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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.5

प्रश्न 1 और 2 में प्रत्येक आव्यूह का सहखंडज E (adjoint) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3 और 4 में सत्यापित कीजिए कि A (adj A) = (adj A). A =|A|. I है।
प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5 से 11 में दिए गए प्रत्येक आव्यूहों के व्युत्क्रम (जिनका अस्तित्व हो) ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:


प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {7} \\ {2} & {5}\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ll}{6} & {8} \\ {7} & {9}\end{array}\right]\) है तो सत्यापति कीजिए कि (AB)^-1 = B^-1A^-1 है|
हल:

प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{3} & {1} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\) है तो दर्शाइए कि A² – 5A + 7I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 14.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {2} \\ {1} & {1}\end{array}\right]\) के लिए a और b ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए ताकि A² + aA + bI = 0 हो।
हल:

संगत अवयवों की तुलना करने पर
8 + 2a = 0 ⇒ a = -4
11 + 3a + b = 0 ⇒ b = -11 + 12 = 1
अतः a = -4, b = 1

प्रश्न 15.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {-3} \\ {2} & {-1} & {3}\end{array}\right]\) के लिए दर्शाइए कि A³ – 6A² + 5A + 11I = 0 है। इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:


अब A^-1 ज्ञात करने के लिए गणना
∵ A³ – 6A² + 5A + 11I = 0
दोनों और A^-1 से गुणा करने पर
(A^-1A)A² – 6(A¹ A)A + 5A^-1 A + 11A^-1I = 0
⇒ IA² – 6IA + 51 + 11A^-1 = 0
⇒ A² – 6A + 5I + 11A^-1 = 0
⇒ 11A^-1 = -A² + 6A – 5I

प्रश्न 16.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{2} & {-1} & {1} \\ {-1} & {2} & {-1} \\ {1} & {-1} & {2}\end{array}\right]\), तो सत्यापित कीजिए कि A³ – 6A² + 9A – 4I =0 है तथा इसकी सहायता से A^-1 ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 17.
यदि A, 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो | adj A | का मान है
(A)|4|
(B)| A|²
(C)|A}³
(D) 3| A|
हल:
adj A = | A|^n-1, यहाँ n =3
∴ | adj A = | A²
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
यदि A कोटि 2 का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो det (A^-1) बराबर है
(A) det(A)
(B) \(\frac { 1 }{ det\left( A \right) } \)
(C) 1
(D) 0
हल:
A व्युत्क्रमणीय आव्यूह है ⇒ |A | ≠ 0
∴ AA^-1 = I या |AA^-1| = |I| = 1
या |A || A^-1| = 1
|A^-1| = \(\frac{1}{|A|}\)
⇒ det (A^-1) = \(\frac { 1 }{ det\left( A \right) } \)
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रत्येक में दिए गए शीर्ष बिन्दुओं वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8)
(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8)
हल:
(i) (1, 0), (6, 0), (4, 3)
त्रिभुज का क्षेत्रफल :

= \(\frac{1}{2}\)[1(0 – 3) – 0(6 -4 ) + 1(18 – 0)]
= \(\frac{1}{2}\)[-3 + 18]
= \(\frac{1}{2}\) वर्ग इकाई

(ii) (2, 7), (1, 1), (10, 8) x₁ = 2 y₁ = 7, x₂ = 1, y₂ = 1, x₃ = 10, y₃ = 8

= \(\frac{1}{2}\)[2(1 × 1 – 1 × 8) – 7(1 × 1 – 10 × 1) + 1(1 × 8 – 10 × 1)]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (1 – 8) – 7(1 – 10) + 1(8 – 10)]
= \(\frac{1}{2}\)[2 × (-7) – 7 × (-9) + 1 × (-2)]
= \(\frac{1}{2}\)[-14 + 63 – 2] =\(\frac{1}{2}\)[63 – 16]
= \(\frac{1}{2}\) × 47 =\(\frac{47}{2}\) = 23\(\frac{1}{2}\) वर्ग इकाई

(iii) (-2, -3), (3, 2), (-1, -8) त्रिभुज का क्षेत्रफल

= \(\frac{1}{2}\)[-2(2 + 8) + 3 (3 + 1) + 1(-24 + 2)]
= \(\frac{1}{2}\)[-20 + 12 – 22]
= \(\frac{1}{2}\)[-30] = [30] ऋणात्मक चिन्ह को छोड़ने पर
= 15वर्ग इकाई

प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दु A (a, b + c), B (b, c + a) और C(c, a + b) संरेख हैं।
हल:
यहाँ त्रिभुज के शीर्ष A (a, b+ c),B (b, c + a) और C(c, a + b)
x₁ = a x₂ = b x₃ = c y₁ = b + c y₂ = c + a y₃ = a + b

C₁ तथा C₃ समान हैं।
अतः बिन्दु A, B, C संरेख हैं।

प्रश्न 3.
प्रत्येक में k का मान ज्ञात कीजिए यदि त्रिभुजों का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है, जहाँ शीर्षबिन्दु निम्नलिखित हैं-
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
(ii) (-2, 0), (0, 4), (0, k)
हल:
(i) (k, 0), (4, 0), (0, 2)
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई

⇒ \(\frac{1}{2}\)[k(-2) + 0 + 1(8)] = ±4
⇒ -k + 5 = ±4
⇒ k= 0 या 8

(ii) त्रिभुज के शीर्ष (-2, 0), (0, 4), (0, k)
x₁ = -2, x₂ = 0, x₃ = 0
y₁ = 0, y₂₁ = 4, y₃ = k

±4 = \(\frac{1}{2}\)[-2(4 – k) + 1(0 – 0)]
±8 = -2(4 – k) ⇒ ±8 = k – 8
+ चिह्न लेने पर, 8 = 2k – 8 ⇒ 2k = 16 ∴ k = 8
-चिह्न लेने पर, -8 = 2k – 8 ∴ k = 0

प्रश्न 4.
(i) सारणिकों का प्रयोग करके (1, 2) और (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
(ii) सारणिकों का प्रयोग करके (3, 1) और (9, 3) को मिलाने वाली,रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना बिन्दु A (1, 2) व B(3, 6) से मिलाने वाले रेखाखण्ड पर स्थित बिन्दु P(x, y) हैं।
इसलिए बिन्दु A, B, P संरेख होंगे।
∴ ∆PAB का क्षेत्रफल = 0

⇒ x (2 – 6) – y(1 – 3) + 1(6 – 6) = 0
⇒ -4x + 2y = 0
⇒ 2x – y = 0
अतः अभीष्ट रेखा का समी० 2x – y = 0 है।

(ii) माना कोई बिन्दु (x, y) है।
तो त्रिभुज के शीर्ष (x, y), (3, 1) और (9, 3)

∆ = \(\frac{1}{2}\)[x × (-2) – y(-6) + 1 × 0]
∆ = \(\frac{1}{2}\)[-2x + 6y] = -x + 3y
बिन्दु (x, y), (3, 1), (9, 3) संरेख हैं।
यदि ∆ = 0
∴ 0 = -x + 3y ⇒ x – 3y = 0

प्रश्न 5.
यदि शीर्ष (2, -6), (5, 4) और (k, 4) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 35 वर्ग इकाई है तो k का मान है
(A) 12
(B) -2
(C) -12, -2
(D) 12 ,-2
हल:
त्रिभुज के शीर्ष (2, -6), (5, 4) तथा (k, 4)

±35 = \(\frac{1}{2}\)[2(4 – 4) + 6(5 – k) + 1(20 -4k)]
±35 = \(\frac{1}{2}\) [2 x 0 + 6(5 – k) + 1(20 – 4k)]
±70 = 6(5 – k) + 20 – 4k
±70 = 30 – 6k + 20 – 4k
±70 = 50 = 10k ⇒ ±7 – 5 – k
+ चिह्न लेने पर, 7 = 5 – k
k = 5 – 7 = -2
– चिह्न लेने पर, -7 = 5 – k ⇒ -12 = -k
∴ k = 12
अतः k = -2, 12
अत: विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths BooK Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.2

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि
A = \(\left[\begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {3} & {2}\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{rr}{1} & {3} \\ {-2} & {5}\end{array}\right]\), C = \(\left[\begin{array}{rr}{-2} & {5} \\ {3} & {4}\end{array}\right]\) तो निम्नलिखित ज्ञात कीजिए-
(i) A + B
(ii) A – B
(iii) 3A – C
(iv) AB
(v) BA
हल:

प्रश्न 2.
निम्नलिखित को परिकलित कीजिए-

हल:

प्रश्न 3.
निर्देशित गुणनफल परिकलित कीजिए-

हल:

प्रश्न 4.
यदि

तो (A + B) तथा (B – C) परिकलित कीजिए। साथ ही सत्यापित कीजिए कि A + (B – C) = (A + B) – C
हल:

प्रश्न 5.
यदि

तो 3A – 5B परिकलित कीजिए।
हल:

प्रश्न 6.
सरल कीजिए-

हल:

प्रश्न 7.
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि-
(i) X + Y = \(\left[\begin{array}{ll}{7} & {0} \\ {2} & {5}\end{array}\right]\) तथा X – Y = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right]\)
हल:
दिया है

(ii) 2x + 3y = \(\left[\begin{array}{ll}{2} & {3} \\ {4} & {0}\end{array}\right]\) तथा 3x + 2y = \(\left[\begin{array}{rr}{2} & {-2} \\ {-1} & {5}\end{array}\right]\)

प्रश्न 8.
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि
Y = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {2} \\ {1} & {4}\end{array}\right]\) तथा 2X + Y = \(\left[\begin{array}{rr}{1} & {0} \\ {-3} & {2}\end{array}\right]\) दिया है
हल:

प्रश्न 9.
x तथा y ज्ञात कीजिए. यदि-
\(2\left[\begin{array}{ll}{1} & {3} \\ {0} & {x}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}{y} & {0} \\ {1} & {2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{5} & {6} \\ {1} & {8}\end{array}\right]\)
हल:

संगत अवयवों के गुणांकों की तुलना करने पर,
y + 2 = 5 ⇒ y = 3
तथा 2x + 2 = 8 ⇒ x = 3

प्रश्न 10.
प्रदत्त समीकरण को x, y, z तथा t के लिए हल कीजिए यदि
\(2\left[\begin{array}{ll}{x} & {z} \\ {y} & {t}\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{cc}{1} & {-1} \\ {0} & {2}\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{ll}{3} & {5} \\ {4} & {6}\end{array}\right]\)
हल:

संगत अवयवों के गुणांकों की तुलना करने पर,
2x + 3 = 9 ⇒ x = 3
2y = 12 ⇒ y = 6
तथा 2z – 3 = 15 ⇒ z = 9
2t + 6 = 18 ⇒ t = 6

प्रश्न 11.
यदि x\(\left[\begin{array}{l}{2} \\ {3}\end{array}\right]\) + y\(\left[\begin{array}{r}{-1} \\ {1}\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{c}{10} \\ {5}\end{array}\right]\) है तो x तथा y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:

संगत अवयवों के गुणांक समान रखने पर,
⇒ -2x – y = 10 …(i)
3x + y = 5 …. (ii)
समी० (i) व (ii) को जोड़ने पर,
x = 15
x का मान समी० (ii) में रखने पर,
3 × 15 + y = 5
⇒ y = 5 – 45
y = -40
अतः x = 15, y = -40

प्रश्न 12.
यदि

x, y, z तथा w के मानों को ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 13.
यदि F(x) = \(\left[\begin{array}{ccc}{\cos x} & {-\sin x} & {0} \\ {\sin x} & {\cos x} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]\) है तो सिद्ध कीजिए कि
F(x) F(y) = F(x + y)
हल:
F(x) = \(\left[\begin{array}{ccc}{\cos x} & {-\sin x} & {0} \\ {\sin x} & {\cos x} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]\)

प्रश्न 14.
दशाईए कि-

हल:

प्रश्न 15.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{2} & {0} & {1} \\ {2} & {1} & {3} \\ {1} & {-1} & {0}\end{array}\right]\) है तो A² – 5A + 6I का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 16.
यदि A = \(\) है तो सिद्ध कीजिए कि A³ – 6A² + 7A + 2I = 0
हल:

प्रश्न 17.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {-2} \\ {4} & {-2}\end{array}\right]\) तथा I = \(\left[\begin{array}{ll}{\mathbf{1}} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\mathbf{1}}\end{array}\right]\) एवं
A² = AK – 2I हो तो k ज्ञात कीजिए।
हल:
A = \(\left[\begin{array}{ll}{3} & {-2} \\ {4} & {-2}\end{array}\right]\) तथा I = \(\left[\begin{array}{ll}{\mathbf{1}} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\mathbf{1}}\end{array}\right]\)
दिया है : A² = AK – 2I

संगत अवयवों के गुणांकों की तुलना करने पर,
3k – 2 = 1 ⇒ k = 1
4k = 4 ⇒ k = 1
-2k = -2 ⇒ k = 1
अतः k का मान =1
k = 1

प्रश्न 18.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{0} & {-\tan \frac{\alpha}{2}} \\ {\tan \frac{\alpha}{2}} & {0}\end{array}\right]\) तथा I कोटि 2 का एक तत्समक आव्यूह है तो सिद्ध कीजिए कि
I + A = (I – A)\(\left[\begin{array}{cc}{\cos \alpha} & {-\sin \alpha} \\ {\sin \alpha} & {\cos \alpha}\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 19.
किसी व्यापार संघ के पास 30000 रुपयों का कोष है, जिसे दो भिन्न-भिन्न प्रकार के बांडों में निवेशित करना है। प्रथम बांड पर 5%वार्षिक तथा द्वितीय बांड पर 7% वार्षिक ब्याज प्राप्त होता है। आव्यूह गुणन के प्रयोग द्वारा यह निर्धारित कीजिए कि 30000 रुपयों के कोष को दो प्रकार के बांडों में निवेश करने के लिए किस प्रकार बांटें जिससे व्यापार संघको प्राप्त कुल वार्षिक ब्याज
(i) Rs. 1800 हो।
(ii) Rs. 2000 हो।
हल:
माना 30,000 रुपये के दो भाग क्रमश: x तथा (30000 – x) है।
माना इन्हें 1 × 2 की कोटि वाली आव्यूह A में प्रदर्शित किया मया है, तब
A =[x (30,000 – x)]
प्रथम बांड व द्वितीय बांड पर क्रमश: 5% व 7% वार्षिक है
माना इन्हें 2 × 1 की कोटि की आव्यूह R से प्रदर्शित किया गया है
∴ R = \(\left[\begin{array}{l}{5 / 100} \\ {7 / 100}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{0.05} \\ {0.07}\end{array}\right]\)
(i) ∴ AR = 1800
∴ [x 30,000 – x]\(\left[\begin{array}{l}{0.05} \\ {0.07}\end{array}\right]\) = [1,800]
⇒ [0.05x + (30,000 – x) 0.07] = [1,800]
⇒ 0.05x + (30,000 – x) × 0.07 = 1,800
⇒ 0.05x + 2,100 – 0.07x = 1,800
⇒ -0.02x = -300
⇒ x = \(\frac{300}{0.02}\) = 15,000
अतः प्रथम बांड में जमा धनराशि = 15,000
तथा दूसरे बांड में जमा धनराशि = 30,000 – 15,000
= 15,000 रु०

(ii) पुन: AR = 2,000
[x (30,000 – x] \(\left[\begin{array}{l}{0.05} \\ {0.07}\end{array}\right]\) = [2,000]
⇒ 0.05x + (30,000 – x) × 0.07 = 2000
⇒ 0.05x + 2,100 – 0.07x = 2000
⇒ 0.02x = -100
⇒ x = 5,000
अतः प्रथम बांड में निवेश धनराशि =5,000 रु०
तथा दूसरे बांड में निवेश धनराशि = 25,000 रु०

प्रश्न 20.
किसी स्कूल की पुस्तकों की दुकान में 10 दर्जन रसायन विज्ञान, 8 दर्जन भौतिक विज्ञान तथा 10 दर्जन अर्थशास्त्र की पुस्तकें हैं। इन पुस्तकों का विक्रय मूल्य क्रमशः Rs. 80, Rs. 60 तथा Rs. 40 प्रति पुस्तक है। आव्यूह बीजगणित प्रयोग द्वारा ज्ञात कीजिए कि सभी पुस्तकों को बेचने से दुकान को कुल कितनी धनराशि प्राप्त होगी?
हल:
विद्यालय में पुस्तकों की संख्या निम्न प्रकार है-
रसायन विज्ञान – 10 दर्जन- = 120 पुस्तकें
भौतिक विज्ञान – 8 दर्जन = 96 पुस्तकें
अर्थशास्त्र – 10 दर्जन = 120 पुस्तकें
ड्डसे आव्यूह A = [120 96 120] से व्यक्त करते हैं।
रसायन विज्ञान, भौतिक विज्ञान तथा अर्थशास्त्र की प्रत्येक पुस्तक का विक्रय मूल्य क्रमशः 80 रु०,60 रु० तथा 40 रु० है।
इसे आव्यूह R = \(\left[\begin{array}{l}{80} \\ {60} \\ {40}\end{array}\right]\) से व्यक्त करते हैं।
∴ प्राप्त राशि, AR = [120 96 120] \(\left[\begin{array}{l}{80} \\ {60} \\ {40}\end{array}\right]\)
= 120 × 80 + 96 × 60 + 120 × 40
= [9600 + 5760 + 4800] = [20160]
अतःकुल प्राप्त राशि = 20160 रु०
मान लीजिए कि X, Y, z,W तथा P क्रमशः 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3 तथा px k कोटियों के आव्यूह हैं।

नीचे दिए प्रश्न संख्या 21 तथा 22 में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 21.
PY + WY के परिभाषित होने के लिए n, k तथा p पर क्या प्रतिबन्ध होगा?
(A) k = 3, p = n
(B) k स्वेच्छ है, p = 2
(C) p स्वेच्छ है, k = 3
(D) k = 2, p = 3
हल:
दिया है : आव्यूह : X Y ZWP
कोटियाँ : 2 × n, 3 × k, 2 × p, n × 3, p × k
∴ P की कोटि = p × k, Y की कोटि = 3 × k
∴ PY संभव है यदि k = 3
PY की कोटि = p × k = p × 3
W और Y की कोटियाँ क्रमश: n × 3 और 3 × k = 3 × 3
WY की कोटि =n × 3
PY व WY का योग तभी संभव है जब यह दोनों एक ही कोटि के हों तो
p × 3 = n × 3 = P × n
∴ PY + WY परिभाषित हैं यदि p = n और k = 3
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 22.
यदि n = p, तो आव्यूह 7X – 5Z की कोटि है
(A) p × 2
(B) 2 × n
(C) n × 3
(D) p × n
हल:
आव्यूह x तथा Z की कोटियाँ 2 × n और 2 × p हैं।
आव्यूह 7X – 5Z परिभाषित है यदि x तथा Z एक ही कोटि के हों, क्योंकि p = n दोनों की कोटि 2 × n है।
अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 Triangles Ex 6.3

Question 1.
State which pairs of triangles in the given figures are similar. Write the similarity criterion used by you for answering the question and also write the pairs of similar triangles in the symbolic form.


Solution:
(i) In ∆ABC and ∆PQR,
We have : ∠A = ∠P = 60°
∠B = ∠Q = 80°
∠C = ∠R = 40°
∴ The corresponding angles are equal.
∴ Using the AAA similarity rule,
∆ABC ~ ∆PQR

(ii) In ∆ABC and ∆QRP,

i.e., Using the SSS similarity, ∆ABC ~ ∆QRP

(iii) In ∆LMP and ∆DEF,

∴ Triangles are not similar,

(iv) In ∆MNL and ∆QPR,
\(\frac{M L}{Q R}=\frac{M N}{Q P}\) [\(\frac{1}{2}\) each]
and ∠NML = ∠PQR
∴ Using SAS similarity, we have
∆MNL ~ ∆QPR.

(v) In ∆ABC and ∆FDE,
\(\frac{A B}{D F}=\frac{B C}{E F}\) [\(\frac{1}{2}\) each]
Now, angle between DF and EF is 80°. But angle between AB and BC is unknown.
∴ Triangles are not similar.

(vi) In ∆DEF and ∆PQR,
∠D = ∠P = 70°
[∵ ∠P = 180° – (80° + 30°) = 180° – 110° = 70°]
∠E = ∠Q = 80°
∠F = ∠R = 30° [∵∠F = 180°]
∴ Using the AAA similarity rule,
∆DFE ~ ∆PRQ.

Question 2.
In the figure, ∆ODC ~ ∆OBA, ∠BOC = 125° and ∠CDO = 70°. Find ∠DOC, ∠DCO and ∠OAB.

Solution:
We have, ∠BOC = 125° and ∠CDO = 70°
since, ∠DOC + ∠BOC = 180° [Linear pair]
⇒ ∠DOC = 180° – 125° = 55° ……………… (1)
In ∆DOC,
Using the angle sum property for ∆ODC, we get
∠DOC + ∠ODC + ∠DCO = 180°
⇒ 55° + 70° + ∠DCO = 180°
⇒ ∠DCO = 180° – 55° – 70° = 55°
Again,
∠DOC = ∠BOA ……………. (2) [vertically opposite angles]
and ∠OCD = ∠OAB = 55° ………….. (3)
[corresponding angles of similar triangles]
Thus, from (1), (2) and (3)
∠DOC = 55°, ∠DCO = 55° and ∠OAB = 55°.

Question 3.
Diagonals AC and BD of a trapezium ABCD with AB || DC intersect each other at the point O. Using a similarity criterion for two triangles, show that \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\).
Solution:
We have a trapezium ABCD in which AB || DC. The diagonals AC and BD intersect at O.

In ∆OAB and ∆OCD,
∠OBA = ∠ODC (Alternate angles)
and ∠OAB = ∠OCD(Alternate angles)
Using AA similarity rule, ∆OAB ~ ∆OCD
So, \(\frac{O B}{O D}=\frac{O A}{O C}\) (Ratios ot corresponding sides of the similar triangles)
⇒ \(\frac{O A}{O C}=\frac{O B}{O D}\)

Question 4.
In the figure, \(\frac{Q R}{Q S}=\frac{Q T}{P R}\) and ∠1 = ∠2. show that ∆PQS ~ ∆TQR.

Solution:
In ∆PQR
∵ ∠1 = ∠2 [Given]
∴ PR = QP ……………… (1)
[∵ In a ∆ sides opposite to equal angles are equal]

and ∠SQP = ∠RQT = ∠1
Now, using SAS similarity rule,
∆PQS ~ ∆TQR.

Question 5.
S and T are points on sides PR and QR of ∆PQR such that ∠P = ∠RTS. Show that ∆RPQ ~ ∆RTS.
Solution:
In ∆PQR,
T is a point on QR and S is a point on PR such that ∠RTS = ∠P.

Now in ∆RPQ and ∆RTS,
∠RPQ = ∠RTS [Given]
∠PRQ = ∠TRS [Common]
Using AA similarity, we have ∆RPQ ~ ∆RTS.

Question 6.
In the figure, if ∆ABE ≅ ∆ACD, show that ∆ADE ~ ∆ABC.
Solution:
We have,
∆ABE ≅ ∆ACD
Their corresponding parts are equal, i.e.,
AB = AC, AE = AD


and ∠DAE = ∠BAC (common)
∴ Using the SAS similarity, we have ∆ADE ~ ∆ABC.

Question 7.
In the figure, altitudes AD and CE of ∆ABC intersect each other at the point P. Show that:
(i) ∆AEP ~ ∆CDP
(ii) ∆ABD ~ ∆CBE
(iii) ∆AEP ~ ∆ADB
(iv) ∆PDC ~ ∆BEC

Solution:
We have a ∆ABC in which altitude AD and CE intersect each other at P.
⇒ ∠D = ∠E = 90° …………. (1)
(i) In ∆AEP and ∆CDP,
∠AEP = ∠CDP [From (1)]
∠EPA = ∠DPC [Vertically opp. angles]
∴ Using AA similarity, we get
∆AEP ~ ∆CDP

(ii) In ∆ABD and ∆CBE,
∠ADB = ∠CEB [From (1)]
Also, ∠ABD = ∠CBE [Common]
Using A A similarity, we have
∆ABD ~ ∆CBE

(iii) In ∆AEP and ∆ADB,
∵ ∠AEP = ∠ADB [From (1)]
Also, ∠EAP = ∠DAB [Common]
∴ Using AA similarity, we have
∆AEP ~ ∆ADB

(iv) In ∆PDC and ∆BEC,
∵ ∠PDC = ∠BEC [From (1)]
Also, ∠DCP = ∠ECB [Common]
∴ Using AA similarity, we have
∆PDC ~ ∆BEC

Question 8.
E is a point on the side AD produced of a parallelogram ABCD and BE intersects CD at F. Show that ∆ABE ~ ∆CFB.
Solution:
We have a parallelogram ABCD in which AD is produced to E and BE is joined such that BE intersect CD at F.

Now, in ∆ABE and ∆CFB
∠BAE = ∠FCB [Opp. angles of a || gm are always equal]
∠AEB = ∠CBF [∵ Parallel sides are intersected by the transversal BE]
Now, using AA similarity, we have ∆ABE ~ ∆CFB.

Question 9.

Prove that:
(i) ∆ABC ~ ∆AMP
(ii) \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)
Solution:
We have ∆ABC, right angled at B and ∆AMP, right angled at M.
∴ ∠B = ∠M = 90°
(i) In ∆ABC and ∆AMP,
∠ABC = ∠AMP [From (1)]
and ∠BAC = ∠MAP [Common]
∴ Using AA similarity, we get
∆ABC ~ ∆AMP

(ii) ∵ ∆ABC ~ ∆AMP [As proved above]
∴ Their corresponding sides are proportional.
⇒ \(\frac{C A}{P A}=\frac{B C}{M P}\)

Question 10.
CD and GH are respectively the bisectors of ∠ACB and ∠EGF such that 0 and H lie on sides AB and FE of ∆ABC and ∆EFG respectively. If ∆ABC ~ ∆FEG, show that:
CD AC
(i) \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)
(ii) ∆DCB ~ ∆HGE
(iii) ∆DCA ~ ∆HGF
Solution:
We have, two similar ∆ABC and ∆FEG such that CD and GH are the bisectors of ∠ACB and ∠FGE respectively.

(i) In ∆ACD and ∆FGH,
Since ∆ABC ~ ∆FEG
∠A = ∠F …………….. (1)
and ∠ACB = ∠FGE ⇒ \(\frac{1}{2}\) ∠ACB = \(\frac{1}{2}\) ∠FGE
⇒ ∠ACD = ∠FGH ……………. (2)
From (1) and (2),
∆ACD ~ ∆FGH [AA similarity]
∴ Their corresponding sides are proportional,
∴ \(\frac{C D}{G H}=\frac{A C}{F G}\)

(ii) In ∆DCB and ∆HGE,
Since ∆ABC ~ ∆FEG
⇒ ∠B = ∠E …………….. (1)
and ∠ACB = ∠FGE
∴ \(\frac{1}{2}\)∠ACB = \(\frac{1}{2}\)∠FGE
⇒ ∠DCB = ∠HGE ……………. (2)
From (1) and (2),
∆DCB ~ ∆HGE [AA similarity]

(iii) From (i) part, we get
∆ACD ~ ∆FGH
⇒ ∆DCA ~ ∆HGF

Question 11.
In the figure, E is a point on side CB produced of an isosceles triangle ABC with AB = AC. If AD⊥BCand EF⊥AC, prove that ∆ABD ~ ∆ECF.

Solution:
We have an isosceles ∆ABC in which
AB = AC.
⇒ Angles opposite to them are equal
∠ACB = ∠ABC ……………. (1)
In ∆ABD and ∆ECF,
∠ECF = ∠ABD [from (1)]
and AD⊥BC and EF⊥AC
⇒ ∠ADB = ∠EFC = 90°
∴ ∆ABD ~ ∆ECF [AA similarity]

Question 12.
Sides AB and BC and median AD of a triangle ABC are respectively proportional to sides PQ and QR and median PM of ∆PQR (see figure). Show that ∆ABC ~ ∆PQR.

Solution:
We have ∆ABC and ∆PQR in which AD and PM are medians corresponding to sides BC and QR respectively such that
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{A D}{P M}\)

∴ Using SSS similarity, we have ∆ABD ~ ∆PQM
∴ Their corresponding angles are equal.
⇒ ∠ABD = ∠PQM ⇒ ∠ABC = ∠PQR
Now, in ∆ABC and ∆PQR, \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}\) …………. (1)
Also, ∠ABC = ∠PQR …………… (2)
From (1) and (2),
∆ABC ~ ∆PQR. (SAS similarity)

Question 13.
O is a point on the side BC of a triangle ABC such that ∠ADC = ∠BAC. Show that CA² = CB CD.
Solution:
We have a ∆ABC and a point D on its side BC such that ∠ADC = ∠BAC.

In ∆BAC and ∆ADC,
∵ ∠BAC = ∠ADC [Given]
and ∠BCA = ∠DCA [Common]
Using AA similarity, we have
∆BAC ~ ∆ADC.
∴ Their corresponding sides are proportional.
⇒ \(\frac{C A}{C D}=\frac{C B}{C A}\)
⇒ CA × CA = CB × CD
⇒ CA² = CB × CD

Question 14.
Sides AB and AC and median AD of a triangle ABC are respectively proportional to sides PQ and PR and median PM of another triangle PQR. Show that ∆ABC ~ ∆PQR.
Solution:
Given : ∆ABC and ∆PQR in which AD and PM are medians.
Also, \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}=\frac{A D}{P M}\) …………….. (1)
To Prove: ∆ABC ~ ∆PQR
Construction: Produce AD to E and PM to N such that AD = DE and PM = MN. Join BE, CE, QN and RN.

Proof: Quadrilaterals ABEC and PQNR are parallelograms, since their diagonals bisect each other at point D and M respectively.
⇒ BE = AC and QN = PR

⇒ ∆ABE ~ ∆PQN ⇒ ∠1 = ∠3 …………. (4)
Similarly, we can prove
⇒ ∆ACE ~ ∆PRN ⇒ ∠2 = ∠4 …………….. (5)
From (4) and (5)
⇒ ∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠4
⇒ ∠A = ∠P ………….. (6)
Now, in ∆ABC and ∆PQR, we have
\(\frac{A B}{P Q}=\frac{A C}{P R}\) [From (1)]
and ∠A = ∠P [From (6)]
∴ ∆ABC ~ ∆PQR

Question 15.
A vertical pole of length 6 m casts a shadow 4 m long on the ground and at the same time a tower casts a shadow 28 m long. Find the height of the tower.
Solution:
Let AB = 6 m be the pole and BC = 4 m be its shadow (in right ∆ABC), whereas DE and EE denote the tower and its shadow respectively.
∵ EF = Length of the shadow of the tower = 28 m
and DE = h = Height of the tower

In ∆ABC and ∆DEF, we have ∠B = ∠E = 90°
∠C = ∠F [∵ Angular elevation of the sun at the same time is equal]
∴ Using AA similarity, we have
∆ABC ~ ∆DEF
∴ Their sides are proportional i.e., \(\frac{A B}{D E}=\frac{B C}{E F}\)
⇒ \(\frac{6}{h}=\frac{4}{28}\) ⇒ h = \(\frac{6 \times 28}{4}\) = 42
Thus, the required height of the tower is 42 m.

Question 16.
If MD and PM are medians of triangles ABC and PQR, respectively where, ∆ABC ~ ∆PQR, prove that \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\).
Solution:
We have ∆ABC ~ ∆PQR such that AD and PM are the medians corresponding to the sides BC and QR respectively.

∵ ∆ABC ~ ∆PQR
And the corresponding sides of similar triangles are proportional.
∴ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{B C}{Q R}=\frac{C A}{R P}\) ……………. (1)
∵ Corresponding angles are also equal in two similar triangles.
∴ ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q and ∠C = ∠R …………… (2)
Since, AD and PM are medians.
∴ BC = 2BD and QR = 2QM
∴ From (1) \(\frac{A B}{P Q}=\frac{2 B D}{2 Q M}=\frac{B D}{Q M}\) ………… (3)
And ∠B = ∠Q ⇒ ∠ABD = ∠PQM
∴ From (3) and (4), we have
∆ABD ~ ∆PQM (SAS similarity)
∴ Their corresponding sides are proportional.
⇒ \(\frac{A B}{P Q}=\frac{A D}{P M}\)

In this article, we will share MP Board Class 10th Hindi Book Solutions Chapter 5 कर्मवीर (अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’) Pdf, These solutions are solved subject experts from latest edition books.

MP Board Class 10th Hindi Vasanti Solutions Chapter 5 कर्मवीर (अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’)

कर्मवीर पाठ्य-पुस्तक के प्रश्नोत्तर

कर्मवीर लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर 

प्रश्न 1.
कवि ने कर्मवीर किसे कहा है?
उत्तर-
कवि ने असंभव को संभव कर दिखाने वाले को कर्मवीर कहा है।

प्रश्न 2.
भाग्य के भरोसे कौन नहीं रहता है?
उत्तर-
कर्मवीर भाग्य के भरोसे नहीं रहता है।

प्रश्न 3.
बुरे दिन भी भले कब हो सकते हैं?
उत्तर-
बुरे दिन भी भले तब हो सकते हैं, जब कर्मवीर शीघ्र ही अपने बुरे दिनों को अच्छे दिनों में बदलने में लग जाते हैं।

प्रश्न 4.
‘संपदा मन से करोड़ों की नहीं जो जोड़ते’ का आशय स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
‘संपदा मन से करोड़ों की नहीं जो जोड़ते’ का आशय यह है कि कर्मवीर अपने वर्तमान-भविष्य की तनिक भी चिंता नहीं करते हैं। उन्हें अपने सुख-आराम का कुछ भी ध्यान-ख्याल नहीं होता है। वे तो परोपकार और परमार्थी ही होते हैं।

प्रश्न 5.
‘कर्मवीर’ कविता से आपको क्या प्रेरणा मिलती है?
उत्तर-
‘कर्मवीर’ कविता एक प्रेरक और भाववर्द्धक कविता है। फलस्वरूप इस कविता से हमें अनेक प्रकार की प्ररेणा मिलती है। हमें किसी प्रकार की कठिनाइयों से घबड़ाना नहीं चाहिए। हमें भाग्यवादी नहीं बनना चाहिए। कितना भी कठिन काम क्यों न हो, हमें उसे देखकर घबड़ाना नहीं चाहिए। इस प्रकार की हमें अनेक प्रेरणाएँ प्रस्तुत कविता से मिलती हैं।

कर्मवीर दीर्घ-उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
कर्मवीर मनुष्य की विशेषताएँ लिखिए।।
उत्तर-
देखिए-कविता का सारांश।।

प्रश्न 2.
कर्मवीर मनुष्य के मार्ग में कैसी-कैसी बाधाएँ आती हैं?
उत्तर-
कर्मवीर मनुष्य के मार्ग में अनेक प्रकार की बाधाएँ आती हैं। कभी उनके सामने आकाश को छूने वाले पहाड़ों के शिखर आ जाते हैं। तो कभी आठों पहर अंधेरा से भरे जंगल। उनके सामने कभी विशाल समुद्र की गरजती हुई लहरें और चारों ओर फैली हुई भयानक आग की लपटें आ जाती हैं।

प्रश्न 3.
किसी भी कार्य को बीच में न छोड़ने से क्या लाभ होता है?
उत्तर-
किसी भी कार्य को बीच में न छोड़ने से लाभ यह होता है कि वह कार्य पूरा हो जाता है। इससे बड़ी राहत और खुशी मिलती है।

प्रश्न 4.
कर्मवीर कौन-कौन से बड़े काम करके दिखा देते हैं?
उत्तर-
कर्मवीर अनेक प्रकार के बड़े-बड़े काम करके दिखा देते हैं। वे पर्वतों को काटकर सड़कें बना देते हैं। रेगिस्तान में नदियाँ बहा देते हैं। समुद्र की गहराइयों में बेड़ा चला देते हैं और जंगलों में भी यह मंगल रचा देते हैं।

प्रश्न 5.
‘जंगलों में भी महामंगल रचा देते हैं।’ इस पंक्ति का भाव विस्तार कीजिए।
उत्तर-
‘जंगलों में भी महामंगल रचा देते हैं। इस पंक्ति का भाव यह है कि कर्मवीर बड़े बहादुर होते हैं। उनमें असंभव को संभव कर दिखाने की पूरी क्षमता होती है। इस प्रकार उनके लिए कोई भी चीज़ बड़ी या छोटी नहीं होती है और न तो दुख और न कष्टकर।

कर्मवीर भाषा-अनुशीलन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित मुहावरों का वाक्यों में प्रयोग कीजिए।
फूलना-फलना, आकाश छूना, कलेजा काँपना, मुँह मोड़ना, गगन के तारे तोड़ना, जंगल में मंगल करना।
उत्तर-

प्रश्न 2.
नीचे लिखे शब्दों के पर्यायवाची लिखिए. पुष्प, जल हाथ, भूमि, सूर्य
उत्तर-

प्रश्न 3.
निम्नलिखित शब्दों का संधि-विच्छेद कर नामोल्लेख कीजिए
दुर्गम, उज्ज्वल, उपाध्याय, विद्यार्थी, सदाचार।।
उत्तर-

कर्मवीर योग्यता-विस्तार

प्रश्न 1.
यह कविता कठोर परिश्रम करने की प्रेरणा देती है। इसी भाव पर आधारित अन्य कवियों की कविताएँ खोजकर पढ़िए।

प्रश्न 2.
कर्मवीर की तरह धर्मवीर, दयावीर और दानवीर भी होते हैं। इन तीनों प्रकार के वीरों के चरित्र संकलित कीजिए।

प्रश्न 3.
कर्मवीर एक महत्त्वपूर्ण पत्रिका रही है। इसी प्रकार की मध्यप्रदेश से प्रकाशित हिंदी पत्रिकाओं के नाम लिखिए।
उत्तर-
उपर्युक्त प्रश्नों को छात्र/छात्रा अपने अध्यापक/अध्यापिका की सहायता से हल करें।

कर्मवीर परीक्षोपयोगी अतिरिक्त प्रश्नोत्तर

कर्मवीर योग्यता-विस्तार

प्रश्न (क)
‘कर्मवीर असंभव को संभव कर देते हैं’-यह बात कवि किन पंक्तियों में व्यक्त की है? उन्हें पढ़कर सुनाइए।
उत्तर-
‘कर्मवीर असंभव को संभव कर देते हैं।’ यह बात कवि ने निम्न पंक्तियों में व्यक्त की है चिलचिलाती धूप को जो चाँदनी देवें बना। काम पड़ने पर करें जो शेर का भी सामना॥ जो कि हँस-हँस के चबा लेते हैं लोहे का चना। है कठिन कुछ भी नहीं जिनके है जी में यह ठना॥ कोस कितने ही चलें पर वे कभी थकते नहीं। कौन सी है गाँठ जिसको खोल वे सकते नहीं।

प्रश्न (ख)
कवि के मन में संपन्न देशों की सफलता का कारण क्या है?
उत्तर-
कवि कर्मवीर व्यक्तियों के परिश्रम को संपन्न देशों की सफलता का कारण मानता है। आज जितने भी देश, संपन्न और उन्नत दिखाई देते हैं, वे ऐसे ही संपन्न और उन्नत नहीं हो गए। कर्मवीर, अध्यवसायी और साहसी व्यक्तियों के प्रयत्नों से ही वे उन्नत हुए हैं।

प्रश्न (ग)
किस प्रकार के लोग जीवन में असफल होते हैं?
उत्तर-
निठल्ले, निकम्मे, आलसी, भाग्य भरोसे रहने वाले व्यक्ति जीवन में असफल रहते हैं। जो व्यक्ति काम को मन लगाकर नहीं करते, काम को शुरू करके, उसे बीच में अधूरा छोड़ देते हैं, वे भी जीवन में सफल नहीं हो पाते। जो लोग विघ्न और बाधाओं को देख घबरा जाते हैं, वे भी जीवन में सफल नहीं हो पाते।

प्रश्न (घ)
जीवन में दुखी होकर कौन लोग पश्चात्ताप करते हैं?
उत्तर-
जो लोग आलसी और कर्महीन होते हैं और केवल दिवास्वप्न देखने में ही लगे रहते हैं, वे लोग जीवन में दुखी होकर पश्चात्ताप करते हैं। जो अपना कार्य मन लगाकर नहीं करते और कोई बाधा या विघ्न पड़ने पर अपना कार्य बीच में अधूरा छोड़ देते हैं, वे लोग ही जीवन में दुखी और पश्चात्ताप करते देखे गए हैं।

प्रश्न 3.
रिक्त स्थानों की पूर्ति दिए गए विकल्पों में से उचित शब्द के चयन से कीजिए।
1. कर्मवीर अनेक प्रकार के विघ्न आने पर नहीं ……………..हैं। (घबराते, पछताते)
2. भाग्य के भरोसे रहते हैं. …………। (कर्मवीर, आलसी)
3. करोड़ों की संपदा मन से जोड़ते हैं ………….। (कर्मवीर, सुविधाभोगी)
4. एक बार काम को आरंभ करके बीच में …………………. छोड़ देते हैं। (कर्महीन, – साहसी)
5. कर्मवीरों का गौरवपूर्ण इतिहास है ……………….। (आध्यात्मिक विकास, भौतिक विकास)
उत्तर-
1. घबराते,
2. आलसी,
3. सुविधाभोगी,
4. कर्महीन,
5. भौतिक विकास।

प्रश्न 3.
दिए गए कथनों के लिए सही विकल्प चुनिए

1. देखकर बाधा विविध
(क) पछताते नहीं,
(ख) देखते नहीं,
(ग) मानते नहीं,
(घ) घबराते नहीं।
उत्तर-
(घ) घबराते नहीं।

2. काम कितना हो कठिन, किंतु.
(क) उकताते नहीं,
(ख) समझते नहीं,
(ग) पछताते नहीं,
(घ) करते नहीं।
उत्तर-
(क) उकताते नहीं,

3. घने जंगलों में रहता है अंधेरा
(क) एक पहर,
(ख) दोनों पहर,
(ग) आठों पहर,
(घ) चारों पहर।
उत्तर-
(ग) आठों पहर,

4. आसमान के फूल बातों से नहीं
(क) करते हैं,
(ख) तोड़ते हैं,
(ग) चुनते हैं,
(घ) समझते हैं।
उत्तर-
(ख) तोड़ते हैं,

5. जंगलों में रचा देते हैं
(क) शहर,
(ख) मेला,
(ग) मंगल,
(घ) गाँव।
उत्तर-
(ग) मंगल,

प्रश्न 4.
सही जोड़ी का मिलान कीजिए
दादा कामरेड – सरदारपूर्ण सिंह
रोटी का राग – दिवाकर वर्मा
तुलसी के राम – श्रीमन्नारायण अग्रवाल
चन्दन वन में राम – डॉ. प्रेमभारती
आचरण की सभ्यता – यशपाल
उत्तर-
दादा कामरेड – यशपाल
रोटी का राग – श्रीमन्नारायण अग्रवाल
तुलसी के राम – डॉ. प्रेमभारती
चन्दन वन में आग – दिवाकर वर्मा
आचरण की सभ्यता – सरदारपूर्ण सिंह।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य? वाक्य के आगे लिखिए-
1. ‘हरिऔध’ का पूरा नाम है-अयोध्यासिंह उपाध्याय
2. ‘कर्मवीर’ कविता में कर्म की चेतना है।
3. कर्मवीरों के कभी बुरे दिन नहीं आते हैं।
4. किसी काम को बीच में छोड़ने का लाभ होता है।
5. कर्मवीर हर समय फूले-फले रहते हैं।
उत्तर-
1. सत्य,
2. सत्य,
3. असत्य,
4. असत्य,
5. सत्य

प्रश्न 6.
एक शब्द में उत्तर दीजिए-
1. भाग्य के भरोसे रहना चाहिए।
2. भीड़ में कौन चंचल बनते हैं?
3. क्या कर्मवीर कभी नाकाम होते हैं?
4. क्या कर्मवीर काम को आरंभ करके बीच में छोड़ देते हैं?
5. कर्मवीरों ने किसकी सारी क्रिया निकाली है?
उत्तर-
1. नहीं,
2. कर्मवीर,
3. नहीं,
4. नहीं,
5. कर्मवीर।

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर
(क) ‘कर्मवीर’ कविता में किसका उल्लेख है?
उत्तर-
‘कर्मवीर’ कविता में कर्मवीरों का उल्लेख है।

(ख) विघ्नों के बार-बार आने पर कर्मवीर क्या करते हैं?
उत्तर-
विघ्नों के बार-बार आने पर कर्मवीर उनसे घबड़ाते नहीं हैं, अपितु उनका डटकर सामना करते हैं।

(ग) घने जंगल में क्या रहता है?
उत्तर-
घने जंगल में आठों पहर घना अंधेरा रहता है।

कर्मवीर कवि-परिचय

जीवन-परिचय-अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’ का जन्म सन् 1865 ई. में उत्तर प्रदेश के आज़मगढ़ जिले के निज़ामाबाद कस्बे में हुआ था। नार्मल की परीक्षा पास कर उन्होंने अध्यापन का कार्य शुरू कर दिया था। कई वर्ष तक वे कानूनगो के पद पर भी कार्य करते रहे।

सरकारी नौकरी से अवकाश ग्रहण कर उन्होंने हिंदू विश्वविद्यालय वाराणसी में अवैतनिक अध्यापक के रूप में कार्य किया। वे उर्दू, फारसी और संस्कृत के विद्वान थे। स्वाध्याय द्वारा ही उन्होंने इन भाषाओं का ज्ञान प्राप्त किया है। सन् 1945 ई. में उनका निधन हो गया।

प्रमुख रचनाएँ- प्रियप्रवास, वैदेही वनवास पारिजात, रसकलश, चोखे-चौपदे आदि अनेक ग्रंथों की उन्होंने रचना की थी।

भाषा-शैली-कविवर अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’ की भाषा-शैली में प्रवाह और ओज है। उसमें भावों का जैसा उच्चस्तरीय प्रवाह है, वैसे ही शब्दों के चुनाव भी। दूसरे शब्दों में, यह कि कविवर ‘हरिऔध’ की भाषा की शब्दावली तत्सम शब्दों की है। ऐसे तत्सम शब्द उनकी भाषा के हैं जो बहुत प्रचलित होकर अपने अर्थ-भाव को गम्भीरता के साथ व्यक्त करते हैं। इस प्रकार के शब्दों से ढली हुई शैली सरल, चलती-फिरती और भावपूर्ण है। उसमें गीत, प्रभाव और अभिप्राय की त्रिवेणी प्रवाहित हुई है।

साहित्य में स्थान-अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’ आधुनिक युग के मूर्धन्य कवियों में गिने जाते हैं। खड़ी बोली और ब्रजभाषा दोनों पर ही उनका समान अधिकार था। उनकी रचनाओं में एक ओर सरल हिन्दी का सौन्दर्य देखने को मिलता है तो दूसरी ओर समास युक्त तत्सम शब्दों का सुन्दर प्रयोग भी दिखाई देता है। मुहावरों और बोल-चाल के शब्दों का सुंदर प्रयोग भी उनके काव्य में उपलब्ध है। ‘प्रिय-प्रवास’ उनका लोकप्रिय महाकाव्य है। इसमें उन्होंने श्रीकृष्ण को लोकनायक के रूप में चित्रित किया है, अवतार के रूप में नहीं।

कर्मवीर कविता का सारांश

अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’ ने अपनी कविता कर्मवीर में परिश्रमी, साहसी और वीरतापूर्ण कार्य करने वाले व्यक्तियों का गुणगान किया है। सच्चा कर्मवीर व्यक्ति विघ्न और बाधाओं से नहीं घबराता। कठिन-से-कठिन कार्य को भी वह हँसते-हँसते पूरा कर लेता है। बड़े-से-बड़े संकट भी उसे अपने काम से विचलित नहीं कर सकता। वह जिस काम को आरम्भ करता है उसे समाप्त करके ही छोड़ता है। वह किसी कार्य को बीच में अधूरा नहीं छोड़ता।ऐसे कर्मवीर व्यक्तियों से ही देश और मानव-जाति का कल्याण होगा।

कर्मवीर संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

1. देखकर वाधा विविध, बहुत विघ्न घबराते नहीं।
रह भरोसे भाग के दुख भोग पछताते नहीं।
काम कितना ही कठिन हो किंतु उकताते नहीं।
भीड़ में चंचल बने जो वीर दिखलाते नहीं॥
हो गए इक आन में उनके बुरे दिन भी भले।
सब जगह सब काल में वे ही मिले फूले-फले।

शब्दार्थ-बाधा-रुकावट। विविध-अनेक प्रकार के। विघ्न-बाधा। उकताते-तंग आते, ऊबते। इक आन में शीघ्र ही। फूले-फले-सम्पन्न, खुशहाल।

सन्दर्भ-प्रस्तुत पद्यांश हमारी पाठ्य-पुस्तक ‘हिंदी सामान्य’ में संकलित अयोध्यासिंह उपाध्याय विरचित ‘कर्मवीर’ कविता से है।

प्रसंग-इसमें कविवर अयोध्यासिंह उपाध्याय ‘हरिऔध’ ने कर्मवीर व्यक्तियों के लक्षणों और उनकी सफलता को स्पष्ट किया है।

व्याख्या-कवि कर्मवीर व्यक्तियों की विशेषताओं का बखान करता हुआ कहता है कि जो व्यक्ति अनेक प्रकार की बाधाओं और विघ्नों को देखकर नहीं घबराते और भाग्य के भरोसे पर ही अपने-आपको नहीं छोड़ देते, वे वीर होते हैं। जो वीर व्यक्ति कठिन-से-कठिन काम को भी मन लगाकर करते हैं, काम करने से ऊबते नहीं वे जीवन में सफलता प्राप्त करते हैं।
जो व्यक्ति बहुत-से लोगों के बीच धीरतापूर्वक व्यवहार करते हैं, जो चंचलता प्रकट नहीं करते और अपना काम निश्चल होकर करते रहते हैं, वे शीघ्र की अपने बुरे दिनों को भी अच्छे दिनों में बदलने में सफल होते हैं। ऐसे ही कर्मवीर व्यक्ति सब स्थानों पर सम्पन्न और खुशहाल मिलते हैं। सभी कालों में ऐसे ही व्यक्तियों का बोलबाला रहता है।

विशेष-
1. सहज और सरस भाषा में कर्मवीर व्यक्तियों की विशेषताएँ स्पष्ट की गई हैं।
2. यह अंश वीर रस में प्रवाहित है।

सौन्दर्य बोध पर आधारित प्रश्नोत्तर

(क) भाव-सौन्दर्य

प्रश्न-1. उपर्युक्त पद्यांश का भाव-सौन्दर्य स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश की भाव-योजना बड़ी ही ओजस्वी और प्रेरक है। इससे सोए हुए भाव अचानक फड़क उठते हैं। कुछ कर गुजरने की तमन्ना होने लगती है। पुरुषार्थ की तरंगें जोर मारने लगती हैं। दूसरी ओर कायरों की अकर्मता की धिक्कार भी सुनाई देती है। इस प्रकार प्रस्तुत पद्यांश का भाव-सौन्दर्य अधिक प्रशंसनीय है।

(ख) शिल्प-सौन्दर्य

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश के शिल्प-सौन्दर्य पर प्रकाश डालिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश का शिल्प-सौन्दर्य तत्सम और तद्भव शब्दों की योजना से प्रस्तुत प्रेरक भावों से भरा हुआ है। अनुप्रास अलंकार से अलंकृत और मुहावरों से मंडित यह पद्यांश अपने शिल्प के सौंदर्य को विशेष रूप से आकर्षित कर रहा है।

विषय-वस्तु पर आधारित प्रश्नोत्तर

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का आशय स्पष्ट किजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश में कर्मवीरों की कर्मवीरता की विशेषता को रेखांकित किया गया है। कर्मवीरों की जिंदगी उनके कर्म के वैभव पर आधारित होती है। इसे बखूबी स्पष्ट करने का प्रयास किया गया है।

2. व्योम को छूते हुए दुर्गम पहाड़ों के शिखर।
वे घने जंगल जहाँ रहता है तम आठों पहर॥
गरजती जल-राशि की उठती हुई ऊँची लहर।
आग की भयदायिनी फैली दिशाओं में लवर।
ये कँपा सकती कभी जिसके कलेजे को नहीं।
भूलकर भी वह नहीं नाकाम रहता है कहीं।

शब्दार्थ-व्योम-आकाश। दुर्गम-जिन्हें पार करना कठिन हो। पहर-तीन घंटे का एक पहर होता है। जल-राशि-सागर। भयदायिनी-भय पैदा करने वाली, डरावनी। लवर-आग की लपेट, ज्वाला। कलेजा-मन, हृदय। नाकाम-असफ़ल। कलेजा कंपाना-डराना।

संदर्भ-पूर्ववत्। प्रसंग-इसमें कवि ने कर्मवीर की विशेषताओं का चित्रण किया है।

व्याख्या-ऐसे साहसी, परिश्रमी और कर्मवीर व्यक्ति जो साहसपूर्वक अपना काम करने में लगे रहते हैं, कभी भी अपने कार्य में असफल नहीं होते।

आकाश को छूने वाली पर्वत की ऊँची-ऊँची चोटियाँ जहाँ चढ़ना बहुत कठिन होता है, और वे घने जंगल जहाँ आठों पहर अंधेरा रहता है। दिन में सूर्य की किरणें भी जहाँ नहीं पहुँच पाती ऐसे स्थानों पर भी जो कर्मवीर पहुँच जाते हैं, वे कभी भी अपने कार्य में विफल नहीं होते।

विशाल सागर की ज़ोर-ज़ोर से गर्जन करती लहरें और चारों ओर फैली हुई भयानक आग की लपटें जिस कर्मवीर के हृदय को विचलित नहीं कर पातीं, वह कर्मवीर अपने कार्य में कभी नाकाम नहीं रहता।

भाव यह है कि जो कर्मवीर संकटों का सामना करने से नहीं घबराते और अपना कार्य परिश्रम और ईमानदारी के साथ करते रहते हैं, वे जीवन में सदा सफल होते हैं। वे ही अपना लक्ष्य प्राप्त करने में सफल होते हैं।

विशेष-
1. कर्मवीर कठिन-से-कठिन कार्य भी सफलतापूर्वक करते हैं। इस तथ्य को प्रेरक रूप दिया गया है।
2. शैली चित्रमयी है।

सौन्दर्य-बोध पर आधारित प्रश्नोत्तर

(क) भाव-सौन्दर्य

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का भाव-सौन्दर्य स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश का भाव-सौन्दर्य पुष्ट भावों से भरा हुआ है। कर्मवीरों की कर्मवीरता की वास्तविकता की सुन्दर झाँकी प्रस्तुत की गई है। इससे प्रस्तुत पद्यांश रोचक और भाववर्द्धक रूप में प्रस्तुत होने के फलस्वरूप अधिक महत्त्वपूर्ण बन गया है।

(ख) शिल्प-सौन्दर्य

प्रश्न-2.
उपर्युक्त पद्यांश के शिल्प-सौन्दर्य स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश की भाव-भाषा-ओजस्वी और उत्साहवर्द्धक है। मुहावरों की झड़ी लगाकर वीररस का प्रवाह अद्भुत रूप में है। मिश्रित शब्द-प्रयोग से कथ्य . का तथ्य सहज रूप में स्पष्ट हो रहा है। बिम्ब और प्रतीक यथास्थान हैं।

विषय-वस्तु पर आधारित प्रश्नोत्तर

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का आशय स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश में कर्मवीरों की असाधारण और बेजोड़ कर्मवीरता को प्रकाशित किया गया है। उनके कार्य स्वयं के लिए नहीं अपितु सभी के लिए सुखद और अपेक्षित होते हैं। इस आधार पर वे हर जगह और हर समय सम्मानित और प्रतिष्ठित होते हैं।

3. काम को आरंभ करके यों नहीं जो छोड़ते।
सामना करके नहीं जो भूल कर मुँह मोड़ते॥
जो गगन के फूल बातों से वृथा नहीं तोड़ते।
सम्पदा मन से करोड़ों की नहीं जो जोड़ते॥
बन गया हीरा उन्हीं के हाथ से है कारबन।
काँच को करके दिखा देते हैं वे उज्ज्वल रतन॥

शब्दार्थ-सामना करना-मुकाबला करना। मुँह मोड़ना-पीछे हटना। गगन के फूल बातों से तोड़ना-केवल बातें करना, दिवा स्वप्न देखना। मन से करोड़ों की संपदा जोड़ना-असंभव कल्पनाएँ करना। कारबन-कोयला। काँच-शीशा। उज्ज्वल रतन-चमकीला, मूल्यवान रत्न।

संदर्भ-पूर्ववत्।

प्रसंग-कवि ने कर्मवीर व्यक्तियों की सफलताओं का सजीव चित्र उतारा है।

व्याख्या-कर्मवीर व्यक्ति काम आरंभ करके उसे बिना किसी कारण के बीच में अधूरा नहीं छोड़ते। वे काम या तो आरंभ ही नहीं करते और यदि काम आरंभ कर देते हैं तो उसे पूरा करके ही छोड़ते हैं।

यदि ऐसे कर्मवीर व्यक्ति एक बार किसी बाधा या संकट का सामना करने का निश्चय कर लेते हैं तो वे भूलकर भी मुँह नहीं मोड़ते। वे साहसपूर्वक सामने आई बाधाओं, कठिनाइयों आदि को दूर करके ही शान्त होते हैं।

कर्मवीर व्यक्ति केवल बातें-ही-बातें नहीं करते। वे काम में विश्वास रखते हैं। ऐसे व्यक्ति ऐसी कल्पना ही नहीं करते जो असंभव हो। वे ख्याली पुलाव नहीं पकाते। ऐसे साहसी कर्मवीर व्यक्तियों के हाथ में पड़ा हुआ कोयला भी हीरा बन जाता है। काँच को भी वे मूल्यवान रत्न में बदल देते हैं। कर्मवीर व्यक्ति अपने परिश्रम से मूल्यहीन वस्तु को मूल्यवान बना देते हैं।

विशेष-
1. भाषा सरल और भावपूर्ण है।
2. सामना करना, गगन के फूल बातों से तोड़ना, मुँह मोड़ना जैसे मुहावरों का सुंदर प्रयोग है।
3. भाषा भावानुरूप है।

सौन्दर्य-बोध पर आधारित प्रश्नोत्तर

(क) भाव-सौंदर्य

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का भाव-सौन्दर्य स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश की भाव-सौंदर्य धारा प्रवाह है। उसमें स्वस्थता, ओजस्विता, तरंगिता, उत्साहवर्द्धकता जैसी अनूठी और हृदयस्पर्शी विशेषताओं को देखा जा सकता · है। इससे भावों की क्रमबद्धता और उपयुक्ता सही रूप में प्रस्तुत हुई है।

(ख) शिल्प-सौंदर्य

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का भाव-सौन्दर्य पर प्रकाश डालिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश का शिल्प-सौन्दर्य की उपयुक्तता इसकी भाषा-शैली, बिम्ब-विधान, प्रतीक-योजना आदि से परिपुष्ट है। वीर रस के प्रवाह को बढ़ाने वाली भाषा मिश्रित है, तो शैली चित्रात्मक और भावात्मक दोनों ही है।

विषय-वस्तु पर आधारित प्रश्नोत्तर

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का आशय स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश में कर्मवीरों की कर्मवीरता को सामने लाने का प्रयास किया। गया है। कर्मवीर अपने कर्म के प्रति अडिग और अटल होते हैं। वे अपने कर्म-पथ से कभी पीछे नहीं हटते हैं। उनका हर कदम स्वयं के लिए न होकर औरों के लिए ही होता है। इस प्रकार वे अपनी अद्भुत मिसाल कायम करते रहते हैं।

4. पर्वतों को काटकर सड़कें बना देते हैं वे।
सैंकड़ों मरुभूमि में नदियाँ बहा देते हैं वे॥
गर्भ में जल-राशि के बेड़ा चला देते हैं वे।
जंगलों में भी महा-मंगल रचा देते हैं वे॥
भेद नभ-तल का उन्होंने बहुत बतला दिया।
है उन्होंने ही निकाली तार की सारी क्रिया।।

शब्दार्थ-पर्वतों को काट कर सड़कें बनाना-कठिन कार्य करना। मरुभूमि-रेगिस्तान, रेतीली, अनुपजाऊ भूमि। जल-राशि-सागर। बेड़ा-जहाजों या नावों का समूह। जंगल में मंगल रचना-निर्जन स्थान में भी उत्सव मनाना (चहल-पहल होना)। भेद बतलाना-रहस्य स्पष्ट करना। नभ-तल-आकाश और पृथ्वी। तार क्रिया-तार से किए जाने वाले काम।

संदर्भ-पूर्ववत्।

प्रसंग-इसमें ‘हरिऔध’ जी ने यह स्पष्ट किया है कि ‘कर्मवीर’ के प्रयत्नों के फलस्वरूप ही बड़े-बड़े कार्य हुए हैं।

व्याख्या-पर्वतों को काटकर वहाँ सड़कें बना देना सरल कार्य नहीं। पर जो लोग ऐसा कार्य करते हैं, वे ही संसार में महान कार्य करने में सफल होते हैं। ऐसे कर्मवीर और साहसी व्यक्ति रेगिस्तान में भी नदियों की धारा को लाने में सफल होते हैं।

कर्मवीर व्यक्ति विशाल और गहरे सागरों में जहाजों के बेड़े चलाने में समर्थ होते हैं। ऐसे व्यक्ति ही जंगलों में भी चहल-पहल और धूम-धाम पचा देते हैं। निर्जन स्थानों पर भी ऐसे व्यक्ति उत्सव का वातावरण पैदा कर देते हैं।

साहसी, कर्मवीर व्यक्तियों के परिश्रम के फलस्वरूप ही नभ और पृथ्वी से संबंधित अनेक रहस्यों का पता चल पाया है। तार के माध्यम से कई नए-नए कार्य किए जाने लगे हैं। दूरदर्शन, रेडियो, बिजली, टेलीफोन आदि का आविष्कार तार की क्रियाओं का परिणाम है।

स्पष्ट है कि संसार के रूप में परिवर्तन लाने का श्रेय कर्मवीर व्यक्तियों को ही जाता है।

विशेष-
1. सरल और प्रवाहमय भाषा का सुंदर प्रयोग है।
2. कर्मवीर व्यक्तियों के कार्यों का सटीक चित्रण है।
3. कवि का भाषा पर पूर्ण अधिकार स्पष्ट दिखाई देता है।

सौन्दर्य-बोध पर आधारित प्रश्नोत्तर

(क) भाव-सौंदर्य

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का भाव-सौन्दर्य स्पष्ट कीजिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश का भावधारा प्रवाह है, सरस है और उत्साहवर्द्धक है। कर्मवीरों की विशेषताओं को स्वाभाविक रूप में प्रस्तुत करने की भाव-योजना लाक्षयिक है। इस प्रकार प्रस्तुत हुआ भाव-सौंदर्य प्रशंसनीय है।

(ख) शिल्प-सौंदर्य

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश के शिल्प-सौन्दर्य पर प्रकाश डालिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश का शिल्प-सौन्दर्य अद्भुत कर्मवीरता को रेखांकित करने में समर्थ है। तत्सम और तद्भव दोनों ही शब्द साथ-साथ प्रयुक्त हुए हैं। भावात्मक और चित्रात्मक शैली वीर रस के रस से मग्न हुई आकर्षक लग रही है।

विषय-वस्तु पर आधारित प्रश्नोत्तर

प्रश्न-1.
उपर्युक्त पद्यांश का आशय लिखिए।
उत्तर-
उपर्युक्त पद्यांश में कर्मवीर किस प्रकार असाधारण, असंभव, अद्भुत और बेजोड़ कर्म करके अपनी वीरता का परिचय देते हैं, इसे सुस्पष्ट करने का प्रयास किया गया है। इससे उनके प्रेरक स्वरूप को भी प्रस्तुत करने के आशय को अस्वीकारा नहीं जा सकता है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.2

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = \(\frac{1}{x}\) द्वारा परिभाषित फलन f : R_* → R_* एकैकी तथा आच्छादक है, जहाँ R_* सभी ऋणेत्तर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यदि प्रांत R_* को N से बदल दिया जाए, जब कि सहप्रांत पूर्ववत R. ही रहे, तो भी क्या यह परिणाम सत्य होगा?
हल:
दिया है फलन f(x) = \(\frac{1}{x}\)
यदि f(x₁) = f(x₂)

इसलिए f आच्छादक है।
अतः f : R_* →R_*, एकैकी व आच्छादक है।
यदि R_* को N से बदल दिया जाए तथा सहप्रांत (co – domain) पूर्वत: R_* है तब,
f : N →R_*
माना f(n₁) = f(n₂)
⇒ \(\frac{1}{n_{1}} = \frac{1}{n_{2}} \Rightarrow n_{1} = n_{2}\) (जहाँ n₁, n₂ % N)
∴ f एकैक है
परन्तु R_* में प्रत्येक वास्तविक संख्या का पूर्वत प्रतिबिम्ब (Preimage) प्रांत N में नहीं होगा
जैसे- \(\frac{1}{5 / 7} = \frac{7}{5} \notin N\)
∴ f आच्छादक (onto) नहीं है।
अतः परिणाम सत्य नहीं होगा।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित फलनों की एकैक (Injective) तथा आच्छादी (Surjective) गुणों की जाँच कीजिए :
(i) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f: N →N फलन है।
(ii) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f: Z → Z फलन है।
(iii) f (x) = x² द्वारा प्रदत्त f: R → R फलन है।
(iv) f (x) = x³ द्वारा प्रदत्त f: N →N फलन है।
(v) f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त f: Z → Z फलन है।
हल
(i) यहाँ f (x) = x² और f : N → N
(a) f(x¹) = f(x²) ⇒ x²₁ = x²₂ ⇒ x₁ = x₂, x₂ % N
∴ f एकैकी है।
(b) परन्तु सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है। जैसे, माना 3 सहप्रान्त में है तो 3 प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है। अतः । एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

(ii) f: Z → Z, जबकि f(x) = x²
(a) f(-1) = f(1) = 1 ⇒ -1 और 1 का प्रतिबिम्ब भिन्न नहीं है।
∴ f एकैकी नहीं है।
(b) सहप्रान्त में ऐसे अवयव हैं जो प्रान्त के किसी अवयव में प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे-3 सहप्रान्त के, 3 प्रान्त के किसी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः एकैकी नहीं है और न ही आच्छादक है।

(iii) f: R →R, यदि f(x) = x²
(a) (-1)² = 1 ⇒ f(-1) = f(1)
अतः -1 और -1 का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ एकैकी नहीं है।
(b) -2 सहप्रान्त में है परन्तु यह प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
अतः f आच्छादक नहीं है।
∴ f तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

(iv) f: N → N, यदि f(x) = x³
(a) f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁³ = x₂³ ⇒ x₁ = x₂
प्रत्येक x % N का एक प्रतिबिम्ब है।
∴ f एकैकी है।

(b) सहप्रान्त के बहुत से ऐसे अवयव हैं जिनमें प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे-2, 3, 4, …… ये प्रान्त के किसी भी अवयव के प्रतिबिम्ब नहीं हैं।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f एकैकी है, परन्तु आच्छादक नहीं है।

(v) f: Z → Z, यदि f(x) = x³
(a) f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁³ = x₂³ ⇒ x₁ = x₂
∴ f एकैकी है।

(b) f के सहप्रान्त में बहुत से अवयव हैं जो प्रान्त में किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं हैं। जैसे–2, 3,
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है।

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन f : R → R_* , न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ [x], x से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक को निरूपित करता है।
हल
फलन f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) = [x]
यदि x = 1.1 तो f(1.1) = 1 (∵ 1, 1.1 कम पूर्णांक है)
तथा f(1.3) = 1
∵ 1.1 व 1.3 के प्रतिबिम्ब बराबर हैं।
∴ f एकैकी नहीं है।
x % R के लिए प्रान्त (domain) की प्रत्येक अवयव का सहडोमेन (Co-domain) में प्रतिबिम्ब होगा परन्तु सह प्रान्त के प्रत्येक अवयव का पूर्व प्रतिबिम्ब (Pre image), प्रान्त में नहीं होगा।
इसलिए । आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = |x| द्वारा प्रदत्त मापांक फलन f : R → R, न तो एकैकी है और न आच्छादक है, जहाँ |x| बराबर x, यदि धन या शून्य है तथा| |x| बराबर -x, यदि x ऋण है।
हल
दिया है
f : R → R तथा f(x) = |x|
यदि x = 1 तथा f(1) = 1
यदि x = -1 तब f(-1) = 1
∵ 1 और -1 दोनों का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ f एकैकी नहीं है।
∵ सहडोमेन (Co-domain) के ऋणात्मक अवयव का कोई भी पूर्व प्रतिबिम्ब (Pre image) डोमेन (domain) में नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि

द्वारा प्रदत्त चिन्ह फलन न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल:
f : R → R इस प्रकार परिभाषित है कि

∴ f(1) = 1 तथा f(2) = 1
∵ 1 व 2 का प्रतिबिम्ब समान (1) है।
पुनः x > 0 के लिए
f(x₁) = f(x₂) = 1 जहाँ x₁ ≠ x₂
इसी प्रकार x < 0 के लिए
f(x₁) = f(x₂) = -1 जहाँ x₁ ≠ x₂
∴ f एकैकी नहीं है।
सहप्रान्त (Co-domain) के अवयव -1, 0, 1 का पूर्व प्रतिबिम्ब (Pre image) डोमेन (domain) में नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः f न तो एकैकी है और न ही आच्छादक है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} तथा f = {(1, 4),(2, 5),(3, 6)}A से B तक एक फलन है। सिद्ध कीजिए कि f एकैकी है।
हल
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7}
तथा f = {(1, 4),(2, 5), (3, 6)}
चित्र के अनुसार A के प्रत्येक अवयव का प्रतिबिम्ब B में है।
इसलिए f एकैकी है।

प्रश्न 7.
निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति में बतलाइए कि क्या दिए हुए फलन एकैकी, आच्छादक अथवा एकैकी आच्छादी (bijective) हैं। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
(i) f(x) = 3 – 4x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है।
(ii) f(x) = 1+ x² द्वारा परिभाषित फलन f: R →R है।
हल
(i) यहाँ f: R → R, यदि f(x) = 3 – 4x
(a) f(x₁) = f(x₂) ⇒ 3 – 4x₁ = 3 – 4x₂ = x₁ ⇒ x₂
अत: f एकैकी है।
(b) f(x) = y = 3 – 4x
∴ x = \(\frac{3-y}{4}\)
y के प्रत्येक मान के लिए एक ही मान है।
सहप्रान्त में प्रत्येक प्रान्त के एक अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

(ii) f : R → R, यदि f(x) = 1 + x²
(a) f(-1) = 1 + 1 = 2 f(1) = 1 + 1 = 2
f(-1) = f(1)
-1 और 1 दोनों का एक प्रतिबिम्ब है।
∴ f एकैकी नहीं है।..
(b) सहप्रान्त की कोई भी ऋणात्मक संख्या प्रान्त के किसी भी अवयव का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अतः एकैकी तथा आच्छादक नहीं है।

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A तथा B दो समुच्चय हैं। सिद्ध कीजिए कि f: A × B → B × A, इस प्रकार हैं कि f (a, b) = (b, a) एक एकैकी आच्छादी (bijective) फलन है।
उत्तर
हल
यहाँ f = (A × B)→ (B × A), यदि f(a, b) = (b, a)
(a) f(a₁, b₁) = f(a₂, b₂) ⇒ (b₁, a₁) = (b₂, a₂)
∴ b₁ = b₂, और a₁ = a₂
अत: f एकैकी है।

(b) सहप्रान्त का सदस्य (p, q) प्रान्त में (g, p) का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि समस्त n % N के लिए,

द्वारा परिभाषित एक फलन f: N → N है। बतलाइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादी है। अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल
फलन f: N → N इस प्रकार परिभाषित है कि

∵ प्रान्त में स्थित अवयव 1 व 2 के प्रतिबिम्ब सहप्रान्त में एक ‘1’ ही है।
∴ f एकैक नहीं है।
इसलिए f आच्छादी नहीं है।
पुनः सह प्रान्त के प्रत्येक अवयव की Pre image प्रान्त में स्थित है।
इसलिए f आच्छादक है।
अतः f एकैक नहीं है परन्तु आच्छादक है। इसलिए f एकैकी आच्छादती (bijective) नहीं है।

प्रश्न 10.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है f(x) = \(\left(\frac{x-2}{x-3}\right)\) द्वारा परिभाषित फलन f: A → B पर विचार कीजिए। क्या एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल
f: A → B, जहाँ A = R – {3}, B = R – {1},
f इस प्रकार परिभाषित है कि

⇒ y के प्रत्येक मान के लिए प्रांत (domain) में Pre image x = \(\frac{3 y-2}{y-1}\) स्थित है।
इसलिए f आच्छादक है।
अतः f एकैक तथा आच्छादक है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए f: R → R; f (x) = x⁴ द्वारा परिभाषित है। सही उत्तर का चयन कीजिए।
(A) f एकैकी आच्छादक है। (B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकैकी है किन्तु आच्छादक नहीं है, (D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
हल
यहाँ f: R → R, यदि f (x) = x⁴
(a) f(-1) = (-1)⁴ = 1, f(1) = 1⁴ = 1
f(-1) = f(1)
-1 और 1 का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ f एकैकी नहीं है।

(b) सहप्रान्त का -1 प्रान्त के किसी भी सदस्य का प्रतिबिम्ब नहीं है।
∴ f आच्छादक नहीं है।
अत: f एकैकी और आच्छादक नहीं है।
अतः विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 12.
मान लीजिए कि f (x) = 3x द्वारा परिभाषित फलन f: R → R है। सही उत्तर चुनिए :
(A) f एकैकी आच्छादक है
(B) f बहुएक आच्छादक है
(C) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(D) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
हल
यहाँ f :R → R, f(x) = 3x द्वारा परिभाषित किया गया है।
(a) f(x₁) = f(x₂) = 3x₁ = 3x₂
∴ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।

(b) माना y = 3x
∴ x = \(\frac{y}{3}\)
y के प्रत्येक मान के लिए x का मान निम्न है।
∴ आच्छादक है।
अतः f एकैकी तथा आच्छादक है।
अतः विकल्प (A) सही है।

In this article, we will share MP Board Class 8 Hindi Book Solutions Sugam Bharti विविध प्रश्नावली 3 Pdf, These solutions are solved subject experts from the latest edition books.

MP Board Class 8th Hindi Sugam Bharti Solutions विविध प्रश्नावली 3

प्रश्न 1.
सही जोड़ी बनाइए
(अ) अलगू चौधरी ने कहा – 1. बुढ़िया न जाने कब तक जिएगी।
(ब) जुम्मन की पत्नी ने कहा – 2. दोस्ती के लिए कोई अपना ईमान नहीं बेचता।
(स) मौसी ने कहा – 3. रुपये क्या यहाँ फलते
(द) जुम्मन ने कहा – 4. जुम्मन मेरा मित्र है।
उत्तर-
(अ) – 4
(ब) – 1
(स) – 2
(द) – 3

प्रश्न 2.
सही शब्द चुनकर रिक्त स्थान की पूर्ति कीजिए

(अ) शारीरिक रूप से स्वस्थ रहने के लिए शरीर के आंतरिक एवं बाह्य ……………….का स्वस्थ रहना अनिवार्य है। (अंगों/रंगों)
(ब) दोपहर का समय था। सूरज ………………. उगल रहा था। (झाग/आग)
(स) अब इस दीप से और सैकड़ों ……………….जलाने की जिम्मेदारी हम सभी की है। (दीप/मशाल)
(द) मैं यह जरूर चाहूँगी कि खर्च करने से पूर्व ………… सोच लेना चाहिए।(ऊपर-नीचे/आगे-पीछे)
(ई) लगता है, उठे हुए बाजार की तरह मेरे ………………. का ठाठ उठ चुका है। (गाँव/शहर)
उत्तर-
(अ) अंगों,
(ब) आग,
(स) दीप,
(द) आगे-पीछे,
(ई) गाँव।

अति लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 3.
(क) रहीम के अनुसार चतुर व्यक्तियों के हृदय में किस बात की हूक लगी रहती है?
(ख) नितिन ने आंटी से किस बात का अनुरोध किया?
(ग) गोताखोर का उत्साह दूना क्यों बढ़ जाता है?
(घ) अपव्यय पर रोक लगाने से क्या फायदा होता है?
(ङ) अब नदी का चेहरा किस प्रकार का हो चुका था?
(च) समझू ने जुम्मन को सरपंच क्यों चुना?
(छ) कवि के अनुसार कुमार का रूप कैसा है?
(ज) सफल जीवन के लिए किस बात को समझना आवश्यक
उत्तर-
(क) रहीम के अनुसार चतुर व्यक्तियों के हृदय में समय की चूक की हूक लगी रहती है।
(ख) नितिन ने आंटी से आगे से अपने घर का रोजमर्रा का सामान उसके द्वारा दिए गए कपड़े के झोले में रखकर लाने का अनुरोध किया।
(ग) गोताखोर का उत्साह इस बात को सोचकर दूना बढ़ जाता है कि गहरे पानी में सहज में मोती नहीं मिलते हैं।
(घ) अपव्यय पर रोक लगाने से बहुत बड़ी बचत होती है। उससे बड़ी आवश्यकता की पूर्ति होती है।
(ङ) अब नदी का चेहरा उभरे हुए दर्द की तरह रेत हो चुका था।
(च) समझू ने जुम्मन को सरपंच चुना। यह इसलिए कि उसको अलगू और जुम्मन के बैर का हाल मालूम था।
(छ) कवि के अनुसार कुमार का रूय दिव्य (अति सुंदर) और लंबे समय से चला आने वाला है।
(ज) सफल जीवन के लिए दूरगामी उद्देश्यों की हमारी दृष्टि लगातार बनी रहे। निरंतर उसी ओर बढ़ते रहने का अनुभव होता रहे।

लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
(क) सफलताएँ किस प्रकार के व्यक्ति की प्रतीक्षा करती हैं?
उत्तर-
सफलताएँ योग क्रियाएँ, संतुलित आहार, सदाचरण और भावनात्मक सोच-विचार रखने वाले व्यक्ति की प्रतीक्षा करती हैं।

(ख) कवि ने कुमार को आशाओं की आशा क्यों कहा
उत्तर-
कवि ने कुमार को आशाओं की आशा इसलिए कहा है कि उनमें अपार देशभक्ति, वीरता और अतीतकालीन गौरव के भाव भरे हैं।

(ग) अलगू चौधरी और जुम्मन शेख की गाढ़ी मित्रता किस प्रकार की थी?
उत्तर-
अलगू चौधरी और जुम्मन शेख की गाढ़ी मित्रता एक-दूसरे पर पूरा भरोसा करने और गाढ़े समय में परस्पर खुलकर साथ देने की थी।

(घ) रहीम के अनुसार विपत्ति आने पर धन की क्या स्थिति हो जाती है?
उत्तर-
रहीम के अनुसार विपत्ति आने पर धन नहीं रहता है। वह तो वैसे गायब हो जाता है जैसे भोर होने पर आकाश से तारे।

(ङ) हम अपनी छोटी-सी सुविधा के लिए पर्यावरण को किस प्रकार प्रदूषित करते हैं?
उत्तर-
हम अपनी छोटी-सी सुविधा के लिए पर्यावरण को प्रदूषित करने वाली चीजों का धड़ाधड़ प्रयोग करके प्रदूषित करते हैं।

(च) “असफलता एक चुनौती है, स्वीकार करो” इस कथन की पुष्टि में कवि ने किस-किस के उदाहरण प्रस्तुत किए हैं?
उत्तर-
“असफलता एक चुनौती है, स्वीकार करो” इस कथन की पुष्टि में कवि ने दाना लेकर चढ़ती दीवारों पर सौ बार फिसलती चींटियों और समुद्र की गहराई में डुबकियाँ लगाने के बावजूद खाली हाथ लौटकर आते गोताखोर के उदाहरण प्रस्तुत किए हैं।

(छ) “बूंद-बूंद से घड़ा भरता है” पत्र में माँ ने पुनीत को कौन-कौन-सी सीख दी हैं?
उत्तर-
“बूंद-बूंद से घड़ा भरता है” पत्र में माँ ने पुनीत को थोड़ी-थोड़ी बचत करने और मितव्ययता के गुण अपनाने की सीख दी है।

(ज) गाँवों में अब नदी की स्थिति क्या हो गई है?
उत्तर-
गाँवों में अब नदी की स्थिति उभरे हुए दर्द की तरह रेत बन गई है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित पंक्तियों का अर्थ लिखिए-
तुम्हें यशोदा के पलने की,
मधुर थपकियाँ जगा रहीं,
तुम्हें नंद की सकल सुरभियाँ,
वृन्दावन में बुला रहीं॥
उत्तर-
देखें व्याख्या भाग।

प्रश्न 6.
आप अपने जीवन में किसके व्यक्तित्व से प्रभावित हैं? और क्यों? दस वाक्यों में लिखिए।
उत्तर-
हम अपने जीवन में अपने कक्षाध्यापक के व्यक्तित्व से प्रभावित हैं। यह इसलिए कि वे एक गिने-चुने आदर्श अध्यापक हैं। वे चरित्र के धनी हैं। उनमें अपना कर्मण्यता है। वे बढ़े ही आस्तिक हैं। वे भारतीयता के प्रतीक हैं। उनमें अत्यधिक साहस और धैर्य हैं। वे समय के सदुपयोगी हैं। उनमें उदारता है। उनमें आत्मनिर्भरता और कर्त्तव्यनिष्ठता है। वे अपने कर्म और चरित्र से पहली मुलाकात में ही किसी का मन मोह लेते हैं।

प्रश्न 7.
(अ) निम्नलिखित शब्दों के शुद्ध रूप लिखिएनिशेश, दीव्य, पड़ोसीन, परसन्नता, अपरत्यक्ष, दुषित।
उत्तर-
(अ) अशुद्ध शब्द – शुद्ध शब्द
विशेश – विशेष
दीव्य – दिव्य
पड़ोसीन – पड़ोसिन
परसन्नता – प्रसन्नता
अपरत्यक्ष – अप्रत्यक्ष दुषित

(ब) निम्नलिखित शब्दों के हिंदी रूप लिखिए-
प्लीज, पोस्टमैन, होमवर्क, आंटी, प्रिंसीपल, फैक्ट्री।
उत्तर-
(ब) शब्द – हिन्दी रूप
प्लीज – कृपया
पोस्टमैन – डाकिया
होमवर्क – गृहकार्य
आंटी – चाची
प्रिंसीपल – प्रधानाध्यापक
फैक्ट्री – कारखाना

(स) निम्नलिखित शब्दों में से एक शब्द का अर्थ समान है उस पर गोला लगाइए-
प्रगति – उन्नति, अवनति, प्रतीति।
संघर्ष – मजबूर, मुकाबला, मजदूर।
मोहरे – मुहावरे, मोगरा, गोटियाँ
दिव्य – अलौकिक, लौकिक, सार्वभौमिक।
उत्तर-
(स) प्रगति – उन्नति
संघर्ष – मुकाबला
मोहरे – गोटियाँ
दिव्य – अलौकिक।

प्रश्न 8.
(अ) दिए हुए गद्यांश में उचित स्थानों पर विराम चिह्न लगाइए-
उत्तर-
शाम तक वे कहीं मिल जाते हैं तो चौंककर कहते हैं अरे मैं तो भूल ही गया तुम्हें बड़ी परेशानी हुई होगी न मुझे सख्त अफसोस है अच्छा कल आठ बजे आ जाओ मैं तुम्हारा इंतजार करूँगा।

(ब) निम्नलिखित शब्दों का वाक्यों में प्रयोग कीजिए-
आत्मविश्वास, व्यवस्था, पर्यावरण, ईमान, श्रेय, राष्ट्र
उत्तर-
शब्द वाक्य-प्रयोग
आत्मविश्वास – स्वस्थ आदमी आत्मविश्वास भरा होता है।
व्यवस्था – उसके घर में अच्छी व्यवस्था है।
पर्यावरण – पर्यावरण दिन-प्रतिदिन प्रदूषित हो रहा है।
ईमान – लाभ के लिए ईमान नहीं बेचना चाहिए।
श्रेय – उसे सफल बनाने में उसकी माँ का ही श्रेय है।
राष्ट्र – राष्ट्रवासियों को राष्ट्रभक्त होना ही चाहिए।

प्रश्न 9.
अपने पिताजी को पत्र लिखकर अपनी पढ़ाई की जानकारी दीजिए।
उत्तर-
देखें- ‘पत्र-लेखन’

प्रश्न 10.
क्रिसी एक विषय पर निबंध लिखिए-
प्रमुख राष्ट्रीय त्यौहार, किसी ऐतिहासिक स्थान की यात्रा का वर्णन।
उत्तर-
देखें- ‘निबंध-लेखन’

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 9 अवकल समीकरण Ex 9.5

1 से 10 तक के प्रत्येक प्रश्न में दर्शाइए कि दिया हुआ अवकल समीकरण समघातीय है और इनमें से प्रत्येक को हल कीजिए-
प्रश्न 1.
(x² + xy) dy = (x² + y²)dx
हल:

प्रश्न 2.
y’ = \(\frac{x+y}{x}\)
हल:
\(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x}\)
∵ अंश व हर की घात समान है इसलिए दिया हुआ अवकल समी० समघातीय अवकल समी० हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 3.
(x – y)dy -(x + y)dx = 0
हल:
(x – y) dy – (x + y) dx =0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{x+y}{x-y}\)
∵ अंश व हर की घात समान हैं अतः यह एक समघातीय अवकल समीकरण हैं।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 4.
(x² – y) dx + 2xy dy = 0
हल:
(x² – y²) dx + 2xy dy = 0

प्रश्न 5.
x²\(\frac{d y}{d x}\) = x² – 2y² + xy
हल:

प्रश्न 6.
x dy – y dx = \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) dx
हल:

प्रश्न 7.

हल:
दिया गया अवकल समीकरण

प्रश्न 8.
x\(\frac{d y}{d x}\) – y + x sin\(\left(\frac{y}{x}\right)\) = 0
हल:

प्रश्न 9.
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०
y dx + x log\(\left(\frac{y}{x}\right)\)dy – 2x dy = 0 …(i)

प्रश्न 10.
(1 + e^x/y) dx + e^x/y (1 – \(\frac{x}{y}\)) dy = 0
हल:
दिया गया अवकल समी०

11 से 15 तक के प्रश्नों में प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबन्ध को सन्तुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 11.
(x + y) dy + (x – y) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया है (x + y) dy + (x – y) dx = 0
⇒ \(\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y+x}\) …(i)
∵ अंश व हर की घात समान हैं इसलिए यह एक समघातीय अवकल समी० है।
∴ y = vx रखने पर

प्रश्न 12.
x²dy + (xy + y²) dx = 0; y = 1 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०
x²dy + (xy + y²) dx = 0

प्रश्न 13.
[x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) – y] dx + x dy = 0: y = \(\frac{\pi}{4}\) यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 14.
\(\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}\) + cosec \(\left(\frac{\boldsymbol{y}}{\boldsymbol{x}}\right)\) = 0; y = 0 यदि x = 1
हल:
दिया गया अवकल समी०

प्रश्न 15.
2xy + y² – 2x²\(\frac{d y}{d x}\) = 0; y = 2 यदि x = 1
हल:
दिया गया समी०

प्रश्न 16.
\(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) के रूप वाले समघातीय अवकल समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित में से कौन-सा प्रतिस्थापन किया जाता है-
(A) y = vx
(B) v = yx
(C) x = vy
(D) x = y
हल:
जब \(\frac{d x}{d y}=h\left(\frac{x}{y}\right)\) हो तो x = yy प्रतिस्थापित करते हैं।
अत: विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 17.
निम्नलिखित में से कौन-सा समघातीय अवकल समीकरण है
(A) (4x + 6y + 5)dy – (3y + 2x + 4)dx = 0
(B) (xy) dx – (x³ + y³)dy = 0
(C) (x³ + 2y²)dx + 2xy dy = 0
(D) y²dx + (x² – xy – y²)dy = 0
हल:
y²dx + (x² – xy – y²) dy = 0 पर विचार करते हैं।

इस प्रकार अवकल समीकरण समघातीय है।
अतः विकल्प (D) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 8 समाकलनों के अनुप्रयोग Ex 8.2

प्रश्न 1.
परवलय x² = 4y और वृत्त 4x² + 4y² = 9 के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
परवलय का समी० x² = 4y …(i)
तथा वृत्त का समी० x² + y² = \(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\) …(ii)
समी० (i) व (ii) को हल करने पर बिन्दु \(\left( \pm \sqrt{2}, \frac{1}{2}\right)\) प्रतिच्छेदन बिन्दु के रूप में प्राप्त होते हैं।
∴ दोनों वक्र x-अक्ष के सममित हैं।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 × ODCAO का क्षेत्रफल

प्रश्न 2.
वक्रों (x – 1)² + y = 1 एवं x² + y² = 1 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्रों के समीकरण
x² + y = 1 …(i)
(x – 1)² + y² = 1
समी० (i) वृत्त का समी० है। जिसका केन्द्र (0, 0) तथा

त्रिज्या 1 इकाई है। जबकि समी० (ii) उस वृत्त का समीकरण है जिसका केन्द्र (1,0) तथा त्रिज्या 1 इकाई है।
समी० (i) व (ii) को हल करने पर प्रतिच्छेदन बिन्दु \(\left(\frac{1}{2}, \pm \sqrt{3} / 2\right)\) है।
∴ अभीष्ट क्षेत्रफल
= 2 × OCRAO का क्षेत्रफल
= 2 × [OCAO का क्षेत्रफल + CBAC का क्षेत्रफल]

प्रश्न 3.
वक्रों y = x² + 2, y = x, x = 0 एवं x = 3 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
वक्र का समी० y = x² + 2
या x² = y – 1 यह एक परवलय का समी० है जिसका शीर्ष (0, 2) है।

प्रश्न 4.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्ष (-1, 0), (1, 3) एवं (3, 2) हैं।
हल:
दिया है : शीर्ष बिन्दु (-1, 0), (1, 3) और (3, 2) रेखा AB का समी०

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = (ANBA का क्षे० + NMCBN का क्षे०) – AMCA का क्षे०

प्रश्न 5.
समाकलन का उपयोग करते हुए एक ऐसे त्रिकोणीय क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाओं के ‘समीकरण y = 2x + 1, y = 3x + 1 एवं x = 4 हैं।
हल:
दिया है
भुजाओं के समी० y = 2x + 1 ….(i)
y = 3x + 1 …(ii)
x = 4 …(iii)

प्रश्न 6 एवं 7 में सही उत्तर का चयन कीजिए-
प्रश्न 6.
वृत्त x² + y² = 4 एवं रेखा x + y = 2 से घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल है-
(A) 2 (π – 2)
(B) (π – 2)
(C) 2π – 1
(D) 2(π + 2)
हल:
वृत्त का समी० x² + y² = 4
वृत्त का केन्द्र O है तथा त्रिज्या 2 है।

अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 7.
वक्रों y² = 4x एवं y = 2x के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल है-

हल:
वक्र कासमी० y² = 4x …(i)
रेखा का समी० y = 2x …(ii)
समी० (i) व (ii) से
(2x)² = 4x
4x² = 4x
⇒ x² – x = 0
⇒ x(x – 1) = 0
⇒ x = 0, x = 1

समी० (ii) से जब x = 0, y= 0 और जब x = 1, y = 2
समी० (i) व समी० (ii) का प्रतिच्छेदन बिन्दु (0, 0) तथा A(1, 2) हैं।
अभीष्ट क्षेत्रफल

अतः विकल्प (B) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 5 सांतत्य तथा अवकलनीयता Ex 5.3

निम्नलिखित प्रश्नों में \(\frac{d y}{d x}\) ज्ञात कीजिए
प्रश्न 1.
2x + 3y = sin x
हल:
2x + 3y = sinx
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 2.
2x + 3y = siny
हल:
यहाँ 2x + 3y = sin y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 3.
ax + by² = cosy
हल:
यहाँ ax + by² = cos y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 4.
xy + y² = tan x + y
हल:
यहाँ xy + y² = tan x + y
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 5.
x² + xy + y² = 100
हल:
x² + xy + y² = 100
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 6.
x² + x²y + xy² + y³ = 81
हल:
यहाँ x² + xy + xy² + y³ = 81
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 7.
sin² y + cos xy = π
हल:
यहाँ sin ²y + cos xy = π
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 8.
sin² x + cos²y = 1
हल:
∵ sin² x + cos² y = 1
दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 9.
y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)\)
हल:

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल: