Prasanna

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 2 वात्सल्य

वात्सल्य अभ्यास

वात्सल्य अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बालक कृष्ण के रुचिकर व्यंजन क्या हैं? (2017)
उत्तर:
बालक कृष्ण के रुचिकर व्यंजन मक्खन, मिश्री, दही एवं बेसन से बने हुए स्वादिष्ट पदार्थ हैं।

प्रश्न 2.
‘मनहुँ नील नीरद बिच सुन्दर चारु तड़ित तनु जोहे’ की उत्प्रेक्षा को लिखिए।
उत्तर:
इस पंक्ति में राम के शरीर की सुन्दरता को नीचे बादल के मध्य चमकने वाली बिजली के सदृश कल्पना कल्पित की गयी है। मनहुँ वाचक शब्द का प्रयोग है।

प्रश्न 3.
माता कौशल्या बालक राम की नजर उतारने के लिए क्या-क्या उपक्रम करती हैं? (2015, 16)
उत्तर:
माता कौशल्या बालक राम की नजर उतारने के लिए दो-दो डिठौने अर्थात् नजर के काले टीके लगाती हैं।

वात्सल्य लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
कृष्ण के बाल रूप को किस प्रकार अलंकृत किया गया है?
उत्तर:
सूरदाज जी ने कृष्ण के बाल रूप का वर्णन मनोवैज्ञानिक एवं स्वाभाविक किया है। उन्होंने बताया है कि बालकृष्ण ने अपने मुख में मिट्टी का लेप कर लिया है। मस्तक पर रोली का तिलक है। उनके बालों की सुन्दर लट लटक रही है। उदाहरण देखें-
“घुटुरुवन चलन रेनु मंडित मुख में लेप किये।
चारु कपोल लोल लोचन छवि-गौरोचन को तिलक दिये।
लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।”

प्रश्न 2.
प्रस्तुत पदों में बाल स्वभाव की कौन-कौन सी प्रवृत्तियाँ प्रकट हुई हैं?
उत्तर:
प्रस्तुत पदों में बाल स्वभाव की विभिन्न मनोवृत्तियों का चित्रण किया गया है-
(1) बाल वृत्तियों का चित्रण-बालक कृष्ण नन्द जी की उँगली पकड़कर चलना सीखते हैं-
“गहे अंगुरिया तात की नन्द चलन सिखावत।”

कभी बालक कृष्ण नन्द जी की गोद में बैठकर भोजन करते हैं। देखें-
“जेंवत श्याम नन्द की कनियाँ।”

उनको कौन-कौन से भोज्य पदार्थ रुचिकर लगते थे और वे उन्हें किस प्रकार खाते थे। देखें-
बरी बरा बेसन बहु भांतिन व्यंजन विविध अनगनियाँ
मिश्री दधि माखन मिश्रित करि मुख नावत छविधनियाँ।

(2) बालक कृष्ण की खीझ का वर्णन :
सूर ने बालक कृष्ण की छोटी-छोटी बातों का सुन्दर वर्णन किया है। बच्चे खेल में परस्पर लड़ते-झगड़ते हैं और एक-दूसरे से रूठ जाने पर अपनी माँ से शिकायत करते हैं। माँ बच्चे की बात सुनती है और उसे समझाती है। तब बालक प्रसन्न हो जाता है। इस पद में देखें कृष्ण नन्द बाबा से बलदाऊ की शिकायत करके कह रहे हैं-
“खेलन अब मोरी जात बलैया।
जबहि मोहि देखत लरिकन संग तबहि खिझत बलभैया।
मोसों कहत पूत वसुदेव को देवकी तेरी मैया।
मोल लियौ कछु दै वसुदेव को करि-करि जतन बटैया॥”

(3) बाल हठ का चित्रण- बच्चों की नासमझी का चित्रण सूरदास ने किया है। बालक अबोध होता है उसे यह नहीं मालूम है कि क्या वस्तु खेलने की है। बालक कृष्ण देखिये किस प्रकार चाँद खेलने के लिए माँग रहे हैं-
“मैया मैं तो चन्द खिलौना लैहों।
जैहों लोटि धरनि पर अबहीं तेरी गोद न ऐहौं।”

जब माँ बालक को प्रलोभन देकर कहती है कि मैं तेरे लिए दुल्हन ला दूंगी तो उस माँग को भी बिना समझे तुरन्त पूरी करने को कहते हैं। देखें-
“तेरी सौं मेरी सनि मैया, अबहिं बियावन जैहों।”

प्रश्न 3.
बालकृष्ण खेलते समय कौन-कौन सी क्रीड़ाएँ करते हैं? (2014)
उत्तर:
बालक कृष्ण खेलते समय अपने मुख पर मिट्टी का लेप लगा लेते हैं। बालक कृष्ण छोटी-छोटी बातों पर चिढ़ जाते हैं। जब बलराम उनसे कहते हैं तू तो मोल का लिया है, तब वे खिसियाकर उठकर चल देते हैं। अपने साथियों से कह देते हैं कि सब मुझे चिढ़ाते हैं, अब मैं कभी नहीं खेलूँगा। उदाहरण देखें-
“ऐसेहि कहि सब मोहि खिझावत तब उठि चलौ सिखैया।”

प्रश्न 4.
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर के अनुसार बालक राघव की छवि का वर्णन कीजिए।
उत्तर:
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर ने बालक राघव की छवि का वर्णन इस प्रकार किया है
बालक राम अपनी माँ की गोद में हैं। वे धूल से लिपटे हुए भी बहुत सुन्दर लग रहे हैं। इस उदाहरण में देखें-
“राघव जननी अंक बिराजत।
नख सिख सुभग धूरि धूसर तनु चितइ काम सत लाजत॥”

श्री राम भद्राचार्य गिरिधर ने कहा है कि राम के सौन्दर्य के समक्ष कामदेव फीके पड़ गये, उनका सौन्दर्य पूर्व दिशा में उदित हुए चन्द्रमा के सदृश है। देखें-
प्राची दिशि जनु शरद सुधाकर, पूरन है निकसे।

राघव की प्रशंसा में अन्य उदाहरण देखिये-
“शरद शशांक मनोहर आनन दैतुरिन लखि मन मोहे।
मनहुँ नील नीरद बिच सुन्दर चारु तड़ित तनु जोहे।

इस प्रकार राघव के सौन्दर्य का वर्णन परिवार पर केन्द्रित है। कवि का कथन है ऐसी छवि को निहारने के लिए उसके हृदय रूपी नेत्र आतुर हैं।

प्रश्न 5.
माता कौशल्या की प्रसन्नता को अपने शब्दों में व्यक्त कीजिए। (2009)
उत्तर:
माता कौशल्या राम के सुन्दर रूप को देखकर प्रसन्न होती हैं। जब श्रीराम किलकारी मारकर हँसते हैं। उस समय माँ कौशल्या आँचल की ओट से अपने पुत्र को हँसते हुए देखकर आनन्द का अनुभव करती हैं।

जब श्रीराम की तोतली बोली माँ कौशल्या सुनती हैं तो उनका हृदय पुलकित हो उठता है। श्रीराम जब ठुमक ठुमक कर डगमगाते हुए चलते हैं तब माता कौशल्या चुटकी बजा-बजा कर राम को बुलाती हैं और हँसती हैं तथा अपूर्व आनन्द का अनुभव करती हैं। उदाहरण देखिये-
किलकत चितइ चहूँ दिसि विहँसत तोतरि वचन सुबोलत।
ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत।
निरखि चपल शिशु चुटकी दै दै हँसि हँसि मातु बुलावे।

माँ कौशल्या रंग-बिरंगे खिलौने देती हैं व विभिन्न प्रकार से राम को भोजन कराने का प्रयास करती हैं। इन सभी कार्यों में एक माँ को जो अपूर्व आनन्द का अनुभव होता है, वह अवर्णनीय है। माँ की प्रसन्नता का अन्य उदाहरण देखें-
आँचर ढाँकि बदन विधु सुन्दर थन पय पान करावति।
कहति मल्हाइ खाहु कछु राघव मातु उछाइ बढ़ावति।

इस प्रकार श्री रामभद्राचार्य गिरिधर ने राघव की विभिन्न बाल लीलाओं के द्वारा माँ कौशल्या के हृदय की प्रसन्नता को व्यक्त किया है।

वात्सल्य दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
बालक कृष्ण चन्द्र खिलौना लेने के लिए क्या-क्या हठ करते हैं?
उत्तर:
बालक कृष्ण जब चन्द्रमा लेने की हठ करते हैं तो वे माँ यशोदा से कहते हैं कि माँ मैं तो आकाश में दिखने वाले इस चन्द्रमा से ही खेलूँगा। वे चाँद को पाने के लिए मचलने लगते हैं वे माँ यशोदा को धमकी देते हैं, कि यदि वे चाँद खेलने के लिए नहीं देंगी तो वे भूमि पर लोट जायेंगे तथा यशोदा के पुत्र नहीं कहलायेंगे। परन्तु माँ उन्हें चाँद से भी सुन्दर दुलहनियाँ लाकर देने को कहती हैं।

इस बात को सुनते ही बालक कृष्ण विवाह करने के लिए मचल उठते हैं। माँ यशोदा तो बालक को बहलाने का प्रयत्न कर रही थीं लेकिन कृष्ण तो विवाह की तैयारी में लग जाते हैं। माँ के लिए चाँद जैसा खिलौना तो दुर्लभ था अतः वे जल के पात्र में चाँद का प्रतिबिम्ब दिखाकर बालक कृष्ण को बहलाने का प्रयत्न करती हैं।

प्रश्न 2.
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर के पदों में बाल छवि का जो रूप उभरा है, उसे अपने शब्दों में लिखिए।
उत्तर:
कवि राम भद्राचार्य गिरिधर ने अपने पदों में बालक श्रीराम की बाल चेष्टाओं का सुन्दर एवं सटीक वर्णन किया है। उन्होंने प्रभु राम के बचपन की सुन्दर झाँकी प्रस्तुत की है। देखिये जब प्रभु राम अपनी माँ कौशल्या की गोद में हैं; वे कितने सुन्दर लग रहे हैं-
राघवजू जननी अंक लसे। प्राची दिशि जनु शरद सुधाकर, पूरन है निकसे।

शारीरिक सौन्दर्य का वर्णन करते समय बताया है कि उनके अंगों पर किस प्रकार के आभूषण हैं। उदाहरण देखें-
“भाल तिलक सोहत श्रुति कुण्डल दृग मनसिज सरसे।

इस प्रकार राम का सौन्दर्य अपूर्व है। माँ कौशल्या को हर पल यह चिन्ता रहती है कि कहीं मेरे पुत्र के अपूर्व सौन्दर्य को किसी की नजर न लग जाये। इसके लिये माँ बार-बार ईश्वर से प्रार्थना करती हैं। वे कहती हैं कि हे ईश्वर मेरे पुत्र दीर्घायु हों। उदाहरण देखें-
“नजर उतारि झिगुनि जनि फेकहुँ हरिहि निहोरि बुलावति।”

उन्हें बुरी नजर से बचाने के लिये दो-दो डिठौने लगाती हैं। वे ईश्वर से अपने पुत्र के लिए आशीष माँगती हैं। माँ कौशल्या प्रभु राम को भाइयों एवं मित्रों के साथ मिलकर खेलने के लिए कहती हैं। उदाहरण देखें-
“खेलहु अनुज सखन्ह मिलि अंगना प्रभुहि उपाय सुझावति।”

वे राम को उत्साहपूर्वक खाद्य पदार्थ खिलाने का प्रयास करती हैं। राम के मना करने पर वे उन्हें विभिन्न प्रकार के प्रलोभन देकर मनाती हैं। वे राम को गोद में लेकर प्यार करती हैं और दुलारते हुए दूध भी पिलाती हैं। राम के इन कार्यों को करके माँ कौशल्या अपूर्व आनन्द का अनुभव करती हैं।

माँ कौशल्या बालक श्रीराम को उनकी रुचि के अनुरूप रंग-बिरंगे खिलौने देकर उन्हें प्रसन्न करने का प्रयत्न करती हैं। वास्तव में श्री राम भद्राचार्य गिरिधर ने चर्म चक्षुओं की अनुपस्थिति के बावजूद भी राम की बाल लीलाओं का सुन्दर एवं हृदयहारी वर्णन किया है। राम के बाल रूप में इतना सुन्दर चित्रण अन्य किसी भी कवि ने करने का प्रयास नहीं किया है।

प्रश्न 3.
वात्सल्य के पदों में बालक राम और बालक कृष्ण की समानताओं पर प्रकाश डालिए।
उत्तर:
वात्सल्य के पदों में बालक राम और बालक कृष्ण के पदों में निम्न समानताएँ हैं-
बाल छवि का समान वर्णन :
जिस प्रकार सूरदास ने बालक कृष्ण की बाल लीला का वर्णन किया है, कि वे घुटनों के बल किस प्रकार चलते हैं। इसका उदाहरण देखें-
घुटुरुवन चलत रेनु मंडित मुख में लेप किये।

इसी प्रकार श्री रामभद्र गिरिधर ने श्रीराम के ठुमककर चलने का वर्णन किया है-
ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत।

इन दोनों के वर्णन में अन्य साम्य इस प्रकार हैं। उदाहरण देखें-
“गहे अंगुरिया तात की नंद चलन सिखावत”

कृष्ण और राम के खाने के वर्णन में समानता है-
“जेंवत श्याम नन्द की कनियाँ”
कछुक खात कछु धरनि गिरावत छवि निरखत नंदरनियाँ।

इस प्रकार राम के खाने का वर्णन है। उदाहरण देखें-
“कहति मल्हाइ खाहु कछु राघव मातु उछाइ बढ़ावति”

इसी प्रकार दोनों के खेलने में भी साम्य है। उदाहरण देखें-
“खेलन अब मेरी जात बलैया।
मैया मैं तो चन्द्र खिलौना लैहों।”

इसी प्रकार श्रीराम के खेलने का वर्णन है-
“खेलहु अनुज सखन्ह मिलि अंगना प्रभुहिं उपाय सुझावति।”

इसी प्रकार बालक कृष्ण की माँ और राम की माँ के हृदय की प्रसन्नता का वर्णन है। देखें-
“नन्द यशोदा बिलसत सोनहि तिहं भुवनियाँ।”

इसी प्रकार राम का वर्णम है-
“राघव निरखि जननि सुख पावति।”
इस प्रकार श्रीराम और कृष्ण के वर्णन में यही समानताएं हैं।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित काव्यांशों की प्रसंग सहित व्याख्या कीजिए
(अ) हँसि समझावति कहति जसोमति नई दलनियाँ देहों।
(आ) खेलन अब मेरी जात बलैया।
जबहि मोहि देखत लरिकन संग तबहि खिझत बलभैया॥
मौसौं कहत पूत वसुदेव को देवकी तेरी मैया।
मोल लियो कछु दे वसुदेव को करि करि जतन बटैया॥
(इ) राघव जननी अंक विराजत।।
नख सिख सुभग धूरि धूसर तनु चितई काम सत लाजत॥
ललित कपोल उपरि अति सोहत द्वैवै असित डिठौना।
जनु रसाल पल्लव पर बिलसत द्वै पिक तनय सलौना॥
उत्तर:
उपर्युक्त पद्यांशों की सप्रसंग व्याख्या सन्दर्भ प्रसंग सहित पद्यांशों की व्याख्या’ भाग में देखें।

वात्सल्य काव्य सौन्दर्य

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों में तत्सम और तद्भव शब्द पहचान कर लिखिए
नवनीत, हिये, लिये, कपोल, अंगुरिया, धरणि, कान्ह, दधि, माखन, भैया, मैया, पूरन, धूरि, गोद, शरद, माल।
उत्तर:
तत्सम शब्द :
नवनीत, लिये, कपोल, धरणि, दधि, गोद, शरद।

तद्भव शब्द :
हिये, अंगुरिया, कान्ह, माखन, भैया, मैया, पूरन, धूरि, माल।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पंक्तियों में अलंकार पहचान कर लिखिए-
(अ) लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।
(आ) बार-बार बकि श्याम सों कछु बोल बकावत।
(इ) जो रस नन्द यशोदा बिलसत सो नहिं तिहं भुवनियाँ।
(ई) मनहुँ इन्दु मण्डल विच अनुपम मन्मध बारिज से।
(उ) ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत।
उत्तर:
(अ) उत्प्रेक्षा अलंकार
(आ) अनुप्रास अलंकार
(इ) अतिशयोक्ति अलंकार
(ई) उत्प्रेक्षा अलंकार
(उ) अनुप्रास अलंकार।

प्रश्न 3.
अधोलिखित काव्यांश में काव्य-सौन्दर्य लिखिए
(अ) है हौं पूत नंद बाबा को तेरो सुत न कहैहों।
आगे आऊ बात सुनि मेरी बलदेवहिं न जनैहों।
(आ) खेलत शिशु लखि मुदित कोसिला झाँकत आँचर से।
यह शिशु छबि लखि लखि नित ‘गिरधर’ हृदय नयन तरसे।
(इ) गोद सखि चुप चारि दुलारति पुनि पालति हलरावति।
आँचर ढाँकि बदन विधु सुन्दर थन पय पान करावति ।।
उत्तर:
(अ) (1) ब्रजभाषा का प्रयोग है।
(2) पुत्र का पिता के प्रति अनुरागमय चित्रण है।
(3) वात्सल्य रस की सजीव झाँकी है।
(4) अनुप्रास अलंकार है क्योंकि-आगे आऊ शब्द में अ’ वर्ण की आवृत्ति है।
(5) गुण-माधुर्य है।

(आ) (1) ब्रजभाषा का प्रयोग है, जैसे-कोकिला, झाँकत, आँचल।
(2) माँ का पुत्र के प्रति अमिट प्रेम अवलोकनीय है। वात्सल्य रस है।
(3) आँचल से झाँकने में मातृ हृदय की मार्मिक झाँकी है।
(4) अनुप्रास अलंकार का प्रयोग है-
लखि-लखि-लखि में ‘ल’ वर्ण की आवृत्ति है।
‘हृदय नयन’ में रूपक अलंकार है।
(5) गुण-माधुर्य है।

(इ) (1) ब्रजभाषा का प्रयोग है, जैसे-चुचुकारि, दुलराति, पुनपालति, हलरावति।
(2) बदन, विधु सुन्दर में उपमा अलंकार है।
(3) पय पान करावति में मातृ हृदय का प्रेम व्यंजित है।
(4) रस वात्सल्य है।

प्रश्न 4.
सूर वात्सल्य रस का कोना-कोना झाँक आए हैं। उदारण देकर समझाइए।
उत्तर:
सूरदास को वात्सल्य रस का सम्राट कहा जाता है। उसका प्रमुख कारण सूर के काव्य में शृंगार रस के साथ-साथ बालक श्रीकृष्ण के अनुपम सौन्दर्य की सुन्दर झाँकी मिलती है।
(1) विस्तृत बाल वर्णन-सूरदास जी ने अपने काव्य में वात्सल्य का विस्तृत चित्रण किया है। उनका यह वर्णन बालक कृष्ण के जन्म के पश्चात् प्रारम्भ हो जाता है। उन्होंने बालक कृष्ण के पालने में झूलने का वर्णन किया है। इसके उपरान्त बालक कृष्ण का घुटनों चलने का, देहली को लाँघने को, बालकों के साथ मक्खन, दही चुराने का सजीव वर्णन है।

इसके अतिरिक्त बाल कृष्ण गाय चराने जाते हैं, ग्वाल-वालों के साथ हँसी मजाक करते हैं। खेलते समय खिसियाकर खेल छोड़कर भाग जाते हैं। इसके अतिरिक्त माँ यशोदा से चाँद खिलौना लेने की हठ करते हैं। सूरदास ने इन्हीं सब बाल वृत्तियों का सुन्दर चित्रण किया है उदाहरण देखें जैसे, यशोदा जब पालने में श्रीकृष्ण को झूला झुलाती है तो वे गाती हैं-
“यशोदा हरि पालने झुलावै”

जब कृष्ण खेलने जाते हैं और बलराम उन्हें यह कहकर खिझाते हैं कि तू तो मोल का लिया है। इस बात को सुनकर वे अपनी माँ यशोदा से इस प्रकार शिकायत करते हैं
“मोसों कहत तात वसुदेव को देवकी तेरी मैया …..”
ऐसेहि कहि सब मोहि खिझावत तब उठि चलौ सिखैया।

(2) बाल लीलाओं का सजीव अंकन :
सूरदास जी ने बाल कृष्ण की बाल लीलाओं का सजीव अंकन किया है। उन्होंने कहा है बाल कृष्ण अपनी माता यशोदा से चाँद खिलौना माँग रहे हैं और वे हठ करते हैं कि यदि वे उन्हें चाँद खेलने के लिये नहीं देंगी तो वे भूमि पर लोट जायेंगे, उनके पुत्र भी नहीं कहायेंगे व दूध भी नहीं पियेंगे। उदाहरण देखें-
“मैया मैं तो चन्द खिलौना लैहों।
जैहौं लेटि धरनि पर अबहीं तेरी गोद न ऐहौं।

इसके अतिरिक्त जब माँ यशोदा कृष्ण से कहती है वे चाँद से भी सुन्दर दुल्हन ला देंगी, तो वे तुरन्त विवाह की हठ इस प्रकार करते हैं-
तेरी सौं मेरी सुनि मैया, अबहि बियावन जैहों।”
इस प्रकार की विभिन्न बाल चेष्टाओं का वात्सल्य रस में वर्णन है।

प्रश्न 5.
“सूर की भाषा में ग्रामीण बोली का माधुर्य है।” सूर की भाषा की विशेषताएँ लिखते हुए इस कथन की पुष्टि कीजिए।
उत्तर:
सूर की भाषा में यथास्थान प्रचलित शब्दों का व ग्रामीण शब्दों का यत्र-तत्र प्रयोग हुआ। सूर की भाषा में प्रसाद तथा माधुर्य गुण की प्रचुरता है। सूरदास जी ने अपनी भाषा में मुहावरे एवं लोकोक्तियों का प्रयोग किया है। उनके सभी पद गेय हैं।

सूरदास जी ने साधारण बोलचाल की भाषा को अपनी सुन्दर भाव भूमि से सजाया, सँवारा एवं साहित्यिक रूप प्रदान किया है। उन्होंने अनुप्रास, यमक, श्लेष, उपमा, रूपक, उत्प्रेक्षा आदि अलंकारों का प्रयोग किया है।

अनुप्रास अलंकार का उदाहरण देखें-
“बार बार बकि श्याम सों कछु बोल बकावत।”

उत्प्रेक्षा का उदाहरण देखें-
“लर लटक मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।”

ग्रामीण भाषा का अन्य उदाहरण देखें-
डारत खाट लेट अपने कर रुचि मानत दधि दनियाँ।
मिश्री दधि माखन मिश्रित करि मुख नावत छवि धनियाँ॥

सूरदास जी ने अपनी भाषा में सरल, सहज एवं स्वाभाविक शब्दों का प्रयोग किया है। उन्होंने तुकबन्दी का भी प्रयोग यथास्थान किया है। उदाहरण देखें-
हँसि समुझावति कहति जसोमति, नई दुलनियाँ दैहों।
तेरी सौं मेरी सुनि मैया, अबहि बियावन जैहों।

इस प्रकार सूरदाज जी की भाषा माधुर्य गुण से परिपूर्ण है। उन्होंने यथास्थान प्रचलित शब्दों का भी प्रयोग किया है। वास्तव में, सूरदास जी ने अपनी भाषा को भावों के अनुरूप ही प्रयोग किया है। सूरदास जी ने वात्सल्य रस का प्रयोग भी किया है।

प्रश्न 6.
संकलित काव्यांश में से एक उदाहरण देकर उसमें निहित रस तथा विभिन्न अंगों को समझाइए।
उत्तर:
सोभित कर नवनीत लिए।
घुटुरुवन चलत रेनु तन मंडित मुख में लेप किए।
चारु कपोल लोल लोचन छवि गौरोचन को तिलक दिए।
लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिए ।।
कठुला के वज्र केहरि नख राजत है सखि रुचिर हिए।
धन्य सूर एकौ पल यह सुख कहा भयो सत कल्प जिए॥

रस – वात्सल्य
स्थायी भाव – स्नेह, अनुराग
संचारी भाव – हर्ष
अनुभाव – घुटनों चलना, लोचनों की चपलता आदि
विभाव-आश्रय – श्रीकृष्ण
आलम्बन – धूल भरा हुआ तन।

प्रश्न 7.
काव्य में माधुर्य गुण की श्रृंगार, वात्सल्य और शांत रस में सुन्दर अभिव्यक्ति हुई है। माधुर्य गुण में मधुर शब्द योजना और सरल प्रवाह देखते ही बनता है। देखिए-कंकन, किंकन, नूपुर, धुनि, सुनि।
इसी प्रकार की सुन्दर, सहज, मधुर शब्द योजना के कुछ अंश इस पाठ से छाँटकर लिखिए।
उत्तर:
(1) लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिए।
(2) बरी बरा बेसन बहु भाँतिन व्यंजन।
(3) ठुमकि ठुमकि रुनझुन धुन सुनि।
(4) शरद शशांक मनोहर आनन।
(5) गोद राखि पुचकारि दुलारति।

कृष्ण की बाल लीलाएँ भाव सारांश

महाकवि सूरदास का भक्तिकालीन कवियों में शीर्ष स्थान है। कवि ने श्रीकृष्ण की बाल लीलाओं को जो झाँकी उतारी है वह हिन्दी काव्य में अन्यत्र मिलना दुर्लभ है। बाल चेष्टाओं का वर्णन भी यत्र-तत्र काव्य के पृष्ठों में अंकित है।
कृष्ण की बाल लीलाओं में घुटनों के बल चलना, मक्खन को मुँह पर मलना, आदि ऐसी चेष्टाएँ हैं जो आनन्ददायक एवं सुख देने वाली हैं। नंद बाबा कृष्ण की उंगली पकड़ कर चलना सिखाते हैं तो कहीं कृष्ण बोलने का प्रयत्न करते हैं। पुत्र को इस प्रकार की चेष्टाओं को निहार कर यशोदा माँ आनन्द से अभिभूत हो जाती हैं।

कृष्ण का सखाओं के साथ खेलना तथा खेलते समय बलदाऊ का उन्हें खिझाना बाल्यकाल के जीवन की मनोरम झाँकी हैं। यह सूर के बालकृष्ण, नन्द एवं यशोदा को अपने अलौकिक क्रिया-कलापों से मंत्र मुग्ध कर देते हैं।

कृष्ण की बाल लीलाएँ संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] शोभित कर नवनीत लिये। घुटुरुवन चलत रेनु मंडित मुख में लेप किये।।
चारु कपोल लोल लोचन छवि गौरोचन को तिलक दिये।
लर लटकन मानो मत्त मधुप गन माधुरी मधुर पिये।।
कठुला के वज्र केहरि नख राजत है सखि रुचिर हिये।
धन्य ‘सूर’ एकौ पल यह सुख कहा भयो सत कल्प जिये।। (2015)

शब्दार्थ :
कर = हाथ; नवनीत = मक्खन; घुटुरुवन = घुटनों के बल; रेनु = मिट्टी; चारु = सुन्दर; कपोल = गाल; लोचन = नेत्र; मधुप = भौंरा; गौरोचन – रोली का टीका; तिलक = टीका; मत्त = मस्त; वज्र = कठोर; केहरि = केसरी, सिंह; हिये – हृदय; पल = क्षण; सत = सौ; लर = बालों की लट।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्य वात्सल्य’ पाठ के श्रीकृष्ण की बाल लीलाएँ’ शीर्षक से अवतरित है। इसके रचयिता महाकवि सूरदास जी हैं।

प्रसंग :
इस पद में श्रीकृष्ण की बाल लीलाओं की मनोरम झाँकी प्रस्तुत की गई है।

व्याख्या :
बालक श्रीकृष्ण अपने हाथ में मक्खन लिए हुए अत्यन्त ही शोभायमान एवं आकर्षक प्रतीत हो रहे हैं। वह अपने आँगन में घुटनों के बल चल रहे हैं, अपने मुख में मिट्टी का लेप किये हुए हैं। उनके गाल सुन्दर हैं, नेत्र चंचल हैं, गौरोचन (रोली का टीका) मस्तक पर शोभायमान हो रहा है। उनके मुख पर बालों की लटें इस प्रकार सुशोभित हो रही हैं मानो मतवाले भँवरों का समूह उनकी सुन्दरता का रसपान कर रहा है। हे सखि ! उनके सुन्दर हृदय पर कठुला (गले में पड़े धागे में) बज्र के सदृश कठोर सिंह का नाखून शोभित है। सूरदास जी कहते हैं ऐसी सुन्दर छवि को एक पल निहारकर भी जीवन धन्य है। सौ कल्प जीवित रहना भी इसकी अपेक्षा श्रेष्ठ नहीं है।

काव्य सौन्दर्य :

1. श्रीकृष्ण की बाल छवि का सुन्दर वर्णन है।
2. वात्सल्य रस है।
3. अलंकार की छटा दर्शनीय है, जैसे-लोल, लोचन; लर लटकन में अनुप्रास अलंकार है, मानो मत्त मधुप गन में उत्प्रेक्षा अलंकार है।
4. गुण-माधुर्य है।
5. भाषा ब्रजभाषा है।

[2] गहे अंगुरिया तात की नंद चलन सिखावत।
अरबराई गिरि परत हैं कर टेकि उठावत।।
बार बार बकि श्याम सों कछु बोल बकावत।
दुहंधा दोउ दंतुली भई अति मुख छवि पावत।।
कबहुँ कान्ह कर छाड़ि नंद पग द्वै करि धावत।
कबहुँ धरणि कर बैंठ के मन महं कछु गावत।।
कबहुँ उलटि चलै धाम को घुटरुन करि धावत।
‘सूर’ श्याम मुख देखि महर मन हर्ष बढ़ावत।।

शब्दार्थ :
गहे = पकड़कर; अंगुरिया = उँगलियाँ; तात = पिता; गिरि = पर्वत; कर = हाथ; दोउ= दोनों; पग = पैर; धावत = दौड़ना; धाम = गृह, घर; महर = ब्रज में प्रतिष्ठित स्त्रियों के लिए आदरसूचक शब्द; हर्ष = प्रसन्नता; बढ़ावत = बढ़ाते हैं।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्यांश में श्रीकृष्ण का पैरों से चलना सीखने का वर्णन है। नन्द जी श्रीकृष्ण के बाल सौन्दर्य एवं लीलाओं को देखकर प्रसन्नता का अनुभव कर रहे हैं।

व्याख्या :
श्रीकृष्ण जी ने पिता नन्द की उँगली पकड़ी हुई है और श्री नन्द जी बालक श्रीकृष्ण को चलना सिखाते हैं। वे चलते समय डगमगाकर धरती पर गिर जाते हैं। नन्द जी अपने हाथ का सहारा देकर उठाते हैं। वे बार-बार बातें करके श्रीकृष्ण से कुछ न कुछ बुलवाने का प्रयास करते हैं। उनके दुधमुंहे दो दाँतों की पंक्तियाँ मुख में अत्यन्त ही सुशोभित हो रही हैं। कभी श्रीकृष्ण नन्द जी का हाथ छोड़कर दो पग दौड़ने का प्रयास करते हैं। कभी धरती पर बैठ करके मन ही मन कुछ गाते हैं।

कभी उलटी ओर घुटनों के बल घर को दौड़कर जाते हैं। सूरदास जी कहते हैं श्रीकृष्ण के ऐसे सुन्दर मुख को देखकर माँ यशोदा अत्यन्त प्रसन्नता का अनुभव करती हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. बालक कृष्ण की बाल छवि का वर्णन है।
2. बार-बार बकि श्याम-बोल बकावत में अनुप्रास अलंकार है।
3. सिखावत, उठावत, धावत, पावत आदि ब्रजभाषा के शब्दों का प्रयोग है।
4. वात्सल्य रस है।

[3] जेंवत श्याम नंद की कनियाँ।
कछुक खात कछु धरनि गिरावत छवि निरखत नंदरनियाँ।
बरी बरा बेसन बहु भांतिन व्यंजन विविध अनगनियाँ।
डारत खात लेत अपने कर रुचि मानत दधि दनियाँ॥
मिश्री दधि माखन मिश्रित करि मुख नावत लवि धनियाँ।
आपुन खात नन्द मुख नावत सो सुख कहत न बनियाँ।
जो रस नन्द यशोदा बिलसत सो नहि तिहं भुवनियाँ।
भोजन करि नन्द अँचवन कियो माँगत ‘सूर’जुठनियाँ॥

शब्दार्थ :
जेंवत = जीमना, भोजन करना; कनियाँ = गोद में; धरनि = भूमि; निरखत = देखना; बहु भांतिन = अनेक प्रकार के व्यंजन, भोज्य पदार्थ; विविध = अनेक; दधि = दही; दनियाँ = दोनी; आपुन = स्वयं; तिहं भुवनियाँ = तीनों लोक; अँचवन = आचमन; जुठनियाँ = जूठन।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में बालक कृष्ण की बाल-सुलभ चेष्टाओं का अत्यन्त सुन्दर वर्णन है। इसके साथ ही श्रीकृष्ण को जो वस्तुएँ रुचिकर लगती हैं, उनका भी वर्णन किया है।

व्याख्या :
श्रीकृष्ण जी नन्द जी की गोद में बैठकर कुछ खा रहे हैं। खाते समय कुछ भोज्य पदार्थ भूमि पर गिरा रहे हैं। इस बाल छवि को निरखकर (देखकर) नन्द की रानी प्रसन्न्ता का अनुभव कर रही हैं। वे बड़ियों, दही बड़ों तथा बेसन से बने अनेक व्यंजनों का स्वाद ले रहे हैं। वे खाते समय खाद्य वस्तुओं को अपने हाथ से लेकर भूमि पर गिरा रहे हैं। उन्हें दही की दोनी अत्यन्त ही रुचिकर हैं। वे दही, मक्खन एवं मिश्री को मिलाकर अपने मुख में जब डालते हैं तो उनका सौन्दर्य देखते ही बनता है।

स्वयं खाकर उसमें से कुछ भोज्य पदार्थ नन्द जी के मुख में डालते हैं तो उस सुख का वर्णन करते नहीं बनता। बालक श्रीकृष्ण के सौन्दर्य को निहार कर जो सुख नन्द-यशोदा को प्राप्त हो रहा है वह सुख तीनों लोकों में मिलना असम्भव है। भोजन करने के पश्चात् नन्द जी ने कुल्ला कर लिया है। सूरदास जी कहते हैं कि उन्हें यदि कृष्ण की जूठन ही प्राप्त हो जाए तो वे धन्य हो जाएँ।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा का प्रयोग है, अनगनियाँ, दनियाँ, बनियाँ भुवनियाँ, जुठनियाँ आदि शब्दों का प्रयोग है। तुकबन्दी है।
2. वात्सल्य रस तथा गुण माधुर्य है।
3. अतिशयोक्ति, अनुप्रास अलंकार है।

[4] खेलन अब मेरी जात बलैया।
जबहि मोहि देखत लरिकन संग तबहि खिझत बल भैया।
मोसों कहत पूत वसुदेव को देवकी तेरी मैया।
मोल लियो कछु दे वसुदेव को करि करि जतन बटैया॥
अब बाबा कहि कहत नंद को यसुमति को कह मैया।
ऐसेहि कहि सब मोहि खिझावत तब उठि चलौ सिखैया॥ (2011)
पाछे नंद सुनत है ठाढ़े हँसत हँसत उर लैया।
‘सूर’ नंद बलिरामहि धिरयो सुनि मन हरख कन्हैया॥

शब्दार्थ :
लरिकन = लड़कों; संग = साथ; खिझत = चिढ़ाते हैं; बल भैया = बलराम; मोसों = मुझसे; वसुदेव = श्रीकृष्ण के पिता; देवकी = श्रीकृष्ण को जन्म देने वाली माँ; मोल = खरीदना; जतन = यत्न पूर्वक; यसुमति = श्रीकृष्ण को पालने वाली माता यशोदा; ठाढ़े = खड़े; उर = हृदय; हरख = हर्ष; कन्हैया = श्रीकृष्ण का नाम।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
इस पद में श्रीकृष्ण जी के द्वारा बलराम जी की शिकायत का वर्णन किया गया है। खेलते समय कभी-कभी उन्हें बलदाऊ चिढ़ाते हैं तो वे खेलने जाने से मना कर देते हैं और माता यशोदा से कहते हैं।

व्याख्या :
अब खेलने को मेरी बला जायेगी अर्थात् मैं खेलने नहीं जाऊँगा। क्योंकि जब भी बलदाऊ जी उन्हें लड़कों के संग खेलते देखते हैं, तो वे उन्हें चिढ़ाते हैं। श्रीकृष्ण कहते हैं कि वे मुझसे कहते हैं कि तू तो वसुदेव का पुत्र है और देवकी तेरी माता है। तुझे तो कुछ ले-देकर, बड़ी कोशिश कर के वसुदेव जी से खरीदा गया है। इसलिए अब तुम नन्द जी को बाबा कहते हो और यशोदा को मैया कहकर पुकारते हो। इस प्रकार ऐसा कहकर मुझे सभी मित्र खिझाने लगते हैं तो वह सिखाने वाला उठकर चल देता है। कृष्ण की इस बात को पीछे खड़े हुए नन्द बाबा सुन रहे हैं। वे कृष्ण को हँसते हुए अपने हृदय से लगा लेते हैं। सूरदास जी कहते हैं कि तब नन्द बाबा ने बलराम को समझाया एवं डाँट लगाई जिसे सुनकर श्रीकृष्ण जी मन में अत्यन्त प्रसन्न हो रहे हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा का प्रयोग है। जतन, बटैया, मैया, सिखैया आदि शब्दों का प्रयोग है।
2. वात्सल्य रस है। बाल मन का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक और मनोहारी चित्रण किया गया है।

[5] मैया मैं तो चन्द खिलौना लैहौं।
जैहों लोटि धरनि पर अबहीं, तेरी गोद न ऐहौं।
सुरभी कौ पयपान न करहौं, बैनी सिर न गुहैहौं।
हवै हौं पूत नंद बाबा को, तेरो सुत न कहैहौं।
आणु आउ, बात सुनि मेरी बलदेवहिं न जनैहौं।
हँसि समुझावति, कहति जसोमति, नई दुलनियाँ दैहौं।
तेरी सौं मेरी सुनि मैया, अबहिं बियावन जैहौं।
सूरदास है कुटिल बराती गीत सुमंगल गैहौं।

शब्दार्थ :
मैया = माँ; चन्द = चन्द्रमा; लैहौं = लूगाँ; जैहौं = जाऊँगा; धरनि = भूमि, पृथ्वी; ऐहौं = आऊँगा; सुरभी = गाय; पयपान = दुग्ध पीना; बैनी सिर = सिर पर चोटी; गुहैहों = गुँथवाऊँगा; सुत = पुत्र, बेटा; जनैहों = जताना, बताना; दुलनियाँ = दुल्हन, वधू; बियावन = ब्याह करने; अबहिं = अभी; जैहौं = जाऊँगा; सौं = सौगन्ध; गैहौं = गायेंगे।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में बालक श्रीकृष्ण माँ यशोदा से हठकर रहे हैं कि उन्हें खेलने के लिए चन्द्र खिलौना चाहिए।

व्याख्या :
श्रीकृष्ण माँ यशोदा से कह रहे हैं कि माँ मैं तो चाँद का खिलौना लूँगा। यदि तुम चन्द्रमा को खेलने के लिए नहीं दोगी तो मैं अभी भूमि पर लोट जाऊँगा और तेरी गोद में नहीं आऊँगा। मैं गाय का दूध भी नहीं पीऊँगा तथा सिर पर चोटी भी नहीं गुंथवाऊँगा। अब मैं तेरा पुत्र न कहलाकर नन्द बाबा का पुत्र कहलाऊँगा। माँ यशोदा श्रीकृष्ण से कह रही हैं कि तुम मेरे पास आओ और मेरी बात सुनो लेकिन इस बात को बलदेव को नहीं बताना। यशोदा हँसकर श्रीकृष्ण को समझाती है और कहती है कि मैं तेरे लिए नई दुल्हन लाऊँगी। तब श्रीकृष्ण जी कहते हैं कि माँ मैं तेरी सौगन्ध खाकर कहता हूँ कि मैं अभी विवाह करने जाऊँगा। सूरदास जी कहते हैं कि वे श्रीकृष्ण की बारात के कुटिल बराती होकर मंगलाचार के गीत गायेंगे।

काव्य सौन्दर्य :

1. ब्रजभाषा का प्रयोग है।
2. श्रीकृष्ण के बाल हठ का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक वर्णन है।
3. वात्सल्य रस का प्रस्तुतीकरण है।

राम की बाल लीलाएँ भाव सारांश

राम भद्राचार्य गिरिधर ने राम की बाल-लीलाओं का वर्णन करते हुए बताया है कि राम माता कौशल्या की गोद में अत्यन्त सुन्दर लग रहे हैं। उनके माथे पर तिलक है, कानों में कुण्डल हैं तथा नेत्र कामदेव के समान हैं, किलकारी मारने पर उनके दाँत बहुत सुन्दर प्रतीत होते हैं।

धूल से सने हुए उनके शरीर का सौन्दर्य सैकड़ों कामदेव की शोभा लजाने वाला है। कपोलों के ऊपर काला डिठोना (टीका) सुशोभित है। बालक राम तोतली बोली बोलते हैं। ठुमक-ठुमक कर स्वर्ण जड़ित आँगन में विहार कर रहे हैं। माता राम की बाल्यकाल की क्रीड़ाओं को देखकर सुख का अनुभव कर रही हैं। प्रेम से पुलकायमान होकर उन्हें स्नान करा रही हैं। माता उनके दीर्घ जीवन हेतु भगवान से प्रार्थना करती हैं।

राम की बाल लीलाएँ संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] राघवजू जननी अंक लसे।
प्राची दिशि जनु शरद सुधाकर, पूरन है निकसे॥
भाल, तिलक सोहत श्रुति कुण्डल दृग मनसिज सरसे।
मनहुँ इन्दु मण्डल बिच अनुपम, मन्मध बारिज से॥
कल दंत वचन कबहुँ कहुँ किलकत बिलसत दशन हँसे।
दामिनी पटधर मनहुँ नीलधन, प्रेम अमिय बरसे।
खेलत शिशु लखि मुदित, कौसिला झाँकत आँचर से।
यह शिशु छवि लखि नित ‘गिरधर’ हृदय नयन तरसे॥ (2009)

शब्दार्थ :
जननी = माँ; अंक = गोद; प्राची = पूर्व; दिशि = दिशा; सुधाकर = चन्द्रमा; शरद = शीतकाल; पूरन = पूर्ण; निकसे = निकलता; भाल = माथा; तिलक = टीका; सोहत = सुशोभित; श्रुति = कान; कुण्डल = कान में पहनने का आभूषण; दृग = नेत्र; मनसिज = कामदेव; सरसे = प्रसन्न होना; अनुपम = सुन्दर; दंत = दाँत; कबहुँ = कभी; किलकत = किलकारी मारना; दामिनी = बिजली; अमिय = अमृत; शिशु = बालक; मुदित = प्रसन्न; कौसिला = राम की जन्मदात्री माँ (कौशल्या); झाँकत = झाँकते; आँचर = आँचल; छवि = शोभा; नित = प्रतिदिन; नयन = नेत्र; तरसे = तृषित।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्यांश ‘वात्सल्य’ पाठ के ‘राम की बाल लीलाएँ’ से उद्धृत है। इसके रचयिता राम भद्राचार्य गिरिधर हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में कवि ने माता कौशल्या की गोद में सुशोभित बालक राम के बाल्यकालीन अपूर्व सौन्दर्य का वर्णन किया है।

व्याख्या :
रामचन्द्र जी माता कौशल्या की गोद में सुशोभित हो रहे हैं। उनकी सुन्दरता को देखकर प्रतीत हो रहा है। मानो पूर्व दिशा से शरद पूर्णिमा का पूर्ण चन्द्रमा निकल आया हो। श्रीराम के माथे पर तिलक सुशोभित है, कानों में कुण्डल विराजमान हैं और उनकी आँखें कामदेव की सुन्दरता को प्राप्त कर रही है। उन्हें देखकर ऐसा प्रतीत होता है मानो चन्द्रमण्डल के बीच में अत्यन्त सुन्दर कामदेव रूपी कमल विकसित हुआ हो जिसकी कोई उपमा नहीं की जा सकती।

सुन्दर दाँतों से सुशोभित मुख से कभी बोलते हैं, कभी किलकारी भरते हैं और उनके किलकारी भरने से उनके मुख के सुन्दर दाँत दिखाई देते हैं, जिन्हें देखकर ऐसा लगता है मानो नीले बादलों के बीच में बिजली रूपी वस्त्र चमक गया हो जिससे प्रेम की अमृत रूपी धारा बह रही हो। शिशु राम को आँचल के भीतर से बाहर झाँकते और खेलते देखकर कौशल्या का हृदय अत्यन्त प्रसन्नता से भर गया है। गिरिधर कहते हैं कि इस कवि को निरन्तर देखने के लिए उनके नेत्र तरस रहे हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. बाल क्रीड़ाओं, सौन्दर्य और भावों का अत्यन्त मनोहारी और मनोवैज्ञानिक वर्णन किया गया है।
2. उत्प्रेक्षा अलंकार की छटा दर्शनीय है।

[2] राघव जननी अंक बिराजत।
नख सिख सुभग धूरि धूसर तनु चितइ काम सत लाजत।
ललित कपोल उपर अति सोहत द्वै दै असित डिठोना॥
जनु रसाल पल्लव पर बिलसत द्वै पिक तनय सलोना।
शरद शशांक मनोहर आनन दंतुरिन लखि मन मोहे।
मनहुँ नील नीरद बिच सुन्दर चारु तड़ित तनु जोहे॥
किलकत चितई चहूँ दिसि विहँसत तोतरि वचन सुबोलत।
ठुमुकि ठुमुकि रुनझुन धुनि सुनि कनक अजिर शिशु डोलत॥
निरखि चपल शिशु चुटकी दै दै हँसि हँसि मातु बुलावे।
यह शिशु रूप राम लाला को ‘गिरधर’ दृगनि लुभावे॥

शब्दार्थ :
राघव = श्रीराम; बिराजत = सुशोभित; सुभग = सुन्दर; धूरि धूसर = धूल से सने; तनु = शरीर; चितइ = चित्त, मन; ललित = सुन्दर; द्वै = दो; डिठोना = नजर का टीका; रसाल = आम; पिक = कोयल; तनय = पुत्र; सलोना = सुन्दर; शशांक = चन्द्रमा; मनोहर = सुन्दर; नील = नीलरंग; नीरद = बादल; बिच = मध्य; चारु = सुन्दर; तड़ित = बिजली; तोतरि = तोतली; वचन = बोली; कनक = सोने; निरखि = देखकर; चपल = चंचल; दृगनि = नेत्रों; लुभावे = प्रसन्न करें।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में माता की गोद में सुशोभित बालक राम के सौन्दर्य का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
शिशु श्रीराम माता की गोदी में शोभायमान हो रहे हैं। नख से शिख तक (सिर से पैर तक) सुन्दर उनका शरीर धूल से भरा हुआ है। इस सुन्दरता को देखकर सैकड़ों कामदेव लज्जित हो जाते हैं अर्थात् धूल से सने हुए राम का शरीर इतना सुन्दर लग रहा है कि सैकड़ों कामदेवों की सुन्दरता भी उनके सामने नगण्य है। उनके गुलाबी रक्ताभ कपोलों (गालों) पर दो-दो काले डिठौने (टीके) शोभित हो रहे हैं। उन्हें देखकर प्रतीत हो रहा है कि मानो आम के पत्ते पर कोयल के दो सुन्दर बच्चे सुशोभित हो रहे हों। उनका मुख शरद पूर्णिमा के चन्द्रमा के समान है, उस पर दाँतों की पंक्तियाँ मन को मोह लेती हैं। ऐसा प्रतीत हो रहा है मानो नीले बादलों के मध्य विद्युत् की सफेद रेखा शोभित हो रही है। रामचन्द्र जी किलकारी मारते हैं, चारों ओर देखते हैं, और हँसते हैं तथा तोतली वाणी में बोलते हैं। वे ठुमक ठुमक कर चलते हैं। उनकी करधनी के घुघरुओं से रुनझुन की ध्वनि सुनाई दे रही है और वे शिशु राम स्वर्णजड़ित आँगन में इधर-उधर डोल रहे हैं। अपने बालक के ये मनोहर, चंचल कार्यकलाप देखकर माता हँसती है और चुटकी बजा-बजा कर उन्हें बुलाती है। गिरिधर जी कहते हैं कि राम का यह सुन्दर शिशु रूप नेत्रों को अत्यन्त मनमोहक लगता है।

काव्य सौन्दर्य :

1. बाल क्रीड़ाओं का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक वर्णन है।
2. उत्प्रेक्षा अलंकार की छटा द्रष्टव्य है।

[3] राघव निरखि जननि सुख पावत।
सँघि माथ रघुनाथ गोद लै प्रेम पुलकि अन्हवावति॥
पोछि बसन पहिराइ विभूषन आशिष वचन सुनावति।
चिर जीवहु मेरे छगन मगन शिशु कहि विधि ईश मनावति॥
धूरि न भरहु शीष पर लालन यों कहि तनय बुझावति।
खेलहु अनुज सखन्ह मिलि अंगना प्रभुहि उपाय सुझावति॥
गोद राखि चुचुकारि दुलारति पुनि पालति हलरावति।
आँचर ढाँकि बदन विधु सुंदर थन पय पान करावति॥
कहति मल्हाइ खाहु कछु राघव मातु उछाइ बढ़ावति।
नजर उतारि झिगुनि जनि फेकहुँ हरिहि निहोरि बुलावति॥
देत रुचिर बहुरंग खिलौना रायहिं अजिर खिलावति।
यह झाँकी रघुवंश तिलक की ‘गिरिधर’ चितहिं चुरावति॥

शब्दार्थ :
जननि = माँ; माथ = माथा, मस्तक; पुलकि = प्रसन्न; बसन = वस्त्र; पहिराइ = पहनाकर; सरस = सुन्दर; आशिष = आशीर्वाद; ईश = भगवान; मनावति = मनाते हैं, प्रसन्न करते है; अनुज = छोटा भाई; उपाय = तरकीब; आँचर = आँचल; विधु = चन्द्रमा; बदन = शरीर; पय = दूध; उछाइ = उत्साह; बढ़ावति = बढ़ाते हैं; निहारि = निहारकर, देखकर; हरिहि = राम को; चितहिं = चित्त, मन; चुरावति = चुराते हैं; रघुवंश तिलक = श्रीराम।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में कवि रामचन्द्र की बाल लीलाओं का वर्णन करते हुए माता कौशल्या के स्नेह का वर्णन कर रहे हैं।

व्याख्या :
बालक राम को देखकर माता कौशल्या को अत्यन्त सुख प्राप्त हो रहा है। वे रघुनाथ जी (राम) का माथा चूमती हैं और उन्हें गोद में लेकर प्रेम से रोमांचित होकर स्नान कराती हैं। फिर उनका शरीर पोंछकर वस्त्र और आभूषण पहनाती हैं तथा उन्हें अनेक आशीर्वाद देती हैं। वे कहती हैं कि हे मेरे छगन मगन (छोटे से छौने) तुम चिरकाल तक जीवित रहो। इस प्रकार कहकर वे ब्रह्मा और शिव से उनकी चिरायु के लिए प्रार्थना करती हैं। वे पुत्र को यह कहकर समझाती हैं कि हे लाल ! तुम अपने सिर पर धूल मत भरो।

अपने छोटे भाइयों और मित्रों के साथ मिलकर आँगन में खेलो। वह इस प्रकार प्रभु राम को उपाय बताती हैं फिर गोद में लेकर पुचकारती हैं, दुलारती हैं फिर पालने में हिलाती हैं तथा पुनः आँचल से उनके सुन्दर चन्द्रमुख को ढककर स्तनपान कराती हैं। माता कहती हैं कि हे राघव ! तुम कुछ खा लो ऐसा कहकर उनका उत्साह बढ़ाती हैं। फिर उनकी नजर उतारती हैं उन्हें निहोरे करके (खुशामद करके) बुलाती हैं और बड़े सुन्दर रंग-बिरंगे खिलौने देती हैं तथा उन्हें आँगन में खिलाती हैं। गिरिधर कहते हैं कि रघुवंश के तिलक स्वरूप बालक राम की बाल क्रीड़ाओं की यह झाँकी हृदय को चुरा लेती है।

काव्य सौन्दर्य :

1. माता के नेह का सूक्ष्म और मनोवैज्ञानिक वर्णन किया गया है।
2. रघुवंश तिलक में रूपक अलंकार का प्रयोग है।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

MP Board Class 11th Hindi Swati Solutions पद्य Chapter 3 प्रेम और सौन्दर्य

प्रेम और सौन्दर्य अभ्यास

प्रेम और सौन्दर्य अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 2.
पदमाकर की गोपियों को सुबह-शाम और घर-बाहर अच्छा क्यों नहीं लगता है?
उत्तर:
पद्माकर की गोपियों को सुबह-शाम और घर-बाहर अच्छा नहीं लगता क्योंकि उनका मन श्रीकृष्ण से लग गया है। अत: उनके बिना गोपियों को संसार की कोई भी वस्तु अच्छी नहीं लगती है।

प्रश्न 3.
गोप-सुता पार्वती माँ से क्या वरदान माँगती है? (2016)
उत्तर:
गोप-सुता पार्वती माँ से यह वरदान माँगती है कि उसे सुन्दर, साँवला नन्दकुमार (अर्थात् कृष्ण) वर के रूप में चाहिए।

प्रश्न 4.
“वा मुख की मधुराई कहाँ-कहौ ?” में मतिराम ने किस मुख की ओर संकेत किया है?
उत्तर:
उक्त पद में मतिराम ने श्रीकृष्ण के सुन्दर मुख की ओर संकेत किया है।

प्रश्न 5.
श्रीकृष्ण के मुकुट में कौन-सी वस्तु लगी है?
उत्तर:
श्रीकृष्ण के मुकुट में मोर का पंख लगा हुआ है।

प्रेम और सौन्दर्य लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गोपियों पर श्रीकृष्ण की वंशी का क्या प्रभाव पड़ता है?
उत्तर:
गोपियाँ श्रीकृष्ण की वंशी के मधुर स्वर को सुनकर अपनी सुध-बुध को भूल गयीं उन्हें अपने बूंघट का भी ध्यान न रहा। वे न तो घाट की रहीं और न अपने घर की।

प्रश्न 2.
‘मान रहोई नहीं मनमोहन मानिनी होय सो मानै मनायो’ का आशय स्पष्ट कीजिए। (2014)
उत्तर:
आशय- यहाँ पर पूर्ण समर्पित रूठी हुई नायिका नायक श्रीकृष्ण के देर से आने पर उन्हें उपालम्भ देती हुई कहती है कि उन्हें कसमें खाने की कोई आवश्यकता नहीं है क्योंकि वह तो कभी कोई अपराध नहीं करते। उसे तो कोई मानगुमान नहीं है। जो कोई मानिनी हो उसे मनाया जाए, वह तो मानिनी नहीं है। उसका तो मान रह ही नहीं गया इसलिए उसे मनाने की क्या आवश्यकता है।

प्रश्न 3.
मतिराम के शब्दों में श्रीकृष्ण की छवि का मोहक वर्णन कीजिए।
उत्तर:
मतिराम ने श्रीकृष्ण के रंग को सोने से भी अधिक सुन्दर बताया है। उनके मुकुट में मोर का पंख है। गले में सुन्दर माला है। कानों में गोल कुण्डल पहने हैं। जब कुण्डल हिलते हैं तो कृष्ण के गालों की सुन्दरता बढ़ जाती है। उनके नेत्र लाल रंग के हैं। वे सदैव मुस्कराते हैं। अतः हमारे नेत्रों को प्रिय लगते हैं।

प्रेम और सौन्दर्य दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
गोपिका श्रीकृष्ण की छवि को नेत्रों से बाहर निकालने में क्यों असमर्थ है? (2009)
उत्तर:
गोपिका श्रीकृष्ण की छवि को नेत्रों से बाहर निकालने में इसलिए असमर्थ है, क्योंकि गोपिका के नेत्रों में गुलाल व नन्दलाल दोनों ही समाए हुए हैं। मैं तो जल द्वारा नेत्रों को धो-धोकर परेशान हो गयी हूँ। मैं कहाँ जाऊँ और किस प्रकार का प्रयास करूं, क्योंकि आँखें बार-बार धोने से मेरी पीड़ा बढ़ रही है। अतः इस कृष्ण को जो कि मेरे नेत्रों में समा गया है, उसे निकालना मेरी सामर्थ्य के परे हैं।

प्रश्न 2.
‘को बिन मोल बिकात नहीं कवि ने ऐसा क्यों कहा है? समझाइए। (2009)
उत्तर:
मतिराम कवि ने श्रीकृष्ण के अनुपम सौन्दर्य का वर्णन किया है। उन्होंने यह बताने का प्रयास किया है कि कृष्ण का रूप मन को प्रसन्न करने वाला है। श्रीकृष्ण का सुन्दर रूप नेत्रों में बस गया है। कुछ वस्तुएँ तो बिकाऊ होती हैं और व्यक्ति उन वस्तुओं का मूल्य चुकाकर उन्हें खरीद सकता है, लेकिन कृष्ण का यह अद्भुत सौन्दर्य बिना मूल्य का है। इसको कभी भी बेचा नहीं जा सकता है, लेकिन फिर भी यह मूल्यवान है। ईश्वर का कोई मूल्य नहीं है। वह तो अनमोल है। इस प्रकार कवि ने ईश्वर की महिमा का वर्णन किया है।

प्रश्न 3.
आशय स्पष्ट कीजिए
(क) कुन्दन को रंग फीको लागै झलकै अति अंगन चारु गुराई।
उत्तर:
आशय-नायिका गौर वर्ण की है। उसका सौन्दर्य अभूतपूर्व है। उसके सौन्दर्य के समक्ष सोना भी तुच्छ प्रतीत होता है। अंग से झलकने वाली सुषमा मन को मोहित करने वाली है।

(ख) एक पग भीतर औ एक देहरी पै धरै।
एक कर कंज, एक कर है किबार पर।।
उत्तर:
आशय-नायिका नायक के लिए प्रतीक्षारत है। वह अपनी सुध-बुध भूलकर नायक की प्रतीक्षा में व्याकुल है। उसका एक पैर घर के भीतर है, दूसरा दरवाजे पर है। उसके एक हाथ में कमल का पुष्प है और दूसरा हाथ किवाड़ पर रखे हुए वह विरह में विदग्धा नायिका खड़ी हुई है।

(ग) नेह सरसावन में मेह बरसावन में,
सावन में झूलियों सुहावनो लगत है।
उत्तर:
आशय-यहाँ नायिका सावन में झूला झूलने के आनन्द का वर्णन करती हुई कहती है कि हृदय में प्रेम रस हिलोरे ले रहा है, मेघ बरस रहे हैं। ऐसे में हे सखी ! झूला झूलना अत्यन्त सुखकर प्रतीत होता है।

प्रश्न 4.
निम्नलिखित काव्यांश की प्रसंग सहित व्याख्या कीजिए
(अ) कैसी करो कहाँ जाऊँ कासौं कहौं कौन सुने,
कोउ तौ निकासौ जाते दरद बढ़े नहीं।
एरी मेरी वीर ! जैसे तैसे इन आँखिन तें
कढ़िगो अबीर पै अहीर तो कढ़े नहीं।
(आ) कुन्दन को रंग फीको लागै, छलके अति अंगन चारु गुराई,
आँखिन में अलसनि चितौन में मंजु विलासन की सरसाई।
को बिन मोल बिकात नहीं, मतिराम लहै मुसकानि मिठाई,
ज्यौं-ज्यौं निहारिए नेरे कै नैनहिं, त्यों-त्यौं खरी निकरै सी निकाई।।
उत्तर:
(अ) सन्दर्भ :
प्रस्तुत छन्द हमारी पाठ्य-पुस्तक के ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘पद्माकर के छन्द’ शीर्षक से अवतरित हैं। इसके रचयिता पद्माकर हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में गोपियों एवं श्रीकृष्ण के फाग (होली) खेलने का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
फाग खेलते समय गुलाल उड़ रहा है। इसके फलस्वरूप श्रीकृष्ण एवं गुलाल चारों ओर धूम मचा रहे हैं। नेत्रों में जो आनन्द भर गया है। वह समा नहीं रहा है। गोपी कह रही है कि हे सखी ! तुम्हारी शपथ खाकर कहती हूँ कि आँखों को धो-धोकर हार गई और अब तो कोई उपाय शेष नहीं बचा है। अब मैं अपनी व्यथा को कैसे दूर करूँ, किस स्थान पर जाऊँ, किससे कहूँ, कोई सुनने वाला भी नहीं है। अब कोई तो मेरी आँखों से इसे निकाले जिससे दर्द नहीं बढ़े। हे मेरी सखी ! मैंने यत्न करके किसी प्रकार आँखों से गुलाल को तो निकाल लिया किन्तु जो आँखों में बसा हुआ अहीर अर्थात् श्रीकृष्ण है वह किसी भाँति नहीं निकल रहा।

(आ) सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्य ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘मतिराम के छन्द’ शीर्षक से उद्धत है। इसके रचयिता मतिराम हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में कवि ने नायिका के शारीरिक सौष्ठव का वर्णन किया है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि नायिका के अंग-अंग में झलकने वाले सौन्दर्य के आगे स्वर्ण (सोने) की छवि भी फीकी लगती है। उसके नेत्र अलसाए हुए हैं और उसकी चितवन में मधुर विलास का सौन्दर्य है। मतिराम कहते हैं कि उसकी मुस्कान इतनी मधुर है कि देखने वाला ऐसा कौन है जो बिना मोल नहीं बिक जाता है अर्थात् जो उसके सौन्दर्य को देखता है वही मोहित हो जाता है। जैसे-जैसे निकट जाकर उसके नेत्रों को निहारो वैसे-वैसे ही उसकी सुन्दरता और अधिक बढ़ती जाती है।

प्रेम और सौन्दर्य काव्य सौन्दर्य

प्रश्न 1.
निम्नलिखित शब्दों के तत्सम रूप लिखिए
मोल, नेरे, मूरति, सनेह, घरी, देहरी, किबार, सौंह, घूघट।
उत्तर:
तत्सम शब्द-मूल्य, निकट, मूर्ति, स्नेह, घड़ी, देहली, किबाड़, सौं, चूंघट।

प्रश्न 2.
निम्नलिखित पंक्तियों में प्रयुक्त अलंकार, उनके सामने दिए गए विकल्पों में से छाँटकर लिखिए
(अ) घट की न औघट की, घाट की न घर की। (यमक, श्लेष, अनुमास)
उत्तर:
अनुप्रास।

(आ) छाजत छबीले छिति छहरि हरा के छोर। (अनुप्रास, यमक, श्लेष)
उत्तर:
अनुप्रास।

(इ) ज्यों-ज्यों निहारिए नेरे डै नैनहिं। त्यों-त्यों खरी निकरै सी निकाई। (उपमा, पुनरुक्ति, रूपक)
उत्तर:
पुनरुक्ति।

(ई) एक घरी घन से तन सौं, अँखियान घनो घनसार सौ दैगो। (उपमा, रूपक, उत्प्रेक्षा)
उत्तर:
उपमा।

प्रश्न 3.
काव्य में भाव-सौन्दर्य और शब्द विन्यास का अन्योन्याश्रित सम्बन्ध रहता है, एक के बिना दूसरे की कल्पना करना कठिन हो जाता है। ऐसे स्थल मतिराम जैसे कवियों की रचनाओं में कलात्मक उपलब्धि की दृष्टि से बहुत श्रेष्ठ बन पड़े हैं। ऐसा ही भाव सौन्दर्य और शब्द सौन्दर्य का उदाहरण देखिए-
“मान रहोई नहीं मनमोहन मानिनी होय सो मनायो।”
इस प्रकार के अन्य उदाहरण इस संकलन से चुनकर लिखिए।
उत्तर:
(1) को बिन मोल बिकात नहीं मतिराम लहै मुसकानि मिठाई।
(2) काहे को सौंहे हजार करौ, तुम तो कबहूँ अपराध न ठायो।
सोवन दीजै, न दीजै हमें दु:ख, यों ही कहा रसवाद बढ़ायो।।
(3) लाल विलोचनि कौलनि सौं मुसकाइ इतै अरुझाइ चितैगो।
एक घरी घन से तन सौं अँखियान घनो घनसार सो दैगो।
(4) वा मुख की मधुराई कहा कहाँ ? मीठी लगै अँखियान लुनाई।

प्रश्न 4.
पद्माकर के संकलित छन्दों में से रूप घनाक्षरी छन्द को पहचानकर लिखिए।
उत्तर:
लक्षण-वर्ण संख्या 32 चरण के अन्त में गुरु और लघु (51) तथा यति 16, 16 पद।
भौरन को गुंजन विहार वन कुंजन में,
मंजुल मलहारन को गावनो लगत है।
कहैं ‘पद्माकर’ गुमान हूँ ते मानहूँ ते
प्राण हूँ नैं प्यारो मनभावनो लगत है।
भौरन कौ सोर घनघोर चहुँ ओर न।
हिंडोरन को वृन्द छवि छावनो लगत है।
नेह सरसावन में मेह बरसावन में,
सावन में झूलियों सुहावनो लगत है।।

पद्माकर के छन्द भाव सारांश

प्रस्तुत पदों में पद्माकर ने श्रीकृष्ण और राधा को प्रेमी-प्रेमिका के रूप में चित्रित करके उनकी शृंगारिक चेष्टाओं का हृदयस्पर्शी वर्णन किया है। यहाँ बताया गया है कि श्रीकृष्ण फाग खेलते हैं, राधा वह दृश्य देखती हैं। फाग का अबीर तो झड़ जाता है किन्तु कृष्ण की छवि आँखों से धोए नहीं धुलती। मोहन की बाँसुरी सुनकर राधा सुध-बुध खो बैठती है। सावन के झूलों में राधा-कृष्ण का प्रेम विकसित होता है। पद्माकर ने राधा-कृष्ण के प्रेम की दशा का अत्यन्त मनोवैज्ञानिक, सूक्ष्म और हृदयग्राही चित्र प्रस्तुत किया है।

पद्माकर के छन्द संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] एकै संग धाय नन्दलाल औ गुलाल दोऊ।
दृगनि गए जुभरि आनन्द मढ़े नहीं।
धो-धोइ हारी पद्माकर, तिहारी सौं।
अब तो उपाय एकौ चित पै चट्टै नहीं।
कैसी करो कहाँ जाऊँ, कासौ कहौं कौन सुने।
कोऊ तो निकासौ जासौ दरद बढ़े नहीं॥
ऐरी मेरी वीर ! जैसे तैसे इन आँखनि तें।
कढिगो अबीर पै अहीर तो कट्टै नहीं। (2010, 13)

शब्दार्थ :
संग = साथ; धाय = दौड़कर; गुलाल = अबीर; दोऊ = दोनों; दुगनि = नेत्रों में, आँखों में; तिहारी = तुम्हारी; कासौ = किससे; कोऊ = कोई; निकासौ = निकाले; जासौ = जिससे; दरद = पीड़ा; कढ़िगो = निकलेगा।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत छन्द हमारी पाठ्य-पुस्तक के ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘पद्माकर के छन्द’ शीर्षक से अवतरित हैं। इसके रचयिता पद्माकर हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद्य में गोपियों एवं श्रीकृष्ण के फाग (होली) खेलने का वर्णन किया गया है।

व्याख्या :
फाग खेलते समय गुलाल उड़ रहा है। इसके फलस्वरूप श्रीकृष्ण एवं गुलाल चारों ओर धूम मचा रहे हैं। नेत्रों में जो आनन्द भर गया है। वह समा नहीं रहा है। गोपी कह रही है कि हे सखी ! तुम्हारी शपथ खाकर कहती हूँ कि आँखों को धो-धोकर हार गई और अब तो कोई उपाय शेष नहीं बचा है। अब मैं अपनी व्यथा को कैसे दूर करूँ, किस स्थान पर जाऊँ, किससे कहूँ, कोई सुनने वाला भी नहीं है। अब कोई तो मेरी आँखों से इसे निकाले जिससे दर्द नहीं बढ़े। हे मेरी सखी ! मैंने यत्न करके किसी प्रकार आँखों से गुलाल को तो निकाल लिया किन्तु जो आँखों में बसा हुआ अहीर अर्थात् श्रीकृष्ण है वह किसी भाँति नहीं निकल रहा।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, ब्रजभाषा, माधुर्य गुण, सरस और ललित शब्दावली का प्रयोग।
2. कैसी करो-पंक्ति में अनुप्रास अलंकार है।

[2] आई संग आलिन के ननद पठाई नीठि।
सोहति सुहाई सीस ईडुरी सुघट की।
कहै पद्माकर गम्भीर, जमुना के तीर।
नीर लागी भरन नवेली नेह अरकी।
ताही समै मोहन सु बाँसुरी बजाई।
तामै मधुर मलार गाई ओर बंसीवट की।
तल लगि लटकी रहीं न सुधि पूंघट की।
घट की न औघट की घाट की न घर की।

शब्दार्थ :
आलिन = सखियों; सोहति = सुन्दर लगती है, सुशोभित होती है; सीस= सिर; ईडुरी= सिर पर रखने की; नीर = जल; नवेली = नई; नेह = स्नेह; ताही = उस; समै = समय, तामै = उसमें; मलार = गीत; सुधि = याद, स्मृति।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ पर कवि ने यमुना तट पर पानी भरने आई गोपिका की कृष्ण की बाँसुरी सुनने के बाद हुई मनोदशा का वर्णन किया है।

व्याख्या :
हे सखी ! मैं सखियों के साथ पनघट पर आई हूँ, मुझे मेरी ननद ने समझा-बुझाकर भेजा है। सिर पर घट रखने की ईडुरी शोभित हो रही है। पद्माकर कहते हैं कि गहरी यमुना के किनारे नई नवेली नवयुवती पानी भरने लगी उसका हृदय कृष्ण के प्रेम से भरा हुआ था। उसी समय श्रीकृष्ण ने मधुर स्वरों में बाँसुरी बजाई। उन्होंने वंशीवट की ओर मुँह करके मधुर मल्हार गाना शुरू किया। तब वह गोपी जैसी स्थिति में थी वैसी ही रह गई। उसने अपने घूघट को भी नहीं सम्भाला, न तो उसे घट भरने की सुध रही, न ही घाट की और न घर का ही ज्ञान रह गया। वह तो बंशी की धुन में मग्न हो गयी।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, माधुर्य गुण, ब्रजभाषा।
2. सोहति सुहाइ………..और घट की न और घर की…………पंक्तियों में अनुप्रास अलंकार है।
3. कोमलकान्त पदावली का प्रयोग है।

[3] भौरन को गुंजन विहार वन कुंजन में।
मंजुल मलहारन को गावनो लगत हैं।
कहै पद्माकर गुमान हूँ तो मानहुँ ते।
प्राण हूँ मैं प्यारो मन भावनों लगत है।
भोरन को सोर घनघोर चहुँ ओरन।
हिंडोरन को वृन्द छवि छावनो लगत है।
नेह सरसावन में मेह बरसावन में।
सावन में झूलियों सुहावनो लगत है।।

शब्दार्थ :
भौरन = भँवरे; गुंजन = आवाज; विहार = विचरण करना; वन कुंजन = उपवन में; मंजुल = सुन्दर; मलहारन = एक प्रकार के गीत; गावनो = गाते हैं; मन भावनों = मन को अच्छा लगने वाला; भोरन = प्रातः; सोर = शोर, कोलाहल; चहुँ = चारों; ओरन = ओर; हिंडोरन = झूले वृन्द= समूह; मेह= वर्षा; सावन = एक माह का नाम; सुहावनो लगतं = सुन्दर लगना, अच्छा लगना।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग:
यहाँ पर कवि ने सावन के माह में गोपियों के झूला झूलने का चित्रण किया है।

व्याख्या :
गोपियाँ कहती हैं कि भौरों का गूंजना, कुञ्जवनों में विहार करना, सुन्दर मधुर मल्हारों को गाना अच्छा लगता है। पद्माकर कहते हैं कि अपने स्वाभिमान अथवा मान-सम्मान की अपेक्षा मनभावन कृष्ण प्यारा लगता है जो प्राणों से भी प्यारा है। भ्रमरों का गुंजन और बादलों का घनघोर गर्जन है। ऐसे मनमोहक वातावरण में झूलों के समूह अत्यधिक सुन्दर प्रतीत हो रहे हैं। सावन के महीने में जबकि स्नेह की वर्षा हो रही हो और मेघों की वर्षा हो रही है, ऐसे समय में झूला-झूलना अत्यन्त सुखकर लगता है।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, माधुर्य गुण, ब्रजभाषा कोमलकान्त पदावली।
2. मंजुल मलहारन में अनुप्रास अलंकार है।
3. प्रिय की मनोदशा का मनोवैज्ञानिक चित्रण है।

[4] घर न सुहात न सुहात वन बाहिर है।
बागन सुहात जो खुसाल सुख बोही सों।
कहै पद्माकर घनेरे धन धाम त्यौं ही।
चैन न सुहात चाँदनी हूँ जोग जोही सों।
साँझ हूँ सुहात न सुहात दिन माँझ कछु।
ब्याही यह बात सो बखानत हो तोही सों।
साँझ हूँ सुहात न सुहात परभात आली।
जब मन लागि जात काई निरमोही सौं।।

शब्दार्थ :
सुहात = अच्छा; बागन = बगीचा; खुसाल = प्रसन्न; सुख बोही = प्रसन्नता से सराबोर; धन = सम्पत्ति; धाम = घर; जोग = योग; बखानत = वर्णन करना; तोही = तुझसे; परभात = प्रातः, आली = सखि; काई = कोई; निरमोही = निष्ठुर।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ पर कवि ने बताया है कि श्रीकृष्ण के प्रेम में गोपियाँ आकण्ठ निमग्न हैं। उनकी मनोदशा इस प्रकार है।

व्याख्या :
गोपियाँ कहती हैं कि श्रीकृष्ण के प्रेम के समक्ष उन्हें न घर, न बाहर, कहीं अच्छा नहीं लगता है। जो बाग पहले प्रसन्नता देते थे जिनमें बहुत सुख प्राप्त होता था वह अब नहीं मिलता। पद्माकर कहते हैं कि इसी प्रकार न तो धन सुहाता है और न आलीशान महल ही सुहाते हैं। चाँदनी में भी सुख का अनुभव नहीं होता है। न संध्या काल रुचिकर लगता है और न दिन अच्छा लगता है। हे सखी ! यह बात मैं तुझसे ही कहती हूँ कि न साँझ सुहाती है, न प्रभात सुहाता है जब मन किसी निष्ठुर से लग जाता है अर्थात् मेरा मन उस निष्ठुर श्रीकृष्ण से लग गया है। अब उसके बिना मुझे संसार की कोई वस्तु अच्छी नहीं लगती है।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस है। माधुर्य गुण तथा ब्रजभाषा के ललित शब्दों का प्रयोग है।
2. साँझ हूँ सुहात न पंक्ति में अनुप्रास अलंकार है।
3. विरह की मनोदशा का मनोवैज्ञानिक चित्रण है।

[5] “आरस सो आरत सम्हारत न सीस-पट,
गजब गुजारति गरीवन की धार पर।
कहें पद्माकर सुरासो सरसार तैसे,
बिथुरि बिराजै बार हीरन के हार पर।
छाजत छबीले छिति छहरि हरा के छोर,
भोर उठि आई केलि-मन्दिर के द्वार पर।
एक पग भीतर औ एक देहरी पै धरै,
एक कर कंज, एक कर है किबार पर।।”

शब्दार्थ :
आरस = आलस्य; आरत = आर्त्त; सीस = सिर; पट = वस्त्र; बिथुरि = बिखरा हुआ; गजब = अनोखा, अद्भुत; गुजारति = व्यतीत करती; हीरन = हीरा एक रत्न; हार = माला, छिति = भूमि; भोर = प्रात:काल; केलि = क्रीड़ा; पग = पाँव; देहरी = देहली; कर = हाथ; किबार = किबाड़।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्। प्रसंग-यहाँ कवि ने नायिका की विरह अवस्था का वर्णन किया है।

व्याख्या :
नायिका नायक के विरह में इतनी व्यग्र है कि उसे अपने तन की सुध-बुध नहीं रही है। दुःख के कारण निढाल हुई नायिका अपने शीश के वस्त्र को नहीं सम्भाल पा रही है। वह बेचारी अपने समय को अत्यन्त दुःखावस्था में व्यतीत करती है। पद्माकर कहते हैं कि नायिका जैसे मद्य के रस में डूबी हुई हो। उसे अपने शरीर का होश नहीं रहा है। उसके बाल बिखरे हुए हैं और हीरे के हार पर अस्त-व्यस्त से पड़े हुए हैं। उसके बाल पृथ्वी के छोर तक पहुंच रहे हैं। वह प्रातः होते ही अपने क्रीड़ा-मन्दिर के द्वार पर आकर खड़ी हो गई है। उसका एक पैर घर के भीतर है और एक देहली पर रखा हुआ है। उसके एक हाथ में कमल का फूल है और दूसरा हाथ उसने किबाड़ पर रखा हुआ है।

काव्य सौन्दर्य :

1. प्रस्तुत पद्य में प्रोषितपतिका नायिका की विदग्धावस्था का मार्मिक और मनोवैज्ञानिक चित्रण किया गया है।
2. ब्रजभाषा है, माधुर्य गुण और शृंगार रस के विरह पक्ष की व्यंजना हुई है।
3. आरस सो आरत, गजब गुजारति, गरीवन, सुरासो सरसार, बिथुरि बिराजै बार, छाजतछबीले, छिति-छहरि आदि में अनुप्रास अलंकार है।

मतिराम के छन्द भाव सारांश

प्रेम और शृंगार के वर्णन में मतिराम अद्वितीय हैं। उन्होंने अपने काव्य में राधा-कृष्ण के प्रेम, सौन्दर्य, शील, चेष्टाओं अनुरागमयी लीलाओं और परस्पर मान-मनुहार का हृदयग्राही चित्र प्रस्तुत किया है। नायक-नायिका के मिलन-वियोग का छवि ने सूक्ष्म और एकान्तिक चित्रण किया है।

मतिराम के छन्द संदर्भ-प्रसंग सहित व्याख्या

[1] कुन्दन को रंग फीको लागै, झलकै अति अंगन चारु गुराई।
आँखिन में अलसानि चितौन में मंजु बिलासन की सरसाई।।
को बिन मोल बिकात नहीं मतिराम लहै मुसकानि मिठाई।
ज्यों ज्यों निहारिए नेरे है नैनहि, त्यों त्यों खरी निकरै सी निकाई।। (2009, 17)

शब्दार्थ :
कुन्दन = सोना; फीकौ = रंगहीन, प्रभावहीन, कान्तिहीन; झलकै = कुछ आभास होना, दिखलाना; चारु = सुन्दर; गुराई = गोरापन; आँखिन = नेत्रों में; अलसानि = आलस्य होना; चितौन = चितवन, मंजु = सुन्दर; बिलासन = शोभा देना, योग देना; सरसाई = सुन्दरता, शोभा; बिन = बिना; मोल = मूल्य; बिकात = बिक जाना होना; निहारिए = देखिए; नेरे = समीप; नैनहिं = नेत्रों को, निकाई = सुन्दरता, अच्छाई।

सन्दर्भ :
प्रस्तुत पद्य ‘प्रेम और सौन्दर्य’ पाठ के ‘मतिराम के छन्द’ शीर्षक से उद्धत है। इसके रचयिता मतिराम हैं।

प्रसंग :
प्रस्तुत पद में कवि ने नायिका के शारीरिक सौष्ठव का वर्णन किया है।

व्याख्या :
कवि कहता है कि नायिका के अंग-अंग में झलकने वाले सौन्दर्य के आगे स्वर्ण (सोने) की छवि भी फीकी लगती है। उसके नेत्र अलसाए हुए हैं और उसकी चितवन में मधुर विलास का सौन्दर्य है। मतिराम कहते हैं कि उसकी मुस्कान इतनी मधुर है कि देखने वाला ऐसा कौन है जो बिना मोल नहीं बिक जाता है अर्थात् जो उसके सौन्दर्य को देखता है वही मोहित हो जाता है। जैसे-जैसे निकट जाकर उसके नेत्रों को निहारो वैसे-वैसे ही उसकी सुन्दरता और अधिक बढ़ती जाती है।

काव्य सौन्दर्य :

1. शृंगार रस, माधुर्य गुण, ब्रजभाषा है।
2. कुन्दन को रंग फीकौ लगै………में व्यतिरेक अलंकार है।
3. आँखिन अलसान ज्यों-ज्यों, त्यों-त्यों में अनुप्रास अलंकार है।
4. बिन मोल बिकात’ में लोकोक्ति का प्रयोग है।

[2] कोऊ नहीं बरजै मतिराम रहो तितही जितही मन भायो।
काहे कौ सौहे हजार करो, तुम तो कबहूँ अपराध न ठायो।।
सोवन दीजै, न दीजै हमें दुःख, यों ही कहा रसवाद बढ़ायो।
मान रहोई नहीं मनमोहन मानिनी होय सो मानै मनायो।। (2009)

शब्दार्थ :
बरजै = मना करना, रोकना; मन भायो = मन को अच्छा लगना; कबहूँ = कभी; अपराध = अनुचित कार्य; सोवन = सोने का भाव; दीजै = देना; दुःख = अवसाद; मान = मर्यादा; मनमोहन = मन को अच्छा लगना; मानिनी = हठी।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ कवि ने मानिनी नायिका का वर्णन किया है जो श्रीकृष्ण को उपालम्भ दे रही है।

व्याख्या :
मतिराम कहते हैं कि नायिका नायक से कह रही है कि तुम्हें कोई भी नहीं रोक रहा है। तुम्हारी जहाँ इच्छा हो तुम वहीं निवास करो। तुम व्यर्थ में हजारों शपथ क्यों खा रहे हो ? तुमने तो कभी कोई अपराध ही नहीं किया है। आप हमें सोने दीजिए हमें कोई दु:ख मत पहुँचाइए। तुम व्यर्थ में ही प्रेम में विवाद क्यों बढ़ा रहे हो। हे मनमोहन ! जब हमने तुम्हारे प्रेम में समर्पण कर दिया है तो मान तो पहले ही नहीं रहा। ये तो कोई मानिनी हो उसे मनाया जाए। मैं कोई मानिनी नहीं हूँ।

काव्य सौन्दर्य :

1. नायिका की नायक के प्रति खीझ का मनोवैज्ञानिक चित्रण है।
2. मनमोहन मानिनी में अनुप्रास अलंकार है।
3. वक्रोक्ति अलंकार का सुन्दर प्रयोग है।
4. माधुर्य गुण, ब्रजभाषा में कोमलकान्त पदावली का प्रयोग किया है।

[3] मोर-पखा ‘मतिराम’ किरीट मनोहर मूरति सौ मन लैगो।
कुण्डल डोलनि, गोल कपोलनि बोल सनेह के बीज से बैगो।।
लाल बिलोचनि कौलनि सो मुसकाइ इतै अरुझाइ चितैगो।
एक घरी घन से तन सौं अँखियान घनो घनसार सो दैगो।।

शब्दार्थ :
किरीट = मुकुट; मनोहर = सुन्दर; कुण्डल = कान का आभूषण; डोलनि = हिलना; कपोलनि = गालों पर; सनेह = प्रेम; मुसकाइ = मुस्कराना; इतै = यहाँ, अरुझाइ = उलझाना; घरी = घड़ी; घन = मेघ; घनो = गहरा; तन = शरीर; अँखियान = आँखों से।

सन्दर्भ :
पूर्ववत्।

प्रसंग :
यहाँ नायिका का श्रीकृष्ण के प्रति अनन्य प्रेम का चित्रण है।

व्याख्या :
नायिका कहती है कि वह श्रीकृष्ण जिन के सिर पर मोरपंखी से युक्त मुकुट सुशोभित है, वह मनोहर मूर्ति वाले श्रीकृष्ण मेरा मन ले गये हैं। उनके कानों में कुण्डल हिल रहे हैं, गाल गोलाकार हैं। वे बोलकर मानो स्नेह के बीज बो गये हैं। लाल नेत्रों के विलास से मुस्कराकर वह मेरा चित्त अपने में उलझा गये हैं। एक घड़ी के मिलन से मेघ के सदृश आनन्द देकर वह मेरे नेत्रों को घनघोर वर्षा से पूर्ण कर गये हैं अर्थात् उसके विरह में मेरी आँखें निरन्तर बरसती रहती हैं।

काव्य सौन्दर्य :

1. वियोग शृंगार का वर्णन है। नायिका की विरह व्यथा का भावपूर्ण चित्रण है।
2. ब्रजभाषा सरल, सरस एवं मधुर पदावली से युक्त है।
3. घनो घनसार …….. अनुप्रास अलंकार है।

[4] मोर-पखा ‘मतिराम’ किरीट में कण्ठ बनी वनमाल सुहाई।
मोहन की मुसकानि मनोहर कुण्डल डोलनि मैं छवि छाई।।
लोचन लोल बिसाल बिलोकनि को न बिलोकि भयो बस माई।
वा मुख की मधुराई कहाँ कहौं? मीठी लगै अँखियान लुनाई।। (2008)

शब्दार्थ :
कण्ठ = गले; सुहाई = अच्छी लगी; मोहन = श्रीकृष्ण; मनोहर = सुन्दर; छवि = रूप; छाई = फैली; लोचन = नेत्र; बिसाल = बड़े; बिलोकनि = देखना; मुख = मुँह; वा = उस; मीठी = मधुर।

MP Board Class 11th Hindi Solutions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 13 Probability

Probability Important Questions

Probability Objective Type Questions

Question 1.
Choose the correct answer:

Question 1.
A bag contains 5 brown and 4 white socks. A man drawn two socks from the bag. The probability that both are of the same colour is:
(a) \(\frac { 5 }{ 108 } \)
(b) \(\frac { 18 }{ 108 } \)
(c) \(\frac { 30 }{ 108 } \)
(d) \(\frac { 48 }{ 108 } \)
Answer:
(d) \(\frac { 48 }{ 108 } \)

Question 2.
A die is roiled three times. The probability of getting a larger number then the previous number each time is:
(a) \(\frac { 5 }{ 72 } \)
(b) \(\frac { 5 }{ 54 } \)
(c) \(\frac { 13 }{ 216 } \)
(d) \(\frac { 1 }{ 18 } \)
Answer:
(d) \(\frac { 1 }{ 18 } \)

Question 3.
It is given that the events A and B are such that P(A) = \(\frac{1}{4}\), P( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac{1}{2}\) and P ( \(\frac{B}{A}\) ) = \(\frac{2}{3}\), then P(B) is:
(a) \(\frac{1}{3}\)
(b) \(\frac{2}{3}\)
(c) \(\frac{1}{2}\)
(d) \(\frac{1}{6}\)
Answer:
(a) \(\frac{1}{3}\)

Question 4.
A coin is tossed 4 times. Probability of getting at least one head is:
(a) \(\frac{1}{16}\)
(b) \(\frac{2}{16}\)
(c) \(\frac{14}{16}\)
(d) \(\frac{15}{16}\)
Answer:
(d) \(\frac{15}{16}\)

Question 5.
The probability of A speaking a truth is \(\frac{4}{5}\) and that of B speaking a truth is \(\frac{3}{4}\) The probability that they will contradict each other in answering a fact is:
(a) \(\frac{3}{10}\)
(b) \(\frac{1}{4}\)
(c) \(\frac{7}{20}\)
(d) \(\frac{2}{5}\)
Answer:
(c) \(\frac{7}{20}\)

Question 2.
Fill in the blanks:

1. P( \(\frac { A∪B }{ C } \) ) = P ( \(\frac{A}{C}\) ) + ……………………….
2. P(A∩B) = ………………….. or ………………………….
3. If A and B are two independent events then, P (A ∩ B) = ………………………………..
4. If A and B are two independent events then, P ( \(\frac{A}{B}\) ) = ……………………………….
5. If the probability of random variable X is P (X), then mean E (X) will be ……………………………..
6. If probability of random variable X is P(X), then variance Var (X) will be ……………………………

Answer:

1. P( \(\frac{B}{C}\) ) – P ( \(\frac { A∩B }{ C } \) )
2. P(B).P ( \(\frac{A}{B}\) ) or P(A) . P ( \(\frac{B}{A}\) )
3. P(A).P(B)
4. P(A), P(B) ≠ 0
5. ΣX.P(X)
6. ΣX².P(X) – [ΣX.P(X)]².

Question 3.
Write True/False:

1. If A and B are any two events, then P (A – B) = P(A) – P (A∩B).
2. If A and B are any two events, then P (A ∪ B) – P (A∩B) = P(A) + P(B).
3. P( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac { P(A∩B) }{ P(A) } \).
4. If A and B are any two events of a sample space S and F is another event such that P(F) ≠ 0, then P ( \(\frac { P(A∪B) }{ P(F) } \) ) = P ( \(\frac{A}{F}\) ) + P ( \(\frac{B}{F}\) ) – P ( \(\frac { P(A∪B) }{ P(F) } \) )
5. For any two events A and B. P (A∪B) = P (A∩B ) + P ( \(\bar { A } \) ∩ B) + P (A ∩\(\bar { B } \) )

Answer:

1. True
2. False
3. False
4. True
5. True.

Question 4.
Write the answer in one word/sentence :

1. Find the probability that a leap year has 53 Friday.
2. A coin is tossed 4 times. Find the probability of getting at least one head.
3. It is given that the events A and B are such that P (A) = \(\frac{1}{4}\), P ( \(\frac{A}{B}\) ) = \(\frac{1}{2}\) and P ( \(\frac{B}{A}\) ) = \(\frac{2}{3}\), then find the value of P(B).
4. There are 5 letters and 5 addressed envelops. If the letters are placed at random what is the probability that exactly 3 letters are placed in right envelops?
5. A problem in mathematics is given to 3 students whose chance of solving it are \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\). What is the probability that the problem is solved?

Answer:

1. \(\frac{2}{7}\)
2. \(\frac{15}{16}\)
3. \(\frac{1}{3}\)
4. \(\frac{1}{12}\)
5. \(\frac{3}{4}\)

Probability Short Answer Type Questions

Question 1.
(A) Two dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a sum?
Solution:
When two dice are thrown simultaneously.
n(S) = 6² = 36.
Sample space of getting a sum 8 is
A = {(2, 6); (6, 2); (5, 3); (3, 5); (4, 4)}
∴ n(A) = 5
∴ Required probability
P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{5}{36}\).

(B) Two cubical dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a sum of 9?
Solution:
Solve as Q.No. 1 (A)

(C) Two cubical dice are thrown simultaneously. Find the probability of getting a sum of 7?
Solve as Q.No. 1 (A)

Question 2.
The odds against happening of an event is 3 : 4? Find the probability of its failing?
Solution:
The odds against the happening of an event = 3 : 4
∵ Probability of its failing P ( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { b }{ a+b } \)
⇒ P ( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { 4 }{ 3+4 } \) = \(\frac { 4 }{ 7 } \).

Question 3.
A card is drawn from a pack of 52 cards. Find the probability that its face?
Solution:
Here, n(S) = 52
∵Cards having face = 4 knave + 4 queens + 4 kings
∴ n(A) = 4 + 4 + 4 = 12
Required probability P(A) = \(\frac { 12 }{ 52 } \) = \(\frac { 3 }{ 13 } \)

Question 4.
What is the probability that a leap year selected at random will contain 53 Sundays?
Solution:
A leap year consists of 366 days. It has 52 complete weeks and 2 days extra. The equally likely cases for the occurrence of these extra days are:

1. Monday and Tuesday,
2. Tuesday and Wednesday,
3. Wednesday and Thursday,
4. Thursday and Friday,
5. Friday and Saturday,
6. Saturday and Sunday,
7. Sunday and Monday.

Out of these 7 exclusive cases, the last two cases are favourable.
∴ n(S) = 7 and n(E) = 2
∴ The required probability = \(\frac { n(E) }{ n(S) } \) = \(\frac{2}{7}\).

Question 5.
The probability of the horse A of winning a race is \(\frac{1}{4}\) and the probability of the horse B winning the same race is \(\frac{1}{8}\)? What is the probability that one of the horse will win the race?
Solution:
Given, P(A) = Probability of winning the horse A = \(\frac{1}{4}\)
and P(B) = Probability of winning the horse B = \(\frac{1}{8}\)
Since, the events of winning the race by A and B are mutually exclusive, therefore
P(A∪B)= P(A) + P(B)
\(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{2+1}{8}\) = \(\frac{3}{8}\).

Question 6.
(A) A card is drawn from an ordinary pack of cards, find the probability of getting a king or a spade?
Solution:
Let the event A denotes the event of drawing a king and B of drawing a spade. Then we
n(S) = 52, n(A) = 4, n(B) = 13, n(A∩B) = 1
[Since there are 4 kings in pack of cards the cards of spade are 13 includes its king]
∴ P(A) = \(\frac { n(A) }{ n(S) } \) = \(\frac{4}{52}\), P(B) = \(\frac { n(B) }{ n(S) } \) = \(\frac{13}{52}\)
P(A∩B) = \(\frac{1}{52}\)
∴ P(A∪B)= P(A) + P(B) = P(A∩B )
= \(\frac{4}{52}\) + \(\frac{13}{52}\) – \(\frac{1}{52}\) = \(\frac{16}{52}\) = \(\frac{4}{13}\).

(B) A card is drawn from a pack of cards, find the probability that neither it is an ace nor a King?
Solution:
Total No. of King = 4, No. of ace = 4
And drawing one card from 8 cards = ⁸_C1
And drawing one card from 52 cards = ⁵²_C1
∴ P(A) = \(\frac { ^{ 8 }{ C_{ 1 } } }{ ^{ 52 }{ C_{ 1 } } } \)
∴ Probability of neither ace nor king = P( \(\bar { A } \) ) = 1 – P(A)
= 1 – \(\frac{2}{13}\) = \(\frac{11}{13}\)

Question 7.
(A) A dice is thrown once. Find the probability of getting even No. “or ” No. less than 5?
Solution:
When a dice is thrown once the sample space is
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6
E₁ = {2,4,6}, [∴ n(E₁) = 3]
E₁ = {1, 2, 3, 4}, [∴ n(E₂) = 4]
E₁∩E₂= {2, 4}, [∴ n(E₁ ∩E₂)
= \(\frac { n(E_{ 1 }) }{ n(S) } \) + \(\frac { n(E_{ 2 }) }{ n(S) } \) – \(\frac { n(E_{ 1 }\cap E_{ 2 }) }{ n(S) } \)
= \(\frac{3}{6}\) + \(\frac{4}{6}\) – \(\frac{2}{6}\) = \(\frac{7-2}{6}\) = \(\frac{5}{6}\).

(B) A pair of dice is thrown. Find the probability that the sum is not 9 or 11?
Solution:
Total number of ways in which 2 dice can be thrown = 6 × 6 = 36
n(S) = 36
Event of getting sum 9 = {(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)}
Total No. = 4.
∴ Probability of getting sum 9 = \(\frac{4}{36}\) = \(\frac{1}{9}\)
Now event of getting sum 11 = {(5, 6), (6, 5)}
∴ Probability of getting sum 11 = \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{1}{18}\)
Now probability of getting sum 9 or 11
P(A) = \(\frac{1}{9}\) + \(\frac{1}{18}\) = \(\frac{2+1}{18}\) = \(\frac{3}{18}\) = \(\frac{1}{6}\)
∴ probability of not getting sum 9 or 11
P( \(\bar { A } \) ) = 1 – P(A)
= 1 – \(\frac{1}{6}\) = \(\frac{6 – 1}{6}\) = \(\frac{5}{6}\).

Question 8.
If 3 coins are tossed simultaneously, then find the probability of getting at least one head?
Solution:
Here, n(S) = 2³ = 8
If \(\bar { A } \) A denotes not getting a head then A = {{T, T, T)}
∴ n( \(\bar { A } \) ) = 1
Probability of not getting a head P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { n(\bar { A) } }{ n(S) } \) = \(\frac{1}{8}\)
∴ Probability of getting at least one head P(A) = 1 – P( \(\bar { A } \) )
= 1 – \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{7}{8}\)

Question 9.
A coin is tossed twice. Find the probability of getting head, both the times?
Solution:
Let the event of getting head in first throw be E₂ and the second throw be E₂.
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
Both the events are independent
∴ P(E₁ ∩ E₂) = P(E₁) × P(E₂)
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\)
∴ Probability of getting head both the times = P(E₁ ∩ E₂)
= \(\frac{1}{4}\)

Question 10.
In a given race, the odds in favour of three horses A, B and C are 1 : 2, 1 : 3 and 1 : 4. Find the chance that one of them will win the race?
Solution:
The probability of winning the horse, A = \(\frac { 1 }{ 1+2 } \) = \(\frac { 1 }{ 3 } \)
P(B) = The probability of winning the horse, B = \(\frac { 1 }{ 1+3 } \) = \(\frac { 1 }{ 4 } \)
P(C) = The probability of winning the horse, C = \(\frac { 1 }{ 1+4 } \) = \(\frac { 1 }{ 5 } \)
These events are mutually exclusive, therefore the probabilities of winning any one horses
= P(A) + P(B) + P(C)
= \(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{5}\)
= \(\frac{20+15+12}{60}\) = \(\frac{47}{60}\)

Question 11.
A problem in mathematics is given to three students A, B and C whose chances of solving it are \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\) respectively. Find the probability that the problem will not be solved?
Solution:
The chances of A, B, C solving the problem are respectively
\(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\)
∴ The chances of A, B, C not solving the problem are respectively
1 – \(\frac{1}{2}\), 1 – \(\frac{1}{3}\), 1 – \(\frac{1}{4}\), i.e; \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\)
∴ The probability that none of the students A, B, C is able to solve the probelm
= \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\).

Probability Long Answer Type Questions – I

Question 1.
In Raipur 20% persons read English newspaper 40% persons read Hindi newspaper and 5% person read both. What percentage of persons are not read any newspaper?
Solution:
P(A) = The probability of reading English newspaper
= \(\frac{20}{100}\) = \(\frac{1}{5}\)
P(B) = The probability of reading Hindi newspaper
= \(\frac{40}{100}\) = \(\frac{2}{5}\)
P(A∩B) = The probability of reading both English and Hindi newpaper
= \(\frac{5}{100}\) = \(\frac{1}{20}\)
No. of persons not reading any newspaper

Question 2.
A speaks truth in 75% of the cases and B in 80% of the cases. In what percentage of cases are they likely to contradict each other in stating the same fact?
Or
Mohan speaks truth in 75% of cases. Sohan speaks truth in 80% of the cases. In what percentage of cases did the Mohan speaks truth and Sohan speaks lie (or when they contradict each other)?
Solution:
P(A) = Probability that A speaks the truth = \(\frac{75}{100}\) = \(\frac{3}{4}\)
and P(B) = Probability that B speaks the truth = \(\frac{80}{100}\) = \(\frac{4}{5}\)
∴ P( \(\bar { A } \) ) = Probability that A does not speak the truth = 1 – \(\frac{3}{4}\) = \(\frac{1}{4}\)
and P( \(\bar { A } \) ) = Probability that B does not speak the truth = 1 – \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{1}{5}\)
It is clear that A and B will contradict each other if one of them speaks the truth and the other does not.
∴ P(A and B contradict) = P(A) P( \(\bar { B } \) ) + P( \(\bar { A } \) ) P(B)
= \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{5}\) + \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{4}{5}\) = \(\frac{7}{20}\) = \(\frac{35}{100}\)
Hence, in 35% cases, A and B will contradict each other.

Question 3.
Prove that P(A) + P( \(\bar { A } \) ) = 1?
Solution:
In total a + b trails, if an events can happen in a ways and fails in b ways, when all of these ways being equally likely to occur, then the probability of happening of event A,
P(A) = \(\frac { a }{ a+b } \)
and probability of failing of event A,
P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { b }{ a+b } \)
Adding eqns. (1) and (2), we get
P(A) + P( \(\bar { A } \) ) = \(\frac { a }{ a+b } \) + \(\frac { b }{ a+b } \)
= \(\frac { a+b }{ a+b } \) = 1.
∴ P(A) + P( \(\bar { A } \) ) = 1. Proved.

Question 4.
If P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) and P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\), then find the value of following:

(i) P( \(\frac{A}{B}\) ),

(ii) P( \(\frac{B}{A}\) )

(iii) P(A∪B)

Solution:
Given: P(A) = \(\frac{1}{2}\), P(B) = \(\frac{1}{9}\) and P(A∩B) = \(\frac{1}{18}\)

Question 5.
A group of 10 children contains 6 boys and 4 girls. Three children are chosen at random from this group. Find the probability that this group chosen:

1. Does not contain any girl.
2. Contains at least one girl.

Solution:
Total number of children = 6B + 4G = 10
3 children out of total 10 may be chosen in ¹⁰_{C3 ways}

1. 3 boys out of 6 boys may be chosen in ⁶_C3 ways
∴ Required probability = \(\frac { ^{ 6 }C_{ 3 } }{ ^{ 10 }C_{ 3 } } \) = \(\frac{1}{6}\)

2. At least 1 girl may be taken as follows
2 boys + 1 girl, number of ways = ⁶_C2 × ⁴_C1
or 3 girls, number of ways = ⁴_{C3
Hence, the required probability}

Question 6.
4 cards are fallen down by one during the shuffling of the cards. Find the probability that one card is heart, the other is diamond, the third is spade and the fourth is a club?
Solution:
Number of cards = 52
The first can fall in 52 ways.
The favourable ways for the first card to be heart = 13
Probability = \(\frac{13}{52}\) = \(\frac{1}{4}\)
The number of remaining cards = 52 – 1 = 51
Another card can be fall in 51 ways.
The favourable ways for this card to be a spade = 13
Probability = \(\frac{13}{50}\)
Number of remaining cards = 50 – 1 = 49
∴ Probability = \(\frac{13}{49}\)
Therefore, by compound probability principle, required probability
= \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{13}{51}\) × \(\frac{13}{50}\) × \(\frac{13}{49}\)

Question 7.
A problem of Maths is given to three students whose chances of solving it are \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{3}\) and \(\frac{1}{4}\). What is the probability that the problem is solved by all?
Solution:
Let the probabilities of solving the question by the three students be P₁, P₂, P₃ respectively.
Then given that P₁ = \(\frac{1}{2}\), P₂ = \(\frac{1}{3}\), P₃ = \(\frac{1}{4}\)
∴ The probabilities of not solving the problem by them are
q₁ = 1 – p₁ = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
q₂ = 1 – p₂ = 1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
and q₃ = 1 – p₃ = 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
∴ Probability that all of the three students do not solve the problem
= q₁q₂q₃
= 1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\).

Question 8.
A bag contains 6 red, 4 white and 5 blue balls. If balls are drawn one by one from bag and they are not replaced, then what is the probability of 1st red, 2nd white and 3rd blue?
Solution:
A bag contains 6 red (R), 4 white (W), 5 blue (B) balls.
Total No. of balls = 6 + 4 + 5 = 15
∴ Probability of 1st ball is red,
P(R) = \(\frac{6}{15}\)
Now total balls in the bag 15 – 1 = 14
∴ Probability of 2nd ball is white,
P(W) = \(\frac{4}{14}\)
Now the total No. of balls in bag 14 – 1 = 13
∴ Probability of 3rd ball is blue,
P(B) = \(\frac{5}{13}\)
Hence, required probability
= \(\frac{6}{15}\) × \(\frac{4}{14}\) × \(\frac{5}{13}\)
= \(\frac{2}{5}\) × \(\frac{2}{7}\) × \(\frac{5}{13}\) = \(\frac{4×1}{91}\) = \(\frac{4}{91}\)

Question 9.
A bag contains 6 red, 4 white and 6 blue balls. If balls are drawn one by one from bag without replacement, then what is the probability of drawing 1st ball red, 2nd ball white and 3rd ball blue?
Solution:
Solve as Q. No. 8.

Question 10.
Two cubical dice are thrown simultaneously. Find the probability that the first dice shows an even number or both the dice show the sum 9?
Solution:
Here (S) = 6 × 6 = 36
The events of getting an even number on the first dice is
E₁ = {(2, 1), (2,-2), (2, 3), (2,4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4,4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6,4), (6, 5), (6, 6)}
∴ n(E₁) = 18
The event of getting a total of 9 on the two dice is
E₂ = {(3,6), (4, 5), (5,4), (6, 3)}
∴ n(E₂) = 4 .
Also, E₁∩E₂
⇒ n(E₁∩E₂) = 2
∴ P(E₁) = \(\frac{18}{36}\), P(E₂) = \(\frac{4}{36}\) and P(E₁∩E₂) = \(\frac{2}{36}\)
∴ The required probability = P(E₁∪E₂)
= P(E₁) + P(E₂) – P(E₁∩E₂)
= \(\frac{18}{36}\) + \(\frac{4}{36}\) – \(\frac{2}{36}\) = \(\frac{20}{36}\) = \(\frac{5}{9}\)

Question 11.
Out of two bags one contains 3 black and 4 red balls and the second bag contains 8 black and 10 red balls. If one bag is chosen and a ball is drawn from it, then find the probability that is a red ball?
Solution:
I bag
3B + 4R = 7 balls total

II bag
8B + 10R = 18 balls total
(i) Selecting the I bag:
Probability that one bag is chosen (out of two bags) = \(\frac{1}{2}\)
1 red ball is drawn from I bag probability = \(\frac{4}{7}\)
Hence, the probability that the I bag is chosen as well as 1 red ball is drawn from it
(Compound event) P₁ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{4}{7}\) = \(\frac{2}{7}\) ………………… (1)

(ii) If selecting II bag:
Probability that Il bag is chosen = \(\frac{1}{2}\)
I red ball is drawn from II bag probability = \(\frac{10}{18}\) = \(\frac{5}{9}\)
Hence, the probability that the II bag is chosen as well as 1 red ball is drawn from it
(Compound event) P₂ = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{5}{9}\) = \(\frac{5}{18}\) ……………………… (2)
The above two event are mutually exclusive.
Hence, only one event out of these two will happen.
Hence, the required probability P = P₁ + P₂
= \(\frac{2}{7}\) + \(\frac{5}{18}\)
= \(\frac{36+35}{126}\) = \(\frac{71}{126}\).

Question 12.
There are two bags, one contains 5 red and 7 white balls and second bag contains 3 red and 12 white balls. One ball is drawn from any of these bags at random? Find the probability that the ball is red?
Solution:
Solve same as Q. No. 11.

Question 13.
A bag contains 50 bolts and 150 nuts. Half of the bolts and nuts are rusted. If one item is taken out at random find out the probability that ¡ts rusted o is a bolt?
Solution:

Question 14.
A can hit a target 4 times in 5 shots; B, 3 times in 4 shots and C, 2 times 3 shoots at one time. Find the probability of at least two shots hit?
Solution:
Probability of A hitting the target = \(\frac{4}{5}\)
Probability of B hitting the target = \(\frac{3}{4}\)
Probability of C hitting the target = \(\frac{2}{3}\)
At least 2 can hit the target in the following ways:
(i) Probability that A, B,C all hit the target = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{2}{5}\)

(ii) Probability that B and C hit the target and not A
= ( 1 – \(\frac{4}{5}\) ) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{1}{10}\)

(iii) Probability that C and A hit the target and not B
= \(\frac{4}{5}\) × (1 – \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{1}{4}\) × \(\frac{2}{3}\)
= \(\frac{2}{15}\)

(iv) Probability that A and B hit the target but not C
= \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × (1 – \(\frac{2}{3}\)) = \(\frac{4}{5}\) × \(\frac{3}{4}\) × \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{5}\)
Since, all these events are mutually exclusive,
∴ Required probability = \(\frac{2}{5}\) + \(\frac{1}{10}\) + \(\frac{2}{15}\) + \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{5}{6}\)

Question 15.
In a class 30% students fail in physics, 25% fails in maths and 10% fails in both. If one student selects at random, then And the probability of:

(i) Fail in maths when fail in physics also,
(ii) Fail in physics when fail in maths also,
(iii) Fail in maths or physics.

Solution:
Probability of fail in physics is
P(A) = \(\frac{30}{100}\)
Probability of fail in maths is
P(B) = \(\frac{25}{100}\)
Probability of fail in physics and maths both is
P(A∩B) = \(\frac{10}{100}\)

Question 16.
Two bags A and B contain 8 green and 9 white balls and 5 green and 4 white balls respectively. One ball is drawn at random from one of the bags and it is found to be green. Find the probability that it is drawn from bag B? (NCERT)
Solution:
Let E₁ : Event of choosing bag A
∴ P(E₁) = \(\frac{1}{2}\) ………………………. (1)
E₂ = \(\frac{1}{2}\) ………………………… (2)
Again, let C: Event of drawing a green ball
∴ By defnition of conditional probability

The required probability (i.e; the probability of obtaining a ball from bag B when it is green.)

Question 17.
A company has two plants to manufacture bicycles. The first plant manufacture 60% of the bicycles and second plant 40%. Also 80% of the bicycles are rated standard quality at the first plant and 90% of standard quality at the second plant. A bicycle is picked up at random and found to be standard quality? Find the probability that it comes from the second plant? (CBSE 2003)
Solution:
Let E₁: The event of choosing a bicycle from first plant.
∴ P(E₁) = \(\frac{60}{100}\) ………………….. (1)
Let E₂: The event of choosing a bicycle from first plant.
P(E₂) = \(\frac{40}{100}\) ……………………….. (2)
Let E be event of choosing a bicycycle of standard quality, then
P ( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = Probability of choosing a bicycle of standard quality, given that it is produced by the first plant.
⇒ P ( \(\frac { E }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{80}{100}\), (given 80%)
P( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = Probability of choosing a bicycle of standard quality, given that it is produced by the second plant.
⇒ P( \(\frac { E }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{90}{100}\) (given 90%)
∴ The required probability (i.e., probability of choosing a bicycle from the second plant, given that it is of standard quality,

Question 18.
A company manufactures T.V., machine A, B and C manufatures 30%, 20% and 50% T.V. of the total production of their outputs 7%, 5% and 2% are defec¬tive T.V. respectively. A T.V. is selected at random from the production and is found to be defective?
Find the probability that defective T.V. which is manufactured by machine A? (CBSE 2015)
Solution:
Let the events T₁, T₂ and T₃ are the following:
Event T₁ : T.V. manufactured by machined A.
Event T₂ : T.V. manufactured by mechine B.
Event T₃: T.V. manufactured by machine C.
It is noted that these events are mutually exclusive.
Again, let E : The event of defective T.V.
Given, P(T₁) = 30% = \(\frac{30}{100}\) ………………….. (1)
P(T₂) = 20% = \(\frac{20}{100}\) ………………….. (2)
P(T₃) = 50% = \(\frac{50}{100}\) ………………….. (3)
Again P( \(\frac { E }{ T_{ 1 } } \) ) = The probability that T.V. is defective when it is manufactured by machine A.
⇒ P(\(\frac { E }{ T_{ 1 } } \) ) = 7% = \(\frac{7}{100}\)
P( \(\frac { E }{ T_{ 2 } } \) ) = The probability that T.V. is defective when it is manufactured by machine B.
⇒ P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = 5% = \(\frac{5}{100}\)
Similarly,
P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = The probability that T.V. is defective when it is manufactured by machine C.
⇒ P( \(\frac { E }{ T_{ 3 } } \) ) = 2% = \(\frac{2}{100}\)
Now, from Bayes’s theorem
P( \(\frac { T_{ 1 } }{ E } \) ) = The probability that T.V. is defective when it is manufactured by machine A.

Question 19.
The probability that Mohan does not speak the truth is \(\frac{1}{5}\) Mohan speaks the head when a coin is thrown, find the probability that really gettting head by the throw of a coin? (NCERT)
Solution:
Let A: The event of getting head.
P(A) = \(\frac{1}{2}\)
B: The event of not getting head.
∴ P(B) = 1 – P(B) = 1 – \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{1}{2}\)
Again, Let E: The event that really getting head by the throw of a coin and Mohan speaks.
P( \(\frac{E}{B}\) ) = \(\frac{1}{5}\)
and P( \(\frac{E}{A}\) ) = 1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
Now, from Bayes’s thoerem
P( \(\frac{A}{E}\) ) = Probability that the report of the Mohan that head has occured is actually head.

Question 20.
Bag A contains 3 white and 4 red balls and bag B contains 5 white and 6 red balls. One ball is drawn at random from one of the bags and it is found to be red. Find the probability that it is drawn from bag B?
Solution:
Let E₁ = Event of choosing bag A.
E₂ = Event of choosing bag B.
P(E₁) = \(\frac{1}{2}\); P(E₂) = \(\frac{1}{2}\) ………………….. (1)
⇒ P(E₁) = P(E₂) = \(\frac{1}{2}\)
Again, let R = Event of drawing a red ball.
According to the question.
P( \(\frac { R }{ E_{ 1 } } \) ) = The probability that a red ball is drawn when it is selected from bag A.
⇒ P( \(\frac { R }{ E_{ 1 } } \) ) = \(\frac{4}{3+4}\) = \(\frac{4}{7}\) …………………. (2) [since bag A contains 3 white and 4 red balls]
P( \(\frac { R }{ E_{ 2 } } \) ) = \(\frac{6}{5+6}\) = \(\frac{6}{11}\) ……………….. (3) [since bag B contains 5 white and 6 red balls]
Now, from Bayes’s theorem,
P( \(\frac { E_{ 2 } }{ R } \) ) = The probability that a ball is drawn from bag B when it is red.

Question 21.
Three different bags A, B and C are given, each bag contains 2-2 books. Bag A contains both 2 mathematics books, bag B contains 2 chemistry books and bag C contains, one mathematics and one chemistry book. The student select one bag ran¬domly and from that bag he randomly take out one book. The book he has taken out is that of mathematics. Find the probability that the second book he draws out from that bag is also of mathematics or that he is selected bag A given? (NCERT)
Solution:
Let events E₁, E₂ and E₃ represents the selection of bag A, B and C respctively.
P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = \(\frac{1}{3}\) …………………….. (1)
D: The event of mathematics book happen
P( \(\frac { D }{ E_{ 1 } } \) ) = P(A mathematics book chosen from bag A)
= \(\frac{2}{2}\) = 1 ……………….. (2)
P( \(\frac { D }{ E_{ 2 } } \) ) = P(A mathematics book chosen from bag B)
= \(\frac{0}{2}\) = 0 ………………… (3)
[∵according to the questions, both chemistry books are in bag B]
P( \(\frac { D }{ E_{ 3 } } \) ) = P(A mathematics book chosen from bag C)
= \(\frac{1}{2}\)
Now, the required probability
P( \(\frac { E_{ 1 } }{ D } \) )
Now, by Bayes’ thoerem,
P( \(\frac { E_{ 1 } }{ D } \) )

Question 22.
By examining about a student that he is known to speak the truth 2 out of 5 times. He throws a die and reports that it is a six. Find the probability that it is actually a six?
Solution:
Let E: Event that the student reports that it is a six.
A : Event of getting a six on the upper face of die.
B : Event of not getting a six on the upper face of die.
∴ P(A) = \(\frac{1}{6}\) ………………….. (1)
P(B) = P(Not A) = P( \(\bar { A } \) )
⇒ P(B) = 1 – P(A) = 1 – \(\frac{1}{6}\)
⇒ P(B) = \(\frac{5}{6}\) ………………… (2)
P( \(\frac{E}{A}\) ) = Probability that the student reports that six occurs, when six has actually occured.
P ( \(\frac{E}{A}\) ) = Probability that the student speaks the truth
= \(\frac{2}{5}\) …………………… (3)
Now, P ( \(\frac{E}{B}\) ) = Probability that the student reports that six occurs, when six that has not actually occured.
P ( \(\frac{E}{B}\) ) = Probability that the student does not speak the truth.
P( \(\frac{E}{B}\) ) = 1 – \(\frac{2}{5}\) = \(\frac{3}{5}\)
Now, by Bayes’s thoerem
P( \(\frac{A}{E}\) ) = Probability of getting six, given that the student reports it to be six.

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 12 रैखिक

रैखिक Important Questions

रैखिक प्रोग्रामन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
बिन्दु जिस पर 3x + 2y का प्रतिबंधों x + y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0 के अंतर्गत अधिकतम मान प्राप्त होता है –
(a) (0, 0)
(b) (1.5, 1.5)
(c) (2,0)
(d) (0, 2).
उत्तर:
(c) (2,0)

प्रश्न 2.
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देश्य फलन में चर होते हैं –
(a) ऋणात्मक
(b) शून्य या ऋणात्मक
(c) शून्य
(d) शून्य या धनात्मक।
उत्तर:
(d) शून्य या धनात्मक।

प्रश्न 3.
असमिकाओं x₁ + x₂ ≤ 3, 2x₁ + 5x₂ ≥ 10, x₂ ≥ 0, के व्यापक हल में स्थित बिन्दु होगा –
(a) (2,1)
(b) (4, 2)
(c) (2, 2)
(d) (1, 2).
उत्तर:
(d) (1, 2).

प्रश्न 4.
रेखीय व्यवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन का अधिकतम मान होता है –
(a) सुसंगत क्षेत्र के केन्द्र पर
(b) (0,0) पर
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर
(d) (0,0) से अधिकतम दूरी पर स्थित शीर्ष पर।
उत्तर:
(c) सुसंगत क्षेत्र के किसी एक शीर्ष पर।

प्रश्न 5.
प्रतिबन्धों x – 2y ≥ 6, x + 2y ≥ 0, x ≤ 6 के अंतर्गत फलन P = 3x + 4y का महत्तम मान है –
(a) 16
(b) 17
(c) 18
(d) 19
उत्तर:
(c) 18.

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना हो वह …………………………. कहलाता है।
2. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को ……………………….. कहते हैं।
3. x ≥ 0 का ग्राफ …………………………. चतुर्थांश में स्थित है।
4. एक निश्चित क्रम में विशिष्ट चरणों में सम्पादित प्रक्रिया ………………………….. कहलाती है।
5. सभी व्यवरोधों और ऋणेत्तर व्यवरोधों x ≥ 0, y ≥ 0 द्वारा निर्धारित उभयनिष्ठ क्षेत्र, एक रेखीय प्रोगामन समस्या का …………………………… कहलाता है।

उत्तर:

1. उद्देश्य फलन
2. इष्टमान फलन
3. प्रथम एवं चतुर्थ
4. प्रोग्रामिंग
5. सुसंगत क्षेत्र।

प्रश्न 3.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:

1. (b)
2. (a)
3. (d)
4. (c)
5. (f)
6. (e)

प्रश्न 4.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. यदि x का मान किन्ही दो निश्चित संख्याओं a और b के बीच होता है, तब {x : a < x < b}, संवृत्त अंतराल कहलाता है।
2. जिस फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात करना होता है, उसे उद्देश्य फलन कहते हैं।
3. दी हुई समस्या के सभी प्रतिबंधों का पालन करने वाले चर राशियों के मान ग्राफीय निरुपण के जिस क्षेत्र से संबंधित होता है उस क्षेत्र को सम्भाव्य क्षेत्र कहते हैं।
4. यदि सम्भाव्य क्षेत्र रिक्त समुच्चय हो, तो समस्या का सीमाबद्ध हल होता है।
5. दो या दो से अधिक समीकरणों के निकाय को रेखीय असमीकरण निकाय कहते हैं।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. सत्य
4. असत्य
5. असत्य।

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. y ≤ -2 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
2. 2x – 4 ≤ 0 को ग्राफ के रूप में प्रदर्शित कीजिए।
3. x ≥ 0 तथा y ≥ 0 का हल किस चतुर्थांश में है।
4. उद्देश्य फलन के अधिकतम या न्यूनतम मान को क्या कहते हैं?
5. P = 5x + 3y एक उद्देश्य फलन है। सम्भाव्य क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक (3, 0), (12, 0), (0, 6) हैं। उद्देश्य फलन का निम्नतम मान बताइए।

उत्तर:

1. 
2. 
3. प्रथम
4. इष्टतम मान
5. 15.

रैखिक प्रोग्रामन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – II

प्रश्न 1.
फलन P = 2x + 3y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए जबकि प्रतिबन्ध निम्न हैं –
x ≥ 0, y ≥ 0, x + 2y ≤ 10, 2x + y ≤ 14.
हल:
प्रतिबन्धों x ≥ 0 तथा y ≥ 0 के कारण अन्य रेखीय असमीकरणों के ग्राफ केवल प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करना है।

x + 2y = 10 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) के लिए x + 2y ≤ 10 सत्य है क्योंकि 0 + 2 × 0 ≤ 10. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु की ओर है।
2x + y = 14 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

मूलबिन्दु (0, 0) के लिए 2x + y ≤ 14 सत्य है क्योंकि 2(0) + 0 ≤ 14. अतः क्षेत्र मूलबिन्दु को शामिल करता है।
लेखाचित्र में उभयनिष्ठ क्षेत्र रेखांकित है जिसके शीर्षों OABD पर उद्देश्य फलन P = 2x + 3y के मान निम्न सारणी में दर्शाये गये हैं –

∴ P का अधिकतम मान 18 है जो बिन्दु B(6, 2) पर है, जिसके लिए x = 6, y = 2.

प्रश्न 2.
फलन P = x + y का रेखीय व्यवरोधों 3x + 2y ≥ 12, x + 3y ≥ 11, x ≥ 0, y ≥ 0 के अन्तर्गत न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
x ≥ 0, y ≥ 0 के कारण अन्य व्यवरोधों के ग्राफ प्रथम चतुर्थांश में प्राप्त करते हैं। वे हैं:
3x + 2y ≥ 12
x + 3y ≥ 11

(i) 3x + 2y = 12 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

(ii) x + 3y = 11 के लिए x और y के मानों की सारणी निम्न है –

परीक्षण बिन्दु (0, 0) से दोनों असमीकरण सन्तुष्ट नहीं होते क्योंकि
3(0) + 2(0) ≥ 12 असत्य है।
0 + 3(0) ≥ 11 असत्य है।
अतएव संभाव्य क्षेत्र खुला क्षेत्र है, जिसके शीर्ष A, B,D हैं। उद्देश्य फलन की गणना मूल बाह्यतम बिन्दु प्रमेय के अनुसार निम्नांकित हैं –

अतः P का न्यूनतम मान 5 है जब x = 2, y = 3.

प्रश्न 3.
निम्न असमीकरणों द्वारा निर्धारित क्षेत्र को ग्राफ द्वारा दर्शाइए:
x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 16, 2x + y ≤ 8
तथा P = 5x + 4y के अधिकतम मान हेतु x, y के मान ज्ञात कीजिए।
हल:
असमीकरणों 2x + 5y ≤ 16 ……… (1)
एवं 2x + y ≤ 8 ……….. (2)
को निम्नानुसार लिखने पर,
\(\frac{2x}{16}\) + \(\frac{5y}{16}\) ≤ 1 [असमिका (1) से]

इसी प्रकार,
\(\frac{2x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 [असमिका (2) से]
⇒ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) ≤ 1 ………. (4)
क्षेत्र x ≥ 0 एवं y ≥ 0 के लिए असमीकरणों (3) एवं (4) का ग्राफीय निरूपण करने पर:

रेखाएँ \(\frac{x}{4}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1
एवं \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{(16/5)}\) = 1
एक – दूसरे को बिन्दु B(4, 2) पर प्रतिच्छेदित करती है। अत: OABC रेखाओं द्वारा प्रतिबन्धित क्षेत्र है, जहाँ बिन्दु O, A, B, C के निर्देशांक क्रमशः O(0, 0), A(4, 0), B(3, 2), C(0, \(\frac{16}{5}\) ) है।
इन शीर्षों पर P = 5x + 4y का मान निम्नानुसार प्राप्त होगा:

उपर्युक्त सारणी से P का अधिकतम मान बिन्दु B(3, 2) पर 23 प्राप्त होता है। अतः x = 3 एवं y = 2 पर मान अधिकतम है।

प्रश्न 4.
यदि एक नवयुवक अपनी मोटर साइकिल को 25 किमी प्रति घण्टा की गति से दौड़ाता है, तो उसे पेट्रोल पर 2 रु. प्रति किमी व्यय करना पड़ता है। यदि वह और अधिक तेज गति 40 किमी प्रति घण्टा पर मोटर साइकिल को दौड़ाता है, तो पेट्रोल का खर्च बढ़कर 5 रु. प्रति किमी हो जाता है। उसके पास पेट्रोल पर खर्च करने के लिए 100 रु. है। वह यह ज्ञात करना चाहता है कि 1 घण्टे में वह कितनी अधिकतम दूरी तय कर सकता है। इसे एक रेखीय कार्य-योजना समस्या के रूप में व्यक्त करो तथा फिर इसे हल करो।
हल:
माना कि x किलोमीटर तक 25 किमी/घण्टा की गति से तथा y किलोमीटर तक 40 किमी प्रति घण्टा की गति से मोटर साइकिल दौड़ाता है। तब, x20
तथा x ≥ 0 ……. (1)
y ≥ 0 …….. (2)

पहली स्थिति में पेट्रोल खर्च = 2x रु.
तथा दूसरी स्थिति में पेट्रोल खर्च = 5y रु.
पेट्रोल पर खर्च करने के लिए राशि = 100 रु.
∴ 2x + 5y ≤ 100
पहली स्थिति में दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{x}{25}\) घण्टे,

दूसरी स्थिति में y दूरी तय करने में लगा समय = \(\frac{y}{40}\) घण्टे।
∴ कुल समय 1 घण्टा है,
∴ \(\frac{x}{25}\) + \(\frac{y}{40}\) ≤ 1
था 8x + 5y ≤ 200
दूरी P = x + y
दूरी के मान को अधिकतम करने के लिए प्रतिबंधों (1), (2), (3) और (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + 5y ≤ 100 तथा 8x + 5y ≤ 200 का आलेखन करते हैं, जिससे सम्भाव्य क्षेत्र ODEC प्राप्त होता है।
क्षेत्र के शीर्षों के निर्देशांक क्रमशः (0, 0), (25, 0), ( \(\frac{50}{3}\), \(\frac{40}{3}\) ) तथा (0, 20) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अतः अधिकतम दूरी 30 किमी होगी।

प्रश्न 5.
एक उद्योगपति अपनी फैक्टरी में नई मशीन लगाना चाहता है। A प्रकार की मशीन की कीमत 800 रु. है और वह 3 वर्ग मीटर स्थान घेरती है। B प्रकार की मशीन की कीमत 1600 रु. है और वह 1 \(\frac{1}{2}\) वर्ग मीटर स्थान घेरती है। वह 20,000 रु. खर्च कर सकता है और उसके पास उपलब्ध स्थान 30 वर्ग मीटर है। मशीन A का उत्पादन प्रति घण्टा 10 वस्तु और मशीन B का उत्पादन प्रति घण्टा 15 वस्तु है। व्यापार प्रतिबन्ध के अनुसार वह तीन मशीन A प्रकार और चार मशीन B प्रकार की ले सकता है। व्यापारी अधिकतम मशीन किस प्रकार लगा सकता है और कौन-सी व्यवस्था उसे अधिकतम लाभ दे सकती है?
हल:
माना कि व्यापारी A प्रकार की x मशीन तथा B प्रकार की y मशीन खरीदता है।
तब, A प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 800 x रु.
तथा B प्रकार की मशीनों की कुल कीमत = 1600 y रु.
उद्योगपति कुल 20,000 रु. खर्च कर सकता है।
∴ 800x + 1600y ≤ 20000
∴ x + 2y ≤ 25 ………. (1)
अब A प्रकार की x मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= 3x वर्ग मीटर
B प्रकार की y मशीनों द्वारा घेरा गया स्थान
= \(\frac{3}{2}\) y वर्ग मीटर
कुल उपलब्ध स्थान = 30 वर्ग मी.
∴ 3x + \(\frac{3}{2}\)y ≤ 30
था 2x + y ≤ 20

पुनः वह तीन मशीन A प्रकार की तथा चार मशीन B प्रकार की ले सकता है।
∴ x ≥ 3 ……… (3)
तथा y ≥ 4 …….. (4)
कुल मशीनों की संख्या या उद्देश्य फलन
P = x + y ……….. (5)
अतः प्रतिबंधों (1), (2), (3) व (4) की सहायता से P के मान को अधिकतम करना है।
इसके लिए x + 2y ≤ 25, 2x + y ≤ 20, x ≥ 3, y ≥ 4 का आलेखन करते हैं।
रेखांकित भाग संभाव्य क्षेत्र है जिसके शीर्ष (3, 4), (7, 4), (5, 10) तथा (3, 11) हैं।
इनमें से किसी शीर्ष पर P का मान अधिकतम होगा।

अत: व्यापारी अधिकतम 15 मशीन खरीद सकता है जिसमें 5 मशीनें A प्रकार तथा 10 मशीनें B प्रकार की होंगी।

प्रश्न 6.
एक मधुर पेय फर्म के बोतल बनाने के दो संयन्त्र हैं। एक P पर व दूसरा Q पर स्थित है। प्रत्येक संयन्त्र तीन मधुर पेय A, B व C का उत्पादन करता है। दोनों संयन्त्रों की प्रतिदिन बोतल बनाने की संख्या के अनुसार क्षमताएँ निम्नानुसार हैं –

एक बाजार सर्वेक्षण से ज्ञात होता है कि अप्रैल के महीने में, A की 24,000 बोतलों की, B की 16,000 बोतलों की तथा C की 48,000 बोतलों की माँग होगी। कार्यकर P और 0 की प्रतिदिन की कार्यकर लागत क्रमशः 6,000 रु. व 4,000 रु. है। ग्राफीय विधि से ज्ञात कीजिए कि फर्म को अप्रैल में प्रत्येक संयन्त्र को कितने दिन कार्य करना चाहिए जिससे कि उत्पादन लागत न्यूनतम आवे जबकि बाजार की मांग पूरी हो जावे?
हल:
मानलो फर्म अप्रैल माह में संयन्त्र P को x दिन तथा संयन्त्र Q को y दिन चलाता है।
संयन्त्र P में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
तथा संयन्त्र ए में पेय A के बोतलों का कुल उत्पादन = 1000y
पेय A के कुल बोतलों की माँग 24000 है।
∴ 3000x + 1000y ≥ 24000
था 3x + y ≥ 24 ……… (1)
इसी तरह, 1000x + 1000y ≥ 16000
था x + y ≥ 16 …….. (2)
तथा 2000x + 6000y ≥ 48000
था x + 3y ≥ 24
पुनः x और y ऋणात्मक नहीं हैं।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0
अप्रैल माह में P का उत्पादन लागत = 6000 x रु.
तथा इसी माह में Q का उत्पादन लागत = 4000 x रु. .
∴ उद्देश्य फलन या कुल उत्पादन लागत
P = 6000x + 4000y ….. (5)
अतः प्रतिबन्धों (1), (2), (3) और (4) के अन्तर्गत P के मान को न्यूनतम करना है।
इसके लिए x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + y ≥ 24, x + y ≥ 16, x + 3y ≥ 24 को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं।
सम्भाव्य क्षेत्र अपरिबद्ध क्षेत्र प्राप्त होता है जिसके निर्देशांक A (24, 0), B (12, 4), C (4, 12), D (0, 24) हैं। इन शीर्षों में से किसी एक पर P का मान न्यूनतम होगा।

अतः x = 4 तथा y = 12 पर P न्यूनतम है। अत: न्यूनतम उत्पादन लागत के लिए संयन्त्र P को 4 दिनों तक तथा संयन्त्र Q को 12 दिनों तक चलाना चाहिए।
न्यूनतम लागत 72,000 रु. होगी।

प्रश्न 7.
A और B दो दर्जी प्रतिदिन 150 रु. और 200 रु. कमाते हैं। A प्रतिदिन 6 कमीजें और 4 पैन्टों तथा B प्रतिदिन 10 कमीजों तथा 4 पैन्टों को सील लेता है। कम-से-कम 60 कमीजों तथा 32 पैन्टों में आयी लागत का न्यूनतमीकरण करने के लिए रैखिक प्रोग्रामन समस्या को सूत्रबद्ध कीजिए। (CBSE 2005)
हल:
माना दर्जी A, x दिन और दर्जी B, y दिन कार्य करता है।
अतः लागत फलन है:
Z = 150x + 200y
प्रश्नानुसार दर्जी A, 6 कमीजें और B, 10 कमीजें प्रतिदिन सील कर कम – से – कम 60 कमीजें सील सकता है।
∴ 6x + 10y ≤ 60
और दर्जी A, 4 पैन्टों और B, 4 पैन्टों को सीलकर कम-से-कम 32 पैन्ट सील सकता है।
∴ 4x + 4y ≤ 32 और x ≥ 0, y ≥ 0
इस प्रकार, लागत फलन Z = 150x + 200y का निम्नलिखित व्यवरोधों के अन्तर्गत न्यूनतम होगा –
6x + 10y ≤ 60
4x + 4y ≤ 32.
टीप – व्यवरोधों का ग्राफ 6x + 10y ≤ 60 के लिए 6x + 10y = 60 का ग्राफ खींचेंगे।
\(\frac{6x}{60}\) + \(\frac{10y}{60}\) = 1
\(\frac{x}{10}\) + \(\frac{y}{6}\) = 1 ………. (1)
रेखा (1) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 10 और 6 का अन्त:खण्ड काटती है।
अर्थात् 6x + 10y = 60 सरल रेखा का ग्राफ बिन्दुओं P(10, 0) और Q(0, 6) को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
इसी प्रकार सरल रेखा 4x + 4y = 32 का ग्राफ खींचेंगे।
∴ 4x + 4y = 32
⇒ \(\frac{4x}{32}\) + \(\frac{4y}{32}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{8}\) + \(\frac{y}{8}\) = 1 ………. (2)

रेखा (2) निर्देशांक अक्षों पर क्रमशः 8, 8 का अन्त:खण्ड काटता है। अर्थात् 4x + 4y = 32 सरल रेखा का ग्राफ A (8, 0) और B (0, 8) बिन्दुओं को मिलाकर आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।
(i) x ≥ 0, X – अक्ष और उसके ऊपर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(ii) y ≥ 0, Y – अक्ष और उसके दायीं ओर के क्षेत्र में हल समुच्चय होगा।
(iii) 6x + 10y ≤ 60 के हल समुच्चय हेतु परीक्षण बिन्दु O(0, 0) लेने पर,
6 × 0 + 10 × 0 < 60 ⇒ 0 < 60 सत्य है।
अन्तः रेखा 6x + 10y = 60 पर के प्रत्येक बिन्दु और मूलबिन्दु O के ओर के क्षेत्र 6x + 10y ≤ 60 का हल समुच्चय होगा।
(iv) इसी प्रकार 4x + 4y ≤ 32 के हल समुच्चय मूलबिन्दु की ओर का क्षेत्र और रेखा 4x + 4y = 32 पर के प्रत्येक बिन्दु होंगे।
अतः x ≥ 0, y ≥ 0, 6x + 10y ≤ 60 और 4x + 4y ≤ 32 के उभयनिष्ठ क्षेत्र उक्त ग्राफ में छायांकित भाग से दिखाया है।
अर्थात् छायांकित क्षेत्र OACQ अभीष्ट क्षेत्र है जिसके किनारे के बिन्दु 0(0, 0), A (8, 0), C (5, 3) और Q (0, 6) हैं।

लागत Z = 150x + 200y का न्यूनतम मान 0 और अधिकतम लागत मूल्य 1,350 रु. बिन्दु (5,3) के संगत है।

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 10 सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित Important Questions

सदिश बीजगणित वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
सदिशों 2\(\bar { i } \) + 4\(\bar { j } \) – 5\(\bar { k } \) तथा \(\bar { i } \) + 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) के परिणामी सदिश के समान्तर एकांक सदिश है –

उत्तर:

प्रश्न 2.
यदि \(\bar { OA } \) = a, \(\bar { OB } \) = -b तथा C, AB पर एक ऐसा बिन्दु है कि \(\bar { AC } \) = 3AB, तो सदिश \(\bar { OC } \) बराबर है –
(a) 3\(\bar { a } \) – 2\(\bar { b } \)
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)
(c) 3\(\bar { a } \) – \(\bar { b } \)
(d) 3\(\bar { b } \) – \(\bar { a } \).
उत्तर:
(b) 3\(\bar { b } \) – 2\(\bar { a } \)

प्रश्न 3.
दो सदिश \(\bar { a } \) और \(\bar { b } \) इस प्रकार है कि |\(\bar { a } \)| = 2, |b| = 1 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = \(\sqrt{3}\) हो तो उनके बीच का कोण होगा –
(a) \(\frac { \pi }{ 2 } \)
(b) \(\frac { \pi }{ 4 } \)
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)
(d) \(\frac { \pi }{ 7 } \)
उत्तर:
(c) \(\frac { \pi }{ 6 } \)

प्रश्न 4.
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी संलग्न भुजाएँ \(\bar { i } \) – 2\(\bar { j } \) + 3\(\bar { k } \) तथा 2\(\bar { i } \) + \(\bar { j } \) – 4\(\bar { k } \) है, हैं –
(a) 3\(\sqrt{6}\)
(b) 4\(\sqrt{6}\)
(c) 5\(\sqrt{6}\)
(d) 6\(\sqrt{6}\)
उत्तर:
(c) 5\(\sqrt{6}\)

प्रश्न 5.
यदि \(\bar { a } \) = \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) तो \(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) × \(\bar { c } \) ) बराबर है –
(a) 2\(\bar { a } \).( \(\bar { b } \) + \(\bar { c } \) )
(b) 0
(c) \(\bar { b } \).( \(\bar { a } \) + \(\bar { c } \) )
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 0

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिये –

1. दो सदिशों का योग या अन्तर सदैव एक ……………………… होता है।
2. सदिशों का योग ……………………….. का पालन करता है।
3. ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) + \(\vec { c } \) = \(\vec { a } \) + …………………………..
4. दो सदिशों का योग ………………………. से प्राप्त किया जा सकता है।
5. बिन्दु (1, 2, 3) का मूलबिन्दु के सापेक्ष स्थिति सदिश ……………………………. होगा।
6. यदि \(\vec { A } \)C = 3 \(\vec { A } \)B हो, तो बिन्दु A, B, C …………….. होंगे।
7. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \)समान्तर हों, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) = ……………………. होगा।
8. सदिश \(\vec { a } \) की दिशा में एकांक सदिश ……………………………. होगा।
9. सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में प्रक्षेप …………………………. होगा।
10. यदि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + p\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हों, तो p का मान …………………………….. होगा।
11. एक बल 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), एक बिन्दु A जिसका स्थिति सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) है, पर कार्य करता है। बल का मूलबिन्दु के सापेक्ष आघूर्ण ……………………………… होगा।
12. एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल …………………. होगा, जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) तथा \(\hat { i } \)
    – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।

उत्तर:

1. नया सदिश
2. क्रम विनिमेय नियम और साहचर्य नियम
3. ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) )
4. सदिश योग के त्रिभुज – नियम
5. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
6. समरेख
7. \(\vec { O } \)
8. \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
9. 
10. -4
11. \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
12. 5\(\sqrt{3}\) वर्ग इकाई।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. एक त्रिभुज की भुजाओं द्वारा क्रमानुसार निरूपित सदिशों का योग शून्य होता है।
2. यदि \(\vec { a } \) व \(\vec { b } \) दो असंरेख सदिश हैं तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| ≥ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)
3. एक सदिश जिसके आदि और अंतिम बिंदु संपातो होते हैं एकांक सदिश कहलाता है।
4. यदि बिन्दुओं P और Q के स्थिति सदिश क्रमशः \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) और 5\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हों, तो |\(\vec { P } \)Q| का मान 9\(\sqrt{2}\) होगा!
5. यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|, तो \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = 0
6. \(\vec { a } \). ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) का मान शून्य होता है।
7. सदिश \(\hat { i } \) – λ\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्ब हों तो λ का मान 6 होगा।

उत्तर:

1. सत्य
2. असत्य
3. असत्य
4. सत्य
5. असत्य
6. सत्य
7. असत्य।

प्रश्न 4.
सही जोड़ी बनाइए –

उत्तर:
(a) (iv)
(b) (v)
(c) (i)
(d) (ii)
(e) (iii)
(f) (vii)
(g) (vi).

प्रश्न 5.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) किसी ∆ABC के शीर्षों के स्थिति सदिश हों, तो ∆ABC के क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
2. यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा [ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] का मान ज्ञात कीजिए।
3. दो सदिशों 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
4. \(\hat { i } \) × ( \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) × ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) ) का मान ज्ञात कीजिए।
5. \(\vec { a } \) का \(\vec { b } \) की दिशा में प्रक्षेप ज्ञात कीजिए।
6. यदि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्ब सदिश हों तो ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) )² का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) + \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) + \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \)|
2. 12
3. cos^-1 \(\frac { 25 }{ \sqrt { 783 } } \)
4. 0
5. 
6. |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|²

सदिश बीजगणित अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) तो |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| का मान ज्ञात कीजिए। (NCERT, CBSE 2012)
हल:
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) – 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) + \(\hat { i } \) – 6\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = -4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \)| = \(\sqrt { 0+16+1 } \)
= \(\sqrt{17}\)

प्रश्न 2.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = – \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) के योगफल के अनुदिश मात्रक सदिश ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
⇒ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = (2 – 1)\(\hat { i } \) + (-1 + 1)\(\hat { j } \) + (2 + 3)\(\hat { k } \)
= \(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
माना \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) = \(\vec { r } \)

प्रश्न 3.
सदिश \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) के अनुदिश एक ऐसा सदिश ज्ञात कीजिए, जिसका परिमाण 7 इकाई है। (NCERT)
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)
\(\vec { a } \) के अनुदिश मात्रक सदिश
\(\hat { a } \) = \(\frac { \vec { a } }{ |\vec { a } | } \)
|\(\hat { a } \)| = |\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \)|
⇒ |\(\hat { a } \)| = \(\sqrt { (1)^{ 2 }+(-2)^{ 2 } } \) = \(\sqrt{5}\)

\(\hat { a } \) के अनुदिश 7 परिमाण वाला सदिश

प्रश्न 4.
दर्शाइये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) और -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \) संरेख हैं।
हल:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), \(\hat { b } \) = -4\(\hat { i } \) + 6\(\hat { j } \) – 8\(\hat { k } \)
अब \(\vec { b } \) = -2(2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) )
⇒ \(\vec { b } \) = -2\(\vec { a } \)
∵ \(\vec { b } \) = λ\(\vec { a } \) (λ = स्थिरांक)
सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) संरेख हैं।

प्रश्न 5.
सदिश \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) की दिक् कोज्यायें ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल:
माना
\(\vec { r } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
|\(\vec { r } \)| = \(\sqrt { 1+4+9 } \) = \(\sqrt { 14 } \)

= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { i } \) + \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { j } \) + \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \) \(\hat { k } \)
दिक् कोज्यायें = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 2 }{ \sqrt { 14 } } \), \(\frac { 3 }{ \sqrt { 14 } } \)

प्रश्न 6.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) है, तो \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 7.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \) हो, तो λ का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिये गये सदिश परस्पर लम्ब होंगे यदि उनका अदिश गुणन शून्य है।
अर्थात् \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0

प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिये कि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
माना
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = –\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ) = 0
L.H.S = – 2 – 3 + 5
= 0 = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
(A) सिद्ध कीजिये कि सदिश 3\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 9 की भाँति हल करें।

(B)
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) परस्पर लम्बवत् हों, तो p का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = P\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
\(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे, यदि \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
4p – 2 + 3 = 0
⇒ 4p = -1
⇒ p = – \(\frac{1}{4}\)

प्रश्न 11.
(A) सदिशों (2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) ) और (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \)
यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो

∴ θ = 90°.

(B) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 6\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 11 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C) \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) का अदिश गुणनफल तथा उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
हल:

यदि इनके बीच का कोण θ हो, तो

∴ θ = cos^-1 \(\sqrt { \frac { 6 }{ 41 } } \)

प्रश्न 12.
यदि |\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12 हो, तो |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
|\(\bar { a } \)| = 10, |\(\bar { b } \)| = 2 तथा \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) = 12
हम जानते हैं कि |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)|² = |a|² |b|² – ( \(\bar { a } \).\(\bar { b } \) )²
= 100 × 4 – 144 = 400 – 144 = 256
∴ |\(\bar { a } \) × \(\bar { b } \)| = \(\sqrt{256}\) = 16

प्रश्न 13.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तथा \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

प्रश्न 14.
विस्थापन \(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { d } \) = – \(\hat { i } \) – 3 \(\hat { j } \) + 5 \(\hat { k } \), \(\vec { F } \) = 4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
∴ बल द्वारा किया गया करध
W = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (4\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) ).(-\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) )
= -4 + 9 + 10 = 15 इकाई।

प्रश्न 15.
यदि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)| हो, तो सिद्ध कीजिए कि \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं।
हल:
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)| = |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|

इस प्रकार, अदिश गुणनफल शून्य है। अतः सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् होंगे। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 3 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 3, सदिशों \(\vec { a } \) के और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
प्रश्न क्र. 17 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 17.
यदि |\(\vec { a } \)| = 4, |\(\vec { b } \)| = 4 तथा \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 6 हो, तो \(\vec { a } \) सदिशों है और \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = |\(\vec { a } \)| |\(\vec { b } \)|
⇒ 6 = 4.4 cos θ
⇒ 6 = 16 cos θ
⇒ cos θ = \(\frac{6}{16}\) = \(\frac{3}{8}\)
∴ θ = cos^-1 \(\frac{3}{8}\)

प्रश्न 18.
दो सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) इस प्रकार हैं कि |\(\vec { a } \)| = 2, |\(\vec { b } \)| = 7 तथा \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।।
हल:
माना \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ है।

प्रश्न 19.
सदिश 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) के बीच के कोण की कोज्या ज्ञात कीजिए।
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \)

प्रश्न 20.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी कोरेंनिम्न सदिशों से निरूपित हैं –
2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)?
हल:
माना \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समान्तर षट्फलक का आयतन = [a b c]

= 2(1 – 2) + 3(-1 -4) + 1(1 + 2)
= – 2 – 15 + 3
= -14 घन इकाई।

प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिये –
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ) + ( \(\hat { i } \) × \(\hat { k } \) ).\(\hat { j } \) = 0।
हल:
\(\hat { i } \).( \(\hat { j } \) × \(\hat { k } \) ). \(\hat { j } \) = \(\hat { i } \).\(\hat { i } \) + (-\(\hat { j } \) ).\(\hat { j } \)
= 1 – 1
= 0. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 22.
यदि सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं तो सिद्ध कीजिए कि |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|²
हल:
हम जानते हैं कि
|\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|² + 2|\(\vec { a } \) |.|\(\vec { b } \)|
सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) परस्पर लम्बवत् हैं, तब
\(\vec { a } \) .\(\vec { b } \) = 0
⇒ |\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \)|² = |\(\vec { a } \)|² + |\(\vec { b } \)|² यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 23. सिद्ध कीजिए कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) + \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) ) = 0
हल:

प्रश्न 24.
विस्थापन \(\vec { d } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) के अनुदिश कार्य करने वाले बल \(\vec { F } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
कार्य = \(\vec { F } \).\(\vec { d } \)
= (2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) ).(3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) )
= 6 – 2 + 3 = 7 इकाई।

प्रश्न 25.
दो सदिशों \(\vec { d } \) तथा \(\vec { b } \) जिनके परिमाण समान हैं में से प्रत्येक का परिणाम ज्ञात कीजिये जबकि उनके बीच का कोण 60° है तथा उनका अदिश गुणनफल \(\frac{9}{2}\) हैं।
हल:
अदिश गुणन की परिभाषा से,

प्रश्न 26.
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये जिसकी दो आसन्न भुजायें सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और
\(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)|

अभीष्ट क्षेत्रफल = \(\frac{1}{2}\) \(\sqrt{155}\).

प्रश्न 27.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { k } \) हो, तो |2\(\vec { b } \) × \(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिये।
हल:

प्रश्न 28.
यदि \(\vec { a } \) = 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { b } \) × 2\(\vec { a } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 29.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 5\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) तो \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) पर अदिश प्रक्षेप ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश \(\vec { b } \) का \(\vec { a } \) की दिशा में अदिश प्रक्षेप

= \(\frac{10-3+2}{3}\)
= \(\frac{9}{3}\) = 3.

प्रश्न 30.
यदि \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = – \(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) हो, तो |\(\vec { a } \) × \(\vec { b } \)| का मान ज्ञात कीजिए।
हल:

सदिश बीजगणित दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
दर्शाइये कि बिन्दु A(-2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) ), B( \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) ) और C(7\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) ) संरेख हैं। (NCERT)
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश हैं –

अतः सदिश \(\overrightarrow{A B}\) और \(\overrightarrow{B C}\) समांतर हैं परन्तु B, \(\overrightarrow{A B}\), और \(\overrightarrow{B C}\) का उभयनिष्ठ बिन्दु हैं। अतएव दिए हुए बिन्दु A, B और C संरेख हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
यदि बिन्दुओं A, B, C और D के स्थिति सदिश क्रमश: 2\(\hat { i } \) + 4\(\hat { k } \), 5\(\hat { i } \) + 3\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \), -2\(\sqrt{3}\)\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) हैं, तो सिद्ध कीजिए –
CD||AB और CD = \(\frac{2}{3}\) \(\vec { A } \)B
हल:
माना O मूलबिन्दु है, तब

⇒ \(\overrightarrow{C D}\), \(\overrightarrow{A B}\) के समांतर है और \(\overrightarrow{C D}\) = \(\frac{2}{3}\) × \(\overrightarrow{A B}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 3.
यदि त्रिभुज ABC का केन्द्रक G हो, तो सिद्ध कीजिए कि –
\(\overrightarrow{G A}\) + \(\overrightarrow{G B}\) + \(\overrightarrow{G C}\) = \(\vec { 0 } \).
हल:
माना त्रिभुज ABC के शीर्षों A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।
∴ केन्द्रक G का स्थिति सदिश

अब \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = (A का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (B का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश) + (C का स्थिति सदिश – G का स्थिति सदिश)

अतः \(\vec { G } \)A + \(\vec { G } \)B + \(\vec { G } \)C = \(\vec { 0 } \). यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
सदिशों का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिये कि त्रिभुज की माध्यिकाएँ संगामी होती हैं।
हल:
ABC त्रिभुज की माध्यिकाएँ AD, BE तथा CF हैं।
माना बिन्दुओं A, B और C के स्थिति सदिश क्रमशः \(\vec { a } \), \(\vec { b } \) और \(\vec { c } \) हैं।


अब माध्यिका AD को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने (6) वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

माध्यिका BE को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

माध्यिका CF को 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिन्दु का स्थिति सदिश

अतः त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिन्दु G पर मिलती है अर्थात् संगामी हैं जिसका स्थिति सदिश \(\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\) है। बिन्दु G को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 5.
एक सदिश \(\overrightarrow{O P}\), OX के साथ 45° और OY के साथ 60° कोण बनाती हैं। \(\overrightarrow{O P}\) के द्वारा OZ के साथ बनाया गया कोण ज्ञात कीजिए।
हल:
माना सदिश \(\overrightarrow{O P}\), अक्षों OX, OY और OZ के साथ क्रमशः α, β, γ कोण बनाती हैं, तब
α = 45°, β = 60°
∴ l = cos α = cos 45° = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
और n = cos γ
हम जानते हैं कि
l² + m² + n² = 1

cos γ = \(\frac{1}{2}\) था cos γ = – \(\frac{1}{2}\)
γ = 60° था 120°

प्रश्न 6.
परिमाण 5\(\sqrt{2}\), की एक सदिश \(\vec { a } \) ज्ञात कीजिए जो X – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 4 } \), Y – अक्ष के साथ \(\frac { \pi }{ 2 } \) और Z – अक्ष के साथ न्यूनकोण θ बनाती है।
हल:
दिया गया है –
α = \(\frac { \pi }{ 4 } \), β = \(\frac { \pi }{ 2 } \), γ = θ
I = cos \(\frac { \pi }{ 4 } \) = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), m = cos \(\frac { \pi }{ 2 } \) = 0, n = cos θ
हम जानते हैं कि
l² + m² + n² = 1
⇒ ( \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) )² + 0 + n² = 1
⇒ \(\frac{1}{2}\) + n² = 1
∴ n² = \(\frac{1}{2}\)
cos² θ = \(\frac{1}{2}\)
cos θ = \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)
∴ θ = \(\frac { \pi }{ 4 } \)
सदिश की दिक् कोज्यायें \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \), 0, \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \)

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )² = a²b² – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )²।
हल:
L.H.S. = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )² = ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
= (absin θ\(\hat { n } \) ).(ab sinθ \(\hat { n } \) ) = a²b² sin² θ \(\hat { n } \).\(\hat { n } \)
= a²b² sin² θ
= a²b² – a²b² cos ² θ
= a²b² – (ab cos θ)²
= a²b² – ( \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) )² = R.H.S यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो तो \(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) का मान ज्ञात कीजिये।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

प्रश्न 9.
उस समान्तर षटफलक का आयतन ज्ञात कीजिये जिसकी तीन कोरें निम्न सदिशों से निरूपित हैं –
\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)
हल:
माना
\(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

= 1(1 – 2) – 1(-1 -2) + 1(1 + 1)
= -1 + 3 + 2
= 4 इकाई।

प्रश्न 10.
यदि \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) हो, तो [\(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \)] का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \)

= 2(1 – 2) – 1(3 – 1) + 2(- 6 + 1)
= – 2 – 2 – 10 = – 14.

प्रश्न 11.
यदि \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) और \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) हो, तो \(\vec { a } \) का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 8 की भाँति हल कीजिये।

प्रश्न 12.
यदि a = \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = -2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – 4\(\hat { k } \) तथा \(\vec { c } \) = \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सदिश \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं।
हल:
यदि \(\vec { a } \), \(\vec { b } \), \(\vec { c } \) समतलीय हैं, तो उनके अदिश त्रिक गुणन शून्य होना चाहिए अर्थात्
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0

= 1(15 – 12) + 2(-10 + 4) + 3(6 – 3)
= 1(3) + 2(-6) + 3(3) = 12 – 12 = 0

प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिये 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय हैं तब [ \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) ] = 0

L.H.S = 2(10 – 12) -1(-5 + 4) + 3(3 – 2)
= -4 + 1 + 3
= 0 यही सिद्ध करना था।
अतः \(\bar { a } \) \(\bar { b } \) \(\bar { c } \) समतलीय हैं।

प्रश्न 14.
(A) λ का मान ज्ञात कीजिये यदि सदिश λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) और 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
माना \(\vec { a } \) = λ\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \), \(\vec { c } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \)
दिये गये सदिश समतलीय होंगे यदि
[ \(\vec { a } \) \(\vec { b } \) \(\vec { c } \) ] = 0

⇒ λ(8 – 9) – 2 (12 – 6) + 2(9 – 4) = 0
⇒ -λ – 12 + 10 = 0
⇒ λ = -2

(B)
λ का मान ज्ञात कीजिये यदि निम्न सदिश समतलीय हैं –
\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), 2\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \), λ\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + λ\(\hat { k } \)।
हल:
प्रश्न क्र. 13 की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

(C)
λ का मान ज्ञात कीजिये जबकि सदिश 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) तथा 3\(\hat { i } \) + λ\(\hat { j } \) + 5\(\hat { k } \) समतलीय हैं।
हल:
प्रश्न क्र. 14 (A) की भाँति हल कीजिये।
[उत्तर: λ = – \(\frac{18}{5}\) ]

प्रश्न 15.
यदि दो इकाई सदिशों \(\bar { a } \) तथा \(\bar { b } \) के बीच का कोण हो, तो सिद्ध कीजिए कि
cos \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\bar { a } \) + \(\bar { b } \)|.
हल:

प्रश्न 16.
दो इकाई सदिश \(\vec { a } \) तथा \(\vec { b } \) के बीच का कोण θ हो, तो सिद्ध कीजिए कि
sin \(\frac { \theta }{ 2 } \) = \(\frac{1}{2}\) |\(\vec { a } \) – \(\vec { b } \)|.
हल:

प्रश्न 17.
किसी त्रिभुज ABC में सिद्ध कीजिए कि
(A) ac cos B – bc cos A = a² – b²
(B) 2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a² + b² + c².
हल:
माना की \(\overrightarrow{B C}\) = \(\vec{a}\), \(\overrightarrow{C A}\) = \(\vec{b}\), \(\overrightarrow{A B}\) = \(\vec{c}\) तथा \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), \(\vec{c}\) के मापांक क्रमश: a, b, c हैं।

(A) ac cos B – bc cos A = -ac cos (π – B) + bc cos (π – A)

यही सिद्ध करना था।

(B) 2 (bc cos A + ca cos B + ab cos C)

यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 18.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि c = a cos B + bcos A.
हल:
∆ ABC में त्रिभुज के योग नियम से,
\(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) + \(\vec { c } \) = \(\vec { 0 } \)

⇒ c² = ac cos B + bc cos A
⇒ c² = c(a cos B + b cos A)
⇒ c = a cos B + b cos A

प्रश्न 19.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि
b² = a² + c² – 2ac cos B.
हल:
हम जानते हैं कि ∆ABC में,


⇒ b² = a² + c² + 2ac cos (π – B)
∴ b² = a² + c² – 2ac cos B. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 20.
∆ABC में सदिश विधि से सिद्ध कीजिए –
(A) a² = b² + c² – 2bc cos A
(B) c² = a² + b² – 2ab cos C.
हल:
प्रश्न क्र. 19 की भाँति स्वयं हल कीजिये।

प्रश्न 21.
(A) सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
दिया है:
\(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \), \(\vec { b } \) = 4\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) – 7\(\hat { k } \)

(B)
सदिशों \(\vec { a } \) = \(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।

(C)
सदिशों \(\vec { a } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 2\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{5 \sqrt{3}}\) ( 5\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) ).

प्रश्न 22.
सदिशों \(\vec { a } \) = 2\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) और \(\vec { b } \) = 3\(\hat { i } \) – 4\(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) में से प्रत्येक पर लम्ब मात्रक सदिश ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 21 (A) की भाँति हल कीजिये।
उत्तर:
\(\bar { n } \) = ± \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ( \(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) )

प्रश्न 23.
उस समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 2\(\hat { k } \) और \(\hat { i } \) – 3\(\hat { j } \) + 4\(\hat { k } \) हैं।
हल:
ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है जिसके विकर्ण \(\overline{A C}=\bar{d}_{1}\) तथा \(\overline{B D}=\bar{d}_{2}\) हैं।
दिया है:



∴ समानान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

प्रश्न 24.
सदिश विधि से सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।
हल:
माना OAB एक समकोण त्रिभुज है जिसमें सिद्ध करना है कि AB² – OA² + OB²
माना कि मूलबिन्दु O के सापेक्ष A और B के स्थिति सदिश \(\vec { a } \) और \(\vec { b } \) हैं।
∵ OA और OB परस्पर लम्बवत् हैं,
∴ \(\vec { a } \).\(\vec { b } \) = 0
अब \(\vec { AB } \) = B का स्थिति सदिश – A का स्थिति सदिश

प्रश्न 25.
5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) से निरूपित बल बिन्दु 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) पर लगा हुआ है, बिन्दु 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के परितः सदिश आघूर्ण ज्ञात कीजिये।
हल:
\(\vec { F } \) = 5\(\hat { i } \) + \(\hat { k } \) = 5\(\hat { i } \) + 0\(\hat { j } \) + 1\(\hat { k } \)
O का स्थिति सदिश = 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + k
P का स्थिति सदिश = 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \)
\(\vec { O } \)P = P का स्थिति सदिश – O का स्थिति सदिश
= 9\(\hat { i } \) – \(\hat { j } \) + 2\(\hat { k } \) – (3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) )


बल \(\vec { F } \) का बिंदु P के परितः आधूर्ण = \(\vec { r } \) × \(\vec { F } \)

प्रश्न 26.
(A) सिद्ध कीजिये कि
\(\hat { i } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { i } \) ) + \(\hat { j } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\hat { j } \) ) + \(\hat { k } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { k } \) ) = 2\(\vec { a } \).
हल:

(B) सिद्ध कीजिये कि
\(\vec { a } \) × ( \(\vec { b } \) × \(\vec { c } \) ) + \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) ) = \(\vec { 0 } \).
हल:
चूँकि

प्रत्येक को जोड़ने पर,

प्रश्न 27.
सिद्ध कीजिये कि [ \(\vec { a } \) + \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) × ( \(\vec { c } \) × \(\vec { a } \) ) + \(\vec { c } \) × ( \(\vec { a } \) × \(\vec { b } \) )
हल:

प्रश्न 28.
दो बल \(\vec { P } \) = 4\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – 3\(\hat { k } \) और \(\vec { Q } \) = 3\(\hat { i } \) + \(\hat { j } \) – \(\hat { k } \) एक कण पर क्रिया करते हैं, जिससे कण बिन्दु A (1, 2, 3) से बिन्दु B (5, 4, 1) तक विस्थापित होता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 29.
एक कण पर दो स्थिर बल 4\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \)) व 3\(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) कार्य करते हैं। वह कण बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) से बिन्दु 5\(\hat { i } \) + 4\(\hat { j } \) तक विस्थापित हो जाता है। बलों द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिए।
हल:

प्रश्न 30.
6 इकाई का बल जो सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) के समान्तर कार्य करता है एवं एक कण को बिन्दु \(\hat { i } \) + 2\(\hat { j } \) + 3\(\hat { k } \) से 5\(\hat { i } \) + 3\(\hat { j } \) + 7\(\hat { k } \) तक विस्थापित कर देता है। बल के द्वारा किया गया कार्य ज्ञात कीजिये।
हल:
सदिश 2\(\hat { i } \) – 2\(\hat { j } \) + \(\hat { k } \) समान्तर इकाई सदिश

प्रश्न 31.
सिद्ध कीजिए कि [ \(\vec { a } \) – \(\vec { b } \) \(\vec { b } \) – \(\vec { c } \) \(\vec { c } \) – \(\vec { a } \) ] = 0।
हल:
अदिश त्रिक गुणन की परिभाषा से,

MP Board Class 12th Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 12 Introduction to Three Dimensional Geometry

Introduction to Three Dimensional Geometry Important Questions

Introduction to Three Dimensional Geometry Objective Type Questions

(A) Choose the correct option :

Question 1.
Distance of a point (3,4, 5) from origin:
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) 5\(\sqrt {2}\)
Answer:
(d) 5\(\sqrt {2}\)

Question 2.
The perpendicular distance of the point P (x, y, z) from X – axis is:
(a) \(\sqrt { { x }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)
(b) \(\sqrt { { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)
(c) \(\sqrt { { x }^{ 2 } + { y }^{ 2 } }\)
(d) \(\sqrt { { x }^{ 2 } + { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)
Answer:
(b) \(\sqrt { { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)

Question 3.
Distance of a point (3, 2, 5) from X – axis is:
(a) \(\sqrt {28}\)
(b)\(\sqrt {30}\)
(c) \(\sqrt {29}\)
(d) 3
Answer:
(c) \(\sqrt {29}\)

Question 4.
The YZ – plane divides the line segment joining the points (2, 3, 4) and (3, 5, – 4) in the ratio:
(a) 2 : 3 internally
(b) 1 : 2
(c) 2 : 3 externally
(d) 1 : 3
Answer:
(c) 2 : 3 externally

Question 5.
Distance between the points (1, 2,3) and (1,3, -2) is :
(a) \(\sqrt {- 26}\)
(b) \(\sqrt {26}\)
(c) 26
(d) ± \(\sqrt {24}\)
Answer:
(b) \(\sqrt {26}\)

Question 6.
Coordinate of a point on Z – axis, equidistant from the points (1, 5, 7) and (5, 1, – 4) is :
(a) (0, 0, \(\frac { 3 }{ 2 }\)
(b) (o, \(\frac { 3 }{ 2 }\), 0)
(c) (\(\frac { 3 }{ 2 }\), 0, 0)
(d) (4, – 4, – 11)
Answer:
(a) (0, 0, \(\frac { 3 }{ 2 }\)

Question 7.
Distance of a point (2, 1, 4) from Y – axis is:
(a) \(\sqrt {20}\)
(b) 1
(c) \(\sqrt {12}\)
(d) \(\sqrt {10}\)
Answer:
(a) \(\sqrt {20}\)

(B) Match the following :

Answer:

1. (e)
2. (d)
3. (b)
4. (a)
5. (c)

(C) Fill in the blanks :

1. If the points (- 1, 3, 2), (- 4, 2, – 2) and (5, 5, λ ) are collinear, then value of λ is …………….
2. The perpendicular distance of point P(x, y, z) from YZ – plane is …………….
3. XY – plane divides the line segment joining the points (- 3, 4, 8) and (5, – 6, 4) in the ratio …………….
4. Distance between the points (1, – 3, 4) and (3, 11, – 6) is …………….
5. Perpendicular distance of a point P (3,4, 5) from YZ – plane is …………….

Answer:

1. 10
2. x
3. 2 : 1
4. 10\(\sqrt {3}\)
5. 3

(D) Write true / false :

1. Distance of a point (4, 3, 5) from Y – axis is \(\sqrt {40}\).
2. Distance of a point (5, 12, 13) from YZ – axis is \(\sqrt {313}\).
3. The coordinate of a point where YZ – plane divides the join of the points (3, 5, – 7) and (- 2, 1, 8) are (0, \(\frac { 13 }{ 5 }\), 2).
4. Coordinate of mid point of the line segment joining the points (- 3, 4, – 8) and (5, – 6, 4) are (1, – 1, 2).
5. Points A(1, 2, 3), B(4, 0, 4) and C (- 2, 4, 2) are collinear.

Answer:

1. False
2. True
3. True
4. False
5. True

(E) Write answer in one word / sentence :

1. A point R lies on the line segment joining the points P (2, – 3, 4) and Q(8, 0, 10) whose x coordinate is 4, then the coordinate of R will be.
2. In what ratio does the plane 2x + y – z = 3 divide the line segment joining the points A (2, 1, 3) and 5(4, – 2, 5)?
3. If the origin is the centroid of the triangle ABC with vertices A (a, 1, 3), B (- 2, b, – 5), C (4, 7, c) then write the value of a, b and c.
4. Find the locus of the point, which is equidistant to the points (3, 4, – 5) and (- 2, 1, 4).
5. In which ratio the XY – plane divides the line joining the points (2, 4, 2) and (2, 5, – 4)?

Answer:

1. (4, – 2, 6)
2. 1 : 2 externally
3. – 2, – 8, – 2
4. 10x + 6y – 18z – 29 = 0
5. 1 : 2 internally.

Introduction to Three Dimensional Geometry Very Short Answer Type Questions

Question 1.
A point is on X – axis. What are its y – co – ordinate and z – co – ordinate?
Answer:
y – co – ordinate and z – co – ordinate of point on X – axis is 0, 0 is (x, 0, 0).

Question 2.
A point is in the xz – plane. What can you say about is y – co – ordinate?
Answer:
On xz – plane the y – co – ordinate will be zero.

Question 3.
The X – axis and Y – axis taken together to form a plane, name of the plane is.
Answer:
The plane is known as xy – plane.

Question 4.
Co – ordinate of any point on xy – plane is.
Answer:
The co – ordinate of any point on xy – plane is (x, y, 0).

Question 5.
Length of perpendicular of point P(x, y, z) from X – axis is.
Answer:
Length of perpendicular = \(\sqrt { { y }^{ 2 } + { z }^{ 2 } }\)

Question 6.
Length of perpendicular of point P(x, y, z) from yz – plane is.
Answer:
Length of perpendicular of point P(x, y, z) from yz – plane is x.

Question 7.
Find the distance of point (3, 4, 5) from xz – plane.
Answer:
Distance of point (3, 4, 5) from xz – plane M(3, 0, 5) = \(\sqrt {0 + 16 + 0}\) = 4.

Question 8.
What is the centroid of ∆ABC whose vertices A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, Z₂) and C(x₃, y₃, z₃)?
Answer:
Centroid of ∆ABC is

Question 9.
Find distance between points (2,3, 5) and (4,3,1).
Solution:
Distance between two points A(x₁, y₁, z₁) and B(x₂, y₂, Z₂):

Question 10.
Find the distance between points (- 3, 7, 2) and (2, 4, – 1).
Solution:

Question 11.
Find the distance of the point (3, 2, 5) from X – axis.
Solution:
Point on X – axis (3, 0, 0)

Question 12.
Find the distance of the point (2, 1, 4) from Y – axis.
Solution:
Point on Y – axis (0, 1, 0)

Question 13.
The three dimensional planes divides the space in how many octants?
Answer:
Three dimensional plane divides the space in eight octants.

Introduction to Three Dimensional Geometry Short Answer Type Questions

Question 1.
Prove that the points (- 2, 3, 5) (1, 2, 3) and (7, 0, – 1) are collinear. (NCERT)
Solution:
Given point are A (- 2, 3, 5), B(1, 2, 3) and C (7, 0, – 1).

Hence points A, B, Care collinear.

Question 2.
Find the co – ordinates of the point which divides the line segment joining the points (- 2, 3, 5) and (1, – 4, 6) in the ratio 2 : 3 internally. (NCERT)
Solution:
Required co – ordinates are :

Question 3.
Given that P (3, 2, – 4), Q (5, 4, – 6) and R (9, 8, – 10) are collinear. Find the ratio in which Q divides PR. (NCERT)
Solution:

⇒ 5k + 5 = 9k + 3
⇒ 4k = 2
⇒ k = \(\frac { 1 }{ 2 }\)
Hence, point Q divides PR internally in ratio 1 : 2.

Question 4.
Find the ratio in which the YZ – plane divides the line segment formed by joining the points (- 2, 4, 7) and (3, – 5, 8).
Solution:
Let the point R (0, y, z) on YZ – plane divides the points P (- 2, 4, 7) and Q (3, – 5, 8) in the ratio m : n.
x = \(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}\)
⇒ 0 = \(\frac { m × 3 + n( – 2) }{ m + n }\)
⇒ 3m – 2n = 0
⇒ 3m = 2n
⇒ \(\frac { m }{ n }\) = \(\frac { 2 }{ 3 }\)
⇒ m : n = 2 : 3
YZ – plane divides the line PQ internally in ratio 2:3.

Question 5.
If the origin is the centroid of the ∆PQR with vertices P(2a, 2, 6), Q(- 4, 3b, – 10) and R (8, 14, 2c) then find the value of a, b and c. (NCERT)
Solution:
Centroid of APQR is :
x = \(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}\), y = \(\frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}\), z = \(\frac{z_{1} + z_{2} + z_{3}}{3}\)
Co – ordinate of centroid are (0, 0, 0),

Question 6.
Find the co – ordinates of a point on Y – axis which are at a distance of 5\(\sqrt {2}\) from the point P(3, – 2, 5).
Solution:
Let A (0, y, 0) be any point on Y – axis.
Given : PA = 5\(\sqrt {2}\)
PA² = 50
⇒ (3 – 0)² + (- 2 – y)² + (5 – 0)² = 50
⇒ 9 + 4 + y² + 4y + 25 = 50
⇒ y² + 4y + 38 – 50 = 0
⇒ y² + 4y – 12 = 0
⇒ y² + 6y – 2y – 12 = 0
⇒ y(y + 6) – 2(y + 6) = 0
⇒ (y – 2)(y + 6) = 0
⇒ y = 2, – 6
The co – ordinate on Y – axis is (0, 2, 0) or (0, – 6, 0).

Question 7.
A point R with x co – ordinate 4 lies on the line segment joining the points P (2, – 3, 4) and Q (8, 0, 10). Find the co – ordinate of the point R.
Solution:
Let the point R (x, y, z) divides PQ in ratio m : n.

Co – ordinate of R (4, – 2, 6).

Question 8.
Find the equation of set of points which are equidistant from the points (1, 2, 3) and (3, 2, – 1). (NCERT)
Solution:
Let point P (x, y, z) be equidistant from points A (1, 2, 3) and B (3, 2, – 1).
∴ PA = PB

⇒ PA² = PB²
⇒ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = (x – 3)² + (y – 2)² + (z +1)²
⇒ x² – 2x + 1 + z² – 6z + 9
– 2x – 6z + 10 = – 6x + 2z + 10
⇒ 4x – 8z = 0
⇒ x – 2z = 0.
This is the required equation.

Question 9.
In which ratio the point (1, 1, 1) divides the line joining the points (3, – 2, 4) and (- 1, 4, 2)?
Solution:
Let point R (1,1,1), divides the line joining the points P (3, – 2, 4) and Q(- 1, 4, 2) in ratio λ : 1.
By formula:
x = \(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}\)
Here x₁ = 3, x₂ = – 1, x = 1, m = λ and n = 1.
∴ 1 = \(\frac { λ(- 1) + 1 × 3 }{ λ + 1}\)
⇒ λ + 1 = – λ + 3
⇒ 2λ = 2
∴ λ = 1
Hence, required ratio is 1 : 1.

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 6 अवकलज के अनुप्रयोग

अवकलज के अनुप्रयोग Important Questions

अवकलज के अनुप्रयोग वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या r = 6 cm पर r के सापेक्ष क्षेत्रफल में परिवर्तन की दर है –
(a) 10π
(b) 12π
(c) 8π
(d) 11π
उत्तर:
(b) 12π

प्रश्न 2.
किसी बिन्दु पर y = x + 1, वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है –
(a) (1, 2)
(b) (2, 1)
(c) (1, -2)
(d) (- 1, 2)
उत्तर:
(a) (1, 2)

प्रश्न 3.
x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% की वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
(a) 0.03 x³
(b) 0.02 x³
(c) 0.06 x³
(d) 0.09 x³
उत्तर:
(c) 0.06 x³

प्रश्न 4.
वक्र x² = 2y पर (0, 5) से न्यूनतम दूरी पर स्थित बिन्दु है –
(a) (2\(\sqrt{2}\), 4)
(b) (2\(\sqrt{2}\), 0)
(c) (0, 0)
(d) (2, 2)
उत्तर:
(a) (2\(\sqrt{2}\), 4)

प्रश्न 5.
f (x) = x⁴ – x² – 2x+6 का न्यूनतम मान होगा –
(a) 6
(b) 4
(c) 8
(d) इनमें से कोई नहीं।
उत्तर:
(b) 4

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. 0 ≤ x ≤ π के लिए फलन f (x) = cosx ………………….. फलन होगा।
2. एक वृत्तीय प्लेट की त्रिज्या 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब r = 10 सेमी हो, तो क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ………………….. है।
3. फलन y = x(5 – x), x = ………………. पर उच्चिष्ठ है।
4. 2x + 3y का न्यूनतम मान, जब xy = 6, है ……………………… है।
5. sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान ……………….. है।
6. रेखा y = mx + 1 वक्र y² = 4x की स्पर्श रेखा है, तो m का मान …………………………….
7. वक्र y = x² के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ………………………. है।
8. अवकलों के प्रयोग द्वारा 10.6 का सन्निकटतम मान ………………………. है।

उत्तर:

1. ह्रासमान
2. 4π cm²/ sec
3. \(\frac{5}{2}\)
4. 12
5. \(\sqrt{2}\)
6. 1
7. 2
8. 0.8

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. फलन f (x) = e^x – e^-x, x के सभी वास्तविक मानों के लिए वर्धमान फलन \(\frac{1}{2}\) x² है।
2. यदि किसी समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं की लम्बाई x हो, तो उसका महत्तम क्षेत्रफल \(\frac{1}{2}\) x² होगा।
3. फलन f (x) = 3x² – 4x अंतराल (- ∞, \(\frac{2}{3}\) ) में वर्द्धमान है।
4. फलन f (x) = x – cot x सदैव ह्रासमान है।
5. वक्र y = e^x के बिन्दु (0, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण x + y = 1 है।

उत्तर:

1. सत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. \(\sqrt{49.5}\) का सन्निकट मान ज्ञात कीजिए।
2. परवलय y² = 4ax के बिन्दु (x’, y’) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
3. वक्र y = x² + 1 के बिन्दु (1, 2) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए।
4. फलन sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान ज्ञात कीजिए।
5. एक बर्फ का गोला चर त्रिज्या रखता है, उसके आयतन में परिवर्तन क्या होगा, जब उसकी त्रिज्या 1 मीटर हो।
6. किसी वर्ग की एक भुजा में 0.2 सेमी/सेकण्ड की दर से वृद्धि होती है। वर्ग के परिमाप की दर ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. 7.0357
2. yy’ = 2a (x + x’)
3. 3, 3
4. \(\sqrt{2}\)
5. 4π घन मीटर/सेकण्ड
6. 0.8 सेमी/सेकण्ड।

अवकलज के अनुप्रयोग दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 2 सेमी/सेकण्ड की एकसमान दर से बढ़ रही है। क्षेत्रफल में वृद्धि किस दर से होगी जबकि त्रिज्या 10 सेमी हो?
हल:
दिया है:
\(\frac{dr}{dt}\) = 2 सेमी/सेकण्ड
माना कि वृत्त का क्षेत्रफल A वर्ग सेमी है।
तब [ \(\frac{dA}{dt}\) ]_r=10 = ?
∵ वृत्त का क्षेत्रफल A = πr²
∴ \(\frac{dA}{dt}\) = π(2r). \(\frac{dr}{dt}\) = π(2r).(2)
⇒ \(\frac{dA}{dt}\) = 4πr
∴ [ \(\frac{dA}{dt}\) ]_r=10 = 4π(10)
= 40π वर्ग सेमी/सेकण्ड
अर्थात् क्षेत्रफल 40π वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 2.
एक हवा के बुलबुले की त्रिज्या 1/2 से.मी. प्रति सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब बुलबुले की त्रिज्या 1 से.मी. है तब किस दर से बुलबुले का आयतन बढ़ रहा है?
हल:
बुलबुले की त्रिज्या r हो, तो
∴ आयतन V = \(\frac{4}{3}\) πr³

प्रश्न 3.
एक गुब्बारे की त्रिज्या 10 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है, जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 सेमी है तब किस दर पर गुब्बारे की सतही क्षेत्रफल बढ़ रहा है?
हल:
माना गुब्बारे की त्रिज्या । है। यदि समय । पर उसकी सतही क्षेत्रफल A हो, तो
A = 4πr ²
समय t के साथ गुब्बारे के त्रिज्या में वृद्धि दर \(\frac{dr}{dt}\) = 10 सेमी/सेकण्ड
समय t के साथ गुब्बारे की क्षेत्रफल में वृद्धि के दर = \(\frac{dA}{dt}\)

अतः जब गुब्बारे की त्रिज्या 15 सेमी है, तब उसका क्षेत्रफल = 1200π वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 4.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिये जिनमें फलन f (x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1 वर्धमान या ह्रासमान है।
हल:
f (x) = 2x³ – 15x² + 36x + 1
⇒ f'(x) = 6x² – 30x + 36
= 6(x² – 5x + 6)
= 6(x – 2)(x – 3)
फलन f (x) के वर्धमान होने के लिए,
f'(x) > 0 = (x – 2 )(x – 3) > 0
⇒ या तो x – 2 > 0 तथा x – 3 > 0
⇒ x > 2 तथा x > 3
⇒ x > 3 स्पष्ट है फलन, अन्तराल (3, ∞) में वर्धमान होगा।
पुनः (x – 2)(x – 3) > 0
या तो x – 2 < 0 तथा x – 3 < 0
⇒ x < 2 तथा x < 3
⇒ x < 2
स्पष्ट है फलन, अन्तराल (-∞, 2) में वर्धमान होगा।
अतः दिया गया फलन, अन्तराल (-∞, 2)∪(3, ∞) में वर्धमान होगा।
पुनः f (x) के एक ह्रासमान फलन होने के लिए,
f'(x) < 0
⇒ (x – 2)(x – 3) < 0
या तो x – 2 < 0 तथा x – 3 > 0
⇒ x < 2 तथा x > 3, जो असम्भव है।
या x – 2 > 0 तथा x – 3 < 0 ⇒ x > 2 तथा x < 3
⇒ 2 < x < 3
अत: फलन f (x) एक ह्रासमान फलन है, जबकि 2 < x < 3.
अर्थात् फलन f (x) अन्तराल (2, 3) में ह्रासमान होगा।

प्रश्न 5.
(A) यदि x + y = 8 हो, तो xy का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
माना
P = xy
⇒ x + y = 8
⇒ y = 8 – x
∴ P = x(8 – x) = 8x – x²
⇒ \(\frac{dP}{dx}\) = 8 – 2x
⇒ \(\frac { d^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } \) = -2
महत्तम और न्यूनतम मान के लिए,
8 – 2x = 0
⇒ x = 4
अब x = 4 पर \(\frac { d^{ 2 }P }{ dx^{ 2 } } \) = -2, जो ऋणात्मक है।
∴ x = 4 पर P का मान महत्तम है।
जब x = 4 तब y = 4
P का महत्तम मान = xy, जब x = 4, y = 4
= 4 × 4 = 16.

(B) यदि x + y = 10 हो, तो xy का महत्तम मान ज्ञात कीजिए।
हल:
प्रश्न क्र. 5 (A) की भाँति हल करें।

प्रश्न 6.
यदि वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रही है। जब वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है, तब किस दर से वृत्त का क्षेत्रफल बढ़ रहा है?
हल:
माना कि वृत्त की त्रिज्या है।
यदि समय t पर उसका क्षेत्रफल A हो, तो –
A = πr²
समय t के साथ वृत्त की त्रिज्या में वृद्धि की दर = \(\frac{dr}{dt}\) = 3 सेमी/सेकण्ड।
समय t के साथ वृत्त के क्षेत्रफल में वृद्धि की दर = \(\frac{dA}{dt}\)
= \(\frac { d }{ dx } \) (πr²)
= \(\frac { d }{ dr } \) (πr²). \(\frac { dr }{ dt } \)
= π.2r.3 [∵ \(\frac { dr }{ dt } \) = 3]
= 6πr
अतः वृत्त के क्षेत्रफल में अभीष्ट वृद्धि की दर = \(\frac{dA}{dt}\) = 6πr
= 6π × 10,
= 60π [r = 10 पर]
अतः r = 10 सेमी पर वृत्त का क्षेत्रफल 607 वर्ग सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है।

प्रश्न 7.
एक घन का आयतन 9 सेमी/सेकण्ड की दर से बढ़ रहा है। यदि इसके कोर की लंबाई 10 सेमी है, तो इसके पृष्ठ का क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है? (NCERT)
हल:
माना घन का आयतन V है तथा घन की कोर की लंबाई a सेमी है।
घन का आयतन V = a³
∴ \(\frac{dV}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\)a³
दिया है:
\(\frac{dV}{dt}\) = 9 सेमी³/सेकण्ड

माना घन का पृष्ठ S है।
S = 6a²

प्रश्न 8.
(A) एक आदमी जिसकी ऊँचाई 180 सेमी है, एक बिजली के खम्भे से 1.2 मीटर प्रति सेकण्ड की दर से दूर हट रहा है। यदि बिजली के खम्भे की ऊँचाई 4.5 मीटर है, तो वह दर ज्ञात कीजिए जिस पर उसकी छाया बढ़ रही है।
हल:
AB = बिजली का खम्भा, PQ = आदमी, QC = x = छाया की लम्बाई, माना BQ = y
\(\frac{dy}{dx}\) = 1.2 = वह दर जिससे आदमी दूर हट रहा है।
\(\frac{dx}{dt}\) = वह दर जिससे छाया बढ़ रही है।

0.8 मीटर/सेकण्ड 0.8 मीटर/सेकण्ड छाया बढ़ने की दर होगी।

(B) 2 मीटर ऊँचाई का आदमी 6 मीटर ऊँचे बिजली के खंभे से दूर 5 किमी/घण्टा की समान चाल से चलता है। उसकी छाया की लंबाई की वृद्धि दर ज्ञात कीजिये। (NCERT)
हल: प्रश्न 8 (A) की भाँति हल करें।
[उत्तर: \(\frac{5}{2}\) किमी/घण्टा।]

प्रश्न 9.
एक सीढ़ी जो 5 मीटर लम्बी है, एक दीवार से झुकी है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से दूर धरातल के सहारे 2 मीटर/सेकण्ड की दर से खींचा जाता है। जब सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 4 मीटर दूर है, तब किस दर से दीवार पर इसकी ऊँचाई घट रही है? (NCERT)
हल:
माना, किसी समय सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से x मीटर की दूरी पर है तथा इस समय दीवार की ऊँचाई ” मीटर है। तब चित्रानुसार,
x² + y² = 25 …………………. (1)
t के सापेक्ष अवकलन करने पर,
2x \(\frac{dx}{dt}\) + 2y\(\frac{dy}{dt}\) = 0
⇒ x\(\frac{dx}{dt}\) + y\(\frac{dy}{dt}\) = 0 …………………….. (2)
सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूर खींचे जाने की दर,
\(\frac{dx}{dt}\) = 2 मीटर/सेकण्ड।
∴ x.2 + y\(\frac{dy}{dt}\) = 0
⇒ y\(\frac{dy}{dt}\) = -2x
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = \(\frac{-2x}{y}\)
जब x = 4 मीटर, तब समी. (1) से,
16 + y² = 25
⇒ y² = 25 – 16 = 9
⇒ y = 3 मीटर
∴ समी. (3) से,
\(\frac{dy}{dt}\) = –\(\frac { 2\times 4 }{ 3 } \) = –\(\frac{8}{3}\)
अतः दीवार पर सीढ़ी की ऊँचाई 8/3 मीटर/सेकण्ड की दर से घट रही है।

प्रश्न 10.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिए जिनमें फलन, f (x) = 5x² + 7x – 13 वर्धमान या ह्रासमान है।
हल:
दिया है:
f (x) = 5x² + 7x – 13
∴ f'(x) = 10x + 7
फलन f(x) के वर्धमान होने के लिए,
f'(x) > 0
⇒ 10x + 7 > 0
⇒ x > \(\frac{-7}{10}\)
∴ फलन. f (x), अन्तराल ( \(\frac{-7}{10}\), ∞) में एक वर्धमान फलन है।
पुनः फलन f (x) के ह्रासमान होने के लिए,
f'(x) < 0
⇒ 10x + 7 < 0
⇒ x < \(\frac{-7}{10}\)
∴ फलन. f (x), अन्तराल (- ∞, \(\frac{-7}{10}\) ) में एक वर्धमान फलन है।

प्रश्न 11.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिए, जिनमें फलन f (x) = 2x³ – 24x + 5 वर्धमान या हासमान है।
हल:
दिया गया फलन है:
f (x) = 2x³ – 24x + 5
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
f'(x) = 6x² – 24
⇒ f'(x) = 6(x² – 4)
⇒ f'(x) = 6(x + 2)(x – 2)

(A) फलन f (x) के वर्धमान होने के लिए शर्त,
f'(x) > 0
6(x + 2)(x – 2) > 0 ⇒ 6(x + 2)(x – 2) < 0
∴ f (x), x ∈ (-2,-2) में वर्धमान है।

(B) फलन f (x) के ह्रासमान होने के लिए शर्त,
f'(x) < 0 ⇒ 6(x + 2)(x – 2) < 0 ∴ f (x), x ∈ (-2, 2) में ह्रासमान है।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए x के सभी वास्तविक मानों के लिए फलन f (x) = x – cos x वर्धमान फलन है। हल: दिया गया फलन है: f (x) = X – cos x f'(x) = 1- (- sin x) ⇒ f'(x) = 1 + sin x हम जानते हैं x के सभी वास्तविक मानों के लिए, -1 ≤ sin x ≤ 1 – 1 + 1 ≤ 1 + sin x ≤ 1 + 1 0 ≤ 1 + sin x ≤ 2
अत:
x के सभी वास्तविक मानों के लिए 1 + sin x धनात्मक है स्पष्टतः f'(x) भी धनात्मक होगा। अर्थात् f'(x) > 0. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
a का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए अंतराल [1, 2] में f (x) = x² + ax + 1 से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है। (NCERT)
हल:
दिया है:
f (x) = x² + ax + 1
∴ f'(x) = 2x + a
अब, 1 < x < 2
⇒ 2 < 2x < 4
⇒ 2 + a < 2x + a < 4 + a
⇒ 2 + a < f'(x) < 4 + a f (x) के निरंतर वर्धमान होने के लिए हम जानते हैं कि f'(x) > 0
अर्थात् 2 + a > 0 ⇒ a > -2
अत: a का न्यूनतम मान -2 है।

प्रश्न 14.
मान लीजिए [-1, 1] से असंयुक्त एक अन्तराल I हो, तो सिद्ध कीजिए कि f (x) = x + \(\frac{1}{x}\) से प्रदत्त फलन निरंतर वर्धमान है। (NCERT)
हल:
f (x) = x + \(\frac{1}{x}\)

अन्तराल [-1, 1] असंयुक्त है
यदि x < -1 तब f'(x) > 0
यदि x > 1 तब f'(x) > 0
अतः अन्तराल I में f (x) निरंतर वर्धमान है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 15.
वे अन्तराल ज्ञात कीजिये जिनमें निम्न फलन वर्धमान या ह्रासमान है –
f (x) = x⁴ – \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \)
हल:
f (x) = x⁴ – \(\frac { x^{ 3 } }{ 3 } \)
⇒ f'(x) = 4x³ – \(\frac { 3.x^{ 2 } }{ 3 } \)
⇒ f'(x) = x² (4x – 1)
f'(x) = 0 लेने पर,
x² (4x – 1) = 0
⇒ x = 0 या x = \(\frac{1}{4}\)

अत: 0 तथा \(\frac{1}{4}\), X अक्ष को तीन असंयुक्त अंतराल में बाँटते है –
(-∞, 0), (0, \(\frac{1}{4}\) ), ( \(\frac{1}{4}\), ∞)
अन्तराल (-∞, 0) मे –
f'(x) = x² (4x – 1), [∵ x² = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) < 0
अन्तराल (-∞, 0) मे –
f'(x) = x² (4x – 1), [∵ x² = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) < 0
∴ अन्तराल (-∞, 0) मे f (x) हसमान है।
अन्तराल (0, \(\frac{1}{4}\) ) मे –
f'(x) = x² (4x – 1), [∵ x² = +ve]
[तथा 4x – 1 = 0 ]
⇒ f'(x) > 0
∴ अन्तराल ( \(\frac{1}{4}\), ∞) मे f (x) वर्धमान है।

प्रश्न 16.
एक आयत का परिमाप 100 सेमी है। अधिकतम क्षेत्रफल के लिए आयत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
माना कि आयत की लम्बाई x और चौड़ाई y है। तब,
आयत का परिमाप = 2(x + y)
⇒ 2x + 2y = 100
⇒ x + y = 50
माना आयत का क्षेत्रफल A है। तब
A = xy = x (50 – x) = 50x – x², [समी. (1) से]
∴ \(\frac{dA}{dx}\) = 50 – 2x
और \(\frac { d^{ 2 }A }{ dx^{ 2 } } \) = -2
A अधिकतम अथवा न्यूनतम होगा जब
\(\frac{dA}{dx}\) = 0
⇒ 50 – 2x = 0 या x = 25
x के प्रत्येक मान के लिए \(\frac { d^{ 2 }A }{ dx^{ 2 } } \) ऋण है।
∴ x = 25 पर आयत का क्षेत्रफल अधिकतम है।
समी. (1) से,
y = 50 – x = 50 – 25 = 25
अत: आयत की प्रत्येक भुजा 25 सेमी हुई।

प्रश्न 17.
एक आयत का क्षेत्रफल 25 वर्ग सेमी है, इसकी लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए जबकि इसका परिमाप न्यूनतम हो।
हल:
माना आयत की लम्बाई x व चौड़ाई y इकाई है।
दिया है: आयत का क्षेत्रफल A = 25 वर्ग इकाई
xy = 25 …………………… (1)
आयत का परिमाप

उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ के लिये \(\frac{dP}{dx}\) = 0

जो x = 5 के लिये + ve है।
∴ न्यूनतम परिमाप के लिये x = 5 सेमी।
y = \(\frac{25}{x}\) = \(\frac{25}{5}\) = 5 सेमी।

प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि sin x + cos x का उच्चिष्ठ मान \(\sqrt{2}\) है।
हल:
माना f (x) = sin x + cos x ………………. (1)
∴ f'(x) = cos x – sin x ………………… (2)
तथा f”(x) = – sinx – cox ……………….. (3)
उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ मान के लिए,
f”(x) = 0
∴ cos x – sin x = 0
⇒ sin x = cos x
⇒ tan x = 1
∴ x = \(\frac { \pi }{ 4 } \), \(\frac { 3\pi }{ 4 } \), \(\frac { 5\pi }{ 4 } \)
अब समी. (3) में x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) रखने पर,

चूंकि f”( \(\frac { \pi }{ 4 } \) )ऋणात्मक है। अत: x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) पर दिया गया फलन उच्चिष्ठ है। इसी प्रकार दिया गया फलन x = \(\frac { 3\pi }{ 4 } \), \(\frac { 5\pi }{ 4 } \) ………………. पर भी उच्चिष्ठ होगा।
समी. (1) में x = \(\frac { \pi }{ 4 } \) रखने पर,
उच्चिष्ठ मान f ( \(\frac { \pi }{ 4 } \) ) = sin \(\frac { \pi }{ 4 } \) + cos \(\frac { \pi }{ 4 } \)
= \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) + \(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } \) = \(\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } } \) = \(\sqrt{2}\) यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 19.
दो धनात्मक संख्याएँ इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि x + y = 60 तथा xy³ उच्चिष्ठ हो। (NCERT)
हल:
दिया हुआ है:
x + y = 60
माना u = xy³
समी. (1) से x का मान समी. (2) में रखने पर,
image 16
∴ u के उच्चिष्ठ व निम्निष्ठ मान के लिए \(\frac{du}{dy}\) = 0
∴ 180y² – 4y³ = 0
⇒ 4y² (45 – y) = 0
⇒ y = 0, y = 45
⇒ y = 45 (∵ y ≠ 0)
अब y = 45 पर \(\frac { d^{ 2 }u }{ dy^{ 2 } } \) का मान
= 360 × 45 – 12 × 45 × 45
= 12 × 45(30 – 45), (∵y ≠ 0)
जो सप्तस्ततः ऋणात्मक है।
अतिएव y = 45 पर, u उच्चिष्ठ है।
∴ समी. (1) से,
x + 45 = 60
⇒ x = 60 – 45 = 15
अतः अभीष्ट 15 और है 45 है।

प्रश्न 20.
वक्र y = x³ – x + 1 की स्पर्श रेखा की प्रवणता उस बिन्दु पर ज्ञात कीजिए जिसकाx निर्देशांक 2 है। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = x³ – x + 1
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) (x³ – x + 1)
= \(\frac{d}{dx}\) x³ – \(\frac{d}{dx}\) x + \(\frac{d}{dx}\) 1
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 1 + 0
⇒ \(\frac{dy}{dx}\) = 3x² – 1
x = 2 पर स्पर्श रेखा की प्रवणता
( \(\frac{dy}{dx}\) )_x=2 = 3(2)² – 1
= 3 × 4 – 1 = 11

प्रश्न 21.
वक्र y = \(\frac { x-1 }{ x-2 } \), x ≠ 2 के x = 10 परस्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = \(\frac { x-1 }{ x-2 } \)
\(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) = ( \(\frac { x-1 }{ x-2 } \) )

प्रश्न 22.
वक्र y = x³ – 3x² – 9x + 7 पर उन बिन्दुओं को ज्ञात कीजिए जिन पर स्पर्श रेखा X अक्ष के समान्तर है। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है –
y = x³ – 3x² – 9x + 7
image 18
स्पर्श रेखा X – अक्ष के समान्तर है।
∴ \(\frac{dy}{dx}\) = 0
3(x – 3)(x + 1) = 0
⇒ x = 3, -1
जब x = 3 तब y = (3)³ – 3(3)² – 9 × 3 + 7
y = 27 – 27 – 27 + 7
y = – 20
जब x = -1 तब y = (-1)³ – 3(-1)² – 9(-1) + 7
y = – 1 – 3 + 9 + 7
y = 12
बिन्दुओं (3, -20) और (-1, 12) पर स्पर्श रेखाएँ x – अक्ष के समान्तर होगी।

प्रश्न 23.
परवलय y² = 4ax के बिन्दु (at², 2at) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
परवलय का समीकरण है –
y² = 4ax


(_x1y1) स्पर्श रेखा का समीकरण है –
y – y₁ = \(\frac{dy}{dx}\) (x – x₂)
जँहा x₁ = at², y₁ = 2at, \(\frac{dy}{dx}\) = \(\frac{1}{t}\)
y – 2at = \(\frac{1}{t}\)(x – at²)
⇒ yt – 2at² = x – at²
⇒ x – ty + at² = 0.

प्रश्न 24.
वक्र x^2/3 + y^2/3 = 2 के बिन्दु (1, 1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
वक्र का समीकरण है –
x^2/3 + y^2/3 = 2

(_x1y1) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है
y – y₁ = ( \(\frac{dy}{dx}\) ) (_x1y1) (x – x₁)
यहाँ x₁ = 1, y₁ = 1, \(\frac{dy}{dx}\) = -1
y – 1 = -(x – 1)
⇒ y – 1 = -x + 1
⇒ x + y – 2 = 0.

प्रश्न 25.
वक्र 2y + x² = 3 के बिन्दु (1, 1) पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
दिये गये वक्र का समीकरण है:
2y + x² = 3

(x₁, y₁) पर अभिलम्ब का समीकरण होगा –

प्रश्न 26.
(A) वक्र x = cost, y = sint के t = = पर अभिलम्ब का समीकरण ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
I वक्र का समीकरण है –
x = cos t
\(\frac{dx}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\)cos t
⇒ \(\frac{dx}{dt}\) = – sin t
II वक्र का समीकरण है –
y = sin t
\(\frac{dy}{dt}\) = \(\frac{d}{dt}\) sin t
⇒ \(\frac{dy}{dt}\) = cos t

(x₁, y₁) पर अभिलम्ब का समीकरण है –

(B) वक्र 16x² + 9y² = 145 के बिन्दु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब के समीकरण ज्ञात कीजिये, जहाँ x₁ = 2 तथा y₁ > 0। (CBSE 2018)
हल:
वक्र का समीकरण है –
16x² + 9y² = 145

समी. (1) में x = 2 रखने पर,
16. (2)² + 9y² = 145
⇒ 64 + 9y² = 145
⇒ 9y² = 145 – 64 = 81
⇒ y² = 9 [y ≠ -3 ∵y₁ > 0]
⇒ y = 3
बिन्दु (2, 3) पर \(\frac{dy}{dx}\) = – \(\frac{16}{9}\).\(\frac{2}{3}\) = – \(\frac{32}{27}\)
बिन्दु (2, 3) पर वक्र (1) की स्पर्श रेखा
y – y₁ = \(\frac{dy}{dx}\) (x – x₁)
⇒ y – 3 = \(\frac{-32}{7}\) (x – 2)
⇒ 27y – 81 = -32x + 64
⇒ 32x + 27y = 145
बिन्दु (2, 3) पर वक्र (1) का अभिलम्ब

⇒ 32y – 96 = 27x – 54
⇒ 27x – 32y = 42

प्रश्न 27.
(25)^1/3 का सन्निकट करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x^1/3
जहाँ x = 27 और ∆x = -2

∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

(25)^1/3 का सन्निकट मान
= 3 + ∆y
= 3 – 0.074
= 2.926.

प्रश्न 28.
\(\sqrt { 36.6 } \) का सन्निकटन करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए।
हल:
माना y = \(\sqrt{x}\)
जहाँ x = 36 और ∆x = 0.6

∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

\(\sqrt { 36.6 } \) का सन्निकट मान = ∆y + 6
= 0.05 + 6 = 6.05.

प्रश्न 29.
(15)^1/4 का सन्निकट करने के लिए अवकल का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x^1/4
जहाँ x = 16 और ∆x = -1

∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

(15)^1/4 का सन्निकट मान = ∆y + 2 = 2 – 0.031 = 1.969.

प्रश्न 30.
(26)^1/3 का सन्निकट करने के लिए अवकलज का प्रयोग कीजिए। (NCERT)
हल:
माना y = x^1/3
जहाँ x = 27 और ∆x = -1


∆y सन्निकटतः dy के बराबर है।

(26)^1/3 का सन्निकट मान = ∆y+3
= 3 – 0.037 = 2.963.

प्रश्न 31.
एक गोले की त्रिज्या 9 सेमी मापी जाती है जिसमें 0.03 सेमी की त्रुटि है। इसके पृष्ठ के क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना गोले की त्रिज्या r तथा त्रिज्या मापन में त्रुटि ∆r है
दिया है:
r = 9 सेमी, ∆r = 0.03 सेमी
गोले का पृष्ठ S = 4πr²
\(\frac{dS}{dr}\) = 4π \(\frac{d}{dr}\)r²
⇒ \(\frac{dS}{dr}\) = 8πr
∆S = ( \(\frac{dS}{dr}\) ) ∆r
= (8πr) × 0.03 = 8π × 9 × 0.03 = 2.16 मी²
पृष्ठ क्षेत्रफल के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 2.16 मी² है।

प्रश्न 32.
एक गोले की त्रिज्या 7 मी मापी जाती है जिसमें 0.02 मी की त्रुटि है। इसके आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
माना गोले की त्रिज्या r तथा त्रिज्या मापन में त्रुटि ∆r है
दिया है:
r = 7 मी, ∆r = 0.02 मी
गोले का आयतन V = \(\frac{4}{3}\)πr³

आयतन के परिकलन में सन्निकट त्रुटि 3.9π मी³ है।

प्रश्न 33.
x मी भुजा वाले घन की भुजा में 1% वृद्धि के कारण घन के आयतन में होने वाला सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
घन की भुजा x मी है
घन का आयतन V = x³, ∆x = x का 1% = \(\frac{x}{100}\)
\(\frac{dV}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) x³ = 3x²
आयतन में परिवर्तन ∆V = ( \(\frac{dV}{dx}\) ) ∆x
= 3x² × \(\frac{x}{100}\) = 0.03 x³ मी³
आयतन में सन्निकट परिवर्तन 0.03x³ मी³ है।

प्रश्न 34.
x मीटर भुजा वाले घन की भुजा में 2% वृद्धि के कारण से घन के आयतन में सन्निकट परिवर्तन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
घन की भुजा x मीटर है।
∆x = x का 2% = \(\frac { x\times 2 }{ 100 } \) = 0.02x
घन का आयतन V = x³
\(\frac{dV}{dx}\) = \(\frac{d}{dx}\) x³ = 3x²
dV = ( \(\frac{dV}{dx}\) ) ∆x = 3x² × 0.02x = 0.06 x³ मी³
आयतन में सन्निकट परिवर्तन 0.06x³ मी³ है।

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 13 Limits and Derivatives

Limits and Derivatives Important Questions

Limits and Derivatives Short Answer Type Questions

Evaluate the following limits :

Question 1.

Solution:

Question 2.

Solution:

Question 3.

Solution:

Question 4.

Solution:

Question 5.

Solution:

Question 6.

Solution:

Question 7.

Solution:

Question 8.

Solution:

Question 9.
If = 405, then find the value of n.
Solution:

Question 10.
Find the value of :

Solution:

Question 11.

Solution:

Question 12.
If y = e^x cos x, then find the value of \(\frac { dy }{ dx }\)
Solution:
y = e^x.cos x
I II
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(e^x.cos x)
= e^x.\(\frac { d }{ dx }\)cos x + cos x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^x( – sin x) + cos x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^x[cos x – sin x].

Question 13.
If y = e^x cos x, then find the value of \(\frac { dy }{ dx }\)
Solution:
y = e^x.sin x
I II
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(e^x.sin x)
= e^x.\(\frac { d }{ dx }\)sin x + sin x\(\frac { d }{ dx }\)e^x
= e^xcos x + ^x.e^x
= e^x(cos x + sin x).

Question 14.
Differentiate sin(x + a) w.r.t. x.
Solution:
Let y = sin(x + a)
y = sin x cos a + cos x sin a
∴\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(sin x cos a + cos x sin a)
= cos a\(\frac { d }{ dx }\) sin x + sin\(\frac { d }{ dx }\)cos x
= cos a cos x – sin a sin x
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = cos(x + a).

Question 15.
Differentiate cosecx.cotx w.r.t. x.
Solution:
Let y = cosec x. cot x
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[cosec x. cot x]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = cot x\(\frac { d }{ dx }\) cosec x + cosec x\(\frac { d }{ dx }\) cot x
= – cot xcosec x cot x – cosec x.cosec² x
\(\frac { dy }{ dx }\) = – cosec x[cot² x + cosec² x].

Question 16.
Differentiate \(\frac { cos x }{ 1 + sin x }\) w.r.t. x.
Solution:
Let y = \(\frac { cos x }{ 1 + sin x }\)

Question 17.
Differentiate \(\frac { sec c – 1 }{ sec x + 1 }\) w.r.t. x.
Solution:
Let y = \(\frac { sec c – 1 }{ sec x + 1 }\)

Question 18.
Differentiate sinⁿ x w.r.t. x.
Solution:
Let y = sinⁿ x
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)(sinⁿ x )
Put sin x = t,
\(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)tⁿ = \(\frac { d }{ dt }\)tⁿ. \(\frac { dt }{ dx }\) = n sin^{n – 1}\(\frac { d }{ dx }\)(sin x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = n sin^{n – 1}x cos x.

Limits and Derivatives Long Answer Type Questions

Question 1.
Let f(x) =
, then find the value of a and b.
Solution:

Question 2.
Find the value of , where

Solution:

Question 3.
f(x) is defined such that
and is exist x = 2, then find the value of k.
Solution:

Question 4.
If the function f(x) satisfies= π, then find the value of
Solution:

Question 5.
Find the differential coefficient of the following functions by using first principle method :
(i) sin(x + 1), (ii) cos(x – \(\frac { π }{ 8 }\),
Solution:
(i) Let f(x) = sin(x + 1)
∴ f(x + h) = sin[x + h + 1]
By definition of first principle,

By definition of first principle,

Find the differential coefficient of the following functions

Question 6.
(ax² + sin x)(p + q cos x). (NCERT)
Solution:
Let y = (ax² + sin x)(p + q cos x).
∴ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[(ax² + sin x)(p + q cos x)]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (p + q cos x)\(\frac { d }{ dx }\)(ax² + sin x) + (ax² + sin x)\(\frac { d }{ dx }\) (p + q cos x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (p + q cos x)(2a + cos x) + (ax² + sin x)(0 – q sin x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = – q sin x(ax² + sin x) + (p + q cos x)(2a + cos x)

Question 7.
(x + cos x)(x – tan x) (NCERT)
Solution:
Let y = (x + cos x)(x – tan x)
∴ \(\frac { dy }{ dx }\) = \(\frac { d }{ dx }\)[(x + cos x)(x – tan x)]
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)\(\frac { d }{ dx }\)(x + cos x) + (x + cos x)\(\frac { d }{ dx }\)(x – tan x)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)(1 – sinx) + (x + cos x)(1 – sec² x)
= (x – tan x)(1 – sinx) + (x + cos x)(sec² x – 1)
⇒ \(\frac { dy }{ dx }\) = (x – tan x)(1 – sinx) – tan² x(x + cos x)

Question 8.
\(\frac { 4x + 5sin x }{ 3x + 7 cos x}\)
Solution:
Let y = \(\frac { 4x + 5sin x }{ 3x + 7 cos x}\)

Question 9.
\(\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}\)
Solution:
Let y = \(\frac{x^{2} \cos \frac{\pi}{4}}{\sin x}\)

Question 10.
\(\frac { x }{ 1 + tan x}\)
Solution:
Let y = \(\frac { x }{ 1 + tan x}\)

Question 11.
Find the differential coefficient of \(\frac { sec x – 1 }{ sec x + 1}\)
Solution:
Let y = \(\frac { sec x – 1 }{ sec x + 1}\)

Question 12.
If y = \(\frac { x }{ x + 4 }\), then prove that:
x\(\frac { dy }{ dx}\) = y(1 – y)
Solution:
Given : y = \(\frac { x }{ x + 4 }\)

Question 13.
If y = \(\sqrt {x}\) + \(\frac{1}{\sqrt{x}}\), then prove that : 2x\(\frac { dy }{ dx}\) + y – 2 \(\sqrt {x}\) = 0
Solution:
Given : y = \(\sqrt {x}\) + \(\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Question 14.
Find the differential coefficient of \(\frac { sin(x + a) }{ cos x }\)
Solution:
Let y = \(\frac { sin(x + a) }{ cos x }\)
⇒ y = \(\frac { sin x + cos a + cos x sin a }{ cos x }\)
⇒ y = \(\frac { sin x + cos a }{ cos x }\) + \(\frac { cos x + sin a }{ cos x }\)
⇒ y = cos a tan x + sin a
∴ \(\frac { dy }{ dx}\) = \(\frac { d }{ dx}\)(cos a tan x + sin a)
= cos a \(\frac { d }{ dx}\) tan x + \(\frac { d }{ dx}\) sin a
= cos a x sec² x + 0
= sec²x. cos a.

Question 15.
If f(x) = \(\frac { { x }^{ 100 } }{ 100 } +\frac { { x }^{ 99 } }{ 100 }\)+……..\(\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }\) + x +1, then prove that:
f'(1) = 100 f'(0). (NCERT)
Solution:
Put x = 1, we get
f'(1) = 1 + 1 + ………. 1 + 1 (100 times)
f’(1) = 100 …. (1)
Put x = 0, we get
f'(0) = 0 + 0 + ……… 0 + 1
f’(0) = 1 …. (2)
From equation (1) and (2),
f'(1) = 100 f'(0).

Question 16.
Find the differential coefficient of cos x by first principle method. (NCERT)
Solution:
Let f(x) = cosx
∴ f(x + h) = cos(x + h)
By definition of first principle

Question 17.
Find the differential coefficient of f(x) = \(\frac { x + 1 }{ x – 1 }\) by first principle method.
Solution:
Given : f(x) = \(\frac { x + 1 }{ x – 1 }\)
f(x + h) = \(\frac { x + h + 1}{ x + h – 1 }\)
By definition of first principle,

MP Board Class 11th Maths Important Questions

MP Board Class 12th Maths Important Questions Chapter 1 संबंध एवं फलन

संबंध एवं फलन Important Questions

संबंध एवं फलन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनकर लिखिए –

प्रश्न 1.
मान लीजिए कि f (x) = 8x द्वारा परिभाषित फलन f : R → R फलन है –
(a) f एकैकी आच्छादक है
(b) f बहुएक आच्छादक है
(c) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(d) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी आच्छादक है

प्रश्न 2.
फलन f(x) = \(\frac { e^{ x^{ 2 } }-e^{ -x^{ 2 } } }{ e^{ x^{ 2 } }+e^{ -x^{ 2 } } } \) द्वारा परिभाषित फलन f : R → R है –
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है
(b) f एकैकी आच्छादक है
(c) f न तो एकैकी है और न आच्छादक है
(d) f बहुएक आच्छादक है।
उत्तर:
(a) f एकैकी है परन्तु आच्छादक नहीं है

प्रश्न 3.
यदि f : R → R, f(x) = (3 – x³)^1/3 द्वारा प्रदत्त है तो fof(x) बराबर हैं –
(a) x^1/3
(b) x³
(c) x
(d) (3 – x³)
उत्तर:
(c) x

प्रश्न 4.
a * b = a³ + b³ प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए –
(a) * साहचर्य तथा क्रमविनिमेय दोनों है
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है
(c) * साहचर्य है, किन्तु क्रमविनिमेय नहीं है
(d) * न तो क्रमविनिमेय है और न साहचर्य है।
उत्तर:
(b) * क्रमविनिमेय है, किन्तु साहचर्य नहीं है

प्रश्न 5.
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है –
(a) 10
(b) 16
(c) 20
(d) 8
उत्तर:
(b) 16

प्रश्न 2.
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए –

1. यदि A = {1, 2, 3} हो, तो अवयव (1, 2) वाले तुल्यता सम्बन्धों की संख्या ……………………………….. होगी।
2. यदि f : R → R जहाँ f(x) = 5x – 7, ∀x ∈ R तो f^-1(7) का मान ………………………….. होगा।
3. यदि f : R → R तथा f(x) = x² – 3x + 2 से परिभाषित है, तो f(f(x)) का मान …………………………….. होगा।
4. यदि f : R → R; f (x) = 2x + 5 द्वारा परिभाषित है तब f^-1(y) का मान …………………………….. होता है।
5. f(x) = x³ द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R …………………………. है।

उत्तर:

1. 2
2. 0
3. x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x
4. \(\frac{1}{2}\) (y-5)
5. एकैकी है।

प्रश्न 3.
निम्न कथनों में सत्य/असत्य बताइए –

1. माना कि समुच्चय A = {1, 2, 3} पर एक सम्बन्ध R= {(1, 3), (3, 1), (3, 3)} है। तब R सममित, संक्रामक है, किन्तु स्वतुल्य नहीं है।
2. यदि f : A → B एकैकी आच्छादक फलन हो, तो f का प्रतिलोम f^-1 अद्वितीय होता है।
3. फलनों का संजोयन क्रमविनिमेयी होता है।
4. प्रत्येक फलन व्युत्क्रमणीय होता है।
5. माना कि समुच्चय Q⁺ पर एक द्विआधारी संक्रिया ^*, a * b = \(\frac{ab}{3}\), ∀a, b ∈ Q⁺ से परिभाषित है, तब 4 * 6 का प्रतिलोम \(\frac{9}{8}\) है।

उत्तर:

1. असत्य
2. सत्य
3. असत्य
4. असत्य
5. सत्य।

प्रश्न 4.
एक शब्द/वाक्य में उत्तर दीजिए –

1. समुच्चय A = {a, b, c} पर तत्समक संबंध लिखिए।
2. फलन f(x) = \(\frac { \left| x-1 \right| }{ x-1 } \) का परिसर क्या है?
3. फलन f(x) = \(\sqrt { 25-x^{ 2 } } \) से परिभाषित वास्तविक फलन का प्रान्त लिखिए।
4. माना कि एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = 3a + 4b – 2 से परिभाषित है तब 4 * 5 ज्ञात कीजिए।
5. माना कि f.g: R → R क्रमशः f(x) = 2x +1 और g(x) = x² – 2, ∀x ∈ R से परिभाषित है। तब gof (x) ज्ञात कीजिए।

उत्तर:

1. {(a, a), (b, b), (c, c)}
2. {-1, 1}
3. [-5, 5]
4. 30
5. 4x² + 4x – 1.

संबंध एवं फलन दीर्घ उत्तरीय प्रश्न – I

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि पूर्णांकों के समुच्चय z में R = { (a, b ) : संख्या 2, (a – b) को विभाजित करती है } द्वारा प्रदत्त संबंध एक तुल्यता संबंध है। (NCERT)
हल: समस्त a ∈ Z के लिए 2,(a – a) को विभाजित करेगा अर्थात् (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ 2, (a – b) को विभाजित करता है
⇒ 2,- (b – a) को विभाजित करता है
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
अत: R, सममित है।
माना (a,b) ∈ R = 2,(a – b) को विभाजित करता है।
(b, c) ∈ R → 2,(b – c) को विभाजित करता है।
a – b तथा b – C, 2 से भाज्य है
a – b + b – c, भी 2 से भाज्य है
अर्थात् a – c भी 2 से भाज्य है
इसलिए (a,b) ∈ R, (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है। अतः R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अतः यह एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 2.
मान लीजिए कि समुच्चय A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} में R = {(a, b): a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है } द्वारा परिभाषित एक संबंध है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। साथ ही सिद्ध कीजिए कि उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और उपसमुच्चय {2, 4, 6} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं। परंतु उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव उपसमुच्चय {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं है। (NCERT)
हल: A का दिया गया कोई अवयव a या तो विषम है या सम है अतः (a, a) ∈ R अत: R स्वतुल्य है।
माना (a,b) ∈ R ⇒ a तथा b दोनों ही या तो विषम है या सम है।
⇒ b तथा a दोनों ही या तो विषम है या सम है।
(a,b) ∈ D (b, a) ∈ R
अत: R सममित है।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R ⇒ अवयव a, b, c सभी या तो विषम हैं या सम हैं।
(a,b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R = (a,c) ∈ R
अत: R संक्रमक है।
यहाँ R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।
पुनः {1, 3, 5, 7} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी अवयव विषम हैं।
इसी प्रकार {2, 4, 6} के सभी अवयव एक – दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि ये सभी सम हैं साथ ही उपसमुच्चय {1, 3, 5, 7} का कोई भी अवयव {2, 4, 6} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हो सकता क्योंकि {1, 3, 5, 7} के अवयव विषम हैं जबकि {2, 4, 6} के अवयव सम हैं।

प्रश्न 3.
माना कि N प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है। यदि समुच्चय N × N में परिभाषित एक संबंध R ऐसा हो कि (a, b) R (c, d) यदि ad (b + c) = bc (a + d) तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। (CBSE 2015)
हल: स्वतुल्यता: प्रत्येक (a, b) ∈ N × N के लिए
ab (b + a) = ba (a + b)
⇒ (a, b) R (a, b)
अत: R स्वतुल्य होगा।
सममितता: माना (a, b)(c, d) ∈ N × N
(a, b) R (c, d) ⇒ ab(b + c) = bc(a + d)
⇒ bc (a + d) = ab (b + c)
(a,b) R (c,d) ⇒ (c, d) R (a, b)
अत: R सममित होगा।
उत्तर संक्रमकता: माना (a, b) R (c, d ) तथा (c, d) R (e, f)
⇒ ad ( b + c) = bc (a + d)
तथा cf (d + e) = de (c + f)

⇒ af (b + e) = bc (a + f)
(a, b) R (c, d) तथा (c, d) R (e, f) ⇒ (a, b) R (e, f)
अत: R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है अत: R एक तुल्यता संबंध है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 4.
माना A = {1, 2, 3, 4, 5} तथा R = {(a,b): |a – b| 2 से विभाजित है} तो सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है तथा तुल्यता वर्ग भी बनाइए।
हल: A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
R = { (a, b) : |a – b| 2 से विभाजित है }
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1) (5, 1), (4, 2),(5, 3)}
∀ a ∈ A (a,a) ∈ R
इसलिए R स्वतुल्य होगा।
क्योंकि (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) ∈ R
(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R
(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 5), (3, 1), (5, 1), (4, 2), (5, 3) ∈ R
इसलिए R सममित है।
∀ (a, b) ∈ R,(b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
क्योंकि (1, 3)(3, 1) ∈ R = (1, 1) ∈ R
R संक्रमक है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है इसलिए R एक तुल्यता संबंध है।
यही सिद्ध करना था।
तुल्यता वर्ग
[1] = { a : a तथा 2 |a – 1| से विभाजित है}
[1] = {a : a ∈ A तथा a – 1 = 2 k}
[1] = {1, 3, 5}
[2] = { a : a तथा 2, |a – 2| से विभाजित है}
[2] = {a : a तथा a – 2 = 2k}
[2] = {2, 4}.

प्रश्न 5.
मान लीजिए कि समस्त n ∈ N के लिए।

द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N है। बताइए कि क्या फलन f एकैकी आच्छादक है। अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल: f : N → N में,

यहाँ f (1) = f (2) ⇒ 1 ≠ 2
डोमेन के दो अवयव 1 और 2 का सह – डोमेन में एक ही प्रतिबिम्ब 1 है।
अत: f एकैकी फलन नहीं है।

स्थिति I.
जब n विषम हो
n = 2r + 1, r ∈ N
तब 4r + 1 ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f (4r + 1) = \(\frac { 4r+1+1 }{ 2 } \) = \(\frac { 4r+2 }{ 2 } \) = 2r + 1
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए / आच्छादक फलन है।

स्थिति II.
माना n = 2r (सम संख्या)
तब 4r ∈ N इस प्रकार विद्यमान है कि
f(4r) = \(\frac{4r}{2}\) = 2r
स्पष्ट है सह – डोमेन के प्रत्येक अवयव का डोमेन में पूर्व प्रतिबिम्ब है इसलिए f आच्छादक फलन है।
अतः f एकैकी आच्छादक फलन नहीं है।

प्रश्न 6.
मान लीजिए कि A = R – {3} तथा B = R – {1} है। f(x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) द्वारा परिभाषित फलन f : A → B पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए। (NCERT)
हल:
f : A → B, f (x) = \(\frac { x-2 }{ x-3 } \), A = R – {3} तथा B = R – {1}
मान लीजिए x, y∈A इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = \(\frac { y-2 }{ y-3 } \)
⇒ (x – 2) (y – 3) = (y – 2) (x – 3)
⇒ xy – 3x – 2y + 6 = xy – 3y – 2x + 6
⇒ -3x – 2y = -3y – 2x
⇒ 3x – 2x = 3y – 2y
⇒ x = y
यहाँ f (x) = f (y) ⇒ x = y
अतः f एकैकी फलन है।
f आच्छादक फलन होगा यदि x∈A इस प्रकार विद्यमान है कि f(x) = y
\(\frac { x-2 }{ x-3 } \) = y
⇒ x – 2 = y (x – 3)
⇒ x – 2 = xy – 3y
⇒ xy – x = 3y – 2
⇒ x = \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \)∈A
प्रत्येक y ∈ B के लिए x ∈ A
f (x) = f ( \(\frac { 3y-2 }{ y-1 } \) )

∵ f(x) = y
अतः f अचधक पालन है।
अतः f एकोकी अचधक पालन है।

प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि नीचे परिभाषित फलन f : N → N एकैकी तथा आच्छादक दोनों ही।

हल: माना f (x₁) = f (x₂)
यदि x, विषम तथा x, सम है, तब
x₁ + 1 = x₂ – 1
X₁ – x₂ = -2
जो कि असंभव है।
इस प्रकार x₁ के सम तथा x₂ के विषम होने की संभावना नहीं है।
इसलिए x₁ तथा x₂, दोनों ही या तो सम होंगे या विषम होंगे।
माना x₁, x₂ दोनों विषम हैं।
f (x₁) = f (x₂)
⇒ x₁ – 1 = x₂ – 1
⇒ x₁ = x₂
अतः f एकैकी है।
सहप्रांत N की कोई भी विषम संख्या 2r + 1 प्रांत N की संख्या 2r + 2 का प्रतिबिंब है और सहप्रांत N की कोई भी सम संख्या 27, N की संख्या 2r – 1 का प्रतिबिंब है।
अतः f आच्छादक है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 8.
f (x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f: R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन भी ज्ञात कीजिए? (NCERT)
हल: f : R → R, f (x) = 4x + 3
फलन का डोमेन तथा सह – डोमेन R है।
माना x, y ∈ R इस प्रकार है कि
f (x) = f (y)
4x + 3 = 4y + 3
⇒ 4x = 4y
⇒ x = y
इस प्रकार f (x) = f (y)
⇒ x = y
अतः f एकैकी है।
माना कि सह – डोमेन R का कोई अवयव y है
y = f (x)
y = 4x + 3
⇒ 4x = y – 3
⇒ x = \(\frac { y-3 }{ 4 } \)
∴ f^-1(y) = \(\frac { y-3 }{ 4 } \) तथा f^-1(x) = \(\frac { x-3 }{ 4 } \)

प्रश्न 9.
मान लीजिए कि y = {n² : n ∈ N}⊂N है। फलन f : N → y, जहाँ f (n) = n² पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि व्युत्क्रमणीय है। का प्रतिलोम भी ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल:
y = f(n) = n²
n = \(\sqrt{y}\)
इससे g (y) = \(\sqrt{x}\) द्वारा परिभाषित फलन g : y → N प्राप्त होता है।
gof (n) = g [f (n)]
= g [n²]
= \(\sqrt { n^{ 2 } } \) [g(n) = \(\sqrt{n}\), g(n²) = \(\sqrt { n^{ 2 } } \) = n]
(gof) n = n
तथा
(fog)y = f [g(y)]
= f[ \(\sqrt{y}\) ], [f(n) = n², f( \(\sqrt{y}\) ) = ( \(\sqrt{y}\) )² = y]
= y
स्पष्ट है कि gof = I_n तथा fog = I_y
अतः f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1 = g.
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 10.
यदि f : R → R तथा g : R → R फलन क्रमशः f (x) = cosx तथा g(x) = 3x² द्वारा परिभाषित है, तो gof और fog ज्ञात कीजिए। सिद्ध कीजिए कि gof ≠ fog? (NCERT)
हल: दिया है: f(x) = cosx
g (x) = 3x²
(gof) x = g [f (x)]
(gof) x = g [cost]
दिया है:
f (x) = cosx ……………………….. (1)
g (x) = 3x²
g (cosx) = 3 cos²x ……………………………. (2)
समी. (1) और (2) से,
(gof )x = 3cos²x
(fog) x = f [g(x)]
= f [3x²] ………………………………… (3)
दिया है:
g (x) = 3x²
f (x) = cosx
f [3x²] = cos3x²
समी. (3) और (4) से,
(fog) x = cos3x²
x = 0 के लिए
3cos²x ≠ cos3x²
अतः gof ≠ fog. यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 11.
f: {1,2,3} → {a,b,c}, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए-ज्ञात कीजिए ओर सिद्ध कीजिए कि (f^-1)^-1 = f है। (NCERT)
हल: दिया गया है:
f: {1, 2,3} → { a, b, c}
f(1) = a, f (2) = b, f (3) = c
माना g : { a, b, c } → {1, 2, 3} में
g (a) = 1, g (b) = 2, g (c) = 3
(fog) a = f [g (a)]
= f [1] = a
(fog) b = f [g (b)]
= f (2) = b
(fog) c = f [g (c)]
= f (3) = c
तथा (gof) (1) = g [f (1)]
= g (a) = 1
(gof) (2) = g [f(2)]
= g (b) = 2
(gof) (3) = g [f (3)]
= g (c) = 3
अत: gof = I_x, तथा fog = I_y
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
f का प्रतिलोम विद्यमान है तथा।
तथा f^-1 = g
∴ f^-1 {a, b, c} → {1, 2, 3} में,
f^-1 (a) = 1, f^-1(b) = 2, f^-1(c) = 3
अतः f^-1 का प्रतिलोम अथरिथ का प्रतिलोम जात करेंगे
माना h: {1, 2, 3} → {a, b, c}
h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c
(goh) 1 = g[h(1)] = g(a) = 1
(goh) 2 = g[h(2)] = g(b) = 2
(goh) 3 = g[h(3)] = g(c) = 3
तथा (hog) a = h[g(a)] = h(1) = a
(hog) b = h [ g(b)] = h(2) = b
(hog) c = h[g(c)] = h(3) = c
अत: goh = I_x तथा hog = I_y
जहाँ x = {1, 2, 3} तथा y = {a, b, c}
g का प्रतिलोम विद्यमान है तथा g^-1 = h = (f^-1)^-1 = f
अत: h = f
∴ (f^-1)^-1 = f यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि समस्त बहुभुजों के समुच्चय A में R = { (P₁, P₂ ) : P₁ तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है।} प्रकार से परिभाषित संबंध R एक तुल्यता संबंध है। 3, 4 और 5 की भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित समुच्चय A के सभी अवयवों का समुच्चय ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: दिया है:
A = समस्त बहुभुजों का समुच्चय
R = {(P₁, P₂) : P₁, तथा P₂ की भुजाओं की संख्या समान है।
प्रत्येक बहुभुज P में भुजाओं की संख्या, बहुभुज P की भुजाओं की संख्या के बराबर है।
∴ (P, P) ∈ R, ∀P∈A
माना (P₁,P₂)∈R ⇒ बहुभुज P₁ तथा P₂ मे भुजाओं की संख्या समान हैं।
⇒ बहुभुज P₂ तथा बहुभुज P₁ में भुजाओं की संख्या समान हैं।
अत: R संक्रमक संबंध है।
R, स्वतुल्य, सममित तथा संक्रमक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से वह बहुभुज संबंधित होगा जिसमें भुजाओं की संख्या तीन होगी। इसलिए भुजाओं 3, 4 तथा 5 वाले समकोण त्रिभुज से संबंधित बहुभुज त्रिभुज है। यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 13.
यदि f(x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \), x ≠ \(\frac{2}{3}\) हो, तो सिद्ध कीजिए कि सभी x ≠ \(\frac{2}{3}\) के लिए fof(x) = xहै। f का प्रतिलोम फलन क्या है? (NCERT)
हल:
f (x) = \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \)
fof (x) = f {f (x)}
f{ \(\frac { 4x+3 }{ 6x-4 } \) }

माना f का प्रतिलोम फलान f^-1(x) = y हैं।
तब f (y) = x
∴ \(\frac { 4y+3 }{ 6y-4 } \) = x
⇒ 4y + 3 = 6xy – 4x
⇒ 6xy – 4y = 3 + 4x
⇒ y (6x – 4) = 3 + 4x
⇒ y = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \)
⇒ f^-1 (x) = \(\frac { 3+4x }{ 6x-4 } \) = f(x)
∴ f^-1 = f.

प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \) द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है। फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर) का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए। (NCERT)
हल: f (x) = \(\frac { x }{ x+2 } \)
f : [-1, 1] → R
यहाँ, f (x) = f (y)
⇒ \(\frac { x }{ x+2 } \) = \(\frac { y }{ y+2 } \)
⇒ xy + 2x = xy + 2y
⇒ 2x = 2y
⇒ x = y यही सिद्ध करना था।
∴ f एकैकी है।
माना f^-1 (x) = y
∴ f (y) = x
⇒ \(\frac { y }{ y+2 } \) = x
⇒ y = xy + 2x
⇒ y (1 – x) = 2x
∴ y = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)
⇒ f^-1(x) = \(\frac { 2x }{ 1-x } \)

प्रश्न 15.
यदि f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \), ∀ x ∈ R जहाँ -1 < x < 1, तो gof तथा fog ज्ञात कीजिए। दिखाइए कि fog = gof?
हल: दिया है,
f (x) = \(\frac { x }{ 1+|x| } \)
g (x) = \(\frac { x }{ 1-|x| } \)
∴ fog (x) = f {g(x)}
= f ( \(\frac { x }{ 1-|x| } \) )

= x ………………….. (2)
fog = gof
यही सिद्ध करना था।

प्रश्न 16.
तीन फलन f : N → N, g : N → N तथा h : N → R पर विचार कीजिए f (x) = 2x, g (y) = 3y + 4, तथा h (z) = sin z ∀ x, y तथा z ∈ N सिद्ध कीजिये की ho(gof)n = (hog)of? (NCERT)
हल:
ho(gof) x = h[gof(x)]
= h {g[f(x)}
= h (g (2x))
= h [3(2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4) ………………………… (1)
इसी प्रकार ((hog)of) x = (hog) f(x)
= (hog) 2x
= h (g (2x))
= h [3 (2x) + 4]
= h [6x + 4]
= sin (6x + 4)
समी, (1) और (2) से स्पस्ट है की
ho(gof) = (hog)of. यही सिद्ध करना था।

MP Board Class 12 Maths Important Questions

MP Board Class 11th Maths Important Questions Chapter 4 Principle of Mathematical Induction

Principle of Mathematical Induction Important Questions

Principle of Mathematical Induction Long Answer Type Questions

Question 1.
For n > 1, prove that with the help of principle of mathematical induction :
1² + 2² + 3² + 4² + …………. + n² = \(\frac { n(n + 1)(2n + 1) }{ 6 }\). (NCERT)
Solution:

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 2.
For n ≥ 1 prove that :
\(\frac { 1 }{ 1.2 }\) + \(\frac { 1 }{ 2.3 }\) + \(\frac { 1 }{ 3.4 }\) + …………. + \(\frac { 1 }{ n(n + 1) }\) = \(\frac { n }{ n + 1 }\)
Solution:
Let

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.
Instruction:
All questions from 3 to 7 when n∈N prove the statement by using principle of mathematical induction :

Question 3.
1³ + 2³ + 3³ + …………. + n³ = \(\frac { { n }^{ 2 }{ (n+1) }^{ 2 } }{ 4 }\) (NCERT)
Solution:

∴ Given function is true for n = m + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 4.
1 + \(\frac { 1 }{ 1 + 2 }\) + \(\frac { 1 }{ 1 + 2 + 3 }\) + ……….. + \(\frac { 1 }{ 1 + 2 + 3 + ………. + n }\) + …………. + = \(\frac { 2n }{ n + 1 }\).
Solution:
For n = 1, L.H.S = 1
and R.H.S. = \(\frac { 2 x 1 }{ 1 + 1 }\) = 1
The given function is true for n = 1.
Let the function be true for n = m

∴ The Given function is true for n = m + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 5.
1.2 + 2.3 + 3.4 + ………….. + n(n + 1) = \(\frac { n(n + 1)(n + 2) }{ 3 }\)
Solution:
Let p(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ………….. + n(n + 1) = \(\frac { n(n + 1)(n + 2) }{ 3 }\)
If n = 1, L.H.S. = 1.2 = 2
R.H.S = \(\frac { n(n + 1)(n + 2) }{ 3 }\) = \(\frac { 1.2.3 }{ 3 }\) = 2
∴ p(n) is true for n = 1.
Let p(n) be true for n = k

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 6.
\(\frac { 1 }{ 2.5}\) + \(\frac { 1 }{ 5.8 }\) + \(\frac { 1 }{ 8.11}\) + …………. + \(\frac { 1 }{ (3n – 1)(3n + 2) }\) = \(\frac { n }{ 6n + 4 }\)
Solution:
Let p(n) = \(\frac { 1 }{ 2.5}\) + \(\frac { 1 }{ 5.8 }\) + \(\frac { 1 }{ 8.11}\) + …………. + \(\frac { 1 }{ (3n – 1)(3n + 2) }\) = \(\frac { n }{ 6n + 4 }\)
∴ For n = 1, L.H.S = \(\frac { 1 }{ 2.5}\) = \(\frac { 1 }{ 10}\)
and R.H.S = \(\frac { 1 }{ 6.1 + 4}\) = \(\frac { 1 }{ 10}\)
∴ p(n) is true for n = 1.
Let p(n) be true for n = k

∴ p(n) is true for n = k + 1.
Hence, p(n) is true for all values of n ∈ N.

Question 7.
1.2.3. + 2.3.4 + …………. + n(n+1)(n+2) = \(\frac { n(n + 1)(n + 2)(n + 3) }{ 4 }\). (NCERT)
Solution:
For n = 1, L.H.S = 1.2.3 = 6
And R.H.S. = \(\frac { 1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) }{ 4 }\) = \(\frac { 2.3.4 }{ 4 }\) = 6
∴ Given function is true for n = 1.
Let the function be true for n = k

∴ The given function is true for n = k + 1. Hence the given function is true for all values of n ∈ N.

Question 8.
Prove that (41)ⁿ – (14)ⁿ is a multiple of 27 with the help of principle of mathematical induction. (NCERT)
Solution:
Let P(n) = (41)ⁿ – (14)ⁿ
For n = 1,
P(1) = (41)¹ – (14)¹= 27
Which is multiple of 27.
Let P(ri) be true for n = k.
Then, (41)^k – (14)^k = 27m
Put n = k +1 in P(n)
(41)^k+1 – (14)^k+1 = (41)^k.41 – (14)^k. 14
= (41)^k.41 – 41.(14)^k + 41.(14)^k – (14)^k.14
= 41[(41)^k – (14)^k]+(14)^k [41 – 14]
= 41 x 27m + (14)^k x 27 = 27[41 x m + (14)^k]
Which is multiple of 27.
If the given function P(n) is true for n = k then P(n) will be true for U n = k +1 also.
Hence the given function is true for all values of n ∈ N.

MP Board Class 11th Maths Important Questions