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MP Board Class 11th Special Hindi सहायक वाचन Solutions Chapter 4 असफलता दिखाती है नयी राह

असफलता दिखाती है नयी राह अभ्यास प्रश्न

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर लिखिए

प्रश्न 1.
डॉ. कलाम बचपन में कौन-सी पौराणिक कहानी सुना करते थे? उसका उन पर क्या प्रभाव पड़ा?
उत्तर:
डॉ. कलाम को उनके पिताजी अबूबेन आदम की एक पौराणिक कथा सुनाया करते थे। एक रात अबू एक सपना देखकर जाग जाता है। सपने में वह देखता है कि एक फरिश्ता सोने की किताब में उन लोगों के नाम लिख रहा है जो ईश्वर से प्यार करते हैं। अबू उस फरिश्ते से पूछता है कि क्या खुद उसका नाम भी इस सूची में है। इस पर फरिश्ता नकारात्मक उत्तर देता है। तब निराश मगर खुशी से अबू कहता है कि मेरा नाम उनमें लिख दो, जो उसके अनुयायियों से प्रेम करते हैं। फरिश्ते ने नाम लिख दिया और गायब हो गया। अगली रात फिर फरिश्ता आया और उन लोगों के नाम दिखाए जिन्हें ईश्वर के प्रेम से आशीर्वाद मिला था। इसमें अबू का नाम सबसे ऊपर था।

इस पौराणिक कहानी का कलाम पर इतना प्रभाव पड़ा कि वे प्रत्येक जगह ईश्वर की उपस्थिति मानते थे और यह मानते थे कि सभी प्राणी ईश्वर की कृति हैं। उन्हें परस्पर सभी से प्रेम करना चाहिए। इन्हें अल्लाह में गहरी आस्था है।

प्रश्न 2.
परिवार में लगातार होने वाली मौतों के बाद, डॉ. कलाम की दिनचर्या में क्या परिवर्तन हुआ?
उत्तर:
डॉ. कलाम के परिवार में लगातार तीन वर्ष तक तीन मौतें हो जाने के बाद, उनमें अपने काम के प्रति पहले से ज्यादा प्रतिबद्धता आ गई। उन्होंने अपने लिए वह सब कुछ तलाश लिया था जिससे उन्हें आगे बढ़ना था, तरक्की करनी थी। एस. एल. वी. डॉ. कलाम के लिए एक ईश्वर द्वारा प्रदत्त मिशन था। इसके क्षेत्र में प्रगति करना उनका उद्देश्य था, ध्येय बन चुका था। इसलिए उन्होंने अपनी सभी गतिविधियों पर रोक लगा दी। यद्यपि उनकी अन्य गतिविधियाँ अधिक नहीं थीं, फिर भी जो कुछ थीं, उनको भी समाप्त कर दिया। वे शाम को बैडमिन्टन खेला करते थे, उसका खेलना भी बन्द हो गया। उन्हें साप्ताहिक अथवा अन्य अवकाश मिला करते थे, उन्हें भी लेना बन्द कर दिया। वे अपने परिवार अथवा रिश्तेदारी में यदा-कदा आया-जाया करते थे, वह भी बन्द कर दिया। प्रतिदिन मुलाकातें जिनसे हो सकती थीं, प्रायः वे उनसे मिलने जाया भी करते थे, इस श्रेणी में आने वाले दोस्तों और सहयोगियों से मिलने जाना अथवा किसी काम के सन्दर्भ में उनके यहाँ पहुँच जाना हुआ करता था, वह सब बन्द हो गया।

उन्होंने अपने मिशन को सफल बनाने की इच्छा से अपने लक्ष्य के प्रति एकाग्रचित्त होकर स्वयं को समर्पित कर दिया। डॉ. कलाम सरीखे व्यक्तियों को कार्याधिकता से ग्रसित व्यक्ति कहा जाता है। उन्हें ऐसा कहे जाने के लिए विरोध करना उचित लगता था। इसका एक कारण है। कार्याधिकता से ग्रसित के रूप में पुकारा जाना एक बीमारी (रुग्णता) का प्रतीक बनता है। यह शब्द किसी बीमारी का द्योतक है। जबकि प्रतिबद्धता (वचनबद्धता), एकाग्रचित्तता अपने लक्ष्य (उद्देश्य) को प्राप्त करने का साधन हुआ करता है, किसी रोग का सूचक नहीं। डॉ. कलाम ज्यादा से ज्यादा वही करना चाहते थे, जिससे उन्हें दुनिया में सबसे ज्यादा खुशी प्राप्त हो अर्थात् अधिक से अधिक कार्य करने से उद्देश्य के निकट पहुँचा जा सकता है। सफलता प्राप्त हो सकती है। सफलता हमें प्रसन्नता देती है।

ऐसे व्यक्ति जो अपने पेशे में शीर्ष तक पहुँचना चाहते हैं, उनके अन्दर पूर्ण वचनबद्धता का मूलभूत गुण विकसित कर लेना चाहिए। जो व्यक्ति अपनी सम्पूर्ण क्षमता के साथ कार्य सम्पादन की इच्छा रखता है, उसमें शायद ही कोई अन्य इच्छा जन्म लेती हो। पुरुष हो अथवा स्त्री उन सबमें वचनबद्धता का गुण अवश्य होना चाहिए।

डॉ. कलाम के अन्दर भी इन तीन वर्षों का दुःखद घटनाओं के बाद शीर्ष पर पहुँचने के लिए दृढ़ इच्छा शक्ति का विकास होता गया।

प्रश्न 3.
रामेश्वरम् मन्दिर के पास डॉ. कलाम संध्या का समय किस प्रकार व्यतीत करते थे? (2011)
उत्तर:
डॉ. कलाम अपने बचपन की स्मृतियों को पुनः जाग्रत करके स्पष्ट रूप से बतलाते हैं कि रामेश्वरम् मन्दिर के आस-पास ही घूमा करते थे। समुद्र के आस-पास की बलुई मिट्टी चाँदनी रात में चमकती दिखाई देती थी। डॉ. कलाम को सान्ध्यकालीन वातावरण बहुत ही आकर्षित करता था। इसके अतिरिक्त समुद्र की उठती, इठलाती लहरें एक विशेष प्रकार का नृत्य प्रस्तुत करती जान पड़ती थीं। वहाँ का असीम आकाश खुला हुआ आनन्दातिरेक से डॉ. कलाम को आत्मविभोर कर देता था। अनन्त आकाश में बिखरे हुए टिमटिमाते तारे अपनी मद्धिम रोशनी विकीर्ण करते हुए धीमे से उनके कानों में कुछ रहस्यपूर्ण सन्देश देते प्रतीत होते थे। डॉ. कलाम के साथ उनके बहनोई उन्हें सान्ध्यकालीन डूबते क्षितिज को दिखाने के लिए ले जाया करते थे। उनके बहनोई का नाम जलालुद्दीन था।

डॉ. कलाम की अन्तश्चेतना पर बचपन में प्रकृति की गोद में रहने का अत्यधिक प्रभाव पड़ा। उनमें चिन्तन की गहराई परिपक्वता को प्राप्त थी।

प्रश्न 4.
एस. एल. वी.-3 की तैयारी में डॉ. कलाम किस तरह व्यस्त रहते थे? (2017)
उत्तर:
एस. एल. वी.-3 पर अभी काम चल रहा था। साथ ही इसकी उप-प्रणालियों को तैयार करने का काम भी पूरा होने जा रहा था। जून 1974 ई. में कुछ जटिल प्रणालियों के परीक्षण के लिए सैंटोर साउण्डिग रॉकेट छोड़ा। इन उपप्रणालियों में जो सम्मिश्र पदार्थ, कन्ट्रोल इन्जीनियरिंग और सॉफ्टवेयर प्रयोग में लाए गये थे, उनका देश में पहले कभी इस्तेमाल नहीं किया गया था, परीक्षण पूरी तरह सफल रहा, तब तक भारतीय अन्तरिक्ष कार्यक्रम साउण्डिग रॉकेटों से आगे नहीं बढ़ा था और यहाँ तक कि जानकार लोग भी इसकी कोशिशों को देखने-समझने और स्वीकार करने को राजी नहीं थे, पहली बार इन्हें राष्ट्र के विश्वास से प्रेरणा मिली थी। एस. एल. वी.-3, ए. पी. जी. रॉकेट के ऊपरी हिस्से का विकास डायामाण्ट की तरह ही तैयार किया गया। इसका उड़ान परीक्षण फ्रांस में होना था। इसमें कई समस्याएँ आ गई थीं। इन समस्याओं को दूर करने के लिए डॉ. कलाम को तत्काल फ्रांस जाना था।

एस. एल. वी.-3, ए. पी. जी. रॉकेट के सफल परीक्षण के बाद फ्रांस से लौटने पर एक दिन ब्रह्म प्रकाश ने वनहर फॉन ब्रॉन के पहुँचने के बारे में सूचना दी। रॉकेट विज्ञान के क्षेत्र में काम करने वाला हर व्यक्ति फॉन ब्रॉन के बारे में जानता है। फॉन ब्रॉन को मद्रास से थुम्बा लाने को कहा तो डॉ. कलाम बहुत ही रोमांचित हो उठे, चेन्नई से त्रिवेन्द्रम तक डॉ. कलाम व अन्य एयरक्राफ्ट से गये। इस यात्रा में नब्बे मिनट का समय लगा। फॉन-ब्रॉन ने काम के विषय में पूछा। उन्होंने इस सन्दर्भ में एक छात्र की तरह जानकारी ली। डॉ. कलाम को यह पता नहीं था कि रॉकेट विज्ञान के जन्मदाता इतने विनम्र, ग्रहणशील एवं प्रेरणा देने वाले होंगे। पूरी उड़ान के दौरान बहुत अच्छा महसूस किया। डॉ. कलाम को मिसाइलों के इतने बड़े ज्ञाता से बात करके पता चला कि वे अपनी प्रशंसा के इच्छुक नहीं हैं।

फॉन ब्रॉन ने टिप्पणी करते हुए कहा कि एस. एल. वी.-3 एक विशुद्ध भारतीय डिजाइन है। आपके सामने समस्याएँ भी आ सकती हैं। इसके लिए तुम्हें ध्यान रखना है कि व्यक्ति का सफलताओं से ही नहीं, असफलताओं से भी निर्माण होता है। उन्होंने आगे कहा कि रॉकेट विज्ञान में कठोर परिश्रम और प्रतिबद्धता की जरूरत होती है। साथ ही उस परिश्रम के द्वारा बड़ा सम्मान प्राप्त कर सकते हैं। इस विज्ञान को पेशा न बनाकर अपना धर्म समझो।

सन् 1979 ई. में छः सदस्यों की टीम नियन्त्रण प्रणाली का रूपान्तर तैयार करने में लगी थी। इस प्रणाली के बारह बाल्वों में से एक को ठीक करते समय नाइट्रिक एसिड का टैंक फट गया। एसिड टीम सदस्यों पर गिरा। वे सभी गम्भीर रूप से घायल हो गये। उन सभी को डॉ. कलाम ने त्रिवेन्द्रम् मेडिकल कॉलेज ले जाकर इलाज के लिए भर्ती कराया। घायल टीम के सदस्य दर्द से कराह रहे थे, लेकिन उपचार उचित होने से उन्हें राहत मिली। डॉ. कलाम इस दौरान बड़े चिन्तित और व्यथित रहे। परीक्षण काम रुक गया और विलम्ब हो गया। इस दुर्घटना से असफलता होने से हमें साहस अधिक मिला और सोचा कि हमारी टीम चट्टान की तरह साथ रहने में मजबूत है। अब एस. एल. वी.-3 का ठोस आकार आने लगा और उसकी परियोजना अब सफल हो रही थी।

एस. एल. वी.-3 का प्रायोगिक उड़ान परीक्षण 10 अगस्त, 1979 को निर्धारित किया गया। श्रीहरिकोटा प्रक्षेपण केन्द्र से समेकित प्रक्षेपण यान विकसित करना था। उड़ान प्रणालियों में-स्टेज मोटर्स, निर्देशन व नियन्त्रण प्रणाली और इलेक्ट्रॉनिक प्रणाली को जाँचना था। चैक आउट, टैकिंग, टेलीमीटरी एवं आँकड़ों से सम्बन्धित सुविधाएँ भी इस केन्द्र में विकसित करनी थीं। इस प्रकार तेईस मीटर लम्बा, चार चरणों वाला एस. एल. वी.-3 रॉकेट सुबह सात बजकर अट्ठावन मिनट पर छोड़ा गया। इसका वजन सत्रह टन था। प्रक्षेपण के तुरन्त बाद ही इसकी प्रणालियों ने अपने काम शुरू कर दिये।

इसकी उड़ान निश्चित हो जाने पर, इसमें अचानक कोई गड़बड़ी आ गई। उम्मीदों पर पानी फिर गया। रॉकेट का दूसरा चरण नियन्त्रण से बाहर हो गया। 317 सेकण्ड के बाद ही उड़ान बन्द हो गई और पूरा यान श्रीहरिकोटा से पाँच सौ साठ किमी दूर समुद्र में जा गिरा।

इस घटना से इनकी टीम को गहरा सदमा लगा। डॉ. कलाम स्वयं अपने पर नाराज हुए और निराशा हाथ लगी। उन्हें लगा कि उनके पैर थक गये हैं। उनमें पीड़ा थी। इस समस्या का असर शरीर की अपेक्षा मस्तिष्क में बहुत अधिक था।

प्रश्न 5.
जो व्यक्ति शीर्ष पर पहुँचना चाहते हैं, उनमें कौन-कौन से गुण होने चाहिए ? इसे डॉ. कलाम के जीवन के आधार पर समझाइए। (2008, 09)
उत्तर:
जो लोग अपने पेशे में शीर्ष पर पहुँचना चाहते हैं। उनमें पूर्ण वचनबद्धता का मूलभूत गुण होना चाहिए। हम अपनी सफलता चाहते हैं तो हमें यह भरोसा करना पड़ेगा कि हम जो भी काम करना चाहते हैं, तो हमें अपनी क्षमताओं पर भरोसा व दृढ़ आस्था होनी चाहिए।

अपनी क्षमताओं को जागृत कर, अपने निर्धारित उद्देश्य को प्राप्त करने के लिए जो इच्छा उठती है, तो बाद में फिर कोई भी इच्छा जन्म नहीं लेती है। डॉ. कलाम के साथ काम करने वाले व्यक्तियों को प्रत्येक सप्ताह में चालीस घण्टे काम करना पड़ता था। इस प्रकार उन्हें चालीस घण्टे तक काम करने का पैसा दिया जाता था। डॉ. कलाम बताते हैं कि वे ऐसे व्यक्तियों से भी परिचित हैं, जो सप्ताह में कम से कम साठ, अस्सी और यहाँ तक है कि वे सौ घण्टे प्रति सप्ताह काम करते थे। इसके अनुसार उन्हें पैसा दिया जाता था। वे जानते थे और समझते भी थे कि उनका काम रोमांच पैदा करने वाला है, साथ ही साथ चुनौतियों से भरा है। इसलिए इस काम से उन्हें सबसे अच्छा प्रतिफल प्राप्त होगा। इस तरह के वे पुरुष या स्त्री जो भी हों वे चुनौती भरे कामों को हाथ में लेते हैं। उन्हें अपने इन कामों में पूर्ण सफलता मिलती है क्योंकि उनमें पूर्ण-रूपेण वचनबद्धता पाई जाती है।

जिन व्यक्तियों में अपने कार्य के पूर्ण करने की वचनबद्धता होती है तो उनमें ऊर्जा अधिक होती है। उनका काम जब चुनौतीपूर्ण होता है, तो उन्हें अपने आप को पूर्ण स्वस्थ बनाए रखना पड़ेगा। पूर्ण स्वस्थ रहने के लिए विशेष ऊर्जा की जरूरत होती है।

शीर्ष पर पहुँचने के लिए दृढ़ इच्छाशक्ति की परम आवश्यकता है। यह काम माउण्ट एवरेस्ट पर चढ़ने का अथवा अपने कार्य क्षेत्र का शीर्ष हो सकता है। परन्तु हर व्यक्ति में ऊर्जा अलग-अलग मात्रा में होती है, जो जन्म के साथ ही मिलती है। अत: जो व्यक्ति सबसे पहले प्रयास करेगा और अपनी ऊर्जा का इस्तेमाल करेगा, वही सबसे पहले और शीघ्रता से अपने जीवन को सुव्यवस्थित कर पायेगा।

प्रश्न 6.
डॉ. कलाम का जीवन संघर्षों के मध्य उभरती प्रतिभा की कहानी है, उदाहरण देते हुए समझाइए। (2008, 16)
उत्तर:
डॉ. कलाम का सारा जीवन संघर्षों से भरा हुआ था। उनके मध्य भी उन्होंने निराशा या हार नहीं मानी। अनेक बाधाओं के मध्य अपनी प्रतिभा की ऊर्चस्वलता का प्रदर्शन करते ही रहे। वे अपने जीवन के शुरूआती पक्ष में वायु सेना में भर्ती होकर पायलट बनना चाहते थे। विमान उड़ाने की उनकी चाहत पूर्ण नहीं हो सकी। इसका एक कारण यह था कि चयन बोर्ड ने उन्हें उपयुक्त नहीं समझा। लेकिन देखिये, जो व्यक्ति अपनी युवावस्था में विमान चालक की क्षमताओं से रहित माना गया, वही अपनी वृद्ध अवस्था में ऐसे विमान में उड़ने लगा जो आवाज से भी तेज गति वाला था। इस प्रकार व्यक्ति अपने अन्तःस्थल की गहराई में इच्छा की पूर्ति किसी भी तरह और किसी भी अवस्था में पूर्ण करने की क्षमता विकसित कर लेता है। प्रश्न है केवल अपनी सद् इच्छाओं के प्रति सद्प्रयास करने एवं कथनी की प्रतिबद्धता का होना। इन्हीं बातों को, गुणों को डॉ. कलाम में हम देखते हैं और उन्हें वचनबद्धता और प्रतिबद्धता से शीर्ष तक पहुँचने में सफलता मिली।

प्रतिभा के विकास और उभार में पारिवारिक स्थिति और पैतृक योग कोई खास भूमिका नहीं निभाते। डॉ. कलाम पारिवारिक रूप से बहुत साधारण माता-पिता की सन्तान थे। बस, महत्त्वपूर्ण बात थी तो केवल महान विचारों को जीवन में स्थान देने की और उनके अनुसार कर्म करने की।

डॉ. कलाम के परिवार की आर्थिक स्थिति भी ऐसी नहीं थी जो उन्हें उत्तम साधन उपलब्ध करा पाती। उन्हें सही मार्गदर्शन देने वाला भी उनके परिवार में कोई नहीं था। एक महानुभाव जलालुद्दीन महोदय थे भी, लेकिन अल्लाह ने उन्हें असमय ही अपने पास बुला लिया। जलालुद्दीन डॉ. कलाम के बहनोई थे। वे ही इनके लिए पुस्तकों का खर्च जुटाते थे। व्यय करने के लिए रुपये-पैसे भी वही जुटाते थे। यहाँ तक है कि सांताक्रूज हवाई अड्डे पर इनको विदा करने के लिए वे ही आया करते थे।

श्री जलालुद्दीन ही इन्हें रामेश्वरम् के आस-पास घुमाते थे। चाँदनी रात में चमकती मिट्टी, नाचती हुई समुद्री लहरें, आकाश में टिमटिमाते सितारे उन्हें ऊँचा उठने और ऊँची उड़ान भरने के सपने उनमें पैदा करते थे। चमकती मिट्टी उन्हें प्रेरित करती कि अपनी मातृभूमि की सेवा करने से तुम्हें भी वही चमक प्राप्त होगी। अब उन्हें लगने लगा कि वे काल के भंवर में फंस गये हैं।

डॉ. कलाम ने हिम्मत नहीं हारी। वे अपने अन्दर ऊर्जावान बने रहे। उस ऊर्जा ने इनकी प्रतिभा को शक्ति प्रदान की जिसके कारण सांसारिक आपदाओं से, बाधाओं से लड़ने की हिम्मत और हौंसला बना रहा। जो व्यक्ति हौंसला पस्त नहीं होता वह उन्नति के शिखर पर विराजमान होकर ही रहता है। इस सन्दर्भ में कुछ उदाहरण प्रस्तुत हैं, “एस. एल. वी.-3 को तैयार करना कष्ट साध्य प्रक्रिया थी।” …..” इसी बीच उनके बहनोई और उन्हें रास्ता दिखाने वाले जनाब अहमद जलालुद्दीन जब इस दुनिया से चले गये थे, तो वे एकदम थम से गये, कुछ भी सोच नहीं पाये, काम करने में ध्यान लगाने की कोशिश की, लेकिन अपने आप में बहकी-बहकी बातें कर रहे हैं। तब उन्हें इस बात की अनुभूति हुई कि “अहमद जलालुद्दीन के साथ मेरा भी एक हिस्सा चला गया है।”

अहमद जलालुद्दीन की मौत के बाद उनके पिता का देहावसान होना और फिर उनकी माँ का भी चला जाना, इस तरह तीन वर्ष में लगातार तीन मौतों के दौर से गुजरना और एस. एल. वी. -3 का निर्माण व परीक्षण व्यवस्था का कार्य सभी विपरीत स्थितियाँ थीं; जिनमें से डॉ. कलाम धैर्य, उद्देश्य के प्रति आस्था और वचनबद्धता तथा ध्येय प्राप्ति की प्रतिबद्धता के गुणों के कारण आगे निकल सकें।

उपर्युक्त वर्णन से सिद्ध है कि डॉ. कलाम का जीवन संघर्षों के मध्य उभरती प्रतिभा की कहानी है।

असफलता दिखाती है नयी राह अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
डॉ. ए. पी. जे. अब्दुल कलाम क्या बनना चाहते थे?
उत्तर:
डॉ. कलाम वायुसेना में भर्ती होना चाहते थे तथा विमान उड़ाना चाहते थे, यद्यपि चयन बोर्ड ने उन्हें इसके उपयुक्त नहीं पाया था।

प्रश्न 2.
डॉ. ए. पी. जे. अब्दुल कलाम के पिताजी का नाम क्या था ? वह कितने वर्ष तक जीवित रहे?
उत्तर:
डॉ. ए. पी. जे. अब्दुल कलाम के पिताजी का नाम जैनुल आबदीन था। सन् 1976 में रामेश्वरम् में एक सौ दो वर्ष तक रहने के पश्चात् उनका निधन हो गया।

असफलता दिखाती है नयी राह पाठ का सारांश

प्रस्तावना :
डॉ. ए. पी. जे. अब्दुल कलाम का नाम कौन नहीं जानता ? वे भारतीय गणराज्य के राष्ट्रपति रहे हैं। वे प्रारम्भ में वायुसेना में भर्ती होना चाहते थे। लेकिन चयन बोर्ड ने उन्हें उपयुक्त नहीं पाया। उस युवक का सपना टूट गया। वह वायु सेना में भर्ती होकर विमान उड़ाना चाहता था। लेकिन उसी युवक ने, जब वह कुछ बूढ़ा हो रहा था, तब आवाज से भी तेज गति वाले विमान उड़ाकर अपने सपने को पूरा किया। डॉ. कलाम का जन्म एक कस्बे के साध पारण से परिवार में हुआ था। कलाम अपने जीवन में बड़े सपने देखते थे। साथ ही, उन्हें पूरा करने की भी जिद करते और सफलता प्राप्त करते थे। ‘अग्नि की उड़ान’ उनकी आत्मकथा है। यहाँ इस उड़ान के कुछ रोमांचक अंश प्रस्तुत हैं-

एस. एल. वी-3 पर अभी काम चल रहा था। इसकी उप-प्रणालियों को तैयार करने का काम भी पूरा होने जा रहा था। सन् 1974 के जून महीने में कुछ जटिल प्रणालियों के परीक्षण के लिए “सैंटोर साउण्डिंग रॉकेट” छोड़ा गया। इन उप-प्रणालियों में जो सम्मिश्र पदार्थ, कन्ट्रोल इन्जीनियरिंग और सॉफ्टवेयर प्रयोग में लाये गये, उनका देश में पहली बार प्रयोग किया गया। परीक्षण सफल रहा। राष्ट्र के विश्वास से प्रेरणा मिली।

कष्टसाध्य प्रक्रिया :
एस. एल. वी.-3 को तैयार करना एक कष्टसाध्य प्रक्रिया थी। एक दिन डॉ. कलाम और उनकी टीम पहले चरण की मोटर परीक्षण के काम में पूरी तरह तल्लीन थी। तभी डॉ. कलाम को सूचना मिली कि उनके बहनोई अहमद जलालुद्दीन अब इस दुनिया में नहीं रहे। इस खबर से कलाम महोदय कुछ समय तक अस्त-व्यस्त रहे। काम में उनका मन नहीं लगा क्योंकि मुः जलालुद्दीन डॉ. कलाम के जीवन का अहम् हिस्सा थे।

बचपन की यादें :
डॉ. कलाम को अपने बचपन की स्मृतियाँ उभर कर आने लगीं। मुहम्मद जलालुद्दीन उन्हें संध्याकाल में रामेश्वर मन्दिर के आस-पास घुमाने ले जाते थे। चाँदनी रात में चमकती समुद्र की रेत और नृत्य करती समुद्री लहरें, अनन्त आकाश से टिमटिमाते तारों का प्रकाश तथा डूबते सूरज के क्षितिज को दिखाने ले जाते थे। वे ही कलाम साहब के लिए पुस्तकों का बन्दोबस्त करते थे। सांताक्रूज हवाई अड्डे पर इन्हें विदा करने के लिए जलालुद्दीन (डॉ. कलाम के बहनोई) ही जाया करते थे।

डॉ. कलाम का अधीर होना :
मुहम्मद जलालुद्दीन का इस दुनिया से चला जाना कलाम को ऐसा लगा मानो समय और काल के भंवर में उन्हें फेंक दिया हो। उनके पिता की उम्र सौ साल से अधिक रही होगी। उनके दामाद का जनाजा उठाना था जो उनकी उम्र से आधी उम्र के थे। कलाम की बहन जोहरा की आत्मा कलप रही थी। उसका चार साल का बेटा भी चल बसा था, उसके चले जाने के घाव अभी भरे भी नहीं थे। ये सभी दृश्य कलाम की धुंधलाई सी आँखों के सामने तैर रहे थे। कलाम ने स्वयं को सम्भाला और परियोजना के उप निदेशक डॉ. एस. श्रीनिवास को अपनी गैरहाजिरी में काम को देख लेने के बारे में निर्देश दिये।

अल्लाह में गहरी आस्था :
बसें बदलते हुए रामेश्वर का सफर तय किया। डॉ. कलाम के पिता इनका हाथ थामे थे। उनकी आँखों में कोई भी आँसू नहीं था। पिता बोले देखो ईश्वर किस प्रकार अन्धेरा कर देता है। जलालुद्दीन तुम्हें रास्ता दिखाने वाला सूरज था, वही गहरी नींद में सो गया। वह पूरी तरह शान्त और अचेतन है। अल्लाह की नियति के आगे कुछ नहीं कर सकते। बेटे कलाम! अल्लाह पर भरोसा रखो।

वैराग्यभाव की जागृति :
डॉ. कलाम थुम्बा लौट आये। उन्हें हर काम निरर्थक लगा। एक वैराग्य जैसा अनुभव हुआ।

पिता की मृत्यु :
सन् 1976 ई. में डॉ. कलाम के पिता का इन्तकाल हो गया। वे रामेश्वरम् की भूमि पर एक सौ दो वर्ष तक रहे। उनका नाम जैनुल आबदीन था।

प्राणिमात्र से प्रेम :
डॉ. कलाम के पिता सभी प्राणियों से प्रेम करते थे। इस दुनिया के प्राणी ईश्वर की प्रतिकृति हैं। इनसे प्रेम करना ईश्वर से प्रेम करना है। ऐसा डॉ.कलाम के पिता का जीवन दर्शन था।

एस. एल.वी.-3, ए. पी. जी. रॉकेट का निर्माण व परीक्षण :
एस. एल. वी.-3, ए. पी. जी. रॉकेट का निर्माण सफलतापूर्वक किया गया और इसका परीक्षण विदेश में फ्रांस की भूमि पर किया गया। इस परीक्षण में आई हुई जटिल समस्याओं का निराकरण करने डॉ. कलाम को फ्रांस तत्काल जाना था। परन्तु उसी दिन इनकी माँ के इन्तकाल की खबर दी गई। डॉ. कलाम नागर कोइल से रामेश्वर पहुँचे। उनका अन्त समय आ गया था। डॉ. कलाम ने उसी मस्जिद में प्रार्थना की जहाँ उनके पिताजी हर शाम इन्हें ले जाया करते थे। कलाम ने ईश्वर से क्षमा माँगी। ईश्वर ने जो उन्हें जिम्मेदारी दी, उसका निर्वाह डॉ. कलाम ने ईमानदारी से किया। कलाम ने स्वयं को समझाते हुए कहा कि शोक क्यों मना रहे हो ? उस काम पर ध्यान दो जो तुम्हारे लिए पड़ा है। अपने कार्यों के करने से ही परमानन्द प्राप्त करो। मस्जिद में कलाम ने इन शब्दों को सुना। मस्जिद से बाहर आकर, अपने घर की ओर देखे बिना ही वहाँ से चल दिये।

अपने उद्देश्य के प्रति प्रतिबद्धता :
डॉ. कलाम के घर में तीन वर्ष में तीन मौतें हो गईं। फिर भी वे अपने काम में उनकी प्रतिबद्धता बनी रही। एस. एल. वी. उनके लिए ईश्वरीय मिशन है और उसकी प्रगति उनका उद्देश्य बन गया था। उन्होंने बैडमिन्टन खेलना बन्द कर दिया। साप्ताहिक छुट्टियाँ भी नहीं करते। रिश्तेदारी और मित्रों के यहाँ आना-जाना सब छूट गया। डॉ. कलाम के अनुसार वचनबद्धता, एकाग्रचित्तता लक्ष्य प्राप्त करने के साधन हैं।

नियन्त्रण प्रणाली का उड़ान रूपान्तर :
सन् 1979 ई. में छः सदस्यों की टीम दूसरे चरण की जटिल नियन्त्रण प्रणाली की उड़ान रूपान्तर तैयार करने में लगी थी। परन्तु अचानक ही लाल धुएँ वाले नाइट्रिक एसिड (आर. एफ. एन. ए.) का टैंक फट गया और नाइट्रिक एसिड टीम के सदस्यों पर जा गिरा। टीम के सदस्य गम्भीर रूप से जल गये। कलाम सभी को त्रिवेन्द्रम मेडीकल कॉलेज ले गये और उनका इलाज कराया।

इस टीम में कलाम को गहरा विश्वास हो गया कि ये सभी सफलता और असफलता में एक चट्टान की भाँति खड़े रह सकते हैं। जीवन एक प्रवाह है जिसमें काम करते-करते आराम और आनन्द की अनुभूति होती है। सन् 1979 के मध्य तक एस. एल. वी. का सपना पूरा हो गया और श्रीहरिकोटा प्रक्षेपण केन्द्र से एल. एल. वी.-3 का प्रायोगिक उड़ान परीक्षण 10 अगस्त, 1979 को निर्धारित किया गया।

उपसंहार :
पहले चरण का कार्य पूर्ण सफल हुआ परन्तु दूसरे चरण में परिवर्तित करने का कार्य एस. एल. वी.-3 को उड़ते देखना उम्मीदों से पीछे रहा। 317 सेकण्ड के बाद उड़ान बन्द हो गई और चौथे चरण सहित पूरा यान श्रीहरिकोटा से पाँच सौ साठ किमी. दूर समुद्र में आ गिरा। इस घटना से हम सभी निराश हुए। परन्तु डॉ. ब्रह्म प्रकाश के साथ डॉ. कलाम के अन्दर एक विश्वास जगा और इसी विश्वास से नई सफलताओं के क्षितिजों तक पहुँचा जा सकता है।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.1

प्रश्न 1.
जाँच कीजिए कि क्या निम्न द्विघात समीकरण हैं :
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
(v) (2x – 1) (x – 3) = (x + 5) (x – 1)
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
(vii) (x + 2)³ = 2r (x² – 1)
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
हल:
(i) (x + 1)² = 2 (x – 3)
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 0x + 7 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(ii) x² – 2x = (-2) (3 – x)
⇒ x² – 2x = -6 + 2x
⇒ x² – 4x + 6 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a ≠ 0 तथा a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं।
अत: दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(iii) (x – 2) (x + 1) = (x – 1) (x + 3)
⇒ x² – 2x + x – 2 = x² – x + 3x – 3
⇒ x² – 2 = x² + 2x – 3
⇒ 3x – 1 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं हैं क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह रैखिक समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(iv) (x – 3) (2x + 1) = x (x + 5)
⇒ 2x² + x – 6x – 3 = x² + 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0. अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5) (x – 1)
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x + 5x – 5
⇒ x² – 11x + 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0 अतः उक्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
⇒ x² + 3x + 1 = x² – 4x + 4
⇒ 7x – 3 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का नहीं है, क्योंकि यहाँ a = 0 है। यह एक रैखिक समीकरण है। अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण नहीं है।

(vii) (x + 2)³ = 2x (x² – 1)
⇒ x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ – 2x
⇒ x³ – 6x² – 14x – 8 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण त्रिघात समीकरण है।
अतः दत्त समीकरण द्विघात समीकरण नहीं हैं।

(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
⇒ x³ – 4x² – x + 1 = x³ – 6x² + 12x – 8
⇒ 2x² – 13x + 9 = 0
चूँकि उपरोक्त समीकरण ax² + bx + c = 0 प्रकार का है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a ≠ 0.
अतः दत्त समीकरण एक द्विघात समीकरण है।

प्रश्न 2.
निम्न स्थितियों को द्विधात समीकरणों के रूप में निरूपित कीजिए :
(i) एक आयताकार भू-खण्ड का क्षेत्रफल 528 m2 है। क्षेत्र की लम्बाई (मीटरों में) चौड़ाई के दुगने से एक अधिक है। हमें भू-खण्ड की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करना है।
(ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 306 है। हमें पूर्णांकों को ज्ञात करना है।
(iii) रोहन की माँ उससे 26 साल बड़ी है। उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल अब से तीन वर्ष पश्चात् 360 हो जाएगा। हमें रोहन की वर्तमान आयु ज्ञात करनी है।
(iv) एक रेलगाड़ी 480 km की दूरी समान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 8 km/hr कम होती तो वह उसी दूरी को तय करने में 3 घण्टे अधिक लेती। हमें रेलगाड़ी की चाल ज्ञात करनी है।
हल:
(i) मान लीजिए आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई है x m है, तो प्रश्नानुसार,
लम्बाई = 2 × चौड़ाई + 1 = 2x + 1
तथा क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई
⇒ (2x + 1) (x) = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण 2x² + x – 528 = 0 है, जहाँ x आयताकार भू-खण्ड की चौड़ाई (मीटरों में) है।

(ii) मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक क्रमशः x और x + 1 हैं, तो प्रश्नानुसार,
x (x + 1) = 306
⇒ x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
अत: अभीष्ट द्विघात समीकरण x² + x – 306 = 0 है, जहाँ x एक धनात्मक पूर्णांक है।

(iii) मान लीजिए कि रोहन की वर्तमान आयु x वर्ष है, तो प्रश्नानुसार,
उसकी माँ की वर्तमान आयु = x + 26 वर्ष
एवं (x + 3) (x + 26 + 3) = 360
⇒ (x + 3) (x + 29) = 360
⇒ x² + 29x + 3x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² + 32x – 273 = 0 है, जहाँ x = रोहन की वर्तमान आयु (वर्षों में)

(iv) मान लीजिए कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr है, तो प्रश्नानुसार,
480 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 480 }{ x } \) hrs
एवं \(\frac { 480 }{ x-8 } \) = \(\frac { 480 }{ x } \) + 3
⇒ \(\frac { 160 }{ x-8 } \) – \(\frac { 160 }{ x } \) = 1
⇒ 160x – 160x + 1280 = x (x – 8)
⇒ x² – 8x – 1280 = 0
अतः अभीष्ट द्विघात समीकरण x² – 8x – 1280 = 0 है, जहाँ x रेलगाड़ी की चाल km/hr में है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 2 बहुपद Ex 2.2

प्रश्न 1.
निम्न द्विघात व्यंजकों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की जाँच कीजिए:
(i) x² – 2x – 8
(ii) 4s² – 4s + 1
(iii) 6x² – 3 – 7x
(iv) 4u² + 8u
(v) t² – 15
(vi) 3x² – x – 4
हल:
(i) x² – 2x – 8 = (x – 4) (x + 2) [गुणनखण्ड करने पर]
चूँकि x² – 2x – 8 का मान शून्य होगा जब या तो x – 4 = 0
⇒ x = 4
अथवा x + 2 = 0 ⇒ x = – 2
अतः, x² – 2x – 8 के शून्यक 4 एवं – 2 होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(ii) 4s² – 4s + 1 = (2s – 1)²
चूँकि 4s² – 4s + 1 का मान शून्य होगा जब
25 – 1 = 0 ⇒ 2s = 1 ⇒ s = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
अतः, 4s² – 4s + 1 के प्रत्येक शून्यक का मान = \(\frac { 1 }{ 2 } \)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iii) 6x² – 3 – 7x = 6x² – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)
चूँकि 6x² – 3 – 7x का मान शून्य होगा जब या तो
2x – 3 = 0 ⇒ 2x = 3 ⇒ x = \(\frac { 3 }{ 2 } \)
अथवा 3x + 1 = 0
⇒ 3x = -1 ⇒ x = –\(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः, 6x² – 3 – 7x के शून्यक \(\frac { 3 }{ 2 } \) और –\(\frac { 1 }{ 3 } \) होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(iv) 4u² + 8u = 4u (u + 2)
चूँकि 4u² + 8u का मान शून्य होगा जब या तो u = 0
अथवा u + 2 = 0 ⇒ u = -2
अतः, 4u² + 8u के शून्यक 0 और -2 होंगे।
अब शून्यकों का योग = 0 + (-2) = -2

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(v) t² – 15 = (t)² – (\(\sqrt { 15 }\))² = (t + \(\sqrt { 15 }\)) (t – \(\sqrt { 15 }\))
चूँकि t² – 15 का मान शून्य होगा जब या तो
t + \(\sqrt { 15 }\) = 0 ⇒ t = – \(\sqrt { 15 }\)
अथवा t – \(\sqrt { 15 }\) = 0
⇒ t = \(\sqrt { 15 }\)
अतः, t² – 15 के शून्यक – \(\sqrt { 15 }\) और \(\sqrt { 15 }\) होंगे।
अब शून्यकों का योग = – \(\sqrt { 15 }\) + \(\sqrt { 15 }\) = 0 = \(\frac { -0 }{ 1 } \)

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

(vi) 3x² – x – 4 = (3x – 4) (x + 1)
चूँकि 3x² – x – 4 का मान शून्य होगा जब
या तो 3x – 4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = \(\frac { 4 }{ 3 } \)
अथवा x + 1 = 0 ⇒ x = – 1
अतः, 3x² – x – 4 के शून्यक \(\frac { 4 }{ 3 } \) और -1 होंगे।

अतः, शून्यकों तथा गुणांकों के बीच सम्बन्धों की सत्यता प्रमाणित होती है।

प्रश्न 2.
एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों के योग तथा गुणनफल क्रमशः दी गई संख्या हैं:
(i) \(\frac { 1 }{ 4 } \), -1
(ii) \(\sqrt { 2 }\), \(\frac { 1 }{ 3 } \)
(iii) 0, \(\sqrt { 5 }\)
(iv) 1,1
(v) –\(\frac { 1 }{ 4 } \),\(\frac { 1 }{ 4 } \)
(vi) 4,1
हल:
(i) मान लीजिए कि अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक a एवं B हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = \(\frac { 1 }{ 4 } \) = – \(\frac { b }{ a } \) = \(\frac { -(-1) }{ 4 } \)
और α.β = -1 = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { (-4) }{ 4 } \) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a = 4 तब b = -1 एवं c = – 4 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² – x – 4 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – x – 4) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(ii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=\sqrt{2}=-\frac{(-3 \sqrt{2})}{3}\)
और \(\alpha \cdot \beta=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\) (हर समान करने पर)
⇒ यदि a= 3 तब b = – 3 \(\sqrt { 2 }\) एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 3x² – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (3x² – 3\(\sqrt { 2 }\) x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iii) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसमें शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=0=-\frac{0}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\sqrt { 5 }\) = \(=\frac{\sqrt{5}}{1}\)
⇒ यदि a = 1 तब b = 0 एवं c = \(\sqrt { 5 }\) होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं: x² + 0.x + \(\sqrt { 5 }\) अर्थात् x² + \(\sqrt { 5 }\) है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (x² + \(\sqrt { 5 }\)) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(iv) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते ‘हैं कि
\(\alpha+\beta=-\frac{b}{a}=1=-\frac{(-1)}{1}\)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = -1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(v) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं, तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = – \(\frac { 1 }{ 4 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
⇒ यदि a = 4 तब b = 1 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं, 4x² + x + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² + x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

(vi) मान लीजिए अभीष्ट द्विघात बहुपद ax² + bx + c है जिसके शून्यक α एवं β हैं तो हम पाते हैं कि
α + β = – \(\frac { b }{ a } \) = 4 = – \(\frac { (-4) }{ 1 } \)
और α.β = \(\frac { c }{ a } \) = 1 = \(\frac { 1 }{ 1 } \)
⇒ यदि a = 1 तब b = – 4 एवं c = 1 होगा।
अतः, एक द्विघात बहुपद जिसमें दी गई शर्ते सन्तुष्ट होती हैं,: x² + 1 है एवं अन्य कोई द्विघात बहुपद जो इन शर्तों को सन्तुष्ट करे k (4x² – 4x + 1) होगा, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है।

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Important Questions

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
यदि sin^-1x – cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 6 } \) हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए –
(a) \(\frac{1}{2}\)
(b) \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 2 } \)
(c) – \(\frac{1}{2}\)
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) \(\frac{1}{2}\)

प्रश्न 2.
यदि tan^-1 3 + tan^-1 x = tan^-1 8 हो, तो x का मान होगा –
(a) 5
(b) \(\frac{1}{5}\)
(c) \(\frac{5}{14}\)
(d) \(\frac{14}{5}\)
उत्तर:
(b) \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 3.
tan^-1 ( \(\frac{x}{y}\) ) – tan^-1 ( \(\frac { x-y }{ x+y } \) ) का मान है –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(d) \(\frac { -3\pi }{ 4 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { -3\pi }{ 4 } \)

प्रश्न 4.
2 tan^-1 {cosec (tan^-1 x) – tan (cot^-1 x)} का मान है –
(a) cot^-1 x
(b) cot^-1 \(\frac{1}{x}\)
(c) tan^-1 x
(d) tan^-1 \(\frac{1}{x}\)
उत्तर:
(c) tan^-1 x

प्रश्न 5.
tan {cos^-1 \(\frac { 1 }{ 5\sqrt { 2 } } \) – sin^-1 \(\frac { 4 }{ \sqrt { 17 } } \) } का मान होगा –
(a) \(\frac { \sqrt { 29 } }{ 3 } \)
(b) \(\frac{29}{3}\)
(c) \(\frac { \sqrt { 3 } }{ 29 } \)
(d) \(\frac{3}{29}\)
उत्तर:
(d) \(\frac{3}{29}\)

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. tan^-1 (1) + tan^-1 (2) + tan^-1 (3) = ………………………….
2. tan^-1 (2) – tan^-1 (1) = …………………………….
3. cot^-1 3 + cosec^-1 \(\sqrt{5}\)
4. sin(sin^-1 x + 2 cos^-1 x) = …………………………..
5. यदि sin^-1 ( \(\frac { 2a }{ 1+a^{ 2 } } \) ) + sin ( \(\frac { 2b }{ 1+b^{ 2 } } \) ) = 2 tan^-1 x, तो x = ………………………….
6. यदि tan^-1 ( \(\frac { 1-x }{ 1+x } \) ) = \(\frac{1}{2}\) tan^-1 x (जब x > 0), तो x =
7. tan^-1 ( \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) ) + tan^-1 ( \(\frac { b-c }{ 1+bc } \) ) + tan^-1 c = ………………………..

उत्तर:

1. π
2. tan^-1 ( \(\frac{1}{3}\) )
3. \(\frac { \pi }{ 4 } \)
4. x
5. \(\frac { a+b }{ 1-ab } \)
6. \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \)
7. tan^-1 (a)

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\frac { x+y }{ 1-xy } \)
2. cos^-1(-x) = – cos^-1 x
3. sin^-1 (3x – 4x³) = sin^-1 \(\frac{x}{3}\)
4. cos^-1 ( \(\frac { 1-x^{ 2 } }{ 1+x^{ 2 } } \) ) = 2 tan^-1 x
5. sin^-1 x – sin^-1 y = sin^-1 [xy – \(\sqrt { 1-x^{ 2 } } \) \(\sqrt { 1-y^{ 2 } } \) ].

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –

उत्तर:

1. (b)
2. (e)
3. (f)
4. (a)
5. (c)
6. (d)

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. tan^-1\(\frac{1}{2}\) + tan^-1\(\frac{3}{2}\) का मान ज्ञात कीजिए।
2. tan^-1 \(\frac { x }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \) का मान ज्ञात कीजिए।
3. sin (2 sin^-1\(\frac{3}{5}\) ) का मान ज्ञात कीजिए।
4. समीकरण sin^-1 \(\frac{x}{5}\) + cosec^-1\(\frac{5}{4}\) = \(\frac { \pi }{ 2 } \) का मान ज्ञात कीजिए।
5. cos^-1 (cos \(\frac { 7\pi }{ 6 } \) ) का मुख्य मान लिखिए।
6. यदि cos^-1 ( \(\frac{1}{x}\) ) = θ हो, तो tan θ का मान लिखिए।

उत्तर:

1. tan^-1 8
2. sin^-1 x
3. \(\frac{24}{25}\)
4. x = 3
5. \(\frac { 5\pi }{ 6 } \)
6. \(\sqrt { x^{ 2 }-1 } \)

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन लाधु उतरिय प्रश्न

प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मुख्य मान ज्ञात कीजिये – (CBSE 2014)

(i) tan^-1 [sin (- \(\frac { \pi }{ 2 } \) ) (CBSE 2014)

(ii) cot [ \(\frac { \pi }{ 2 } \) – 2 cot^-1 \(\sqrt{3}\) (CBSE 2014)

(iii) tan^-1 (-\(\sqrt{3}\) )

(iv) sec^-1 (-\(\frac{2}{3}\) \(\sqrt{3}\) ) (NCERT)

(v) cosec^-1 (2) (NCERT)

हल:
(i) tan^-1 [sin (- \(\frac { \pi }{ 2 } \) )
= tan^-1 [- sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) ], [∵sin (- θ) = – sin θ]
= tan^-1 (-1), (∵ sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) = 1)
= – tan^-1 (1), (∵ tan^-1 (-x) = – tan^-1 x)
= –\(\frac { \pi }{ 4 } \) (∵ tan^-1 (1) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(ii) cot [ \(\frac { \pi }{ 2 } \) – 2cot^-1 \(\sqrt{3}\)

(iii) माना tan(-\(\sqrt{3}\)) = θ

(iv) sec^-1 \(\frac{-2}{3}\)\(\sqrt{3}\)) = θ

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिये –
(a) 2 cos^-1 \(\frac{4}{5}\) = cos^-1 \(\frac{7}{25}\)
(b) 2 sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = sin^-1 \(\frac{24}{25}\)
(c) 2 sin^-1 \(\frac{5}{13}\) = sin^-1 \(\frac{120}{169}\)
हल:
(a) 2 cos^-1 \(\frac{4}{5}\) = cos^-1 \(\frac{7}{25}\)

(b) 2 sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = sin^-1 \(\frac{24}{25}\)

(c) क्रमांक की 2(b) भाँती हल कीजिये।

प्रश्न 3.
मान ज्ञात कीजिये –
tan^-1 {2 cos (2 sin^-1 \(\frac{1}{2}\) )} (CBSE 2013, NCERT)
हल:
tan^-1 {2 cos (2 sin^-1 \(\frac{1}{2}\) )} = tan^-1 [2 cos (2 × \(\frac { \pi }{ 6 } \) ) ]
= tan^-1 [2 cos \(\frac { \pi }{ 3 } \) ] = tan^-1 [2 × \(\frac{1}{2}\) ]
= tan^-1 1
= \(\frac { \pi }{ 4 } \)

प्रश्न 4.
मान ज्ञात कीजिये –
sin [ \(\frac { \pi }{ 3 } \) – sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) ] (CBSE 2008, 13)
हल:
sin [ \(\frac { \pi }{ 3 } \) – sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\) ) ]
= sin [ \(\frac { \pi }{ 3 } \) + sin^-1 ( \(\frac{1}{2}\)) ], [∵sin^-1 (-x) = – sin^-1x]
= sin [ \(\frac { \pi }{ 3 } \) + \(\frac { \pi }{ 6 } \) ] = sin \(\frac { \pi }{ 2 } \) = 1

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिये –
2 tan^-1 \(\frac{1}{5}\) = tan^-1 \(\frac{5}{12}\)?
हल:
L.H.S = 2 tan^-1 \(\frac{1}{5}\)

प्रश्न 6.
मान ज्ञात कीजिये –
tan (2 tan^-1 \(\frac{1}{5}\) – \(\frac { \pi }{ 4 } \) )
हल:

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिये –
3 sin^-1 x = sin^-1 (3x – 4x³). (NCERT, CBSE 2018)
हल:
मानलो sin^-1 x = θ.
∴ x = sin θ
अब sin 3θ = 3 sinθ – 4sin³θ
= 3x – 4x³
∴ 3θ = sin^-1 (3x – 4x³)

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिये –
3 cos^-1 x = cos^-1 (4x³ – 3x) (NCERT)
हल:
मानलो cos^-1 x = θ
∴ x = cos θ
अब cos 3θ = 4 cos³θ – 3 cos θ
= 4x³ – 3x
∴ 3θ = cos^-1 (4x³ – 3x)

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिये –
(A) tan^-1 \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(B) cos^-1\(\frac{12}{13}\) = tan^-1 \(\frac{5}{12}\)
(C) cos^-1\(\frac{3}{5}\) = sin^-1 \(\frac{4}{5}\)
हल:
(A) tan^-1 = \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{3}\) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
L.H.S = tan^-1 \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{3}\)

(B) cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = tan^-1 \(\frac{5}{12}\)

समी. (1) तथा (2) L.H.S. = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

(C) cos^-1 \(\frac{3}{5}\) = sin-1 \(\frac{4}{5}\)

समी. (1) तथा (2) L.H.S. = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिये
(A) sec^-1 x + cosec^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(B) sin^-1 x + cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(C) tan^-1 x + cot^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
हल:
(A) sec^-1 x + cosec^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
माना sin^-1 x = θ ………………… (1)
⇒ x = sin θ
⇒ x = cos ( \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ) ………………………. (2)
समी. (1) तथा (2) को जोड़ने पर
sec^-1 x + cosec^-1 x = θ + \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ = \(\frac { \pi }{ 2 } \) यही सिद्ध करना था।

(B) sin^-1 x + cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
माना sin^-1 x = θ ………………….. (1)
⇒ x = sin θ
⇒ x = cos ( \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ)
⇒ cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ …………………………. (2)
समी. (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
sin^-1 x + cos^-1 x = θ + \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ
⇒ sin^-1 x + cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) यही सिद्ध करना था।

(C) tan^-1 x + cot^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
माना
⇒ tan^-1 x = θ …………………………… (1)
⇒ x = tan θ
⇒ x = cot ( \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ)
⇒ cot^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) – θ ……………………… (2)

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि
(A) tan^-1 5 – tan^-1 3 – tan^-1 \(\frac{1}{8}\)
(B) tan^-1 3 – tan^-1 2 = tan^-1 \(\frac{1}{7}\)
(C) tan^-1 7 – tan^-1 5 = tan^-1 \(\frac{1}{18}\)
हल:
(A) tan^-1 5 – tan^-1 3 = tan^-1 \(\frac{1}{8}\)
L.H.S = tan^-1 5 – tan^-1 3
= tan^-1 \(\frac { 5-3 }{ 1+5.3 } \) = tan^-1 \(\frac{2}{16}\) = tan^-1 \(\frac{1}{8}\)
= R.H.S. यही सिद्ध करना था।

(B) प्रश्न क्रमांक 11 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C) प्रश्न क्रमांक 11 (A) की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिये कि
(A) tan^-1 \(\frac{4}{7}\) – tan^-1 \(\frac{1}{5}\) = tan^-1 \(\frac{1}{3}\)
(B) tan^-1 \(\frac{1}{2}\) – tan^-1 \(\frac{2}{9}\) = tan^-1 \(\frac{1}{4}\)
(C) tan^-1 \(\frac{1}{7}\) + tan^-1 \(\frac{1}{8}\) = tan^-1 \(\frac{3}{11}\)
हल:
(A) tan^-1 \(\frac{4}{7}\) – tan^-1 \(\frac{1}{5}\) = tan^-1 \(\frac{1}{3}\)
L.H.S = tan^-1 \(\frac{4}{7}\) – tan^-1 \(\frac{1}{5}\)
= tan^-1 \(\frac { \frac { 4 }{ 7 } -\frac { 1 }{ 5 } }{ 1+\frac { 4 }{ 7 } .\frac { 1 }{ 5 } } \) = tan^-1 \(\frac{1}{3}\)
= tan^-1 \(\frac{13}{39}\) = tan^-1 \(\frac{1}{3}\)
= R.H.S यही सिद्ध करना था।

(B) प्रश्न क्रमांक 12 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C) प्रश्न क्रमांक 12 (A) की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 1 + tan^-1 2 + tan^-1 3 = π
हल: L.H.S. = tan^-1 1 + (tan^-1 2 + tan^-1 3)
= tan^-1 (1) + π + tan^-1 ( \(\frac { 2+3 }{ 1-2\times 3 } \) )
[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = π + tan^-1 \(\frac { x+y }{ 1-xy } \), यदि x > 0, y > 0, xy > 1, यहाँ xy = 6 > 1]
= tan^-1 (1) + π + tan^-1 ( \(\frac{5}{5-6}\) )
= tan^-1 (1) + π + tan^-1 (-1)
= tan^-1 (1) + π – tan^-1 (1), [∵tan^-1(-x) = – tan^-1 x]
= π = R.H.S
∵ बाएँ पक्ष की राशियाँ धनात्मक कोण बनाती हैं, अतः बायाँ पक्ष शून्य नहीं हो सकता।
अत: बायाँ पक्ष = π = दायाँ पक्ष। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 14.
यदि tan^-1 ( \(\frac{1}{2}\) ) + tan^-1 ( \(\frac{1}{k}\) ) = \(\frac { \pi }{ 4 } \) हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल: tan^-1 ( \(\frac{1}{2}\) ) + tan^-1 ( \(\frac{1}{k}\) ) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

⇒ \(\frac { k+2 }{ 2k-1 } \) = 1
⇒ k + 2 = 2k – 1
⇒ 2 + 1 = 2k – k
⇒ k = 3.

प्रश्न 15.
यदि tan^-1 ( \(\frac{3}{4}\) ) + tan^-1 ( \(\frac{1}{k}\) ) = \(\frac { \pi }{ 4 } \) हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्रमांक 14 की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर – k = 1.]

प्रश्न 16.
यदि tan^-1 ( \(\frac{4}{5}\) ) + tan^-1 ( \(\frac{1}{k}\) ) = \(\frac { \pi }{ 4 } \) हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रान क्रमांक 14 की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर – k = 9.]

प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 \(\sqrt{x}\) = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 ( \(\frac { 1-x }{ 1+x } \) )
हल:
R.H.S. = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 ( \(\frac { 1-x }{ 1+x } \) )
माना \(\sqrt{x}\) = tan θ
⇒ x = tan² θ
⇒ \(\frac { 1-x }{ 1+x } \) = \(\frac { 1-tan^{ 2 }\theta }{ 1+tan^{ 2 }\theta } \) = cos 2θ
∴ R.H.S = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 (cos 2θ)
= \(\frac{1}{2}\) × 2θ = θ
= tan^-1 ( \(\sqrt{x}\) ), [∵ \(\sqrt{x}\) = tanθ ⇒ tan^-1 ( \(\sqrt{x}\) ) = θ]
= L.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि
sin (cos^-1x) = cos (sin^-1x)
हल:
L.H.S.= sin (cos^-1 x)
= sin [ \(\frac { \pi }{ 2 } \) – sin^-1 x], [∵sin^-1 x + cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \), cos^-1 x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) – sin^-1 x] [∵ sin(90° – θ) = cos θ]
= cos (sin^-1 x),
= R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
(A) सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 ( \(\frac { b-c }{ 1+bc } \) ) + tan^-1 ( \(\frac { c-a }{ 1+ca } \) ) + tan^-1 a = tan^-1 b?
हल:
L.H.S = tan^-1 ( \(\frac { b-c }{ 1+bc } \) ) + tan^-1 ( \(\frac { c-a }{ 1+ca } \) ) + tan^-1 a
= tan^-1 b – tan^-1 c + tan^-1 c – tan^-1 a + tan^-1 a
= tan^-1 b = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

(B) सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 ( \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) ) + tan^-1 ( \(\frac { b-c }{ 1+bc } \) ) + tan^-1 c = tan^-1 a?
हल:
L.H.S = tan^-1 ( \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) ) + tan^-1 ( \(\frac { b-c }{ 1+bc } \) ) + tan^-1 c
= (tan^-1 a – tan^-1 b) + (tan^-1 b – tan^-1 c) + tan^-1 c
= tan^-1 a = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 20.
समीकरण हल कीजिए –
sin^-1 \(\frac { 2a }{ 1+a^{ 2 } } \) + sin^-1 \(\frac { 2b }{ 1+b^{ 2 } } \) = 2 tan^-1 x?
हल:
दिया गया समीकरण है:
sin^-1 \(\frac { 2a }{ 1+a^{ 2 } } \) + sin^-1 \(\frac { 2b }{ 1+b^{ 2 } } \) = 2 tan^-1 x
⇒ 2 tan^-1 a + 2 tan^-1 b = 2 tan^-1 x, [∵ sin^-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) = 2 tan^-1 x]
⇒ tan^-1 a + tan^-1 b = tan^-1 x
⇒ tan^-1 \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) = tan^-1 x
x = \(\frac { a-b }{ 1+ab } \)

प्रश्न 21.
समीकरण हल कीजिए –
cos^-1 ( \(\frac { 1-a^{ 2 } }{ 1+a^{ 2 } } \) ) – cos^-1 ( \(\frac { 1-b^{ 2 } }{ 1+b^{ 2 } } \) ) = 2 tan^-1 x?
हल:
दिया गया समीकरण है:
cos^-1 ( \(\frac { 1-a^{ 2 } }{ 1+a^{ 2 } } \) ) – cos^-1 ( \(\frac { 1-b^{ 2 } }{ 1+b^{ 2 } } \) ) = 2 tan^-1 x
⇒ 2 tan^-1 a – 2 tan^-1 = 2 tan^-1 x
⇒ tan^-1 a – tan^-1 b = tan^-1 x
⇒ tan^-1 \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) = tan^-1 x
∴ x = \(\frac { a-b }{ 1+ab } \)

प्रश्न 22.
(A) सिद्ध कीजिए –
2 tan^-1 \(\frac{1}{4}\) = tan^-1 \(\frac{8}{15}\)?
हल:
दिया है:
2 tan^-1 \(\frac{1}{4}\) = tan^-1 \(\frac{8}{15}\)
L.H.S = 2 tan^-1 \(\frac{1}{4}\)
= tan^-1 \(\frac { 2.1/4 }{ 1-(1/4)^{ 2 } } \) [∵ 2 tan^-1 x = tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1-x^{ 2 } } \) ]
= tan^-1 \(\frac { 1/2 }{ 15/16 } \)
= tan^-1 \(\frac{8}{15}\) = R.H.S यही सिद्ध करना था।

(B) सिद्ध कीजिए –
2 tan^-1 ( \(\frac{1}{2}\) ) = tan^-1 ( \(\frac{4}{3}\) )
हल:
दिया है:
2 tan^-1 ( \(\frac{1}{2}\) ) = tan^-1 ( \(\frac{4}{3}\) )
L.H.S = 2 tan^-1 ( \(\frac{1}{2}\) )

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 23.
सरलतम रूप में लिखिए –
tan^-1 \(\sqrt { \frac { 1-cosx }{ 1+cosx } } \)?
हल:
दिया है:

प्रश्न 24.
सरलतम रूप में लिखिए –
cos^-1 \(\sqrt { \frac { 1 }{ 2 } (1+cosx) } \)?
हल:
दिया है:

प्रश्न 25.
यदि tan^-1 a + tan^-1 b + tan^-1 c = \(\frac { \pi }{ 2 } \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि
ab + bc + ca = 1.
हल:
दिया है:
tan^-1 + tan^-1 b + tan^-1 c = \(\frac { \pi }{ 2 } \)
⇒ tan^-1a + tan^-1 b + tan^-1 c = tan^-1 a + cot^-1 a, [∵tan^-1 a + cot^-1 a = \(\frac { \pi }{ 2 } \) ]
⇒ tan^-1 b + tan^-1 c = cot^-1 a
⇒ tan^-1 ( \(\frac { b+c }{ 1-bc } \) ) = tan^-1 ( \(\frac{1}{a}\) )
⇒ \(\frac { b+c }{ 1-bc } \) = \(\frac{1}{a}\)
⇒ ab + ca = 1 – bc
⇒ ab + bc + ca = 1 यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 26.
सिद्ध कीजिए –
यही सिद्ध करना था।
tan^-1 \(\frac{2}{11}\) + cot^-1 \(\frac{24}{7}\) = tan^-1 \(\frac{1}{2}\)?
हल:
L.H.S. = tan^-1 \(\frac{2}{11}\) + cot^-1 \(\frac{7}{24}\)
= tan^-1 \(\frac{2}{11}\) + tan^-1 \(\frac{7}{24}\)

= tan^-1 [ \(\frac{125}{250}\) ] = tan^-1 \(\frac{1}{2}\) = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 27.
सिद्ध कीजिए –
cos^-1 x = 2 cos^-1 \(\sqrt { \frac { 1+x }{ 2 } } \)
= 2 cos^-1 \(\sqrt { \frac { 1+cos\theta }{ 2 } } \), ( x = cos θ रखने पर)
= 2 cos^-1 \(\sqrt { \frac { 2cos^{ 2 }\frac { \theta }{ 2 } }{ 2 } } \) = 2. \(\frac { \theta }{ 2 } \)
= cos^-1 x = L.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 28.
सिद्ध कीजिए –
cos^-1 x = 2 tan^-1 \(\sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \)?
हल:
R.H.S = 2 tan^-1 \(\sqrt { \frac { 1-x }{ 1+x } } \)

= 2. \(\frac { \theta }{ 2 } \) = θ = cos^-1 x = L.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 29.
सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 ( \(\frac{a}{b}\) ) – tan^-1 ( \(\frac { a-b }{ a+b } \) ) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)?
हल:
L.H.S = tan^-1 ( \(\frac{a}{b}\) ) – tan^-1 ( \(\frac { a-b }{ a+b } \) )

= tan^-1 1
= \(\frac { \pi }{ 4 } \) = R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
(A) सिद्ध कीजिए कि
sin^-1 \(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \) + sin^-1 \(\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)?
हल:
माना sin^-1 \(\frac { 1 }{ \sqrt { 5 } } \) = A, sin^-1 \(\frac { 1 }{ \sqrt { 10 } } \) = B
∴ A + B = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ sin(A + B) = sin \(\frac { \pi }{ 4 } \)
⇒ sinA cosB + cosA sinB = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
L.H.S = sinA \(\sqrt { 1-sin^{ 2 }B } \) + \(\sqrt { 1-sin^{ 2 }A } \). sin B

(B) निम्न समीकरण को हल कीजिए:
sin^-1 x + sin^-1 (1 – x) = sin^-1 \(\sqrt { 1-x^{ 2 } } \)?
हल:
दिया गया समीकरण है:
sin^-1 x + sin^-1 (1 – x) = sin^-1 \(\sqrt { 1-x^{ 2 } } \)

वर्ग करने पर,
x² (2x – x²) = x² (1 – x²)
⇒ x² (2x – x² – 1 + x²) = 0
⇒ x² (2x – 1) = 0
अतः x = 0, \(\frac{1}{2}\).

प्रश्न 2.
(A) सिद्ध कीजिए कि tan^-1 \(\frac { x+1 }{ x } \) – tan^-1 \(\frac { 1 }{ 2x+1 } \) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)?
(B) यदि tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = \(\frac { \pi }{ 2 } \) हो, तो सिद्ध कीजिए xy + yz + zx = xyz.
(C) यदि tan^-1 x + tan^-1 y + tan^-1 z = \(\frac { \pi }{ 2 } \), हो, तो सिद्ध कीजिए xy + yz + zx = 1.
हल:
(A) tan^-1 \(\frac { x+1 }{ x } \) – tan^-1 \(\frac { 1 }{ 2x+1 } \) = \(\frac { \pi }{ 4 } \)

= R.H.S. यही सिद्ध करना था।
(B) tan^-1 x + tan^-1 z = π

⇒ x + y + z – xyz = 0 [∵ tan π = 0]
∴ x + y + z = xyz. यही सिद्ध करना था।
(C) प्रश्न क्रमांक 2 (B) की भाँति tan \(\frac { \pi }{ 2 } \) = ∞ = \(\frac{1}{0}\), रखकर विद्यार्थी स्वयं हल करें।

प्रश्न 3.
सरलतम रूप में लिखिए –
tan^-1 [ \(\frac { \sqrt { 1+x^{ 2 }-1 } }{ x } \) ]?
हल:
tan^-1 [ \(\frac { \sqrt { 1+x^{ 2 }-1 } }{ x } \) ]
माना x = tan θ

प्रश्न 4.
(A) सिद्ध कीजिए –
\(\frac{1}{2}\) sin^-1 x = cot^-1 \(\frac { \sqrt { 1+x^{ 2 }-1 } }{ x } \)?
हल:
R.H.S. = cot^-1 \(\frac { \sqrt { 1+x^{ 2 }-1 } }{ x } \)

(B) सिद्ध कीजिए –
\(\frac{1}{2}\) cot^-1 x = cot^-1 ( \(\sqrt { 1+x^{ 2 }+x } \) )?
हल:
\(\frac{1}{2}\) cot^-1 x = cot^-1 ( \(\sqrt { 1+x^{ 2 }+x } \) )
R.H.S. = cot^-1 ( \(\sqrt { 1+x^{ 2 }+x } \) )
माना x = cot θ

प्रश्न 5.
समीकरण को हल कीजिए –
tan^-1 (x + 1) + tan^-1 (x – 1) = tan^-1 ( \(\frac{6}{17}\) )?
हल:
दिया है:
tan^-1 (x + 1) + tan^-1 (x – 1) = tan^-1 ( \(\frac{6}{17}\) )?

⇒ 17x = 6 – 3x²
⇒ 3x² + 18 x – x – 6 = 0
⇒ 3x(x + 6) -1 (x + 6) = 0
⇒ (x + 6) (3x – 1) = 0
∴ x = – 6, x = \(\frac{1}{3}\)

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि cos^-1 \(\frac{3}{5}\) + cos^-1 \(\frac{4}{5}\) = \(\frac { \pi }{ 2 } \)?
हल:
दिया है:
L.H.S = cos^-1 \(\frac{3}{5}\) + cos^-1 \(\frac{4}{5}\)

प्रश्न 7.
यदि cos^-1 x + cos^-1 y + cos^-1 z = π हो, तो सिद्ध कीजिए कि
x² + y² + z² + 2xyz = 1
हल:
दिया है:
cos^-1 x + cos^-1 y + cos^-1 z = π

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
x²y² + z² + 2xyz = (1 – x²) (1 – y²)
⇒ x²y² + z² + 2xyz = 1 – y² – x² + x²y²
⇒ z² + 2xyz = 1 – y² – x²
⇒ x² + y² + z² + 2xyz = 1. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
यदि sin^-1 \(\frac { 2a }{ 1+a^{ 2 } } \) – cos^-1 \(\frac { 1-b^{ 2 } }{ 1+b^{ 2 } } \) = tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1-x^{ 2 } } \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि x = \(\frac { a-b }{ 1+ab } \)?
हल:
यहाँ sin^-1 \(\frac { 2a }{ 1+a^{ 2 } } \) – cos^-1 \(\frac { 1-b^{ 2 } }{ 1+b^{ 2 } } \) = tan^-1 \(\frac { 2x }{ 1-x^{ 2 } } \) ………………………….. (1)
माना a = tan θ, b = tan ∅, x = tan Ψ
समी. (1) में इन मानों को रखने पर,

⇒ sin^-1 (sin 2θ) – cos^-1 (cos 2∅) = tan^-1 (tan 2Ψ)
⇒ 2θ – 2∅ = 2Ψ
⇒ θ – ∅ = Ψ
⇒ tan^-1 a – tan^-1 b = tan^-1 x
⇒ tan^-1 ( \(\frac { a-b }{ 1+ab } \) ) = tan^-1 x
⇒ x = \(\frac { a-b }{ 1+ab } \). यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि
tan^-1 \(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\) = \(\frac { \pi }{ 4 } \) – \(\frac{1}{2}\) cos¹ x
हल:
माना कि x = cos θ, तब θ = cos^-1 x

प्रश्न 10.
सरलतम रूप में लिखिये –
tan^-1 ( \(\frac { x }{ \sqrt { 1+x^{ 2 }-1 } } \) )?
हल:
tan^-1 ( \(\frac { x }{ \sqrt { 1+x^{ 2 }-1 } } \) ) में x = tan θ रखने पर,

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि –
tan^-1 \(\sqrt{x}\) = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 ( \(\frac { 1-x }{ 1+x } \) ) (NCERT)
हल:
R.H.S. = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 ( \(\frac { 1-x }{ 1+x } \) )

माना \(\sqrt{x}\) = tan θ
तब, θ = tan^-1 \(\sqrt{x}\)
= \(\frac{1}{2}\) cos^-1 ( \(\frac { 1-tan^{ 2 }\theta }{ 1+tan^{ 2 }\theta } \) )
= \(\frac{1}{2}\) cos^-1 (cos 2θ), [∵ cos^-1 (cos x) = x]
= \(\frac{1}{2}\) × 2θ
= θ
= tan^-1 \(\sqrt{x}\), [समी. (1) से]
= L.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि –
tan^-1 \(\frac { 6x-8x^{ 3 } }{ 1-12x^{ 2 } } \) – tan^-1 \(\frac { 4x }{ 1-4x^{ 2 } } \) = tan^-1 2x, जहाँ |2x| < \(\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } \) (CBSE 2016)
हल:
L.H.S. = tan^-1 \(\frac { 6x-8x^{ 3 } }{ 1-12x^{ 2 } } \) – tan^-1 \(\frac { 4x }{ 1-4x^{ 2 } } \)
= tan^-1 \(\frac { 3(2x)-(2x)^{ 3 } }{ 1-3(2x)^{ 2 } } \) – tan^-1 \(\frac { 2\times 2x }{ 1-(2x)^{ 2 } } \)
माना 2x = tanθ
तब,
θ = tan^-1 2x

= 3θ – 2θ = θ
= tan^-1 2x [समी. (1) से]
= R.H.S. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि –
cos^-1 \(\frac{4}{5}\) + cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = cos^-1 \(\frac{33}{65}\)?
हल:
L.H.S. = cos^-1 \(\frac{4}{5}\) + cos^-1 \(\frac{12}{13}\)

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 9 विविधा-1

विविधा-1 अभ्यास

विविधा-1 अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
पृथ्वी का आँचल किस प्रकार का कहा गया है?
उत्तर:
पृथ्वी का आँचल सुनहरी धानों जैसा कहा गया है।

प्रश्न 2.
बसन्त के आमगन पर प्रकृति में क्या-क्या परिवर्तन होते हैं? (2014)
उत्तर:
बसन्त के आगमन पर नवयुवती बेल रूपी दुल्हन ने नवीन कोपलों के वस्त्र धारण कर लिये हैं। भौरे गुंजार कर रहे हैं। बेलों के पुष्पों का हार पहन कर समीर धीरे-धीरे बहने लगता है। धरती रूपी नायिका का सुनहरी धान्य भरा आँचल लहराने लगा है।

प्रश्न 3.
‘धरती और बसन्त’ का आपस में क्या नाता है? (2017)
उत्तर:
धरती मानव है तो बसन्त मानवता है। यही नाता दोनों का है।

प्रश्न 4.
नये-नये फूल कवि को कैसे लगते हैं?
उत्तर:
नये-नये लाल फूल कवि को ऐसे लगते हैं मानो मनुष्य के हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति विधात्री आग का ही प्रतिरूप हो।

विविधा-1 लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
‘पल्लव वसना’ किसे कहा गया है? (2016)
उत्तर:
पल्लव वसना’ सूखी-सी डाल को कहा गया है जो बसन्त के आने पर पल्लवों से वस्त्रधारिणी बनेगी। वह डाली उस शैलपुत्री के समान है जिसने पत्ते भी खाना छोड़ दिया था और सूख गई थी। वह सूखी डाली बसन्त के आने पर पल्लवों से वस्त्रधारिणी बनेगी।

प्रश्न 2.
शिपार्वती और सूखी डाली के बीच कौन-कौनसी समानताएँ हैं?
उत्तर:
शिव को पति के रूप में प्राप्त करने के लिए शैलपुत्री ने पत्ते भी खाना छोड़ दिया था। अतः अत्यन्त कमजोर हो गईं थीं। इधर पतझड़ ऋतु के आने पर डालें पत्तों से रहित हो जाती हैं। फिर बसन्त के आने पर उनमें नवीन पत्ते आ जाते हैं। अर्थात् वह पल्लवों से वस्त्रधारिणी बनती हैं। पार्वती अपनी तपस्या के बाद शिवजी का वरण करेंगी। यह डाल रूपी वधू बसन्त के आने पर बासन्ती वस्त्र पहनेगी।

प्रश्न 3.
“धरती है मानव तो बसन्त मानवता है” कवि की इस उक्ति का आशय समझाइये।
उत्तर:
कवि ने अपनी कविता में बसन्त के सौन्दर्य को मनुष्य के माध्यम से ही व्यक्त किया है। बसन्त में खिले लाल पुष्प मानो मनुष्य के हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति रूपी आग का ही प्रतिरूप हैं। यह परस्पर आदान-प्रदान है, जो मनुष्य और प्रकृति के बीच निरन्तर चलता रहता है। मनुष्य जब मानवता की भावना से जुड़ता है तभी उसके भीतर बसन्त खिलता है। कवि ने यहाँ धरती को मानव तो बसन्त को मानवता माना है। जिस प्रकार बसन्त धरती पर आकर चारों ओर आल्हाद बिखेर देता है उसी प्रकार मानव जब मानवता को समझ लेता है और उसके हित में भागीदार होता है तो ही बसन्त आता है अर्थात् खुशियाँ छा जाती हैं।

विविधा-1 दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
निराला ने नवोत्कर्ष की बात किसके लिए कही है?
उत्तर:
निराला ने कहा है कि बसन्त आ गया है, जिससे सम्पूर्ण वन आनन्दित हो उठा है और चारों ओर सौन्दर्य का नया उत्कर्ष छा गया है। नवयुवती बेल रूपी दुल्हन ने नवीन कोंपलों के वस्त्र धारण कर लिये हैं और वृक्ष रूपी पति के गले से उमंगित होकर मिल रही है। भौरे गुंजार कर रहे हैं मानो बसन्त की वन्दना में चारण की भाँति गीत गा रहे हों। कोयल के स्वर को सुनकर आकाश के हृदय में प्रसन्नता भर गई है। समीर सुगन्धित फूलों का हार पहने धीरे-धीरे बहने लगा है। तालाब में कमल खिल गये हैं और कली के केशर रूपी केश बिखर गये हैं। बसन्त के आने पर चारों ओर नवोत्कर्ष स्पष्ट लक्षित हो रहा है।

प्रश्न 2.
“मधुव्रत में रत वधू मधुर फल देगी जग को स्वाद तोष दल” के भाव को स्पष्ट कीजिये।
उत्तर:
बसन्त के आगमन पर सूखी डाली बासन्ती वस्त्र धारण करेगी। यह वधू मधु का व्रत लेकर समस्त संसार को स्वाद का सन्तोष प्रदान करने वाला फल देगी। जिस शिव ने जहर को अमृत समझ कर पिया,ऐसे शीघ्र प्रसन्न होने वाले का बल समस्त संसार को उपहार में देगी। यह डाल रूपी वधू बासन्ती वस्त्र पहनेगी। इसका शुष्क एवं रूखापन बसन्त के आगमन पर पीलेपन में परिवर्तित हो जायेगा। यह पूरा वातावरण प्रसन्नता का द्योतक है। पुष्प मधु से भर जाते हैं। प्रस्तुत पंक्ति के दो भाव हैं

पार्वती के पक्ष में :
मधुर मिलन का व्रत लिए अनुरागिनी वधू मधुर फल (प्रिय-मिलन) को प्राप्त करेगी और संसार को सन्तोष रूपी स्वाद का फल प्रसाद रूप में देगी अर्थात् पार्वती भगवान शिव से विवाह करके जो मधुर फल प्राप्त करेंगी उसे जगत को दे देंगी। शीघ्र प्रसन्न होने वाली शिवजी की शक्ति से भी अमृत हो जायेगा।

बसन्त के पक्ष में :
डाल रूपी बधू मधु (बसन्त) के व्रत के मधुर मिलन की प्रतीक्षा में मग्न है और संसार को तृप्ति प्रदान करती फूलों की पाँखुरी से ग्रीष्म रूपी गरल का बसन्त रूपी अमृत बन जायेगा।

प्रश्न 3.
मुक्तिबोध ने प्रकृति को किस रूप में पहचाना है?
उत्तर:
मुक्तिबोध की अनुभूति अत्यन्त गम्भीर तथा मार्मिक है। कल्पना में प्रसूतों की महक है जो भावना सागर की लहरों को मोहित करने वाली है। मुक्तिबोध ने प्रकृति को मानवीय भावनाओं से जोड़ा है। धरती ने जो लाल-लाल फूल खिलाए हैं वे ऐसे लगते हैं जैसे मानव के हृदय में क्रान्ति की ज्वाला के उठते हुए भाव हों। बसन्त मानो पृथ्वी की ही छाया हो जो प्रकृति के ऊपर पड़कर चारों ओर के वातावरण को सुन्दर और सुखद बना देती है। धरती और बसन्त का नाता यह है कि धरती मानो मानव है तो बसन्त मानवता है। मनुष्य जब मानवता की भावना से जुड़ता है तभी उसके अन्दर बसन्त खिलता है। बसन्त में खिले लाल फूल मानो मनुष्य के हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति रूपी ज्वाला का ही प्रतिरूप हों। बसन्त की प्राकृतिक सुषमा का सम्बन्ध मनुष्य की चेतना से भी है।

प्रश्न 4.
‘मुझमें अपना ज्वलन्त बसन्त निहार लिया’ से कवि का क्या आशय है?
उत्तर:
इस पंक्ति से कवि का तात्पर्य है कि धरती ने अपना धानी घूघट खोल कर मेरे हृदय के ज्वलन्त बसन्त को देख लिया अर्थात् बसन्त में खिले लाल पुष्प मानो हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति रूपी ज्वाला का ही प्रतिरूप हों। मेरे हृदय में जलती अग्नि रूपी आसव को पीकर धरती ने लाल-लाल फूल खिलाए हैं। उन नये-नये फूलों में भी कवि को अग्नि दिखाई देती है क्योंकि उसके अन्दर भी क्रान्ति की आग सुलग रही है। मेरे अन्दर जो अग्नि की ज्वाला जल रही है वह मुझे बसन्त के लाल-लाल फूलों में दिखाई दे रही है। कवि ने मानव का धरती से तादात्म्य स्थापित किया है। अन्त में कवि ने स्पष्ट कर दिया है कि धरती यदि मानव है तो बसन्त मानवता है। धरती के मानव पर कोई कष्ट आयेगा तो उसे बसन्त भी कष्टदायक प्रतीत होगा। मनुष्य जब मानवता की भावना से जुड़ता है,तभी उसके भीतर बसन्त खिलता है।

प्रश्न 5.
मुक्तिबोध ने नये-नये फूलों का वर्णन किस रूप में किया है?
उत्तर:
मुक्तिबोध के काव्य में विचार तत्त्व की प्रधानता है। बसन्त की प्राकृतिक सुन्दरता का सम्बन्ध मनुष्य की चेतना से है। एक तरह से कवि ने बसन्त के सम्पूर्ण सौन्दर्य को मनुष्य के माध्यम से ही व्यक्त किया है। उन्होंने नये-नये फूलों का वर्णन मनुष्य के हृदय में जलती हुई क्रान्ति की ज्वाला से किया है। नये-नये फूल भी आग भरे लगते हैं। मैंने उनको पहचाना नहीं कि वे मेरे हैं, धरती को कहा वे सब तेरे हैं। धरती ने तो फूल मनुष्य के लिए ही खिलाए हैं। जब मनुष्य के हृदय में कोई संघर्ष चल रहा हो तो वे फूल उसे क्रान्ति को पूर्ण करने का ही उत्साह देते हैं। कवि बसन्त के लाल-लाल फूलों को अपने हृदय में जलती हुई क्रान्ति की ज्वाला के समान मानता है। धरती पर बसन्त तभी सुन्दर लगता है जब मानवता बेवश व पददलित न हो। मानव के समाज में समरसता का होना आवश्यक है। जब तक समाज में विषमता रहेगी बसन्त के फूल हृदय में जलती हुई ज्वाला के समान लगेंगे।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित पद्यांशों की सन्दर्भ सहित व्याख्या कीजिये
(1) किसलय वसना ……… तरु पतिका।
(2) हीरक-सी समीर ……. अपर्ण अशना।
(3) धरती ने ……….. निहार लिया।
(4) बसन्त नहीं हूँ ………… बसन्त मानवता है।
उत्तर:
(1) सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश कवि सूर्यकान्त त्रिपाठी ‘निराला’ द्वारा रचित ‘बसन्त गीत’ शीर्षक से उद्धृत है।

प्रसंग :
इस कविता में कवि ने प्रकृति सुन्दरी के सौन्दर्य का वर्णन किया है,जो बसन्त के आगमन पर अति प्रसन्न है। कवि ने यहाँ प्रकृति का मानवीकरण किया है।

व्याख्या :
हे सखि ! बसन्त आ गया है, जिससे सम्पूर्ण वन आनन्दित हो उठा है और चारों ओर सौन्दर्य ही सौन्दर्य छा गया है। नवयुवती बेल रूपी दुल्हन ने नवीन कोंपलों के वस्त्र धारण कर लिये हैं और वृक्ष रूपी प्रिय पति के गले से प्रफुल्लित होकर मिल रही है, इस समय भौरे गुंजार कर रहे हैं तो ऐसा प्रतीत होता है कि बसन्त की वन्दना में चारण की तरह गीत गा रहे हैं। कोयल के स्वर से आकाश भी प्रसन्न हो गया है।

सुगन्ध के भरे हुए पुष्पों का हार पहनकर समीर भी धीरे-धीरे बहने लगा है। वन की आँखों में भी यौवन का जादू जाग उठा है। तालाब में कमल खिल गये हैं और कली के केसर रूपी केश बिखर गये हैं। धरती रूपी नायिका का सुनहरी धान्य भरा अँचल लहराने लगा है।

(2) सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश कवि सूर्यकान्त त्रिपाठी “निराला’ द्वारा रचित ‘वसन बासंती लेगी’ शीर्षक से उधृत है।

प्रसंग :
इस कविता में निराला जी ने बसन्त के आने से सूखी डाली में जो परिवर्तन आता है उसका वर्णन किया है। डाल की उपमा उन्होंने पार्वती से दी है।

व्याख्या :
हे सखि ! सूखी-सी यह डाल बसन्ती रंग का वस्त्र धारण करेगी। देखो, यह डाली पत्ते भी न खाने वाली पार्वती के समान हवा की चमकीली माला से जाप कर तपस्या कर रही है। यह पल्लवों के वस्त्र धारण करेगी। इसने गले में फूलों की माला पहन रखी है। सभी पुष्पों का रस बसन्त उसके हृदय-सरोवर में भर देगा। तब वह कामदेव को हराने वाले शिवजी का वरण करेगी। वह सूखी डाली बासन्ती वस्त्र धारण करेगी। यह वधू मधु का व्रत लेकर समस्त संसार को स्वाद का सन्तोष प्रदान करने वाला फल देगी। जिस शिव ने जहर को अमृत समझकर पिया,ऐसे शीघ्र प्रसन्न होने वाले का बल सम्पूर्ण संसार को उपहार में देगी। यह डाल रूपी वधू बासन्ती वस्त्र पहनेगी। इसका शुष्क एवं रूखापन बसन्त के आगमन पर पीलेपन में परिवर्तित हो जायेगा।

(3) सन्दर्भ :
प्रस्तुत पंक्तियाँ ‘अमृत का चूंट शक्ति के’ नामक कविता से उद्धृत है। इसके रचयिता गजानन माधव मुक्तिबोध’ हैं।

प्रसंग :
इसमें कवि ने बसन्त की प्राकृतिक सुषमा का सम्बन्ध मनुष्य की चेतना से लिया है। बसन्त में खिले लाल पुष्प मानो मनुष्य के हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति रूपी आग का ही रूप है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि आज मैंने शक्तिरूपी अमृत का चूँट पी लिया है अर्थात् मुझमें चेतना और शक्ति आ गई है। धरती ने अपना धानी रंग का चूँघट उठा कर मेरे हृदय के अन्दर जलने वाली क्रान्ति की ज्वाला का बसन्त देख लिया है। धरती पर खिले हुए लाल-लाल फूल मनुष्य के हृदय में जलने वाली क्रान्ति की ज्वाला के समान हैं। नये-नये फूलों में भी अग्नि की ज्वाला दिखाई देती है उस मनुष्य को जो मानवता के लिए संघर्षरत है।

(4) सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
कवि ने प्रस्तुत पंक्तियों में बताया है कि धरती और बसन्त का गहरा सम्बन्ध है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि मैंने धरती के फूलों को अपना नहीं समझा। मैंने सोचा कि ये फूल धरती के हैं, धरती ने कहा कि ये सब तेरे हैं। बसन्त क्या है? बसन्त प्रकृति की लावण्यमयी छाया है जो पृथ्वी पर पड़ती है। धरती और मानव का अटूट नाता है। धरती मानव है तो बसन्त मानवता है। धरती पर जब मानव प्रसन्न होता है तो बसन्त आता है। यह परस्पर आदान-प्रदान है जो मनुष्य और प्रकृति के बीच निरन्तर चलता रहता है।

प्रश्न 7.
‘अमृत का चूंट शक्ति के’ कविता का केन्द्रीय भाव लिखिए। (2010)
उत्तर:

प्रस्तुत कविता ‘बसंत गीत ऋतु-चित्रण के महत्त्वपूर्ण कवि ‘सूर्यकान्त त्रिपाठी ‘निराला’ द्वारा रचित है। इस कविता में कवि ने ऋतुराज बसंत का बड़ा मनोहारी वर्णन किया है।

‘निराला’ छायावाद के श्रेष्ठ कवि हैं। उनकी कविता में समाज,संस्कृति,प्रकृति, अध्यात्म, व्यंग्य आदि भावों का समावेश है। वे निर्भीक कवि हैं। बसन्त वर्णन में तो वे सिद्धहस्त हैं ही। उनकी ऋतुपरक कविताओं में बसन्त के लिए सर्वाधिक स्थान है। प्रस्तुत कविता में बसन्त प्रसन्नता और उत्कर्ष का भाव लेकर आता है। यह मिलन की ऋतु है और रस-रंग का काल है। खेतों में पीताभ फसलें लहरा रही हैं। जीवन का उल्लास और प्रकृति का सौन्दर्य दोनों इस कविता में परिलक्षित होते हैं। पतझड़ में पत्तों से रहित हो जाने वाली डाल बसन्त आते ही पत्र-वसना हो जाती है। उसका तप,त्याग मानो सफल हो गया हो। बसन्त आकर सभी जगह रस भर देगा और सभी अच्छे कार्यों की तरह बसन्त भी इस पृथ्वी पर विस्तारित होगा। इस कविता में सूखी डाली को कवि ने तप करती हुई पार्वती के रूप में स्वीकार किया है। उसकी तपस्या के परिणामस्वरूप ही उसे बसन्त रूपी शिव से विवाह करने का अवसर प्राप्त होता है।

विविधा-1 काव्य सौन्दर्य

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के पर्यायवाची शब्द लिखिए
बसन्त, मधुप, सरसिज, पल्लव, गरल।
उत्तर:
बसन्त ऋतुराज, बासंत, ऋतुपति। मधुप-भौंरा, भ्रमर, अलि। सरसिज कमल,पंकज,नलिन। पल्लव-पत्ता,पत्र,कोपल। गरल-विष,जहर, हलाहल।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पंक्तियों में से अलंकार पहचान कर लिखिये
(अ) किसलय-वसना नव-वय लतिका
मिली मधुर प्रिय-उर तरु-पतिका
(ब) हीरक-सी-समीर-माला जप
(स) धरती ने खिलाये हैं ज्वलन्त लाल-लाल
उत्तर:
(अ) रूपक व मानवीकरण अलंकार।
(ब) उपमा अलंकार।
(स) पुनरुक्तिप्रकाश।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित पंक्तियों में शब्द गुण पहचान कर लिखिए
स्नेह-सरस भर देगा उर-सर स्मर हर को वरेगी
वसन बासंती लेगी।
उत्तर:
माधुर्य गुण है।

प्रश्न 4.
बसन्त नहीं हूँ केवल तेरी ही लावण्यमयी
छाया हूँ, तेरी ही जो मुझ पर ही छा गयी।
उपर्युक्त पंक्तियों में रस पहचान कर लिखिए।
रस का स्थायी-भाव भी लिखिए।
उत्तर:
शृंगार रस। स्थायी भाव-रति।

प्रश्न 5.
मुक्तक काव्य से आप क्या समझते हैं? आपकी पाठ्य-पुस्तक के पद्य भाग में कौन-कौन से पाठ मुक्तक काव्य की श्रेणी में आते हैं?
उत्तर:
मुक्तक काव्य-मुक्तक काव्य में किसी एक अनुभूति,भाव या कल्पना का चित्रण किया जाता है। इसमें प्रत्येक पद स्वतन्त्र एवं अपने आप में पूर्ण होता है। मुक्तक काव्य दो प्रकार के होते हैं-पाठ्य-मुक्तक और गेय मुक्तक। कबीर, तुलसी, वृंद,रहीम आदि कवियों के भक्ति और नीति विषयक दोहे पाठ्य-पुस्तक के अन्तर्गत आते हैं। गेय मुक्तक में भावों की प्रधानता रहती है। सूर, तुलसी,मीरा, प्रसाद, महादेवी वर्मा आदि के गीत गेय मुक्तक हैं।

प्रश्न 6.
निम्न पंक्तियों को पढ़िए तथा नीचे लिखे प्रश्नों के उत्तर दीजिए
उषा सुनहरे तीर बरसाती
जय-लक्ष्मी-सी उदित हुई,
उधर पराजित कालरात्रि भी,
जल में अंतर्निहित हुई।
1. ‘उषा के सुनहरे तीर बरसाने’ से क्या तात्पर्य है?
2. ‘कालरात्रि’ को पराजित क्यों कहा गया है?
3. ‘जय-लक्ष्मी-सी उदित हुई’ पंक्ति में प्रयुक्त अलंकार का नाम लिखिए।
4. उपर्युक्त पद्यांश का भाव लिखिए।
उत्तर:
1. ‘उषा के सुनहरे तीर बरसाने’ से तात्पर्य यह है कि प्रातःकाल सूर्योदय से पूर्व के समय, उषाकाल में पृथ्वी व आकाश में फैला प्रकाश सुनहरा होता है। उस सुनहरे प्रकाश की प्रारम्भिक किरणें ऐसी प्रतीत हो रही हैं,मानो आकाश में कोई सुनहरे तीरों की बारिश कर रहा हो।

2..उषा के आने पर रात्रि का अंधकार नष्ट हो जाता है तथा पृथ्वी पर चारों ओर प्रकाश फैल जाता है। जिस प्रकार युद्ध में हारने वाले का अस्तित्व ही नष्ट हो जाता है, उसी प्रकार दिन के निकलने पर रात का साम्राज्य नष्ट हो, विलुप्त हो जाता है। अतः कालरात्रि’ को पराजित कहा गया है।

3. ‘जय-लक्ष्मी-सी उदित हुई’ पंक्ति में उपमा अलंकार है।

4. भाव-उपर्युक्त पद्यांश में उषाकाल का सजीव चित्रण करते हुए कहा गया है कि जब प्रातःकाल से पहले उषाकाल आता है तो रात्रि का समस्त अंधकार नष्ट होने लगता है और सम्पूर्ण संसार में उषा की लालिमा छा जाती है। धीरे-धीरे दिन के उदय होने पर पृथ्वी एवं आकाश में प्रकाश फैलने लगता है और इस प्रकाश के हाथों पराजित रात का अंधकार विलुप्त हो जाता है अर्थात् रात का समापन होकर दिन का आगमन होने लगता है।

बसंत गीत, वसन बासंती लेगी भाव सारांश

प्रस्तुत कविता ‘बसंत गीत ऋतु-चित्रण के महत्त्वपूर्ण कवि ‘सूर्यकान्त त्रिपाठी ‘निराला’ द्वारा रचित है। इस कविता में कवि ने ऋतुराज बसंत का बड़ा मनोहारी वर्णन किया है।

‘निराला’ छायावाद के श्रेष्ठ कवि हैं। उनकी कविता में समाज,संस्कृति,प्रकृति, अध्यात्म, व्यंग्य आदि भावों का समावेश है। वे निर्भीक कवि हैं। बसन्त वर्णन में तो वे सिद्धहस्त हैं ही। उनकी ऋतुपरक कविताओं में बसन्त के लिए सर्वाधिक स्थान है। प्रस्तुत कविता में बसन्त प्रसन्नता और उत्कर्ष का भाव लेकर आता है। यह मिलन की ऋतु है और रस-रंग का काल है। खेतों में पीताभ फसलें लहरा रही हैं। जीवन का उल्लास और प्रकृति का सौन्दर्य दोनों इस कविता में परिलक्षित होते हैं। पतझड़ में पत्तों से रहित हो जाने वाली डाल बसन्त आते ही पत्र-वसना हो जाती है। उसका तप, त्याग मानो सफल हो गया हो। बसन्त आकर सभी जगह रस भर देगा और सभी अच्छे कार्यों की तरह बसन्त भी इस पृथ्वी पर विस्तारित होगा। इस कविता में सूखी डाली को कवि ने तप करती हुई पार्वती के रूप में स्वीकार किया है। उसकी तपस्या के परिणामस्वरूप ही उसे बसन्त रूपी शिव से विवाह करने का अवसर प्राप्त होता है।

बसंत गीत, वसन बासंती लेगी संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

(1) बसंत गीत
सखि बसंत आया।
भरा हर्ष वन के मन,
नवोत्कर्ष छाया।
किसलय-वसना नव-वय-लतिका
मिली मधुर प्रिय-उर तरु-पतिका
मधुप-वृन्द बन्दी
पिक-स्वर नभ सरसाया
लता-मुकुल-हार-गन्ध भार भर
बही पवन बंद मंद मंदतर
जागी नयनों में बन
यौवन की माया।
आवृत सरसी-उर-सरसिज उठे
केशर के केश कली के छूटे
स्वर्ण-शस्य-अंचल
पृथ्वी का लहराया।

शब्दार्थ :
नवोत्कर्ष = नया विकास; किसलय वसना = कोंपल रूपी वस्त्र धारण करने वाली; नव वय लतिका = तरुणी लता; तरु पतिका = वृक्ष ही जिसका पति है; मधुप-वृन्द = भौरों का समूह; मुकुल = कली; सरसी = तालाब; सरसिज = कमल; आवृत्त = ढके हुए; स्वणे-शस्य = पके हुए धान रूपी सुनहरा; अंचल = आँचल।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश कवि सूर्यकान्त त्रिपाठी ‘निराला’ द्वारा रचित ‘बसन्त गीत’ शीर्षक से उद्धृत है।

प्रसंग :
इस कविता में कवि ने प्रकृति सुन्दरी के सौन्दर्य का वर्णन किया है,जो बसन्त के आगमन पर अति प्रसन्न है। कवि ने यहाँ प्रकृति का मानवीकरण किया है।

व्याख्या :
हे सखि ! बसन्त आ गया है, जिससे सम्पूर्ण वन आनन्दित हो उठा है और चारों ओर सौन्दर्य ही सौन्दर्य छा गया है। नवयुवती बेल रूपी दुल्हन ने नवीन कोंपलों के वस्त्र धारण कर लिये हैं और वृक्ष रूपी प्रिय पति के गले से प्रफुल्लित होकर मिल रही है, इस समय भौरे गुंजार कर रहे हैं तो ऐसा प्रतीत होता है कि बसन्त की वन्दना में चारण की तरह गीत गा रहे हैं। कोयल के स्वर से आकाश भी प्रसन्न हो गया है।

सुगन्ध के भरे हुए पुष्पों का हार पहनकर समीर भी धीरे-धीरे बहने लगा है। वन की आँखों में भी यौवन का जादू जाग उठा है। तालाब में कमल खिल गये हैं और कली के केसर रूपी केश बिखर गये हैं। धरती रूपी नायिका का सुनहरी धान्य भरा अँचल लहराने लगा है।

काव्य सौन्दर्य :

1. प्रकृति को नायिका मान कर उसके रूप का वर्णन किया गया है।
2. सांगरूपक, श्लेष तथा मानवीकरण अलंकार है।
3. शृंगार रस का वर्णन है।
4. संस्कृतनिष्ठ समास-प्रधान माधुर्य गुण का प्रयोग हुआ है।

(2) वसन बासंती लेगी
रूखी री यह डाल,
वसन बासंती लेगी।
देख, खड़ी करती तप अपलक,
हीरक-सी-समीर-माला जप।
शैलसुता ‘अर्पण-अशना’
पल्लव-वसना बनेगी
वसन बासन्ती लेगी।
हार गले पहना फूलों का
ऋतुपति सकल सुकृत कूलों का
स्नेह सरस भर देगा उर-सर
स्मर हर को वरेगी
वसन बासंती लेगी।
मधुव्रत में रत वधू मधुर फल
देगी जग को स्वाद-तोष-दल
गरलामृत शिव आशुतोष-बल
विश्व सकल नेगी
वसन बासंती लेगी।

शब्दार्थ :
वसन = वस्त्र; शैलसुता = पार्वती; अर्पण-अशना = पत्तों को भी ग्रहण न करने वाली (पार्वती); सुकृत = पुण्य; स्मर-हर = कामदेव को पराजित करने वाले शिव; नेगी = उपहार देने वाला; गरलामृत = जहररूपी अमृत; आशुतोष = शिव, बासन्ती = बसन्त ऋतु में चलने वाली पवन; ऋतुपति = बसन्त; कूलों = किनारों।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश कवि सूर्यकान्त त्रिपाठी “निराला’ द्वारा रचित ‘वसन बासंती लेगी’ शीर्षक से उधृत है।

प्रसंग :
इस कविता में निराला जी ने बसन्त के आने से सूखी डाली में जो परिवर्तन आता है उसका वर्णन किया है। डाल की उपमा उन्होंने पार्वती से दी है।

व्याख्या :
हे सखि ! सूखी-सी यह डाल बसन्ती रंग का वस्त्र धारण करेगी। देखो, यह डाली पत्ते भी न खाने वाली पार्वती के समान हवा की चमकीली माला से जाप कर तपस्या कर रही है। यह पल्लवों के वस्त्र धारण करेगी। इसने गले में फूलों की माला पहन रखी है। सभी पुष्पों का रस बसन्त उसके हृदय-सरोवर में भर देगा। तब वह कामदेव को हराने वाले शिवजी का वरण करेगी। वह सूखी डाली बासन्ती वस्त्र धारण करेगी। यह वधू मधु का व्रत लेकर समस्त संसार को स्वाद का सन्तोष प्रदान करने वाला फल देगी। जिस शिव ने जहर को अमृत समझकर पिया,ऐसे शीघ्र प्रसन्न होने वाले का बल सम्पूर्ण संसार को उपहार में देगी। यह डाल रूपी वधू बासन्ती वस्त्र पहनेगी। इसका शुष्क एवं रूखापन बसन्त के आगमन पर पीलेपन में परिवर्तित हो जायेगा।

काव्य सौन्दर्य :

1. प्रकृति का मानवीकरण है,जो छायावादी कविता का प्रमुख गुण है।
2. समास-प्रधान संस्कृतनिष्ठ भाषा होते हुए भी मधुरता लिए है।
3. रूपक तथा मानवीकरण अलंकार है।
4. शृंगार रस एवं माधुर्य गुण है।

अमृत का घूँट शक्ति के भाव सारांश।

प्रस्तुत कविता ‘अमृत का चूंट शक्ति के’ नई कविता के महत्त्वपूर्ण कवि ‘गजानन माधव मुक्तिबोध’ द्वारा लिखित है। इस कविता में कवि ने ऋतु-वर्णन का सुन्दर वर्णन किया है।

गजानन माधव मुक्तिबोध’ नई कविता के महत्त्वपूर्ण कवि हैं। इनकी कविताओं में हमारे। समय के अन्तर्विरोध मिलते हैं। इनके काव्य में विचार तत्व प्रधान होता है। इनके प्रारम्भिक काव्य में ऋतु-वर्णन के सुन्दर चित्र प्राप्त होते हैं। बसन्त की प्राकृतिक सुन्दरता का सम्बन्ध मनुष्य। की चेतना से भी है। एक प्रकार से कवि ने बसन्त के पूर्ण सौन्दर्य को मनुष्य के माध्यम से ही व्यक्त किया है। बसन्त में खिले लाल पुष्प मानो मनुष्य के हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति की ज्वाला के समान हैं। यह परस्पर आदान-प्रदान है जो मनुष्य और प्रकृति के बीच सदा चलता रहता है। मनुष्य जब मानवता की भावना से जुड़ता है,तभी उसके अन्दर बसन्त खिलता है। इस कविता में रूपक के माध्यम से यही सत्य प्रकट किया गया है।

अमृत का घूँट शक्ति के संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

(1) आज मैने शक्ति के अमृत का घुट पिया,
धरती ने अपना धानी पूँघट उघार कर
मुझमें अपना ज्वलन्त वसन्त निहार लिया।
मेरी हृदय-अग्नि के आसव को पिये,
अरे धरती ने खिलाये हैं ज्वलन्त लाल-लाल
नये-नये फूल कैसे लगते हैं आग भरे
जीवन-सुहाग भरे !!

शब्दार्थ :
धानी = सुनहरे रंग का; ज्वलन्त = जलता हुआ; निहार = देखना।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पंक्तियाँ ‘अमृत का चूंट शक्ति के’ नामक कविता से उद्धृत है। इसके रचयिता गजानन माधव मुक्तिबोध’ हैं।

प्रसंग :
इसमें कवि ने बसन्त की प्राकृतिक सुषमा का सम्बन्ध मनुष्य की चेतना से लिया है। बसन्त में खिले लाल पुष्प मानो मनुष्य के हृदय के भीतर जलने वाली क्रान्ति रूपी आग का ही रूप है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि आज मैंने शक्तिरूपी अमृत का चूँट पी लिया है अर्थात् मुझमें चेतना और शक्ति आ गई है। धरती ने अपना धानी रंग का चूँघट उठा कर मेरे हृदय के अन्दर जलने वाली क्रान्ति की ज्वाला का बसन्त देख लिया है। धरती पर खिले हुए लाल-लाल फूल मनुष्य के हृदय में जलने वाली क्रान्ति की ज्वाला के समान हैं। नये-नये फूलों में भी अग्नि की ज्वाला दिखाई देती है उस मनुष्य को जो मानवता के लिए संघर्षरत है।

काव्य सौन्दर्य :

1. भाषा संस्कृतनिष्ठ होते हुए भी सरल है।
2. कवि की अनुभूति अत्यन्त गम्भीर एवं मार्मिक है।
3. प्रतीक एवं बिम्बों का प्रयोग किया गया है।

(2) मैंने पहचाना भी नहीं कि वे मेरे हैं,
धरती को कहा, तेरे फूल सब तेरे हैं
बसन्त नहीं हूँ,  केवल तेरी ही लावण्यमयी
छाया हूँ, तेरी ही जो मुझ पर छा गयी !!
धरती औ’ बसन्त के समान ही जो नाता है
धरती है मानव तो बसन्त मानवता है !!

शब्दार्थ :
लावण्यमयी = सुन्दरता से भरी।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
कवि ने प्रस्तुत पंक्तियों में बताया है कि धरती और बसन्त का गहरा सम्बन्ध है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि मैंने धरती के फूलों को अपना नहीं समझा। मैंने सोचा कि ये फूल धरती के हैं, धरती ने कहा कि ये सब तेरे हैं। बसन्त क्या है? बसन्त प्रकृति की लावण्यमयी छाया है जो पृथ्वी पर पड़ती है। धरती और मानव का अटूट नाता है। धरती मानव है तो बसन्त मानवता है। धरती पर जब मानव प्रसन्न होता है तो बसन्त आता है। यह परस्पर आदान-प्रदान है जो मनुष्य और प्रकृति के बीच निरन्तर चलता रहता है।

काव्य सौन्दर्य :

1. भाषा सहज और सरल है।
2. धरती को मानव और बसन्त को मानवता का रूपक दिया गया है।
3. मानवीकरण की छटा दर्शनीय है।

MP Board Class 12th Hindi Solutions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 3 आव्यूह

आव्यूह Important Questions

आव्यूह वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
यदि A = \(\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}\) तथा A + A’ = I, तो α का मान है –
(a) \(\frac { \pi }{ 6 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)
(c) π
(d) \(\frac { 3\pi }{ 2 } \)
उत्तर:
(b) \(\frac { \pi }{ 3 } \)

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
{2} & {0} & {0} \\
{0} & {2} & {0} \\
{0} & {0} & {2}
\end{array}\right]\) हो, तो A⁵ बराबर होगा –
(a) 5 A
(b) 10 A
(c) 16 A
(d) 32 A
उत्तर:
(c) 16 A

प्रश्न 3.
यदि एक आव्यूह सममित तथा विषम सममित दोनों ही है, तो –
(a) A एक विकर्ण आव्यूह है
(b) A एक शून्य आव्यूह है
(c) A एक वर्ग आव्यूह है
(d) A इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) A एक शून्य आव्यूह है

प्रश्न 4.
यदि A = \(\begin{bmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & -\alpha \end{bmatrix}\) इस प्रकार है, कि A² = I तो –
(a) 1 + α² + βγ = 0
(b) 1 – α² + βγ = 0
(c) 1 – α² – βγ = 0
(d) 1 + α² – βγ = 0
उत्तर:
(c) 1 – α² – βγ = 0

प्रश्न 5.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\) हो तो Aⁿ = ……………………………
(a) A = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), यदि n सम प्राकृत संख्या
(b) A = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), यदि n विषम प्राकृत संख्या
(c) A = \(\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), यदि n ∈ N
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(a) A = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\), यदि n सम प्राकृत संख्या

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि A = \(\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\) तथा B = \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) हो, तो AB का मान.
   …………………………………. होगा।
2. यदि A = diag [1, – 1, 2] तथा B = diag [2, 3, – 1] हो, तो 3A + 4B का मान ……………………………. होगा।
3. एक वर्ग आव्यूह A समशम आव्यूह कहलाता है, यदि ……………………………….
4. एक वर्ग आव्यूह A लाम्बिक आव्यूह कहलाता है, यदि …………………………..
5. यदि [x, 1] \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}\) = 0, तो x का मान…………. होगा।

उत्तर:

1. \(\begin{bmatrix} 10 & 26 \\ 7 & 19 \end{bmatrix}\)
2. diag [11, 9, 2]
3. A² = A
4. AA’ = A’A = I
5. x = 2

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. गुणन संक्रिया क्रम-विनिमेय नियम का सदैव पालन करती है।
2. दो आव्यूह तुलनीय कहलाते हैं यदि उनमें पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या समान हो।
3. यदि A एक वर्ग आव्यूह हो, तो A.adj A = |A|I होता है।
4. वर्ग आव्यूह A सममित आव्यूह कहलाती है, यदि A = -A^T।
5. आव्यूह A तथा B एक-दूसरे के व्युत्क्रम होंगे यदि AB = BA

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –

उत्तर:

1. (d)
2. (e)
3. (a)
4. (b)
5. (c).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. यदि A और B एक ही क्रम के वर्ग आव्यूह हों तो Adj (AB) का मान क्या होगा?
2. एक वर्ग आव्यूह A प्रतिकेन्द्रज कहलाता है, यदि –
3. यदि A = \(\begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}\) हो, तो A² का मान होगा।
4. यदि A = [1, 2, 3], तो AA^T का मान ज्ञात कीजिए।
5. यदि x + Y = \(\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) तथा X – Y = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\) तो X का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. Adj.(AB) = (Adj B).(Adj A)
2. A² = I
3. – 1
4. [14]
5. \(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)

आव्यूह लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि A = \(\begin{bmatrix} a^{ 2 }+b^{ 2 } & b^{ 2 }+c^{ 2 } \\ a^{ 2 }+c^{ 2 } & a^{ 2 }+b^{ 2 } \end{bmatrix}\) हो, तो A + B ज्ञात कीजिए।
हल:
A+ B = \(\begin{bmatrix} a^{ 2 }+b^{ 2 } & b^{ 2 }+c^{ 2 } \\ a^{ 2 }+c^{ 2 } & a^{ 2 }+b^{ 2 } \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 2ab & 2bc \\ -2ac & -2ab \end{bmatrix}\)

प्रश्न 2.
यदि A = \(\begin{bmatrix} cos^{ 2 }x & sin^{ 2 }x \\ sin^{ 2 }x & cos^{ 2 }x \end{bmatrix}\) तथा B = \(\begin{bmatrix} sin^{ 2 }x & cos^{ 2 }x \\ cos^{ 2 }x & sin^{ 2 }x \end{bmatrix}\) हो, तो A + B ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
A + B = \(\begin{bmatrix} cos^{ 2 }x & sin^{ 2 }x \\ sin^{ 2 }x & cos^{ 2 }x \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} sin^{ 2 }x & cos^{ 2 }x \\ cos^{ 2 }x & sin^{ 2 }x \end{bmatrix}\)

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
{\frac{2}{3}} & {1} & {\frac{5}{3}} \\
{\frac{1}{3}} & {\frac{2}{3}} & {\frac{4}{3}} \\
{\frac{7}{3}} & {2} & {\frac{2}{3}}
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc}
{\frac{2}{5}} & {\frac{3}{5}} & {1} \\
{\frac{1}{5}} & {\frac{2}{5}} & {\frac{4}{5}} \\
{\frac{7}{5}} & {\frac{6}{5}} & {\frac{2}{5}}
\end{array}\right]\) हो, तो 3A – 5B परिकलित कीजिए।
हल:

प्रश्न 4.
सरल कीजिए –
cos θ \(\begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}\) + sin θ \(\begin{bmatrix} sin\theta & -cos\theta \\ cos\theta & sin\theta \end{bmatrix}\)
हल:

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समीकरण से x तथा y के मानों को ज्ञात कीजिए – (NCERT)
2 \(\begin{bmatrix} x & 5 \\ 7 & y-3 \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 15 & 14 \end{bmatrix}\)?
हल:
दिया है –

समान आव्यूह की परिभाषा से,
2x + 3 = 7
⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
⇒ 2y – 4 = 14
⇒ 2y = 18 ⇒ y = 9
∴ x = 2, y = 9

प्रश्न 6.
X तथा Y ज्ञात कीजिए यदि X + Y = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}\) तथा X – Y = \(\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) है। (NCERT)
हल:
दिया है:
X + Y = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}\) ……………………………. (1)
तथा
X – Y = \(\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\) ……………………………….. (2)
समी. (1) और (2) को जोड़ने पर,
2X = \(\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)

समी. (1) में (2) को घटाने पर,

प्रश्न 7.
x तथा y ज्ञात कीजिए यदि
2 \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}\)? (NCERT)
हल:
दिया है:
2 \(\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & x \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} y & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 1 & 8 \end{bmatrix}\)

समान आव्यूह की परिभाषा से,
2 + y = 5 ⇒ y = 3
2x + 2 = 8
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 3
∴ x = 3, y = 3.

प्रश्न 8.
यदि \(\left[\begin{array}{c}
{x+y+z} \\
{x+z} \\
{y+z}
\end{array}\right]\) = [ \(\begin{matrix} 9 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}\) ] हो तो x, yतथा z के मान कीजिये
हल:
दिया है:
\(\left[\begin{array}{c}
{x+y+z} \\
{x+z} \\
{y+z}
\end{array}\right]\) = [ \(\begin{matrix} 9 \\ 5 \\ 7 \end{matrix}\) ]
सामान आतुयह की परोबाशा से
x + y + 2 = 9
x+ z = 5
y + z = 7
समी. (1) और (2) से,
x + z + y = 9
⇒ 5 + y = 9
⇒ y = 4
समी. (1) और (3) से,
x + (y + z) = 9
⇒ x + 7 = 9
⇒ x = 2
x का मान समी. (2) में रखने पर,
2 + z = 5
⇒ z = 3
∴ x = 2, y = 4, z = 3.

प्रश्न 9.
यदि
\(\begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}\)
हो, तो x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिया है:
\(\begin{bmatrix} x+y & 2 \\ 5+z & xy \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}\)
समान आव्यूह की परिभाषा से,
x + y = 6 …………………………. (1)
xy = 8 ………………………… (2)
5 + z = 5
⇒ z = 0
समी. (1) से,
y = 6 – x
xy = 8
⇒ x (6 – x) = 8
⇒ 6x – x² = 8
⇒ x² – 6x + 8 = 0
⇒ x² – 4x – 2x + 8 = 0
⇒ x(x – 4) – 2(x – 4) = 0
⇒ (x – 2) (x – 4) = 0
⇒ x = 2, 4
जब x = 2 तब y = 6 – 2 = 4
जब x = 4 तब y = 6 – 4 = 2
अतः
x = 2, y = 4, z = 0
x = 4, y = 2, z = 0.

प्रश्न 10.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए A² – 4A + 5I = 0?
हल:
दिया है
A = \(\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)
A² = A. A = \(\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 11.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए A² – 6A + 17I = 0?
हल:
A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
A² = A.A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 12.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि A² – 5A + 7I = 0? (NCERT)
हल:
A² = A.A = \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) × \(\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 13.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -2 \end{bmatrix}\) और I = \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\) हो, तो k का मान ज्ञात कीजिए यदि A² = KA – 2I? (NCERT)
हल:
माना A² = kA – 2I
⇒ kA = A² + 2I

प्रश्न 14.
यदि f (x) = x² – 2x – 3, तो f (A) ज्ञात कीजिए जब A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)?
हल:
f (x) = x² – 2x – 3
∴ f (A) = A² – 24A – 3I

प्रश्न 15.
यदि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}
{0} & {a} & {-3} \\
{2} & {0} & {-1} \\
{b} & {1} & {0}
\end{array}\right]\) विषम सममित है तो ‘a’ तथा ‘b’ के मान ज्ञात कीजिये। (CBSE 2018)
हल:
यदि A आव्यूह विषम सममित है तो A’ = – A

2 = – a या a = – 2
– 3 = – b या b = 3.

प्रश्न 16.
यदि A = \(\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}\) है तो सिद्ध कीजिए –
AA^-1 = I?
हल:
दिया है:
A = \(\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}\)
A^-1 = \(\frac { adjA }{ |A| } \)
|A| = \(\begin{vmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{vmatrix}\)
= cos² α – ( – sin² α)
= cos² α + sin² α = 1
∴ |A| = 1 …………………………….. (1)

प्रश्न 17.
यदि A = \(\begin{bmatrix} cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha \end{bmatrix}\) है तो सिद्ध कीजिए –
A. (Adj A) = |A|I?
हल:

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि वर्ग आव्यूह A = \(\begin{vmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{vmatrix}\) लाम्बिक आव्यूह है। [
हल:

इसी प्रकार A’. A = I
तब A. A’ = A’. A = I
अतः A लाम्बिक आव्यूह है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}\) तथा B = \(\begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}\) हो, तो (AB)^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
A = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}\), B = \(\begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}\)
A. B = \(\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 7 & 5 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 20.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि
2A^-1 = 9I – A? (CBSE 2018)
हल:
दिया है,
A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 7 \end{bmatrix}\)

अतः समी (1) और (2) से,
2A^-1 = 9I – A

प्रश्न 21.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)’ = B’A’ जहाँ A = [ \(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{matrix}\) ] B = [-1 2 1]? (NCERT)
हल:
AB = [ \(\begin{matrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{matrix}\) ] _3×1 [ \(\begin{matrix} -1 & 2 & 3 \end{matrix}\) ] _1×3



अतः समी (1) और (2) से,
(AB)’ = B’A’

आव्यूह दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
A. adj A = (adjA). A = (adj A). A = |A| I?
हल:
दिया है,
A = \(\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\)
तब
|A| = \(\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) = 5 – 12 = -7
A₁₁, A₁₂ = – 3, A₂₁ = – 4, A₂₂ = 1

⇒ (adj A). A = \(\begin{bmatrix} -7 & 0 \\ 0 & -7 \end{bmatrix}\)
⇒ (adj A). A = – 7 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
⇒ (adj A).A = |A| I ………………………….. (2)
अतः समी (1) और (2) से,
A.adj A = (adjA). A = |A| I. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A?
हल:
प्रश्न क्र. 1 की भाँति हल करें।

प्रश्न 3.
यदि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{lll}
{0} & {0} & {1} \\
{0} & {1} & {0} \\
{1} & {0} & {0}
\end{array}\right]\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि A^-1 = A?
हल:
दिया है:
A = \(\left[\begin{array}{lll}
{0} & {0} & {1} \\
{0} & {1} & {0} \\
{1} & {0} & {0}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 4.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{lll}
{2} & {3} & {1} \\
{3} & {4} & {1} \\
{3} & {7} & {2}
\end{array}\right]\) का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है,
A = \(\left[\begin{array}{lll}
{2} & {3} & {1} \\
{3} & {4} & {1} \\
{3} & {7} & {2}
\end{array}\right]\)
∴ |A| = 2(4 × 2 – 7 × 1) – 3(3 × 2 – 3 × 1) + 1(3 × 7 – 3 × 4)
= 2(8 – 7) – 3(6 – 3) + 1(21 – 12)
= 2(1) – 3(3) + 1(9)
= 2 – 9 + 9 = 2
स्पष्ट है कि |A| ≠ 0
अतः A^-1 का अस्तित्व है।
अब |A| के अवयवों का सहखण्ड है –
A₁₁ = +(8 – 7) = 1, A₁₂ = -(6 – 3) = -3
A₁₃ = +(21 – 12) = 9, A₂₁ = -(6 – 7) = 1
A₂₂ = +(4 – 3) = 1, A₂₃ = -(14 – 9) = -5
A₃₁ = +(3 – 4) = -1, A₃₂ = -(2 – 3) = 1
A₃₃ = +(8 – 9) = -1

प्रश्न 5.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {3} \\
{2} & {4} & {5} \\
{3} & {5} & {6}
\end{array}\right]\) हो, तो A^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल: प्रश्न क्र. 4 की भाँति हल कीजिए।
उत्तर:
\(\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {3} \\
{2} & {4} & {5} \\
{3} & {5} & {6}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 6.
यदि A = \(\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {2} \\
{2} & {1} & {2} \\
{2} & {2} & {1}
\end{array}\right]\) हो, तो A^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है, A = \(\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {2} \\
{2} & {1} & {2} \\
{2} & {2} & {1}
\end{array}\right]\)
|A| = \(\left[\begin{array}{lll}
{1} & {2} & {2} \\
{2} & {1} & {2} \\
{2} & {2} & {1}
\end{array}\right]\)
⇒ |A| = 1(1 – 4) + 2(4 – 2) + 2 (4 – 2)
= – 3 + 4 + 4 = 5
|A| ≠ 0, इसलिए A^-1 का अस्तित्व है।

प्रश्न 7.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
A² – 2A + 3I = 0?17
हल:
दिया है,
A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 8.
यदि A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) हो, तो दर्शािइये कि A² – 6A + 17I = 0 तथा A^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
A = \(\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 9.
यदि A = \(\begin{bmatrix} -8 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\) हो, तो दर्शाइये A² + 4A – 42I = 0 तथा A^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 8 की भाँति हल कीजिए।
उत्तर:
A^-1 = \(\frac{1}{42}\) \(\begin{bmatrix} -4 & 5 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 10.
आव्यूह विधि से निम्न समीकरणों को हल कीजिए –
x + y + 2 = 3
2x – y + z = 2
x – 2y + 3z = 2
हल:
यहाँ A = \(\left[\begin{array}{lll}
{1} & {1} & {1} \\
{2} & {-1} & {1} \\
{1} & {-2} & {3}
\end{array}\right]\), X = [ \(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\) ] तथा B = [ \(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}\) ]

प्रश्न 11.
आव्यूह विधि से निम्न समीकरण हल कीजिये।
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 4y + 9z = 36?
हल:
दिया गया समीकरण निकाय है –
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 4y + 9z = 36.
उपरोक्त समीकरण निकाय का आव्यूह रूप है –
AX = B

प्रश्न 12.
यदि A’ = \(\left[\begin{array}{rr}
{3} & {4} \\
{-1} & {2} \\
{0} & {1}
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rrr}
{-1} & {2} & {1} \\
{1} & {2} & {3}
\end{array}\right]\) है तो सत्यापित कीजिये की

(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’ (NCERT)

हल:




अतः समी (1) और (4) से,
(A – B)’ = A’ – B’ यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rrr}
{-1} & {2} & {3} \\
{5} & {7} & {9} \\
{-2} & {1} & {1}
\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rrr}
{-4} & {1} & {-5} \\
{1} & {2} & {0} \\
{1} & {3} & {1}
\end{array}\right]\) हो, तो सत्यापित कीजिए कि
(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’
हल:
प्रश्न क्र. 12 की भाँति हल करें। (NCERT)

प्रश्न 14.
आव्यूह A = \(\begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\) को सममित और विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में प्रदर्शित कीजिए? (NCERT)
हल:

प्रश्न 15.
(A) प्रारंभिक संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए आव्यूह A = \(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{bmatrix}\) का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए? (NCERT)
हल:
A = AI के प्रयोग से,

(B)
प्रारंभिक संक्रियाओं का प्रयोग करते हुए आव्यूह A = \(\begin{bmatrix} 3 & 10 \\ 2 & 7 \end{bmatrix}\) का व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: प्रश्न क्र. 15 (A) की भाँति हल करें।
उत्तर- \(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}\)

प्रश्न 16.
आव्यूह विधि के प्रयोग से निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए – (NCERT)
\(\frac{2}{x}\) + \(\frac{3}{y}\) + \(\frac{10}{z}\) = 4 (CBSE 2011)
\(\frac{4}{x}\) – \(\frac{6}{y}\) + \(\frac{5}{z}\) = 1
\(\frac{6}{x}\) + \(\frac{9}{y}\) – \(\frac{20}{z}\) = 2, x, y, z, ≠ 0
हल:
माना
\(\frac{1}{x}\) = u, \(\frac{1}{y}\) = v, \(\frac{1}{z}\) = w, तब
2u+ 3v+ 10w = 4
4u – 6v + 5w = 1
6u + 9v – 20w = 2
उपरोक्त समीकरण निकाय का आव्यूह रूप है –
AX = B

⇒ |A| = 2 × (120 – 45) – 3(-80 – 30) + 10(36 + 36)
⇒ |A| = 150 + 330 + 720 = 1200
⇒ |A| ≠ 0 अर्थात् A व्युत्क्रमणीय है।
अतः समीकरण निकाय संगत है और अद्वितीय हल निम्न है –
X = A^-1 B
माना A में अवयव a_ij का सहखण्ड A_ij है, तब

प्रश्न 17.
A^-1 ज्ञात कीजिये जहाँ इसकी सहायता से निम्न निम्न समीकरण निकाय को हल कीजिये –
x + 2y – 3z = -4
2x + 3y + 2z = 2
3x – 3y – 4z = 11 (CBSE 2008, 10, 12)
हल:

प्रश्न 18.
\(\left[\begin{array}{ccc}
{-4} & {4} & {4} \\
{-7} & {1} & {3} \\
{5} & {-3} & {-1}
\end{array}\right]\) \(\left[\begin{array}{ccc}
{1} & {-1} & {1} \\
{1} & {-2} & {-2} \\
{2} & {1} & {3}
\end{array}\right]\) का गुणनफल ज्ञात कीजिए तथा इसकी सहायता से समीकरण निकाय को हल कीजिए – (CBSE 2012)
x – y + z = 4
x – 2y – 2x = 9
2x + y + 3z = 1.
हल:
माना B = \(\left[\begin{array}{ccc}
{-4} & {4} & {4} \\
{-7} & {1} & {3} \\
{5} & {-3} & {-1}
\end{array}\right]\) और A = \(\left[\begin{array}{ccc}
{1} & {-1} & {1} \\
{1} & {-2} & {-2} \\
{2} & {1} & {3}
\end{array}\right]\)

प्रश्न 19.
4kg प्याज, 3kg गेहूँ और 2kg चावल का मूल्य 60 रु. है। 2kg प्याज, 4kg गेहूँ और 6kg चावल का मूल्य 90 रु. है। 6kg प्याज, 2kg गेहूँ और 3kg चावल का मूल्य 70 रु. है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।
हल:
माना 1 kg प्याज का मूल्य = x रु.
1 kg गेहूँ का मूल्य = y रु.
1 kg चावल का मूल्य = zरु.
प्रश्नानुसार,
4x + 3y + 2z = 60
2x + 4y + 6z = 90
6x + 2y + 3z = 70
आव्यूह रूप है –
AX = B

⇒ |A| = 4(12 – 12) – 3(6 – 36) + 2(4 – 24)
⇒ |A| = 0 + 90 – 40 = 50 ≠ 0
⇒ A^-1 का अस्तित्व है।
अतः समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है –
X = A^-1 B
माना A में a_ij का सहखण्ड A_ij है, तब

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Chemistry Important Questions Chapter 14 Biomolecules

Biomolecules Important Questions

Biomolecules Objective Type Questions

Question 1.
Choose the correct answer :

Question 1.
Which protein transports oxygen in blood flow :
(a) Haemoglobin
(b) Insulin
(c) Albumin
(d) Myoglobin.
Answer:
(a) Haemoglobin

Question 2.
Enzyme which enhances the conversion of glucose to ethanol is :
(a) Zymase
(b) Invertase
(c) Maltase
(d) Diastase.
Answer:
(a) Zymase

Question 3.
In human body carbohydrate is stored :
(a) In the form of glucose
(b) In the form of glycogen
(c) In the form of starch
(d) In the form of fructose.
Answer:
(b) In the form of glycogen

Question 4.
Change in optical rotation of a freshly prepared solution of sugar after some time is called :
(a) Optical activity
(b) Inversion
(c) Specific rotation
(d) Mutation.
Answer:
(b) Inversion

Question 5.
Formula of most familiar disachharide is :
(a) C₁₀H₁₈O₉
(b) C₁₀H₁₂O₁₀
(c) C₁₈H₂₂O₁₁
(d) C₁₂H₂₂O₁₁.
Answer:
(d) C₁₂H₂₂O₁₁.

Question 6.
The following statement is false in relation to Ribose :
(a) It is a polyhydroxy compound
(b) It is a aldehydic sugar
(c) It contain 6 carbon atoms
(d) It has optical rotation.
Answer:
(c) It contain 6 carbon atoms

Question 7.
How many subunits are present in haemoglobin :
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5.
Answer:
(b) 3

Question 8.
Starch is polymer of :
(a) Glucose
(b) Sucrose
(c) Both (a) and (b)
(d) None of these.
Answer:
(a) Glucose

Question 9.
Which sugar is present in maximum amount in human blood :
(a) Fructose
(b) d – glucose
(c) Sucrose
(d) Lactose.
Answer:
(b) d – glucose

Question 10.
Element present in vitamin B₁₂ is :
(a) Pb
(b) Zn
(c) Fe
(d) Co.
Answer:
(d) Co.

Question 11.
Amount of glucose in blood is determined by :
(a) Tollen’s reagent
(b) Benedict’s solution
(c) Alkaline iodine solution
(d) Bromine water.
Answer:
(b) Benedict’s solution

Question 12.
Vitamin B, is : (MP2014)
(a) Riboflavin
(b) Cobaltamine
(c) Thiamine
(d) Pyrimidine.
Answer:
(c) Thiamine

Question 13.
Deficiency of Vitamin C leads to :
(a) Scurvy
(b) Rickets
(c) Pyorrhoea
(d) Anaemia.
Answer:
(a) Scurvy

Question 14.
Most effective energy reservoir in all living cells is :
(a) A.M.P.
(b) A.T.P.
(c) A.D.P.
(d) U.D.P.
Answer:
(b) A.T.P.

Question 15.
Disaccharide present in milk is :
(a) Sucrose
(b) Lactose
(c) Maltose
(d) Cellulose.
Answer:
(b) Lactose

Question 16.
Which is not glyceroid : (MP2018)
(a) Fat
(b) Oil
(c) Phospholipid
(d) Soap.
Answer:
(d) Soap.

Question 17.
Which is not found in R.N.A.: (MP 2016)
(a) Thymine
(b) Uracil
(c) Adenine
(d) Guanine.
Answer:
(a) Thymine

Question 18.
Deficiency of which vitamin causes Rickets :
(a) Vitamin C
(b) Vitamin B
(c) Vitamin A
(d) Vitamin D.
Answer:
(d) Vitamin D.

Question 2.
Fill in the blanks :

1. By the oxidation of glucose ……………… molecules of ATP are produced.
2. The breaking of complex molecules in organisms is known as ………………
3. In hyperglycemia the amount of ……………… in blood increases.
4. Deficiency of ……………… leads to eye disease.
5. Deficiency of iodine leads to ……………… disease.
6. Blood ……………… the temperature of the entire body.
7. ……………… hormone balances the amount of sugar in blood.
8. ……………… is responsible for the clotting of blood.
9. Denaturation does not affect the ……………… structure of protein.
10. Protein is a polymer of ……………… (MP 2018)
11. ……………… is the basic unit of protein.
12. ……………… is not present in D.N.A.
13. Haemoglobin is a ……………… compound of iron.
14. Oils and fats obtained from plants and animals (organisms) are called ………………

Answer:

1. 38
2. Catabolism
3. Sugar
4. Vitamin A
5. Goitre
6. Balance
7. Insulin
8. Vitamin K
9. Primary
10. Amino acids
11. Amino acid
12. Uracil
13. Complex
14. Lipids.

Question 3.
(A) Match the following :

Answer:

1. (f)
2. (c)
3. (b)
4. (e)
5. (d)
6. (a)
7. (h)
8. (g)

Question 4.
Answer in one word/sentence :

1. Write the chemical name of Vitamin C.
2. Tell the source of Vitamin K.
3. Is responsible for clotting of blood?
4. Which bond links amino acids together?
5. How many amino acids are synthesized by human body?
6. Cellulose is a linear polymer of which glucose?
7. In RNA molecule which pyrimidine is present in place of Thymine?
8. Lactose on hydrolysis gives.
9. Glucose contains Pyranose ring whereas Fructose contain.
10. In polysaccharides, monosaccharide units are linked to each other by which bond?
11. Which protein helpful for clotting of blood known as? (MP 2018)
12. Write one example of Monosaccharide Carbohydrate.
13. What is the name of Disaccharides sugar present in milk?

Answer:

1. Ascorbic acid
2. Green leafy vegetables
3. Vitamin K (Phylloquinone)
4. Peptide bond
5. Ten
6. β – glucose
7. Uracil
8. Glucose and Lactose
9. Furanose ring
10. Glycosidic
11. Fibrinogen
12. Glucose or fructose
13. Lactose.

Biomolecules Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Write the reaction of hydrolysis of sucrose.
Answer:

Question 2.
What type of compounds are bases?
Answer:
Bases are heterocyclic compounds.

Question 3.
What is the formula of peptide bond?
Answer: Formula of peptide bond is – CO – NH -.

Question 4.
Which are the main biomolecules found in the biological system?
Answer:
Carbohydrates, proteins, nucleic acids and lipids etc. are found in the biological system.

Question 5.
What are oligosaccharides?
Answer:
Carbohydrates that yield 2 to 10 oligosaccharides monosaccharide units are called oligosaccharides.

Question 6.
Write two examples of fibrous protein.
Answer:
Keratin and myosin are the examples of fibrous protein.

Question 7.
What are biomolecules?
Answer:
Molecules which take part in the formation of living system are known as bio – molecules. Like : Proteins, carbohydrates.

Biomolecules Short Answer Type Questions

Question 1.
Where does the water present in the egg go after boiling the egg? (NCERT)
Answer:
When egg is boiled, the denaturation of protein and then coagulation takes place probably through H – bonding. Water present in the egg gets absorbed or adsorbed during denaturation and disappears. In this process, the globular protein in egg changes to insoluble fibrous protein.

Question 2.
Why cannot vitamin C be stored in our body? (NCERT)
Answer:
Vitamin C is soluble in water. It cannot be stored in our body because it is easily excreted in urine.

Question 3.
What are proteins?
Answer:
The word protein is derived from the Greek word protious (Protious = to take the first) i.e. first or very important. Proteins are high molecular mass nitrogen containing complex organic compounds found in the protoplasm of all animal and plants.
Chemically protein is the condensation polymer of α – amino acid.

Question 4.
What are essential and non – essential amino acids? Give two examples of each type. (NCERT)
Answer:
Essential amino acids:
The amino acids which our body cannot make and must be obtained through diet.
Examples : Valine, Isoleucine, Arginine, Lysine, Threonine etc.

Non – essential amino acids:
These are the amino acids which our body can make.
Examples : Glycine, Alanine, Glutamic acid, Aspartic acid, Glutamine, Serine etc.

Question 5.
What are the common types of secondary structure of proteins? (NCERT)
Answer:
The conformation of polypeptide chain assumed as a result of hydrogen bonding is called secondary structure of proteins. The two types of secondary structures are α – helix and β – pleated sheet structure. (For detail refer your NCERT text – book.)

Question 6.
What is the effect of denaturation on the structure of proteins? (NCERT)
Answer:
During denaturation, 2° and 3° structures of proteins are destroyed but 1° structure remains intact. As a result of denaturation, the globular proteins (soluble in H₂O) are converted into fibrous proteins (insoluble in H₂O) and their biological activity is lost. The coagulation of egg white on boiling is a common example of denaturation.

Question 7.
Differentiate between globular and fibrous proteins. (NCERT)
Answer:
Differences between globular and fibrous protein :
Globular protein:

• They have coiled ball like structure.
• They have three – dimensional structure.
• They are soluble in water and aq. solution of salt and base.
• These proteins are inactive towards temperature and pH value.

Fibrous protein:

• These molecule have long threads like structure.
• They have sheet like structure.
• These are insoluble in water.
• Fibrous protein are active towards temperature and pH value.

Question 8.
What are monosaccharides? (NCERT)
Answer:
Monosaccharides are the carbohydrates which cannot be hydrolysed further to give simpler units of polyhydroxy aldehydes or ketones.

Question 9.
What are disaccharides? Write general formula of disaccharides.
Answer:
Disaccharides are sugar which are formed by combination of two monosaccharides by removal of one molecule of water. Both monosaccharides are of hexose type in which one unit is glucose. Thus, disaccharides are of aldose – aldose or aldose – ketose type. General formula of disaccharides is C₁₂H₂₂O₁₁.
Example : Sucrose, maltose, lactose etc.

Question 10.
What is the basic structural difference between starch and cellulose? (NCERT)
Answer: Starch consists of two components : amylose and amylopectin. Amylose is a long linear polymer of 200 – 1000 α – D – (+) glucose units held by C₁ – C₄ glycosidic linkage. It is soluble in water. Amylopectin is a branched chain polymer of α – D – (+) glucose linkage whereas branching occurs by C₁ – C₆ glycosidic linkage. It is insoluble in water.

On the other hand cellulose is a straight chain polysaccharide composed only of β – D – (+) glucose units which are formed by glycosidic linkage between C₁ of one glucose unit and C₄ of next glucose unit.

Question 11.
What do you understand by the term glycosidic linkage? (NCERT)
Answer:
The oxygen (ethereal) linkage through which two monosaccharide units are joined together by the loss of a water molecule to form a molecule of disaccharide is called glycosidic linkage. For example, sucrose (a disaccharide) is composed of C₁ of α – glucose and C₂ β – fructose through the glycosidic linkage.

Question 12.
What is glycogen? How is it different from starch? (NCERT)
Answer:
1. The carbohydrates are stored in animal body as glycogen. It is present in liver, muscles and brain. Enzymes break the glycogen down to glucose when the body needs glucose.

2. Glycogen is more highly branched than amylopectin (starch) glycogen chain consist of 10 – 14 glucose units, whereas amylopectin (starch) glycogen chain consist of 20 – 25 glucose units.

Question 13.
Write two Differences between α – Amino acid and Protein.
Answer:
Differences between α – Amino acid and Protein :
α – Amino acid:

• They are simple compounds having amino and Carboxylic acid group.
• On combining amino acid gives dipeptide, polypeptide and then protein. example glucose, lysine etc.

Protein:

• Proteins are complex nitrogenous compounds.
• Protein on hydrolysis gives amino acid. example Haemoglobin, casein etc.

Question 14.
What are carbohydrates? Which unit of carbohydrate provide energy to human body?
Answer:
Carbohydrates are compound of carbon, hydrogen and oxygen. General formula of carbohydrate is where x and y are integers. These compounds have ratio of hydrogen and oxygen 2 : 1 like water (H₂O). Therefore the name of these compounds is given carbohydrates. Examples of carbohydrates are glucose (C₆H₁₂O₆), fructose (C₆H₁₂O₆), sucrose (C₆H₁₂O₆) etc.

Glucose is the unit of carbohydrates which is responsible to provide energy. Glucose decomposes slowly with the help of oxydase enzyme present in the body into CO₂ and water. Energy is released in this process.

Question 15.
Define polysaccharides. Give examples also.
Answer:
Polysaccharides are natural isomers which have molecular weight upto many lacks, general formula of polysaccharides is (C₆H₁₀O₅)_nwhere value of n is from 12 to thousands. These are complex material which are formed by condensations of mono-saccharides. These compounds contain glycocydic bonds.
Example : Starch, cellulose etc.

Question 16.
What is invert sugar?
Answer:
Cane – sugar is dextro – rotatory [D or +] which gives equimolar mixture of monosaccharides. This mixture is laevorotatory [L or -]. Hence the mixture of glucose and fructose obtained as a result of hydrolysis of cane sugar is called as invert sugar.

Question 17.
Define the following as related to proteins :

1. Peptide linkage
2. Primary structure and
3. Denaturation.

Answer:
1. Peptide linkage:
A peptide bond is an amide linkage formed between – COOH group of one α – amino acid and NH₂ group of the other α – amino acid by loss of a molecule of water. It units two amino acids unit in a peptide bond (molecule).

2. Proteins are the polymers of aramino acids. These polymers (also known as polypeptide) consist of amino acids linked with each other in a specific sequence. This sequence of amino acids is known as the primary structure of proteins. Any change in this sequence of amino acids (i.e., primary structure) creates a different proteins.

3. A process that changes the physical and biological properties of proteins without affecting the chemical composition of proteins is called denaturation. The denaturation is caused by certain physical and chemical treatment such as changes in pH, temperature, presence of somegalts or certain chemical agents.

Question 18.
Give the names and functions of any four proteins.
Answer:
Proteins and their functions :

1. Haemoglobin : Transport of oxygen from lungs to different tissues of body.
2. Myosin : For motion of muscles
3. Pepsin : As a catalyst in bio-chemical reactions
4. Keratin : Present in hairs, nails and teeth.

Question 19.
What are nucleic acids? Mention their two important functions. (NCERT)
Answer:
Nucleic acids are long chain polymers of nucleotides. They are also called poly-nucleotides. Nucleic acids are mainly of two types, the deoxyribonucleic acid (DNA) and ribonucleic acid (RNA).

Functions :
1. DNA is responsible for transmission of hereditary effects from one generation to another. This is due to unique property of replication, during cell division and two identical DNA strands are transferred to the daughter cells.

2. DNA and RNA are responsible for synthesis of all proteins needed for the growth and maintenance of our body. Actually, the proteins are synthesized by various RNA molecules (m – RNA and f – RNA etc.) in the cell but the message for the synthesis of a particular protein is present in DNA.

Question 20.
What is the difference between a nucleoside and a nucleotide? (NCERT)
Answer:
A nucleoside contains only basic component of nucleic acids namely a pentose sugar and a nitrogenous base. A nucleotide contains all the three basic components of nucleic acids namely a phosphoric acid group, a pentose sugar and a nitrogenous base.

Question 21.
The two strands in DNA are not identical but are complementary. Explain. (NCERT)
Answer:
The two strands in DNA molecule are held together by hydrogen bonds between purine base of one strand and pyrimidine base of the other and vice – versa. Because of different sizes and geometries of the bases, the only possible pairing in DNA are G (guanine) and C (cytosine) through three H – bonds i.e., (C = G) and between A (adenine) and T (thiamine) through two H – bonds i.e., (A = T) (for figure refer your NCERT text – book). Due to this base pairing principle, the sequence of bases in one strand automatically fixes the sequence of bases in the other strand. Thus, the two strands are complimentary and are not – identical.

Question 22.
Write the important structural and functional differences between DNA and RNA. (NCERT)
Answer:
Differences between DNA and RNA:
DNA :

• Occurs mainly in the nucleus of the cell.
• It contains the sugar deoxyribose.
• Does not contain nitrogenous base, uracil.
• It has a double strand helix.
• It is responsible for the transmission of heredity character.
• Alkaline hydrolysis is quite slow.
• Ratio A/T = 1 and G/C = 1.

RNA:

• Occurs in the cytoplasm of the cell.
• It contains the sugar ribose.
• Does not contain nitrogenous base thymine.
• It has double as well as single strand helix.
• It helps in protein biosynthesis.
• Alkaline hydrolysis takes place readily.
• Such ratio is not present.

Question 23.
How are vitamins classified? Name the vitamin responsible for the co – agulation of blood. (NCERT)
Answer:
On the basis of solubility in water or fat, the vitamins are generally classified into two types:
1. Water soluble vitamins:
These include vitamin B – complex. (B₁, B₂, B₃, B₄, B₆, B₁₂ and nicotinic acid etc.) and vitamin C etc.

2. Fat soluble vitamins:
These include vitamins A, D, E and K. Liver cells are rich in fat soluble vitamins. Vitamin K is responsible for coagulation of blood.

Question 24.
What happens when protein is denatured ?
Or, Explain the denaturation of protein. (MP 2016)
Answer:
Denaturation of Protein:
Disruption of tertiary structure of protein is called denaturation. These reactions take place by heating in in presence of acids or highly concentrated salts or heavy metals. Denauration does not affect the primary structure of protein. Denaturation takes place in the rearrangement of secondary and tertiary structures. As a result of this, protein losses its biological actvity.

During denaturation the protein molecule uncoils fro an ordered and specific conformation into a more disordered conformation. Denaturation takes place when proteins are heated or treated with acids, bases, alcohols, KI, urea, acetone etc. or when exposed to UV or X – ray radiations. Denaturation is of two types :

1. Reversible and
2. Irreversible.

Reversible denaturation of proteins takes place in presence of denaturating agents like salts. But on removal of denaturating agent protein acquires its original structure. In irreversible denaturation protein cannot change to its original state. For example, white of example, i.e., yolk is a globulin and soluble protein. On putting it into boiling water it changes to white rubber like solid which is insoluble in water. Similarly, addition of an acid generally lemon juice to milk results in denaturation and milk coagulates to form cheese.

Question 25.
Write functions and sources of the following bio – molecules/elements : (MP 2011)

1. Protein
2. Carbohydrates
3. Fat
4. Calcium.

Answer:
1. Protein : Formation of new tissues and their repairing with the body.
Source : Milk, egg, meat, cheese, fish.

2. Carbohydrates : Carbohydrates provides energy to the body.
Source : Rice, potato, fruits, cane sugar etc.

3. Fats : They provides energy to the body.
Source : Ghee, oils, milk, egg. etc.

4. Calcium : Increase the bones and teeth.
Source : Green leafy vegetables, milk.

Biomolecules Long Answer Type Questions

Question 1.
Write a note on Nucleic acid.
Answer:
Nucleic acid:
It is found in nucleus of the cell. It has large amount of phosphorus. Nucleic acid are polynucleotides which is formed by the combination of various nucleotide units.

Each nucleotide is formed by three chemical components:

1. Phosphate group
2. Pentose ribose sugar or De – oxyribose
3. Heterocyclic base : Like derivative of pyrimidine (Thiamine, uracil, cytosine) and derivatives of purine (Adenine and Guanine).

Nucleic acids are of two types :

1. DNA : De – oxyribonucleic acid.
2. RNA : Ribonucleic acid.

Components of DNA:

(a) De – oxyribose sugar molecule
(b) Phosphoric acid molecule
(c) Nitrogenous base : It is of two types :

• Pyrimidine base : It includes Cytosine (C) and Thymine (T)
• Purine base : It includes Adenine (A) and Guanine (G)

Components of RNA:
RNA contains Ribose and nitrogen base like Adenine (A), Guanine (G), Uracil (U) and Cytosine (C).

Question 2.
What are carbohydrates? Write its classification and four main functions.
Answer:
Definition:
Optically active polyhydroxy aldehydes or ketones or substances which yield these on hydrolysis are known as carbohydrates.
Example : Glucose, starch, cellulose, sucrose etc.

Classification of Carbohydrate:

Functions of Carbohydrates:
1. It is the main structural component of cell.

2. It acts as a bio – fuel and provides energy to organisms for doing work.

3. Carbohydrate is stored in the liver as glycogen, which hydrolysis to provide the energy required.

4. Cellulose is found in grass and plants which provide energy to animals grazing grass because these animals possess specific enzymes which hydrolyses cellulose to glucose.

Question 3.
Write the functions of the following vitamins : (MP 2014)

1. Vitamin – A
2. Vitamin – D
3. Vitamin – E
4. Vitamin – K.

Answer:
Functions caused by the above Vitamins :

1. Vitamin – A : For vision and growth develops resistance against diseases.
2. Vitamin – D : For bones, control of metabolism of calcium and phosphorus.
3. Vitamin – E : Virility in man and reproduction.
4. Vitamin – K : Coagulation of blood.

Question 4.
Give the diseases caused by ascorbic acid, thiamine retinol and nicotinic
Or,
Give the source and diseases caused by Vitamin A, B, C and D.
Answer:
Name of Vitamins deficiency diseases are given in the ahead chart:
Chemical names of Vitamins , their sources and diseases due to deficiency:

Question 5.
Give differences between monosaccharide, disaccharide and polysaccharide.
Answer:
Difference between monosaccharide, disaccharide and polysaccharide :

MP Board Class 12th Chemistry Important Questions

MP Board Class 12th Special Hindi सहायक वाचन Solutions Chapter 5 नैनो टेक्नोलॉजी (वैज्ञानिक निबंध, संकलित)

नैनो टेक्नोलॉजी अभ्यास प्रश्न

प्रश्न 1.
नैनो टेक्नोलॉजी क्या है? इसके क्षेत्र-विस्तार के बारे में सम्भावनाएँ बतलाइए। (2011, 14)
उत्तर:
नैनो टेक्नोलॉजी एक अतिसूक्ष्म दुनिया है, जिसका दायरा एक मीटर के अरबवें हिस्से अथवा उससे भी छोटा है। वास्तव में नैनो’ शब्द की उत्पत्ति ग्रीक भाषा के शब्द नैनों से हुई है, जिसका शाब्दिक अर्थ है-बौना अथवा सूक्ष्म। यह नाम जापान के वैज्ञानिक नौरिया तानीगूगूची ने 1976 में दिया। नैनो टेक्नोलॉजी एक इकाई है जो एक मीटर के अरबवें हिस्से के बराबर होती है। आश्चर्यजनक बात यह है कि यह टेक्नोलॉजी जितनी अधिक सूक्ष्म है,उतनी ही विशाल सम्भावनाएँ यह अपने आप में समेटे हुए है। वर्तमान में नैनो टेक्नोलॉजी चिकित्सा के क्षेत्र से लेकर उद्योगों तक में अपनी उपयोगिता सिद्ध कर रही है। यद्यपि भारतीय बाजारों में नैनो उत्पादों की संख्या अत्यन्त कम है,मगर वह दिन दूर नहीं जब भारत में भी नैनो टेक्नोलॉजी जनित उत्पादों का बोलबाला होगा। वर्तमान में भारतीय विशेषज्ञ भी इस क्षेत्र में शोध करने में रत हैं। स्पष्ट है कि भविष्य में नैनो टेक्नोलॉजी के क्षेत्र विस्तार की सम्भावनाएँ असीम हैं।

प्रश्न 2.
‘नैनोडोमेन’ की निर्माण प्रक्रिया समझाते हुए उसके आश्चर्यजनक परिणाम लिखिए। (2009)
उत्तर:
नैनो टेक्नोलॉजी एक इकाई है जिसका मान 1 मीटर के अरबवें हिस्से के बराबर होता है। एक से लेकर सौ नैनोमीटर को ‘नैनोडोमेन’ कहा जाता है। नैनो टेक्नोलॉजी के तहत मेटेरियल का आकार छोटा करके उसे नैनोडोमेन’ बना लिया जाता है। ऐसा करने पर उस पदार्थ के विभिन्न गुण; जैसे-इलेक्ट्रिकल, मैकेनिकल,थर्मल व ऑप्टीकल इत्यादि हर स्तर पर बदलना शुरू हो जाते हैं। यह एक नवीन विज्ञान है जो बेहद आश्चर्यचकित परिणाम प्रदान करता है। जब अणु और परमाणु नैनो क्षेत्र को प्रभावित करते हैं तो इनमें नवीन परिवर्तन होना प्रारम्भ हो जाते हैं। ये परिवर्तन अद्भुत होते हैं, जिसमें वस्तु के मूल गुण तक बदल जाते हैं।

प्रश्न 3.
नैनो मेटेरियल किसे कहते हैं? नैनो मेटेरियल तैयार करने की दो पद्धतियाँ कौन-कौन सी हैं? (2015)
उत्तर:
नैनो टेक्नोलॉजी के तहत मेटेरियल के आकार को छोटा करके उसे नैनोडोमेन में बदल लिया जाता है। इस प्रक्रिया में मेटेरियल के विभिन्न गुण; जैसे-इलेक्ट्रिकल,मैकेनिकल, थर्मल व ऑप्टीकल इत्यादि हर स्तर पर बदलने लगते हैं। इन परिवर्तनों से अत्यन्त आश्चर्यजनक परिणाम प्राप्त होते हैं। जैसे-जैसे परमाणु का आकार छोटा होता जाता है, उसके अन्दर दूसरी धातुओं व पदार्थों से आपसी प्रतिक्रिया की क्षमता बढ़ती जाती है। इस विशेषता का उपयोग करके नैनो मेटेरियल से एकदम नया उत्पाद सरलता से तैयार किया जा सकता है।

नैनो मेटेरियल को तैयार करने के लिए सदैव दो पद्धतियों को उपयोग में लाया जाता है-प्रथम, बड़े से छोटा करने की पद्धति और द्वितीय, छोटे से बड़ा करने की पद्धति। इन पद्धतियों से एक आश्चर्यचकित कर देने वाला नैनो मेटेरियल तैयार किया जा सकता है।

प्रश्न 4.
चिकित्सा क्षेत्र में नैनो टेक्नोलॉजी की उपयोगिता बताइए। (2009)
उत्तर:
वर्तमान में नैनो टेक्नोलॉजी दुनिया भर में अपनी विशेषताओं और उपयोगिताओं के कारण अत्यन्त तेजी से लोकप्रिय हो रही है। वैसे तो नैनो टेक्नोलॉजी की उपयोगिताओं का क्षेत्र प्रसार अनन्त एवं असीम है, किन्तु वर्तमान में इसका सर्वाधिक प्रभाव चिकित्सा के क्षेत्र में ही देखने को मिल रहा है। वैज्ञानिक इस प्रौद्योगिकी का उपयोग कर ‘गोल्ड पार्टिकल बैक्टीरिया ट्यूमर सेल्स’ का निर्माण कर रहे हैं,जो कैंसर की संमूची प्रक्रिया को ही परिवर्तित करने में सक्षम होंगे। इससे ट्यूमर के खतरनाक तत्व को समाप्त कर दिया जाता है। इसके अतिरिक्त विशेषज्ञ कलाई में पहन सकने योग्य एक ऐसी कलाई घड़ी के रूप में नैनो टेक्नोलॉजी आधारित युक्ति का विकास करने में प्रयत्नशील हैं, जिसके माध्यम से व्यक्ति अपने शरीर की कई बीमारियों का समय रहते पता लगा पायेंगे।

प्रश्न 5.
“सुपर कम्प्यूटर नैनो टेक्नोलॉजी का ही परिणाम है।” समझाइए।
उत्तर:
वर्तमान युग प्रौद्योगिकी एवं कम्प्यूटर का युग है। आज कम्प्यूटर हमारे दिन-प्रतिदिन के जीवन के मध्य इतना घुल-मिल गये हैं कि इनके बिना अब जीवन की कल्पना करना भी आसान नहीं है। कम्प्यूटर की चर्चा चलते ही एक बड़े से घनाभाकार डिब्बे की आकृति मानस-पटल पर अंकित हो उठती है। एक समय था जब कम्प्यूटर अपनी शैशवावस्था में था। उसका आकार काफी बड़ा और उसकी क्षमता सीमित थी। किन्तु नैनो टेक्नोलॉजी के आगमन ने कम्प्यूटर की तो मानो काया ही पलट कर रख दी है। नैनो टेक्नोलॉजी के उपयोग से जहाँ कम्प्यूटर के आकार को छोटा किया जाना सम्भव हो सका है, वहीं उसकी तमाम क्षमताओं में आश्चर्यजनक बढ़ोत्तरी की जा सकती है। कम्प्यूटर के क्षेत्र में नैनो टेक्नोलॉजी के प्रभावी दखल का सबसे ज्वलंत उदाहरण है-‘सुपर कम्प्यूटर’ वास्तव में,सुपर कम्प्यूटर इस नैनो टेक्नोलॉजी का ही परिणाम है। पलभर में अरबों गणनाएँ त्रुटिरहित सम्पन्न कर देना, मैमोरी इतनी विशाल कि असंख्य आँकड़े समा जायें इत्यादि विशेषताएँ सुपर कम्प्यूटर में नैनो टेक्नोलॉजी के उपयोग से ही सम्भव हो सकी हैं।

प्रश्न 6.
निम्नलिखित क्षेत्रों में नैनो टेक्नोलॉजी की उपयोगिता बतलाइए
(1) पेंट
(2) कपड़ा
(3) जल-शोधन,
(4) टी. वी डिस्प्ले।
उत्तर:
जीवन से जुड़े विभिन्न क्षेत्रों में नैनो टेक्नोलॉजी की उपयोगिता अब सर्वविदित है। कुछ विशिष्ट क्षेत्रों में इस नवीन क्रान्तिकारी प्रौद्योगिकी के उपयोग की चर्चा निम्नवत् की जा सकती है-
(1) पेंट उद्योग में :
पेंट उद्योग के क्षेत्र में नैनो टेक्नोलॉजी अपनी पैठ बनाती जा रही है, जैसे-टिटेनियम डाइ-ऑक्साइड पेंट। यदि इस पेंट को नैनो मेटेरियल बनाकर अन्य पेंट में मिला दिया जाये तो उसकी चमक और अन्य गुण बढ़ जाते हैं। इस प्रकार निर्मित पेंट का जीवन अन्य सामान्य पेंट की तुलना में काफी अधिक होता है।

(2) कपड़ा उद्योग में :
कपड़ा उद्योग में भी नैनो टेक्नोलॉजी अपना प्रभाव एवं उपयोगिता सिद्ध कर रही है। इस चमत्कारी प्रौद्योगिकी का उपयोग करके ‘नैनोबेस्ड क्लॉथ’ बनाए जा रहे हैं,जो व्यक्ति के पसीने को सरलता से सोख लेते हैं। साथ ही, इस तकनीक से बना कपड़ा उपलब्ध अन्य कपड़ों की तुलना में अधिक टिकाऊ होता है।

(3) जल-शोधन में :
नैनो टेक्नोलॉजी रूपी वरदान का उपयोग जल-शोधन के क्षेत्र में भी किया जा सकता है। भारत जैसे विकासशील देश में जहाँ तीन-चौथाई जनसंख्या को शुद्ध पेयजल तक उपलब्ध नहीं है, इस प्रौद्योगिकी का उपयोग किसी ‘देव-वरदान’ से कम सिद्ध नहीं होगा। इस नवीन प्रौद्योगिकी के माध्यम से जल में मौजूद एवं स्वास्थ्य के लिए अत्यन्त हानिकारक ऑर्सेनिक तत्त्व को समाप्त कर दिया जाता है अथवा एकत्र कर जल से पृथक् कर दिया जाता है। इस प्रक्रिया में नैनो मिनरल, नैनो गोल्ड, नैनो सिल्वर व नाइट्रेट इत्यादि नैनो उत्पादों का प्रयोग किया जाता है।

(4) टी. वी. डिस्ले में :
नैनो टेक्नोलॉजी के आम जनजीवन में उपयोग का सबसे सुन्दर उदाहरण है टी.वी. डिस्प्ले का क्षेत्र। टेलीविजन पर दिखाई देने वाली तस्वीर की ‘ब्राइटनेस’ व ‘कंट्रास्ट’ को बेहतर बनाने के लिए इस प्रौद्योगिकी का उपयोग किया जाता है। इस प्रक्रिया में नैनो फास्टर मेटेरियल का उपयोग किया जाता है, जिससे टी.वी. की ‘पिक्चर क्वालिटी काफी उन्नत हो जाती है। वास्तव में, नैनो टेक्नोलॉजी एक ऐसी प्रौद्योगिकी है जिसे एक नये युग का सूत्रपात माना जा सकता है।

प्रश्न 7.
भारत में नैनो टेक्नोलॉजी के शिक्षण-प्रशिक्षण की उपलब्धता पर प्रकाश डालिए।
उत्तर:
यदि वर्तमान में भारत में नैनो टेक्नोलॉजी के प्रचार-प्रसार और उपयोग की बात की जाये तो नैनो टेक्नोलॉजी के शिक्षण-प्रशिक्षण में अभी बहुत कम निजी व सरकारी संस्थान आगे आए हैं। वर्तमान में, इस प्रौद्योगिकी से सम्बन्धित मात्र एम. टेक. नैनो टेक्नोलॉजी पाठ्यक्रम ही देश में उपलब्ध है, जिसके लिए निर्धारित योग्यता इंजीनियरिंग की डिग्री अथवा भौतिक विज्ञान, रसायन विज्ञान या जैव प्रौद्योगिकी के साथ स्नातकोत्तर डिग्री अनिवार्य है। एम. टेक.के इस कोर्स की कुल अवधि दो वर्ष है, जिसमें प्रशिक्षुओं को छ: माह का प्रशिक्षण उपलब्ध कराया जाता है।

आशा है कि जिस प्रकार यह प्रौद्योगिकी दनिया-भर में तेजी से अपने पैर पसार रही है. भारत में भी जल्दी ही विश्वविद्यालयों एवं संस्थानों में इससे सम्बन्धित अनेक पाठ्यक्रम पढ़ाए जाने लगेंगे।

नैनो टेक्नोलॉजी अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किस वैज्ञानिक युक्ति की सहायता से वैज्ञानिक पहली बार अणु व परमाणु को देख पाए?
उत्तर:
जर्मन वैज्ञानिक गार्ड विनिग व स्विट्जरलैंड के हैनरिच रारेर के संयुक्त प्रयास से तैयार ‘स्कैनिंग टानलिंग माइक्रोस्कोप’ की सहायता से वैज्ञानिक पहली बार अणु व परमाणु को देख पाए।

प्रश्न 2.
एक नैनो मीटर मानव बाल के कौन-से हिस्से के बराबर होता है?
उत्तर:
एक नैनो मीटर का आकार ‘मानव बाल के 50 हजारवें’ हिस्से के बराबर होता है।

नैनो टेक्नोलॉजी पाठ का सारांश

संकलित वैज्ञानिक निबन्ध, ‘नैनो टेक्नोलॉजी’ में वर्तमान में चल रहे वैज्ञानिक युग में एक नये एवं क्रान्तिकारी युग के सूत्रपात की अवधारणा और सम्भावना की बात कही गई है।

‘नैनो’ शब्द की उत्पत्ति ग्रीक भाषा के शब्द ‘नैनों’ से हुई है, जिसका अर्थ है-‘बौना’ या ‘सूक्ष्म’। यह नाम जापान के वैज्ञानिक नौरिया तानीगूगूची ने वर्ष 1976 में दिया था । वास्तव में, नैनो टेक्नोलॉजी एक इकाई है जो एक मीटर के अरब हिस्से के बराबर होती है। एक से लेकर सौ नैनोमीटर को ‘नैनोडोमेन’ कहा जाता है।

प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में नैनो टेक्नोलॉजी को एक नए युग के सूत्रपात के रूप में देखा जा रहा है। नैनो टेक्नोलॉजी की दुनिया अति सूक्ष्म है। अद्भुत बात यह है कि जितनी अधिक यह सूक्ष्म है उतनी ही अधिक सम्भावनाएँ इसमें निहित हैं। नैनो टेक्नोलॉजी के तहत मेटेरियल का आकार छोटा करके उसे ‘नैनोडोमेन’ बना लिया जाता है। ऐसा करने पर उस पदार्थ के विभिन्न गुण; जैसे-इलेक्ट्रिकल, मैकेनिकल, थर्मल व ऑप्टीकल, हर स्तर पर बदल जाते हैं। नैनो उत्पाद बेहद हल्के,छोटे,मजबूत,पारदर्शी एवं अपने मूल मेटेरियल से पूरी तरह से भिन्न होते हैं।

वर्तमान प्रौद्योगिकी के इस युग में नैनो टेक्नोलॉजी का क्षेत्र असीम है और इसके विस्तार की सम्भावनाएँ भी अनन्त हैं। आज नैनो टेक्नोलॉजी चिकित्सा क्षेत्र से लेकर उद्योगों तक कहीं-न-कहीं अपनी महत्वपूर्ण भूमिका अदा कर रही है। भारत में भी इसका उपयोग और विस्तार अत्यन्त तेजी से हो रहा है।

MP Board Class 12th Hindi Solutions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 5A सांतत्य तथा अवकलनीयता

सांतत्य तथा अवकलनीयता Important Questions

_{सांतत्य तथा अवकलनीयता वस्तुनिष्ठ प्रश्न}

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
यदि x = at², y = 2at है, तो \(\frac{dy}{dx}\) होगा –
(a) t
(b) t²
(c) \(\frac{1}{t}\)
(d) \(\frac { 1 }{ t^{ 2 } } \)
उत्तर:
(c) \(\frac{1}{t}\)

प्रश्न 2.
यदि y = 2 \(\sqrt { cot(x^{ 2 }) } \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) होगा –
(a) \(\frac { -2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
(b) \(\frac { 2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
(c) \(\frac { 2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
(d) \(\frac { 2\sqrt { x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)
उत्तर:
(a) \(\frac { -2\sqrt { 2x } }{ sinx^{ 2 }\sqrt { sin2x^{ 2 } } } \)

प्रश्न 3.
\(\frac{dy}{dx}\) (x³ + sinx²) का मान है –
(a) 3x² + cos x²
(b) 3x² + x sin²
(c) 3x² + 2x cos x²
(d) 3x² + x cos x²
उत्तर:
(c) 3x² + 2x cos x²

प्रश्न 4.
\(\frac{d}{dx}\) a^x का मान है –
(a) a^x
(b) a^xlog_ae
(c) a^xlog_ea
(d) \(\frac { a^{ x } }{ log_{ e }a } \)
उत्तर:
(c) a^xlog_ea

प्रश्न 5.
यदि y = 500e^7x + 6000e^-7x हो, तो, \(\frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } \) का मान होगा –
(a) 45 y
(b) 47 y
(c) 49 y
(d) 50 y
(d) 50y.
उत्तर:
(c) 49 y

प्रश्न 2.
(a) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. cosx⁰ का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………….. है।
2. e^{loge a}का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………………..
3. log_e a का a के सापेक्ष अवकल गुणांक ……………………….
4. a^x का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ……………………………… है।
5. sin 3x का 3x के सापेक्ष अवकल गुणांक …………………………… है।
6. यदि y = sin^-1(2x\(\sqrt { 1-x^{ 2 } } \) ) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ……………………… होगा।
7. sin x का cos.x के सापेक्ष अवकल गुणांक ………………… है।
8. \(\frac{d}{dx}\) (log tan x) का मान ………………………… है।
9. log(log sin x) का अवकलन गुणांक ……………………………….. होगा।

उत्तर:

1. – \(\frac { \pi }{ 180 } \) sin x⁰
2. 0
3. 0
4. log_ea.a^x
5. cos x
6. \(\frac { 2 }{ \sqrt { 1-x^{ 2 } } } \)
7. – cot x
8. cosec 2x
9. \(\frac { cotx }{ logsinx } \)

प्रश्न 2.
(b) रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि x = \(\sqrt { 1-y^{ 2 } } \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ………………………. होगा।
2. sin x का n वाँ अवकलज ………………………………. होगा।
3. यदि y = \(\sqrt { x+\sqrt { x+………..\infty } } \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ………………………. होगा।
4. यदि x = r cos θ, y = r sin θ हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = ………………………. होगा।
5. e^x का \(\sqrt{x}\) के सापेक्ष अवकलज ………………………………. होगा।

उत्तर:

1. \(\frac { \sqrt { 1-y^{ 2 } } }{ 1-2y^{ 2 } } \)
2. sin ( \(\frac { n\pi }{ 2 } \) + x )
3. \(\frac { 1 }{ 2y-1 } \)
4. -cot θ
5. 2\(\sqrt{x}\) e^x

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. e^{loge x} का अवकल गुणांक \(\frac{1}{x}\) है।
2. यदि f (x) = \(\sqrt{x}\); x > 0 तो f'(2) का मान \(\frac { 1 }{ 2\sqrt { 2 } } \) है।
3. कोई फलन f (x) किसी बिन्दु x = a पर अवकलनीय कहलाता है, जब Lf'(a) # Rf (a).
4. sec^-1a का x के सापेक्ष अवकल गुणांक 0 होता है।
5. यदि y = ae^mx + Be^-mx, तो = -m²y है।
6. यदि y = sin^-1 ( \(\frac { x-1 }{ x+1 } \) ) + cos^-1 ( \(\frac { x-1 }{ x+1 } \) ) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) = 0 होगा।
7. प्रत्येक अवकलनीय फलन सतत् होता है।
8. a^2x का अवकल गुणांक a^2xlog a.

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. सत्य
8. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइये –

उत्तर:

1. (d)
2. (e)
3. (a)
4. (f)
5. (h)
6. (g)
7. (c)
8. (b)

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. \(\frac { 6^{ x } }{ x^{ 6 } } \) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
2. y = e^{loge tanx} का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
3. a^x का n वाँ अवकलज ज्ञात कीजिए।
4. y = sin(ax + b) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
5. यदि x² + y² = sin xy, तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान ज्ञात कीजिए।
6. x के सापेक्ष log tan\(\frac{x}{2}\) का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
7. sin^-1 \(\frac { 2x }{ 1+x^{ 2 } } \) का x के सापेक्ष अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।
8. e -log_e^x का अवकल गुणांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. \(\frac { 6^{ x } }{ x^{ 6 } } \) [ [log 6 – \(\frac{6}{x}\) ]
2. sec² x
3. a^x(log a)ⁿ
4. -a² y
5. \(\frac { ycosxy-2x }{ 2y-xcosxy } \)
6. cosec x
7. \(\frac { 2 }{ 1+x^{ 2 } } \)
8. \(\frac { -1 }{ x^{ 2 } } \)

सांतत्य तथा अवकलनीयता लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
फलन के सभी असांतत्य के बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –

हल:
x < 2 के लिए f (x) = 2x + 3 बहुपदी फलन है।
अत: x < 2 के लिए f (x) संतत फलन है। x > 2 के लिए f (x) = 2x – 3 बहुपदी फलन है।
अतः x > 2 के लिए f (x) संतत है।
अब हम केवल x = 2 पर f (x) की संततता का परीक्षण करेंगे।
x = 2 + h रखने पर
जब x → 2 तब h → 0
\(\underset { x\rightarrow 2^{ + } }{ lim } \) f(x) = \(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) 2(2 + h) – 3
= 2(2 + 0) – 3 = 4 – 3 = 1
x = 2 – h रखने पर
जब x → 2 तब h → 0
\(\underset { x\rightarrow 2^{ – } }{ lim } \) f(x) = \(\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \) 2(2 – h) + 3
= 2(2 – 0) + 3 = 7
f(2) = 2(2) + 3 = 7
\(\underset { x\rightarrow 2^{ – } }{ lim } \) f(x) = f(2) ≠ \(\underset { x\rightarrow 2^{ + } }{ lim } \) f(x)

प्रश्न 2.
फलन के सभी असातत्य बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए, जबकि f निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित है –

हल:
x ≠ 0 के लिए f (x) = \(\frac { |x| }{ x } \) संतत फलन है।
अत:
हम केवल x = 0 पर f (x) की संततता का परीक्षण करेंगे।
x = 0 + h रखने पर
जब x → 0 तब h → 0.

x = 0 – h रखने पर
जब x → 0 तब h → 0

दिया है:
f (0) = 0
\(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ lim } \) f (x) ≠ \(\underset { x\rightarrow 0^{ – } }{ lim } \) f (x) ≠ f (0)
अत: दिया गया फलन f(x), x = 0 पर असंतत है।

प्रश्न 3.
बिन्दु x = 0 पर निम्नलिखित फलन f (x) के सातत्य की जाँच कीजिए –

हल:
f (x) = \(\frac { 1-cosx }{ x^{ 2 } } \), जब x ≠ 0
x = 0 + h रखने पर, x → 0 तो h → 0

पुनः x = 0 – h रखने पर, x → 0 तो h → 0

दिया है कि f (x) = \(\frac{1}{2}\) जब x = 0
या f (0) = \(\frac{1}{2}\)
इस प्रकार,
\(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ lim } \) f(x) = \(\underset { x\rightarrow 0^{ + } }{ lim } \) f(x) = f(0)
अत: x = 0 पर f (x) संतत है।

प्रश्न 4.
फलन f निम्न प्रकार से परिभाषित है –

दर्शाइये कि बिन्दु x = 4 के अतिरिक्त प्रत्येक बिन्दु पर संतत है।
हल:

स्पष्ट है कि x = 4 के लिये फलन f (x) संतत नहीं है क्योंकि
\(\underset { x\rightarrow 4^{ – } }{ lim } \) f (x) ≠ \(\underset { x\rightarrow 4^{ + } }{ lim } \) तथा f (4) = 0
जब x < 4 तब f (x) = – 1 जो कि एक अचर फलन है। अत: यह संतत फलन है। जब x > 4 तब f (x) = 1 जो कि एक अचर फलन है। अत: यह संतत फलन है।
अतः f (x) बिन्दु x = 4 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर संतत है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन –

बिन्दु x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) + h रखने पर, जब x → \(\frac { \pi }{ 2 } \), तब h → 0

x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) + h रखने पर, जब x → \(\frac { \pi }{ 2 } \) तब h → 0

x = \(\frac { \pi }{ 2 } \) – h रखने पर, जब x → \(\frac { \pi }{ 2 } \) तब h → 0

दिया है
f ( \(\frac { \pi }{ 2 } \) ) = 3
तथा दिया गया फलन संतत है।

⇒ \(\frac{k}{2}\) = \(\frac{k}{2}\) = 3
⇒ k = 6

प्रश्न 6.
k का मान ज्ञात कीजिए यदि फलन –

बिन्दु x = 2 पर संतत है।
हल: x = π + h रखने पर,
जब x → 7 तब h → 0

x = π – h रखने पर
जब x → π तब h → 0

दिया गया फलन x = π पर संतत है।

प्रश्न 7.
निम्न फलन बिन्दु x = 0 पर संतत है –

k का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है

दिया है –
f (0) = \(\frac{1}{2}\)
चूँकि फलन f (x) बिन्दु x = 0 पर संतत है –

⇒ \(\frac { k^{ 2 } }{ 2 } \) = \(\frac { k^{ 2 } }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\)
⇒ k² = 1 या k = ± 1

प्रश्न 8.
a और b के बीच संबंध स्थापित कीजिए जिनके लिए –

हल:
दिया है:

x = 3 + h रखने पर,
जब x → 3 तब h → 0

x = 3 – h रखने पर,
जब x → 3 तब h → 0

= a ( 3 – 0) + 1
= 3a + 1
f (3) = 3a + 1
∵ दिया गया पालन x = 3 पर संतत है।

⇒ 3a + 1 = 3b + 3
⇒ 3a = 3b + 2
⇒ a = b + \(\frac{2}{3}\)

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि फलन f (x) = |x – 1|, x ∈ R, x = 1 पर अवकलनीय नहीं है। (NCERT)
हल:
दिया है:

x = 1 – h रखने पर, जब x → 1 तब h → 0

x = 1 + h रखने पर, जब x → 1 तब → 0

अतः दिया गया फलन x = 1 पर अवकलनीय नहीं है।

प्रश्न 10.
दर्शाइए कि फलन

पर अवकलनीय नहीं है।
हल:
हम जानते हैं,

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि फलन

यही सिद्ध करना था।
x = 0 पर संतत है तथा अवकलनीय भी।
हल: यहाँ f (0) = 0


चूँकि f (0 + 0) = f (0 – 0) = f (0), अतएव x = 0 पर दिया हुआ फलन संतत है।
अब


स्पष्टतः Rf’ (0) = Lf’ (0)
अतः x = 0 पर दिया हुआ फलन अवकलनीय है।
अतः दिया हुआ फलन x = 0 पर संतत है तथा अवकलनीय भी है। यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions गद्य Chapter 3 जननी जन्मभूमिश्च

जननी जन्मभूमिश्च अभ्यास

जननी जन्मभूमिश्च अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
“गंगा और गंगा के कछार को मेरा सलाम कहें” यह कथन लेखक से किसने कहा?
उत्तर:
गंगा और गंगा के कछार को मेरा सलाम कहें; यह कथन लेखक से बनारस के रहने वाले एक व्यक्ति ने कराची में कहा।

प्रश्न 2.
जननी और जन्मभूमि किससे अधिक श्रेष्ठ है? (2009, 6)
उत्तर:
जननी और जन्मभूमि स्वर्ग से भी अधिक श्रेष्ठ है।

प्रश्न 3.
आजादी की लड़ाई में ‘बड़े घर’ से आशय था? सही उत्तर लिखिए।
(अ) महल
(ब) जेलखाना
(स) बहुत बड़ी हवेली
(द) विशाल मकान।
उत्तर:
(ब) जेलखाना।

जननी जन्मभूमिश्च लघु उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
मातृभूमि और स्वर्ग में क्या अन्तर है?
उत्तर:
मातृभूमि स्वर्ग से श्रेष्ठ होती है। मातृभूमि की गोद में हमारा लालन-पालन होता है। जिस प्रकार मानव अपनी माँ के कर्ज से उऋण नहीं हो सकता, तद्नुरूप अपनी मातृभूमि से भी उऋण नहीं हो सकता।

प्रश्न 2.
फूल की कामना क्या है?
उत्तर:
फूल की एक प्रबल कामना थी कि हे माली ! तुम मुझे तोड़ने के पश्चात् उस पथ पर फेंक देना जिस पथ से मातृभूमि के हितार्थ अपने प्राण प्रसूनों को अर्पित करने वाले शहीद गुजरते हैं।

प्रश्न 3.
गाय के दूध से माँ के दूध की तुलना क्यों नहीं की जा सकती? (2014, 17)
उत्तर:
गाय के दूध की तुलना माँ के दूध से इसलिए नहीं की जा सकती क्योंकि गाय का दूध यत्र-तत्र सर्वत्र बाजार-हाट में उपलब्ध होता है। इसको व्यक्ति धन देकर खरीद सकता है। लेकिन माँ का दूध मूल्यवान है, कोई भी इसका मूल्य चुकता नहीं कर सकता।

प्रश्न 4.
लेखक ने अपने भारतीय हमवतन के चार सौ साल स्वर्ग को किस सुख पर हजार बार न्यौछावर किया है?
उत्तर:
लेखक ने अपने भारतीय हमवतन के चार सौ साल के स्वर्ग को मातृभूमि के सुख पर हजार बार न्यौछावर किया है, क्योंकि मातृभूमि के समान सुख एवं अपनत्व अन्यत्र प्राप्त होना दुर्लभ है।

जननी जन्मभूमिश्च दीर्घ उत्तरीय प्रश्नोत्तर

प्रश्न 1.
जन्मभूमि के प्रति प्रेम और राष्ट्र प्रेम में कोई अन्तर्विरोध नहीं है। पाठ के आधार पर स्पष्ट कीजिए। (2009)
उत्तर:
जन्मभूमि के प्रति प्रेम और राष्ट्र प्रेम में कोई अन्तर्विरोध नहीं है। उसका प्रमुख कारण है कि जो व्यक्ति जन्मभूमि के प्रति प्रेम व आस्था रखता है तथा मानव मूल्यों को समझता है वही व्यक्ति राष्ट्रीय दायित्व का भली प्रकार निर्वाह कर सकता है। मानव को अपने जीवन में विभिन्न प्रकार की परिस्थितियों में दूसरों की भावनाओं का सम्मान करते हुए आगे बढ़ना पड़ता है और तभी देशभक्ति का सही अर्थ चरितार्थ होता है। राष्ट्र के प्रति व्यक्ति तभी प्रेम कर सकता है, जबकि उसको अपनी जन्मभूमि से स्नेह हो।

प्रश्न 2.
लेखक के नीग्रो कवि मित्र ने अमेरिका के सम्बन्ध में क्या विचार व्यक्त किए?
उत्तर:
लेखक के नीग्रो कवि मित्र ने अमेरिका के सम्बन्ध में अपने विचार इस प्रकार व्यक्त किए हैं कि यह कचरा फेंक उपभोक्ता का देश एवं यह आदमी और आदमी के बीच अदृश्य झिल्ली की दीवार बनाने वाली संस्कृति का देश है।

यह खरीदो-वह खरीदो के पागलपन वाला देश अगर वह स्थान स्वर्ग है तो फिर नरक कहाँ है? मन देश की छोटी-छोटी वस्तुओं के लिए तरसता रहता है। तब भी स्वर्ग इसको नहीं छोड़ पाता। यद्यपि स्वर्ग के प्राणी उसे दुतकारते हैं, विभिन्न प्रकार से अपमानित करते हैं लेकिन दुर्भाग्य की बात है कि स्वर्ग में द्वितीय श्रेणी के नागरिक का अधिकार प्राप्त करने के लिए उसे अपने देश की सरकार की सहायता की आवश्यकता पड़ती है। वह अपनी सरकार से अपेक्षा रखता है क्योंकि वह अपनी सरकार को विदेशी मुद्रा देता है।

लेकिन व्यक्ति उस समय इस बात को भूल जाता है कि मातृभूमि स्वर्ग से भी बढ़कर है। अतः अन्त में यह कहा जा सकता है कि नीग्रो कवि ने भी विदेश के महत्व को नकारते हुए मातृभूमि को श्रेष्ठ ठहराया है।

प्रश्न 3.
अपभ्रंश के पुराने दोहे में देश का सबसे बड़ा घर किसे कहा गया है और क्यों?
उत्तर:
अपभ्रंश के पुराने दोहे में देश का सबसे बड़ा घर वह है जहाँ प्यारे बन्धु रहते हैं। जो प्रत्येक व्यक्ति को दुःखों को सहने की क्षमता प्रदान करते हैं। वे दुःखी व्यक्ति के घावों पर मरहम अपने मधुर वचनों से लगाते हैं।

अत: देश का सबसे बड़ा घर यदि एक साधारण झोंपड़ी को कहा जाये तो उचित ही है। श्रीराम ने चित्रकूट में स्वयं पर्णकुटी बनायी तथा सुखपूर्वक निवास किया।

अन्य सुरम्य स्थान राधा की गौशाला है जहाँ श्रीकृष्णजी स्वयं गायों का दूध दुहने के लिए जाते थे। इसके अतिरिक्त भगवान बुद्ध की साधारण-सी आम की बगिया जहाँ पर उन्होंने महल त्यागने के पश्चात् अपना निवास स्थान बनाया और वैशाली की नगर वधू आम्रपाली को भिक्षा में लिया।

इसके अतिरिक्त जनसाधारण को सत्य, अहिंसा एवं प्रेम का पाठ पढ़ाने वाले महात्मा गाँधी भी साबरमती आश्रम में साधारण सी कुटिया में रहे। गाँधी जी सच्चे अर्थों में आज भी जनसाधारण के हृदय में विद्यमान हैं।

अतः निष्कर्ष में कह सकते हैं कि वह स्थान ही बड़ा घर है जहाँ कि सच्चरित्र व्यक्ति रहते हैं।

प्रश्न 4.
सप्रसंग व्याख्या कीजिए
(अ) देश का वरण……………बस हो जाता है।
(ब) वह अपनी निजता……………..”प्राप्त नहीं होता।
उत्तर:
(अ) सन्दर्भ :
प्रस्तुत गद्यावतरण हमारी पाठ्य पुस्तक के निबन्ध ‘जननी जन्मभूमिश्च से उद्धत किया गया है। इसके लेखक ‘विद्यानिवास मिश्र’ हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत अवतरण में मिश्र जी ने यह बताने का प्रयास किया है कि मातृभूमि का अन्य विकल्प नहीं है।

व्याख्या :
लेखक का कथन है कि जब लोग अपने देश की धरती को छोड़कर विदेशों में गमन करते हैं, तो वहाँ रहकर विवशता एवं आवश्यकतावश उन्हें उस देश के वातावरण में स्वयं को ढालने का प्रयास करना पड़ता है। लेकिन अपनी धरती माँ के सदृश पूज्यनीय एवं वन्दनीय है, उसको अंगीकार करने का प्रश्न ही नहीं उठता। वह तो मानव के हृदय पटल पर जन्म से ही अंकित रहती है। जिस प्रकार पुत्र का अपनी माँ के प्रति असीम अनुराग होता है, तदनुरूप व्यक्ति का मातृभूमि की मिट्टी के प्रति असीम लगाव होता है। विदेशों में भी जब उसके देश की चर्चा होती है तब भावनाओं का कोमल सागर हृदय में तरंगें लेने लगता है।

(ब) सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
मिश्र जी का कथन है प्रवासी भारतीय विदेशों में रहकर भी अपने देश के प्रति प्रेम से जुड़े रहना चाहते हैं।

व्याख्या :
मिश्र जी विदेश यात्रा पर गये। वहाँ प्रवासी भारतीयों की बातचीत से उनकी दुविधा उजागर हुई कि विदेशों में रहते हुए भी वे अपनी निजता या मातृभूमि के प्यार को किसी भी दशा में त्यागने के लिए तैयार नहीं है। यद्यपि उन्हें विदेशी भाषाओं का ज्ञान नहीं था लेकिन भोजपुरी एवं थाई भाषा बोलने में पूरी तरह सक्षम थे। उनकी यह हार्दिक अभिलाषा थी कि वृद्धावस्था के आगमन पर वह अपनी मातृभूमि के प्रांगण में ही जीवनयापन करें।

मृत्यु की गोद में सोने से पूर्व तुलसी दल तथा गंगा के पवित्र जल की एक बूंद उसके गले में अवश्य डाली जाये। मानव मातृभूमि के प्रति अपने अपनत्व को इतना महत्व देता है जितना कंठगत प्राण को वह येन-केन प्रकारेण बचाने का भरसक प्रयास करता है। ये अपनी जड़ से अथवा मातृभूमि से जुड़े रहने का जीवन्त प्रमाण है। मातृभूमि की मिट्टी में जो प्यार निहित है, वह सौभाग्य का प्रतीक है। ऐसा अनुराग अन्यत्र मिलना दुर्लभ है।

प्रश्न 5.
भाव पल्लवन कीजिए
(अ) मुल्क बदल जाये, वतन तो वतन होता है।
उत्तर:
प्रस्तुत कथन में मिश्र जी ने विदेशों की धरती पर रहने वाले व्यक्ति का अपने देश के प्रति लगाव एवं प्यार को व्यक्त किया है।

मुझे मेरे देश का ही एक व्यक्ति करांची की सैर कराने में सहायक हुआ। उसने मेरा इतना स्वागत किया कि मेरे हृदय-तन्त्री के तारों को झंकृत कर दिया। मेरी वायुयान से दूसरी उड़ान का समुचित प्रबन्ध कर दिया। जब लेखक ने उससे विदा माँगी तो उसके नेत्रों में आँसू झलकनोलगे। उसने कहा कि अपना वतन अपना ही होता है। देशों के परिवर्तन से व्यक्ति के अपने देश के प्रति अनुराग में तनिक भी कमी नहीं आती।

(ब) जननी जन्मभूमिश्च स्वर्गादपि गरीयसी।
उत्तर:
प्रस्तुत कथन का भाव है कि जननी एवं जन्मभूमि स्वर्ग से भी श्रेष्ठ है। इस तथ्य को राम ने लंका के सत्कार को ठुकराकर मातृभूमि के प्रति अपने स्नेह को व्यक्त किया है। इस युक्ति की सार्थकता अचानक पाकिस्तानी की आँखों में छलछलाने वाले अश्रु बिन्दुओं में साकार रूप से दृष्टिगोचर हो रही थी। मनुष्य को मातृभूमि की महत्ता का ज्ञान विदेशों में रहने पर ही ज्ञात होता है, जहाँ आडम्बर एवं बाह्य प्रदर्शन का बोलबाला है।

प्रश्न 6.
‘जननी जन्मभूमिश्च’ पाठ के आधार पर ‘मातृभूमि स्वर्ग के समान है’ विषय के पक्ष में तीन उदाहरण देकर अपनी बात समझाइए। (2010)
उत्तर:
मातृभूमि स्वर्ग से भी बढ़कर होती है। इसका कारण है कि हम जन्म लेते ही मातृभूमि पर पैर रखते हैं। वह हमारा भार सहन करती है, हमारी लात सहती है। मातृभूमि ही हमें भोजन, पानी, फल आदि देती है और बड़ा करती है। मातृभूमि हमें अनायास ही सब कुछ देती है। इस तरह मातृभूमि स्वर्ग के समान ही नहीं उससे भी अधिक महत्व की है। यही कारण है कि मातृभूमि को भूल पाना असम्भव है।

जननी जन्मभूमिश्च भाषा अध्ययन

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के हिन्दी रूप लिखिए-
वतन, मुल्क, सलाम, जाहिल, हकीकत, कैदखाना।
उत्तर:
देश, राष्ट्र, प्रणाम, अशिक्षित, वास्तविक, बन्दीगृह।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित वाक्यांश के लिए एक शब्द लिखिए
(क) राष्ट्र से सम्बन्धित भाव
(ख) आध्यात्म से सम्बन्धित
(ग) व्यवसाय से सम्बन्धित
(घ) बूढ़ा होने की अवस्था।
उत्तर:
(क) राष्ट्रीय
(ख) आध्यात्मिक
(ग) व्यावसायिक
(घ) वृद्धावस्था।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित अशुद्ध वाक्यों को शुद्ध करके लिखिए
उत्तर:
(अ) अशुद्ध-मोहन कुत्ते को डण्डे से मारा।
शुद्ध-मोहन ने कुत्ते को डण्डे से मारा।

(आ) अशुद्ध-क्या आप खाना खा लिए हैं?
शुद्ध-क्या आपने खाना खा लिया है?

(इ) अशुद्ध-दरवाजे पर कौन आई है?
शुद्ध-दरवाजे पर कौन आया है?

(ई) अशुद्ध- मेरा बेटा और बेटी बाजार गई हैं।
शुद्ध-मेरा बेटा और बेटी बाजार गये हैं।

(उ) अशुद्ध- इतना मीठा चाय मैं नहीं पी सकती हूँ।
शुद्ध-इतनी मीठी चाय मैं नहीं पी सकती हूँ।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित मुहावरों का वाक्यों में प्रयोग कीजिए-
पसरा होना, घेरे में डालना, आँखें छलछला आना, स्वर्ग बना रहना, लात सहना, भारी पड़ना।
उत्तर:

1. पसरा होना-प्लेटफार्म पर यात्री रेलगाड़ी की प्रतीक्षा में यत्र-तत्र पसरे हुए थे।
2. घेरे में डालना-पुलिस ने अपराधियों को घेरे में डालकर बन्दी बना लिया।
3. आँखें छलछला आना-विदेश में अपनी मातृभूमि का प्रकरण आते ही मेरी आँखें छलछला उठीं।
4. स्वर्ग बना रहना-आत्मीयता के माध्यम से ही धरती पर स्वर्ग बना रहेगा।
5. लात सहना-विदेशी शासन में भारतीयों को अंग्रेजों को लात सहनी पड़ी।
6. भारी पड़ना-भारतीय क्रिकेट टीम इस बार कंगारुओं (ऑस्ट्रेलिया) पर भारी पड़ी।

जननी जन्मभूमिश्च पाठ का सारांश

प्रस्तुत निबन्ध के लेखक श्री विद्यानिवास मिश्र हैं। ललित निबन्ध लेखन के क्षेत्र में उनका विशिष्ट स्थान है। प्रस्तुत निबन्ध में लेखक ने ऐतिहासिक प्रसंगों एवं विभिन्न संस्मरणों के माध्यम से जन्मभूमि के महत्त्व का दिग्दर्शन कराया है। जन्मभूमि का कोई भी विकल्प नहीं है। पौराणिक उदाहरणों एवं लोकगीत के माध्यम से जन्मभूमि की महिमा का बखान किया है। प्रवासी भारतीयों की भावनाओं को भी व्यक्त किया है जो अपनी मातृभूमि के प्रति लगाव रखते हैं। फूल भी मौन रूप से अपनी यह इच्छा व्यक्त करता है कि उसे देश की बलि वेदी पर प्राण-प्रसून अर्पित करने वाले वीरों के मार्ग पर बिखेर दिया जाये। लेखक के मतानुसार मानवीय मूल्यों पर प्रतिष्ठित भावना, मातृभूमि के प्रेम में बाधक नहीं है।

जननी जन्मभूमिश्च कठिन शब्दार्थ

प्रवास = विदेश में रहने वाला। उत्कण्ठा = आकांक्षा। कोफ्त = खीझ। कानून की कैद – कानून का बन्धन। मुल्क = देश। वतन = मातृभूमि, जन्मभूमि। अपि = भी। रोचते = अच्छी लगती। स्वर्गादपि गरीयसी = स्वर्ग से बढ़कर। सार्थकता वास्तविकता। बेकाबू = काबू से बाहर। दायित्व = जिम्मेदारी। निष्ठा = आस्था। सुधि = याद। लोकाचार = सामाजिक रीति-रिवाज। सुलक्षण कन्या = अच्छे गुणों वाली लड़की। नीग्रो = अश्वेत अमेरिकन नागरिक। जाहिल = अशिष्ट। भौतिक सुख-सुविधा = सांसारिक सुख-सुविधा। आध्यात्मिक = आत्मा सम्बन्धी, ब्रह्म और जीव से सम्बन्धित। उपभोक्ता = उपभोग करने वाला। अदृश्य झिल्ली = जो झिल्ली दिखायी न दे। उद्वेलित = उद्विग्न। विरक्ति = अलगाव, विराग। अनबूझ पहेली = अनसुलझी पहेली। दुतकारते = प्रताड़ित करना। विडम्बना = विसंगति। अपेक्षा = आशा करना। अलाव = आग जलाने का वह स्थान जिसके चारों ओर लोग बैठकर आग तापते हैं। निरुपायता = कोई उपाय न होना। उत्सुकता = जिज्ञासा। बहिश्त = स्वर्ग। रूमानी = रसिक, रस से युक्त। लुभावना = मन को अच्छा लगना। प्रवासी भारतीय = अन्य देश में रहने वाले भारतीय। विवशता = मजबूरी, लाचारी। आत्मीयता = अपनत्व, स्नेह के साथ। मार्गदर्शक = मार्ग दिखाने वाला। परिमार्जित = परिष्कृत। प्रतिबिम्ब = परछाईं। तृप्त = सन्तुष्ट। निजता = अपनापन। कण्ठगत प्राण = गले तक आ चुके प्राण, प्राण निकलने की स्थिति। अपभ्रंश = एक भाषा। बड़प्पन = श्रेष्ठता, बड़ाई। आराध्य = इष्ट देव, जिसकी आराधना की जाये। मुमूर्ष = मरणासन्न, मरण का इच्छुक। पेरियार = केरल प्रान्त का एक क्षेत्र। नवनीत = मक्खन। न्यौछावर = निछावर, समर्पण।

जननी जन्मभूमिश्च संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

1. देश का वरण न जाने किन-किन दबावों और जरूरतों से आदमी करता है पर माँ का कोई वरण नहीं करता, न कोई जन्मभूमि का वरण करता है। वह माँ का बस बेटा होता है, जन्मभूमि का, माटी का बस हो जाता है। (2008, 14, 17)

सन्दर्भ :
प्रस्तुत गद्यावतरण हमारी पाठ्य पुस्तक के निबन्ध ‘जननी जन्मभूमिश्च से उद्धत किया गया है। इसके लेखक ‘विद्यानिवास मिश्र’ हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत अवतरण में मिश्र जी ने यह बताने का प्रयास किया है कि मातृभूमि का अन्य विकल्प नहीं है।

व्याख्या :
लेखक का कथन है कि जब लोग अपने देश की धरती को छोड़कर विदेशों में गमन करते हैं, तो वहाँ रहकर विवशता एवं आवश्यकतावश उन्हें उस देश के वातावरण में स्वयं को ढालने का प्रयास करना पड़ता है। लेकिन अपनी धरती माँ के सदृश पूज्यनीय एवं वन्दनीय है, उसको अंगीकार करने का प्रश्न ही नहीं उठता। वह तो मानव के हृदय पटल पर जन्म से ही अंकित रहती है। जिस प्रकार पुत्र का अपनी माँ के प्रति असीम अनुराग होता है, तदनुरूप व्यक्ति का मातृभूमि की मिट्टी के प्रति असीम लगाव होता है। विदेशों में भी जब उसके देश की चर्चा होती है तब भावनाओं का कोमल सागर हृदय में तरंगें लेने लगता है।

विशेष :

1. प्रवासी भारतीयों का अपने देश के प्रति अगाध स्नेह को दर्शाया है।
2. मानवीय भावनाओं का अंकन है।
3. शैली प्रांजल एवं प्रभावपूर्ण है।

2. इस आदमी की दुविधा एक मानवीय दुविधा है, वह अपनी निजता का प्रतिबिम्ब तो पाना चाहता है, पाकर तृप्त भी होता है, पर अपनी निजता को खोना नहीं चाहता, कंठगत प्राण की तरह उसे बचाये रखना चाहता है। शायद अपनी जड़ से इतना लगाव न होता तो इतना प्यार, अनायास दूसरे से पाने का सौभाग्य प्राप्त नहीं होता। (2009, 11)

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
मिश्र जी का कथन है प्रवासी भारतीय विदेशों में रहकर भी अपने देश के प्रति प्रेम से जुड़े रहना चाहते हैं।

व्याख्या :
मिश्र जी विदेश यात्रा पर गये। वहाँ प्रवासी भारतीयों की बातचीत से उनकी दुविधा उजागर हुई कि विदेशों में रहते हुए भी वे अपनी निजता या मातृभूमि के प्यार को किसी भी दशा में त्यागने के लिए तैयार नहीं है। यद्यपि उन्हें विदेशी भाषाओं का ज्ञान नहीं था लेकिन भोजपुरी एवं थाई भाषा बोलने में पूरी तरह सक्षम थे। उनकी यह हार्दिक अभिलाषा थी कि वृद्धावस्था के आगमन पर वह अपनी मातृभूमि के प्रांगण में ही जीवनयापन करें।

मृत्यु की गोद में सोने से पूर्व तुलसी दल तथा गंगा के पवित्र जल की एक बूंद उसके गले में अवश्य डाली जाये। मानव मातृभूमि के प्रति अपने अपनत्व को इतना महत्व देता है जितना कंठगत प्राण को वह येन-केन प्रकारेण बचाने का भरसक प्रयास करता है। ये अपनी जड़ से अथवा मातृभूमि से जुड़े रहने का जीवन्त प्रमाण है। मातृभूमि की मिट्टी में जो प्यार निहित है, वह सौभाग्य का प्रतीक है। ऐसा अनुराग अन्यत्र मिलना दुर्लभ है।

विशेष :

1. लेखक की गहन अनुभूति विद्यमान है।
2. भाषा में कोमल कमनीयता का समावेश है।
3. शैली सरस, सरल एवं सुबोध है।

3. स्वर्ग से मातृभूमि इसलिए ही शायद बड़ी है कि स्वर्ग का भोग करने वाला अपने को ऊँचा समझने लगता है, मातृभूमि से प्यार करने वाला विनम्र बना रहता है, यह समझने के लिए कि जैसे अपनी भूमि के लिए तड़पता है, वैसे ही दूसरा भी तड़पता होगा। बड़प्पन कहीं रहने से या कहीं न रहने से नहीं आता है, आता है दूसरे को बड़प्पन देने से, दूसरे के दुःख को अपना दुःख मानने से। (2013)

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
मिश्र जी ने इस गद्यांश में मानवीय विनम्रता की महत्ता को उजागर किया गया है।

व्याख्या :
सामान्यतः स्वर्ग को सबसे उत्तम माना गया है, किन्तु जन्मभूमि से भी बढ़कर जो स्वर्ग का उपभोग करता है, वह स्वयं को अन्य से ऊँचा समझता है, परन्तु मातृभूमि को प्रेम करने वाला शिष्ट एवं नम्र बना रहता है। उसमें बड़े होने का गर्व नहीं आता है। वह जानता है कि जैसे मेरे मन में अपनी जन्मभूमि के लिए तड़पन है, वैसी ही तड़पन औरों में भी अपनी मातृभूमि के लिए अवश्य होगी। श्रेष्ठता किसी विशेष स्थान पर रहने अथवा नहीं रहने से नहीं आती है। यह तो दूसरे को श्रेष्ठ मानने से प्राप्त होती है, औरों के कष्ट को अपना कष्ट मानने से बड़प्पन आता है।

विशेष :

1. जन्मभूमि के प्रति प्यार हृदय में विनम्रता का संचार करता है।
2. सरल, सुबोध, व्यावहारिक भाषा का प्रयोग किया गया है।
3. तर्कपूर्ण विवेचनात्मक शैली में विषय को स्पष्ट किया गया है।

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