Class 12

MP Board Class 12th Chemistry Important Questions Chapter 5 Surface Chemistry

Surface Chemistry Important Questions

Surface Chemistry Objective Type Questions

Question 1.
Choose the correct answer :

Question 1.
In the adsorption process of acetic acid on activated charcoal, acetic acid is :
(a) Adsorber
(b) Absorber
(c) Adsorbent
(d) Adsorbate.
Answer:
(d) Adsorbate.

Question 2.
Cause of stability of lyophobic sol is :
(a) Brownian movement
(b) Tyndall effect
(c) Electric charge
(d) Brownian movement and Electric charge
Answer:
(d) Brownian movement and Electric charge

Question 3.
In the coagulation of As₂S₃ colloidal solution value of whose coagulating power will be minimum :
(a) NaCl
(b) KCl
(c) BaCl₂
(d) AlCl₃.
Answer:
(d) AlCl₃.

Question 4.
Adsorption process is :
(a) Endothermic
(b) Exothermic
(c) No heat change
(d) None of these.
Answer:
(b) Exothermic

Question 5.
Size of colloidal particles in the range of:
(a) 10^-7 to 10^-9 cm
(b) 10^-9 to 10^-1 cm
(c) 10^-5 to 10^-7 cm
(d) 10^-2 to 10^-8 cm.
Answer:
(c) 10^-5 to 10^-7 cm

Question 6.
Which of the following is not used for the preparation of lyophilic colloid :
(a) Starch
(b) Gum
(c) Gelatin
(d) Metal sulphide.
Answer:
(d) Metal sulphide.

Question 7.
Sol which can act like a protective colloid :
(a) As₂S₃
(b) Gelatin
(c) Au
(d) Fe(OH)₃.
Answer:
(b) Gelatin

Question 8.
Fog is an example of colloidal system of:
(a) Liquid dispersed in gas
(b) Gas dispersed in gas
(c) Solid dispersed in gas
(d) Solid dispersed in liquid.
Answer:
(a) Liquid dispersed in gas

Question 9.
Gelatin is mostly used in making ice creams in order to :
(a) Prevent forming a colloidal sol.
(b) Enrich the fragrance
(c) Prevent crystallization and stabilize the mixture
(d) Modify the taste.
Answer:
(c) Prevent crystallization and stabilize the mixture

(a) Auto catalyst
(b) Poison
(c) Negative catalyst
(d) Positive catalyst.
Answer:
(b) Poison

Question 11.
The migration of colloidal particles under the influence of electric fields is :
(a) Cataphoresis
(b) Electrodialysis
(c) Electrophoresis
(d) Electrical dispersion.
Answer:
(c) Electrophoresis

Question 12.
Hardy – Schulze law is related with :
(a) Solution
(b) Coagulation
(c) Solids
(d) Gases.
Answer:
(b) Coagulation

Question 13.
How many phases are present in a colloidal solution :
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4.
Answer:
(b) 2

Question 14.
Which is an emulsion among the following :
(a) Air
(b)Wood
(c) Butter
Answer:
(d) Milk.

Question 15.
Butter is :
(a) A gel
(b) An emulsion
(c) A sol
(d) Not a form of colloid.
Answer:
(a) A gel

Question 16.
Sol which acts as protective colloid is :
(a) Gelatin
(b) Au
(c) As₂S₃
(d) Fe(OH)₃
Answer:
(a) Gelatin

Question 17.
Which is not correct for physisorption :
(a) A reversible process
(b) Needs low heat of adsorption
(c) Needs activation energy
(d) Needs low temperature.
Answer:
(c) Needs activation energy

Question 18.
In which among the following is Tyndall effect not expected :
(a) Suspension
(b) Emulsion
(c) Sugar solution
(d) Gold sol.
Answer:
(c) Sugar solution

Question 2.
Answer in one word/sentence :

1. Conversion of precipitate into colloidal solution is known as. (MP 2016)
2. Dissociation of emulsion into its constituent liquid is known as.
3. The catalyst which is used for hydrogenation of oils.
4. In dissociation of H₂O₂, phosphoric acts as which type of catalyst?
5. Which catalyst converts glucose into alcohol?
6. Cleansing action of soap based on which principle? (MP 2013)
7. Who used the word catalyst for the first time? (MP 2013)
8. Write the size of colloidal particles.
9. What is the effect of temperature on chemical adsorption?
10. Why does colloidal particle show Tyndall effect? (MP 2013)
11. Movement of particles of colloids is called …………….
12. Give an examples of catalytic poisoning.
13. Colloidal Solution of liquid in liquid is known as …………… (MP 2012 Supply 18)

Answer:

1. Peptization
2. Demulsification
3. Ni
4. Negative
5. Zymase
6. Emulsification
7. Berzellius
8. 10^-5 to 10^-7 cm
9. Increases
10. Scattering of light by colloidal particles
11. As₂O₃ is contect process
12. Brownian movement
13. Emulsion.

Question 3.
Fill in the blanks :

1. Rate of physical adsorption ………………. with the increase in temperature.
2. Particles of As₂O₃ sol are ……………….
3. In the contact process of manufacture of H₂SO₄ for Pt catalyst ………………. act as
4. Oxidation of oxalic acid by KMnO₄ is an example of ……………….
5. Biological catalysts are necessarily ……………….
6. Movement of colloidal particles under the effect of electric field is called ……………….
7. Scattering of light by colloidal particles under the effect of electric field is called ……………….
8. Intermediate compound theory is applicable to ………………. catalyst.
9. The substance on whose surface adsorption takes place is called an ……………….
10. Milk is an example of ……………….
11. Blood is a ………………. charged colloid.
12. Adsorption is an ………………. process.
13. Colloidal solution of solid in liquid is called ……………….
14. Catalytic promoter substance is ……………….
15. On adding electrolyte, precipitation of colloidal particles is known as ……………….
16. According to Hardy Schulze law, coagulating capacity of ions depend on the ………………. of ions.

Answer:

1. Decreases
2. Negatively charged
3. As₂O₃, poison
4. Auto catalysis
5. Enzyme
6. Electrophoresi
7. Tyndall effect
8. Homogeneous
9. Adsorbent
10. Emulsion
11. Negatively
12. Exothermic
13. Gel
14. Molybdenum
15. Coagulation
16. Charge.

Question 4.
Match the following :
I.

Answer:

1. (f)
2. (d)
3. (a)
4. (c)
5. (g)
6. (e)
7. (b)
8. (h).

II.

Answer:

1. (c)
2. (d)
3. (a)
4. (b)
5. (c)

III.

Answer:

1. (e)
2. (d)
3. (a)
4. (b)
5. (c)

Surface Chemistry Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Why does physisorption decreases with the increase of temperature? (NCERT)
Answer:
It is an exothermic process
Solid + Gas ⇌ Gas/Solid + Heat
Thus, when temperature is raised, reaction proceeds in backward direction and gas adsorbed gets released. It is accordance to Le – Chatelier’s principle.

Question 2.
Why is it necessary to remove CO when ammonia is obtained by Haber’s process? (NCERT)
Answer:
For the preparation of ammonia in Haber’s process solid catalyst is used. It is necessary to remove the CO produced because the gas reacts with iron and forms Fe(CO)₅ which exist in liquid state at the temperature of the chamber and obstructs in the production of NH₃ because at high temperature CO and H₂ react by which production of ammonia decreases. In short CO acts as poison for the iron catalyst used in the process. It is therefore, necessary to remove CO.

Question 3.
Why is adsorption always exothermic? (NCERT)
Answer:
Adsorption leads to decrease in disorder, thus ∆S = +ve. For the process to be performed value of ∆G should be -ve. Thus, in equation ∆G = AH – T ∆S, ∆G will be negative when ∆H will be negative i.e., exothermic. Thus, adsorption is an exothermic process.

Question 4.
What is adsorbent?
Answer:
Solid substances which adsorb the gases or solution are called adsorbent. Like : animal charcoal, silica etc.

Question 5.
What are adsorbate?
Answer:
Gas molecules, vapours or ions which are adsorbed on the surface of solids are called adsorbate.

Question 6.
Delta is formed when river water meets sea water. Explain.
Answer:
In the river water negatively charged particles of soil and sand are present. When river water meets sea – water, various ions Na⁺, K⁺ or Mg⁺⁺ present in sea water causes coagulation and soil particles etc. are settle down. Thus a delta is formed.

Question 7.
How is rain possible by spraying silver iodide on clouds?
Answer:
Clouds are charged due to colloidal nature. Silver iodide is an electrolyte. Spraying it on clouds lead to coagulation by which it rains.

Question 8.
How is the adsorption of a gas related to its critical temperature?
Answer:
Higher is the critical temperature of a gas, greater is the ease of liquification of gas i.e., larger are the van der Waals’ forces of attraction. Therefore, greater is the adsorption.

Question 9.
What happen when a freshly precipitated Fe(OH)₃ is shaken with little amount of dilute solution of FeCI₃?
Answer:
A reddish brown colloidal solution of Fe(OH)₃ is obtained. This process is called peptization. The Fe⁺³ ions from FeCl₃ are absorbed on the surface of the precipitate and form positively charged colloidal solution.
Fe(OH)₃ + Fe⁺³ → [Fe(OH)₃] Fe⁺³

Question 10.
Why is sky blue in colour?
Answer:
Dust particles present in air forms colloidal solution whose particles shows Tyndall effect and hence sky appears blue in colour.

Question 11.
KMnO₄ decolourises slowly initially and then rapidly when added to oxalic acid. Why?
Answer:
Addition of KMn04 to oxalic acid oxidises it. Mn⁺² ion produced in this reaction acts as autocatalyst and hence decolourisation occur rapidly.
2MnO₄^– + 5C₂O₄^-2 + 16H^– → 2Mn⁺² + 10CO₂ + 8H₂O

Question 12.
How does emulsifier provide stability to emulsion? Write the name of two emulsifiers?
Answer:
For the stability of emulsion, emulsifier is added. Emulsifier forms an interfacial film between the emulsifying medium and the suspended particles. For an oil/water emulsion, protein, gum acts as an emulsifier and for water/oil emulsion salts of fatty acids and heavy metals are the main emulsifier.

Surface Chemistry Short Answer Type Questions

Question 1.
What are emulsions? What are their different types? Give examples of each type. (NCERT)
Answer:
The colloidal system in which dispersed phase and dispersion medium both are liqvid, is called emulsion.

Types of emulsions :
1. Oil in Water type (O/W) : In this type of emulsion small droplets of oil are dispersed in the water or dispersion medium, example Milk, Vanishing cream.

2. Water in Oil (W/O) : In this type of emulsion, small quantity of water is dispersed in the form of droplets in oil (dispersion medium), example Butter, Cod – liver.

Question 2.
What is the difference between multimolecular and macromolecular colloids? Give one example of each. How are associated colloids different from these two types of colloids?
Answer:
1. Multimolecular collodis:
In this type of colloids the colloidal particles consist of aggregates of atoms or small molecules with diameter of less than 1 nm. For example, a gold sol may contain particles of different sizes having several atoms of gold. Similarly sulphur sol contains about one thousand of S₈ molecules. These are held together by van derwaals forces.

2. Macromolecular colloids:
In macromolecular colloids the dispersed particles themselves are big molecules, usually polymers. The molecular masses of these macromolecules range from thousands to millions. Synthetic compounds e.g. polyethylene, polystrene, nylon, rubber etc. are macromolecules. Since these molecules have dimensions comparable to those of colloidal particles, there dispersions are known as macromolecular colloids. Most lyophillic sols are of this category.

3. Associated colloids (Micelles):
There are certain substances which behave as normal, strong electrolytes at low concentration, but exhibit colloidal properties at higher concentrations due to the formation of aggregated particles. These are called Micelles. These substances are also called Associated Colloids. Surface active agents like soaps and detergents are of this class.

Question 3.
Explain, what is observed :

1. when a Deam oi ngnt is passed through a colloidal sol?
2. An electrolyte, NaCI is added to hydrated ferric oxide sol?
3. Electric current is passed through a colloidal sol?

Answer:

1. Scattering of light by colloidal particles takes place and path of the. light becomes visible (Tyndall effect).
2. The positively charged colloidal particles of Fe(OH)₃ get coagulated by the oppositely charged CF ions provided by NaCI.
3. On passing electric current, the colloidal particles move towards the oppositely charged electrode where, they lose their charge and get coagulated. This is electrophoresis process.

Question 4.
What do you understand by protective colloids?
Answer:
Protective colloid:
On adding small quantity of electrolyte, Lyophobic colloids easily coagulated but if some quantity of hydrophillic colloid is added in Lyophobic colloids, it minimize the effect of addition of electrolyte and coagulation is prevented or very slowly coagulated. This process is called protection of colloid. The hydrophillic colloid which is responsible for protection against coagulation is called protective colloid.

Example:
If a small amount of gum, gelatin or starch is added to As₂S₃sol, its coagulation of NaCI solution is prevented. Thus starch, gum or gelatin protects the As₂S₃ sol.

Question 5.
Give the method of preparation of colloidal solution of ferric hydroxide and sulphur in water.
Answer:
1. To prepare sol of ferric hydroxide, FeCl₃ solution is added in the boiling water dropwise with shaking. Excess of FeCl₃ and HCl are separated by electrodialysis and sol is also stablized by this.
FeCl₃ + 3H₃O → Fe(OH)₃ + 3HCl

2. H2S gas is passed in the solution of nitric acid (oxidising agent) and colloidal solution of sulphur is obtained.
2HNO₃ + H₂S → S + 2H₂O + 2NO₂.

Question 6.
What is catalysis? Explain induced catalysis with an example.
Answer:
Catalysis:
A catalyst is a substance which alters the rate of chemical reaction without being used in the reaction and the phenomenon is known as catalysis.

Induced Catalysis:
In induced catalysis, one reaction already taking place, catalyse the other reaction also which does not occur separately.

Example:
Sodium sulphite (Na₂SO₃) oxidise in the atmosphere easily while sodium arsenite (Na₂AsO₃) does not oxidise in atmosphere separately. When (Na₂SO₃) and Na₃AsO₃ both are kept together, both are oxidised.

Question 7.
What is coagulation? Write Hardy – Schulze’s law.
Answer:
Coagulation:
Colloidal particles are either positively charged or negatively charged. It is seen that on adding some oppositely charged ions or electrolyte, which cancels the charge of colloidal particles and these particles aggregate and change into precipitates. Precipitation of colloidal particles by electrolytes is called coagulation.

Hardy – Schulze’s law:
Coagulating power of an ion is governed by this law according to which, “Greater the valency of an ion greater will be its coagulating power.”

Thus, to coagulate negative sol, the coagulating power of different cations are found to be in the order :
Al³⁺ > Ba²⁺ > Na⁺

Similarly, for the coagulation of a positive sol of Fe(OH)3, the coagulating power of different anions is found to be in the order :
PO₄^3- > SO₄^2- > Cl_–

Question 8.
What do you understand by catalytic promoter and catalytic poison? Give an example of each.
Answer:
Catalytic promoter : Chemical substances which are used to increase the activity of the catalyst are known as Catalytic promoter.
Example :

Catalytic poison : Substances which are used to reduce the activity of catalyst are known.

Question 9.
What do you understand by Electro – dialysis?
Answer:
Electro – dialysis:
Particles of true solutions pass through parchment paper or cellophane but sol particles cannot pass through such membranes. In dialysis, the sol filled in a bag of parchment or cellophane is suspended in pure water. This process is very slow and takes a long time for completion. However, it can be quickened under the influence of an electric field and the process is known as Electro – dialysis.

Artificial kidney used in medical science works on the principle of dialysis.

Question 10.
What is homogeneous and heterogeneous catalysis? Explain with example.
Answer:
Homogeneous catalysis:
The chemical reaction in which reactants and cata¬lysts are in same physical state, are example of homogeneous catalysis.
Example : In lead chamber process of manufacturing of sulphuric acid reactant and catalyst NO are in same physical state – gaseous.

Heterogeneous catalysis:
The chemical reactions in which reactants and catalysts are in different physical state, are examples of heterogeneous catalysis.
Example : In Haber process manufacture of Ammonia.

Question 11.
What is ‘Gold number’? Explain with example.
Answer:
Gold Number:
Protective actions of different lyophilic colloids are compared with gold number. Gold number can be defined as:
“Gold number is the number of miligrams of protective colloid (Lyophilic) which on adding prevents the coagulation of 10 ml. standard gold sol by addition of 1 ml. of 10% NaCl solution.” Thus smaller the value of gold number, higher is it’s protecting action. For example, gold number of gelatin and gum arobic are 0.005 and 0.15 respectively. It means gelatin is better protective colloid because it’s only 0 005 mg quantity is required to prevent coagulation if 10 ml Au sol by addition of 1 ml. 10% NaCl.

Question 12.
What is the importance of emulsifying agents in emulsifications?
Answer:
The process of making emulsions is called emulsification. Emulsions are formed when suitable liquids are mixed and shaked, but the emulsions are thus formed are not stable. To make these emulsions stable some other substances are added, which are known as emulsifying agents. Soap, gum, starch etc. act as emulsifying agents. In absence of emulsifying agents, disperse drops of liquid meet each other to distroy emulsion state. It is supposed that emulsifying agents form membrane at interphase of oil and water which checks the union of droplets.

Question 13.
Give reason :

1. Milk turns sour on adding acid to it.
2. Alum is added to purify water.
3. Delta is formed where river water meets sea.

Answer:
1. Milk is an emulsion of fats dispersed in water. Albumin and caesin are emulsifiers. Addition of acid destroys emulsifiers and hence milk gets coagulated.

2. In impure water, soil particles, bacteria and other soluble impurities are dissolved. When alum is added, the Al+3 ion present in alum destroys the negative charge of impure water. Due to neutralization of charge the impurities are coagulated and settle down.

3. In the river water negatively charged particles of soil and sand are present. When river water meets sea – water, various salts present in sea water causes coagulation and soil particles etc. are settle down. Thus a delta is formed.

Question 14.
Explain positive and negative catalysis with example.
Answer:
Positive Catalysis:
When the velocity of any chemical reaction increases with the presence of catalyst, this type of catalysis is called positive catalysis.

Negative Catalysis:
Catalysts when decrease the velocity of chemical reaction are called negative catalysts or retarders and the process is known as negative catalysis.

Question 15.
What is peptization? Explain.
Answer:
Peptization:
Peptization is a good method of preparing colloidal sols from precipitates. A fresh precipitate is taken for the purpose and a suitable reason or peptizing agents are added. These peptizing agents are generally dilute solutions of electrolytes of common ion. Peptization process is opposite of the process of coagulation.

Example:
When fresh precipitate of aluminium hydroxide is boiled with dilute HCl mixed water, colloidal solution of Al(OH)₃ is obtained. When an electrolyte is added to a fresh precipitate then the particles of the electrolyte preferentially adsorbs an ion and due to electrostatic repulsion undergo in colloidal state. On adding electrolyte ferric chloride to ferric hydroxide precipitate, sol of ferric hydroxide is obtained.

Question 16.
Write difference between Lyophilic and Lyophobic colloids. (MP2016)
Answer:
Differences between Lyophilic and Lyophobic colloids :

Question 17.
What is Brownian motion?
Answer:
Continuous and zig – zag motion of colloidal particles is called Brownian motion. Such movement was first observed by Robert Brown in 1827, hence it is called Brownian motion. Brownian movement is due to the unequal collision at between molecules of dispersed phase and colloidal particles. On increase of size of colloidal particles or decrease in temperature the motion becomes slower.
Example:

1. Zig – zag motion of dust particles entering through ventilator is Brownian motion.
2. Lycopodium powder particles move in water due to Brownian motion.

Question 18.
Write difference between Physical adsorption and Chemical adsorption.
Answer:
Differences between Physical adsorption and Chemical adsorption :
Physical adsorption:

• Low value of enthalpy of adsorption (20 – 40 kJ mol^-1)
• This type of adsorption involves weak ‘van der Waals’ forces between adsorbent and adsorbate.
• Usually takes place at low tempera¬ture and decreases with increase in temperature.
• It is reversible in nature.
• The extent of adsorption is approxi-mately related to the case of liquification of the gas.
• Forms multimolecular layers.
• On increasing pressure, adsorption also increases.

Chemical adsorption:

• High value of enthalpy of adsorption (40 – 400kJmol^-1)
• This type of adsorption involves strong forces of attraction due to chemical bond formation.
• Takes place at high temperature.
• It is irreversible.
• No such correlation.
• Forms monomolecular layers.
• No any effect of pressure.

MP Board Class 12th Chemistry Important Questions

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि सारणिक

हल:

= x(-x² – 1) – sin θ (-xsin θ – cos θ) + cos θ(-sin θ + xcosθ)
= -x(x² + 1) + xsin²θ + sinθcos θ – sin θcos θ + xcos²θ
= -x(x² + 1) + x (sin²θ + cos²θ)
= -x(x² + 1) + x = -x[x² + 1 – 1] = -x³
जो कि θ से स्वतन्त्र है।

प्रश्न 2.
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि

हल:

प्रश्न 3.

का नाम ज्ञात कीजिए
हल:

प्रश्न 4.
यदि a, b और c वास्तविक संख्याएँ हों और सारणिक

हो तो दर्शाइए कि या तो a + b + c = 0 या a = b = c है|
हल:


[R₂ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁]
= 2(a + b + c)[1{(b – c)(c – b) – (c – a)(b – a)} – (c + a){0 – 0} + (a + b){0 – 0}]
= 2(a + b + c)[-{(b – c)}² – (bc – ac – ab + a²)]
= 2(a + b + c)[-b² – c² + 2bc – bx + ac + ab – a²]
= 2(a + b + c)[-b² – c² + bc + ac + ab – a²]
= 2(a + b + c)[a² + b² + c² – ab – bc – ca]
= -(a + b + c)[2a² + 2b² + 2c² – 2ab -2bc – 2ca]
= -(a + b + c)[(a – b) + (b – c) + (c – a)²
अब ∆ = 0 ⇒ a + b + c = 0 या a = b = c

प्रश्न 5.
यदि a ≠ 0 हो तो समीकरण

हल:

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि

हल:


∆ = 2a²b²c[(a+ c)(1 – 0) – 1(a + b – b – c)]
= 2a²b²c[a + c – a + c] = 2a²b²c
2c = 4a²b²c²

प्रश्न 7.
यदि A^-1 = \(\left[\begin{array}{ccc}{3} & {-1} & {1} \\ {-15} & {6} & {-5} \\ {5} & {-2} & {2}\end{array}\right]\) और B = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {-2} \\ {-1} & {3} & {0} \\ {0} & {-2} & {1}\end{array}\right]\) हो तो (AB)^-1 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 8.
मान लीजिए कि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-2} & {1} \\ {-2} & {3} & {1} \\ {1} & {1} & {5}\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि
(i) [adj A]^-1 = adj (A^-1)
(ii) (A^-1)^-1 = A
हल:

प्रश्न 9.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.

का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित 11 से 15 तक प्रश्नों को सिद्ध कीजिए
प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:

प्रश्न 13.

हल:

[R₁ → R₂ – R₁ तथा R₃ → R₃ – R₁]
= (a + b + c)[1{(2b + a)+ (2c + a) – (a – b)(a – c)}]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a² – (a² – ac – ab + bc)]
= (a + b + c)[4bc + 2ab + 2ac + a² – a² + ac + ab – bc]
= (a + b + c)(3bc + 3ab + 3ac]
= 3 (a + b + c) (ab + bc + ca) = R.H.S.
अतः L.H.S. = R.H.S.

प्रश्न 14.

हल:

प्रश्न 15.

हल:

प्रश्न 16.
निम्नलिखित समीकरण को हल कीजिए

हल:

निम्नलिखित प्रश्नों 17 से 19 में सही उत्तर का चुनाव कीजिए।
प्रश्न 17.
यदि a, b, c समान्तर श्रेणी में हों तो सारणिक

(A) 0
(B) 1
(C) x
(D) 2x
हल:

प्रश्न 18.
यदि x, y, z शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हों तो आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{lll}{\boldsymbol{x}} & {\mathbf{0}} & {\mathbf{0}} \\ {\mathbf{0}} & {\boldsymbol{y}} & {\mathbf{0}} \\ {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{0}} & {z}\end{array}\right]\) का व्युत्क्रम है-

हल:

प्रश्न 19.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{1} & {\sin \theta} & {1} \\ {-\sin \theta} & {1} & {\sin \theta} \\ {-1} & {-\sin \theta} & {1}\end{array}\right]\), जहाँ 0 ≤ θ ≤ 2 हो तो-
(A) det (A) = 0
(B) det (A) ϵ (2, ∞)
(C) det (A) ϵ (2, 4)
(D) det (A) ϵ [2, 4]
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.4 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.4

प्रश्न संख्या 1 से 17 तक के आव्यूहों के व्युत्क्रम, यदि उनका अस्तित्व है तो प्रारम्भिक रूपान्तरण के प्रयोग से ज्ञात कीजिए।
प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

प्रश्न 6.

हल:

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.

हल:

प्रश्न 10.
\(\left[\begin{array}{cc}{3} & {-1} \\ {-4} & {2}\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 11.
\(\left[\begin{array}{ll}{2} & {-6} \\ {1} & {-2}\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 12.
\(\left[\begin{array}{cc}{6} & {-3} \\ {-2} & {1}\end{array}\right]\)
हल:

पहली पंक्ति में दोनों अवयव शून्य हैं।
अत: A का व्युत्क्रम A^-1 का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 13.
\(\left[\begin{array}{cc}{2} & {-3} \\ {-1} & {2}\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 14.
\(\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {4} & {2}\end{array}\right]\)
हल:

दूसरी पंक्ति में दोनों अवयव शून्य हैं।
अतः A के व्युत्क्रम का अस्तित्व नहीं है।

प्रश्न 15.
\(\left[\begin{array}{ccc}{2} & {-3} & {3} \\ {2} & {2} & {3} \\ {3} & {-2} & {2}\end{array}\right]\)
हल:

प्रश्न 16.

हल:

प्रश्न 17.

हल:

प्रश्न 18.
आव्यूह A तथा B एक-दूसरे के व्युत्क्रम होंगे केवल यदि
(A) AB = BA
(B) AB = BA = 0
(C) AB = 0, BA = I
(D) AB = BA = I
हल:
AB = BA = I, केवल इस स्थिति में A और B एक-दूसरे के व्युत्क्रम होंगे।
अतः विकल्प (D) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.2

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न 1 से 5 को सिद्ध कीजिए-
प्रश्न 1.

हल:

प्रश्न 2.

हल:

प्रश्न 3.

हल:

प्रश्न 4.

हल:

प्रश्न 5.

हल:

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके प्रश्न 6 से 14 तक को सिद्ध कीजिए-
प्रश्न 6.

हल:

= 0 – a(0 + bc) – b(-ac + 0)
= -abc + abc
= 0
= R.H.S.

प्रश्न 7.

हल:

प्रश्न 8.

हल:

प्रश्न 9.
\(\left|\begin{array}{lll}{x} & {x^{2}} & {y z} \\ {y} & {y^{2}} & {z x} \\ {z} & {z^{2}} & {x y}\end{array}\right|\) = (x – y) (y – z)(z – x) (xy + yz + zx)
हल:


= (x – y)(y – z)(z – x)[(z² – xy) – z(x + y + z)]
= (x – y)(y – z)(z – x)[z² – xy – xz – zy –z²]
= (x – y)(y – z)(z – x)[-(xy + yz + zx)]
= -(x – y)(y – z)(z – x)(xy + yz + zx)= R.H.S.

प्रश्न 10.

हल:

प्रश्न 11.

हल:

प्रश्न 12.

हल:


= (1 – x)² (1 + x + x²)[1 + x(1 + x)]
= (1 – x)² (1 + x + x² )[1 + x + x²]
= (1 – x)² (1 + x + x²)²
= [(1 – x)(1 + x + x²)]²
= (1 – x³)² = R.H.S.

प्रश्न 13.

हल:

प्रश्न 14.

हल:

R₁ के अनुदिश प्रसरण करने पर
∆ = (a² + 1)[(b² + 1)(c² + 1) – bc.cb] – ab [ab (c² + 1) – bc.ca] + ac[ab. cb – ac.b² + 1]
= (a² + 1)[b²c² + b² + c² + 1 – b²c²] – ab[abc² + ab – abc] + ac[ab²c – acb² – ac]
= (a² + 1)(b² + c² + 1) – ab (ab) – ac (ac)
=a²b² + a²c² + a² + b² + c² + 1 – a²b² – a²c²
= 1 + a² + b² + c²

प्रश्न संख्या 15 तथा 16 में सही उत्तर चुनिए।
प्रश्न 15.
यदि A एक 3 × 3 कोटि का वर्ग आव्यूह है तो |KA| का मान होगा-
(A) K|A|
(B) k²|A|
(C) k³|A|
(D) 3k|A|
हल:
|kA | को |A | के पद में व्यक्त करना

अतः विकल्प (C) सही है।

प्रश्न 16.
निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?
(A) सारणिक एक वर्ग आव्यूह है।
(B) सारणिक एक आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(C) सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
(D) इनमें से कोई नहीं।
हल:
सारणिक एक वर्ग आव्यूह से सम्बद्ध एक संख्या है।
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.6 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 4 सारणिक Ex 4.6

निम्नलिखित प्रश्नों में 1 से 6 तक दी गई समीकरण निकायों का संगत अथवा असंगत के रूप में वर्गीकरण कीजिए।
प्रश्न 1.
x + 2y = 2
2x + 3y = 3
हल:
दिए गये समीकरण निकाय को हम इस प्रकार से लिख सकते हैं।
AX = B

प्रश्न 2.
2x – y = 5
x + y = 4
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
2x – y = 5
x + y = 4

प्रश्न 3.
x + 3y = 5
2x + 6y = 8
हल:
दिए गए समीकरण निकाय को हम इस प्रकार से लिख सकते हैं।
AX = B

प्रश्न 4.
x + y + = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az =4
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x + y + z = 1
2x + 3y + 2z = 2
ax + ay + 2az = 4

= a[1(6 – 2) – 1(4 – 2) + 1(2 – 3)]
= a [1 × 4 – 1 × 2 + 1(-1)]
= a[4 – 2 – 1] = a × 1 = a ≠ 0
अतः दिया गया समीकरण निकाय संगत है।

प्रश्न 5.
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3
हल:
3x – y – 2z = 2
2y – z = -1
3x – 5y = 3

प्रश्न 6.
5x – y + 4z = 5
2x + 3y + 5z = 2
5x – 2y + 6z = -1
हल:
दिए गए समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं
AX = B

= 5(18 + 10) + 1(12 – 25) + 4(-4 – 15)
= 140 – 13 – 76
= 51 ≠ 0
अतः समीकरण निकाय संगत है।

निम्नलिखित प्रश्न 7 से 14 तक प्रत्येक समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए।
प्रश्न 7.
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
5x + 2y = 4
7x + 3y = 5

प्रश्न 8.
2x – y = -2
3x + 4y = 3
हल:
दी गई समीकरण निकाय
2x – y = -2
3x + 4y = 3
उपरोक्त समीकरणों को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-
AX = B

प्रश्न 9.
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
4x – 3y = 3
3x – 5y = 7
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 10.
5x + 2y = 3
3x + 2y = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
5x + 2y = 3
3x + 2y = 5
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 11.
निम्नलिखित समीकरण निकाय को आव्यूह विधि से हल कीजिए
2x + y + z = 1
x – 2y -2z = 3/2
3y – 5z = 9
हल:
दी गई समीकरण निकाय को निम्न प्रकार से लिख सकते हैं-
AX = B

प्रश्न 12.
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x – y + z = 4
2x + y – 3z = 0
x + y + z = 2
समीकरण निकाय AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ,

प्रश्न 13.
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + 2 = -4
3x – y – 2z = 3
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
2x + 3y + 3z = 5
x – 2y + z = -4
3x – y – 2z = 3
समीकरण निकाय को AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 14.
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = -5
2x – y + 3z = 12
हल:
दिया गया समीकरण निकाय
x – y + 2z = 7
3x + 4y – 5z = -5
2x – y + 3z = 12
समीकरण निकाय को AX = B के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ

प्रश्न 15.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{2} & {-3} & {5} \\ {3} & {2} & {-4} \\ {1} & {1} & {-2}\end{array}\right]\) है तो A^-1 ज्ञात कीजिए। A^-1 का प्रयोग करके निम्नलिखित समीकरण निकाय को हल कीजिए।
2x – 3y + 5z = 11
3x + 2y – 4z = -5
x + y – 2z = -3
हल:

प्रश्न 16.
4 kg प्याज, 3 kg गेहूँ और 2 kg चावल का मूल्य Rs. 60 है। 2 kg प्याज, 4kg गेहूँ और 6 kg चावल का मूल्य Rs. 90 है। 6 kg प्याज, 2 kg गेहूँ और 3 kg चावल का मूल्य Rs. 70 है। आव्यूह विधि द्वारा प्रत्येक का मूल्य प्रति kg ज्ञात कीजिए।
हल:
माना प्याज, गेहूँ तथा चावल का मूल्य प्रति किग्रा क्रमश: x रु०, ५ रु० तथा 2 रु० है।
4 किग्रा प्याज 3 किया गेहूँ तथा 2 किग्रा चावल का मूल्य = 60 रुपये
∴ 4x + 3y + 2z = 60 …(1)
2 किग्रा प्याज, 4 किग्रा गेहूँ तथा 6 किग्रा चावल का मूल्य = 90 रु०
∴ 2x + 4y + 6z = 90 …(2)
6 किया प्याज, 2 किग्रा गेहूँ तथा 3 किग्रा चावल का मूल्य = 70 रु०
∴ 6x + 2y + 3z = 70 ….(3)
अब समीकरण निकाय
4x + 3y + 2z = 60
2x + 4y + 6z = 90
या x + 2y + 32 = 45
6x + 2y + 3z = 70
इसे AX = B के रूप में लिख सकते हैं, जबकि



अत: प्याज, गेहूँ तथा चावल का मूल्य प्रति किग्रा क्रमश: 5 रु०,8 रु०, तथा 8 रु० है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.1 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.1

निम्नलिखित के मुख्य मानों को ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 1.
sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
हल :
माना y = in^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

प्रश्न 2.
cos^-1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
हल :
माना y = cos^-1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ cos y = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ cos y = cos\(\frac{\pi}{6}\)
∵ cos^-1 की मुख्य शाखा का परिसर [0, π] होता है तथा cos \(\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ cos\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) का मुख्य मान \(\frac{\pi}{6}\) है।

प्रश्न 3.
cosec^-1(2)
हल :
माना y = cosec^-1 (2)
⇒ cosec y = 2
cosec y = cosec \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ cosec^-1(cosec y) = \(\frac{\pi}{6}\)
y =\(\frac{\pi}{6}\)
अतः cosec^-1 (2) का मुख्य मान = \(\frac{\pi}{6}\)

प्रश्न 4.
tan^-1 (-\( \sqrt{{3}} \))
हल :
माना y = tan^-1(-\( \sqrt{{3}} \))
⇒ tan y = –\( \sqrt{{3}} \)
tan y = tan\(\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
∵ tan^-1 की मुख्य शाखा का परिसर \(\left[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) और tan\(\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\)
अत: tan^-1(-\( \sqrt{{3}} \))का मुख्य मान = \(\frac{-\pi}{3}\)

प्रश्न 5.
cos^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
हल :
माना y = cos^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

प्रश्न 6.
tan^-1(-1)
हल :
माना y = tan^-1(1)
⇒ tan y = -1
tany = tan\(\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
अत: tan^-1(-1) का मुख्य मान = \(-\frac{\pi}{4}\)

प्रश्न 7.
sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
हल :
माना y = sec^-1\(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)

प्रश्न 8.
cot^-1\(\sqrt{3}\)
हल :
माना y = cot^-1\(\sqrt{3}\)
= cot y = (\(\sqrt{3}\)) = cot \(\frac{\pi}{6}\)
फलन cot^-1x का मुख्य मान शाखा का परिसर = (0, π) है। अतः cot^-1 (\(\sqrt{3}\)) = \(\frac{\pi}{6}\) है।

प्रश्न 9.
cos^-1\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
हल :
माना y = cos^-1\(\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)

प्रश्न 10.
cosec^-1\(-\sqrt{2}\)
हल :
माना y = cosec^-1\(-\sqrt{2}\)
⇒ cosec y = –\(\sqrt{2}\) = -cosee \(\frac{\pi}{4}\) = cosee \(\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)
फलन cosec^-1x का मुख्य मान शाखा का परिसर = \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) – [0]
अतः cosec^-1(-\( \sqrt{{2}} \)) = –\(-\frac{\pi}{4}\) है।

प्रश्न 11.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए
tan^-1(1) + cos^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) + sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
हल :

प्रश्न 12.
cos^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + 2sin^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)
हल :

प्रश्न 13.
यदि sin^-1 x = y तो

हल :

प्रश्न 14.
tan^-1\( \sqrt{{3}} \)– sec^-1(-2) का मान बराबर है-
(A) π
(B) \(-\frac{\pi}{3}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{2 \pi}{3}\)
हल:
माना y = tan^-1\( \sqrt{{3}} \)– sec^-1(-2)

अतः विकल्प (B) सही है।

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MP Board Class 12th Maths Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन Ex 1.1

प्रश्न 1.
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित सम्बन्धों में से प्रत्येक स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक हैं –
(i) समुच्चय A = {1, 2, 3,….13, 14} में सम्बन्ध R, इस प्रकार परिभाषित है कि
R= {(x, y): 3x – y = 0}
(ii) प्राकृत संख्याओं के समुच्चय N में R = {(x, y): y = x + 5 तथा x < 4} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(iii) समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(x, y) : y भाज्य है x से} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R है।
(iv) समस्त पूर्णांकों के समुच्चय z में R = {(x, y): x – y एक पूर्णांक है } द्वारा परिभाषित सम्बन्ध R.
(v) किसी विशेष समय पर किसी नगर के निवासियों के समुच्चय में निम्नलिखित सम्बन्ध R.
(a) R = {(x, y): x तथा y एक ही स्थल पर कार्य करते
(b) R = {(x, y): x तथा ‘एक ही मोहल्ले में रहते हैं।}
(c) R = {(x, y) : x, y से ठीक – ठीक 7 सेमी लम्बा है।}
(d) R = {(x, y): x, y की पत्नी है।।
(e) R = {(x, y): x, y के पिता हैं।}
हल:
(i) दिया है : A = {1, 2, 3,….13, 14}
तथा R = {(x, y) : 3x – y = 0}
(a) y = x रखने पर,
3x – x ≠ 0 [∵x ≠ 0]
इसलिए R स्वतुल्य नहीं है।
(b) x और y को आपस में बदलने पर,
यदि 3x – y = 0, 3y – x ≠ 0
इसलिए R सममित नहीं है।
(c) यदि 3x – y = 0, 3y – z = 0 तब 3y – z ≠ 0.
इसलिए R संक्रामक नहीं है।
अतः R स्वतुल्य सममित तथा संक्रामक नहीं है।

(ii) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय A = {1, 2, 3, 4,….}
R = {(x, y): y= x + 5, x < 4}
= {(1, 6), (2, 7), (3, 8)}
स्पष्ट है यह सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

(iii) दिया है :
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 8}
R = {(x, y) : y संख्या x से भाज्य है।
= {1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4) (5, 5), (6, 6)}
(a) (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6) ϵ R
इसलिए R स्वतुल्य है।

(b) यदि ” संख्या x से भाज्य है तो x संख्या ” से भाज्य नहीं है।
जैसे – (1, 2) ϵ R परन्तु (2, 1) ∉ R
इसलिए R सममित नहीं है।

(c) (1, 2), (2, 4) ϵ R, (1, 4) भी R में है।
इसी प्रकार (1, 3), (3, 6) ϵ R तब (1, 6) ϵ R
इसलिए, R संक्रामक है।
अतः R स्वतुल्य तथा संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।

(iv) A = पूर्णांकों का समुच्चय
{… – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…}
तथा R = {(x, y) : x – y एक पूर्णांक है}
(a) y = x रखने पर,
x – x = 0, एक पूर्णांक है। एक
इसलिए R स्वतुल्य है।

(b) x – y और y – x दोनों ही पूर्णांक हैं।
इसलिए R सममित नहीं है।

(c) x – y और y – z दोनों ही पूर्णांक हैं तथा x – z भी पूर्णांक हैं।
इसलिए R संक्रामक है।
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है। उत्तर

(v) माना A = किसी विशेष समय पर किसी नगर में रहने – वालों का समुच्चय
(a) R = {(x, y) : x तथा y एक ही स्थान पर कार्य करते हैं।
∴ R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक व्यक्ति उस नगर में उस विशेष समय पर कार्यरत है।
R सममित है, क्योंकि x, y एक ही स्थान पर एक समय पर _ कार्यरत हैं तो y, z भी उसी स्थान पर उस समय कार्यरत हैं।
R संक्रामक है, क्योंकि x, y तथा y, एक नगर में एक ही समय पर कार्यरत हैं तो उस नगर में उसी समय x, z भी कार्यरत
अतः स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

(b) R = {(x, y) : x तथा y एक ही मोहल्ले में रहते हैं।
R स्वतुल्य है, क्योंकि उस स्थान का प्रत्येक व्यक्ति वहीं पर रहता है।
R सममित है, क्योंकि और एक स्थान पर रहते हैं तो उसी स्थान पर y और x भी रहते हैं।
R संक्रामक है, क्योंकि x, y तथा y, z एक स्थान पर रहते हैं तो x, z भी उसी स्थान पर रहते हैं।
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक है।

(c) R = {(x, y}): z, y से ठीक – ठीक 7 सेमी लम्बा है}.
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि कोई भी व्यक्ति अपने से 7 सेमी अधिक लम्बा नहीं हो सकता।
R सममित नहीं है, क्योंकि y, x से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बा हो तो x, y से 7 सेमी लम्बा नहीं हो सकता।
R संक्रामक नहीं है, क्योंकि x, y से तथा y, x से ठीक 7 सेमी लम्बे तो x, 2 से ठीक 7 सेमी अधिक लम्बे नहीं हैं।
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक में से कोई भी नहीं है।

(d) R = {(x, y}) : x, y की पत्नी है।
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि x अपनी ही पत्नी नहीं हो सकती हैं।
R सममित नहीं है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y, x की पत्नी नहीं हो सकती।
R संक्रामक नहीं है, क्योंकि यदि x, y की पत्नी है तो y किसी की भी पत्नी नहीं है।
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

(e) R = {(x, y) : x, y के पिता हैं।
R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि x अपना ही पिता नहीं हो सकता।
R सममित नहीं है, क्योंकि x, y का पिता है तो y, x का पिता नहीं हो सकता।
R संक्रामक नहीं है, क्योंकि x, y का y, z का पिता है तो x, z का पिता नही हो सकता।
अतः R स्वतुल्य, सममित तथा संक्रामक नहीं है।

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R में R = {(a, b):a ≤ b² }, द्वारा परिभाषित संबंध R, न तो स्वतुल्य है, न सममित है और न ही संक्रामक है।
हल:
(i) ∵ a ≰ a², समस्त a ϵ R जैसे \(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\) से छोटा नहीं हो सकता है।
अतः R स्वतुल्य नहीं है।
(ii) R सममित भी नहीं है क्योंकि यदि a ≤ b² तब, b, a² से छोटा अथवा बराबर नहीं हो सकता है। जैसे 2 < 7² लेकिन 7 ≰ 2²
(iii) R न ही संक्रामक क्योंकि
यदि a ≤ b², b ≤ c² तब a, c² से छोटा नहीं है जैसे 5 < 3², 3 < 2² लेकिन 5, 2² से छोटा नहीं है।

प्रश्न 3.
जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में R = {(a, b): b = a + 1} द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।
हल:
∵ a ≠ a + 1
∴ R स्वतुल्य नहीं है।
R सममित नहीं है क्योंकि यदि b = a + 1, तब a ≠ b + 1
R संक्रामक भी नहीं है क्योंकि यदि b = a + 1, c = b + 1, तब c = (a + 1) + 1 # a + 1

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि R में R= {(a, b): a ≤ b}, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
हल:
दिया है R = {(a, b): a ≤ b}
b के स्थान पर a रखने पर,
a ≤ a ⇒ a = a
सत्य है अतः R स्वतुल्य है।
पुनः यदि a ≤ b, लेकिन b ≤ a सत्य नहीं है
जैसे 2 < 3 लेकिन 3 ≮ 2 अतः R सममित नहीं है।
पुनः यदि a ≤ b और b ≤ c तब a ≤ c
जैसे 2 < 5, 5 < 8 ⇒ 2 < 8 इसलिए R संक्रामक है
अतः R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।

प्रश्न 5.
जाँच कीजिए कि क्या R में R= {(a, b): a ≤ b³} द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?
हल:
(i) ∵ a ≤ a³ सत्य नहीं है जैसे \(\frac{1}{3}\) ≮ \(\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\)
∴ R स्वतुल्य नहीं है।
(ii) यदि a ≤ b³, लेकिन b ≰ a³; जैसे 2 ≤ 9³, लेकिन 9 ≰ 2³
∴ R सममित नहीं है।
(iii) यदि a ≤ b³ और b ≤ cv लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि a,c से छोटा होगा।
∴ R संक्रामक नहीं है।

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R={(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
हल:
(i) (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∉ R
∴ R स्वतुल्य नहीं है।
(ii) ∵ (1, 2), (2, 1) ϵ R
∴ R सममित है।
(iii) ∵ (1, 2) और (2, 1) ϵ R, परन्तु (1, 1) ∉ R
∴ R संक्रामक नहीं है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y): x तथा y में पेंजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
A = किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तको का समुच्चय
तथा R = {(x, y}): x तथा y में पेजों की संख्या समान है।
(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि बराबर पृष्ठों वाली प्रत्येक पुस्तक में उतने ही पृष्ठ होंगे।
(ii) R सममित है, क्योंकि x, y पुस्तकों में पृष्ठ बराबर हैं तो y,x पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे।
(iii) R संक्रामक है, क्योंकि x, y तथा y, z पुस्तकों में पृष्ठ बराबर हैं तो x, z पुस्तकों में भी पृष्ठ बराबर होंगे।
अतः R तुल्यता सम्बन्ध है।

प्रश्न 8.
सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R= {(a, b):|a – b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं परन्तु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
हल:
A = {1, 2, 3, 4, 5) तथा R = {(a, b):|a – b| सम है}
माना अवयव a, समुच्चय A का अवयव है
तब |a – a| = 0 सम है।
∴ R स्वतुल्य है।
यदि |a – b| सम है
तब, |b – a| भी सम होगा।
∴ R सममित है
पुनः a – c = a – b + b – c
यदि |a – b| तथा | b – सम हो तब,
उनका योग |a – b + b – c| भी सम होगा।
a |a – c| सम होगा।
∴ R संक्रामक है
अत: R एक तुल्यता संबंध है।
∵ |1 – 3| = |3 – 1| = 2
|3 – 5| = |5 – 3| = 2
तथा |1 – 5| = |5 – 1| = 4
जो कि सभी सम संख्याएँ हैं
इसलिए {1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं।
इसी प्रकार {2, 4} के अवयव भी एक – दूसरे से संबंधित हैं। अब |1 – 2| = 1 जो कि सम संख्या नहीं है।
अतः {1, 3, 5) के अवयव {2, 4} से संबंधित नहीं है।

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए कि समुच्चय A = {x ϵ z : 0 ≤ x ≤ 12}, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है :
(i) R = {(a, b): |a – b|, 4 का एक गुणज है}
(ii) R = {(a,b): a = b};
प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है समुच्चय
A = {x ϵ z : 0 ≤ x ≤ 12}
= {0, 1, 2,…12}
(i) R = {(a, b): |a – b, 4 का गुणज है।
(a) a – a = 0 = 4k, जहाँ k = 0 ⇒ (a, a) ϵ R
∴ R स्वतुल्य है।

(b) यदि |a – b| = 4k
तब |b – a| = 4k
⇒ (a, b) तथा (b, a) दोनों R से संबंध है
इसलिए R सममित है।
पुनः a – c = a – b + b – c
जब a – b तथा b – c दोनो के 4 के गुणज है।
तब, a – c भी 4 का गुणज होगा।
⇒ यदि (a, b), (b, c) ϵ R तब, (a – c) ϵ R
इसलिए R,संक्रामक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
अतः समुच्चय {1, 5, 9}, 1 से संबंधित है।

(ii) R = {(1, b): a = b}
∴ R = {(0, 0), (1, 1), (2, 2) … (12, 12)}
(a) a = a ⇒ (a, a) ϵ R
∴ R एक स्वतुल्य है।
(b) पुनः यदि (a, b) ϵ R
⇒ a = b ⇒ b = a, तब (b, a) ϵ R
∴ R सममित है।
पुनः यदि (a, b) ϵ R तथा (b, c) ϵ R
⇒ a = b = c
इसलिए a = c ⇒ (a, c) ϵ R
∴ R संक्रामक है।
अत: R एक तुल्यता संबंध R जो प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित है।

प्रश्न 10.
ऐसे सम्बन्ध का उदाहरण दीजिए, जो
(i) सममित हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न संक्रामक हो।
(ii) संक्रामक हो परन्तु न तो स्वतुल्य हो और न सममित हो।
(iii) स्वतुल्य तथा सममित हो किन्तु संक्रामक न हो।
(iv) स्वतुल्य तथा संक्रामक हो किन्तु सममित न हो।
(v) सममित तथा संक्रामक हो किन्तु स्वतुल्य न हो।
हल:
(i) माना A = एक समतल में सरल रेखाओं का समुच्चय तथा R = {(a, b): a, b पर लम्ब है} रेखा a, b पर लम्ब है तो b रेखा a पर लम्ब है।
(1) R सममित सम्बन्ध है।
(2) R स्वतुल्य नहीं है, क्योंकि रेखा a अपने आप ही लम्ब नहीं हो सकती है।
(3) R संक्रामक नहीं है, यदि रेखा b पर लम्ब है, b रेखा c पर लम्ब है परन्तु a रेखा c पर लम्ब नहीं है।

(ii) माना A = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय – तथा R = {(a, b): a > b}
(1) R संक्रामक है, यदि a > b और b > c ⇒ a > c
(2) R स्वतुल्य नहीं है, यदि a अपने आप से बड़ी संख्या नहीं है।
(3) R सममित नहीं है, यदि a> b तो b,a से बड़ा नहीं है।

(iii) माना A = {1, 2, 3} तथा R = {(a, b): a + b ≤ 4}.
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3),(2, 1),(2, 2), (3, 1)
(1) R स्वतुल्य है, यदि (1, 1), (2, 2) ϵ R.
(2) R सममित है, यदि (1, 2), (2, 1) ϵ R (1, 3), (3, 1) ϵ R
(3) R संक्रामक नहीं है, यदि (2, 1) ϵ R, (1, 3) ϵ R किन्तु (2, 3) ϵ R.

(iv) माना A = {1, 2, 3}
तथा R = {(a, b): a < b}
= {(1, 1), (2, 3), (3, 3), (1, 2), (1, 3),(2, 3)}
(1) R स्वतुल्य है, यदि (1, 1), (2, 2), (3, 3) ϵ R
(2) R संक्रामक है, यदि (1, 2), (2, 3) ϵ R ⇒ (1, 3) ϵ R
(3) R सममित नहीं है, यदि a < b परन्तु b, a से कम नहीं है।

(v) माना A = {1, 2, 3}
तथा R = {(1, b): 0 < |a – b| ≤ 2}
= {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 1), (2, 1), (3, 2)}
(1) R सममित है, यदि (1, 2) ϵ R, (2, 1) ϵ R इसी प्रकार (1, 3) ϵ R, (3, 1) ϵ R
(2) R संक्रामक है, यदि (1, 2), (2, 3) ϵ R c (1, 3) ϵ R
(3) R स्वतुल्य नहीं है, यदि (1, 1), (2, 2), (3, 3) R में नहीं है।

प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिन्दुओं में R : {{P, Q) : बिन्दु P की मूल बिन्दु से दूरी, बिन्दु Q की मूल बिन्दु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिन्दु P ≠ (0, 0) से सम्बन्धित सभी बिन्दुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केन्द्र मूलबिन्दु पर
हल:
माना A = समतल में बिन्दुओं का समुच्चय
तथा R = {(P, Q): मूल बिन्दु से P तथा Q की दूरी समान है}
= {(P, Q) : OP = OQ}
(i) R स्वतुल्य है, क्योंकि OP अपने ही बराबर है।
(ii) R सममित है, यदि OP = OQ ⇒ OQ =OP
(iii) R संक्रामक है, यदि OP = OQ, OQ = QR ⇒ OP = OR
अतः R तुल्यता सम्बन्ध है।
माना OP =K ⇒ बिन्दु P एक वृत्त पर रहता है जो O से K दूरी पर है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय A में, R = {(T₁, T₂) : T₁, T₂ के समरूप है} द्वारा परिभाषित सम्बन्ध र एक तुल्यता सम्बन्ध है। भुजाओं 3, 4, 5 वाले समकोण त्रिभुज T₁, भुजाओं 5, 12, 13 वाले समकोण त्रिभुज T₂ तथा भुजाओं 6, 8, 10 वाले समकोण त्रिभुज T₃ पर विचार कीजिए। T₁, T₂ और T₃ में से कौन – से त्रिभुज परस्पर सम्बन्धित हैं?
हल:
माना A = एक समतल में त्रिभुजों का समुच्चय
तथा R = {(T₁, T₂) : T₁ और T₂ समरूप त्रिभुज है।
(i) (a) R स्वतुल्य है, क्योंकि प्रत्येक त्रिभुज अपने समरूप है।
(b) R सममित है, यदि त्रिभुज T₁, T₂ के समरूप हैं तो त्रिभुज T₂, T₁ के भी समरूप हैं।
(c) R संक्रामक है, यदि त्रिभुज T₁, T₂ और त्रिभुज T,,T, समरूप हैं तो त्रिभुज T₂, T₃ भी समरूप हैं।
अतः R तुल्यता सम्बन्ध है।

(ii) त्रिभुज T₁ की भुजाएँ 3, 4, 5 हैं त्रिभुज T₂ की भुजाएँ 5, 12, 13 हैं तथा त्रिभुज T, की भुजाएँ 6, 8, 10 हैं।
::त्रिभुज T₁ तथा T₃ की भुजाएँ समानुपाती हैं। इसलिए यह समरूप है। अतः त्रिभुज T₁तथा T₃ आपस में सम्बन्धित है।

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में, R = {(P₁, P₂) : P₁ तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 लम्बाई की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल:
माना बहुभुज P में भुजाओं की संख्या n है।
R = {(P₁, P₂) : P₁ तथा P₂ भुजाओं वाले बहुभुज हैं}
(i) ∴ प्रत्येक बहुभुज की n भुजाएँ हैं
∴ R स्वतुल्य है।

(ii) यदि P₁ तथा P₂ n भुजाओं वाले बहुभुज हों तब P₂ तथा P₁ भी n भुजाओं वाले बहुभुज होंगे।
∴ R सममित है।

(iii) माना P₁, P₂ तथा P₃ n भुजाओं वाले बहुभुज हैं
तब P₁ तथा P₂ भी n भुजाओं वाले बहुभुज हैं।
∴ R संक्रामक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है तथा समुच्चय A एक ही में स्थित सभी त्रिभुजों का समुच्चय

प्रश्न 14.
मान लीजिए कि XY – तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = {(L₁, L₂) : L₁ समान्तर है L₂ के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल:
L = XY – तल में स्थित सभी रेखाओं का समुच्चय
R = {(L₁, L₂) : L₁ ||L₁
∵ L₁ ||L₁
∴ R स्वतुल्य है।
पुनः L₁|| L₂ ⇒ L₂|| L₁
∴ R सममित है ।
माना L₁ || L₂ तथा L₂ || L₃
⇒ L₁ || L₃
∴ R एक संक्रामक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय
y=2x + C, C ϵ R

प्रश्न 15,
मान लीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3, 4} में, R={(1, 2), (2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)} द्वारा – परिभाषित सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए।
(A) R स्वतुल्य तथा सममित है किन्तु संक्रामक नहीं है।
(B) R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किन्तु सममित नहीं है।
(C) R सममित तथा संक्रामक है किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
(D) R एक तुल्यता सम्बन्ध है।
हल:
माना A = {(1, 2, 3, 4}
तथा R = {(1, 2),(2, 2), (1, 1), (4, 4), (1, 3), (3, 3), (3, 2)}
(i) R स्वतुल्य है, यदि (1, 1), (2, 2), (3, 3),(4, 4) ϵ R
(ii) R सममित नहीं है, यदि (1, 2) ϵ R परन्तु (2, 1) ϵ R
(iii) R संक्रामक है, यदि (1 ,3) ϵ R, (3, 2) R तथा (1, 2) ϵ R
अतः R स्वतुल्य, संक्रामक है परन्तु सममित नहीं है।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 16.
मान लीजिए कि समुच्चय N में, R = {(a, b): a = b – 2, b > 6} द्वारा प्रदत्त सम्बन्ध R है। निम्नलिखित में से सही उत्तर चुनिए-
(A) (2, 4) ϵ R
(B) (3, 8) ϵ R
(C) (6, 8) ϵ R
(D) (8, 7) ϵ R
हल:
माना A = N, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।
तथा R = {(a, b): a = b – 2, b > 6}
a = b – 2, b > 6
b= 8 रखने पर, a = 8 – 2 = 6 ⇒ (6, 8) ϵ R
अतः विकल्प (C) सही है।

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.2 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 2 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन Ex 2.2

निम्नलिखित को सिद्ध कीजिए-
प्रश्न 1.
3 sin^-1 x = sin^-1(3x – 4x³), x ϵ \(\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]\)
हल:
माना sin^-1x = y
⇒ x = sin y
R.H.S. = sin^-1 (3x – 4x³)
= sin^-1(3 sin y – 4 sin³ y)
= sin^-1 (sin 3y)
(∵ sin 3y = 3 sin y – 4 sin³y)
= 3y (∵ sin^-1 sin x = x)
= 3 sin^-1 x
= L.H.S.
अत: 3 sin^-1x = sin^-1(3x – 4x³)

प्रश्न 2.
3 cos^-1 x = cos^-1 (4x³ – 3x), x ϵ \(\left[\frac{1}{2}, 1\right]\)
हल:
सिद्ध करना है
3cos^-1 x = cos^-1 (4x³ – 3x) …(1)
माना cos^-1 = y
⇒ x = cosy
∴ समी० (1) का RH.S.
=cos^-1(4x³ – 3x)
= cos^-1 (4cos³ y – 3cos y)
=cos^-1 (cos 3y)
= 3y
= 3cos^-1x (∵ cos^-1 x = y)
अत: 3cos^-1 = cos^-1 (4x³ – 3x)

प्रश्न 3.
tan^-1\(\frac{2}{11}\) + tan^-1\(\frac{7}{24}\) = tan^-1\(\frac{1}{2}\)
हल:
हम जानते हैं कि

प्रश्न 4.
2 tan^-1\(\frac{1}{2}\) + tan^-1\(\frac{1}{7}\) = tan^-1\(\frac{31}{17}\)
हल:
2 tan^-1\(\frac{1}{2}\) + tan^-1\(\frac{1}{7}\) = tan^-1\(\frac{31}{17}\)

निम्नलिखित फलनों को सरलतम रूप में लिखिए-
प्रश्न 5.
tan-1 \(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\), x ≠ 0
हल:
माना x = tan θ ⇒ θ = tan^-1x

प्रश्न 6.
tan^-1\(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\), |x| > 1.
हल:
माना x = secθ ⇒ θ = sec^-1x

प्रश्न 7.
tan^-1\((\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}})\), 0 < x < π
हल:

प्रश्न 8.
tan^-1\(\left(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\right), \frac{-\pi}{4}<x<\frac{3 \pi}{4}\)
हल:

प्रश्न 9.
tan^-1\(\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\), |x| < a
हल:
माना x = a sin θ ⇒ \(\frac{x}{a}\) = sin θ

प्रश्न 10.

हल:
माना x = a tan θ ⇒ \(\frac{x}{a}\) = tan θ

निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान ज्ञात कीजिए
प्रश्न 11.
tan^-1[2cos (2sin^-1\(\frac{1}{2}\))]
हल:

प्रश्न 12.
cot (tan^-1 a + cot^-1 a)
हल:
माना y = cot (tan^-1a + cot^-1a)
= cot\(\frac{\pi}{2}\) [∵ tan^-1a + cot^-1a = \(\frac{\pi}{2}\)]
= 0 [∵ cot \(\frac{\pi}{2}\) = 0]

प्रश्न 13.

|x| < 1, y > 0 तथा xy < 1
हल:
माना

प्रश्न 14.
यदि sin(sin^-1\(\frac{1}{5}\) + cos^-1x) = 1, तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 15.
यदि tan^-1 \(\frac{x-1}{x-2}\) + tan^-1\(\frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}\), तो x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न संख्या 16 से 18 में दिए गए प्रत्येक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए-
प्रश्न 16.
sin^-1 (sin\(\frac{2 \pi}{3}\))
हल:
माना y = sin^-1 (sin\(\frac{2 \pi}{3}\)), तब

प्रश्न 17.
tan^-1 (tan\(\frac{3 \pi}{4}\))
हल:
माना y = tan^-1 (tan\(\frac{3 \pi}{4}\))

प्रश्न 18.
tan (sin^-1\(\frac{3}{5}\) + cot^-1\(\frac{3}{2}\))
हल:
tan (sin^-1\(\frac{3}{5}\) + cot^-1\(\frac{3}{2}\))

प्रश्न 19.
cos^-1(cos \(\frac{7 \pi}{6}\)) का मान बराबर है-

हल:
cos^-1[cos \(\frac{7 \pi}{6}\)]
cos^-1 की मुख्य मान शाखा [0, π] है।

अत: विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 20.
sin [\(\frac{\pi}{3}\) – sin^-1(\(-\frac{1}{2}\))] का मान है-

हल:

अत: विकल्प (D) सही है।

प्रश्न 21.
tan^-1\( \sqrt{{3}} \) – cot^-1 (-\( \sqrt{{3}} \)) का मान है
(A) π
(B) \(-\frac{\pi}{2}\)
(C) 0
(D) 2\( \sqrt{{3}} \)
हल:

In this article, we share MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3 Pdf, These solutions are solved by subject experts from the latest MP Board books.

MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 3 आव्यूह Ex 3.3

प्रश्न 1.
निम्नलिखित आव्यूहों में से प्रत्येक का परिवर्त ज्ञात कीजिए-

हल:
यहाँ पंक्तियों को स्तम्भों में, स्तम्भों को पंक्तियों में बदलने पर,

प्रश्न 2.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {3} \\ {5} & {7} & {9} \\ {2} & {1} & {1}\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{ccc}{-4} & {1} & {-5} \\ {1} & {2} & {0} \\ {1} & {3} & {1}\end{array}\right]\) हैं तो सत्यापित कीजिए कि-
(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B) = A’ – B’
हल:
यहाँ A = \(\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {2} & {3} \\ {5} & {7} & {9} \\ {2} & {1} & {1}\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}{-4} & {1} & {-5} \\ {1} & {2} & {0} \\ {1} & {3} & {1}\end{array}\right]\)


अतः (A – B)’ = A’ – B’

प्रश्न 3.
यदि A = \(\left[\begin{array}{rr}{3} & {4} \\ {-1} & {2} \\ {0} & {1}\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rrr}{-1} & {2} & {1} \\ {1} & {2} & {3}\end{array}\right]\) हैं तो सत्यापित कीजिए कि-
(i) (A + B)’ = A’ + B’
(ii) (A – B)’ = A’ – B’
हल:

प्रश्न 4.
यदि A’ = \(\left[\begin{array}{rr}{-2} & {3} \\ {1} & {2}\end{array}\right]\) तथा B = \(\left[\begin{array}{rr}{-1} & {0} \\ {1} & {2}\end{array}\right]\) हैं तो (A + 2B)’ ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 5.
A तथा B आव्यूहों के लिए सत्यापित कीजिए कि (AB)’ = B’A’, जहाँ

हल:

प्रश्न 6.
(i) यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{\cos \alpha} & {\sin \alpha} \\ {-\sin \alpha} & {\cos \alpha}\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि A’A = I
(ii) यदि B = \(\left[\begin{array}{cc}{\sin \alpha} & {\cos \alpha} \\ {-\cos \alpha} & {\sin \alpha}\end{array}\right]\) हो तो सत्यापित कीजिए कि A’A = I
हल:

प्रश्न 7.
(i) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{1}} & {-\mathbf{1}} & {\mathbf{5}} \\ {-\mathbf{1}} & {\mathbf{2}} & {\mathbf{1}} \\ {\mathbf{5}} & {\mathbf{1}} & {\mathbf{3}}\end{array}\right]\) एक सममित आव्यूह है।
(ii) सिद्ध कीजिए कि आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{0}} & {\mathbf{1}} & {-\mathbf{1}} \\ {-\mathbf{1}} & {\mathbf{0}} & {\mathbf{1}} \\ {\mathbf{1}} & {-\mathbf{1}} & {\mathbf{0}}\end{array}\right]\) एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:

अतः आव्यूह A एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 8.
आव्यूह A = \(\left[\begin{array}{ll}{1} & {5} \\ {6} & {7}\end{array}\right]\) के लिए सत्यापित कीजिए कि –
(i) (A + A’) एक समित आव्यूह है।
(ii) (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।
हल:


अतः (A – A’) एक विषम सममित आव्यूह है।

प्रश्न 9.
यदि A = \(\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{0}} & {\boldsymbol{a}} & {\boldsymbol{b}} \\ {-\boldsymbol{a}} & {\boldsymbol{0}} & {\boldsymbol{c}} \\ {-\boldsymbol{b}} & {-\boldsymbol{c}} & {\boldsymbol{0}}\end{array}\right]\) तो \(\frac{1}{2}\)(A + A’) तथा \(\frac{1}{2}\)(A – A’) ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 10.
निम्नलिखित आव्यूहों को एक सममित आव्यूह तथा एक विषम सममित आव्यूह के योगफल के रूप में व्यक्त कीजिए-

हल:

प्रश्न संख्या 11 तथा 12 में सही उत्तर चुनिए-
प्रश्न 11.
यदि A तथा B समान कोटि के सममित आव्यूह हैं तो AB – BA एक
(A) विषम सममित आव्यूह है
(B) सममित आव्यूह है
(C) शून्य आव्यूह है
(D) तत्समक आव्यूह है
हल:
A और B समान कोटि की सममित आव्यूह है।
∴ A = A, B’ = B
(AB – BA)’ = (AB)’ – (BA) = BA’ – A’B’
= BA – AB [∵ B’ = B, A’ = A]
= -(AB – BA)
⇒ AB – BA विषम सममित आव्यूह है।
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 12.
यदि A = \(\left[\begin{array}{cc}{\cos \alpha} & {-\sin \alpha} \\ {\sin \alpha} & {\cos \alpha}\end{array}\right]\) तथा A’ + A = I, तो α का मान है-
(A) \(\frac{\pi}{6}\)
(B) \(\frac{\pi}{3}\)
(C) π
(D) \(\frac{3 \pi}{2}\)
हल:

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MP Board Class 12th Maths Book Solutions Chapter 1 संबंध एवं फलन विविध प्रश्नावली

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f: R → R, f(x) = 10x + 7 द्वारा परिभाषित फलन है। एक ऐसा फलन g: R → R ज्ञात कीजिए, जिसके लिए gof = fog = I_R हो।
हल:
यहाँ f: R → R इस प्रकार है कि f(x) = 10x + 7
माना y = 10x + 7

अतः f व्युत्क्रमणीय है, जो g : Y → X, g(y) = \(\frac{y – 7}{10}\) से परिभाषित है।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि f: W → W, f(n) = n – 1, यदि ॥ विषम है तथा f (n) = n + 1, यदि n सम है, द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए। यहाँ के समस्त पूर्णांकों का समुच्चय
हल:
दिया है : f: W → W को

यदि n₁ विषम n₂ दोनों सम हों तो
f(n₁) = f(n₂) ⇒ n₁ – 1 = n₂ + 1
या n₁ – n₂ = 2, जो सम्भव नहीं है।
यदि n₁ और n₂ विषम हों तो
f(n₁)= f(n₂) ⇒ n₁ – 1 = n₂ – 1
⇒ n₁ = n₂
यदि n₁ और n₂ दोनों सम हों, तो
n₁ + 1 = n₂ + 1 ⇒ n₁ = n₂
अतः f एकैकी भी है।
सहप्रान्त में प्रत्येक अवयव 2r + 1, प्रान्त का 2 प्रतिबिम्ब है। इसी प्रकार कोई भी सम संख्या प्रान्त का 2r + 1 का प्रतिबिम्ब है।
इस प्रकार सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के किसी – न – किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक तथा व्युत्क्रमणीय है।
अतः f ^{– 1}(y) = g(y) इस प्रकार है कि

अतः का प्रतिलोम स्वयं है।

प्रश्न 3.
यदि f : R → R जहाँ f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है तो fIf (x)] ज्ञात कीजिए।
हल:
यहाँ f: R → R, f(x) = x² – 3x + 2 द्वारा परिभाषित है।
∴ [f(x)] = f(x² – 3x + 2)
= (x² – 3x + 2)² – 3(x² – 3x + 2) + 2
= (x⁴ + 9x² + 4 – 6x³ – 12x + 4x²) + (- 3x² + 2x – 6) + 2
= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x

प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि
f: R → {x ϵ R: – 1 < x < 1} जहाँ f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\), x ϵ R द्वारा परिभाषित फलन एकैकी तथा आच्छादक है।
हल:
यहाँ f: R → {x ϵ R : – 1 < x < 1} तथा f(x)= \(\frac{x}{1+|x|}\) द्वारा परिभाषित है।
(a) माना x ≥ 0, |x| = x

उत्तर
⇒ x₁(1 + x₂) = x₂(1 + x₁)
या x₁ + x₁x₂ = x₂ + x₂x₁
जब x < 0 |x| = – x, f(x) = \(\frac{x}{1-x}\)
f(x₁) = f(x₂) ⇒ \(\frac{x_{1}}{1-x_{1}}=\frac{x_{2}}{1-x_{2}}\)
⇒ x₁ (1 – x₂) = x₂(1 – x₁)
⇒ x₁ – x₁x₂ = x₂ – x₂x₁
∴ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।

अतः दोनों ही अवस्था में सहप्रान्त का प्रत्येक अवयव प्रान्त के किसी – न – किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
∴ f आच्छादक है।
अत: f एकैकी तथा आच्छादक है।

प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R एकैक (Injective) है।
हल:
यहाँ f: R → R, f(x) = x³ द्वारा परिभाषित है।
f(x₁) = f(x₂) ⇒ x₁³ x₂³
⇒ x₁ = x₁
अतः f एकैकी है।

प्रश्न 6.
दो फलनों f: N → Z तथा g : Z → Z के उदाहरण दीजिए जो इस प्रकार हों कि gof एकैक है परन्तु g एकैक नहीं है।
हल:
(i) यहाँ f: N → Z तथा g: Z → Z द्वारा परिभाषित है।
f(x) = – x, g(x) = |x| से,
g(x)= |x|, – 1, 1 दोनों का प्रतिबिम्ब 1 है। .
∴ g एकैक नहीं है।
परन्तु g[f(x)] =g (- x) = |-x| = |x|
x ϵ N, g[(fx)] = |x|x = x
अतः gof एकैकी है।

(ii) f(x) = -2x, g(x) = |2x|

प्रश्न 7.
दो फलनों f: N → N तथा g: N → N के उदाहरण दीजिए, जो इस प्रकार हों कि gof आच्छादक है किन्तु f आच्छादक नहीं है।
हल:
(i) यहाँ f : N → N तथा g : N → N

f(x) = y = x + 1
∴ x = y – 1
यदि y – 1, x = 0 जो कि प्राकृत संख्या नहीं है।
अतः f आच्छादक नहीं है।
यदि x > 1,
gof (x) = g[f(x)] =g (x + 1) = (x + 1) – 1 = x
अतः gof आच्छादक है।

प्रश्न 8.
एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। ‘निम्नलिखित तरह से P(X) में एक सम्बन्ध R परिभाषित कीजिए-
P(x) में उपसमुच्चयों, A, B के लिए ARB, यदि और केवल यदि A⊂B है। क्या R,P(X) में एक तुल्यता सम्बन्ध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।
हल:
(i) यहाँ A ⊂ A ⇒ R स्वतुल्य है। .
(ii) A ⊂ B, B ⊄ A ⇒ R सममित नहीं है।
(iii) A ⊂ B, B ⊂ C ⇒ A ⊂ C ⇒ R संक्रामक है।
अतः R तुल्यता सम्बन्ध नहीं है।

प्रश्न 9.
किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय x के लिए एक द्विआधारी संक्रिया* : P(X) × P(X) → P(X) पर विचार कीजिए, जो A * B = A ∩ B, ∀ A, B ϵ P(X) द्वारा परिभाषित है, जहाँ P(X) समुच्चय x का घात समुच्चय (Power set) है। सिद्ध कीजिए कि इस संक्रिया का तत्समक अवयव X है तथा संक्रिया के लिए P(X) में केवल x व्युत्क्रमणीय अवयव है।
हल:
दिया है : P(X) × P(X) → P(X)
तथा A * B = A ∩ B
∴ X * A = X ∩ A = A, सभी A के लिए
इसी प्रकार A * X = A ∩ X = A.
∴X एक तत्समक अवयव है तथा व्युत्क्रमणीय अवयव है। माना I एक दूसरा तत्समक अवयव है।
∴ I ∩ A = A सभी A के लिए
तथा x ϵ X, I ∩ {x} = {x}
⇒ x ϵ I ⇒ x ⊂ I और I ⊂ x
∴ I = X

प्रश्न 10.
समुच्चय {1, 2, 3,…., n} से स्वयं तक के समस्त आच्छादक फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना Y : 1 2 3….n
तथा X : 1 2 3…..n
समुच्चय – Y का प्रत्येक अवयव समुच्चय X में किसी – न – किसी अवयव का प्रतिबिम्ब है।
इस प्रकार x और Y के अवयवों में सम्बन्ध
n (n – 1)(n – 2)… 3 2 1 = n! तरीकों से हो सकता है।
अतः द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या n! है।

प्रश्न 11.
मान लीजिए कि S = {a, b, c} तथा T = {1, 2, 3} है। S से T तक के निम्नलिखित फलनों F के लिए F^-1 ज्ञात कीजिए, यदि उसका अस्तित्व है :
(i) F = {(1, 3), (b, 2), (c, 1)}
(ii) F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
हल:
(i) यहाँ S = {a, b, c},T = {1, 2, 3}
तथा F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
F(a)= 3, F(b)= 2, F(c)=1
∴ F^-1(3)= a, F^-1 (2) = F^-1 (1) = c
∴ F^-1 = {(3, a),(2, b), (1, c)}
(ii) F = {(a, 2),(b, 1), (c, 1)}
फलन F में b तथा c का प्रतिबिम्ब 1 है।
∴ यह एकैकी नहीं है।
अत: यह फलन व्युत्क्रमणीय नहीं है।

प्रश्न 12.
a * b=|a – b| तथा a o b = a, ∀ a, b ϵ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं* : R × R → R तथा 0: R × R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परन्तु साहचर्य नहीं है, . साहचर्य है परन्तु क्रमविनिमेय नहीं है। पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c ϵ R के लिए a * (b o c) = (a * b) o (a * c) है। [यदि ऐसा होता है तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित (Distributes) होती है। क्या o संक्रिया * पर वितरित होती है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
हल:
दिया है : a * b = |a – b| और a o b = a
(i) (a) a * b = |a – b|, |b * a| = |b – a| = |a – b|
अतः यह क्रमविनिमेय संक्रिया है।
(b) a * b = |a – b|, b * c = |b – c|
⇒ a * c ≠ |a – c|
अत: यह साहचर्य संक्रिया नहीं है।

(ii) (a) a o b = a, b o a = b ⇒ a ≠ b
अतः o क्रमविनिमेय संक्रिया नहीं है।
a o b = a, b o c = b, a o c = a
अतः o एक साहचर्य संक्रिया है।

(iii) सिद्ध करना है :
a * (boc)= (a * b) 0 (b * c)
L.H.S. = a * (boc)= a * b = |a – b|
R.H.S. = (a * b) 0 (b * c)
= |a – b| o |b – c| = |a – b|
∴ L.H.S. = R..S.
अतः A * (boc)= (a * b) o (b * c)

(iv) क्या a o (b * c) और (a o b) * (a0c) बराबर है?
L.H.S. = a 0 * (b * c) = ao |b – c| = a
R.H.S. = (aob) * (aoc) = a * a = |a – a|= 0
∴ L.H.S. ≠ R.H.S.
अतः संक्रिया o संक्रिया * पर वितरण संक्रिया नहीं है।

प्रश्न 13.
किसी प्रदत्त अरिक्त समुच्चय x के लिए मान लीजिए कि * : P(X) × P(X) → P(X), जहाँ A * B = (A – B) ∪ (B – A), ∀A, B ϵ P(X) द्वारा परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चयक ϕ, संक्रिया * का तत्समक है तथा P(X) के समस्त अवयव A व्युत्क्रमणीय हैं, इस प्रकार कि A^-1 = A.
हल:
यहाँ * : P(X) × P(X) → P(X) जो इस प्रकार परिभाषित है।
A * B = (A – B) ∪ (B – A)
दिया है : A * B = (A – B) ∪ (B – A)
जब B = ϕ क रखने पर,
A * ϕ = (A – ϕ) ∪ (ϕ – A)
= A ∪ ϕ = A
ϕ * A = (ϕ – A) ∪ (A – ϕ) = ϕ ∪ A = A
⇒ A * ϕ = ϕ * A = A
अतः ϕ तत्समक अवयव है।

(ii) A * A = (A – A) ∪ (A – A) = ϕ
A * A = ϕ = A^-1 = A

प्रश्न 14.
निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय {0, 1, 2, 3, 4, 5} में एक द्विआधारी संक्रिया * परिभाषित कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि शून्य (0) इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव a ≠ 0 व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि 6 – c, a का प्रतिलोम है।
हल:
यहाँ संक्रिया समुच्चय A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} पर

(i) e तत्समक अवयव है, यदि a * e = e * a = a
अब, माना e = 0, a * e = a + 0 = a
e* a = 0 + a = a
∴ a * e = e * a = a
अतः O तत्समक अवयव है।

(ii) b अवयव a का व्युत्क्रम है, यदि a * b = b * a = e
a * (6 – a)= a + (6 – a) – 6 = a + 6 – a – 6 = 0
(6 – a) * a = (6 – a) + a – 6 = 0
∴ a * (6 – a) = (6 – a) * a = 0
अतः A के प्रत्येक अवयव a का 6 – a व्युत्क्रम है।

प्रश्न 15.
मान लीजिए कि A ={ – 1, 0, 1, 2}, B = { – 4, – 2, 0, 2} और f, g: A → B, क्रमशः f(x) = x² – x, x ϵ A तथा g(x) = 2x\(\left|x-\frac{1}{2}\right|\) – 1. x ϵ A द्वारा परिभाषित फलन हैं क्या है तथा g समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।
हल:
यहाँ, यदि A = { – 1, 0, 1, 2) B = { – 4, – 2, 0, 2}
और f, g . A → B फलन की f(x) = x² – x, x ϵ A और g(x)= \(\left|x-\frac{1}{2}\right|\) . 1, x ϵ A द्वारा परिभाषित है।

प्रश्न 16.
यदि A = {1, 2, 3} हो तो ऐसे सम्बन्ध जिनमें अवयव (1, 2) तथा (1, 3) हों और जो स्वतुल्य तथा सममित हैं किन्तु संक्रामक नहीं है, की संख्या है
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
यहाँ, A = {1, 2, 3}
वह सम्बन्ध जिसमें (1, 2) और (1, 3) हों तथा सम्बन्ध स्वतुल्य व सममित हो तथा संक्रामक न हो,
{(1, 2), (1, 3), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 1), (3, 1)}
∴ ऐसा एक ही सम्बन्ध है।
अतः विकल्प (A) सही है।

प्रश्न 17.
यदि A= {1, 2, 3} हो तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या है
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
हल:
यहाँ, A = {1, 2, 3}
तुल्यता सम्बन्ध जिसमें (1, 2) सम्मिलित हो ऐसे 2 सम्बन्ध हो सकते हैं।
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 18.
मान लीजिए कि f :R → R है तब निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित चिह्न फलन (signum Function) है।

तथा g : R → R, g(x) = [x] द्वारा प्रदत्त महत्तम पूर्णांक फलन है, जहाँ [x], x से कम या x के बराबर पूर्णांक है तो क्या fog तथा gof, अन्तराल [0, 1] में सम्पाती (coincide) हैं?
हल:
यहाँ f: R → R, जो

तथा g: R → R जो g(x) = [x] से परिभाषित है।
∴ x ϵ [0, 0, f(x) = 1, g(x) = 0.
gof (x) = g [f(x)] = g(1) = 1
तथा fog(x) = f(0)= 0
इस प्रकार fog ≠ gof
अतः अन्तराल (0, 1) में fog तथा gof सम्पाती नहीं हैं।

प्रश्न 19.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है
(A) 10
(B) 16
(C) 20
(D) 8
हल:
यहाँ समुच्चय {a, b}
समुच्चय A में 2 अवयव हैं।
द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या = 2⁴ = 16
अतः विकल्प (B) सही है।