0} & {0}\end{array}\right]\) हो तो दिखाइए कि सभी nEN के लिए (aI + bA)ⁿ = aⁿI + na^n-1 bA, जहाँ I कोटि 2 का तत्समक आव्यूह है।
हल:

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1}\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि

हल:



∴ P(n) सत्य है n = k +1 के लिए,
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार p(n), n के सभी n ϵ N मान के लिए सत्य है जब n ϵ N.

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {-4} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]\), तो सिद्ध कीजिए कि Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}{1+2 n} & {-4 n} \\ {n} & {1-2 n}\end{array}\right]\) जहाँ n एक धन पूर्णांक है।
हल:


∴ P(n) सत्य है n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है। n ϵ N.

प्रश्न 4.
यदि A तथा B सममित आव्यूह हैं तो सिद्ध कीजिए कि AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:
यदि A और B सममित आव्यूह हैं।
∴ A’ = A और B’ = B
(AB – BA) = (AB)’ – (BA)’ [∵ (X – Y) = X’ – Y’]
= B’A’ – A’B’ [∵ (XY) =Y’X’]
= BA – AB [∵ B’ = B, A’ = A]
= – (AB – BA)
∴ AB – BA एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि आव्यूह B’ AB सममित अथवा विषम सममित है, यदि A सममित अथवा विषम सममित है।
हल:
(i) माना A सममित आव्यूह है।
तब A’ = A
∴ (B’ AB) = (B’ (AB)) =(AB)'(B’)’
= (B’A’)B
=B’ AB [∵ (AB)’ = B’A’ और A’ = A]
⇒ B’ AB एक सममित आव्यूह है।

(ii) माना A विषम सममित आव्यूह है।
∴ A’ = -A
अब, (B'(AB))’ = (AB)’ (B’)’ = (B’A’)B
= B'(-A)B = – B’ AB [∵ A’ = -A]
=-(B’ AB)
अत: B’ AB एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 6.
x, y तथा z के मानों को ज्ञात कीजिए, यदि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{0} & {2 y} & {z} \\ {x} & {y} & {-z} \\ {y} & {-y} & {z}\end{array}\right]\) समीकरण A’ A = I को सन्तुष्ट करता है।
हल:

प्रश्न 7.
x के किस मान के लिए

हल:

प्रश्न 8.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{3} & {1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\) हो तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = 0 है।
हल:

प्रश्न 9.
यदि [x -5 -1]\(\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {2} \\ {0} & {2} & {1} \\ {2} & {0} & {3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{x} \\ {4} \\ {1}\end{array}\right]\) = 0 है तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
एक निर्माता तीन प्रकार की वस्तुएँ, x, y तथा z का उत्पादन करता है जिनका वह दो बाजारों में विक्रय करता है। वस्तुओं की वार्षिक बिक्री नीचे सूचित (निदर्शित) है-

(a) यदि x, y तथा z की प्रत्येक इकाई का विक्रय मूल्य क्रमश: Rs. 2.50, Rs. 1.50 तथा Rs. 1.00 है तो प्रत्येक बाजार में कुल आय (Revenue), आव्यूह बीजगणित की सहायता से ज्ञात कीजिए।
(b) यदि उपर्युक्त तीन वस्तुओं की प्रत्येक इकाई की लागत (Cost) क्रमश: Rs. 2.00, Rs. 1.00 तथा पैसे 50 है तो कुल लाभ (Gross Profit) ज्ञात कीजिए।
हल:
(a) वार्षिक बिक्री निम्नलिखित है-

अतः प्रत्येक बाजार से आय रु० 46,000 तथा 53,000 रु० है|

(b) प्रत्येक उत्पाद x, y, z की प्रत्येक इकाई का क्रय मूल्य क्रमशः 2.00,1: 00 तथा 0:50 रु० है।
आव्यूह रूप में लिखने पर,

पहले बाजार का लाभ = विक्रय मूल्य – क्रय मूल्य
46000 – 31000 = 15000 रु०
दूसरे बाजार का लाभ = 53000 – 36000 = 17000 रु०

प्रश्न 11.
आव्यूह X ज्ञात कीजिए, यदि

हल:

प्रश्न 12.
यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि AB = BA है तो गणितीय आगमन द्वारा सिद्ध कीजिए कि ABⁿ = BⁿA होगा। इसके अतिरिक्त सिद्ध कीजिए कि समस्त n ϵ N के लिए (AB)ⁿ = AⁿBⁿ होगा।
हल:
माना P(n): ABⁿ = BⁿA, जबकि AB = BA
किन्तु n = 1, AB = BA (दिया है)
∴ P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए,
∴ AB^k = B^k A सत्य है।
दोनों ओर B से गुणा करने पर,
L.H.S. = AB^k . B = A (B^k B) = AB^k+1
R.H.S. = (B^k A)B = B^k (AB)
= B^k (BA)
= (B^k B) A = B^k+1A [∵ AB = BA दिया है]
∴ AB^k+1 = B^k+1A
⇒ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए
इसलिए गणितीय · आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है, जबकि n ϵ N
माना P(n): (AB)ⁿ = AⁿBⁿ
n = 1 रखने पर,
L.H.S. = (AB)’ = AB
R.H.S. = A’B’ = AB
P(n), n = 1 के लिए सत्य है।
माना P(n) सत्य है, n = k के लिए.
(AB)^k = A B^k
दोनों पक्षों को AB से गुणा करने पर,
L.H.S. = (AB)^k AB = (AB)^k+1
R.H.S. = A^k B^k . (AB)
= A^k B^k (BA) [∵ AB = BA दिया है।]
= A^k (B^k B)A
= A^k (B^k+1A) [∵ AB^k = B^kA]
= (A^k A)B^k+1 = A^k+1. B^k+1
अतः (AB)^k+1 = A^k+1. B^k+1
∴ P(n) सत्य है, n = k + 1 के लिए, . .
गणितीय आगमन सिद्धान्त के अनुसार P(n), n ϵ N के सभी मानों के लिए सत्य है जबकि n ϵ N.

निम्नलिखित प्रश्नों में सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{\alpha} & {\beta} \\ {\gamma} & {-\alpha}\end{array}\right]\) इस प्रकार है कि A² = I, तो:
(A) 1 + α² + βγ = 0
(B) 1 – α² + βγ = 0
(C) 1 – α² – βγ = 0
(D) 1 + α² + βγ = 0
हल:

α² + βγ = 1 या 1 – α² – βγ = 0
अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 14.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है तो:
(A) A एक विकर्ण आव्यूह है।
(B) A एक शून्य आव्यूह है।
(C) A एक वर्ग आव्यूह है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
सममित आव्यूह में, a_ij = a_ji …(1)
विषम सममित आव्यूह में, a_ij = -a_ji …(2)
सममित और विषम सममित आव्यूह में दोनों गुण होने चाहिए (1) और (2) को जोड़ने पर,
यदि 2a_ij = a_ij – a_ji = 0
⇒ a_ij = 0
a_ij = a_ji 0
∴ वर्ग आव्यूह एक शून्य आव्यूह (zero matrix) होगा।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 15.
यदि A एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि A = A तो (I + A)³ – 7A बराबर है-
(A) A
(B) I – A
(C) I
(D) 3A
हल:
दिया है : A² = A
∵ A³ = A². A
= A.A = A² = A
∴ (I + A)³ – 7A = I³ +3i² A + 3IA² + A³ – 7A
= I³ + 3IA + 3IA² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A² + A³ – 7A
= I + 3A + 3A + A² . A – 7A
= I + 3A + 3A + A – 7A
= 7A – 7A + I
अतः विकल्प (C) सही है।