Class 10

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 5 समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का – भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10,000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) हाँ, 15, 23.31, 39, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चत संख्या 8 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(ii) नहीं, आयतन V,\(\frac { 3V }{ 4 } \),(\(\frac { 3 }{ 4 } \))² V,(\(\frac { 3 }{ 4 } \))³ …… क्योंकि सार्वान्तर समान नहीं है।
(iii) हाँ, खुदाई की लागत ₹ 150, 200, 250, 300, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या 50 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(iv) नहीं, राशियाँ 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \)). 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \))² , 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \))³, 10,000 (1 + \(\frac { 8 }{ 100 } \))⁴ …………. सार्वान्तर समान नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद और सार्वान्तर में निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = – 2,d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = – 1, d =
(v) a = -1, d = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
हल:
(i) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 10, 20, 30, 40
(ii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : -2, -2, -2, -2
(iii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 4, 1, -2, -5
(iv) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1, –\(\frac { 1 }{ 2 } \), 0, \(\frac { 1 }{ 2 } \).
(v) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1-25, -1:50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1,-1,-3, ……….
(ii) -5, -1, 3, 7, ………….
(iii) \(\frac { 1 }{ 3 } \),\(\frac { 5 }{ 3 } \),\(\frac { 9 }{ 3 } \),\(\frac { 13 }{ 3 } \) ………….
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3:9 ………….
हल:
(i) प्रथम पद: a = 3 एवं सार्वान्तर d = 1 – 3 = -2.
(ii) प्रथम पद a = -5 एवं सार्वान्तर d = (-1) – (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) प्रथम पद : a = \(\frac { 1 }{ 3 } \) एवं सार्वान्तर d = \(\frac { 5 }{ 3 } \) – \(\frac { 1 }{ 3 } \) = \(\frac { 4 }{ 3 } \)
(iv) प्रथम पद : a = 0.6 एवं सार्वान्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद और लिखिए :
(i) 2, 4, 8, 16, …………..
(ii) 2,\(\frac { 5 }{ 2 } \),3,\(\frac { 7 }{ 2 } \) ………………
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..
(iv) -10, -6, -2, 2, ……….
(v) 3,3 + \(\sqrt { 2 }\), 3 + 2 \(\sqrt { 2 }\), 3 + 3\(\sqrt { 2 }\) ……………..
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….
(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
(viii) –\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \)
(ix) 1,3,9,27, ………..
(x) a, 2a, 3a, 4a, …………
(xi) a,a²,a³,a⁴, …………..
(xii) \(\sqrt { 2 }\), \(\sqrt { 8 }\), \(\sqrt { 18 }\), \(\sqrt { 32 }\), ………………..
(xiii) \(\sqrt { 3 }\), \(\sqrt { 6 }\), \(\sqrt { 9 }\), \(\sqrt { 12 }\), ………………..
(xiv) 1², 3², 5², 7², ………………
(xv) 1²,5²,7²,7³, ………………
हल:
(i) 2, 4, 8, 16,………………

⇒ (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह A.P. नही है।

(ii) 2,\(\frac { 5 }{ 2 } \),3,\(\frac { 7 }{ 2 } \) ………………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = \(\frac { 1 }{ 2 } \) [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः = (\(\frac { 7 }{ 2 } \) + \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 4),(4 + \(\frac { 1 }{ 2 } \) = \(\frac { 9 }{ 2 } \)) एवं (\(\frac { 9 }{ 2 } \) + \(\frac { 1 }{ 2 } \) = 5)
अत: यह A.P. है तथा इसका सार्वान्तर d = \(\frac { 1 }{ 2 } \) है, एवं इसके अगले तीन पद क्रमशः 4,\(\frac { 9 }{ 2 } \) एवं 5 हैं।

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = – 2 [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-7.2, -2 = -9.2)
(-9.2 -2 = -11.2) एवं (-11.2 – 2 = -13.2)
अतः यह A.P. है जिसका सार्वान्तर d = -2 है तथा अगले तीन पद क्रमशः -9.2, -11.2 एवं -13.2 हैं।

(iv) -10, -6, -2, 2, ……….

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 4 [सान्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (2 + 4) = 6, (6 + 4)= 10 एवं (10 + 4)= 14.
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = 4 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः 6, 10 एवं 14 हैं।

(v) 3,3 + \(\sqrt { 2 }\), 3 + 2 \(\sqrt { 2 }\), 3 + 3\(\sqrt { 2 }\) ……………..

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = \(\sqrt { 2 }\) [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (3 + 3\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 3 + 4\(\sqrt { 2 }\)), (3 + 4\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 3 + 5\(\sqrt { 2 }\)),
एवं (3 + 5\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 3 + 6\(\sqrt { 2 }\))
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = \(\sqrt { 2 }\) है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः
(3 + 4 \(\sqrt { 2 }\)), (3 + 5\(\sqrt { 2 }\)) एवं (3 + 6\(\sqrt { 2 }\)) हैं।

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
⇒ a₂ – a₁ = (-4) – (0) = -4
a₃ – a₂ = (-8) – (-4) = -4
a₄ – a₃ = (-12) – (-8) = -4
⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃)= -4 [सावन्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-12 -4 = -16); (-16 -4 = -20) एवं (-20 -4) = -24.
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = – 4 तथा इसके अलगे तीन पद : -16, -20 एवं -24 हैं।

(viii) –\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \),-\(\frac { 1 }{ 2 } \)

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = 0 [सान्तिर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (-\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = – \(\frac { 1 }{ 2 } \)), (-\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = – \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं (-\(\frac { 1 }{ 2 } \) + 0 = – \(\frac { 1 }{ 2 } \))
अतः यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = 0 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः – \(\frac { 1 }{ 2 } \), – \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं –\(\frac { 1 }{ 2 } \) हैं।

(ix) 1,3,9,27, ………..

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(x) a, 2a, 3a, 4a, …………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = a [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (4a + a = 5a), (5a+a = 6a) एवं (6a + a = 7a).
अतः यह एक AP है जिसका सार्वान्तर d = a है तथा अगले तीन पद 5a, 6a एवं 7a हैं।

(xi) a,a²,a³,a⁴, …………..

⇒ (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃)
अत: यह एक A.P. नहीं है।

(xii) \(\sqrt { 2 }\), \(\sqrt { 8 }\), \(\sqrt { 18 }\), \(\sqrt { 32 }\), ………………..
अर्थत \(\sqrt { 2 }\),2\(\sqrt { 2 }\),3\(\sqrt { 2 }\),4\(\sqrt { 2 }\),………………

⇒ (a₂ – a₁) = (a₃ – a₂) = (a₄ – a₃) = \(\sqrt { 2 }\) [सार्वान्तर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (4\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 5\(\sqrt { 2 }\) = \(\sqrt { 50 }\))
(5\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 }\) = 6\(\sqrt { 2 }\) = \(\sqrt { 72 }\)) एवं (6\(\sqrt { 2 }\) + \(\sqrt { 2 \) = 7\(\sqrt { 2 }\) = \(\sqrt { 98 }\))
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = \(\sqrt { 2 }\) तथा अगले तीन पद क्रमशः \(\sqrt { 50 }\), \(\sqrt { 72 }\) एवं \(\sqrt { 98 }\) हैं।

(xiii) \(\sqrt { 3 }\), \(\sqrt { 6 }\), \(\sqrt { 9 }\), \(\sqrt { 12 }\), ………………..
a₁ = √3, a₂ = √6, a₃ = √9, a₄ = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a₃ – a₂ = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a₄ – a₃ = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) 1², 3², 5², 7², ………………
अर्थत 1,9,25,49, ………………..
⇒ a₂ – a₁ = 9 – 1 = 8
a₃ – a₂ = 25 – 9 = 16
a₄ – a₃ = 49 – 25 = 24
= (a₂ – a₁) ≠ (a₃ – a₂) ≠ (a₄ – a₃)
अतः यह एक A.P. नहीं है।

(xv) 1², 5², 7², 73, ………………..
अर्थात् 1, 25, 49, 73 ……………….
a₁ = 1², a₂ = 5², a₃ = 7², a₄ = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a₂ – a₁ = 5² – 1² = 25 – 1 = 24
a₃ – a₂ = 7² – 5² = 49 – 25 = 24
a₄ – a₃ = 73 – 7² = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)²
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)² + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 11², 145 होंगे।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन Ex 13.2

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिसकी त्रिज्याएँ 1 cm है तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबार है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल :

ज्ञात है: r = 1 cm त्रिज्या वाले अर्द्ध गोले पर उसी आधार त्रिज्या का एक शंकु जिसकी ऊँचाई h = r = 1 cm है।
चूँकि संयुक्त ठोस का आयतन = अर्द्ध गोले का आयतन + शंकु का आयतन

अतः, ठोस का अभीष्ट आयतन = π cm³ है

प्रश्न 2.
एक इन्जीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली ऐलुमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया, जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो, तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक तथा बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं।
हल :

ज्ञात है : 12 cm लम्बा एक बेलनाकार मॉडल जिसके दोनों सिरों पर h’ = 2 cm ऊँचाई के शंकु। शंकु एवं बेलन के व्यास d = 3 cm
अर्थात् उनकी त्रिज्याएँ r = \(\frac { 3 }{ 2 }\) cm हैं।
बेलन की ऊँचाई h = 12 – 2 x 2
= 12 – 4
= 8 cm
मॉडल का आयतन (धारिता) = बेलन का आयतन + 2 x शंकु का आयतन
= πr²h + 2 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h’
= हवा का आयतन
मॉडल का धारिता

अतः, मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का अभीष्ट आयतन = 66 cm³ है।

प्रश्न 3.
एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चासनी है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चासनी होगी यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्ध गोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm एवं व्यास 2.8 cm है (देखिए सलंग्न आकृति)।
हल :

5 cm लम्बे तथा d= 2.8 cm व्यास वाले 45 ऐसे बेलनाकार गुलाबजामुन जिसके सिरे उसी व्यास के अर्द्ध गोलाकार हैं। गुलाबजामुनों में उनके आयतन का 30% चीनी की चासनी है। बेलनाकार भाग का व्यास = अर्द्धगोलाकार भाग का व्यास
d = 2.8 cm
बेलन एवं अर्द्ध गोले की त्रिज्याएँ r = \(\frac { 2.8 }{ 2 }\) = 1.4 cm
बेलनाकार भाग की लम्बाई h = 5 cm – 2 x 1.4 cm
= 2.2 cm
एक गुलाबजामुन का आयतन = बेलन का आयतन + 2 x अर्द्ध गोले का आयतन

अतः, चासनी का अभीष्ट आयतन = 338 cm³ (लगभग) है।

प्रश्न 4.
एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है, जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान की लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए (देखिए संलग्न आकृति)।
हल :

दिया है : घनाभ की विमाएँ 15 cm x 10 cm x 3.5 cm जिसमें 4 शंक्वाकार गड्ढे प्रत्येक h = 1.4 cm गहरे तथा त्रिज्या r = 0.5 cm के हैं।
घनाभ का कुल आयतन = 15 cm x 10 cm x 3.5 cm
V1 = 525 cm³
4 शंक्वाकार गड्ढों का आयतन = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h
V2 = 4 x \(\frac { 1 }{ 3 }\) x \(\frac { 22 }{ 7 }\) x (0.5)² x 1.4 cm³
= \(\frac { 4.4 }{ 3 }\) cm³
= 1.47 cm³
लकड़ी का आयतन = V = V1 – V2
= 525 – 1.47
= 523.53 cm³
अतः, लकड़ी का अभीष्ट आयतन = 523.53 cm³ है।

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिसमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें भरे हुए पानी का \(\frac { 1 }{ 4 }\) भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गयी सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
शंक्वाकार बर्तन के ऊपरी तल की त्रिज्या r = 5 cm तथा इसकी ऊँचाई h = 8 cm दी है। मान लीजिए, सीसे की n गोलियाँ जिनमें प्रत्येक त्रिज्या r’ = 0.5 cm की गोलाकार गोली है डालने पर पूरे भरे बर्तन के पानी का \(\frac { 1 }{ 4 }\) आयतन बाहर निकल जाता है। प्रश्नानुसार,
n गोलियों का आयतन = \(\frac { 1 }{ 4 }\) शंक्वाकार बर्तन का आयतन (धारिता)

अतः, सीसे की गोलियों की अभीष्ट संख्या = 100 है।

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान 8g होता है (π = 3.14 लीजिए।)
हल :

एक लोहे का स्तम्भ दो बेलनों के संयोग से बना है जिसमें r₁ = \(\frac { 24 }{ 2 }\) = 12 cm,
h₁ = 220 cm, r₂ = 8 cm एवं h₂ = 60 cm दिए हैं।
∵ V₁ = πr₁²h₁
= π(12)² x 220
= 31680 π
∵ V₂ = πr₂²h₂
= π(8)² x 60
= 3840 π
कुल आयतन = 31680 π + 3840 π
= 35520 π
V = 35520 x 3.14
= 111532.8 cm³.
लोहे का द्रव्यमान = आयतन (cm³ में) x द्रव्यमान (g/cm³ में)
M = (111532.8 x 8)g = 892262.4 g
= 892.2624 kg
= 892.26 kg (लगभग)
अतः, लोहे का अभीष्ट द्रव्यमान = 892.26 kg (लगभग) है।

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंक सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्बवृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है, तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए। हल :

मान लीजिए h = 180 cm ऊँचे तथा r = 60 cm त्रिज्या के बेलनाकार बर्तन में जल भरा है, जिसमें एक ठोस जो r = 60 cm त्रिज्या वाले अर्द्धगोले पर r = 60 cm त्रिज्या तथा h’ = 120 cm ऊँचाई का एक शंकु से मिलकर बना है, डाला जाता है जिसमें उसके आयतन के बराबर जल बाहर निकल जाता है।
∵ बेलन का आयतन = πr²h
= π(60)² x 180
V1 = 648000 π cm³
= 0.648 π m³
शंकु का आयतन = \(\frac { 1 }{ 3 }\) πr²h’
= π(60)² x 120
V2 = 144000 π cm³
= 0.144 π m³
अर्द्धगोलीय ठोस का आयतन = \(\frac { 2 }{ 3 }\) πr³
= \(\frac { 2 }{ 3 }\) π (60)³
V3 = 144000 π cm³
= 0.144 π m³.
ठोस का आयतन = V2 + V3
= 0.144 π m³ + 0.144 π m³
(V2 + V3) = 0.288π m³.
शेष जल का आयतन = बेलन का आयतन – ठोस का आयतन
= V1 – (V2+V3)
= 0.648π – 0.2881
= 0.360π m³
= 0.360 x \(\frac { 22 }{ 7 }\) m³
= 1.131 m³.
अतः, बेलनाकार बर्तन में अवशेष जल का आयतन = 1.131 m³ (लगभग) है।

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलनाकार गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm है और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी का मात्रा मापकर एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं। यह मानते हए कि उपरोक्त मापन आन्तरिक मापन है और π = 3.14 है।
हल :
गोलाकार भाग का व्यास 2R = 8.5 cm
R = \(\frac { 8.5 }{ 2 }\)
एवं बेलनाकार भाग का व्यास 2r = 2 cm
r = \(\frac { 2 }{ 2 }\) = 1 cm
गोलाकार भाग का आयतन

बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h = 3.14 x (1)² x 8
V2 = 25.12 cm³
कुल आयतन V = V1+V2
= 321.39 + 25.12 .
= 346.51 cm³
अतः, बच्चे का उत्तर सही नहीं है क्योंकि सही आयतन 346.51 cm³ है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 15 प्रायिकता Ex 15.1

प्रश्न 1.
निम्नलिखित कथनों को पूरा कीजिए :
(i) घटना E की प्रायिकता + घटना ‘E नहीं’ की प्रायिकता = ………. है।
(ii) उस घटना की प्रायिकता जो घटित नहीं हो सकती ………… है। ऐसी घटना ……….. कहलाती है।
(iii) उस घटना की प्रायिकता जिसका घटित होना निश्चित है …………. है। ऐसी घटना …………. कहलाती है।
(iv) किसी प्रयोग की सभी प्रारम्भिक घटनाओं का योग ………… है।
(v) किसी घटना की प्रायिकता …………. से बड़ी या उसके बराबर होती है तथा …………. से छोटी या उसके बराबर होती है।
हल :
(i) 1 (एक),
(ii) 0 (शून्य), असम्भव घटना
(iii) 1 (एक), अवश्य या निश्चित घटना
(iv) 1 (एक),
(v) 0 (शून्य), 1 (एक)।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित प्रयोगों में से किन-किन प्रयोगों के परिणाम समप्रायिक हैं। स्पष्ट कीजिए।
(i) एक ड्राइवर कार चलाने का प्रयत्न करता है। कार चलना प्रारम्भ नहीं होती है।
(ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल को बास्केट में डालने का प्रयत्न करती है। वह बास्केट में बॉल डाल पाती है या नहीं डाल पाती है।
(iii) एक सत्य-असत्य प्रश्न का अनुमान लगाया जाता है। उत्तर सही है या गलत होगा।
(iv) एक बच्चे का जन्म होता है। वह एक लड़का है या लड़की है।
हल :
प्रयोग (iii) एवं (iv) के परिणाम सम्प्रायिक या समसम्भावी होंगे, क्योंकि इनकी समान सम्भावनाएँ होंगी।

प्रश्न 3.
फुटबॉल के खेल को प्रारम्भ करते समय, यह निर्णय लेने के लिए कि कौन-सी टीम पहले बॉल लेगी, इसके लिए सिक्का उछालना एक न्याय संगत विधि क्यों माना जाता है?
हल :
जब हम सिक्का उछालते हैं तो चित या पट् आने का परिणाम समसम्भावी है। इसलिए यह विधि न्याय संगत है।

प्रश्न 4.
इनमें से कौन-सी संख्या किसी घटना की प्रायिकता नहीं हो सकती?
(a) \(\frac { 2 }{ 3 }\)
(b) – 1.5
(c) 15%
(d) 0.7.
हल :
(b)- 1.5, क्योंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक अर्थात् शून्य से कम नहीं हो सकती है।

प्रश्न 5.
यदि P(E) = 0.05 है, तो E नहीं की प्रायिकता क्या है? (2019)
हल:
\(P(\overline{E})\) = 1 – P(E) = 1 – 0.05 = 0.95
जहाँ \(P(\overline{E})\) ‘E नहीं’ की प्रायिकता है।

प्रश्न 6.
एक थैले में केवल नीबू की महक वाली गोलियाँ हैं। मालिनी बिना थैले में झाँके उसमें से एक गोली निकालती है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह निकाली गयी गोली
(i) सन्तरे की महक वाली है,
(ii) नीबू की महक वाली है।
हल :
(i) प्रायिकता 0 (शून्य) होगी, क्योंकि थैले में सन्तरे की महक वाली एक भी गोली नहीं है।
(ii) प्रायिकता 1 (एक) होगी, क्योंकि थैले में सभी गोलियाँ नीबू की महक वाली हैं।

प्रश्न 7.
यह दिया हुआ है कि 3 विद्यार्थियों के एक समूह में से 2 विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन न होने की प्रायिकता 0.992 है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इन दो विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन हों?
हल :
मान लीजिए दोनों विद्यार्थियों के जन्मदिन एक ही दिन होने की घटना E और एक ही दिन नहीं होने की घटना \((\overline{E})\) है, तो
चूँकि P(E) = 1 – \(P(\overline{E})\)
P(E) = 1 – 0.992 [\(P(\overline{E})\) = 0.992 (दिया है)]
= 0.008
अतः, दोनों विद्यार्थियों का जन्मदिन एक ही दिन होने की अभीष्ट प्रायिकता = 0.008 है।

प्रश्न 8.
एक थैले में 3 लाल और 5 काली गेंदें हैं। इस थैले में से एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता क्या है कि गेंद
(i) लाल हो?
(ii) लाल नहीं हो?
हल :
(i) गेंदों की कुल संख्या S = 3 + 5 = 8
अर्थात् प्रयोग के सभी सम्भावित परिणामों की संख्या S = 8
लाल गेंद होने के अनुकूल परिणामों की संख्या = 3

(ii) लाल गेंद नहीं होने की प्रायिकता

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 3 }{ 8 }\) एवं (ii) \(\frac { 5 }{ 8 }\) हैं।

प्रश्न 9.
एक डिब्बे में 5 लाल कंचे, 8 सफेद कंचे और 4 हरे कंचे हैं। इस डिब्बे में से एक कंचा यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाला गया कंचा
(i) लाल है?
(ii) सफेद है?
(iii) हरा नहीं है?
हल :
कुल कंचों की संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
अर्थात् सभी सम्भव परिणामों की संख्या (S) = 17
(i) लाल कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(ii) सफेद कंचा होने के अनुकूल परिणाम

(iii) हरा कंचा होने के अनुकूल परिणाम \(n\left(E_{G}\right)=4\).
हरा कंचा न होने का परिणाम \(n\left(\overline{E}_{G}\right)=17-4=13\)

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 17 }\), (ii) \(\frac { 8 }{ 17 }\) और (iii) \(\frac { 13 }{ 17 }\) हैं।

प्रश्न 10.
एक पिग्गी बैंक (Piggy bank) में, 50 पैसे के 100 सिक्के, Rs 1 के 50 सिक्के, Rs 2 के 20 सिक्के और Rs 5 के 10 सिक्के हैं। यदि पिग्गी बैंक को हिलाकर एक सिक्का गिरने का परिणाम समप्रायिक है, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि वह गिरा हुआ सिक्का
(i) 50 पैसे का होना?
(ii) Rs 5 का नहीं होगा।
हल :
मान लीजिए
n(E₁) = Rs 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 100
n(E₂) = Rs 1 के सिक्कों की संख्या = 50
n(E₃) = Rs 2 के सिक्कों की संख्या = 20
n(E₄) = Rs 5 के सिक्कों की संख्या = 10
कुल सिक्कों की संख्या n(S) = n(E₁) + n(E₂) + n(E₃) + n(E₄)
n(S) = 100 + 50 + 20 + 10 = 180.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 5 }{ 9 }\) एवं (ii) \(\frac { 17 }{ 18 }\) हैं।

प्रश्न 11.
गोपी अपने जल-जीव कुण्ड (aquarium) के लिए एक दुकान से मछली खरीदती है। दुकानदार एक टंकी, जिसमें 5 नर मछलियाँ एवं 8 मादा मछलियाँ है, में से एक मछली यादृच्छिक उसे देने के लिए निकालती है (देखिए संलग्न आकृति)। इसकी क्या प्रायिकता है कि निकाली गयी मछली नर मछली है।
हल :

कुल मछलियाँ की संख्या n(S) = 5 + 8 = 13.
n(E) = नर मछलियों की संख्या = 5
\(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{5}{13}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 5 }{ 13 }\) हैं।

प्रश्न 12.
संयोग (Chance) के एक खेल में एक तीर घुमाया जाता है जो विश्राम में आने के बाद संख्याओं 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8 में से किसी एक संख्या को इंगित करता है (देखिए संलग्न आकृति)। यदि ये सभी परिणाम समप्रायिक हों, तो इसकी क्या प्रायिकता है कि यह तीर इंगित
(i) 8 को करेगा?
(ii) एक विषम संख्या को करेगा?
(iii) 2 से बड़ी संख्या को करेगा?
(iv) 9 से छोटी संख्या को करेगा?
हल :

चूँकि सभी सम्भावित परिणाम S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 एवं 8 हैं
n(S) = 8 है।
(i) n(E₁) = 1 आठ का अंक
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{1}{8}\)

(ii) विषम संख्याएँ हैं : E₂ = 1, 3, 5, 7
n(E₂) = 4
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)

(iii) दो से बड़ी संख्याएँ हैं : E₃ = 3, 4, 5, 6, 7 और 8.
n(E₃) = 6
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\)

(iv) 9 से छोटी संख्याएँ हैं : E₄ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 और 8
n(E₄) = 8
\(P(E)_{4}=\frac{n\left(E_{4}\right)}{n(S)}=\frac{8}{8}=1\)
अत: अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 8 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (iii) \(\frac { 3 }{ 4 }\) एवं (iv) 1 हैं।

प्रश्न 13.
एक पासे को एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) एक अभाज्य संख्या।
(ii) 2 और 6 के बीच स्थित कोई संख्या।
(iii) एक विषम संख्या।
हल :
कुल सम्भावित परिणाम n(S) = 6
(i) अभाज्य संख्याएँ हैं E₁ = 2, 3, 5
n(E₁) = 3
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(ii) 2 और 6 के बीच संख्याएँ : E₂ = 3, 4, 5
n(E₂) = 3
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

(iii) विषम संख्याएँ हैं : E₃ = 1, 3, 5
n(E₃) = 3
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 2 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 2 }\), एवं (iii) \(\frac { 1 }{ 2 }\) हैं।

प्रश्न 14.
52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गयी एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। निम्नलिखित को प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए
(i) लाल रंग का बादशाह।
(ii) एक फेस कार्ड अर्थात् तस्वीर वाला पत्ता।
(iii) लाल रंग का तस्वीर वाला पत्ता।
(iv) पान का गुलाम।
(v) हुकुम का पत्ता।
(vi) एक ईंट की बेगम।
हल :
∵ ‘सभी पत्तों की संख्या n(S) = 52
(i) लाल रंग के बादशाहों की संख्या, n(E₁) = 2.

(ii) तस्वीर वाले पत्तों (फेस कार्डों) की संख्या, n(E₂) = 12

(iii) लाल रंग की तस्वीर वाले पत्तों की संख्या, n(E₃) = 6

(iv) पान के गुलाम की संख्या, n(E₄) = 1

(v) हुकुम के पत्तों की संख्या, n(E₅) = 13

(vi) एक ईंट की बेगम n(E₆) = 1

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ :

हैं।

प्रश्न 15.
ताश के पाँच पत्तों-ईंट का दहला, गुलाम, बेगम, बादशाह और इक्का को पलटकर खूब फेंट दिया जाता है। फिर इनमें से पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है।
(i) इसकी क्या प्रायिकता है कि यह एक बेगम है?
(ii) यदि बेगम निकल आती है, तो उसे अलग रख दिया जाता है और एक अन्य पत्ता निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि दूसरा निकाला गया पत्ता (a) एक इक्का है? (b) एक बेगम है?
हल :
(i) चूँकि

(ii) बेगम निकालकर रख दी जाती है तो n(S₂) = 4.

अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\), (ii) (a) \(\frac { 1 }{ 4 }\) (b) 0 हैं।

प्रश्न 16.
किसी कारण 12 खराब पेन 132 अच्छे पेनों में मिलाए गए हैं। केवल देखकर यह नहीं बताया जा सकता कि कोई पेन खराब है या अच्छा है। इस मिश्रण में से एक पेन यादृच्छया निकाला जाता है। निकाले गए पेन की अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
हल :
कुल परिणामों की संख्या n(S) = 12 + 132 = 144
अच्छे पेनों की संख्या n(E) = 132

अतः अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac { 11 }{ 12 }\) है।

प्रश्न 17.
(i) 20 बल्बों के एक समूह में 4 बल्ब खराब हैं। इस समूह में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बल्ब खराब होगा?
(ii) मान लीजिए (i) में निकाला गया बल्ब खराब नहीं है और न ही इसे दुबारा बल्बों के साथ मिलाया जाता है। अब शेष बल्बों में से एक बल्ब यादृच्छया निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायकिता है कि यह बल्ब खराब नहीं होगा?
हल :
(i) n(S₁) = 20 एवं n(E₁) = 4
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n\left(S_{1}\right)}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)

(ii) n(S₂) = 20 – 1 = 19 कुल बल्बों की संख्या
खराब बल्बों की संख्या = 4
जो बल्ब खराब नहीं हैं उनकी संख्या = 19 – 4 = 15 बल्ब
n(E₂) = 15
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n\left(S_{2}\right)}=\frac{15}{19}\)
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 5 }\) एवं (ii) \(\frac { 15 }{ 19 }\) हैं।

प्रश्न 18.
एक पेटी में 90 डिस्क (discs) हैं, जिन पर 1 से 9 संख्याएँ अंकित हैं। यदि इस पेटी में से एक डिस्क यादृच्छया निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इस डिस्क पर अंकित होगी,
(i) दो अंकों की संख्या,
(ii) एक पूर्ण वर्ग संख्या,
(iii) 5 से विभाज्य एक संख्या?
हल :
कुल सम्भावित घटनाएँ = कुल संख्याएँ, n(S) = 90.
(i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 एवं 9 इन 9 (नौ) संख्याओं को छोड़कर शेष सभी संख्याएँ 2 अंकों की होंगी।
n(E₁) = 90 – 9 = 81
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{81}{90}=\frac{9}{10}\)

(ii) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ये 9 (नौ) संख्याएँ पूर्ण वर्ग हैं।
n(E₂) = 9.
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{9}{90}=\frac{1}{10}\)

(iii) 5 से विभाज्य संख्याएँ हैं-5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 एवं 90.
अर्थात् ये 18 संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं-n(E₃) = 18
\(P\left(E_{3}\right)=\frac{n\left(E_{3}\right)}{n(S)}=\frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 9 }{ 10 }\), (ii) \(\frac { 1 }{ 10 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 5 }\) हैं।

प्रश्न 19.
एक बच्चे के पास ऐसा पासा है, जिसके फलकों पर निम्नलिखित अक्षर अंकित हैं
A B C D E A
इस पासे को एक बार फेंका जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) A प्राप्त हो?
(ii) D प्राप्त हो?
हल:
कुल सम्भावित घटनाएँ n(S) = 6
(i) A के अनुकूल घटनाएँ n(E₁) = 2 [∴ A दो बार आया है।]
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)

(ii) ∵ \(n\left(E_{2}\right)=1 \Rightarrow P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{1}{6}\).
अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 1 }{ 3 }\) एवं (ii) \(\frac { 1 }{ 6 }\) हैं।

प्रश्न 20.
मान लीजिए आप एक पासे को संलग्न आकृति में दर्शाए गए आयताकार क्षेत्र में यादृच्छया रूप से गिराते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह पासा 1 m व्यास वाले वृत्त के अन्दर गिरेगा?
हल :

आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 x 2 = 6 m²
अर्थात् कुल सम्भावनाओं का क्षेत्रफल, n(S) = 6 m²

अतः, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{\pi}{24}\) हैं।

प्रश्न 21.
144 बॉल पेनों के समूह में 20 बॉल पेन खराब हैं और शेष अच्छे हैं। आप वही पेन खरीदना चाहेंगे, जो अच्छा हो, परन्तु खराब पेन आप खरीदना नहीं चाहेंगे। दुकानदार इन पेनों में से, यादृच्छया एक पेन निकालकर आपको देता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि
(i) आप पेन खरीदेंगे?
(ii) आप पेन नहीं खरीदेंगे?
हल:
कुल पेनों की संख्या n(S) = 144.
खरीदे जा सकने वाले अच्छे पेनों की संख्या, n(E) = 144 – 20 = 124.
खरीदे नहीं जा सकने वाले खराब पेनों की संख्या, \(n(\overline{E})\) = 20

अतः, अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 31 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 5 }{ 36 }\)

प्रश्न 22.
उदाहरण 13 को देखिए
(i) निम्नलिखित सारणी को पूरा कीजिए :

(ii) एक विद्यार्थी यह तर्क देता है कि यहाँ कुल 11 परिणाम 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 एवं 12 हैं। अतः प्रत्येक की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 11 }\) है। क्या आप इस तर्क से सहमत हैं ? सकारण उत्तर दीजिए।
हल :
(i) दी हुई अपूर्ण सारणी को पूर्ण करना :

(ii) हम सहमत नहीं हैं क्योंकि ये 11 परिणाम समसम्भावी नहीं हैं।

प्रश्न 23.
एक खेल में एक रुपए के सिक्के को तीन बार उछाला जाता है और प्रत्येक बार का परिणाम लिख लिया जाता है। तीनों परिणाम समान होने पर अर्थात् तीन चित या तीन पट प्राप्त होने पर हनीफ खेल जीत जायेगा, अन्यथा हार जायेगा। हनीफ के खेल में हार जाने की प्रायिकता परिकल्पित कीजिए।
हल :
कुल सम्भव परिणाम होंगे : (HHH), (HHT), (HTH), (THH), (TTT), (TTH), (THT), (HTT)
⇒ n(S) = 8.
यहाँ HTT का अर्थ पहले उछाल में चित, दूसरे में पट और तीसरे में पट घटने वाली घटनाएँ हैं-HHT, HTH, THH, TTH, THT एवं HTT ⇒ n(E) = 6.
अत: घटने की प्रायिकता \(P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}\) है।

प्रश्न 24.
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। इसकी प्रायिकता क्या है कि
(i) 5 किसी भी बार नहीं आयेगा?
(ii) 5 कम से कम एक बार आयेगा?
हल :
एक पासे को दो बार फेंकना अर्थात् दो पासों को एक साथ फेंकना समान प्रयोग है अतः कुल सम्भावनाएँ (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2,4), (2,5), (2,6), (3, 1), (3, 2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4, 1), (4, 2), (4,3), (4,4), (4, 5), (4,6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5,5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6).
कुल सम्भावनाएँ = n(S) = 36.

(i) 5 एक भी बार न आने की घटना n(E₁) = 25
\(P\left(E_{1}\right)=\frac{n\left(E_{1}\right)}{n(S)}=\frac{25}{36}\)

(ii) n(E₂) = n(S) – n(E₁) = 36-25 = 11
\(P\left(E_{2}\right)=\frac{n\left(E_{2}\right)}{n(S)}=\frac{11}{36}\)
अतः अभीष्ट प्रायिकताएँ : (i) \(\frac { 25 }{ 36 }\)
(ii) \(\frac { 11 }{ 36 }\)

प्रश्न 25.
निम्नलिखित में से कौन-से तर्क सत्य हैं और कौन-से तर्क असत्य हैं? सकारण उत्तर दीजिए।
(i) यदि दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है, तो इसके तीन सम्भावित परिणाम दो चित, दो पट या प्रत्येक एक बार है। अतः इनमें से प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 3 }\) है।
(ii) यदि एक पासे को फेंका जाता है, तो इसके दो सम्भावित परिणाम एक विषम संख्या या एक सम संख्या है। अत: एक विषम संख्या ज्ञात करने की प्रायिकता \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :
(i) यह कथन सत्य नहीं है, क्योंकि हम इस प्रकार वर्गीकृत तो कर सकते हैं लेकिन ये सम-सम्भावी नहीं हैं। क्योंकि तीसरे केस में पहले पर चित और दूसरे पर पट तथा पहले पर पट और दूसरे पर चित ये दो अलग घटनाएँ हैं। इस प्रकार चार सम्भावनाएँ हो सकती हैं। इस प्रकार परिणामों की प्रायिकता \(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\) एवं \(\frac { 1 }{ 2 }\), होती है।
(ii) कथन सत्य है, क्योंकि प्रश्न में विचारित दोनों परिणाम सम-सम्भावी हैं।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 12 वृतों से संबंधित क्षेत्रफल Ex 12.1

प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।
उत्तर:
प्रथम वृत्त की परिधि C₁ = 2πr₁ = 2π (19) cm
द्वितीय वृत्त की परिधि C₂ = 2πr₂ = 2π (9) cm
चूंकि संयुक्त परिधि C = C₁ + C₂
⇒ 2πr = 2π (19) + 2π (9)
= 2π (19 + 9)
= 2π (28) cm
⇒ r = 28 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 28 cm है।

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।
हल :
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = π (8)² = 64π
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = π (6)² = 36π
चूँकि संयुक्त क्षेत्रफल A = A₁ + A₂
⇒ πr² = 64π + 36π = 100π
⇒ r² = 100
⇒ r = √100 = 10 cm
अतः अभीष्ट त्रिज्या = 10 cm है।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :

दिया है Gold वाले क्षेत्र का व्यास = 21 सेमी
⇒ त्रिज्या \(r=\frac { 21 }{ 2 }\) = 10.5 cm
तथा प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
⇒ पाँचों वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ = 10.5 cm, r₂ = 21 cm, r₃ = 31.5 cm, r₄ = 42 cm एवं r₅ = 52.5 cm²
प्रथम वृत्त का क्षेत्रफल A₁ = πr₁² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 10.5 x 10.5 = 346.5 cm²
द्वितीय वृत्त का क्षेत्रफल A₂ = πr₂² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 21 x 21 = 1386 cm²
तृतीय वृत्त का क्षेत्रफल A₃ = πr₃² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 31.5 x 31.5 = 3118.5 cm²
चतुर्थ वृत्त का क्षेत्रफल A₄ = πr₄² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 42 x 42 = 5544 cm²
पंचम वृत्त का क्षेत्रफल A₅ = πr₅² = \(\frac { 22 }{ 7 }\) x 52.5 x 52.5 = 8662.5 cm²
Gold अंक वाले क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₁ = 346.5 cm²
Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₂ – A₁ = 1386 – 346.5 = 1039.5 cm²
Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₃ – A₂ = 3118.5 – 1386 = 1732.5 cm²
Black क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₄ – A₃ = 5544 – 3118.5 = 2425.5 cm²
एवं White क्षेत्र का क्षेत्रफल = A₅ – A₄ = 8662.5 – 5544 = 3118.5 cm²
अतःअभीष्ट क्षेत्रफलक्रमश: Gold = 346.5 cm², Red = 1039.5 cm², Blue = 1732.5 cm², Black = 2425.5 cm² एवं White = 3118.5 cm² है।

प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल :
कार द्वारा 10 मिनट में चली गयी दूरी = \(\frac { 10 }{ 60 }\) x 66 = 11 km = 11000 m
मान लीजिए कार के प्रत्येक पहिया द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या n हो तो
πd x n = चली गयी दूरी

अभीष्ट चक्करों की संख्या = 4375 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
उत्तर-
(A) 2 मात्रक।
क्योंकि संख्यात्मक रूप में वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त की परिधि
⇒ πr² = 2πr
⇒ r = 2 मात्रक

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ Ex 1.3

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि 5 एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि \(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है। अतः हम a और b दो सह –
अभाज्य पूर्णांक ऐसे लेते हैं कि \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \) जहाँ b ≠ 0
⇒ b \(\sqrt { 5 }\) = a ⇒ 5b² = a² (दोनों ओर वर्ग करने पर)
अत: a²,5 से विभाज्य है अर्थात् a, 5 से विभाज्य है।
अतः हम a = 5c ले सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक हैं।
⇒ 5b² = (5c)² = 25c² ⇒ b² = 5c²
अत: b²,5 से विभाज्य है अर्थात् b भी 5 से विभाज्य है। इसलिए a और b में कम-से-कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 5 है।
लेकिन यह इस तथ्य से विरोधाभासी है कि a और b दो सह अभाज्य पूर्णांक हैं। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
अतः इससे निष्कर्ष निकलता है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
हम इसके विपरीत यह मान लेते हैं कि 3 + 2\(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है।
अतः हम ऐसी दो सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ a और b (b + 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ 2 \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \) – 3 ⇒ \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ 2b } \) – \(\frac { 3 }{ 2 } \)
चूँकि a और b दो पूर्णांक हैं, जहाँ b ≠ 0
अतः \(\frac { a }{ 2b } \) – \(\frac { 3 }{ 2 } \) एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए \(\sqrt { 5 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी लेकिन यह इस तथ्य के विरोधाभासी है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास त्रुटि पूर्ण कल्पना के कारण हुआ।
अतः, इससे निष्कर्ष निकलता है कि 3 + 2 \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं:
(i) \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
(ii) 7 \(\sqrt { 5 }\)
(iii) 6 + \(\sqrt { 2 }\)
हल:
(i) हम इसके विपरीत यह मान लें कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य अशून्य पूर्णांक संख्याएँ a और b ज्ञात कर सकते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { b }{ a } \), जहाँ a और b पूर्णांक हैं
इसलिए \(\frac { b }{ a } \) एक परिमेय संख्या है और इसलिए \(\sqrt { 2 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

(ii) इसके विपरीत हम यह मान लें कि 7\(\sqrt { 5 }\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम ऐसी सह अभाज्य पूर्णांक संख्याएँ और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
7\(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 5 }\) = \(\frac { a }{ 7b } \)
चूँकि 7,a एवं b पूर्णांक हैं। इसलिए \(\frac { a }{ 7b } \) एक परिमेय संख्या होगी और इसलिए \(\sqrt { 5 }\) भी एक परिमेय संख्या होगी।
लेकिन इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 7\(\sqrt { 5 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धरण

(iii) इसके विपरीत हम यह मान लेते हैं कि 6 + \(\sqrt { 2 }\) एक परिमेय संख्या है।
अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी पूर्णांक संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि
6 + \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { a }{ b } \)
⇒ \(\sqrt { 2 }\) = \(\frac { a }{ b } \) – 6
यहाँ a, b एवं 6 पूर्णांक हैं इसलिए \(\frac { a }{ b } \) – 6 एक परिमेय संख्या है और इसलिए \(\sqrt { 2 }\) भी एक परिमेय संख्या है।
इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है।
अतः, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + \(\sqrt { 2 }\) एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.2

प्रश्न 1.
संलग्न आकृत्ति 6.2
(i) और
(ii) में DE || BC है।
आकृति
(i) में EC और
(ii) में AD ज्ञात कीजिए।

हल :
(i) ∵
DE || BC

1.5 EC = 1 x 3 = 3
EC = \(\frac { 3 }{ 1.5 }\)
= 2cm
⇒ अतः EC का अभीष्ट मान 2 cm है।

(ii) चूँकि DE || BC

अत: AD का अभीष्ट मान 2.4 cm है।

प्रश्न 2.
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्द E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए बताइए कि क्या EF || QR है?
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4:5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
हल :

एक ∆PQR दिया है जिसकी भुजा PQ एवं PR पर क्रमश: E एवं F बिन्दु स्थित हैं। (देखिए संलग्न आकृति)
अब (i) ∵

अतः EF QR के समान्तर नहीं है।

(ii) ∵

अतः EF एवं QR समान्तर हैं।

(iii) ∵

अत: EF एवं QR समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.4 में यदि LM || CB और LN || CD हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\frac{A M}{A B}=\frac{A N}{A D}\) है।
हल :

चूँकि ∆ABC में LM || CB (दिया है)
\(\frac{A M}{A B}=\frac{A L}{A C}\) …(1)
चूँकि ∆ACD में, LN || CD (दिया है)

[समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति 6.5 में DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि \(\frac { 1 }{ 2 }\) है।
हल :

चूँकि ∆BAC में, DE || AC (दिया है)
\(\frac{B E}{E C}=\frac{B D}{D A}\) ……(1)
चूँकि ∆BAE में, DF || AE (दिया है)

(समीकरण (1) एवं (2) से)
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
संलग्न आकृति 6.6 में DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।
हल :

चूँकि ∆PQO में, ED || QO (दिया है)
\(\frac{P E}{E Q}=\frac{P D}{D O}\) …(1)
चूँकि ∆POR में, DF || OR (दिया है)

[समीकरण (i) एवं (ii) से]
⇒ EF, ∆PQR की भुजाओं PQ एवं PR को क्रमशः E और F पर समानुपात में विभाजित कर रही है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
संलग्न आकृति 6.7 में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR.
हल :

चूँकि ∆OPQ में, AB || PQ (दिया है)
\(\frac{O B}{B Q}=\frac{O A}{A P}\) …(1)
चूँकि ∆OPR में AC || PR (दिया है)

[समीकरण (1) एवं (2) से]
⇒ ∆OQR की भुजाओं OQ एवं OR को BC क्रमशः B और C पर समानुपात में विभाजित कर रही है।
BC || QR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
प्रमेय 6.1 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
हल :

मान लीजिए ∆POR एक दिया हुआ त्रिभुज है जिसकी भुजा PQ के मध्य-बिन्दु S से ST||QR एक रेखा खींची गई है जो PR को बिन्दु T पर प्रतिच्छेद करती है। (देखिए संलग्न आकृति 6.8) चूँकि S, PQ का मध्य-बिन्दु दिया है।
PS = SQ
⇒\(\frac { PS }{ SQ }\) ..(1)
चूँकि ∆PQR में, ST||QR

[समीकरण (1) एवं (2) से] .
PT = TR
⇒ ST, PR को समद्विभाजित करती है।
अतः किसी त्रिभुज में एक भुजा के मध्य-बिन्दु से दूसरी भुजा के समान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
प्रमेय 6.2 का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
हल :

मान लीजिए ∆PQR एक दिया हुआ त्रिभुज है, जिसकी भुजाओं PQ और PR के मध्य-बिन्दु क्रमशः S एवं T हैं। ST को मिलाया गया है। (देखिए संलग्न आकृति)
चूँकि PS = SQ एवं PT = TR (दिया है)
\(\frac { PS }{ SQ }=1\) …(1)
\(\frac { PT }{ TR }\) ….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
⇒ \(\frac{P S}{S Q}=\frac{P T}{T R}\) (समानुपाती हैं)
⇒ रेखा ST, ∆POR की दो भुजाओं PQ एवं PR को क्रमशः S एवं T बिन्दुओं पर 1 : 1 के समानुपात में विभाजित करती है।
⇒ ST || QR (प्रमेय : 6.2 से)
अतः एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AB || DC है तथा इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है।
हल :

ज्ञातहैः एकसमलम्बचतुर्भुज ABCD जिसकीभुजाएँ AB||DC एवं जिसके विकर्ण AC एवं BD परस्पर O बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं (देखिए संलग्न आकृति 6.10)
रचना : एक रेखा EF || AB || DC खींचिए।
अब चूँकि ∆ADC में, EF || DC (रचना से)
⇒ \(\frac{A E}{E D}=\frac{A O}{C O}\) ….(1) [प्रमेय : 6.1 से]
चूँकि ∆DAB में, EF || AB (रचना से)

वैकिल्पक विधि:
समलम्ब ₹ ABCD में AB || DC एवं विकर्ण AC एवं BD बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। (देखिए संलग्न आकृति 6.11)

चूँकि AB || DC (दिया है)
एवं AC तिर्यक रेखा है।
∠OAB = ∠OCD …(1) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि AB || DC (दिया है) एवं BD तिर्यक रेखा है।
∠OBA = ∠ODC ….(2) (एकान्तर कोण हैं)
चूँकि ∠AOB = ∠DOC …(3) (शीर्षाभिमुख कोण हैं)
∆AOB एवं ∆COD के तीनों संगत कोण बराबर हैं। [समीकरण (1), (2) एवं (3) से]
∆AOB ~ ∆COD [AAA समरूपता]
\(\frac{B O}{D O}=\frac{A O}{C O}\)
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि \(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\) है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।
हल :

ABCD एक चतुर्भुज दिया है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर O बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि
\(\frac{A O}{B O}=\frac{C O}{D O}\)
त्रिभुज OAB एवं त्रिभुज OCD में,
∠AOB = ∠COD [शीर्षाभिमुख कोण हैं]
\(\) [समानुपात में हैं।
[ये बराबर कोणों को अन्तर्गत करने वाली भुजाएँ हैं।]
⇒ ∆OAB ~ ∆OCD [SAS समरूपता]
⇒ ∠OAB = ∠OCD [संगत कोण बराबर होते हैं।]
लेकिन ये एकान्तर कोण हैं।
⇒ AB || DC
अतः ABCD एक समलम्ब है।
इति सिद्धम्

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 6 त्रिभुज Ex 6.5

प्रश्न 1.
कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई है। निर्धारित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लम्बाई भी लिखिए।
(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm.
हल :
(i) (7)² = 49, (24)² = 576 एवं (25)² = 625
चूँकि 49 + 576 = 625
(7)² + (24)² = (25)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 25 cm है।

(ii) यहाँ (3)² = 9, (8)² = 64 एवं (6)² = 36.
चूँकि 9 + 36 = 45 ≠ 64 अर्थात् (3)² + (6)² ≠ (8)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iii) यहाँ (50)² = 2,500, (80)² = 6,400 एवं (100)² = 10,000
चूँकि 2,500 + 6,400 = 8900 + 10,000 अर्थात् (50)² + (80)² ≠ (100)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) यहाँ (13)² = 169, (12)² = 144 एवं (5)² = 25
चूँकि 144 + 25 = 169
(12)² + (5)² = (13)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 13 cm है।

प्रश्न 2.
PQR समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिन्दु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है। दर्शाइए कि PM² = QM.MR है।
हल :

दिया है समकोण ∆PQR जिसका कोण P समकोण है। इसके समकोण वाले शीर्ष P से कर्ण QR पर लम्ब PM डाला गया है।
∆PMR ~ ∆QMP [प्रमेय 6.7 से]
\(\frac{P M}{Q M}=\frac{M R}{P M}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
PM² = QM.MR.
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
संलग्न आकृति 6.34 में ABD एक समकोण त्रिभुज है, जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है। दर्शाइए कि
(i) AB = BC.BD
(ii) AC² = BC.DC
(iii) AD² = BD.CD.

हल :
समकोण त्रिभुज ABD में समकोण बनाने वाले शीर्ष A से BD पर लम्ब AC डाला गया है।
∆ACB ~ ∆DCA ~ ∆DAB …(1) [प्रमेय 6.7 से]
(i) ∆ACB ~ ∆DAB [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A B}{B D}=\frac{B C}{A B}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AB² = BC.BD.
इति सिद्धम्

(ii) ∆ACB ~ ∆DCA [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A C}{D C}=\frac{B C}{A C}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AC² = BC.DC.
इति सिद्धम्

(iii) ∆DCA ~ ∆DAB [समीकरण (1) से]
⇒ \(\frac{A D}{B D}=\frac{C D}{A D}\) [समरूप त्रिभुजों के प्रगुण]
⇒ AD² = BD.CD.
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है। (2019)
हल :

त्रिभुज एक दिया हुआ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जहाँ ∠C समकोण है, तथा
BC = AC …(1)
AB² = BC² + AC² …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = AC² + AC²
= 2AC². [समीकरण (1) एवं (2) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 5.
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है। यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है।
हल :

∵ ∆ABC में, AC = BC एवं AB² = 2AC² दिए हुए हैं।
⇒ AB² = AC² + BC² [∵ AC = BC]
⇒ ∠ACB एक समकोण है [प्रमेय 6.9, पाइथागोरस प्रमेय का विलोम]
अत: ABC एक समकोण त्रिभुज है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :

∆ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसमें
AB = BC = CA = 2a
हम जानते हैं कि समबाहु त्रिभुजों के शीर्षलम्ब परस्पर बराबर होते हैं तथा सम्मुख भुजाओं को समद्विभाजित करते हैं। समकोण त्रिभुज ADB में ∠D समकोण है [AD ⊥ BC]
तथा कर्ण AB = 2a [दिया है]
BD = a [BD = DC]
अब समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है।
⇒ AD² = AB² – BD² [पाइथागोरस प्रमेय से]
⇒ AD² = (2a)² – (a)²
⇒ AD² = 4a² – a² = 3a²
⇒ AD = √3a² = a√3
अतः दिए हुए समबाहु ∆ABC को प्रत्येक शीर्षलम्ब की लम्बाई = a√3 है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए ABCD एक समचतुर्भुज है, जिसके विकर्ण AC और BD परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। हम जानते हैं कि समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं तथा उसके विकर्ण परस्पर एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं एवं समचतुर्भुज को चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों में बाँटते हैं।
अब समकोण त्रिभुज AOB में, ∠AOB = 90°
⇒ AB² = AO² + BO² [पाइथागोरस प्रमेय से]
= \(\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+\left(\frac{B D}{2}\right)^{2}\)
[∵ AO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AC एवं BO = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BD]
⇒ AB² = \(\frac { 1 }{ 4 }\)AC² + \(\frac { 1 }{ 4 }\)BD²
⇒ 4AB² = AC² + BD²
⇒ AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² [∵ AB = BC = CD = DA]
अतः एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
संलग्न आकृति 6.39 में ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O है, तथा OD ⊥ BC, OE ⊥ CA और OF ⊥ AB है। दर्शाइए कि
(i) OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE²
(ii) AF² + OB² + CE² = AE² + CD² + BF²
हल :

दिया है : ∆ABC के अभ्यंतर में स्थित कोई बिन्दु O तथा
OD ⊥ BC, OE ⊥ CA, OF ⊥ AB
रचना : OA, OB और OC को मिलाइए।
(i) ∵ पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OFA में,
OA² – OF² = AF² …(1)
समकोण ∆ODB में,
OB² – OD² = BD² ….(2)
एवं समकोण ∆OEC में,
OC² – OE² = CE² …(3)
OA² – OF² + OB² – OD² + OC² – OE² = AF² + BD² + CE²
[समीकरण (1) + (2) + (3) से]
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AF² + BD² + CE² …(4)
इति सिद्धम्

(ii) चूँकि पाइथागोरस प्रमेय से,
समकोण ∆OEA में,
OA² – OE² = AE² ….(5)
समकोण ∆OFB में,
OB² – OF² = BF² ….(6)
एवं समकोण ∆ODC में,
OC² – OD² = CD² ….(7)
OA² – OE² + OB² – OF² + OC² – OD² = AE² + BF² + CD²
[समीकरण (5) + (6) + (7) से]
OA² + OB² + OC² – OD² – OE² – OF² = AE² + CD² + BF² …(8)
AF² + BD² + CE² = AE² + CD² + BF²
[समीकरण (4) एवं (8) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
10 m लम्बी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 m की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुँचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

AB एक 10 m लम्बी सीढ़ी है जिसे दीवार BC पर टिकाया गया है। दीवार पर स्थित खिड़की B दीवार पर उसके आधार से 8 m की ऊँचाई तक जाती है। सीढ़ी का निचला सिरा A दीवार के आधार C से AC की दूरी पर है।
अब समकोण ∆BCA में, ∠C = 90°
AC² = AB² – BC² [पाइथागोरस प्रमेय से]
AC² = (10)² – (8)
= 100 – 64
= 36
AC² = √36 = 6 m
अतः सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार के आधार से अभीष्ट दूरी = 6 m है।

प्रश्न 10.
18 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खम्भे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक खूटे से जुड़ा हुआ है। खम्भे के आधार से खूटे को कितनी दूरी पर गाढ़ा जाए कि तार तना रहे, जबकि तार की लम्बाई 24 m है।
हल :

एक ऊर्ध्वाधर खम्भा AB = 18 m है जो सिरे A से एक तार AC = 24 m से एक खूटे C से जुड़ा है। खम्भे के आधार B से खूटे C की दूरी BC है।
अब समकोण ∆ABC में पाइथागोरस प्रमेय से, चूँकि
BC² = AC² – AB²
BC² = (24)² – (18)²
BC² = 576 – 324
= 252
BC = √252 = 6√7 m
अतः खूटे की खम्भे के आधार से अभीष्ट दूरी = 6√7 m.

प्रश्न 11.
एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 km/hr की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अण्डे से पश्चिम की ओर 1200 k/hr की चाल से उड़ता है। \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी ?
हल :

पहले हवाई जहाज द्वारा \(1\frac { 1 }{ 2 }\) , घण्टे में उत्तर की ओर चली गई दूरी = \(\frac { 3 }{ 2 }\) x 1000 = 1500 km तथा
दूसरे हवाई जहाज द्वारा \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे में पश्चिम की ओर चली गई दूरी = \(\frac { 3 }{ 2 }\) x 1200 = 1800 km जहाज A और B की स्थिति \(1\frac { 1 }{ 2 }\) घण्टे बाद दूरी की संलग्न आकृति में प्रदर्शित की गई है तथा उनके बीच की दूरी AB है।
चूँकि समकोण त्रिभुज AOB में ∠AOB समकोण है।
AB² = (AO)² + (BO)²
पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = (1500)² + (1800)²
= 2250000 + 3240000
= 5490000
AB = \(\sqrt{5490000}=\sqrt{90000 \times 61}\)
= 300√61 km
अतः दोनों हवाई जहाजों के बीच की अभीष्ट दूरी = 300√61 km है।

प्रश्न 12.
दो खम्भे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 m और 11 m है तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके बीच की दूरी 12 m है, तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल :

दो खंभे AB = 6m एवं CD = 11m समतल भूमि पर दूरी BD = 12 m पर स्थित है उनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी AC है। (देखिए संलग्न आकृति 6.43) E से AE ⊥ CD खींचिए।
अब समकोण ∆AEC में,
भुजा AE = BD = 12 m एवं ED = AB = 6 m
एवं CD = 11 m
CE = CD – ED
= 11 m – 6 m
= 5m
अब समकोण ∆AEC में (जहाँ ∠AEC = 90°),
AC² = AE² + CE² [पाइथागोरस प्रमेय से]
AC² = (12)² + (5)²
= 144 + 25
= 169
AC = √169 = 13 m
अतः खम्भों के ऊपरी सिरे के बीच की अभीष्ट दूरी = 13 m है।

प्रश्न 13.
एक त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है।
हल :

दिया है : ABC एक त्रिभुज जिसका ∠C = 90°. इसकी भुजाओं CA एवं CB पर क्रमशः बिन्दु D और E स्थित हैं।
AE, BD एवं DE को मिलाया गया है।
चूँकि समकोण ∆ACE में, ∠ACE समकोण है
AE² = AC² + EC² ….(1) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆BCD में, ∠BCD समकोण है
BD² = BC² + DC² …(2) पाइथागोरस प्रमेय से]
AE² + BD² = AC² + BC² + EC² + DC² …(3)
[समीकरण (1) + (2) से]
समकोण ∆ACB में, ∠ACB समकोण है
AB² = AC² + BC² …(4) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆DCE में, ∠DCE समकोण है
DE² = DC² + EC² …(5)
AB² + DE² = AC² + BC² + EC² + DC² …(6) [समीकरण (4) + (5) से]
AE² + BD² = AB² + DE². [समीकरण (3) एवं (6) से]
इति सिद्धम्

प्रश्न 14.
किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लम्ब BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है। (देखिए संलग्न आकृति 6.45) सिद्ध कीजिए कि 2AB² = 2AC² + BC² है।
हल :

दिया है : ∆ABC के शीर्ष से शीर्ष लम्ब AD ⊥ BC खींचा गया है जो BC को बिन्दु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3 CD
DB = \(\frac { 3 }{ 4 }\) BC
तथा CD = \(\frac { 1 }{ 4 }\) BC ….(1)
समकोण ∆ADB में ∠ADB समकोण है
AB2 = AD2 + BD2 …(2) [पाइथागोरस प्रमेय से]
समकोण ∆ADC में, LADC समकोण है
AC² = AD² + CD² …(3) [पाइथागोरस प्रमेय]
AB² – AC² = BD² – CD² [समीकरण (2) – (3) से]
AB² – AC² = (BD + CD) (BD – CD)
= \(B C\left[\frac{3}{4} B C-\frac{1}{4} B C\right]\) [समीकरण (1) से]
AB² – AC² = BC x \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC²
2 AB² – 2AC² = BC²
2AB² = 2 AC² + BC².
इति सिद्धम्

प्रश्न 15.
किसी समाबहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC. सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7 AB² है।
हल :

दिया है : ∆ABC एक समबाहु त्रिभुज जिसकी भुजा BC पर
बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC
यहाँ AB = BC = CA ….(1)
एवं BD = \(\frac { 1 }{ 3 }\) BC …(2)
रचना : A से AE ⊥ BC खींचिए।
चूँकि BE = EC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB_…(3)
[∵ BC = AB]
[∵ समबाहु त्रिभुज का शीर्ष लम्ब आधार को समाद्विभाजित करता है।]
⇒ DE = BE – BD = \(\frac{B C}{2}-\frac{B C}{3}\) [समीकरण (3) एवं (2) से]
\(D E=\frac{3 B C-2 B C}{6}=\frac{B C}{6}=\frac{A B}{6}\) …..(4) [∵BC = AB]
∵समकोण ∆AEB में, ∠AEB समकोण है।
⇒ AE² = AB² – BE² ….(5)
∵समकोण ∆AED में, ∠AED समकोण है
⇒ AE² = AD² – DE² …(6)
⇒ AB² – BE² = AD² – DE² …..(7) [समीकरण (5) एवं (6) से]

⇒ 36AB² – 9AB² = 36AD² – AB²
⇒ 36AD² = 36AB² + AB² – 9AB² = 28AB²
⇒ 9AD² = 7AB².
इति सिद्धम्

प्रश्न 16.
किसी समबाहु त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्ष लम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
हल :

मान लीजिए कि ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसका एक शीर्षलम्ब AD है जो BC को समद्विभाजित करता है [समबाहु ∆ का शीर्ष लम्ब है]
BD = \(\frac { 1 }{ 2 }\) BC = \(\frac { 1 }{ 2 }\) AB …(1)
चूँकि समकोण त्रिभुज ADB में, LADB समकोण है
AB² = AD² + BD² …(2)
[पाइथागोरस प्रमेय से]
AB² = AD² + \(\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}\)
[समीकरण (1) एवं (2) से]
AB² = AD² + \(\frac{A B^{2}}{4}\)
4AB² = 4AD² + AB²
3AB² = 4AD²
अतः किसी समबाहु त्रिभुज में उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलम्ब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 17.
सही उत्तर चुनकर उसका औचित्य दीजिए : ∆ABC में AB = 6√3 cm, AC = 12 cm और BC = 6 cm है तो कोण B है :
(a) 120°
(b) 60°
(c) 90°
(d) 45°.
हल :
सही उत्तर (c) 90° है, क्योंकि
(AB)² = (6√3)² = 108
(AC)² = (12)² = 144
(BC)² = (6)² = 36
⇒ 108 + 36 = 144
⇒ (AB)² + (BC)² = (AC)²
⇒ ∠B = 90° समकोण [पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा]

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 3 दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म Ex 3.6

प्रश्न 1.
निम्न समीकरणों के युग्मों को रैखिक समीकरणों के युग्म में बदल करके हल कीजिए :

हल:
(i) चूँकि \(\frac { 1 }{ 2x } \) + \(\frac { 1 }{ 3y } \) = 2 ….(1)
एवं \(\frac { 1 }{ 3x } \) + \(\frac { 1 }{ 2y } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ….(2)
मान लीजिए कि \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t हो, तो
\(\frac { s }{ 2 } \) + \(\frac { t }{ 3 } \) = 2 ⇒ 3s + 2t = 12 ….(3)
एवं \(\frac { s }{ 3 } \) + \(\frac { t }{ 2 } \) = \(\frac { 13 }{ 6 } \) ⇒ 2s + 3t = 13 ….(4)
समीकरण (3) से t = (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13 समीकरण (4) में रखने पर,
2s + 3 (\(\frac { 12-3s }{ 2 } \)) = 13
⇒ 4s + 36 -9s = 26 ⇒ -5s = 26 – 36 = -10
⇒ s = \(\frac { -10 }{ -5 } \) = 2
s का मान समीकरण (3) में रखने पर,
3 × 2 + 2t = 12 ⇒ 2t = 12 – 6 = 6
⇒ t = \(\frac { 6 }{ 2 } \) = 3
अब \(\frac { 1 }{ x } \) = s = 2 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t = 3 ⇒ y = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = \(\frac { 1 }{ 3 } \) है।

s का मान समीकरण (1) में रखने पर,

अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 9 है।

(iii) चूंकि \(\frac { 4 }{ x } \) + 3y = 14 ….(1)
मान लीजिए \(\frac { 3 }{ x } \) – 4y = 23 ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = z तब
4z + 3y = 14 ….(3)
3z – 4y = 23 ….(4)
⇒ 16z + 12y = 56 ….(5) [समीकरण (3) × 4]
एवं 9z – 12y = 69 …..(6) [समीकरण (5) + समीकरण (6) से]
⇒ z = \(\frac { 125 }{ 25 } \) = 5
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = z = 5 ⇒ x = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
\(\frac{4 \times 5}{1}+3 y=14 \Rightarrow 20+3 y=14\)
⇒ 3y = 14 – 20 = -6
⇒ y = \(\frac { -6 }{ 3 } \) = -2
अतः दत्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = \(\frac { 1 }{ 5 } \) एवं y = – 2 है।

अब समीकरण (3) से t = 2 – 5s समीकरण (4) में रखने पर प्राप्त होता है :

अब s का मान समीकरण (3) में रखने पर,

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = 5 है।


अब s का मान समीकरण (4) में रखने पर,
8 × 1 + 7t = 15
⇒ 7t = 15 – 8 = 7
⇒ t = \(\frac { 7 }{ 7 } \) = 1
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) t = 1 ⇒ x = 1
अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।

(vi) चूंकि 6x + 3y = 6xy ⇒ \(\frac { 6 }{ y } \) + \(\frac { 3 }{ x } \) = 6 ….(1)
एवं 2x + 4y = 5xy ⇒ \(\frac { 2 }{ y } \) + \(\frac { 4 }{ x } \) = 5 ….(2) [दोनों समीकरणों को xy से भाग देने पर]
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x } \) = t
⇒ 6s + 3t = 6 ….(3)
2s + 4t = 5 ….(4)
⇒ 6s + 12t = 15 ….(5) [समीकरण (4) × 3 से]
⇒ 9t = 9 ⇒ t = \(\frac { 9 }{ 9 } \) = 1 [समीकरण (5) – समीकरण (3) से]
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) = t = 1 ⇒ x = 1
[∵ \(\frac { 1 }{ x } \) = t माना है]
t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
6s + 3 × 1 = 6 ⇒ 6s = 6 – 3 = 3
⇒ s = \(\frac { 3 }{ 6 } \) = \(\frac { 1 }{ 2 } \)
⇒ \(\frac { 1 }{ y } \) = s = \(\frac { 1 }{ 2 } \) ⇒ y = 2
अब दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 2 है।

(vii) चूंकि
\(\frac { 10 }{ x+y } \) + \(\frac { 2 }{ x-y } \) = 4 ….(1)
एवं \(\frac{15}{x+y}-\frac{5}{x-y}=-2\) ….(2)
मान लीजिए \(\frac { 1 }{ x+y } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ x-y } \) = t
⇒ 10s + 2t = 4 ….(3)
एवं 15s – 5t = -2 ….(4)
⇒ 30s + 6t = 12 …..(5) [समीकरण (3) × 3 से]

t का मान समीकरण (3) में रखने पर,
10s + 2 × 1 = 4
⇒ 10s = 4 – 2 = 2

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 3 एवंy = 2 है।

अतः दत्त समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 1 एवं y = 1 है।

प्रश्न 2.
निम्न समस्याओं को रैखिक समीकरण युग्म के रूप में व्यक्त कीजिए और फिर उनके हल ज्ञात कीजिए :
(i) रितु धारा के अनुकूल 2 घण्टे में 20 km तैर सकती है और धारा के प्रतिकूल 2 घण्टे में 4km तैर सकती है। उसकी स्थिर जल में तैरने की चाल तथा धारा की चाल ज्ञात कीजिए।
(ii) 2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकती हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुनः इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा ?
(iii) रूही 300 km दूरी पर स्थित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तय करती है। यदि वह 60 km रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है, तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 km रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमश: चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) माना कि रितु की स्थिर जल में तैरने की चाल xkm/hr एवं धारा की चाल ykm/hr है,
तो प्रश्नानुसार, 2 (x + y) = 20 [∵ समय × चाल = दूरी] ….(1)
⇒ x + y = 10 ….(1)
एवं 2 (x – y) = 4 [∵ समय × चाल = दूरी]
⇒ x – y = 2 ….(2)
⇒ 2x = 12 ⇒ x = \(\frac { 12 }{ 2 } \) = 6 km/hr [समीकरण (1) + समीकरण (2) से]
एवं 2y = 8 ⇒ y = \(\frac { 8 }{ 2 } \) = 4 km/hr [समीकरण (1) – समीकरण (2) से]
अतः रितु की स्थिर जल में तैरने की अभीष्ट चाल = 6 km/hr एवं धारा की अभीष्ट चाल = 4 km/hr है।

(ii) माना एक महिला अकेले एक कसीदे के कार्य को x दिन में तथा एक पुरुष अकेले उसी कार्य को । दिन में करते हैं, तो प्रश्नानुसार,



अतः एक अकेली महिला अभीष्ट कार्य को करने में 18 दिन लेगी तथा पुरुष अकेला उसी कार्य को 36 दिन में करेगा।

(ii) माना कि रेलगाड़ी की चाल x km/hr तथा बस की चाल y km/hr है,
जब रूही 60 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो बस द्वारा 300 – 60 = 240 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल 4 घण्टे का समय लगेगा।
अतः \(\frac { 60 }{ x } \) + \(\frac { 240 }{ y } \) = 4 ⇒ \(\frac { 15 }{ x } \) + \(\frac { 60 }{ y } \) = 1
जब रूही 100 km की दूरी रेलगाड़ी से तय करती है, तो
बस द्वारा 300 – 100 = 200 km की दूरी तय करेगी तो यात्रा में कुल समय = 4 घण्टे 10 मिनट लगेंगे अर्थात् 4 \(\frac { 10 }{ 60 } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \) घण्टे
अतः \(\frac { 100 }{ x } \) + \(\frac { 200 }{ y } \) = \(\frac { 25 }{ 6 } \)
⇒ \(\frac { 24 }{ x } \) + \(\frac { 48 }{ y } \) = 1 ….(2)
माना लीजिए \(\frac { 1 }{ x } \) = s एवं \(\frac { 1 }{ y } \) = t तब
15s + 60t = 1 ⇒ 15s + 60t – 1 = 0 ….(3)
एवं 24s + 48t = 1 ⇒ 24s + 48t – 1 = 0 ….(4)

अतः रेलगाड़ी एवं बस की अभीष्ट चाल क्रमश: 60 km/hr एवं 80 km/hr है।

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MP Board Class 10th Maths Solutions Chapter 4 द्विघात समीकरण Ex 4.3

प्रश्न 1.
यदि निम्नलिखित द्विघात समीकरणों के मूलों का अस्तित्व हो तो इन्हें पूर्ण वर्ग बनाने की विधि द्वारा ज्ञात कीजिए:
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\)x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3
इसलिए b² – 4ac = (-7)² – 4 (2) (3) = 49 – 24 = 25 > 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अतः समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac { 1 }{ 2 } \) एवं 3 हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = -4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (-4) = 1 + 32 = 33
अतः मूलों का अस्तित्व है।

अत: समीकरण के अभीष्ट मूल = \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\) हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0 में a = 4, b = 4 \(\sqrt { 3 }\), c = 3
इसलिए b² – 4ac = (4\(\sqrt { 3 }\))² (4) (3) = 48 – 48 = 0
अतः मूलों का अस्तित्व है।
अब 4x² + 4 \(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0
⇒ (2x)² + 2 (2x) (\(\sqrt { 3 }\)) + (\(\sqrt { 3 }\))² = 0
(2x + \(\sqrt { 3 }\))² = 0
⇒ 2x + \(\sqrt { 3 }\) = 0 ⇒ x = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
अत: समीकरण के अभीष्ट मूल \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) और \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4
इसलिए b² – 4ac = (1)² – 4 (2) (4) = 1 – 32 = -31 < 0
अत: मूलों का कोई अस्तित्त्व नहीं है।
अतः समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 2.
निम्न (द्विघात) समीकरणों के मूल द्विघाती सूत्र का उपयोग करके ज्ञात कीजिए –
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
(ii) 2x² + x – 4 = 0
(iii) 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0
(iv) 2x² + x + 4 = 0
हल:
(i) चूँकि 2x² – 7x + 3 = 0 में a = 2, b = – 7 एवं c = 3

अतः दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल 3 एवं \(\frac { 1 }{ 2 } \) हैं।

(ii) चूँकि 2x² + x – 4 = 0 में a = 2, b = 1, एवं c = – 4

अतः द्विघात समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-1 \pm \sqrt{33}}{4}\) हैं।

(iii) चूँकि 4x² + 4\(\sqrt { 3 }\) x + 3 = 0 में a = 4, b = 4\(\sqrt { 3 }\) एवं c = 3

अत: दत्त वर्ग समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) और \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) हैं।

(iv) चूँकि 2x² + x + 4 = 0 में a = 2, b = 1 एवं c = 4

चूँकि \(\sqrt { -31 }\) एक वास्तविक संख्या नहीं है।
अत: वर्ग समीकरण का कोई भी वास्तविक मूल नहीं है।

प्रश्न 3.
निम्न समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x – \(\frac { 1 }{ x } \) = 3, x ≠ 0
(ii) \(\frac { 1 }{ x+4 } \) – \(\frac { 1 }{ x-7 } \) = \(\frac { 11 }{ 30 } \), x ≠ -4,7
हल:
(i) x – \(\frac { 1 }{ x } \) = 3 ⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0, यहाँ a = 1, b = -3 एवं c = -1

अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल \(\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}\) है।

(ii) \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x-7}=\frac{11}{30}\)
⇒ 30 (x – 7) – 30 (x + 4) = 11 (x + 4) (x – 7)
⇒ 30x – 210 – 30x – 120 = 11 (x² – 7x + 4x – 28)
⇒ -330 = 11 (x² – 3x – 28)
⇒ x² – 3x – 28 = -30
⇒ x² – 3x + 2 = 0
⇒ x² – x – 2x + 2 = 0
⇒ x (x – 1)- 2 (x – 1) = 0
⇒ (x – 1) (x – 2) = 0
या तो x – 1 = 0 ⇒ x = 1
अथवा x – 2 = 0 ⇒ x = 2
अतः दत्त समीकरण के अभीष्ट मूल 1 और 2 हैं।

प्रश्न 4.
3 वर्ष पूर्व रहमान की आयु (वर्षों में) का व्युत्क्रम और अब से 5 वर्ष पश्चात् आयु के व्युत्क्रम का योग \(\frac { 1 }{ 3 } \) है। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि रहमान की वर्तमान आयु x वर्ष है तो प्रश्नानुसार,
\(\frac { 1 }{ x-3 } \) + \(\frac { 1 }{ x+5 } \) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
⇒ 3 (x + 5) + 3 (x – 3) = (x – 3) (x + 5)
⇒ 3x + 15 + 3x – 9 = x² + 5x – 3x – 15
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² – 4x – 21 = 0
⇒ x² – 7x + 3x – 21 = 0
⇒ x (x – 7) + 3 (x – 7) = 0
⇒ (x – 7) (x + 3) = 0
या तो x + 3 = 0 ⇒ x = -3 (जो असम्भव है)
अथवा x – 7 = 0 ⇒ x = 7
अतः रहमान की अभीष्ट आयु = 7 वर्ष।

प्रश्न 5.
एक क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, उनके अंकों को गुणनफल 210 होता। उसके द्वारा दोनों विषयों में प्राप्त किए अंक ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए शेफाली ने गणित में x अंक प्राप्त किए तो उसके अंग्रेजी में प्राप्त अंक = 30 – x
चूँकि दोनों विषयों के अंकों का योग 30 दिया गया है।
अब प्रश्नानुसार, (x + 2) × (30 – x – 3) = 210
⇒ (x + 2)(27 – x) = 210
⇒ 27x – x² + 54 -2x = 210
⇒ x² – 25x + 156 = 0
⇒ x² – 12x – 13x + 156 = 0
⇒ x (x – 12)- 13 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x – 13) = 0
या तो (x – 12) = 0 ⇒ x = 12
अथवा x – 13 = 0 ⇒ x = 13
जब गणित में x = 12 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – x = 30 – 12 = 18 अंक प्राप्त होंगे और जब गणित में x = 13 अंक तो अंग्रेजी में = 30 – 13 = 17 अंक प्राप्त होंगे
अत: गणित एवं अंग्रेजी में प्राप्त अभीष्ट अंक क्रमशः 12 एवं 18 अथवा 13 एवं 17 होंगे।

प्रश्न 6.
एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी. अधिक लम्बा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी. अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए आयताकार खेत की छोटी भुजा x मी. है तो प्रश्नानुसार विकर्ण = (x + 60) मी. एवं
बड़ी भुजा = (x + 30) मी.
अब पाइथागोरम प्रमेय से,
(विकर्ण)² = (बड़ी भुजा)² + (छोटी भुजा)²
⇒ (x + 60)² = (x + 30)² + (x)²
⇒ x² + 120x + 3600 = x² + 60x + 900 + x²
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
⇒ x² – 90x + 30x – 2700 = 0
⇒ x (x – 90) + 30 (x – 90) = 0
⇒ (x – 90) (x + 30) = 0
या तो x + 30 = 0 ⇒ x = – 30 जो असम्भव है।
अथवा x – 90 = 0 ⇒ x = 90 मी.
⇒ छोटी भुजा = x = 90 मी.
एवं बड़ी भुजा = x + 30 = 90 + 30 = 120 मी.
अत: आयताकार खेत की अभीष्ट भुजाएँ 120 मी. एवं 90 मी. है।

प्रश्न 7.
दो संख्याओं के वर्गों का अन्तर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए बड़ी संख्या x है तो प्रश्नानुसार,
(छोटी संख्या)² = 8x ⇒ छोटी संख्या = \(\sqrt { 8x }\)
एवं x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x = 180 = 0
⇒ x² – 18x + 10x – 180 = 0
⇒ x(x – 18) + 10 (x – 18) = 0
⇒ (x – 18) (x + 10) = 0
यातो x – 18 = 0 ⇒ x = 18 बड़ी संख्या
तो छोटी संख्या = \(\sqrt{8 x}=\sqrt{8 \times 18}=\sqrt{144}=\pm 12\)
अथवा x + 10 = 0 ⇒ x = -10 जो असम्भव है।
अत: अभीष्ट संख्याएँ या तो 18 और 12 अथवा 18 और – 12 हैं।

प्रश्न 8.
एक रेलगाड़ी एक समान चाल से 360 km की दूरी तय करती है। यदि यह चाल 5 km/h अधिक होती, तो वह उसी यात्रा में 1 घण्टा कम समय लेती। रेलगाडी की चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए रेलगाड़ी की चाल x km/h है तो 360 km दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac { 360 }{ x } \) h
अब प्रश्नानुसार, \(\frac { 360 }{ x+5 } \) = \(\frac { 360 }{ x } \) = 1
⇒ 1 = \(\frac { 360 }{ x } \) – \(\frac { 360 }{ x+5 } \)
⇒ x (x + 5) = 360 (x + 5) – 360 (x)
⇒ x² + 5x = 360x + 1800 – 360x
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
⇒ x² + 45x – 40x – 1800 = 0
⇒ x(x + 45) – 40 (x + 45) = 0
⇒ (x + 45) (x – 40) = 0
या तो x + 45 = 0 ⇒ x = -45 जो असम्भव है।
अथवा x – 40 = 0 ⇒ x = 40
अतः रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 40 km/h है।

प्रश्न 9.
दो पानी के नल एक साथ एक हौज को 9\(\frac { 3 }{ 8 } \) घण्टों में भर सकते हैं। बड़े व्यास वाला नल हौज को भरने में कम व्यास वाले नल से 10 घण्टे कम समय लेता है। प्रत्येक द्वारा अलग से हौज को भरने के समय ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए छोटा नल हौज को भरने में x घण्टे लेता है तो बड़ा नल उस हौज को भरने में (x – 10) घण्टे लेगा। दोनों मिलकर उस हौज को भरने में 9\(\frac { 3 }{ 8 } \) = \(\frac { 75 }{ 8 } \) घण्टे लेते हैं। 1 घण्टे में छोटा नल \(\frac { 1 }{ x } \) हौज तथा बड़ा नल \(\frac { 1 }{ x-10 } \) हौज भरेगा तथा 1 घण्टे में कुल \(\frac { 8 }{ 75 } \) हौज भरेगा।
⇒ \(\frac { 1 }{ x } \) + \(\frac { 1 }{ x-10 } \) = \(\frac { 8 }{ 75 } \)
⇒ 75 (x – 10) + 75x = 8x (x – 10)
⇒ 75x – 750 + 75x = 8x² – 80x
⇒ 8x² – 150x – 80x + 750 = 0
⇒ 8x² – 230x + 750 = 0
⇒ 8x² – 200x – 30x + 750 = 0
⇒ 8x (x – 25) – 30 (x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (8x – 30) = 0
या तो 8x – 30 = 0 ⇒ x = \(\frac { 30 }{ 8 } \) = \(\frac { 15 }{ 4 } \) = 3.75
घण्टे तब बड़े नल द्वारा लिया समय x – 10 = 3.75 – 10 = – 6:25 घण्टे, जो असम्भव है।
अथवा x – 25 = 0 ⇒ x = 25 घण्टे
तब बड़े नल द्वारा लिया समय = x – 10 = 25 – 10 = 15 घण्टे
अत: दोनों नलों द्वारा हौज को भरने में अलग-अलग लिया गया समय 25 घण्टे एवं 15 घण्टे

प्रश्न 10.
मैसूर और बैंगलौर के बीच 132 km यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घण्टा कम समय लेती है। (मध्य के स्टेशनों पर ठहरने का समय ध्यान न लिया जाए) यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 km/h अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए सवारी गाड़ी की चाल x km/h है तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की चाल = (x + 11) km/h 132 km की दूरी तय करने में सवारी गाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac { 132 }{ x } \) h एवं एक्सप्रेस रेलगाड़ी द्वारा लिया गया समय = \(\frac { 132 }{ x+11 } \) h, तब प्रश्नानुसार,
⇒ \(\frac { 132 }{ x } \) – \(\frac { 132 }{ x+11 } \) = 1
⇒ 132x + 132 × 11 – 132x = x (x + 11)
⇒ 132x + 33 × 44 – 132x = x² + 11x
⇒ x² + 11x – 33 × 44 = 0
⇒ x² + 44x – 33x – 33 × 44 = 0
⇒ x(x + 44)-33 (x + 44) = 0
⇒ (x + 44) (x – 33) = 0
या तो x + 44 = 0 ⇒ x = -44 जो असम्भव है।
अथवा x – 33 = 0 ⇒ x = 33 km/h सवारी गाड़ी की चाल
⇒ एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = x + 11 = 33 + 11 = 44 km/h
अत: एक्सप्रेस रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 44 km/h एवं सवारी रेलगाड़ी की अभीष्ट चाल = 33 km/h.

प्रश्न 11.
दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 m² है। यदि उनके परिमापों का अन्तर 24 हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि वर्गों के परिमापों का अन्तर = 24 m दिया है तब उनकी भुजाओं का अन्तर = \(\frac { 24 }{ 4 } \) = 6 m
मान लीजिए कि छोटे वर्ग की भुजा x m है
तब बड़े वर्ग की भुजा = (x + 6) m होगी
⇒ क्षेत्रफलों का योग = (x + 6)² + (x)² = 468
⇒ x² + 12x + 36 + 2 = 468
⇒ 2x² + 12x – 432 = 0
⇒ x² + 6x – 216 = 0
⇒ x² + 18x – 12x – 216 = 0
⇒ x(x + 18) – 12(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 12) = 0 या तो
⇒ x + 18 = 0 ⇒ x = -18 जो असम्भव है।
अथवा x – 12 = 0 ⇒ x = 12 m छोटे वर्ग की भुजा
अब बड़े वर्ग की भुजा = x + 6 = 12 + 6 = 18 m
अतः वर्गों की अभीष्ट भुजाएँ 12 m एवं 18 m हैं।

Class 10 English The Spring Blossom Chapter 15 In Memoriam Questions and Answers

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In Memoriam Class 10th Question Answer

Word Power

1. ‘Ring out’ is a phrasal verb that is made of a verb and preposition. Make some other phrasal verb idioms with the help of the verb ‘ring’.
Answer:
ring round, ring a’round, ring back, ring in, ring off, ring through, ring up.

2. List the things that the poet wants to bring in and the things that should be left out.
Answer:
The things that the poet wants to bring in are truth, people’s well being, noble ways of life, pure laws, love of truth, right and good and everlasting world peace. The things that should be thrown out are falsehood, sad memories of past, misery, poverty, harmful old traditions, cornal desires, sins and greed.

3. Find out the rhyming words for the following words and write them in your notebooks:
gold, cause, peace, rhymes, spite
Answer:
gold – old
cause – laws
peace – disease
rhymes – times
spite – right.

How Much Have I Understand?

A. Answer the following questions. (One or two sentences)
(निम्न प्रश्नों के उत्तर एक या दो वाक्यों में दीजिए।)

Question 1.
What does the poet want us to give up in the first stanza of the poem?
(व्हॉट डज द पोऍट वॉन्ट अस टू गिव अप इन द फर्स्ट स्टैन्जा ऑफ द पोएम?)
कवि कविता के प्रथम पद्यांश में हमें क्या छोड़ने को कहता
Answer:
The poet wants us to give up everything that is old. We should also give up falsehood and the memories of the year that is going.
(द पोऍट वॉन्ट्स अस टू गिव अप एव्रीथिंग दैट इज ओल्ड। वी शुड ऑल्सो गिव अप फॉल्सहुड एण्ड मैमोरीज़ ऑफ द ईयर दैट इज़ गोइंग।)
कवि चाहता है कि हम वो सब कुछ छोड़ दें जो पुराना है। हमें झूठ का त्याग करना चाहिए व बीते हुए वर्ष की यादों का भी।

Question 2.
What does the poet say about the memories of the dead people?
(व्हॉट डज़ द पोऍट से अबाऊट द मैमोरीज़ ऑफ द डैड पीपल्?)
कवि मृत व्यक्तियों से जुड़ी यादों के विषय में क्या कहता
Answer:
The poet says that we should gradually drive away or weaken the memories of those who are dead. We should come out of the grief and sorrow.
(ए पोऍट सेज़ दैट वी शुड ग्रैज्युअली ड्राइव अवे और वीकन् द मैमोरीज़ ऑफ दोज़ हू आर डेड। वी शुड कम आऊट ऑफ द ग्रीफ एण्ड सॉरो।)
कवि कहता है कि हमें धीरे-धीरे मृत व्यक्तियों की यादों से व दुःख व विलाप से उबर जाना चाहिए।

Question 3.
What should a proper replacement for old traditions be?
(व्हॉट शुड व प्रॉपर रिप्लेसमेन्ट फॉर ओल्ड ट्रेडिशन्स बी)
पुराने रीति-रिवाजों की जगह सही बदलाव क्या होना चाहिए?
Answer:
There should be new ways of life, better manners and pure laws instead of old traditions.
(देयर शुड बी न्यू वेज़ ऑफ लाइफ, बैटर मैनर्स एण्ड प्योर लॉज़ इन्स्टैड ऑफ ओल्ड ट्रेडिशन्स।)
पुराने रीति-रिवाजों की जगह जीने के नये तरीके, बेहतर ढंग व सही नियम होने चाहिए।

Question 4.
What does the poet say about his sad songs?
(व्हॉट डज़ द पोऍट से अबाऊट हिज़ सैड साँग्स?)
कवि अपने दुःख के गीतों के विषय में क्या कहता है?
Answer:
The poet says to drive away his sad songs and become a complete poet instead.
(द पोऍट सेज़ टू ड्राइव अवे हिज़ सैड साँग्स एण्ड बिकम अ कम्पलीट पोऍट इन्स्टैड।)
कवि अपने दुःख भरे गीत त्यागकर एक सम्पूर्ण कवि बनना चाहता है।

Question 5.
What does the poet want in place of greed for wealth?
(व्हॉट डज़ द पोऍट वॉन्ट इन प्लेस ऑफ ग्रीड फॉर वैल्थ?)
कवि पैसे के लालच के बजाय क्या चाहता है?
Answer:
The poet wants peace instead of greed for wealth.
(द पोऍट वॉन्ट्स पीस इन्स्टैड ऑफ ग्रीड फॉर वैल्थ।)
कवि पैसे के लालच के बजाय शान्ति चाहता है।

Question 6.
What would a proper replacement for war culture be?
(व्हॉट वुड अ प्रॉपर रिप्लेसमेण्ट फॉर वॉर कल्चर बी?)
युद्ध संस्कृति की जगह किसको लेनी चाहिए?
Answer:
Everlasting world peace should be a proper replacement for war culture.
(एबरलास्टिंग वर्ल्ड पीस शुड बी अ प्रॉपर रिप्लेसमेण्ट फॉर वॉर कल्चर।)
दुनिया में स्थायी शान्ति को युद्ध संस्कृति की जगह लेनी चाहिए।

B. Answer these questions in three or four sentences
(निम्न प्रश्नों के उत्तर तीन या चार वाक्यों में दीजिए।)

Question 1.
What are the things suggested by the poet that we should leave?
(व्हॉट आर द थिंग्स सजेस्टिड बाइ द पोऍट दैट वी शुड लीव?)
कवि के अनुसार हमें कौन-सी वस्तुओं का त्याग करना चाहिए?
Answer:
The poet wants that we should give up all the bad things and adopt new good things. We should leave falsehood, sad memories of past, misery and poverty, harmful old traditions, material desires, sins, greed and war.
(द पोऍट वॉन्ट्स दैट वी शुड गिव अप ऑल द बैड थिंग्स एण्ड एडॉप्ट न्यू गुड थिंग्स। वी शुड लीव फॉल्सहुड, सैड मैमोरीज़ ऑफ पास्ट, माइज़री एण्ड पावर्टी, हार्मफुल ओल्ड ट्रेडिशन्स, मेटेरियल डिजायर्स, सिन्स, ग्रीड एण्ड वॉर।)
कवि चाहता है कि हम सब बुरी वस्तुएँ छोड़ दें व नयी अच्छी वस्तुएँ अपनाएँ। हमें झूठ, अतीत की दुःख देने वाली यादें, कन्जूसी व गरीबी, पुराने हानिकारक रीति-रिवाज, सांसारिक इच्छाएँ, पाप, लालच व युद्ध का त्याग करना चाहिए।

Question 2.
What things should be adopted in our life according to the poet?
(व्हॉट थिंग्स शुड बी एडॉप्टेड इन अवर लाइफ एकॉर्डिंग टू द पोऍट?)
कवि के अनुसार हमें कौन-सी वस्तुएँ अपनानी चाहिए?
Answer:
According to the poet we should adopt new things that are good. We should welcome truth, people’s well-being, noble ways of life, pure laws, love of truth, right and good and above all, everlasting world peace.
(एकॉर्डिंग टू द पोऍट वी शुड एडॉप्ट न्यू थिंग्स दैट आर गुड। वी शुड वैलकम टूथ, पीपल्स वेल बीइंग, नोबल वेज़ ऑफ लाइफ, प्योर लॉज़, लव ऑफ टूथ, राईट एण्ड गुड एण्ड अबव ऑल, एवरलास्टिंग वर्ल्ड पीस।)
कवि के अनुसार हमें नयी अच्छी वस्तुएँ अपनानी चाहिए। हमें सत्य, लोगों के भले, जीवन के उत्कृष्ट तरीकों, सच्चे नियमों, सच्चाई से प्रेम, सही व दुनिया में स्थायी शान्ति का स्वागत करना चाहिए।

Question 3.
Which line shows the poet’s concern for poor destitute people, and what is responsible for their plight?
(व्हिच लाइन शोज़ द पोऍट्स कन्सर्न फॉर पूअर डेस्टिट्यूट पीपल, एण्ड व्हॉट इज़ रिस्पॉन्सिबल फॉर देयर प्लाइट?)
कौन-सी पंक्ति कवि की गरीब व हीन व्यक्तियों के प्रति चिन्ता को व्यक्त करती है? उनकी इस दुखद दशा के लिए कौन जिम्मेदार है?
Answer:
The poet’s concern for poor and destitute people is shown by the line:
Ring in redress to all mankind’.
The feud or conflict between the rich and poor is responsible for their plight.

(द पोऍट्स कन्सर्न फॉर पूअर एण्ड डेस्टिट्यूट पीपल् इज शोन बाइ द लाइन
‘रिंग इन रिड्रेस टू ऑल मैनकाइण्ड।’
द फ्यूड और कॉन्फ्लिक्ट बिटवीन द रिच एण्ड पूअर इज रिस्पॉन्सिबल फॉर देयर प्लाइट।)

पंक्ति ‘सारी मानवजाति का सुधार करो’ कवि की गरीब व परेशान लोगों के प्रति चिन्ता को व्यक्त करती है। अमीर व गरीब के बीच का पुश्तैनी झगड़ा उनकी इस दुर्दशा का कारण है।

Question 4.
Explain in your own words-
(i) Ring in the nobler modes of life, with sweeter manners, purer laws.
(ii) Ring out the grief that saps the mind.
(एक्सप्लेन इन योर ओन वर्ड्स-
(i) रिंग इन द नोबलर मोड्स ऑफ लाइफ, विद स्वीटर मैनर्स, प्योरर लॉज़।)
(ii) रिंग आऊट द ग्रीफ दैट सैप्स द माइण्ड।) ऊपर दी गई पंक्तियों का अपने शब्दों में वर्णन कीजिए।
Answer:
(i) Ring in the nobler modes of life, with sweeter manners, purer laws :
The poet wants us to discard old traditions and adopt noble ways of life. He wishes us to follow manners that are better than before and laws that are pure.
(द पोऍट वॉन्ट्स अस टू डिस्कार्ड ओल्ड ट्रेडिशन्स एण्ड एडॉप्ट नोबल वेज़ ऑफ लाइफ ही विशेज़ अस टू फॉलो मैनर्स दैट आर बैटर दैन बिफोर एण्ड लॉज़ दैट आर प्योर।)
कवि चाहता है कि हम पुराने रीति-रिवाजों को छोड़कर जीने के श्रेष्ठ तरीकों को अपनाएँ। वह चाहता है कि हम पहले से अच्छे तौर-तरीके व पवित्र नियम अपनाएँ।

(ii) Ring out the grief that saps the.mind :
The poet wants us to say that we should remove the sorrow from our mind gradually. We should not repent over those whom we have lost always but try to overcome our grief and loss.
(द पोऍट वॉन्ट्स अस टू से दैट वी शुड रिमूव द सॉरी फ्रॉम अवर माइन्ड ग्रैजुअली। वी शुड नॉट रिपेन्ट ओवर दोज़ हूम वी हैव लॉस्ट ऑल्वेज़ बट ट्राइ टू ओवरकम अवर ग्रीफ एण्ड लॉस।)
कवि चाहता है कि हमें अपने दिमाग से अपने दुःख को धीरे-धीरे हटा देना चाहिए। जिन्हें हमने खो दिया है उनके शोक में हमें हरदम शोकाकुल न रहकर अपने दुख व हानि से उबरना चाहिए।

Listening Time

Say whether the following statements are True or False according to the story given in the text.
(सही अथवा गलत बताओ।)

1. The baker was a kind and generous man.
2. The poor man used to buy bread from the baker everyday.
3. The poor man used to stand outside the bakery and enjoy the smell of baking bread.
4. The baker was angry with the poor man because the poor man would not buy his bread.
5. The baker wanted the poor man to pay him for enjoying the nice smell coming from his bakery.
6. The poor man took the baker to court.
7. The poor man had a lot of money in his pockets.
8. The baker thought that the judge would give the poor man’s money to him.
9. The judge thought that the poor man had not done anything wrong.
10. The judge returned the poor man’s money to him.
11. The baker won the case against the poor man.
12. The judge was a clever and wise man.

Answer:

1. False
2. False
3. True
4. False
5. True
6. False
7. False
8. True
9. True
10. True
11. False
12. True.

Speaking Time

Do yourself.
(स्वयं करे।)

Writing Time

Imagine a scene from a play, film, movie, serial or a show you have seen. Describe the scene in your own words in not more than 50 words in your notebook.
(किसी नाटक अथवा सिनेमा का दृश्य याद करो व उसे 50 शब्दों में लिखो।).
Answer:
Students can do themselves.
(छात्र स्वयं करें।)

Things to do

1. Make a list of good and evil things or deeds.
Write down the possible results before them.
(अच्छी व बुरी चीजों अथवा कर्मों की सूची बनाओ।)
Answer:

2. Find any other poem conveying the same moral either in English or Hindi. Write it in your project file and recite it in the class.
(ऐसी ही एक और कविता हिन्दी या अंग्रेजी में लिखो व कक्षा में पढ़ो।)
Answer:
Students can do themselves.
(छात्र स्वयं करें।)

In Memoriam Central Idea of the Poem

The poem tries to bring in reformation. It conveys the message of adopting new good things and giving up the bad things. Evils such as falsehood, sad memories of past, misery, poverty, harmful old traditions, cornal desires, sins, greed etc. should be discarded. The new things such as truth, people’s well being, noble ways of life, pure laws, love of truth, right and good and world peace should be welcomed.

In Memoriam Difficult Word Meanings

Sap (सैप)-to make something weaker to destroy. something gradually (धीरे-धीरे नष्ट या दुर्बल करण); Feud (फ्यूड) an angry and bitter argument between two people or groups that continues over a long period of time (पुश्तैनी दुश्मनी); Redress (रिड्रेस)-compensation (सुधारना); Mournful (मोर्नफुल)-very sad (अत्यधिक दुःखी); Minstrel (मिन्स्ट्रेल) a musician or singer in the middle ages, here it means ‘poet’ (कवि); Slander (स्लैण्डर) a false spoken statement intended to change the good opinion people have of somebody (झूठी निन्दा); Spite (स्पाईट) a feeling of wanting to hurt or upset somebody (दुर्भावना, हानि पहुँचाने की भावना।)

In Memoriam Summary, Pronunciation & Translation

Ring out the old, ring in the new,
Ring, happy bells, across the snow;
The year is going, let him go;
Ring out the false, ring in the true.

(रिंग आउट द ओल्ड, रिंग इन द न्यू,
रिंग, हैप्पी बैल्स, अक्रॉस द स्नो;
द यीअर इज गोईंग, लेट हिम गो;
रिंग आऊट द फॉल्स, रिंग इन द ट्र.)

अनुवाद-पुराने को त्याग दो, नए को अपनाओ,
खुशियों की घंटियाँ बजाओ, बर्फ में सभी तरफ;
वर्ष जा रहा है, उसे जाने दो;
झूठ को त्याग दो, सत्य को अपनाओ।

Ring out the grief that saps the mind,
For those that here we see no more:
Ring out the feud of rich and poor,
Ring in redress to all mankind.

(रिंग आऊट द ग्रीफ दैट सैप्स द माइण्ड,
फॉर दोज़ दैट हेयर वी सी नो मोर;
रिंग आऊट द फ्यूड ऑफ रिच ऐण्ड पूअर,
रिंग इन रीड्रेस टु ऑल मैनकाइण्ड।)

अनुवाद :
उन दुःखों को त्याग दो जो मन को कमजोर करते हैं।
उन लोगों के लिए जो अब हमें यहाँ नहीं दिखते (जो नहीं रहे);
त्याग दो अमीर और गरीब के बीच के बैर को,
सम्पूर्ण मानव जाति के कष्ट निवारण का उपाय अपनाओ।

Ring out a slowly dying cause,
And ancient forms of party strife;
Ring in the nobler modes of life,
With sweeter manners, purer laws.

(रिंग आऊट अ स्लोली डाईंग कॉज़,
ऐण्ड एन्शियण्ट फॉर्मस ऑफ पार्टी स्ट्राईफ;
रिंग इन द नोबलर मोड्स ऑफ लाइफ,
विद स्वीटर मैनर्स, प्योरर लॉज.)

अनुवाद :
धीरे-धीरे मृत्यु की ओर बढ़ते सिद्धान्त को त्यागो,
(अप्रासंगिक हो चुके सिद्धान्त को त्यागो)
और प्राचीन तरह के दलगत विवाद;
श्रेष्ठ जीवन के ढंग अपनाओ,
बेहतर आचार-विचार और विशुद्ध (प्रासंगिक) सिद्धान्तों के साथ।

Ring out the want, the care, the sin,
The faithless coldness of the times.
Ring out, ring out my mournful rhymes,
But ring the fuller minstrel in.

(रिंग आऊट द वॉण्ट, द केयर, द सिन,
द फेथलस कोल्डनेस ऑफ द टाईम्स;
रिंग आऊट, रिंग आऊट माई मोर्नफल राईम्स,
बट रिंग द फुलर मिन्स्ट्रेल इन।)

अनुवाद :
अपनी इच्छाओं, चिन्ताओं, पापों को और
इस दौर की अविश्वसनीय भाव शून्यता को त्यागो;
त्यागो, त्यागो मेरी विषादपूर्ण कविताओं को,
परन्तु अपनाओ उस कवि हृदय लोक गायक को।

Ring out false pride in place and blood,
The civic slander and the spite;
Ring in the love of truth and right,
Ring in the common love of good.

(रिंग आऊट फॉल्स प्राइड इन प्लेस ऐण्ड ब्लड,
द सिविक स्लैण्डर ऐण्ड द स्पाईट;
रिंग इन द लव ऑफ टुथ एण्ड राईट,
रिंग इन द कॉमन लव ऑफ गुड।)

अनुवाद :
स्थान और वंश के झूठे गर्व को त्यागो
कलंक मढ़ना व द्वेष करना त्यागो;
सत्य और न्याय के प्रेम को अपनाओ,
भलाई के सर्वनिष्ठ प्रेम को अपनाओ।

Ring out old shapes of foul disease;
Ring out old narrowing lust of gold;
Ring out the thousand wars of old,
Ring in the thousand years of peace.

(रिंग आऊट ओल्ड शेप्स ऑफ फाऊल डिज़ीज़;
रिंग आऊट द नैरोईंग लस्ट ऑफ गोल्ड;
रिंग आऊट द थाऊसैण्ड वार्स ऑफ ओल्ड,
रिंग इन द थाऊसैण्ड ईयर्स ऑफ पीस.)

अनुवाद :
पुरातन सामाजिक बुराई रूपी रोगों को त्यागो;
धन की क्षुद्र कामनाओं को त्यागो;
त्यागो हज़ारों पूर्व युद्धों को,
अपनाओ हजार वर्षों की शान्ति को।

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